Optimizacion de operaciones

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U.P.I.I.C.S.A

Apuntes de Investigacin de Operaciones.

INVESTIGACION DE OPERACIONES.TEMARIO. I. INTRODUCCION A LA INVESTIGACION DE OPERACIONES Definicin de antecedentes, ubicacin en las organizaciones, metodologa. II. PROGRAMACION LINEAL. A. Modelo de la Programacin Lineal (P.L. General). Propiedades. B. Formulacin con Programacin Lineal de aplicaciones tpicas en: produccin, seleccin de equipo, procesos, horarios, dieta, etc. C. Solucin para el problema expresado con Programacin Lineal. a. Mtodo de solucin grfica con solo dos variables. 1. Visualizacin de conceptos de P.L.; solucin factible y no factible, solucin bsica, solucin nica y no nica, restriccin redundante, solucin degenerada, variable de holgura y superflua. b. Mtodo de solucin analtica para el problema de P.L. 1. Formas equivalentes del modelo de programacin lineal. 2. Definiciones y teoremas de P.L. 3. Mtodo SIMPLEX y criterios para el cambio de base. 4. Variables artificiales. i. Mtodo SIMPLEX-PENAL o de la M Grande. ii. Mtodo SIMPLEX-DOS FASES. 5. Casos especiales en la tabla SIMPLEX. 6. Teora de la Dualidad en P.L. i. Obtencin del Problema Dual en forma cannica. ii. Obtencin del Problema Dual en forma directa. iii.Equivalencia entre las dos obtenciones anteriores iv. Significado de las variables duales e interpretacin econmica. v. Mtodo DUAL-SIMPLEX y criterios para cambios de base. 7. Estructura matricial de la tabla SIMPLEX. 8. Anlisis de sensibilidad de la solucin ptima de un problema. i. Cambios en el vector b de recursos de restricciones. ii. Cambios en el vector C de coeficientes de la funcin objetivo. iii. Cambios en la matriz A de coeficientes de restricciones. c. Aplicaciones de la Programacin Lineal a Redes de Flujo. 1. Definicin. 2. Modelo de transporte simple. Definicin. i. Modelo matemtico de P.L. y tabla usual. ii. Solucin inicial para la optimizacin de un problema. iii.Algortmo de transporte (SIMPLEX-SIMPLIFICADO) para la optimizacin. (I) Ejemplificacin de soluciones degenerada y no degenerada.

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3. Modelo de transbordo definicin. i. Modelo matemtico de transbordo balanceado y sin capacidades. ii. Modelo matemtico de transbordo con capacidades. 4. Problemas y modelo matemtico de ruta mnima. Definicin. i. Algortmo de Dijkstra para red orientada y no orientada. ii. Algortmo matricial para cualquier red. 5. Problema de rbol mnimo y algortmo de conjunto conectado. 6. Problema y modelo matemtico de flujo mximo i. Algortmo de Ford-Fulkerson para red orientada ii. Algortmo matricial para cualquier red.

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Apuntes de Investigacin de Operaciones.

INVESTIGACION DE OPRERACIONES.

Es la aplicacin del mtodo cientfico. Por grupos interdisciplinarios. En el estudio de problemas de las organizaciones creads por el hombre buscando un a solucin integral. Modelo matemtico obligado.

METODO CIENTIFICO Mtodos estadsticos de muestreo.

GRUPOS INTERDISCIPLINARIOS

Investigador de operaciones. Administradores. Informticos. Ingenieros. Economistas. Contadores. Etc.

CREADAS POR EL HOBRE. ANTECEDENTES. AO. 1759 1873 1874 1891 1903 1897 1905 1920.30 1937 1937 1939 1947 1950s AUTOR. Quesnay G.Jordan. Warlas. Minkousky. Farkas. Markov. Erlang. Konig Egervary Morgerstern. Von Newman. Kantorovich. G.Dantzig. Bellman. Kun-Tucker. Gomory. Ford-Fulkerson.

Enfoque sistmico.

TECNICA DESARROLLADA. Modelos primarios de programacin matemtica. Modelos lineales. Modelos primarios de programacin matemtica. Modelos lineales. Modelos lineales. Modelos dinmicos probabilsticos. Lneas de espera. Asignacin. Lgica estadstica. Teora de juegos. Distribucin. Mtodo SIMPLEX. Programacin dinmica. Programacin no lineal. Programacin entera. Redes de flujo.. .

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AO.

AUTOR. Markowitz. Raifa. Arrow-Karli.

TECNICA DESARROLLADA. Simulacin. Anlisis de decisiones. Inventarios. Newton. Lagrange Laplace. Leibnitz. Stieljes.

Siglo XVI..... Clculo Diferencial Probabilidad y. Estadstica.

Metodologa de Investigacin de Operaciones:1 Identifica el problema (partes y objetivos)

2 Observar el Sistema

(informacin)

3 Formular un Modelo Matemtico (plantear )

4 Verificar el Modelo y usarlo en prediccin (evaluar y derivar sol. )

5 Seleccionar alternativas de solucin

6 Presentar resultados a la organizacin

7 Implementar y evaluar recomendaciones

. .

U.P.I.I.C.S.A Programacin Lineal

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A pesar de que la programacin lineal se empez a estudiar desde finales del S.XIX no fue hasta mediados del presente siglo en que tuvo auge como tcnica matemtica aplicable a los problemas de la empresa. El Dr. G. Damtzing desarroll el mtodo simplex y con ello hizo posible la solucin de grandes problemas modelados con programacin lineal que solo quedaban en la situacin de estudios. Paralelamente a la invencin de este mtodo a partir de mediados del siglo se desarrollo la computacin digital y se pudo tener resultados ptimos a los problemas estudiados que se quedaron como modelos. La programacin lineal es actualmente la tcnica matemtica utilizada mas actualmente gracias a que el algoritmo simplex es muy eficiente y al desarrollo de la computacin. Lo que se busca con la aplicacin de la programacin lineal es resolver problemas comunes y a la vez muy variados de la empresa en donde en general se tienen necesidades por satisfacer con cierto nmero de recursos limitados o escasos y con el objetivo de lograrlo en forma ptima. Esto significa la bsqueda de un valor mximo cuando se trata de beneficios; o bien la bsqueda de un mnimo cuando se trata de esfuerzos a desarrollar. Un modelo de programacin lineal es un conjunto de expresiones matemticas las cuales deben cumplir la caracterstica de linealidad que puede cumplirse siempre y cuando las variables utilizadas sean de primer grado. Adems un modelo de P.L debe tener las propiedades de: Proporcionalidad Aditividad (adicin) Divisibilidad Certidumbre(certeza)

Antes de formular un modelo general para P.L conviene ilustrar algunos ejemplos que faciliten la interpretacin de la generalizacin Ejemplo de produccin: Una empresa ha dejado de fabricar ciertos productos, liberando de esta forma las cargas de produccin que tenan sus equipos en los departamentos de maquinado. Ahora se tienen horas mquina que se pueden utilizar en los productos denominados 1,2,3 de la siguiente manera:

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Mquina Fresadora Torno Rectificadora Utilidad $/ pieza

Horas por pieza de producto 1 2 3 9 5 3 50 20 Mnimo 15 3 4 25 Mnimo 20 5 2

Horas Maq. Disponibles por semana 500 350 150

Recomendacin del Mnimo Depto. Vtas a Prod. 30

Formular un modelo de P.L para este problema

Definicin de variables a utilizar en el mtodo de programacin lineal Sea: Xj = numero de piezas de producto j(j=1,2,3) a fabricar para maximizar la utilidad. Funcin econmica y objetivo: MAX Z= 50X1 + 20X2 + 25X3 [ (Dls/Unidad) (Unidad/Sem)] = [Dls/Sem.] sujeta a restricciones de horas mquina disponibles por semana Fresadora : Torno: Rectificadora: 9X1 + 3X2 + 5X3 = 500 horas mquina fresadora 5X1 + 4X2 = 350 horas mquina torno 3X1 + 2X3 = 150 horas maquina rectificadora

Condiciones de signos pare las variables: X1 X2 = 30 piezas = 15 piezas X3 = 20 piezas

. .

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Ejemplo de inversin: Se desean invertir 2 millones de dlares en 6 tipos de inversin cuyas caractersticas son las siguientes:Tipo de Inversin 1 2 3 4 5 6 Inters Anual(%) 8.5 9 8.5 14.3 6.7 13 Factor de Riesgo 0.02 0.01 0.38 0.45 0.07 0.35 Plazo promedio de inversin 8 2 5 6 2 4

El factor de riesgo significa la probabilidad de que el rendimiento real sea inferior al esperado. Se considera ventajoso un perodo promedio ponderado de inversin de ciando menos 5 aos; pero el factor promedio ponderado de riesgo no debe ser superior a 0.20. La ley prohibe que la suma de las inversiones de los tipos 4 y 6 sea mayor al 25% del total de la inversin. Con P.L formule un modelo de P.L para decidir cmo invertir para maximizar el rendimiento de los 2 millones de dlares.

(SOL. A) Definicin de variables Sea: Xj = cantidad de dlares a invertir maximizar el rendimiento. Funcin objetivo MAX Z= 0.085X1 + 0.09X2 + 0.85X3 + 0.143X4 + 0.067X5 +0.13X6 sujeta a restricciones: 1) X1 + X2 + X3 +X4 + X5 + X6 = 2,000.000 dls. 2) 0.02X1 + 0.01X2 + 0.38X3 + 0.45X4 + 0.07X5 + 0.35X6 = 0.2 (2,000.000) = 400,000 dls. 3) 8X1 + 2X2 + 5X3 +6X4 + 2X5 + 4X6 = 5 (2,000.000) = 10,000.000 dls. 4) X4 + X6 = 0.25 (2,000.000) = 5,000.000 dls. X1, X2, X3, X4, X5, X6 = 0 (SOL. B). .

en el tipo j(j=1,2,3,4,5,6) para

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Definicin de variables Sea: Xj = Fraccin capital a invertir en el tipo j(j=1,2,3,4,5,6) para maximizar el rendimiento. Funcin econmica y objetivo: MAX Z= 8.5X1 + 9X 2 + 8.5X3 + 14.3X 4 + 6.7X5 +13X 6 sujeta a restricciones: 1) X1 + X2 + X3 +X4 + X5 + X6 = 1 (capital) 2) 0.02X1 + 0.01X2 + 0.38X3 + 0.45X4 + 0.07X5 + 0.35X6 = 0.2 (1) = 0.2 3) 8X1 + 2X2 + 5X3 +6X4 + 2X5 + 4X6 = 5 (1) = 5 4) X4 + X6 = 0.25 (1) = 0.25 X1, X2, X3, X4, X5, X6 = 0 Ejemplo: Problemas de mezcla en la inversin. Definicin de variables: Sea: xj = Fraccin del capital a invertir en la tipo j (j = 1,2,...,6) para maximizar el rendimiento.

Funcin objetivo: Max. z = 8.5 x1 + 9 x2 + 8.5x3 + 14.3x4 + 6.7x5 + 13x6 Sujeto a restricciones: x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = 1 (Factor de riesgo) 0.02x1 + 0.01x2 + 0.38x3 + 0.45x4 + 0.07x5 + 0.35x6 0.2 (1) = 0.2 8x1 + 2x2 + 5x3 + 6x4 + 2x5 + 4x6 5(1) = 5 x4 + x6 0.25 (1) = 0.25 x1,x2,...,x6 0 [sta es otra forma de plantear el problema]. .

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Problema de establecimiento de horario. En un sector de la ciudad se tiene el siguiente requerimiento de policas:PERIODO DEL DIA HORA DEL DIA. POLICIAS REQUERIDOS ( ) 1 06-10 300 2 10-14 350 3 14-18 425 4 18-22 450 5 22-02 250 6 02-06 200

El periodo #1 sigue inmediatamente del 6. Cada polica debe laborar 8 hrs consecutivas. Formular un modelo de programacin lineal de este problema.1PERIODO/HORA 1 2 3 4 5 6 REQUERIDOS. 06-10 X1 10-14 X1 X2 14-18 X2 X3 18-22 X3 X4 450 22-02 02-06

X4 X5 250

X6 300

350

425

X5 X6 200

Definicin de variables: Sea xj = Nmero de policas que inician el periodo j (j = 1,2,3,...,6) Funcin objetivo: Min. z = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 Sujeto a restricciones: x1 + + x6 x1 + x2 x2 + x3 x3 + x4 x4 + x5 250 x5 + x6 300 350 425 450 (policas mnimos para cubrir turnos [6])

200

.... toda xj 0

Ejemplo:1

Requerido significa tambin necesidad, que es lo mismo a cubrir, por lo tanto debe ser . .

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Problema de aprovechamiento de recursos. Una empresa papelera recibe un pedido de rollos de papel de la misma calidad y espesor para los siguientes anchos: 500 rollos de 30 in, 450 rollos de 45 in y 150 rollos de 56 in. En las bodegas de la empresa solo se tiene existencia en esta calidad de papel en ancho de 108 in, por lo que se piensa deben someterse a un proceso de corte longitudinal si se desea cumplir la demanda de este pedido. Formular un modelo de programacin lineal correspondiente a este problema.

108 cm

CORTE

Definicin de variables2: Sea xj = # de cortes del tipo j (j = 1,2,....,5) necesarios para cumplir el pedido con mnimo desperdicio de papel. Funcin objetivo (o econmica): Min. z = 18x1 + 3x2 + 22x3 + 18x4 + 7x5 Sujeto a restricciones: 3x1 + 2x2 + x3 500 rollos de 30 x2+ x4 + x5 450 rollos de 45 x3 + x5 150 rollos de 56

...las unidades:

2

No olvidar que la definicin de variables siempre se debe hacer de manera cuantitativa (en #). . .

