Proyectoanalisisnumeric Milton Final

Propagación de Enfermedades Proyecto de Análisis Numérico – 2do termino 2012

E.S.P.O.L.

Tema del Proyecto:

Método de Runge Kutta

Tutor:

Ing. Alvarez Zamora Manuel Pablo

Alumno:

Milton Tapia Villarreal y Yagual Yépez Gary

Periodo lectivo:20013-2014

Paralelo:1

Profesor: Ing. Pablo Álvarez Integrantes: Milton Tapia – Gary Yagual Yépez Página 1


Guayas - Guayaquil - Ecuador

MARCO TEÓRICOAnálisis Numérico

El análisis numérico o cálculo numérico es la rama de las matemáticas que se encarga de

diseñar algoritmos para, a través de números y reglas matemáticas simples, simular procesos

matemáticos más complejos aplicados a procesos del mundo real.

El análisis numérico cobra especial importancia con la llegada de los ordenadores.

Los ordenadores son útiles para cálculos matemáticos extremadamente complejos, pero en última

instancia operan con números binarios y operaciones matemáticas simples.

Desde este punto de vista, el análisis numérico proporcionará todo el andamiaje necesario para

llevar a cabo todos aquellos procedimientos matemáticos susceptibles de expresarse

algorítmicamente, basándose en algoritmos que permitan su simulación o cálculo en procesos más

sencillos empleando números.

Definido el error, junto con el error admisible, pasamos al concepto de estabilidad de los

algoritmos. Muchas de las operaciones matemáticas pueden llevarse adelante a través de la

generación de una serie de números que a su vez alimentan de nuevo el algoritmo (feedback).

Esto proporciona un poder de cálculo y refinamiento importantísimo a la máquina que a medida

que va completando un ciclo va llegando a la solución. El problema ocurre en determinar hasta

cuándo deberá continuar con el ciclo, o si nos estamos alejando de la solución del problema.

Finalmente, otro concepto paralelo al análisis numérico es el de la representación, tanto de los

números como de otros conceptos matemáticos como los vectores, polinomios, etc. Por ejemplo,

para la representación en ordenadores de números reales, se emplea el concepto de coma

flotante que dista mucho del empleado por la matemática convencional.

En general, estos métodos se aplican cuando se necesita un valor numérico como solución a un

problema matemático, y los procedimientos "exactos" o "analíticos" (manipulaciones algebraicas,

teoría de ecuaciones diferenciales, métodos de integración, etc.) son incapaces de dar una

respuesta. Debido a ello, son procedimientos de uso frecuente por físicos e ingenieros, y cuyo

desarrollo se ha visto favorecido por la necesidad de éstos de obtener soluciones, aunque la

precisión no sea completa. Debe recordarse que la física experimental, por ejemplo, nunca arroja

valores exactos sino intervalos que engloban la gran mayoría de resultados experimentales



obtenidos, ya que no es habitual que dos medidas del mismo fenómeno arrojen valores

exactamente iguales.

Métodos de Runge-Kutta de cuarto orden

Un miembro de la familia de los métodos Runge-Kutta es usado tan comúnmente que a menudo es referenciado como «RK4» o como el método Runge-Kutta.

Definiendo un problema de valor inicial como:

Entonces el método RK4 para este problema está dado por la siguiente ecuación:

Donde:

Así, el siguiente valor (yn+1) es determinado por el presente valor (yn) más el producto del tamaño del intervalo (h) por una pendiente estimada. La pendiente es un promedio ponderado de pendientes, donde K1 es la pendiente al principio del intervalo, K2 es la pendiente en el punto

medio del intervalo, usando K1 para determinar el valor de y en el punto usando el método de Euler. K3 es otra vez la pendiente del punto medio, pero ahora usando K2 para determinar el valor de y; K4 es la pendiente al final del intervalo, con el valor de y determinado por K3. Promediando las cuatro pendientes, se le asigna mayor peso a las pendientes en el punto medio:

Esta forma del método de Runge-Kutta, es un método de cuarto orden lo cual significa que el error

por paso es del orden de , mientras que el error total acumulado tiene el orden .

