CD U2 EA Calculo

7/29/2019 CD U2 EA Calculo

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APLICACIN DEL PROCEDIMIENTO DELMITE Y CONTINUIDAD

Gerardo Reyes Gmez


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Presentacin de la unidad.

El concepto de lmite y continuidad son la base para iniciar el

estudio de la derivada, que de hecho, es un lmite.

Esta unidad inicia con la definicin e interpretacin intuitiva de

lmite y se apoya en la grfica para mostrar lo que sucede con el

lmite de una funcin.

La definicin de lmite te permitir comprender el concepto de

continuidad y a su vez, ste te ayudar a identificar qu

situaciones de la vida cotidiana se pueden representar por medio

de una funcin continua. Una vez que hayas comprendido estos

conceptos estars preparado para iniciar la unidad 3.


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En esta unidad:

Identificars el concepto de lmite, de forma grfica y numrica.

Aplicars las propiedades de los lmites para calcular los lmites de las

funciones dadas.

Aplicars el concepto de continuidad en situaciones de la vida cotidiana

Propositos de la unidad

Aplica el procedimiento de lmite y continuidad para

determinarlos en una funcin por medio de la

expresin general de la misma o de su

representacin grfica.

Competencia especifica.


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Si deseas calcular el lmite de la

funcin f(x) = x, en el puntox1, tienes que

analizar los puntos que hay a su

alrededor, tanto del lado izquierdo comodel derecho deleje de las equis.

Por cada punto que tomes en el eje de las

equis, tienes que analizar lo que sucede

con la grfica; conforme te acercas al

puntox1 por el lado izquierdo, debesanalizar hacia dnde se aproxima la

grfica, lo mismo debes hacer por el lado

derecho (ver figura).

Definicin de lmite.


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Para representar y comprender mejor la situacin anterior, se te

presenta el siguiente ejemplo:

Al evaluar la funcin en x= 1, se tiene

Esto indica que la funcin en f(1) no est definida.

Definicin de lmite.


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Definicin de lmite.

Cuando se desea determinar un lmite, no interesa encontrar cuntovale la funcin en ese punto, sino lo que sucede en su entorno.

En este caso, lo que sucede cuando te

vas acercando al 1 del lado izquierdo del

eje de las equis y del lado derecho, tal

como se ilustra en la grfica.

Para acercarte tanto del lado izquierdo

como del derecho, le asignars diferentes

valores a x, de tal manera que seaproxime al punto 1 y observars el

comportamiento que tienen las y, a medidaque te vas acercando al punto en el que noest definido f(x), en este caso es 1.

En el ejemplo, conforme x se aproxima al 1 tanto por la izquierda como por la

derecha, el lmite de f(x), cuando x tiende a 1, es 0.


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Clculo de lmites, de forma numrica, grfica y por medio de ladefinicin formal.

Considera la funcin fdefinida por la ecuacin:

En la figura se ilustra la grfica de la funcin. Observa que f(x) existe

para cualquierx, excepto en x = 2, por lo que se evaluar la

funcin cuando x se aproxime a 2 por la izquierda y por la derecha.Observa la posicin que tiene el 2 en el eje de las equis.


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Del lado izquierdo te puedes acercar del 1 al 2, aumentando los valores.

Del lado derecho, del 3 al 2, disminuyendo los valores. Esto se muestraen las siguientes tablas:

Notars que en ambas tablas:

Conforme x se aproxima cada vez ms a 2, f(x) se acerca cada vez ms a 1.

Y cuanto ms cerca est x de 2, ms cerca estar f(x)de 1.



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Como te podrs dar cuenta, la funcin no est definida enx= 2, pero el lmite de la

funcin, cuandoxtiende a 2, es 1.En el puntox= 2, la funcin no est definida (tiene un huequito), al calcular el lmite,

encontramos el valor que hay que rellenar para que la funcin sea continua.



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Ejemplos de clculo de lmites por medio de las propiedades de los lmites.

Propiedades de un limite

Limites Bsicos: si b y c son nmeros reales y n un entero

positivo.

Ejemplos:


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Propiedades de los limites

Limites Bsicos: si b y c son nmeros reales y n un entero

positivo, f y g funciones con los limites siguientes:



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Limite de una funcin radical: Limite de una funcin Compuesta:

Limite de funciones trigonomtricas



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Ejemplos



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Definicin de continuidad.

Una funcin fes continua en un punto a si se satisfacen las siguientes

tres condiciones:

Es posible establecer que una funcin es continua en un intervaloabierto (a,b) si es continua en cada punto del intervalo.Cuando una funcin no es continua, entonces se dice que es discontinua.

Ahora que sabes cundo una funcin es continua en un punto, se puede establecer

que una funcin es continua en un intervalo abierto, si es continua en cadapunto del intervalo. Por otro lado, cuando una funcin no es continua, entonces sedice que es discontinua.

Para determinar si una funcin es continua o discontinua, una de las condiciones

que debe cumplir es que el lmite, cuando x tiende a a es la funcin evaluada en ese

punto, a diferencia de cuando se determina el lmite de una funcin en donde no era

necesario que la funcin estuviera definida en el punto x = a.


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Ejemplos en los que apliques el procedimiento para determinar si unafuncin es continua o discontinua de forma grfica y por medio de ladefinicin de continuidad.

Es Continua en este intervalo, perodiscontinua fuera de este.

Es discontinua

F(x)= Lim (x^2 9)^1/2= (9-9)^1/2=0

x->3.

F(x)= Lim (x^2 9)^1/2= (-9-9)^1/2=Math Error

x->-3.


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Ejemplos en los que identifiques si la funcin es continua odiscontinua a partir de la representacin grfica.

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