Pruebas de Hipótesis Actual

5/20/2018 Pruebas de Hip tesis Actual

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Instituto Tecnolgico de Len

Material didctico/Pruebas de hiptesisElabor Lic. Lilia A. Vzquez Gutirrez Pgina 1

3 PRUEBAS DE HIPTESIS

Las dos actividades principales de la estadstica inferencial son el uso de datos

para 1. Estimar un parmetro poblacional (como hicimos en la unidad anterior), y2. Probar una hiptesis o afirmacin con respecto a un parmetro poblacional(como veremos en esta unidad).

DEFINICIN:

La prueba de hiptesis comienza con una suposicin, llamada hiptesis, que se

hace respecto a un parmetro de poblacin. Despus recolectamos datos demuestra, para decidir qu tan probable es que sea correcto nuestro parmetro depoblacin.

Para probar la validez de la suposicin se recolectan datos de muestra y sedetermina la diferencia entre el valor hipottico y el valor real de la media de dichamuestra; despus se juzga si la diferencia obtenida es significativa o no.

Mientras ms pequea sea la diferencia entre el valor hipottico y el real, mayorser la probabilidad de que el valor hipottico para la media sea correcto.

Mientras mayor sea la diferencia entre el valor hipottico y el real, ms pequeaser la probabilidad de que el valor hipottico para la media sea correcto.

En la prueba de hiptesis, las soluciones infalibles son la excepcin, no la regla.

Ya sea que se acepte o se rechace una hiptesis, no se puede estarabsolutamente seguro de que la decisin sea correcta; por consiguiente se tieneque aprender cmo enfrentar la incertidumbre en la toma de decisiones.

No podemos aceptar o rechazar una hiptesis sobre un parmetro de poblacinsimplemente por intuicin. Ms bien necesitamos aprender cmo decidir

objetivamente si aceptamos o rechazamos una corazonada, con base en lainformacin acerca de la muestra.

Es importante no olvidar que las hiptesis son proposiciones sobre la poblacin noproposiciones sobre la muestra.

HIP TESIS: es una aseveracin o afirmacin acerca de una propiedad de unaoblacin.


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COMPONENTES DE UNA PRUEBA DE HIPTESIS

HIPTESIS NULA: denotada por Ho es la afirmacin de que el valor de unparmetro de poblacin (como una media o una proporcin) es igual a un valor

aseverado. Las siguientes son hiptesis nulas tpicas: La hiptesis nula se prueba en forma directa, en el sentido de que suponemos quees verdadera, y llegamos a una conclusin para rechazar o no rechazarla.HIPTESIS ALTERNATIVA: denotada por es la afirmacin de que elparmetro tiene un valor que, de alguna manera, difiere de la hiptesis nula. Lahiptesis alternativa debe emplear alguno de estos smbolos: >, < o . A

continuacin se presentan seis ejemplos diferentes de hiptesis alternativas queincluyen medias y proporciones:

Medias: Proporciones:

Nota sobre el uso del smbolo de igualdad en : realizamos la prueba dehiptesis suponiendo que la media o proporcin es igual a algn valorespecificado, por consiguiente usamos el signo de =.

Nota sobre la identificacin de la afirmacin original puede convertirseen hiptesis nula, en la hiptesis alternativa o tal vez no corresponda con exactituda ninguna de las dos.Por ejemplo, en ocasiones probamos la validez de la aseveracin de alguien ms,como la afirmacin de la Coca-Cola de que la cantidad media de las latas conCoca-Cola es de al menos 12 onzas. Esta afirmacin puede expresarse essmbolos tales como . Si la aseveracin original es falsa, entonces . La hiptesis alternativa se vuelve , pero la hiptesis nula es .Estadstico de prueba:es un valor que se utiliza para tomar la decisin sobre lahiptesis nula, y se calcula convirtiendo el estadstico muestral (como la media ola proporcin muestral ) en una puntuacin (como z o t), bajo el supuesto de quela hiptesis nula es verdadera.

Emplearemos los siguientes estadsticos de prueba:


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Estadstico de prueba para proporciones: Estadstico de prueba para medias:

El estadstico de prueba para una media usa una distribucin normal o ladistribucin t de Student, dependiendo de los requisitos que se satisfagan. Seusarn los mismos criterios descritos en la estimacin (para distribucin t n


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Al examinar la hiptesis alternativa, podemos determinar si la prueba es de coladerecha, izquierda o de dos colas. La cola corresponder a la regin crtica quecontiene los valores que entrarn en conflicto, de manera significativa con lahiptesis nula.

Criterio de decisin: la decisin de rechazar o no rechazar la hiptesis nula suelerealizarse por medio del mtodo tradicional o mtodo clsico o de valor crtico.Mtodo de valor crtico: Rechace Hosi el estadstico de prueba cae dentro de la

regin crtica.No rechace Hosi el estadstico de prueba no cae dentrode la regin crtica.

Redaccin de la conclusin final: la conclusin de rechazar o no la hiptesisnula es adecuada para aquellos que tenemos en buen juicio de tomar un curso deestadstica, pero debemos emplear trminos sencillos y sin tecnicismos alestablecer el verdadero significado de la conclusin.

