CURSO DE NIVELACIN

Apunte terico

Mdulo 1: Nmeros Reales

1NMEROS REALES

Teora de conjuntos

Se define a un conjunto como una coleccin de elementos. Para describir qu tipo de elementospertenecen al conjunto existen dos maneras: por extensin y por comprensin. Supongamos que loselementos del conjunto A son el nmero 2, el nmero 4 y el nmero 6, entonces,

Por extensin: Un conjunto se describe por extensin cuando se escriben explcitamente todoslos elementos que conforman el conjunto entre llaves y separados por comas (o punto y coma).En este caso el conjunto A descrito por extensin sera:

A = {2, 4, 6}

Por comprensin: Un conjunto se describe por comprensin cuando se escriben, entre llaves,una relacin entre los elementos del conjunto. Por ejemplo:

A = {x/ x es par y 2 x 6}esto se lee el conjunto A es igual a todos los x tales que x es un nmero par y es mayor oigual que 2 y menor o igual que 6.

Supongamos ahora que el conjunto B tiene infinitos elementos, y que sus elementos son los nmerospares mayores o iguales a 2. Slo podemos escribir al conjunto B por comprensin ya queresulta imposible escribir a todos sus elementos.

B = {x/ x es par y x 2}En algunos casos, se puede escribir un conjunto infinito de forma abreviada:

B = {2, 4, 6, . . .}

2Pero esto slo es posible cuando la secuencia de nmeros representada por los puntos suspensivosno resulta ambigua.

Ejemplos:A = {1, 2, 3, 4}B = {Argentina, Peru, Bolivia, Chile}C = {x / x es una letra del abecedario}D = {A, B, C} donde A, B y C son los conjuntos anteriores

Cuando un conjunto carece de elementos se llama conjunto vaco y se simboliza del siguientemodo:

C = {} = Es importante notar que el smbolo no se escribe entre llaves. Si escribimos, por ejemplo,D = {}, estamos diciendo que el conjunto D tiene como nico elemento al conjunto vaco (por lotanto D 6= ).

Para expresar que un determinado elemento pertenece (o no pertenece) a un conjunto dadoutilizamos la siguiente notacin:

2 A, se lee : 2 pertenece al conjuntoA

5 / A, se lee : 5 no pertenece al conjuntoAAnlogamente diremos que un conjunto B est incluido en el conjunto A si y slo si

todos los elementos de B pertenecen a A, es decir:

B A x B, x ASi B no est incluido en A escribiremos, B 6 A.

Es importante notar que el smbolo de pertenencia hace referencia a un elementoque pertenece a un conjunto, en cambio el smbolo de inclusin hace referencia aun subconjunto que esta incluido en otro conjunto.

En la ltima ecuacin hemos utilizado algunos smbolos como y . Veamos su significadoas podremos utilizarlo ms adelante.

p q significa: p es verdadera si q es verdadera y p es falsa si q es falsa. Se lee: si y slosi; sii.

3 es un cuantificador universal, x: P (x) significa: P (x) es verdadero para cualquier x. selee: para todos, para cualquier, para cada.

Otros smbolos matemticos que nos sern muy tiles son los siguientes:

es un cuantificador existencial x : P (x) significa: existe por lo menos un x tal que P (x)es verdadera. Se lee: existe por lo menos uno.

p = q significa: si p es verdadero entonces q es verdadero tambin; si q es verdadero entoncesnada se dice sobre p. Se lee: implica; entonces; por lo tanto.

Operaciones entre conjuntos

Interseccin: El conjunto A interseccin C es el conjunto tal que sus elementos pertenecen aA y a C, en smbolos es:

A C = {x/ x A y x C} (1)Una manera de simbolizar los conjuntos y las operaciones entre ellos es a travs de diagramasde Venn. En este caso la interseccin entre dos conjuntos cualesquiera A y C es la reginsombreada de la siguiente figura:

Unin: El conjunto A unin C es el conjunto tal que sus elementos pertenecen a A o a C, ensmbolos es:

A C = {x/ x A o x C} (2)En la siguiente figura vemos su representacin con diagramas de Venn:

4Resta: El conjunto A menos C es el conjunto tal que sus elementos pertenecen a A y nopertenecen a C, en smbolos es:

A C = {x/ x A y x / C} (3)Y su representacin con diagramas de Venn es:

Conjuntos de Nmeros

Nmeros Naturales, N: Son los nmeros que se utilizan para contar

N = {1, 2, 3, . . .}En este curso consideraremos que el nmero cero no est incluido en el conjunto de nmerosnaturales. En el caso de incluirlo usaremos la siguiente notacin:

N0 = N {0}Nmeros Enteros, Z: este conjunto est conformado por los nmeros naturales, sus correspon-

dientes negativos y el cero:

Z = {. . . ,3,2,1, 0, 1, 2, 3, . . .}Nmeros Racionales, Q: El conjunto de los nmeros racionales se define a partir del cociente

entre dos nmeros enteros, esto es:

Q = {x/ x = pq

, p Z, q Z y q 6= 0}

a p se lo llama numerador y a q se lo llama denominador de la fraccin pq.

Ejemplo: Los siguientes son nmeros racionales:

2

3

4

2

10

8

262

1

15

10

0

15847

89654

1452147

5Esta definicin incluye a los nmeros enteros ya que si q = 1 tendremos que:

p

q=

p

1= p, y p Z

Por lo tanto, Z Q.Los nmeros fraccionarios, F, son aquellos nmeros racionales que no son enteros.

F = Q Z

Los nmeros racionales se pueden escribir como una fraccin o como un nmero decimal.El nmero decimal cosrrespondiente a un nmero racional escrito de la forma p

qes igual al

resultado de dividir el numerador por el denominador. Por ejemplo, la fraccin 12es igual al

nmero decimal 0,5; 14= 0,25; 3

2= 1,5.

