Optimizacion de operaciones - Juan Oliveira

U.P.I.I.C.S.A Apuntes de Investigación de Operaciones.

INVESTIGACION DE OPERACIONES.

TEMARIO.

I. INTRODUCCION A LA INVESTIGACION DE OPERACIONESDefinición de antecedentes, ubicación en las organizaciones, metodología.

II. PROGRAMACION LINEAL.A. Modelo de la Programación Lineal (P.L. General). Propiedades.B. Formulación con Programación Lineal de aplicaciones típicas en: producción,

selección de equipo, procesos, horarios, dieta, etc.C. Solución para el problema expresado con Programación Lineal.

a. Método de solución gráfica con solo dos variables.1. Visualización de conceptos de P.L.; solución factible y no factible, solución

básica, solución única y no única, restricción redundante, solución degenerada, variable de holgura y superflua.

b. Método de solución analítica para el problema de P.L.1. Formas equivalentes del modelo de programación lineal.2. Definiciones y teoremas de P.L.3. Método SIMPLEX y criterios para el cambio de base.4. Variables artificiales.

i. Método SIMPLEX-PENAL o de la M Grande.ii. Método SIMPLEX-DOS FASES.

5. Casos especiales en la tabla SIMPLEX.6. Teoría de la Dualidad en P.L.

i. Obtención del Problema Dual en forma canónica.ii. Obtención del Problema Dual en forma directa.iii.Equivalencia entre las dos obtenciones anterioresiv.Significado de las variables duales e interpretación económica.v. Método DUAL-SIMPLEX y criterios para cambios de base.

7. Estructura matricial de la tabla SIMPLEX.8. Análisis de sensibilidad de la solución óptima de un problema.

i. Cambios en el vector b de recursos de restricciones.ii. Cambios en el vector C de coeficientes de la función objetivo.iii.Cambios en la matriz A de coeficientes de restricciones.

c. Aplicaciones de la Programación Lineal a Redes de Flujo.1. Definición.2. Modelo de transporte simple. Definición.

i. Modelo matemático de P.L. y tabla usual.ii. Solución inicial para la optimización de un problema.iii.Algorítmo de transporte (SIMPLEX-SIMPLIFICADO) para la

optimización.(I) Ejemplificación de soluciones degenerada y no degenerada.

..


3. Modelo de transbordo definición.i. Modelo matemático de transbordo balanceado y sin capacidades.ii. Modelo matemático de transbordo con capacidades.

4. Problemas y modelo matemático de ruta mínima. Definición.i. Algorítmo de Dijkstra para red orientada y no orientada.ii. Algorítmo matricial para cualquier red.

5. Problema de árbol mínimo y algorítmo de conjunto conectado.6. Problema y modelo matemático de flujo máximo

i. Algorítmo de Ford-Fulkerson para red orientadaii. Algorítmo matricial para cualquier red.

..


INVESTIGACION DE OPRERACIONES.

Es la aplicación del método científico. Por grupos interdisciplinarios. En el estudio de problemas de las organizaciones creads por el hombre buscando

un a solución integral.

Modelo matemático obligado.METODO CIENTIFICO

Métodos estadísticos de muestreo.

Investigador de operaciones. Administradores. Informáticos.

GRUPOS Ingenieros.INTERDISCIPLINARIOS Economistas.

Contadores. Etc.

CREADAS POR EL HOBRE. Enfoque sistémico.

ANTECEDENTES.

AÑO. AUTOR. TECNICA DESARROLLADA.

1759 Quesnay Modelos primarios de programación matemática.1873 G.Jordan. Modelos lineales.1874 Warlas. Modelos primarios de programación matemática.1891 Minkousky. Modelos lineales.1903 Farkas. Modelos lineales.1897 Markov. Modelos dinámicos probabilísticos.1905 Erlang. Líneas de espera.1920-30 Konig Egervary Asignación.1937 Morgerstern. Lógica estadística.1937 Von Newman. Teoría de juegos.1939 Kantorovich. Distribución.1947 G.Dantzig. Método SIMPLEX.1950’s Bellman. Programación dinámica.

Kun-Tucker. Programación no lineal.Gomory. Programación entera.Ford-Fulkerson. Redes de flujo.

..


AÑO. AUTOR. TECNICA DESARROLLADA.

Markowitz. Simulación.Raifa. Análisis de decisiones.Arrow-Karli. Inventarios.

Siglo XVI.....Newton.Lagrange Probabilidad y.

Cálculo Diferencial Laplace. Estadística.Leibnitz.Stieljes.

Metodología de Investigación de Operaciones:

1 Identifica el problema

(partes y objetivos)

2 Observar el Sistema

(información)

3 Formular un Modelo Matemático (plantear )

4 Verificar el Modelo y

usarlo en predicción (evaluar y derivar sol. )

5 Seleccionar alternativas

de solución

6 Presentar resultados a la organización

7 Implementar y evaluar

recomendaciones

..


“Programación Lineal”

A pesar de que la programación lineal se empezó a estudiar desde finales del S.XIX no fue hasta mediados del presente siglo en que tuvo auge como técnica matemática aplicable a los problemas de la empresa.

El Dr. G. Damtzing desarrolló el método simplex y con ello hizo posible la solución de grandes problemas modelados con programación lineal que solo quedaban en la situación de estudios. Paralelamente a la invención de este método a partir de mediados del siglo se desarrollo la computación digital y se pudo tener resultados óptimos a los problemas estudiados que se quedaron como modelos.

La programación lineal es actualmente la técnica matemática utilizada mas actualmente gracias a que el algoritmo simplex es muy eficiente y al desarrollo de la computación.

Lo que se busca con la aplicación de la programación lineal es resolver problemas comunes y a la vez muy variados de la empresa en donde en general se tienen necesidades por satisfacer con cierto número de recursos limitados o escasos y con el objetivo de lograrlo en forma óptima. Esto significa la búsqueda de un valor máximo cuando se trata de beneficios; o bien la búsqueda de un mínimo cuando se trata de esfuerzos a desarrollar.

Un modelo de programación lineal es un conjunto de expresiones matemáticas las cuales deben cumplir la característica de linealidad que puede cumplirse siempre y cuando las variables utilizadas sean de primer grado. Además un modelo de P.L debe tener las propiedades de:

Proporcionalidad Aditividad (adición) Divisibilidad Certidumbre(certeza)

Antes de formular un modelo general para P.L conviene ilustrar algunos ejemplos que faciliten la interpretación de la generalización

Ejemplo de producción:

Una empresa ha dejado de fabricar ciertos productos, liberando de esta forma las cargas de producción que tenían sus equipos en los departamentos de maquinado. Ahora se tienen horas máquina que se pueden utilizar en los productos denominados 1,2,3 de la siguiente manera:

..


Máquina Horas por pieza de producto Horas Maq. Disponibles 1 2 3 por semana

Fresadora 9 3 5 500Torno 5 4 - 350Rectificadora 3 - 2 150

Utilidad $/ pieza 50 20 25

Recomendación del Mínimo Mínimo MínimoDepto. Vtas a Prod. 30 15 20

Formular un modelo de P.L para este problema

Definición de variables a utilizar en el método de programación lineal

Sea: Xj = numero de piezas de producto j(j=1,2,3) a fabricar para maximizar la utilidad.

Función económica y objetivo:

MAX Z= 50X1 + 20X2 + 25X3 [ (Dls/Unidad) (Unidad/Sem)] = [Dls/Sem.]

sujeta a restricciones de horas máquina disponibles por semana

Fresadora : 9X1 + 3X2 + 5X3 = 500 horas máquina fresadoraTorno: 5X1 + 4X2 = 350 horas máquina tornoRectificadora: 3X1 + 2X3 = 150 horas maquina rectificadora

Condiciones de signos pare las variables:

X1 = 30 piezas X2 = 15 piezas

X3 = 20 piezas

..


Ejemplo de inversión:

Se desean invertir 2 millones de dólares en 6 tipos de inversión cuyas características son las siguientes:

Tipo de Interés Factor de Plazo promedioInversión Anual(%) Riesgo de inversión

1 8.5 0.02 8 2 9 0.01 2 3 8.5 0.38 5 4 14.3 0.45 6 5 6.7 0.07 2

6 13 0.35 4

El factor de riesgo significa la probabilidad de que el rendimiento real sea inferior al esperado. Se considera ventajoso un período promedio ponderado de inversión de ciando menos 5 años; pero el factor promedio ponderado de riesgo no debe ser superior a 0.20. La ley prohibe que la suma de las inversiones de los tipos 4 y 6 sea mayor al 25% del total de la inversión. Con P.L formule un modelo de P.L para decidir cómo invertir para maximizar el rendimiento de los 2 millones de dólares.

(SOL. A)

Definición de variables

Sea: Xj = cantidad de dólares a invertir en el tipo j(j=1,2,3,4,5,6) para maximizar el rendimiento.

Función objetivo

MAX Z= 0.085X1 + 0.09X2 + 0.85X3 + 0.143X4 + 0.067X5 +0.13X6

sujeta a restricciones:

1) X1 + X2 + X3 +X4 + X5 + X6 = 2,000.000 dls.2) 0.02X1 + 0.01X2 + 0.38X3 + 0.45X4 + 0.07X5 + 0.35X6 = 0.2 (2,000.000)

= 400,000 dls.3) 8X1 + 2X2 + 5X3 +6X4 + 2X5 + 4X6 = 5 (2,000.000) = 10,000.000 dls.4) X4 + X6 = 0.25 (2,000.000) = 5,000.000 dls.

X1, X2, X3, X4, X5, X6 = 0

(SOL. B)

..


Definición de variables

Sea: Xj = Fracción capital a invertir en el tipo j(j=1,2,3,4,5,6) para maximizar el rendimiento.

Función económica y objetivo:

MAX Z= 8.5X1 + 9X 2 + 8.5X3 + 14.3X 4 + 6.7X5 +13X 6

sujeta a restricciones:

1) X1 + X2 + X3 +X4 + X5 + X6 = 1 (capital)2) 0.02X1 + 0.01X2 + 0.38X3 + 0.45X4 + 0.07X5 + 0.35X6 = 0.2 (1) = 0.23) 8X1 + 2X2 + 5X3 +6X4 + 2X5 + 4X6 = 5 (1) = 54) X4 + X6 = 0.25 (1) = 0.25

X1, X2, X3, X4, X5, X6 = 0

Ejemplo:

Problemas de mezcla en la inversión.

Definición de variables:

Sea: xj = Fracción del capital a invertir en la tipo j (j = 1,2,...,6) para maximizar el rendimiento.

Función objetivo:

Max. z = 8.5 x1 + 9 x2 + 8.5x3 + 14.3x4 + 6.7x5 + 13x6

Sujeto a restricciones:

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = 1

(Factor de riesgo)

0.02x1 + 0.01x2 + 0.38x3 + 0.45x4 + 0.07x5 + 0.35x6 0.2 (1) = 0.2

8x1 + 2x2 + 5x3 + 6x4 + 2x5 + 4x6 5(1) = 5 x4 + x6 0.25 (1) = 0.25

x1,x2,...,x6 0[Ésta es otra forma de plantear el problema]

..


Problema de establecimiento de horario.

En un sector de la ciudad se tiene el siguiente requerimiento de policías:

PERIODO DEL DIA 1 2 3 4 5 6HORA DEL DIA. 06-10 10-14 14-18 18-22 22-02 02-06POLICIAS REQUERIDOS () 300 350 425 450 250 200

El periodo #1 sigue inmediatamente del 6. Cada policía debe laborar 8 hrs consecutivas. Formular un modelo de programación lineal de este problema.1

PERIODO/HORA 06-10 10-14 14-18 18-22 22-02 02-06123456

X1

X6

X1

X2 X2

X3 X3

X4 X4

X5 X5

X6

REQUERIDOS. 300 350 425 450 250 200


Sea xj = Número de policías que inician el periodo j (j = 1,2,3,...,6)

Función objetivo:

Min. z = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 (policías mínimos para cubrir turnos [6])


x1 + + x6 300x1 + x2 350 x2 + x3 425

x3 + x4 450 x4 + x5 250 x5 + x6 200

.... toda xj 0

Ejemplo:

Problema de aprovechamiento de recursos.

1 Requerido significa también necesidad, que es lo mismo a cubrir, por lo tanto debe ser .

.


Una empresa papelera recibe un pedido de rollos de papel de la misma calidad y espesor para los siguientes anchos:

500 rollos de 30 in, 450 rollos de 45 in y 150 rollos de 56 in.

En las bodegas de la empresa solo se tiene existencia en esta calidad de papel en ancho de 108 in, por lo que se piensa deben someterse a un proceso de corte longitudinal si se desea cumplir la demanda de este pedido. Formular un modelo de programación lineal correspondiente a este problema.

108 cm CORTE

Definición de variables2:

Sea xj = # de cortes del tipo j (j = 1,2,....,5) necesarios para cumplir el pedido con mínimo desperdicio de papel.

Función objetivo (o económica):

Min. z = 18x1 + 3x2 + 22x3 + 18x4 + 7x5


3x1 + 2x2 + x3 500 rollos de 30’x2+ x4 + x5 450 rollos de 45’ x3 + x5 150 rollos de 56’ ...las unidades:

RollosCorte Corte = Rollos ...para restricciones.

2 No olvidar que la definición de variables siempre se debe hacer de manera cuantitativa (en #). .

.


in corte corte = in ...para función objetivo.

Toda xj 0

Problema de almacenamiento en el transporte.

Un barco tiene las siguientes capacidades de almacenamiento en sus bodegas de popa, centro y proa. Los dueños del barco pueden elegir una porción o toda la carga de los productos A, B y C, cuyas características se tabulan a continuación. Además, para preservar el equilibrio del barco debe cumplirse con una carga proporcional a la capacidad de las respectivas bodegas.

BODEGA CAPACIDAD CAPACIDAD

TONELADAS m3

PROA (1) 3000 130000CENTRO (2) 2000 10000POPA (3) 1500 30000

PRODUCTOS TNS A TRANSPORTAR m3/Ton UTILIDAD (MILES DLS/TN)A 3500 60 8B 2500 50 7C 2000 25 6


Sea: xij = toneladas del producto j (j = A,B,C) a cargar en la bodega i (i = 1,2,3) para maximizar la utilidad en el viaje.

