flujo-compresible.html Flujo Compresible -...

Apuntes de Clase Mecánica de Fluidos II

Emilio Rivera Chávez

Cuando un fluido se mueve a velocidades compa-

rables con la velocidad del sonido en el medio

fluido, se producen cambios considerables en la

densidad, este tipo de flujo se denomina compresi-

ble. Estos flujos se presentan con frecuencia en

dispositivos en los que los gases fluyen a altas

velocidades, situaciones en las que basta una

relación de presiones de 2:1 para causar flujos

sónicos, en los líquidos es difícil de obtener este

tipo de flujos pues se necesitarían presiones del

orden de 1000 atm para generar velocidades sóni-

cas. El estudio de los flujos compresibles combina

la dinámica de fluidos y la termodinámica, am-

bas disciplinas son necesarias para el desarrollo

de los fundamentos teóricos necesarios asociados

al flujo compresible por ello esta disciplina se suele

denominar también dinámica de gases.

Los efectos más trascendentes y característicos de

los flujos compresibles son: el estrangulamiento,

que limita fuertemente el flujo en conductos

cuando se dan las condiciones sónicas, y las

ondas de choque, que son cambios casi disconti-

nuos en las propiedades de los flujos supersónicos.

El contenido de este capítulo tiene la finalidad de

explicar estos y otros fenómenos físicos implica-

dos, sus efectos y exponer las relaciones generales

asociadas con el flujo compresible para un gas

ideal con calores específicos constantes.

Al finalizar la lectura de este capítulo y desarro-

llar las actividades que se plantean, se espera que

el estudiante esté capacitado para: Deducir y des-

cribir las consecuencias de la compresibilidad en

un flujo compresible; entender por qué una tobera

debe tener una sección divergente para acelerar el

gas a velocidades supersónicas; predecir choques y

calcular cambios de las propiedades a través de

una onda de choque; entender los efectos de la

fricción y la transferencia de calor en flujos com-

presibles.

Flujo

Compresible

Apuntes de Clase Teoría y problemas resueltos


US Navy Photo

A V p

h

xdx

d

xdx

dvv

xdx

dpp

xdx

dAA

xdx

dpp

2

1

x

x

http://erivera-2001.com/flujo-compresible.html

http://erivera-2001.com/flujo-compresible.html



Septiembre de 2009 (Borrador en revisión)

Contenido

1.1 Introducción. 1.2 Conceptos básicos de la Termodinámica. 1.3 Efectos de la compresibilidad Propagación de las ondas sonoras.

El cono de Mach. 1.4 Estados de referencia Propiedades de estancamiento isentrópico local; Condiciones críticas. Ecuaciones fundamentales para un flujo isentrópico. 1.5 Efectos del cambio de área en las propiedades. 1.6 Flujo isentrópico en toberas. 1.6.1 Operación de Toberas convergentes

1.6.2 Operación de Toberas convergente-divergentes 1.7 Flujo en una tobera real en condiciones de diseño. Eficiencia. 1.8 Flujo adiabático en conducto de sección constante con fricción.- línea de Fan-no.

1.9 Flujo permanente sin fricción en un ducto de área constante con intercambio de calor.- Línea de Rayleigh.

1.9.1 Relaciones matemáticas para el cálculo del flujo de la línea de Rayleigh de un gas ideal

1.10 Ondas de choque normales. 1.7.1 Ecuaciones para el cálculo de ondas de choque normales en un gas ideal. Problemas resueltos.



1

I FLUJO COMPRESIBLE UNIDIMENSIONAL

1.1 Introducción

En el flujo incompresible, la presión y la velocidad de flujo son las variables principales, siendo las ecuaciones de cantidad de movimiento y continuidad las que permiten relacionar estas va-riables y resolver los problemas concernientes a estas variables. A su vez la ecuación de ener-gía permite identificar las perdidas de energía mecánica.

En el caso del flujo compresible, es necesario considerar además las variaciones de la densidad y la temperatura, por ello la aplicación de la ecuación de energía como la ecuación de estado son necesarias para la resolución de problemas de flujo compresible. Este tipo de flujo implica variaciones apreciables de la densidad en todo el campo de flujo ya sea debido a altas veloci-dades de flujo y/o cambios apreciables de la temperatura. Los cambios apreciables en la veloci-dad de flujo implican grandes variaciones de presión en el flujo de gases, estos cambios de presión van acompañados de variaciones significativas tanto en la densidad como en la tempe-ratura.

El estudio del flujo compresible se caracteriza mediante el parámetro adimensional denominado número de Mach. En función a cuyos valores las altas velocidades en aerodinámica externa suelen clasificarse en las siguientes categorías (http://en.wikipedia.org/wiki/Mach_number):

Flujo incompresible Flujo en el que los efectos de la variación de la densidad son despreciables, esta comprendido en el rango aproximado de:

Flujo subsónico. El número de Mach debe estar comprendido en el siguiente rango:

Flujo sónico: El número de Mach es igual a 1

Flujo transónico. Flujo comprendido entre número de Mach ligeramente mayores y menores que 1.

Flujo supersónico. En este flujo el número de Mach debe estar comprendido en el siguiente rango:

Flujo hipersónico. El número de Mach es superior a 5.

M < 0.3

0.3 < M < 0.8

M = 1 0.8 < M < 1.2

1.2 < M < 5

M > 5

Sin embargo en flujo en conductos (flujo interno), la cuestión más importante es saber si el flujo es subsónico (M<1) o supersónico (M>1). En este capítulo se estudia el flujo interno unidimen-sional estable de fluidos compresibles, principalmente del gas ideal.

Objetivos de Aprendizaje

Al finalizar el estudio de este capítulo el estudiante será capaz de:

Verbalizar con sus propias palabras los principios básicos que rigen el flujo compresible.

Emplear las ecuaciones básicas del flujo isentrópico para la resolución de problemas de flujo isentrópico.

Explicar y determinar el efecto del cambio de área sobre las propiedades del fluido para flujo isentrópico.

Determinar y explicar gráficamente las distribuciones de presión a través de un conducto de sección variable: tobera convergente y tobera convergente-divergente.

Escribir y aplicar las ecuaciones básicas para el flujo adiabático, unidimensional y perma-nente de un gas con calores específicos constantes en la resolución de problemas de flujo en conductos de área constante.

Escribir y explicar las ecuaciones básicas para el flujo compresible unidimensional y perma-nente de un gas ideal a través de una onda de choque normal.

http://en.wikipedia.org/wiki/Mach_number



2

1.2 Consideraciones termodinámicas

En este epígrafe se hace un resumen de la termodinámica necesaria para el estudio del flujo compresible, incluyendo la ecuación de estado, y ecuaciones de temperatura- entropía.

Relaciones termodinámicas para un gas ideal

La presión, la densidad y la temperatura de una sustancia pueden relacionarse funcionalmente mediante una ecuación de estado. Para la mayoría de los gases usados en la ingeniería existe una relación sencilla entre sus propiedades que esta representada por la conocida ecuación de estado del gas ideal,

R es una constante para cada gas y esta dada por

R=Ru/M

Donde RU= 8314N.m/kgmol.K es la constante universal de los gases y M es la masa molecular del gas.

El gas ideal tiene otras características sencillas y muy útiles que se exponen a continuación.

Energía interna

La energía interna para una sustancia cualquiera puede expresarse como una función de la temperatura y del volumen específico,

),( Tuu

de donde,

du

dTT

udu

T

Los calores específicos a cp, a presión constante y cv, a volumen constante se definen como:

T

uc

uc v

T

p

Para el caso de un gas ideal (pv=RT) la energía interna, para un proceso isotérmico, se ajusta a

la relación:

0

d

u

T

en consecuencia

)(Tuu

por lo que

dTcdu p

Lo que significa que para un gas ideal, la energía interna y los cambios de temperatura pueden relacionarse si se conoce cv.

Entalpía

A partir de la definición de entalpía y de la ecuación de estado del gas ideal se puede escribir:

RTp



3

RTuhRTpp

uh

;

como u = u(T) para un gas ideal, entonces h debe ser también solo una función de la tempera-tura. Así,

)(Thh

Es posible establecer una relación entre h y T, expresando h como una función de p y T,

),( Tphh

entonces

dpp

hdT

T

hdh

Tp

Como h es función solo de T, se tiene

0

dp

p

h

T

y como

T

p

uc

por lo que

dTcdh p

Relación entre los calores específicos

A partir de la ecuación, RTuh se puede escribir

RdT

du

dT

dh

RdTdudh

Debido a que h y u son funciones solamente de la temperatura, los calores específicos, cp y cv, serán también funciones solo de la temperatura, de modo que no se precisan derivadas parcia-les dadas en sus definiciones, por tanto para un gas ideal

dT

duc

dT

dhc vp ;

Entonces,

Rcc vp

La razón entre los calores específicos, es parámetro adimensional útil, se define como:

v

p

c

ck

Combinado adecuadamente estas dos últimas relaciones, se pueden escribir expresiones para los calores específicas, aplicables a los gases ideales. Así,

1;

1

k

Rc

k

kRc vp



4

Para un gas ideal, los calores específicos son funciones solo de la temperatura. Para intervalos de temperatura razonables, los calores específicos pueden tratarse como constantes en cálcu-los de exactitud de ingeniería. En estas condiciones,

)(

)(

1212

1212

2

1

2

1

2

1

2

1

TTcdTcdhhh

TTcdTcduuu

p

T

Tp

h

h

v

T

Tv

u

u

Ecuaciones que pueden usarse para simplificar el análisis.

Relaciones de las propiedades de un gas ideal sujeto a un proceso isentrópico.

Se pueden establecer una relación útil entre p y v para un gas ideal con calor específico cons-

tante sujeto a un proceso adiabático reversible a partir del primer principio con dh y du expresa-dos en función de los calores específicos y temperaturas. Así,

dpdTc

pddTc

p

p

Combinado ambas ecuaciones y ordenando adecuadamente se tiene

dk

d

c

c

p

dp

v

p

Integrando para k=cte.

Ckp lnlnln

Cp k

Aplicando la última ecuación entre dos estados, se tiene:

k

kk

p

ppp

1

2

2

12211

Combinado esta relación con la ecuación de estado de un gas ideal se puede expresar este resultado en función de la temperatura y la densidad. Así,

kk

k

p

p

T

T

T

T

/1

2

1

2

1

1

2

1

2

1

La entropía y el segundo principio de la termodinámica

La entropía es una propiedad muy útil en el estudio del flujo compresible. El diagrama Tempera-tura vs. entropía, es una buena herramienta para la interpretación física de los resultados analí-ticos. Por ello se hará un uso intensivo del diagrama T-s en la solución de problemas de flujo



5

compresible y por tanto se justifica repasar algunos conceptos y relaciones útiles que involucran a la entropía.

La entropía se define matemáticamente mediante la siguiente relación:

revrev T

QdSo

T

QS

De la segunda ley se deduce la conocida desigualdad de Clausius, que establece que:

0 T

QS

Como una consecuencia de la segunda ley, estos resultados pueden extenderse a:

QTdSoT

QdS

Para procesos reversibles, se puede escribir la siguiente ecuación:

dm

QTds

En tanto que para un proceso irreversible se cumple la desigualdad,

dm

QTds

Para un proceso adiabático, como 0dm

Q, se tiene:

0ds (Proceso adiabático reversible)

y

0ds (Proceso adiabático irreversible)

En consecuencia se puede afirmar que un proceso que es reversible y adiabático también es isentrópico; es decir que la entropía permanece constante durante el proceso. Así mismo la última relación muestra que la entropía debe crecer cuando un proceso es adiabático e irrever-sible.

Es decir que: la entropía de un sistema aislado térmicamente durante un proceso siempre se incrementa o, en el restrictivo caso de un proceso reversible, permanece constante. Dicho de otro modo, la entropía – para un sistema adiabático- nunca disminuye. Esto se conoce como el principio de incremento de entropía1. Entonces, en ausencia de cualquier intercambio de calor,

1 El principio de incremento de entropía no implica que la de un sistema no pueda disminuir. El cambio de

entropía de un sistema puede ser negativo durante un proceso, pero la generación de entropía no. El prin-

cipio de incremento de entropía puede resumirse de la siguiente manera:

Si Sgenerada > 0 entonces el proceso es irreversible

Si Sgenerada = 0 entonces el proceso es reversible

Si Sgenerada < 0 entonces el proceso No es posible

Estas relaciones pueden servir como criterio de decisión respecto de la irreversibilidad, irreversibilidad o

imposibilidad de un proceso. (Yunus Cengel, Mecánica de fluidos.-Fundamentos y Aplicaciones, 1ª Ed.).



6

el cambio de entropía se debe solo a la irreversibilidad y su efecto es siempre incrementar la entropía.

Un análisis del conjunto de las ecuaciones anteriores, muestra que el cumplimiento de cuales-quiera dos de tres las restricciones –reversible, adiabático o isentrópico- debe implicar el cum-plimiento de la tercera. Así por ejemplo, un proceso que es isentrópico y reversible debe ser también adiabático.

A partir de la primera y segunda ley de la termodinámica, es posible obtener una relación ma-temática entre la presión, volumen específico, temperatura absoluta, entropía y energía interna específica (p, v, T, s, u), valida para todos los procesos entre estados de equilibrio. Esta rela-ción esta dada por:

vdpdhpdvduTds

Para un gas ideal, se puede escribir

p

dpR

T

dTcds p

Ejemplo 1 Fluye aire a través de un ducto de sección constante a razón de 0.15 kg/s. Un tramo corto del conducto se enfría con nitrógeno líquido que rodea al ducto. La razón de pérdida de calor del aire en esta sección es 15.0 kJ /s. La presión, temperatura y velocidad de entrada en la sección fría son 188 kPa (abs), 440K y 210 m/s, respectivamente. Las condiciones de estado en la sali-da son 213 kPa (abs.) y 351 K. Calcule el área de la sección transversal del ducto y los cambios de entalpía y entropía para este flujo. El objetivo de este ejemplo es consolidar los conceptos básicos expuestos hasta ahora.

RESOLUCION

Datos:

Entrada Salida

T1

440 K T2

351 K

P1

188 kPa P2

213 kPa

V1

210m

s

Hipótesis:

i flujo permanente ii flujo uniforme en cada sección iii gas ideal R 287

J

kg K

a) Cálculo del área de la sección de flujo El área de la sección de flujo del ducto se calcula a partir del flujo másico a la entrada, que de acuerdo al planteamiento hipotético y de acuerdo con la ecuación de continuidad debe ser cons-tante a lo largo del tubo:

m = ρVA = cte.

Previamente debemos calcular la densidad, para ello usamos la ecuación del gas ideal,

1

P1

R T1

11.489

kg

m3

m 0.15kg

s



7

Luego entonces:

Se tiene d) Finalmente el cambio de entropía puede calcularse a partir de la ecuación:

De donde:

b) El cambio de entalpía se puede calcular recordando que para un gas ideal con calores especí-ficos constantes:

si asumimos para el aire (tabla):

Cp 1004J

kg K

Tendremos que:

c) De manera similar se puede calcular el cambio de energía interna: Partimos de la siguiente relación

)( 12

2

1TTcdTcu vv

Si tomamos para el aire (tabla)

Cv 717.4J

kg K

U m Cv T2

T1

U 9.577 103

W

dpdhTds

1

Integrando esta ecuación para un gas ideal con calores específicos constantes, se tiene:

2

1

2

1 p

dpR

T

dTcs p

s Cp ln

T2

T1

R ln

P2

P1

s 262.724m

2

K s2

Am

1

V1

A 4.798 104

m2

H 1.34 104

W

H Cp m T2

T1

)( 12

2

1TTcdTch pp



8

1.3 Efectos de la compresibilidad

Dos parámetros importantes en el estudio de flujo compresible son la velocidad de sonido, c, y el número de Mach, M. La velocidad del sonido es la velocidad a la cual una onda de presión infinitesimalmente pequeña viaja a través de un medio. Una onda de presión puede ser origina-da por una pequeña perturbación, la cual crea un ligero aumento en la presión local. El numero de Mach se define como el cociente de la velocidad real del fluido (o de un objeto que se mueve en el fluido en reposo) entre la velocidad del sonido en el mismo medio fluido, en el mismo es-tado.

