Calculo u2

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UNIDAD 2 LA DERIVADA: ESTUDIO DE LA VARIACIÓN Y EL CAMBIO Propósitos. Analizar la variación y la razón de cambio mediante problemas cuyos modelos sean funciones polinomiales de primer, segundo o tercer grado y obtener la derivada de dichas funciones con apoyo de la noción de límite. Aprendizajes. Al finalizar la unidad el alumno: Explica el significado de la pendiente de una función lineal en el contexto de un problema dado. Elabora una tabla, dibuja la gráfica y construye una expresión algebraica asociadas al estudio de problemas cuyos modelos sean funciones polinomiales de primero, segundo o tercer grado. Identifica que una función lineal tiene variación constante, en intervalos del mismo tamaño. Identifica que en una función cuadrática, el cambio del cambio es constante en intervalos del mismo tamaño. Infiere que el nésimo cambio es constante para funciones polinomiales de grado n. Calcula la razón de cambio de una función polinomial, en un intervalo dado. Utiliza procesos infinitos como un camino para obtener la razón de cambio instantánea de una función polinomial y la interpreta como un límite. Identifica a la derivada de una función polinomial de primer, segundo y tercer grado en un punto, como el límite de las razones de cambio promedio. Calcula la derivada de funciones polinomiales usando: = () () '( ) x a fx fa f a lím x a Introducción. Siguiendo la orientación de nuestro curso, al analizar la variación y la razón de cambio, partiremos de situaciones o fenómenos de variación dados en diferentes contextos. Analizaremos fenómenos con magnitudes variables tales como: velocidad, temperatura, costos o algunos otros. Independientemente de la situación, lo importante es que puedas contar con los elementos que te permitan realizar dicho análisis para culminarlo con la obtención de la derivada, concepto que es la representación matemática de la razón de cambio. La estrategia a seguir es modelar el fenómeno o situación con una función real de variable real, es decir, con el tipo de funciones que hasta ahora has estado trabajando durante tus cuatro semestres anteriores, al fenómeno o situación correspondiente, para que con su representación tabular, gráfica o algebraica puedas comprender los conceptos y procedimientos involucrados en tu análisis. Te recordamos que la estrategia a seguir en todo el libro es trabajar los problemas que tratemos con las distintas representaciones: tabular, gráfica y algebraica, está última a través del modelo que se representará como una función real de variable real, es decir, con el tipo de funciones que hasta ahora has estado trabajando durante tus anteriores cuatro semestres. 27

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1. UNIDAD 2 LA DERIVADA: ESTUDIO DE LA VARIACIN Y EL CAMBIOPropsitos. Analizar la variacin y la razn de cambio mediante problemascuyos modelos sean funciones polinomiales de primer, segundo o tercer gradoy obtener la derivada de dichas funciones con apoyo de la nocin de lmite.Aprendizajes. Al finalizar la unidad el alumno: Explica el significado de la pendiente de una funcin lineal en el contexto deun problema dado. Elabora una tabla, dibuja la grfica y construye una expresin algebraicaasociadas al estudio de problemas cuyos modelos sean funcionespolinomiales de primero, segundo o tercer grado. Identifica que una funcin lineal tiene variacin constante, en intervalos delmismo tamao. Identifica que en una funcin cuadrtica, el cambio del cambio es constanteen intervalos del mismo tamao. Infiere que el nsimo cambio es constante para funciones polinomiales degrado n. Calcula la razn de cambio de una funcin polinomial, en un intervalo dado. Utiliza procesos infinitos como un camino para obtener la razn de cambioinstantnea de una funcin polinomial y la interpreta como un lmite. Identifica a la derivada de una funcin polinomial de primer, segundo y tercergrado en un punto, como el lmite de las razones de cambio promedio. f ( x ) f (a ) Calcula la derivada de funciones polinomiales usando: f (a ) = lmx ax aIntroduccin.Siguiendo la orientacin de nuestro curso, al analizar la