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Rollos Corte in corte

Corte

=

Rollos

...para restricciones.

corte

=

in

...para funcin objetivo. Toda xj 0

Problema de almacenamiento en el transporte. Un barco tiene las siguientes capacidades de almacenamiento en sus bodegas de popa, centro y proa. Los dueos del barco pueden elegir una porcin o toda la carga de los productos A, B y C, cuyas caractersticas se tabulan a continuacin. Adems, para preservar el equilibrio del barco debe cumplirse con una carga proporcional a la capacidad de las respectivas bodegas.BODEGA PROA (1) CENTRO (2) POPA (3) PRODUCTOS A B C CAPACIDAD TONELADAS 3000 2000 1500 TNS A TRANSPORTAR 3500 2500 2000 m3/Ton 60 50 25 CAPACIDAD m3 130000 10000 30000 UTILIDAD (MILES DLS/TN) 8 7 6

Definicin de variables: Sea: xij = toneladas del producto j (j = A,B,C) a cargar en la bodega i (i = 1,2,3) para maximizar la utilidad en el viaje. Funcin objetivo: Max z = 8(x1A + x2A + x3a) + 7(x1B + x2B + x3B) + 6(x1C + x2C + x3C) ...con unidades Miles de dls. Ton Sujeto a restricciones: x1A + x1B + x1C 3000 Ton. x2A + x2B + x2C 2000 x3A + x3B + x3C 1500 60x1A + 50x1B + 25x1C 130000 m3.. .

Ton

=

miles de dlares

Capacidad en Ton

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Capacidad en Ton

60x2A + 50x2B + 25x2C 100000 60x3A + 50x3B + 25x3C 30000 x1A + x1B + x1C 3500 Ton. x2A + x2B + x2C 2500 x3A + x3B + x3C 2000

Capacidad en Ton

Proporcin de carga en las bodegas: x1A + x1B + x1C3000 =

x2A + x2B + x2C2000

=

x3A + x3B + x3C1500

1

Modelo de programacin lineal general. Definicin de variables: Sea xj = #.... Funcin objetivo: Trminos del primer grado que se sumen. Max. o Min. z = C1x1 + C2x2 + ... + Cjxj + ... + Cnxn ...donde n = # total de valores j = ocurrencia. Sujeto a restricciones: i = 1, 2, 3, ... , m a11x1 + a12x2 + ... + a1jxj + ... + a1nxn a21x1 + a22x2 + ... + a2jxj + ... + a2nxn

; j = 1, 2, 3....n

= b1 = b2 = bi

ai1x1 + ai2x2 + ... + aijxj + ... + ainxn

am1x1 + am2x2 + ... + amjxj + ... + amnxn = bm Condiciones de signo para variables: toda xj 0

Modelo general de programacin lineal resumido en: Sumatorias.. .

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Definicin de variables: Funcin objetivo:

sea xj = # ; j = 1, 2, 3, ... , n (Max./Min.) z = cjxj ... sujeta a: aijxj = bi

i = 1, 2, 3, ... , m

... condiciones de signo: xj 0 Con vectores. (Max./Min.) z = Cx ... sujeto a: Ax x = 0 b

Propiedades que debe de seguir el modelo de programacin lineal. Proporcionalidad. En el modelo de programacin lineal los pagos deben ser proporcionales. El modelo de programacin lineal es esttico, plantea una situacin del momento.

x = progreso de la actividad

Aditividad. Siempre los pagos se suman. Requerimientos. Costos y Utilidades. Divisibilidad. Las variables involucradas en el modelo de programacin lineal pueden no ser un nmero entero... Si los valores son muy pequeos no importa el redondeo. Si son muy altos afecta el redondeo. Certidumbre. Todos los parmetros que se manejan deben ser pasados con certeza. Mtodos de solucin del modelo de programacin lineal.. .

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El modelo de programacin lineal se puede resolver tanto grfica como analticamente, pero para problemas de tamao comn que se encuentran como aplicaciones, la solucin grfica no es til. En cambio, la solucin analtica utilizando el algortmo SIMPLEX que se ver posteriormente es el procedimiento normal para la bsqueda de la solucin ptima de un problema. Mtodo de solucin grfica. La gran limitacin que se tiene con el mtodo de solucin grfica con programacin lineal es que su aplicacin slo puede hacerse a problemas con dos y cuando mucho tres variables, en este curso se ejemplifica para problemas solo con dos variables. A pesar de tal inconveniente, el mtodo grfico resulta til para exposicin e ilustracin de los conceptos de la programacin lineal. Ejemplo: Max. z = 3x1 + 5x2 x1 2x2 3x1 + 2x2 ... sujeto a: 4 .......... (1) 12 .......... (2) 18 .......... (3)

x1 ; x2 0

A

( 0 , 6

)

R

( 4 , 6 )

H

( 4 , 3 )

J O ( 0 , 0 ) F ( 4 , 0 )

( 6

, 0 )

Expresar geomtricamente el sistema dentro del grfico; rango de valores.

. .

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(1)

x1 4 (4,0) F

(2)

2 x2 12 x2 6 (0.6) A

(3)

3 x1 + 2 x2 18 x1 x2 0 6 (0,9) B (6,0) J 9 0

Las desigualdades son fronteras o divisin del espacio plano. Si la recta no pasa por el origen, se toman en cuenta las coordenadas de O. Espacio solucin: Satisface al sistema (factible) posible. Conjunto de soluciones factibles. Si se satisface la restriccin, el origen pertenece al semiplano que satisface la restriccin.A C

H

cO F

3

1

x + 2

2

=2 =x

1x 8 1 2

3

1

=x =x

6 2

6

+ x2 =2 =2

1 8 x1 2

x2 = C

6 ( 2

, 6

)

H

(1) (3) x1= 4 3x1 + 2x2 = 18 2x2 = 6 ; x2 = 3

3x1 = 12 x1 = 4 H = (4,3)

Trazo de la funcin econmicaVALOR RELATIVO

z

(5,0) (0,3)

Mltiplo de los coeficientes que nos dan la pendiente de la funcin. z = 15 supuesto. .

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...trasladar a z en cualquier direccin respetando la pendiente (paralela a la obtenida). Haciendo coincidir z con todos los vrtices conocidos nos damos cuenta que a medida que se aleja del origen crece. El punto mximo es C. ... donde z = 3(2) + 5(6) = 36 Max z = 36 Los vrtices son capaces de generar lo OPTIMO. CONVEXIDAD: Si dados dos puntos cualesquiera contenidos en el conjunto y se unen mediante el segmento y si se cumple para todo par de puntos, es convexo. Para resolver mediante el algortmo SIMPLEX, el conjunto debe ser CONVEXO. CONJUNTO CONVEXO: un conjunto es convexo si dados dos puntos A y B cualesquiera, contenidos en el mismo, el segmento de recta que los une queda contenido en dicho conjunto totalmente. DEFINICION MATEMATICA: Un conjunto convexo se forma por combinacin convexa lineal entre dos puntos A y B como sigue: P = A + B(1 - ) para 0 1 ...donde A y B son vectores y es un escalar. Ejemplo: Obtener un punto p que sea CCL entre dos vrtices A y F con = . P = ((0,6) ) + (4,0) (1 - ) P = (0,3) + (2,0) P = (2,3)OJO: NO SE PUEDEN GENERAR LOS VERTICES.

METODO GRAFICO. Ejemplo: Max z = 3x1 + 5x2 ...sujeta a: x1 4 ... (1) 2x2 12 ... (2) 3x1 + 2x2 18 ... (3)

x1 ; x2 0

. .

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B

( 0 , 9 )

M

a1

c

x2

z ( x , x

= )

3

6

A

( 0 , 6 )

C

( 2 , 6 ) R

( 4 , 6 )

H

( 4 , 3 )

C O N J U N T O D E S O L U C F A C T I B L E S

C I O . N

O E

N S

V

E

X

O

E

S

P

A

C

I O

S

O

L

U

C

I O

N

.

J O ( 0 , 0 ) F ( 4 , 0 )

( 6

, 0

)

MS O

i on

=z ( 0 , 0 ) L U C IO N T R IV IA

L .

CONJUNTO CONVEXO: Un conjunto es convexo si dados dos puntos A y B contenidos en el mismo, el segmento de recta que losa une queda contenido totalmente en dicho conjunto. DEFINICION MATEMATICA: Un conjunto convexo se forma por combinacin convexa lineal entre dos puntos A y B como sigue: P = A + B(1 - ) para 0 1

Ejemplo: Obtener un punto P que sea CCL entre los vrtices A y F con = P = (0,6) + (4,0) (1 - 9 = (0,3) + (2,0) P = (2,3)

(pueden calcularse as todos los puntos a excepcin de los vrtices) Cuando se tienen desigualdades ha y que convertir a igualdades (ec. lineales). Tomando la restriccin 3:H O L G U R A = X

1 3 3 X 1 ( 2 ) + + 2 2 X 2 ( 6 )

8

. .

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En este caso coincidi, pero no lo sabamos, si no fuera as, necesitamos una nueva variable x llamada holgura y retomando el ejemplo anterior se tendra:

x1 2x2 3x1 + 2x2

+ x3 + x4 + x5

= 4 ... (1) = 12 ... (2) = 18 ... (3)

x3 , x4 , x5

HOLGURA.

x1 ... x5 0

...y se tiene un sistema ampliado a 5 dimensiones.

VERTICE O A C F H B J R

X1 0 0 2 4 4 0 6 4

X2 0 6 6 0 3 9 0 6

X3 4 4 2 0 0 4 -2 0

X4 12 0 0 12 6 -6 12 0

X5 18 6 0 6 0 0 0 -6

OBNES. FACTIBLE FACTIBLE FACTIBLE FACTIBLE FACTIBLE

Tomando X3, X4, X5, de sustituir o despejarlos de 1, 2 y 3 y tomando X1 y X2 como 0, ....en todas se cumple x 0.

... en las observaciones se sealan los puntos como factibles porque cumplen con la no negatividad, pero los puntos B, J y R no cumplen con la condicin de no negatividad, lo cual nos indica que no son factibles. Retomando el sistema anterior, solo cambiaremos el signo de desigualdad de (3) que ser . 3x1 + 2x2 18 ... (3)

. .

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B

( 0 , 9 )

3 ( 0 )

+

2

( 0 ) 1 n8 o e s . . . e l o r i g e n

n

o

c u m

p l e .

A 2

( 0

, 6

)

R

( 4 , 6 ) C D H ( 4 , 3 ) O E N S J U N T O C O N V E X O O L U C I O N E S F A C T I B L E S .

J O ( 0 , 0 ) 1 F ( 4 , 0 )

( 6 3

, 0 )

Agregaremos al sistema ahora una 4 restriccin, siguiendo con la condicin de no negatividad. 3x1 + 2x2 si .... y si ...B ( 0 , 9 ) R E D U

18 ... (4) 4

(x1 , x2 ) (0 , 12 ) (8 , 0 )N D A N T E .

A 2

( 0

, 6 )

R

( 4

, 6 ) 4 E s n o y la s e r u n a r re e s d t ru a lt e r a e n s q u e h u a n r e d u n i cn n b d cd a ie a i a nn d a r a n t e t e p o r q u e a l c o n j u n t o s o l u c i n m a s a la d e r e c h a c o s . a n

H

( 4 , 3

)

J O ( 0 , 0 ) 1 F ( 4 , 0 )

( 6 3

, 0W ) ( 8

, 0 )

4

. .

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Ampliando el sistema inmediato anterior, podemos hacer lo mismo que antes con 1, 2 y 4, pero no con 3 porque el signo es y nos indica que mnimo 18 y necesitaremos una VARIABLE SUPERFLUA o de HOLGURA NEGATIVA.. s u3

.

3 x 1+ 2 x 2

p e r f l u a x

+ .x1 2 2x 3 1x 3 1x

+ + +

x34

= x 2 2x 2 3x

=

4

1 2 - 3x + 6x

( 1 = = 1 8 2 4

)

( 2

) ( 3 ) ( 4 )

1

8

VERTICE

O A C F H B J R

X1 0 0 2 4 4 0 6 4

X2 0 6 6 0 3 9 0 6

X3 4 4 2 0 0 4 -2 0

X4 12 0 0 12 6 -6 12 0

X5 -18 -6 0 -6 0 0 0 6

X6 24 12 6 12 6 6 6 0

OBSERVACIONES NO FACTIBLE NO FACTIBLE FACTIBLE NO FACTIBLE FACTIBLE NO FACTIBLE NO FACTIBLE FACTIBLE

Ojo: en el rengln R de la tabulacin anterior hay tres ceros, a diferencia del resto de la misma tabulacin y de la anterior de 5 dimensiones. Esto se debe a que por ese punto pasan 3 rectas y por el resto convergen solo dos rectas.

En el punto R intersectan: R 1 2 1 4 2 4

... y se dice que el punto como tal es NO UNICO. Y tomando en consideracin que para un solo punto se requiere de una interseccin, el resto de los puntos es UNICO. Se dice entonces que el punto R tiene: SOLUCION FACTIBLE SOLUCION NO UNICA ... y solo cuando se dan las dos anteriores soluciones se llama SOLUCION DEGENERADA.. .

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Apuntes de Investigacin de Operaciones.

Un vrtice no nico se establece cuando hay redundancia. Observaciones caractersticas. ...el vrtice O A C F H B J R es es es es es es es es NO FACTIBLE y UNICO. NO FACTIBLE y UNICO. FACTIBLE y UNICO. NO FACTIBLE y UNICO. FACTIBLE y UNICO. NO FACTIBLE y UNICO. NO FACTIBLE y UNICO. FACTIBLE, UNICO y DEGENERADO.