Existen casos en que el resultado de la divisin del numerador por el denominador da unnmero con infinitos decimales que se repiten con una secuencia determinada. Por ejemplo,13= 0,33333333..., 8

33= 0,252525..., 299

66= 4,53030303030..... A estos nmeros decimales se los

llama peridicos. La notacin que suele utilizarse para las cifras que se repiten es la siguiente:0, 33333333... se escribe 0, 3, del mismo modo 0, 252525... = 0, 25 y 4, 5303030... = 4, 530.

Hay que tener en cuenta que cuando decimos que un nmero tiene infinitos decimales estamosexcluyendo el caso de tener infinitos ceros, ya que todos los nmeros decimales se puedenescribir con infinitos ceros a la derecha. Por ejemplo, 0,5 = 0,500 = 0,5000000000 = 0,50.

Cmo pasar un nmero decimal a fraccin

La estrategia que utilizaremos para poder hacer el pasaje a fraccin va a depender de lacantidad (finita o infinita) de decimales que tenga el nmero. Vamos a explicarlas con algunosejemplos.

Ejemplo 1: Nmeros con finitos decimales

Para pasar un nmero con finitos decimales a fraccin (una divisin de nmeros enteros)hacemos lo siguiente: sea n el nmero decimal, para obtener su equivalente como divisin deenteros multiplicamos y dividimos a n por la unidad seguida de cero correspondiente a lacantidad de decimales. Es decir que si n tiene un decimal multiplicamos y dividimos por 10,si tiene dos decimales multiplicamos y dividimos por 100, y as siguiendo.

Ejemplo 1a: Sea n = 1,56 entonces:

1,56 = 1,56100

100=

1,56 100100

=156

100

6Ejemplo 1b: Sea n = 12,328

12,328 = 12,3281000

1000=

12328

1000

Ejemplo 2: Nmeros peridicos

Pasar un nmero peridico a fraccin es un poco ms complicado.

Ejemplo 2a: Tomemos el nmero peridico n = 1, 3 y multipliqumoslo por 10, esto es10n = 13, 3, luego, para deshacernos de la parte peridica, hacemos la resta:

10n n = 13, 3 1, 3Ahora, teniendo en cuenta que 13, 3 = 13 + 0, 3 y 1, 3 = 1 + 0, 3 resulta que:

10n n = 13, 3 1, 3 = 13 + 0, 3 (1 + 0, 3) = 13 +0, 3 10, 3 = 12

Luego, como 10n n = 9n encontramos que:

9n = 12

Finalmente, despejando n encontramos su expresin como divisin de enteros

n =12

9

Ejemplo 2b: Tomamos n = 2,54, entonces siguiendo una idea similar a la anteriorhacemos la resta:

100n 10n = 254, 4 25, 4 = 254 25Luego, teniendo en cuenta que 100n10n = 90n y despejando n de la relacin anteriorencontramos que:

n =254 25

90=

229

90

7Nmeros Irracionales, I: Son los nmeros que no pueden expresarse como un cociente de nmerosenteros. Por lo tanto tienen infinitos decimales no peridicos.1

Nmeros Reales, R: Es la unin del conjunto de los nmeros racionales y los irracionales:

R = Q IEsquemticamente, los conjuntos de nmeros pueden representarse del siguiente modo:

R

Q

Z

N

{0}Z

F

I

Intervalos

Los intervalos representan conjuntos infinitos de nmeros reales contenidos en un cierto rango.Los intervalos se representan por un par de nmeros que sern los que indiquen los extremos delrango. Para definir los distintos tipos de intervalos vamos a suponer que a y b son dos nmerosreales tales que a < b.

Intervalo abierto, (a, b): Es el conjunto de nmeros mayores que a y menores que b (noincluye a sus extremos), y se simboliza escribiendo los extremos (de menor a mayor) entreparntesis:

(a, b) = {x/ a < x < b} (4)Tambin puede representarse en la recta numrica, como se muestra a continuacin.

Intervalo cerrado, [a, b]: Es el conjunto de nmeros mayores o iguales que a y menores oiguales que b (incluye a sus extremos), y se simboliza escribiendo los extremos (de menor amayor) entre corchetes:

[a, b] = {x/ a x b} (5)La representacin en la recta numrica es la siguiente:

1Qu conjunto ser ms grande, el de los nmeros racionales o el de los irracionales? Puede ser que unconjunto sea ms grande que el otro, si ambos tienen infinitos elementos? Pods encontrar una respuesta aquhttp://www.youtube.com/watch?v=yX97MMWh944.

8Intervalo semiabierto o semicerrado, (a, b] [a, b): Es el conjunto de nmeros queincluye a uno de sus extremos, y se simboliza escribiendo los extremos (de menor a mayor)entre un parntesis y un corchete, el parntesis va en el extremo no includo en el conjunto yel corchete va en el que se incluye:

(a, b] = {x/ a < x b}[a, b) = {x/ a x < b} (6)

La representacin en la recta numrica es, respectivamente:

Operaciones con nmeros reales

A continuacin vamos a estudiar las operaciones entre nmeros reales: suma (y resta), valorabsoluto, producto (y divisin), factorial, potenciacin, radicacin y logaritmo. Para esto vamos aconsiderar que x, y y z son nmeros reales.

Suma Algebraica

Es una operacin que consiste en adicionar dos o ms nmeros. Cada uno de los nmeros quese suman se denominan trminos. Las propiedades de la suma algebraica son:

1. La suma es cerrada en R: El significado de que la suma sea cerrada en el conjunto delos nmeros reales es que la suma de dos nmeros reales da como resultado otro nmero real.En smbolos es:

x, y R, x + y R (7)

2. Propiedad conmutativa:x + y = y + x (8)

93. Propiedad asociativa:

(x + y) + z = x + (y + z) = x + y + z (9)

4. Existencia de elemento neutro:

x R, 0/ x + 0 = 0 + x = x (10)

5. Existencia del opuesto:

Dado cualquier nmero real x, existe un nmero real x tal que la suma de ellos es igual alelemento neutro, x0 = 0. En smbolos es:

x R, x R/ x + (x) = (x) + x = x0 = 0 (11)

Se puede demostrar (utilizando la definicin del opuesto) que el opuesto del opuesto es elmismo nmero: (x) = x.

