INSTITUTO TECNOLOGICO DE ACAPULCOINGENIERIA ELECTROMECANICAINGENIERA DE CONTROL CLSICO

UNIDAD 1: SISTEMAS DE CONTROL

Profesor: Ing. Arquimides Ramrez FrancoEquipo:Zabala Oseguera Cindy Viridiana (R) 11321130Tejada Hernndez Jess Alfredo 11321114Ziga Gamboa Jos Alfredo 11321131Jurez Ramrez Ulises 11321111Rodrguez Domnguez Arturo 11321097Barrera Prez Orlando Jair 11320974Muoz Pineda Adrin 10320545

Horario: 11:00-12:00 hrsSemestre: Ene-Jun/2015

UNIDAD 1.-SISTEMAS DE CONTROL.SISTEMAS DE CONTROL.Los sistemas de control, segn la teora ciberntica, se aplican en esencia para los organismos vivos, las mquinas y las organizaciones. Estos sistemas fueron relacionados por primera vez en 1948 por Norbert Wiener en su obra Ciberntica y Sociedad con aplicacin en la teora de los mecanismos de control. Un sistema de control est definido como un conjunto de componentes que pueden regular su propia conducta o la de otro sistema con el fin de lograr un funcionamiento predeterminado, de modo que se reduzcan las probabilidades de fallos y se obtengan los resultados buscados.Hoy en da los procesos de control son sntomas del proceso industrial que estamos viviendo. Estos sistemas se usan tpicamente en sustituir un trabajador pasivo que controla un determinado sistema (ya sea elctrico, mecnico, etc.) con una posibilidad nula o casi nula de error, y un grado de eficiencia mucho ms grande que el de un trabajador. Los sistemas de control ms modernos en ingeniera automatizan procesos en base a muchos parmetros y reciben el nombre de controladores de automatizacin programables (PAC).Los sistemas de control deben conseguir los siguientes objetivos:1. Ser estables y robustos frente a perturbaciones y errores en los modelos.2. Ser eficiente segn un criterio preestablecido evitando comportamientos bruscos e irreales.1.1.- MARCO CONCEPTUAL.1.1.1 CONTROL, SISTEMA, PROCESO, ACTUADOR, VARIABLE CONTROLADA, VARIABLE MANIPULADA, SISTEMA DE CONTROL, PERTURBACION, ENTRADA DE REFERENCIA.Para entrar al estudio de los Sistemas de Control, se deben definir los siguientes trminos: Control: esta palabra se usa para designar regulacin, gobierno, direccin o comando. Es una estrategia que verifica lo que ocurre (realidad) con respecto a lo que debera ocurrir (objetivo) y de no existir concordancia se toman acciones para corregir la diferencia.

Sistema de Control Automtico: Sistema que reemplaza al factor humano en la realizacin de tareas peligrosas, repetitivas, montonas, que requieren especial atencin.

Tipos de sistemas:

Control Automtico en lazo abierto: La salida no tiene efecto sobre la entrada (accin de excitacin).NO se mide, NO se realimenta para modificar la entrada. A cada entrada le corresponde una condicin de trabajo fija. Slo se puede usar el control en lazo abierto si la relacin entre la entrada y la salida es conocida y si no hay perturbaciones.

Control Automtico en lazo cerrado: La accin (excitacin al sistema) depende de la reaccin (respuesta) en cada instante del sistema.

La respuesta se compara con el valor deseado y la diferencia entre ambas (error) se utiliza para actuar sobre el proceso con el fin de reducir el error y llevar la respuesta al valor deseado.

Variable manipulada: estmulo aplicado al proceso por el equipo de control con el fin de lograr que la variable controlada alcance el valor deseado.

Variable controlada: respuesta obtenida del sistema controlado.Perturbacin:1. Seal aditiva NO deseada que tiende a afectar el valor de la salida del sistema.2. Cualquier causa que hace que la variable controlada se desve de su objetivo.

