Instituto Tecnológico de Zitácuaro Apuntes de Cálculo Integral (Unidad 2).

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Elaboró: Ing. J. Ivann Contreras Ávila para la Academia de Ciencias Básicas. Fuentes: Stewart, James B. Cálculo con una Variable. Editorial Thomson,y Larson, Ron. Matemáticas 2 (Cálculo Integral), McGraw-Hill, 2009.

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UNIDAD 2.

INTEGRAL INDEFINIDA Y MÉTODOS DE INTEGRACIÓN.

El objetivo educacional de este capítulo es que el estudiante pueda determinar una función primitiva. Además de discernir cuál método puede ser más adecuado para resolver una integral dada y resolverla usándolo.

Introducción.

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A calcular primitivas se aprende practicando; la imprescindible agilidad en los cálculos la lograrás haciendo decenas de ejercicios. Fíjate que, en la mayoría de los casos, se trata de ejercicios en los que tan sólo tienes que aplicar una técnica general a un caso particular. Esto es tan “fácil” que lo saben hacer los programas de cálculo simbólico, como Mathematica, Derive, Mapple y otros. Cuando se logre fabricar una calculadora de bolsillo que pueda ejecutar estos programas quizás ya no sea imprescindible aprender a calcular primitivas, pero hasta que llegue ese momento sigue siendo necesario que aprendas a calcular primitivas con agilidad. Sería lamentable que, por no saber calcular una primitiva, no puedas resolver una sencilla ecuación diferencial, ni calcular una probabilidad, ni el área de una superficie, . . . Las aplicaciones del cálculo integral son tan variadas, que el tiempo que dediques a la práctica del cálculo de primitivas será más rentable de lo que ahora puedas imaginar.

2.1 Definición de integral indefinida.

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2.2 Propiedades de integrales indefinidas.

2.3 Cálculo de integrales indefinidas. 2.3.1 Directas. Ejemplos.

1. 3x dx,

2.

dx

3. ∫√

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En muchas aplicaciones de la integración se nos da la suficiente información como para determinar una

solución particular. Para ello sólo necesitamos conocer el valor de F(x) para un cierto valor de x.

9. Hallar la solución general de la ecuación F'(x) =1/x2

y calcular la solución particular que satisface la

condición inicial F(1) = 2.

10.

11.

12.

13.

TAREA No. 6: Resolver las siguientes integrales:

1. ∫

2. ∫

3. ∫ √

4. ∫

√

5. ∫( )

6. ∫( )√

7. ∫( )

8. ∫

Integración de una función compuesta.

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Regla de la cadena:

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Tarea No. 7: Resolver los siguientes ejercicios:

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2.3.2 Con cambio de variable.

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Nota

Se verán más cambios de variable al resolver diferentes tipos de integrales de funciones particulares. Como es

obvio, en una misma integral se pueden aplicar diversos cambios de variable de manera sucesiva, hasta que se

llegue a una función de la que se conozca de forma inmediata una de sus primitivas. Todos los cambios de

variable que se realicen en una misma integral deberán ser deshechos en orden contrario a como se han

producido, es decir, primero el último, después el anterior, y así hasta llegar al primero, que se deshará en

último lugar.

2.3.4 Por partes.

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Tarea No. 8:

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Formulas Fundamentales de integración.