UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD

TRABAJO COLABORATIVO FASE 3CALCULO INTEGRAL 100411A_ 220PRESENTADO PORDIANA PATRICIA HERAZO COD 29671724

ISABEL CRISTINA PREZ SALINAS. CD. 29686885

LINA MARIA SOTO BALANTA. COD. 29684419

LUZ ANGELA VASQUEZ PERALTACURSO

CALCULO INTEGRAL

100411-232

TUTOR

RAMIRO PEA

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD

ABRIL 2015

Introduccin

El presente trabajo es desarrollado utilizando la informacin de la tercera unidad, en la cual pudimos observar la aplicacin de las integrales con el anlisis de grficas y como utilizar la integral para calcular reas. Esto lo aplicamos a los 12 ejercicios propuestos, pudiendo entender la dinmica de la unidad y los temas tratados.

El desarrollo del clculo integral se origin en parte para calcular el rea de una curva, este uso de las integrales nos ayuda a construir resultados basados en estas reas y volmenes determinando los amplios campos que tiene la aplicacin de este curso.

Desarrollo de la ActividadUna vez estudiados los principios sobre integracin y analizadas las diferentes tcnicas de integracin, se procede a desarrollar la parte prctica o de aplicaciones de las integrales como es el caso del anlisis de graficas (rea de regiones planas, rea entre curvas, longitud de una curva, longitud de un arco en forma paramtrica).

1. Hallar el rea que hay entre las grficas de y entre y .El rea a calcular se puede observar en la imagen 1 con color azul.

Imagen 1. Grafica de las curvas y entre x = 0 y x = 1.Como se puede observar la funcin f(x) queda por encima de la recta. Por ello para calcular el rea entre las dos graficas se utiliza la siguiente ecuacin:

El rea que hay entre las dos graficas entre los limites x (0,1) es 1,83.

2. Hallar el rea de la regin limitada por las grficas de y .El rea a calcular se puede observar en la imagen 2 con color caf.

Imagen 2. Grafica de las curvas y entre x = -1 y x = 3.Para hallar los puntos de corte entre las dos graficas se deben igualar sus ecuaciones y hallar las races, esto se realiza a continuacin:

Los puntos de corte con el eje X son (2, -1), los cuales tambin son los lmites de integracin.Como se observa en la grfica la recta est por encima de la curva, por ende para hallar el rea se le debe restar a la integracin de la recta la integracin de la curva en el intervalo en que cruzan.Para calcular el rea entre las dos graficas se utiliza la siguiente ecuacin:

El rea de la regin limitada que hay entre las dos graficas entre los limites x (2, -1) es 4,5.3. Hallar el rea de superficie lateral del solido que se obtiene al rotar la grfica de entre y alrededor del eje x.La grfica de la curva entre y se puede observar con color rojo en la imagen 3.

Imagen 3. Grafica de la curva entre y .Como se pide hallar el rea de la superficie lateral del solido que se forma al rotar esta rea alrededor del eje X, es necesario rotar 180 el rea pintada con rojo alrededor del eje X positivo, obtenindose la imagen 4.

Imagen 4. Grafica del rea del solido formado por la curva entre y .Para hallar el rea representada con rojo en la imagen 4 se debe hallar el rea entre la curva y la recta representada por el eje X positivo y luego multiplicarla por 2, ya que al realizar el giro del rea sombreada con rojo en la imagen 3 se obtiene una figura simtrica.Los lmites de integracin son las coordenadas en x = 3, x = 8.

Como se observa en la imagen 1 la curva est por encima de la recta representada por el eje positivo de las X, por ende para hallar el rea se le debe restar a la integracin de la curva la integracin de la recta en el intervalo en que cruzan.Para calcular el rea entre la curva y la recta se utiliza la siguiente ecuacin:

El rea de superficie lateral del solido que se obtiene al rotar la grfica de entre y alrededor del eje es 46,48.4. Hallar la longitud de entre y .La longitud de la curva a calcular se puede observar en la imagen 5 con color verde.

Imagen 5. Grafica de la curva entre y .

Para calcular la longitud de una curva en un intervalo definido se debe utilizar la siguiente ecuacin:

Para el ejercicio en cuestin se tiene que , y su derivada entonces seria:

Ajustando la ecuacin al caso de estudio se obtendra que longitud de la curva seria la siguiente:

La longitud de la curva entre y es 4,6667.

Por medio de las integrales podemos hallar volmenes de solidos de revolucin, momentos o centros de masa.

5. La regin limitada por las grficas de y gira alrededor del eje X. Cul es el volumen del solido que resulta de esta rotacin?El slido se forma por el giro del rea de la regin delimitada por las grficas de las funciones y alrededor del eje X, esta rea se puede observar en la imagen 6 con color amarillo.

Imagen 6. Grafica del rea de la regin delimitada por las funciones y .Para hallar los puntos de corte entre las dos graficas se deben igualar sus ecuaciones y hallar las races, esto se realiza a continuacin:

Los puntos de corte con el eje X son (0, 2), los cuales son los lmites de integracin, y los puntos de corte con el eje Y son (0, 2), con estos puntos se puede determinar que las coordenadas de los lmites del rea son (0, 0) y (2, 2).Para hallar el volumen se utiliza una formula basada en el mtodo de diferenciales (are y volumen), la cual es la siguiente formula:

En esta frmula se reemplaza r1 por la ecuacin de la recta f(x) ya que est forma el lmite superior del solido de revolucin y se reemplaza r2 por la ecuacin de la curva g(x) ya que est forma el lmite inferior del solido de revolucin, por lo tanto la frmula quedara:, y los lmites serian a = 0, b = 2, y el volumen entonces es:

El volumen del solido que resulta de la rotacin de la regin limitada por las grficas de y alrededor del eje X es 3,351.6. La regin limitada por las grficas de y se hace girar alrededor del eje X. Hallar el volumen del solido resultante.El slido que se forma por el giro del rea de la regin delimitada por las grficas de las funciones y alrededor del eje X, esta rea se puede observar en la imagen 7 con color azul.

Imagen 7. Grafica del rea de la regin delimitada por las funciones y .Para hallar los puntos de corte entre las dos graficas se deben igualar sus ecuaciones y hallar las races, esto se realiza a continuacin:

Los puntos de corte con el eje X son (0, 3), los cuales son los lmites de integracin, y los puntos de corte con el eje Y son (1, 4), con estos puntos se puede determinar que las coordenadas de los lmites del rea son (0, 1) y (3, 4).

Para hallar el volumen se utiliza una formula basada en el mtodo de diferenciales (are y volumen), la cual es la siguiente formula:

En esta frmula se reemplaza r1 por la ecuacin de la recta f(x) ya que est forma el lmite superior del solido de revolucin y se reemplaza r2 por la ecuacin de la curva g(x) ya que est forma el lmite inferior del solido de revolucin, por lo tanto la frmula quedara:

, y los lmites serian a = 0, b = 3, y el volumen entonces es:

Integrando por el mtodo de sustitucin se tiene u = x + 1, du = dx, reemplazando la integral queda:

Integrando por el mtodo de sustitucin se tiene s = x - 1, ds = dx, reemplazando la integral queda:

Sustituyendo u = x + 1, s = x -1.

El volumen del solido resultante de hacer girar la regin limitada por las grficas de y alrededor del eje X es 45,239.7. Hallar el centroide de la regin limitada por la grfica de , el eje X y la recta .La regin limitada por la grfica de , el eje X y la recta se puede observar en la imagen 8 con color morado.

Imagen 8. Grafica del rea de la regin delimitada por las funciones , el eje X y la recta .Uno de los puntos de corte est dado por la raz que se obtiene con la ecuacin de la curva, este se halla a continuacin:

El otro punto de corte lo define la recta x = 2. Reemplazando estos valores en la ecuacin de la curva se obtienen las coordenadas en y, las cuales son:

Los puntos de corte con el eje X son (0, 2), los cuales son los lmites de integracin, y los puntos de corte con el eje Y son (0, 4), con estos puntos se puede determinar que las coordenadas de los lmites del rea son (0, 0) y (2, 4).

El centroide debe tener coordenadas tanto en el eje X como en el eje Y, las frmulas para hallar estas coordenadas son las siguientes:

Donde My es el momento alrededor del eje y, Mx es el momento alrededor del eje x, A es el rea de la regin, f(x) = x2, a es el lmite inferior en el eje x (x = 0), y b es el lmite superior en el eje x (x = 2). Sustituyendo los valores en las formulas se obtiene:

El centroide de la regin limitada por la grfica de , el eje X y la recta est ubicado en las coordenadas (2, 0.8).8. Hallar el centro de masa (Ce) de un objeto cuya funcin densidad es: para .Cuando la densidad no es uniforme en un objeto si no que est dada como una funcin (x), como es el caso de estudio, se reescriben las ecuaciones para hallar el centro de masa quedando de la siguiente manera1:

Donde My es el momento alrededor del eje y, Mx es el momento alrededor del eje x, M es la masa del objeto, es la densidad (, a es el lmite inferior en el eje x (x = 0), y b es el lmite superior en el eje x (x = 6). Sustituyendo los valores en las formulas se obtiene:

El centro de masa (Ce) de un objeto cuya funcin densidad es para es (3.20, 2.53).9. Un objeto se empuja en el plano desde x = 0 hasta x = 10, pero debido al viento la fuerza que debe aplicarse en el punto x es . Cul es el trabajo realizado al recorrer esta distancia? Especificar el trabajo en Julios.Antes de realizar el clculo del trabajo realizado por el objeto es muy importante realizar un esquema para entender el ejercicio, este se puede observar en la imagen 9.

Imagen 9. Esquema del desplazamiento del objeto en el caso de estudio.Cuando la fuerza que se aplica para mover un objeto se expresa por medio de una funcin se debe utilizar para hallar el trabajo la siguiente ecuacin:

En esta ecuacin W es el trabajo realizado, a es la posicin inicial del objeto, b es la posicin final del objeto y F (x) es la fuerza aplicada. Reemplazando los valores especificados en el caso de estudio se obtiene:

Cuando la fuerza se especifica en Newton y la distancia en metros, el trabajo realizado por el objeto se expresa en Julios, esto debido a que 1 Julio = 1 Newton x metro.En el ejercicio de estudio se tendra entonces que al integrar la funcin se est multiplicando la fuerza y la distancia, por ello el trabajo realizado por el objeto seria:

El trabajo realizado por el objeto al recorrer la distancia de 10 metros es de 1050 Julios.

10. Un resorte tiene una longitud natural de 8 pulgadas. Si una fuerza de 20 libras estira el resorte pulgada, determinar el trabajo realizado al estirar el resorte de 8 pulgadas a 11 pulgadas.Antes de calcular el trabajo realizado al estirar el resorte es muy importante realizar un esquema para entender el ejercicio, este se puede observar en la imagen 10.

Imagen 10. Esquema del desplazamiento del resorte en el caso de estudio.

La frmula para calcular el trabajo realizado al estirar un resorte se halla mediante la siguiente ecuacin:

En esta ecuacin W es el trabajo realizado, a es el estiramiento inicial del resorte, b es el estiramiento final del resorte y F es la fuerza aplicada.

Para poder utilizar esta frmula se debe hallar primero la constante del resorte, lo cual se realiza mediante la ley de HOOKE a continuacin:

Reemplazando los valores especificados en el caso de estudio se obtiene:

El trabajo realizado al estirar el resorte de 8 pulgadas a 11 pulgadas es de 189,81 lb-ft.

11. Dadas las funciones demanda y oferta , el excedente del consumidor en el punto de equilibrio es:En la imagen 11 se puede observar la grfica de las curvas de demanda y oferta del ejercicio, como tambin el rea definida como el excedente del consumidor y el punto de equilibrio.

Imagen 11. Grafica de las curvas de oferta y demanda en el caso de estudio.

Para calcular el excedente del consumidor se debe utilizar la siguiente ecuacin

Donde q0 y P0 son las coordenadas del punto de equilibrio.

Para hallar el punto de equilibrio entre las dos curvas se deben igualar sus ecuaciones y hallar las races, esto se realiza a continuacin:

El valor de x = -8 no se puede utilizar ya que es una cantidad negativa y la curva de oferta y demanda se ubica en las coordenadas positivas de los ejes X y Y, por ende el punto de equilibrio no tendra coordenadas negativas.

Entonces se utilizara x = 6 = q0. Reemplazando este valor en cualquiera de las ecuaciones que definen las curvas de oferta y demanda se halla el valor de P0.

El punto de equilibrio queda entonces definido por las coordenadas:

Reemplazando estos valores en la ecuacin del excedente al consumidor se obtiene:

El excedente del consumidor en el punto de equilibrio es 72.12. Hallar el Excedente del Productor (EP), el Excedente del consumidor (EC) y el punto de equilibrio (PE) de y .En la imagen 12 se puede observar la grfica de las curvas de demanda y oferta del ejercicio, como tambin el rea definida como el excedente del consumidor, excedente del productor y el punto de equilibrio.

Imagen 12. Grafica de las curvas de oferta y demanda en el caso de estudio.

Para calcular el excedente del consumidor y el excedente del productor se deben utilizar las siguientes ecuaciones:

Donde q0 y P0 son las coordenadas del punto de equilibrio.

Para hallar el punto de equilibrio entre las dos curvas se deben igualar sus ecuaciones y hallar las races, esto se realiza a continuacin:

El valor de q0 es 3. Reemplazando este valor en cualquiera de las ecuaciones que definen las curvas de oferta y demanda se halla el valor de P0.

El punto de equilibrio queda entonces definido por las coordenadas:

Reemplazando estos valores en las ecuaciones del excedente al consumidor y del excedente al productor se obtiene:

El excedente del consumidor en el punto de equilibrio es 1,5.

El excedente del productor en el punto de equilibrio es 4,5.CONCLUSIONES A travs de este trabajo podemos concluir que gracias al uso de las integrales podemos calcular reas entre curvas. En trminos generales planteamos las integrales para encontrar el rea bajo una curva.

El clculo de volmenes est basado en la integral la cual determina la regin que gira alrededor de un de los ejes coordenados o de una recta especifica.

REFERENCIAS1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA. SEDE BOGOTA 2015. [ONLINE] Available at: http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2000916/lecciones_html/Cap04/04_06_01.html. [Accessed 29 April 2015].2. APLICACION DE LA INTEGRAL A LA FISICA - TRABAJO MECANICO - YouTube. 2015. APLICACION DE LA INTEGRAL A LA FISICA - TRABAJO MECANICO - YouTube. [ONLINE] Available at: https://www.youtube.com/watch?v=ug-dvDfU8R0. [Accessed 29 April 2015].3. La integral definida y el concepto de trabajo - YouTube. 2015. La integral definida y el concepto de trabajo - YouTube. [ONLINE] Available at: https://www.youtube.com/watch?v=4y43ylZX6_0. [Accessed 29 April 2015].

4. Video de excedente del consumidor y productor - ejemplo 2 - YouTube. 2015. Video de excedente del consumidor y productor - ejemplo 2 - YouTube. [ONLINE] Available at: https://www.youtube.com/watch?v=87CFUOysKfg. [Accessed 29 April 2015].