M = V/c

Es decir que el número de Mach depende de la velocidad del sonido, c, que a su vez depende del estado del fluido, como se verá más adelante.

Propagación de una onda elástica

Si en un fluido se origina una perturbación, la velocidad de avance del frente de onda corres-pondiente es proporcional a la raíz cuadrada del cociente entre el modulo de compresibilidad del fluido y su densidad. Esto se puede comprobar, al considerar la propagación de una perturbación en un fluido ini-cialmente en reposo: debido a la acción molecular, la presión se incrementa a la derecha de de la perturbación y este incremento se moverá hacia aguas abajo a una velocidad c por otra parte de acuerdo a la segunda ley de newton, el fluido localizado inmediatamente a la derecha del frente de onda se acelerara como consecuencia de la diferencia de presión dp.a una velocidad dV. Se puede analizar el fenómeno a partir de un volumen de control que se mueve encerrando al frente de onda como se muestra en la figura. Luego a partir de las ecuaciones de continuidad y cantidad de movimiento aplicadas a este volumen de control se pueden escribir las siguientes ecuaciones diferenciales:

1.3.1

1.3.2 y combinado ambas ecuaciones y despejando la velocidad de propagación, se obtiene:

d

dpc 1.3.3

Para el caso de un gas ideal, la presión y la densidad en un proceso isentrópico están relacio-nados mediante la ecuación:

cte

k

p

1 1.3.4

Volumen de control Vo=c

c velocidad

densidad

p presión

c –dV velocidad

+d densidad

p+dp presión

Fig. 1.3.1 Volumen de control alrededor del frente de onda.

c

dpdV

dcdV



9

A partir de la que se obtiene por derivación (previa logaritmización):

kp

d

dp 1.3.5

Entonces la velocidad de propagación de una onda de presión en función de las propiedades termodinámicas del fluido estará da-da, para un gas ideal, por:

kpc 1.3.6

kRTc 1.3.7

Como, para un gas ideal en particular, R es constante y k (relación de calore s específicos) es, cuando mucho, una función de la temperatura, T, se con-cluye que la velocidad del sonido en un gas ideal dado es función sola-mente de la temperatura (figura 1.3.2).

El Cono de Mach

Número Mach.- Conocido coloquialmente como mach ("mac"), se define como el cociente entre la velocidad de un objeto y la velocidad del sonido en el medio en que se mueve dicho objeto. Dicha relación puede expresarse según la ecuación:

c

VM 1.3.8

Si un objeto viaja a través de un medio, entonces su número de Mach es la razón entre la ve-locidad del objeto y la velocidad del sonido en ese medio. Es un número sin unidades, típica-mente usado para describir la velocidad de los aviones. Mach 1 equivale a la velocidad del so-

nido, Mach 2 es dos veces la velocidad del sonido, etc.

Este número fue propuesto por el físico y filósofo austriaco Ernst Mach2, como una manera sencilla de expresar la velocidad de un objeto con res-pecto a la velocidad del sonido.

La utilidad del número de mach reside en que permite expresar la veloci-dad de un objeto no de forma absoluta en km/h o m/s, sino tomando como referencia la velocidad del sonido, algo interesante desde el momento en que la velocidad del sonido cambia dependiendo de las condiciones de la atmósfera. Por ejemplo, cuanto mayor sea la altura sobre el nivel del mar

2

Ernst Mach (18 de febrero, 1838 - 19 de febrero, 1916) físico y filósofo austriaco. Trabajó como catedrático de matemáticas en la Universidad

de Graz y de 1867 a 1895 como catedrático de física experimental en la Universidad de Praga. Realizó importantes descubrimientos en los campos de la óptica, la acústica y la termodinámica. Sus trabajos acerca de la mecánica newtoniana tuvieron una gran importancia ya que con ellos rebatió en parte dicha teoría y en particular el concepto de espacio absoluto. Sus tesis desempeñaron un papel muy importante en la formu-lación de la teoría especial de la relatividad por parte de Albert Einstein en el año 1905. Mach estudió sobre todo la física de fluidos a velocidades superiores a la del sonido, y descubrió la existencia del cono que lleva su nombre. Se trata de una onda de presión de forma cónica que parte de los cuerpos que se mueven a velocidades superiores a la del sonido. Descubrió que la relación entre la velocidad a la que se desplaza el cuerpo y la velocidad del sonido es un factor físico de gran importancia. Dicho factor se conoce con el nombre de número de Mach, en su honor. Una velocidad de Mach 2,7 significa que el cuerpo se mueve a una velocidad 2,7 veces superior a la de propagación del sonido. Como filósofo de la naturaleza, rechazó de forma contundente toda metafísica y religiosidad convirtiéndose por ello en uno de los representantes mas destacados del positivismo. Fuente: "http://es.wikipedia.org/wiki/Ernst_Mach"

Ernst Mach

Fig. 1.3.2 La velocidad del sonido, C, varia con al tem-peratura, T, y con el fluido.

0 500 1000 15000

1000

2000

3000

Ca T( )

Che T( )

T

c

Helio

Aire

http://es.wikipedia.org/wiki/Austria

http://es.wikipedia.org/wiki/Ernst_Mach



10

o la temperatura de la atmósfera, menor es la velocidad del sonido. De esta manera, no necesi-tamos saber la velocidad del sonido para saber si un avión que vuela a una velocidad dada la ha superado: Nos basta con saber su número de Mach3.

Ejemplo 2

Un aeroplano vuela a 180 m/s y 500 m de altura en un día con condiciones estándar. As-

ciende a 15 km y vuela a 320 m/s. Calcule el número de Mach de vuelo en ambos casos.

(flujo supersónico)M2

1.084M2

V2

c

entonces el numero e Mach, sera:

c 295.076m

sc k R T

2

entonces

(Tabla A.3 Fox, pag. 840) T2

216.7K

b ) Para 15000 m de alti tud, la temperatura es:

(flujo subsónico )M1

0.532M1

V1

c

entonces el numero e Mach, sera:

c 338.338m

sc k R T

1

entonces

(Tabla A.3 Fox, pag. 840) T1

284.9K

a ) Para 500m de alti tud, la temperatura es:

en cada caso ca lculamos la temperatura en función a la alti tud a la que se encuentra el

aeroplano.

Donde, la velocidad del sonido, esta dada por:

En ambos casos uti l izaremos la ecuación:

R 287J

kg KZ

215000mZ

1500 m

k 1.4V2

320m

sV

1180

m

s

Datos :

3 Instrumentation

An aircraft Mach meter or electronic flight information system (EFIS) can display Mach number derived from impact pressure (pitot tube) and static pressure. For subsonic compressible flow:

Where: qc is impact pressure and, P0 is static pressure.

M=v/c

kRTc

http://en.wikipedia.org/wiki/EFIS

http://en.wikipedia.org/wiki/Pitot_tube



11

)( ottV

)( ottc SILENCIO

ACCION

Figura 1.3.3d. V>0. Movimiento supersónico

Supongamos, ahora, que se emite una perturbación ins-tantánea infinitesimal en un punto de un fluido. El frente se propaga en forma esférica con la velocidad del sonido, el patrón de sonido se propaga uniformemente en todas las direcciones. En cualquier instante el radio de la esfera es c(t-t0), cuyo centro coincide con el punto de emisión de la perturbación. Se explicarán ahora cuatro situaciones posi-bles:

En el instante (t-to) después de la emisión, cualquier pulso sonoro se localiza en el radio c (t-to), medido desde la fuente, figura 1.3.3a.

Si la perturbación se emite en un fluido que se mueve con una velocidad uniforme Vo < C, figura 1.3.3b. La concentricidad del patrón de onda se pierde; ya no hay círculos concéntricos, debido a que la propagación se mueve hacia fuera esféricamente con respecto al fluido y por consiguiente se mueve hacia aguas abajo con ve-locidad Vo.

Si ahora, que la perturbación se emite en un medio que se mueve con una velocidad constante VO=C; (M=1). El lugar geométrico de las superficies delanteras de las ondas sonoras es un plano en la fuente. Consecuente-mente, un observador enfrente de la fuente no la escu-chará cuando ella se acerque.

Si, ahora, se emite una perturbación en un medio fluido que se mueve con velocidad Vo>C. Esto representa una acción simple en un flujo supersónico. En este caso, el lugar geométrico de las superficies delanteras de las ondas sonoras es un cono, denominado cono de Mach. También en este caso, ningún sonido se escuchará fren-te al cono.

El ángulo del cono, 2, está relacionado con el número de Mach, relación que puede obtenerse a partir de la geome-

tría de la figura (como se vera en el ejemplo 3) y está dado por:

MV

Csen

1)( ,

Es decir 1.3.9

)( ottc

)( oo ttV

Figura 1.3.3b Propagación de una

onda V0<c. corrimiento Doppler.

)( ottc

)( ottc

Figura 1.3.3c. V0=c

Marsen

1

)( ottc

Figura 1.3.3a Propagación de una onda

en un fluido en reposo. V0=0.



12

Ejemplo3.- Un avión que vuela a 2000 m de altitud pasa directamente por arriba de un observador. Si el avión se desplaza a un número de Mach igual a 1.5 y la temperatura ambiente es 10ºC, ¿cuán-tos segundos tiene que esperar el observador antes de escuchar el sonido producido por el avión?

Datos: T= 10 + 273 = 283 oK; M = 1.5; Z = 2000 m Para el aire se puede tomar: k = 1.4 Para M=1.5 se tiene V > C es decir flujo supersónico, por lo que usaremos el cono de Mach como referencia para resolver el problema.

Donde el ángulo de Mach está dado por:

MV

Csen

1)(

La velocidad del sonido se puede calcular a partir de:

kRTC

El tiempo se puede calcular a partir de la relación

tVttVx o )( CM

x

V

xt

Así mismo, x se calcula a partir del cono de Mach, así:

tg

zx

Reemplazando valores numéricos, en las ecuaciones anteriores se tiene que el observador oirá

el sonido luego de un tiempo de t= 4.420 s.

SILENCIO )( ottc

ACCIÓN

z

x= V.(t - to)



13

1.4 Estado de referencia

Propiedades locales de estancamiento isentrópico

En el flujo compresible, es conveniente emplear el estado de estancamiento como un estado de

referencia. Las propiedades de estancamiento (To, po, o…) en cualquier punto en un campo de flujo, son las que corresponden a los valores que tomarían estas propiedades en el punto en cuestión si hipotéticamente la velocidad se redujera a cero isentrópicamente. En un flujo adiabático unidimensional debe tenerse la misma entalpía isentrópica de estanca-miento en todos los puntos y, recíprocamente, si para un flujo unidimensional particular se sabe que la entalpía de estancamiento isentrópica es constante en todos los puntos, puede concluir-se que el flujo es adiabático. El estado e estancamiento se llama estado de estancamiento isentrópico cuando el proceso de estancamiento es reversible y adiabático (isentró-pico). La entropía de un fluido permanece cons-tante durante el proceso isentrópico de llevar el fluido al estado e estancamiento. El proceso real (irreversible) y el proceso isentrópico de llevar al reposo un flujo de fluido se puede observar en la figura. La entalpía de estancamiento del fluido (y la temperatura de estancamiento si el fluido es un gas ideal) es la misma en ambos casos. Sin em-bargo, la presión de estancamiento real es menor que la presión de estancamiento isentrópica por-que la entropía aumenta durante el proceso real de estancamiento como resultado de la fricción del fluido. Frecuentemente, los procesos de es-tancamiento se aproximan a isentrópicos y a las propiedades de estancamiento isentrópico se les llama simplemente propiedades de estancamien-to.

A partir de la primera ley de la termodinámica se puede escribir la siguiente relación, para un un proceso isentrópico:

hV

20

2

hV

hV

oo

22

22

hV

ho 2

2

1.4.1

Para flujos a altas velocidades la energía potencial del fluido es insignificante, pero la energía cinética no lo es. En estos casos la entalpía de estancamiento representa la energía total del flujo fluido, es decir que la entalpía de estancamiento h0, se interpreta en estos casos como la combinación la entalpía estática (o simplemente entalpía) y la energía cinética del fluido. Ahora suponiendo calores específicos constantes (cuando un fluido se aproxima a un gas ideal con calores específicos constantes, su entalpía puede reemplazarse por cpT) y con Vo=0, a partir de la ecuación anterior se puede escribir:

TcV

Tc Po

oP 2

2

Tc

VT

P

oo

2

2

12

2

Tc

V

T

T

P

oo 1.4.2

h

s

2

2V

p0

p0,act

Estado de estanca-miento isentrópico

Estado real de estan-

camiento isentrópico

Figura 1.4.1. Estado real, estado de estancamiento isentrópico y estado de estancamiento real de un

fluido.

Estado real

0



14

De la relación anterior se establece que la temperatura de estancamiento T0, es constante para un flujo adiabático.

En la ecuación 1.4.2, la temperatura de estancamiento T0, representa la temperatura que alcanza un gas ideal cuando se lleva al reposo adiabáticamente. El término V2/2cp corresponde al incremento de la temperatura alcanzado durante el proceso y se llama temperatura dinámica. Estas ecuaciones nos muestran que para flujos a bajas velocidades las temperaturas de estan-camiento y estática, T0 y T, son prácticamente iguales, pero para flujos a altas velocidades la temperatura de estancamiento puede ser considerablemente mayor que la temperatura estática del fluido4. Si recordamos que:

C

VMykRTCR

k

kcP

2;

1 A partir de la relación 1.4.2 se puede obtener una relación para la razón de las temperaturas de estancamiento y estática, en función del número de Mach:

1.4.3

Figura 1.4.2. Variación de la razón To/T vs M

4 Así pues, cuando un flujo es llevado al reposo, el flujo está en estancamiento, por lo tanto, un termóme-

tro en un flujo compresible medirá T0, no T.

Entonces, cuando T = 17 0C ≡290 K, si:

M=0.10, T0/T=1.002, entonces T0=290.58 K ≡17.58 oC;

M=0.50, T0/T=1.050, entonces T0=304.5 K ≡ 31.50 oC;

M=2.0 T0/T=1.80, entonces T0 = 522 K ≡ 249 oC

M T0 /T

0.00 1.000

0.10 1.002

0.20 1.008

0.30 1.018

0.40 1.032

0.50 1.050

0.60 1.072

0.70 1.098

0.80 1.128

0.90 1.162

1.00 1.200

1.20 1.288

1.40 1.392

M T0 /T

1.60 1.512

1.80 1.648

2.00 1.800

2.20 1.968

2.40 2.152

2.60 2.352

2.80 2.568

3.00 2.800

3.50 3.450

4.00 4.200

4.50 5.050

5.00 6.000

10.00 21.000

12

1 2

Mk

T

To

Razon T0/T vs M

0.0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

12.0

14.0

16.0

18.0

20.0

0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00

Número de Mach M

To

/T

… esta última ecuación sólo requiere que el flujo sea adiabáti-co, es decir que sigue siendo válida en presencia de irreversibi-lidades tales como las pérdidas por fricción u ondas de choque. en presencia de irreversibilidades tales como las pérdidas por fricción u ondas de choque.



15

Relaciones isentrópicas de presión y densidad en función al número de Mach.