variacin y la razn decambio, partiremos de situaciones o fenmenos de variacin dados endiferentes contextos.Analizaremos fenmenos con magnitudes variables tales como: velocidad,temperatura, costos o algunos otros. Independientemente de la situacin, loimportante es que puedas contar con los elementos que te permitan realizardicho anlisis para culminarlo con la obtencin de la derivada, concepto que esla representacin matemtica de la razn de cambio.La estrategia a seguir es modelar el fenmeno o situacin con una funcin realde variable real, es decir, con el tipo de funciones que hasta ahora has estadotrabajando durante tus cuatro semestres anteriores, al fenmeno o situacincorrespondiente, para que con su representacin tabular, grfica o algebraicapuedas comprender los conceptos y procedimientos involucrados en tu anlisis.Te recordamos que la estrategia a seguir en todo el libro es trabajar losproblemas que tratemos con las distintas representaciones: tabular, grfica yalgebraica, est ltima a travs del modelo que se representar como unafuncin real de variable real, es decir, con el tipo de funciones que hasta ahorahas estado trabajando durante tus anteriores cuatro semestres.27 2. Actividad 1.Un automvil se desplaza, con una velocidad constante de 108 km/hora, por untramo recto de una carretera. En el momento en que empezamos a medir eltiempo el automvil se encuentra 40 metros a la derecha de un punto A dereferencia sobre la carretera, tal y como muestra la figura. At=0 instante t 0 40 md1. A qu velocidad va el automvil en metros/segundo? _______________2. Para conocer la forma en que se va moviendo el automvil completa la tabla, en donde d representa la distancia recorrida en metros desde el punto A y t el tiempo transcurrido en segundos a partir de que se comienza a medir.t d0 40 1 2 3 4 5 6 7 8 93. Traza una grfica de t contra d d 150 120 90 60 30 t 1234 5 6 7Para completar adecuadamente la tabla, debiste considerar los 40 metrosiniciales que tena recorrido el automvil y que su velocidad, o rapidez, en 28 3. metros por segundo es de 30. Verifica que al primer segundo la distancia totales de 70 metros, pues habr que considerar los 40 metros recorridosinicialmente y a los 2 segundos la distancia total es de 100 metros, etc.4. Encuentra el modelo que representa la distancia recorrida por el automvil en funcin del tiempo, es decir d(t).Para hallar d(t) te pudiste basar en la tabulacin o en la grfica que hiciste, alanalizar el problema y observar que en el momento que se empez acontabilizar el tiempo, t = 0, el automvil ya haba recorrido 40 metros. Al primersegundo haba avanzado en total 40 + 30(1) metros, al segundo 40 + 30(2)metros y as sucesivamente, por lo que: d(t) =5. La grfica que obtuviste es una semirrecta, que parte del punto (0,40), determina su pendiente y establece cul es la relacin de esta con la ecuacin d(t). Pendiente = m =La funcin d(t) es una funcin polinomial de primer grado, por lo tanto es unafuncin lineal. Como recordars, la pendiente de una recta que pasa por los y y1puntos (x1,y1) y (x2,y2) est dada por la frmula: m = 2, por lo que lax2 x1pendiente de la semirrecta la puedes encontrar utilizando dos puntos, porejemplo (0,40) y (1,70). Tambin puedes escribir la ecuacin de la recta en suforma pendiente ordenada al origen, a saber, y = mx + b, para compararla conla funcin que has obtenido, d(t) = 30t + 40, y llegar a la conclusin que lasemirrecta tiene pendiente 30 y corta al eje de las ordenadas en el punto(0,40). Existe una clara vinculacin entre la pendiente de la semirrecta quedescribe grficamente el comportamiento del automvil y su velocidad, lo cualse nos puede aclarar si recordamos que la velocidad es la razn de cambio dela distancia recorrida entre el tiempo transcurrido.6. En particular, determina la velocidad promedio del automvil del tiempo t = 1seg., al tiempo t = 4 seg., la cual puedes determinar mediante la siguienterazn:d (4) d (1)v==4 17. La razn de cambio de la distancia entre el tiempo transcurrido varia ennuestro problema?Para contestar correctamente la pregunta anterior te diste cuenta que la raznde cambio, la velocidad en nuestro caso, o la pendiente de