*ÍNDICE* · h.2) Ecuación del tiempo Pág. 7 i) Datos obtenidos de distintos periódicos sobre el...
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Zeus Torrecillas Rodríguez Pablo Sanz Diez Cristian Antón Bombarón Álvaro Cerdán Forniés 4º ESO B
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Zeus Torrecillas Rodriacuteguez Pablo Sanz Diez Cristian Antoacuten Bombaroacuten Aacutelvaro Cerdaacuten Fornieacutes 4ordm ESO B
IacuteNDICE 1- Caacutelculo del mediodiacutea solar en Alicante (IES Bahiacutea de Babel)
a) Material utilizado para la construccioacuten del nomon Paacuteg 2 b) Coacutemo usar el nomon Paacuteg 2 c) Suposiciones de clase Paacuteg 3 d) Coacutemo calcular el mediodiacutea
d1) Meacutetodo graacutefico Paacuteg 3 d2) Meacutetodo numeacuterico Paacuteg 3
e) Medidas con distintos nomon Paacuteg 4 f) Medidas con nomons obtenidas por los distintos grupos Paacuteg 5 g) Problemas surgidos al calcular el mediodiacutea Paacuteg 6 h) Razones de que el mediodiacutea diese a esa hora
h1) Influencia de la longitud Paacuteg 6 h2) Ecuacioacuten del tiempo Paacuteg 7
i) Datos obtenidos de distintos perioacutedicos sobre el sol Paacuteg 8
2- Inclinacioacuten de los rayos solares sobre el IES Bahiacutea de Babel (Alicante)
a) Material utilizado para la construccioacuten del ldquoteodolito verticalrdquo Paacuteg 9 b) Coacutemo utilizar el ldquoteodolito verticalrdquo Paacuteg 9 c) Medidas logradas con el ldquoteodolito verticalrdquo Paacuteg 10 d) Medidas con el ldquoteodolito verticalrdquo de distintos grupos Paacuteg 10 e) Inclinacioacuten de los rayos solares mediante el nomon Paacuteg 11 f) Posiciones Sol-Tierra Paacuteg 12 g) Movimientos de la Tierra Paacuteg 13
3- Mediciones en el patio
a) Medicioacuten de un objeto de base accesible a1) Altura de un cipreacutes por semejanza Paacuteg 14 a2) Altura de un cipreacutes por tangente Paacuteg 15 a3) Altura del gimnasio por tangente Paacuteg 16 b) Medicioacuten de un objeto de base inaccesible Paacuteg 17 c) Errores y problemas Paacuteg 19
4- Vocabulario
a) Glosario Paacuteg 20 b) Personajes Paacuteg 22 5- Bibliografiacutea Paacuteg 24
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1- Caacutelculo del mediodiacutea en Alicante (IES Bahiacutea de Babel) a) Material utilizado para la construccioacuten del nomon
Para saber a queacute hora es el mediodiacutea usamos un aparato llamado nomon nosotros utilizamos uno fabricado con una tabla de 40x64 cm con una varilla de hierro de unos 25 cm de longitud roscada en el centro en posicioacuten vertical
b) Coacutemo usar el nomon Su uso es coacutemodo soacutelo hay que colocar la base en una superficie plana y horizontal orientada hacia el sur Cuando hace sol marcamos una cruz en el extremo de la sombra lo que hicimos cada cierto tiempo (3 oacute 4 min) Marcamos encuentros de la sombra durante una hora desde las 1330h hasta 1430h porque suponiacuteamos que el mediodiacutea dariacutea sobre las 1400h
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c) Suposiciones de clase Las predicciones realizadas en clase eran loacutegicas a simple vista ya que lo visualizaacutebamos todos de esta manera
1- Pensaacutebamos que la liacutenea obtenida por el nomon iba a ser coacutencava o convexa pero no pensaacutebamos que saldriacutea una liacutenea recta y asiacute fue aunque un poco inclinada
2- Ademaacutes creiacuteamos que el mediodiacutea seriacutea sobre las 1400 de la tarde (hora local) y en cambio se efectuoacute siete minutos antes de lo previsto justamente a las 1353h
3- Tambieacuten se comentoacute que era posible que al mediodiacutea no hubiera sombra ninguna ya que el sol se encontraba justo encima del nomon
