Calculo 1 Derivación

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LA DERIVADA Y EL PROBLEMA DE LA RECTA TANGENTE

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LA DERIVADA Y EL PROBLEMA DE LA RECTA TANGENTE

Recordemos el camino trazado…Recordemos el camino trazado…

Funciones de una variable

Limites y continuidad

La derivada

Pero, antes de iniciar HAGAMONOS una simple pregunta…

Pero, antes de iniciar HAGAMONOS una simple pregunta…

Ya analizamosfunciones…También limites de funciones…

Y el tema que iniciamos hoy es….

( un minuto de silencio…)

Introducción a la Derivada

“La pregunta del millón…”“La pregunta del millón…”Si tenemos una función definida por

2xy

La mayoría contestaría: “su derivada es: ”

MUY BIEN!! ….. Pero……..

“memorizar términos matemáticos y no tener la mínimaidea de lo que significan, es equivalente a no saberlos..”

“las matemáticas no se memorizan… se deben razonar!!”

xy 2

Algunos conceptos básicos.Algunos conceptos básicos. La recta secante y la recta tangente

en términos geométricos

Recta secanteRecta tangente

“es una recta queintersecta un círculoen dos puntos”

“es una recta quetiene un punto en común con un circulo”

Algunos conceptos básicos.Algunos conceptos básicos.La recta secante

y la recta tangenteen una función

Función original

Algunos conceptos básicos.Algunos conceptos básicos.La recta secante

y la recta tangenteen una función

Función original

Recta secante

Algunos conceptos básicos.Algunos conceptos básicos.La recta secante

y la recta tangenteen una función

Función original

Recta tangente

Algunos conceptos básicos.Algunos conceptos básicos.Sabemos que una de las características

principales de una recta es su pendiente (m)

En términos muy simples la pendiente de una recta esun valor numérico que representa la inclinación de dicha recta

1 1( , )x y

2 2( , )x y

2 1x x

2 1y y

2 1

2 1

y ym

x x

Muy sencillo de obtener si tienes dos puntos sobre una recta!

Algunos conceptos básicos.Algunos conceptos básicos.

Función original

Recta secante

De acuerdo a lo anterior, la obtención de la pendiente de una rectasecante en la curva de una función es:

2 1

2 1

y ym

x x

1 1( , )x y

2 2( , )x y

Algunos conceptos básicos.Algunos conceptos básicos.

Recta tangente

Pero……….. y como obtener análogamente la pendiente de una rectatangente si solo se conoce un punto?

1 1( , )x y

2 1

2 1

?y y

mx x

Algo de historia.Algo de historia.Esta cuestión se originó con los matemáticos griegos hace dos mil años,

y fue finalmente abordada en el siglo XVII por varios matemáticos ilustres, entre los que se encuentran :

Pierre de Fermat Rene Descartes Gottfried Wilhelm Leibniz

Leibniz, llamado por muchos el padre del CálculoModerno, en 1684 propuso un método general para encontrar las tangentes a unacurva a través de lo que el llamo símbolos.

La derivada.La derivada.Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar

el valor de la PENDIENTE DE UNA RECTA TANGENTE

Supongamos que deseamosconocer la pendiente de larecta tangente en X=1

Observe que si hacemosdiversas aproximaciones de rectassecantes, podemos hacer unamuy buena estimación de la Pendiente de la recta tangente

tanm

La derivada.La derivada.Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar

el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE

1 1( , )x y

2 2( , )x y

tanm

La derivada.La derivada.Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrarel valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE

1 1( , )x y

2 2( , )x y

tanm

La derivada.La derivada.Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrarel valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE

1 1( , )x y

2 2( , )x y

tanm

La derivada.La derivada.Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrarel valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE

1 1( , )x y

2 2( , )x y

tanm

La derivada.La derivada.Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrarel valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE

1 1( , )x y

2 2( , )x y

tanm

La derivada.La derivada.Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrarel valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE

1 1( , )x y

2 2( , )x y

tanm

La derivada.La derivada.Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrarel valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE

1 1( , )x y

2 2( , )x y

tanm

La derivada.La derivada.Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrarel valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE

1 1( , )x y

2 2( , )x y

tanm

La derivada.La derivada.Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrarel valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE

1 1( , )x y

2 2( , )x y

tanm

La derivada.La derivada.Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrarel valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE

1 1( , )x y2 2( , )x y

tanm

La derivada.La derivada.Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrarel valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE

1 1( , )x y

Observa que el punto

Cada vez se acercamás al punto

1 1( , )x y

2 2( , )x y

2 2( , )x y

tanm

La derivada.La derivada.Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrarel valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE

Ahora, como expresar elcomportamiento anterioren términos matemáticos?

La derivada.La derivada.

