FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL

DOCENTE: ING. JORGE VÁSQUEZ

TEMA: METODO DE LOS TRES MOMENTOS

ASIGNATURA: RESISTENCIA DE LOS MATERIALES II

ALUMNO : ESCALANTE MELENDEZ GROVERT

TARPOTO – PERÚ

2015

ÍNDICE:

Introducción……………………………………………………..……. IObjetivos………………………………………………………..…….. IIFundamentos teóricos

TEMA

1.1METODO DE LOS TRES MOMENTOS …….…………………………………………………………………III

1.2DEDUCCION DE LA ECUACION DE CLAPEIRON

……………………………………………………………….……..IV1.3SOLUCION DE VIGAS CONTINUAS

……………………………………………………………….….….V1.4CASOS DE ACENTAMIENTOS DE APOYO Y DE EMPOTRAMIENTO

ELASTICO DE GIRO Y DESPLAZAMIENTO TRANSVERSAL ……….…………………………………………………………..…VI

Conclusiones…………………………………………………….... VIIBibliografías…………………………………………………………………..VIII

INTRODUCCIÓN

En los capítulos anteriores se estudió dos métodos los cuales nos ayudaban a calcular las desviaciones angulares y tangenciales en una viga sometida a cargas externas. 

El teorema general de los tres momentos más que un teorema es una fórmula que relaciona los tres momentos en tres apoyos de una viga continua, que nos es muy útil en el cálculo de momentos en estos apoyos.

Además, este método nos simplifica el proceso de cálculo de los momentos flectores con los cuales se procede al trazado de los ya conocidos: DMFy DFC. 

Con la aplicación directa de la fórmula, el proceso se simplifica y se vuelve un proceso netamente matemático rápido de desarrollar y fácil de interpretar.

OBJETIVOS:

OBJETIVO GENERAL

La Resistencia de Materiales II tiene como finalidad elaborar métodos simples de cálculo, aceptables desde el punto de vista práctico, de los elementos típicos más frecuentes de las estructuras, los elementos de máquinas y el equipamiento electromecánicos, empleando para ello diversos procedimientos aproximados.

OBJETIVO ESPECIFICO

El objetivo principal de estudiar y de aprender el método del área de momento es que el alumno esté en la capacidad de poder graficar correctamente los diagramas de momentos flectores. Además de que pueda calcular las pendientes y las deflexiones en cualquier punto de una viga.

FUNDAMENTO TEORICO

El ingeniero francés Clapeyron en 1857; enunció por primera vez la ecuación fundamental de los tres momentos. “La ecuación de los tres momentos es aplicable a tres puntos cualquiera de un viga, siempre que no haya discontinuidades, tales como articulaciones, en esa parte de la estructura”. Entonces, este método sirve para hallar los momentos en los apoyos de una viga hiperestática, o en puntos característicos o notables de la viga. Al aplicar la ecuación fundamental de los tres momentos, a tres puntos de apoyo consecutivos i , j , k , los términos del corrimiento del segundo miembro de la ecuación serán nulos o iguales a movimientos conocidos de los puntos de apoyo; obteniendo de esta manera una ecuación que contiene, como únicas incógnitas, a los momentos en los apoyos. Esto significa, que podemos escribir una ecuación en forma independiente, para tres puntos de apoyo consecutivos en una viga continua. De esta manera, se llega a un sistema compatible “n” ecuaciones independientes con “n” incógnitas que son los movimientos en los apoyos, los cuales se hallan resolviendo el sistema. Cuando en una estructura continua, tenemos un apoyo extremo empotrado, la forma de salvarlo lo veremos en los ejercicios de aplicación.

Vigas Continuas 

Cuando se trabajan con vigas con más de un tramo, las reacciones no pueden ser calculadas estáticamente. Una forma de resolverlas es aplicando el Teorema de los Tres Momentos, el cual puede ser utilizado también para resolver vigas de un solo tramo. Esta ecuación puede ser expresada de la siguiente manera: 

Los términos: 

Pueden obtenerse fácilmente de la siguiente tabla, que agrupa los 6 tipos de cargas básicos.

Estos tipos básicos de carga pueden combinarse para obtener tipos más complejos, sumándose o restándose. 

Si se va a trabajar con más de dos tramos, deben escribirse una ecuación de Tres Momentos por cada par de tramos consecutivos. Por ejemplo: 

Ecuación Generalizada:

Sea una viga sometida a una carga cualesquiera y soportada de forma arbitraria.