Función objetivo:

Max z = 8(x1A + x2A + x3a) + 7(x1B + x2B + x3B) + 6(x1C + x2C + x3C) ...con unidades

Miles de dls. Ton Ton = miles de dólares


x1A + x1B + x1C 3000 Ton.Capacidad en Ton x2A + x2B + x2C 2000

x3A + x3B + x3C 1500

60x1A + 50x1B + 25x1C 130000 m3.Capacidad en Ton 60x2A + 50x2B + 25x2C 100000

60x3A + 50x3B + 25x3C 30000

..


x1A + x1B + x1C 3500 Ton.Capacidad en Ton x2A + x2B + x2C 2500

x3A + x3B + x3C 2000

Proporción de carga en las bodegas:

x1A + x1B + x1C = x2A + x2B + x2C = x3A + x3B + x3C 1 3000 2000 1500

Modelo de programación lineal general.


Sea xj = #.... ; j = 1, 2, 3....n

Función objetivo:

Términos del primer grado que se sumen.Max. o Min. z = C1x1 + C2x2 + ... + Cjxj + ... + Cnxn

...donde n = # total de valoresj = ocurrencia.

Sujeto a restricciones: i = 1, 2, 3, ... , m

a11x1 + a12x2 + ... + a1jxj + ... + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + ... + a2jxj + ... + a2nxn = b2

·

·

ai1x1 + ai2x2 + ... + aijxj + ... + ainxn = bi

·

·

am1x1 + am2x2 + ... + amjxj + ... + amnxn = bm

Condiciones de signo para variables: toda xj 0

Modelo general de programación lineal resumido en:

Sumatorias.

Definición de variables: sea xj = # ; j = 1, 2, 3, ... , nFunción objetivo: (Max./Min.) z = cjxj

..


... sujeta a:aijxj = bi i = 1, 2, 3, ... , m

... condiciones de signo: xj 0

Con vectores.

(Max./Min.) z = Cx... sujeto a: Ax = b

x 0

Propiedades que debe de seguir el modelo de programación lineal.

Proporcionalidad. En el modelo de programación lineal los pagos deben ser proporcionales.

El modelo de programación lineal es estático, plantea una situación del momento.

x = progreso de la actividad

Aditividad. Siempre los pagos se suman.

Requerimientos.Costos yUtilidades.

Divisibilidad. Las variables involucradas en el modelo de programación lineal pueden no ser un número entero...

Si los valores son muy pequeños no importa el redondeo.Si son muy altos afecta el redondeo.

Certidumbre. Todos los parámetros que se manejan deben ser pasados con certeza.

Métodos de solución del modelo de programación lineal.

El modelo de programación lineal se puede resolver tanto gráfica como analíticamente, pero para problemas de tamaño común que se encuentran como

..


aplicaciones, la solución gráfica no es útil. En cambio, la solución analítica utilizando el algorítmo SIMPLEX que se verá posteriormente es el procedimiento normal para la búsqueda de la solución óptima de un problema.

Método de solución gráfica.

La gran limitación que se tiene con el método de solución gráfica con programación lineal es que su aplicación sólo puede hacerse a problemas con dos y cuando mucho tres variables, en este curso se ejemplifica para problemas solo con dos variables.

A pesar de tal inconveniente, el método gráfico resulta útil para exposición e ilustración de los conceptos de la programación lineal. Ejemplo:

Max. z = 3x1 + 5x2 ... sujeto a:

x1 4 .......... (1) 2x2 12 .......... (2)3x1 + 2x2 18 .......... (3) x1 ; x2 0

Expresar geométricamente el sistema dentro del gráfico; rango de valores.

x1 4 2 x2 12 3 x1 + 2 x2 18 (1) (4,0) F (2) x2 6 (3) x1 x2

(0.6) A

..


0 96 0

(0,9) B(6,0) J

Las desigualdades son fronteras o división del espacio plano. Si la recta no pasa por el origen, se toman en cuenta las coordenadas de O.

Espacio solución: Satisface al sistema (factible) posible. Conjunto de soluciones factibles.

Si se satisface la restricción, el origen pertenece al semiplano que satisface la restricción.

(1) (3) 3x1 = 12H x1= 4 x1 = 4

3x1 + 2x2 = 18 H = (4,3)2x2 = 6 ; x2 = 3

Trazo de la función económica

VALOR RELATIVO

z (5,0)(0,3)

Múltiplo de los coeficientes que nos dan la pendiente de la función.

z = 15 supuesto

...trasladar a z en cualquier dirección respetando la pendiente (paralela a la obtenida).

..


Haciendo coincidir z con todos los vértices conocidos nos damos cuenta que a medida que se aleja del origen crece. El punto máximo es C.

... donde z = 3(2) + 5(6) = 36 Max z = 36

Los vértices son capaces de generar lo OPTIMO.

CONVEXIDAD: Si dados dos puntos cualesquiera contenidos en el conjunto y se unen mediante el segmento y si se cumple para todo par de puntos, es convexo.

Para resolver mediante el algorítmo SIMPLEX, el conjunto debe ser CONVEXO.

CONJUNTO CONVEXO: un conjunto es convexo si dados dos puntos A y B cualesquiera, contenidos en el mismo, el segmento de recta que los une queda contenido en dicho conjunto totalmente.

DEFINICION MATEMATICA: Un conjunto convexo se forma por combinación convexa lineal entre dos puntos A y B como sigue:

P = A + B(1 - ) para 0 1...donde A y B son vectores y es un escalar.

Ejemplo: Obtener un punto p que sea CCL entre dos vértices A y F con = ½.

P = ((0,6) ½) + (4,0) (1 - ½)P = (0,3) + (2,0)P = (2,3)

OJO: NO SE PUEDEN GENERAR LOS VERTICES.

METODO GRAFICO.

Ejemplo: Max z = 3x1 + 5x2 ...sujeta a:

x1 4 ... (1)2x2 12 ... (2)

3x1 + 2x2 18 ... (3) x1 ; x2 0

..


CONJUNTO CONVEXO: Un conjunto es convexo si dados dos puntos A y B contenidos en el mismo, el segmento de recta que losa une queda contenido totalmente en dicho conjunto.

DEFINICION MATEMATICA: Un conjunto convexo se forma por combinación convexa lineal entre dos puntos A y B como sigue:

P = A + B(1 - ) para 0 1

Ejemplo: Obtener un punto P que sea CCL entre los vértices A y F con = ½

P = (0,6) ½ + (4,0) (1 - ½9 = (0,3) + (2,0) P = (2,3)

(pueden calcularse así todos los puntos a excepción de los vértices)

Cuando se tienen desigualdades ha y que convertir a igualdades (ec. lineales).

Tomando la restricción 3:

..


En este caso coincidió, pero no lo sabíamos, si no fuera así, necesitamos una nueva variable “x” llamada holgura y retomando el ejemplo anterior se tendría:

x1 + x3 = 4 ... (1)2x2 + x4 = 12 ... (2)

3x1 + 2x2 + x5 = 18 ... (3) x3 , x4 , x5 HOLGURA.

x1 ... x5 0

...y se tiene un sistema ampliado a 5 dimensiones.

VERTICE X1 X2 X3 X4 X5 OBNES.O 0 0 4 12 18 FACTIBLEA 0 6 4 0 6 FACTIBLEC 2 6 2 0 0 FACTIBLEF 4 0 0 12 6 FACTIBLEH 4 3 0 6 0 FACTIBLEB 0 9 4 -6 0J 6 0 -2 12 0R 4 6 0 0 -6

... en las observaciones se señalan los puntos como factibles porque cumplen con la no negatividad, pero los puntos B, J y R no cumplen con la condición de no negatividad, lo cual nos indica que no son factibles.

Retomando el sistema anterior, solo cambiaremos el signo de desigualdad de (3) que será .

3x1 + 2x2 18 ... (3)

..

Tomando X3, X4, X5, de sustituir o despejarlos de 1, 2 y 3 y tomando X1 y X2 como 0, ....en todas se cumple x 0.


Agregaremos al sistema ahora una 4ª restricción, siguiendo con la condición de no negatividad.

3x1 + 2x2 18 ... (4)

(x1 , x2 )si .... (0 , 12 ) 4y si ... (8 , 0 )

..


Ampliando el sistema inmediato anterior, podemos hacer lo mismo que antes con 1, 2 y 4, pero no con 3 porque el signo es y nos indica que mínimo 18 y necesitaremos una VARIABLE SUPERFLUA o de HOLGURA NEGATIVA.

VERTICE X1 X2 X3 X4 X5 X6OBSERVACIONES

O 0 0 4 12 -18 24 NO FACTIBLE

A 0 6 4 0 -6 12 NO FACTIBLE

C 2 6 2 0 0 6 FACTIBLE

F 4 0 0 12 -6 12 NO FACTIBLE

H 4 3 0 6 0 6 FACTIBLE

B 0 9 4 -6 0 6 NO FACTIBLE

J 6 0 -2 12 0 6 NO FACTIBLE

R 4 6 0 0 6 0 FACTIBLE

Ojo: en el renglón R de la tabulación anterior hay tres ceros, a diferencia del resto de la misma tabulación y de la anterior de 5 dimensiones. Esto se debe a que por ese punto pasan 3 rectas y por el resto convergen solo dos rectas.

En el punto “R” intersectan: 1 2R 1 4

2 4

... y se dice que el punto como tal es NO UNICO.

Y tomando en consideración que para un solo punto se requiere de una intersección, el resto de los puntos es UNICO. Se dice entonces que el punto R tiene:

SOLUCION FACTIBLESOLUCION NO UNICA

... y solo cuando se dan las dos anteriores soluciones se llama SOLUCION DEGENERADA.

..


Un vértice no único se establece cuando hay redundancia.

Observaciones características.

...el vértice O es NO FACTIBLE y UNICO.A es NO FACTIBLE y UNICO.C es FACTIBLE y UNICO.F es NO FACTIBLE y UNICO.H es FACTIBLE y UNICO.B es NO FACTIBLE y UNICO.J es NO FACTIBLE y UNICO.R es FACTIBLE, UNICO y DEGENERADO.

...y por lo tanto, del gráfico anterior decimos entonces que C y H son no degeneradas.

DEFINICIONES:

SOLUCION: Es un conjunto de valores para las variables o bien un vector X = (x1 , x2 , ... , xj , xj+1 , ... , xn , xn+1 , ... , xn+m ) que satisface al conjunto de restricciones

SOLUCION FACTIBLE: Es un conjunto de valores para las variables o bien un vector X = (x1 , x2 , ... , xj , xj+1 , ... , xn , xn+1 , ... , xn+m ) que satisface al conjunto de restricciones

...y además satisface a toda xj 0 .

SOLUCION BASICA: Es una solución que se obtiene al hacer nulas, al menos, (m+n)-m variables, en donde

m = # total de restricciones, .

.


n = # de variables de decisión (originales)

[en el ejemplo, m = 3 y n = 2 (3+2) – 3 = 2 ... en el ejemplo de 4 restricciones m = 4 y n = 2, resultando (4 + 2) – 4 = 2 .... y por esto, en el sistema ampliado se tiene en VERTICE : SOLUCIONES BASICAS].

...y se resuelve el sistema para las restantes.

SOLUCION BASICA FACTIBLE: Es una solución básica que cumple toda xj 0.

SOLUCION DEGENERADA: Es una solución básica factible que tiene menos de m variables estrictamente positivas.

SOLUCION NO DEGENERADA: Es una solución básica factible con exactamente m variables estrictamente positivas.

SOLUCION OPTIMA: Es una solución básica factible que optimiza la función

La ‘solución’ en el gráfico 1 y 2 sería solo el área sombreada.

La ‘solución factible’ en 1 cuando cumple con 0 y en 2 coincide con ‘solución’ (polígono A, C, H, F, O)

..


‘Solución básica’ en 1 todos los vértices pero en 5 dimensiones y en 2 solo C, R, H pero en 6 dimensiones.

Ejemplo: Mix z = 4x1 + 3x2 ...sujeta a:

x1 + x2 6 ... (1) 2x1 - x2 0 ... (2)

x1 2 ... (3)x1 ; x2 0

x1 , x2 2x1 = x2 x1 , x2

(0 , 6) B 1 2 2(0) = 1(0) : (0,0) O 3 (2 , 0) F(6 , 0) A 2(1) = 1(2) : (1,2)

2(2) = 1(4) : (2,4) C

El conjunto anterior se diferencía de los anteriores porque es un CONJUNTO ABIERTO y al pedir un máximo, se tendría una solución SIN LÍMITE.

Recordar que si el origen se encuentra en el conjunto factible, al pedirse minimizar, esta se llama solución trivial.

4(2) + 3(4) = 20 ....[Min] Considerando Min z 3

4(6) + 3(0) = 24

Resolviendo analíticamente:

x1 + x2 - x3 6 2x1 - x2 - x4 0

3 Ojo: z solo se valora en vértices .

.


x1 - x5 2 x1, x2 , x3 , x4 , x5 0

(los vértices en 2 dimensiones pasan a ser soluciones básicas en 3 dimensiones)

VERTICES O SOLUCIONES BASICAS

X1 X2 X3 X4 X5 CARACTERISTICAS

B 0 6 0 -6 -2 N.FACTIBLES, UNICA

F 2 0 -4 4 0 N.FACTIBLES, UNICA

O 0 0 -6 0 -2 N.FACTIBLES, NO UNICA

C 2 4 0 0 0 N.FACTIBLES, NO UNICA, DEGE.

A 6 0 0 12 4 N.FACTIBLES, UNICA

La degeneración en C se provoca por una restricción redundante : 3 C se genera de la simultaneización de las rectas 1,2 ; 2,3 ; 1,3 y se tienen 3 soluciones básicas.

Como en el gráfico anterior el número de soluciones básicas es infinito y hacemos o tomamos solo soluciones básicas:

# máximo de m + n = m + n = m + n ! soluciones básicas m n m! n!

m = # de restricciones.n = # de variables de decisión.

# = 3 + 2 = 3 + 2 = 5 = 5 = 5 ! = 10 3 2 3 2 3! 2!

En los ejemplos anteriores no cambia el número máximo, pero las líneas horizontal y vertical o cruzan el eje contrario.

..


El modelo de programación lineal se puede presentar en diferentes formas y algunas de ellas resultan importantes para el manejo de los temas siguientes del curso.