4- Para finalizar simplemente antildeadir que tambieacuten se pensoacute en la posibilidad de que hubiesen dos mediodiacuteas si la sombra era coacutencava pero luego fue desmentido puesto que habiacutea que medir la sombra desde el nomon d) Coacutemo calcular el mediodiacutea La sombra maacutes corta que se haya obtenido seraacute el mediodiacutea A nosotros no nos saliacutea justo debido a que varias intersecciones administraban una misma longitud desde el nomon
d1) Procedimiento graacutefico Trazamos una liacutenea desde el primer punto marcado hasta el uacuteltimo seguidamente
hicimos un arco con centro en el palo y con el radio hasta la primera medida desde esa terminamos el arco hasta la uacuteltima
Dibujamos la mediatriz de la recta ese punto de interseccioacuten es el mediodiacutea justamente a las 1353h
Esto es el nomon con el segmento dado y su correspondiente mediatriz para hallar el medio diacutea
d2) Procedimiento numeacuterico Para saberlo con claridad lo hicimos de otra un poco mas difiacutecil como es la de
restarle a la uacuteltima hora obtenida (1416h) la primera (1331h) el dato hallado (045h) lo dividimos entre dos (022rsquo5h) y luego lo sumamos a la primera hora obtenida (1331h + 022rsquo5) y asiacute logramos saber cuando era el mediodiacutea solar (1353rsquo5h)
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e) Medidas con distintos nomons Las siguientes medidas se tomaron el viernes (diacutea anterior al equinoccio) a las 1353h debido a que el diacutea anterior nos surgioacute que el medio diacutea solar seriacutea maacutes o menos sobre esa hora
Nomon grande Nomon pequentildeo Nomon mediano
Altura Sombra Altura Sombra Altura Sombra 240m 198m 025m 019m 136m 0425m
Si el cociente de la altura del nomon partido por la altura de otro nomon es igual al
cociente de la sombra del nomon partido por la sombra del otro nomon estos dos triaacutengulos son semejantes si no da igual no lo son Razoacuten de semejanza entre Nomon grande y nomon pequentildeo
411069190981
250402
411019098169
250402
ne
ne
==
Los triaacutengulos con el nomon grande y el nomon pequentildeo son casi semejantes Nomon grande y mediano
6647614250981
361402
6644250981761
361402
ne
ne
==
Los triaacutengulos con el nomon grande y el mediano no son semejantes Nomon pequentildeo y mediano
1904250
250361
2321904250445
250361
ne
==
Los triaacutengulos con el nomon pequentildeo y el mediano no son semejantes Conclusioacuten
Ninguno de los triaacutengulos formados por la sombra y la altura del nomon son semejantes
Solo estaacuten cerca de serlo los triaacutengulos formados con el nomon grande y el pequentildeo Tuvo que haber alguacuten error en la medicioacuten con el nomon mediano
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f) Medidas con nomon obtenidas por los distintos grupos Medidas tomadas el diacutea 21 de septiembre
Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3 Grupo 4 Palo 25cm 25cm 158cm 20cm
Sombra 19cm 19cm 134cm 153
Razoacuten 132 132 118 131
Medidas tomadas el diacutea 22 de septiembre
Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3 Grupo 4 Palo 136m 239m 714cm -
Sombra 0925m 191m 555cm -
Razoacuten iquest147 125 129 -
Medidas tomadas el diacutea 26 de septiembre
Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3 Grupo 4 Palo 240m 138m 5353cm 715cm
Sombra 198m 114m 50cm 625cm
Razoacuten 121 121 107 iquest149
Conclusioacuten la variacioacuten de la sombra desde el diacutea 22 al 26 es de aumento debido a
que el sol estaacute maacutes bajo el diacutea 26 que el 22 por eso hace una sombra maacutes grande