Sistema:Conjunto de elementos y reglas que organizados e interrelacionados entre s contribuyen a generar un resultado. Poseen caractersticas propias que los definen, que pueden ser constantes (parmetros del sistema) y cambiantes en el tiempo (variables del sistema) las cuales permiten determinar su comportamiento.

Sistema: Es un ensamblaje de componentes que proporcionan acciones interrelacionadas entre s, los cuales se caracterizan por poseer parmetros inherentes que los definen y por mostrar condiciones fsicas asociadas. A los parmetros de cada elemento se les denomina parmetros del sistema y las condiciones fsicas de cada componente cambiantes con el tiempo determinan el estado del sistema en cada momento y se les denominan variables del sistema.

Es potencialmente aplicable a un conjunto diverso de fenmenos. Los sistemas se definen en todas las reas. En control lo analizaremos en el contexto de sistemas fsicos que se describen por leyes de las ciencias fsicas.

Proceso: El trmino proceso, para los fines de control significa el equipo a automatizar en donde se estabiliza la variable de control, a travs de los sensores, actuadores y controladores. Conjunto de fases consecutivas en un fenmeno natural, en un rea o en una actividad, que tiene cambios de estado de acuerdo a condiciones dadas.

Ejemplo: Procesos elctricos, mecnicos, manufactura, alimentos, energa, hidrocarburos, transporte, comunicaciones, entre otros.

Actuador:Conjunto de equipos o elementos de mquinas que actan juntos con el propsito de realizar una operacin en particular. Ejemplo: Plantas elctricas, de Gas, Qumicas, Hidroelctricas, energa nuclear, de fabricacin, entre otros.

Planta de hidrocarburos.

Variable Controlada: Variable a mantener dentro de ciertas condiciones. Variable Manipulada: Variable modificada intencionalmente para influir en la variable controlada. Los actuadores son los elementos finales de control, tienen por funcin alterar el valor de la variable manipulada con el fin de corregir o limitar la desviacin del valor controlado, respecto al valor deseado. Los fabricantes actualmente proveen una serie de actuadores como: motores, vlvulas, rels, y swicthes. Los actuadores ms importantes son:

Actuadores Elctricos: Son usados en la industria y en aplicaciones comerciales para posicionar dispositivos de movimientos lineal o rotacional. Tales como swicthes, rels, motores y otros.

Actuadores Neumticos: Aceptan seales de presin pequeas, desde los posicionado res neumticos y mediante un diafragma, convierten estas seales en movimientos mecnicos.

Actuadores Hidrulicos: Los actuadores hidrulicos operan en forma similar a los posicionadores neumticos, pero con una mayor fuerza de accin, para ser usados en compuertas, gras, elevadores y otros.

VARIABLE CONTROLADA: Es el parmetro ms importante del proceso, debindose mantener estable (sin cambios), pues su variacin alterara las condiciones requeridas en el sistema, su monitoreo a travs de un sensor es una condicin importante para dar inicio al control.

Al analizar el ejemplo mostrado del intercambiador de calor se observa, la intencin de calentar agua a travs del vapor, para lo cual se deber tener en cuenta las diversas variable de proceso como son: los flujos de vapor y agua, las presiones de vapor y las temperaturas del agua; pero, la ms importante del sistema es la temperatura de salida del agua, por lo tanto la Variable Controlada.

VARIABLE MANIPULADA: Es el parmetro a travs del cual se debe corregir las perturbaciones del proceso, colocndose un actuador para lograr estabilizar el sistema. En el ejemplo del intercambiador de calor, quien proporciona mayor o menor cantidad de energa al sistema es el ingreso de vapor, por lo tanto la variable a manipular ser el flujo de ingreso de vapor.

