INTRODUCCION

En el análisis de las vigas suelen dividirse en vigas isostaticas e hiperestáticas recordemos

que esta división corresponde a las condiciones de apoyo que presente el elemento a analizar. Si la

viga tiene un numero igual o inferior o tres incognitas en sus reacciones, bastara aplicar las

condiciones de equilibrio estatico para resolverla.

Si en cambio, la viga presenta un mayor numero de incognitas, no bastara con las

ecuaciones antes indicadas sino que será necesario incorporar nuevas expresiones

En este capitulo denominado Método del Área de Momento. Se utilizarán algunas

propiedades geométricas de la curva de la elástica para así poder determinar tanto la pendiente

como la deflexión de la viga en un punto cualquiera.

En el presente trabajo podremos apreciar que en lugar de expresar el momento flector como

una función M(x) e integrar esta función analíticamente, haremos el diagrama que representa la

variación de M/EI a lo largo de toda la viga, además evaluaremos algunas áreas definidas por el

diagrama así mismo los momentos de las mismas áreas.

Este método del área de momento es un procedimiento que generalmente es muy útil

cuando se desea obtener las pendientes y las deflexiones solamente en ciertos puntos

seleccionados a lo largo de la viga.

Se podría decir también que este método del área de momento es mucho más conveniente

que el método de integración cuando la viga es sometida a varias cargas concentradas o a cargas

distribuidas discontinuas y es particularmente efectivo cuando se trata de una viga de sección

transversal variable.

El método que estudiamos está basado en dos teoremas el cual detallaremos mas adelante

pero que presentaremos a continuación:

1. El ángulo o cambio de pendiente entre las tangentes en dos puntos cualesquiera de una

elástica continua es igual al área del diagrama M/EI comprendida entre dichos puntos.

2. La distancia de un punto B” de una elástica continua medida perpendicularmente al eje

primitivo AB a la tangente trazada por otro punto A” de dicha curva es igual al momento respecto a B

del área del diagrama M/EI comprendida entre dichos puntos.

GENERALIDADES

OBJETIVOS:

El objetivo principal de estudiar y de aprender el método del área de momento es que el alumno

esté en la capacidad de poder graficar correctamente los diagramas de momentos flectores. Además

de que pueda calcular las pendientes y las deflexiones en cualquier punto de una viga.

LIMITACIONES DEL TRABAJO:

Aplicar los teoremas en vigas hiperestáticas.

Interpretar correctamente los teoremas de Mohr.

Graficar correctamente el Diagrama de Momentos.

JUSTIFICACION DEL TRABAJO:

Conocer la teoría o conceptos básicos del método del área de momentos para así poder dar

solución a problemas relacionados con la pendiente y la deflexión en vigas.

Analizar la curva elástica de la viga la que se deforma debido a las cargas existentes para

así saber como diseñar estructuras considerando la deformación que pueda tener al ser

sometido a cargas.

GLOSARIO DE TERMINOS:

EI: Rigidez a la Rigidez

MARCO TEORICO

Un método muy útil y sencillo para determinar la pendiente y deflexión en las vigas es el Método

del Área de Momentos, en el que intervienen el área del diagrama de momentos y el momento de

dicha área. Se comienza, en primer lugar, por lo dos teoremas básicos de este método; luego, una

vez calculadas las áreas y los momentos de estas áreas del diagrama de momentos, se aplica el

método a varios tipos de problemas. El método está especialmente indicado en la determinación de

la pendiente o de la deflexión en puntos determinados, más que para hallar la ecuación general de la

elástica. Como en su utilización se ha de tener en cuenta la forma y relaciones geométricas en la

elástica, no se pierde el significado físico de lo que se está calculando.

El método del área de momentos está sujeto a las mismas limitaciones que el de la doble

integración. Sin embargo para verlo en su totalidad, como un conjunto completamente

independiente, se repite una pequeña parte de lo dicho en la sección cualquiera. La figura 1-a

representa una viga simplemente apoyada con una carga cualquiera. La Elástica, como intersección

de la superficie neutra con el plano vertical que pasa por los centroides de las secciones, se

representa en la figura 1-b, aun que sumamente exagerada. El diagrama de momentos se supone

que es el representado en lafigura1-c.