...y por lo tanto, del grfico anterior decimos entonces que C y H son no degeneradas.

DEFINICIONES: SOLUCION: Es un conjunto de valores para las variables o bien un vector X = (x1 , x2 , ... , xj , xj+1 , ... , xn , xn+1 , ... , xn+m ) que satisface al conjunto de restricciones

j

j

=

n

+

m

a= 1

ij

xi j

=

b

SOLUCION FACTIBLE: Es un conjunto de valores para las variables o bien un vector = (x1 , x2 , ... , xj , xj+1 , ... , xn , xn+1 , ... , xn+m ) que satisface al conjunto de restriccionesj

X

j

=

n

+

m

a= 1

ij

xi j

=

b

...y adems satisface a toda xj 0 . SOLUCION BASICA: Es una solucin que se obtiene al hacer nulas, al menos, (m+n)-m variables, en donde m = # total de restricciones,. .

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Apuntes de Investigacin de Operaciones.

n = # de variables de decisin (originales)[en el ejemplo, m = 3 y n = 2 (3+2) 3 = 2 ... en el ejemplo de 4 restricciones m = 4 y n = 2, resultando (4 + 2) 4 = 2 .... y por esto, en el sistema ampliado se tiene en VERTICE : SOLUCIONES BASICAS].

...y se resuelve el sistema para las restantes. SOLUCION BASICA FACTIBLE: Es una solucin bsica que cumple toda xj 0. SOLUCION DEGENERADA: Es una solucin bsica factible que tiene menos de m variables estrictamente positivas. SOLUCION NO DEGENERADA: Es una solucin bsica factible con exactamente m variables estrictamente positivas. SOLUCION OPTIMA: Es una solucin bsica factible que optimiza la funcinj

Z

=

j

=

n

+

m

cj= 1

xj

La solucin en el grfico 1 y 2 sera solo el rea sombreada.

A

( 0 , 6 )

R

( 4 , 6 )

A

( 0 , 6 )

R

( 4 , 6 )

H

( 4

, 3

)

H

( 4 , 3

)

J O ( 0 , 0 ) F ( 4 , 0 )

( 6

, 0

) O ( 0 , 0 ) F ( 4 , 0 )

J

( 6

, 0

)

La solucin factible en 1 cuando cumple con 0 y en 2 coincide con solucin (polgono A, C, H, F, O)

. .

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Apuntes de Investigacin de Operaciones.

Solucin bsica en 1 todos los vrtices pero en 5 dimensiones y en 2 solo C, R, H pero en 6 dimensiones. Ejemplo: Mix z = 4x1 + 3x2 ...sujeta a: x1 + x2 6 ... (1) 2x1 - x2 0 ... (2) x1 2 ... (3) 2x1 = x2 2(0) = 1(0) : (0,0) O 2(1) = 1(2) : (1,2) 2(2) = 1(4) : (2,4) C

x1 ; x2 0 3 x1 , x2 (2 , 0) F

x1 , x2 (0 , 6) B 1 (6 , 0) A

2

1

3 2

B

( 0

, 6 )

C

C o n ( 2 , s o) l u 4

ju n t o c o n v e x o d e c i o n e s f a c t ib le s . E n 2 c o m o e s c e r o n o h a d i s t a n c i a a l o r i g e n y p o r l o e s u n o d e l o s p u n t o s . y t a n t o

O

( 0 , 0 )

F

( 2 , 0 )

A

( 6

, 0 ) S u s t i t u i m r e s t r i c c io a s t a . o s a l g n n e s p a r a v a c o l o r d e l s e o c e r e l la m ip la n o e n d o q u e c o r r

El conjunto anterior se diferenca de los anteriores porque es un CONJUNTO ABIERTO y al pedir un mximo, se tendra una solucin SIN LMITE.

Recordar que si el origen se encuentra en el conjunto factible, al pedirse minimizar, esta se llama solucin trivial. 4(2) + 3(4) = 20 ....[Min] Considerando Min z3

4(6) + 3(0) = 24

Resolviendo analticamente: x1 +3

x2 - x3 6

Ojo: z solo se valora en vrtices . .

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Apuntes de Investigacin de Operaciones.

2x1 x1

x2 - x4 0 - x5 2

x1, x2 , x3 , x4 , x5 0

(los vrtices en 2 dimensiones pasan a ser soluciones bsicas en 3 dimensiones)VERTICES O SOLUCIONES BASICAS

X1 0 2 0 2 6

X2 6 0 0 4 0

X3 0 -4 -6 0 0

X4 -6 4 0 0 12

X5 -2 0 -2 0 4

CARACTERISTICASN.FACTIBLES, UNICA N.FACTIBLES, UNICA N.FACTIBLES, NO UNICA N.FACTIBLES, NO UNICA, DEGE. N.FACTIBLES, UNICA

B

F O C A

La degeneracin en C se provoca por una restriccin redundante : 3 C se genera de la simultaneizacin de las rectas 1,2 ; 2,3 ; 1,3 y se tienen 3 soluciones bsicas. Como en el grfico anterior el nmero de soluciones bsicas es infinito y hacemos o tomamos solo soluciones bsicas: # mximo de soluciones bsicas m+n m = m+n n = m+n! m! n! m = # de restricciones. n = # de variables de decisin. #= 3+2 3 = 3+2 2 = 5 3 = 5 2 = 5! 3! 2! = 10

3 1

3

S e t ie n e n la r e c t2 a 3 S O L U C I 3 1 1

e y N

n x

t a l 9 n o s e I N E X I S

t o

s o l u c io n e s ; la 1 0 n o s e d a p c r u z a n y p o r l o t a n t o h a y u n T E N T E .

En los ejemplos anteriores no cambia el nmero mximo, pero las lneas horizontal y vertical o cruzan el eje contrario.. .

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Apuntes de Investigacin de Operaciones.

1 1 1 1 1

1 1 3 N = 4 + 4 = 2 4 + 2 = 2 4 6 ! = 1 ! 2 ! 5

S

. I .

1 1 1 S . I . 1

S

. I .

1 1 1 S . I . 1 S . I . 1

El modelo de programacin lineal se puede presentar en diferentes formas y algunas de ellas resultan importantes para el manejo de los temas siguientes del curso.

FORMA CANONICA: Esta es til para el manejo del tema que se refiere al problema dual de cualquier problema de programacin lineal. La forma cannica aceptable y reconocida en la mayora de los textos debe cumplir con lo s siguientes requisitos: 1. Funcin objetivo maximizar. 2. Restricciones del tipo . 3. Condiciones de negatividad para variables.Otra forma legtima para considerar como cannica es cumpliendo con los siguientes requisitos:

1. Funcin objetivo de minimizar. 2. Restricciones del tipo . 3. Condiciones de no negatividad para variables.

FORMAS CANONICAS. Maximizar. Minimizar. z = Cx z = Cx sujeto a: sujeto a: Ax b Ax b x 0 x 0 Max z = 3x1 + 5x2Suj. a:

(-1)

Min z = -3x1 - 5x2Suj. a:

4 2x2 12 3x1 + 2x2 18 x1

x1 ; x2 0

-x1 -4 - 2x2 -12 -3x1 - 2x2 -18

FORMA ESTANDAR: El modelo de programacin lineal para resolverse, necesita arreglarse para igualdades, lo cual se consigue utilizando tanto variables de holgura como. .

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Apuntes de Investigacin de Operaciones.

variables superfluas. Lo anterior da lugar a la presentacin del modelo cumpliendo con l os siguientes requisitos: 1. 2. 3. 4. Funcin objetivo para Max. o bien Min. Restricciones del tipo =. Lado derecho de restricciones no negativo. Condiciones de no negativo para variables.

FORMA IRREGULAR: El modelo de programacin lineal generalmente se presenta en forma irregular; es decir, no cumple con la forma cannica ni tampoco forma estndar, pero mediante el procedimiento algebraico se puede conseguir convertir a un modelo que cumpla las formas mencionadas tal como se ve en el siguiente ejemplo: Formas equivalentes del modelo de programacin lineal. Ejemplo: Max z = 5x1 - x2 + 3x3 ...sujeta a: x1 + 2x2 + 4x3 12 ... (1) x2 + x3 = 5 ... (2) 2x1 x2 + 5 x3 6 ... (3) Formas cannicas (en forma vectorial) Max z = Cx sujeto a: Ax 0 x 0 Min z = Cx sujeto a: Ax 0 x 0

x1 ; x2 0 ; x3 LIBRE4

.....en el caso anterior conviene usar Max para no invertir la funcin objetivo. Forma cannica. Algo que incomoda es x1 0 y entonces se hace un acuerdo matemtico para crear otra variable x1 como se hace a continuacin: x1 0 -x1 = x1 0

...la hicimos igual a x1 y luego multiplicamos todo por 1. (-x1 = x1 0) (-1) = x3 = (x3+ - x3-) x3+ ; x3- 04

x1 = -x1 0 ...ahora para x3 :

Un problema rara vez se presenta en forma cannica o estndar. . .

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Apuntes de Investigacin de Operaciones.

si...

x3+ > x3x3+ < x3x3+ = x3-

x3 > 0 x3 < 0 x3 = 0

iniciando...

Multiplicamos por los arreglos a los coeficientes.

Max z = 5x1 - x2 + 3x3 z = 5x1 - x2 + 3x3+ - 3x3-

...sujeta a: x1 + 2x2 + 4x3+ - 4x3 12 ... (1)

Para la restriccin original (2) no tengo un proceso especfico, pero se ponen en sustitucin de esta restriccin de igualadad a 2 restricciones de desigualdad con signos opuestos (mismo trminos). x2 + x3+ - x3- 5 ........ (2+) x2 + x3+ - x3- 5 ........ (2-) ...pero como no tenemos que tener aqu , entonces multiplicamos a 2- por (-1) y queda de la siguiente forma: -x2 - x3+ + x3- -5 ........ (2-)

Pasando a la restriccin (3), hay que multiplicarla por (-1) sin dejar de tomar el signo para x1. 2x1 + x2 - 5x3+ + 5x3- -6 x1 = -x1 0 ; x2 , x3+ ; x3- 0 Agrupando todo lo anterior resulta la forma cannica. Forma estndar. Max/Min z = Cx Sujeta a: Ax=b x 0 Max z = 5x1 - x2 + 3x3 3x3 Sujeta a: (tomando las originales y tomando los arreglos para variables)5 - x1 + 2x2 + 4x3+ - 4x3- + x4 = 125

.....

(1)

Para hacer = una o se resta una variable superflua o sumamos una de holgura respectivamente. . .

U.P.I.I.C.S.A x2 + x3+ - x3= 5 - 2x1 - x2 + 5x3+ - 5x3- - x5 = 6

Apuntes de Investigacin de Operaciones. ..... (2) ..... (3) x1 ; x2 ; x3+ ; x3- ; x4 y x5 0

SUPERFLUA

......quedando de esta manera la forma estndar. Ejercicio: Min z = 4x1 + 3x2 - x3 Sujeta a: 2x1 - x2 + 2x3 = 14 x1 + x2 + 3x3 8 3x2 + 2x3 4 x1 LIBRE ; x2 0 ; x3 0 Forma cannica. -x2 = x2 0 x2 = -x2 0 x1 = (x1+ - x1-) x1+ 0 ; x1- 0 Min z = 4x1+ - 4x1- - 3x2 x3 Sujeta a: (2x1+ - 2x1- + 2x2 + 2x3 14) (-1) 2x1+ - 2x1- + 2x2 + 2x3 14 ..... (1-) + -2x1 + 2x1 - 2x2 - 2x3 -14 ..... (1+) (x1+ - x1- - 2x2 + 3x3 8) (-1) -x1+ + x1- + 2x2 - 3x3 8 - 3x2 + 2x3 4 -2x1+ + 2x1- - x2 - 2x3 -14 2x1+ - 2x1- + x2 + 2x3 14 -x1+ + x1- + 2x2 - 3x3 8 - 3x2 + 2x3 4 x1+ ; x1- ; x2 ; x3 0 Forma estndar. -x2 = x2 0 x2 = -x2 0 x1 = (x1+ - x1-) x1+ 0 ; x1- 0 ..... (1+) ..... (1-) ..... (2) ..... (3) ..... (2) .....(3) x1+ > x1- x1 > 0 x < x1 x1 < 0 x1+= x1- x1 = 0+ 1 -

..... ..... .....

(1) (2) (3)

Min z = 4x1+ - 4x1- - 3x2 x3 . .

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Apuntes de Investigacin de Operaciones.

Sujeta a: 2x1+ - 2x1- + x2 + 2x3 14 x1+ - x1- - 2x2 + 3x3 + x4 8 - 3x2 + 2x3 - x5 4 x1+ ; x1- ; x2 ; x3 ; x4 ; x5 0

..... (1) ..... (2) ..... (3)

MTODO SIMPLEX. El mtodo smplex fue desarrollado en 1947 por el Dr. George Dantzig y conjuntamente con el desarrollo de la computadora hizo posible la solucin de problemas grandes planteados con la tcnica matemtica de programacin lineal. El algortmo denominado smplex es la parte medular de este mtodo; el cual se basa en la solucin de un sistema de ecuaciones lineales con el conocido procedimiento de Gauss-Jordan y apoyado con criterios para el cambio de la solucin bsica que se resuelve en forma iterativa hasta que la solucin obtenida converge a lo que se conoce como ptimo. Las definiciones siguientes fundamentadas en 3 importantes teoremas, ayudan a entender la filosofa de este eficiente algortmo. Teoremas de la Programacin Lineal. 1. 2. El conjunto de soluciones factibles para un problema de P.L. es un conjunto convexo. La solucin ptima del problema de programacin lineal , si existe, es un punto extremo (vrtice) del conjunto de soluciones factibles. Si dicha solucin ptima se tiene para ms de un punto extremo, entonces tambin optimiza en cualquier punto que sea combinacin convexa lineal entre los dos vrtices que optimiza.