FORMA CANONICA: Esta es útil para el manejo del tema que se refiere al problema dual de cualquier problema de programación lineal. La forma canónica aceptable y reconocida en la mayoría de los textos debe cumplir con lo s siguientes requisitos:

1. Función objetivo maximizar.2. Restricciones del tipo .3. Condiciones de negatividad para variables.

Otra forma legítima para considerar como canónica es cumpliendo con los siguientes requisitos:

1. Función objetivo de minimizar.2. Restricciones del tipo .3. Condiciones de no negatividad para variables.

FORMAS CANONICAS.Maximizar. Minimizar.z = Cx z = Cx

sujeto a: sujeto a:Ax b Ax bx 0 x 0

Max z = 3x1 + 5x2 (-1) Min z = -3x1 - 5x2

Suj. a: Suj. a:x1 4 -x1 -4 2x2 12 - 2x2 -12

3x1 + 2x2 18 -3x1 - 2x2 -18 x1 ; x2 0

FORMA ESTANDAR: El modelo de programación lineal para resolverse, necesita arreglarse para igualdades, lo cual se consigue utilizando tanto variables de holgura como

..


variables superfluas. Lo anterior da lugar a la presentación del modelo cumpliendo con l os siguientes requisitos:

1. Función objetivo para Max. o bien Min.2. Restricciones del tipo =.3. Lado derecho de restricciones no negativo.4. Condiciones de no negativo para variables.

FORMA IRREGULAR: El modelo de programación lineal generalmente se presenta en forma irregular; es decir, no cumple con la forma canónica ni tampoco forma estándar, pero mediante el procedimiento algebraico se puede conseguir convertir a un modelo que cumpla las formas mencionadas tal como se ve en el siguiente ejemplo:

Formas equivalentes del modelo de programación lineal.

Ejemplo: Max z = 5x1 - x2 + 3x3

...sujeta a:x1 + 2x2 + 4x3 12 ... (1)

x2 + x3 = 5 ... (2) 2x1 - x2 + 5 x3 6 ... (3) x1 ; x2 0 ; x3 LIBRE4

Formas canónicas (en forma vectorial)

Max z = Cx Min z = Cx sujeto a: sujeto a:

Ax 0 Ax 0x 0 x 0

.....en el caso anterior conviene usar Max para no invertir la función objetivo.

Forma canónica.

Algo que incomoda es x1 0 y entonces se hace un acuerdo matemático para crear otra variable x1 como se hace a continuación:

x1 0 -x1’ = x1 0

...la hicimos igual a x1’ y luego multiplicamos todo por –1.

(-x1’ = x1 0) (-1) = x1’ = -x1 0...ahora para x3 :

x3 = (x3+ - x3

-) x3

+ ; x3- 0

4 Un problema rara vez se presenta en forma canónica o estándar. .

.


si... x3+ x3

- x3 0x3

+ x3- x3

0x3

+ = x3- x3 = 0

iniciando...

Max z = 5x1 - x2 + 3x3

z = 5x1’ - x2 + 3x3+ - 3x3

-

...sujeta a:

x1’ + 2x2 + 4x3+ - 4x3

- 12 ... (1)

Para la restricción original (2) no tengo un proceso específico, pero se ponen en sustitución de esta restricción de igualadad a 2 restricciones de desigualdad con signos opuestos (mismo términos).

x2 + x3+ - x3

- 5 ........ (2+)x2 + x3

+ - x3- 5 ........ (2-)

...pero como no tenemos que tener aquí , entonces multiplicamos a 2- por (-1) y queda de la siguiente forma:

-x2 - x3+ + x3

- -5 ........ (2-)

Pasando a la restricción (3), hay que multiplicarla por (-1) sin dejar de tomar el signo para x1’.

2x1’ + x2 - 5x3+ + 5x3

- -6x1’ = -x1 0 ; x2 , x3

++ ; x3- 0

Agrupando todo lo anterior resulta la forma canónica.

Forma estándar.

Max/Min z = CxSujeta a: Ax=b

x 0

Max z = 5x1’ - x2 + 3x3’ – 3x3’

Sujeta a: (tomando las originales y tomando los arreglos para variables)5

- x1’ + 2x2 + 4x3+ - 4x3

- + x4 = 12 ..... (1) x2 + x3

+ - x3- = 5 ..... (2)

- 2x1’ - x2 + 5x3+ - 5x3

- - x5 = 6 ..... (3)

SUPERFLUAx1’ ; x2 ; x3

+ ; x3- ; x4 y x5 0

5 Para hacer = una o se resta una variable superflua o sumamos una de holgura respectivamente. .

.

Multiplicamos por los arreglos a los coeficientes.


......quedando de esta manera la forma estándar.

Ejercicio:

Min z = 4x1 + 3x2 - x3

Sujeta a:

2x1 - x2 + 2x3 = 14 ..... (1) x1 + x2 + 3x3 8 ..... (2) 3x2 + 2x3 4 ..... (3)

x1 LIBRE ; x2 0 ; x3 0

Forma canónica.

-x2’ = x2 0 x1 = (x1+ - x1

-) x1+ > x1

- x1 > 0x2’ = -x2 0 x1

+ 0 ; x1- 0 x1

+ < x1- x1 < 0

x1+= x1

- x1 = 0

Min z = 4x1+ - 4x1

- - 3x2’ – x3

Sujeta a:

(2x1+ - 2x1

- + 2x2’ + 2x3 14) (-1)

2x1+ - 2x1

- + 2x2’ + 2x3 14 ..... (1-)

-2x1+ + 2x1

- - 2x2’ - 2x3 -14 ..... (1+)

(x1+ - x1

- - 2x2’ + 3x3 8) (-1)

-x1+ + x1

- + 2x2’ - 3x3 8 ..... (2)

- 3x2’ + 2x3 4 .....(3)

-2x1+ + 2x1

- - x2’ - 2x3 -14 ..... (1+)

2x1+ - 2x1

- + x2’ + 2x3 14 ..... (1-)

-x1+ + x1

- + 2x2’ - 3x3 8 ..... (2) - 3x2’ + 2x3 4 ..... (3)

x1+ ; x1

- ; x2’ ; x3 0

Forma estándar.

-x2’ = x2 0 x1 = (x1+ - x1

-)x2’ = -x2 0 x1

+ 0 ; x1- 0

Min z = 4x1+ - 4x1

- - 3x2’ – x3

Sujeta a:2x1

+ - 2x1- + x2’ + 2x3 14 ..... (1)

x1+ - x1

- - 2x2’ + 3x3 + x4 8 ..... (2)

- 3x2’ + 2x3 - x5 4 ..... (3)x1

+ ; x1- ; x2’ ; x3 ; x4 ; x5 0

..


MÉTODO SIMPLEX.

El método símplex fue desarrollado en 1947 por el Dr. George Dantzig y conjuntamente con el desarrollo de la computadora hizo posible la solución de problemas grandes planteados con la técnica matemática de programación lineal.

El algorítmo denominado símplex es la parte medular de este método; el cual se basa en la solución de un sistema de ecuaciones lineales con el conocido procedimiento de Gauss-Jordan y apoyado con criterios para el cambio de la solución básica que se resuelve en forma iterativa hasta que la solución obtenida converge a lo que se conoce como óptimo.

Las definiciones siguientes fundamentadas en 3 importantes teoremas, ayudan a entender la filosofía de este eficiente algorítmo.

Teoremas de la Programación Lineal.

1. El conjunto de soluciones factibles para un problema de P.L. es un conjunto convexo.

2. La solución óptima del problema de programación lineal , si existe, es un punto extremo (vértice) del conjunto de soluciones factibles. Si dicha solución óptima se tiene para más de un punto extremo, entonces también optimiza en cualquier punto que sea combinación convexa lineal entre los dos vértices que optimiza.

...y suponiendo que la función objetivo fuera:

Max zC = 6x1 + 4x2 6(2) + (6) = 36Max zH = 6(4) + 4(3) = 36Max zA = 6(0) + 4(6) = 24

Calcular P como CCL entre C y H con = ¼ P = C + (1 - ) HP = ¼ (2 , 6) + ( 1 – ¼) (4 , 3)P = ( ½ , 3/2) + (3 , 9/4) = (7/2 , 15/4)

..


... y retomando el gráfico anterior:

ZP = 6 (7/2) + 4 (15/4) = 36

3. El número máximo de puntos extremos (vértices) por revisar en la búsqueda de la solución óptima del problema es finito y coincide con el número máximo de soluciones básicas únicas que se pueden determinar mediante el binomio...

m + n = m + n = (m+n) ! m n m! n!

DIAGRAMA FUNCIONAL DELMETODO SIMPLEX.

NO

SI

CRITERIOS DEL ALGORITMOSIMPLEX PARA EL CAMBIO DE BASE.

El algorítmo símplex maneja exclusivamente soluciones básicas y que cumplan con factibilidad; es decir, todas las variables deben ser no negativas. Por lo tanto, para el manejo de las soluciones básicas factibles y su valoración, requiere de la aplicación de ciertos criterios fundamentados en los teoremas ya mencionados. Por cada intento de cálculo es necesario aplicar los siguientes criterios:

Criterio de optimalidad. Se aplica en el algorítmo símplex para determinar entre las variables no-básicas, una que entre a la base, eligiendo aquella no-básica con el coeficiente más negativo en el renglón z de la tabla símplex; si el problema tiene el objetivo de maximizar. En caso contrario, es decir, para

..

1Sumar variables de holgura (forma estándar)

2Determinar una primera solución básica factible.

4Calcular para la nueva solución básica factible

3Existe una solución básica factible adyascente mejor?

5Entonces la solución básica factible es óptima.


minimizar, debe elegirse para variable entrante a la base a aquella que tenga el coeficiente más positivo en el renglón z de la tabla.

Criterio de factibilidad. Se aplica en el algoritmo símplex para determinar entre las variables básicas a una que salga de la base, aplicando la siguiente función.

x i Min ; solo a i k > 0

a i k

Esto es válido tanto para problemas de maximizar como de minimizar.

Elemento pivote. Se declara como elemento pivote a aquél coeficiente que se ubica en el cruce de la columna ‘k’ y el renglón ‘i’ elegidos en los dos criterios ya anotados.

Ejemplo: Resolver con el método símplex el siguiente modelo de programación lineal.

Max z = 3x1 + 5x2 ...sujeta a:

x1 4 (1) 2x2 12 (2)3x1 + 2x2 18 (3) x1 ; x2 0

... conseguir la forma estándar

Max z = 3x1 + 5x2 6

...sujeta a:

x1 + x3 4 (1)Bloque #1 2x2 + x4 12 (2)

3x1 + 2x2 + x5 18 (3) x1 ; x2 ; x3 ; x4 , x5 0

holguras

FORMA MATRICIAL.

BASE Z x1 VE x2 x3 x4 x5 SOLUCIONz 1 -3 -5 0 0 0 0x3 0 1 0 1 0 0 4x4 0 0 (p) 2 0 1 0 12 RS 12/2=6

x5 0 3 2 0 0 1 18 18/2=9

DECISIÓN HOLGURA

Es 0 porque no hay ‘z’ en 1, 2 y 3

El renglón ‘z’ tiene la función económica u objetivo.

Para nuestra primera solución básica y factible se deben de tener ceros en los coeficientes de nuestras variables básicas (x3, x4 y x5) y se debe de tener a la matríz identidad (aunque estén desordenadas las columnas).

Aplicamos ahora los criterios 1 y 2 (en ese orden).

Por criterio de optimalidad declaro a x2 como variable entrante (VE).

6 Ahora por arreglo se tendrá: Max z – 3x1 – 5x2 = 0 .

.

1ª solución básica y factible.


Ahora por el criterio de factibilidad determino la VS; como en el 1er renglón el valor no es > 0, no se hace, pero en el resto sí.

12/2 = 6 y 18/2 = 9 ...y se toma al menor como VS

Pasar ahora a la tabla y observar el último renglón que ahora se agrega en la siguiente tabla:

BASE z VE x1 x2 x3 x4 x5 SOLUCION

RE(5) +Rz z 1 -3 0 0 5/2 0 30 7 x3 0 1 0 1 0 0 4 4/1=4

RE = RS/P x2 0 0 1 0 ½ 0 6RE(2) + Rx5 x5 0 (p) 3 0 0 -1 1 6 VS 6/3=2

NOTA8

Mientras haya coeficientes negativos en ‘z’ todavía no se llega a la solución óptima (para todas las variables del renglón z)

BASE z x1 x2 x3 x4 x5 SOLUCION

RE(3) +z z 1 0 0 0 3/2 0 36RE(-1) + Rx3 = x3 0 0 0 1 1/3 -1/3 2 x2 0 0 1 0 ½ 0 6RE= RS/P x1 0 1 0 0 -1/3 1/3 2

7 RE que pasa a ser el renglón pivote y se calcula dividiendo RS entre el pivote que es el 28 En esta tabla lo que se busca es obtener (justificar) lo 0’s de la columna x2 (VE) multiplicamos RE por el inv. aditivo del # que se quiere cambiar a cero y sumamos el renglón mismo anterior. En x3 ya no se hace nada porque ya se tenía el cero. .

.

VERTICE A.

Como es la nueva var. Se deben hacer ceros a los demás.


Solución óptima: zo=36; x1=2; x2=6; x3=2; x4,5 = 0 VERTICE ‘C’

Ejemplo:

Max z = 6x1 + 10x2 Sujeta a:

x1 + x2 5 ..... (1)x1 + 2x2 4 ..... (2)x1 3 ..... (3) x1 ; x2 0

forma estándar: Max z = 6x1 + 10x2

Sujeta a:x1 + x2 + x3 = 5 ..... (1)x1 + 2x2 + x4 = 4 ..... (2)x1 x5 = 3 ..... (3)

x1 ; x2 ; x3 ; x4 ; x5 0 ...por arreglo:

z - 6x1 + 10x2 = 0

FORMA MATRICIAL:

BASE Z x1 RE x2 x3 x4 x5 SOLUCIONz 1 -6 -10 0 0 0 0x3 0 1 P 1 1 0 0 5 RS 5/1

x4 0 1 2 0 1 0 4 4/2

x5 0 1 0 0 0 1 3 RE(10) + z z 1 VE -1 0 0 5 0 20 RE(-1)+x3 x3 0 ½ 0 1 - ½ 0 3 3/1/2=6

RE=RS/P x2 0 ½ 1 0 ½ 0 2 2/1/2=4

X5 0 P 1 0 0 0 1 3 RS 3/1=3 RE(1)+z z 1 0 0 0 5 0 23RE(- ½)+x3 x3 0 0 0 1 0 - ½ 3/2RE(- ½)+x2 x2 0 0 1 0 1 - ½ ½ RE=RS/P x1 0 1 0 0 0 1 3

La solución óptima es: z = 23x3 = 3/2 x4 = x5 = 0x2 = ½x3 = 3 9

9 Toda variable fuera de la base tiene un valor igual a cero. .

.