Aceptacin/ no rechazo:algunos libros de texto dicen aceptar la hiptesis nulaen vez de no rechazar la hiptesis nula. Ya sea que usemos el trmino aceptar ono rechazar, debemos reconocer que no estamos probando la hiptesis nula;nicamente estamos diciendo que la evidencia muestral no es lo suficientementefuerte como para justificar el rechazo de la hiptesis nula. (Cuando un jurado noencuentra evidencia suficiente para sentenciar a un sospechoso, emite unveredicto de no culpabilidad y no un veredicto de inocencia). El trmino aceptar es


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un poco confuso, ya que parece indicar incorrectamente que la hiptesis nula hasido probada. (Es confuso decir que existe evidencia suficiente para aceptar lahiptesis nula). La frase no rechazar dice con mayor correccin que la evidenciadisponible no es lo suficientemente fuerte para justificar el rechazo de la hiptesisnula. En este curso emplearemos la terminologa no rechaza la hiptesis nula, en

vez de aceptar la hiptesis nula.

Mltiples negativos: Cuando se establece la conclusin final en trminos notcnicos, es posible enunciar afirmaciones correctas con hasta tres trminosnegativos. Ejemplo: No existe evidencia suficiente para justificar el rechazo de laaseveracin de que no hay diferencia entre 0.5 y la proporcin poblacional. Lasconclusiones con demasiados trminos negativos resultan confusas, por lo que esaconsejable volver a redactarlas en una forma comprensible, pero teniendocuidado de no alterar el significado. Por ejemplo, en vez de decir no exist eevidencia suficiente para justificar el rechazo de la aseveracin de que no existendiferencias entre 0.5 y la proporcin poblacional, los siguientes seran mejores

enunciados:

No se rechaza la aseveracin de que la proporcin poblacional es igual a0.5.

Hasta no obtener evidencia ms firme, continuamos suponiendo que laproporcin poblacional es igual a 0.5.

PASOS PARA ESTABLECER UNA PRUEBA DE HIPOTESIS

PASO 1.- Debemos establecer el valor supuesto o hipottico del parmetro depoblacin antes de comenzar.

La suposicin que deseamos probar se conoce como hiptesis NULA, la cual sedenota con Ho. Esta hiptesis, es la afirmacin sobre una o ms caractersticaspoblacionales que al inicio suponemos cierta (es decir, la creencia a priori).

Suponiendo que se quiere probar la hiptesis nula de que la media poblacional ()es igual a 500; se escribe: Ho: = 500. Si los resultados de la muestra norespaldan la Ho, se concluye que se cumple alguna otra cosa.

Siempre que se rechaza la Ho, la conclusin aceptada se llama hiptesisalternativa (H1).

Ejemplo:

Dada Ho: = 200 (La hiptesis nula es que la media poblacional es igual a 200)

Se consideran tres hiptesis alternativas posibles:H1: 200 (La hiptesis alternativa es que la no es igual a 200)


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H1: > 200 (La hiptesis alternativa es que la es mayor que 200) H1: < 200 (La hiptesis alternativa es que la es menor que 200)

El propsito de la prueba de hiptesis no es cuestionar el valor calculado delestadstico de muestra, sino hacer un juicio con respecto a la diferencia entre ese

estadstico de muestra y un parmetro de poblacin hipottico.

PASO 2.- Despus de establecer las hiptesis nula y alternativa respectivamente,se debe determinar qu criterio utilizaremos para decidir aceptar o rechazar la Ho.Es decir se debe determinar que diferencia debe haber entre y que seconsidere razonable; a dicha diferencia, establecida por nosotros, se le llamaNIVEL DE SIGNIFICANCIA. Si suponemos que la hiptesis nula es correcta,entonces el nivel de significancia indicar el porcentaje de medias muestrales queestn fuera de ciertos lmites, en estimacin el nivel de confianza indicaba elporcentaje de medias que caan dentro de los lmites de confianza definidos.

NOTA: siempre que afirmamos que NO rechazamos la , en realidad nosreferimos a que no hay diferencia significativa para rechazarla. Cuando los datos

No hay diferenciasignificativa entre y ,

por lo tanto NO

RECHAZAMOS la H

H1

Nivel de significancia de 0.025

H1


Ho

Nivel de confianza de 0.95

Media poblacional

hipottica

Hay una diferencia significativa entre y

por lo tanto rechazamos la

si la

cae en estas dos regiones


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de la muestra no hacen que rechacemos una nos comportaremos como si esahiptesis fuera cierta.

Es posible probar una hiptesis a cualquier nivel de significancia; solo quemientras ms alto sea el nivel de significancia que se use para probar una

hiptesis, mayor ser la probabilidad de rechazar una cuando es cierta, esdecir cometer error tipo I, veamos en que consiste dicho error.ERROR TIPO I: se refiere al rechazo de una cuando es cierta. Tambin esconocido como o nivel de significancia.

ERROR TIPO II: es el hecho de no rechazar una cuando es falsa. Tambin esconocido como .

NO Rechazo

0.50




Misma media en diferentes niveles de significancia puede ser

rechazada o no rechazada.

Regin de aceptacin muy amplia, por lo tanto no se rechazaranHofalsas y ciertas; poca seguridad al decidir si rechazar o no

rechazar.

Regin de aceptacin media, equilibrada tal vez; es

equilibrio es decidido por los tomadores de decisio

por medio de exmenes de costos o desventajas

vinculadas con ambos tipos de errores.

Regin de aceptacin bastante reducida, por lo

tanto, rara vez aceptaremos una Hocuando sea

falsa; pero como precio de esta seguridad,frecuentemente rechazaremos una Hocuando sea

cierta.