Por lo tanto, la convergencia del método es del orden de , razón por la cual es usado en los métodos computaciones.

Ecuación diferencial de Bernoulli

Las ecuaciones diferenciales de Bernoulli son ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden,

formuladas por Jakob Bernoulli y resueltas por su hermano Johann, que se caracterizan por tener

la forma:



Donde y son funciones continuas en un intervalo

Método de resolución

Caso general

Si se descuentan los casos particulares en que α=0 y α=1 y se divide la ecuación por yα se obtiene:

(1)

Definiendo:

Lleva inmediatamente a las relaciones:

Gracias a esta última relación se puede reescribir (1) como:

Ecuación a la cual se puede aplicar el método de resolución de una ecuación diferencial

lineal obteniendo como resultado:

Donde es una constante arbitraria. Pero como Z = y1-α se tiene que:

Finalmente, las funciones que satisfacen la ecuación diferencial pueden calcularse utilizando la

expresión:

Con .

Caso particular: α = 0

En este caso la ecuación se reduce a una ecuación diferencial lineal cuya solución viene dada por:



Caso particular: α = 1

En este caso la solución viene dada por:

INTRODUCCIÓN

ANÁLISIS NUMÉRICO.

Una definición de análisis numérico podría ser el estudio de los errores en los cálculos; error aquí no quiere decir un disparate, equivocación u omisión, sino más bien una discrepancia entre el valor exacto y el calculado, que es consecuencia de la manera con que se manejan los números o fórmulas.

Otra definición de análisis numérico podría ser el diseño, uso y análisis de algoritmos, los cuales son conjuntos de instrucciones cuyo fin es calcular o aproximar alguna cantidad o función.

Un especialista de análisis numérico se interesa en la creación y comprensión de buenos métodos que resuelvan problemas numéricamente. Una característica importante del estudio de los métodos es su variación.

El análisis numérico consiste en procedimientos que resuelven problemas y realizan cálculos puramente aritméticos. Pero hay que tomar en cuenta las características especiales y limitaciones de los instrumentos de cálculo (como las computadoras) que nos ayudan en la ejecución de las instrucciones del algoritmo.

Si bien no nos interesa la construcción de tal dispositivo o la manera en que funciona, si nos importarán los sistemas numéricos de máquinas en contraposición con nuestro sistema de números reales, y los errores resultantes de cambiar de uno a otro sistema.

Una buena razón para estudiar el análisis numérico es mejorar nuestra comprensión de los conceptos de las matemáticas (puras) observando como algunos de ello deben modificarse necesariamente en las matemáticas computacionales.

Después de todo, el análisis numérico es importante porque es necesario en la solución de muchos problemas del mundo real.

ECUACIONES DIFERENCIALES

Las ecuaciones diferenciales permiten modelar muchos fenómenos de la naturaleza (la física está llena de ecuaciones diferenciales) y de la sociedad (como la evolución de poblaciones). Antes de la aparición de los ordenadores resolver algunas ecuaciones diferenciales podía ser muy difícil, pero en la actualidad resulta muy sencillo obtener soluciones aproximadas que son en general suficientemente buenas para todas las aplicaciones e incluso va cayendo en desuso la búsqueda de soluciones exactas.



Las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden son las más comunes y las primeras que se estudian. En esta página se muestran algunas escenas que permiten estudiar las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden observando el comportamiento de sus soluciones.

Por un lado sirve para representar fenómenos naturales como el decaimiento radiactivo o el crecimiento de una población sin restricciones y por otro lado es muy fácil encontrar sus soluciones.

Donde C es una constante cualquiera. Esta ecuación lo que dice intuitivamente es que el crecimiento de y respecto a x es proporcional a y, donde a es la constante de proporcionalidad y sus soluciones son funciones exponenciales. La siguiente escena permite visualizar cómo cambian las soluciones de la ecuación (2) al variar el valor de a. En particular se ve que crecen indefinidamente cuando a>0 pero tienden a cero rápidamente ciando a<0. Si a=0 las soluciones son constantes.