1

zC A zA = ( 0 , 6 2 4 )

=

3

6

m

a x M x1 m a x 3 1x 3 ( 2 ) a x z 1 = 3 x2 + 5 x

C

R ( 4 , 6 ) ( 2 , 6 ) 2 P Z HH

=

3 6

( 4 , 3 )

4 ( 1 ) 1 2 ( 2 ) 2 2x + 2 2 x1 8 ( 3 ) X 1 , x2 0 + 5 ( 6 ) = 3 6

J O ( 0 , 0 ) F ( 4 , 0 )3

( 6

, 0

)

...y suponiendo que la funcin objetivo fuera: Max zC = 6x1 + 4x2 6(2) + (6) = 36 Max zH = 6(4) + 4(3) = 36 . .

U.P.I.I.C.S.A Max zA = 6(0) + 4(6) = 24 Calcular P como CCL entre C y H con = P = C + (1 - ) H P = (2 , 6) + ( 1 ) (4 , 3) P = ( , 3/2) + (3 , 9/4) = (7/2 , 15/4) ... y retomando el grfico anterior: ZP = 6 (7/2) + 4 (15/4) = 36 3.

Apuntes de Investigacin de Operaciones.

El nmero mximo de puntos extremos (vrtices) por revisar en la bsqueda de la solucin ptima del problema es finito y coincide con el nmero mximo de soluciones bsicas nicas que se pueden determinar mediante el binomio... m+n m = m+n n = (m+n) ! m! n!

DIAGRAMA FUNCIONAL DEL METODO SIMPLEX.

1 Sumar variables de holgura (forma estndar)

2 Determinar una primera solucin bsica factible.

3 Existe una solucin bsica factible adyascente mejor? SI 4 Calcular para la nueva solucin bsica factible

NO

5 Entonces la solucin bsica factible es ptima.

CRITERIOS DEL ALGORITMO SIMPLEX PARA EL CAMBIO DE BASE.

. .

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Apuntes de Investigacin de Operaciones.

El algortmo smplex maneja exclusivamente soluciones bsicas y que cumplan con factibilidad; es decir, todas las variables deben ser no negativas. Por lo tanto, para el manejo de las soluciones bsicas factibles y su valoracin, requiere de la aplicacin de ciertos criterios fundamentados en los teoremas ya mencionados. Por cada intento de clculo es necesario aplicar los siguientes criterios: Criterio de optimalidad. Se aplica en el algortmo smplex para determinar entre las variables nobsicas, una que entre a la base, eligiendo aquella no-bsica con el coeficiente ms negativo en el rengln z de la tabla smplex; si el problema tiene el objetivo de maximizar. En caso contrario, es decir, para minimizar, debe elegirse para variable entrante a la base a aquella que tenga el coeficiente ms positivo en el rengln z de la tabla. Criterio de factibilidad. Se aplica en el algoritmo smplex para determinar entre las variables bsicas a una que salga de la base, aplicando la siguiente funcin. xi Min a ik Esto es vlido tanto para problemas de maximizar como de minimizar. Elemento pivote. Se declara como elemento pivote a aqul coeficiente que se ubica en el cruce de la columna k y el rengln i elegidos en los dos criterios ya anotados. Ejemplo: Resolver con el mtodo smplex el siguiente modelo de programacin lineal. Max z = 3x1 + 5x2 x1 2x2 3x1 + 2x2 ... conseguir la forma estndar Max z = 3x1 + 5x2 x1 Bloque #16 ...

; solo a i k > 0

...sujeta a: 4 12 18 (1) (2) (3)

x1 ; x2 0

sujeta a: 12 (3)

+ x3 4 2x2 + 3x1 + 2x2 + x5holguras

(1) x4 18

(2) x1 ; x2 ; x3 ; x4 , x5 0

FORMA MATRICIAL.BASE z x3 x4 x5 1 solucin bsica y factible. Z 1 0 0 0 x1 -3 1 0 3DECISINEs 0 porque no hay z en 1, 2 y 3 VE x2

-5 0 (p) 2 2

x3 0 1 0 0

x4 0 0 1 0HOLGURA

x5 0 0 0 1

SOLUCION 0 4 12 RS 12/2=6 18 18/2=9

El rengln z tiene la funcin econmica u objetivo.6

Ahora por arreglo se tendr: Max z 3x1 5x2 = 0 . .

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Apuntes de Investigacin de Operaciones.

Para nuestra primera solucin bsica y factible se deben de tener ceros en los coeficientes de nuestras variables bsicas (x3, x4 y x5) y se debe de tener a la matrz identidad (aunque estn desordenadas las columnas). Aplicamos ahora los criterios 1 y 2 (en ese orden). Por criterio de optimalidad declaro a x2 como variable entrante (VE). Ahora por el criterio de factibilidad determino la VS; como en el 1er rengln el valor no es > 0, no se hace, pero en el resto s. 12/2 = 6 y 18/2 = 9 ...y se toma al menor como VS

Pasar ahora a la tabla y observar el ltimo rengln que ahora se agrega en la siguiente tabla: BASERE(5) +Rz7

RE = RS/P RE(2) + Rx5

z x3 x2 x5

z 1 0 0 0

VE x1

-3 1 0 (p) 3

x2 0 0 1 0

x3 0 1 0 0

x4 5/2 0 -1

x5 0 0 0 1

SOLUCION

30 4 4/1=4 6 6 VS 6/3=2

VERTICE A. NOTA8

B

( 0

, 9 )1

S U A

O N

L U C I N B S I C A F A C V R T I C E A D E L S I S 5 D I M E N S I O N E S . X1 x3 x2 x5 , x4 = = = = 4 6 6 0

T I B L E T E M

A

( 0

, 6 ) C

R ( 4 , 6 ) ( 2 , 6 ) 2

H S E A O N M L U C I N V R T I C P L I A D O B E A S I C A F A C T I B O D E L S I S T E 5 D I M E N S I O N L E M A E S .

( 4

, 3 )

x1 x3 x4 x5

, x2 = = =

= 0 4 O 1 2 1 8

J ( 0 , 0 ) F ( 4 , 0 )3

( 6

, 0 )

7 8

RE que pasa a ser el rengln pivote y se calcula dividiendo RS entre el pivote que es el 2 En esta tabla lo que se busca es obtener (justificar) lo 0s de la columna x2 (VE) multiplicamos RE por el inv. aditivo del # que se quiere cambiar a cero y sumamos el rengln mismo anterior. En x3 ya no se hace nada porque ya se tena el cero. . .

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Apuntes de Investigacin de Operaciones.

Mientras haya coeficientes negativos en z todava no se llega a la solucin ptima (para todas las variables del rengln z)Como es la nueva var. Se deben hacer ceros a los dems.

BASERE(3) +z RE(-1) + Rx3 = RE= RS/P x1 z x3 x2

z 1 0 0 0

x1 0 0 0 1

x2 0 0 1 0

x3 0 1 0 0

x4 3/2 1/3 -1/3

x5 0 -1/3 0 1/3

SOLUCION

36 2 6 2

Solucin ptima: zo=36; x1=2; x2=6; x3=2; x4,5 = 0 Ejemplo:

VERTICE C

Max z = 6x1 + 10x2 Sujeta a: x1 + x2 5 x1 + 2x2 4 x1 3

..... (1) ..... (2) ..... (3)

x1 ; x2 0

forma estndar: Max z = 6x1 + 10x2 Sujeta a: x1 + x2 + x3 = 5 ..... (1) x1 + 2x2 + x4 = 4 ..... (2) x1 x5 = 3 ..... (3) x1 ; x2 ; x3 ; x4 ; x5 0 ...por arreglo:

z - 6x1 + 10x2 = 0 FORMA MATRICIAL: BASE z x3 x4 x5RE(10) + z z RE(-1)+x3 x3

x2 X5 RE(1)+z z RE(- )+x3 x3 RE(- )+x2 x2 RE=RS/P x1RE=RS/P

Z 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0

x1 -6 1 1 1 VE -1 P 1 0 0 0 1

RE x2

-10 P 1 2 0 0 0 1 0 0 0 1 0

x3 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0

x4 0 0 1 0 5 - 0 5 0 1 0

x5 0 0 0 1 0 0 0 1 0 - - 1

SOLUCION 0 5 RS 5/1 4 4/2 3 20 3 3/1/2=6 2 2/1/2=4 3 RS 3/1=3 23 3/2 3

Como todava hay coeficientes < 0 en este rengln z se contina...

Atencion en multiplicar por el inverso aditivo . .

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Apuntes de Investigacin de Operaciones.

La solucin ptima es:

z = 23 x3 = 3/2 x2 = x3 = 3 x1 x2 (0 , 2) A (4 , 0) H

x4 = x5 = 09

1

x1 x2 (0 , 5) B (5 , 0) RX2

2

3

(3 , 0) F

1 B ( 0 , 5 )

3

z ( 0 ) zA = zF = zC =

0 0 6 ( 0 ) 6 ( 3 ) 6 ( 3 )

+ + 6

1 0 ( 2 ) = 1 0 ( 0 ) = 1 0 ( 1 / 2 )

2 0 1 8 = 2 3

M

A

X

.

2 A ( 0 , 2 ) C R O ( 0 , 0 ) F ( 3 , 0 ) H ( 4 , 0 ) S ( 5 , 0 )

X

1

L O N O

S S

P O

U N

N F

T A

O C

S T

< 0 I B L

E

S

.

VARIABLES ARTIFICIALES.El modelo de programacin lineal se presenta generalmente en forma irregular; es decir, que se pueden incluir restricciones de cualquier tipo. Cuando las restricciones son del tipo , la variable de holgura que se suma para conseguir que la restriccin sea de igualdad proporciona el coeficiente +1 que es til para la formacin de la matriz initaria de base en el algortmo smplex. En contraste, una restriccin del tipo requiere que se le reste una variable superflua para conseguir igualdad en la misma, lo cual no proporciona el coeficiente +1 para la base como primera solucin en el algortmo smplex. Tambin ocurre que las restricciones del tipo = no requieren arreglo con holguras o superfluas y por lo tanto tampoco se tiene al coeficiente +1 para la primera base del simplex.

Por tal motivo se necesita de un arreglo artificial para el caso de que el modelo de programacin lineal que se pretende resolver con el algortmo smplex utilizando las llamadas variables artificiales; de esta manera debe sumarse un variable artificial ( )10 por cada restriccin del tipo y por cada una del tipo = presentes en el problema. Cuando el problema que se pretende resolver necesita de variables artificiales, entonces el algortmo smplex que se aplica es con variantes, las cuales se vern para pequeos ejemplos.9

Toda variable fuera de la base tiene un valor igual a cero. En clase se utiliz el smbolo x , pero dada la complejidad que representa escribirlo en Word, se emplea en estos apuntes el smbolo para hacer referencia a variables artificiales. . .10

U.P.I.I.C.S.A

Apuntes de Investigacin de Operaciones.

Las variables artificiales no tienen significado fsico y solo deben comprenderse como artificios matemticos para la matriz de base. METODO SIMPLEX PENAL O DE LA M GRANDE. Como su nombre lo indica, consiste en penalizar la inclusin de las variables artificiales en la funcin objetivo con un coeficiente M muy grande que para el caso de maximizar es - M y para el caso de minimizar es + M. La primera solucin bsica del smplex en tal caso, debe de incluir a todas las variables artificiales que fueron necesarias en el arreglo del modelo de programacin lineal por resolver esto ltimo porque las variables artificiales se utilizan precisamente para tomar la primera solucin bsica. A medida que se cumplen las etapas de clculo en el smplex, las variables artificiales debern de ir saliendo de la misma, en consecuencia del coeficiente M muy grande. Si se presenta el caso de que las variables artificiales no se logren sacar de la base y por lo tanto se anulen, ello significar que tal problema no tiene solucin factible.

Ejemplo: Max z = 4x1 + 3x2 Sujeta a: x1 + x2 6 2x1 - x2 0 x1 = 2 x2 0 Forma estndar. Max z = 4x1 + 3x2 Sujeta a: x1 + x2 - x3 2x1 - x2 - x4 x1

..... (1) ..... (2) ..... (3)

6 0 = 2

..... (1) ..... (2) ..... (3)

x2 , x3 , x4 0 ...consiguiendo una base artificial..... .

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Apuntes de Investigacin de Operaciones.

x1 + x2 2x1 - x2 x1

x3 + 5 x4 + 6 + 7

6 0 = 2

..... (1) ..... (2) ..... (3) x2 , x3 , x4 , 5 , 6 , 0

VAR. ARTIFICIALES7

Penalizar la funcin objetivo. Min z = 4x1 + 3x2 + M 5 + M 6 + M z - 4x1 - 3x2 - M 5 - M 6 - M 7 = 07

...debemos pasar al arreglo de tener el trmino independiente cero al lado derecho.