Rechazo

0.005

Rechazo

0.005

Rechazo

0.05

Rechazo

0.05

Rechazo

0.25

NO Rechazo

0.99

Rechazo

0.25

NO Rechazo

0.50


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La hiptesis nula y alternativa son afirmaciones opuestas acerca de la poblacin.Una de las dos hiptesis es verdadera, pero no ambas. Lo ideal es que la pruebade hiptesis lleve a la aceptacin de la Hocuando esta es verdadera y al rechazode Ho cuando la misma es falsa. Por desgracia, las conclusiones correctas nosiempre son posibles. Como la prueba de hiptesis se basa en una informacinmuestral debe tenerse en cuenta que existe la posibilidad de error.

Por tanto, al probar cualquier hiptesis estadstica, existen cuatro situacionesdiferentes que determinan si la decisin final es correcta o errnea.

HiptesisNula

Investigador

No rechazaHo

RechazaHo

Ho es verdadera Decisincorrecta

ErrorTipo I

Ho es falsa ErrorTipo II

Decisincorrecta

PASO 3.- Decisin sobre el tipo de distribucin a utilizar en la prueba dehiptesis.

Despus de decidir el nivel de significancia a utilizar, la siguiente tarea consiste endeterminar la distribucin de probabilidad adecuada. En la siguiente tabla semuestran las condiciones para usar la distribucin normal y t en la prueba dehiptesis respecto a medias:

Desviacin estndarpoblacional () conocida

Desviacin estndarpoblacional () desconocida

n > 30 Distribucin normalTabla z

Distribucin normalTabla z

n 30 Distribucin normal

Tabla z

Distribucin t

Tabla t


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PASO 4. Realizar la distribucin, es decir determinar lmites de la regin deaceptacin y rechazo, graficar posiciones de valores, tanto estandarizados comocrticos.

Regla de rechazo bilateral: Si zcal< z/2o si zcal> z/2

PASO 5.- Comparamos valores y los interpretamos.

Usaremos el siguiente ejemplo para ilustrar mejor los paso antes descritos.

PRUEBA DE HIPTESIS PARA LA MEDIA

Ejemplo:

Un fabricante suministra los ejes traseros para los camiones del correo; estos ejesdeben soportar 80,000 lbs por pulgada cuadrada en pruebas de carga, pero un ejeexcesivamente fuerte eleva los costos de produccin de manera significativa. Lalarga experiencia indica que la desviacin estndar de la fuerza de sus ejes es de4,000 lbs por pulgada cuadrada. El fabricante selecciona una muestra de 100 ejesde la produccin, los prueba y encuentra que la capacidad de carga media de la

muestra es de 79,600 lbs por pulgada cuadrada.

Si el fabricante de ejes utiliza un nivel de significancia de 0.05 en la prueba,satisfarn los ejes los requerimientos de carga?

RESUMEN DEL PROCESO DE 5 PASOS

1.- Establezca sus hiptesis; decida si es una prueba de dos extremos o de uno solo.Seleccione un nivel de significancia apropiado para esta decisin.

2.- Decida qu distribucin (t o z) es la apropiada y encuentre el (los) valor (es) crtico(s) para elnivel de significancia escogido de la tabla adecuada.

3.- Calcule el error estndar del estadstico de muestra. Use el error estndar para convertir el

valor observado del estadstico de muestra a un valor estandarizado.

4.- Esboce la distribucin y marque la posicin del valor de muestra estandarizado y del (de los)valor(es) crtico(s) para la prueba.

5.- Compare el valor del estadstico de muestra estandarizado con el (los) valor(es) crtico(s)para esta prueba e interprete el resultado.


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SOLUCIN:

Intervalo de confianza: 80,000 1.96 (400); 80,000784, por lo tanto: Lmiteinferior 79,216a Lmite superior 80,784.

La est dada en escala sin procesar; pero los valores crticos (lmites) usanvalores estandarizados de z; es decir (1.96 en este caso), lo cual son dosescalas distintas y no podemos compararlas directamente cuando probamoshiptesis; as que debemos convertir uno de ellos a escala del otro.

En vez de convertir los valores crticos z a la escala original o sin procesar, paraobtener nmeros directamente comparables con el valor observado de convertimos a escala estandarizada utilizando la frmula de la distribucinmuestral de medias:

= 80,000 lbs = 4,000 lbs

n = 100 ejes

= 79,600 lbsNS = 0.05

Ho: = 80,000

H1: 80,000

Error estndar: Requerimos conocer los lmites de confianza, para ello, seusa

, es

la media poblacional hipottica, debido a que

dichos lmitesestn en torno a o sea a la hiptesis nula, no ala . Por otro lado, el valor de z se obtiene de las tablas dedistribucin normal, lo cual indica a cuantas desviaciones estndarpor arriba (z>0) o por debajo (z


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Retomando los valores del ejemplo mencionado, tenemos que: Indica que la

est a una desviacin estndar por debajo de la . Y como -1

desviacin estndar cae dentro del rea de aceptacin, se concluye que no sedebe rechazar Ho; el fabricante debe considerar que sus ejes satisfacen losrequerimientos de carga.

En realidad los dos mtodos conducen a las mismas conclusiones perotrabajaremos con el mtodo estandarizado, ya que como dijimos al principio, no se

juzga la cantidad, sino la ubicacin de la media muestral .Debido a que concluimos no rechazar la hiptesis nula ya que es verdadera, nocometimos error tipo I.