A partir de esta última relación, y de las conocidas relaciones isentrópicas para un gas ideal, pueden formularse relaciones similares para la densidad y la presión de estancamiento: Presión de estancamiento.- Se denomina presión de estancamiento, p0, a la presión que alcanza un fluido cuando se lleva al reposo isentrópicamente. Para un gas ideal con calores específicos constantes, p0 se puede relacionar con la presión estática del fluido, p, y el número de Mach de la siguiente manera:

1

k

k

oo

T

T

p

p

12 12

1

k

k

o Mk

p

p 1.4.4

Análogamente la densidad de estancamiento, 0, y la densidad estática,, pueden relacionarse mediante las siguientes expresiones:

1

1

koo

T

T

1

1

2 12

1

ko Mk

1.4.5

Consideremos ahora un flujo fluido a través de un ducto, si se usan entalpías de estancamiento, el balance de energía (primera ley e la termodinámica) para un volumen de control con flujo estacionario y con una entrada y una salida puede expresarse del siguiente modo:

)(22

)( 12

21

22

12 zzgVV

hhwq

Reordenando convenientemente;

)()2

()2

( 12

21

1

22

2 zzgV

hV

hwq

y de (1.4.1)

q - w = h02 + h01 + g(z2-z1) 1.4.6

Donde h02 y h01 son las entalpías de estancamiento en los estados 2 y 1, respectivamente. Es decir que: cuando se usan entalpías de estancamiento no es necesario referirse a la energía cinética de manera explicita, sin embargo las entalpías de estancamiento, como ya se dijo, to-man en cuenta su contribución. Para flujo adiabático (sin intercambio de calor), en ausencia de trabajo y sin cambio de energía potencial, se tiene que:

h02 = h01 = constante

Es decir que en estas condiciones la entalpía permanece constante. Cuando el fluido es un gas ideal con calores específicos constantes, la ecuación (1.4.6) toma la siguiente forma:

q - w = cp(T02 +T01 ) + g(z2-z1) 1.4.7

Donde T02 y T01 son las temperaturas de estancamiento.



16

Propiedades de estancamiento en función del número de Mach

M T/To p/po /o M T/To p/po /o M T/To p/po /o

0.00 1.0000 1.0000 1.0000 2.00 0.5556 0.1278 0.2300 4.00 0.2381 0.0066 0.0277

0.10 0.9980 0.9930 0.9950 2.10 0.5313 0.1094 0.2058 4.10 0.2293 0.0058 0.0252

0.20 0.9921 0.9725 0.9803 2.20 0.5081 0.0935 0.1841 4.20 0.2208 0.0051 0.0229

0.30 0.9823 0.9395 0.9564 2.30 0.4859 0.0800 0.1646 4.30 0.2129 0.0044 0.0209

0.40 0.9690 0.8956 0.9243 2.40 0.4647 0.0684 0.1472 4.40 0.2053 0.0039 0.0191

0.50 0.9524 0.8430 0.8852 2.50 0.4444 0.0585 0.1317 4.50 0.1980 0.0035 0.0174

0.60 0.9328 0.7840 0.8405 2.60 0.4252 0.0501 0.1179 4.60 0.1911 0.0031 0.0160

0.70 0.9107 0.7209 0.7916 2.70 0.4068 0.0430 0.1056 4.70 0.1846 0.0027 0.0146

0.80 0.8865 0.6560 0.7400 2.80 0.3894 0.0368 0.0946 4.80 0.1783 0.0024 0.0134

0.90 0.8606 0.5913 0.6870 2.90 0.3729 0.0317 0.0849 4.90 0.1724 0.0021 0.0123

1.00 0.8333 0.5283 0.6339 3.00 0.3571 0.0272 0.0762 5.00 0.1667 0.0019 0.0113

1.10 0.8052 0.4684 0.5817 3.10 0.3422 0.0234 0.0685 5.50 0.1418 0.0011 0.0076

1.20 0.7764 0.4124 0.5311 3.20 0.3281 0.0202 0.0617 6.00 0.1220 0.0006 0.0052

1.30 0.7474 0.3609 0.4829 3.30 0.3147 0.0175 0.0555 6.50 0.1058 0.0004 0.0036

1.40 0.7184 0.3142 0.4374 3.40 0.3019 0.0151 0.0501 7.00 0.0926 0.0002 0.0026

1.50 0.6897 0.2724 0.3950 3.50 0.2899 0.0131 0.0452 7.50 0.0816 0.0002 0.0019

1.60 0.6614 0.2353 0.3557 3.60 0.2784 0.0114 0.0409 8.00 0.0725 0.0001 0.0014

1.70 0.6337 0.2026 0.3197 3.70 0.2675 0.0099 0.0370 8.50 0.0647 0.0001 0.0011

1.80 0.6068 0.1740 0.2868 3.80 0.2572 0.0086 0.0335 9.00 0.0581 0.0000 0.0008

1.90 0.5807 0.1492 0.2570 3.90 0.2474 0.0075 0.0304 9.50 0.0525 0.0000 0.0006

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

0.00 2.00 4.00 6.00 8.00

Número de Mach

Figura 1.4.3 Propiedades de estancamiento como función del número de Mach, para k=1.4

0

0T

T

0p

p



17

T

M1=0.4, T1=2350oF p1=90.0

M2=0.8, T2=1200oF p2=3.00

R 53.3 pielbf

lbm R k 1.4

cp 0.240Btu

lbm Rcv 0.171

Btu

lbm R

Ejemplo 4.-Entra aire a una turbina a M1=0.4, T1=2350oF y p1=90.0 psia. Las condiciones a la salida de la turbina son M2=0.8, T2=1200oF y p2=3.00 psia. Evalúe las condiciones locales de

estancamiento isentrópico a) en la entrada de la turbina y b) en la salida de la turbina. Calcule el cambio de entropía específica a través de la turbina. Grafique los puntos de estado estático y de

estancamiento en un diagrama T-s.

DATOS Otros datos importantes (aire estándar).

Haciendo uso de las relaciones matemáticas, establecidas en esta sección, se pueden calcular las condiciones de estanca-miento del aire tanto en la entrada como en la salida de la turbina. (Para esto se utilizó el MatCAD).

Btu

lbm Rs 0.108de donde:s cp ln

T2

T1

cp cv( ) lnp2

p1

R cp cvs cp lnT2

T1

R lnp2

p1

c)Cambio de l a entropia específica.- Para calcular el cambio de entropia, uti l izam os la

ecuación: Tds=dh-vdp; que para un gas ideal se puede s¡escribir:

o2 6.598 103

lbm

pie3

o1 0.094

lbm

pie3

o1po1 144

R To1

o2po2 144

R To2

a partir de la ecuación general de los gases:

Densidad de estancamiento

psiapo2 4.573psiapo1 100.49

po2k 1

2M2

2 1

k

k 1

p2po1k 1

2M1

2 1

k

k 1

p1

-Presión de estancamiento

RTo1 2.9 103

RTo2 1.872 10

3

To2k 1

2M2

2 1

T2To1k 1

2M1

2 1

T1

- Temperatura de estancamiento

b) en la salida de la turb inaa) en la entrada de la turbina

* El estudiante debe dibujar el diagrama T-s, referido a los puntos de estado del proceso.



18

1 2

?v2 pie/sv1 500lbf.pie/lbm.RR 53.3

k 1.4RT2 800RT1 600

Btu/lbm.Rcp 0.24psiap2 40psiap1 60

constantes sección 2sección 1

2 v2 A

v21 v1

2 v2 1 10

3 pie/s

M2v2

c2 M2 0.721

Con estos datos, la presión de estancamiento en 2, se puede calcular del siguiente modo:

po2 p2 1k 1

2

M22

k

k 1

po2 56.56 psia

Ahora a partir de la pri mera ley de la termodinámica calculamos el calor transferido:

q h k

donde :

h cp T2 T1( ) kv2

2v1

2

2

entonces se tiene que:

q cp T2 cp T1v2

2

2

v12

2

q cp T2v2

2

2 cp T1

v12

2

v1 500 v2

En base a estos datos realizamos algunos calculos preliminares, que serán úitles

posteriormente;

seccción de flujo 1 seccción de flujo 2

2p2 144

R T2 2 0.135

1p1 144

R T1 1 0.27

c1 k R 32.2 T1 c1 1.201 103

c2 k R 32.2 T2 c2 1.386 103

M1v1

c1 M1 0.416 M2

A partir de la ecuación de continuidad, podemos calcular la velocidad v2, que es necesario

conocer para calcular el cambio de energía cinética:

1 v1 A =

Ejemplo 5.- Fluye aire por un ducto de área constante. En la sección1 el aire está a 60 psia, 600 R y

500 pies/s. Como e resultado de la transferencia térmica y de la fricción, el aire en la sección 2 aguas abajo se encuentra a 40 psia, 800 R. Calcule la transferencia térmica por libra de aire entre las secciones 1 y 2, así como la presión de estancamiento en la sección 2.

RESOLUCION DATOS



19

Pero según se vio en la clase teórica, la entalpia de estancamiento de un punto determinado

es igual a la suma de la entalpia y la energia cinetica del punto en cuestión.

cp To = cp Tv2

2

entoces, para cp=cte., se tiene:

q cp To2 To1( )

La temperatura de estancamiento en las secciones 1 y 2 estan dadas por:

To1 T1 1k 1

2

M12

To2 T2 1k 1

2

M22

To1 620.809 R To2 883.237 R

Finalmente se tiene que el calor transferido entre 1 y 2 esq 62.98 Btu/lbm

Un forma más directa de calcular el calor transferido es, calcular el incremento de la energía

cinética, claro que cuando se usa el sistema de unidades británico se debe tener cuidado con

usar los factores de conversión adecuados para compatibi l izar las unidades:

kv2

2v1

2

2 l ibf-pie/slug

kk

32.2 l ibf-pie/lbm

kk

778.16

Btu/lbm k 14.97 Btu/lbm

h cp T2 T1( ) h 48.00 Btu/lbm

q h k q 62.97 Btu/lbm Ejemplo 6.- Un avión F-4 pasa a muy poca altura sobre un campo de aterrizaje que se encuen-tra al nivel del mar en un día en condiciones estándares. Un tubo de pitot sobre el avión registra una presión de estancamiento de 23 psia. Determine el numero de Mach al cual vuela el avión. Evalúe la velocidad del mismo.

RESOLUCION

El número de Mach se puede calcular a partir de la relación entre la presión de estancamiento

y la presión de la corriente de aire relativa al avion. El tubo de Pitot permite medir la presión de

estancamiento de la corriente de aire.

cp 0.240R Ta 520

Va

Ta 60 460

lbf pie

lb RR 53.3

psia pb

14.696

k 1.4g 32.174psia p

o23.6

DATOS :



20

psiap2

21.086p

2p

b

T2

Ta

k

k 1

La presión para un proceso de expansión isentropica se puede calcular, apartir de:

T2

576.5

T2

Ta

Va2

V2

2

2 cp 778.16 g

de donde:

22)(

22

2

2

vvTTcp a

a

y para cp constante:

22

22

2

2 vh

vh a

a

a) para un proceso adiabático, se tiene de la primera ley de la termodinámica:

V2

475

Ahora el avión del problema anterior vuela a M=0.851. El aire se frena en el sistema de entrada

del motor a 475 pie/s respecto del avión. Dete rmine la temperaura del aire en esta ubicación. Si

el proceso de desaceleración se modelará como isentropico, ¿Cuál sería la presión esática en

esta sección?

mphVa

1.467648.337o en mil las por hora:

pie

sVa 951.11Va M c

entonces la velocidad de aire sera:

pie

sc 1.117 10

3c k R g Ta

La velocidad del aire relativa al avión se puede calcular a partir de la deifinición del número de

Mach

M 0.851M2

k 1

po

pb

k 1

k

1



21

Condiciones críticas M =1 Las propiedades de estancamien-to son una referencia útil para determinar las propiedades termo-dinámicas; sin embargo no sirven para el cálculo de la velocidad, debido a que la velocidad de es-tancamiento es igual a cero por definición. Una referencia útil para calcular la velocidad es la llamada velocidad crítica que tiene lugar cuando el número de Mach es igual a 1. Aun cuando no exista realmente un punto en el campo de flujo donde el número de Mach sea igual a 1, se puede usar esta condición como una referencia hipotética.

A

ARA o ;

T

TRT o ;

oR ;

p

pRp o

Relaciones y valores críticos en el punto sónico:

Si para M=1, las propiedades termodinámicas se designan con un asterisco, a partir de las rela-ciones de estancamiento se pueden escribir las siguientes relaciones para calcular las propie-dades termodinámicas en condiciones críticas:

12

1*

*0

k

T

T (a) y para k=1.4 (aire estándar) 200.1

*

*0

T

T

1

1

*

*0 1

2

1

kk

(b) y para k=1.4 (aire estándar) 5771

*

*0 .

1

*

*0 1

2

1

k

k

k

p

p (c) y para k=1.4 (aire estándar) 893.1

*

*0

p

p

Para la Velocidad critica, se puede establecer una relación matemática, en términos de la temperatura de estancamiento T0 en condiciones sónicas. Así:

*

0

***

1

21* RT

k

kkRTCMV

(1.4.9)

0 0.5 1 1.5 2 2.50

1

2

3

Número de Mach

RA M( )

RT M( )

R M( )

Rv M( )

Rp M( )

M

Representación grafica de las relaciones de estancamiento en función M

La velocidad crítica es por definición igual a la velocidad del sonido en las condiciones sónicas (M=1). Y se usa frecuentemente como velocidad de referencia en un flujo isentrópico o adiabático.

(1.4.8)



22

M*=1

T*

p*

ρ*

V*=c* M

T

p

ρ

V=cM

Problema.- En muchos problemas las propiedades sónicas son valores de referencia más útiles que las propiedades de estancamiento. Deduzca para el flujo isentrópico de un gas las relacio-

nes p/p*; T/T* y /* como funciones del número de Mach.

RESOLUCION

Consideremos, un conducto, como el mostrado en la figura, en el que se supone un flujo isen-trópico unidimensional, tomemos en esta conducto una sección genérica en la cual e número de Mach es M, y otra sección aguas abajo en la que el flujo esta estrangulado M*=1 (condiciones críticas de flujo).

Además, para flujo isentrópico, la temperatura, presión y densidad de estancamiento son cons-tantes a lo largo de conducto, es decir;

*

00

*

00

*

00 ;; ppTT

Escribimos ahora, las relaciones de temperatura de estancamiento a temperatura estática, para las dos secciones consideradas.

y

Dividiendo miembro a miembro tenemos y recordando que al ser flujo isentrópico a temperatura de estancamiento es constante, tenemos. (a) Procediendo de manera análoga obtenemos las relaciones para la densidad y presión: (b)

(c)

12

1 2

Mk

T

To 12

1*

*

k

T

To

1

)1(2

12

1

12

12*

2

*

*

k

Mk

T

T

k

Mk

T

TT

T

o

o

1

12*

1

)1(2

k

k

Mk

12*

1

)1(2

k

k

k

Mk

p

p

(1.4.10)



23

2

2Vddh

xdx

dpp

2

1

1.5 Flujo isentrópico en conductos de sección variable. Antes de considerar el flujo en toberas, es necesario discutir varios aspectos importantes del flujo isentrópico como ser el efecto de la variación del área, consistente con las condiciones isentrópicas del flujo, sobre la velocidad y la presión de un flujo compresible (subsónico o su-persónico) existente. Para ello, aplicaremos las leyes fundamentales del flujo fluido a un volu-men de control estacionario de espesor infinitesimal, figura 1.5.1.

Hipótesis: Flujo estacionario Flujo isentrópico Ecuación de continuidad. aplicando logaritmos y derivando un expresión, que será de mucha utilidad, para nuestro propósito.

(1.5.1) Ecuación de energía (primera ley de la termodi-námica).

Realizando las operaciones indicadas cancelando términos y menospreciando los diferenciales de segundo orden, se obtiene:

Esta última ecuación se puede escribir en términos de variación e energía cinética así:

(1.5.2)

Ecuación de cantidad de movimiento

Al realizar el balance e fuerzas en la dirección del flujo, x, se considera que la presión en la superficie lateral infinitesimal del volumen de control es uniforme e igual a la presión promedio. Entonces la ecuación de cantidad de movimiento se aplicada al volumen de control se expresa:

(1.5.3)

Combinando adecuadamente las ecuaciones 1.5.1 y 1.5.3, se puede obtener:

(1.5.4)

A V p

h

xdx

d

xdx

dvv

xdx

dpp

xdx

dAA

xdx

dpp

2

1

Figura 1.5.1. Volumen de control de espesor

infinitesimal x, donde x es la dirección del flujo, en el que se muestran la variación de las variables de flujo entre la entrada y la salida del volumen de

control.

x

x

cteAv

0A

dA

v

dvd

CAv lnlnln

22

2

1

2

x

dx

dVVx

dx

dhh

Vh

VdVdh0

)())(2

1())(( Vx

dx

dvVvAx

dx

dAx

dx

dppx

dx

dAAx

dx

dpppA

VdVdp

2

21V

dp

dp

dV

A

dA



24

2

21V

dpM

A

dA

Flujo subsónico M<1 Flujo subsónico M<1

MM<>1

Flujo supersónico M > 1 Flujo supersónico M > 1

Acción de la tobera

dp < 0

dV > 0

Acción del difusor

dp > 0

dV < 0

Figura 1.5-2.- Variación del área de flujo en toberas y difusores subsónicos y supersónicos.

