INSTITUTO TECNOLOGICO DE ACAPULCO INGENIERIA ELECTROMECANICAINGENIERA DE CONTROL CLSICO

UNIDAD 5. ESTABILIDAD

Profesor: Ing. Arqumedes Ramrez FrancoEquipo:Zabala Oseguera Cindy Viridiana (R) 11321130Tejada Hernndez Jess Alfredo 11321114Ziga Gamboa Jos Alfredo 11321131Jurez Ramrez Ulises 11321111Rodrguez Domnguez Arturo 11321097Barrera Prez Orlando Jair 11320986Muoz Pineda Adrin 10320545

Horario: 11:00-12:00 hrsSemestre: Ene-Jun/2015UNIDAD 5. ESTABILIDAD 5.1 CRITERIO DE ROUTH-HURWITZ. 5.2 LUGAR GEOMTRICO DE LAS RACES.5.2.1 REGLAS GENERALES PARA CONSTRUIR EL LUGAR GEOMTRICO DE LAS RACES. 5.2.2 CANCELACIN DE LOS POLOS CON G(S) CON CEROS H(S)

UNIDAD 5. ESTABILIDAD5.1 CRITERIO DE ROUTH-HURWITZ. El nmero de races de en el semiplano derecho es igual al nmero de cambios de signo que se suceden en la primera columna del arreglo de Routh de dicho polinomio.Determina la localizacin de las races de un polinomio con coeficientes constantes y reales con respecto al semiplano derecho o izquierdo de Laplace. Puede ser aplicado a Sistemas SISO, MIMO, y multilazos.Aplicacin: Dada la FTLC del sistema:

1. Se toma la ecuacin caracterstica del sistema:

2. Se construye el arreglo de Routh:

Donde:

3. Se investigan los signos de la primera columna del arreglo.Las races de la ecuacin caracterstica estn todas en el semiplano izquierdo del plano s Si: todos los elementos de la primera columna tienen el mismo signo. Si existen cambios de signo, el nmero de cambios de signo es el nmero de races con parte real positiva.Ejemplo 5.1: Considere la ecuacin caracterstica: 1+GH(s)= S3+ S2+ 2S + 8Procedemos a construir el arreglo de Routh: Hay dos cambios de signo; por lo tanto, hay dos polos en el semiplano derecho. Observe que:

5.2 LUGAR GEOMTRICO DE LAS RACES.Este mtodo permite el diseo del AVR y del PSS. Para el diseo del AVR, seanaliza la salida del sistema de potencia sin el lazo de realimentacin de Vterm, ni el lazo del PSS. La figura 4.5 nos muestra que la respuesta del tiempo tiende a 0.0747 p.u, lo que implica un error en rgimen permanente del 25% con respecto a la entrada.

El primer paso es representar el AVR como un controlador proporcional Kv(s)=Kp, cerrando el lazo de control y aumentado poco a poco el valor de Kppodemos encontrar el valor de ganancia que hace que el sistema se vuelva oscilatorio. Este valor es aproximadamente 50, y la respuesta en el dominio del tiempo se muestra en la figura 4.6, donde tambin se puede observar como a pesar de que el sistema se vuelve ms oscilatorio al aumentar Kp, el error permanente se reduce, y el comportamiento final del sistema tiende a comportarse similar a la tensin referencia.

La figura 4.7, muestra el LGR del sistema donde se observa que la ganancia con la cual el sistema se vuelve inestable (cruza el eje imaginario), es 47.2, que es un valor muy cercano a 50 mencionado anteriormente.Con un controlador proporcional, si aumentamos la ganancia tenemos oscilaciones y si la disminuimos, aumentamos el error permanente.Para evitar esta situacin se cambiara el AVR de un Kpa un KPI(controlador proporcional integral), representado por la funcin de transferencia:

Donde:KP=Ganancia del controlador proporcional.KI=Ganancia del controlador integral.

