Trabajos2 ED U2

8/16/2019 Trabajos2 ED U2

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INSTITUTO TECNOLÓGICO DE LOS MOCHIS

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS

ECUACIONES DIFERENCIALES

LMAT-EDO

P2.3

MC. Marco Antonio Rodríguez R.

1. COMPETENCIA

Resolver ecuaciones diferenciales de segundo orden no homogéneas con coeficientes constantes

mediante el método de coeficientes indeterminados.

2. PRODUCTO DE APRENDIZAJE ESPERADO

Desarrollo de la capacidad para resolver ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden no

homogéneas con coeficientes constantes mediante el método de coeficientes indeterminados,

usando Mathematica.

3. REQUISITOS

Saber resolver sistemas de ecuaciones lineales

Saber calcular coeficientes por el método de fracciones indeterminadas

4. EQUIPO y HERRAMIENTAS

Computadora

Software Mathematica.

5. PROCEDIMIENTO

El profesor modelará algunos de los ejemplos que se enuncian a continuación y realizar los

ejercicios planteados.

7. COMANDOS

Solve[expresión, variable(s)]. Resuelve el sistemas expresión de ecuaciones lineales o no lineales

o desigualdades para la o las variables.

RowReduce[nombre Matriz]

Collect[expresión, {x1, x2, . . . }]. Coloca juntos los términos que tienen potencias comunes.

LABORATORIO: LMAT- EDO PRÁCTICA: 2.3

UNIDAD 2 Ecuaciones DiferencialesLineales de OrdenSuperior (0rden 2)

TEMA 2.3 solución de Ecuaciones Lineales noHomogéneas con Coeficientes Constantes






LMAT-EDO

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7. MÉTODO DE SOLUCIÓN, EJEMPLOS Y EJERCICIOS

La solución general de una ecuación diferencial lineal de segundo orden, no homogénea está dada

por la solución complementaria c y asociada a ala homogénea más una solución particular p y .

c p y y y

Solución:

Usando Mathematica: Primero definimos [_] = − [] 3Cos[]2

Enseguida simplemente calculamos '' 2 ' p p p y y y

′′[]−′[]+ []

3Cos[]

y vemos que el resultado es idénticamente igual a 3 cos x. Observe que la solución es, al igual que

el miembro derecho de la igualdad en la ecuación diferencial una función trigonométrica.

El método de solución por coeficientes indeterminados se fundamenta en el supuesto de que la

solución particular tiene una forma similar a la del miembro del lado derecho de la ecuación

diferencial.

Ejemplo 2.3.1 Verifique que = − , es una solución de − + =.

Definición: Las ecuaciones diferenciales no homogéneas con coeficientes constantes tiene la

forma

'' ' ( )a y x y b cy f

Definición: Una solución particular de una Ecuación diferencial lineal es una función

específica que contiene constantes no arbitrarias y satisface la ecuación diferencial






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Para resolverla siga los pasos siguientes:

1.

Suponga una solución similar al término ( ) f x , vea la tabla siguiente

Tabla 2.2.1 Soluciones particulares de prueba.

De la tabla seleccionamos la ecuación 10 para obtener = + 2.

Considérela como homogénea y resuélvala tal como se hizo en el tema correspondiente

para determinar la ecuación complementaria asociada a la homogénea. Si la solución

supuesta no contiene a la solución de la homogénea continúe en el paso 3.

[′′[]+′[]+ [] == ,[],]

{{[] → [][]+[][]}}

La solución complementaria obtenida difiere de la particular propuesta (los argumentos de seno y

coseno y la exponencial son diferentes).

Ejemplo 2.3.2 Encuentre la solución general de + + = .

Caso I es: La forma de la y p es una combinación Lineal de todas las funciones

independientes que se generan por diferenciaciones repetidas de g ( x)






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3.

Obtenga la primera y segunda derivada de la solución particular seleccionada y sustitúyala

en la ecuación diferencial.

[_] = [] + []; ′′[]+′[]+ [] == []

[] − []+[]+[]+(−[]+ [] − [] − [])+([]+ []) == [] Factorizando el resultado anterior se obtiene[[] − [] + []+[]+(−[]+[]−[]−[])+([]+[]),{[],[]}]

(+)[]+(−+)[]

4. Iguale los coeficientes del miembro del lado izquierdo de la igualdad con los coeficientes

del miembro derecho y resuelva el sistema de ecuaciones obtenido para determinar los

coeficientes de la solución supuesta.

( + )[]+ (−+)[] = []

Por lo tanto

( + ) =

(−+ ) =

Resolviendo el sistema de ecuaciones lineales se obtiene

−

−

0






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Por lo tanto los coeficientes son

= − , =

Entonces la solución particular está dada por

= − 15 + 25

5.

La solución general está dada por = + :

= [][]+ [][]+ − +

Podemos comprobar el resultado usando el comando DSolve para resolver directamente la EDH.

[′′[] + ′[] + [] == [],[],]//

{{[] → (−[]+ [][]+ ( + [][])[])}}

1.

Solución: La solución p y que se supone es del tipo:

x

p y Ae .

2. La solución complementaria de la EDH es: 1 2

x x

c y c e c xe .

Al sustituir la solución particular y sus derivadas, nos damos cuenta que el método visto hasta

ahora FALLA. Si multiplicamos la p

y por x, la solución particular tendrá la forma x

p y Axe , la

cual, también es un término de la ecuación complementaria. entonces, lo que se debe hacer es

utilizar2 x

p y Ax e .

3. Enseguida se resuelve la ecuación del mismo modo como se procedió en el caso 1. La

solución particular es,21

2

x

p y x e .

Ejemplo 2.3.3 Encuentre la solución general de − + = .

Caso II: Si la solución y p contiene términos que se duplican (son iguales) en la solución de la

EDH asociada yc, entonces la y p debe multiplicarse por xn, donde n es el entero positivo más

pequeño posible que elimina la duplicidad.






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211. '' ' 2

4 y y y x x

2 32. '' 3 48 x y y x e

/213. '' ' 3

4

x y y y e

4. '' 4 3 2 y y sen x

5. '' 2 y y x sen x

6. '' 2 ' 3cos 2 y y y senx x

27. '' 2 ' 2 (cos 3 ) x y y y e x senx

8. 5 '' ' 6 , (0) 0, '(0) 10 y y x y y

29. 2 '' 3 ' 2 14 4 11, (0) 0, '(0) 0 y y y x x y y

210. '' 1, (0) 5, (1) 0 y y x y y

Ejercicio 2.3. 1 En los ejercicios del 1 al 7 resuelva la ecuación diferencial por el

método de coeficientes indeterminados.

Ejercicio 2.3.2 En los ejercicios 8 y 9 resuelva los problemas de valor inicial

dado por el método de coeficientes indeterminados.

Ejercicio 2.3.3 Resuelva el ejercicio con problemas de frontera por el método de

coeficientes indeterminados.

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