0dV

dA 0dV

dA

0dV

dA 0dV

dA

V

dVM

A

dA 21

01

01

dV

dAM

dV

dAM

y, recordando que el grado de compresibilidad, dp/d, es igual al cuadrado de la velocidad del sonido, ver sección 1.3, y la definición de número de Mach, se tiene:

Sustituyendo en 1.5.4

(1.5.5) Donde dp será positivo o negativo según se trate de un difusor o de una tobera respectivamen-te, esto se discute en la siguiente sección. La ecuación 1.5.5 es importante en el flujo en conductos de sección variable, debido a que des-cribe la variación de la presión en función a la variación del área de flujo.

Al ser A, y V cantidades siempre positivas, el signo del segundo miembro de la ecuación 1.5.5, y por tanto de dA y dp, dependerá del valor del número de Mach. Así para flujo subsónico M<1, (1-M2) > 0, por tanto dA y dp deben tener el mismo signo. Es decir que si la presión del fluido aumenta el área del ducto también debe aumentar y debe disminuir si el área del ducto disminuye. Dicho de otro modo para flujo subsónico la presión disminuye en ductos convergen-tes (toberas o toberas aceleradoras subsónicas) y aumenta en ductos divergentes (difusores o toberas desaceleradotas subsónicas). En cambio para flujo supersónico M>1, (1-M2) < 0, por tanto dA y dp deben tener signo opues-tos. Es decir que si la presión del fluido aumenta el área del ducto debe disminuir y debe dismi-nuir si el área del ducto aumenta. Dicho de otro modo para flujo subsónico la presión aumenta en ductos convergentes (toberas o toberas aceleradoras supersónicas) y disminuye en ductos divergentes (difusores o toberas desaceleradotas supersónicas). Sustituyendo 1.5.3 en 1.5.5, s obtiene la siguiente ecuación:

Esta relación determina la forma de una tobera o de un difusor isentrópicos según sean subsónicos o supersónicos. Observe que:

Puesto que A y V son can-tidades siempre positivas, figura 1.5.2. La forma adecuada de una tobera depende del mayor numero de Mach deseado (mayor velocidad de flujo relativa a la ve-locidad el sonido). Así para acelerar un fluido debe usarse una tobera convergente a velocida-des subsónicas (M<1) y una tobera divergente a velocidades supersónicas (M>1).

2

2

1

V

M

cdp

d



25

1.6 Flujo isentrópico en toberas.

Las toberas y difusores son dispositivos de regulación del flujo que se encuentran en muchas aplicaciones de ingeniería, como en turbinas de gas y de vapor, sistemas de propulsión de aviones, y en sopladores industriales de diferente índole. Estas pueden ser toberas convergen-tes y toberas convergente-divergentes.

Una tobera es un dispositivo que incrementa la velocidad de un fluido a expensas de la presión. En cambio un difusor es un dispositivo que incrementa la presión de un fluido al desaceléralo. Es decir, las toberas y los difusores llevan a cabo tareas opuestas. El área de la sección trans-versal de una tobera, como se vio en la sección anterior, disminuye en la dirección de flujo para flujos subsónicos y aumenta para los supersónicos. En los difusores ocurre exactamente lo contrario (figura 1.6.2).

El flujo de calor entre el fluido que fluye por una tobera o un difusor y los alrededores es gene-

ralmente muy pequeño (Q/t 0) ya que la velocidad de flujo es alta y por lo tanto no se man-tiene suficiente tiempo en el dispositivo como para que ocurra alguna transferencia e calor im-

portante. La toberas y difusores por lo común no tienen que ver con trabajo (W/t = 0) y cual-

quier cambio de energía potencial es insignificante (Ep 0). Las toberas y los difusores co-rrientemente están relacionados con velocidades de flujo muy altas, que provocan grandes cambios de velocidad en el fluido que pasa por alguno de estos dispositivos. Consecuentemen-te, al analizar el flujo a través de estos dispositivos se deben considerar los cambios de energía

cinética (V0). Es decir:

dt

dmhZgV

t

W

t

Q

2

2

1

h02 h01

Como ya vimos, en la sección 1.4, en todos los estados de un flujo isentrópico tienen la misma entalpía de estancamiento. Además, todos los estados de de flujo isentrópico, incluidos el de estancamiento, tienen la misma entropía. Es decir: en un flujo isentrópico todos los estados de estancamiento tienen las mismas entalpía y entropía de estancamiento.

teconshV

hV

h tan22

0

21

1

22

2

2

2

1Vh

… y como en un estado de estancamiento la velocidad es cero, se tiene que las propiedades de estancamiento son constantes en todos los

puntos en un flujo isentrópico…

h

Figura 1.6.1 Flujo isentrópico.- propiedades de estancamiento en los estados 1 y 2. Interpretación

de la energía total por unidad de masa.

h0

2

21V

2

22V

p1

p2

h2

h1

Energía

total

p0

s S=S0 = cte..



26

2

2Vddh

2

21V

dpM

A

dA

Modelo Matemático:

En la figura 1.6.1, se muestra el modelo matemático para este tipo de dispositivos (toberas y/o difusores), que como se puede observar, es similar al presentado en la sección 1.5.

Las ecuaciones diferenciales, correspondientes son:

Continuidad:

Energía:

Cantidad de movimiento: A partir de estas ecuaciones se tiene que:

o también: Las implicaciones de estas dos últimas relaciones se resumen en la figura 1.6.2 (un análisis similar también fue expuesto en la sección 1.5).

Figura 1.6.1.- Flujo unidimensional estacionario en una tobera convergente. Los efectos de fric-

ción y gravitacional son despreciables.

A p v

x

dx

d

xdx

dvv

xdx

dpp

xdx

dAA

pa

x

dA>0 dA<0

Flujo subsónico: M<1 tal que M2-1<0

dv < 0; v disminuye dp > 0; p aumenta El dispositivo opera como difusor

dv > 0; v aumenta dp < 0; p disminuye. El dispositivo opera

como tobera

Flujo supersónico: M>1 tal que M2-1>0

dv < 0; v disminuye dp > 0; p aumenta El dispositivo opera como difusor

dv > 0; v aumenta dp < 0; p disminuye. El dispositivo opera

como tobera

Figura 1.6.2. Consecuencias de la variación de la presión y la velocidad en toberas y difusores.

0A

dA

v

dvd

VdVdp

1.5.1

1.5.2

1.5.3

1.5.5

V

dVM

A

dA 21



27

12 12

1

k

k

o Mk

p

p

1

1

2 12

1

ko Mk

Relaciones isentrópicas entre las variables de estado en función del número de Mach.

Las relaciones entre velocidad, densidad y área de flujo y para la variación de las razones de las propiedades termodinámicas estáticas (presión, temperatura y densidad) y de estancamien-to en función del número de Mach, son las que corresponden a un flujo unidimensional isentró-pico. Las expresiones para las propiedades locales de estancamiento isentrópico para un gas ideal, desarrolladas en la sección 1.4, son aplicables al flujo en toberas y difusores, por ello las volvemos a escribir:

Razón de temperaturas5: 1.4.3

Razón de presiones:

Razón de densidades: Estas relaciones son importantes porque, como ya se vio, en el flujo isentrópico permanente, las propiedades de estancamiento son constantes.

En muchas situaciones de flujo en tobera y difusores, las condiciones críticas son frecuente-mente usadas como referencia para el cálculo de las variables de estado. Puesto que las pro-piedades de estancamiento son constantes para flujo isentrópico, entonces se puede escribir.

Área crítica A partir de la ecuación de continuidad y las relaciones del gas ideal podemos obtener una rela-ción matemática para la razón de área e flujo/área crítica en función del número de Mach. Así: Según la ecuación de continuidad, podemos afirmar que el flujo másico en cualquier sección de flujo debe ser igual al flujo másico en una sección (real o imaginaria) en la que el flujo esta en condiciones sónicas.

VA = *V*A* De donde:

5 Esta relación solo exige que el flujo sea adiabático (no necesariamente isentrópico), es decir que como se

mencionó en la sección 1.4, esta ecuación es también valida en presencia de irreversibilidades.

V

V

A

A ***

12

1 2

Mk

T

To

12

1*

k

T

To

1

1

*1

2

1

ko k

1

*1

2

1

k

k

o k

p

p

0**

1

2T

k

kRCV

1.4.4

1.4.5

1.6.2

1.6.3

1.6.4

1.6.5

1.6.6

1.6.7



28

Además la razón de densidades y de velocidades del segundo miembro se pueden expresar en función del número de Mach. Similarmente para la velocidad: Sustituyendo en 1.6.8 y 1.6.9 en 1.6.7 Para aire estándar (k=1.4), se tiene:

0

0

** 1

1

2)1(21

1*

kMk

k

2/10

2/10

2/1

0

1

2

1

21

2

*

kkRTM

kRT

kV

kRT

V

RTk

k

V

V

2/10

1

21*

kT

T

MV

V 2/1

2

1

1)1(2

1*

kMk

MV

V

)1(2

1

2

1

)1(21*

k

k

k

Mk

MA

A

32

2.1

2.011*

M

MA

A

Figura 1.6.3. Relación de áreas en función del número de

Mach para flujo isentrópico para un gas ideal.

Razón de áreas Vs. Número de Mach

k=1.4; gas ideal

0.000

1.000

2.000

3.000

4.000

5.000

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

1.6.8

1.6.9

1.6.10

1.6.11

M

A*/A



29

1.6.1 Operación de Toberas convergentes

Se analiza ahora lo que ocurre cuando una tobera convergente opera en condiciones diferentes a las de diseño, es decir diferentes contrapresiones. Suponiendo que las condiciones de estancamiento a la entrada de la tobera se mantienen cons-tantes, en tanto que la contrapresión (presión de la cámara a la salida de la tobera, presión del receptor) varía disminuyendo gradualmente desde un valor igual a la presión de estancamiento hasta un valor inferior a la presión crítica. En el diagrama se ilustra el comportamiento de la tobera como consecuencia de esta variación, que es una gráfica de la relación de la presión a lo largo de la boquilla con respecto a la presión de estancamiento.

Mientras la contrapresión es ligeramente menor que la presión de estancamiento, se produce un flujo completamente subsónico. Pero a medida que la contrapresión desmi-nuye, se incremente el número de Mach del flujo. El fluido en estas condiciones sale de la boquilla a la presión ambiente (pb) como chorro libre subsónico, es decir

La tendencia anterior continúa hasta que finalmente el número de Mach es igual a 1, al-

canzando las condiciones sónicas en la garganta. La presión de la contrapresión es igual a la presión crítica en la garganta. En esta situación se dice que la tobera está operando en condiciones de diseño.

Toda disminución adicional de la contrapresión no tiene ningún efecto sobre el flujo en

la tobera y se dice que la tobera esta operando en una condición de estrangulamiento.

p/po

1

p*/po

0

(pe)min = p*

Garganta

(Presión de diseño)

pe = pb

pe = p*

pe

pb

Contrapresión

po To

o

vo 0

pe=pb

pe=p*



30

p

po0.571

p

po0.143

Ejemplo 8. Air from a large reservoir at 700 kPa and 40ºC flows through a converging nozzle, the exit area of which is 0.025 m2. Assuming that frictional effects are negligible, determine the pressure and temperature in the exit plane of the nozzle and the mass flow rate when the ambi-ent pressure is: (a) 400 kPa (b) 100 kPa

Ans: (a) 400 kPa, 267 K, 39.8 kg/s; (b) 370 kPa , 261 K, 40.5 kg/s Resolución Lo importante en este tipo de problemas es verificar si la tobera está estrangulada o no. Esto ocurre, como se vio en la clase, cuando el cociente entre la presión de la salida y la presión del estancamiento es:

1

1

2

k

k

oo kp

p

p

p *

y para k=1.4 5280.op

p

a) para p = 400 kPa > 0.528 Por lo que la tobera, en este caso, no esta estrangulada; el flujo es subsónico a través de la tobera y la presión de salida es igual a la contrapresión (presión atmosférica), es decir ps = 400 kPa.

b) En este caso la presión atmosférica, contrapresión, es 100 kPa, por lo que:

< 0.528; la tobera esta estrangulada! Entonces la presión del aire a la salida de la tobera no es igual a la contrapresión (presión at-mosférica en est caso), y se calcula a partir de la presión de estancamiento (en realidad es igual a la presión crítica)

po=700 kPa

To=313 K

patm As=0.025 m2

ps=? m=? Ts=?

kg/sm 39.8m s As M k R Tsm s vs As vs

finalmente el flujo másico se calcula a partir de su definición y con los datos de la salida:

s 5.225

kg

m3

sps 1000

R Ts

La densidad de l aire a la salida se puede calcular con la ecuación de los gases ideales:

K Ts 266.75

Ts Tops

po

k 1

k

Como el flujo es isentropico la temperatura de salida se puede calcular, de la siguiente manera

M 0.931M

2

k 1

po

ps

k 1

k

1

calculamos el número de Mach a partir de la condiciones de estancamiento:ps 400con



31

kg/sm 40.0m s As k R

2

k 1

To

m/sk R2

k 1

ToV*=

El flujo másico se puede calcular con la velocidad crítica (condiciones críticas):

s 4.938 sps 1000

R Ts

kg

m3

K Ts 260.79Ts To

ps

po

k 1

k

La temperatura y densidad del aire a la salida se calculan igual que en el caso anterior:

kPa ps 369.6ps 0.528 po

Tarea: El estudiante debe resolver los siguientes problemas, (ante cualquier duda debe consul-tar con el docente): 1. Air allowed to flow from a reservoir with temperature of 21_C and with pressure of 5MPa through a tube. It was measured that air mass flow rate is 1kg/s. At some point on the tube static pressure was measured to be 3 MPa. Assume that process is isentropic and neglects the veloci-ty at the reservoir; calculate the Mach number, velocity, and the cross section area at that point

where the static pressure was measured. Assumed that the ratio of specific heats is k=Cp=Cv

=1:4.

Ans: 0:88639; 304 m/s; 8.26x10-5 m2

2. Air flows from the atmosphere into an evacuated tank through a convergent nozzle of 0.04 m tip diameter. If the atmospheric pressure and temperature is 10 5 N/m 2 and 20º C, what vacu-um must be maintained in the tank to produce sonic velocity in the jet. What is the flow rate? Ans: p <52.8 kPa; 0.3 kg/s

3. The Mach number at point A on tube is measured to be M = 23 and the static pressure is

2Bar. Downstream at point B the pressure was measured to be 1.5 Bar. Calculate the Mach

number at point B under the isentropic flow assumption. Also, estimate the temperature at point

B. Assume that the specific heat ratio k = 1:4 and assume a perfect gas model.

Ans: 2; 271,42 K



32

1.6.2 Operación de Toberas convergente-divergentes Cuando el fluido es incompresible, sabemos que, al producirse un aumento de la velocidad, que es lo que se pretende en una tobera, forzosamente deberá disminuir la sección a. En este caso, la tobera es convergente. En cambio, si el fluido es compresible, un aumento de c implica a su vez un aumento del volumen específico, como sabemos, debido a que se produce una disminución de presión, por ser, pv= Cte. Por lo tanto, la relación (c/v) es la que indica la variación de las secciones. Si en un sistema de coordenadas (c/v, p) en donde sobre el eje de abscisas se sitúan las varia-ciones de presión en forma decreciente, tal como sucede en el sentido de la circulación del flui-do por la tobera, se obtiene la gráfica, que dice:

Entre O y M, la velocidad c crece más rápidamente que v, por lo que la función (c/v) es crecien-te, y alcanza un valor máximo en el punto M, al que corresponde la presión pk de la garganta de la tobera. Como G es constante y (c/v) creciente, forzosamente la sección “a” de la tobera tiene que disminuir. A partir del punto M, y para presiones menores que pk , resulta que es el volumen específico v el que crece más rápidamente que c, y por lo tanto la relación (c/v) disminuye, por lo que la sección a de la tobera aumentará para poder seguir manteniendo el gasto G constante; así se obtiene una tobera convergente-divergente tipo Laval. Entonces: la aceleración del fluido a velocidades supersónicas, M>1, puede lograrse so-lamente al añadir una tobera divergente a la tobera aceleradora, convergente, subsónica en su garganta. Esta combinación se conoce como tobera convergente divergente, como ya se mencionó. Sin embargo, el solo hecho de hacer fluir un fluido a través de una tobera convergente-divergente no garantiza que el fluido se acelerará a una velocidad supersónica. Pues, si la pre-sión del receptor (contrapresión) no está en el rango adecuado, existe la posibilidad de que el fluido puede por sí mismo desacelerarse en la sección divergente en vez de acelerarse. La na-turaleza del flujo en una tobera está determinado por la razón de presiones Pb/Po Es decir que para condiciones específicas de entrada, el flujo a través de una tobera convergente-divergente estará regido por la contrapresión Pb, según se explica a continuación.