Ejemplo: McGraw Hill supone que la vida de su prensa rotativa es de 14,500horas, con una desviacin estndar de 2,100 horas. De una muestra de 25prensas, la compaa encuentra una media de muestra de 13,000 horas. A unnivel de significancia de 0.01 Debera concluir la compaa que la vida promediode las prensas es menor que las hipotticas 14,500 horas?

SOLUCION:

= 14,500 hras = 2,100 hras

n = 25 prensas= 13,000 hrasNS = 0.01

Ho: = 14,500

H1: < 14,500

Error estndar: Intervalo de confianza: 14,500 2.32 (420); 14,500974.40, porlo tanto: Lmite inferior es 13,525.60

13,526 = 14,500

-2.32 0

-3.57

.49 .50

0.01

= 13,000 hras


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INTERPRETACIN: la vida promedio de las prensas si es menor de 14,500 horas,por lo tanto se rechaza la hiptesis nula.

PRUEBA DE HIPTESIS A PARTIR DE DOS MUESTRAS

Ahora utilizaremos datos muestrales de dos muestras independientes parasometer a prueba hiptesis acerca de dos medias, dos proporciones y la relacinde varianzas. Comenzaremos por ver la prueba de hiptesis para la diferencia demedias.

PRUEBA DE HIPTESIS PARA DIFERENCIA DE MEDIAS CON Y DESCONOCIDAS

Requisitos

1. y se desconocen y no se hace una suposicin sobre l igualdad de y.2. Las dos muestras son independientes.3. Ambas muestras son aleatorias simples.4. Los tamaos muestrales no son grandes ( y ) o ambas

muestras provienen de distribuciones normales.

Estadstico de prueba de hiptesis:

Grados de libertad: cuando calcule valores crticos, utilice gl = el menor de .Ejemplo:

Los Revenue Commissioners de Irlanda realizaron un concurso de promocin. Acontinuacin se muestran las edades de los solicitantes que tuvieron xito y de losque no tuvieron xito. Algunos de los solicitantes que no tuvieron xito paraobtener la promocin se quejaron de que hubo discriminacin por edad en lacompetencia. Maneje los datos como muestras de poblaciones ms grandes yutilice un nivel de significancia de 0.05 para poner a prueba la aseveracin de quelos solicitantes sin xito provienen de una poblacin con una edad media mayorque la de los solicitantes exitosos. Con base en ese resultado, parece haberdiscriminacin por la edad?


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Edades de solicitantes sin xito Edades de solicitantes con xito34 37 37 38 41 42 43 44 44 45 27 33 36 37 38 38 39 42 42 4345 45 46 48 49 53 53 54 54 55 43 44 44 44 45 45 45 45 46 4656 57 60 47 47 48 48 49 49 51 51 52 54

SOLUCIN: Verificamos que los requisitos se satisfagan: los valores de las dosdesviaciones estndar poblacionales se desconocen, y no estamos haciendo unasuposicin de igualdad entre ellas. las dos muestras son independientes porquelos valores de una muestra no estn apareados con valores de la otra muestra.Podemos suponer que las muestras son aleatorias simples. Ambas muestras sonpequeas, podemos suponer que ambas provienen de distribuciones normales.

Procedemos con la prueba de hiptesis.

La aseveracin de que en los solicitantes sin xito tienen una edad media mayorque la edad media de los solicitantes con xito se expresa simblicamente como

. Si la aseveracin original es falsa, entonces .La hiptesis alternativa es la expresin que no contiene igualdad, y la hiptesisnula es una expresin de igualdad, de manera que tenemos

(Aseveracin original)Ahora procedemos con la suposicin de que o .El nivel de significancia es .Puesto que tenemos dos muestras independientes y estamos probando unaaseveracin acerca de dos medias poblacionales, utilizamos una distribucin t conel estadstico de prueba dado anteriormente. El estadstico de prueba se calculacomo sigue:

Como estamos utilizando una distribucin t, los valores crticos de t = 1.717 seencuentran es la tabla de dicha distribucin. (Con un rea de 0.05 en la coladerecha, buscamos el valor t correspondiente a 22 grados de libertad, que es elms pequeo de y [o el ms pequeo de 22 y 29]). El estadstico deprueba, el valor crtico y la regin crtica se muestran a continuacin.


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Puesto que el estadstico de prueba no se ubica dentro de la regin crtica, no serechaza la hiptesis nula (o INTERPRETACIN: no existe evidencia suficiente para sustentar la aseveracin

de que la edad media de los solicitantes sin xito es mayor que la edad media delos solicitantes con xito. Con base en esta prueba de hiptesis, no parece existirdiscriminacin por edad.

PRUEBA DE HIPTESIS PARA DIFERENCIA DE MEDIAS CON Y CONOCIDAS

En realidad, las desviaciones estndar poblacionales y casi nunca seconocen, pero si son conocidas, el estadstico de prueba est basado en unadistribucin normal y no en una distribucin t. veamos los siguientes requisitos:

Requisitos:1. Se conocen las dos desviaciones estndar poblacionales.2. Las dos muestras son independientes.3. Ambas muestras son aleatorias simples.4. Los dos tamaos muestrales son grandes (con y ) y las dos

muestras provienen de poblaciones que tienen distribuciones normales.

Si los requisitos anteriores se satisfacen, el estadstico de prueba es:

El procedimiento es el mismo que para la distribucin t, descrito anteriormente.