INTRODUCCIÓN AL PROBLEMA

Cualquier padre sabe que las gripes y los resfriados se propagan rápidamente, especialmente en las escuelas. Una nueva investigación puede aclarar exactamente cómo enfermedades contagiosas como los resfriados, la influenza, EBOLA y la tos ferina se pueden propagar dentro un grupo cerrado de personas. Asumiendo la probabilidad de contagio una a una persona para contar el número posible de acontecimientos diarios en la propagación de enfermedades.

Teóricamente, los científicos saben que la gente común está diariamente en contacto con otras personas, y que dicha interacción varía en tiempo y que cada contacto es una oportunidad para un contagio de enfermedad.

INTRODUCCIÓN DE LA HISTORIA

En términos históricos, las enfermedades infecciosas han constituido una amenaza muy grave para la sociedad. Durante la mayor parte del siglo XX las pandemias (epidemias que se propagan por áreas y poblaciones de enorme tamaño) se habían ya considerado amenazas del pasado; la medicina moderna se había ocupado para siempre de la peste, la viruela y otras catástrofes de carácter contagioso. No obstante, los cambios ambientales actuales han propiciado cambios en las distribuciones geográficas de organismos en general y de parásitos en particular. La resistencia a los agentes antimicrobianos también se ha convertido en un grave problema mundial. Algunas infecciones, antes fáciles de tratar con antibióticos, representan ahora una grave amenaza para la salud en todas partes. El caso de Toronto (Canadá), la única ciudad de un país occidental en la que la epidemia del síndrome respiratorio agudo grave (SRAG) se ha extendido de forma local, es un claro ejemplo de ello.



Por lo tanto, en años recientes, las enfermedades infecciosas como malaria, tuberculosis, VIH/SIDA, SRAG y la posibilidad del bioterrorismo han provocado de nueva cuenta un gran efecto económico y de salud, sea en países desarrollados o del tercer mundo, lo cual indica que esta amenaza sigue presente. Por ello, el uso de métodos cuantitativos basados en modelos matemáticos para estudiar la dinámica de transmisión y control de las enfermedades infecciosas ha ganado importancia de forma notoria entre los científicos y profesionales de la salud para idear programas efectivos de control e interpretar patrones epidemiológicos.

En el presente trabajo se revisan los antecedentes, la relevancia y la clasificación de los modelos matemáticos para enfermedades infecciosas; además, se describen de forma detallada algunos modelos típicos y otros esquemas recientes que se utilizan cada vez más para modelar las enfermedades infecciosas.

CLASIFICACIÓN DE LOS MODELOS

Existen dos tipos de modelos matemáticos: determinísticos y estocásticos. En un modelo determinístico se pueden controlar los factores que intervienen en el estudio del proceso o fenómeno y por tanto se pueden predecir con exactitud sus resultados. En un modelo estocástico no es posible controlar los factores que intervienen en el estudio del fenómeno y en consecuencia no produce simples resultados únicos. Cada uno de los resultados posibles se genera con una función de probabilidad que le adjudica una probabilidad a cada uno de éstos, por ejemplo un modelo para predecir el tamaño de una epidemia en una población de N individuos.

Para el caso determinístico se proporciona un valor único, C, mientras que el modelo estocástico permite la posibilidad de obtener desde cero hasta N individuos y se adjudica una cierta probabilidad a cada uno de estos sucesos. La diferencia es más grande de lo que parece, ya que en un modelo matemático determinístico en el contexto epidemiológico; un solo sujeto causa una epidemia generalizada, mientras que bajo un modelo estocástico existe la posibilidad de que la epidemia se extinga.



DESCRIPCIÓNMétodo de Runge-Kutta orden 4

Uno de los métodos más utilizados para resolver numéricamente problemas de ecuaciones

diferenciales ordinarias con condiciones iniciales es el método de Runge-Kutta de cuarto orden, el

cual proporciona un pequeño margen de error con respecto a la solución real del problema y es

fácilmente programable en un software para realizar las iteraciones necesarias.

El método de Runge-Kutta se utiliza para resolver ecuaciones diferenciales de la forma explícita:

O en su forma implícita:

Y es sumamente útil para casos en los que la solución no puede hallarse por los métodos

convencionales (como separación de variables). Hay variaciones en el método de Runge-Kutta de

cuarto orden pero el más utilizado es el método en el cual se elige un tamaño de paso h y un

número máximo de iteraciones n.