Distribución de velocidades en las diversas secciones de una tobera Laval



33

Consideremos ahora, igual que en el caso anterior, una tobera de convergente divergente en la que las condiciones de estancamiento a la entrada de la tobera se mantienen constantes, en tanto que la contrapresión (presión de la cámara a la salida de la tobera, presión del receptor) varía disminuyendo gradualmente desde un valor igual a la presión de estancamiento hasta un valor inferior a la presión crítica. El siguiente diagrama ilustra el comportamiento de la tobera como consecuencia de esta variación.

Efectos de la contrapresión en el flujo de una tobera convergente-divergente.

Cuando po > pb> pC, el flujo permanece subsónico a través de la tobera, y el flujo de masa es menor que el flujo bloqueado. La velocidad del fluido aumenta en la sección convergente y alcanza un máximo en la garganta, pero Ma<1. Sin embargo, gran canti-dad del aumento en la velocidad se pierde en la sección divergente de la tobera, la cual actúa como difusor. La presión disminuye en la sección convergente, alcanza un míni-mo en la garganta, y aumenta a expensas de la disminución de la velocidad en la sec-ción divergente.

Cuando pb= pC, la presión en la garganta se convierte en p* y el fluido alcanza una ve-

locidad sónica en la garganta. Pero, la sección divergente de la tobera actúa aún como difusor, al desacelerar al fluido a velocidades subsónicas. El flujo másico que se incre-menta con la disminución de pb alcanza su máximo valor.

Debemos recordar que p* es el valor más pequeño de la presión que puede obtenerse

en la garganta, y la velocidad sónica es la máxima velocidad que puede lograrse en una

po

vo 0 To

o

pe

pb

Contrapresión

pb

po

p

p*

Flujo subsónico en la salida de la tobera (sin choque). Flujo subsónico en la salida de la tobera (choque en la tobera). Flujo supersónico en la salida de la tobera (sin choque en la tobe-

ra).

Flujo sónico en la garganta.

Choque en la tobera.

Entrada Garganta Salida

x

A PA

B PB

C PC

D PD

PE

PF

E, F, G PG



34

po=4.5MPa man

To=750 K

Patm

As=250 mm2

tobera convergente. En consecuencia, al disminuir aún más la contrapresión pb, no se tiene influencia alguna del flujo en la parte convergente de la tobera o el flujo másico a través de la tobera. Sin embargo, esto influye en la sección divergente.

Cuando pC > pb> pE, el fluido que alcanzó la velocidad sónica en la garganta continua

acelerándose a velocidades supersónicas en la sección divergente mientras que la pre-sión disminuye. Sin embargo, esta aceleración cesa repentinamente, cuando una onda de choque normal se forma en una sección transversal entre la garganta y el plano de la salida de la tobera, lo que origina una repentina caída en la velocidad a niveles sub-sónicos y un repentino incremento en la presión. El fluido continúa desacelerándose en la región restante de la sección divergente de la tobera. El flujo a través de una onda de choque es muy irreversible y, por lo tanto, no puede ser aproximado como un flujo isen-trópico.

Cuando pE > pb> 0, el flujo en la sección divergente es supersónico, y el fluido se ex-

pande a pF a la salida de la tobera y ninguna onda de choque normal se forma dentro de la tobera. Así, el flujo a través de la tobera puede aproximarse como un flujo isentró-pico. Cuando pb = pF, no ocurren ningunas ondas de choque dentro o fuera de la tobera. Cuando pb< pF, unos procesos de mezclado irreversible y ondas de expansión ocurren corriente abajo del plano de salida de la tobera.

Ejemplo 9 Una tobera convergente-divergente, diseñada para expandir aire a M=3.0 tiene 250 mm2 de área de salida. La tobera esta conectada a la parte lateral de un gran tanque y descar-ga a la atmósfera estándar. El aire en el tanque está presurizado a 4.5 MPa (manométrica) y 750 K. Suponga que el flujo dentro de la tobera es isentrópico. Evalué la presión en el plano de salida de la tobera. Calcule la relación de flujo másico de aire a través de la tobera.

DATOS DEL PROBLEMA

patm 101.325 kPa

po 4500 patm kPa presión absoluta

po 4601.325 kPa

To 750 K

M2

3

k 1.4

R 0.287 kJ/kgK

La clave en estos problemas es verificar si la tobera esta estrangulada, para ello evaluamos la relación:

patm

po0.022 ademas para el aire

p*/po= 2

k 1

k

k 1

0.528

como 0.022 es menor que 0.528 la tobera está estrangulada, en la garganta se tienen

condiciones sónicas.

La presión en la garganta será:



35

kPa absp2

125.3p2

po

1k 1

2

M2

2

k

k 1

La presión a la salida se puede calcular a partir de la presión de estancamiento en el tanque (se debe

recordar que las propiedades de estancamiento son constantes a lo largo del flujo cuando este es

isentropico) y el numero de Mach a la salida:

kg/sm 0.401

m 13.544 501.124 5.904 105

Entonces el flujo masico será:

m2

As M2

1k 1

2

1k 1

2

M2

2

k 1

2 k 1( )

5.904 105

A* =

El área de la garganta se calcula a partir de la ecuación:

m = *V*A*

m /sk R 1000 625. 501.124V*=c=

el flujo másico esta dado por:

kg

m3

2429.5

R 625.013.544*= p*/RT*=

la densidad en la garganta se puede calcular a partir de la ecuación de los gases ideales.

To2

k 1

625.000T*=

0.528 po 2429.500p*=

la presión en la garganta será:

1.7 Flujo en una tobera real en condiciones de diseño.-Eficiencia Las ecuaciones estudiadas hasta ahora permiten determinar los parámetros de flujo en una tobera con un flujo supuesto idealmente isentrópico, tomando como referencia ciertas condicio-nes de estancamiento. Sin embargo en la realidad no se pueden evitar los efectos de la fricción que ocurren entre el fluido y las paredes de la tobera y entre las propias capas del fluido, que se traducen en una pérdida de energía que hacen que el proceso sea irreversible pero adiabático lo que impiden que la tobera opere de la manera prevista durante el diseño, aun cuando las condiciones de operación sean las mismas que se establecieron en el diseño y por lo tanto, habrá una diferencia entre el proceso en condiciones ideales y el proceso en condiciones reales relacionada con la eficiencia. Afortunadamente este efecto es numéricamente pequeño, en la mayoría de los casos, por lo que las desviaciones son mínimas respecto del análisis isentrópico.



36

En general, se puede decir que para determinar la eficiencia de una tobera se compara el desempeño real bajo condiciones definidas, con el desempeño que alcanzaría en condiciones ideales. Una manera de evaluar esta eficiencia es por medio de la relación que existe entre la ganancia de energía cinética debida a la caída de entalpía en condiciones reales y la ganancia de energía cinética debida a la caída de entalpía en condiciones ideales. A continuación se explica la acción de la fricción a partir de la primera ley de la termodinámica. Primera ley de la termodinámica

0 = H + K (1)

22

2

1

2

221

vvhh (2)

La ecuación 2 muestra que en ausencia de transferencia de calor6, la fricción tiende a incremen-tar la temperatura T2 y por consiguiente la entalpía h2 y con un mayor valor de h2, es necesario que V2 disminuya para equilibrar la igualdad, esto se aprecia mejor en un diagrama T-s.

Como parámetro de medición de los efectos de la fricción en las toberas, se usa generalmente la denominada eficiencia de la boquilla, definida como la relación entre la energía cinética real a la salida de la tobera entre la energía cinética ideal durante una expansión isentrópica en las mismas condiciones de entrada y presión de salida.

isen

real

isen

real

hhV

V

V

V

)( 21

2

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Para V1

2/2 muy pequeña con relación a (h1-h2), se tiene:

6 Al estudiar la circulación de un fluido por una tobera, se supone que al ser un proceso muy rápido, éste es adiabático, por lo que

el fluido no intercambia calor con el medio exterior.

1

2

T1

T2

T21

p2

p1

T

s

1

2

21



37

isen

real

hh

V

)( 21

2

2

2

y para un gas ideal:

isenp

real

TTc

V

21

2

2

2

En un proceso ideal o isentrópico,

y en un proceso real,

entonces,

Como la velocidad de entrada a la tobera V1 es 0 o muy pequeña comparada con la velocidad a la salida V2 entonces puede decirse que:



38

1 2

Volumen de control con fricción en la capa límite

1 2

p1 p2

Diagrama de fuerzas actuantes sobre la superfi-

cie de control

m.Al=Rf

1.8 Flujo adiabático en conducto de sección constante con fricción.- línea de Fanno

Un diagrama de energía (entalpía-entropía o temperatura-entropía), nos ayudará a estudiar este proceso. Para este propósito hemos seleccionado el volumen de control que se muestra en la figura, al cual apicaremos las ecuaciones fundamentales del flujo y la ecuación de estado co-rrespondientes. Previamente planteamos las siguientes hipótesis:

i) Flujo permanente

ii) Flujo compresible

iii) Flujo adiabático

iv) Fricción en la capa límite (irreversible, efecto no isentrópico)

Bajo estas condiciones se tiene:

Ecuación de continuidad

.

.

cteVV

ctemAVAV

2211

2211

(1)


)()( 121121 VVAVRApp f (2)

Primera ley de la termodinámica

2

2

21

2

1

12

2

1

2

2

22

220

hV

hV

hhVV

m

)(

(3)

Ecuación de estado

h=(h(s,p) (4)

=(s,p) (5) Este conjunto de ecuaciones gobiernan el flujo adiabático permanente con fricción en un con-ducto de área constante. Conocidas las propie-dades del flujo en la sección 1 son conocidas, a

partir de este conjunto se pueden determinar las condiciones de flujo de la sección 2. Sin em-

bargo se tienen 6 incógnitas (p2,, 2, h2, V2, s2 y Rf) y sólo 5 ecuaciones, lo que matemáticamente indica un conjunto infinito de soluciones. Asumiendo un valor para una de las incógnitas de la sección 2, por ejemplo V2, se pueden calcular el resto de las incógnitas para un valor dado de R, y si volvemos a repetir el proceso obtendremos un conjunto de resultados para cada valor de V2, asumido. Ahora si representamos gráficamente los valores de h2, s2 se obtiene un curva que re-presenta este conjunto de soluciones, es decir el lugar geométrico de todos los estados posibles aguas abajo, esta curva se conoce como la línea de Fanno.

s

h

M<1

M>1

M=1

1

1´

Entalpía de estancamiento



39

VdVV

ddh

2

2

VdVdTc p

T

dTd

p

dp

RTp

Figura 1.8.3a. Volumen de control diferencial para el flujo en conductos de sección constante con fricción

y sin intercambio de calor

T

V

p

xdx

dTT

xdx

d

xdx

dvv

xdx

dpp

x

y

dx

Figura 1.8.3b.Fuerzas superficiales que actúan sobre el volumen de control diferencial.

x

y

dx

p dpp

lxf dAdF

Ecuaciones para la razón de las variables de estado en función de M del flujo de Fanno.

Para establecer las expresiones matemáticas que relacionan las propiedades de flujo con el número de Mach, consideremos el volumen de control de área constante A y longitud dx, mos-trado en la figura 1.8.3. En general las propiedades de flujo pueden variar en la dirección de flujo x

.

Aplicando a este modelo las tres ecuaciones fundamentales del flujo (leyes de conservación) se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:

Continuidad:

Cantidad de movimiento:

Energía:

Estas tres ecuaciones tienen 6 incógnitas (p, , T, h, V, Fr). Es necesario entonces complemen-tar nuestra formulación matemática, planteando ecuaciones adicionales:

Para un gas ideal:

Ecuación del gas ideal:

Además

82

1

222

22 VfV

Df

R

dx

dhR

dx

dpR fx

Entonces

dxD

AVfdx

D

AVfdxP

VfdAdF

hhmojadolxf

2

4

88

222

0v

dvd

1.8.6

1.8.7

1.8.8

VdVdA

dFdp r

1.8.9

1.8.109

1.8.12

1.8.11



40

D

dxf

M

MkkM

p

dp

)1(2

)1(12

22

V

dV

D

dxf

M

kMd

)1(2 2

2

D

dxf

M

Mkk

T

dT

)1(2

)1(2

4

D

dxf

kMd

p

dp

2

2

0

0

0

0

D

dxf

M

MkkM

M

Md

)1(2

)1(2)(2

22

2

2

Para resolver el sistema anterior en función del número de Mach y del coeficiente de fricción, es necesario escribir la siguiente relación a partir de la definición de número de Mach.

A partir de las ecuaciones se pueden obtener las siguientes relaciones útiles:

1.8.14

1.8.15

1.8.16

1.8.17

1.8.18

El factor (1-M2) que esta presente en el denominador de las ecuaciones (excepto en la ecuación 1.8.17) hace que los flujos subsónicos y supersónicos tienen efectos opuestos (de manera simi-lar a las ecuaciones de variación de área), los que se resumen en la siguiente tabla.