Paso a la forma tabular del Mtodo Smplex Penal.BASE (Aqu i deberan tener coeficiente 0, sigue abajo)

zz z z z 5 6 7 z x1 z x2 x1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0

x1-4 M-4 3M-4 4M-4 1 P 2 VE 1 0 0 1 0 0 0 0 0

x2-3 M-3 -3 -3 1 -1 0 2M-5 3/2 - 0 1 0 0

x30 -M -M -M -1 0 0 -M -1 0 01/3M10/3

x40 0 -M -M 0 -1 0 M-2 - 1/3M1/3

5

6

7

SOLUCION

-M 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0-4/3M +10/3

-M -M 0 0 0 1 0 -2M+2 - --4/3M +1/3

-M -M -M 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1

0 6M 6M 8M 6 8/1 0 VS 0/2 2 2/1 8M 6 6/3/2 =4 0 2 20 4 2 0

M( 5)+Rz M( 6)+Rz M( 7)+Rz

RE(-4M+4)+z RE(-1)+ 5

5

RE=RS/P RE(-1)+ 77

VE

2/1/2=4

RE(-2M+5)+z RE=RS/P RE()+x1 RE(- )+ 7

-2/3 -1/3 1/3

1/3 -1/3 1/3

2/3 1/3 -1/3

-1/3 1/3 -1/3

7

1 solucin bsica

Cuando hay empate como en este caso, la variable saliente se escoje arbitrariamente. . .

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Apuntes de Investigacin de Operaciones.

factible. Ejemplo: Max z = 3x1 + 2x2 Sujeta a: x1 + x2 10 ..... (1) 5x1 + x2 20 ..... (2) Forma estndar... Max z = 3x1 + 2x2 Sujeta a: x1 + x2 - x3 5x1 + x2 + x4 Conseguir la base artificial... Max z = 3x1 + 2x2 Sujeta a: x1 + x2 - x3 + 5 5x1 + x2 + x4 Penalizando la funcin objetivo... Max z = 3x1 + 2x2 - M 5 z - 3x1 - 2x2 + M 5 = 0BASE z-M(R 5)+ Rz

x1 ; x2 0

= 10 ..... (1) = 20 ..... (2)

x1 ; x2 ; x3 ; x4 0

= 10 ..... (1) = 20 ..... (2)

x1 ; x2 ; x3 ; x4 ;

5

0

z 5 x4 z x1

z 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0

x1 -3 -M-3VE

x2 -2 -M-2 1 1 -4/5M-7/5 P 4/5VE

x3 0 M -1 0 M -1 0 -7/4 VE -5/4 P 0 0 1

x4 0 0 0 1 1/5M+3/5 -1/5 1/5 5/20 -1/4 2 1 1

5 M 0 1 0 0 1 0 M+7/4 5/4 -1/4 M 0 1

SOLUCION.

0 -10M 10 10/1 20 VS 20/5 -6M+12 6 VS 6/4/5 4 4/1/5 45/2 15/2 15/2/-5/4 15/2 5/2/1/4 40 20 10

RE(M+3)+Rz RE(-1)+ 5

1 P 5 0 0 1 0 0 1 7 5 4

5

RE=RS/P

RE(4/5M+7/5)+Rz z RE= RS/P x2 RE(-1/5)+Rx1 RE(7/4)+Rz RE(5/4)+Rx2 RE=RS/P

x1 z x2 x3

1/5 0 1 0 0 1 0

Solucin ptima:

zo = 40. .

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Apuntes de Investigacin de Operaciones.

x2 = 20 x3 = 10 METODO DE DOS FASES.

x1 = x4 = 5 = 0

Esta variable del smplex tambin se utiliza cuando estn presentes las variables artificiales en el modelo de programacin lineal que se pretende resolver. Este mtodo se desarrolla en dos fases, en la primera de las cuales se aclara sobre la factibilidad para la solucin ptima buscada. 1 Fase: En esta primera fase siempre se minimiza una funcin objetivo que se constituye mediante la suma de las variables artificiales.

M

iZ n

=

a

i

Las variables artificiales empleadas para conseguir la primera solucin bsica ocupan dicha base y a travs de las etapas de clculo se procura la salida de las mismas tan pronto como sea posible. Debido a que el objetivo de la funcin z es MINIMIZAR, tal valor deber disminuir conforme se desarrollan las iteraciones, hasta conseguir el valor de cero para la funcin z, lo cual representa lo ptimo de la 1 fase. Si esto no se logra, ello significa que alguna variable artificial no es posible sacarla de la base y debe interpretarse como problema sin solucin factible. Si lo anterior ocurre, ya no es necesario continuar con la 2 fase de este mtodo. 2 Fase. Si se obtiene la optimizacin en la primera fase, entonces se contina mediante la construccin de la primera tabla smplex, para lo cual se utiliza la tabla ptima de la primera fase, pero eliminando las columnas correspondientes a las variables artificiales, las cuales ya no se utilizan; adems, debe eliminarse el rengln z y sustituirlo con los coeficientes correspondientes a la funcin original. La tabla inicial de la 2 fase debe revisarse para la solucin bsica antes de pretender aplicar los criterios del smplex para el objetivo del problema. En conclusin, para la aplicacin del mtodo de dos fases deben aplicarse los criterios del smplex como se observa en la siguiente tabla:PROBLEMA DE: MAXIMIZAR 1 FASE MINIMIZAR 2 FASE MAXIMIZAR . .

U.P.I.I.C.S.A MINIMIZAR Ejemplo: MINIMIZAR

Apuntes de Investigacin de Operaciones. MINIMIZAR

Max z = 3x1 + 2x2 Sujeta a: x1 + x2 10 ..... (1) 5x1 + x2 20 ..... (2) Forma estndar... Max z = 3x1 + 2x2 Sujeta a: x1 + x2 - x3 5x1 + x2 + x4 Conseguir la base artificial... Max z = 3x1 + 2x2 Sujeta a: x1 + x2 - x3 + 5 5x1 + x2 + x4

x1 ; x2 0

= 10 ..... (1) = 20 ..... (2)

x1 ; x2 ; x3 ; x4 0

= 10 ..... (1) = 20 ..... (2)

x1 ; x2 ; x3 ; x4 ;

5

0

1 Fase: Min z = 5

...por arreglo: z - 5 = 0

BASE z(R 5)1+ Rz

z 5 x4 z x2 x4

z 1 1 0 0 1 0 0

x1 -3 1 1 5 0 1 4 P

x2 -2 1 1 0 1 0VE 1

x3 0 -1 -1 0 0 -1 1

x4 0 0 0 1 0 0 1

5 -1 0 1 0 -1 1 -1

SOLUCION.

0 10 10 20 0 10 10VS 10/1 20/1

RE(-1)+Rz RE=RS/P RE(-1)+Rx4

SOLUCION PTIMA 1 FASE FIN DE LA 1 FASE. 2 Fase. TABLA SIMPLEX PARA LA 2 FASE. Funcin original: Max z = 3x1 + 2x2 z 1 x2 0 x4 0 se arregla a: Max z 3x1 2x2 = 0 -3 -2* 0 1 1 -1 4 0 1

Var. Bsicas x2, x4 hacen matrz I. Observar 2* en x2 debe ser 0 (Rx2) (2)+z=

0 0 1

0 10 10 . .

SE ARREGLA RENGLON z Y x2 y x4 CUMPLEN CON LOS REQUISITOS PARA SOLUCION BASICA

U.P.I.I.C.S.A z x2 x4 z x2 x3 1 0 0 1 0 0 -1 1 4 7 5 4

Apuntes de Investigacin de Operaciones. 0 1 0 0 1 0 -2 -1 1 2 1 1 0 0 1 2 1 1 20 10 10 40 20 10

Ahora buscar entre var. no bsicas el menor RE(2)+Rz RE(1)+Rx2 RE=Rs/P

VE

NO VS

P

CASOS ESPECIALES EN LA TABLA SIMPLEX. Se pueden identificar cuatro casa especiales en la tabla smplex, para los cuales se tienen seales particulares. Tal identificacin es independiente tanto del tamao del problema como de su objetivo. Degeneracin. Se identifica en la tabla smplex porque al menos una variable bsica tiene valor cero. La degeneracin puede ser de ndole permanente o definitiva, si se presenta como solucin ptima. Tambin puede darse el caso de un problema con solucin degenerada transitoria, si tal degeneracin se presenta en cualquier etapa intermedia de clculo en la bsqueda de la solucin ptima.

Solucin no acotada. Se identifica en la tabla smplex porque en la columna correspondiente a la variable entrante se tienen coeficientes no positivos. Grficamente se reconoce como solucin no acotada la representada por un conjunto convexo abierto de tal manera que tericamente se puede incrementar indefinidamente la funcin objetivo. Ejemplo:

Max z = 2x1 + x2 Sujeta a: x1 - x2 10 ..... (1) 2x1 - x2 40 ..... (2)2

x1 ; x2 0

1

CA ( 1 0 , 0 )

( 3 0 , 3

0

)

O H

( 0 , 0 ) ( 0 , - 1 0 )

B

( 2

0 , 0 )

F

( 0 , - 4 0 )

. .

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Apuntes de Investigacin de Operaciones.

BASE z

x3 x4 z x1 x4 z x1 x2

Z 1 0 0 1 0 0 1 0 0

x1 -2P VE 1

2 0 1 0 0 1 0

x2 -1 -1 -1 -3 VE -1P 1

0 0 1

x3 0 1 0 2 1 -2 -4 -1 -2

x4 0 0 1 0 0 1 3 1 1

SOLUCION

0 10 40 20 10 20 80 30 20

VS

VS

...como en la ultima iteracin los coeficientes son 0 es solucin o acotada.

Espacio de solucin factibles no acotada pero con solucin mxima Ejemplo: (ojo)

Max z = 6x1 - 2x2 Sujeta a: 2x1 - x2 2 x1 4

POR EL SIGNO ( - ) TIENE UN MAXIMO

..... (1) ..... (2) x1 , x2 0

. .

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Apuntes de Investigacin de Operaciones.

2

1

Z C O S O F A N J U N T O D E L U C I O N E S C T I B L E S . C

C

=

1 2

M

a x

( 4 , 6 )

A

( 1

0

, 0

)

O

( 0 , 0 )A ZA

( 1 , 0 ) = 6

F

( 4

, 0 )

H

( 0

, - 2 )

BASE z

x3 x4 z x1 x4 z x1 x2mxima.

Z 1 0 0 1 0 0 1 0 0

x1 -6P VE 2

1 0 1 0 0 1 0

x2 2 -1 0 -1 VE - P

0 0 1

x3 0 1 0 3 - 2 0 -1

x4 0 0 1 0 0 1 2 1 -2

SOLUCION

0 2 VS 4 6 1 3 VS 12 4 6

Esta ya no es solucin no acotada, sino espacio de soluciones factibles no acotada pero con solucin Soluciones ptimas alternas (mltiples). Se identifica en la tabla smplex porque una variable no bsica tiene coeficiente cero en el rengln z de la tabla. En algunos casos podran ser ms de una variable no bsica las que presentan tal condicin. Este caso es provocado porque alguna de las restricciones que son frontera en el conjunto de solucin factibles resulta PARALELA a la funcin objetivo. Ejemplo:

Max z = 4x1 + 14x2 Sujeta a: 2x1 + 7x2 21 7x1 + 2x2 21

..... (1) ..... (2) x1 ; x2 0

. .

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Apuntes de Investigacin de Operaciones.

X

2

B

( 0

, 2 1 / 2 )

A Z = 4 2

( 0 M

, 3 a x

) ZC

=

4 2

M

a x

A

C

( 7 / 3 , 7 / 3 )

O

( 0 , 0 )

F

( 3 , 0 ) H

( 2 1 / 2

X , 0 )

1

C E

U N

A E

L S

Q T

U E

I E S

R E

P G

U M

N E

T N

O T

C O .

O

N

T

E

N

I D

O

BASE z

x3 x4 z x2 x4 z x2 x1

Z 1 0 0 1 0 0 1 0 0

x1 -42 P VE

x2 -147

7 0 VE 2/7P 45/7

2 0 10

0 0 1

0 1 0

x3 0 1 0 2 1/7 -2/7 2 7/45 -2/45

X4 0 0 1 0 0 1 0 -2/45 7/45

SOLUCION

0 21 VS 21 42 3 5 VS 42 7/3 7/3

No es normal que una variable no bsica sea cero.

La funcin objetivo z es paralela a la restriccin #1 porque:

z = 4x1 + 14x2 1 = 2x1 + 7x2

4 = 14 = 42 2 7 21

Se puede obtener combinacin convexa lineal. p = A + (1 - ) C para 0 1 Calcular un punto p que sea CCL entre los puntos A y C con = 7/8

. .

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Apuntes de Investigacin de Operaciones.

p = 7/8 (0,3) + (1 7/8) (7/3 , 7/3) = (0,21) + (7/24 , 7/24) p = (7/24 , 70/24) zp = 4 (7/24) + 14 (70/24) zp = 28/24 + 245/6 = 7/6 + 245/6 = 252/6 42 Cualquier punto en el segmento AC da el mximo pero con diferente cantidad de recursos. Se tiene esta posibilidad de administrar los recursos a nuestra conveniencia porque la funcin objetivo y una de las restricciones son igual (=).PROBLEMA SIN SOLUCION

FACTIBLE. Se identifica en la tabla smplex porque al menos una variable artificial permanece en la base y a travs de las iteraciones no es posible sacarla de la base. Ejemplo: Max z = 3x1 + 2x2 Sujeta a: 2x1 + x2 2 3x1 + 4x2 12

..... (1) ..... (2) x1 ; x2 0

Forma estndar y base artificial:

Max z = 3x1 + 2x2 Sujeta a: 2x1 + x2 + x3 3x1 + 4x2 - x4 + 5

= 2 = 12

..... (1) ..... (2)

x1 ; x2 0

BASE z

X3

Z 1 0

x1 -3P 2

x2 2 -1

x3 0 1

x4 0 0

5

SOLUCION

0 2

VS . .