Es importante notar que x es el opuesto de x, pero de ningn modo podemos decir queesto significa que el nmero x es negativo. Es decir si x es un nmero positivo, x > 0,entonces su opuesto ser negativo, x < 0. Por ejemplo: el opuesto de 2 es 2. Pero si x esmenos que cero (negativo), entonces su opuesto ser positivo, por ejemplo: el opuesto de 6es (6) = 6. El nico nmero que es igual a su opuesto es el cero.

x = x x = 0 (12)

Por esta razn la resta se puede pensar como la suma del opuesto: x ms el opuestode y es igual a restarle y a x. Es decir que:

x + (y) = x y (13)

6. Propiedad cancelativa:

Esta propiedad es una consecuencia de la existencia del opuesto y del elemento neutro.

x + y = x + z y = z (14)

Esta propiedad permite cancelar un mismo trmino en ambos miembros:

x + y = x + z = y = z

o agregarlo:y = z = x + y = x + z

La propiedad cancelativa permite hacer pasaje de trminos en una igualdad.

x + y = z

10

P or propiedad de la igualdad

x + y + (y) = z + (y)P or definicion del opuesto

x + 0 = z yP or definicion del elemento neutro

x = z y

Mdulo o Valor Absoluto

Esta operacin se define de la siguiente manera: El mdulo de un nmero cualquiera es iguala dicho nmero si ste es positivo o cero, y es igual a su opuesto si es negativo.

El valor absoluto se denota poniendo dos lneas verticales a ambos lados del nmero. Una formasimblica de representar lo que acabamos de decir es:

|numero cualquiera| =numero cualquiera si numero cualquiera 0(numero cualquiera) si numero cualquiera < 0

Por ejemplo: |2| = 2 y | 4| = (4) = 4.Una vez comprendida la idea del valor absoluto daremos su definicin formal:

|x| =x si x 0x si x < 0 (15)

Notemos que el mdulo de cualquier nmero es siempre positivo, |x| 0. Ademstenemos:

|x| = 0 x = 0 (16)Este tema lo retomaremos en el Mdulo 4, donde estudiaremos funciones.

Producto

El producto entre dos nmeros cualesquiera, representados por x e y, se simboliza con un punto,x . y, o con una cruz, xy. Generalmente estos smbolos suelen omitirse, por lo que x multiplicadopor y puede escribirse simplemente como xy.

Las propiedades del producto entre nmeros reales son las siguientes:

1. El producto es cerrado en R:

El producto de dos nmeros reales da como resultado otro nmero real. En smbolos es:

x, y R, xy R (17)

11

2. Propiedad conmutativa:

x y = y x (18)

El orden de los factores no altera el producto.

3. Propiedad asociativa:

(x y) z = x (y z) = x y z (19)

4. Existencia de unidad:

Dado cualquier nmero real x, existe un nmero real 1 tal que el producto entre ellos es iguala x. Esto se simboliza de la siguiente manera:

x R, 1/ x . 1 = 1 . x = x (20)

5. Existencia del recproco:

Dado cualquier nmero real x distinto de cero, existe un nmero real x1 tal que el productoentre ellos es igual a la unidad, x0 = 1. En smbolos es:

x R {0}, x1 / x x1 = x1 x = x0 = 1 (21)Notemos que no existe el recproco del cero, ya que cualquier nmero multiplicado porcero es igual a cero.

Ms adelante veremos que se puede escribir que x1 = 1x. De este modo se puede definir

el cociente entre x e y, xy, como el producto entre x y el recproco de y (siempre

que y 6= 0):

x y1 = x1

y=

x

y(22)

Es importante observar que la divisin por cero no est definida

De acuerdo a la definicin dada para el recproco de un nmero real tenemos que:

El recproco de la unidad es la unidad:

1 =1

1(23)

El recproco del recproco es el mismo nmero:

1(1

x

) = x, x R {0} (24)

12

El producto de los recprocos es el recproco del producto:

(1

x

).

(1

y

)=

1

(xy), x, y R {0} (25)

6. El producto de cualquier nmero por cero es cero.

x R, x 0 = 0 x = 0 (26)Notemos que si en la propiedad 5 no hubisemos excluido el cero, tendramos una contradiccinentre las propiedades 5 y 6. Por esta razn es que cero sobre cero est indeterminado,y por esta razn nunca lo escribimos.

7. Propiedad cancelativa:

Esta propiedad es una consecuencia de la existencia del inverso y del elemento neutro.

x 6= 0, x y = x z y = z (27)

Por lo tanto, esta propiedad permite agregar o cancelar un factor distinto de cero en ambosmiembros:

x 6= 0, x y = x z = y = zy = z = x y = x z, x 6= 0

Si ese factor fuese cero tendramos un absurdo:

0 3 = 0 258 3 = 258

La propiedad cancelativa es la que permite el pasaje de factores en una igualdad:

x y = z

P or propiedad de la igualdad

x y1

y= z

1

y

P or definicion del reciproco

x 1 = z1

y

P or definicion del elemento neutro

x = z1

y

13

8. Regla de los signos:

Sean a y b dos nmeros reales y positivos:

a b = ab > 0a b = a (b) = ab < 0

a (b) = ab > 0(28)

Coloquialmente uno recuerda esta regla como:

ms por ms es ms; ms por menos es menos; menos por ms es menos;y menos por menos es ms.

Es necesario aclarar que nunca se multiplican los smbolos de la suma o de laresta, se multiplican los nmeros positivos o negativos.

Debido a la segunda igualdad (y a la existencia del elemento neutro), resulta que el opuestode cualquier nmero real se puede escribir como dicho nmero multiplicado por 1:

x = (1) x (29)Como dijimos que la divisin se puede expresar como un producto, esta regla tambin esvlida para el cociente de nmeros reales.

