UNIDAD 3. RESPUESTA DINMICA 3.1 SISTEMAS DE 1ER ORDEN. 3.1.1 RESPUESTA AL ESCALN UNITARIO. 3.1.2 RESPUESTA A LA RAMPA. 3.2 SISTEMAS DE 2 ORDEN. 3.2.1 CLASIFICACIN. 3.2.2 PARAMETROS DE LA RESPUESTA SUBAMORTIGUADA ANTE LA ENTRADA ESCALN. 3.3 SISTEMAS DE ORDEN SUPERIOR.

UNIDAD 3. RESPUESTA DINMICA3.1 SISTEMAS DE 1ER. ORDEN Considere el sistema de primer orden. Fsica mente, este sistema representa un circuito RC, un sistema trmico o algo similar. La figura presenta un diagrama de bloques simplificado. La relacin entrada-salida se obtiene mediante:

En lo sucesivo, analizaremos las respuestas del sistema a entradas tales como la funcin escaln unitario, rampa unitaria e impulso unitario. Se supone que las condiciones iniciales son cero. Observe que todos los sistemas que tienen la misma funcin de transferencia exhibirn la misma salida en respuesta a la misma entrada. Para cualquier sistema fsico dado, la respuesta matemtica recibe una interpretacin fsica. Respuesta escaln unitario de sistemas de primer orden. Dado que la transformada de Laplace de la funcin escaln unitario es l/s, sustituyendo R(s) = 1/s obtenemos:

Si tomamos la transformada inversa de Laplace de la ecuacin obtenemos

La ecuacin anterior plantea que la salida c(t) es inicialmente cero y al final se vuelve unitaria. Una caracterstica importante de tal curva de respuesta exponencial c(t) es que, para t = T, el valor de c(t) es 0.632, o que la respuesta c(t) alcanz 63.2% de su cambio total. Esto se aprecia con facilidad sustituyendo t = T en c(t). Es decir,

Observe que, conforme ms pequea es la constante de tiempo T, ms rpida es la respuesta del sistema. Otra caracterstica importante de la curva de respuesta exponencial es que la pendiente de la lnea de tangente en t = 0 es 1/T, dado que

La respuesta alcanzara el valor final en t = T si mantuviera su velocidad de respuesta inicial. A partir de la ecuacin anterior vemos que la pendiente de la curva de respuesta c(t) disminuye en forma monotnica de 1/ T en t = 0

La curva de respuesta exponencial c(t) ) aparece en la figura anterior. En una constante de tiempo, la curva de respuesta exponencial ha ido de 0 a 63.2% del valor final. En dos constantes de tiempo, la respuesta alcanza 86.5% del valor final. En t = 3T, 4T y 5T, la respuesta alcanza 95,98.2 y 99.3%, respectivamente, del valor final. Por tanto, para t =4T, la respuesta permanece dentro del 2% del valor final. El estado estable se alcanza matemticamente slo despus de un tiempo infinito. Sin embargo, en la prctica, una estimacin razonable del tiempo de respuesta es la longitud de tiempo que necesita la curva de respuesta para alcanzar la lnea de 2% del valor final, o cuatro constantes de tiempo. Respuesta rampa unitaria de sistemas de primer orden. Dado que la transformada de Laplace de la funcin rampa unitaria es 1/s 2, obtenemos la salida del sistema como:

La entrada rampa unitaria y la salida del sistema se muestran en la figura. El error despus de la entrada rampa unitaria es igual a T para una t suficientemente grande. Entre ms pequea es la constante de tiempo T, ms pequeo es el error en estado estable despus de la entrada rampa.

Respuesta impulso unitario de sistemas de primer orden. Para la entrada impulso unitario, R(s) = 1 y la salida del sistema es:

O bien

3.1.1 RESPUESTA AL ESCALN UNITARIO

donde k y son la ganancia del sistema y la constante de tiempo respectiva- mente.La ecuacin (4.1) est gracada en la gura 4.2

Constante de tiempoLa amplitud y duracin de la respuesta transitoria deben mantenerse dentro de lmites tolerables definidos.En sistemas de control lineales la caracterizacin del transitorio comnmente se realiza utilizando un escaln unitario a la entrada.Especificaciones en el dominio del tiempoSobreimpulso mximo:

Tiempo de retardo td Tiempo para que la respuesta alcance el 50% de su valor final. Tiempo de levantamiento tr. Tiempo para que la respuesta se eleve de un 10% a un 90% de su valor final. Medida alternativa: reciproco de la pendiente de la respuesta al escaln en td. Tiempo de asentamiento ts Tiempo para que la respuesta se mantenga dentro de una banda determinada. Frecuentemente se utiliza 5%

3.1.2 RESPUESTA A LA RAMPALa respuesta de un sistema de primer orden representado por su funcin de transferencia cuando t ,e t 0, y la seal de error e(t) se aproxima a , es decir e()=

El error entre la seal de entrada y la seal de salida ante una rampa unitaria en un instante de tiempo sucientemente grande t es igual a la constante de tiempo . Entre ms pequea sea la constante de tiempo, el error de seguimiento es menor.3.2 SISTEMAS DE 2 ORDEN La funcin de transferencia de un sistema de segundo orden se expresa como:l comportamiento dinmico del sistema de segundo orden se describe a continuacin en trminos de dos parmetros y wn. El valor de toma diferentes valores dependiendo de su ubicacin en el plano s. El semiplano izquierdo del plano s corresponde a un amortiguamiento positivo (>0), esto causa que la respuesta escaln unitario establezca un valor final constante en el estado estable debido al exponente negativo (-w nt). Por lo tanto el sistema es estable. El semiplano derecho del plano s corresponde a un amortiguamiento negativo ( 1 . La respuesta transitoria de los sistemas crticamente amortiguados y sobreamortiguados no oscila. Si = 0, la respuesta transitoria no se amortigua. Ahora obtendremos la respuesta del sistema para una entrada escaln unitario. Consideraremos tres casos diferentes: (1) Caso subamortiguado (0 < < 1): en este caso, C(s)/R(s) se escribe como

(2) Caso crticamente amortiguado ( = 1): si los dos polos de C(s)/R(s) son casi iguales, el sistema se aproxima mediante uno crticamente amortiguado. Los polos se encuentran ubicados en:

(3)Caso sobreamortiguado ( > 1): en este caso, los dos polos de C(s)/R(s) son reales negativos y diferentes.

3.2.1 CLASIFICACINControl proporcional. Accin del control proporcional-pLa seal de control generada por el controlador es proporcional a la desviacin que representa la salida respecto de la referencia.Caractersticas de la Accin de Control Proporcional Mejora la dinmica del sistema Mejora la precisin del sistema: pero no desaparece el error estacionario Aumento de la inestabilidad relativa Aparicin de saturaciones

Control proporcional en sistemas de primer orden

Control proporcional en sistemas de segundo orden

3.2.2 PARMETROS DE LA RESPUESTA SUBAMORTIGUADA ANTE LA ENTRADA ESCALNEs frecuente caracterizar los sistemas subamortiguados mediante la respuesta a la seal escaln. Existen diversas relaciones entre los distintos valores que alcanza la respuesta y los parmetros que definen el sistema. De este modo, sobre una respuesta subamortiguada tpica, ver Figura.-1.18, es posible definir el valor del sobreimpulso o sobreelongacin mxima M, el tiempo de subida Ts, el tiempo de pico Tp y el tiempo de establecimiento Te.

Las expresiones que relacionan estos valores con los parmetros del sistema son: Tiempo de Subida:

El tiempo de establecimiento representa el tiempo que necesita el sistema para que la diferencia entre el valor de la seal y el valor lmite en estado estacionario difieran un porcentaje determinado. Por ello se definen dos tiempos de establecimiento: Te5 cuando la seal est a menos de un 5% del valor final; Te2 cuando est a menos de un 2%. Igualmente suele definirse un trmino similar para sistemas crticamente amortiguados, cuya expresin es:Tiempo de establecimiento amortiguacin crtica al 5%:

3.3 SISTEMAS DE ORDEN SUPERIORSistema de orden superior (SOS) queda descrito por funcin de transferencia

con zi y pj ceros y polos en general complejosLa respuesta escaln de amplitud A ser

Caso 1: Polos en general distintosAplicando la L-1

La contribucin de cada polo pi en la respuesta transitoria depende la magnitud del residuo Ki y de su colocacin relativaLa contribucin de K0 es relativa al rgimen estacionario.La contribucin de cada polo pi en la respuesta transitoria depende la magnitud del residuo Ki y de su colocacin relativaLa contribucin de K0 es relativa al rgimen estacionario.Si Ki es bajo, su contribucin es despreciable, y si Re (pi)