1 1( , )x y

2 2( , )x y

Aprox.tanm secm Procedemosa sustituir:

12

12sec xx

yym

2 1

2 1

y y

x x

tanm

12

12sec xx

yym

La derivada.La derivada.

1 1( , )x y

2 2( , )x y

tanm 2 1

2 1

y y

x x

Considerando:

( )y f xtanm 2 1

2 1

( ) ( )f x f x

x x

)( 1xf

)( 2xf

tanm

Procedemosa sustituir:

La derivada.La derivada.

1 1( , )x y

2 2( , )x y

tanm 2 1

2 1

( ) ( )f x f x

x x

2 1x x x Ahora

Consideremos:

2 1( ) ( )f x f x

x

2 1x x x

tanm

La derivada.La derivada.

1 1( , )x y

2 2( , )x y

tanm 2 1( ) ( )f x f x

x

Ahora recordemos el comportamientode las rectas secantes y podemos ver que tiende a disminuirx

2 1x x x

tanm

La derivada.La derivada.

1 1( , )x y

2 2( , )x y

tanm 2 1( ) ( )f x f x

x

Ahora recordemos el comportamientode las rectas secantes y podemos ver que tiende a disminuirx

2 1x x x

tanm

La derivada.La derivada.

1 1( , )x y

2 2( , )x y

tanm

2 1x x x

2 1( ) ( )f x f x

x

Podemos expresar lo anterior así:lim 2 1( ) ( )f x f x

x

0x 0x

Analizando dicho comportamiento,procedemos a aplicar un límite así:

Se puede observarque el punto cada vez se aproximamás al puntopero no llegará a tocarlo

2 2( , )x y

1 1( , )x y

tanm

La derivada.La derivada.

1 1( , )x y

2 2( , )x y

tanm Finalmente considerando lo siguiente:lim 2 1( ) ( )f x f x

x

0x 2 1x x x

La expresión nos queda así:

1 1( ) ( )f x x f x

x

2 1x x x

tanm

1 1( ) ( )f x x f x

x

La derivada.La derivada.

1 1( , )x y

2 2( , )x y

tanm Finalmente considerando lo siguiente:lim

0x 2 1x x x

La expresión nos queda así:

2 1x x x

tanm

La derivada.La derivada.

tanm lim

0x

1 1( ) ( )f x x f x

x

Este límite (el cual genera otra función), representa la pendiente de las diversas rectas tangentes a lagráfica de una función…..Y se le conoce comúnmente como:

Misma, que en honor a Leibniz puede ser representada así:

dx

dy Por su origen basado enincrementos

=

La derivada.La derivada.

lim

0x

1 1( ) ( )f x x f x

x

dx

dy=

Y precisamente por esta fórmula es que lo siguiente, ahora si, tiene sentido:

Si tenemos una función definida por 2xy

Entonces su derivada es: xdx

dy2

Y gracias a esta función que se “deriva” de la original, podemos obtener las pendientes de las rectas tangentes que pertenecen a la función original

Aplicación del límite obtenido….Aplicación del límite obtenido….Procederemos a la aplicacióndel límite deducido paraobtener la derivada de la función:

2)( xxfy

xxfxxf

dxdy

x

)()(lim

0

Recordemos que laderivada esta definidapor el límite:

Al evaluar el término

)( xxf se puede observar que:

2)()( xxxxfy

Al sustituirlo obtenemos:

xxxx

dxdy

x

22

0

)(lim

)( xxf )(xf

Al desarrollar el binomioal cuadrado obtenemos:

xxxxxx

dxdy

x

222

0

))()(2(lim Reduciendo

términos:

xxxx

dxdy

x

2

0

)()(2lim

Aplicando los teoremassobre límites tenemos losiguiente:

Aplicación del límite obtenido….Aplicación del límite obtenido….

x

xxxdxdy

x

2

0

)()(2lim xx

xx

00lim2lim

Al evaluar dichos límites llegamos a la conclusión que:

Si tenemos una función definida por 2xy

Entonces su derivada es: xdx

dy2

0

Representación gráfica de:

2xy La función querepresenta suderivada es:

xdxdy

2

Representación gráfica de:

2xy La función querepresenta suderivada es:

xdxdy

2

1xAl sustituiren la derivadael valor de X:

2)1(2tan dxdy

mObserve que:

2tan m ?tan m

Representación gráfica de:

2xy La función querepresenta suderivada es:

xdxdy

22tan m

Representación gráfica de:

2xy La función querepresenta suderivada es:

xdxdy

2

Referencia: “El Cálculo”por Louis Leithold

Ahora si ya podemos empezar con los primeros ejemplos.

xxf 3)(

3dxdf

3)(

3xxf

2xdxdf

26)( xxf

xdxdf

2

512

)( x

xf

52

dxdf