Para poder lograr un mejor entendimiento de esta regla de signos hemos introducido, enla lectura adicional Menos por menos es ms . . . Seguro?, un texto de Adrin Paenza2,donde se explica esta regla.

9. Distribucin con respecto a la suma:

x (y + z) = x y + x z (30)

El producto es distributivo con respecto a la resta ya que la resta la podemos escribir comola suma del opuesto:3

x (y z) = x (y + (z)) = x y + x (z) = x y x z (31)

2Adrin Arnoldo Paenza (n. Buenos Aires, 9 de mayo de 1949) es licenciado y doctor en ciencias matemticaspor la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales (UBA). Una de sus actividades consiste en la divulgacin de lamatemtica. Entre otras cosas se pueden encontrar los libros de la coleccin Matemtica . . . ests ah?. Buscalosen http://cms.dm.uba.ar/material/paenza.

3Otra manera de pensar el producto y la aplicacin de esta propiedad la pueden encontrar enhttp://www.youtube.com/watch?v=5JtliQVoOZo&feature=related.

14

Suma y producto de fracciones

Aqu vamos a ver en detalle cmo se aplican las propiedades de la suma y del producto a laoperacin con nmeros racionales. Sean a, b, c y d nmeros enteros y los consideraremos no nuloscuando sean denominadores.

1. Suma de fracciones:

Cuando las fracciones tienen el mismo denominador tendremos que (en este caso b 6= 0):a

b+

c

b=

a + c

b(32)

La forma de operar para llegar al resultado anterior es:

a

b+

c

b= a

1

b+ c

1

b= (a + c)

1

b=

a + c

b

En el caso en que las fracciones no tengan el mismo denominador hay que llevar las fraccionesa fracciones equivalentes4 para obtener igual denominador. Esto es lo que conocemos comosacar denominador comn.

a

b+

c

d=

a d + c b

b d(33)

donde b 6= 0 y d 6= 0. La forma de operar en este caso es:a

b+

c

d=

a

b1 +

c

d1 =

a

b

d

d+

c

d

b

b=

a d

b d+

c b

d b=

a d + c b

b d

En general conviene elegir como denominador comn el mnimo comn mltiplo5 de los de-nominadores.

Ejemplo: Supongamos que cortamos una pizza en 8 porciones iguales. La pizza completa lapodemos representar numricamente como

1 =8

8

Es decir, que de las ocho porciones, tenemos 8. Supongamos ahora que nos comemos 3 por-ciones y despus de un buen rato nos comemos otras 2 porciones. En total nos comimos 5porciones, si hacemos la cuenta tendremos

3

8+

2

8=

3 + 2

8=

5

8

4Dos fracciones son equivalentes cuando representan al mismo nmero. Por ejemplo 0,5 =1

2=

2

4=

1000

2000.

5El mnimo comn mltiplo de dos nmeros es el menor nmero que sea simultneamente mltiplo de ambos.

15

Ahora supongamos que nos comemos adems la mitad de una de las porciones. Esta mediaporcin equivale a cortar la pizza en 16 porciones iguales y comernos una de estas porciones,entonces en total nos hemos comido

5

8+

1

16=

5

8

2

2+

1

16=

10

16+

1

16=

10 + 1

16=

11

16

Por lo tanto nos comimos once dieciseisavos de pizza.

2. Opuesto de una fraccin:

El opuesto de una fraccin puede escribirse de distintas maneras siguiendo la regla de lossignos. Sea b 6= 0

(

a

b

)=

ab

=a

b = (

a1

b

)= (a)1

b= a

(1

b

)= a

1b

= a1

b = (1)a

b

(34)

3. Producto de fracciones:

Se multiplica numerador con numerador y denominador con denominador.

a

b

c

d=

a c

b d(35)

donde b 6= 0 y d 6= 0. En este caso las operaciones que hicimos para obtener el resultadoanterior son

a

b

c

d=(

a1

b

)(c1

d

)= (a c)

(1

b

1

d

)= (a c)

(1

b d

)=

a c

b d

4. Recproco de una fraccin:

1(a

b

) = ba

(36)

con a 6= 0 y b 6= 0.1(ab

) = 1a 1

b

=1

a

1(1b

) = 1a

b =b

a

16

5. Divisin de fracciones:

Es lo que se conoce como extremos con extremos y medios con medios.

(ab

)(

cd

) = a db c

(37)

Los extremos seran a y d, mientras que los medios seran b y c (b 6= 0, c 6= 0 y d 6= 0).(ab

)(

cd

) = a 1bc 1

d

= a1

b

1

c

1(1d

) = a 1b c

d =a d

b c

6. Simplificacin de fracciones:

La simplificacin es una divisin encubierta. La operacin consiste en descomponer elnumerador y el denominador en factores y efectuar aquellas divisiones que tienen igual nu-merador y denominador.

Ejemplo: Tomemos la fraccin 106

10

6=

2 . 5

3 . 2=

2

2

5

3= 1

5

3=

5

3

De este modo, al simplificar, obtenemos una fraccin equivalente, esto significa que: 10 dividido 6,es igual 5 dividido 3.

Lo que generalmente se hace para abreviar el clculo es tachar el numerador y el denominadory poner arriba de cada uno el resultado de la divisin por el factor comn. En este ejemplo el factorcomn es 2, entonces dividimos al numerador y al denominador por 2.

5

10

3

6

=5

3

Es importante ver que slo se pueden simplificar los factores del numera-

dor con los del denominador. No se pueden simplificar trminos y tampoco

se pueden simplificar factores nulos.