Atencion en multiplicar por el inverso aditivo

Como todavía hay coeficientes < 0 en este renglón z se continúa...


x1 x2 x1 x2

1 (0 , 5) B 2 (0 , 2) A 3 (3 , 0) F(5 , 0) R (4 , 0) H

VARIABLES ARTIFICIALES.

El modelo de programación lineal se presenta generalmente en forma irregular; es decir, que se pueden incluir restricciones de cualquier tipo. Cuando las restricciones son del tipo ‘’, la variable de holgura que se suma para conseguir que la restricción sea de igualdad proporciona el coeficiente ‘+1’ que es útil para la formación de la matriz initaria de base en el algorítmo símplex. En contraste, una restricción del tipo ‘’ requiere que se le reste una variable superflua para conseguir igualdad en la misma, lo cual no proporciona el coeficiente ‘+1’ para la base como primera solución en el algorítmo símplex. También ocurre que las restricciones del tipo ‘=’ no requieren arreglo con holguras o superfluas y por lo tanto tampoco se tiene al coeficiente +1 para la primera base del simplex.

Por tal motivo se necesita de un arreglo artificial para el caso de que el modelo de programación lineal que se pretende resolver con el algorítmo símplex utilizando las llamadas variables artificiales; de esta manera debe sumarse un variable artificial ()10 por cada restricción del tipo ‘’ y por cada una del tipo ‘=’ presentes en el problema.

Cuando el problema que se pretende resolver necesita de variables artificiales, entonces el algorítmo símplex que se aplica es con variantes, las cuales se verán para pequeños ejemplos.

Las variables artificiales no tienen significado físico y solo deben comprenderse como artificios matemáticos para la matriz de base.

METODO SIMPLEX PENALO DE LA ‘M’ GRANDE.

10 En clase se utilizó el símbolo x , pero dada la complejidad que representa escribirlo en Word, se emplea en estos apuntes el símbolo para hacer referencia a variables artificiales. .

.


Como su nombre lo indica, consiste en penalizar la inclusión de las variables artificiales en la función objetivo con un coeficiente ‘M’ muy grande que para el caso de maximizar es ‘- M’ y para el caso de minimizar es ‘+ M’.

La primera solución básica del símplex en tal caso, debe de incluir a todas las variables artificiales que fueron necesarias en el arreglo del modelo de programación lineal por resolver esto último porque las variables artificiales se utilizan precisamente para tomar la primera solución básica. A medida que se cumplen las etapas de cálculo en el símplex, las variables artificiales deberán de ir saliendo de la misma, en consecuencia del coeficiente ‘M’ muy grande.

Si se presenta el caso de que las variables artificiales no se logren sacar de la base y por lo tanto se anulen, ello significará que tal problema no tiene solución factible.

Ejemplo:


x1 + x2 6 ..... (1)2x1 - x2 0 ..... (2) x1 = 2 ..... (3)

x2 0

Forma estándar.


x1 + x2 - x3 6 ..... (1)2x1 - x2 - x4 0 ..... (2) x1 = 2 ..... (3)

x2 , x3 , x4 0

...consiguiendo una base artificial....

x1 + x2 - x3 + 5 6 ..... (1)2x1 - x2 - x4 + 6 0 ..... (2) x1 + 7 = 2 ..... (3)

VAR. ARTIFICIALES

x2 , x3 , x4 , 5 , 6 , 7 0

Penalizar la función objetivo.

..


Min z = 4x1 + 3x2 + M5 + M6 + M7

...debemos pasar al arreglo de tener el término independiente cero al lado derecho.z - 4x1 - 3x2 - M5 - M6 - M7 = 0

Paso a la forma tabular del Método Símplex Penal.

BASE z x1 x2 x3 x4 5 6 7SOLUCION

(Aquí i deberían tener

coeficiente 0, sigue z abajo)

1 -4 -3 0 0 -M -M -M 0

M(5)+Rz z’ 1 M-4 M-3 -M 0 0 -M -M 6MM(6)+Rz’ z’’ 1 3M-4 -3 -M -M 0 0 -M 6MM(7)+Rz’’ z’’’ 1 4M-4 -3 -M -M 0 0 0 8M

5 0 1 1 -1 0 1 0 0 6 8/1

6 0 P 2 -1 0 -1 0 1 0 0 VS 0/2

7 0 VE 1 0 0 0 0 0 1 2 2/1

RE(-4M+4)+z z 1 0 2M-5 -M M-2 0 -2M+2 0 8MRE(-1)+5 5 0 0 3/2 -1 ½ 1 - ½ 0 6 6/3/2 =4

RE=RS/P x1 0 1 - ½ 0 - ½ 0 ½ 0 0RE(-1)+7 7 0 0 VE ½ 0 ½ 0 - ½ 1 2 2/1/2=4

RE(-2M+5)+z z 1 0 0 1/3M-10/3

1/3M-1/3

-4/3M +10/3

-4/3M +1/3 0 20

RE=RS/P x2 0 0 1 -2/3 1/3 2/3 -1/3 0 4RE(½)+x1 x1 0 0 0 -1/3 -1/3 1/3 1/3 0 2RE(- ½)+7 7 0 0 0 1/3 1/3 -1/3 -1/3 1 0

1ª solución básicafactible.

Ejemplo:


x1 + x2 10 ..... (1)5x1 + x2 20 ..... (2) x1 ; x2 0

Forma estándar...

..

Cuando hay empate como en este caso, la variable saliente se escoje arbitrariamente.



x1 + x2 - x3 = 10 ..... (1)5x1 + x2 + x4 = 20 ..... (2) x1 ; x2 ; x3 ; x4 0

Conseguir la base artificial...

Max z = 3x1 + 2x2 Sujeta a: x1 + x2 - x3 + 5= 10 ..... (1)5x1 + x2 + x4 = 20 ..... (2) x1 ; x2 ; x3 ; x4 ; 5 0

Penalizando la función objetivo...

Max z = 3x1 + 2x2 - M5

z - 3x1 - 2x2 + M5 = 0

BASE z x1 x2 x3 x4 5 SOLUCION.

z 1 -3 -2 0 0 M 0-M(R5)+ Rz z 1 -M-3 -M-2 M 0 0 -10M

5 0 VE 1 1 -1 0 1 10 10/1

x4 0 P 5 1 0 1 0 20 VS 20/5

RE(M+3)+Rz z 1 0 -4/5M-7/5 M 1/5M+3/5 0 -6M+12 RE(-1)+5 5 0 0 P 4/5 -1 -1/5 1 6 VS 6/4/5

RE=RS/P x1 0 1 VE 1/5 0 1/5 0 4 4/1/5

RE(4/5M+7/5)+Rz z 1 0 0 -7/4 5/20 M+7/4 45/2RE= RS/P x2 0 0 1 VE -5/4 -1/4 5/4 15/2 15/2/-5/4

RE(-1/5)+Rx1 x1 0 1 0 P ¼ ¼ -1/4 15/2 5/2/1/4

RE(7/4)+Rz z 1 7 0 0 2 M 40RE(5/4)+Rx2 x2 0 5 1 0 1 0 20RE=RS/P x3 0 4 0 1 1 1 10

Solución óptima: zo = 40x2 = 20x3 = 10 x1 = x4 = 5 = 0

METODO DE DOS FASES.

Esta variable del símplex también se utiliza cuando están presentes las variables artificiales en el modelo de programación lineal que se pretende resolver. Este método se desarrolla en dos fases, en la primera de las cuales se aclara sobre la factibilidad para la solución óptima buscada.

1ª Fase:

..


En esta primera fase siempre se minimiza una función objetivo que se constituye mediante la suma de las variables artificiales.

Las variables artificiales empleadas para conseguir la primera solución básica ocupan dicha base y a través de las etapas de cálculo se procura la salida de las mismas tan pronto como sea posible. Debido a que el objetivo de la función z es MINIMIZAR, tal valor deberá disminuir conforme se desarrollan las iteraciones, hasta conseguir el valor de cero para la función z, lo cual representa lo óptimo de la 1ª fase. Si esto no se logra, ello significa que alguna variable artificial no es posible sacarla de la base y debe interpretarse como problema sin solución factible.

Si lo anterior ocurre, ya no es necesario continuar con la 2ª fase de este método.

2ª Fase.

Si se obtiene la optimización en la primera fase, entonces se continúa mediante la construcción de la primera tabla símplex, para lo cual se utiliza la tabla óptima de la primera fase, pero eliminando las columnas correspondientes a las variables artificiales, las cuales ya no se utilizan; además, debe eliminarse el renglón z y sustituirlo con los coeficientes correspondientes a la función original.

La tabla inicial de la 2ª fase debe revisarse para la solución básica antes de pretender aplicar los criterios del símplex para el objetivo del problema.

En conclusión, para la aplicación del método de dos fases deben aplicarse los criterios del símplex como se observa en la siguiente tabla:

PROBLEMA DE: 1ª FASE 2ª FASE

MAXIMIZAR MINIMIZAR MAXIMIZARMINIMIZAR MINIMIZAR MINIMIZAR

Ejemplo:


x1 + x2 10 ..... (1)5x1 + x2 20 ..... (2) x1 ; x2 0

Forma estándar...


..


x1 + x2 - x3 = 10 ..... (1)5x1 + x2 + x4 = 20 ..... (2) x1 ; x2 ; x3 ; x4 0

Conseguir la base artificial...

Max z = 3x1 + 2x2 Sujeta a: x1 + x2 - x3 + 5= 10 ..... (1)5x1 + x2 + x4 = 20 ..... (2) x1 ; x2 ; x3 ; x4 ; 5 0

1ª Fase:Min z = 5 ...por arreglo: z - 5 = 0

BASE z x1 x2 x3 x4 5 SOLUCION.

z 1 -3 -2 0 0 -1 0(R5)1+ Rz z 1 1 1 -1 0 0 10

5 0 1 P 1 -1 0 1 10 VS 10/1

x4 0 5 VE 1 0 1 0 20 20/1

RE(-1)+Rz z 1 0 0 0 0 -1 0RE=RS/P x2 0 1 1 -1 0 1 10RE(-1)+Rx4 x4 0 4 0 1 1 -1 10

SOLUCION ÓPTIMA 1ª FASEFIN DE LA 1ª FASE.

2ª Fase.TABLA SIMPLEX PARA LA 2ª FASE.

Función original: Max z = 3x1 + 2x2 se arregla a: Max z – 3x1 – 2x2 = 0Var. Básicas x2, x4 hacen matríz I. Observar –2* en x2 debe ser 0 (Rx2)(2)+z=

Ahora buscar entre var. no básicas el menor RE(2)+Rz

RE(1)+Rx2 RE=Rs/P

z 1 -3 -2* 0 0 0x2 0 1 1 -1 0 10x4 0 4 0 1 1 10

SE ARREGLA RENGLON z Y x2 y x4 CUMPLEN CON LOS REQUISITOS PARA SOLUCION BASICA

z 1 -1 0 -2 0 20x2 0 1 1 VE -1 0 10 NO

x4 0 4 0 P 1 1 10 VS

z 1 7 0 2 2 40x2 0 5 1 1 1 20x3 0 4 0 1 1 10

CASOS ESPECIALES EN LA TABLA SIMPLEX.

Se pueden identificar cuatro casa especiales en la tabla símplex, para los cuales se tienen señales particulares. Tal identificación es independiente tanto del tamaño del problema como de su objetivo.

Degeneración. Se identifica en la tabla símplex porque al menos una variable básica tiene valor cero. La degeneración puede ser de índole permanente o definitiva, si se presenta como solución óptima.

..


También puede darse el caso de un problema con solución degenerada transitoria, si tal degeneración se presenta en cualquier etapa intermedia de cálculo en la búsqueda de la solución óptima.

Solución no acotada. Se identifica en la tabla símplex porque en la columna correspondiente a la variable entrante se tienen coeficientes no positivos. Gráficamente se reconoce como solución no acotada la representada por un conjunto convexo abierto de tal manera que teóricamente se puede incrementar indefinidamente la función objetivo.

Ejemplo:Max z = 2x1 + x2

Sujeta a: x1 - x2 10 ..... (1)2x1 - x2 40 ..... (2) x1 ; x2 0

BASE Z x1 x2 x3 x4 SOLUCION

z 1 -2 -1 0 0 0x3 0 P 1 -1 1 0 10 VS

x4 0 VE 2 -1 0 1 40z 1 0 -3 2 0 20

x1 0 1 VE -1 1 0 10x4 0 0 P 1 -2 1 20 VS

z 1 0 0 -4 3 80x1 0 1 0 -1 1 30x2 0 0 1 -2 1 20

...como en la ultima iteración los coeficientes son 0 es solución o acotada.

..


Espacio de solución factibles no acotada pero con solución máxima

Ejemplo: (ojo)

Max z = 6x1 - 2x2

Sujeta a:

2x1 - x2 2 ..... (1)x1 4 ..... (2)

x1 , x2 0

BASE Z x1 x2 x3 x4 SOLUCION

z 1 -6 2 0 0 0x3 0 P 2 -1 1 0 2 VS

x4 0 VE 1 0 0 1 4z 1 0 -1 3 0 6

x1 0 1 VE - ½ ½ 0 1x4 0 0 P ½ - ½ 1 3 VS

z 1 0 0 2 2 12x1 0 1 0 0 1 4x2 0 0 1 -1 -2 6

Esta ya no es solución no acotada, sino espacio de soluciones factibles no acotada pero con solución máxima. .

.

POR EL SIGNO ( - ) TIENE UN MAXIMO


Soluciones óptimas alternas (múltiples). Se identifica en la tabla símplex porque una variable no básica tiene coeficiente cero en el renglón z de la tabla. En algunos casos podrían ser más de una variable no básica las que presentan tal condición.