Propiedad Subsónico Supersónico

Disminuye Aumenta

p Disminuye Aumenta

T Disminuye Aumenta

V Aumenta Disminuye

0, p0 Disminuye Aumenta

M Aumenta Disminuye

Entropía Aumenta Disminuye

La ecuación 1.8.18 permite evaluar los cambios de M a lo largo del conducto, por lo que para tener una formula útil para el cálculo, se integrara esta ecuación diferencial, empleando como límites una sección genérica en la que el número de Mach es M y x igual a 0; y la sección en la que ocurren las condiciones sónicas donde como se sabe M igual a 1 y x es igual a Lmax (en estas condiciones se dice que el flujo esta estrangulado o bloqueado). Todos los flujos de la línea de Fanno tienden hacia M=1. El número de Mach alcanzará la unidad cuando para una longitud máxima (real o hipotética) del ducto, como se muestra en la figura 1.8.4. Entonces, separando variables e integrando la ecuación 1.8.18, entre los límites mencionados, tenemos:

kRTMV 22

T

dT

M

dM

V

dV

22 1.8.13



41

El factor de fricción, f, puede variar a lo largo del conducto, ya que el número de Reynolds varia-

rá con x, sin embargo, como V es constante (ecuación de continuidad) a lo largo del conducto, la variación de Reynolds es causada únicamente por las variaciones de la viscosidad del fluido. En la práctica siempre se considera un valor medio para f, y no se tienen en cuenta las peque-ñas variaciones del número de Reynolds a lo largo del conducto, de esta manera se tiene que:

1.8.19 Combinando adecuadamente el resto de las ecuaciones, se obtienen otras formulas útiles para las propiedades del flujo a lo largo del ducto, estas relaciones son: Razón de presiones

1.8.20 Razón de densidades:

1.8.21 Razón de temperaturas

1.8.22 Propiedades de estancamiento:

1.8.23 Estas razones se hallan tabuladas en función del número de Mach, para un gas ideal con k=1.4, en casi todos los textos de Mecánica de Fluidos (p.e Tabla E.2 Fox; tabla B.3. White).

max

0

21

24

2

)())1(2(

)1(2 L

M D

dxfMd

MkkM

M

hD

Lf

Mk

Mk

k

k

kM

M max2

2

2

2

)1(2

)1(ln

2

11

2)1(2

11

* Mk

k

Mp

p

1

)1(21*

*

2

k

Mk

MV

V

2

2

)1(2

1

** Mk

k

C

C

T

T

)1(2

1

2

*0

0*0

0

1

)1(21

k

k

k

Mk

Mp

p

M

Lmax

L1

M =1

X=0

M1

Figura 1.8.4.- Limites para el análisis del flujo en la línea de Fanno



42

Funciones de Flujo de la Línea de Fanno para flujo unidimensional. Gas ideal con k=1.4

M po/p0* T/T* p/p* V/V* fLmax/Dh M po/p0* T/T* p/p* V/V* fLmax/Dh

0.05 11.591 1.1994 21.903 0.0548 ###### 2.50 2.637 0.5333 0.292 1.8257 0.4320 0.10 5.822 1.1976 10.944 0.1094 66.9216 2.60 2.896 0.5102 0.275 1.8571 0.4526 0.20 2.964 1.1905 5.455 0.2182 14.5333 2.70 3.183 0.4882 0.259 1.8865 0.4718 0.30 2.035 1.1788 3.619 0.3257 5.2993 2.80 3.500 0.4673 0.244 1.9140 0.4898 0.40 1.590 1.1628 2.696 0.4313 2.3085 2.90 3.850 0.4474 0.231 1.9398 0.5065 0.50 1.340 1.1429 2.138 0.5345 1.0691 3.00 4.235 0.4286 0.218 1.9640 0.5222 0.60 1.188 1.1194 1.763 0.6348 0.4908 3.10 4.657 0.4107 0.207 1.9866 0.5368 0.70 1.094 1.0929 1.493 0.7318 0.2081 3.20 5.121 0.3937 0.196 2.0079 0.5504 0.80 1.038 1.0638 1.289 0.8251 0.0723 3.30 5.629 0.3776 0.186 2.0278 0.5632 0.90 1.009 1.0327 1.129 0.9146 0.0145 3.40 6.184 0.3623 0.177 2.0466 0.5752 1.00 1.000 1.0000 1.000 1.0000 0.0000 3.50 6.790 0.3478 0.169 2.0642 0.5864 1.10 1.008 0.9662 0.894 1.0812 0.0099 3.60 7.450 0.3341 0.161 2.0808 0.5970 1.20 1.030 0.9317 0.804 1.1583 0.0336 3.70 8.169 0.3210 0.153 2.0964 0.6068 1.30 1.066 0.8969 0.728 1.2311 0.0648 3.80 8.951 0.3086 0.146 2.1111 0.6161 1.40 1.115 0.8621 0.663 1.2999 0.0997 3.90 9.799 0.2969 0.140 2.1250 0.6248 1.50 1.176 0.8276 0.606 1.3646 0.1361 4.00 10.719 0.2857 0.134 2.1381 0.6331 1.60 1.250 0.7937 0.557 1.4254 0.1724 4.10 11.715 0.2751 0.128 2.1505 0.6408 1.70 1.338 0.7605 0.513 1.4825 0.2078 4.20 12.792 0.2650 0.123 2.1622 0.6481 1.80 1.439 0.7282 0.474 1.5360 0.2419 4.30 13.955 0.2554 0.118 2.1732 0.6550 1.90 1.555 0.6969 0.439 1.5861 0.2743 4.40 15.210 0.2463 0.113 2.1837 0.6615 2.00 1.688 0.6667 0.408 1.6330 0.3050 4.50 16.562 0.2376 0.108 2.1936 0.6676 2.10 1.837 0.6376 0.380 1.6769 0.3339 4.60 18.018 0.2294 0.104 2.2030 0.6734 2.20 2.005 0.6098 0.355 1.7179 0.3609 4.70 19.583 0.2215 0.100 2.2119 0.6790 2.30 2.193 0.5831 0.332 1.7563 0.3862 4.80 21.264 0.2140 0.096 2.2204 0.6842 2.40 2.403 0.5576 0.311 1.7922 0.4099 4.90 23.067 0.2068 0.093 2.2284 0.6891

5.00 25.000 0.2000 0.089 2.2361 0.6938

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

0 1 2 3 4 5

Número de Mach

*0

0

p

p

*T

T

*V

V

hD

fLmax

*p

p



43

18 psia= p1

20 pies

4 pies

6 pies

pamb. = 14 psia

1 2 p2= pamb. = 14.7 psia

=0.0001

Ejemplo 10. Un ducto de área constante opera en una condición estrangulada. La sección transversal es rectangular, con los lados de 6pies y 4 pies, y su superficie tiene una rugosidad relativa de 0.0001. A 20 pies del extremo del ducto, la presión absoluta es 18 psi. Si no existe transferencia de calor a través de las paredes, determine el número de Mach y el de Reynolds en esta sección para un flujo de aire. La presión ambiente de los alrededores, que es 14.7 psia. DATOS DEL PROBLEMA

k 1.4

R 53.3 lbf.pie/lbm.R

como mejor aproximación

M1 0.838Nos quedamos con,

M 0.838( ) 0.838

M 0.841( ) 0.838

M 0.817( ) 0.841

Comenzando con un valor arbitrario para M1, por ejemplo M1=1,

sustituyendo este valor en la función anterior calculamos un nuevo valor

para M1, y así sucesivamente obtenemos una mejor aproximación.

M 1( ) 0.817

M M1( )1

1.224

k 1

2

1k 1

2

M12

1

2

Esta ecuación debe ser resuleta para M2, sin embargo no tiene soloción analítica pues es una ecuación

cúbica, por el lo se empleará un método numérico (aproximaciones sucesivas o prueba y error, para ello

preparamos la ecuación del siguiente modo:

1

M1

k 1

2

1k 1

2

M12

1

2

p1/p* =

18

14.71.224p1/p* =

como la presíon crítica es constante, se puede usar este valor como referencia para calcular el número de

Mach en la sección 1, usando para ello las ecuaciones derivadas en la clase teórica (línea de Fanno).

p2p*=

Como el flujo esta estrangulado, el número de Mach en la sección 2 es M2=1, entonces la presión crítica

sera igual a la presíon de salida p2.



44

fDf Re

.

.log

512

732

1

Re 3.4 106

Re

2.51

f

10

1

2 f

3.7 D

o tambien mediante la fórmula de Colebrook (base del ábaco de Moody)

Entonces con f=0.0105 y =0.0001, se puede obtener el número de Reynolds,del diagrama de Moody.

f 0.0105f 0.061

D

k L

entonces :

D 4.800D 4

a b( )

2 a b( )

donde el diametro equivalente D se puede calcular, del siguiente modo:

k 1

2ln

k 1( ) M12

2 1k 1

2

M12

1

M12

1

0.061=f k L

D

El número de Reynolds en la sección 1, se puede calcular de manera aproximada, a partir del diagrama de

Moody. Para ello es necesario estimar el valor del coeficiente de fricción a partir de la ecuación:

En todo caso el valor hallado para M1= 0.838 es una mejor aproximación.

M1 = 0.84 para p/p* = 1.22

se obtiene de la tabla B.7 (l ínea de Fanno) página 810 Shames.

18

14.71.224p1/p* =

Otra manera de obtener un valor aproximado para M!, es mediante valores tabulados para la l ínea de Fanno,

asi para la relación:



45

1 2

p01=100 psia

T0=500 R

M1=0.70 A=1 pie2

T1=?

p1=?

p02=?

T0=500 R

M2=1

T2=?

p2=?

1 2

p1

m.Al=Rf

p2

Diagrama de fuerzas actuantes sobre la superficie de control

A partir de las condiciones de estancamiento e la seccción 1, se calculan T 1 y p1:

T1To

1k 1

2

M12

T1 455.4 R

p1po1

1k 1

2

M12

k

k 1

p1 72.1 psia

Ejemplo 11. Considere un flujo adiabático de aire en una tubería de área constante con fricción. En una sección de la tubería, p0=100 psia, T0, 500 R y M=0.70. Si el área de la sección trans-versal es 1 pie2 y el numero de Mach en la salida es M2=1, encuentre la fuerza de fricción ejer-cida sobre el fluido por la tubería. DATOS DISPONIBLES

Otros datos:

k 1.4

R 53.3 lbf.pie/lbm.R De la ecuación de cantidad de movimiento se tiene:

AV

VVppR

AppVVVR

f

f

)()(

)()(

11

22

1121

211211

(1)

Además sabemos que: kRTMMcV entonces:

1

2

1

2

11

22

1

2

T

T

M

M

kRTM

kRTM

V

V (2)

Sustituyendo (2) en (1), se obtiene:

AT

T

M

MkRTMppR f

)()( 1

1

2

1

21

2

1121 (3)

Esta última ecuación nos muestra que es necesario calcular previamente los siguientes paráme-

tros de estado en las secciones 1 y 2: 22111 TpTp ,,,,



46

La densidad 1 se puede calcular a partir de la ecuación de los gases ideales:

lbm

pie31

p1 144

R T1 1 0.428

En la sección de flujo 2, con To y M2 se calcula T2,:

T2To

1k 1

2

M22

T2 416.7 R

De la ecuación de continuidad: 2211 VV , combinando con (2) se tiene:

2

1

2

1

2

1

1

2

T

T

M

M

V

V

(4)

De la ecuación de continuidad: 2211 VV , combinando con (2) se tiene:

2

1

2

1

2

1

1

2

T

T

M

M

V

V

entonces la densidad 2 sera:

2 1M1

M2

T1

T2 2 0.313

lbm

pie3

La presión p2 se puede calcular a partir de la ecuación de los gases ideales:

p22 R T2

144

p2 48.3 psia

Sustituyend estos valores en la ecuación (3) se tiene

Rf p1 p2( ) 144 1 M12

k R T1M2

M1

T2

T1 1

A

Rf 820.0 lbf



47

1 2

Volumen de control

m

Q

1 2

p1 p2

Diagrama de fuerzas actuantes sobre la superfi-

cie de control

T1

p1

1

h1

s1

V1

T2

p2

2

h2

s2

V2

1.9 FLUJO PERMANENTE SIN FRICCION EN UN DUCTO DE AREA CONSTANTE CON IN-TERCAMBIO DE CALOR.- Línea de Rayleigh Estudiamos ahora el flujo compresible a lo largo de un conducto de sección constante conside-rando el intercambio de calor pero sin considerar los efectos de la fricción. Para ello al igual que el caso anterior comenzamos escribiendo las ecuaciones fundamentales del flujo fluido al volu-men de control presentado esquemáticamente en la figura.

Ecuación de continuidad

.

.

cteVV

ctemAVAV

2211

2211

(1)


)()(

)()(

121121

121121

VVVpp

VVAVApp

(2)

Primera ley de la termodinámica

0102

1

2

12

2

2

12

2

1

2

2

22

22

hhm

Q

hV

hV

m

Q

hhVV

mt

Q

)(

(3)

Ecuaciones de estado

h=h(s, ) (4)

=(s, p) (5) Este sistema de ecuaciones, al igual que en el caso anterior, presenta infinitas soluciones. De manera análoga para un conjunto dado de con-diciones iniciales, sección 1; se buscan los posi-bles estados que pueden alcanzarse en la sec-ción 2 para diferentes variaciones del calenta-miento. Podemos nuevamente asumir valores para V2, a partir de lo cual calculamos el resto de los parámetros de estado en la sección 2, me-diante una combinación adecuada de sistema de ecuaciones planteado. El lugar geométrico de los estados posibles agua abajo representados en el diagrama h-s, se conoce como línea de Rayleigh.

s

h

M<1

M>1

M=1

1

k

M=

Enfriamiento E

Enfriamiento E

Calentamiento

Calentamiento



48

1.9.1 Relaciones matemáticas para el cálculo del flujo de la línea de Rayleigh de un gas ideal A partir de la ecuaciones fundamentales de flujo, planteadas anteriormente, es posible estable-cer ecuaciones algebraicas útiles para relacionar las variables de estado de dos secciones de flujo en términos del número de Mach, tomando como referencia la condición crítica donde el número de Mach es M=1. Relación de presiones. De la ecuación de cantidad de movimiento,

kMppkMpp

kMpkMppp

RTpkMRTkMRTpp

kRTMkRTMpp

VVpp

VVVVVVVpp

2

222

2

111

2

11

2

2221

2

111

2

22221

1

2

112

2

2221

2

11

2

2221

111222121121

;

)(

2

1

2

2

2

1

1

1

kM

kM

p

p

(1)

Relación de temperaturas. A partir de la ecuación anterior (1) y de la ecuación de los gasee ideales, se puede obtener,

2

1

2

2

22

11

1

1

kM

kM

T

T

(2a)

De la ecuación de continuidad,

1

2

1

2

11

22

11

22

1

2

2

1

2211

T

T

M

M

kRTM

kRTM

cM

cM

V

V

VV

(2b)

Combinado estas dos últimas ecuaciones, tenemos,

2

1

2

2

2

1

1

2

1

2

1

1

kM

kM

T

T

T

T

M

M

2

2

1

2

2

2

1

2

1

1

1

kM

kM

M

M

T

T (2)



49

Relación de densidades. Combinado la ecuación (2) con la ecuación (2b), se tine

2

1

2

2

2

1

1

1

kM

kM

(3)

Para simplificar el cálculo, conviene relacionar los parámetros de flujo de una sección cualquie-ra del ducto, con los de una sección del ducto en la que, hipotéticamente, se alcanzan las con-diciones sónicas es decir las condiciones críticas M=1. Para ello reemplazamos M2=1 en las tres relaciones anteriores y suprimimos también el subíndice 1 para hacer referencia a una sección de flujo cualquiera.

21

1

kM

k

p

p

*

2

21

1

kM

kM

T

T

*

kM

kM

1

1

* 2

2

2

2

1

1

* kM

kM

V

V

De manera similar se obtiene relaciones para la presión y temperatura de estancamiento:

12

2* 1

)1(2

1

1

k

k

o

o

k

Mk

kM

k

p

p

22

22

*1

)1(2)1(

kM

MkMk

T

T

o

o

En base a estas relaciones matemáticas, se han elaborado tablas, en las que se tabulan los valores de las relaciones para diferentes valores de M, y con k=1.4. El la figura de la siguiente página se muestra un resumen de estos datos, elaborados en base a este conjunto de relacio-nes matemáticas. Tablas más completas están disponibles en los textos de mecánica de fluidos y termodinámica.