17

Factorial:

Es una operacin definida para los nmeros naturales. Sea n N, entonces el factorial de n sedefine como:

n! = n (n 1)(n 2)(n 3) . . . 3 . 2 . 1 (38)de aqu se puede ver que:

n! = n (n 1)! (39)Para que esta expresin sea vlida tambin para n = 1 se define que:

0! = 1 (40)

Potenciacin

Esta operacin se define de la siguiente manera. Sean x R y n N(n 6= 0), x a la potencia n(o x elevada a la n), xn, se define como:

xn = x.x . . . x n veces

(41)

y se dice que x es la base de la potencia, y n es el exponente. De esta definicin surge que:

Cero elevado a cualquier potencia es igual a cero.

0n = 0 (42)

Uno elevado a cualquier potencia es igual a uno.

1n = 1 (43)

Propiedades:

Siempre consideraremos bases reales y exponentes naturales.

1. La potencia es distributiva con respecto al producto y al cociente

(x y)n = xn yn(x

y

)n=

xn

yn

(44)

Las demostraciones son las siguientes

(x y)n = (x y)(x y) . . . (x y) nveces

= (x x . . . x) nveces

(y y . . . y) n veces

= xn yn

18

(x

y

)n=

(x

y

)(x

y

). . .

(x

y

)

n veces

=

n veces x x . . . x

y y . . . y n veces

=xn

yn

De este modo demostramos que la potencia es distributiva respecto al producto y a la divisin.

De aqu que:

(1

x

)n=

1n

xn=

1

xn

Tener muy en cuenta que:

NO ES DISTRIBUTIVA CON RESPECTO A LA SUMA

(x y)n 6= xn yn

NO ES CONMUTATIVA

xn 6= nx

2. Producto de potencias de igual base.

xnxm = xn+m (45)

Demostracin:xn xm = x x . . . x

n veces

x x . . . x m veces

= x x . . . x n+m veces

= xn+m

As hemos demostrado que el producto de potencias de igual base es igual a dicha base elevadaa la suma de los exponentes.

3. Cociente de potencias de igual base.

xn

xm= xnm (46)

Para demostrar esta propiedad vamos a separar en tres casos posibles.

Si n 6= mxn

xm=

n veces x x . . . x

x x . . . x m veces

19

pero podemos escribir que n = m + (n m) resultando que xn = xm+(nm) = xm xnm(por la propiedad anterior). Entonces, reemplazando esto en la expresin obtenemos que:

xn

xm=

xm xnm

xm=(

xm

xm

)xnm = xnm

xn

xm= xnm n, m N, n 6= m

Si n = m obtenemos, utilizando el resultado anterior, que

xn

xn= xnn = x0

xn

xm= xnm n, m N, n = m

Pero por otro lado sabemos que:xn

xn= 1

Por lo tanto, encontramos que todo nmero real, distinto de cero, elevado a lapotencia nula es igual a 1.

x0 = 1 (47)

Notemos que como x0 = 1 y 0n = 0, no podemos definir 00.

De este modo hemos demostrado que el cociente de potencias de igual base es igual a dichabase elevada a la diferencia de los exponentes.

4. Exponentes negativosCualquier nmero real distinto de cero elevado a una potencia negativa es igual a su recprocoelevado a la potencia opuesta.

xn =(1

x

)nn N (48)

La demostracin de esta propiedad es la siguiente. Consideremos el cociente entre xn y xm

donde n y m son dos naturales cualesquiera tales que m > n. Teniendo en cuenta que podemosescribir que m = n + (m n) encontramos que:

xn

xm=

xn

xn xmn=(

xn

xn

)1

xmn=

1

xmn

Pero, utilizando la propiedad anterior, tenemos que:

xn

xm= xnm = x(mn)

20

Luego, juntando estos dos resultados obtenemos que

1

xmn= x(mn)

Ahora, (m n) N (porque m > n), luego podemos llamar t = m n obtenemos que:

xt =1

xt

De este modo se extiende la potenciacin a exponentes enteros.

Utilizando este resultado se tiene que:(x

y

)n

=1

(x/y)n=

1(xn

yn

) = ynxn

=(

y

x

)n

5. Potencia de una potencia

(xn)m = xn m (49)

Esta propiedad se demuestra utilizando la definicin de potencia:

(xn)m = xn xn . . . xn m veces

= (x x . . . x n veces

)(x x . . . x n veces

) . . . (x x . . . x n veces

) m veces

= xn m

De este modo demostramos que la potencia de una potencia es igual a la base elevada alproducto de las potencias. Como el producto es comnutativo resulta que los exponentes sonconmutables, es decir, que:

(xn)m = xn m = xm n = (xm)n (50)

Notemos que:(xn)m 6= x(nm)x(n

m) = xnm

Con esta propiedad se puede ver que un nmero negativo elevado a cualquier potenciapar es siempre positivo. Para demostrarlo tomemos un nmero real positivo cualquiera

21

x > 0, as (x < 0), y un nmero entero par n. Para que un nmero sea par debe ser mltiplode dos, esto es, n = 2k donde k Z. Entonces:

(x)n = (x)2k= [(x)2]k= [(x)(x)]k= (x2)k

= x2k

= xn

Y como dijimos que x > 0, resulta que xn > 0.

Notacin cientfica:

Este tipo de notacin se basa en potencias (positivas y negativas) de 10, es decir:

. . .103 = 0,001102 = 0,01101 = 0,1100 = 1101 = 10102 = 100103 = 1000

. . .

De este modo cualquier nmero real se puede escribir como un nmero decimal o entero multiplicadopor una potencia de 10. En particular esta notacin es una manera prctica de escribir nmerosmuy grandes o muy pequeos. Por ejemplo:

0,0000000425 =4,25

108= 4,25 x 108

5890000000000000 = 5,89 x 1015

Como estos nmeros son reales siguen valiendo todas las propiedades de todas las operaciones.