la semirrecta en lagrfica, permanece constante e igual a 30 m/s.8. Cunto recorre el automvil de: 1 a 2 segundos, de 2 a 3 segundos, de 3 a4 segundos y en general de t a t + 1 segundos?29 4. El anlisis de esta Actividad nos muestra que existen situaciones en las que larazn de cambio de la variable dependiente, en nuestro caso d, con respecto ala variable independiente, en nuestro problema t, es constante. Esto ltimo sepuede tambin observar del hecho de que una funcin lineal tiene variacinconstante, en cualquier intervalo.As pues, la razn de cambio es constante, lo cual ocurrir en todos los casosen los que analicemos la razn de cambio de una funcin lineal con respecto asu variable independiente.Grficamente tambin podramos visualizar la identificacin entre la velocidadpromedio (pendiente de la recta) y la variacin constante: d150cambio en la dis tan cia v=m=120cambio en el tiempo90dv =m= = 3060t30 t 1 23 4 56En conclusin, hemos confirmado que en cualquier intervalo, la variacin de lafuncin lineal es constante y la pendiente de la recta representa esta variaciny constituye la razn del cambio promedio.Al identificar la pendiente de la recta que representa una funcin lineal. y = f(x) = mx + b,con la variacin constante, se est estableciendo en qu razn vara elcambio, delta de d ( d ), de la variable dependiente con respecto al cambio,delta de t ( t ), de la variable independiente. En nuestro ejemplo hay unaumento en d (un ascenso si lo vemos grficamente) por cada avance de t,aumento que est en proporcin de la variacin constante (razn de cambiopromedio, en nuestro caso velocidad promedio): dd2 y > 0 ascenso d1ascenso d d 2 d1v= ==avance t t 2 t1avance 40 t >0 t t1t230 5. Sin embargo, se pueden presentar otros dos casos.a) La razn de cambio promedio es negativa; se tendra entonces lo que la pendiente seala en este caso: y1descenso yy y1m=== 2avancexx2 x1 y0x1 x2b) La razn de cambio promedio es cero, entonces estaramos en la presenciade una recta horizontal como representacin de una funcin constante: y Para cualquier avance y = 0xObserva que la grfica de la velocidad de nuestra funcin d(t) es de ese tipo,debido a que v(t) = 30.v(t)5040302010 tOtra forma de percibir la variacin constante de una funcin lineal esobservando que a intervalos del mismo tamao de la variable independiente lecorresponde una variacin constante de la variable independiente, por lo que larazn de cambio permanecer constante, lo que equivale a la pendiente de larecta representada por la funcin. Lo anterior lo puedes comprobar en larespuesta que diste a la preguntas 2 y 8.t 0 12 3 4 5 6d 40 70 100 130 160 190 220 3030 3030 30 30 31 6. Actividad 2.Analicemos otro problema similar al que vimos en la Actividad 4 de la Unidad 1,con la pretensin de abordar la aceleracin.En un juego de bisbol uno de los jugadores lanza una pelota a otro jugadorcon una velocidad inicial de 80 m/seg. Consideramos que la altura a la que selanza la pelota es cero, la funcin que describe la trayectoria de la pelota es: s(t ) = 80t 4.9t 21. Explica cmo se obtuvo esta funcin.Como recordars, la aceleracin es un concepto que podemos concebir comoel cambio (o variacin) de la velocidad con respecto al tiempo. Como lavelocidad es en s un cambio de la distancia con respecto al tiempo, laaceleracin es el cambio del cambio, esto quiere decir que la pelota cuandocae va incrementando su velocidad 9.8 m/seg cada segundo, por eso lasunidades de la aceleracin son en segundos al cuadrado. Claro que cuando lapelota se va elevando va disminuyendo su velocidad en 9.8 m/seg cadasegundo.2. Completa la tabla siguiente:Variacin (cambio) de la Variacin (cambio) delts(t ) = 80t 4.9t 2altura: sn = s(tn) s(tn-1)cambio de la altura t0 = 0 s(t0) = 0 t1 = 1 s(t1) = 75.1s1 = s(t1) s(t0) = 75.1 t2 = 2 s2 - s1 = t3 = 3 t4 = 4 t5 = 5 t6 = 6 t7 = 7 t8 = 8 t9 = 9t10 = 10t11 = 11Despus de completar la tabla, se observa que la variacin de la variableindependiente ( t ) es constante, es decir, el cambio que resulta ser constantees el segundo cambio, en resumen, el cambio del cambio es constante.Como ya hemos visto, la velocidad promedio de la pelota del tiempo t1 al tiempos(t ) s(t1 ) st2, est dada