FLUJO DE FLUIDOS COMPRESIBLES EN TUBERIASECUACIONES ANALITICAS DE FLUJO

1. Introducción.El flujo de fluidos compresibles es una rama de la mecánica de fluidos que describe el flujo de gases. Este campo de estudio es llamado algunas veces dinámica de gases.

El campo del flujo de fluidos compresibles se puede dividir en dos áreas: flujo interno y flujo externo. Entre las aplicaciones importantes de flujo interno están el flujo en tuberías, en boquillas y flujo de gases en turbinas. Entre las aplicaciones de flujo externo están el diseño de aeronaves y de máquinas similares. El tema que se desarrollará, será el flujo interno de fluidos compresibles.

La estimación de los flujos de fluidos compresibles en tuberías es muy frecuente cuando se diseñan plantas industriales. De hecho, el impacto de los sistemas de tuberías sobre la economía de la planta industrial es tan grande que la inversión inicial en los sistemas de tuberías para nuevas instalaciones se estima que oscila entre 18 a 61% de los costos de equipos y desde 7 a 15% del costo total de la planta instalada [2].

El aspecto básico que distingue entre un fluido compresible e incompresible es la variación de densidad del gas. La densidad del gas se relaciona con la temperatura y presión mediante una ecuación de estado. La variación de la densidad en los fluidos compresibles, hace que las técnicas tradicionales de análisis para los fluidos incompresibles sean de utilidad limitada, y en general el análisis para el flujo en tuberías es más complejo.

Debido a que la densidad del gas es variables, se tienen que tomar en cuenta las siguientes consideraciones: primero, la velocidad del gas está relacionada según la ecuación de continuidad y por lo tanto varía en una tubería de área constante. Segundo, la dependencia de la densidad de la temperatura y la presión significa que se deben analizar conjuntamente la ecuación de energía con la ecuación de estado y otras ecuaciones propias de los gases. Y por último, la velocidad del gas es limitada por la velocidad sónica del gas. Estos efectos inusuales de flujo sónico y estrangulado pueden complicar el análisis de los fluidos compresibles.

Es importante hacer notar que no todos los flujos de gases se pueden considerar compresibles. En algunas aplicaciones, las velocidades del gas son bajas o la caída de presión son pequeñas, que los efectos compresibles son insignificantes. En tales

situaciones, los sistemas pueden modelarse de acuerdo a las técnicas tradicionales de los fluidos incompresibles.

2. Clasificación de los Fluidos CompresiblesEl número adimensional que sirve para clasificar al flujo compresible es el número de Mach (M).

El número de Mach se define:

De acuerdo a éste parámetro el flujo compresible se clasifica en:

a) Flujo Subsónico Ma<1b) Flujo Sónico Ma=1c) Flujo Transónico Ma1

(Ma>1)d) Flujo Supersónico Ma>1e) Flujo Hipersónico Ma>3

Otra clasificación del flujo compresible de acuerdo a los cambios de energía que provoca el fluido o es provocado en el fluido es la siguiente:

a) Flujo Isotérmico.- Es aquel en el cual la temperatura se mantiene constante, se refiere a la temperatura de flujo.

b) Flujo Adiabático.- Es aquel en el cual mediante mecanismos o materiales se logran que el flujo de calor (ganancia ó pérdida) sea nulo. Este flujo puede tener fricción.

c) Flujo Isoentrópico.- Es aquel flujo ideal en el cual se considera que la fricción es cero, razón por la cual se le define adiabático y reversible. En el flujo isoentrópico las condiciones de estancamiento son constantes.

d) Flujo Diabático.- Es aquel en el cual si existe transferencia de calor.

e) Flujo Generalizado.- Es aquel que presenta fricción y transferencia de calor a la vez.

