1. Aritmética de los números reales JUEVES 13 DE FEBRERO 2014

El sistema de los números reales son todos los puntos de una recta. La recta es una regla infinitamente larga con puntos elegidos. Los números reales positivos se marcan al lado derecho del cero y los reales negativos a la parte izquierda del cero. Una recta marcada con números se llama recta numérica. Un punto asignado de un número se llama la grafica de un número y el número asignado a un punto se llama coordenada del punto. Los números reales son el conjunto de todos los números que puedan medir longitudes e incluyen valores negativos y el cero.

GRAFICA DE UN PUNTO, COORDENDA DEL PUNTO

Números Naturales – Los números naturales forman parte de los números reales. Sirven para designar la cantidad de elementos que tiene un cierto conjunto

Características de los Números Naturales

1. Los números naturales son infinitos.

2. El conjunto de todos ellos se designa por N: N = {0, 1, 2, 3, 4,…, 10, 11, 12,…}

3. Los números naturales son los primeros que surgen en las distintas civilizaciones.

4. Entre los números naturales están definidas las operaciones adición y multiplicación.

5. La sustracción, sin embargo, no es una operación interna en N.

6. La división tampoco es una operación interna en N.

Números Enteros - Número entero, cualquier elemento del conjunto formado por los números naturales y sus opuestos. El conjunto de los números enteros se designa por Z:

Z = {…, -11, -10,…, -2, -1, -0, 1, 2,…, 10, 11,…}

Números Racionales – Son el conjunto de números fraccionarios y números enteros representados por medio de fracciones. Este conjunto está situado en la recta real numérica pero a diferencia de los números naturales que son consecutivos, por ejemplo a 4 le sigue 5 y a este a su vez le sigue el 6, y los números negativos cuya consecución se da así, a -9 le sigue -8 y a este a su vez le sigue -7.

Números Irracionales - Son todos aquellos que no pueden escribirse en forma de fracción debido a que el decimal sigue indefinidamente sin repetirse. No se pueden expresar como una razón entre dos números.

Un estudiante de Pitágoras llamado Hipaso descubrió los números irracionales cuando intentaba escribir en forma de fracción la raíz cuadrada de 2 sin conseguirlo, por lo que definió esto como irracional.

Números Primos -  Un número primo es un número entero mayor que cero, que tiene exactamente dos divisores positivos.

Ejemplos:

a) El 7 es primo. Sus únicos divisores son 1 y 7. Sólo puede expresarse como producto de 7·1.

b) El 15 no es primo. Sus divisores son 1, 3, 5 y 15. Puede expresarse como 3·5 & 15·1

Ley de los Signos – Suma & Resta

Valor Absoluto

Teoría de Divisibilidad

1. Un número es divisible por 2 si es par.

Ejemplo: 47,670 / 2 = 23, 335

2. Un número es divisible por 3 si la suma de sus dígitos es un múltiplo de tres.

Teoría de Divisibilidad

1. Un número es divisible por 2 si es número par.

Ejemplo: 47,670 / 2 = 23,835

2. Un número es divisible por 3 si la suma de sus dígitos es un múltiplo de tres.

Ejemplo: 4+7+6+7+0 =24, y 24 es divisible por 3.

47,670 / 3 = 15,890

3. Un número es divisible por 5 si termina en cero o cinco.

Ejemplo: 47,670 / 5 = 9,534

4. Un numero es divisible por 6 si es divisible por 2 y 3

Divisor: Número que divide al dividendo. Por ejemplo, cuando se divide 10 entre 2 (10÷2 = 5), 2 es el divisor.

Dividendo: La cantidad que se quiere dividir.

Propiedades de la adición de Números Naturales

1.- Asociativa:

Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:

(a + b) + c = a + (b + c)

Por ejemplo:

(7 + 4) + 5 = 11 + 5 = 16

7 + (4 + 5) = 7 + 9 = 16 Los resultados coinciden, es decir,

(7 + 4) + 5 = 7 + (4 + 5)

2.-Conmutativa

Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que:

a + b = b + a

En particular, para los números 7 y 4, se verifica que:

7 + 4 = 4 + 7

3.- Elemento neutro

El 0 es el elemento neutro de la suma de enteros porque, cualquiera que sea el número natural a, se cumple que:

a + 0 = a

Propiedades de la Multiplicación de Números Naturales

La multiplicación de números naturales cumple las propiedades asociativa, conmutativa, elemento neutro y distributiva del producto respecto de la suma.