Los parmetros del controlador se escogen de manera que KPse encuentre entre un intervalo de 0 a KU, (KU: ganancia donde se inestabilidad el sistema) en este caso KU= 47.2. El controlador KIse encuentran entre 0.1 y 10 debido que en este intervalo de valores se logra obtener un tiempo de retardo menor a 0.5 s (tr = tiempo que dura la seal en alcanzar el 50% de su valor final), y un sobre paso mximo menor al 10% (MP= valor mximo de la respuesta que sobre pasa el valor final), debido a que estas son las especificaciones para los modernos reguladores de tensin de alta ganancia.[7]Se escoge por lo tanto un valor de KP=35 y KI=0.4, el resultado se puede ver en la figura 4.8, donde las oscilaciones tienden a amortiguarse y el error permanente se reduce casi totalmente. Con este controlador se obtiene un tr = 0.446 s y un MP= 12.5%, parmetros que se vern afectados al final del diseo, ya que el PSS disminuye el tiempo de respuesta y a la vez proporciona el amortiguamiento necesario para que el sobrepaso pueda ser reducido y cumpla con las especificaciones.

Una vez diseado el regulador se procede a disear el PSS, como la entrada al PSS proviene de la velocidad angular se obtiene la funcin de transferencia desde la tensin de referencia, hasta la entrada del PSS, se realiza el anlisis del LGR de la funcin de transferencia obtenida (ver anexo 1). El resultado se muestra en la figura 4.9, donde se observa como el ngulo de apertura del polo en el semiplano derecho es de 60.Para proporcionar un adecuado amortiguamiento este ngulo de salida debe ser 180, por lo tanto se debe agregar 120 de compensacin en el lazo de realimentacin del PSS.

Para compensar los 120 necesarios se utiliza un filtro de segundo orden de adelanto de fase de la forma:

Para encontrar los parmetros del filtro, se hace uso de ecuaciones que nos permitan encontrar los valores correctos para Kd, , z, y p. Para averiguar se us la figura 4.10, que es la relacin entre el m (grados que deben ser compensados) y el .

En la figura 4.10 se indica utilizar dos filtros que compensen 60 cada uno, siendo igual a 14

Otra forma de averiguar la ganancia del filtro es mediante la frmula [7].

Con lo que para un ngulo de 60 se obtiene un =14, que es igual al encontrado mediante la figura 4.10.El valor del cero y el polo del filtro se encuentra haciendo uso de las siguientes ecuaciones [7]:

Donde wc es la frecuencia de cruce por cero, igual a 9.33 rad/s y es la ganancia igual a 14. Con esto se encuentra que el cero debe ubicarse en s=-2.94 y el polo en s=-34.9. Falta por determinar el valor de la ganancia Kdque suministre un amortiguamiento del 15%. Para esto se realiza el LGR de la funcin de transferencia desde la tensin de referencia hasta la salida del PSS, y se busca que la ganancia que proporcione el amortiguamiento deseado. Esta ganancia es aproximadamente 0.762, como se observa en la figura 4.11.

Por lo tanto se tiene:

Sustituyendo el controlador proporcional Kd(s), por el obtenido en la ecuacin 4.7, y al cerrar el lazo de realimentacin del PSS se obtiene la figura 4.12, donde se observa como el error permanente tiende a cero, y como la respuesta se amortigua rpidamente con un sobrepaso mximo de 7.4%, aspectos que cumplen con los parmetros del diseo. Las figuras 4.13 y 4.14 muestran como no solo se mejora la salida Vterm, sino que tambin se amortigua adecuadamente las salidas w y Pe.

5.2.1 REGLAS GENERALES PARA CONSTRUIR EL LUGAR GEOMTRICO DE LAS RACES. Resumiremos las reglas y el procedimiento general para construir los lugares geomtricos de las races del sistema de la figura 2.5.3.

Primero, obtenga la ecuacin caracterstica

A continuacin, vuelva a ordenar esta ecuacin para que el parmetro de inters aparezca como el factor multiplicativo, en forma

En estos anlisis suponemos que el parmetro de inters es la ganancia K, en donde K >0. (Si K < 0, lo cual corresponde al caso de realimentacin positiva, bebe modificarse la condicin de ngulo.) Sin embargo observe, que el mtodo todava es aplicable a sistemas con parmetros de inters diferentes a la ganancia.1.Ubique los polos y ceros de G(s) (Hs) en el plano s. Las ramificaciones del lugar geomtrico de las races empiezan en los polos en lazo abierto y terminan en los ceros (ceros finitos o ceros en infinito). A partir de la forma factorizada de la funcin de transferencia en lazo abierto, ubique los polos y los ceros en lazo abierto en el plano s. [Observe que los ceros en lazo abierto son los de (Gs) (Hs), en tanto que los ceros en lazo cerrado son los de (Gs) y los polos de (Hs).Observe que los lugares geomtricos de las races son simtricos con respecto al eje real del plano s, debido a que los polos y ceros complejos slo ocurren en pares conjugados.Encuentre los puntos inicio y fin de los lugares geomtricos de las races y localice tambin el nmero de lugares geomtricos de las races separados. Los puntos del lugar geomtrico que corresponde a K = 0 son los polos en lazo abierto. Esto se aprecia a partir de la condicin de magnitud, suponiendo que K tiende a cero, o que

Esta ltima ecuacin implica que conforme K disminuye, el valor des debe tender a uno de los polos en lazo abierto. Por lo tanto, cada lugar geomtrico de las races se origina en un polo de la funcin de transferencia en lazo abierto (Gs) (Hs). Conforme K tiende a infinito, cada lugar geomtrico tiende al cero de la funcin de transferencia en lazo abierto o al infinito del plano complejo. Esto se aprecia del modo siguiente: si suponemos que K tiende a infinito en la condicin de magnitud, entonces:

Por tanto, el valor de s debe aproximarse a uno de los ceros finitos en lazo abierto o a un cero en lazo abierto en infinito. [Si se incluyen los ceros en infinito en la cuenta, (Gs) (Hs) tiene la misma cantidad de ceros que de polos.]Una grfica del lugar geomtrico de las races tendr tantas ramificaciones como races tenga la funcin caracterstica. Dado que, por lo general, la cantidad de polos en lazo abierto es mayor que la de ceros, la cantidad de ramificaciones es igual a la de los polos. Si la cantidad de polos en lazo cerrado es igual a la cantidad de polos en lazo abierto, la cantidad de ramificaciones individuales del lugar geomtrico de las races que terminan en los ceros finitos en lazo abierto ser igual a la cantidad m de ceros en lazo abierto.Las n - m ramificaciones restantes terminan en infinito ( n - m ceros implcitos en infinito ) a lo largo de las asntotas.S incluimos los polos y los ceros en infinito, la cantidad de polos en lazo abierto es igual a la de ceros en lazo abierto. Por tanto, siempre podemos plantear que los lugares geomtricos de las races empiezan en los polos de (Gs) (Hs) y terminan en los ceros de (Gs) (Hs) conforme K aumenta de cero a infinito, en donde los polos y los ceros incluyen tanto aqullos finitos y en infinitos en el plano s.2.- Determine los lugares geomtricos de las races sobre el eje real. Los lugares geomtricos de las races sobre el je real se determinan mediante los polos y los ceros en lazo abierto que se encuentran sobre l. Los polos y los ceros complejos conjugados de la funcin de transferencia en lazo abierto no afectan la ubicacin de los lugares geomtricos de las races sobre el eje real, porque la contribucin del ngulo de un par de polos o ceros complejos conjugados es 360sobre el eje real. Cada parte del lugar geomtrico de las races sobre el eje real se extiende sobre un rango de un polo o cero a otro polo o cero. Al construir los lugares geomtricos sobre el je real, seleccione un punto en ste. Si la cantidad total de polos y ceros reales a la derecha de este punto de prueba es impar, este punto se encuentra en el lugar geomtrico de las races. El lugar geomtrico de las races y su firma complementaria alternan segmentos a lo largo del eje real.3.- Determine las asntotas de los lugares geomtricos de las races. Si el punto de prueba s se ubica lejos del origen, se considera que no cambia el ngulo de cada cantidad compleja. Entonces, un cero en lazo abierto y un polo en lazo abierto cancelan los efectos del otro. Por tanto, los lugares geomtricos de las races para valores de s muy grandes deben ser asintticos para lneas rectas cuyos ngulos (pendientes) se obtengan mediante

ngulos de las asntotas:

En donde n = nmero de polos finitos de (Gs) (Hs) m = nmeros de ceros finitos de (Gs) (Hs)Aqu, k = 0 corresponde a las asntotas con el ngulo ms pequeo con respecto al eje real. Aunque k supone una cantidad infinita de valores, conforme aumenta, el ngulo se repite as mismo y la cantidad de asntotas es n - m.Todas las asntotas interceptan al eje real en un punto que se obtiene del modo siguiente: si se expanden el numerador y el denominador de la funcin de transferencia en lazo abierto, el resultado es

Si un punto de prueba se localiza lejos del origen, entonces dividiendo el denominador entre el numerador, podemos escribir (Gs) (Hs) como

Dado que la ecuacin caracterstica es

Puede escribirse como:

Para un valor grande de s la ecuacin anterior se aproxima mediante

Si la abscisa de la interseccin de las asntotas y el eje real se representa mediante s = a , entonces

O bien:

Debido a que todos los polos y ceros complejos ocurren en pares conjugados, a siempre es una cantidad real. Una vez que se encuentra la interseccin de las asntotas y el eje real, es fcil dibujar las asntotas en el plano complejo. Es importante sealar que las asntotas muestran el comportamiento de los lugares geomtricos de las races para s >> 1. Una ramificacin del lugar geomtrico de las races puede encontrarse en un lado de la asntota correspondiente o puede atravesar sta de un lado al otro.4.- Encuentre los puntos de desprendimiento y de ingreso. Debido a la simetra conjugada de los lugares geomtricos de las races, los puntos de desprendimiento y de ingreso se encuentran sobre el eje real o bien ocurren en pares complejos conjugados.Si un lugar geomtrico de las races se ubica entre dos polos en lazo abierto adyacentes sobre el eje real, existe al menos un punto de desprendimiento entre dichos dos polos. Asimismo, si el lugar geomtrico de las races esta entre dos ceros adyacentes (un cero puede ubicarse en -) sobre el eje real, siempre existe al menos un punto de ingreso entre los dos ceros. Si el lugar geomtrico de las races se ubica entre un polo en lazo abierto y un cero (finito o no finito) sobre el eje real, puede o no existir puntos de desprendimiento o de ingreso, o bien pueden existir ambos.Suponga que la ecuacin caracterstica se obtiene mediante

Los puntos de desprendimiento y los puntos de ingreso corresponden a las races mltiples de la ecuacin caracterstica. Por tanto, los puntos de desprendimiento y de ingreso se determinan a partir de las races de

En donde la prima indica una diferenciacin con respecto a s. Es importante sealar que los puntos de desprendimiento y los puntos de ingreso deben ser las races de la ecuacin anterior, aunque no todas las races de la ecuacin anterior se encuentran en la parte del eje real del lugar geomtrico de las races, es un punto de desprendimiento o de ingreso real. Si una raz real de la ecuacin anterior no est en la parte del eje real del lugar geomtrico, esta raz no corresponde a un desprendimiento ni a un punto de ingreso. Si dos races s = s1 y s = -s1 de la ecuacin anterior son un par complejo conjugado y si no es seguro que estn en los lugares geomtricos de las races, es necesario verificar el valor de K correspondiente. Si el valor de K que corresponde a la raz s = s1 de dK/ds = 0 es positivo, el punto s = s1 es un punto de desprendimiento o de ingreso real.(Dado que se supone que K es no negativo, si es negativo el valor obtenido de K el punto s = s1 no es de desprendimiento ni de ingreso.)5.- Determine el ngulo de salida (ngulo de llegada) de un ngulo geomtrico de las races a partir de un polo complejo (un cero complejo). Para trazar los lugares geomtricos de las races con una precisin razonable, debemos encontrar las direcciones de los lugares geomtricos de las races cercanas a los polos y ceros complejos. Si se selecciona un punto de prueba y se mueve en la cercana precisa del polo complejo (o del cero complejo), se considera que no cambia la suma de las contribuciones angulares de todos los otros polos y ceros. Por tanto, el ngulo de llegada (o ngulo de salida) del lugar geomtrico de las races de un polo complejo (o de un cero complejo), se encuentra restando a 180la suma de todos los ngulos de vectores, desde todos los polos y ceros hasta el polo complejo (o cero complejo) en cuestin, incluyendo los signos apropiados.Angulo de salida desde un polo complejo = 180-(suma de los ngulos de vectores hacia el polo complejo en cuestin desde otros polos)+ (Suma de los ngulos de vectores hacia el polo complejo en cuestin desde los ceros)Angulo de llegada a un cero complejo = 180-(suma de los ngulos de vectores hacia el cero complejo en cuestin desde otro cero)+ (Suma de los ngulos de vectores hacia el cero complejo en cuestin desde los polos)El ngulo de salida aparece en la figura 2.5.4

6.- Encuentre los puntos en los que los lugares geomtricos de las races cruzan el eje imaginario. Los puntos en los que los lugares geomtricos de las races intersectan al eje j se encuentran con facilidad por medio de: (a) el criterio de estabilidad de Routh, o (b) suponiendo que s = j en la ecuacin caracterstica, igualando con cero la parte real y la parte imaginaria y despejando y K. En este caso, los valores encontrados de representan las frecuencias en las cuales los lugares geomtricos de las races cruzan el eje imaginario. El valor de K que corresponden a cada frecuencia de cruce produce la ganancia en el punto de cruce.

7.- Tomando una serie de puntos de prueba en la vecindad amplia del origen del plano s, trace los lugares geomtricos. Determine los legares geomtricos de las races en la vecindad amplia del eje y el origen. La parte ms importante de los lugares geomtricos de las races no est sobre el eje real ni en las asntotas, sino en la parte de la vecindad amplia del eje j y el origen. La forma de los lugares geomtricos de las races en esta regin importante del plano s debe obtenerse con suficiente precisin.

8.- Determine los polos en lazo cerrado. Un punto especfico de cada ramificacin del lugar geomtrico de las races ser un polo en lazo cerrado si el valor de K en dicho punto satisface la condicin de magnitud. Por otra parte, la condicin de magnitud nos permite determinar el valor de la ganancia en K en cualquier ubicacin de las races especficas sobre el lugar geomtrico. ) si es necesario, se establece una graduacin de los lugares geomtricos en trminos de K. Los lugares geomtricos de las races son continuos con K).El valor de K que corresponde a cualquier punto s sobre el lugar geomtrico de las races se obtienen a partir de la condicin de magnitud, o bien

Este valor debe calcularse en forma grfica o analtica.Si este problema de la ganancia K de la funcin de transferencia en lazo abierto, entonces, aplicando la condicin de magnitud encontramos las ubicaciones correctas de los polos en lazo cerrado para un K determinado de cada ramificacin de los lugares geomtrico de las races, mediante un enfoque de prueba y error o mediante MATLAB.

Configuraciones comunes de polos y ceros y los correspondientes lugares geomtricos de las races. Para concluirEsta seccin mostramos la tabla 2.5.1, que contiene varias configuraciones de polos y ceros en lazo abierto y los correspondientes lugares geomtricos de las Notas del Curso de Control I M. C. Jaime Cid Monjaraz 12 races. El patrn de los lugares geomtricos de las races slo depende de la separacin relativa de los polos y ceros en lazo abierto. Si el nmero de polos en lazo abierto excede el nmero de ceros finitos en tres o ms, existe un valor de la ganancia K ms all del cual los lugares geomtricos de las races entran en el semiplano derecho del plano s y, por lo tanto, el sistema puede volverse inestable.Un sistema estable debe tener todos sus polos en lazo cerrado en el semiplano izquierdo del plano s.Observe que, una vez que hemos adquirido cierta experiencia con el mtodo, nos es fcil evaluar los cambios en los lugares geomtricos de las races debidos a las modificaciones en el nmero y ubicacin de los polos y ceros en la lazo abierto visualizando las grficas de los lugares geomtricos de las races que se producen de las diversas configuraciones de los polos y ceros.

5.2.2 CANCELACIN DE LOS POLOS CON G(S) CON CEROS H(S)Si G(s) contiene polos idnticos a cero H(s), al obtener la funcin de transferencia de lazo abierto se cancelarn y no se tendrn en cuenta a la hora de dibujar el lugar de las races. Sin embargo ese polo que se ha cancelado es un polo de la funcin de transferencia de lazo cerrado del sistema. Por lo tanto para obtener el total de los polos de lazo cerrado se ha de aadir dicho polo a los obtenidos mediante el lugar de las races.