*

*

V

V

Observa que … ……



50

Funciones de flujo de Rayleigh para un gas ideal con k=1.4 Flujo unidimensional

M1 To/To* po/po* T/T* p/p* V/V*

0.00 0.0000 1.2679 0.0000 2.4000 0.0000

0.10 0.0468 1.2591 0.0560 2.3669 0.0237

0.20 0.1736 1.2346 0.2066 2.2727 0.0909

0.30 0.3469 1.1985 0.4089 2.1314 0.1918

0.40 0.5290 1.1566 0.6151 1.9608 0.3137

0.50 0.6914 1.1141 0.7901 1.7778 0.4444

0.60 0.8189 1.0753 0.9167 1.5957 0.5745

0.70 0.9085 1.0431 0.9929 1.4235 0.6975

0.80 0.9639 1.0193 1.0255 1.2658 0.8101

0.90 0.9921 1.0049 1.0245 1.1246 0.9110

1.00 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

1.10 0.9939 1.0049 0.9603 0.8909 1.0780

1.20 0.9787 1.0194 0.9118 0.7958 1.1459

1.30 0.9580 1.0437 0.8592 0.7130 1.2050

1.40 0.9343 1.0777 0.8054 0.6410 1.2564

1.50 0.9093 1.1215 0.7525 0.5783 1.3012

M1 To/To* po/po* T/T* p/p* V/V*

1.60 0.8842 1.1756 0.7017 0.5236 1.3403

1.70 0.8597 1.2402 0.6538 0.4756 1.3746

1.80 0.8363 1.3159 0.6089 0.4335 1.4046

1.90 0.8141 1.4033 0.5673 0.3964 1.4311

2.00 0.7934 1.5031 0.5289 0.3636 1.4545

2.10 0.7741 1.6162 0.4936 0.3345 1.4753

2.20 0.7561 1.7434 0.4611 0.3086 1.4938

2.30 0.7395 1.8860 0.4312 0.2855 1.5103

2.40 0.7242 2.0451 0.4038 0.2648 1.5252

2.50 0.7101 2.2218 0.3787 0.2462 1.5385

2.60 0.6970 2.4177 0.3556 0.2294 1.5505

2.70 0.6849 2.6343 0.3344 0.2142 1.5613

2.80 0.6738 2.8731 0.3149 0.2004 1.5711

2.90 0.6635 3.1359 0.2969 0.1879 1.5801

3.00 0.6540 3.4245 0.2803 0.1765 1.5882

Diagramas para las funciones de f lujo de Rayleigh

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

Número e Mach M

Funcio

nes d

e flu

jo d

e R

ayle

igh.

*0

0

p

p

*T

T

*V

V

*p

p

*0

0

T

T



51

1 2

p1 p2

Volumen de Control

T1= 50 oC

1=2.16 kg/m3

M1=0.30

2 = 0.721 kg/m3

M2 = 0.60

S = ?

cp=1.005 kJ/kg.K

R= 0.287 kJ/kg K

q=?

Ejemplo 12. Fluye aire sin fricción por un corto ducto de área constante. A la entrada del ducto

M1=0.3, T1=50 C y 1=2.16 kg/m3. Como resultado del calentamiento, el número de Mach y la

densidad del tubo son M2=0.60 y 2=0.721 kg/m3. Determine la adición de calor por unidad de masa y el cambio de entropía en el proceso.

DATOS E INCOGNITAS DEL PROBLEMA

Estrategia: Con los datos de la sección 1, po-

demos calcular, las condiciones críticas (es-

trangulamiento), con estos datos luego calcula-

mos las condiciones de estado en la sección de

flujo 2. Además en cada sección determinamos

la temperatura de estancamiento, a partir de

estos valores las respectivas entalpías de es-

tancamiento, luego con la ecuación de energía

determinamos el flujo de calor por unidad de

masas. (Los cálculos los implementamos en el

MATCAD).

K T02

776.3T02

948 0.8189

luego la temperatura de estancamiento en 2 será:

para M2= 0.6 de la misma tabla se obtiene To/T o* = 0.8189

K T01

328.9T01

948 0.3469

entonces la temperatura de estancamiento en 1, es:

de la mencionada tabla se tiene: T o/To* = 0.3469 M1 0.30

para

Ahora con estos datos y haciendo uso de tablas (tabla E.3 Fox), determ inamos la temperatura de

estancamiento en cada una de las secciones de flujo que se consideran.

790 1k 1( )

2

948.000To*=

K T1

1 k M12

M1 1 k( )

2

790.0T*=

kPa p1

1 k M12

1 k 93.9p*=

kPa p1

200.2p1

1 R T1

Primero cálculamoso de la presión en la sección 1, a partir de la ecuación de los gases ideales.



52

kJ/kgKcp ln724.2

323

R ln149.9

200.2

0.895s=

entoces el incremeto de la entropia sera:

kPa p2

149.9p2

2 R T2

La presión en la seción 2 se puede calcular a mediante la ecuación de los gases ideales:

K 790.0M2 1 k( )

1 k M22

2

724.2T2=

La temperatura en la sección 2 se puede calcular a partir de la temperatura crítica (estrangulamiento).

s cp ln

T2

T1

R ln

p2

p1

p2

s2 - s1=

Integrando, parr cp=cte . tenemos:ds cp

dT

T R

dp

p

de donde, para el caso de un gas ideal podemos escribir:

Tds = dh -vdp

Para calcular el cambio de entropia, partimos de la ecuación:

kJ/kgq 450.1q cp T02

T01

q h02

h01

h

Entonces el calor añadido,calculado a partir de la ecuación de energia con cp constante es:



53

1 2

p1 p2

Volumen de Control

T1= 40 oC

p1=124.1 kPa

V1=30 m/s

T2 = ?

M2 = ?

V2 = ?

cp=1.005 kJ/kg.K

R= 0.287 kJ/kg K

q=465.18 kJ/kg

Ejemplo 13. Un ducto de área constante conduce una mezcla de aire y combustible. A la entra-da del ducto la mezcla tiene una velocidad de 30m/s, una temperatura de 40 oC y una presión absoluta de 124.100 Pa. Si el calor de reacción de la mezcla es 465.180 J/kg. ¿cuáles son el número de Mach de salida, la temperatura y la velocidad del flujo? Se supone que el calor es-pecífico y la constante de gas R de los reactantes y los productos de la combustión son iguales a los del aire. Suponga que cp =1.005 J/kg.K para los cálculos. La tubería se encuentra aislada térmicamente.

DATOS E INCOGNITAS DEL PROBLEMA

En la figura se ilustran los datos disponibles,

para la resolución del problema planteado. Un

comentario particular merece el “calor añadido”, en este caso el tubo esta aislado sin embargo el

calor añadido al sistema proviene del combustible

que es aportado desde el exterior al flujo pues

se trata de un combustor, en consecuencia pode-

mos aplicar en este caso el conjunto de ecuacio-

nes planteado en esta sección (flujo con transfe-rencia de calor y sin fricción en un ducto de sec-ción constante).

A partir de la ecuación de energía (primera ley de la termodinámica), podemos calcular la tem-peratura de estancamiento en la sección 2 del conducto, T02; para ello esta ecuación se puede escribir así:

)( 010201021

2

12

2

2

22TTcphhh

Vh

V

m

Q

A partir de esta temperatura, la temperatura de estrangulamiento y el número de Mach en la sección 1 se pueden calcular las condiciones de flujo en la sección 2. (Los cálculos los imple-mentamos en el MATCAD)

1- Cálculo de las temperaturas de estancamiento en las secciones 1 y 2:

M1

V1

k R 1000 T1

M1 0.085

a partir de este valor calculamos la temperatura de estancamiento en la sección 1,

T01

T1

1k 1

2

M1 2

T

01313.448 K

con este dato y a partir de la primera ley de la termodinamica se calcula la temperatura de

estancamiento en la seción 2:

T02

T01

q

cp

T02

776.31 K



54

M2

0.135de donde podemos asumir

0.125 0.13 0.1350.07

0.08

0.09

f M( )

0.083

M

f M( )

0.078

0.079

0.080

0.081

0.082

0.083

0.085

0.086

0.087

0.088

0.089

M

0.130

0.131

0.132

0.133

0.134

0.135

0.136

0.137

0.138

0.139

0.140

M 0.13 0.131 0.14f M( )

2 k 1( ) M( )2

1k 1

2

M( )2

1 k M( )2

2

se opta por un método de aproximación sucesiva, los resultados se muestran a continuaciçon:

2 k 1( ) M2

2 1

k 1

2

M2

2

1 k M2

2

20.083 =

para una mejor aproximación se puede obtener M2 directamente partir de la ecuación:

K T2

830.042

T2

0.1070 7757.4

De la tabla E.3 (Fox) para T o/To*=0.08947; se tiene M=0.14 ; T/T* =0.1070, con estos datos podemos

calcular la temperatura en la sección 2

776.31

9308.90.083To2/T o*=

3 cálculo de la temperatura de estancamiento en la sección 2: (por formula o mediante tabla)

7757.4 1k 1( )

2

9308.9To*=

K T1

1 k M12

M1 1 k( )

2

7757.4T*=

2 Cálculo de la temperatura y la temperatura de estancamiento en condiciones de

estrangulamiento.

T02

776.31T

02T

01

q

cp



55

kPa p2

122.2kPa p2

2.340 52.23

1 k

1 k M2

2

2.340p2/p*=

luego con esta presión y el número de Mach de la sección 2, calculamos la presión en la

sección 2, mediante la ecuación:

kPa p1

1 k M12

1 k 52.23p*=

primero calculamos la presión crítica con datos de la sección 1:

También podemos calcular la presión en la sección de salida:

m/sV2

75.300

V2

M2

k R 1000 T2

La velocidad también se puede calcular a partir de M2.

(501.3 C)K 7757.4

M2

1 k( )

1 k M2

2

2

774.3T2 =

A partir de este valor para M2=0.135 y de la temperatura crítica (estrangulamiento),

calculamos la temperatura T2,



56

1.10 Ondas de Choque Normales.

Se ha visto que las ondas de propagación de sonido se deben a cambios de pre-sión infinitesimales, y a que éstas viajan a través del medio a la velocidad del s o-nido. También se ha visto que para algunos valores de contrapresión ocurren cambios abruptos en las propiedades de los fluidos en una sección muy delgada de una tobera convergente-divergente en condiciones de flujo supersónico y crean una onda de choque. En esta sección se estudia las condiciones en las cuales se forman las ondas de choque que ocurren en un

plano normal a la dirección de flujo, denominadas ondas de choque normales. Como ya se mencionó el f lujo a través de una onda de choque es fuertemente irreversible y no puede aproximarse a un proceso de flujo isentrópico.

Para analizar los cambios en las propiedades del f lujo, cuando el f lujo atraviesa una onda de choque normal, seleccionaremos un volumen de control muy delgado, de espesor suficiente para encerrar a la onda7, como se muestra en la f igura 1.7.1, y plantearemos las ecuaciones fundamentales del f lujo f luido, considerando flujo permanente y unidimensional. Ecuaciones básicas de de flujo:

Conservación de masa De la ecuación de continuidad se tiene: como, se tiene:

1.7.1 Conservación de cantidad de movimiento. De la ecuación de cantidad de movimiento, considerando sola-mente las fuerzas debidas a la presion a la entrada y salida del volumen de control, y menospre-ciando las fuerzas en la superf i-cie lateral del V.C. (por ser esta cara muy delgada), se tiene:

1.7.2 Conservación de energía A partir de la segunda ley de la termodinámica, para flujo adiabático, se puede escribir:

1.7.3

7 Las ondas de choque normales son extremadamente delgadas, (unas micras de espesor), de tal manera

que las áreas de flujo entrante y saliente del volumen de control son prácticamente iguales.

0201

02

22

1

21

12

21

22

22

)22

(0

hh

hhV

hV

hhVV

m

M1>1

1

2

p2

h2

2

V2

s2

p1

h1

1

V1

s1

Figura 1.7.1. Flujo a través de una onda de choque normal.- volumen de control alrededor de la onda de choque

A1 A2

Volumen de control de espesor muy delgado

Onda de choque

M2<1

ctemAVAV .

222111

21 AA

.

2211 cteVV

)()(

)()(

121121

12211121

VVVpp

VVAVApp



57

Incremento de entropía: Según lo indica la segunda ley de la termodinámica: s2>s1 1.7.4

Ecuaciones de estado

h=h(s,) 1.7.5

=(s,p) 1.7.6 Este conjunto de ecuaciones son las que rigen el flujo de un gas a través de una onda de cho-que normal. Si todas las propiedades en el estado 1 se conocen, entonces tenemos la situación de seis ecuaciones con seis incógnitas. Por tanto, si se conocen todas las condiciones de esta-do inmediatamente delante de la onda de choque, matemáticamente que hay un único estado posible inmediatamente después de la onda de choque (seis ecuaciones y seis incógnitas). Auque debido al término cuadrático de la velocidad, existen dos soluciones matemáticas, pero solo es válida aquella en que s2 – s1 >0, como exige la segunda ley de la termodinámica. La ecuaciones de continuidad 1.7.1 y energía 1.7.2, pueden combinarse en una sola ecuación y graficar en un diagrama h-s, utilizando además las ecuaciones de estado 1.7.5 y 1.7.6. La curva resultante es la línea de Fanno, y a lo largo de esta curva se localizan los estados que tienen el

mismo valor de entalpía de estancamiento (h0) y flujo de masa por unidad de área (V). Del mimo modo, combinando las ecuaciones 1.7.1 (conserva-ción de la masa) y 1.7.4 (conservación de cantidad de movimiento) en una sola ecuación y graficarla en un diagrama h-s se obtiene la línea de Rayleigh, estas curvas se muestran en la figura 1.7.2.Las lineas de Fanno y de Rayleigh se in-terceptan en dos puntos que representan los dos estados donde las tres ecuaciones de conservación se satisfacen. El punto 1 corresponde al estado antes del choque, y el punto 2 corresponde al esta-do después del choque. Se observa que el flujo es su-persónico antes del choque y subsónico después. Es decir que, el flujo a través de una onda de choque normal im-plica un cambio de velocidad de supersónica a subsónica. Cuanto mayor sea el número de Mach antes del choque, mas fuerte será el choque.

En el caso limite M igual a 1, la onda de choque simplemente se convierte en una onda de pro-pagación del sonido. También se observa en la figura 1.7.2 que la entropía aumenta, lo que era previsible porque el flujo a través de una onda de choque es adiabático pero irreversible.

s

M < 1

M > 1

M=1

Línea de Rayleigh ONDA DE

CHOQUE

Calentamiento

Línea de Fanno

M=1

1

2

Figura 1.7.2 Diagrama h-s para el flujo a través de una onda de choque normal. Observe la intersección de las líneas de Fanno y Rayleigh como una solución de las ecuaciones de

onda de choque normal.

h01 = h02

s1 s2

h2

h1

s2 – s1

p01 p02

h



58

12

1

12

1

22

21

1

2

Mk

Mk

T

T

RT

p

El principio de conservación de energía (Ec. 1.7.3) exige que la entalpía de estancamiento per-manezca constante durante el choque. Como h=f(T), para gases ideales, entonces la tempera-tura de estancamiento también permanece constante durante el choque para un gas ideal.

T01 = T02 1.7.3a Sin embargo, se observa que la presión de estancamiento disminuye durante el choque debido a las irreversibilidades, en tanto que la temperatura estática aumenta fuertemente debido a la conversión de energía cinética en entalpía lo que provoca una gran caída de la velocidad del fluido. 1.7.1 Ecuaciones para el cálculo de ondas de choque normales en un gas ideal.

Como ya se explico anteriormente, el sistema de ecuaciones fundamentales para el flujo a tra-vés de una onda de choque normal establecen que para una condición de estado dada delante de una onda hay un único estado posible inmediatamente después de la onda. Se plantean ahora expresiones matemáticas para las relaciones entre las propiedades de flujo antes y des-pués del choque para un gas ideal con calores específicos constantes, en términos de M1 in-mediatamente antes de la onda de choque.

Ecuaciones de estado para un gas ideal.

1.7.6a

h=h2 – h1 = cp(T2 – T1) 1.7.5a

Incremento de entropía en el choque Para fines de cálculo del cambio de entropía real a través de la onda de choque, para el caso de un gas ideal con calores específicos constantes, se puede usar la siguiente ecuación.

1

2

1

212 lnln

p

pR

T

Tcss p > 0 1.7.4a

Relación que puede expresarse en términos del número de Mach, al sustituir las relaciones de temperatura y presión por sus expresiones en términos de M, mismas que se desarrollan a con-tinuación:

Ecuación para la razón de temperaturas. Una ecuación para la razón de temperaturas puede obtenerse a partir de la ecuación:

12

1 2

Mk

T

To

La misma que se aplica a la entrada y la salida el volumen de control.