1.-Asociativa

Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:

(a · b) · c = a · (b · c)

Por ejemplo:

(3 · 5) · 2 = 15 · 2 = 30

3 · (5 · 2) = 3 · 10 = 30

Los resultados coinciden, es decir,

(3 · 5) · 2 = 3 · (5 · 2)

2.- Conmutativa

Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que:

a · b = b · a

Por ejemplo:

5 · 8 = 8 · 5 = 40

3.-Elemento neutro

El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque, cualquiera que sea el número natural a, se cumple que:

a · 1 = a

4.- Distributiva del producto respecto de la suma

Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:

a · (b + c) = a · b + a · c

Por ejemplo:

5 · (3 + 8) = 5 · 11 = 55

5 · 3 + 5 · 8 = 15 + 40 = 55

Los resultados coinciden, es decir,

5 · (3 + 8) = 5 · 3 + 5 · 8

Propiedades de la División de Números Naturales

NOTA: La división no tiene la propiedad conmutativa. No es lo mismo a/b que b/a.

Algoritmo de Euclides.

Euclides fue un matemático y geómetra griego. Se LE conoce como "El Padre de la Geometría.

Teorema - Un teorema es una formula o proposición que afirma una verdad demostrable.

El Máximo Común Divisor (MCD ) – Se define como el divisor más grande que ambos números tienen en común.

Ejemplo:

El Mínimo Común Múltiplo (MCM) – Se define como el múltiplo más pequeño que ambos números tienen en común.

Que es un Múltiplo

Los múltiplos de un número son lo que tienes cuando lo multiplicas por otros.

Aquí tienes ejemplos:

Que es un Múltiplo Común:

Si tienes dos (o más) números, y miras entre sus múltiplos y encuentras el mismo valor en las dos listas, esos son los múltiplos comunes a los dos números. 

Por ejemplo, si escribes los múltiplos de dos números diferentes (digamos 4 y 5) los múltiplos comunes son los que están en las dos listas:

Los múltiplos de 4 son 4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,44,...Los múltiplos de 5 son 5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,... ¿Ves que 20 y 40 aparecen en las dos listas? Entonces, los múltiplos comunes de 4 y 5 son: 20, 40 (y 60, 80, etc. también)

Qué es el "mínimo común múltiplo"

Es simplemente el más pequeño de los múltiplos comunes. En el ejemplo anterior, el menor de los múltiplos comunes es 20, así que el mínimo común múltiplo de 4 y 5 es 20.

Como se Calcula el Mínimo Común Múltiplo:

En realidad es muy fácil de hacer. Sólo escribe los múltiplos de los números hasta que encuentres uno que coincida.

Orden de Operaciones y Signos de Agrupación MARTES 18 DE FEBRERO 2014

Existen prioridades en las operaciones y van de la siguiente manera:

1. Potencias

2. Signos de Agrupación. Paréntesis: ( ) Corchetes: [ ] Llaves: { }

3. Producto, división, suma, resta.

Ejemplos:

(-12) / (-3) + 8

4 + 8 = 12

Ejemplos:

Simplificar: -3 + (6) (5) = -3 + 30 = 27

Ejemplos:

3 + 25 x 3 – 18 / 6

= 3 + 25 x 3 – 3

= 3 + 75 – 3

= 75

Ejemplos:

| - 3 | + 2 x 3^2 – 5 x 4 / (-2)

= 3 + 2(9) – 20 / (-2)

= 3 + 18 + 10

= 31

Ejemplos:

[3 (7-6) - 2] + 15 / (8 – 3)

= [3 (1) - 2] + 15 / 5

= [3 - 2] + 3

= 1 + 3

= 4

Productos y Divisiones Consecutivos

Caso 1 – Si las operaciones son simples

a1 x a2 x a3……las operaciones se efectúan de izquierda a derecha

Ejemplos:

3 x 5 x 10 / 2 x 7 = 525

3 x 5 x (10 / 2) x 7 = 525

15 x 5 x 7 = 525

Ejemplos:

20 / - 5 x 4 x -3 / 1 = -48

(20 / - 5) x 4 x (-3 / 1) = -48

-4 x 4 x 3 = -48

Caso 2 – Si las operaciones son combinadas a x (b + c) / (e + f)

1. Simplificamos las operaciones entre paréntesis.

2. Efectuamos los productos comprendidos entre la división.

3. Efectuamos la división.

Ejemplos:

20 (5 – 8) / 2(3 – 6)

= 20(-3) / 2(-39

= -60 / -6

= 10

Ejemplos:

-12 / 2(4-6) x-3

= -12 / 2(-2) x -3

= -12 / -4 x -3

= 3 x -3

= - 9