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CALCULO DIFERENCIAL UNIDAD 2
EVIDENCIA DE APRENDIZAJE Presenta: Misael Gamaliel Gómez Camacho
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Los dos conceptos centrales sobre los que se fundamenta el Calculo Diferencial e Integral son los de función y límite. En la unidad 1 de este curso vimos las generalidades de las funciones y en esta unidad 2 nos adentramos en los conceptos de límite y continuidad que son la base para iniciar el estudio de la derivada; de hecho, la derivada es un límite.
Por lo que forma de calcular limites de forma grafica y numérica y vimos las propiedades de los limites, además de resolver ejercicios.
Así mismo pudimos conocer el concepto de continuidad, sus propiedades y cuando es que una función presenta Asíntotas verticales. Estas herramientas serán la base para comprender mejor el tema de la derivada.
PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD 2
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Límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. En esencia el límite se relaciona con el comportamiento de una función cuando la variable independiente está "muy cerca" de un número constante "a" pero sin llegar a tomar ese valor.Con el álgebra de límites podemos aproximarnos a un valor ya sea un número cualquiera o el infinito de manera exacta.
Así podríamos decir que el límite de una función describe el comportamiento de una función f(x) conforme la variable independiente se aproxima a un valor constante.
Definición de limite
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Decimos que el límite de f(x) cuando x tiende a c es igual a L si a medida que x se acerca a c, ya sea por la derecha como por la izquierda, entonces los valores de f(x) se aproximan a L.
Esto se escribe
Significa que para todo ε>0 existe uno δ>0 tal que si:
cxLxf
)(lim
Lxfentoncescx )(,0
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CÁLCULO DE LÍMITES POR MEDIO DE LOS MÉTODOS GRÁFICO Y
NUMÉRICO
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Existen tres métodos para calcular el límite de una función, las cuales son:1. Método numérico:En donde se basa en construir una tabla de valores,
2. Método gráfico:Se basa en elaborar una gráfica a mano o con algún dispositivo tecnológico, por ejemplo el programa Graph y observar el limite.
3. Método analítico: En el cual se utiliza el álgebra o cálculo.
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Para esta función se puede observar en la gráfica de la función y el cuadro anexo, forma gráfica y numérica el límite de la función cuando x tiende a 3. La obtención del límite de forma numérica se hace a partir de la tabla de datos siguiente:
1) 10)1( 2
3
xLím
x
En ella se muestran valores cercanos a 3, menores y mayores. Se observa como en la medida que los valores de x se acercan a 3, los valores de y se acercan a 10.
x f(x) x f(x)2.99 9.994 3.001 10.006
2.9991 9.9946 3.0009 10.00542.9992 9.9952 3.0008 10.00482.9993 9.9958 3.0007 10.00422.9994 9.9964 3.0006 10.00362.9995 9.997 3.0005 10.0032.9996 9.9976 3.0004 10.00242.9997 9.9982 3.0003 10.00182.9998 9.9988 3.0002 10.00122.9999 9.9994 3.0001 10.0006
Acercándose a 3 Acercándose a 3 por la izquierda: por la derecha
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De forma gráfica, el Límite de f(x) = x2 + 1, cuando x tiende a 3 es 10
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2) 21
1
3
) ( )f xx
x
Acercándose a 1 Acercándose a 1por la izquierda: por la derecha:
x f(x) x f(x)0.999 2.997 1.001 3.003
0.9991 2.9973 1.0009 3.00270.9992 2.9976 1.0008 3.00240.9993 2.9979 1.0007 3.00210.9994 2.9982 1.0006 3.00179.9995 2.9985 1.0005 3.0015
0.9996 2.9988 1.0004 3.00120.9997 2.9991 1.0003 3.000890.9998 2.9994 1.0002 3.00060.9999 2.9997 1.0001 3.0003
311)1()1()1(
)1)(1(11 22
1
2
1
3
1
xxLím
xxxx
límxx
Límxxx
En este caso el límite es indeterminado y se emplea la factorización para quitar la indeterminación. Por lo tanto:
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0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
-4 -2 0 2 4
Gráfica
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LÍMITES QUE NO EXISTEN
x
x
0xlim
Solución
0,1 xx
x0,1 x
x
x
Como el límite cuando x se acerca por la izquierda es -1 y cuando se acerca por la derecha es 1, no son iguales, por lo tanto que el límite no existe.
