ANLISIS ESTRUCTURAL ---- SNCHEZ Huamn LUIS NELSON

MTODO AREA MOMENTO

1. DEMOSTRACION:

Viga simplemente apoyada con una carga cualquiera.

Por flexin se sabe que:

( )

Del grafico se tiene:

De lo cual:

Considerando: dx=ds

( )

De la figura se tiene que AB es igual a la suma de todos los d en el tramo AB.

( )

De la figura se tiene que la suma de los segmentos dt (entre A-C) sucesivas es igual

a tB/A para el tramo AB.

Reemplazando el valor (b).

( )

( )

TEOREMA I:

( )

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De donde:

( )

De lo cual el teorema 1 manifiesta que la desviacin angular o ngulo entre las

tangentes trazadas a la elstica en 2 puntos cualquiera A y B es igual al producto de

1/EI por el rea el diagrama de momentos flexionantes entre 2 puntos.

TEOREMA II:

De la ecuacin (d) se tiene:

( )

( )

( )

( )

El teorema II manifiesta que la desviacin tangencial de un punto B con respecto a la

tangente trazada a la elstica en otro punto cualquiera A (Distancia del punto B de la

elstica a la tangente del punto A), en direccin perpendicular a la inicial de la viga

es igual al producto de 1/EI por el momento con respecto a B del rea de la porcin

del diagrama de momentos entre los puntos A y B.

2. CONSIDERACIONES:

EI es conocido rigidez a la flexin.

Cuando EI es variable no puede sacarse del signo integral y hay que conocerla en

funcin de x, para evitar esto suele tenerse en cuenta dividir entre EI las ordenadas

del diagrama de momentos para obtener un diagrama M/EI (Diagrama de

momentos reducidos).

Cuando el rea del diagrama de momentos se compone de varias partes, (rea)

,representa el rea de todas estas partes

El momento del rea se toma siempre con respecto a la ordenada del punto cuya

desviacin se quiere obtener.

3. CONVECION DE SIGNOS:

DESVIACION: La desviacin tangencial de un punto cualquiera es positivo si el

punto queda por encima de la tangente con respecto a la cual se toma esta

desviacin y negativa si queda por debajo.

Entonces una desviacin positiva indica que el punto queda sobre la tangente de

referencia de lo contrario ser negativo.

PENDIENTE: Un valor positivo de la variacin de pendiente AB indica que la

tangente en el punto situado a la derecha de B se obtiene girando en sentido anti

horario la tangente trazada en el punto mas a la izquierda de A.

Es decir para pasar de la tangente A a la tangente B se gira en sentido anti horario

para giro positivo y viceversa en sentido negativo.

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4. DIAGRAMA DE MOMENTOS POR PARTES:

Se podr calcular con facilidad el rea de cualquier parte de un diagrama de

momentos.

Un procedimiento es integrar las ecuaciones Mdx y x(Mdx)

Sin embargo esto es muy complejo por ello se sigue un procedimiento que consiste

en dividir el diagrama de momentos en partes cuyas reas y centros de gravedad

sean conocidos (Diagrama de momentos por partes).

4.1. PRINCIPIOS:

El momento flexinate producido en una determinada seccin por un sistema de

cargas es igual a la suma de los momentos flexionantes producidos en la misma

seccin por cada carga actuando por separado.

4.2. EFECTO FLEXIONANTE DE CUALQUIER CARGA INDIVIDUAL :

( )

( )

NOTA:

Las reas de momento se toman con su signo (ya que los momentos poseen

signos propios).

Los brazos de momentos siempre son positivos

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( )

Ejemplo: Calcular el rea sombreada entre AB y la tangente A:

Se considera tomar un eje en supuesta condicin de empotrado para realizar el

diagrama de momentos por partes, este eje se ubicara en un punto donde acten

reacciones (fuerzas y momentos) o segn conveniencia (cambio de seccin de la

viga) ya que las reacciones que actan en dicho eje no se consideran para el

diagrama.

Ejemplo:

Calcular los diagramas de momentos por partes tomando como ejes a loos puntos:

A, B, C. Considerar tambin para determinados grficos el uso de cargas

compensadas.

Para el eje A:

Diagrama de momentos por partes eje A:

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Para el eje B:

Diagrama de momentos por partes eje B:

Para el eje C:

Tramo AB:

Tramo BC:

(

)

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(

)

Diagrama de momentos por partes eje C:

Por cargas compensadas eje C:

La viga equivalente ser:

Diagrama de momentos por partes eje C:

5. DEFORMACION DE VIGAS EN VOLADIZO:

La tangente trazada en el punto empotrado (A), es horizontal por lo que:

( )

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6. DEFORMACION DE VIGAS SIIMPLEMENTE APOYADAS:

Por relacin de tringulos:

Para el giro en A:

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Se sabe tambin:

7. DETERMINACIN DE LA POSICIN Y EL VALOR MXIMO DE LA DEFLEXIN:

METODO I:

Se comienza calculando la deflexin en un punto cualquiera a una distancia x del

apoyo izquierdo suponiendo que para x le corresponde mx.

Se obtendr la ecuacin de la flecha en funcin de x- {=f(x)}- calculando la flecha

en x.