Ecuación diferencial de Bernoulli

La ecuación de Bernoulli se utiliza para calcular la cantidad de fluido que pasa en un área

dada en un determinado tiempo.

Siendo su forma ordinaria:

Pasos para la resolución del método:

Acomodar la ecuación en la forma básica.

Sacar los valores de la ecuación.

Poner la ecuación en términos de la diferencial.

Sacar el factor integrante.

Evaluar la ecuación con la formula y resolver los paréntesis.



PROBLEMAEn la teoría de propagación de enfermedades contagiosas, podemos utilizar una ecuación diferencial relativamente elemental para predecir el número de individuos de la población infectado en un tiempo dado, siempre y cuando realicemos las suposiciones de simplificación adecuadas. En particular, supongamos que todos los individuos de una población fija tengan la misma probabilidad de infectarse y que una vez infectados, permanecen en ese estado. Si con x (t) denotamos el número de individuos vulnerables en el tiempo ty con y (t ) denotamos el número de infectados, podemos suponer, razonablemente que la rapidez con que el número de infectados cambia es proporcional al producto de x (t) y y (t ), porque la rapidez depende del número de individuos infectados y el número de individuos vulnerables que existen ese tiempo. Si la población es suficientemente numerosa para suponer que x (t) y y (t ) son variables continuas podemos expresar el problema como:

y ' (t )=k ∙ x (t) ∙ y (t)

Donde k es la constante y x (t )+ y (t )=m es la población total. Podemos escribir esta ecuación para que contenga solo y (t ) como:

y ' (t )=k ∙ (m− y (t)) ∙ y ( t)

a) Suponiendo que m=100 000 , y (0)=1000 ,k=2×10−6, y que el tiempo se mide en días encuentre una aproximación al número de individuos infectados al cabo de 30 días.

b) La Ecuación diferencial del inciso (a) se denomina ecuación de Bernoulli y puede transformarse en una ecuación diferencial lineal en u(t ) tomando u(t )=( y (t))−1. Aplique este método para encontrar la solución exacta a esta ecuación. Bajo los mismos supuestos de inciso (a); después compare el valor verdadero de y (t ) en

la aproximación aquí dada. ¿Qué es limt → ∞

( y (t ) )? ¿Concuerda esto con lo que usted

intuye?



RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA PLANTEADO CON DIFERENTES MÉTODOS DE COMPUTACION

Asumiendo una probabilidad como constante de que uno infecte a otro.

Encontrando el método más ajustable a tipo de problema el consiste la transmisión de una enfermada dada y esta a su vez transmitida a otro individuo el método de Runge Kutta de 4to orden. Y con valores iniciales.

dydt

=f (t , y)

y ' (t )=f (t , y)

y '=f ( ti , y i )

y (0 )=1000

h=1

n=30

K1=h∙ f (t i , y i )

K2=h∙ f (t i+h2

, yi+K1

2 )K3=h∙ f (t i+

h2

, y i+K2

2 )K4=h ∙ f (t i+h , y i+K3 )

y i+1≈ y i+16

( K1+2 ∙K 2+2 ∙ K3+K 4 )