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x f(x) x f(x)
-0.001 -1 0.001 1-0.0009 -1 0.0009 1-0.0008 -1 0.0008 1-0.0007 -1 0.0007 1-0.0006 -1 0.0006 1-0.0005 -1 0.0005 1-0.0004 -1 0.0004 1-0.0003 -1 0.0003 1-0.0002 -1 0.0002 1-0.0001 -1 0.0001 1
Acercándose a 0 Acercándose a 0 por la izquierda: por la derecha:
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20x
1lim
x
LÍMITES QUE NO EXISTEN
Ejemplo: Comportamiento no acotado.
Analizar la existencia del límite:
Solución: Si jugamos con valores nos podemos dar cuenta que si x se aproxima a 0, f(x) crece notablemente:
1001
)(10
10
2
xxfx
10000001
)(1000
10
2
xxfx
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f(x) no se aproxima a ningún número real L cuando se aproxima a 0, por tanto se concluye que el límite no existe.
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Cálculo de límites por medio de la definición formal
Recordemos la definición de limite:Decimos que el límite de f(x) cuando x tiende a c es igual a L si a medida que x se acerca a c, ya sea por la derecha como por la izquierda, entonces los valores de f(x) se aproximan a L.Esto se escribe
cxLxf
)(lim
Significa que para todo ε>0 existe uno δ>0 tal que si:
Lxfentoncescx )(,0
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128 2
5
ttLím
t
1911102001)5(2)5(8128 22
5
ttLím
t
2
42
2
x
xLímx
04
0
4
44
22
4)2(
2
4 22
2
x
xLímx
A) LIMITES QUE SE CALCULAN DE UNA MANERA DIRECTA.
Ejemplo 2.- Calcular el siguiente límite
Ejemplo 1.- Calcular el siguiente límite
MÉTODO ANALÍTICO
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B) LIMITES INDETERMINADOS O INDEFINIDOS.
En los ejemplos anteriores se pueden observar que los límites calculados existen, pero no bastará con hallar la imagen en un punto deseado x = c, una nueva lectura de la definición del límite nos hace reflexionar que f puede no estar definido en c, esto lo podemos ver en el siguiente ejemplo:
3
352 2
3
x
xxlímx
Si en este ejemplo, evaluáramos directamente, se tendría:
El cociente 0/0 no es un número real, se conoce en el cálculo como una forma indeterminada (no puede determinarse a primera vista el valor exacto del límite). Sin embargo, usando manipulaciones algebraicas, se puede transformar la función en una función equivalente que tiene límite.
Efectuar el proceso algebraico y simplificar, se conoce en el lenguaje del cálculo como: "Eliminar la indeterminación".
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PROPIEDADES DE UN LÍMITE
Límites Básicos: Si b y c son números reales y n un entero positivo.
