MECANICA DE FLUIDOS. – FLUJO COMPRESIBLE UNIDIMENSIONAL Primera evaluación. Solución

Problema 1.- Entra aire a una tobera a 0.2 MPa, 350 K, y velocidad de 150 m/s. Considere flujo isentrópico y determine la presión y la temperatura del aire en la posición donde la velocidad del aire es igual a la del sonido. ¿Cuál es la razón del área en esta posición al área de la entrada?

p1= 200 kPa

T1= 350 K

V1=150m/s

Para el aire: R= 287 J/kg.K; k =1,4 Hipótesis: i) Flujo permanente ii) Flujo isentrópico en la tobera. iii) Gas ideal

Ecuaciones fundamentales de flujo.- para las hipótesis planteadas las ecuaciones de flujo se pueden escribir así; Ecuación de continuidad: 𝜌1𝑉1𝐴1 = 𝜌2𝑉2𝐴2 (1)

Ecuación de continuidad

𝑝1𝐴1 − 𝑝2𝐴2 = 𝜌1𝑉1𝐴1(𝑉2 − 𝑉1) (2)

Primera ley de la termodinámica

0

2

11

2

22

22h

Vh

Vh h02=h01 (3)

Ecuación del gas ideal

p= 𝜌𝑅𝑇 (4)

Calculo de M1; T01 y p01

𝑀1 =𝑉1

𝑐1=

𝑉1

√𝑘𝑅𝑇1

=150

√1.4 ∙ 287 ∙ 350= 0.4

𝑇01 = 𝑇1 (1 +𝑘 − 1

2𝑀1

2) = 350 (1 +1.4 − 1

20.42) = 361.2𝐾

𝑝01 = 𝑝1 (1 +𝑘 − 1

2𝑀1

2)

𝑘𝑘−1

= 200 (1 +1.4 − 1

20.42)

1.41.4−1

= 223.31𝑘𝑃𝑎

Calculo de la temperatura, T2 .- Por tratarse de un flujo adiabático, de la ecuación (3) se tiene que para calores específicos constantes: T01=T02. Entonces como el flujo, en esta sección, es sónico M2=1, T2 se puede calcular a partir de

𝑇2 =𝑇02

(1 +𝑘 − 1

2𝑀2

2)=

361.2

(1 + 0,2 ∗ 12)= 301.0 𝐾

Calculo de la presión p2

Como es un flujo isentrópico p01 = p02; entonces la presión será:

𝑝2 =𝑝02

(1 +𝑘 − 1

2𝑀2

2)

𝑘𝑘−1

=223.31

(1 + 0,2 ∗ 12)1.4

1.4−1

= 118.0 𝑘𝑃𝑎

La razón de áreas A2/A1; se calcula a partir de la ecuación (1), combinándola con la ecuación del gas ideal (4).

𝐴2

𝐴1=

𝜌1𝑉1

𝜌2𝑉2=

𝑝1

𝑝2

𝑇2

𝑇1

𝑉1

𝑉2

La velocidad (sónica) en la sección 2, será:

𝑉2 = 𝑐2 = √𝑘𝑅𝑇2 = √1.4 ∙ 287 ∙ 301 = 347.8 𝑚/𝑠

Finalmente:

𝐴1

𝐴2=

𝑝1

𝑝2

𝑇2

𝑇1

𝑉1

𝑉2=

200 ∙ 301 ∙ 150

117.97 ∙ 350 ∙ 347.8= 0.629

* Obsérvese que no fue necesario utilizar la ecuación de cantidad de movimiento (2).

1 2

M2=1

p2 =?

T2 =?

A2/A1 =?

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Problema 2.- Se aproxima aire a una onda de choque normal a V1= 951 m/s, con T01=700 K y p1= 125 kPa (abs); M1=3.0. Aguas debajo de la onda de choque, p2=1.29 MPa(abs). Determine la velocidad y la temperatura aguas abajo. Muestre los puntos de estado estático y de estancamiento, así como el proceso sobre un diagrama T-s. Análisis

Para el aire: R= 287 J/kg k ; k=1.4; cp=1.0 kJ/kgK Hipótesis: i) Consideramos el aire como gas ideal ii) Flujo permanente iii) Flujo adiabático, irreversible y sin fricción en la

onda de choque.