Antes de la onda de choque 12

1 21

1

01

Mk

T

T

Después de la onda de choque 12

1 22

2

02

Mk

T

T

dividiendo miembro a miembro las dos últimas expresiones, y recordando que T01=T02, la razón de temperaturas puede expresarse como:

1.7.7



59

12

1

12

1

21

22

2

1

1

2

Mk

Mk

M

M

Relación para la razón de densidades. A partir de la ecuación 1.7.7 y de continuidad, 1.7.1 se puede obtener una relación para la ra-zón de densidades:

y recordando que MkRTcMV , se tiene que:

Luego combinado con la ecuación 1.7.7 (relación de temperaturas), se tiene finalmente:

1.7.8

Ecuación para la razón de presiones. Una expresión para la razón e presiones se puede obtener a partir de la ecuación de estado del gas ideal 1.7.6a. Así: Antes de la onda de choque 111 RTp

Después de la onda de choque 222 RTp

y reemplazando las razones de densidad y temperatura en la última relación, se tiene que:

1.7.9a

Al ser esta ecuación (1.7.9a) una combinación de las ecuaciones de energía y continuidad, re-sulta ser la ecuación de la línea de Fanno para un gas ideal con calores específicos constantes. Es posible también obtener una relación para la razón de presiones, combinando las ecuacio-nes de cantidad de movimiento y de continuidad la ecuación resultante (1.7.9b) será la ecua-ción para la línea de Rayleigh. De la ecuación de cantidad de movimiento se tiene que:

Ademas, Así entonces Finalmente,

1.7.9b

De la combinación de las ecuaciones 1.7.9a y 1.7.9b se obtiene una ecuación explicita para M2, en función de M1:

1.7.10

2

1

1

22211

V

VVV

2

1

2

1

1

2

22

11

1

2T

T

M

M

kRTM

kRTM

1

2

1

2

1

2

T

T

p

p

21

1

122

2

2122222121121 )( V

RT

pV

RT

pVVVVVVVpp

1

1

22

21

1

2

kM

kM

p

p

kMpkMpkRTMRT

pkRTM

RT

ppp 2

112221

21

1

12

22

2

221

)1()1( 211

222 kMpkMp

11

2

1

2

21

21

2

k

kM

kM

M

12

1

12

1

22

21

2

1

1

2

2

1

1

2

Mk

Mk

M

M

T

T

M

M

p

p



60

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

Número de Mach antes de la onda de choque M1

Funcio

nes d

e o

nda d

e c

hoque n

orm

al

La ecuación 1.7.10 representa la intersección de las líneas de Fanno y Rayleigh y relaciona los números de Mach antes y después de la onda de choque normal.

Ecuación para la razón de presiones de estancamiento. La razón de presiones de estancamiento se puede evaluar mediante la siguiente relación:

1

21

22

1

2

01

02

12

1

12

1

k

k

Mk

Mk

p

p

p

p

Las razones de presión, temperatura, etc. para flujo a través de una onda de choque normal para flujo de un gas ideal, se encuentran tabuladas, tablas que se encuentran en la mayoría e los textos de mecánica de fluidos y termodinámica (p.e. Tabla E.4; Fox, funciones de flujo de onda de choque normal.- flujo unidimensional, gas ideal). En la figura 1.7.3, se muestra, a ma-nera de ejemplo, una tabla resumida y las curvas de las funciones de onda de choque normal para un gas ideal. Las ondas de choque no se presentan solo en las toberas supersónicas. Este fenómeno tam-bién se presenta en la entrada del motor de un avión supersónico, por ejemplo.

Figura 1.7.3 Funciones de onda de choque normal para un gas ideal con k=1.4 Flujo unidimensional

M1 M2 T2/T1 2/1 p2/p1 p02/p01

1.00 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

1.10 0.9118 1.0649 1.1691 1.2450 0.9989

1.20 0.8422 1.1280 1.3416 1.5133 0.9928

1.30 0.7860 1.1909 1.5157 1.8050 0.9794

1.40 0.7397 1.2547 1.6897 2.1200 0.9582

1.50 0.7011 1.3202 1.8621 2.4583 0.9298

1.60 0.6684 1.3880 2.0317 2.8200 0.8952

1.70 0.6405 1.4583 2.1977 3.2050 0.8557

1.80 0.6165 1.5316 2.3592 3.6133 0.8127

1.90 0.5956 1.6079 2.5157 4.0450 0.7674

2.00 0.5774 1.6875 2.6667 4.5000 0.7209

2.10 0.5613 1.7705 2.8119 4.9783 0.6742

2.20 0.5471 1.8569 2.9512 5.4800 0.6281

2.30 0.5344 1.9468 3.0845 6.0050 0.5833

2.40 0.5231 2.0403 3.2119 6.5533 0.5401

2.50 0.5130 2.1375 3.3333 7.1250 0.4990

2.60 0.5039 2.2383 3.4490 7.7200 0.4601

2.70 0.4956 2.3429 3.5590 8.3383 0.4236

2.80 0.4882 2.4512 3.6636 8.9800 0.3895

2.90 0.4814 2.5632 3.7629 9.6450 0.3577

2.10 0.5613 1.7705 2.8119 4.9783 0.6742

3.00 0.4752 2.6790 3.8571 10.3333 0.3283

p2/p1

2/1

T2/T1

02/01

M2



61

Ejemplo 14 Entra aire en un tobera convergente-divergente de un túnel de viento supersónico a 1 MPa y 300 K con una velocidad pequeña. Si ocurre un choque normal en el plano de salida de la tobera a M=2, determine: presión, temperatura, número de Mach, velocidad y presión de es-tancamiento después de la onda de choque.

RESOLUCION

Interpretamos el problema planteado en el esquema mostrado en la figura.

De la teoría sabemos que debido a la onda de choque el flujo pasara de ser supersónico antes del choque a subsónico después de la onda de choque, además se puede considerar hipotéti-camente que el flujo a través de la onda de choque es adiabático (T01=T02) y sin fricción. Bajo estas consideraciones y a partir de los datos conocidos antes del choque (M1, p1 y T1), se pueden calcular estas mismas variables termodinámicas después de la onda de choque usando las relaciones matemáticas entre estas variables: El número de Mach M2 se puede calcular a partir del número de Mach M1 a partir de la ecuación (1.7.10) Con M2, conocido y recordando que T02 = T01, podemos calcular T2, a partir de la relación de temperaturas estática y de estancamiento, Pero analicemos previamente T01. Como se menciona que el flujo entra a la tobera con una velocidad pequeña podemos suponer que la presión y temperatura a la entrada de la tobera son condiciones de estancamiento y como el flujo en la tobera se considera isentrópico estas pro-piedades no cambiaran, a lo largo de la tobera, salvo la presión de estancamiento luego del choque, entonces: T02=T01=300K y P01=1 MPa. La temperatura T2 será;

K

Mk

TTM

k

T

T oo 281

1577.02

14.1

300

12

11

2

1

22

2

22

2

2

2

2

Con M2 y T2 conocidos, la velocidad se calcula mediante la definición de número de Mach y la ecuación de velocidad del sonido para gases ideales. La presión de estancamiento, se puede calcular a partir de la presión estática, y del número de Mach, para ello, calculamos primero la presión estática, usando la relación 1.7.9a o(1.7.9b), por simplicidad usamos la segunda relación

1 2

Choque

577,0

114.1

4.122

14.1

22

11

2

1

2

2

2

2

1

2

1

2

k

kM

kM

M

smkRTMcMV /1942812874.1577,022222

V≈0 P0=1 MPa T0=300K



62

La presión p1 se puede calcular a partir de M1, y la presión de estancamiento p01

MPa

Mk

ppM

k

p

p

k

k

ok

k

o 129.0

122

14.1

1

12

1

12

1

14.1

4.1

212

1

1

1

12

1

1

1

luego la presión p2 será igual a; Ahora con la presión p2 y el número de Mach M2 conocidos, como ya se mencionó, calculamos la presión de estancamiento p02 después de la onda de choque

MPap

Mk

ppMk

p

p

o

k

k

o

k

k

o

726,0

1577,02

14.158,01

2

11

2

1

2

14.1

4.1

212

222

12

2

2

2

Bibliografía: Irving H. Shames, Mecánica de Fluidos, 4ta. Edición.

Robert W. Fox Introductión to Fluid Mechanics, IV Ed.

Yunus A. Çengel, Mecánica de fluidos.-Fundamentos y aplicaciones, primera edición.

Frank M. White. Fluid mechanics, V ed.

External links Gas Dynamics Toolbox Calculate Mach number and normal shock wave parame-

ters for mixtures of perfect and imperfect gases.

NASA's page on Mach Number Calculate Mach number.

PAF Falcons Online - Second To None

1

1

1

12

2

2

1122

2

2

1

1

2

kM

kMpp

kM

kM

p

p

MPakM

kMpp 58,0

1577,04.1

124.1129,0

1

12

2

2

2

2

112

http://www-rcf.usc.edu/~alexeenk/GDT/index.html

http://www.grc.nasa.gov/WWW/K-12/airplane/mach.html

http://www.paffalcons.com/



63

15 m

Difusor

Ducto de área cons-

tante

Tobera convergente-

divergente

As=0.6 m2

To=90 oC

Sección de prueba

A*=0.397 m2

PROBLEMAS RESUELTOS

PROBLEMA 1.- (Examen I-2006) Un flujo de 25 kg/s de un f luido es de s-acelerado por un difusor para que pase a través del ducto largo de área constante de 0.5 m 2 , de manera que se reduzcan las pérdidas en la presión de estancamiento. El ducto t iene una rugosidad e = 0.4 mm. Para ir a una sección de prueba supersónica el f lujo se expande a través de una boquil la. La geometr ía está dada en el diagr a-ma. (a) ¿Cuál es la presión en la se c-ción de prueba? (b) ¿Cuál es el núme-ro de Mach que entra a l ducto desde el d ifusor?

DEFINICIÓN DE VARIABLES PARA MATHCAD

Ms 1.864

f M( )

0.664

0.663

0.663

0.662

0.662

0.661

0.661

0.66

M

1.86

1.861

1.862

1.863

1.864

1.865

1.866

1.867

1.855 1.86 1.8650.658

0.66

0.662

0.664

f M( )

0.662

M

M 1.86 1.861 1.867

La ecuación anterior puede resolverse mediante aproximaciones sucesivas:

f M( ) M

1k 1

2

1k 1

2

M( )2

k 1

2 k 1( )

Con este dato se puede calcular el número de M ach en la sección de salida mediante la ecuación:

0.397

0.60.662A*/As =

La relación área de la garganta entre area de salida de la boquil la de expanción esta dada por:

(a) Primero calculamos el número de Mach a la salida de la boquil la convergente divergente, a partir de la

relación de areas A*/As:

CALCULOS

mD 0.798D 4A

m

2As 0.6mme 0.0004J/kgKR 287

m2

A 0.5KTo 363To 90 273kg

sm 25k 1.4



64

k 1

2ln

k 1( ) Me2

2 1k 1

2

Me2

1

Me2

1

1.043=f k L

D

Con el número de Mach Me=0.547 calculamos la longitud des estrangulamiento (hipotética), a partir de la

ecuación:

Me 0.547

f M( )

0.792

0.793

0.794

0.795

0.796

0.797

M

0.545

0.546

0.547

0.548

0.549

0.55

0.546 0.5480.792

0.794

0.796

0.798

f M( )

0.794

M

M 0.545 0.546 0.55

Esta ecuación puede resolverse mediante aproximaciones sucesivas:

f M( ) M

1k 1

2

1k 1

2

M( )2

k 1

2 k 1( )

Con este dato se puede calcular el número de Mach en la sección de salida mediante la ecuación:

0.397

0.50.794A*/Ae =

La relación área de la garganta entre area de salida de la boquil la de expanción esta dada por:

(b) Calculamos el número de Mach a la entrada de la boquil la convergente-divergente, a partir de la

relación de areas A*/Ae:

Con Ms=1.864 y la T empertura de estancamiento (To permanece constante a lo largo del ducto para

flujo adiabático) calculamos la temperatura de salida de la boquil la Ts:

To 363

TsTo

1k 1

2

Ms2

Ts 214.2

A partir del flujo másico se calcula la densidad del aire a lasalida de la boquil la:

m = VA y Vs Ms k R Ts

de donde:

sm

As Vs s 0.076 kg/m3

Ahora, la presión a la salida de la boquil la sed puede calcular a partir de la ecuación de los gases

ideales:

p R T

ps= 0.062R321.6

1000 5.72 kPa



65

M1 0.505

0.5 0.505 0.511.4

1.45

F M( )

1.442

M

F M( )

1.485

1.474

1.463

1.452

1.441

1.43

1.419

1.408

M

0.501

0.502

0.503

0.504

0.505

0.506

0.507

0.508

M 0.501 0.502 0.508

f k L

D1.442=F M( )

k 1

2ln

k 1( ) M2

2 1k 1

2

M2

1

M2

1

L L0

15

Ahora con L=Lo + 15 calculamos el numro de Mach a la emtrada del ducto desde el difusor:

L0

33.965L0

D

f k

f 0.017f1

7.71992

f 7.7199( ) 7.7199

f 7.734( ) 7.7199

Con Me, calculamos la temperatura en este punto, a partir de la T o:

TeTo

1k 1

2

Me2

Te 342.5

Para T e=342.5 K (69.5 C) se tene una viscosidad cinemática =2.137*10(-5)

D 4A

D 0.798 ;

e

D

V Me k R Te V 202.92

2.137 105

Re

D V

Re 7.577 10

6

El coeficiente de fricción se calcula a partir del número dçreynolds y la rugosidad realtiva suando el

diagrama de Moody o tambien mediante la formula de Colebrook (base del ábaco de Moody)

ff Re

.

.log

512

732

1

f x( ) 2 log2.51x

Re

3.7

f 1( ) 7.7340



66

PROBLEMA 2 (examen I-2006). Una mezcla de combustible-aire, con las propiedades termodi-námicas de aire puro, entra en un combustor de área constante. La temperatura de estanca-miento de la corriente de entrada es constante en 405 K. La fricción es despreciable. Cuando se añade calor al flujo a la relación de 1.4MJ/kg, se estrangula el flujo en la salida del ducto. En esta condición, la presión estática en la entrada es 154.6 kPa (abs.) y la presión en la salida del ducto es 65.7 kPa (abs.). Calcule (a) la temperatura de salida del combustor, (b) el número de Mach de entrada del combustor y (c) la pérdida en la presión de estancamiento a través de combustor. DEFINICIÓN DE VARIABLES PARA MHATCAD

)( 010201021

2

12

2

2

22TTcphhh

Vh

V

m

Q

T02

T01

q

cp T

021797 K

La temperatura de estancamiento a la salida es igual a la temperatura de estancamiento círi tica porque

el flujo está, segun el enunciado del problema, en condiciones de estrangulamiento, entonces la

temperatura de salida se puede calcular de la siguiente manera:

T2=T

02

1k 1( )

2

1497 K

El número de Mach a la entrada, se puede calcular a partir de las condiciones críticas, (estas son

constantes a lo largo de todo el conducto).

To1/T o*= 405

17970.2254

De la tabla E.3 (Fox) para T o/To*=0.2395; se tiene M=0.226

para una mejor aproximación se puede obtener M1 directamente partir de la ecuación:

0.226 =

2 k 1( ) M1

2 1

k 1

2

M1

2

1 k M1

2

2

se opta por un método de aproximaciones sucesivas:

f M( )

2 k 1( ) M( )2

1k 1

2

M( )2

1 k M( )2

2

q 1400kJ

kgcp 1.006

kJ

kgK p1

154.6 kPa

T01

405 K k 1.4

p2

65.7 kPaR 0.287 kJ/kgK

RESOLUCION

A partir de la segunda ley de la termodinámica se obtiene:



67

kPap02

p01

36.123

kPap01

160.488p01

p1

1k 1

2

M1

2

k

k 1

M1

0.2317

presión de estancamiento a la entrada:

kPap02

124.365

p02

p2

1k 1

2

M2

2

k

k 1

M2

1

presión de estancamiento a la salida:

M1

0.2317de donde podemos asumir

f M( )

0.2241

0.2243

0.2245

0.2246

0.2248

0.2250

0.2251

0.2253

0.2255

0.2257

0.2258

M

0.2310

0.2311

0.2312

0.2313

0.2314

0.2315

0.2316

0.2317

0.2318

0.2319

0.2320

0.231 0.23150.224

0.225

0.226

f M( )

0.2254

M

M 0.23100.2311 0.2320

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