= 1.717Estadstico de prueba de

datos muestrales t = 1.678

Se rechaza No se rechaza


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PRUEBA DE HIPTESIS PARA LA PROPORCIN

Nuevamente, por medio del siguiente ejemplo veremos el proceso de probarhiptesis para la proporcin.

Ejemplo:

Se ha visto que las redes de contacto son uno de los medios ms eficaces paraconseguir empleo.

Por medio de los contactos, el individuo que busca un empleo se vincula con otrose intercambia informacin a travs de una red informal de personas.

Una encuesta reciente incluy a 703 sujetos elegidos al azar, los cuales tenan unempleo. De ellos, el 61% dio que haba conseguido el trabajo por medio del

contacto con amigos y parientes.

Utilice los datos muestrales, con un nivel de significancia de 0.05, para probar laaseveracin de que la mayora de los empleados (ms del 50%) consiguen sutrabajo por medio de redes de contactos.

SOLUCIN:

= 0.50n = 703 personas

= 0.61

NS = 0.05

Ho: p= 0.50

H1: p> 0.50

Error estndar: Intervalo de confianza: 0.50

1.64 (0.0188); 0.50

0.0309, por lo

tanto: Lmite superior es 0.531

= 0.50 0.531

0 1.64 5.851

.45.50

0.05

= 0.61


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INTERPRETACIN: existe suficiente evidencia muestral para sustentar laaseveracin de que la mayora de los empleados consiguen trabajo por medio deredes de contactos.

PRUEBA DE HIPTESIS PARA DIFERENCIA DE PROPORCIONES

Si bien esta seccin se basa en proporciones, podemos utilizar los mismosmtodos para tratar con probabilidades o podemos tratar con porcentajesutilizando los equivalentes decimales correspondientes.

Cuando se prueba una hiptesis acerca de dos proporciones poblacionales ocuando se construye un estimado del intervalo de confianza de la diferencia entredos proporciones poblacionales, los requisitos y la notacin son los siguientes.Observe que cuando se prueba la hiptesis nula de , no hay necesidad deestimar los parmetros individuales

y

, sino que estimamos su valor comn

con la proporcin muestral agrupada que se describe a continuacin.

Requisitos1. Tenemos proporciones de dos muestras aleatorias simples que son

independientes. (las muestras son independientes si los valores muestralesseleccionados de una poblacin no estn relacionados ni apareados dealguna forma con los valores muestrales seleccionados de la otrapoblacin).

2. Para ambas muestras, el nmero de xitos es de al menos 5 y el nmerode fracasos es de al menos 5.

Notacin para dos proporciones

Para la proporcin 1 permitimos que

= proporcin poblacional= tamao muestral= nmero de xito en la muestra (La proporcin muestral) Los significados correspondientes a

,

,

,

,

son los mismos que los

anteriores, solo que stos provienen de la poblacin 2.

Proporcin muestral agrupada: esta proporcin se denota por y est dada por:


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Denotamos el complemento de como , de manera que .Estadstico de prueba para dos proporciones (con )

Donde: supuesto en la hiptesis nula y

Utilizamos la tabla de distribucin normal, con base en el nivel de significancia ,obtenemos los valores crticos utilizando los procedimientos ya mencionados en laseccin anterior.

El siguiente ejemplo ayudar a aclarar los papeles que desempean , , , ,etc. En especfico, usted debe reconocer que bajo el supuesto de igualdad deproporciones, el mejor estimado de la proporcin comn se obtiene al combinarambas muestras en una muestra grande, de manera que es el estimador de laproporcin poblacional comn.

Ejemplo:

El sndrome del tnel carpiano es un padecimiento comn de la mueca,producido por la presin en un nervio. Con frecuencia es el resultado del usoconstante de movimientos de mueca repetitivos, como los que se asocian al usodel teclado. De los distintos tratamientos disponibles, dos son los ms comunes:aplicar un entablillado o practicar una ciruga. El tratamiento de entablillado tiene laventaja de no ser invasivo, de ser ms sencillo, ms rpido y mucho menoscostoso. Sin embargo, estas ventajas justifican optar por el tratamiento delentablillado en vez del tratamiento quirrgico? Un factor crucial es el xito del

tratamiento. En una prueba aleatoria controlada se identific a 156 pacientes consndrome del tnel carpiano, a los que se trat con entablillado o ciruga. Estospacientes fueron evaluados un ao despus. El xito se defini comocompletamente recuperado o con una gran mejora, y se determin, despusde un ao, que de los 73 pacientes que fueron tratados con ciruga, 67 resultaronexitosos. De los 83 pacientes tratados con entablillados, 60 resultaron exitosos.


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Estos resultados se muestran a continuacin:

Tratamiento del sndrome del tnel carpianoTratamiento

Ciruga Entablilladoxito un ao despus deltratamiento

67 60

Nmero total de sujetostratados

73 83

Porcentaje de xito 92% 72%

Utilice los datos muestrales de la tabla anterior, con un nivel de significancia de0.05 para probar la aseveracin de que la tasa de xito de la ciruga es mejor quela tasa de xito del entablillado.