bbcx
lim
cxcx
lim
nn
cxcx
lim
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Ejemplo: Evaluación de Límites Básicos:
33lim2
x
4lim4
x
x
42lim 22
2
x
x
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Sin b y c son números reales y n un entero positivo, f y g funciones con los límites siguientes:
1. Múltiplo Escalar:
2. Suma o Diferencia
3. Producto:
Lxfcx
)(lim
Kxgcx
)(lim
bLxfbcx
)(lim
KLxgxfcx
)()(lim
LKxgxfcx
)()(lim
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4. Cociente:
5. Potencias:
0,)(
)(lim
KquesiempreK
L
xg
xfcx
nn
cxLxf
)(lim
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Ejemplo: Límite de un Polinomio
3lim4lim)34(2
2
2
2
2 xxx
xxlím
19
316
3)2(4
3lim)lim(4
2
2
2
2
xx
x
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Límites de las funciones polinómicas y racionales: si p es una función polinómica y c un número real:
Si r es una función racional dada por r(x) = p(x)/q(x) y c un número real tal que q(c)≠0 tenemos
)()(lim cpxpcx
)(
)()()(lim
cq
cpcrxr
cx
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Ejemplo: Límite de una Función racional
Como el denominador no es 0 cuando x=1
1
22
1
x
xxlímx
22
411
2112
1
xlím
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Límite de una Función radical
Si n es un entero positivo:
• Para toda c si n es impar• c > si n es par
nn
cxcx
lim
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Límite de una Función Compuesta
Si f y g son funciones tales que:
Entonces:
Lxgcx
)(lim )()(lim LfxfLx
)())(lim())((lim Lfxgfxgfcxcx
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Límites de funciones trigonométricas
Sea c un número real:
csenxsencx
)(lim cxcx
cos)cos(lim
cxcx
tan)tan(lim
cxcx
cot)cot(lim
cxcx
sec)sec(lim
cxcx
csc)csc(lim
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Ejemplos
00tan)tan(lim0
xx
)cos(coslimlim)cos(lim xxxxxxx
00)(limlim 22
0
2
0
xsenxsen
xx
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LÍMITES INFINITOS
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Definición de Límites Infinitos
cxxf
)(lim
cxxf
)(lim
Sea f una función definida en todo número real de un intervalo abierto que contiene a c (salvo posiblemente, en el propio c). La expresión
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Determinación de límites infinitos a partir de una Gráfica
1
1lim1 xx
1
1lim1 xx
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Determinación de límites infinitos a partir de una Gráfica
21 )1(
1lim
xx
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CONTINUIDAD
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Definición de Continuidad
Una función es continua cuando en su gráfica no aparecen saltos o cuando el trazo de la gráfica no tiene “huecos”.Suponga que f es una función que está definida en algún intervalo abierto que contenga a c. Decimos que la función f es continua en x = c si se tienen las siguientes condiciones (RUIZ, Ángel; BARRANTES, Hugo, Elementos de Calculo Diferencial Volumen I. Costa Rica 1996, Pág. 70.)
1. Existe f(c), esto es: c está en el dominio de f.2. También existe
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Ejemplos: Analizar la continuidad de cada función.
xxf
1)(
Aplicando el Teorema de las funciones polinómicas se concluye que f es continua en todos los números reales excepto x = 0, por que 1/0 = indefinido
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Ejemplos: Analizar la continuidad de cada función.
xxf
1)(
Aplicando el Teorema de las funciones polinómicas se concluye que f es continua en todos los números reales excepto x = 0, por que 1/0 = indefinido
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Ejemplos:.
xseny Aplicando el Teorema de funciones trigonométricas se concluye que f es continua en todo su dominio (-∞,∞)
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Definición de Continuidad en un Intervalo cerrado
)()(lim)()(lim bfxfyafxfbxax
Una función f es continua en un intervalo cerrado [a,b] si es continua en el Intervalo abierto (a,b)n
La función f es continua por la derecha en a y continua por la izquierda en b
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Ejemplo Continuidad en un Intervalo cerrado
Analizar la continuidad de
Se concluye que f es continua en [-1,1]
21)( xxf
)1(01lim 2
1
fx
x
)1(01lim 2
1fx
x
Continua por la derecha
Continua por la izquierda
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Ejemplos para determinar si una función es continua o discontinua.
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Ejemplo 1Sea , en el intervalo cerrado [-3,3]
Su representación grafica es:
Tenemos que la función es continua desde -3→-∞ y 3→+∞La función no es continua en el intervalo [-3,3]
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Lo podemos observar a través de la realización de la función que nos da los siguientes valores
X f(x) X f(x)-4 2.64575131 0.1 #¡NUM!-3.9 2.49198716 2.9 #¡NUM!-3.8 2.33238076 3 0-3.7 2.16564078 3.1 0.78102497-3.6 1.98997487 3.2 1.11355287-3.5 1.80277564 3.3 1.37477271-3.4 1.6 3.4 1.6-3.3 1.37477271 3.5 1.80277564-3.2 1.11355287 3.6 1.98997487-3.1 0.78102497 3.7 2.16564078-3 0 3.8 2.33238076-2.9 #¡NUM! 3.9 2.49198716-0.1 #¡NUM! 4 2.645751310 #¡NUM!