Este caso es provocado porque alguna de las restricciones que son frontera en el conjunto de solución factibles resulta PARALELA a la función objetivo.

Ejemplo:

Max z = 4x1 + 14x2

Sujeta a:2x1 + 7x2 21 ..... (1)7x1 + 2x2 21 ..... (2)

x1 ; x2 0

BASE Z x1 x2 x3 X4 SOLUCION

z 1 -4 -14 0 0 0x3 0 2 P 7 1 0 21 VS

x4 0 7 VE 2 0 1 21z 1 0 0 2 0 42

x2 0 VE 2/7 1 1/7 0 3x4 0 P 45/7 0 -2/7 1 5 VS

z 1 0 0 2 0 42x2 0 0 1 7/45 -2/45 7/3x1 0 1 0 -2/45 7/45 7/3

No es normal que una variable no básica sea cero.

La función objetivo z es paralela a la restricción #1 porque:

..


z = 4x1 + 14x2 4 = 14 = 421 = 2x1 + 7x2 2 7 21

Se puede obtener combinación convexa lineal.

p = A + (1 - ) C

para 0 1

Calcular un punto ‘p’ que sea CCL entre los puntos A y C con = 7/8

p = 7/8 (0,3) + (1 – 7/8) (7/3 , 7/3) = (0,21) + (7/24 , 7/24)p = (7/24 , 70/24) zp = 4 (7/24) + 14 (70/24)

zp = 28/24 + 245/6 = 7/6 + 245/6 = 252/6 42

Cualquier punto en el segmento AC da el máximo pero con diferente cantidad de recursos.

Se tiene esta posibilidad de administrar los recursos a nuestra conveniencia porque la función objetivo y una de las restricciones son igual (=).

PROBLEMA SIN SOLUCIONFACTIBLE.

Se identifica en la tabla símplex porque al menos una variable artificial permanece en la base y a través de las iteraciones no es posible sacarla de la base.

Ejemplo:

Max z = 3x1 + 2x2

Sujeta a:2x1 + x2 2 ..... (1)3x1 + 4x2 12 ..... (2)

x1 ; x2 0

Forma estándar y base artificial: .

.


Max z = 3x1 + 2x2

Sujeta a:2x1 + x2 + x3 = 2 ..... (1)3x1 + 4x2 - x4 + 5 = 12 ..... (2) x1 ; x2 0

BASE Z x1 x2 x3 x4 5 SOLUCION

z 1 -3 2 0 0 0X3 0 P 2 -1 1 0 2 VS

X4 0 VE 1 0 0 1 4z 1 0 -1 3 0 6

X1 0 1 VE - ½ ½ 0 1X4 0 0 P ½ - ½ 1 3 VS

z 1 0 0 2 2 12X1 0 1 0 0 1 4X2 0 0 1 -1 2 6

TEORIA DE DUALIDAD.

..


Esta teoría es importante en programación lineal porque permite la interpretación económica del problema y conocer el significado de las variables duales, las cuales intervienen para dicho estudio económico.

La teoría de dualidad asocia a cualquier problema que se denomina primal o primario, otro problema que se denomina dual. Ambos problemas están muy relacionados, a tal punto que la solución de cualquiera de ellos proporciona la solución óptima del otro; es decir, no es necesario resolver ambos problemas.

El problema dado es llamado primal y su correspondiente problema dual se puede obtener ya sea algebraicamente, partiendo de la forma canónica, o bien directamente aplicando las reglas para la obtención del problema dual. En seguida se trata la obtención del problema dual.

Obtención del problema dual en forma canónica.

PRIMAL DUALMax z = CXSujeto a: AX b X 0

Min y = bT ySujeto a: Ay CT y 0

Min z = Cx Sujeto a: AX 0 X 0

Max yo = bT ySujeto a: AT Y CT Y 0

En donde:

C = Un vector renglón de coeficientes de la función objetivo.

b = Un vector columna de términos independientes de las restricciones.

A = Una matriz de coeficientes tecnológicos de restricciones.

X = Un vector columna de variables primales.

Y = Vector columna de variables duales.

T = Transpuesta de la matriz o vector.

Ejemplo:

..


Max z = 3x1 + 5x2

Sujeto a:x1 4 (1)

2x2 12 (2)3x1 + 2x2 18 (3) x1 ; x2 0

(que por ser el problema dado se llama primal/primario)PRIMAL DUALC = (3 , 5) CT = 3

5 4b = 12 18

bT = (4, 12, 8)

1 0A = 0 2 3 2

AT = 1 0 3 0 2 2

Entonces el problema dual será (correspondiente a la tabla).

y1

Min y0 = bT Y = (4, 12 , 18) y2

y3

Min y0 = 4y1 + 12y2 + 18y3 ......(función objetivo dual)

...eso nos da una regla de dualidad que se resume así:

“A cada restricción primal le corresponde una variable dual.”

...(restricciones duales)Sujeto a:

AT Y = 1 0 3 y1 y1 + 3y3 3 0 2 2 y2 = + 2y2 + 2y3 5

y3

y1, y2, y3 0 ...de la tabla

Problema dual:

Min y0 = 4y1 + 12y2 + 18y3

Sujeto a: .

.


y1 + y3 3 (1) +2y2 + 2y3 5 (2)

y1 : y3 0

NOTAS:

3 RESTRICCIONES PRIMALES 3 VARIABLES DUALES. 2 VARIABLES DE RESTRICCIÓN EN EL PRIMAL 2 RESTRICCIONES EN EL DUAL. EL DUAL DEL DUAL ES EL PRIMAL.

PROBLEMA DUAL OBTENIDO EN FORMA CANONICA.

Ejemplo:

Min z = 5x1 – x2 + 3x3

Sujeto a:2x1 + x2 10 (1)4x1 + 2x2 + 2x3 12 (2) PRIMAL. x1 - x2 + 3x3 = 8 (3)

x1 Libre ; x2 0 ; x3 0

Arreglos:

Para x1 vamos a menejar dos variables.

x1 = (x1+ - x1

-) ; x1+ 0 ; x1

- 0

si x1+ > x1- x1 > 0

si x1+ < x1- x1 < 0

si x1+ = x1- x1 = 0

Para x2.

-x2’ = x2 0 x2’ = -x2 0

...primal en forma canónica.

Min z = 5x1+ - 5x1

- + x2’ + 3x3

Sujeto a:-2x1

+ + 2x1- + x2’ -10 (1) y1

..


4x1+ - 4x1

- - 2x2’ + 2x3 12 (2) y2

x1+ - x1

- + x2’ + 3x3 8 (3+) y3+

-x1+ + x1

- - x2’ - 3x3 -8 (3-) y3-

x1+ 0 ; x1

- 0 ; x2’ 0 ; x3 0

...dual en forma canónica.

(vectores en el primal)

C = (5, -5 , 1, 3) -10b = 12

8 -2 2 1 0 -8

A= 4 -4 -2 2 1 -1 1 3 x1

+

-1 1 -1 -3 X = x1-

x2’ x3

(vectores en el dual)

5CT = -5 bT = (-10, 12, 8, -8)

1 3

y1

Y = y2

-2 4 1 -1 y3+

A= 2 -4 -1 1 y3-

1 -2 1 -1 0 2 3 -3

PROBLEMA DUALOBTENIDO DIRECTAMENTE.

También se puede obtener directamente el problemna dual correspondiente a un problema primal, recurriendo a las reglas de dualidad siguientes:

REGLAS DE DUALIDAD.MAXIMIZAR PRIMAL (DUAL) MINIMIZAR DUAL (PRIMAL)Restricción i ()Restricción i ()Restricción i (=)

Variable i 0Variable i 0Variable i LIBRE

Variable j 0 Restricción j () .

.


Variable j 0Variable j LIBRE

Restricción j ()Restricción j (=)

Si el problema es de Max iremos de derecha a izquierda y si es Min iremos de derecha a izquierda.

DUAL DIRECTO (del ejemplo anterior).

Min z = 10y1 + 12y2 + 8y3

Sujeto a:2y1 + 4y2 + y3 = 5 (1) y1 + 2y2 - y3 -1 (2) 2y2 + 3y3 3 (3)

y1 0 ; y2 0 ; x3 libre

Se tiene con lo anterior el dual directo pero no en forma canónica; para comprobarlo con el anterior obtendremos el simplificado del anterior.

PROBLEMA DUALSIMPLIFICADO.

Si las restricciones (1+) y (1-) del problema del tema anterior (Dual/Canónica) son tomadas ahora en cuenta y a (1-) la multiplicamos por –1 y quedará exactamente igual a (1+), a excepción del signo de desigualdad y por lo tanto podemos decir que (1+) y (1-) son iguales.

Para la restricción 2, ‘y1‘es 0 en el anterior y ‘y1’ es en el inmediato y se hace el arreglo para ‘y1’.

-y1’ = y1 0 y1’ = - y1 0

Min z = 10y1’ + 12y2 + 8y3

Sujeto a:2y1’ + 4y2 + y3 = 5 (1) -y1’ - 2y2 + y3 1 (2) 2y2 + 3y3 3 (3)

y1’ 0 ; y2 0 ; x3 libreSIGNIFICADO DE LAS VARIABLES DUALES.

La interpretación económica de un problema que se estudia, se hace a partir de la definición de las variables duales, las cuales pueden tener significado una vez que se realiza el análisis dimensional de las mismas. La interpretación económica puede variar, pero se hace en la forma que le conviene a quien aplica la dualidad.

..


El siguiente problema puede resultar orientador:

Un proveedor de fertilizantes produce dos clases de ellos a partir de los ingredientes nitrato, fosfato y potasio, que mezclados con barro se tiene la siguiente información:

FERTILIZANTE

COMPONENTE

j = 1 j = 2COSTO TON. DISP. TON

CONTENIDO TON/TON

NITRATO 0.05 0.05 200 1100FOSFATO 0.05 0.10 80 1800POTASIO 0.10 0.05 160 2000BARRO 0.80 0.80 10 COSTO DE MEZCLAR $/TON

15 15

PRECIO VENTA$/TON

71.5 69

COSTO TOTAL$/TON

53 49

UTILIDAD$/TON

18.50 20

COSTOS:

F1$/TON

F2$/TON

NITRATO 10 10FOSFATO 4 8POTASIO 16 8BARRO 8 8

MEZCLA 15 15COSTO TOTAL

53 49

Modelo de P.L. del modelo primal:

Significado de las variables primales:

Sea: Xj = Toneladas de fertilizante j(j= 1,2) a producir para maximizar la utilidad.

..


Función objetivo

Max. Z= 18.5X1 + 20X2 [($/Ton) (Ton)]= [$]

sujeta a restricciones de disponibilidad

0.05X1 + 0.05X2 = 11000.05X1 + 0.10X2 = 1800 [(TON i /TON j) (TON j)] = [TON i]0.10X1 + 0.05X2 = 2000

X1, X2 = 0

MODELO DE P.L DEL PROBLEMA DUAL

Significado de las variables duales sea:

Yi = ($/TON i), valor marginal de componente i(i=1,2,3) ó (i= N.P,K) que puede recuperarse en casos para el sistema productivo de fertilizantes.

Min Y0 = 1100 Y1 + 1800 Y2 + 2000Y3 [(TON i)($/TON i)]= [$]

sujeto a:

0.05 Y1 + 0.05Y2 + 0.10Y3 = 18.50.5 Y1 + 0.10Y2 + 0.05Y3 = 20 [(TON i/TON j) ($/TON i)]= [$/TON

j]

Y1,Y2 ,Y3 = 0

Tabla simplex óptima del problema PRIMAL

Base Z X 1 X 2 X 3 X 4 X5 Sol Vector de precios Z 1 0 0 0 3/2 1 36 sombra

X3 0 0 0 1 1/3 -1/3 2

..


X2 0 0 1 0 1/2 0 6 X1 0 1 0 0 -1/3 1/3 2

En condiciones de optimalidad se cumple que:

Max Z = 36 = Min Y0

Además la tabla simplex óptima de cualquier problema ya sea el Primal o bien el Dual, contiene la solución de ambos problemas.

El modelo de P.L Primal en forma estándar es:

Max Z= 3X1 + 5X2

X1 + X3 = 4 X2 + X4 = 12

3X1 + 2X2 +X5 = 18

X1, X2, X3, X4,X5 = 0

Precio Sombra ó Multiplicadores del simplex ó Costos Marginales ó Valor de las variables Duales

Función Objetivo Dual del ejemplo

Min Y0 = 4Y1 + 12Y2 + 18Y3 Y0= 4(0) + 12(3/2) + 18(1) = 36

si aumentamos 6 unidades a la sol. 1

Y0= 10(0) + 12(3/2) + 18(1) = 36

si aumentamos 2 unidades a la sol. 2

Y0= 4(0) + 14(3/2) + 18(1) = 39

si aumentamos 2 unidades a la sol. 3 Y0= 4(0) + 14(3/2) + 20(1) = 38

PRECIO SOMBRA

..


Definición: Es el incremente (decremento) del valor de la función objetivo en consecuencia de un incremento (decremento) UNITARIO del i-ésimo recurso.

MÉTODO DUAL SIMPLEX

Aprovechando las propiedades primal-dual se desarrollo un algoritmo denominado dual simplex que es aplicable a problemas que se presentan con características de optimalidad pero no factibles. Esto en contraste con el método simplex ya estudiado que obliga a iniciarlo con factibilidad.

La tabla siguiente resume las características que debe reunir un problema que se quiera resolver con este método.

S I M P L E X DUAL - SIMPLEX

Solución inicial básica factible Solución inicial básica óptima

pero NO OPTIMA pero NO FACTIBLE

Mediante iteraciones de cálculo se Mediante iteraciones de cálculo se busca OPTIMALIDAD conservando busca FACTIBILIDAD conservando

FACTIBILIDAD OPTIMALIDAD

Si existe la solución óptima entonces Si existe la solución factible entonces se cumple con FACTIBILIDAD + se cumple con OPTIMALIDAD +

OPTIMALIDAD FACTIBILIDAD

Justificación

P R I M A L D U A L

T

Max Z = CX Min Yo = b Y

s.a s.a T T AX= b A Y = C

X =0 Y=0

Ejemplo: Min Z= 4X1 + 3X2

s.aX1 + X2 = 6

2X1 + X2 = 0X1 = 2

..