SOLUCIN: primero debemos verificar que se satisfagan los requisitosnecesarios. Dado el diseo de este experimento es razonable suponer que setrata de una muestra aleatoria simple. Adems, el grupo de tratamiento con cirugaes independiente del grupo de tratamiento con entablillado. Para el segundorequisito, observe que el grupo de tratamiento con ciruga tiene 67 xitos en 73pacientes, de manera que existen 6 fracasos. Por lo tanto, el grupo de tratamientocon ciruga tiene al menos 5 xitos y al menos 5 fracasos. Por otra parte, el grupode tratamiento con entablillado tiene 60 xitos en 83 pacientes, de manera que elnmero de fracasos es 23. Por lo tanto, el grupo de tratamiento con entablilladotiene al menos 5 xitos y al menos 5 fracasos. Para cada una de las dos muestrasrevisamos que al menos 5 xitos y al menos 5 fracasos. La verificacin de los

requisitos se complet con xito y procedemos con la prueba de hiptesis.

En los siguientes pasos estipulamos que los pacientes sometidos a cirugaconstituyen la muestra 1, y que los pacientes tratados con entablillado constituyenla muestra 2.

1. La aseveracin de una mayor proporcin de xitos en el grupo detratamiento con ciruga se expresa como . Si es falso,entonces . Puesto que nuestra aseveracin de no contieneigualdad, se convierte en la hiptesis alternativa. La hiptesis nula es laafirmacin de igualdad, entonces tenemos:

(Aseveracin original)2. El nivel de significancia es 3. Utilizaremos la distribucin normal (con el estadstico de prueba dado con

anterioridad). Estimamos el valor comn de y con el estimado de lamuestra agrupada , calculado como se indica a continuacin, con espacios


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decimales adicionales para minimizar errores de redondeo en clculosposteriores.

Con , se deduce que

4. Ahora podemos calcular el valor del estadstico de prueba:

5. Calculamos el valor crtico. Con un nivel de significancia en unaprueba de cola derecha, basada en una distribucin normal, nos remitimosa la tabla de distribucin normal, para encontrar que un rea de enla cola derecha corresponde al valor crtico de . En la siguientefigura podemos observar que el estadstico de prueba se localiza en laregin crtica limitada por el valor crtico de . Por lo tantorechazamos la hiptesis nula y concluimos que hay suficiente evidenciapara sustentar la aseveracin de que la ciruga es ms exitosa que elentablillado.

PRUEBA DE HIPTESIS PARA VARIANZA

A continuacin veremos cmo realizar una prueba de hiptesis respecto de unadesviacin estndar poblacional o varianza poblacional 2. Para lo cualutilizaremos la distribucin chi cuadrada, que se explic en la unidad 3.

El estadstico de prueba para probar la hiptesis acerca de o 2es:

z = 3.12 (estadstico de prueba)


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Utilizaremos la tabla de distribucin chi cuadrada, con gl = n1 para el nmero degrados de libertad.

En la unidad 3 sealamos las siguientes propiedades de la distribucin chicuadrada.

1. Todos los valores son no negativos y la distribucin no es simtrica.2. Todos los valores crticos se encuentran en la tabla de dicha distribucin,

utilizando grados de libertad = n1.

La tabla est basada en reas acumulativas de la zona derecha. Para obtener losvalores crticos en la tabla, primero se localiza el rengln correspondiente alnmero apropiado de grados de libertad (donde gl = n 1). Luego, se utiliza el

nivel de significancia para determinar la columna correcta. Los siguientesejemplos se basan en un nivel de significancia de = 0.05, pero se puede emplearcualquier otro nivel de significancia de manera similar.

Prueba de cola derecha: Puesto que el rea a la derecha del valor crtico es0.05, localice 0.05 en la parte superior de la tabla.

Prueba de cola izquierda: Con un rea de cola izquierda de 0.05, el rea a laderecha del valor crtico es 0.95, as que localice 0.95en la parte superior de la tabla.

Prueba de dos colas: Divida el nivel de significancia de 0.05 entre la coladerecha y la cola izquierda, de manera que las reas a

la derecha de los dos valores crticos sean 0.975 y0.025, respectivamente. Localice 0.975 y 0.025 en laparte superior de la tabla. (Vase la figura y el ejemploen la unidad 3 pg. 20).

Ejemplo:

El mundo de la industria comparte esta meta comn: mejorar la calidad rediciendola variacin. Los ingenieros de control de calidad desean asegurarse de que unproducto tenga una media aceptable, pero tambin quieren producir artculos conuna calidad consistente, eliminando los defectos. La Newport Bottling Company hafabricado latas de bebidas de cola con cantidades que tienen una desviacin

estndar de 0.051 onzas. Se prueba una nueva mquina embotelladora, y unamuestra aleatoria simple de 24 latas produce las cantidades (en onzas) que selistan a continuacin.

11.98 11.98 11.99 11.98 11.90 12.02 11.99 11.9312.02 12.02 12.02 11.98 12.01 12.00 11.99 11.9511.95 11.96 11.96 12.02 11.99 12.07 11.93 12.05


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Estas 24 cantidades tienen una desviacin estndar de s = 0.039 oz. Utilice unnivel de significancia de 0.05 para probar la aseveracin de que las latas debebidas de cola de la nueva mquina tienen cantidades con una desviacinestndar menor que 0.051 oz.

SOLUCIN: Probaremos la aseveracin (hiptesis) de que las bebidas de colaprovienen de una poblacin con una desviacin estndar menor que 0.051 oz.

Analicemos la situacin por pasos.1: La expresin simblica de la aseveracin es < 0.051. 2: Si la aseveracin original es falsa, entonces 0.051. 3: La expresin < 0.051 no incluye igualdad, por lo que se convierte en lahiptesis alternativa. La hiptesis nula es la afirmacin de que = 0.051.