Los métodos de cálculo que se describirán más adelante presumen un comportamiento isotérmico y adiabático. En general, el comportamiento isotérmico describe mejor el flujo en tuberías largas y no aisladas, mientras el modelo o comportamiento adiabático es más apropiado para tuberías aisladas y cortas. Pero la mayoría de las situaciones reales tienen un comportamiento entre estos dos extremos; estos casos reales, sin embargo, aumentan la complejidad de los cálculos grándemente. Afortunadamente, los modelos isotérmico y

1

adiabático proveen resultados límites de la gama del comportamiento real y, en muchos casos (especialmente en sistemas de tuberías largas) los dos modelos proveen resultados muy similares.Cuando los resultados de los modelos isotérmico y adiabático difieren significativamente, el caso isotérmico produce la caída más alta de presión a la misma velocidad de flujo y, así, se obtiene la estimación más conservadora para el diámetro de tubería. Y viceversa, a una caída constante de presión, el modelo adiabático predice más alto flujo y es muy frecuente la elección para un diseño conservador de un equipo de protección en el punto de presión alta.

3. Ecuaciones de Flujo Analíticas3.1. Ecuación General de Energía Mecánica y de

Flujo

P 1T 1u1 z2

z1

P 2T 2u2

Flujo

Nivel de Ref.

Fig. 1. Esquema del flujo en tubería de un fluido compresible

La ecuación general de energía mecánica para el flujo de un fluido compresible en una tubería de longitud (L) y diámetro (D) y según la fig. 1, viene dada por la siguiente expresión:

(1)

Siendo la densidad de un fluido compresible función de la presión, temperatura y velocidad, la ecuación (1) puede ser reducida de acuerdo a las siguientes consideraciones:

Cuando la variación de densidad del fluido es pequeña 1/2<2 y la velocidad no es demasiado alta Ma< 0.3, entonces el balance de energía mecánica se reduce a las formas desarrolladas para fluido incompresible

Cuando la razón de presiones es grande y/o el flujo es muy rápido, entonces los efectos de la energía cinética y de la compresibilidad (grandes variaciones de la densidad) pueden llegar a ser los términos dominantes en el balance de energía mecánica.

3.2. Para caídas de presión menor que el 10% de la Presión de entrada: (P1-P2)≤0.1*P1. Presiones bajas

La Ecuación (1) adquiere la forma de:

(2)

Ó también para el flujo másico:

(3)

Para la aplicación de las ec. (2) y (3) se considera flujo isotérmico y comportamiento de flujo incompresible

Pérdida de carga (hp), viene dada por la ecuación de Darcy - Weisbach:

(4)

Donde:m=Flujo másicoP= presión u =velocidad del gas=densidad del gasg=aceleración de la gravedadz = z2 - z1= cambio de nivel (altura)f=coeficiente de fricción,L= longitud de la tuberíaD= diámetro interno de la tuberíaki= constante de pérdida por accesorio

, densidad promedio

= g, peso específico promedio

Flujo másico, y flujo volumétrico, definida por:

(5)

Donde:A, área de flujo del gas en la tuberíao, densidad del gas medido a Po y To

(condiciones de referencia)Ecuación de estado. Para un gas real, está dada por la siguiente expresión:

(6)

Donde:Z, Factor de compresibilidad del gasP, PresiónT, TemperaturaR, Constante Universal de los gasesM, peso molecular del gas

2

El factor de compresibilidad Z, puede ser determinado por diferentes métodos, en función al tipo de gas y el sistema que se esté considerando. Para el gas ideal Z=1.

3.3. Para caídas de presión mayor que el 10% de la Presión de entrada: (P1-P2) 0.1*P1. Presiones medias y altas

Se consideran los siguientes casos:

3.3.1. Ecuación de Flujo Isotérmico

Para flujo isotérmico, se considera que la temperatura de flujo es constante en todo el sistema considerado, (T=constante). La velocidad del gas (u) y el número de Mach (Ma) aumentan, y, la presión y la densidad disminuyen según avanza el fluido a través de la tubería.

Por combinación de las ecuaciones (4), (5) y (6), reemplazando en la (1), integrando y reordenando se obtiene la siguiente ecuación de flujo:

(7)

Haciendo, Z= (Z1+Z2)/2, y que permanece aproximadamente constante en el tramo considerado, se obtiene una ecuación de flujo, más manejable y que es muy útil en muchas aplicaciones industriales.