Al igual que en la deducción de la fórmula de la deflexión, dos secciones planas adyacentes,

distantes una longitud dx sobre una viga inicialmente recta, giran un ángulo dθ una respecto a la

otra. Se puede ver con más detalle en la parte CD ampliada en la figura 1-b. el arco ds medido a lo

largo de la elástica entre las dos secciones es igual , siendo ρ el radio de curvatura de la

elástica en ese punto. Se tiene la ecuación:

Y como , ahora escribimos:

O bien:

En la mayoría de los casos prácticos, la elástica es tan llana que no se comete error

apreciable suponiendo que ds es igual a su proyección dx. En estas condiciones, se tiene:

Evidentemente, dos tangentes trazadas a la elástica en C y D, como en la figura 1-b, forman

el mismo ángulo dθ que el que forman las secciones OC y OD, por lo que la desviación angular, o

ángulo entre las tangentes a la elástica en dos puntos cualesquiera A y B, es igual a la suma de

estos pequeños ángulos:

Obsérvese también, figura 1-b, que la distancia desde el punto B de la elástica, medida

perpendicularmente a la posición inicial de la viga, hasta la tangente trazada a la curva por otro

punto cualquiera A, es la suma de los segmentos dt interceptados por las tangentes sucesivas

trazadas a la elástica en puntos sucesivos. Cada uno de estos segmentos dt interceptados por las

tangentes sucesivas trazadas a la elástica en puntos sucesivos. Cada uno de estos segmentos dt

puede considerarse como un arco de radio x y ángulo

De donde

Sustituyendo dθ por su valor en la ecuación (b) (d)

La longitud tB/A se llama desviación de B con respecto a una tangente trazada por A, o bien,

desviación tangencial de B con respecto a A. La figura 2 aclara la diferencia que existe entre la

desviación tangencial tB/A de B respecto de A y la desviación tA/B de A con respecto a B. En

general, dichas desviaciones son distintas.

Figura 2. En general, tA/B no es igual a tB/A

El significado geométrico de las ecuaciones (c) y (d) conduce a los dos teoremas

fundamentales del método del área de momentos. En el diagrama de momentos flexionantes de la

figura, se observa que M dx es el área del elemento diferencial rayado situado a distancia x de la

ordenada que pasa por B. Ahora bien, como es la suma de tales elementos, la ecuación (c) se

puede escribir en la forma:

Esta es la expresión algebraica del Teorema I, que se puede enunciar como sigue:

Teorema 1:

La derivación angular, o ángulo entre las tangentes trazadas a la elástica en dos puntos

cualesquiera A y B, es igual al producto de 1/EI por el área del diagrama de momentos flexionantes

entre estos dos puntos.

La figura 6-8c muestra como la expresión que aparece dentro de la integral en la

ecuación (d) es el momento del área del elemento rayado con respecto a la ordenada en B.

Por tanto, el significado geométrico de la integral de es el momento con respecto

a la ordenada en B del área de la porción del diagrama de momentos flexionantes comprendida

entre A y B. Con ello la expresión algebraica es:

El área bajo el diagrama de curvatura entre dos puntos A y B es igual al cambio en las

pendientes entre esos dos puntos sobre la curva elástica.

Ángulo tangente en B medido desde la tangente en A.

Se mide en radianes.

Áreas positivas indican que la pendiente crece.

Teorema 2:

La desviacion tangencial de un punto B con respecto a la tangente trazada a la elástica en

otro punto cualquiera A, en direccion perpendicular a la inicial de la viga, es igual al producto de 1/EI

por el momento con respecto a B delo área de la porción del diagrama de momentos entre los

puntos A y B.

El producto EI se llama rigidez a la flexión. Obsérvese que se ha supuesto tácticamente que

permanecían constantes en toda la longitud de la viga, que es un caso muy común.