PERTURBACION: es una seal que tiende a afectar adversamente el valor de la salida de un sistema. Si lo perturbacin se genera dentro del sistema se la denomina interna, mientras que una perturbacin externa se genera fuera del sistema. Las perturbaciones actan sobre un sistema modificando, su funcionamiento por lo que su presencia implica la necesidad de control. Normalmente las perturbaciones actan sobre un sistema aleatoriamente.Las respuestas de un proceso a una determinada perturbacin estn casi siempre caracterizadas por dos constantes: una constante de tiempo (t) y una ganancia esttica. La ganancia es la amplificacin o atenuacin de la perturbacin en el interior del proceso y no tiene interferencia con las caractersticas de tiempo de respuesta.La constante de tiempo, es la medida necesaria para ajustar un sistema de una perturbacin en la entrada y puede ser expresada como producto de: t = resistencia x capacidad.ENTRADA DE REFERENCIA: Con el controlador armado hasta el paso anterior, el sistema planta/controlador funciona correctamente como regulador: para volver al punto de equilibrio a partir de una condicin inicial distinta a ese punto de equilibrio, o para el rechazo de perturbaciones. Distinto es el caso de pretender que la salida y del sistema, siga la evolucin de una seal deseada de referencia r. El problema es cmo introducimos en el esquema anterior (figura 2), dicha seal. La manera ms sencilla de realizarla es como se muestra en la figura 3, donde envs de introducir al estimador la seal medida y, se la alimenta con la diferencia entre la referencia y la medicin (y-r). Esta forma de introducir la entrada a referencia es semejante a la que se utiliza en control clsico, pero como veremos no es la nica manera de introducir la referencia en el sistema, y que hay maneras ms convenientes que sta. De la manera que el sistema ha sido retroalimentado, la posicin de los polos de la funcin transferencia entre la referencia r y la salida y quedan completamente definidos. Veremos que segn cmo introduzcamos esta seal de referencia r dentro del controlador, tendremos la capacidad de mover los ceros de la funcin de transferencia mencionada.

1.2.- CONTROL EN LAZO ABIERTO.

Sistemas de control en lazo abierto.

En ellos la seal de salida no influye sobre la seal de entrada. La exactitud de estos sistemas depende de su programacin previa. Es preciso se prever las relaciones que deben darse entre los diferentes componentes del sistema, a fin de tratar de conseguir que la salida alcance el valor deseado con la exactitud prevista. El diagrama de bloque de un sistema en lazo abierto es:

Estos sistemas se controlan directamente, o por medio de un transductor y un actuador. En este segundo caso el diagrama de bloques tpico ser:

La funcin del transductor es modificar o adaptar la seal de entrada, para que pueda ser procesada convenientemente por los elementos que constituyen el sistema de control.

Caractersticas:

No se compara la salida del sistema con el valor deseado de la salida del sistema (referencia).

Para cada entrada de referencia le corresponde una condicin de operacin fijada.

La exactitud de la salida del sistema depende de la calibracin del controlador.

En presencia de perturbaciones estos sistemas de control no cumplen su funcin adecuadamente.

El control en lazo abierto suele aparecer en dispositivos con control secuencial, en el que no hay una regulacin de variables sino que se realiza una serie de operaciones de manera determinada. Esa secuencia de operaciones puede venir impuesta por eventos (event-driven) o por tiempos (time-driven). Se programa utilizando PLCs (controladores de lgica programable).

Ejemplos

1. Lavadora:

Funciona sobre una base de tiempos Variable de salida limpieza de la ropa no afecta al funcionamiento de la lavadora.

1.2.1.-REPRESENTACION MEDIANTE DIAGRAMA DE BLOQUES.

Un diagrama de bloques funcional o diagrama de bloques de procesos es la representacin grfica de los diferentes procesos de un sistema y el flujo de seales donde cada proceso tiene un bloque asignado y stos se unen por flechas que representan el flujo de seales que interaccionan entre los diferentes procesos.