Aseveracin original4: El nivel de significancia es = 0.055: Puesto que la aseveracin es respecto a , usamos la distribucin chi cuadrada. 6: Calculamos el estadstico de prueba

El valor crtico de 13.091 se encuentra en la tabla de distribucin chi cuadrada, enel rengln 23 (grados de libertad = n 1 = 23), en la columna correspondiente a

0.95. Observe el estadstico de prueba y los valores crticos que se muestran acontinuacin.

7: Puesto que el estadstico de prueba no est en la regin crtica (zona lila), norechazamos la hiptesis nula.

0 Estadstico de prueba de datos muestrales

No rechazo

= 0.051

Rechazo

= 0.051

= 0.05


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INTERPRETACIN: no hay suficiente evidencia para sustentar la aseveracin deque la desviacin estndar de las cantidades con la nueva mquina sea menorque 0.051 onzas. Quizs la nueva mquina produce cantidades de bebida de colaque son ms consistentes, con una desviacin estndar menor que 0.051 oz, peroan no tenemos evidencia suficiente para sustentar esa aseveracin.

PRUEBA DE HIPTESIS PARA LA RELACIN DE VARIANZAS

Puesto que la caracterstica de variacin entre los datos es extremadamenteimportante, esta seccin presenta la prueba F para comparar dos varianzas (odesviaciones estndar) poblacionales utilizando dos muestras. La distribucin F,vista en la unidad 3 es la que se utiliza para la prueba F. Por lo cual en estaunidad la volveremos a usar.

Es sumamente importante estar conscientes de una grave desventaja de esteprocedimiento: la prueba F para comparar dos varianzas (o desviacionesestndar) poblacionales es muy sensible a las desviaciones que se alejan de ladistribucin normal.

Debemos recordar que la varianza es el cuadrado de la desviacin estndar ytambin debemos conocer la siguiente notacin.

s = desviacin estndar muestral s = varianza muestral (desviacinestndar muestral al cuadrado)

= desviacin estndar poblacional

= varianza poblacional (desviacin

estndar poblacional al cuadrado)

Los clculos de esta seccin se simplificarn considerablemente si designamoslas dos muestras de manera que represente a la ms grande de las dosvarianzas muestrales. Matemticamente no importa cul muestra se designe comola muestra 1, as que la vida ser ms fcil si permitimos que represente a lamayor de las dos varianzas muestrales, como en el estadstico de prueba incluidoen el cuadro de resumen siguiente.

Requisitos1. Las dos poblaciones son independientes una de la otra (en la unidad 3

aprendimos que dos muestras son independientes si la muestraseleccionada de una poblacin no est relacionada con la muestraseleccionada de la otra poblacin).

2. Las dos poblaciones estn distribuidas normalmente.

Notacin para pruebas de hiptesis con dos varianzas o desviaciones estndar


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La ms grande de dos varianzas muestrales. Tamao de la muestra que tiene la varianza ms grande. Varianza de la poblacin de donde se obtiene la muestra con la varianza msgrande.

Los smbolos , y se utilizan para la otra muestra y la otra poblacin.Estadstico de prueba para pruebas de hiptesis con dos varianzas donde es la ms grande de las dos varianzas muestrales

Valores crticos: Utilice las tablas de distribucin F para obtener valores crticos Fque se determinan por lo siguiente:

1. El nivel de significancia (cada tabla tiene valores crticos para

).

2. Grados de libertad del numerador = (fila superior de cada tabla)3. Grados de libertad del denominador = (columnas izquierda y/oderecha de cada tabla).Para dos poblaciones distribuidas normalmente con varianzas iguales (es decir, ), la distribucin muestral del estadstico de prueba es ladistribucin F que se muestra a continuacin.

Algunas propiedades de de la distribucin F son:

1. La distribucin no es simtrica2. Los valores de la distribucin F no pueden ser negativos.

Valores crticos: Para calcular un valor crtico, primero hay que remitirnos a la filasuperior de las tablas de distribucin F y localizar el valor de los grados de libertaddel numerador = (muestra que tiene la varianza ms grande), luegoen la columna de la izquierda y/o derecha de las tablas, localizamos el valor de los

0 Solo valores

no negativos

Valor de

No simtrica

(sesgada a la

derecha)

F


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grados de libertad del denominador = , en seguida nos ubicamos enalguno de los 5 valores de , posteriormente interceptamos la fila de , lacolumna de con el valor de y ese ser el valor crtico.Ejemplo:

Determine el valor crtico de F con un , y grados delibertad respectivamente.SOLUCIN: localizamos el 8 ( en la fila superior y 15 ( enla columna de la izquierda, y enseguida el valor de 0.05 para , y vemos que elvalor crtico es 2.64

Puesto que estamos estipulando que la varianza muestral ms grande es , todaslas pruebas de una cola sern de cola derecha y todas las pruebas de dos colasrequerirn que encontremos slo el valor crtico localizado a la derecha. Buenasnoticias: No tenemos la necesidad de calcular un valor crtico separando unaregin crtica de cola izquierda. (Puesto que la distribucin F no es simtrica y slotiene valores no negativos, un valor crtico de cola izquierda no puede encontrarseutilizando el negativo del valor crtico de cola derecha; en vez de ello, el valorcrtico de cola izquierda se calcula utilizando el recproco del valor de cola derechacon los nmeros de grados de libertad invertidos.