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g) Problemas surgidos al calcular el mediodiacutea El jueves 21 de septiembre tuvimos unos pequentildeos problemas que pudimos solucionar Las dificultades surgieron debido a la falta de sol en el patio Este al salir pocas veces no nos permitiacutea tomar bien la referencia de la sombra del nomon entonces a veces saliacutean algunos puntos que no pareciacutean estar bien Maacutes tarde salioacute el sol por lo cual se solucionaron los problemas no daacutendole importancia a estos puntos cuando tomamos la mediatriz del segmento
Solucionado el problema surgioacute otro la mediatriz y la sombra miacutenima no daban lo mismo asiacute que tuvimos que restarle a la uacuteltima hora lograda la primera el dato hallado lo dividimos entre dos y luego lo sumamos a la primera hora y asiacute logramos saber con claridad cuando era el mediodiacutea solar Eacuteste resultoacute ser igual que el obtenido haciendo la mediatriz En este dibujo se puede apreciar los errores que hubo al principio y algunos otros que no les dimos importancia
h) Razones de que el mediodiacutea diese a esa hora
h1) Influencia de la longitud de Alicante El globo terraacutequeo estaacute dividido en 24 zonas llamadas husos horarios Sobre la
superficie terrestre una hora corresponde a 15 grados de longitud la hora en cada zona se determina de acuerdo con la hora local media para cada longitud 0ordm 15ordm 30ordm 45ordm 360ordm
La hora del meridiano cero que pasa sobre Greenwich es usada como referencia y es llamada Tiempo Universal (TU) Hacia el oeste los husos horarios disminuyen una hora cada 15 grados y hacia el este aumentan una hora cada 15 grados a partir del meridiano de Greenwich
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En el verano muchos paiacuteses cambian su horario para aprovechar la mayor cantidad de luz solar de esta manera el tiempo en que las personas estaacuten despiertas coincide con la duracioacuten del diacutea y se ahorra electricidad Durante los cambios de horario la diferencia entre el tiempo solar aparente y la hora oficial se hace auacuten maacutes grande
Debido a que la longitud de Alicante es de 0rsquo5ordm Oeste aproximadamente hace que la
hora solar se retrase un par de minutos respecto a la hora oficial luego el mediodiacutea deberiacutea salir sobre las 1402h aproximadamente
h2) Ecuacioacuten del tiempo La ecuacioacuten del tiempo es la diferencia entre el tiempo solar medio (tiempo medido
sobre la referencia del diacutea solar medio) y el tiempo solar aparente (tiempo dado por el movimiento diario del Sol en el firmamento) Tal como se ve en un reloj de sol este movimiento no es uniforme y regular dado que la oacuterbita terrestre es eliacuteptica y tambieacuten porque el Sol se mueve a lo largo de la ecliacuteptica
El origen de este concepto se deriva de la distinta velocidad del movimiento de
traslacioacuten terrestre alrededor del Sol La oacuterbita terrestre (Ecliacuteptica) y no es circular sino eliacuteptica ocupando el Sol uno de los focos de la elipse De acuerdo con las leyes de Kepler sobre los movimientos de traslacioacuten tiempos iguales barren aacutereas iguales lo cual significa que la Tierra disminuye la velocidad de traslacioacuten cuando se encuentra maacutes alejada del Sol (porque la atraccioacuten del mismo es menor al encontrarse maacutes lejos) y lo acelera al acercarse Si no existiera esta diferencia de velocidad la Tierra se escapariacutea del Sistema Solar cuando se encontrara maacutes lejos o chocariacutea con el Sol al acercarse Asiacute pues el movimiento de traslacioacuten terrestre es un movimiento uniformemente variado
Esta diferencia es mayor a principios de noviembre cuando el tiempo solar medio
estaacute a maacutes de 16 minutos por detraacutes del tiempo solar aparente y a mediados de febrero cuando el tiempo solar medio va maacutes de 14 minutos por delante del aparente Son iguales cuatro veces al antildeo el 15 de abril 14 de junio 1 de septiembre y el 25 de diciembre