(8)

y, (9)

donde:

M, peso molecular del gasZ, factor de compresibilidad promedio = (1+2)/2, densidad promedio del gas

Número de Mach (Ma). Como se dijo anteriormente, el número de Mach, es el que caracteriza a los fluidos compresibles. Este número se define como:

(10)

Velocidad del sonido (c). La velocidad del sonido en el gas, para un proceso isoentrópico, se define como:

(11)

(12)

donde:Cp, es la capacidad calorífica a presión constante del fluido.

Flujo Isotérmico Obstruido. El flujo isotérmico es obstruido, cuando el número de Mach a la salida es:

(13)

Coeficiente de Fricción (f). El coeficiente de fricción, en la tubería es función del número de Reynolds (Re) y de la rugosidad absoluta de la tuberia (). Existen variadas correlaciones para la determinación de éste coeficiente. Aquí se presentará unas correlaciones sencillas para la estimación del coeficiente de fricción.

Número de Reynolds (Re). Viene definido según:

(14)

donde:, viscosidad absoluta del gas, determinado a

P=(P1+P2)/2, y T=(T1+T2)/2

f, para Flujo Laminar (Re < 2300).

(15)

f, para Flujo Laminar a Totalmente Turbulento (Re>2300).

Ec. de Churchill:

(16)

Ec. de Shacham:

(17)

f, para Flujo Totalmente Turbulento (Re>5000).Ec. de Von Karman:

(18)

3

En las anteriores ecuaciones, es la rugosidad absoluta de la tubería.

3.3.2. Ecuación de Flujo Adiabático

Para flujo adiabático, la temperatura de flujo no es constante, y por lo general disminuye a lo largo de la tubería. La velocidad del gas (u) y el número de Mach (Ma) aumentan, y, la presión y la densidad disminuyen según avanza el fluido a través de la tubería.

Considerando flujo adiabático reversible, se sabe que:

(19)

luego, (20)

(21)

Por combinación de las ecuaciones (4), (5), (19) y (20) reemplazando en la (1), integrando y reordenando se obtiene la siguiente ecuación de flujo. Esta ecuación es mucho más útil para presiones medias y bajas

(22)

y, (9)

Las variables de la ecuación (22), ya fueron definidos anteriormente.

Flujo Adiabático Obstruido. El flujo adiabático es obstruido, cuando el número de Mach a la salida es:

(23)

Las ecuaciones descritas anteriormente requieren de procesos iterativos para llegar a la solución en cada caso.

Con estos métodos se pueden analizar el flujo de fluidos compresibles en tuberías considerando para ello flujos isotérmicos y adiabáticos en condiciones laminar o turbulento. Tienen aplicación para muchas situaciones industriales, que sin ser muy rigurosos, dan resultados bastantes aceptables.

4. Bibliografia

1. O. Levenspiel , “Flujo de Fluidos – Intercambio de calor”,Editorial Reverté S.A., Barcelona – España, 1996.

2. Thomas W. Cochran, ”Calculate Pipeline Flow of Compressible Fluids”, Chemical Engineering, Vol. 103, February 1996, pp. 115 -122.

3. Streeter, V., Wylie E., “Mecánica de los Fluidos”, Editorial McGraw Hill, 8ª Edición, México 1990.

4. Valiente, A., “Problema de Flujo de Fluidos”, Editorial Limusa, México 1990

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FLUJO DE FLUIDOS COMPRESIBLES EN TUBERIASECUACIONES SEMIEMPIRCIAS DE FLUJO

1. IntroducciónLas ecuaciones semiempiricas se obtuvieron a partir de la ecuación general de energía:

(1)

Para obtener las ecuaciones de flujo se realizaron las siguientes consideraciones. El flujo de gas es constante La temperatura de flujo del gas es constante Los cambios de la energía cinética entre la entrada y la salida son despreciables El gas no pasa a través de un compresor o expansor.