por v= 2= t 2 t1 t3. Traza la grfica de la funcin s(t).32 7. s 300 200 1000t0246810 12 14 164. Cul es la velocidad de la pelota durante sus primeros 3 segundos, esto es, en el intervalo de 0 a 3 segundos? Y en el intervalo de 2 a 3 segundos? Velocidad en los primeros tres segundos = Velocidad de 2 a 3 segundos =5. Interpreta geomtricamente las velocidades promedio que determinaste en la pregunta 4, para ello, traza las rectas correspondientes que contribuyen a la interpretacin. Ubica en la grfica a s y a t para cada velocidad s promedio encontrada. Qu representa en cada caso? tSi no te queda claro como hacer lo anterior revisa lo que hicimos en la Unidad1, Actividad 4. La revisin que hagas tambin te servir para entender mejor loque sigue.6. Ahora determina la velocidad instantnea, o razn de cambio instantneo cuando t = 3. Con este fin trata de establecer un proceso infinito que nos permita dar el resultado. Para ello completa la tabla siguiente: s(t ) s(3) Intervalo de tiempov=t 3 De 2.9 a 3 De 2.99 a 3 De 2,999 a 3 De 2.9999 a 3 De 2.99999 a 3 De 2.999999 a 3 De 2.9999999 a 3 De 2.99999999 a 3 De 2.999999999 a De 2.9999999999 a 3 De 2.99999999999 a 3 De 2.999999999999 a 3 De 2.9999999999999 a 333 8. Si utilizas calculadora, uno de los problemas a los que te enfrentars es quellega el momento, en que el dispositivo no puede trabajar de manera exactacon tantos decimales. Afortunadamente, observando el patrn que se vagenerando en la sucesin infinita correspondiente a la velocidad promedio,puedes decir cul es la respuesta.La tabla nos muestra que conforme t se acerca cada vez ms y ms a 3 eneste proceso infinito, la velocidad promedio se va aproximando cada vez ms ys(t ) s(3)ms a un valor lmite L, es decir, lim =L t 3t 3Es pertinente aclarar que este lmite que acabas de determinar es un lmite quese llama lmite por la izquierda, pues el proceso infinito que se realiz fue convalores que estn a la izquierda del 3. Si se hubiese hecho el proceso infinitocon valores que estn a la derecha del 3 y se fueran acercando tanto comoquisiramos a 3, entonces tendramos un proceso infinito en el que nosacercamos por la derecha, por esta razn se le llama lmite por la derecha dela funcin. Cuando los valores de ambos lmites coinciden, se dice que el lmitede la funcin existe para el valor considerado, en nuestro caso para t = 3. Loanterior se puede sintetizar como sigue:s(t ) s(3)s(t ) s(3) s(t ) s(3)Si lim = L y lim = L , entonces lim =L t 3 t 3t 3 + t 3 t 3t 3Es muy importante resaltar el resultado anterior (llamado teorema bilateral)pues hay casos, que veremos posteriormente, en donde no coinciden loslmites por la izquierda y por la derecha, por esta razn el lmite no existir.7. Pasemos ahora a verificar que el lmite por la derecha es igual al lmite por s(t ) s(3)s(t ) s(3) la izquierda, es decir que lim = lim , para lo cual tet 3 t 3t 3 +t 3 invitamos a completar la siguiente tabla. s(t ) s(3)Intervalo de tiempov=t 3De 3.1 a 3De 3.01 a 3De 3.001 a 3De 3.0001 a 3De 3.00001 a 3De 3.000001 a 3De 3.0000001 a 3De 3.00000001 a 3De 3.000000001 a 3De 3.0000000001 a 3De 3.00000000001 a 3De 3.000000000001 a 3s(t ) s(3)8. Por qu podemos afirmar que existe v (3) = lim ? t 3t 334 9. Porque:9. La siguiente es la grfica de la funcin s con respecto a t, te pedimos que en ella realices la interpretacin geomtrica de la velocidad promedio de: 0 a 3 segundos, de 1 a 3 segundos, de 2 a 3 segundos, de 2.5 a 3 segundos, de 3 a 4 segundos, de 3 a 3.5 segundos y la velocidad instantnea cuanto t = 3. s 300 200 100 0 t 02 46 810 12 1416En conclusin podemos afirmar que las pendientes de las rectas secantes seidentifican con velocidades promedio, o razones de cambio promedio, y que engeneral la pendiente de la recta tangente a la grfica en el punto (t,s(t))equivale a la velocidad o razn de cambio instantneo de s con respecto a t.Las pendientes de las rectas secantes a la curva que representan a unafuncin son, equivalentes a la razn de cambio promedio y en nuestroproblema se identifican con las velocidades promedio. En general, a partir deun proceso infinito podemos determinar la razn de cambio instantnea deuna funcin f(x), en x = a, representado por: f ( x ) f (a )f (a ) = lmx ax aEn caso de que este lmite exista, se le llama derivada de f en x = a, la cual sedenota por f(a), se le interpreta como la razn de cambio instantnea ygeomtricamente representa la pendiente de la recta tangente en el punto(a,f(a)) de la grfica de f(x).As pues, la derivada de la funcin s cuando t = 3 se simboliza como s(t ) s(3) v (3) = s (3) = lmt 3t 3y representa geomtricamente la pendiente de la recta tangente a la grfica des en el punto (3,s(3)).Tal y como hicimos en la Actividad 4 de la Unidad 1, podemos simplificar elproceso infinito para determinar la velocidad instantnea cuando t = 3seg,mediante el procedimiento siguiente: 35 10. s(t ) s(3) s (3) = v (3) = lm =t 3t 3 (80t 4.9t 2 ) (80(3) 4.9(3)2 ) = lmt 3t 3 4.9t + 80t 195.9 2 = lm t 3 t 3 = lm( 4.9t + 65.3) t 3Hecho lo anterior, podemos preguntarnos qu ocurre con el lm( 4.9t + 65.3) t 3cuando nos acercamos a 3, ya sea por la izquierda o por la derecha. Lapregunta se puede contestar si entendemos lo que ocurre con -4.9t conforme ttiende a 3, por la izquierda o por la derecha, porque como 65.3 es unaconstante, esa cantidad no variar conforme t se acerque a 3.Claro que el lm( 4.9t ) = -14.7, por lo que lm( 4.9t + 65.3) = -14.7 + 65.3 =t 3t 3s(t ) s(3) m50.6, de donde: s (3) = v (3) = lm = 50.6 t 3t 3 seg10. Utilizando las ideas anteriores determina la velocidad instantnea de lapelota cuando t = 5 seg, es decir encuentra s(5) = v(5).Siguiendo el procedimiento simplificado, podemos seguir encontrando lavelocidad instantnea para diferentes valores de t, pero te pedimos que ahoralo hagas no para un valor particular de t, sino en general, para cualquier valorde t, es decir para t = T.Para encontrar el resultado, adems de efectuar correctamente la divisinindicada cuando se calcula la derivada de una funcin, debers resolveradecuadamente y comprender lo que sigue.Actividad 3Responde a las preguntas siguientes: a) lm t b) lm t ? c) lm t ? d) lm 5t ?t 3 t 5t at 32 2 e) lm 4 t ? f) lm t ? g) lm 5t ?h) lm 7t 2 ? t x t 3 t 4t bEn cada uno de los incisos anteriores se est trabajando con una funcin,porque en general los lmites (que estamos tratando) tienen la forma lm f ( x ) .x aTe sugerimos que para que comprendas mejor los resultados que obtuvistetabules parte del proceso infinito en cada caso.Determina la velocidad instantnea de la pelota cuando t = T. Para hacerlo teproponemos que hagas lo siguiente:36 11. s(t ) s(T )a) Substituyas s(t) y s(T) en la frmula de la derivada s (T ) = lm t Tt Tb) Efectes la divisin indicada.c) Calcules el lmite correspondiente.Actividad 4.Con un cartn rectangular de 12 cm por 18 cm, se desea construir una caja sintapa cortando cuadrados de igual tamao en las esquinas del cartn ydoblando para formar los costados de las cajas, como se muestra en la figura: x 12Ancho AltoLargo 18Lo recuerdas? Es la actividad 5 de la Unidad 1. Te sugerimos revisarla.1. Escribe la frmula del volumen de la caja en funcin de x, V(x)= _________.2. Cul es el dominio de la funcin V? DV = ___________________3. Completa la tabla siguiente determinando los resultados numricos.Variacin (cambio)Variacin (cambio) delV (x)Variacin (cambio)x del cambio delcambio del cambio deldel volumen volumen volumen0 V(0) = 01 V(1) =V1 = V(1) V(0) =2 (V1 )=V2 - V1 =3 (V2 ) - (V1 )=456Con tus resultados anteriores habrs verificado que en el caso de la funcinpolinomial de tercer grado (funcin cbica) tomando intervalos del mismotamao ([0,1], [1,2], [2,3],), el cambio que resulta ser constante es el tercercambio.Al respecto podemos resumir nuestra experiencia, la cual inicia con la funcinlineal de la Actividad 1, luego pasa con la funcin cuadrtica en la Actividad 2hasta llegar a lo anterior. En intervalos del mismo tamao las funciones linealestienen variacin (cambio) constante; la funciones cuadrticas tienen unavariacin de la variacin (cambio del cambio), constante; y en las funcionescbicas el tercer cambio (el cambio del cambio del cambio), permanececonstante. Claro que algo similar ocurre con las funciones de cuarto, quinto, n-simo grado, esto es, que las funciones de grado n-simo tienen un cambioconstante en el n-simo cambio, en intervalos del mismo tamao.37 12. 