La ecuacioacuten del tiempo se representa graacuteficamente con un diagrama denominado analema que suele indicarse en los globos o esferas terrestres y que tiene forma de un 8 algo asimeacutetrico El analema indica la misma informacioacuten que la expresada a traveacutes del graacutefico adjunto
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En enero (-13min) febrero (-12min) marzo (-6min) y mitad de abril (-2min) la ecuacioacuten del tiempo es negativa la segunda mitad de abril (+3min) mayo (+3min) y mitad de junio es positiva (+2min) la segunda mitad de junio (-6min) julio (-60min) y agosto ( -1min) vuelve a ser negativa y en septiembre (+9min) octubre (+17min) noviembre (+12min) y diciembre es positiva (+1min) excepto algunos diacuteas sueltos de la uacuteltima semana de este La diferencia horaria en el equinoccio de otontildeo es de 8min 25s seguacuten el graacutefico es decir nos debiacutea de haber dado 8min 25s antes de las 1400h sobre las 1352h i) Datos obtenidos de distintos perioacutedicos sobre el sol
Los siguientes datos fueron obtenidos de distintos perioacutedicos de Alicante
Queacute (Hora civil) Informacioacuten (Hora solar) Las Provincias (Hora civil)
Salida Puesta Mediodiacutea Salida Puesta Mediodiacutea Salida Puesta Mediodiacutea
Viernes 22 - - - 6h
02min 18h
10min 12h
07min 7h
49min 19h
59min 13h
54min Saacutebado
23 - - - 6h 03min
18h 11min
12h 07min
7h 50min
19h 58min
13h 54min
Domingo 24 - - - 6h
04min 18h
09min 12h
06min 7h
50min 19h
48min 13h
49min Lunes
25 7h
52min 19h
55min 13h
53min 6h
05min 18h
07min 12h
06min 7h
52min 19h
51min 13h
51min Martes
26 7h
53min 19h
53min 13h
53min 6h
06min 18h
06min 12h
06min 7h
53min 19h
53min 13h
53min
En el diario ldquoQueacuterdquo y en ldquoLas provinciasrdquo los datos estaacuten puestos en la hora civil de
Alicante y en el ldquoInformacioacutenrdquo estaacuten en hora solar debido a esto los datos son distintos porque la diferencia entre la hora solar y la hora local es de 2h (aproximadamente)
En el diario ldquoLas Provinciasrdquo los datos del viernes 22 son muy parecidos a los
obtenidos por nosotros ya que les da a las 1354h y a nosotros a las 1353h Como no sabemos exactamente la diferencia entre la hora solar y la hora civil no podemos decir con exactitud la hora que dio el mediodiacutea en el diario ldquoEl Informacioacutenrdquo lo mismo sucede en los diacuteas siguientes el 22 y el 23 de Septiembre
Desde el saacutebado 23 (diacutea del equinoccio) hasta el domingo 24 vemos que el mediodiacutea
disminuye 5min con respecto al del diacutea 24 El lunes 25 en el diario ldquoLas Provinciasrdquo y en el diario ldquoQueacuterdquo los datos son muy iguales 1351 y 1353 respectivamente El martes 26 los datos de los distintos perioacutedicos son iguales las 1353h
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2- Inclinacioacuten de los rayos solares sobre el IES Bahiacutea de Babel a) Material utilizado para la construccioacuten del ldquoteodolito verticalrdquo
El teodolito vertical no fue construido por nosotros sino por unos antiguos alumnos del centro El teodolito vertical estaacute formando por un tubo hueco en la parte superior de una superficie lisa que lleva adherida un transportador de aacutengulos y un peacutendulo aferrado a eacuteste
b) Coacutemo utilizar el ldquoteodolito verticalrdquo
El teodolito vertical tiene una mecaacutenica sencilla a saber cuando un rayo de sol incida por el interior del conducto hueco este saldraacute y se proyectaraacute en una superficie oscura Cuando logre atravesar el cilindro tomaremos la medida del aacutengulo que forma el peacutendulo con la vertical del Sol Gracias a esto podemos saber a queacute altura sobre el horizonte estaacute el Sol desde el punto en que nos encontramos