Las ecuaciones semiempiricas surgieron como una ayuda en el cálculo rápido de caídas de presión y flujos en tuberías cuando aun no estaban desarrollados la computación y la informática para poder resolver problemas complejos que tenga la suficiente precisión. De esta manera introdujeron muchos factores de corrección los mismos que fueron obtenidos de resultados experimentales de la medición del flujo y las caídas de presión

2. Ecuaciones Semiempiricas para Tuberías Horizontales

Considerando tuberías horizontales, la ecuación (1) queda

(2)

A partir de esta ecuación se ha obtenido la ecuación general de flujo que viene dada según.

(3)

Donde: Q= Flujo volumétrico, medido en condiciones estandarPb= Presión estandarTb =Temperatura estandarP1= Presión corriente arriba

P2= Presión corriente abajoG= Gravedad específica del gasZa = Factor de compresibilidad promedioTa= Temperatura promedio del gasL = Longitud total de la tuberíaf = Factor de fricción de la tuberíaD= Diámetro interno de la tubería

A partir de la ecuación anterior se han derivado varias ecuaciones que han sido desarrolladas por diversos investigadores, las mismas que llevan sus nombres respectivos.

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Tabla Nº 1. Ecuaciones de Flujo Semienpiricas para Tuberías Horizontales. Flujo IsotérmicoEcuación Formula(a) Factor de transmisión: 1/

FRITZCHE(b)

FLUJOTOTALMENTETURBULENTO

DISTRIBUCION IGT

MUELLER

PANHANDLE A(b)

WEYMOUTH

GUSTAFSON

SPITZGLASS(d)

(ALTA PRESION)

SPITZGLASS(d)

(BAJA PRESION)

POLE

RENOUARD(e)

; Valores de C y

D (pulg) C(c)

¾ a 1 1.732 9.5611/4 a 1 1/2 1.905 10.51

2 2.078 11.473 2.252 12.434 2.338 12.9

f/1

5.145 (ReD)0.071

4 LOG (3.7D/e)

4.169(Re)0.10

3.35(Re)0.13

6.872(Re)0.073

11.19 D1/6

6

Referencias: (a) Las unidades de todas las ecuaciones excepto la de Renouard son:

D [=] pulgadas, Q[=] Miles pie3/hr a To y Po

hw[=] pulg. H2O [=] lb/pie.segL [=] Llineal+Le [=] pies Tf [=] ºR Temperatura de flujo P1, P2, Po [=] psia To [=] ºR

óG= M/29; gravedad específica del gas

; m [=] lb/seg; D[=] pie; A [=] pie2 ; [=]

(b) Las constantes 1.720 y 2.450 incluyen: = 7.0 E-6 lb/pie seg.

(c) La constante C incluye:Po= 14.73 psiaTo= 492º R = 32º FTf= 500º R = 40º F

(d) Las constantes 3.145 y 3.550 incluyenPo= 14.7 psiaTo= 520º R = 60º FTf= 522.6º R = 62.6º F

(e) Las unidades de la Ecuación de Renouard son:

P1, P2[=], Kg/cm2

L = Llineal+Le [=] KmQ[=] m3/h, a To y Po

D[=]mm

3. Ecuaciones Semiempiricas para Tuberías con Cambio de Altura

La ecuación de partida para obtener las ecuaciones de flujo con cambio de altura es:

(3)

A partir de esta ecuación se desarrollaron diferentes ecuaciones de flujo, sobre todo para el diseño de gasoductos, considerando para ello presiones altas.