Diagrama de bloques funcional del control de actitud y las maniobras sistema electrnico.Las entradas y salidas de los bloques se conectan entre s con lneas de conexin o enlaces. Las lneas sencillas se pueden utilizar para conectar dos puntos lgicos del diagrama, es decir: Una variable de entrada y una entrada de un bloque Una salida de un bloque y una entrada de otro bloque Una salida de un bloque y una variable de salidaSe muestran las relaciones existentes entre los procesos y el flujo de seales de forma ms realista que una representacin matemtica.Del mismo modo, tiene informacin relacionada con el comportamiento dinmico y no incluye informacin de la construccin fsica del sistema.Muchos sistemas diferentes se representan por el mismo diagrama de bloques, as como diferentes diagramas de bloques pueden representar el mismo sistema, desde diferentes puntos de vista.En los diagramas de bloques funcionales se pueden describir el comportamiento de sistemas fsicos o reales descritos por un modelo matemtico no obstante es muy importante utilizar estos diagramas. Estos diagramas y sus relaciones estn definidas y tienen reglas bsicas que mejoran el anlisis mediante su comprensin. Un modelo matemtico lineal en el dominio de la frecuencia puede tener representacin mediante los elementos que se describen a anteriormente.

Bloque de modelo matemtico.

1.2.2.-ANALISIS DE EJEMPLOS REALES.

El anlisis real o teora de las funciones de variable real es la rama del anlisis matemtico que tiene que ver con el conjunto de los nmeros reales. En particular, estudia las propiedades analticas de las funciones y sucesiones de nmeros reales; su lmite, continuidad y el clculo de los nmeros reales.

Anlisis de Fourier: Aproximacin de una funcin discontinua mediante una serie puntualmente convergente de funciones senoidales.Alcance:El anlisis real es un rea del anlisis matemtico que estudia los conceptos de sucesin, lmite, continuidad, diferenciacin e integracin. Dada su naturaleza, el anlisis real est limitado a los nmeros reales como herramientas de trabajo.Resultados importantes incluyen entre otros el teorema de Bolzano-Weierstrass, el teorema de Heine-Borel, el teorema del valor medio y el teorema fundamental del clculo.Conceptos bsicos:Los textos del clculo avanzado normalmente comienzan con una introduccin a las demostraciones matemticas y a la teora de conjuntos. Tras esto se definen los nmeros reales axiomticamente, o se los construye con sucesiones de Cauchy o como cortes de Dedekind de nmeros racionales. Despus, hacen una investigacin de las propiedades de los nmeros reales, siendo de las ms importantes la desigualdad triangular.Sucesiones y series:Tras definir los nmeros reales, se investigan las sucesiones de nmeros reales y su convergencia, un concepto central en anlisis, a travs de los lmites de sucesiones o puntos de acumulacin de conjuntos. Posteriormente se estudian las series, como las series alternadas y las series de potencias.Se estudia, para empezar a desarrollar conceptos topolgicos elementales, varios tipos de subconjuntos de los nmeros reales: conjuntos abiertos, conjuntos cerrados, espacios compactos, conjuntos conexos, etc. Donde se estudian el teorema de Bolzano-Weierstrass y el de Heine-Borel.Funciones continua:Ahora se estudian las funciones de variable real, y se define el concepto de funcin continua a partir de la definicin psilon-delta del lmite de una funcin. Entre las propiedades de una funcin continua definida en un intervalo destacan los teoremas conocidos como el teorema de Bolzano, el teorema del valor intermedio y el teorema de Weierstrass.Derivacin o diferenciacin:En este momento se puede definir la derivada de una funcin como un lmite, y se pueden demostrar rigurosamente los teoremas importantes sobre la derivacin como el teorema de Rolle o el teorema del valor medio. Se construyen las series de Taylor y se calculan las series de Maclaurin de las funciones exponencial y de las funciones trigonomtricas.Es importante destacar que tambin se estudian las funciones de varias variables tanto como sus derivadas que son las derivadas parciales. Es muy importante estudiar el teorema de la funcin inversa y el teorema de la funcin implcita, tanto como las funciones de Morse.Integracin:La integracin definida, que se puede definir imprecisamente como el rea debajo de la grfica de una funcin va naturalmente despus de la derivacin, de la que la integracin indefinida es la operacin inversa. Se comienza con la integral de Riemann, que consiste en dividir el intervalo en subintervalos (con una particin), extender los subintervalos hacia arriba hasta que llegue, o al mnimo de la funcin en el subintervalo (en cual caso se le llama la suma inferior), o al mximo en el subintervalo (en cual caso se le llama la suma superior). Tambin existe otro tipo de integral, que puede integrar ms funciones, llamada la integral de Lebesgue, que usa la medida y el concepto de en casi todas partes. ste se muestra despus.Con la teora de integracin se pueden demostrar varios teoremas, en el caso de la integracin de Riemann o de Lebesgue, como el teorema de Fubini, pero de un modo ms importante el teorema fundamental del clculo.1.3.-CONTROL EN LAZO CERRADO.