Ecuaciones fundamentales de flujo.- para las hipótesis planteadas las ecuaciones de flujo se pueden escribir así; Ecuación de continuidad: 𝜌1𝑉1 = 𝜌2𝑉2 (1)

Ecuación de cantidad de movimiento.

𝑝1 − 𝑝2 = 𝜌1𝑉1(𝑉2 − 𝑉1) (2)

Primera ley de la termodinámica:

0

2

11

2

22

22h

Vh

Vh T02=T01=T0 (3)

Ecuación del gas ideal p= 𝜌𝑅𝑇 (4)

-----------------------------------------------------------------------------------

Cálculos preliminares: con las condiciones antes de la onda de choque, conocidas, se puede calcular la temperatura estática T1 y la velocidad V1 en la sección 1, que serán muy útiles en los cálculos posteriores.

De la relación de temperatura de estancamiento y estática, aplicada en la sección 1, se tiene:

𝑇1 =𝑇01

(1 +𝑘 − 1

2 𝑀12)

=700

(1 +1.4 − 1

23.02)

= 250𝐾

A partir de la definición de número de Mach, calculamos la velocidad antes del choque:

𝑉1 = 𝑐1𝑀1 = √𝑘𝑅𝑇1𝑀1 = √1.4 ∙ 287 ∙= 951𝑚/𝑠

De la ecuación del gas ideal (4)

𝜌1 =𝑝1

𝑅𝑇1=

125

0.287 ∙= 1,74 𝑘𝑔/𝑚3

Cálculo de V2 Con la ecuación (2) y con los datos conocidos de las secciones 1 y 2, se puede calcular la velocidad después de la onda de choque.

𝑝1 − 𝑝2 = 𝜌1𝑉1(𝑉2 − 𝑉1) → 𝑉2 = 𝑉1 +𝑝1 − 𝑝2

𝜌1𝑉1= 𝑉1 +

(125 − 1290)

1.74 ∙ 951= 247.5 𝑚/𝑠

Cálculo de T2 Usamos la ecuación (3) –segunda ley de la termodinámica- para calcular la temperatura después del choque.

ℎ0 = ℎ2 +𝑉2

2

2 → 𝑇2 = 𝑇0 −

𝑉22

2𝑐𝑝 = 700 −

247.52

2 ∙ 1000= 670 𝐾

Para dibujar el diagrama T-s de las condiciones de estado antes y después de la onda de choque, es necesario

calcular las presiones de estancamiento p01 y p02, usamos para ello la relación p0/p=(1 +𝑘−1

2𝑀2 )

𝑘

𝑘−1

𝑝01 = 125 (1 +1.4 − 1

232)

1.41.4−1

= 4.59 𝑀𝑃𝑎

𝑀2 =𝑉2

𝑐2=

𝑉2

√𝑘𝑅𝑇2

=247.5

√1.4 ∙ 287 ∙ 670= 0.48

𝑝02 = 1290 (1 +1.4 − 1

20.482)

1.41.4−1

= 1.51𝑀𝑃𝑎

1

T01= 700 K p1 = 125 kPa M1=3.0

2

p2=1.29MPa

V2=?

T2=?

T1=250

T2=670

T0=700

T [K] p01

p1

p2

p02

s1 s2

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Problema 3.- Entra aire a un ducto rectangular a P1= 420 kPa, T1= 300 K y M1 =2. El aire se enfría a razón de 55 kJ/kg mientras que fluye a través del ducto. Desprecie las pérdidas por fricción y determine la temperatura y el número de Mach a la salida del ducto. ANALISIS

Para el aire: R= 287 J/kg k ; k=1.4; cp=1.005 kJ/kgK Hipótesis: i) Consideramos el aire como gas ideal ii) Flujo permanente iii) Flujo sin fricción.