A esta viga le hemos cortado por tres puntos cualesquiera (1), (2) y (3). Además hemos reemplazado los efectos de cargas y fuerzas a la derecha o

Figura n°01

321

2L1L

CualquieraCarga

1R2R

izquierda de cada sección de corte por la fuerza cortante y momento flector como se muestra a continuación:

Las longitudes de los tramos será L1 y L2 ; y los momentos flectores serán M 1 , M 2 y M 3 que como están presentadas serán positivos.

Los cortantes serán V 1 ,V ’2 ,V 2 ’ ’ yV 3 .V ’ 2 y V 2’ ’ no necesariamente son iguales dependiendo de lo que haya en el punto (2).

De acuerdo a la convenciónV 1 y V 2’ ’son positivos y V ’2 yV 3son negativos.

De esta manera hemos transformado cada uno de los tramos en una viga simplemente apoyada con dos estados de carga.

Por un lado la carga real del tramo y por otro lado los pares aplicados en sus extremos, como se muestra a continuación.

Para la demostración de la fórmula de tres momentos lo haremos en base al método de área de momentos.

En nuestro análisis hemos considerado que los momentos M 1 , M 2 y M 3 son positivos. En el esquema anterior se presentan en forma genérica los diagramas de momentos debido a cargas (ver figura c) y los diagramas debido a los momentos en los nudos (figura d).

A continuación mostraremos la elástica de la viga analizada. La tangente trazada a la elástica en el punto (2) determina las desviaciones tangenciales t 1/2 y t 3/2 de los puntos (1) y (3) respectivamente y la recta trazada por dos paralelas a la posición inicial de la viga que por comodidad supondremos horizontal determina la altura de los puntos (1) y (3) respecto del dos, alturas que son h1 yh3.

Del gráfico tenemos que:

De donde

Los valores de las desviaciones tangenciales vienen dadas por:

Donde ( Área)12 . x3 es el momento del área del diagrama de momentos flectores entre los puntos 1 y 2 respecto del punto 1.

Como se puede ver en la figura 3 de este capítulo el diagrama de momentos flectores se ha descompuesto en el área A1 (fig. 3c) y las dos áreas triangulares en que se descompone el área trapezoidal producida por los dos pares extremos (fig 3d). Lo mismo sucede con el área del tramo 32.

De esta manera y con la ayuda de la figura tres podemos concluir que:

La desviación del punto (1) respecto de la tangente en (2), viene dada por:

Y la desviación tangencial de 3 respecto de la misma tangente en dos:

Sustituyendo las ecuaciones 1 y 2 en a y simplificando:

DEDUCCIÓN DE LA ECUACIÓN DE CLAPEYRON

En 1857, Clapeyron presentó a la Academia Francesa su “Teorema de los tres Momentos” para el análisis de las vigas continuas, en la misma forma que BERTOT la había publicado dos años antes en las Memorias de la Sociedad de Ingenieros Civiles de Francia, pero sin darle crédito alguno. Puede decirse que a partir de este momento se inicia el desarrollo de una verdadera “Teoría de las Estructuras”. Por medio de este teorema puede analizar una viga apoyada por cualquier número de apoyos, esto se debe a que relaciona los momentos flexionantes en 3 apoyos entre sí y con las cargas que se encuentran en la viga.

La ecuación de los tres momentos expresan una relación entre los momentos flectores en tres puntos cuales quiera de una viga cualquiera.

Este método toma como incógnitas hiperestáticas los momentos flectores: M2, M3, Mm-1 que actúan en las secciones transversales correspondientes a los m-2 apoyos intermedios. Método de cálculo: se sustituye la viga continua por m-1 vigas isostáticas equivalentes, simplemente apoyadas, en cuyos extremos se sitúan las ligaduras internas con los tramos contiguos de los que las hemos liberado, es decir, las resultantes y los momentos resultantes de las cargas que quedan a un lado de dichos extremos.: F2, M2, F3, M3

Desarrollemos pues a continuación estas ecuaciones de deformación y para ello tomemos dos vigas isostáticas equivalentes, correspondientes a dos tramos consecutivos n y n+1 de la viga continua:

Convención de signos

Regla de Signos:

En la deducción de la Ecuación General de los Tres Momentos se ha hecho la hipótesis de que los momentos flexionantes en los tres puntos son positivos y que los puntos 1 y 3estaban situados por encima del punto 2. Si el momento flexionante en cualquiera de los puntos es negativo habrá que considerarlo con signo menos al sustituir su valoren la ecuación. Recíprocamente, si al resolver la ecuación sale un valor negativo para cualquiera de los momentos, es que en realidad es negativo. Las alturas h1 y h3son positivas si los puntos si los puntos 1 y 3 quedan por encima del 2,

y son negativos, o se obtendrán con signo menos, si el punto 1 o el 3 están por debajo del punto 2.