Las ecuaciones de flujo se indican a continuación en la siguiente tabla:

3.1. Ecuación de Association Natural Gas (AGA)

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Sistema Inglés

Donde:Q = Flujo volumétrico standard, pies3/díaPb = Presión base, psiaTb = Temperature base, °R (460 + °F)P1 = Presión corriente arriba, psiaP2 = Presión corriente abajo, psiaG = Gravedad específica del gas (aire = 1.00)Tf =Temperatura de flujo promedio,°R (460 + °F)Le = Longitud equivalente de tubería, millasZ = Factor de compresibilidad promedioD =Diámetro de la Tubería, pulg.f= Coeficiente de fricción =f(Re, )=rugosidad absoluta de la tubería, pulgH1 = Elevación corriente arriba, piesH2 = Elevación corriente abajo, pies = viscosidad absoluta promedio del gas, lb/pie.s

Sistema Internacional

Donde:Q = Flujo volumétrico standard, m3/díaPb = Presión base, KpaTb = Temperature base, °K (273 + °C)P1 = Presión corriente arriba, KpaP2 = Presión corriente abajo, KpaG = Gravedad específica del gas (aire = 1.00)Tf =Temperatura de flujo promedio,°K (273 + °C)Le = Longitud equivalente de tubería, KmZ = Factor de compresibilidad promedioD =Diámetro de la Tubería, mm.f= Coeficiente de fricción =f(Re, )=rugosidad absoluta de la tubería, mmH1 = Elevación corriente arriba, mH2 = Elevación corriente abajo, m = viscosidad absoluta promedio del gas, Poise

Condiciones PromedioPresión: Temperatura:

Ta = (T1+T2)/2

Coeficiente de Fricción fPuede ser calcula con las ecuaciones:

f: para Flujo Laminar (Re < 2300).

f: para Flujo Turbulento (Re > 2300).Ec. de Shacham:

Rugosidades absolutas (). Las rugosidades absolutas de algunas tuberías más usadas se muestran en la siguiente tabla

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pulg mm

Acero revestido 0.0354 a 0.354 0.9 a 9.0

Acero comercial/acero soldado 0.0018 0.045Hierro fundido 0.0102 0.26Hierro galvanizado 0.0059 0.15Hierro galvanizado asfaltado 0.0047 0.12Hierro forjado 0.0018 0.045PVC, vidrio 0.000059 0.0015Concreto 0.0118 a 0.118 0.3 a 3.0

Material de Tubería

Rugosidades absolutas de Tuberías

3.2. Otras Ecuaciones que no involucran f (coeficiente de fricción)

Ecuación de WEYMOUTHSistema Inglés

Sistema Internacional

Ecuación de PANHANDLE ASistema Inglés

Sistema Internacional

Ecuación de PANHANDLE BSistema Inglés

Sistema Internacional

Ecuación del INSTITUTO DE TECNOLOGÍA DEL GAS (IGT)Sistema Inglés

Sistema Internacional

Ecuación de SPITZGLASS (Baja Presión): Menor a 1 psigSistema Inglés

Sistema Internacional

Ecuación de SPITZGLASS (Alta Presión): Mayor a 1 psigSistema Inglés

Sistema Internacional

9

Ecuación de MUELLErSistema Inglés

Sistema Internacional

Ecuación de FRITZSCHESistema Inglés

Sistema Internacional

En todas las ecuaciones anteriores las variables tienen el siguiente significado:

Sistema Inglés

Donde:Q = Flujo volumétrico standard, pies3/díaE = Eficiencia de la Tubería menor a 1Pb = Presión base, psiaTb = Temperature base, °R (460 + °F)P1 = Presión corriente arriba, psiaP2 = Presión corriente abajo, psiaG = Gravedad específica del gas (aire = 1.00)Tf =Temperatura de flujo promedio,°R (460 + °F)Le = Longitud equivalente de tubería, millasZ = Factor de compresibilidad promedioD =Diámetro de la Tubería, pulg.H1 = Elevación corriente arriba, piesH2 = Elevación corriente abajo, pies = viscosidad absoluta promedio del gas, lb/pie.s

Sistema Internacional

Donde:Q = Flujo volumétrico standard, m3/díaE = Eficiencia de la Tubería menor a 1Pb = Presión base, KpaTb = Temperature base, °K (273 + °C)P1 = Presión corriente arriba, KpaP2 = Presión corriente abajo, KpaG = Gravedad específica del gas (aire = 1.00)Tf =Temperatura de flujo promedio,°K (273 + °C)Le = Longitud equivalente de tubería, KmZ = Factor de compresibilidad promedioD =Diámetro de la Tubería, mmH1 = Elevación corriente arriba, mH2 = Elevación corriente abajo, m = viscosidad absoluta promedio del gas, Poise

4. Guía de selección de las ecuaciones semienpiricas

Tanto las ecuaciones para tuberías horizontales como las ecuaciones con cambio de altura, pueden ser seleccionadas de acuerdo a la tabla siguiente.