Ejemplo:

4,25 x 108 + 5,78 x 108 = (4,25 + 5,78 )x 108 = 10,03 x 108 = 1,003 x 107

(1,25 x 106)(7 x 108) = (1,25 x 7)(106 x 108) = 8,75 x 1068 = 8,75 x 102

(6,91 x 1015)2 = (6,91)2 x (1015)2 = 47,7481 x 1015x2 = 47,7481 x 1030 = 4,77481 x 1031

22

Radicacin

Sean x R, y R y n N. Se define la raz de ndice n de x como:n

x = y = yn = x (51)

y se dice que x es el radicando e y es la raz. Si n = 2 decimos que 2

x es la raz cuadrada dex y se escribe

x.

ATENCINEs muy comn leer la definicin que dimos en sentido opuesto, es decir, uno podra pensar

que si yn = x entonces n

x = y. Luego uno podra decir que como 22 = 4 y (2)2 = 4 entonces4 = 2. Pero esto trae muchas ambigedades a la hora de operar. Esta ambigedad viene de una

mala interpretacin de la definicin que dimos, n

x = y = yn = x, esto significa que si nx = yentonces, obligadamente yn = x, pero como la definicin tiene una flecha en un slo sentido no escorrecto decir que si yn = x entonces n

x = y. Por esta razn, vale la igualdad:4 = 2

mientras que: 4 6= 2

Se toma como convencin que el resultado de toda raz de ndice par de un nmeroreal positivo es nico y positivo. (Como veremos ms adelante esta convencin tiene sentidoya que de este modo conseguimos que la raz sea una funcin.) En smbolos sera:

x R y n N : 2nx 0 (52)De la definicin de raz, tambin podemos ver que, en reales, no existe la raz de ndice

par de un nmero negativo, ya que cualquier nmero elevado a una potencia par da siemprepositivo.

x R, n N y x < 0 : 2nx (53)Finalmente, la ltima combinacin que nos queda es la raz de ndice impar, que por las

propiedades de la potenciacin podemos deducir que la raz de ndice impar tiene un ni-co resultado: es positivo si el radicando es positivo, y negativo si el radicando es

negativo.

x R, n N, n impar y x < 0 : nx < 0x R, n N, n impar y x 0 : nx 0 (54)

23

Ejemplo: De acuerdo a la definicin y a la convencin tomada para la radicacin tendremos losiguiente. Para el caso de races de ndice par:

4 = 2

4 = 24 no existe en RLas races de ndice impar siempre estn definidas:

38 = 2 ya que 23 = 8

38 = 2 ya que (2)3 = 8

La raz se puede escribir en forma de potencia:

n

x = x1

n (55)

Luego podemos generalizar este resultado, utilizando las propiedades de la potencia, del siguientemodo:

n

xp = (xp)1

n = xp1

n = xp

n (56)

As, la utilizacin de la raz extiende la potenciacin a nmeros fraccionarios. Por esto,en general, las propiedades de la potenciacin se pueden extender a la radicacin. Pero hay quetener cuidado con algunos detalles.

Propiedades:

Vamos a considerar que x R, y R y n N. Adems vamos a suponer que los radicandosson tales que siempre sus races estn definidas en los reales.

1. La raz es asociativa y distributiva con respecto al producto y al cociente

n

x y = n

x n

y

n

(xy

)=

n

xn

y

(57)

Veamos cmo se lleg a esto:

n

x y = (x y)1

n = x1

n y1

n = n

x n

y

n

(xy

)=

(x

y

) 1n

=x

1

n

y1

n

=n

xn

y

24

Obviamente que la segunda igualdad vale siempre que y 6= 0.

ATENCINPara utilizar esta propiedad hay que tener mucho cuidado en el caso de tener ndicepar ya que, por ejemplo:

(9)(16) = 144 = 12(9)(16) 6= 916 porque 9,16

La propiedad distributiva vale siempre y cuando las races queden definidas.

Tener muy en cuenta que:

NO ES DISTRIBUTIVA CON RESPECTO A LA SUMA

n

x y 6= nx ny

NO ES CONMUTATIVAn

x 6= xn2. Se puede intercambiar el orden de las operaciones

n

xp =(

n

x)p

(58)

Demostracin:n

xp = (xp)1

n = xp1

n = x1

np = (x

1

n )p =(

n

x)p

ATENCINEsta propiedad no vale en el caso de ndice par y radicando negativo. Veamosesto con un ejemplo.

(4)2 = 16 = 4(4)2 (4)2 6=

(4)2Por esta misma razn hay que tener cuidado al simplificar exponentes fraccionarios:

(8) 39 = (8) 3

9 = (8) 13 = 38 = 2

25

(8) 24 = (8) 2

4 = (8) 12 =8

Dentro del conjunto de los reales, este ejercicio tiene solucin si se realiza primero la potenciay luego la raz. Luego vern en lgebra I, cuando trabajen con nmeros complejos, que podrnresolverlo de ambas formas.

Es importante notar que cuando uno tiene un exponente fraccionario, se pueden aplicar todaslas propiedades que valen para la potenciacin siempre y cuando la raz quede definida.

Caso particular: ndice y exponente igualesEn este caso vamos a estudiar qu pasa cuando el ndice es igual al exponente. Para hacereste anlisis vamos a separar en dos casos: en el primero tendremos ndice y exponenteimpar, y en el segundo tendremos ndice y exponente par.

Primero analicemos el caso cuando el exponente est dentro de la raz.a) ndice y exponente impar.

Si x 0 = nxn = xnn = x = nxn 0Si x < 0 = nxn = xnn = x = nxn < 0

Por lo tanto resulta que:

n

xn = x sin es impar. (59)

b) ndice y exponente par.

Si x 0 = nxn = xnn = x = nxn 0Si x < 0 = nxn = ( xn

>0

)1

n = x = nxn > 0

Por lo tanto, encontramos que:

Sin es par = nxn =x si x 0x si x < 0

Entonces:n

xn = |x| si n es par (60)Ahora veamos qu pasa cuando el exponente est fuera de la raz.

26

a) ndice y exponente impar.

Si x 0 = ( nx)n = xSi x < 0 = ( nx)n = x

Por lo tanto: (n

x)n

= n

xn = x sin es impar. (61)

b) ndice y exponente par.