Vigas Continuas

Si las cargas y luces difieren bastante podemos emplear el método de Cross que nos proporciona solo los momentos de apoyo. Es más laborioso pero muy exacto. Después calculamos todos los demás valores. El método de Cross es muy usual que se aplique en vigas y en losas.

El método de Cross fue desarrollado por el ingeniero de estructuras estadounidense Hardy Cross. El método de Cross hizo posible el diseño eficiente y seguro de un gran número de construcciones de concreto armado durante mucho tiempo.

Para utilizar el método de Cross como para otros métodos es necesario conocer los momentos de empotramiento perfecto y reacciones de las vigas, esto según el tipo de carga y formas de los apoyos.

las más comunes en la práctica del cálculo estructural está en la siguiente tabla:

De donde las tres primeras columnas corresponden a cargas uniformemente repartidas: en voladizo, doble empotrada y empotrada y apoyada. Las dos últimas columnas corresponden a cargas puntuales en viga doble empotrada y empotrada y apoyada.

CASOS DE ACENTAMIENTOS DE APOYO Y DE EMPOTRAMIENTO ELASTICO DE GIRO Y DESPLAZAMIENTO TRANSVERSAL

En este contexto, existen algunas expresiones de uso común propuestas en diferentes códigos de diseño tales como AASTHO , las cuales son aplicables a la mayoría de los casos. No obstante por las características tan especiales que presenta el suelo de la ciudad de México es importante realizar estudios propios sobre el efecto de la acción sísmica en los puentes en donde se mejoren las expresiones contenidas en los citados manuales

Del trabajo que aquí se presenta se encontró que el factor principal que determina la longitud de apoyo necesaria es la relación de periodos de vibrar de las pilas adyacentes. Sin embargo, las variaciones en el movimiento del suelo en cada soporte cuando los periodos de vibrar son muy parecidos son un factor muy importante para determinar la longitud de apoyo. Dicha longitud se incrementa cuando el periodo de vibrar del puente coincide con el periodo dominante del suelo.

FACTORES QUE INFLUYEN EN LOS DESPLAZAMIENTOS RELATIVOS Un puente sometido a las acciones provocadas por un sismo puede experimentar diferencias de desplazamiento horizontal en la subestructura tanto en dirección longitudinal como en transversal debido a varios factores. Según la configuración de la estructuración se pueden tener dos casos, uno donde la estructura sea continua, es decir, que la superestructura esté unida monolíticamente con cada elemento de la subestructura, y el segundo caso cuando cada elemento de la subestructura es independiente de los demás. En este segundo caso, en el que se enfoca este estudio, los elementos de la superestructura se encuentran simplemente apoyados sobre los elementos que componen la subestructura, por lo que tienen cierta libertad de desplazamiento horizontal.

Aspectos estructurales Al presentarse diferencias en la geometría de las pilas, estas no tendrán la misma rigidez y por consecuencia tendrán diferente periodo de vibrar, por lo que se presentarán respuestas también

diferentes entre si. Tal es el caso de los puentes irregulares mostrados en la figura 2 que presentan variaciones en la altura de las pilas y en la longitud de los claros. Otro factor del cual depende el periodo de vibrar es la masa de la estructura, que en el caso de puentes varía de una pila a otra en función de longitud de separación entre estas.

Efecto del paso de las ondas Las ondas sísmicas arriban a cada pila en tiempos diferentes, lo cual depende de la geometría del puente y del ángulo de arribo de las ondas. Ese ángulo, con respecto al eje longitudinal del puente, genera una diferencia en el tiempo de llegada de la onda entre las pilas que se puede expresar mediante la siguiente ecuación obtenida a partir de lo expuesto

Ejercicios planteados

CONCLUSIONES

Los mismos métodos para determinar la deformación de las vigas son válidos para la resolución de vigas hiperestáticas, ya que las ecuaciones adicionales para hacer un sistema matemáticamente determinado son tomadas de la elástica de la viga. Cuando exista un empotramiento en el extremo de una viga continua, para aplicar el teorema de los tres momentos se añade un tramo ficticio sin carga y sin longitud en ese extremo, de manera que pueda plantearse una nueva ecuación para resolver ese momento de empotramiento.

BIBLIOGRAFIAS

-Resistencia de Materiales

Pytel- Singer 4ª Edición

- Google: Buscador de imágenes

- Pontificia Universidad Católica del Perú (PUCP); Curso Interactivo de Resistencia de Materiales.

- http://www.wikipedia.com/

- http://www.lamolina.edu.pe/

- http://www.aisto.com/

- http://www.monografías.com/