Interpretacin del estadstico de prueba F: Si en realidad las dos poblacionestienen varianzas iguales, entonces la proporcin tiende a 1, puesto que losvalores de

y

tienden a acercarse. Pero si las dos poblaciones tienen

varianzas radicalmente diferentes, y tienden a ser nmeros muy distintos. Sidenotamos la ms grande de las varianzas muestrales como , vemos que laproporcin ser un nmero grande siempre que y tengan valoreslejanos entre s. En consecuencia, un valor de F cercano a 1 ser evidencia afavor de la conclusin de que , y un valor grande de F ser evidencia encontra de la conclusin de igualdad de las varianzas poblacionales.


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Los valores de F grandes son evidencia en contra de Aseveraciones acerca de desviaciones estndar: El estadstico de prueba F seaplica a una aseveracin acerca de dos varianzas, pero tambin podemosutilizarlo para aseveraciones acerca de dos desviaciones estndar poblacionales.

Cualquier aseveracin acerca de dos desviaciones estndar poblacionales puedereplantearse en trminos de las varianzas correspondientes.

Ejemplo:

Los estadsticos muestrales de un conjunto de datos de muestras de Coca clsicay Pepsi clsica son los siguientes:

Coca clsica Pepsi clsican 36 36

0.81682 0.82410

s 0.007507 0.005701

SOLUCIN: Verifiquemos los requisitos. En primer lugar, es evidente que laspoblaciones son independientes entre s. En segundo lugar, las muestras sugierenque provienen de una poblacin con una distribucin aproximadamente normal.Los requisitos se cumplen y podemos continuar con la prueba.

En vez de utilizar las desviaciones estndar muestrales para probar la aseveracinde desviaciones estndar poblacionales iguales, utilizamos las varianzasmuestrales para probar la aseveracin de varianzas poblacionales iguales, peropodemos plantear conclusiones en trminos de desviaciones estndar. Puesto que

estipulamos en esta seccin que la varianza mayor se denota por , permitimosque , , y . Ahora procedemos autilizar los pasos para generar la prueba de hiptesis.1. La aseveracin de desviaciones estndar iguales es equivalente a una

aseveracin de varianzas iguales, lo cual se expresa simblicamente como . Si la aseveracin original es falsa, entonces . Puesto quela hiptesis nula es la afirmacin de igualdad y dado que la hiptesisalternativa no puede contener igualdad, tenemos:

(Aseveracin original)

2. El nivel de significancia es .3. Puesto que esta prueba implica dos varianzas poblacionales, utilizaremos la

distribucin F.

El estadstico de prueba es:


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4. En cuanto a los valores crticos, primero observe que se trata de unaprueba de dos colas con 0.025 en cada cola. En tanto que estamosestipulando que la varianza ms grande se coloca en el numerador para el

estadstico de prueba F, necesitamos encontrar slo el valor crtico de coladerecha. En las tablas de distribucin F vemos que no hay 35 grados delibertad as que tomamos 30 grados de libertad que es el valor ms cercanoal 35 pero no se excede, as tenemos que

Esta figura indica que el estadstico de prueba F = 1.7339 no se localizadentro de la regin crtica, por lo tanto, no rechazamos la hiptesis nula devarianzas iguales. Se deduce que no existe evidencia suficiente parasustentar el rechazo de la aseveracin de desviaciones estndar iguales.

5. INTERPRETACIN: no existe suficiente evidencia para justificar el rechazode la aseveracin de que las dos desviaciones estndar son iguales. Si

utilizamos un poco de sentido comn bsico, sabemos que las latas deCoca y Pepsi provienen de dos procesos de fabricacin completamenteseparados e independientes, de manera que es poco probable que las dosvarianzas poblacionales sean exactamente iguales. No obstante, con baseen nuestro anlisis podemos concluir que cualquier diferencia entre las dosdesviaciones estndar poblacionales no es significativa.

En el ejemplo anterior utilizamos pruebas de dos colas para la aseveracin devarianzas iguales. Una prueba de cola derecha producira el mismo estadstico deprueba F = 1.7339, pero un valor crtico de F diferente.

Rechazo de No Rechazode Rechazo de

0 Datos muestrales

F = 1.7339


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RESUMEN DE FRMULAS PARA PRUEBAS DE HIPTESIS

Estadstico de contraste con conocida y poblacin infinita

Estadstico de contraste con conocida y poblacin finita

Estadstico de contraste de ladiferencia de medias con

conocida

donde:

Estadstico de contraste con desconocida

Estadstico de contraste con desconocida y poblacin finita

Estadstico de contraste de ladiferencia de medias con

desconocida

donde: Estadstico de contraste de la

proporcin con poblacin infinita

Estadstico de contraste de laproporcin con poblacin finita

Estadstico de contraste de ladiferencia de proporciones

Donde: y

Estadstico de contraste de la

varianza

Estadstico de contraste de la relacin de varianzas

Con y grados de libertad

Para el valor crtico mayor se usa el siguiente teorema:


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BIBLIOGRAFIA

Triola, Mario F.

Estadstica. Dcima edicinPearson Educacin, Mxico, 2009

Gutirrez Pulido, HumbertoControl estadstico de Calidad y Seis SigmaMcGraw Hill, 2009

Lind, Douglas A., Marchal, William G., Wathen Samuel A.Estadstica aplicada a los negocios y a la economaMcGraw Hill 2008

Pruebas de Hipótesis Actual

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