4. El volumen est variando conforme varia x. Cul ser la razn de cambio promedio del volumen de: a) x = 0 a x = 1.b) x = 2 a x = 4 c) x = 3 a x = 5 La variacin o razn de cambio promedio la debiste calcular utilizando la V Vi Vfrmula V = f=xf x i x5. En la representacin grfica de la funcin V, dibuja las rectas que pasan por los puntos que se te indica, determina su pendiente e indica qu relacin tienen con la razn de cambio promedio, sealando en cada caso a V ex . a) (0,V(0)) y (1,V(1)) b) (2,V(2)) y (4,V(4))c) (3,V(3)) y (5,V(5)) V 200 150 10050 0012 345 6 xSeguramente has observado que las pendientes de las rectas secantes quepasan por las parejas de puntos indicados son iguales a las razones de cambiopromedio respectivas.6. Encuentra la razn de cambio instantnea del volumen para x = 2, es decir V ( x ) V (2) determina el resultado de V (2) = lm.x 2x 2V ( x ) V (2) V (2) = lm = x 2x 27. Encuentra la razn de cambio instantnea del volumen para x = 3.V(x) V(3) V (3) = lm = x 3x 338 13. Podemos continuar preguntando o resolviendo casos particulares de la raznde cambio instantneo, pero es ms conveniente resolver el caso general.8. Determina la razn de cambio instantneo del volumen cuando x = a cm. Te pedimos completes los pasos que te indicamos, tomando en cuenta que V ( x ) = (18 2 x )(12 2 x ) x . o bien haz el producto V ( x ) = 4 x 3 60 x 2 + 216 xV ( x ) V (a ) a) Substituye los valores de V(x) y V(a) en la frmula V (a ) = lm x ax a b) Efecta la divisin indicada. V ( x ) V (a )=xa c) Calcula el lmite del cociente resultante.V ( x ) V (a ) lm = x axaA continuacin te mostramos como se determina V(4) con el fin de que te sirvade ejemplo para verificar lo que hiciste.V ( x ) V (4) V (4) = lm x 4x4(4 x 3 60 x 2 + 216 x ) (4(4)3 60(4)2 + 216(4))= lm x 4 x44( x 4 ) 60( x 42 ) + 216( x 4) 3 32= lm x 4x4= lm(4( x + 4 x + 4 ) 60( x + 4) + 216) 2 2 x 4= lm(4 x 2 44 x + 40) x 4= 4(4)2 44(4) + 40= - 72Como bien te puedes dar cuenta, hicimos uso de los lmites siguientes:lm 4 x 2 = 4(42 ) = 64 , lm( 44 x ) = 44(4) = 176 y lm 40 = 40 . Adems, Elx 4 x 4x 4agrupamiento que hicimos en la tercera lnea, el cual te recomendamosrealices siempre que sea posible, fue para utilizar los resultados que teinvitamos a comprobar9. Comprueba y completa lo siguiente:x 2 a2x 3 a3 a)= x +ab)= x 2 + ax + a 2 x a x ax 4 a4x 5 a5 c)= x 3 + ax 2 + a 2 x + a3 d)= x a x a 39 14. x n an e) =x a En todos los incisos anteriores x puede tomar cualquier valor?10. Es muy importante no olvidar el significado geomtrico de la derivada, por loque te pedimos dibujes las rectas tangentes a la grafica de V en los puntos(2,V(2)), (3,V(3)) y (4,V(4)) y verifiques que sus pendientes son iguales a lasrazones de cambio instantneo de V cuando x = 2, 3 y 4, respectivamente.La verificacin la puedes realizar. de manera aproximada, dibujando la rectatangente y tomando dos puntos por donde pasa para calcular su pendiente.Gracias al trabajo realizado, estamos en condiciones de encontrar el volumenmximo que puede alcanzar la caja.11. Contesta cuidadosamente a cada una de las preguntas siguientes:a. Qu significado geomtrico tiene V(1)? b. Cmo se encuentra la pendiente de la recta tangente a la grfica de Ven el punto (3.5,V(3.5))? c. Ubica en la grfica para qu valor de x la derivada de la funcin V(x)es igual a cero? d. Qu valor tiene la pendiente de la recta tangente para el volumenmximo de la caja?En la respuesta de la pregunta 8 obtuviste que V ( x ) = 12 x 2 120 x + 216 .Ahora, despus de responder a las preguntas anteriores te quedar claro queel volumen mximo de la caja se obtiene para el valor de x en donde lapendiente de la recta tangente es cero. Lo anterior lo podemos decir de otraforma, que el volumen mximo se obtiene para el valor de x en donde laderivada de V es cero.12. Determina el valor de x para el cual la caja tiene el volumen mximo. Parahacerlo te sugerimos resuelvas la ecuacin de segundo grado que resultade igualar a cero la derivada.Si no pudiste resolver lo anterior, te pedimos analices como lo hacemosnosotros:Partimos de la ecuacin de segundo grado V ( x ) = 12 x 2 120 x + 216 = 0, paraencontrar sus races, primero reduzcamos al mximo sus coeficientes, hastaobtener la ecuacin x 2 10 x + 18 = 0 , ahora se deben de identificar los valoresde a, b y c, despus sustituirlos en la frmula general para encontrar el o losvalor(es) correspondiente de x.40 15. 