Derivaremos la ecuacin {=f(x)} en funcin de x e igualaremos a cero por la teora

de mximos y mnimos se obtendr el valor de x para mx.

METODO II:

En el punto de la deflexin mxima la tangente de la elstica es horizontal.

De la figura A = AB de donde se calcula el valor de x para luego hallar la flecha

para una distancia x.

Aclaremos que esta equivalencia es efectiva en vigas simplemente apoyadas sometidas

a cualquier tipo de cargas.

Cuando las fuerzas aplicadas son unas positivas y otras negativas o son pares o se trata

de un voladizo la deflexin en el centro no guarda relacin con la deflexin mxima.

Por ejemplo en una viga simplemente apoyada con un par en el centro la en el centro es

nula y existe 2 deflexiones mximas, una positiva y otra negativa simtricas respecto al

centro.

8. DEFLEXION EN EL CENTRO DEL CLARO:

En una viga simple apoyada y simtrica cargada la tangente a la elstica en el punto

medio del claro es horizontal y paralela a la posicin de la viga descargada.

En tal caso la desviacin de cada extremo apoyado con respecto a esta tangente es igual

a la deflexin del centro.

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En el caso de vigas simplemente apoyadas pero con cargas no simtricas la deflexin en

el punto medio puede calcularse como anteriormente se explic, basta aadir una carga

simtrica colocada con respecto al centro por cada carga real.

La deflexin real en el centro ser la mitad de la calculada en la viga modificada.

9. Ejemplos:

9.1. Determine el valor de la deflexin en el punto D.

Solucin:

Clculo de las reacciones:

Diagrama de la elstica: El diagrama presenta 2 posibles curvas elsticas.

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Entonces se tendr 2 opciones por lo cual se escribir una ecuacin para cada

opcin; por relacin de tringulos:

ELASTICA 1:

ELASTICA 2:

Diagrama de momentos reducidos por partes en C (M/EI).

Al colocar el eje C se anulan las cargas en este punto y se considera empotrado,

aqu se muestra el diagrama de momentos flectores para cada una de las fuerzas:

( )

Clculo tA/C = rea (AC) . x A

(

)

(

)

Clculo tD/C = rea (DC) . x C

(

)

Como tD/C es negativo indica que D esta debajo de Tg C

Clculo del valor H:

Como H es numricamente mayor que tD/C se concluye que la elstica correcta es

la I.

Uso de la ecuacin para la elstica I.

(

)

9.2. Determine el valor de: Giro en el punto A y deflexin en el punto C.

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Por la esttica:

RA = 2T RD=2T

Diagrama de momentos por partes eje B:

Diagrama de momentos reducidos(M/EI):

Elstica:

Del grafico se desprende que:

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Donde:

(

( ))

( )

( )

(

( )

)

(

)

Para EI:

Para el giro:

Para la deflexin:

(

)

( )

( )

(

)

En la ecuacin:

( )

9.3. Determine el valor de la deflexin en el centro de la luz.

Solucin:

Modificando la viga simtricamente:

Por simetra y esttica:

RC = RA = 1600N

Elstica:

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Por ser simtrico conviene trabajar con media viga:

( )

( )( ) ( )

Diagrama de momentos por partes:

De la elstica:

( )

De las ecuaciones anteriores:

( )

[ ( ) ]

EL rea de AB es:

( )

tA/B es = rea (BA). x B

(

)

( )

(

)

De donde la deflexin ser:

[

( ) ]

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10. APLICACIN DEL MTODO DE REA MOMENTO A VIGAS HIPERESTTICAS:

En una viga empotrada y apoyada, se aplica la condicin de que la desviacin del

apoyo con respecto a la tangente a la elstica en el empotramiento sea nula o

adquiera un valor conocido si el apoyo no esta al mismo nivel.

En las vigas doblemente empotradas dado que las tangentes a la elstica en los

extremos son horizontales la variacin total de la pendiente entre los extremos es

nula (AB=0).

Si los extremos estn al mismo nivel la desviacin de B respecto a la tangente B es

cero (tA/B=0).

De donde se tiene las siguientes condiciones:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

Las tres ecuaciones no son independientes, dos cualesquiera de ellas junto con la

de la esttica determinan las 4 restricciones.

Como norma prctica se recomienda usar primero la ecuacin (a) y una de las

otras dos.

Ejemplo:

Solucionar la viga mostrada, sometida a la accin del sistema de carga indicado.

Solucin:

Diagrama de momentos reducidos.

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Resumen del clculo:

FIGURA AREA x B x C

1 -32/EI 8/3 29/3

2 -48/EI 2 9

3 28RC/EI

2 9

4 8RC/EI

8/3 29/3

5 -18/EI

----- 6

6 49RC/EI

----- 14/3

7 -128/3EI

3 10

8 8RB/EI 8/3 29/3

Condiciones tB/A = 0 y tC/A = 0

Clculo de tB/A =rea (BA). x B

(

)

( )

( )

(

)

(

)

(

)

( )

Clculo de tC/A =rea (CA). x C

(

)

( )

( )

(

) (

)

(

)

( )

( )

( )

Reemplazar (1) y (2) y aplicando la esttica se obtiene:

RC = 0.95 T

RB = 11.06 T

RA = 7.99 T

RC = 5.32 T-m