LITERAL AParat=0

f (0 )=(2×10−6 ) ∙ (100000−1000 ) ∙ 1000=198

K1=h∙ f (t i , y i )=1∙ 198=198

K2=h∙ f (t i+h2

, yi+K1

2 )=1 ∙ f (0+0.5 ,1000+1982 )=198.098



K3=h∙ f (t i+h2

, y i+K2

2 )=1 ∙ f (0+0.5 ,1000+198.0982 )=217.394

K4=h ∙ f (t i+h , y i+K3 )=1∙ f (0+1 ,1 000+217.394 )=240.5147

y i+1≈ y i+16

( K1+2 ∙K 2+2 ∙ K3+K 4 )=1000+ 16

(198+2 (198.098 )+2 (217.394 )+240.5147 )=1211,58311

Presentación de resultados

i t i y i f (t) K1 K2 K3 K4 y i+1

0 0 1000 198 198 217,384398 219,280043 240,8827211218,70193

4

1 1 1218,70193240,76991

8 240,769918 264,231071 266,514078 292,63146921484,51721

5

2 2 1484,51721 292,49586 292,49586 320,834239 323,575249 355,0800961807,24970

4

3 3 1807,2497354,91763

8 354,917638 389,063569 392,342039 430,24194092198,57816

9

4 4 2198,57817430,04814

2 430,048142 471,069497 474,972772 520,4144392672,33602

2

5 5 2672,33602520,18444

5 520,184445 569,287378 573,908484 628,17269453244,79416

6

6 6 3244,79417627,90145

5 627,901455 686,419648 691,853253 756,3350983934,92455

9

7 7 3934,92456756,01764

9 756,017649 825,383888 831,719762 907,8870684764,60989

5

8 8 4764,6099907,51896

4 907,518964 989,211118 996,524396 1085,8455225758,74914

7

9 9 5758,749151085,4234

5 1085,42345 1180,87536 1189,21302 1293,0440776945,18985

9

10 10 6945,189861292,5666

5 1292,56665 1403,03371 1412,3971 1531,8188728354,39771

3

11 11 8354,397711531,2876

2 1531,28762 1657,65799 1667,98204 1803,57975810018,7556

2

12 12 10018,7556 1803,0002 1803,0002 1945,54717 1956,67841 2108,26476611971,3749

7

13 13 11971,3752107,6473

6 2107,64736 2265,72813 2277,40565 2443,700626 14244,3109

14 14 14244,31092443,0613

9 2443,06139 2614,78381 2626,62964 2804,93083816866,1140

8

15 15 16866,11412804,2912

1 2804,29121 2986,19331 2997,72091 3183,62311719858,7378

8

16 16 19858,73793183,0086

4 3183,00864 3369,82266 3380,4722 3567,72024623233,9576

4

17 17 23233,95763567,1579

5 3567,15795 3751,75305 3760,95929 3941,53230626989,6434

7

18 18 26989,64353941,0469

8 3941,04698 4114,65085 4121,94097 4286,45551531106,4244

9

19 19 31106,42454286,0656

1 4286,06561 4438,83864 4443,94503 4582,41635835545,4327

1

20 20 35545,43274582,1309

7 4582,13097 4704,09845 4707,05811 4809,9721340247,8354

1

21 21 40247,83544809,7905

7 4809,79057 4892,03527 4893,24043 4952,78171245136,6893

6

22 22 45136,68944952,6964

2 4952,69642 4988,60482 4988,7756 4999,96851750121,2603

223 23 50121,2603 4999,9705 4999,97059 4986,25814 4986,32994 4947,825043 55103,4222



9 9

24 24 55103,42234947,9101

6 4947,91016 4885,1667 4886,1156 4800,41826659985,2377

9

25 25 59985,23784800,5900

5 4800,59005 4693,19715 4695,85162 4568,931227 64676,5076

26 26 64676,50764569,2002

5 4569,20025 4424,64165 4429,53495 4269,91827669101,0862

2

27 27 69101,08624270,2970

1 4270,29701 4098,04467 4105,34582 3922,92302473201,0863

9

28 28 73201,08643923,4191

8 3923,41918 3733,6674 3743,19877 3548,01099576938,6134

7

29 29 76938,61353548,6222

1 3548,62221 3351,13592 3362,45724 3163,690227 80295,1966

VALORES OBTENIDOS EN EXCEL



EN MATLAB: COMANDO UTILIZADO

Resultados obtenidos


ECUACION DE BERNOULLI

Propagación de Enfermedades Proyecto de Análisis Numérico – 2do termino 2012RESOLUCIÓN DEL LITERAL B

y ' (t )=k ∙ (m− y (t)) ∙ y ( t)

y ' (t )=( 2× 10−6 ) ∙ (100 000− y (t ))∙ y (t)dydt

=(2 ×10−6 )∙ (100 000− y ) ∙ y

dydt

=(0.2 y−2×10−6 y2 )

dydt

−0.2 y=−2 ×10−6 y2

−1

y2

dydt

+0.21y=2× 10−6

Cambio de variable u (t )=( y ( t ) )−1= 1

y (t)= 1

y

dudt

=−1

y2

dydt

Reemplazamos en la ecuación.−1

y2

dydt

+0.21y=2× 10−6

dudt

+0.2u=2 ×10−6

Como es una ecuación lineal de primer orden las ecuaciones que consideremos pueden ser puestas en la forma (Caso General)dudt