Tipo de sistema en la Tubería

Tipo de flujo predominante en la Tubería

Ecuación a usar Rango de aplicabilidad

Parcialmente Panhandle A Relativamente buena. Buena aproximación

10

Sistemas de Transporte

Alta presiónP> 60 psig.

turbulentoa

Totalmente turbulento

Panhandle B

Weymouth

para tubería lisas para 5E6Re11E6 Relativamente buena. Buena aproximación

para tubería lisas para 4E6Re40E6 Buena aproximación para flujo totalmente

turbulento para tuberías limpias y rugosas desde 10 a 30 pulg de diámetro.

Distribución a Media y Alta presión

Desde250mmH2O a 60 psig

Parcialmente turbulento

PanhandleA

Weymouth

Spitzglass(Alta Presión)

Fritasche

Distribución IGT

Gustafsón

Renouard

Relativamente buena, buena aproximación para tubería lisas para Re>300000

Muy conservativo para tuberías menores a 20 pulg. de diámetro. Usado desde 3 a 20 psig

Muy conservativo. Usado por encima de 1psig de presión y para tuberías mayores a 12pulg.

Muy conservativo. Ampliamente usado desde 2 a 15 psig y para tuberías 8 pulg de diámetro.

Excelente aproximación para tuberías lisas, para 10000Re3000000. Ampliamente usado entre 10 pulg H2O P 60psig y tuberías desde 2 pulg de diámetro y mayores

Ampliamente usado para presiones entre 15 P 60psig.

Buenos resultados para presiones menores a 20 psig

Distribución a Baja PresiónP10pulg =

P250mnH2O

Parcialmente turbulento

Spitzglass(Baja Presión)

Pole

Distribución IGT

Renouard

Buena aproximación para tuberías lisas desde 12 pulg de diámetro y menores. Ampliamente usado por debajo de 1 psig de presión.

Buena aproximación para tuberías lisas desde 4 pulg de diámetro y menores. Ampliamente usado para presiones de 4 pulgH2O P 10 pulg H2O

Excelente aproximación par tuberías lisas para 10000Re3000000 y para tuberías mayores a 2 pulg de diámetro y hasta 10 pulg de presión

Excelente aproximación para tuberías lisas para 2000Re1000000.

Buenos resultados para presiones menores a 20 psig

ServiciosBaja Presión

Parcialmente turbulento

Mueller Excelente aproximación para tuberías lisas para 2000Re100000

5. Velocidades de flujo.

El cálculo de las velocidades de flujo por las tuberías es importante, ya que grandes velocidades provocarán ruidos en las tuberías, y bajas velocidades permitirán que algo del gas se vaya condensando.

Según la ecuación de continuidad para flujo estacionario:

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Las ecuaciones para el cálculo de las velocidades de flujo en cualquier punto de la tubería viene dada por las siguientes expresiones:

Sistema Inglés

u = pies/s

Sistema Internacional

u =m/s

Las unidades de las variables tienen el mismo significado que para las ecuaciones de flujo.

Velocidad erosional. Es la velocidad máxima a la que puede circular el gas. A esta velocidad máxima se provoca la erosión de la tubería.

Esta velocidad viene dada por la siguiente ecuación:

Donde: u = pies/s = lb/pie3 (densidad del gas a las condiciones promedio)

Las velocidades de circulación del gas deben ser como máximo 50% de la velocidad erosional o velocidad máxima.

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