Sistemas de control en lazo cerrado.

El control retroalimentado o a lazo cerrado tiene la caracterstica de que medimos cierta cantidad de la salida y luego la comparamos con un valor deseado, y el error resultante lo utilizamos para corregir la salida del sistema.Sistema de lazo cerrado

Ejemplo: Control iluminacin de calles

El sistema de control, a travs de un transductor de realimentacin, conoce en cada instante el valor de la seal de salida. De esta manera, puede intervenir si existe una desviacin en la misma.

1.4.- SISTEMAS LINEALES.Un sistema es lineal si la salida sigue fielmente los cambios producidos en la entrada. En la mayora de los sistemas de control lineales, la salida debe seguir la misma forma de la entrada, pero en los casos que la salida no verifique la misma forma de la entrada, para ser considerado un sistema lineal la salida deber reflejar los mismos cambios generados en la entrada. Por ejemplo, un integrador puro, es un operador lineal, ante una entrada escaln produce a la salida una seal rampa, la salida no es de la misma forma de la entrada, pero si la entrada escaln vara en una constante, la rampa de salida se ver modificada en la misma proporcin.

De la linealidad del sistema se desprenden dos propiedades importantes:1.-Si las entradas son multiplicadas por una constante, las salidas tambin son multiplicadas por la misma constante.

2.- Los sistemas lineales se caracterizan por el hecho de que se puede aplicar el principio de superposicin.

Principio de superposicin: Si un sistema como el mostrado en la Fig, posee ms de una variable de entrada se puede obtener la salida total del sistema como la suma de las salidas parciales, que resultan de aplicar cada entrada por separado, haciendo las dems entradas cero.

La mayora de los sistemas utilizados en la industria de procesos presentan caractersticas complejas (parmetros variables, variables acopladas, efectos no lineales) por lo que generalmente los modelos son no lineales sin solucin analtica, lo que restringe un anlisis general. Cuando se requiere realizar el anlisis dinmico de sistemas no-lineales, puede tomarse las siguientes alternativas:

1.-Transformar el sistema no-lineal en uno lineal haciendo una transformacin apropiada de sus variables.

2.-Simular el sistema no-lineal usando un computador y calcular su solucin numricamente.

3. Desarrollar un sistema lineal que aproxime el comportamiento dinmico del sistema no-lineal alrededor del punto especfico de operacin. Esto se conoce como la Linealizacin del sistema".

Linealizacin es el proceso matemtico que permite aproximar un sistema no lineal a un sistema lineal. Esta tcnica es ampliamente usada en el estudio de procesos dinmicos y l en el diseo de sistemas de control por las siguientes razones:

1. Se cuenta con mtodos analticos generales para la solucin de sistemas lineales. Por lo tanto se tendr una solucin general del comportamiento del proceso, independientemente de los valores de los parmetros y de las variables de entrada. Esto no es posible en sistemas no-lineales pues la solucin por computador da una solucin del comportamiento del sistema valida solo para valores especficos de los parmetros y de las variables de entrada.