10 102 4(1)18As pues, x =, que despus de simplificar queda como2(1)x = 5 7 . Finalmente, considerando el dominio de la funcin llegamos a laconclusin de que el resultado exacto es: x = 5 7 .El valor de x para el cual la caja tiene su volumen mximo es x = (5 7 ) cm ydicho volumen es V( 5 7 )= (80 + 56 7 ) cm3. Si deseamos encontrar elresultado con decimales es imposible, pues hemos obtenido nmerosirracionales, es decir que no tienen periodo. Sin embargo, es posible escribiruna solucin aproximada si se desea, por ejemplo que el lado de los cuadradosque se van a cortar midan x 2.3542486889354094094983842463607 cm y elvolumen de la caja V( 5 7 ) 228.1620734196170730680904822038 cm3.Conforme la aplicacin que se desee darle se selecciona la aproximacin quems conviene, pero las matemticas, en este caso, proporcionan el resultadoexacto.Ejercicio 1.Encuentra la derivada de la funcin en el punto que se indica, utilizando la f ( x ) f (a )definicin de derivada f (a ) = lim,x ax a1. f(-1) si f ( x ) = 2 x 2 + 5 . 2. f(4) si f ( x ) = x 3 5 x 2 4 x 1Ejercicios.1. En la tabla se muestra la estatura (en centmetros) de Emilio, medida cada ao durante sus primeros 14 aos.Edad Estatura 051 175 279 394 499 5 110 6 114 7 122 8 127 9 13210 13811 14312 14813 15414 167 a) Si E nos representa la edad de Emilio y H su altura, la funcin E(H) es lineal? b) La funcin es lineal, cuadrtica, cbica o de otro tipo? Cmo lo sabes? c) Cul es el cambio o variacin de estatura entre los 4 y los 14 aos?41 16. d) Creci Emilio ms rpidamente durante los primeros cuatro aos devida o en los siguientes 10 aos?Recuerda que para contestar este tipo de pregunta es necesario utilizar larazn o rapidez de cambio promedio. Las unidades de medida de la razn son,en este caso, centmetros por ao.2. Los altos niveles de PCB (bifenil policlorado, un contaminante industrial) en el ambiente, afectan a los pelcanos. En la siguiente tabla se muestra que a medida que aumenta la concentracin de PCB en los huevos de los pelcanos decrece su grosor, por lo que es muy probable que se rompan. En la tabla c representa los niveles de PCB en partculas por milln (pmm) y g el grosor de los huevos de pelcano, medido en milmetros (mm)c (pmm) 87 147 204 289 356 452g(c) (mm) 0.44 0.39 0.28 0.23 0.22 0.14 a) Encuentra la rapidez de cambio promedio del grosor g de los cascarones a medida que cambia c de 87 a 452. b) Cundo es mayor la rapidez de cambio promedio en el grosor: de 87 a 147, de 356 a 452 o de 87 a 452? c) Qu unidades de medida tiene la rapidez de cambio promedio? d) Qu significado tiene el que los resultados sean negativos?3. En la siguiente tabla se muestra la produccin mundial de bicicletas de algunos aos seleccionados entre 1950 y 1990. La produccin de bicicletas est dada en millones.A (ao) 1950 1960 1970 1980 1990 1993b (millones) 112036 6290 108 a) Encuentra el cambio de produccin de bicicletas b entre 1950 y 1990. Da unidades. b) Encuentra la rapidez de cambio promedio entre 1950 y 1990, da las unidades de medida e interpreta tu respuesta en trminos de b. c) Encuentra la rapidez de cambio promedio entre 1950 y 1960 y entre 1990 y 1993, da las unidades de medida, compara los resultados e interprtalos.4. Cul de las siguientes tablas de valores representan funciones lineales, cules cuadrticas y cules cbicas?a) x0 1 2 3 b) x 0 2 4 6 8 f(x) 25 30 35 40 f(x) 1 5 17 37 65 c)x -3 0 3 6d) x 2 1 0 1 2 f(x) 10 16 22 28 f(x) 4 1 0 1 45. El costo (en pesos) de producir x unidades de cierto artculo es: C(x) = 0.5x2 + 10x + 500 a) Encuentra la razn de cambio promedio de C con respecto a x cuando elcosto de produccin cambia de x = 100 a x = 105 y sus unidades demedida. b) Encuentra la razn de cambio instantnea de C con respecto a x, cuandox = 100.6. Una partcula se est moviendo conforme la ecuacin s(t) = 3t3 + 5t2 + 3t+10 (con s en metros y t en segundos), como se muestra en la grfica de la funcin s(t).42 