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Apuntes de Investigacin de Operaciones.

X4 z X1 X4 z X1 X2

0 1 0 0 1 0 0

VE

1 0 1 0 0 1 0

0 -1 VE - P

0 0 1

0 3 - 2 0 -1

1 0 0 1 2 1 2

4 6 1 3 VS 12 4 6

TEORIA DE DUALIDAD. Esta teora es importante en programacin lineal porque permite la interpretacin econmica del problema y conocer el significado de las variables duales, las cuales intervienen para dicho estudio econmico. La teora de dualidad asocia a cualquier problema que se denomina primal o primario, otro problema que se denomina dual. Ambos problemas estn muy relacionados, a tal punto que la solucin de cualquiera de ellos proporciona la solucin ptima del otro; es decir, no es necesario resolver ambos problemas. El problema dado es llamado primal y su correspondiente problema dual se puede obtener ya sea algebraicamente, partiendo de la forma cannica, o bien directamente aplicando las reglas para la obtencin del problema dual. En seguida se trata la obtencin del problema dual. Obtencin del problema dual en forma cannica.. .

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Apuntes de Investigacin de Operaciones.

PRIMAL Max z = CX Sujeto a: AX b X 0 Min z = Cx Sujeto a: AX 0 X 0

DUAL Min y = bT y Sujeto a: Ay CT y 0 Max yo = bT y Sujeto a: AT Y CT Y 0

En donde: C = Un vector rengln de coeficientes de la funcin objetivo. b = Un vector columna de trminos independientes de las restricciones. A = Una matriz de coeficientes tecnolgicos de restricciones. X = Un vector columna de variables primales. Y = Vector columna de variables duales.T

= Transpuesta de la matriz o vector.

Ejemplo: Max z = 3x1 + 5x2 Sujeto a: x1 4 (1) 2x2 12 (2) 3x1 + 2x2 18 (3)

x1 ; x2 0

(que por ser el problema dado se llama primal/primario) PRIMAL C = (3 , 5) b= A= 4 12 18 1 0 0 2 DUAL CT = 3 5 bT = (4, 12, 8) AT = 1 0 3. .

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Apuntes de Investigacin de Operaciones.

3

2

0

2

2

Entonces el problema dual ser (correspondiente a la tabla). Min y0 = b Y = (4, 12 , 18)T

y1 y2 y3 ......(funcin objetivo dual)

Min y0 = 4y1 + 12y2 + 18y3

...eso nos da una regla de dualidad que se resume as: A cada restriccin primal le corresponde una variable dual. ...(restricciones duales) Sujeto a: AT Y = 1 0 0 2 3 2 y1 y2 y3 y1 = + 3y3 + 2y2 + 2y3 5 ...de la tabla 3

y1, y2, y3 0

Problema dual: Min y0 = 4y1 + 12y2 + 18y3Sujeto a:

y1 +2y2

+ y3 3 + 2y3 5

(1) (2)

y1 : y3 0 NOTAS: 3 RESTRICCIONES PRIMALES 3 VARIABLES DUALES. 2 VARIABLES DE RESTRICCIN EN EL PRIMAL 2 RESTRICCIONES EN EL DUAL. EL DUAL DEL DUAL ES EL PRIMAL.

PROBLEMA DUAL OBTENIDO EN FORMA CANONICA.. .

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Apuntes de Investigacin de Operaciones.

Ejemplo: Min z = 5x1 x2 + 3x3Sujeto a:

2x1 4x1 x1

+ + -

x2 2x2 + x2 +

2x3 3x3

10 (1) 12 (2) = 8 (3)

PRIMAL.

x1 Libre ; x2 0 ; x3 0

Arreglos: Para x1 vamos a menejar dos variables. x1 = (x1+ - x1-) ; x1+ 0 ; x1- 0 si x1+ > x1si x1+ < x1si x1+ = x1 Para x2. -x2 = x2 0 x2 = -x2 0 ...primal en forma cannica. Min z = 5x1+ - 5x1- + x2 + 3x3Sujeto a:

x1 > 0 x1 < 0 x1 = 0

-2x1+ 4x1+ x1+ -x1+

+ +

2x14x1x1x1-

+ x2 - 2x2 + x2 x2

-10 + 2x3 12 + 3x3 8 - 3x3 -8 (3-)

(1) (2) (3+) y3-

y1 y2 y3+

x1+ 0 ; x1- 0 ; x2 0 ; x3 0 ...dual en forma cannica. (vectores en el primal) C = (5, -5 , 1, 3) -10 b = 12 8. .

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Apuntes de Investigacin de Operaciones.

A=

-2 4 1 -1

2 -4 -1 1

1 0 -2 2 1 3 -1 -3

-8 x1+ X= x1

x2 x3 (vectores en el dual) 5 CT = -5 1 3 -2 2 1 0 4 -4 -2 2 1 -1 -1 1 1 -1 3 -3

bT = (-10, 12, 8, -8) y1Y= y2

A=

y3+ y3-

PROBLEMA DUAL OBTENIDO DIRECTAMENTE. Tambin se puede obtener directamente el problemna dual correspondiente a un problema primal, recurriendo a las reglas de dualidad siguientes: REGLAS DE DUALIDAD. MAXIMIZAR PRIMAL (DUAL) MINIMIZAR DUAL (PRIMAL) Restriccin i ( ) Variable i 0 Restriccin i ( ) Variable i 0 Restriccin i (=) Variable i LIBRE Variable j 0 Restriccin j ( ) Variable j 0 Restriccin j ( ) Variable j LIBRE Restriccin j (=) Si el problema es de Max iremos de derecha a izquierda y si es Min iremos de derecha a izquierda. DUAL DIRECTO (del ejemplo anterior). Min z = 10y1 + 12y2 + 8y3Sujeto a:

2y1

+

4y2 +

y3

= 5

(1). .

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Apuntes de Investigacin de Operaciones.

y1

+

2y2 2y2 +

y3 3y3

-1 (2) 3 (3)

y1 0 ; y2 0 ; x3 libre Se tiene con lo anterior el dual directo pero no en forma cannica; para comprobarlo con el anterior obtendremos el simplificado del anterior. PROBLEMA DUAL SIMPLIFICADO. Si las restricciones (1+) y (1-) del problema del tema anterior (Dual/Cannica) son tomadas ahora en cuenta y a (1-) la multiplicamos por 1 y quedar exactamente igual a (1+), a excepcin del signo de desigualdad y por lo tanto podemos decir que (1+) y (1-) son iguales. Para la restriccin 2, y1es 0 en el anterior y y1 es en el inmediato y se hace el arreglo para y1. -y1 = y1 0 y1 = - y1 0 Min z = 10y1 + 12y2 + 8y3Sujeto a:

2y1 -y1

+ -

4y2 + 2y2 + 2y2 +

y3 y3 3y3

= 5 (1) 1 (2) 3 (3)

y1 0 ; y2 0 ; x3 libre SIGNIFICADO DE LAS VARIABLES DUALES. La interpretacin econmica de un problema que se estudia, se hace a partir de la definicin de las variables duales, las cuales pueden tener significado una vez que se realiza el anlisis dimensional de las mismas. La interpretacin econmica puede variar, pero se hace en la forma que le conviene a quien aplica la dualidad. El siguiente problema puede resultar orientador: Un proveedor de fertilizantes produce dos clases de ellos a partir de los ingredientes nitrato, fosfato y potasio, que mezclados con barro se tiene la siguiente informacin:FERTILIZANTE COMPONENTE

j=1

j=2

CONTENIDO TON/TON

COSTO TON.

DISP. TON

. .

U.P.I.I.C.S.A NITRATO FOSFATO POTASIO BARRO COSTO DE MEZCLAR $/TON PRECIO VENTA $/TON COSTO TOTAL $/TON UTILIDAD $/TON 0.05 0.05 0.10 0.80 15 71.5 53 18.50 0.05 0.10 0.05 0.80 15 69 49 20

Apuntes de Investigacin de Operaciones. 200 80 160 10 1100 1800 2000

COSTOS: F1 $/TON 10 4 16 8 15 53 F2 $/TON 10 8 8 8 15 49

NITRATO FOSFATO POTASIO BARRO MEZCLA COSTO TOTAL

Modelo de P.L. del modelo primal: Significado de las variables primales: Sea: Xj = Toneladas de fertilizante j(j= 1,2) a producir para maximizar la utilidad. Funcin objetivo Max. Z= 18.5X1 + 20X2 [($/Ton) (Ton)]= [$]

sujeta a restricciones de disponibilidad 0.05X1 + 0.05X2 = 1100 0.05X1 + 0.10X2 = 1800 0.10X1 + 0.05X2 = 2000 X1, X2 = 0. .

[(TON i /TON j) (TON j)] = [TON i]

U.P.I.I.C.S.A

Apuntes de Investigacin de Operaciones.

MODELO DE P.L DEL PROBLEMA DUAL Significado de las variables duales sea: Yi = ($/TON i), valor marginal de componente i(i=1,2,3) (i= N.P,K) que puede recuperarse en casos para el sistema productivo de fertilizantes. Min Y0 = 1100 Y1 + 1800 Y2 + 2000Y3 sujeto a: 0.05 Y1 + 0.05Y2 + 0.10Y3 = 18.5 Y1 + 0.10Y2 + 0.05Y3 = 20 Y1,Y2 ,Y3 = 0 [(TON i/TON j) ($/TON i)]= [$/TON j] [(TON i)($/TON i)]= [$]

0.5

Tabla simplex ptima del problema PRIMALBase Z X3 X2 X1 Z 1 0 0 0 X1 0 0 0 1 X2 0 0 1 0 X3 0 1 0 0 X4 3/2 X5 1 Sol 36 2 6 2 Vector de precios sombra

1/3 -1/3 1/2 0 -1/3 1/3

En condiciones de optimalidad se cumple que: Max Z = 36 = Min Y0Adems la tabla simplex ptima de cualquier problema ya sea el Primal o bien el Dual, contiene la solucin de ambos problemas.

El modelo de P.L Primal en forma estndar es:. .

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Apuntes de Investigacin de Operaciones.

Max Z= 3X1 + 5X2 X1 X2 3X1 + 2X2 + X3 + X4 =4 = 12 +X5 = 18

X1, X2, X3, X4,X5 = 0Precio Sombra Multiplicadores del simplex

Costos Marginales Valor de las variables Duales Funcin Objetivo Dual del ejemplo Min Y0 = 4Y1 + 12Y2 + 18Y3 Y0= 4(0) + 12(3/2) + 18(1) = 36 si aumentamos 6 unidades a la sol. 1 Y0= 10(0) + 12(3/2) + 18(1) = 36 si aumentamos 2 unidades a la sol. 2 Y0= 4(0) + 14(3/2) + 18(1) = 39 si aumentamos 2 unidades a la sol. 3 Y0= 4(0) + 14(3/2) + 20(1) = 38PRECIO SOMBRA

Definicin: Es el incremente (decremento) del valor de la funcin objetivo en consecuencia de un incremento (decremento) UNITARIO del i-simo recurso.MTODO DUAL SIMPLEX

Aprovechando las propiedades primal-dual se desarrollo un algoritmo denominado dual simplex que es aplicable a problemas que se presentan con caractersticas de optimalidad pero no factibles. Esto en contraste con el mtodo simplex ya estudiado que obliga a iniciarlo con factibilidad. La tabla siguiente resume las caractersticas que debe reunir un problema que se quiera resolver con este mtodo.

. .

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Apuntes de Investigacin de Operaciones.

SIMPLEX Solucin inicial bsica factible pero NO OPTIMA Mediante iteraciones de clculo se busca OPTIMALIDAD conservando FACTIBILIDAD Si existe la solucin ptima entonces se cumple con FACTIBILIDAD + OPTIMALIDAD

DUAL - SIMPLEX Solucin inicial bsica ptima pero NO FACTIBLE Mediante iteraciones de clculo se busca FACTIBILIDAD conservando OPTIMALIDAD Si existe la solucin factible entonces se cumple con OPTIMALIDAD + FACTIBILIDAD

Justificacin P R I M A L D U A LT

Max Z = CX s.a AX= b X =0

Min s.a

Yo = b YT T

A Y =C Y=0

Ejemplo: s.a

Min Z= 4X1 + 3X2 X1 + X2 = 6 2X1 + X2 = 0 X1 = 2 X1, X2 = 0

1. Conseguir INFACTIBILIDAD -X1 - X2 = -6 -2X1 + X2 = 0 -X1 = -22.

Forma Estndar Min Z= 4X1 + 3X2 s.a. .

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Apuntes de Investigacin de Operaciones.

-X1 - X2 + X3 =-6 -2X1 + X2 +X4 = 0 -X1 +X5 = 2 X1, X2, X3, X4, X5 = 0 Min Z -4X1-3X2 = 0Base Z X3 X4 X5 Z X2 X4 X5 Z X2 X1 X5 Z -4 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 X1 -3 X2 0 X3 0 1 0 0 -3 1 0 0 0 1 0 0 -1 1 0 X4 0 0 1 0 0 0 1 0 X5 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Sol 0 -6 0 -2 18 6 -6 -2 20 4 2 0RE(-1)+RZ RE RE(1)+RX5

-1 --1 -2 VE 1 -1 0 -1 1 -3 VE-1 0 0 1 0 0

VS valor mas negativo

RE(3)+RZ RE= RS/P RE(-1) + RX4

VS valor mas negativo

-10/3 -1/3 -2/3 1/3 -1/3 -1/3 -1/3 -1/3

CRITERIO DE OPTIMALIDAD PARA MINIMIZAR. Variables no-bsicas. Coeficientes correspondientes en el rengln z. Coeficientes correspondientes en el rengln saliente. Cociente. Se elige el menor para Minimizar. Ejemplo: Min z = 4x1 + 3x2Sujeto a:

x1 + 2x1 x1

x2 x2

6 0 2

(1) (2) (3) x2 0

BASE z

z 1

x1 -4

x2 -3

x3 0

x4 0

x5 0

SOLUCION 0 . .