Ecuaciones fundamentales de flujo.- para las hipótesis planteadas las ecuaciones de flujo se pueden escribir así; Ecuación de continuidad: 𝜌1𝑉1 = 𝜌2𝑉2 (1)

Ecuación de cantidad de movimiento.

𝑝1−𝑝2 = 𝜌1𝑉1(𝑉2 − 𝑉1) (2)

Primera ley de la termodinámica:

01022

21

12

22

2hh

Vh

Vhq

(3)

Ecuación del gas ideal p= 𝜌𝑅𝑇 (4)

En este problema aplicaremos una estrategia distinta a la de relacionar sólo las secciones inicial y final del volumen de control mediante las ecuaciones de flujo, involucraremos a la sección en la que el flujo se bloquea, es decir la sección en la que el número de Mach alcanza su valor crítico, M=1, como medio de relacionar las condiciones de flujo en 1 con las condiciones de flujo en la sección 2. Así:

Con los datos de entrada calculamos la temperatura de estancamiento, T01,

𝑇01 = 𝑇1 (1 +𝑘 − 1

2𝑀1

2) = 300 (1 +1.4 − 1

222) = 540.0𝐾

Con T01 y de la ecuación (3), primera ley, para calores específicos constantes, se puede calcular la temperatura de estancamiento en la sección 2.

−𝑞 = ℎ02 − ℎ01 = 𝑐𝑝(𝑇02 − 𝑇01) → 𝑇02 = 𝑇01 −𝑞

𝑐𝑝= 540 −

55

1= 485.0𝐾

Reescribiendo la ecuación (2) y combinándola con la ecuación (4) y la definición de número de Mach, para una sección genérica con: Mach M, temperatura T, presión p, densidad ρ y velocidad v, se obtiene:

𝑝 − 𝑝∗ = 𝜌𝑉(𝑉∗ − 𝑉) = 𝜌∗(𝑉∗)2 − 𝜌𝑉2 = 𝜌∗𝑘𝑅𝑇∗ − 𝜌𝑘𝑅𝑇𝑀2

𝜌𝑅𝑇 − 𝜌∗𝑅𝑇∗ = 𝜌∗𝑘𝑅𝑇∗ − 𝜌𝑘𝑅𝑇𝑀2 → 𝜌∗𝑇∗

𝜌𝑇=

1 + 𝑘𝑀2

1 + 𝑘 (5)

De la ecuación de continuidad:

𝜌∗

𝜌=

𝑉

𝑉∗=

𝑀𝑐

𝑐∗= 𝑀 (√

𝑇

𝑇∗) (6)

Combinando (5) y (6)

𝑇∗

𝑇= [

1 + 𝑘𝑀2

(1 + 𝑘)𝑀]

2

(7)

Ahora aplicamos la formula (7) a la sección (1) y calculamos T*

𝑇∗ = 𝑇1 [1 + 𝑘𝑀1

2

(1 + 𝑘)𝑀1

]

2

= 300 [1 + 1.4 ∙ 22

(1 + 1.4) ∙ 2]

2

= 567𝐾

Aplicando nuevamente la ecuación (7) ahora la sección 2, con T* conocido, calculamos T2

𝑇2 = 𝑇∗ [(1 + 𝑘)𝑀2

1 + 𝑘𝑀22 ]

2

𝑦 𝑝𝑜𝑟 𝑜𝑡𝑟𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑇2 =𝑇02

1 +𝑘 − 1

2 𝑀22

De donde

𝑇02

𝑇∗=

485

567= [

(1 + 𝑘)𝑀2

1 + 𝑘𝑀22 ]

2

(1 +𝑘 − 1

2𝑀2

2) → 0.855 = [2.4𝑀2

1 + 1.4𝑀22]

2

(1 + 0.2𝑀22) (8)

Resolviendo la última ecuación se tiene M2 ≈2.48

1

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Ahora podemos calcular la temperatura T2,

𝑇2 =𝑇02

1 +𝑘 − 1

2𝑀2

2=

485

1 + 0,2 ∗ 2.48^2= 218 𝐾

Nota: este problema se puede también resolverse mediante el uso de tablas.