Si x 0 = ( nx)n = xSi x < 0 = ( nx)n

Por lo tanto, si n es par, tendremos que:(n

x)n 6= nxn y ( nx)n 6= |x|

Si x 0 = ( nx)n = xSi x < 0 = ( nx)n (62)

La importancia de analizar el caso particular de ndice y exponente iguales radica en laresolucin de ecuaciones (ver lectura adicional Resolucin de ecuaciones).

3. Raz de razm

n

x = nm

x (63)

Demostracin:m

n

x =(x

1

n

) 1m = x

1

n

1

m = x1

nm = nm

x

Hasta aqu hemos visto las operaciones bsicas entre nmeros reales y sus propiedades. Des-cubrimos que restar es lo mismo que sumar del opuesto de un nmero y dividir es lo mismo quemultiplicar por el recproco. Luego vimos que a partir del producto se puede definir la potenciacincon exponentes naturales, con el cociente extendimos las potencias a los enteros y, finalmente, conla radicacin, extendimos la potencia a los nmeros fraccionarios.

La ltima operacin que veremos tambin est basada en la potenciacin y se llama logaritmo.

27

Logaritmo

El logaritmo es una operacin que se define, como mencionamos anteriormente, a partir de lapotenciacin de la siguiente manera: se dice que el logaritmo en base a de b es igual a c si y slo sia elevado a la potencia c es igual a b. En smbolos es:

loga b = c ac = bSe llama base del logaritmo al nmero a y se llama argumento al nmero b.

Ejemplo: Supongamos que queremos calcular el logaritmo en base 2 de 8. Esto es:

log2 8 =

De acuerdo a la definicin dada, para resolver el clculo debemos encontrar un nmero tal que2 elevado a dicho nmero sea igual a 8. El nmero buscado es el 3 ya que 23 = 8. Por lo tantoencontramos que:

log2 8 = 3

Para que el resultado del logaritmo sea un nmero real hay que restringir los valores del argu-mento y de la base.

Vamos a definir que la base del logaritmo debe ser positiva y distinta de cero, porlo tanto a > 0 (o a R+). Entonces, si a > 0 y c R, tendremos que ac = b > 0, luego elargumento del logaritmo debe ser positivo, esto es b R+.

Finalmente, la ltima restriccin es que la base debe ser distinta de 1, dado que 1c = 1,por lo que log1 1 sera igual a cualquier nmero real, as a 6= 1 para que el logaritmo quede definido.

Por lo tanto la definicin completa de logaritmo es:

a, b R+ y a 6= 1, loga b = c ac = b (64)En general, los logaritmos que ms se usan son los llamados:

Logaritmo decimal: es cuando se toma el logaritmo en base 10, y se escribe como log x. Es decirque:

log x log10 xLogaritmo natural o neperiano: es cuando se toma el logaritmo en base e (el nmero neperiano

es un nmero irracional, e = 2,718281828 . . .) 6, y se escribe como ln x. Es decir que:

ln x loge x6Nuevamente recurrimos a un video de Paenza para conocer un poco ms al nmero neperiano.

(http://www.youtube.com/watch?v=MKgjf-1XcNM&feature=related)

28

Propiedades

Vamos a considerar que la base y el argumento son positivos y que la base es distinta de 1.

1. El logaritmo de uno en cualquier base es igual a cero.

x, logx 1 = 0 ya quex0 = 1 (65)

2. Si la base y el argumento del logaritmo son iguales, entonces el logaritmode ese nmero, en esa base, es igual a uno.

x, logx x = 1 ya quex1 = x (66)

3. Logaritmo de un producto.

loga(xy) = loga x + loga y (67)

Demostracin:

Sean p y q tales que loga x = p y loga y = q. Por lo tanto:

p + q = loga x + loga y (68)

Por otro lado, de la definicin de logaritmo tenemos que ap = x y aq = y. Luego, el productode x por y ser igual a:

x y = ap aq = ap+q (69)

Utilizando otra vez la definicin de logaritmo tenemos que:

x y = ap+q = loga(x y) = p + q (70)

As, de las ec. 68 y 70 encontramos que:

loga(xy) = p + q = loga x + loga y (71)

Por lo tanto:

loga(xy) = loga x + loga y (72)

29

4. Si el argumento del logaritmo es una potencia, entonces el logaritmo es igualal producto entre el exponente y el logaritmo de la base de la potencia.

loga(xb) = b loga x (73)

Esto se demuestra de la siguiente manera. Llamemos c = loga (xb) y c = loga x. Luego, por

la definicin de logaritmo, podemos escribir que ac = xb y que ac

= x. Por lo tanto

ac = xb =(ac

)b

= ac b

De aqu resulta que:ac = ac

b = c = c bFinalmente obtenemos que:

loga (xb) = c = c b = b loga x

Utilizando este resultado y la propiedad 2 se puede demostrar fcilmente que:

loga(ax) = x (74)

30

ATENCINHay que tener ciertos cuidados con la notacin:

loga(xb) = loga x

b = b loga x

logba x = (loga x)b

Por ejemplo:log2(2

3) = 3 log2 2 = 3log32 2 = (log2 2)

3 = 13 = 1

Por lo tanto:logba x 6= loga xb

5. Logaritmo de un cociente.

loga

(x

y

)= loga x loga y (75)

Esta propiedad se demuestra utilizando las propiedades de la potenciacin y las propiedades3 y 4 de los logaritmos.

6. Cambio de baseCualquier logaritmo en una base dada, puede cambiarse a cualquier otra base que uno elija.Este cambio de base se realiza del siguiente modo. Por definicin de logaritmo tenemos que:

loga x = y ay = x

Supongamos que queremos cambiar la base a por otra base b. Para esto, a la relacin ay = xle aplicamos logaritmo en base b en ambos miembros, esto es:

ay = xlogb(a

y) = logb xy logb a = logb x

Despejando y encontramos que:

y =logb x

logb a

Pero al comienzo dijimos que loga x = y por lo tanto,

loga x =logb x

logb a(76)

As podemos calcular el logaritmo en una base dada a utilizando una base cualquiera b.