2. Todos los desarrollos significativos que conllevan al diseo de un sistema de control ha sido limitado a procesos lineales.

3. Hay que tener presente las variables de desviacin Se define la variable de desviacin, X(t), como la diferencia entre el valor de la variable o seal x(t) y su valor en el punto de operacin. Matemticamente se define:X(t)=x(t)-xDonde:X(t): variable de desviacin.x(t): variable absoluta correspondiente.x: valor de x en el punto de operacin (valor base).El valor base, es el valor de la variable en estado estable y generalmente describe el valor inicial del sistema dinmico y por lo tanto es constante.

1.4.1.-SISTEMAS LINEALES INVARIABLES EN EL TIEMPO.Sistema LTI: En procesamiento de seales, un sistema LTI (Linear Time-Invariant) o sistema lineal e invariante en el tiempo, es aquel que, como su propio nombre indica, cumple las propiedades de linealidad e invarianza en el tiempo.PROPIEDADES:LinealidadUn sistema es lineal (L) si satisface el principio de superposicin, que engloba las propiedades de proporcionalidad o escalado y aditividad. Que sea proporcional significa que cuando la entrada de un sistema es multiplicada por un factor, la salida del sistema tambin ser multiplicada por el mismo factor. Por otro lado, que un sistema sea aditivo significa que si la entrada es el resultado de la suma de dos entradas, la salida ser la resultante de la suma de las salidas que produciran cada una de esas entradas individualmente.Propiedad de proporcionalidadSi Propiedad de aditividad

Principio de linealidad o de superposicin proporcional

Matemticamente, si y1(t), y2(t), ... yn(t) son las salidas del sistema para las entradas x1(t), x2(t), ... xn(t) y a1, a2, ... an son constantes complejas, el sistema es lineal si:

En un sistema lineal, si la entrada es nula, la salida tambin ha de serlo. Un sistema incrementalmente lineal es aquel que, sin verificar la ltima condicin, responde linealmente a los cambios en la entrada.Por ejemplo, y(t) = 2x(t) + 2 no es lineal puesto que y(t) 0 para x(t) = 0, pero s es incrementalmente lineal.Invariabilidad.Un sistema es invariante con el tiempo si su comportamiento y sus caractersticas son fijas. Esto significa que los parmetros del sistema no van cambiando a travs del tiempo y que por lo tanto, una misma entrada nos dar el mismo resultado en cualquier momento (ya sea ahora o despus).

Matemticamente, un sistema es invariante con el tiempo si un desplazamiento temporal en la entrada x(t-t0) ocasiona un desplazamiento temporal en la salida y(t-t0).

LTILa combinacin mediante el principio de superposicin de ambas propiedades confiere a los sistemas la caracterstica LTI.

Principio de Superposicin con LTI

Una caracterstica muy importante y til de este tipo de sistemas reside en que se puede calcular la salida del mismo ante cualquier seal mediante la convolucin, es decir, descomponiendo la entrada en un tren de impulsos que sern multiplicados por la respuesta al impulso del sistema y sumados.Sistemas LTI en Serie/Paralelo: SERIE: Si dos o ms sistemas estn en serie uno con otro, el orden puede ser intercambiado sin que se vea afectada la salida del sistema. Los sistemas en serie tambin son llamados como sistemas en cascada. Un sistema equivalente es aquel que est definido como la convolucin de los sistemas individuales.Esquema sencillo Sistema LTI Serie PARALELO: Si dos o ms sistemas LTI estn en paralelo con otro, un sistema equivalente es aquel que est definido como la suma de estos sistemas individuales. Esquema sencillo Sistema LTI Paralelo

1.4.2.- SISTEMAS LINEALES VARIABLES EN EL TIEMPO.