Sin embargo, cuando la rigidez es variable, no puede sacarse EI del signo integral, y hay

que conocerla en función de x. tales variaciones suelen tenerse en cuenta dividiendo entre EI las

ordenadas del diagrama de momentos para obtener de esta manera un diagrama de M/EI al que se

aplican los dos teoremas, en vez de aplicarlos al diagrama de M.

En los dos teoremas representa el área de diagrama de momentos entre las

ordenadas correspondientes a los puntos es el brazo de momento de ésta área con

respecto a B. El momento de área se toma siempre respecto de la ordenada del punto cuya

desviación se desea obtener.

Por teoría de los ángulos pequeños tenemos:

Si sumamos todos los desplazamientos verticales obtenemos la desviación vertical entre las

tangentes en A y B.

Momento de primer orden con respecto a A del área bajo la curva de entre A Y B.

El teorema es: “La desviación de la tangente en un punto A sobre la curva elástica con

respecto a la tangente prolongada desde otro punto B, es igual al momento del área bajo la curva

M/EI entre los puntos Ay B con respecto a un eje A.

Se cumple siempre cuando en la curva no haya discontinuidades por aarticulaciones.Esta

desviación siempre es perpendicular a la posición original de la viga y se denomina flecha.

Convencion de signos

Los convenios de signos siguientes son de gran importancia: la esviacion tangencial de un

punto cualquiera es positiva si el punto uqeda por encima de la tangente con respecto a la cual se

toma esta desviación, y negativa si queda debajo de dicha tangente.

El otro convencionalismo es el que se refiere a las pendientes. Un valor positivo de la

variacion de pendiente qAB indica que la tangente en el punto situado a la derecha, B, se obtiene

girando en sentido contrario al del reloj la tangente trazada enel punto mas a la izquierda, A, es

decir, que para pasar de la tangente en A a la tangente en B se gira en sentido contrario al del reloj,

y viceversa para los valores negativos de

EJERCICIOS

EJERCICIO Nº 1: Calcular la flecha máxima de la figura mostrada. Donde EI=Constante

q

L

SOLUCIÓN:

GRAFICO DEL DIAGRAMA DEL MOMENTO FLECTOR:

GRAFICO DEL DIAGRAMADE MOMENTOS REDUCIDOS

GRAFICA DEL EJE ELASTICO DEFORMADO

CALCULO DE LAS DESVIACIONES:

⁄

(

) (

)

⁄

(

) (

(

))

⁄

( ⁄)

EJERCICIO N° 2

Calcular en el ejercicio los giros en B y C; además la ubicación de la flecha máxima en BC. Utilizar

para su solución el método área de momentos.

Datos:

EI=KTE para toda la viga

SOLUCION: Lo primero a realizar es trazar sus diagramas de momento flector y sus diagramas de

momento reducido. Suponemos al momento en C negativo

Luego dibujamos una deformación aproximada:

TRAMO

Entonces aplicamos el principio de en la viga

Luego el segundo teorema:

(

)

Luego reemplazando y simplificando:

TRAMO

Luego el segundo teorema:

(

)

Luego reemplazando y simplificando:

Al salir el resultado negativo quiere decir que la suposición no fue la correcta.

Luego reemplazando en cualquiera de las ecuaciones

Con los resultados obtenidos la grafica sería: en BC

Y para hallar hacemos

(

)

Ahora en la viga BC dibujada correctamente con sus momentos calculamos su ubicación de la

flecha máxima. Aplicando el primer teorema en

(

(

))

De la grafica se tiene

Despejando x se tiene

X = 1.1698

EJERCICiO N° 3 : Halle la pendiente y la deflexión en el punto D

EJERCICIO N° 4

∑

⁄

⁄

⁄

(

)

⁄

⁄

(

)

⁄ (

) (

)

⁄

⁄

ANEXOS:

AREAS Y CENROS DE GRAVEDAD. PARA LA RESOLUCION DE PROBLEMAS: