Tesis Terramecanica
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UNIVERSIDAD SIMN BOLVARDecanato de Estudios Profesionales
Coordinacin de Ingeniera Mecnica
DESARROLLO DE MODELOS TERRAMECNICOS PARA APLICACIN ENDISEO DE SUSPENSIONES DE VEHCULOS TODO TERRENO
Por
Rafael Carlos Araya Borgna
Sartenejas, Septiembre de 2006
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UNIVERSIDAD SIMN BOLVARDecanato de Estudios Profesionales
Coordinacin de Ingeniera Mecnica
DESARROLLO DE MODELOS TERRAMECNICOS PARA APLICACIN ENDISEO DE SUSPENSIONES DE VEHCULOS TODO TERRENO
Por
Rafael Carlos Araya Borgna
Realizado con la Asesora de
Prof. Sergio E. DiazProf. Pedro Pieretti
PROYECTO DE GRADOPresentado ante la Ilustre Universidad Simn Bolvar
como requisito parcial para optar al ttulo de
Ingeniero Mecnico
Sartenejas, Septiembre de 2006
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UNIVERSIDAD SIMN BOLVARDecanato de Estudios Profesionales
Coordinacin de Ingeniera Mecnica
DESARROLLO DE MODELOS TERRAMECNICOS PARA APLICACIN ENDISEO DE SUSPENSIONES DE VEHCULOS TODO TERRENO
PROYECTO DE GRADO presentado porRafael Carlos Araya Borgna
REALIZADO CON LA ASESORA DE Prof. Sergio E. Diaz y Prof. Pedro PierettiRESUMEN
El equipo Mini Baja SAE USB nace en la Universidad Simn Bolvar en febrero del ao 2005con la intensin de participar junto con ms de 100 universidades de todo el mundo en la
competencia Mini Baja SAE; la cual consiste en someter a una serie de eventos un vehculomonoplaza todo terreno que debe ser diseado y construido por el equipo de estudiantes. Losvehculos son enfrentados a condiciones sumamente adversas de caminos irregulares,obstculos y cerradas trayectorias curvas, ante las cuales el sistema de suspensin debeproveer el mejor desempeo a fin de habilitar al conductor a lograr buenos resultados en lacompetencia. La condicin de suelos deformables representa un gran salto en lasconsideraciones y el proceso de diseo de la suspensin del vehculo al compararlo con eldiseo asociado a vehculos de calle. Por lo tanto la aplicacin de modelos y conceptosdesarrollados para vehculos sobre suelos indeformables no permiten una correctaoptimizacin del diseo. Se plantea en este trabajo el desarrollo de tres modelos bsicos parael diseo de suspensiones todo terreno: relacin caucho-suelo, modelo dinmico de cuarto de
vehculo y desplazamiento sobre trayectoria curva. Se realiza una extensa recopilacinbibliogrfica de modelos y conceptos terramecnicos asociados que servirn de base para eldesarrollo correctamente argumentado de los modelos exigidos como objetivo general.Posteriormente, a modo de ejercicio se utilizan las caractersticas del prototipo Mini Baja SAEUSB 2005-2006 como parmetros en la resolucin numrica de estos modelos. Acontinuacin, se expone el anlisis correspondiente a esta evaluacin, as como lasconclusiones y recomendaciones.
PALABRAS CLAVES
Terramecnica, suspensin, vehculo todo terreno, Mini Baja SAE USB
Aprobado con mencin: de HonorPostulado para el premio: _________
Sartenejas, Septiembre de 2006
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Dedicatoria
A mis padres; porque no sera nada
sin el amor que de muchas formas
siempre le han dado a sus hijos.
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Agradecimientos
A Dios por darme la vida; y a la vida misma por su majestuosa esencia.
A mis padres por haberme provisto de las herramientas morales para afrontar esta
carrera y este proyecto.
A mi hermano por siempre salir en mi auxilio; y a Ghili por darme fuerzas a travs de su
amor durante este ao.
A la Ilustre Universidad Simn Bolvar por permitirme formarme como profesional a
travs de su excelente institucin fsica y humana.
A los Profesores Sergio Diaz y Pedro Pieretti por el privilegio de nutrir bajo el mayor
entusiasmo esta investigacin con su conocimiento y experiencia. Al Profesor y amigo Juan
Carlos Gonzalez por tenderme siempre su mano brindando apoyo y consejo.
Al equipo Mini Baja SAE USB por permitirme compartir con un grupo excepcional de
estudiantes y amigos de alta calidad humana el hermoso proyecto Mini Baja SAE USB 2005-
2006.
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NDICE GENERAL
1 INTRODUCCIN 12 OBJETIVO GENERAL 4
3 OBJETIVOS ESPECFICOS 54 FUNDAMENTOS TERICOS 6 4.1 Fundamentos de Dinmica de Vehculos 6 4.1.1 Caucho 6 4.1.2 Geometra 8 4.1.3 Estado Esttico de Curvatura (Modelo de Bicicleta) 12 4.1.4 Modelo de Cuarto de Vehculo 14 4.2 Fundamentos de Terramecnica 16 4.2.1 Introduccin 16 4.2.2 Equilibrio Plstico 16 4.2.3 Presin Pasiva del Suelo 18
4.2.4 Medicin y Caracterizacin de la Respuesta del Suelo 20 4.2.5 Distribucin de Presin Suelo-Rueda 23 4.2.6 Rueda Rgida 24 4.2.7 Carga Lateral ngulo de Deslizamiento 26 4.2.8 Comportamiento de Cauchos Deformados 295 DESARROLLO DE MODELOS TERRAMECNICOS 31 5.1 Metodologa de Trabajo 31 5.2 Modelo de Caucho Deformable Sobre Superficie Deformable 32 5.2.1 Modelo de Caucho de Mltiples Rayos 32 5.2.2 Resolucin del Modelo Propuesto por El-Gawwad y Crolla 37 5.2.3 Validacin del Modelo Propuesto 42
5.3 Modelo de Estado Esttico de Deslizamiento 45 5.3.1 Presentacin del Problema 45 5.3.2 Modelo de Estado Esttico de Deslizamiento 45 5.4 Modelo Dinmico de Cuarto de Vehculo Todo Terreno 51 5.4.1 Modelo Presentado por Park, Popov y Cole 51 5.4.2 Resolucin del Modelo Planteado 546 PROTOTIPO MINI BAJA SAE USB 2005-2006 58 6.1 Equipo Mini Baja SAE USB 58 6.2 Parmetros del Vehculo Mini Baja USB 59 6.3 Objetivos de Diseo 60 6.4 Diseo Conceptual de Vehculo Mini Baja SAE USB 63
7 APLICACIN DE MODELOS Y ANLISIS DE RESULTADOS 68 7.1 Introduccin 68 7.2 Aplicacin del Modelo de Caucho Deformable 68 7.2.1 Fuerza de Empuje 70 7.2.2 Fuerza Lateral 75 7.2.3 Pneumatical Trail 78 7.3 Aplicacin del Modelo de Estado Esttico de Deslizamiento 81 7.3.1 Configuracin Original 82
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7.3.2 Variacin de la Masa Total del Vehculo 87 7.3.3 Variacin de la Posicin del Centro de Masa 90 7.3.4 Variacin del ngulo de Toeen los Cauchos Traseros 92
7.3.5 Variacin del ngulo de Camber 94 7.3.6 Variacin de la Distancia entre Ejes 95
7.4 Aplicacin del Modelo Dinmico de Cuarto de Vehculo 97 7.4.1 Comportamiento General de Dinmica de Vehculos T.T. 98 7.4.2 Suspensin Delantera 100 7.4.3 Suspensin Trasera 101 7.4.4 Variacin de Frecuencia Natural 1038 CONCLUSIONES 1069 RECOMENDACIONES 10810 REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS 10911 APNDICE 112
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INDICE DE FIGURAS
Fig. 4.1 Caucho con tacos. 6Fig. 4.2 Sistema de coordenadas del caucho [4]. 6
Fig. 4.3 ngulo de deslizamiento y deformacin del caucho [4]. 6Fig. 4.4 ngulo de Cambery Toe[5]. 7Fig. 4.5 Ejes del vehculo [5]. 9Fig. 4.6 a) Brazo tipo A , b) Barra ideal. 9Fig. 4.7 Geometra delantera. 9Fig. 4.8 Geometra Trasera. 9Fig. 4.9 Determinacin geomtrica del centro de rolido. 10Fig. 4.10 ngulo de Castery ngulo de Kingpin[7]. 10Fig. 4.11 Diferencia entre ngulo de cruce interno y externo. 12Fig. 4.12 Geometra de Ackerman. 13Fig. 4.13 Modelo bicicleta. 13
Fig. 4.14 Modelo dinmico de cuarto de vehculo. 15Fig. 4.15 Comportamiento elastoplstico. 17Fig. 4.16 Comportamiento del esfuerzo mximo de corte. 17Fig. 4.17 Equilibrio plstico - presin pasiva del suelo. 18Fig. 4.18 Crculo de Mohr - presin pasiva del suelo. 19Fig. 4.19 Presin pasiva del suelo tomando en cuenta ngulo de friccin (re). 19Fig. 4.20 Platos anulares y rectangulares para estudiar esf. de corte del suelo [4]. 20Fig. 4.21 Comportamiento caracterstico de suelos homogneos [4]. 21Fig. 4.22 Esf. mximo de corte en arena bajo diferentes presiones normales [4]. 22Fig. 4.23 Esfuerzo de corte Vs. deformacin de corte [4]. 22Fig. 4.24 Deformacin del suelo bajo accin de corte [4]. 22
Fig. 4.25 Esfuerzo normal real bajo rueda rgida (1 medida; 3 calculada) [4]. 23Fig. 4.26 Diagrama de compactacin del suelo bajo rueda rgida [4]. 24Fig. 4.27 Velocidad tangencial en rueda rgida [4]. 25Fig. 4.28 Presin normal y esfuerzo de corte medido bajo caucho de tractor [4]. 26Fig. 4.29 Deformacin lateral conjunta del caucho y del suelo [19]. 27Fig. 4.30 Medicin de fuerza lateral y longitudinal de un caucho de tractor [21]. 28Fig. 4.31 Comport. de resist. al avance con di., ancho y deflexin vertical [22]. 29Fig. 4.32 Perfil de deformacin de corte del suelo bajo caucho deformado [4]. 29Fig. 4.33 Comport. de fuerza de emp. con di., ancho y deflexin vertical [22]. 30Fig. 5.1 Parmetros del modelo. 32Fig. 5.2 Esquema de compactacin. 33Fig. 5.3 Esquema de desplazamiento lateral. 33Fig. 5.4 Esquema de deformacin tangencial. 33Fig. 5.5 Diagrama de fuerzas (vista frontal). 35Fig. 5.6 Diagrama de fuerzas (vista lateral). 35Fig. 5.7 Diagrama de cuerpo libre (vista frontal). 36Fig. 5.8 Diagrama de cuerpo libre (vista lateral). 36Fig. 5.9 Anlisis de ngulo de correccin . 39Fig. 5.10 Diagrama de cuerpo libre alterado por . 40
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Fig. 5.11 Esquema de ngulo de salida. 41Fig. 5.12 Deformacin de corte longitudinal segn varios modelos. 43Fig. 5.13 Deformacin de corte lateral segn varios modelos. 44Fig. 5.14 ngulo de correccin para diferentes deformaciones verticales. 44Fig. 5.15 Modelo de bicicleta para estudio de estado esttico de deslizamiento. 47
Fig. 5.16 Esquema de compactacin del suelo. 48Fig. 5.17 Modelo dinmico de cuarto de vehculo sobre terrero deformable. 52Fig. 5.18 Relacin entre h y h. 54Fig. 6.1 Caucho Trasero (22x8). 60Fig. 6.2 Caucho Delantero (21x7). 60Fig. 6.3 Caucho Delantero (23x8). 60Fig. 7.1 Caucho con deflexin de 10mm sobre suelo arenoso. 69Fig. 7.2 Fuerza de empuje con deslizamiento long. para diferentes deflexiones. 70Fig. 7.3 Fuerza de empuje con deslizamiento long. para diferentes suelos. 72Fig. 7.4 Fuerza de frenado con deslizamiento longitudinal. 75Fig. 7.5 Fuerza lateral con ngulo de des. para 0% de des. longitudinal. 76Fig. 7.6 Fuerza lateral con des. longitudinal para varias deflexiones verticales. 77Fig. 7.7 Fuerza lateral con deslizamiento longitudinal para distintos suelos. 78Fig. 7.8 Pneumatical Trailcon des. para diferentes deflexiones verticales. 79Fig. 7.9 Pneumatical Trailcon ngulo de des. para 0% des. longitudinal. 80Fig. 7.10 ngulo de cruce con acel. centrfuga para diferentes radios de giro. 83Fig. 7.11 ngulo de cabeceo con acel. centrfuga para diferentes radios de giro. 84Fig. 7.12 ngulo de cruce tomando en cuenta transferencia de peso longitudinal. 84Fig. 7.13 ngulo de cabeceotomando en cuenta transferencia de peso long. 85Fig. 7.14 ngulo de deslizamiento delantero para diferentes radios de giro. 86Fig. 7.15 ngulo de deslizamiento trasero para diferentes radios de giro. 86Fig. 7.16 Porcentaje de deslizamiento longitudinal para diferentes radios de giro. 87Fig. 7.17 ngulo de cruce para diferentes masas totales del vehculo. 88Fig. 7.18 ngulo de cabeceo para diferentes masas totales del vehculo. 88Fig. 7.19 Porcentaje de des. long. para diferentes masas totales del vehculo. 89Fig. 7.20 ngulo de cruce para diferentes posiciones del centro de masa. 90Fig. 7.21 ngulo de cabeceo para diferentes posiciones del centro de masa. 91Fig. 7.22 ngulo de cruce para diferentes ngulos de Toetrasero. 92Fig. 7.23 ngulo de cabeceo para diferentes ngulos de Toetrasero. 93Fig. 7.24 ngulo de cruce para diferentes ngulos de Camberesttico. 94Fig. 7.25 ngulo de cabeceo para diferentes ngulos de Camberesttico. 95Fig. 7.26 ngulo de cruce para distintas distancias entre ejes. 96Fig. 7.27 ngulo de cabeceo para distintas distancias entre ejes. 97Fig. 7.28 RMS de la deformacin del caucho sobre distintos suelos. 98Fig. 7.29 RMS de la amplitud de la masa soportada sobre distintos suelos. 99Fig. 7.30 RMS de la def. del caucho sobre distintos suelos para suspensin del. 100Fig. 7.31 RMS de la amp. de la masa sopor. sobre distintos suelos para susp. del. 101Fig. 7.32 RMS de la def. del caucho sobre distintos suelos para susp. trasera. 102Fig. 7.33 RMS de la amp. de la masa sop. sobre distintos suelos para susp. tra. 102Fig. 7.34 RMS de la deformacin del caucho para distintas frecuencias naturales. 103Fig. 7.35 RMS de la amp. de la masa soportada para distintas frecuencias nat. 104
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NDICE DE TABLAS
Tabla 4.1 Valores caractersticos de propiedades del suelo [14]. 18Tabla 5.1 Clasificacin de superficies todo terreno [3]. 53
Tabla 6.1 Parmetros definitivos del prototipo Mini Baja SAE USB 2005-2006. 67Tabla 7.1 Resistencia al avance sobre suelo arenoso. 71Tabla 7.2 Variacin de dimetro (s: 50%, : 20). 73Tabla 7.3 Variacin de ancho (s: 50%, : 20). 73Tabla 7.4 Variacin de peso (s: 50%, : 20). 74Tabla 7.5 Aporte del ngulo de Camberen carga lateral. 77
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LISTA DE SIMBOLOS
f (subndice) Eje delantero del vehculo.r (subndice) Eje trasero del vehculo.
a Distancia entre eje delantero y centro de masa.b Distancia entre eje trasero y centro de masa.bc Ancho del caucho.Ce Coeficiente de amortiguacin vertical equivalente del sistema de suspensin.C.R. Centro de rolido.C Propiedad del caucho.c Cohesin aparente del suelo.dg Deformacin dinmica vertical del suelo.dgo Deformacin esttica vertical del suelo.ei Elemento genrico sobre superficie de contacto del caucho.Fe Fuerza asociada a presin equivalente sobre rea infinitesimal discreta.
Ff Fuerza asociada a pared lateral de suelo sobre rea infinitesimal discreta.Fg Fuerza vertical de contacto suelo-caucho (funcin de la deformacin del suelo).Flat Fuerza lateral sobre superficie del caucho en un elemento ei.Fp Fuerza de flujo del suelo.Frad Fuerza radial sobre superficie del caucho en un elemento ei.Fs Fuerza asociada a esfuerzo de corte sobre rea infinitesimal discreta.Ftan Fuerza tangencial sobre superficie del caucho en un elemento ei.Fx Fuerza de empuje sobre centro del caucho (sobre plano de rotacin).Fxt Fuerza longitudinal total sobre centro de masa del vehculo.Fy Fuerza lateral sobre centro del caucho (perpendicular a plano de rotacin).Fyt Fuerza lateral total sobre centro de masa del vehculo.
Fz Fuerza vertical sobre centro del caucho.fg Fuerza centrfuga sobre centro de masa del vehculo.fx Fuerza longitudinal (x) sobre centro del caucho aportada por un elemento ei.fy Fuerza lateral (y) sobre centro del caucho aportada por un elemento ei.fz Fuerza vertical (z) sobre centro del caucho aportada por un elemento ei.g Aceleracin de gravedad (9,8m/s2).H Transformada de Fourier de coordenada h.h Perfil vertical original del suelo.h Perfil vertical compactado del suelo.hb Profundidad de accin efectiva.hcm Altura del centro de masa del vehculo (medida desde el suelo).h
L Altura del taco.
J Deformacin total de corte del suelo.Jx Deformacin longitudinal de corte del suelo.Jy Deformacin lateral de corte del suelo.K Modulo de deformacin del suelo.K Pendiente de crecimiento positivo de ngulo de Toe-Out.K Pendiente de crecimiento positivo de ngulo de Cambernegativo.kc Modulo de cohesividad del suelo.
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ke Rigidez vertical equivalente del sistema de suspensin.kt Rigidez vertical del caucho.k Modulo de friccin interna del suelo.L Distancia entre eje delantero y trasero.M Masa total del vehculo.
Mns Masa no soportada.Ms Masa soportada.Mt Momento total sobre el centro de masa del vehculo.Mx Momento de sobre-giro.My Momento de resistencia al avance.Mz Momento de auto-alineacin.mx Momento en x sobre centro del caucho aportado por un elemento ei.my Momento en y sobre centro del caucho aportado por un elemento ei.mz Momento en z sobre centro del caucho aportado por un elemento ei.N Nmero de onda.Nmax Nmero de trminos en vector solucin.N
o Nmero de onda de referencia.
N Valor de Flujo del suelo.n Exponente caracterstico del suelo.P Presin de compactacin del suelo.Pcr Presin de compactacin asociada a superficie del caucho.Pe Presin equivalente de compactacin.Pf Potencia en el eje delantero.Pr Potencia en el eje trasero.Pt Presin de compactacin asociada a superficie del taco.q Carga distribuida sobre superficie del suelo.R Radio del caucho indeformado.Rc Resistencia al avance por compactacin del suelo.Rg Radio de giro de trayectoria curva recorrida por el vehculo.RMS Raz media cuadrtica (Root Mean Square).R.R. Rigidez efectiva.So Constante.Sr Rigidez radial del caucho.Sx Rigidez tangencial del caucho.Sy Rigidez lateral del caucho.s Deslizamiento longitudinal.T Distancia centro-centro entre cauchos del mismo eje.Tc Torque sobre eje de potencia del caucho.t Tiempo.tc Torque sobre eje de potencia del caucho aportado por un elemento ei.tp Pneumatical Trail.U Velocidad longitudinal del caucho (sobre plano de rotacin).V Velocidad del centro de masa.Vf Velocidad del centro del caucho delantero.Vj Velocidad tangencial al caucho (velocidad de corte del suelo).Vr Velocidad del centro del caucho trasero.Vx Velocidad longitudinal del centro del caucho (sobre plano de rotacin).
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Vxs Velocidad asociada a deslizamiento longitudinal (sobre plano de rotacin).Vy Velocidad lateral del centro del caucho (perpendicular a plano de rotacin).W Peso soportado por el caucho en su centro.Y Vector de soluciones genrico en el espacio de frecuencias.Y1 Transformada de Fourier de coordenada y1.
Y2 Transformada de Fourier de coordenada y2.y1 Coordenada de masa soportada (medida desde pto. de equilibrio del sistema).y2 Coordenada de masa no soportada (medida desde pto. de equilibrio del sistema).z Profundidad de compactacin del suelo.zmax, zo Compactacin mxima del suelo. ngulo de deslizamiento. ngulo de correccin.f ngulo de Toe-Outdel caucho delantero.o ngulo de Toe-Outesttico.r ngulo de Toe-Outdel caucho trasero. ngulo de Camber negativo.
o ngulo de Cambernegativo esttico.
s Peso especfico del suelo.A rea de contacto correspondiente a un elemento del caucho.td Deformacin vertical dinmica del caucho.to Deformacin vertical esttica del caucho. Separacin angular entre elementos sobre superficie de contacto del caucho. ngulo de cruce del caucho.A ngulo de Ackerman.e ngulo de cruce del caucho externo a la curva.i ngulo de cruce del caucho interno a la curva.r Deformacin radial del caucho.rmax Deformacin radial mxima del caucho.x Deformacin tangencial del caucho.y Deformacin lateral del caucho. Factor de amortiguacin. Coordenada angular del elemento genrico ei.e, o ngulo de entrada (contacto suelo-caucho).s ngulo de salida (contacto suelo-caucho). Relacinrea superficie del taco / rea superficie del caucho. Esfuerzo normal.p Esfuerzo principal mayor. Esfuerzo de corte del suelo.max Esfuerzo de corte mximo del suelo. ngulo de friccin interna del suelo. ngulo de cabeceo del vehculo.f ngulo de deslizamiento delantero.r ngulo de deslizamiento trasero. Velocidad angular constante del caucho.c Velocidad angular constante del vehculo.n Frecuencia natural.o Constante.
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1 INTRODUCCIN
La implementacin de vehculos todo terreno se mantiene hoy en da a pesar de la
expansin de las rutas pavimentadas. Ciertos mbitos de la actividad humana actual no pueden
quedar exentos del desplazamiento todo terreno incluso en las regiones ms civilizadas. La
agricultura es el primer ejemplo que puede citarse comnmente; sin embargo, suele obviarse
todo el proceso de investigacin y desarrollo que permite determinar el dimetro ptimo de la
rueda de un tractor las caractersticas que le permiten al tractor una operacin tan sencilla
como recorrer un camino curvo. Otro mbito representativo es el militar, ya que su carcter
exploratorio le obliga la operacin de vehculos de transporte sobre suelos deformables. Si
bien en un principio las caractersticas de este tipo de vehculos eran definidas principalmente
por la experiencia, hoy en da el estudio de la interaccin vehculo terreno ha evolucionado a
tal punto que puede aplicarse al diseo conceptual y de detalle de mquinas tan refinadas
como robots autnomos exploratorios con fines de investigacin espacial.
En febrero del ao 2005, nace en la Universidad Simn Bolvar el equipo Mini Baja
SAE USB, creado por la motivacin existente en un grupo de estudiantes de participar en la
competencia estudiantil Mini Baja SAE, organizada por la Sociedad de Ingenieros
Automotrices. Esta competencia consiste en el reto de ingeniera de disear y construir unvehculo monoplaza de operacin todo terreno, para as competir contra ms de cien
vehculos provenientes de diferentes universidades del mundo en eventos variados que ponen
a prueba: la resistencia, la transmisin de potencia al suelo y la maniobrabilidad del vehculo.
El diseo de la suspensin empieza de la extrapolacin de conocimientos sobre vehculos de
calle y rpidamente destaca la diferencia asociada a las condiciones de operacin todo terreno.
La incertidumbre acerca de la maniobrabilidad del vehculo crece conforme se empieza a
entender el comportamiento del suelo deformable. Todas las reas de diseo del equipo
requieren una estimacin de las fuerzas que puede transmitir el caucho al suelo; y se ven
obligadas, pese al error asociado, a trabajar con un coeficiente de roce lineal a sabiendas de
que el suelo no exhibe tal comportamiento.
Bajo estas circunstancias, se establece la necesidad y el objetivo dentro del equipo de
desarrollar modelos que permitan estimar con mayor precisin el comportamiento del vehculo
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1 Introduccin 2
a fin de optimizar el diseo. La referencia directa para iniciar la investigacin es el rea de
ingeniera denominada Terramecnica, cuyo nico objetivo es estudiar el comportamiento de
vehculos en operacin todo terreno. El estudio terramecnico tradicionalmente se ha limitado
a evaluar, mediante correlaciones experimentales, la movilidad de vehculos a travs de
terrenos deformables; y slo recientemente se ha vuelto de prctica comn la resolucin de
complejos sistemas de ecuaciones para determinar ms puntualmente el comportamiento del
vehculo.
Ninguno de los equipos universitarios con los cuales se estableci comunicacin antes,
durante y despus de la competencia, manifiesta aplicar e incluso conocer conceptos
terramecnicos. Igualmente, no se ha encontrado evidencia que indique aplicacin de estos
conceptos al diseo de vehculos todo terreno deportivos a nivel profesional. Por otro lado,
como se ver posteriormente, la transparencia y sencillez del anlisis mecnico que soporta los
modelos bsicos terramecnicos dan confianza respecto a la aplicacin de estos modelos a
diversas condiciones de operacin. Igualmente, se tiene conocimiento de aplicacin de la
Terramecnica al diseo conceptual de parmetros de peso en el comportamiento de una
amplia gama de vehculos; desde los pesados y lentos tractores, pasando por los igualmente
pesados pero mucho ms veloces tanques, hasta llegar a los livianos y especializados
vehculos de exploracin planetaria diseados por la NASA y otras agencias espaciales.
En el diseo de vehculos de calle, la optimizacin de la suspensin se logra mediante el
estudio de tres reas fundamentales: comportamiento del caucho en interaccin con el suelo
indeformable, condicin de estado esttico de desplazamiento al negociar trayectorias curvas y
respuesta dinmica del vehculo, como sistema de dos grados de libertad, ante la excitacin
proveniente del suelo indeformable. Como primera aproximacin a la resolucin del problema
de operacin todo terreno, se asume que la optimizacin de la suspensin del vehculo
empieza por el anlisis de estas mismas tres reas. Se propone ahondar en la Terramecnica
buscando modelos y conceptos que permitan no slo entender estas reas, sino desarrollarhojas de clculo a travs de las cuales se pueda aplicar concretamente estos modelos y
conceptos al diseo de suspensiones de vehculos todo terreno. Como consecuencia, se espera
que todas las reas tcnicas del equipo Mini Baja SAE USB puedan nutrirse de este trabajo
permitiendo especializar su diseo para operaciones todo terreno, aumentando las
probabilidades de lograr mejores resultados en la competencia.
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1 Introduccin 3
El anlisis de la interaccin caucho suelo y la respuesta dinmica del vehculo se
desarrollan con base en los modelos presentados por El-Gawwad y Crolla ([1], [2]) as como
por Park, Popov y Cole [3] respectivamente; los cuales se sometieron a estudio y verificacin
mediante la comparacin con otras referencias, para posteriormente modificar y corregir, bajo
argumentos justificados en este trabajo, el procedimiento de resolucin planteado por los
autores. El modelo para estudiar la condicin de desplazamiento a travs de una trayectoria
curva es propuesto y debidamente argumentado durante el desarrollo del texto.
El presente trabajo se divide en 11 captulos. El primero refiere a la introduccin donde
se expone el tema a tratar, antecedentes y se justifica su desarrollo. El captulo 2 expone el
objetivo general del trabajo; mientras que el tercer captulo expone los objetivos especficos.
El cuarto captulo resume los conceptos de dinmica de vehculos y Terramecnica que sirven
de base para el desarrollo de los modelos y para la presentacin del proceso de diseo
conceptual de la suspensin del prototipo Mini Baja SAE USB. El quinto captulo resume el
desarrollo detallado de los tres modelos terramecnicos descritos anteriormente.
Posteriormente, se presenta el procedimiento de diseo y resultados de la suspensin del
prototipo considerado en el captulo 6. En el captulo 7 se utilizan las caractersticas del
prototipo descritas en el captulo anterior, como parmetros en la resolucin a modo de
ejercicio de los modelos desarrollados; los resultados son sometidos a anlisis. El captulo 8
presenta las conclusiones extradas del proceso de clculo y anlisis de resultado; para
seguidamente exponer las recomendaciones propuestas en el captulo 9. Los ltimos dos
captulos abarcan la referencia bibliogrfica (10) y los apndices (11).
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2 OBJETIVO GENERAL
Desarrollar y resolver modelos terramecnicos que puedan ser aplicados en el diseo de
suspensiones de vehculos todo terreno en las reas: interaccin caucho-suelo, trayectoria
curva del vehculo y dinmica del vehculo.
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3 OBJETIVOS ESPECFICOS
-Investigar las reas planteadas en el objetivo general aplicadas a vehculos de calle.
-Investigar sobre la interaccin entre elementos mecnicos y suelos deformables.
-Estudiar, corregir y resolver el modelo de mltiples rayos planteado por El-Gawwad y
Crolla para el estudio de ruedas deformables sobre suelos deformables ([1], [2]).
-Desarrollar y resolver modelo para estudio de vehculos en desplazamiento sobre
trayectorias curvas de suelos deformables.
-Estudiar, modificar y resolver el modelo de un cuarto de vehculo planteado por Park,
Popov y Cole para el estudio de la dinmica de vehculos sobre suelos deformables [3].
-Resolver a modo de ejercicio los modelos anteriores bajo las caractersticas del
prototipo Mini Baja SAE USB 2005-2006.
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4 FUNDAMENTOS TERICOS
4.1 Fundamentos de Dinmica de Vehculos
4.1.1 Caucho
En el presente trabajo, el trmino caucho se refiere a la agrupacin de llanta y rueda
rgida; y el trmino taco del caucho se refiere al relieve caracterstico de las llantas
especializadas para todo terreno, como se muestra en la figura Fig. 4.1. En esta seccin se
exponen los conceptos asociados al caucho que son implementados en el desarrollo de este
trabajo.
Fig. 4.1. Caucho con tacos. Fig. 4.2. Sistema de coordenadas del caucho [4].
La figura Fig. 4.2 resume el sistema coordenado y la convencin de signos utilizada en
el estudio de los cauchos a lo largo de este proyecto.
Fig. 4.3. ngulo de deslizamiento y deformacin del caucho [4].
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4 Fundamentos Tericos 7
Bajo la accin de cargas laterales (perpendiculares al plano de rotacin), caracterstico
del desplazamiento sobre una trayectoria curva, se observa desfase entre la direccin de
desplazamiento y el plano de rotacin del caucho; el ngulo de desfase es conocido como
ngulo de Deslizamiento. Al operar sobre suelo indeformable, el desfase es consecuencia de
la deformacin del caucho en el rea de contacto bajo la accin de la carga lateral como se
muestra en la figura Fig. 4.3. La reaccin lateral del suelo y la fuerza aplicada sobre el centro
del caucho no son colineales; esto genera momento sobre el eje vertical del caucho que, en
situaciones normales de operacin, tiende a alinear el plano del caucho con la direccin de
movimiento; y es llamado momento de auto-alineacin (Mz). La distancia entre ellas es
llamada Pneumatical Trail(tp) y puede variar en funcin de las cargas sobre el caucho.
Fig. 4.4. ngulo de Cambery Toe[5].
Dos parmetros que definen la posicin del caucho y que son ampliamente considerados
en el comportamiento del vehculo son el Cambery el Toe(Fig. 4.4). El ngulo de inclinacin
del plano de rotacin del caucho respecto a un plano perpendicular al suelo se conoce como
Camber. La Sociedad de Ingenieros Automotrices (SAE, por sus siglas en ingls), define elvalor del Cambernegativo cuando el caucho se inclina en direccin del cuerpo del vehculo.
La deformacin del caucho producto del Camber genera un aporte de carga lateral en
direccin de la inclinacin del caucho [4].
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4 Fundamentos Tericos 8
s 1U
R
100 %
sR
U1
100 %
La convergencia o divergencia de dos cauchos del mismo eje refiere al ngulo de Toe
(Fig. 4.4). Se denomina Toe-In si los cauchos convergen en la direccin de avance del
vehculo; y Toe-Outsi los cauchos convergen en la direccin opuesta.
La distancia recorrida (en un tiempo dado) por un caucho en operacin a velocidad
angular constante (), disminuye en proporcin al torque aplicado sobre su eje. Este
fenmeno es conocido como Deslizamiento Longitudinal, y se resume en la ecuacin Ec. 4.1.
Esta expresin indica que el 100% de deslizamiento corresponde a una velocidad angular
constante y un desplazamiento cero [4].
Ec. 4.1.
En condicin de frenado a velocidad angular constante, la distancia recorrida (en un
tiempo dado) crecer proporcional al torque (negativo) aplicado. Esta condicin del
deslizamiento longitudinal se resume en la expresin Ec. 4.2. En este caso, el 100% de
deslizamiento corresponde a una velocidad angular nula y un desplazamiento constante [4].
Ec. 4.2.
El deslizamiento longitudinal sobre superficies indeformables est asociado
principalmente a la condicin elstica del caucho; mientras que sobre superficies deformables
este deslizamiento corresponde tanto a la elasticidad del caucho como a deformacin del suelo
[4].
4.1.2 Geometra
Para el desarrollo de este trabajo, se consideran vehculos de cuatro ruedas de chasis
rgido. Se toman en cuenta los tres ejes de rotacin del chasis, como se muestra en la figura
Fig. 4.5.
De la gama de sistemas mecnicos conocidos para vincular el chasis con sus cuatro
ruedas [6] se selecciona la geometra Doble A, brazo corto-brazo largo. La vinculacin tipo
Doble A se logra mediante la combinacin de brazos tipo A (Fig. 4.6-a) y barras ideales (Fig.
4.6-b).
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4 Fundamentos Tericos 9
Fig. 4.5. Ejes del vehculo [5]. Fig.4.6. a) Brazo tipo A, b) Barra ideal.
Hoy en da son aplicadas numerosas combinaciones para lograr complejos
comportamientos de la geometra de suspensin [6]. En las aplicaciones referentes a este
trabajo se consideran las combinaciones:
-Geometra delantera (Fig. 4.7): dos brazos tipo A (superior-corto, inferior-largo) y una
barra ideal (barra del sistema de direccin).
Fig. 4.7. Geometra Delantera.
-Geometra Trasera (Fig. 4.8): dos brazos tipo A (superior-corto, inferior-largo) con la
particularidad de que ambos brazos se vinculan al caucho mediante ejes y no mediante un solo
punto.
Fig. 4.8. Geometra Trasera.
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4 Fundamentos Tericos 10
El eje sobre el que el chasis rota lateralmente se define por la lnea que une el centro de
rolido (C.R.) delantero con el centro de rolido (C.R.) trasero; y estos a su vez se definen por la
geometra Doble A sobre el plano medio de los cauchos (Fig. 4.9) [6].
Fig. 4.9. Determinacin geomtrica del centro de rolido.
La rotacin lateral del chasis induce rotacin de los cauchos (sobre su punto de apoyo en
el suelo) en el mismo sentido; lo cual se traduce en ganancia de Camber positivo sobre la
rueda externa a la curva, disminuyendo la capacidad de carga lateral. Una apropiada
combinacin de brazo superior corto con brazo inferior largo proporciona ganancia de Camber
negativo con el movimiento vertical del caucho, contrarrestando el efecto de rotacin delchasis; lo que permite tener valores favorables de Camber sobre la rueda externa a la curva,
aumentando as la capacidad de carga lateral.
Fig. 4.10. ngulo de Castery ngulo de Kingpin [7].
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4 Fundamentos Tericos 11
El elemento mecnico responsable de vincular el caucho con la geometra de suspensin
se denomina porta-masas. En el caso de la suspensin delantera, donde interviene el sistema
de direccin, los puntos de llegada al porta-masas, tanto del brazo tipo A superior como el
brazo tipo A inferior, definen el eje sobre el cual rota el caucho cuando es accionado por el
sistema de direccin. Este eje es caracterizado en el espacio por dos ngulos: Caster y Kingpin
(Fig. 4.10). La proyeccin del ngulo de Caster sobre el suelo por delante del eje vertical del
caucho se denomina Mechanical Trail. En situaciones en las que el Pneumatical Trail se
desplace por delante del eje vertical del caucho, el Mechanical Traildebe ser mayor que el
valor esperado de Pneumatical Trail, a fin de mantener el momento de auto-alineacin
positivo; de lo contrario el caucho tendera a cerrarse en la direccin de cruce, induciendo
posible prdida de control del vehculo. La proyeccin del ngulo de Kingpinsobre el suelo se
denomina Scrub Radiusy se relaciona principalmente con la dureza del volante al momento decruzar ([6], [8]).
Por otro lado, la inclinacin del eje de rotacin del caucho afecta el ngulo de Camber
cuando es accionado el sistema de direccin [8]. Para valores de Caster positivo y cero
Kingpin, la rueda externa a la curva ganar Cambernegativo, mientras que la interna Camber
positivo, al accionar el sistema de direccin. Para valores de Kingpinpositivo y cero Caster, la
rueda externa a la curva ganar Camberpositivo conforme aumente el ngulo de cruce.
La geometra de suspensin presentada en este trabajo se desarrolla bajo proceso de
ensayo y error. Para esto se aplica el paquete computacional WishBone [9] que puede
conseguirse de manera gratuita en Internet y cuyos resultados son considerados aceptables.
Tras introducir las coordenadas espaciales que definen la geometra, el programa WishBone
[9] permite rotar lateralmente y desplazar verticalmente el chasis, as como accionar el sistema
de direccin, e indica cmo estas condiciones afectan, entre otros parmetros, el ngulo de
Camber, el ngulo de Toe-In y el desplazamiento del centro de rolido. Esto permite probar
diferentes configuraciones de geometra y estudiar si el comportamiento resultante coincidecon el buscado.
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4 Fundamentos Tericos 12
eL
RgT
2+
iL
RgT
2
4.1.3 Estado Esttico de Curvatura (Modelo de Bicicleta)
La reduccin de dos ruedas de un mismo eje a una sola, es una aproximacin
ampliamente utilizada para estudiar el comportamiento de vehculos de calle al negociar una
trayectoria curva [6].
Fig. 4.11. Diferencia entre ngulo de cruce interno y externo.
A bajas velocidades, los ngulos de deslizamiento de las cuatro ruedas pueden
despreciarse y la geometra del vehculo se reduce a la mostrada en la figura Fig. 4.11. Bajo la
condicin de ngulo de Toecero en la geometra trasera, se observa que el ngulo de cruce de
la rueda interna es mayor al de la rueda externa, y son resumidos por Gillespie [6] en las
expresiones (Ec. 4.3, Ec. 4.4):
Ec. 4.3.
Ec. 4.4.
La diferencia entre el cruce de la rueda interna y el cruce de la rueda externa, crece
inversamente proporcional al radio de giro. Este efecto puede lograrse aproximadamente con
una geometra de direccin como se muestra en la figura Fig. 4.12 [6]. El paquete WishBone
[9] permite calcular la diferencia real entre ngulos y compararla con la que debera tener
segn el radio de giro, permitiendo optimizar el sistema de direccin.
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4 Fundamentos Tericos 13
A 57.3L
Rg
57.3L
Rg f+ r
Fig. 4.12. Geometra de Ackerman.
El ngulo de cruce calculado segn el radio de giro se denomina ngulo de Ackerman.
Al negociar trayectorias curvas a velocidades mayores, el ngulo de deslizamiento se torna
considerable; y por lo tanto, el ngulo de cruce difiere del ngulo de Ackerman. La figura Fig.
4.13 muestra el modelo de bicicleta implementado comnmente para estudiar este efecto:
Fig. 4.13 Modelo bicicleta.
El ngulo de Ackerman puede aproximarse por Ec. 4.5. Consecuencia de la deformacin
del caucho, el ngulo de cruce se altera segn Ec. 4.6 [6]:
Ec. 4.5.
Ec. 4.6.
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4 Fundamentos Tericos 14
57.3L
Rg
Wf
Cf
Wr
Cr
V2
g Rg+
Ms y1 Ce y1 y2( )+ ke y1 y2( )+ 0
Suponiendo un crecimiento lineal del ngulo de deslizamiento con la carga lateral,
donde la constante de proporcionalidad depende del caucho (Cf, Cr), se reescribe la ecuacin
Ec. 4.6 (Ec. 4.7) [6]:
Ec. 4.7.
Si el ngulo de deslizamiento crece en ambos cauchos en la misma proporcin, el
vehculo se considera neutral; ya que el ngulo de cruce ser el ngulo de Ackerman y por lo
tanto ser independiente de la velocidad. Por el contrario, si el ngulo de deslizamiento crece
ms rpidamente en la parte delantera del vehculo, este se considerar sub-virante ya que el
ngulo de cruce crecer, partiendo del ngulo de Ackerman, proporcional a la velocidad. Si el
ngulo de deslizamiento crece ms rpidamente en los cauchos traseros del vehculo, este seconsiderar sobre-virante ya que el ngulo de cruce disminuir conforme aumente la velocidad
[6].
4.1.4 Modelo de Cuarto de Vehculo
Para estudiar la respuesta dinmica de vehculos de calle a la excitacin del suelo (h), el
modelo de un cuarto de vehculo es comnmente aplicado [6]. Este modelo consiste en aislar
la porcin de masa soportada por un caucho como se muestra en la figura Fig. 4.14. De la
figura se distinguen dos cuerpos:
-Masa No Soportada (Mns): corresponde a la masa del caucho, porta-masas y elementos
de suspensin.
-Masa Soportada (Ms): es la porcin de masa soportada por un caucho, de la resultante
de restarle a la masa total del vehculo la total no soportada.
El modelo aplicado en este trabajo vincula la masa soportada con la no soportada
mediante un elemento disipador de energa (Ce) y uno almacenador de energa (ke). La masa
no soportada se vincula al suelo a travs de la rigidez del caucho (kt). Se asume en este
modelo que el caucho no se separa del suelo. Asumiendo la ausencia de fuerzas externas
actuando sobre la masa soportada y la no soportada, el sistema de ecuaciones que define el
problema es:
Ec. 4.8
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4 Fundamentos Tericos 15
y1 t( ) Y1( ) ei t
y2 t( ) Y2( ) ei t
RRkt ke
kt ke+
nRR
Ms
Ce
4 Ms ke
h t( ) H( ) ei t
Mns y2 Ce y2 y1( )+ ke y2 y1( )+ kt y2 h( )+ 0
2
Ms
0
0
Mns i
Ce
Ce
Ce
Ce
+
ke
ke
ke
ke kt+
+
Y1
Y2
0
kt H
Ec. 4.9
Aplicando los cambios de variable:
Ec. 4.10
Ec. 4.11
Ec. 4.12
Fig. 4.14. Modelo dinmico de cuarto de vehculo.
El sistema de ecuaciones se resume en el espacio de las frecuencias:
Ec. 4.13
Los trminos de rigidez efectiva (Ec. 4.14), frecuencia natural (Ec. 4.15) y factor de
amortiguacin (Ec. 4.16) aplicados en este trabajo se definen [6]:
Ec. 4.14
Ec. 4.15
Ec. 4.16
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4 Fundamentos Tericos 16
RMS
0
Nmax
i
Yi
2
2
=
Al resolver el sistema Ec. 4.13, se obtiene un nmero imaginario que representa la
amplitud y la fase de la respuesta peridica correspondiente a la frecuencia evaluada. El valor
RMS del vector de soluciones Y1 y Y2 proporciona una idea de la magnitud de la energa
asociada a la respuesta [10]. El valor RMS de un vector de soluciones genrico en amplitud,
en el espacio de frecuencias, corresponde a la raz cuadrada del promedio de los cuadrados de
las soluciones:
Ec. 4.17
4.2 Fundamentos de Terramecnica
4.2.1 Introduccin
La Terramecnica se conoce hoy en da como el estudio del comportamiento de los
vehculos todo terreno en relacin con su entorno de operacin [4]. Esta disciplina, cuyo auge
se remonta a la Segunda Guerra Mundial, se manifiesta actualmente en una amplia gama de
aplicaciones de Ingeniera, desde la optimizacin de tractores en el sector agrcola [11] hasta el
diseo de vehculos autnomos para la exploracin planetaria [12].
En el presente captulo se exponen los modelos terramecnicos empleados en el
desarrollo de este trabajo.4.2.2 Equilibrio Plstico
En el presente trabajo se representa el comportamiento mecnico de los suelos como
elastoplstico, por ser ampliamente aceptado y utilizado segn es argumentado por Wong [4] y
Yang [13]. El concepto de este modelo se ilustra en la figura Fig. 4.15. Valores de esfuerzo
inmediatamente superiores al mximo inducirn un rpido crecimiento de la deformacin, esto
se conoce como Flujo Plstico (Plastic Flow); mientras que esfuerzos menores correspondern
a un comportamiento elstico del suelo, en lo que se denomina Equilibrio Plstico (PlasticEquilibrium).
El punto de transicin entre el estado de Equilibrio Plstico y el estado de Flujo Plstico
se conoce como el punto de falla. El esfuerzo correspondiente se puede estimar segn el
criterio de falla de Mohr-Coulomb que se resume en la ecuacin Ec. 4.18. El significado de
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4 Fundamentos Tericos 17
max c tan ( )+
esta expresin puede observarse en la figura Fig. 4.16, la cual representa los crculos de Mohr
construidos para diferentes esfuerzos normales de compresin () actuando sobre una muestra
de suelo. Algunos valores caractersticos de cy se muestran en Tabla 4.1.
Fig. 4.15. Comportamiento elastoplstico.
El trmino c representa la capacidad que poseen las partculas del suelo de mantenerseunidas unas a otras independientemente de la presin entre ellas, y es llamada Cohesin
Aparente. Por otro lado, el trmino est relacionado con la fuerza de friccin entre las
partculas y su proporcionalidad con la presin entre ellas; es denominado ngulo de
Resistencia Interna de Corte. Los suelos arcillosos se caracterizan por ngulos de resistencia
interna poco significativos, el esfuerzo generado al deformarse se debe principalmente a la
fuerza de cohesin entre sus partculas; mientras que los suelos arenosos secos manifiestan
poca cohesin, el esfuerzo correspondiente se debe en mayor parte a la friccin interna y crece
proporcional a la carga normal sobre la muestra de suelo. Usualmente, los suelos que cubren
las zonas transitables exhiben una combinacin de ambas propiedades.
Fig. 4.16. Comportamiento del esfuerzo mximo de corte.
Ec. 4.18.
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4 Fundamentos Tericos 18
Tabla 4.1. Valores caractersticos de propiedades del suelo [14].
Terreno n kc (kN/mn+1) k(kN/m
n+2) c (kPa) () K (m)
Suelo arcilloso 0,5 13,2 692,2 4,14 13,0 0,01
Suelo arenoso 0,7 5,3 1515,0 1,7 29,0 0,025
Arena seca 1.1 0,9 1523,4 1,0 30,0 0,025
Nieve 1,6 4,4 196,7 1,0 19,7 0,04
4.2.3 Presin Pasiva del Suelo
El modelo de la Presin Pasiva estudia el punto de falla de una muestra de suelo bajo la
accin de un esfuerzo normal lateral. Esto permite estimar las fuerzas resultantes sobre
elementos mecnicos como la pala de una excavadora y los tacos de un caucho.
El diagrama mostrado en Fig. 4.17 representa el estado de Equilibrio Plstico de una
muestra de suelo a una profundidad z, siendo quna carga distribuida en la superficie, p el
mayor esfuerzo principal de la muestra de suelo y sel peso especfico del suelo.
Fig. 4.17. Equilibrio plstico - presin pasiva del suelo.
Del crculo de Mohr correspondiente (Fig. 4.18) se extrae una expresin para el esfuerzo
lateral (Ec. 4.19) desarrollada por Wong en 2001 [4]. La integracin de esta expresin a lo
largo de la profundidad de accin (hb) resulta en la fuerza total necesaria para inducir la falla
de la muestra de suelo (Ec. 4.20).
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4 Fundamentos Tericos 19
p s z q+( ) N 2 c N+ N tan 45deg
2+
2
Fp1
2s hb
2 N q hb N+ 2 c hb N+
Fig. 4.18. Crculo de Mohr - presin pasiva del suelo.
Ec. 4.19
Ec. 4.20.
Esta ltima expresin ha encontrado aplicacin en la estimacin de la fuerza de traccin
que puede desarrollar un caucho en funcin de la geometra de sus tacos de goma. Sin
embargo, el error asociado a este clculo crece rpidamente motivado a la no consideracin
del ngulo de friccin entre el suelo y la goma (en el caso del caucho), que puede llegar a ser
tan alto como el ngulo de Resistencia Interna de Corte del suelo [4].
Incluyendo el ngulo de friccin (re), el modelo resulta como se muestra en Fig. 4.19.
De manera similar al proceso para desarrollar la Ec. 4.20, se haya la solucin a este modelo
(Ec. 4.21) [4]:
Fig. 4.19. Presin pasiva del suelo tomando en cuenta ngulo de friccin (re).
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4 Fundamentos Tericos 20
Fp1
2s hb
2
Kp
cos re( )
hb
cos re( )q Kpq c Kpc+( )+Ec. 4.21.
Aunque el nuevo modelo es ms preciso, determinar el valor de los nuevos parmetros
es ms complejo (Kp, Kpq, Kpc, re). Debido a esta problemtica, el modelo de la PresinPasiva del Suelo no es utilizado en la estimacin de la capacidad de traccin; sin embargo ser
implementado en el anlisis de las cargas laterales sobre el caucho.
4.2.4 Medicin y Caracterizacin de la Respuesta del Suelo
La carga aplicada verticalmente sobre un caucho se traduce en compresin del suelo,
mientras que el torque aplicado sobre un caucho induce corte del suelo en el rea de contacto.
En esta seccin se exponen las conclusiones matemticas de la respuesta del suelo a dos
estados de esfuerzos: esfuerzo normal de compresin y esfuerzo de corte.
Fig. 4.20. Platos rectangulares y anulares para estudiar esfuerzo de corte del suelo [4].
Una de las tcnicas ms aplicadas para la recoleccin de datos es la propuesta por
Bekker, conocida como la Tcnica Bevameter [4]. Este procedimiento consiste en dos tipos de
pruebas: penetracin, se emplean discos de diferentes dimetros para comprimir verticalmente
el suelo y se registra la relacin presin-hundimiento; corte, se emplean platos rectangulares
anulares (Fig. 4.20) para inducir corte del suelo y registrar la relacin esfuerzo de corte-
deformacin. El procedimiento experimental asociado a la Tcnica Bevameter permite
simular, durante la recoleccin de datos, el comportamiento del suelo bajo condiciones
generales de operacin de vehculos todo terreno; esto permite la aplicacin de sus resultadosen la terramecnica correspondiente a cauchos y orugas de diferentes dimensiones [4].
A travs de esta tcnica se ha registrado matemticamente el comportamiento
caracterstico de varios tipos de suelo ([4], [15]); entre ellos: terreno homogneo, terreno
orgnico e hielo cubierto de nieve. Sin embargo, el ms representativo de los suelos
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4 Fundamentos Tericos 21
Pkc
bc
k+
zn
transitables es el terreno homogneo, que puede abarcar arena suelta, arcilla saturada, nieve
fresca y cualquiera de sus combinaciones. El trmino Terreno Homogneo refiere a la
homogeneidad del suelo a cualquier profundidad; por el contrario el Terreno Orgnico se
caracteriza por una capa de material vegetal que una vez desprendida cambia abruptamente el
comportamiento del suelo.
Fig. 4.21. Comportamiento caracterstico de suelos homogneos [4].
El comportamiento de varios suelos homogneos ante la accin de una presin normal
puede verse en la Fig. 4.21; y es resumido por Bekker [16] en la expresin Ec. 4.22. Algunos
valores caractersticos de n, kcykse muestran en la Tabla 4.1.
El esfuerzo mximo de corte, correspondiente a la Ec. 4.18, se registra en la Fig. 4.22
medido bajo diferentes mtodos en arena; puede observarse el crecimiento lineal del esfuerzo
mximo de corte con el esfuerzo de compresin sobre el suelo. Bajo una presin vertical
constante, se registra en la Fig. 4.23 el crecimiento del esfuerzo de corte al aumentar la
deformacin del suelo (J). Este comportamiento es descrito por Janosi y Hanamoto en la
funcin exponencial Ec. 4.23 [4].
El trmino K es denominado Mdulo de Deformacin de Corte, y representa la
deformacin correspondiente al 95% del esfuerzo mximo de corte. La Tabla 4.1 muestra
valores caractersticos de K. Aunque algunos experimentos sugieren que el Mdulo de
Deformacin podra depender de la presin normal, hasta la actualidad tal relacin no se ha
determinado [4].
Presin
Compactacin
Ec. 4.22
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4 Fundamentos Tericos 22
Superficie de Corte
max 1 e
J
K
Fig. 4.22. Esfuerzo mximo de corte en arena bajo diferentes presiones normales [4].
Fig. 4.23. Esfuerzo de corte Vs. deformacin de corte [4].
Ec. 4.23
La aplicacin de la ecuacin Ec. 4.23 para estimar la deformacin del suelo inducida al
aplicar torque sobre el eje de un caucho, asume que su geometra permite una efectiva
vinculacin con el suelo, es decir, la transmisin del movimiento perifrico del caucho, como
se muestra en Fig. 4.24.
Fig. 4.24. Deformacin del suelo bajo accin de corte [4].
Presin Normal
Esfuerzom
ximodeCorte
Arena
Presin Normal
EsfuerzodeCorte
Deformacin de Corte
MedidoCalculado
-
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4 Fundamentos Tericos 23
4.2.5 Distribucin de Presin Suelo-Rueda
Como base para el estudio del comportamiento de una rueda rgida en operacin sobre
un suelo deformable, Bekker ([16], [17]) propone uno de los primeros modelos para
representar el esfuerzo normal entre el suelo y la rueda. Su propuesta consiste en los siguientes
puntos:
-El esfuerzo generado al compactar el suelo acta radialmente sobre la rueda.
-El valor del esfuerzo es igual al resultado de evaluar la ecuacin Ec. 4.22 en la
profundidad correspondiente.
Gracias a su sencillez, la aplicacin de este modelo ha permitido representar
matemticamente el comportamiento de ruedas rgidas; e incluso su aplicacin ha sido
extrapolada al estudio de ruedas deformables, con satisfactorios resultados ([1], [2]).
Por otro lado, evidencia experimental refleja que la distribucin de presin entre la rueda
y el suelo es diferente a la propuesta por Bekker ([16], [17]), como se muestra en la Fig. 4.25.
Segn las mediciones, la zona de mxima presin no se encuentra en el punto ms bajo de la
rueda, sino se desplaza por delante de este proporcionalmente al porcentaje de deslizamiento
longitudinal [4].
Fig. 4.25 Esfuerzo normal real bajo rueda rgida (1 medida; 3 calculada) [4].
Modelos que toman en cuenta este desplazamiento del punto de mxima presin,
corrigiendo el modelo de Bekker ([16], [17]) a travs de la introduccin de nuevos parmetrosdel suelo, han sido empleados con xito en la optimizacin de vehculos todo terreno ([14],
[18]). Sin embargo, los valores de estos parmetros son poco divulgados.
Una de las principales intensiones de este proyecto es la de proporcionar, tanto a la
Universidad Simn Bolvar como a sus grupos estudiantiles, herramientas de clculo de
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4 Fundamentos Tericos 24
Rc bc0
o
R cos ( )
d
W bc0
o
R sin ( )
d
prctica aplicacin para ser implementadas en el diseo de elementos terramecnicos. Bajo
este argumento, y con el apoyo de aquellos trabajos que hoy en da se basan en este modelo
([1], [12], [14], [18]), se decide aplicar la propuesta de Bekker en este desarrollo.
4.2.6 Rueda Rgida
En la presente seccin se exponen los efectos generados sobre el suelo cuando una rueda
rgida es sometida a cargas verticales y torques en el eje.
Como consecuencia de la deformacin del suelo, se manifiesta la resistencia al avance
de una rueda ya sea rgida deformable. En ambos casos esta resistencia est asociada al
trabajo que debe realizar la rueda para compactar el suelo hasta la profundidad de operacin; y
corresponde a la fuerza (Rc), sobre el plano de rotacin, experimentada por la rueda en su
centro bajo 0% de deslizamiento longitudinal (Fig. 4.26).
Fig. 4.26 Diagrama de compactacin del suelo bajo rueda rgida [4].
En la figura Fig. 4.26 se grafica el problema de la resistencia al avance (Rc) y la
profundidad de compactacin (zo) bajo la accin de una carga vertical W. De este diagrama se
extraen las siguientes expresiones integrales (Ec. 4.24, Ec. 4.25) que resumen el problema:
Ec. 4.24
Ec. 4.25
La resolucin de ambas ecuaciones es desarrollada por Wong [4], basado en el modelo
propuesto por Bekker para caracterizar la distribucin del esfuerzo normal entre la rueda y el
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4 Fundamentos Tericos 25
zo
3 W
bc 3 n( )kc
bck+
2 R
2
2 n 1+
Rc bc
kc
bck+
zon 1+
n 1+
suelo. Como resultado se expone una expresin para la profundidad mxima de deformacin
(zo) y para la resistencia al avance (Rc), ambas en funcin de la carga W(Ec. 4.26, Ec. 4.27).
Ec. 4.26
Ec. 4.27
Durante el desarrollo de estas expresiones, Wong [4] involucra aproximaciones
numricas. Como consecuencia, es recomendado por el autor las siguientes limitaciones paraminimizar el error en los resultados: los valores de nno deben exceder de 1.3, hundimiento
moderado (zodebe ser menor a la sexta parte del dimetro de la rueda) y dimetro de la rueda
mayor a 50cm.
Si la superficie del caucho diseada por el fabricante resulta efectiva, la aplicacin de
torque sobre el eje de un caucho inducir transferencia del movimiento perifrico al suelo.
Esta deformacin del suelo se traduce en esfuerzo de corte segn Ec. 4.23.
Fig. 4.27. Velocidad tangencial en rueda rgida [4].
El clculo de la deformacin del suelo a lo largo de la superficie de contacto requiere
determinar la velocidad tangencial (Vj) como se muestra en la figura Fig. 4.27. Wong [4]
desarrolla esta expresin en la ecuacin Ec. 4.28, tomando el valor de deslizamiento
correspondiente a Ec 4.1. La integracin en el tiempo de la velocidad tangencial resulta en la
deformacin a lo largo de la superficie de contacto (Ec. 4.29).
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4 Fundamentos Tericos 26
Vj R 1 1 s( ) cos ( )
J R o ( ) 1 s( ) sin o( ) sin ( )( )
c P( ) tan ( )+( ) 1 e
R
K o ( ) 1 s( ) sin o( ) sin ( )( )
Ec. 4.30
Ec. 4.28
Ec. 4.29
La evaluacin de la ecuacin Ec. 4.23 en la deformacin Ec. 4.29, resulta en la
distribucin de esfuerzo de corte a lo largo de la superficie de contacto (Ec. 4.30):
Se muestra en la figura Fig. 4.28 el esfuerzo normal y el esfuerzo de corte medido en un
caucho de tractor a lo largo de la superficie de contacto. En la distribucin de esfuerzo normal,
resalta el adelantamiento del punto de esfuerzo mximo respecto al modelo de Bekker. En lacurva de esfuerzo de corte se observa el crecimiento predicho por Ec. 4.23.
Fig. 4.28. Presin normal y esfuerzo de corte medido bajo caucho de tractor [4].
4.2.7 Carga Lateral ngulo de Deslizamiento
La accin de cargas laterales en un caucho operando sobre superficies deformables,
inducir deformacin conjunta del caucho y del suelo en el rea de contacto como se muestra
en la figura Fig. 4.29. Consecuencia de la suma de estas deformaciones, la direccin de
desplazamiento del caucho forma un ngulo con el plano de rotacin, llamado ngulo de
Deslizamiento. Este fenmeno es propio de vehculos negociando una curva en terreno
deformable, segn expone Crolla y El-Razaz en 1987 [19].
La reaccin lateral del suelo sobre el caucho se debe principalmente al esfuerzo de corte
generado al deformar lateralmente la superficie del terreno; y en menor proporcin se debe a la
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4 Fundamentos Tericos 27
Jx s x
Jy 1 s( ) x tan ( )
J Jx2
Jy2
+
Jx x+ s x
Jy y+ 1 s( ) x tan ( )
Sx xJx
J
max 1 e
J
K
SyyJy
J
max 1 e
J
K
fuerza generada, segn el modelo de Presin Pasiva (Ec. 4.20), al deformar el material
acumulado en las paredes del caucho (debido a la profundidad de operacin del caucho); como
resume Wong en 2001 [4].
Fig. 4.29. Deformacin lateral conjunta del caucho y del suelo [19].
Grecenko presenta en 1969 uno de los ms aplicados y representativos modelos paraestablecer la relacin entre la deformacin longitudinal y lateral del suelo: The Slip and Drift
Model. De sus conclusiones se extraen las siguientes expresiones ([19], [20]):
Ec. 4.31
Ec. 4.32
Donde xrepresenta la posicin perifrica a lo largo del rea de contacto, sel porcentaje
de deslizamiento y el ngulo de deslizamiento. Los trminos Jxy Jyrepresentan la suma de
la deformacin del caucho y la del suelo en la direccin longitudinal y lateral respectivamente.
Crolla y El-Razaz [19] expanden el planteamiento de Grecenko en el siguiente sistema
de ecuaciones:
Ec. 4.33
Ec. 4.34
Ec. 4.35
Ec. 4.36
Ec. 4.37
DeformacinLateral
Longitud de Contacto
Deformacin delCaucho
Deformacin deCorte del Suelo
ngulo de Deslizamiento
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4 Fundamentos Tericos 28
El esfuerzo de corte total resulta de evaluar la ecuacin Ec. 4.23 en la suma vectorial de
ambas deformaciones (Ec. 4.33). El esfuerzo correspondiente a cada deformacin se calcula
proyectando el esfuerzo total en cada direccin (Ec. 4.36, Ec. 4.37).
Karafiath (1986) [21] propone asumir que la deformacin generada por el torque
aplicado al caucho tiene la misma forma que la correspondiente al desplazamiento en lnea
recta (Ec. 4.29). Este planteamiento es aplicado en otros desarrollos terramecnicos [18].
Argumentado en los prrafos anteriores, se aplican en este trabajo las siguientes
expresiones para la deformacin de corte longitudinal y lateral del suelo bajo la accin de una
rueda rgida: Ec. 4.29 y Ec. 4.32 respectivamente.
Fig. 4.30. Medicin de fuerza lateral y longitudinal de un caucho de tractor [21].
Las ecuaciones anteriores muestran que, para un ngulo de deslizamiento fijo, la fuerza
longitudinal (paralela al plano de rotacin de la rueda) crece proporcional al porcentaje de
deslizamiento y por lo tanto al torque aplicado; mientras que la fuerza lateral (perpendicular al
plano de rotacin de la rueda) decrece con el aumento de torque aplicado. Este
comportamiento es documentado en numerosos experimentos ([18], [21]). La figura Fig. 4.30
muestra el comportamiento tpico entre fuerza lateral y longitudinal observado en numerosos
experimentos realizados por el Instituto de Maquinaria Agrcola en Munich, Alemania [21].
Fuerza de Empuje/Carga Vertical
FuerzaLateral/CargaVertical
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4 Fundamentos Tericos 29
4.2.8 Comportamiento de Cauchos Deformados
Se introducen conceptos y modelos bsicos, ampliamente aceptados, acerca del
comportamiento de cauchos deformados bajo la accin de cargas verticales, como referencia
para argumentar los resultados mostrados posteriormente en este trabajo sobre el mismo tema.
La resistencia al avance decrece con el aumento del rea de contacto, ya sea por aumento
de dimetro, ancho deflexin vertical del caucho. El aumento de rea permite disminuir la
presin promedio, disminuyendo as la compactacin (Ec. 4.22) y por lo tanto la resistencia al
avance. La figura Fig. 4.31 expone los resultados presentados por Saarilahti en 2002 [22] tras
analizar este fenmeno bajo diferentes modelos.
Fig. 4.31. Comportamiento de resistencia al avance con dimetro, ancho y deflexin vertical [22].
Fig. 4.32. Perfil de deformacin de corte del suelo bajo caucho deformado [4].
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4 Fundamentos Tericos 30
La presin de aire interno del caucho, junto con las propiedades mecnicas del caucho
en s y la carga vertical soportada (W) determinan la deflexin vertical resultante. Sin
embargo estas relaciones no son desarrolladas en este trabajo. Directamente se remite a la
rigidez vertical y radial del caucho independientemente de sus causas.
La deformacin tangencial de corte caracterstica de la accin de un caucho deformado
se muestra en la figura Fig. 4.32. Es ampliamente aceptado que la deformacin vertical
conjunta del suelo y del caucho resulte en un rea de contacto inicial curva, seguida de una
seccin plana antes de llegar a la seccin de restitucin del suelo. A largo de la seccin curva
la deformacin de corte crece segn Ec. 4.29; pero al iniciar la seccin plana la deformacin
adquiere un crecimiento lineal con la distancia x.
Este comportamiento de la deformacin de corte est relacionado con el aumento de
fuerza de empuje. La figura Fig. 4.33 muestra el comportamiento de la fuerza de empuje con
el aumento del dimetro, ancho y deflexin vertical del caucho segn resultados expuestos en
[22].
Fig. 4.33. Comportamiento de fuerza de empuje con dimetro, ancho y deflexin vertical [22].
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5 DESARROLLO DE MODELOS TERRAMECNICOS
5.1 Metodologa de Trabajo
El presente trabajo es principalmente de carcter investigativo y analtico. Plantea el
desarrollo de modelos matemticos basados en el estudio, la recopilacin de datos y la
correcta argumentacin. Ms all de los modelos resueltos, este trabajo representa una
importante acumulacin de informacin sobre Terramecnica que ha sido verificada hasta en
los conceptos ms bsicos a travs de la comparacin entre autores. De la amplia gama de
tendencias, los diversos estudios y los diferentes desarrollos planteados sobre el mismo tema
por varios autores; este trabajo se concentr en filtrar la gran cantidad de informacin hasta
decantar en un cmulo de conceptos confiables, aplicables y de satisfactorios resultados. La
seccin de Fundamentos de Terramecnica expuesta en el captulo de Fundamentos Tericos
representa esta condensacin de informacin.
Tras establecer una slida base de conceptos, se dispuso a estudiar los modelos
terramecnicos planteados por El-Gawwad y Crolla ([1], [2]) as como por Park, Popov y Cole
[3], para el estudio de cauchos deformables y dinmica de vehculos respectivamente. Estos
conceptos establecidos permitieron juzgar y ampliar los modelos como se desarrolla en las
siguientes secciones.
Por otro lado, el estudio del comportamiento de vehculos todo terreno al desplazarse
por trayectorias curvas no ha sido ampliamente estudiado. Como argumento principal en este
proyecto, se plantea que las deformaciones laterales experimentadas por el suelo cuando el
vehculo negocia curvas a altas fuerzas centrfugas son lo suficientemente altas para resultar en
un desplazamiento continuo del vehculo en deslizamiento lateral; condicin que es
comnmente observada en el manejo competitivo de vehculos deportivos todo terreno. Bajo
este argumento, se desarrolla transparentemente un modelo de estado esttico de curvaturapara aplicar al manejo de vehculos todo terreno. Se concentr amplio esfuerzo en lograr
establecer un desarrollo intachable tanto cinemtico como terramecnico del modelo en
cuestin.
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5 Desarrollo de Modelos Terramecnicos 32
5.2 Modelo de Caucho Deformable Sobre Superficie Deformable
5.2.1 Modelo de Caucho de Mltiples Rayos
En la presente seccin se expone la resolucin del modelo presentando por El-Gawwad
y Crolla en 1999 para el estudio de cauchos en operacin sobre suelos deformables ([1], [2]).
El artculo [1] desarrolla la ampliacin del modelo de mltiples rayos (Multi Spoke Tyre
Model) para estudiar el efecto de los tacos en la distribucin de presin bajo cauchos en
operacin todo terreno, y su repercusin sobre las fuerzas totales experimentadas por el
caucho. Continuando con la expansin del modelo de mltiples rayos, se publica el artculo [2]
donde se incluye el efecto del Camberen las fuerzas totales resultantes sobre el caucho.
El modelo presentando por El-Gawwad y Crolla resuelve el problema de un caucho en
operacin, sobre suelo deformable, a velocidad angular constante (), velocidad de traslacin
constante sobre el plano de rotacin (U), ngulo de deslizamiento fijo (), velocidad de
traslacin lateral constante (U.tg()) y ngulo de Cambernegativo fijo (). La figura Fig. 5.1
esquematiza el problema, donde los trminos e y s representan el ngulo de entrada y el
ngulo de salida respectivamente, generados por la deformacin conjunta del suelo y el
caucho.
Fig. 5.1. Parmetros del modelo.
El modelo de mltiples rayos se basa en la simulacin del caucho como una sucesin
infinita de elementos, definidos por una coordenada angular (), a lo largo de la superficie de
contacto (Fig. 5.1). La resolucin del sistema de fuerzas actuando sobre cada elemento, y su
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5 Desarrollo de Modelos Terramecnicos 33
R cos o( ) cos ( ) R r( ) cos ( ) x sin ( ) cos ( ) y sin ( )+ z
posterior integracin a lo largo de la superficie de contacto, permitir establecer las fuerzas
totales actuando sobre el caucho. Con base en la propuesta de Grecenko [19], se asume
rectangular el rea de contacto; dada por la longitud de contacto y el ancho del caucho (bc).
Fig. 5.2. Esquema de compactacin. Fig. 5.3. Esquema de desplazamiento lateral.
Fig. 5.4. Esquema de deformacin tangencial.
Las figuras Fig. 5.2, Fig. 5.3 y Fig. 5.4 muestran el anlisis cinemtico del caucho hecho
por los autores. La compactacin del suelo se relaciona con las deformaciones del caucho
como se muestra en Fig. 5.2 y Fig. 5.3, de las cuales se extrae la expresin Ec. 5.1. Eldesplazamiento lateral induce deformacin como se observa en la figura Fig. 5.3, que se
resume en Ec. 5.2. La deformacin del suelo y el caucho producto del torque aplicado se
extrae de la figura Fig. 5.4 en la Ec. 5.3.
Ec. 5.1
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5 Desarrollo de Modelos Terramecnicos 34
U dt tan ( ) y cos ( ) Jy+ R cos o( ) sin ( )+ x sin ( ) R r( ) cos ( ) sin ( )+
R sin o( ) U dt R r( ) sin ( )+ x Jx+( ) cos ( )+
Pe Pt 1 ( ) Pcr+
reaTaco
reaCarcaza
c Pe tan ( )+( ) 1 e
J
K
Pcr
kc
bck+
zn
Pt
kc
bck+
z hL+( )
n
Ec. 5.2
Ec. 5.3
El modelo de distribucin de presin propuesto por Bekker es implementado en estos
artculos ([1], [2]). Simulando el efecto de los tacos en la distribucin de presin, se escribe la
ecuacin Ec. 4.22 evaluada en la profundidad de la superficie del caucho (Ec. 5.4); y en la
profundidad de la superficie del taco (Ec. 5.5), donde hLrefiere la altura del taco. Los autores
proponen que el valor de la presin actuando normal a la superficie del caucho sobre el
elemento de estudio, es la suma de las ecuaciones Ec. 5.4 y Ec. 5.5 ponderadas por el
porcentaje de rea que representan la superficie del caucho y la superficie de los tacos
respectivamente. La presin total equivalente actuando sobre un elemento de estudio, seresume en Ec. 5.6.
Ec. 5.4
Ec. 5.5
Ec. 5.6
El trmino refiere la relacin de reas (Ec. 5.7).
Ec. 5.7
El esfuerzo de corte sobre el suelo en el rea de contacto (Ec. 5.8), se obtiene de evaluar
la expresin Ec. 4.23 en la presin distribuida equivalente (Ec. 5.6) y en la deformacin decorte total (J) asociada al elemento de estudio. La deformacin total se obtiene sumando
vectorialmente la deformacin lateral y longitudinal.
Ec. 5.8
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5 Desarrollo de Modelos Terramecnicos 35
Srr Fe cos ( ) Ff FsJy
J+
sin ( )+
Fs bc R r( ) d
Fe Pebc R r( ) d
Ff1
2s N z
2z hL+( )
2+ 2 c N z z hL+( )++
R r( ) d
Multiplicando el esfuerzo de corte (Ec. 5.8) por una seccin infinitesimal del rea de
contacto, se obtiene la fuerza asociada actuando sobre un elemento de estudio (Ec. 5.9). Bajo
el mismo procedimiento, se escribe la fuerza asociada a la presin normal sobre un elemento
de estudio (Ec. 5.10). La compactacin del suelo genera una pared lateral de profundidad z
para cada elemento. El desplazamiento lateral del caucho inducir falla de esta pared,
generando una fuerza lateral segn el modelo de presin pasiva; que es resumida por los
autores en la expresin Ec. 5.11.
Ec. 5.9
Ec. 5.10
Ec. 5.11
Las fuerzas Ec. 5.9, Ec. 5.10 y Ec. 5.11 son las nicas a tomar en cuenta en este modelo.
Las figuras Fig. 5.5 y Fig. 5.6 muestran el diagrama de cuerpo libre de un elemento de estudio
del caucho bajo la accin de estas cargas. La relacin entre las cargas y las deformaciones
radiales, laterales y tangenciales se muestran en las expresiones Ec. 5.12, Ec. 5.13 y Ec. 5.14
respectivamente.
Fig. 5.5. Diagrama de fuerzas (vista frontal). Fig. 5.6 Diagrama de fuerzas (vista lateral).
Ec. 5.12
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5 Desarrollo de Modelos Terramecnicos 36
Syy Ff FsJy
J+
cos ( ) Fe sin ( )
Sx x FsJx
J
Ec. 5.13
Ec. 5.14
Los trminos Sr, Sxy Syrefieren a la rigidez radial, tangencial y lateral asociada a cada
elemento. Crolla y El-Gawwad proponen un trmino extra de resistencia al avance que habra
de sumarse a la ecuacin Ec. 5.14. El fenmeno fsico estudiado se asume continuo, por lo
tanto conforme aumente la rigidez del caucho el resultado de este modelo debe semejar al
expuesto en el marco terico para una rueda rgida. La presencia de este trmino induce
diferencias en los resultados de ambos modelos. Con la finalidad de utilizar el modelo de
rueda rgida como referencia, se resuelve la propuesta de Crolla y El-Gawwad sin tomar en
cuenta este trmino.
El modelo planteado en los artculos [1] y [2] se resume en el sistema de ecuaciones
conformado por Ec. 5.1, Ec. 5.2, Ec. 5.3, Ec. 5.12, Ec. 5.13 y Ec. 5.14. Para cada elemento a lo
largo de la superficie de contacto, se resuelve este sistema para definir las deformaciones del
caucho (r, y,x), la deformacin de corte longitudinal (Jx), la deformacin de corte lateral
(Jy) y la profundidad de compactacin del suelo (z).
Fig. 5.7. Diagrama de cuerpo libre (vista frontal). Fig. 5.8. Diagrama de cuerpo libre (vista lateral).
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5 Desarrollo de Modelos Terramecnicos 37
fx Sx x cos ( ) Srr sin ( )
fy Syy cos ( ) Sx x sin ( )( ) Srr cos ( )+ sin ( )+
fz Sx x sin ( ) Srr cos ( )+( ) cos ( )
mx fz R r( ) cos ( ) x sin ( ) sin ( ) y cos ( ) fy R r( ) cos ( ) x sin ( ) cos ( ) y sin ( )+
my fx R r( ) cos ( ) x sin ( ) cos ( ) y sin ( )+ fz R r( ) sin ( ) x cos ( )++
mz fy R r( ) sin ( ) x cos ( )+ fx R r( ) cos ( ) x sin ( ) sin ( ) y cos ( )+
Una vez halladas las deformaciones, se descomponen las fuerzas radial, lateral y
tangencial de cada elemento segn los diagramas Fig. 5.7 y Fig. 5.8. El sistema de ecuaciones
Ec. 5.15 Ec. 5.20 representan las fuerzas (f) y los momentos (m) generados sobre el centro
del caucho por cada uno de los elementos a lo largo de la superficie de contacto.
Ec. 5.15
Ec. 5.16
Ec. 5.17
Ec. 5.18
Ec. 5.19
Ec. 5.20
5.2.2 Resolucin del Modelo Propuesto por El-Gawwad y Crolla
Durante un tiempo considerable se intent resolver analticamente el sistema de
ecuaciones planteado por El-Gawwad y Crolla en [1] y [2], para as facilitar la aplicacin del
modelo. Sin embargo, el nmero de ecuaciones y la no linealidad asociada a un grupo de
variables no permitieron desarrollar una solucin analtica. Como consecuencia, mtodos
numricos son aplicados en la resolucin del problema.
La cantidad de elementos considerados a lo largo de la superficie de contacto, es
reducida a un nmero finito; y el paso angular entre un elemento y otro se reduce a una
constante (). El rea de contacto correspondiente a un elemento con deformacin radial r
se reduce a Ec. 5.21.
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5 Desarrollo de Modelos Terramecnicos 38
U R 1 s( )
U R1
1 s+
dtd
o ( )
U dt R 1 s( ) o ( ) 0 s 1
U dtR o ( )
s 1+1 s 0
A R r( ) bc Ec. 5.21
Para valores de deslizamiento longitudinal (s) entre 0 y 1 (torque positivo), se relaciona
la velocidad de avance con la velocidad angular segn Ec. 5.22. En condicin de frenado,
valores de sentre -1 y 0 (torque negativo), la velocidad Use reduce a Ec. 5.23. Con base en el
diagrama Fig. 5.4, se reduce la expresin diferencial del tiempo (dt) en Ec. 5.24. El trmino de
avance diferencial (Udt) se reduce a las expresiones Ec. 5.25 y Ec. 5.26.
Ec. 5.22
Ec. 5.23
Ec. 5.24
Ec. 5.25
Ec. 5.26
El sistema de ecuaciones presentado en [1] y [2] se basa en la perpendicularidad de las
deformaciones radial y tangencial del caucho. Sin embargo, la deformacin radial del caucho
altera el contorno, originalmente circular, semejando una lnea parablica incluso una lnea
recta. Por lo tanto, las deformaciones radial y tangencial no son perpendiculares y el error del
modelo presentado por Crolla y El-Gawwad aumenta conforme disminuye la rigidez radial del
caucho.
Como primera aproximacin para corregir el problema de la no perpendicularidad en laresolucin numrica del modelo (nmero finito de elementos), se propone en este trabajo la
siguiente asuncin: el contorno del caucho asociado a un punto eise define por la lnea recta
que une este punto con el anterior ei-1.
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5 Desarrollo de Modelos Terramecnicos 39
acos1
2 L3 LL3
2L
2+ L2
2
L1 R ri( ) tan ( ) L2 R ri 1( )R ri( )
cos ( ) L3 L
2L2
2+ 2 L L2 cos 90 deg +( )
Con base en el diagrama Fig. 5.9, se introduce por anlisis trigonomtrico el ngulo de
correccin (Ec. 5.27). Conforme disminuya la rigidez radial, el crecimiento de la
deformacin radial entre un punto ei-1y el siguiente eiser mayor y por lo tanto mayor ser el
ngulo , llegando incluso a igualar a en el caso de un contorno lineal del caucho. Por otro
lado, con el aumento de la rigidez radial, el ngulo de correccin tender a un valor
constante igual a /2, consecuencia del anlisis trigonomtrico del cual desciende. Para
corregir esto se debe aumentar el nmero de elementos considerados en la superficie de
contacto ( 0), logrando que el ngulo de correccin tienda a cero para corresponder
con una rueda rgida.
Fig. 5.9 Anlisis de ngulo de correccin .
Ec. 5.27
La distribucin de fuerzas entre radial y tangencial se ve alterada por la introduccin del
ngulo de correccin (Fig. 5.10), al igual que la cinemtica correspondiente a la deformacin
longitudinal del suelo.
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5 Desarrollo de Modelos Terramecnicos 40
R cos o( ) cos ( ) R r( ) cos ( ) x sin ( ) cos ( ) y sin ( )+ z
U dt tan ( ) y cos ( ) Jy+ R cos o( ) sin ( )+ x sin ( ) R r( ) cos ( ) sin ( )+
R sin o( ) U dt R r( ) sin ( )+ x Jx+( ) cos ( )+
Srr Fe cos ( ) FfJy
JFs+
sin ( )+
1
cos ( )
Sx xJx
JFs Fe cos ( ) Ff
Jy
JFs+
sin ( )+
tan ( )+
Syy Fs cos ( ) Fe cos ( ) sin ( )+ Ffcos ( )2
cos ( )+
fx Sx x cos ( ) Srr sin ( )
fy Syy cos ( ) Sx x sin ( )( ) Srr cos ( )+ sin ( )+
Fig. 5.10. Diagrama de cuerpo libre alterado por .
El sistema de ecuaciones resultante de esta modificacin se presenta en Ec. 5.28 Ec.
5.33; y la descomposicin de fuerzas correspondiente se resume en Ec. 5.34 Ec. 5.39.
Ec. 5.28
Ec. 5.29
Ec. 5.30
Ec. 5.31
Ec. 5.32
Ec. 5.33
Ec. 5.34
Ec. 5.35
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5 Desarrollo de Modelos Terramecnicos 41
fz Sx x sin ( ) Srr cos ( )+( ) cos ( )
m fx R r( ) cos ( ) x sin ( ) cos ( ) sin ( )+ fz R r( ) sin ( ) x cos ( )++
mz fy R r( ) sin ( ) x cos ( )+ fx R r( ) cos ( ) x sin ( ) sin ( ) y cos ( )+
s acosR rmax
R
r RR rmax
cos ( )
mx fz R r( ) cos ( ) x sin ( ) sin ( ) y cos ( ) fy R r( ) cos ( ) x sin ( ) cos ( ) y sin ( )+
Ec. 5.36
Ec. 5.37
Ec. 5.38
Ec. 5.39
Para resolver el modelo a lo largo de la superficie de contacto se requiere conocer el
ngulo de entrada (e) y el ngulo de salida (s). El primero es consecuencia del proceso
iterativo. Para estimar el ngulo de salida, se propone en este trabajo una ecuacin explcita
deducida de las asunciones de Bekker para la presin distribuida. Segn el modelo de presin
distribuida de Bekker, adoptado por El-Gawwad y Crolla, la presin mxima se encuentra en
el elemento correspondiente a = 0; por lo tanto la deformacin radial mxima del caucho y la
compactacin mxima del suelo corresponden al mismo elemento. Asumiendo que el suelo no
recupera su profundidad original, la compactacin mxima permanecer inalterada hasta el
ngulo de salida; consecuencia de esto la deformacin radial ir decreciendo hasta ser nula,punto en el cual el caucho deja de estar en contacto con el suelo. Este anlisis se ilustra en la
figura Fig. 5.11 y las expresiones asociadas al ngulo de salida y la deformacin radial
corresponden a Ec. 5.40 y Ec. 5.41.
Ec. 5.40
Ec. 5.41
Fig. 5.11. Esquema de ngulo de salida.
Luego de establecer un nmero entero de puntos a considerar a lo largo de la superficie
de contacto, unas condiciones de operacin del caucho (s, , , Sr, Sy, Sx, R, bc) y las
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5 Desarrollo de Modelos Terramecnicos 42
propiedades del suelo correspondiente (n, kc, k, c, , K), se resuelve el sistema de
ecuaciones (Ec. 5.28 Ec. 5.33) para cada uno de los elementos considerados variando el
ngulo de entrada hasta que la sumatoria total de fuerzas verticales cancelen la carga Wque
soporta el caucho en su centro.
El procedimiento de clculo se divide en dos etapas. Para valores de entre el ngulo de
entrada (e) y cero, se resuelve el sistema de ecuaciones Ec. 5.28 Ec. 5.33 aplicando el
mtodo de Newton-Raphson [23]. Para valores de entre cero y el ngulo de salida (s) se
reduce el sistema de ecuaciones motivado a que los parmetros ry zpasan a ser conocidos.
En esta segunda etapa se resuelve el sistema de ecuaciones Ec. 5.29, Ec. 5.30, Ec. 5.32 y Ec.
5.33 bajo el mismo mtodo aplicado en la primera etapa.
Este procedimiento iterativo se desarrolla bajo paquete computacional MathCad11 . La
presentacin final de la hoja de clculo se disea pensando en una amigable interaccin con el
usuario. Tras introducir las condiciones de operacin del caucho y seleccionar uno de cuatro
tipos de suelo propuestos (Tabla 4.1), el usuario debe oprimir la tecla Calcularpara iniciar la
iteracin que puede durar varios minutos. Como resultado se presenta, entre otras cosas, las
fuerzas y momentos correspondientes a cada eje del caucho, la resistencia al avance (por
compactacin), torque aplicado al eje, Pneumatical Trail, momento de auto-alineacin
(correspondiente al Castery Kingpinintroducido), as como un grfico que permite observar
la apariencia lateral del caucho en operacin (deformacin vertical del caucho y del suelo).
5.2.3 Validacin del Modelo Propuesto
Se resuelve el modelo propuesto en este trabajo bajo unas condiciones impuestas de
operacin. Se seleccionan los parmetros: radio 11pulg, ancho 8pulg, deslizamiento
longitudinal 50% y ngulo de deslizamiento 20.
Las fuerzas experimentadas por el caucho se definen principalmente por las
deformaciones de corte; por lo tanto, una de las principales intensiones de la correccinpropuesta es modificar el perfil del esfuerzo de corte. Para su validacin, el problema es
resuelto bajo diferentes rigideces radiales (Sr) que se resumen en las siguientes deformaciones
verticales del caucho: 0.12mm, 1.3mm, 5mm, 10mm y 15mm.
La figura Fig. 5.12 muestra la deformacin longitudinal de corte (Jx) calculada segn el
modelo de rueda rgida, segn el modelo de El-Gawwad y Crolla y segn el modelo propuesto
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Deformacin de Corte (Jx) Vs Superficie de Contacto ()Radio 11pulg, Ancho 8pulg, s 50%, 20
0
50
100
150
200
250
300
-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25()
Jx (mm)
Rgido
Deflexin Vertical 15mm
Deflexin Vertical 10mm (Crolla, El-Gawwad)
Deflexin Vertical 10mm
en este trabajo; los dos ltimos calculados bajo la misma deformacin vertical de 10mm. Se
observa que el modelo original conserva a lo largo de la superficie de contacto la misma
tendencia asociada a una rueda rgida. Por otro lado la correccin propuesta en este trabajo
muestra claramente los cambios de pendiente al iniciar la seccin plana y justo antes del
ngulo de salida, caractersticos de un caucho deformable (Fig. 4.32).
Las deformaciones laterales mostradas en Fig. 5.13 coinciden todas con el modelo
planteado por Grecenko Ec. 4.32. Igualmente la figura Fig. 5.14 muestra el comportamiento
del ngulo de correccin a lo largo de la superficie de contacto para diferentes
deformaciones verticales del caucho. Se observa que antes del punto de mxima presin, el
ngulo correctivo decrece con el aumento de la rigidez radial; mientras que despus del punto
de mxima presin crece con una pendiente constante independiente de la rigidez radial,
motivado a que en esta resolucin se ha forzado la deformacin plana desde el centro del
caucho hasta el ngulo de salida.
Fig. 5.12. Deformacin de corte longitudinal segn varios modelos.
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Deformacin de Corte (Jy) Vs Superficie de Contacto ()Radio 11pulg, Ancho 8pulg, s 50%, 20
0
5
10
15
20
25
30
35
40
-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25()
Jy (mm)
Rgido
Deformacin Vertical 15mm
Deformacin Vertical 10mm
Deformacin Vertical 10mm (Crolla, El-Gawwad)
ngulo de Correccin () Vs Superficie de Contacto ()Radio 11pulg, Ancho 8pulg, s 50%, 20
-15
-10
-5
0
5
10
15
-15 -10 -5 0 5 10 15 20()
()
Deformacin Vertical 5mm
Deformacin Vertical 1,3mm
Deformacin Vertical 0,12mm
Fig. 5.13. Deformacin de corte lateral segn varios modelos.
Fig. 5.14. ngulo de correccin para diferentes deformaciones verticales.
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La similitud entre los resultados del modelo propuesto y los conceptos bsicos
manejados sobre ruedas deformables, es el argumento considerado en este trabajo para validar
la correccin propuesta al modelo de El-Gawwad y Crolla.
5.3 Modelo De Estado Esttico de Deslizamiento
5.3.1 Presentacin del Problema
La capacidad del vehculo de negociar caminos curvos eficazmente es un punto
fundamental en el diseo de suspensiones. La maniobrabilidad de vehculos en operacin
sobre superficies indeformables est principalmente ligada al ngulo de deslizamiento
generado por la deformacin del caucho, induciendo un componente de velocidad lateral,
incluso en ausencia de deslizamiento total entre caucho y suelo. En operacin todo terreno, el
ngulo de deslizamiento es consecuencia principalmente de la deformacin lateral del suelo
inducida por cargas laterales; por lo tanto, el componente de velocidad lateral es independiente
de la velocidad angular del caucho, es decir, el vehculo se encuentra deslizando lateralmente
al viajar a travs de un camino curvo. Esta condicin es contraria al caso de operacin sobre
suelo indeformable, y es proporcional a la fuerza centrfuga lateral a la que se somete el