X1, X2 = 0

1. Conseguir INFACTIBILIDAD

-X1 - X2 = -6-2X1 + X2 = 0

-X1 = -2

2. Forma Estándar

Min Z= 4X1 + 3X2

s.a -X1 - X2 + X3 = - 6

-2X1 + X2 +X4 = 0 -X1 +X5 = 2

X1, X2, X3, X4, X5 = 0

Min Z -4X1-3X2 = 0

Base Z X 1 X 2 X 3 X 4 X5 Sol Z -4 -3 0 0 0 0 0

X3 0 -1 - 1 0 0 -6 VS valor mas negativo X4 0 -2 VE 1 0 1 0 0

X5 0 -1 0 0 0 1 -2

Z 1 -1 0 -3 0 0 18 RE(3)+RZ

X2 0 1 1 -1 0 0 6 RE= RS/P X4 0 -3 0 1 1 0 -6 RE(-1) + RX4 VS valor mas negativo

X5 0 VE-1 0 0 0 1 -2 Z 1 0 0 -10/3 -1/3 0 20 X2 0 0 1 -2/3 1/3 0 4 RE(-1)+RZ X1 0 1 0 -1/3 -1/3 0 2 RE X5 0 0 0 -1/3 -1/3 1 0 RE(1)+RX5

CRITERIO DE OPTIMALIDADPARA MINIMIZAR.

Variables no-básicas.Coeficientes correspondientes en el renglón z.Coeficientes correspondientes en el renglón saliente.Cociente.

..

-1


Se elige el menor para Minimizar.

Ejemplo:

Min z = 4x1 + 3x2

Sujeto a: x1 + x2 6 (1) 2x1 - x2 0 (2)

x1 2 (3)

x2 0

BASE z x1 x2 x3 x4 x5 SOLUCIONz 1 -4 -3 0 0 0 0x3 0 -1 (p) -1 1 0 0 -6 (VS)x4 0 -2 1(VE) 0 I 1 0 0x5 0 -1 0 0 0 1 2

CRITERIO DE OPTIMALIDAD.VAR. NO BASICAS

x1 x2 x1 x3

COEFS. EN z -4 -3 -1 -3COEFS. EN RS -2 -1 -3 1COCIENTE -1 3 1/3 NOVE LA DE < COC. VE VE

z 1 -1 0 -3 0 0 18x2 0 VE 1 1 -1 0 0 6x4 0 (p) -3 0 1 1 0 -6 VS

x5 0 -1 0 0 0 1 -2

Ojo: En la tabla anterior se conserva la optimalidad y ésta se observa en el renglón ‘z’.

BASE z x1 x2 X3 x4 x5 SOLUCIONz 1 0 0 -10/3 -1/3 0 20x3 0 0 1 -2/3 1/3 0 4 (VS)x1 0 1 0 -1/3 -1/3 0 2x5 0 0 0 -1/3 -1/3 1 0

..

Coeficientes 0 no entran.


Agregado al criterio de optimalidad de la nota anterior 11

ESTRUCTURA MATRICIALDE LA TABLA SIMPLEX.

TABLA SIMPLEX INICIAL.

VARIABLES DE DECISIÓN VARIABLES DE HOLGURA/ARTIFICIALES. SOLUCION

z x1, x2, .... , xn xn+1, xn+2, ..... , xn+m SOLUCION

1 -C1, -C2, .... , -Cn 0, 0, 0, ..... , 0 00 A I B

TABLA SIMPLEX DESPUES DE CUALQUIER ITERACION.

z x1, x2, .... , xn xn+1, xn+2, ..... , xn+m SOLUCION

1 Z1-C1, Z2-C2, .... , Zn-Cn y1, y2, .... , ym SOLUCION1 Zj-Cj = CB B-1 AC Y = (y1, y2, ... ,ym) = CB B-1 zo = CB XB

0 = B-1 A B-1 XB = B-1 b

...en donde:

C es un vector renglón de coeficientes correspondientes a la función objetivo, en el orden progresivo de la misma.

CB es un vector renglón de coeficientes correspondientes a las variables básicas.

...de la función anterior

C = (4,3) CB = (C2, C1, C5)CB = (3, 4, 0)

b es un vector columna de términos independientes de las restricciones.

b2 6b = b1 = 0

b3 2A es una matriz de coeficientes tecnológicos de restricciones.

1 1A = 2 -1

1 0

11 El cociente sólo es válido para denominadores negativos .

.


es una matriz que se ubica en la misma posición de A, que resulta del cálculo para cada tabla símplex (obsérvese la tabla del ejercicio).12

I matriz unitaria que se ubica coincidiendo con las variables que forman la 1ª solución básica.

XB es un vector columna de variables básicas; es decir, es el vector de la solución básica actual....en la primera tabla del ejercicio anterior:

x3 -6XB = x4 = 0

x5 2 ...para la 2ª

x2 6XB = x4 = -6

x5 -2 ...y para la 3ª

x2 4XB = x1 = 2

x3 0

x2 4z0 = CBXB = (C2, C1, C5) x1 = (3, 4, 0) 2 = 20

x5 0

Y es un vector renglón de coeficientres que representan los precios sombra o también valores de las variables duales.

B-1 es una matriz inversa de una matriz B que se forma con los vectores columna correspondientes a las variables básicas.

Dada la siguiente tabla simplex óptima, calcular el modelo de programació lineal original:

ZB = CBXBBASE z x1 x2 x3 x4 x5 SOLUCION

z 1 0 Zj-Cj 0 0 3/2 Y 1 36x3 0 0 0 1 1/3 -1/3 2x2 0 0 1 0 ½ B-1 0 6

x1 0 1 0 0 -1/3 1/3 2

CB = (C3, C2, C1) XB

...de la tabla anterior podemos deducir lo siguiente:

12 = B-1 A .

.


Como en el renglón z todos los coeficientes son 0 , entonces la función original pretende MAXIMIZAR.

Se tienen 3 variables básicas; por lo tanto, hay 3 restricciones originalmente.

Como hay 5 variables, de las cuales 3 son básicas, entonces hay 2 de decisión.

El tipo de variables básicas es ‘HOLGURA’ y por lo tanto, las restricciones son ‘’.

Se tiene:XB = B-1b ...de lo cual no conocemos b y se requiere

B = BXB ...(tenemos que obtener la inversa de B-1 = B)

1 1/3 -1/3 1 0 00 ½ 0 0 1 00 1/3 1/3 0 0 1

1 0 -1/3 1 -2/3 00 1 0 0 2 00 0 1/3 0 2/3 1

1 0 0 1 0 10 1 0 0 2 00 0 1 0 2 3

1 0 1 2 4 b1

b = 0 2 0 = 6 = 12 = b2

0 2 3 2 18 b3

...que son las restricciones (sus términos independientes).

El lugar donde se encuentran los coeficientes es en por lo tanto:

= B-1 A A = B

1 0 1 0 0 1 0 a11 a12

B = 0 2 0 0 1 = 0 2 = a21 a22

0 2 3 1 0 3 2 a31 a32

Ahora solo falta la función objetivo y tenemos que calcular los coeficientes ‘C’ y se tienen en el orden original en el vector ‘C’.

..


1 0Zj - Cj = CBB-1 A – C = YA – C = (0, 3/2, 1) 0 2 - (C1, C2) = (0 , 0)

3 2(3, 5) – (C1, C2) = (0 , 0)(C1, C2) = (3 , 5) – (0 , 0) = (3 , 5)

...finalmente:

(En forma canónica)

Max z = 3x1 + 5x2

Sujeta a:

1 0 x1

Ojo: AX = 0 2 x2 = [ 3 X 2] [2 X 1] = [3 X 1]3 2

x1 4 ..... (1) 2x2 12 ..... (2)

3x1 + 2x2 18 ..... (3) x1 , x2 0

Dada la siguiente tabla simplex óptima, determinar el modelo de programación lineal original.

Zj - Cj ARTIFICIAL

BASE z x1 x2 x3 x4 5 x6 7 SOL. z 1 -23/2 0 0 -1/6 -M+1/6 Y 0 -M-53/16 -303/8 Z0

x2 0 ½ 1 0 -1/16 1/16 0 3/16 33/8x6 0 7 0 0 -1/4 1/4 B-1 1 ¼ 45/2

x3 0 ½ 0 1 -1/16 -1/16 0 5/16 15/8

CB = (C1, C2, C3) DECISION HOLGURA XB

SUPERFLUA ARTIFICIAL

Cuando hay i no basta la información de la tabla, pues no sabemos en qué punto fueron necesarias o en qué restricción, por lo tanto habrá que preguntar en dónde se ubican éstas; se obtiene de la siguiente manera:

En donde x4 es variable superflua de la primera restricción . .. x6 es variable de holgura de la 2ª restricción; x4 se encuentra en l a 1ª restricción y es del tipo x6 se encuentra en la 2ª restricción y es del tipo

...y finalmente la 3ª restricción debe ser ‘=’; 5 debe ser entonces i de la 1ª restricción y 7 es i de la 3ª restricción.

..


La 3ª es del tipo ‘=’ porque no hay ningún aviso con respecto a la 3ª. 13

1/16 0 3/16 1 0 0 1 0 3 16 0 0¼ 1 ¼ 0 1 0 0 1 ½ -4 1 0-1/16 0 5/16 0 0 1 0 0 ½ 1 0 1

1 0 0 10 0 -6-3 1 1 -3 1 12 0 2 2 0 2

10 0 -6 33/8 30b = -3 1 1 45/2 = 12 (términos independientes)

2 0 2 15/8 12

...Para los coeficientes:

= B-1 A A = B

10 0 -6 ½ 1 0 2 10 -6 a11 a12 a13

A = -3 1 1 7 0 0 = 6 -3 1 a21 a22 a23

2 0 2 ½ 0 1 2 2 2 a31 a32 a33

...para la función objetivo:

2 10 -6Zj – Cj = CB B-1 A – C = Y A – C = (1/16, 0, -53/16) 6 -3 1 - (C1, C2, C3) =....

2 2 2

..... = (-23/2, 0, 0) (-6 ½, -6, -7) – (C1, C2, C3)

(C1, C2, C3) = (-6 ½, -6, -7) - (-23/2, 0, 0) (C1, C2, C3) = (5, -6, -7).... obteniéndose finalmente:

Min z = 5x1 - 6x2 - 7x3

Sujeta a:2x1 + 10x2 - 6x3 30 ..... (1)6x1 - 3x2 + 3x3 12 ..... (2)2x1 + 2x2 + 2x3 = 12 ..... (3)

x1 ; x2 ; x3 0

ANALISIS DE SENSIBILIDAD.

13 Obsérvese que en la tabla no se toma en cuenta a la variable superflua, solo a las artificiales. .

.


El análisis de sensibilidad., también llamado de post-optimalidad, se practicas en programación lineal, debido a que este es un modelo de tipo estático; es decir, lo s coeficientes o parámetros considerados en el modelo que se resolvió pueden no ser válidos para la situación actual en una economía cambiante. Por lo tanto, puede ser necesario revisar la solución ya obtenida por cambios en precios, costos, utilidades, coeficientes de consumo o requerimientos de recurso, nuevos productos o cancelación de algunos, etc.

El programa de curso en U.P.I.I.C.S.A. considera 3 posibles cambios para los coeficientes del modelo, los cuales se verán en seguida.

1. CAMBIO EN EL VECTOR ‘B’ DE RECURSOS. (TERMINOS INDEPENDIENTES)

30 10Para el último ejemplo dado, considerar que b = 12 b = 12

12 cambia a: 12

1/16 0 3/16 10 23/8XB = B-1 b = ¼ 1 ¼ 12 = 35/2 0 Nuevo vector solución

-1/16 0 5/16 12 25/8 factible.

30Ahora b = 12

5

1/16 0 3/16 30 45/16XB = B-1 b = ¼ 1 ¼ 12 = 83/4 0 Nuevo vector solución

-1/16 0 5/16 5 -5/16 infactible.

...entonces la columna solución queda así:

45/1683/4

-5/16

... y el nuevo valor para z0 es: x2

Z0 = Z0 = CB XB = (C2, C6, C3) x6 = (-6, 0, 7) 14

x3

45/16

14 Ojo: Como C6 en F.O. C6 = 0 .

.


......= (-6, 0, 7) 83/4 = -235/16 -5/16 Z ....... -235/16

Nótese que en la F.O. x1 no entró a la base por ser > 0.

Si al no factible le aplicamos DUAL SIMPLEX lo hacemos factible.

Max z = 3x1 + 2x2 + 5x3

Sujeta a: b x1 + 2x2 + x3 430 y1

3x1 + 2x3 460 y2

x1 + 4x2 420 y3

x1 ; x2 ; x3 0

BASE z x1 x2 x3 S1 S2 S3 SOL. z 1 4 0 0 1 2 Y 0 1350x2 0 - ¼ 1 0 ½ - ¼ 0 100x3 0 3/2 0 1 0 ½ B-1 0 230 XB

S3 0 2 0 0 -2 1 1 20

x1 + 2x2 + x3 + S1 4303x1 + 2x3 + S2 460 x1 + 4x2 + S 420 ....por el problema dual:

Min y0 = 430y1 + 460y2 + 420y3

y0 = bt Y

y0 = 430 (1) + 460 (2) + 420 (0) = 350

Análisis de sensibilidad.

2. CAMBIO EN EL VECTOR ‘B’ DE RECURSOS.

100XB = B-1 b = 230

220

½ -1/4 0 430 + 1 215 + 1/2 – 115 = 100 + 1/2 100 + 2

XB = B-1 b = 0 ½ 0 460 = 230 = 2 1 1 420 - 860 - 21 + 460 +420 = 20 - 21 20 - 21

15

15 i = Valor del cambio en el i-ésimo recurso. .

.


Determinando límites -200 1 10 para que 20 - 21 no sea 0 y para que 100 + 1/2 no sea 0

Solución factible.

Para el recurso Nº 2

½ -1/4 0 430 215 - 115 - 2/4 = 100 + 1/4 100 - 2/4XB = B-1 b = 0 ½ 0 460 + 2 = 230 + 2/2 = 230 - 2/2

2 1 1 420 - 860 + 460 + 2 + 420 = 20 + 22 20 - 22

Determinando límites -20 2 400 16

430 450Supóngase que b = 460 cambia a 460 ; calcular la nueva solución óptima.