31

Antilogaritmo

Se define como la operacin inversa del logaritmo. Si tenemos loga x, el antilogaritmo es laoperacin ax (en el captulo de funciones es lo que llamaremos funcin exponencial).

El logaritmo y el antilogaritmo son operaciones inversas porque se cumple que:

loga(ax) = x

aloga x = x (77)

Demostracin:La primera igualdad es una consecuencia de la cuarta propiedad del logaritmo (ecuacin 74).

Para demostrar la segunda igualdad vamos a considerar que b = loga x, luego:

aloga x = ab

Pero por la definicin de logaritmo tenemos que ab = x. Entonces,

aloga x = ab = x

Resolucin de problemas

En esta seccin veremos cmo utilizar las propiedades de las operaciones para resolver clculossin calculadora.

Para resolver este tipo de problemas hay que seguir las reglas de operacin:

1. Separar en trminos;

2. Resolver lo que est dentro de parntesis, corchetes y/o llaves;

3. Resolver los productos; y

4. Resolver las sumas.

Problema 1: Calcule sin usar calculadora.

323

332

5

3

3

5

3[(1

3

) 13

] 13

+

(3)2

332

(392)1

=

32

Lo primero que hay que hacer para empezar a calcular, de acuerdo a las reglas de operacinenunciadas, es separar en trminos. En este caso tenemos dos:

323

332

5

3

3

5

3[(1

3

) 13

] 13

termino 1

+

(3)2

332

(392)1

termino 2

Luego vamos a ir resolviendo los factores. En el primer trmino tenemos un producto de dosfracciones. Tomemos la primera fraccin. Es correcta la siguiente resolucin?

323

332=

32 . 3

33 . 2= 1

La respuesta es NO. Y ahora pregunto por qu no es correcta? Porque el producto de los expo-nentes es vlido cuando tenemos una potencia de potencia, es decir:

(xn)m = xnm

En este caso, la base del exponente m es xn y la base de n es x. Sin embargo, en el clculo tenemosla siguiente situacin:

xnm

= x(nm) 6= (xn)m

donde, ahora, la base de m es n, y la base de nm es x. Por lo tanto la resolucin de la primerafraccin del primer trmino es:

323

332=

38

39= 389 = 31

Ahora analicemos el segundo factor del primer trmino. En este caso tenemos una potencia depotencia? S, en este caso el denominador es una potencia de potencia explcita, mientras que enel numerador tenemos una raz de raz (que es equivalente a la potencia de potencia). Entonces,

5

3

3

5

3[(1

3

) 13

] 13

=

3 . 5

3

5

3(1

3

) 13( 1

3)=

(3

5

3

) 115

(1

3

) 19

=3

5

3

1

15(113

) 19

=3

1

9

31

9

= 1

De este modo, el primer trmino se reduce a:

323

332

5

3

3

5

3[(1

3

) 13

] 13

= 31 1 = 31 (78)

33

En el segundo trmino tenemos una fraccin; este tipo de expresiones suele traer bastantes compli-caciones. Propongamos la siguiente resolucin y despus discutamos si es correcta.

(3)2332 =

(3) 2239

=39

1

3

Hay algn error en este razonamiento? S, hay ms de un error. El error del numerador consiste enhaber simplificado el exponente con el ndice de la raz. En el denominador el error est en habersupuesto que el exponente 2 tiene como base al nmero (3). Analicmoslo por partes. Primero elnumerador. Habamos visto que cuando el ndice y el exponente son iguales a un mismo nmeropar, 2n, resulta que 2n

x2n = |x|, por lo tanto:

(3)2 = |3| = 3

Mientras que en el denominador tenemos que:

332 = 3

(1) 32 = 3

(1) 3

32 = (1)3 23 = 3 23

De este modo, el primer factor del segundo trmino es igual a:(3)2

332 =

3

3 23 = 31 2

3 = 3 33 23 = 3 323 = 3 13

Por ltimo, el segundo factor del segundo trmino lo escribimos de la siguiente manera:

(392)1

=(92

1

3

)1

=[(32)2

1

3

]1

= 32 . 2 .1

3. (1) = 3

4

3

Luego el segundo trmino es igual a:(3)2

332

(392)1

= 3 13 3 43 = 3 13 43 = 333 = 31 (79)

Finalmente, de las operaciones 78 y 79 obtenemos el resultado:

323

332

5

3

3

5

3[(1

3

) 13

] 13

+

(3)2

332

(392)1

= 31 31 = 0

Obviamente que sta no es la nica manera de pensar el ejercicio, hay muchos caminos posibles.La idea bsica de este tipo de clculos es llevar todas las potencias a una misma base para poderutilizar las propiedades de la potencia.

34

Problema 2: Calcule sin usar calculadora.

log3 a2

log3 a+ 2log2 7 logb

7

b (log4 2)2 logx x4 =

Nuevamente, como en el ejercicio anterior, lo primero que debemos hacer es separar en trminos:

log3 a2

log3 a termino 1

+ 2log2 7 logb7

b termino 2

(log4 2)2 logx x4 termino 3

Ahora analicemos trmino por trmino.

Primer trmino:log3 a

2

log3 a=

2 log3 a

log3 a=

2log3 a

log3 a= 2 (80)

Segundo trmino:

2log2 7 logb7

b = 7 logb b1

7 = 71

7logb b = 1 (81)

Tercer trmino:

(log4 2)2 logx x

4 =

(log2 2

log2 4

)24 logx x =

(1

2

)24 =

1

44 = 1 (82)

Finalmente de las operaciones 80, 81 y 82 obtenemos el resultado:

log3 a2

log3 a+ 2log2 7 logb

7

b (log4 2)2 logx x4 = 2 + 1 1 = 2