+P (t ) u=Q( t)

Se multiplican ambos términos por el factor de integración (Caso General) .e∫

P(t )dt

e∫ P(t )dt dudt

+e∫ P (t )dt P (t ) u=e∫ P (t )dt Q(t)



ddt

(e∫ P(t )dt u)=e∫P (t)dt Q(t )

e∫P(t )dt

u=∫e∫P(t )dt

Q (t)dt

u=e−∫ P(t )dt∫ e∫

P (t )dtQ(t)dt

Caso Particulare∫

0.2dt=e0.2 t

Multiplicamos a ambos lados de la ecuación particular. Para obtener.e∫0.2dt ∙( du

dt+0.2 u)=e∫0.2dt ∙ (2× 10−6 )

Después reconocemos el segundo miembro de la derivada óseaddt

(u ∙ e∫0.2dt )=e∫0.2dt ∙ ( 2× 10−6 )

u=(2× 10−6 ) e−0.2 t∫e0.2 t dt=( 2×10−6 ) e−0.2 t [ 10.2

e0.2 t+C ]u=(2× 10−6 ) 5+(2 ×10−6 ) e−0.2 t C=1

y

Como u=1y

y y (0)=1000 Entonces la ecuación queda:y= 1

(2 ×10−6 )5+ (2× 10−6 ) e−0.2 t C

1000= 1

(2 ×10−6 ) 5+(2 ×10−6 ) e−0.2 t C

(2×10−6 )5+ (2× 10−6 ) e−0.2 t C= 11000

(2 ×10−6 ) e−0.2 t C= 11000

−( 2× 10−6 ) 5

Como es en estado inicial t=0.(2 ×10−6 )(1)C= 1

1000−(2 ×10−6 )5



C=9.9 ×10−4

2 ×10−6 =495

La ecuación general queda:y (t )= 1

( 2× 10−6 ) 5+(2 ×10−6 )∙ 495∙ e−0.2 t

y (t )= 1

( 1× 10−5 )+(9.9 × 10−4 )∙ e−0.2 t

y (30 )= 1

(1 ×10−5 )+ (9.9 ×10−4 ) ∙ e−0.2 (30)=80295.71528



RecomendaciónUtilizar el método de Runge-Kutta de 4to orden ya que como nos damos cuenta el resultado que nos arroja es muy similar al de resultado verdadero, esto quiere decir que este método tiene una buena aproximación y que no tiene mucho error.También es favorable resolver esta ecuación diferencial por medio del método de Bernoulli ya que este método nos arroja el resultado real, y teniendo el resultado real y el resultado que nos da el método de Runge-Kutta de 4to orden podemos comparar cual fue su variación que tuvo. Como hemos resuelto este ejercicio por diferentes métodos como es Excel, en forma manual, por matlab, y por Bernoulli, con los resultados arrojados nos damos cuenta que tan preciso es el método.Si lo hacemos en forma manual el resultado final va a variar más que cuando se lo realiza en matlab porque en forma manual perdemos decimales, y estos influyen en el resultado final.Como la rapidez de infectados es proporcional al producto de las personas afectadas y a de las personas no infectadas entonces al cabo de los 30 dias tendremos 80296 personas infectadas.ConclusiónEl método de Runge-Kutta de 4 orden nos arroja resultados muy aproximados al real.Los métodos numéricos son aplicables en muchas áreas para aproximar, ejemplo este ejercicio sobre enfermedades.Se concluye que al cabo de los 30 días tendremos 80296 personas infectadas.Bibliografíahttp://arquimedes.matem.unam.mx/DescartesWeb2.0/doctec/mates/ecdif/ecdif.htm

http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_Runge-Kutta


Propagación de Enfermedades Proyecto de Análisis Numérico – 2do termino 2012Libro de Análisis Numérico Richard L. Burden.


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