Hay que diferenciar entre variables y parmetros de un sistema. Las variables, como su nombre lo indica son magnitudes cambiantes en el tiempo, las cuales determinan el estado de un componente, bloque o sistema. (Por Ejemplo: tensin, intensidad de corriente, velocidad, temperatura, nivel etc). Los parmetros son magnitudes que pueden permanecer constantes o variar segn sea el sistema. Los mismos reflejan las propiedades o caractersticas inherentes de los componentes (Ejemplo: masa, inductancia, capacitancia, resistencia, conductividad, constante de elasticidad, coeficiente volumtrico de flujo, etc.).

Cuando los parmetros del sistema de control son estacionarios con respecto al tiempo durante la operacin del sistema, es decir son magnitudes que permanecen constantes en el tiempo, el sistema se denomina Sistema Invariante con el tiempo.

Cuando los parmetros varan con el tiempo, el Sistema se denomina Variante en el tiempo. En la prctica, la mayora de los sistemas fsicos contienen elementos que derivan o varan con el tiempo. Por ejemplo, la resistencia de la bobina de un motor elctrico variar cuando el motor es excitado por primera vez y su temperatura est aumentando. Otro ejemplo de un sistema variante es el sistema de control de un misil guiado en el cual la masa del misil decrece a medida que el combustible a bordo se consume durante el vuelo. Un sistema variante en el tiempo sin no linealidades, es an un Sistema Lineal. El anlisis y diseo de esta clase de sistemas son mucho ms complejos que los de un sistema lineal invariante con el tiempo. Dentro de los sistemas 23 invariantes con el tiempo tenemos los sistemas de control de tiempo continuo y los de tiempo discreto, a continuacin se describirn este tipo de sistemas.

1.5.- SISTEMAS NO LINEALES.Los sistemas no lineales representan sistemas cuyo comportamiento no es expresable como la suma de los comportamientos de sus descriptores. Ms formalmente, un sistema fsico, matemtico o de otro tipo es no lineal cuando las ecuaciones de movimiento, evolucin o comportamiento que regulan su comportamiento son no lineales. En particular, el comportamiento de sistemas no lineales no est sujeto al principio de superposicin, como lo es un sistema lineal.La linealidad de un sistema permite a los investigadores hacer ciertas suposiciones matemticas y aproximaciones, permitiendo un clculo ms sencillo de los resultados. Ya que los sistemas no lineales no son iguales a la suma de sus partes, usualmente son difciles (o imposibles) de modelar, y sus comportamientos con respecto a una variable dada (por ejemplo, el tiempo) es extremadamente difcil de predecir.Algunos sistemas no lineales tienen soluciones exactas o integrables, mientras que otros tienen comportamiento catico, por lo tanto no se pueden reducir a una forma simple ni se pueden resolver. Un ejemplo de comportamiento catico son las olas gigantes. Aunque algunos sistemas no lineales y ecuaciones de inters general han sido extensamente estudiados, la vasta mayora son pobremente comprendidos.Sistemas no lineales:Las ecuaciones no lineales son de inters en fsica y matemticas debido a que la mayora de los problemas fsicos son implcitamente no lineales en su naturaleza. Ejemplos fsicos de sistemas lineales son relativamente raros. Las ecuaciones no lineales son difciles de resolver y dan origen a interesantes fenmenos como la teora del caos. Una ecuacin lineal puede ser descrita usando un operador lineal, L. Una ecuacin lineal en algn valor desconocido de tiene la forma

Una ecuacin no lineal es una ecuacin de la forma:

Para algn valor desconocido de.Para poder resolver cualquier ecuacin se necesita decidir en qu espacio matemtico se encuentra la solucin. Podra ser que es un nmero real, un vector o, tal vez, una funcin con algunas propiedades.Las soluciones de ecuaciones lineales pueden ser generalmente descritas como una superposicin de otras soluciones de la misma ecuacin. Esto hace que las ecuaciones lineales sean fciles de resolver.Las ecuaciones no lineales son mucho ms complejas, y mucho ms difciles de entender por la falta de soluciones simples superpuestas. Para las ecuaciones no lineales las soluciones generalmente no forman un espacio vectorial y, en general, no pueden ser superpuestas para producir nuevas soluciones. Esto hace el resolver las ecuaciones mucho ms difcil que en sistemas lineales.Herramientas para la solucin de ciertas ecuaciones no linealesAl da de hoy, existen muchas herramientas para analizar ecuaciones no lineales, por mencionar algunas tenemos: dinmica de sistemas, teorema de la funcin implcita y la teora de la bifurcacin.1.5.1.- LINEALIZACION.La linealizacin se refiere al proceso de encontrar la aproximacin lineal a una funcin en un punto dado. En el estudio de los sistemas dinmicos, la linealizacin es un mtodo para estudiar la estabilidad local de un punto de equilibrio de un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales. Este mtodo se utiliza en campos tales como la ingeniera, la fsica, la economa, y la ecologa.Linealizacin de una funcinEl resultado de la linealizacin de una funcin es una funcin lineal que normalmente se utiliza con finalidades de clculo. La linealizacin es un mtodo eficaz que se utiliza para aproximar el resultado de una funcin en un punto cualquiera a partir de la pendiente y del valor de la funcin al punto, siempre que f(x) sea derivable a (o a )y que sea cercano a . En resumen, la linealizacin aproxima el resultado de la funcin cerca del punto.Por ejemplo, se puede saber qu. Pero, sin calculadora, cul debera ser una buena aproximacin de?Para cualquier funcin dada, se puede aproximar si es cercana a un punto donde es derivable y conocida. El requisito ms bsico es que, si es la linealizacin de f(x) a x = a, . La ecuacin lineal de una ecuacin cualquiera es una recta, dado un punto y la pendiente. La frmula general de esta ecuacin es: .Usando el punto, de viene . Como las funciones derivables son localmente lineales, la mejor pendiente para sustituir en la ecuacin, ha de ser la pendiente de la lnea tangente a a .Mientras el concepto de linealidad local se aplica principalmente a puntos arbitrariamente prximos a , este concepto de relativamente prximo funciona relativamente bien para aproximaciones lineales. Despus de todo, una linealizacin es solamente una aproximacin. La pendiente ha de ser, ms exactamente, la pendiente de la recta tangente a .Visualmente, la figura muestra la recta tangente a en x. A , donde es cualquier valor pequeo, positivo o negativo, f(x+h) es muy cercano al valor de la recta tangente al punto .La ecuacin para la linealizacin de una funcin a es:

Para, es a . La derivada de es , y la pendiente de a es .

Aplicaciones de la linealizacin.La linealizacin permite usar herramientas desarrolladas para el estudio de sistemas lineales en el estudio del comportamiento de sistemas no lineales en torno a un punto dado. La linealizacin de una funcin es el trmino de primer orden del desarrollo en la serie de Taylor en torno al punto de inters. Para sistemas definidos por la ecuacin,el sistema linealizado se puede escribir como

Donde es el punto de inters y es el Jacobiano de evaluado a .En anlisis de estabilidad, se pueden utilizar los valores propios del jacobiano evaluado al punto de equilibrio para determinar la naturaleza del equilibrio si todos los valores propios son positivos, el equilibrio es inestable; si son todos negativos, el equilibrio es estable; y si los valores son de signos mixtos, el equilibrio es un punto de silla. Cualquier valor propio complejo aparecer en un par de complejos conjugados (ya que los valores propios son las races del polinomio anulador que tiene coeficientes reales) e indicar un equilibrio espiral (o circular si los componentes reales son cero en torno al equilibrio).

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