U.P.I.I.C.S.A x3 x4 x5 0 0 0 -1 -2 -1 (p) -1 1(VE) 0 1 0 0 0 1 0

Apuntes de Investigacin de Operaciones. 0 0 1 -6 0 2 (VS)

I

VAR. NO BASICAS COEFS. EN z COEFS. EN RS COCIENTE VE LA DE < COC.

CRITERIO DE OPTIMALIDAD. x1 x2 x1 x3-4 -2 -1 -3 -1 3 VE -1 -3 1/3 VE -3 1 NO

Coeficientes 0 no entran.

z x2 x4 x5

1 0 0 0

-1 VE 1 (p) -3 -1

0 1 0 0

-3 -1 1 0

0 0 1 0

0 0 0 1

18 6 -6 VS -2

Ojo: En la tabla anterior se conserva la optimalidad y sta se observa en el rengln z.

BASE z x3 x1 x5

z 1 0 0 0

x1 0 0 1 0

x2 0 1 0 0

X3 -10/3 -2/3 -1/3 -1/3

x4 -1/3 1/3 -1/3 -1/3

x5 0 0 0 1

SOLUCION 20 4 2 0

(VS)

Agregado al criterio de optimalidad de la nota anterior 11 ESTRUCTURA MATRICIAL DE LA TABLA SIMPLEX. TABLA SIMPLEX INICIAL.VARIABLES DE DECISIN VARIABLES DE HOLGURA/ARTIFICIALES.

z 1 011

x1, x2, .... , xn -C1, -C2, .... , -Cn A

xn+1, xn+2, ..... , xn+m 0, 0, 0, ..... , 0 I

SOLUCION SOLUCION

0 B

El cociente slo es vlido para denominadores negativos . .

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Apuntes de Investigacin de Operaciones.

TABLA SIMPLEX DESPUES DE CUALQUIER ITERACION. z 1 1 0 x1, x2, .... , xn Z1-C1, Z2-C2, .... , Zn-Cn Zj-Cj = CB B-1 AC = B-1 A xn+1, xn+2, ..... , xn+m y1, y2, .... , ym Y = (y1, y2, ... ,ym) = CB B-1 B-1SOLUCION

SOLUCION zo = CB XB XB = B-1 b

...en donde: C es un vector rengln de coeficientes correspondientes a la funcin objetivo, en el orden progresivo de la misma. CB es un vector rengln de coeficientes correspondientes a las variables bsicas. ...de la funcin anterior C = (4,3) b CB = (C2, C1, C5) CB = (3, 4, 0)

es un vector columna de trminos independientes de las restricciones. b2 6 b1 = 0 b3 2 es una matriz de coeficientes tecnolgicos de restricciones. b= A= 1 2 1 1 -1 0

A

es una matriz que se ubica en la misma posicin de A, que resulta del clculo para cada tabla smplex (obsrvese la tabla del ejercicio). 12 I matriz unitaria que se ubica coincidiendo con las variables que forman la 1 solucin bsica.

XB

es un vector columna de variables bsicas; es decir, es el vector de la solucin bsica actual. ...en la primera tabla del ejercicio anterior: XB = x3 x4 x5 x2 x4 = -6 0 2 6 -6. .

...para la 2

XB =12

=

= B-1 A

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Apuntes de Investigacin de Operaciones.

x5 XB = x2 x1 x3 =

-2 4 2 0 x2 x1 x5

...y para la 3

z0 = CBXB = (C2, C1, C5)

=

(3, 4, 0)

4 2 = 20 0

Y es un vector rengln de coeficientres que representan los precios sombra o tambin valores de las variables duales.

B-1

es una matriz inversa de una matriz B que se forma con los vectores columna correspondientes a las variables bsicas.

Dada la siguiente tabla simplex ptima, calcular el modelo de programaci lineal original:ZB = CBXB BASE z x3 x2 x1 z 1 0 0 0 0 0 0 1 x1Zj-Cj

x2 0 0 1 0 0 1 0 0

x3 3/2 1/3

x4

x5 Y 1 -1/3 0 B-1 1/3 XB

SOLUCION 36 2 6 2

-1/3

CB = (C3, C2, C1)

...de la tabla anterior podemos deducir lo siguiente: Como en el rengln z todos los coeficientes son 0 , entonces la funcin original pretende MAXIMIZAR. Se tienen 3 variables bsicas; por lo tanto, hay 3 restricciones originalmente.

Como hay 5 variables, de las cuales 3 son bsicas, entonces hay 2 de decisin.

El tipo de variables bsicas es HOLGURA y por lo tanto, las restricciones son . Se tiene: XB = B-1b B = BXB ...de lo cual no conocemos b y se requiere ...(tenemos que obtener la inversa de B-1 = B). .

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Apuntes de Investigacin de Operaciones.

1 1/3 -1/3 0 0 0 1/3 1/3 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 2 2 -1/3 0 1/3 0 0 1 1 0 3

1 0 0 1 0 0 1 0 0 2 6 2

0 1 0

0 0 1

-2/3 0 2 0 2/3 1 0 2 2 1 0 3 4 12 18 b1 b2 b3

b=

=

=

=

...que son las restricciones (sus trminos independientes). El lugar donde se encuentran los coeficientes es en por lo tanto: = B-1 A B = 1 0 0 0 2 2 1 0 0 0 3 0 1 1 0 A=B = 1 0 0 2 3 = 2 a11 a21 a12 a22 a31

a32

Ahora solo falta la funcin objetivo y tenemos que calcular los coeficientes C y se tienen en el orden original en el vector C. 1 0 Zj - Cj = CBB-1 A C = YA C = (0, 3/2, 1) 0 2 - (C1, C2) = (0 , 0) 3 2 (3, 5) (C1, C2) = (0 , 0) (C1, C2) = (3 , 5) (0 , 0) = (3 , 5) ...finalmente: (En forma cannica) Max z = 3x1 + 5x2 Sujeta a:. .

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Apuntes de Investigacin de Operaciones.

Ojo: x1

1 AX = 0 3

0 2 2

x1 x2

= [ 3 X 2] [2 X 1] = [3 X 1]

2x2 3x1 + 2x2

4 ..... (1) 12 ..... (2) 18 ..... (3)

x1 , x2 0

Dada la siguiente tabla simplex ptima, determinar el modelo de programacin lineal original.Zj - Cj ARTIFICIAL

BASE z x2 x6 x3CB = (C1, C2, C3)

z 1 0 0 0

x1 -23/2 7

x2 0 1 0 0

x3 0 0 0 1

x4 -1/6 -1/16 -1/4 -1/16

5 -M+1/6 1/16 1/4 -1/16

x6 Y 0 0 B-1 1 0

7 -M-53/16 3/16 5/16

SOL. -303/8 33/8 45/2 15/8XB

Z0

DECISION SUPERFLUA

HOLGURA ARTIFICIAL

Cuando hay i no basta la informacin de la tabla, pues no sabemos en qu punto fueron necesarias o en qu restriccin, por lo tanto habr que preguntar en dnde se ubican stas; se obtiene de la siguiente manera: En donde x4 es variable superflua de la primera restriccin . .. x6 es variable de holgura de la 2 restriccin; x4 se encuentra en l a 1 restriccin y es del tipo x6 se encuentra en la 2 restriccin y es del tipo ...y finalmente la 3 restriccin debe ser =; 5 debe ser entonces i de la 1 restriccin y 7 es i de la 3 restriccin. La 3 es del tipo = porque no hay ningn aviso con respecto a la 3. 13 1/16 -1/16 1 -3 2 0 1 0 0 1 0 3/16 5/16 010 1 22 1013

1 0 0

0 1 0 1

0 0 1

1 0 0

0 1 0

3 -4 1

16 0 1 0 0 1

0

0 -6 -3 1 0 2 0 -6

33/8

30

Obsrvese que en la tabla no se toma en cuenta a la variable superflua, solo a las artificiales. . .

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Apuntes de Investigacin de Operaciones.

b=

-3 2

1 0

1 2

45/2 15/8

=

12 12

(trminos independientes)

...Para los coeficientes: = B-1 A A = B A= 10 0 -3 1 2 0 -6 1 2 7 1 0 0 0 0 1 = 2 6 2 10 -3 2 -6 1 2 a11 a12 a21 a22 a31 a32 a13 a23 a33

...para la funcin objetivo: 2 Zj Cj = CB B-1 A C = Y A C = (1/16, 0, -53/16) ..... = (-23/2, 0, 0) (-6 , -6, -7) (C1, C2, C3) (C1, C2, C3) = (-6 , -6, -7) - (-23/2, 0, 0) (C1, C2, C3) = (5, -6, -7) .... obtenindose finalmente: Min z = 5x1 - 6x2 - 7x3 Sujeta a: 2x1 + 10x2 - 6x3 6x1 - 3x2 + 3x3 2x1 + 2x2 + 2x3 6 2 10 -3 2 -6 1 - (C1, C2, C3) =.... 2

30 ..... (1) 12 ..... (2) = 12 ..... (3) x1 ; x2 ; x3 0

ANALISIS DE SENSIBILIDAD. El anlisis de sensibilidad., tambin llamado de post-optimalidad, se practicas en programacin lineal, debido a que este es un modelo de tipo esttico; es decir, lo s coeficientes o parmetros considerados en el modelo que se resolvi pueden no ser vlidos para la situacin actual en una economa cambiante. Por lo tanto, puede ser necesario revisar la solucin ya obtenida por cambios en precios, costos, utilidades, coeficientes de consumo o requerimientos de recurso, nuevos productos o cancelacin de algunos, etc. El programa de curso en U.P.I.I.C.S.A. considera 3 posibles cambios para los coeficientes del modelo, los cuales se vern en seguida. 1. CAMBIO EN EL VECTOR B DE RECURSOS. (TERMINOS INDEPENDIENTES) 30 10. .

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Apuntes de Investigacin de Operaciones.

Para el ltimo ejemplo dado, considerar que b =

12 12

b= cambia a:

12 12

XB = B b =

-1

1/16 -1/16 30 12 5

0 1 0

3/16 5/16

10 12 12

=

23/8 35/2 25/8

0 Nuevo vector solucin factible.

Ahora

b=

XB = B-1 b =

1/16 0 1 -1/16 0

3/16 12 5/16

30 = 5

83/4

45/16 0 Nuevo vector solucin -5/16 infactible.

...entonces la columna solucin queda as:45/16 83/4 -5/16

... y el nuevo valor para z0 es: x2 Z0 = Z0 = CB XB = (C2, C6, C3) x6 = x3 (-6, 0, 7)14

45/16 ......= (-6, 0, 7) 83/4 -5/16

=

-235/16 Z ....... -235/16

Ntese que en la F.O. x1 no entr a la base por ser > 0. Si al no factible le aplicamos DUAL SIMPLEX lo hacemos factible. Max z = 3x1 + 2x2 + 5x3 Sujeta a: x1 + 2x2 + x3 43014

b y1. .

Ojo: Como C6 en F.O. C6 = 0

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Apuntes de Investigacin de Operaciones.

3x1 + 2x3 x1 + 4x2

460 420

y2 y3 x1 ; x2 ; x3 0

BASE z x2 x3 S3

z 1 0 0 0

x1 4 - 3/2 2

x2 0 1 0 0 0 0 1 0

x3 1 0 -2

S1

S2 2 Y - B-1 1

S3 0 0 0 1

SOL. 1350 100 230 XB 20

x1 + 2x2 + x3 + S1 3x1 + 2x3 + S2 x1 + 4x2 + S Min y0 = 430y1 + 460y2

+

430 460 420 420y3

....por el problema dual: y0 = bt Y

y0 = 430 (1) + 460 (2) + 420 (0) = Anlisis de sensibilidad. 2. CAMBIO EN EL VECTOR B DE RECURSOS. XB = B-1 b = 100 230 220

350

XB = B-1 b =

0 2

-1/4 1

0 0 1

430 + 1 215 + 1/2 115 = 100 + 1/2 460 = 230 420 - 860 - 21 + 460 +420 = 20 - 21

=

100 + 2 20 - 2115

Determinando lmites

-200 1 10

para que 20 - 21 no sea 0 y para que 100 + 1/2 no sea 0

Solucin factible.Para el recurso N 2

15

-1/4

0

430

215 - 115 - 2/4 = 100 + 1/4

100 - 2/4 . .

i = Valor del cambio en el i-simo recurso.

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Apuntes de Investigacin de Operaciones. 460 + 2 = 230 + 2/2 420 - 860 + 460 + 2 + 420 = 20 + 2216

XB = B-1 b =

0 2

1

0 1

= 230 - 2/2 20 - 22

Determinando lmites

-20 2 400

430Supngase que b = 460 cambia a

450460 ; calcular la nueva solucin ptima.