420 420

½ -1/4 0 450 100 XB = B-1 b = 0 ½ 0 460 = 230 No factible; entonces CB = (C2, C3, 0) (2,5,0)

-2 1 1 420 -20

110Z0 = CBXB = ( 2,5,0 ) 230 = 1370

-20

Como hay optimalidad, pero no factibilidad, entonces se puede recurrir al algorítmo DUAL-SIMPLEX.

Tomamos de la tabla como variable saliente a S3 por ser la última negativa.

BASE z x1 x2 x3 S1 S2 S3 SOLUCION. z 1 4 0 0 1 2 0 1370x2 0 -1/4 1 0 ½ VE - ¼ 0 110x3 0 3/2 0 1 0 ½ 0 230S3 0 2 0 0 -2 P 1 1 -20 VS

z 1 5 0 0 0 5/2 ½ 1360x2 0 ¼ 1 0 0 0 ¼ 105x3 0 3/2 0 1 0 ½ 0 230S1 0 -1 0 0 1 - ½ - ½ 10

La nueva solución óptima es: z = 1360x2 = 105x3 = 230S1 = 10

Suponga que b cambia a : 430 11516 Pero ojo con las restricciones 2 y 3. No y – 20. .

.


b = 400 XB = 200 Solución factible.420 -40

115entonces Z0 = CBXB = (2, 5, 0) 200 = 1230

-40

BASE z x1 x2 x3 S1 S2 S3 SOLUCION. z 1 4 0 0 1 2 0 1230x2 0 -1/4 1 0 ½ VE - ¼ 0 115x3 0 3/2 0 1 0 ½ 0 200S3 0 2 0 0 -2 P 1 1 - 40 VS

z 1 5 0 0 0 5/2 ½ 1210x2 0 ¼ 1 0 0 0 ¼ 105x3 0 3/2 0 1 0 ½ 0 230S1 0 -1 0 0 1 - ½ - ½ 20

Solución óptima: z0 = 1210x2 = 105x3 = 200x4 = 20

... A.s.

2. CAMBIOS EN EL VECTOR ‘C’ DE COEFIENTES DE LA FUNCIÓN OBJETIVO.

Este cambio se analiza mediante la fórmula matricial

Zj – Cj = CBXBA – C = YA - C

... y puede dar lugar a la pérdida de la optimalidad del problema ya resuelto. Como en el caso de los cambios en la optimalidad del problema con la misma fórmula ya anotada.

Ejemplo: Dado el siguiente modelo de Programación Lineal.

Max z = 3x1 + 2x2 + 5x3

Sujeta a: x1 + 2x2 + x3 430 ..... (1)3x1 + 2x3 460 ..... (2) x1 + 4x2 420 ..... (3)

..


x1 , x2 , x3 0

... cuya tabla símplex óptima es:

BASE z x1 x2 x3 S1 S2 S3 SOLUCION. z 1 4 0 0 1 2 0 1350x2 0 -1/4 1 0 ½ - ¼ 0 110x3 0 3/2 0 1 0 ½ 0 230S3 0 2 0 0 -2 1 1 20

... determinar entre qué límites pueden variar los coeficientes de la función objetivo para conservar la optimalidad.

. . Zj - Cj Se pierde optimalidad cuando alguno de estos coeficientes es < 0.

Zj – Cj = CBB-1 A – C = YA - C

1 2 1Zj – Cj = (1, 2, 0) 3 0 2 - (3, 2, 5)

1 4 0

Zj – Cj = (7, 2, 5) – (3, 2, 5) = (4, 0, 0)

¿Qué ocurre si cambio los coeficientes de la F.O.?

...sea j incremento/decremento en el coeficiente j

Z1 – C1 = (7, 2, 5) – (3 + 1, 2, 5) = (4 - 1, 0, 0)

Z2 – C2 = (7, 2, 5) – (3, 2 + 2, 5) = (4, 0 - 2, 0)

Z1 – C1 = (7, 2, 5) – (3, 2, 5 + 3) = (4, 0, 0 - 3)

...suponiendo primero que x son 0 :

1 4 ; 2 0 ; 3 0

Suponer que C1 = 3 y cambia a C1 C= 9, calcular la nueva solución óptima.Z1 – C1 =17

17 Como el cambio es sólo en C1, por lo tanto, en lugar de usar la matriz A completa, solo utilizo el vector columna correspondiente a x1 y en el vector C sólo C1. .

.


1Zj – Cj = Y a1 – C1 = (1, 2, 0) 3 - (9) = 7 – 9 = -2

1

-2 < 0 hay pérdida de optimalidad.

BASE z x1 x2 x3 S1 S2 S3 SOLUCION. z 1 -2 0 0 1 2 0 1350x2 0 -1/4 1 0 ½ - ¼ 0 100x3 0 3/2 VE 0 1 0 ½ 0 230S3 0 2 P 0 0 -2 1 1 20 VS

z 1 1 0 0 -1 3 1 1370x2 0 0 1 0 1/4 P - 1/8 1/8 205/2 VS

x3 0 0 0 1 3/2 VE -¼ ¾ 215S1 0 1 0 0 -1 ½ ½ 10

3. CAMBIOS EN LA MATRIZ ‘A’ DE COEFICIENTEES TECNOLÓGICOS DE RESTRICCIONES.

Este cambio se analiza en dos parte. En la primera parte y mediante la fórmula

Zj – Cj = CBB-1 A – C = YA - C

...se revisa si el cambio propuesto para un determinado coeficiente aij da lugar a la pérdida de optimalidad del prblema ya resuelto.

Si no hay pérdida de optimalidad, esto significa que no hay necesidad de aplicar la segunda fase de este análisis. Por el contrario, si zj – cj cambia de signo, esto significa pérdida de optimalidad y por lo tanto, la necesidad de aplicar la 2ª parte mediante la fórmula

= B-1 A

...sustituyendo el valor correspondiente a la columna aj.

El análisis para cambios en los coeficientes para la matriz ‘A’ es válido solo para variables no-básicas; para cambios correspondientes a variables que ya están en la base, se recomienda volver a resolver el problema.

Dado el modelo de programación lineal siguiente y su correspondiente tabla símplex óptima:

Max z = x2 + 3x3 Sujeta a:

2x1 - x3 20 ..... (1)x2 + x3 = 40 ..... (2)

x1 ; x2 ; x3 0

..


BASE z x1 Zj - Cj x2 x3 x4 5 6 SOLUCIONz 1 0 0 -1 0 -M Y -M+1 80x1 0 1 1 - ½ - ½ ½ B-1 0 10x2 0 0 0 1 1 0 1 40

Zj – Cj = CB B-1 A –C = YA - C

Suponiendo ahora que se hiciera el cambio en el elemento a23 de las restricciones, entonces consideramos la fórmula anterior de la siguiente manera:

Z3 – C3 = CB B-1 a3 – c3 = Y a3 – c3

...supóngase que a23 = 1 cambia a a23 = 5.

1ª PARTE.

Z3 – C3 = Y a3 – c3

Z3 – C3 = (0 , 1) -1 - 3 = 5 - 3 = 2 5

NO CONSIDERAMOS A LA ‘M’ PUES ES PERDIDA DE OPTIMALIDADSOLO UN ARTIFICIO

...si se hubiera tenido como resultado un valor cero o 0, no hay necesidad de pasar a la 2ª parte.

2ª PARTE.

= B-1 A 3 = B-1 a3 (ya que solo no interesa el elemento 3)

...y con lo anterior la tabla queda de la siguiente forma:

BASE z x1 x2 x3 x4 5 6 SOLUCIONz 1 0 0 2 0 -M -M+1 80x1 0 1 0 - ½ - ½ ½ 0 10x2 0 0 1 5 P 0 0 1 40z 1 0 -2/5 0 0 -M -M+3/5 64x1 0 1 1/10 0 - ½ ½ 1/10 14x3 0 0 1/5 1 0 0 1/5 8

La nueva solución óptima es: ZMIN = 64x1 = 14

..


x2 = 0x3 = 8

REDES DE TRANSPORTE.

Red.- Es un modelo gráfico formado por nodos i conectados por ramas (i,j).

(Rutas posibles del diagrama)

O, A, H, S, T O, A, H, S B, W , S, T B, W, SO, B, H, S, T O, B, H B, H, S, T B, HO, A, C, R, T O, A, C, R A, H, S, T A, H, SO, B, W, S,T O, B, W, S, H A, C, R, T A, C, R

Nodo (i).- Representa un lugar en el espacio (ciudades, estaciones, fabricas, almacenes, edificios, computadoras).

Rama (i,j).- Representa la posible comunicación de dos Nodos i, j adyacentes para permitir algún transporte. La rama puede ser unidireccional, si solo se permite el transporte en una sola dirección; o bien bidireccional, si se permite el transporte en ambas direcciones opuestas. Cuando es unidireccional se dice que es una rama orientada; cuando es bidireccional se dice que es rama no orientada.

..


Si la rama no especifica dirección alguna debe entenderse que el transporte se realiza bajo las mismas condiciones de capacidad y costo. Por el contrario si se especifica dos direcciones opuestas por una misma rama esto significa que el transporte es bajo diferentes condiciones de capacidad y costo.

Capacidad ( fij).- Significa el numero máximo de unidades que es posible transportar a través de la rama (i, j).

Flujo( Xij).- Significa las unidades que se deciden transportar a través de la rama (i, j). El flujo puede ser: personas, bienes, servicios e información.

Costo (Cij).- Significa el esfuerzo o costo por cada unidad transportada.

Ruta.- Para conectar cualesquiera dos nodos (i, j) es necesario un conjunto de ramas seriadas de tal manera que los nodos conectados se tocan una sola vez.

Ciclo.- Es un conjunto de nodo para conectar un nodo i con signo mismo

Obsérvese una característica importante del nodo ‘O’ y es que solo puede enviar información, por lo cual recibe el nombre de ‘NODO ORIGEN’; el noto ‘T’ solo recibe unidades de flujo, por o cual se llama ‘NODO DESTINO’ y el resto que pueden recibir y enviar unidades de flujo son llamados ‘NODOS DE TRANSBORDO’.

“PROBLEMA DE TRANSPORTE”

El problema de transporte de red es simple debido a que el modelo gráfico de red se puede tener empleando exclusivamente nodos orígenes y nodos destino.

..


Definición.- Si se identifica a un problema de transporte cuando se tienen m orígenes que ofertan un cierto producto y también n destinos que demanda el mismo producto ofertado, de tal manera que se busca minimizar el costo para satisfacer tales demandas a expensas de las ofertas. De cualquier origen se puede distribuir a mas de un destino.

“Modelo de P.L. general del Problema de Transporte”

Sea Xij = # de unidades enviadas desde un nodo i hasta un nodo j a través de la rama (i, j)

Función Objetivo

Cij= Costo UNITARIO de transportar desde i hasta j

Sujeta a restricciones de:

Para toda variable Xij 0

NOTA: Para un problema de transporte balanceado en cuanto a oferta y demanda debe cumplirse:

..


Balanceo del Problema de Transporte

Si Oferta = ai > bi = demanda

es necesario crear una demanda ficticia

b ficticia = ai - bi Por otro lado si Oferta = ai < bi = Demanda, entonces es necesario crear un origen ficticio

a ficticia = ai - bi

Tabla usual de Transporte.

El problema de transporte es un caso especial de aplicación de la programación lineal el cual también se resuelve mediante el ya conocido algoritmo simplex, pero en forma simplificada utilizando la tabla que le corresponde a su simplificación que se muestra en seguida:

TABALA USUAL DE TRANSPORTE.

ORIGDEST 1 2 ....... n Oferta ai

1 X11 C11 X12 C12 X1n C1n a1

2 X21 C21 X22 C22 X2n C2n a2

..... .......M Xm1 Cm1 Xm2 Cm2 X3n Cmn am

Demanda bj b1 b2 bn ai

bj

Ejemplo:

..

Suma de envíos = OFERTASuma de envíos verifica la DEMANDA

Variable # de unidades mandadas de 1 a 1

Costo por unidad


DEST.ORIG. 1 2 OFERTA a1

1 10 M 3 10 X M – 3 U1

2 20 7 6 20 X 1 U2

3 5 3 25 8 30 X 5 U3

4 FICT 0 5 0 5 0 U4

DEMANDA bj 35 30 = 60 65 = 65

NOTA: Determina P. de envíos para minimizar el envío de transporte.El Costo M representa una cantidad muy grande.Las celdas vacías son variables no-básicas.

PASO 1. Balancear el problema.

Oferta ai = 60 < 65 = bi = demanda bi - ai = 65 - 60 = 5 = a4 (origen ficticio)

PASO 2. Conseguir una primera solución básica y factible.

En este curso se emplean dos métodos para calcular esta primera solución y se llaman:

Método de esquina Noroeste (NO) Método de Voguel

Es básica si cumple con tener a lo más ( m + n -1) asignaciones o envíos. Calcular la primera solución factible con el método de la esquina NO. Básica con a lo más m + n – 1 = 4 + 2 – 1 = 5 asignaciones. Factible cumpliendo xi,j = ai, xi,j = bj . Entonces la solución básica factible con el método de esquina NO es:

Costo de la Primera solución

Z NO= 10M + 20(7) + 5(3) + 25(8) + 5(0) = 10M + 355

con:

X11 = 10 X21 = 20 X12 = 0

Variables básicas X31 = 5 variables no básicas X22 = 0X32 = 25 X41 = 0X42 = 5

ALGORITMO DE TRANSPORTE.

..


PASO 3. Formar una matriz de costos con la siguiente función.

Cij si Xij es básica ij =

0 si Xij no es básica

ORIGENDESTINO 1 2 Ui

1 M U1 = M2 7 U2 = 73 3 8 U3 = 34F 0 U4 = -5Vj V1 = 0 V2 = 5

PASO 4. Se calcula los valores Ui y Vj correspondiente a los valores de las variables duales, para cada renglón i y para cada columna j de la matriz Cij utilizando la siguiente formula:

ij - Ui - Vj = 0

Esto da lugar a la formación de un sistema de 5 ecuaciones para resolver un total de 6 variables Ui, Vj. Tal sistema tiene un grado de libertad y por lo tanto un numero infinito de soluciones posibles lo cual se supera otorgando un valor arbitrario a cualquiera de las 6 incógnitas por resolver (por ejemplo el valor de 0)

1. 11 – U1 – V1 = M – U1 – V1 = 02. 21 – U2 – V1 = 7 – U2 – V1 = 03. 31 – U3 – V1 = 3 – U3 – V1 = 04. 32 – U3 – V2 = 8 – U3 – V2 = 05. 42 – U4 – V2 = 0 – U4 – V2 = 0

....se da el valor cero a la variable que participe más.