17. y605040302010 0x 0 0 .2 0 .4 0 .6 0 .8 11 .2 1 .4 1 .6 1 .8 2 2. Determina: a) Su velocidad promedio durante los primeros dos segundos. b) Su velocidad instantnea exactamente a los dos segundos, esto es, s(t ) s( 2 )v( 2 ) = lim t 2t 2 c) En la grfica traza la recta que pasa por los puntos (0,s(0)) y (1,s(1)), ydeterminar su pendiente; traza la recta tangente en el punto (2,s(2)).7. Determina: a) La funcin que se est derivando y en qu punto. b) Mediante una tabla encuentra el nmero al que se va aproximando suderivada en el proceso de lmite:2x 2 + x 1x x +1-0.9 -0.992x2 + x 1 lim-0.999 x 1x +1-0.9999-0.99999 -0.999999-1-1.000001 -1.00001-1.0001 -1.001-1.01 -1.18. Se lanza una pelota hacia arriba desde el suelo con una velocidad inicial de 30 m/seg, su altura s en metros transcurridos t segundos, esta dada por s( t ) = 30t 5t 2 . Determina: a) Su velocidad promedio para el periodo de t =2 seg a t = 5 seg. 43 18. b) Completa la tabla y con base en ella determina su velocidad instantneacuando t = 5 seg.Intervalo de tiempo s(t) s(5)Velocidad promedio= t 5De 2 a 5 seg.De 3 a 5 seg.De 4 a 5 seg.De 4.9 a 5 seg.De 4.99 a 5 seg. De 4.999 a 5 seg.De 4.9999 a 5 seg. De 4.99999 a 5 seg. De 4.999999 a 5 seg.De 4.9999999 a 5 seg. De 4.99999999 a 5 seg. De 4.999999999 a 5 seg.De 4.9999999999 a 5 seg.-20 c) Con base en la grfica de la funcin s( t ) = 30t 5t : (i) traza la recta que2pasa por los puntos (2,s(2)), (5,s(5)) y determina su pendientegrficamente y mediante frmula; (ii) traza la recta tangente que pasapor el punto (5,s(5)) y determina su pendiente grficamente y mediantefrmula; (iii) Qu relacin guarda esto con los incisos a y b? s40302010 00 1 23 4 56t9. Desde lo alto de un edificio de 125 metros de altura, se deja caer una pelotay sta se desplaza hacia el suelo durante un tiempo t, medido en segundos.La distancia que recorre la pelota est dada por la funcin: s(t) = 5t2.a) Cunto tarda la pelota en llegar al suelo?b) Cul es la velocidad promedio de la pelota durante el tiempo que cae?c) Cul es la velocidad de la pelota exactamente a los dos segundos?d) Con qu velocidad viaja la pelota cuando choca contra el suelo?10. Se lanza una pelota hacia arriba con una velocidad de 40 m/s. Su alturadespus de t segundos se expresa con la funcin: s(t) = 40t 5t2. Encuentrala velocidad cuando t = 3.44 19. 11. La funcin s(t) = 4t3 + 6t + 2 denota el desplazamiento (en metros) de unapartcula que se mueve en lnea recta. En dicha expresin t se mide ensegundos, encuentra la velocidad de la partcula en los instantes: t = 1, t = 2y t = 3. Usa la funcin derivada s(t) describiendo brevemente, en cadacaso, el proceso de lmite involucrado.12. El combustible de un cohete se quema totalmente transcurridos 30segundos de vuelo. En los primeros t segundos el cohete alcanza una alturah(t) = 10t3 metros.a) Cul es la velocidad promedio del cohete durante sus primeros 30 segundos?b) A qu velocidad viaja el cohete cuando t = 10 seg?c) A qu velocidad est viajando el cohete en el momento en que se le agota el combustible?13. Encuentra la ecuacin de la recta tangente a la parbola y = x2 2x en elpunto P(1, 1). Bosqueja la grfica.14. Encuentra la ecuacin de la recta tangente a la curva y= x3 x + 1 en elpunto P(2, 7).15. Escribe la ecuacin de la recta tangente a la curva: f(x) = 5 x 2x2 en elpunto P(1, 4)16. Determina cules son las funciones que se estn derivando en un punto,para qu punto y, mediante una tabla, el nmero al que se van aproximandolos siguientes lmites, o lo que es lo mismo, las derivadas: 3 x 12 ( 2x 2 3 ) 5( 2 x 2 + x 1)a) lmb) lmc) lm x 4 x 4x 2x 2x 1 x +1f( x ) f(a)17. Utilizando la definicin de derivada f ( a ) = lm, determinar: x a x aa) f(2) si f(x) = 3x 2b) f(-1) si f ( x ) = 2 x 2 4c) f(3) si f ( x ) = 5 x 2 4 x d) f(0) si f ( x ) = 2 x 2 + 7 x +1e) f(4) si f ( x ) = 2 x 3 5 x 2 4 x + 3 f) f(-5) si f ( x ) = 4 x 3 + 3 x 2 7 x + 918. Un globo de 5cm de radio se est inflando por lo que su radio vaaumentado. Determina la razn de cambio promedio del volumen del globo(suponiendo que es una esfera) con respecto a su radioa) Cuando aumenta de 5 a 7 cm.b) Cuando aumenta de 6 a 7 cm.c) Su razn de cambio instantneo a los 6 cm. 45