420 0 -2 -1/4 1 0 0 1 450 460 420 100 = 230 -20

420

XB = B-1 b =

No factible; entonces CB = (C2, C3, 0) (2,5,0) 110 230 -20 = 1370

Z0 = CBXB = ( 2,5,0 )

Como hay optimalidad, pero no factibilidad, entonces se puede recurrir al algortmo DUALSIMPLEX. Tomamos de la tabla como variable saliente a S3 por ser la ltima negativa.BASE z x2 x3 S3 z x2 x3 S1 z 1 0 0 0 1 0 0 0 x1 4 -1/4 3/2 2 5 3/2 -1 x2 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 z = 1360 x2 = 105 x3 = 230 S1 = 10 x3 1 0 -2 0 0 0 1 S1 VE

P

S2 2 - 1 5/2 0 -

S3 0 0 0 1 0 -

SOLUCION. 1370 110 230 -20 VS 1360 105 230 10

La nueva solucin ptima es:

Suponga que b cambia a : b=

430 400 420 115 200 -40

115 XB = 200 -40

Solucin factible.

entonces Z0 = CBXB = (2, 5, 0)

=

1230

16

Pero ojo con las restricciones 2 y 3. No y 20. . .

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Apuntes de Investigacin de Operaciones.

BASE z x2 x3 S3 z x2 x3 S1

z 1 0 0 0 1 0 0 0

x1 4 -1/4 3/2 2 5 3/2 -1

x2 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0

x3 1 0 -2 0 0 0 1

S1 VE

P

S2 2 - 1 5/2 0 -

S3 0 0 0 1 0 -

SOLUCION. 1230 115 200 - 40 VS 1210 105 230 20

Solucin ptima:

z0 = x2 = x3 = x4 =

1210 105 200 20

... A.s.

2. CAMBIOS EN EL VECTOR C DE COEFIENTES DE LA FUNCIN OBJETIVO. Este cambio se analiza mediante la frmula matricial Zj Cj = CBXBA C = YA - C ... y puede dar lugar a la prdida de la optimalidad del problema ya resuelto. Como en el caso de los cambios en la optimalidad del problema con la misma frmula ya anotada. Ejemplo: Dado el siguiente modelo de Programacin Lineal. Max z = 3x1 + 2x2 + 5x3 Sujeta a: x1 + 2x2 + x3 430 ..... (1) 3x1 + 2x3 460 ..... (2) x1 + 4x2 420 ..... (3) x1 , x2 , x3 0 ... cuya tabla smplex ptima es:

BASE

z

x1

x2

x3

S1

S2

S3

SOLUCION. . .

U.P.I.I.C.S.A z x2 x3 S3 1 0 0 0 4 -1/4 3/2 2 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 -2

Apuntes de Investigacin de Operaciones. 2 - 1 0 0 0 1 1350 110 230 20

... determinar entre qu lmites pueden variar los coeficientes de la funcin objetivo para conservar la optimalidad. . . Zj - Cj Se pierde optimalidad cuando alguno de estos coeficientes es < 0.

Zj Cj = CBB-1 A C = YA - C 1 Zj Cj = (1, 2, 0) 3 1 2 0 4 1 2 0 (3, 2, 5)

Zj Cj = (7, 2, 5) (3, 2, 5) = (4, 0, 0) Qu ocurre si cambio los coeficientes de la F.O.? ...sea j incremento/decremento en el coeficiente j Z1 C1 = (7, 2, 5) (3 + 1, 2, 5) = (4 - 1, 0, 0) Z2 C2 = (7, 2, 5) (3, 2 + 2, 5) = (4, 0 - 2, 0) Z1 C1 = (7, 2, 5) (3, 2, 5 + 3) = (4, 0, 0 - 3) ...suponiendo primero que x son 0 : 1 4 ; 2 0 ; 3 0 Suponer que C1 = 3 y cambia a C1 C= 9, calcular la nueva solucin ptima. Z1 C1 =17 Zj Cj = Y a1 C1 = (1, 2, 0) 1 3 1 - (9) = 7 9 = -2

-2 < 0 hay prdida de optimalidad.BASE z17

z 1

x1 -2 0

x2 0

x3 1

S1 2

S2 0

S3

SOLUCION. 1350

Como el cambio es slo en C1, por lo tanto, en lugar de usar la matriz A completa, solo utilizo el vector columna correspondiente a x1 y en el vector C slo C1. . .

U.P.I.I.C.S.A x2 x3 S3 z x2 x3 S1 0 0 0 1 0 0 0 -1/4 3/2 VE 2 P 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 -2 -1 1/4 3/2 -1

Apuntes de Investigacin de Operaciones. - 1 3 - 1/8 - 0 0 1 1 1/8 100 230 20 1370 205/2 215 10

VS

P VE

VS

3. CAMBIOS EN LA MATRIZ A DE COEFICIENTEES TECNOLGICOS DE RESTRICCIONES. Este cambio se analiza en dos parte. En la primera parte y mediante la frmula Zj Cj = CBB-1 A C = YA - C ...se revisa si el cambio propuesto para un determinado coeficiente aij da lugar a la prdida de optimalidad del prblema ya resuelto. Si no hay prdida de optimalidad, esto significa que no hay necesidad de aplicar la segunda fase de este anlisis. Por el contrario, si zj cj cambia de signo, esto significa prdida de optimalidad y por lo tanto, la necesidad de aplicar la 2 parte mediante la frmula = B-1 A ...sustituyendo el valor correspondiente a la columna aj. El anlisis para cambios en los coeficientes para la matriz A es vlido solo para variables no-bsicas; para cambios correspondientes a variables que ya estn en la base, se recomienda volver a resolver el problema. Dado el modelo de programacin lineal siguiente y su correspondiente tabla smplex ptima: Max z = x2 + 3x3 Sujeta a: 2x1 - x3 x2 + x3 x1 ; x2 ; x3BASE z x1 x2 z 1 0 0 0 1 0 x1Zj - Cj x2

20 ..... (1) = 40 ..... (2) 0x3 -1 - 1 x4 0 - 1 -M 05

0 1 0

Y

6 -M+1 B 0 1-1

SOLUCION 80 10 40

Zj Cj = CB B-1 A C = YA - C Suponiendo ahora que se hiciera el cambio en el elemento a23 de las restricciones, entonces consideramos la frmula anterior de la siguiente manera:. .

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Apuntes de Investigacin de Operaciones.

Z3 C3 = CB B-1 a3 c3 = Y a3 c3 ...supngase que a23 = 1 cambia a a23 = 5. 1 PARTE. Z3 C3 = Y a3 c3 Z3 C3 = (0 , 1) -1 5NO CONSIDERAMOS A LA M PUES ES SOLO UN ARTIFICIO

-3 = 5 - 3 = 2PERDIDA DE OPTIMALIDAD

...si se hubiera tenido como resultado un valor cero o 0, no hay necesidad de pasar a la 2 parte. 2 PARTE. = B-1 A 3 = B-1 a3 (ya que solo no interesa el elemento 3) ...y con lo anterior la tabla queda de la siguiente forma:BASE z x1 x2 z x1 x3 z 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 x1 x2 0 0 1 -2/5 1/10 1/5 x3 2 - 5 P 0 0 1 x4 0 - 0 0 - 0 -M 0 -M 0 6 -M+1 0 1 -M+3/5 1/10 1/5 SOLUCION 80 10 40 64 14 8

5

La nueva solucin ptima es:N o o r i e n t a d d i r e c c i n . O N r i e n t a d a . a . P U n s

e r m l o p

i t e

ZMIN = 64t r a n t i d o .

s p

o

r t e

e n

c u

a l q

u

i e r

s e n

o o r i e n t a d a ; i m c a p a c i d a d x y c a p a c i d a d 3 .

d

l i c a q u e d e e l n o d o j a l

u i

n h

n o a y

d u

o n

a

i

a l

j

h

a y

u

n

a

x1 = 14 x2 = 0 x3 = 8REDES DE TRANSPORTE.

Red.- Es un modelo grfico formado por nodos i conectados por ramas (i,j).. .

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Apuntes de Investigacin de Operaciones.

fc xc cc

r r r

C

R

T

D

E

S

T

I N

O

A

H

S

O

R

I G

EO

N

B

W

(Rutas posibles del diagrama) O, A, H, S, T O, B, H, S, T O, A, C, R, T O, B, W, S,T O, A, H, S O, B, H O, A, C, R O, B, W, S, H B, W , S, T B, H, S, T A, H, S, T A, C, R, T B, W, S B, H A, H, S A, C, R

Nodo (i).- Representa un lugar en el espacio (ciudades, estaciones, fabricas, almacenes, edificios, computadoras). Rama (i,j).- Representa la posible comunicacin de dos Nodos i, j adyacentes para permitir algn transporte. La rama puede ser unidireccional, si solo se permite el transporte en una sola direccin; o bien bidireccional, si se permite el transporte en ambas direcciones opuestas. Cuando es unidireccional se dice que es una rama orientada; cuando es bidireccional se dice que es rama no orientada.

N o o r i e n t a d d i r e c c i n . O N r i e n t a d a . U

a . n

P

e r m s p d l o

i t e s e n

t r a n t i d o

s p .

o

r t e

o o r i e n t a d a ; i m c a p a c i d a d x y c a p a c i d a d 3 .

l i c a q u e d e e l n o d o j a l

u i

n h

. .

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Apuntes de Investigacin de Operaciones.

Si la rama no especifica direccin alguna debe entenderse que el transporte se realiza bajo las mismas condiciones de capacidad y costo. Por el contrario si se especifica dos direcciones opuestas por una misma rama esto significa que el transporte es bajo diferentes condiciones de capacidad y costo. Capacidad ( fij).- Significa el numero mximo de unidades que es posible transportar a travs de la rama (i, j). Flujo( Xij).- Significa las unidades que se deciden transportar a travs de la rama (i, j). El flujo puede ser: personas, bienes, servicios e informacin. Costo (Cij).- Significa el esfuerzo o costo por cada unidad transportada. Ruta.- Para conectar cualesquiera dos nodos (i, j) es necesario un conjunto de ramas seriadas de tal manera que los nodos conectados se tocan una sola vez. Ciclo.- Es un conjunto de nodo para conectar un nodo i con signo mismo Obsrvese una caracterstica importante del nodo O y es que solo puede enviar informacin, por lo cual recibe el nombre de NODO ORIGEN; el noto T solo recibe unidades de flujo, por o cual se llama NODO DESTINO y el resto que pueden recibir y enviar unidades de flujo son llamados NODOS DE TRANSBORDO.PROBLEMA DE TRANSPORTE

El problema de transporte de red es simple debido a que el modelo grfico de red se puede tener empleando exclusivamente nodos orgenes y nodos destino.O i = R 1 I G , 2 E , N . .1 , . . . . . 2 . . . . . mx2n

D n X 12x11

E 1

S ,

T 2

I N , . .

O , n

1 . . . . .x22

j =

xm1

xm

2

x 1n

x 21

2 . . . . .

i

o

jn

r g e n d e s t i n

o

xm

n

. .

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Apuntes de Investigacin de Operaciones.

Definicin.- Si se identifica a un problema de transporte cuando se tienen m orgenes que ofertan un cierto producto y tambin n destinos que demanda el mismo producto ofertado, de tal manera que se busca minimizar el costo para satisfacer tales demandas a expensas de las ofertas. De cualquier origen se puede distribuir a mas de un destino.Modelo de P.L. general del Problema de Transporte

Sea Xij = # de unidades enviadas desde un nodo i hasta un nodo j a travs de la rama (i, j)

Funcin ObjetivoM iZ n = i = 1 j = i = m j = n

C i , Xj i , j1

Cij= Costo UNITARIO de transportar desde i hasta j Sujeta a restricciones de:

O D

_ f e r t a X i , ji = 1

i =

m

Para toda variable Xij 0 NOTA: Para un problema de transporte balanceado en cuanto a oferta y demanda debe cumplirse:

O

_ f e r t a X i , ji = 1

i =

m

b

j

A

d

e a i = b m si j

. .

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Apuntes de Investigacin de Operaciones.

Balanceo del Problema de Transporte Si Oferta = ai > bi = demanda es necesario crear una demanda ficticia b ficticia = ai - bi Por otro lado si origen ficticio Oferta = ai < bi = Demanda, entonces es necesario crear un a ficticia = ai - bi

Tabla usual de Transporte. El problema de transporte es un caso especial de aplicacin de la programacin lineal el cual tambin se resuelve mediante el ya conocido algoritmo simplex, pero en forma simplificada utilizando la tabla que le corresponde a su simplificacin que se muestra en seguida: TABALA USUAL DE TRANSPORTE.Variable # de unidades mandadas de 1a1 ORIG DEST

Costo por unidad

1 X11 X21 Xm1 b1 C11 C21 Cm1 X12 X22 Xm2

2 C12 C22 Cm2 b2

....... X1n X2n X3n bn

n C1n C2n Cmn

Oferta ai a1 a2 ....... am ai

1 2 ..... M Demanda bj

bj

Suma de envos verifica la DEMANDA

Suma de envos = OFERTA

Ejemplo:

. .

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Apuntes de Investigacin de Operaciones.

DEST. ORIG.

1 10 20 5 35 M 7 3 0

2 3 6 8 0 30

OFERTA a1 10 20 30 5 = 65 X M3 X 1 X 5 0 = 60 U1 U2 U3 U4 65

1 2 3 4 FICT DEMANDA bj

25 5

NOTA: Determina P. de envos para minimizar el envo de transporte. El Costo M representa una cantidad muy grande. Las celdas vacas son variables no-bsicas.

PASO 1. Balancear el problema. Oferta ai = 60 < 65 = bi = demanda bi - ai = 65 - 60 = 5 = a4 (origen ficticio) PASO 2. Conseguir una primera solucin bsica y factible.En este curso se emplean dos mtodos para calcular esta primera solucin y se llaman:

Mtodo de esquina Noroeste (NO) Mtodo de Voguel Es bsica si cumple con tener a lo ms ( m + n -1) asignaciones o envos