Para V1 = 0

(1) = U1 = M – 0 = M (2) = U2 = 7 – 0 = 7 (3) = U3 = 0 – 0 = 3 (4) = V2 = 8 – 3 = 5 (5) = U4 = 0 – 5 = -5 ... y se trasladan a la matriz anterior.

Método corto.

A cada restricción le corresponde una variable dual Ui (restricciones de oferta)

..


A cada restricción de demanda le corresponde una variable Vi.

Se da el valor = 0 a quien participa más.

Se realizan las operaciones directamente sobre la tabla inicial del problema.

Y como tiene un grado de libertad se obtiene UNO del de soluciones que se pueden obtener.

PASO 5. Calcular los parámetros.

Zij - Cij = Cij - Ui - Vj

...para cada celda correspondiente a variable no básica.

La solución básica factible actual será optima si se cumple que Zij - Cij 0.

De lo contrario debe declararse como variable entrante a la base aquella Xij correspondiente a (Zij - Cij) menor

Calculando los parámetros:

Z12 - C12 = C12 - U1 - V2 = 3 - M - 5 = M-2 V.E. X12

Z22 - C22 = C22 - U2 - V2 = 6 - 7 - 5 = -6 Z41 - C41 = C41 - U4 - V1= 0 - (-5) - 0 = 5

PASO 6. Se aplica solo en el caso de que el paso 5 se declare una variable entrante lo que significa que debe hacerse un cambio de base. Se inicia con la asignación de un número F que significa una asignación provisional a la celda ij elegida esto provoca un desequilibrio o desbalanceo en dicha cantidad en el renglón i y en la columna j correspondiente en tal cantidad.

OFERTA3 10 + 6 20

25 8 305 0 5

30 +

... para solucionar el desbalanceo debemos hacer un BALANCEO DE COMPENSACION, en el cual sumamos o restamos a nuestra conveniencia. La tabla quedaría ahora de la siguiente manera: .

.


DEST.ORIG. 1 2 OFERTA a1

1 10 - M 3 10 X M – 3 U1

2 20 7 6 20 X 1 U2

3 5 + 3 25 - 8 30 X 5 U3

4 FICT 0 5 0 5 0 U4

DEMANDA bj 35 30 = 60 65 = 65

Las formas Posibles para el circuito de compensación son las siguientes:

= Min ( De todos las Xij en donde se resta ) = Min ( 10, 25 ) = 10

Se procede a recalcular las variables con , dependiendo del signo existente y se obtiene ahora una nueva tabla de transporte.

V2 = 0 V1 = -5U1 = 3 U2 = 12 Que son los nuevos valores U3 = 8 obtenidos en la tabla.U4 = 0

Al realizar el paso 5 pretendemos percatarnos de que:

Z11 - C11 = M + 2Z22 – C22 = -6 V.E. X22

Z41 – C41 = 5 ....por lo cual seguimos al paso 6

Antes de seguir hay que calcular el costo con un índice 2.

Z2 = 10 (3) + 20 (7) + 15 (3) + 15 (8) + 5(0) = 335

...o se puede determinar así.

Z2 = Costo anterior + (zij – Cij) Z2 = 355 + 10M + 10 (-M – 2)

..


Z2 = 355 + 10M – 10M – 20 = 335

Z2 = 10 (3) + 20 (7) + 15 (3) + 15 (8) + 5 (0) = 335

Z11 - C11 = M + 2Z22 – C22 = -6 V.E. X22

Z41 – C41 = 5 ....por lo cual seguimos al paso 6

Aplicando ahora las operaciones indicadas por cada resulta la siguiente tabla:

..


Z3 = 335 – 6 (15) = 245Z3 = 5 (7) + 30 (3) + 10 (3) + 15 (6) + 5 (0) = 245

Z11 - C11 = C11 - U1 - V2 = M - 3 - 1 = M - 4 Z32 - C32 = C32 - U3 - V2 = 8 - 2 - 0 = 6 Z41 - C41 = C41 - U4 - V1= 0 - 0 - 1 = -1 V.E. X41

Demos por hecho a las operaciones de la tabla con entrante en X41 y obtenemos a continuación la siguiente tabla:

Costo Z=10(3) + 20(6) + 30(3) + 5(0) = 240

En este caso se tiene para plantear 4 costos ij de las correspondientes ecuaciones de tipo ij - Ui - Vj = 0. Pero se tienen un total de 6 incógnitas U i y Vj para resolver y por lo tanto 2 grados de libertad para resolver el sistema de 4 ecuaciones se recurre a un artificio matemático consistente en asignar un número infinitamente pequeño como asignación en donde sea necesario (paso 4).

Z = 240x12 = 20

Solución básica con: x31 = 30x22 = 20x41 = 5

Debido a que existen MENOS m + n -1 = 4 + 2 - 1 = 5 entonces se dice que una solución DEGENERADA.

Paso 5. .

.


Z11 - C11 = C11 - U1 - V11 = M - 3 - (-5) = M + 2 Z21 - C21 = C21 - U2 - V1 = 7 - 6 – (-5) = 6 Z42 - C42 = C42 - U4 - V2= 0 - 5 - 0 = -5 V.E. X42

Z11 = M+2Z21 = 6Z32 = 0 C32 – U3 – V2 = 8 – 0 – 0 = 0 0

ZIJ – CIJ 0 Solución básica factible. OPTIMA.

..


Ejemplo:

Optimizar el siguiente Problema de Transporte

Dada la siguiente tabla con información de un problema de transportea) Formular el modelo matemático correspondienteb) Calcular una primera solución básica factible por métodos de Voguel y esquina

NOc) Optimizar con el algoritmo de transporte a partir de la solución de la esquina NO

ORIGDEST 1 2 3 Oferta ai

1 7 4 8 1002 5 M 2 1003Demanda bj 100 100 100

Función objetivo: 7x11 + 4x12 + 8x13 + 5x21 + M22 + 2x23

Sujeta a restricciones de:

Oferta: x11 + x12 + x13 0x21 + x22 + x23 0

Demanda : x11 + x21 100x12 + x22 100x13 + x23 100 para toda xij 0

Calcular una primera solución básica factible por métodos de Voguel y esquina NO.


1 7 100 4 8 100 3,4,0,x

..


2 5 M 100 2 100 3,M-2,x 3 100 100 0,x

Demanda bj 100 100 100 = 300 = 300

5,x 4,M-4,0 2,6,x

Paso 1. Balancear.

oferta = ai = 200 demanda = bj = 30 bi = 300 > 200 = ai

bi - ai = 300 – 200 = 100

Se crea entonces un orígen ficticio a3 = 100 con un costo Cij = 0

Paso 2. Calcular una solución básica y factible.(Voguel)

m+ n – 1 = 3 + 3 – 1 = 5 asignaciones

Como solo se tienen 3 asignaciones, entonces se trata de una solución DEGENERADA con costo.

Costo ZV = 100 (4) + 100 (2) + 100 (0) = 600

(N.O.)


1 100 7 4 8 100 x2 5 100 M 2 100 x 3 100 0 100 xDemanda bj 100 100 100

= 300 = 300

x x x

Costo ZNO = 100 (7) + 100 (M) + 100 (0) = 100m + 700

Paso 3. Optimizar con el algoritmo de transporte a partir de la solución de la esquina N.O.


1 100 - 7 4 1 8 100 U1=0

2 2 + 5 100 - M 2 100 U2= -2

3 100 0 100 U3= -8

..


Demanda bj 100 100 100 = 300 = 300

V1= 7 V2 = M+2 V3= 8

= Min (100 , 100) = 100z = 100 (7) + 100 (M) + 100 (0) = 100 M + 700

Z12 - C12 = C12 - U1 - V2 = 4 – 0 – (M – 2) = M + 2 V.E. X12

Z23 - C23 = C23 - U2 - V3 = 2 – (-2) – 8 = -4 Z31 - C31 = C31 - U3 - V1= 0 – (-8) - 7 = 1 Z32 - C32 = C32 - U3 - V2 = 0 – (-8) – (M+2) = -M+6


1 2 7 100 4 8 100 U1= 7

2 100 5 M 1 2 100 U2= - 5

3 100 0 100 U3= 3

Demanda bj 100 100 100 = 300 = 300

V1=0 V2=-3 V3= -3

Z13 - C13 = C13 - U1 - V3 = 8 – 7 – (-3) = 4 V.E. X41

Z22 - C22 = C22 - U2 - V2 = M – 5 – (-) = M - 2Z31 - C31 = C31 - U3 - V1= 0 – 3 – 0 = -3 Z32 - C32 = C32 - U3 - V2 = 0 - 3 – (- 3) = 0

= Min (100 , 100) = 100


1 2 7 100 4 8 100 2 100- 5 M 1

+ 2 100 3 100- 0 100 Demanda bj 100 100 100

= 300 = 300


1 2 7 100 4 8 100 2 5 M 100 2 100 3 100 0 100 .

.


Demanda bj 100 100 100 = 300 = 300

PROBLEMA DE TRANSBORDO.

Definición.- Dada una red con n nodos algunos de ellos son orígenes con la oferta de un cierto producto algunos de ellos son destinos demandando el mismo producto que ofrecen los orígenes x entre los nodos origen y destino, se ubican nodos de transbordo que también pueden o no demandar el mismo producto ofrecido por los orígenes. Se trata de satisfacer todas las demandas de destino y transbordo aprovechando la oferta de los orígenes a condición de hacerlo con el menor costo posible.

Ejemplo: Problema de Transbordo balanceado y sin capacidades

Problema balanceado

Ofertas = 200 + 150 = 350 Demandas = 80 + 70 + 90 + 110 = 350

Modelo Matemático de P.L de un problema de transbordo balanceado y sin capacidad

Sea xij = unidades enviadas desde el nodo i ( i= 1, 2, 3, 4) hasta el nodo j ( j= 3, 4, 5, 6) a través de la rama i,j

Función objetivo:

..


Min z = 75x13 + 100x15 + 85x23 + 60x24 + 40x35 + 70x46

Sujeto a:

Restricciones de conservación de flujo

xik = xkj

xkj - xij = 0

1 x13 + x15 = 2002 x25 + x24 = 1503 x13 -x23 x35 + x36 = -804 -x24 + x46 = -705 -x15 -x35 = -906 -x36 -x46 = -110

toda xij 0

Modelo Matemático de P.L de un problema de transbordo no balanceado y con capacidades.

..


Problema no balanceado: Ofertas = 200 + 180 = 380 > 80 + 70 +90 + 110 = demanda

“Observaciones para el problema de Transbordo”

Si un problema se puede modelar por un trafico de red, este a su vez se puede modelar matemáticamente con programación lineal.

El problema de transbordo resulta importante porque se puede modelar con una red y también con P.L describiendo los conceptos necesarios que pueden dar entendimiento a otros problemas de transporte que también se describen con una red y la P.L que le corresponde tales problemas son el de ruta mínima y el flujo máximo los cuales se tratarán en su oportunidad.

El modelo de P.L corresponde a un problema de transbordo tiene las siguientes características:

1) Se define una variable de asignación de flujo Xij para cada rama (i,j) de la red y por lo tanto la función objetivo contiene tantos términos como ramas o variables.

2) El modelo de P.L tiene expresiones como restricciones como son: las de capacidad para las ramas que tengan. Además se condiciona el valor de la función objetivo a restricciones del tipo de conservación de flujo debiendo expresar tantos como nodos graficados en la red.

3) La estructura especial de un modelo de P.L obtenido de una red de transporte se caracteriza porque en cada columna (i, j) de la red se tienen ordenados matricialmente un coeficiente +1 y un coeficiente -1 que verifican la suma 0 en cada uno de estas columnas igualmente para la columna de términos independientes se verifica 0 siempre y cuando el problema este balanceado en cuanto a oferta y demanda.

4) Se puede asegurar una solución entera para la P.L correspondiente a una red de transporte si las constantes involucradas son también de valor entero.

..


5) La estructura matemática especial de la P.L obtenida a partir de una red de transporte ha facilitado el desarrollo de algoritmos altamente eficientes inclusive más que el mismo simplex, de tal manera que la utilización de ellos ha logrado soluciones extraordinarias para problemas que contienen miles de variables y miles restricciones.

“Problema de Ruta Mínima”

Objetivo.- Dada una red con n nodos conectados por ramas (i, j) con su correspondiente costo (i, j) se considera como origen uno de los n nodos y se trata de determinar n-1 rutas mínimas hacia los restantes nodos.

“Algoritmo de Dijkstra” (Red no orientada)

Se utiliza una etiqueta para los nodos que consiste en un paréntesis con 2 elementos

Etiqueta: (Nodo antecedente, costo acumulado)

Dicha etiqueta puede tener el carácter temporal o bien permanente según se indica en los siguientes pasos

1) El nodo identificado como origen siempre se etiqueta en forma permanente con ( - . 0).

2) A partir del último nodo que se etiquete permanentemente, se etiquetan con carácter temporal los nodos vecinos conectados directamente; posteriormente se eligen para permanencia la temporal de menor costo. En caso de empate pueden hacerse permanentes todas las empatadas. La comparación de etiquetas temporales debe hacerse para una sola etiqueta por nodo lo cual se consigue haciendo la eliminación de la que no convenga.

3) Se repite el procedimiento del paso número 2 mientras existan nodos sin etiqueta permanente.

4) Cuando todos los nodos tengan permanencia se marcan los n-1 rutas sobre las ramas de la red y también se resumen en forma tabular. Para el trazo de rutas basta con leer en el lado izquierdo de cada etiqueta el antecedente que le corresponde.

Método de Voguel origen 1 2 OFERTA destino ai

1 M 10 3 10

2 5 7 15 6 20

..


3 30 3 8 30

4FICT 0 5 0 5 DEMANDA 35 30 S ai bj Sbj

..

Optimizacion de operaciones - Juan Oliveira

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