Equipo 5:

Héctor Pérez VázquezRoberto Maldonado MartínezArad Said Mora Hernández

Ángel Francisco Tepetlan Munguía

Universidad VeracruzanaFacultad de Ciencias Químicas

Ingeniería de Procesos

Optimización

Índice 1. Introducción a la optimización 2. Ajuste de datos empíricos a funciones 3. Función objetivo 4. Métodos numéricos para optimización de funciones Newton y Secante 5. Métodos de eliminación de regiones Fibonacci y Sección dorada 6. Optimización de funciones multivariables Directos, Indirectos y Diferencias finitas 7. Aplicaciones de optimización

1. Introducción a la optimización

¿Qué es la optimización?

Método para determinar los valores de las variables que intervienen en un proceso o sistema para que el resultado sea el mejor posible.

Consiste en maximizar o minimizar una función real.

Isaac Newton y Carl Friedrich Gauss propusieron métodos iterativos para el movimiento hacia un óptimo.

Históricamente, el primer término para la optimización fue programación lineal, debido a George B. Dantzig.

Dantzig publicó el algoritmo Simplex (Simple) en 1947 y John von Neumann desarrolló la teoría de la dualidad en el mismo año

La programación lineal es el campo de la optimización matemática dedicado a maximizar o minimizar (optimizar) una función lineal, denominada función objetivo.

2. Ajuste de datos empíricos a funciones

Los datos empíricos son obtenidos de pruebas, es decir, llevando a cabo el experimento. Por lo tanto los datos empíricos son sacados de las pruebas acertadas y los errores, es decir, de experiencia.

Los datos experimentales vienen siempre afectados por errores de medida

Ejemplo

Determinación de cinéticas químicas

3. Función objetivo

La función objetivo es la ecuación que será optimizada dadas las limitaciones o restricciones determinadas y con variables que necesitan ser minimizadas o maximizadas usando técnicas de programación lineal o no lineal.

4. Métodos numéricos para optimización de funciones

Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas de tal forma que sean resueltos con operaciones aritméticas.

Aunque hay muchos tipos de métodos, todos comparten una característica común, llevan a cabo un buen número de cálculos aritméticos y emiten soluciones aproximadas.

Método de Newton

Método de la Secante

Métodos de eliminación de Regiones Los métodos de eliminación de regiones se basan en eliminar

una región, en cada etapa del intervalo en el que está comprendido el mínimo. Cuando la región posible es suficientemente pequeña la búsqueda termina.

El elemento básico dentro de los métodos de eliminación de regiones es la comparación de valores de f(x) en dos o más puntos dentro del intervalo de x.

Los métodos más eficientes de búsqueda por eliminación de regiones son los métodos de la sección dorada y Fibonacci

Método de la sección dorada

La búsqueda o método de la sección dorada es una técnica para hallar el extremo (mínimo o máximo) de una función unimodal, mediante reducciones sucesivas del rango de valores en el cual se conoce el intervalo.

Función unimodal F(x)= X2-X Intervalo [0,2] L0 = b0 – τ ( b0 - a0)

r0 = a0 + τ ( b0 - a0) τ= 0.618

Método de Fibonacci

El método de búsqueda de Fibonacci es utilizado para obtener un punto óptimo en funciones no diferenciables sin utilizar derivadas es decir, que no sean derivables en el intervalo (a,b).

Este método es muy eficiente para aproximar, bajo cierto margen de error, un punto máximo o mínimo en funciones unimodales

Función unimodal

F(x)= (X – 4 )2

Intervalo [0,9] L0 = b0 – τ ( b0 - a0)

r0 = a0 + τ ( b0 - a0)

F= numero de fibonacci

F0=1 ; F1=1 ; F2=2 ; F3=3 ; F4=5 ; F5=8 n= numero de evaluaciones posibles para la función objetivo

n-2=i τ=

𝑓𝑛−1 𝑓𝑛 ;𝑓𝑛−2 𝑓𝑛−1 ; 𝑓𝑛−3 𝑓𝑛−2 ……..𝑓𝑛−(𝑖+1) 𝑓𝑛−𝑖

Optimización de funciones multivariables

Métodos directosPara la aplicación de estos métodos solamente es necesario conocer el valor de la función objetivo en cualquier punto del espacio y no necesitamos ninguna hipótesis adicional acerca de la diferenciabilidad de la función. Métodos indirectosLos métodos indirectos hacen uso de derivadas en la determinación de las direcciones de búsqueda. Una buena dirección de búsqueda debería reducir la función objetivo, entonces si x0 es el punto inicial y x1 es el nuevo punto: f(x1)<f(x0).

Optimización de funciones multivariables.

• Métodos Directos

• Métodos Indirectos

• Búsqueda Random• Búsqueda en una grilla• Método simplex• Método de las direcciones

conjugadas• Método de Powell

• Método del gradiente• Método de Newton• Método de la secante

Ejemplo

Una empresa produce dos tipos distintos A y B de un bien. El coste diario de producir x unidades de A e y unidades de B es:

Supongamos que el producto A lo vende a 15 € y el B a 9 €. Hallar que número de unidades hay que vender de A y B para

maximizar el beneficio.

Función objetivo:

Obtenemos las derivadas parciales

=

= Igualamos a 0 ambas derivadas

=0

=0

Se puede observar que la grafica es una curva que tiene forma de montaña por lo tanto el único punto critico será un máximo.

Diferencias Finitas

El Método de Diferencias Finitas es un método de carácter general que permite la resolución aproximada de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales definidas en recintos finitos.

Los métodos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales se basan en el reemplazo de las ecuaciones diferenciales por ecuaciones algebraicas

En diferencias finitas, esto se realiza al reemplazar las derivadas por diferencias