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c) Medidas logradas con el ldquoteodolito verticalrdquo El viernes 22 intentamos usar el teodolito pero como no habiacutea suficiente sol no se pudo realizar la medicioacuten El martes 26 siacute que pudimos hacerla y a las 1353h medimos la inclinacioacuten del Sol que era de 39ordm sobre el instituto En esa hora el Sol estaba en el punto maacutes alto (cenit) porque era maacutes o menos el mediodiacutea
d) Medidas con el ldquoteodolito verticalrdquo de distintos grupos Medias obtenidas el diacutea 26 de septiembre
Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3 Grupo 4
Inclinacioacuten 39ordm 39ordm 47ordm 38ordm
Conclusioacuten Todos los grupos midieron mal la inclinacioacuten de los rayos solares (porque dieron el aacutengulo que marcaba el teodolito y ese es el que forman con los rayos con la vertical) excepto el grupo 3 que se aproximoacute un poco debido a que deberiacutea dar 52ordm
El aacutengulo que se forma en Alicante cuando los rayos del sol son perpendiculares al Ecuador es de 38ordm (latitud de Alicante) por lo cual el otro aacutengulo son 52ordm (38ordm+52ordm+90ordm=180ordm de un triaacutengulo recto) como se representa en el siguiente dibujo
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e) Inclinacioacuten de los rayos solares mediante el nomon Con el meacutetodo de la tangente podemos averiguar el aacutengulo de la inclinacioacuten del sol
contiguocatopuestocat
tan =α
El cateto opuesto es la altura del palo y el cateto contiguo es la sombra de eacuteste Despueacutes de hallar el nuacutemero hay que hacerle el arco tangente (tan ) y el nuacutemero
que deacute seraacute el aacutengulo 1minus
Angulo hallado mediante distintos nomons
Nomon grande Nomon mediano Nomon pequentildeo
Altura Sombra Grados Altura Sombra Grados Altura Sombra Grados
240m 198m 50ordm47rdquo 136m 0425m 72ordm64rdquo 025m 019m 52ordm47rdquo
Pasos para calcular el aacutengulo de cada nomon Nomon grande
47ordm50211tan211981402
== arcmm
Nomon mediano
64ordm7223tan234250361
== arcm
m
Nomon pequentildeo
47ordm523151tan3151190250
== arcmm
En el nomon mediano debe haber habido un error porque como bien sale en los otros dos nomon debiacutea de dar 52ordm47rdquo debido a los rayos paralelos del sol que inciden perpendiculares al Ecuador como se explica en el apartado anterior
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f) Posiciones Sol -Tierra
La Tierra tiene un movimiento de rotacioacuten en torno a un eje y otro de traslacioacuten de forma eliacuteptica alrededor del sol El primero de estos movimientos hace que un punto sobre ella se vea iluminado de forma perioacutedica por el Sol originando el diacutea y la noche el segundo movimiento hace que los tiempos de exposicioacuten al sol sean variables originando las estaciones Esta variacioacuten en los tiempos de exposicioacuten es debido a que el eje de rotacioacuten de la Tierra permanece praacutecticamente siempre paralelo a siacute mismo con un aacutengulo de 66ordm 33` respecto al plano de la ecliacuteptica (plano que contiene a la trayectoria de la Tierra)
Solsticio diacutea en el cual el Sol estaacute maacutes alto o maacutes bajo
1) Solsticio de verano 21 de Junio 93 diacuteas y 15h El Sol estaacute perpendicular al troacutepico de caacutencer y estaacute maacutes alto que ninguacuten diacutea del antildeo 2) Solsticio de invierno 21 de Diciembre 89 diacuteas El Sol estaacute perpendicular al troacutepico de capricornio y estaacute maacutes bajo que ninguacuten diacutea del antildeo Equinoccio diacutea donde la noche y el diacutea duran lo mismo 1) Equinoccio de primavera 21 de Marzo 92 diacuteas y 20h 2) Equinoccio de otontildeo 23 de Septiembre 89 diacuteas y 19h En el diacutea del equinoccio en el ecuador a mediodiacutea no hay sombra debido a que los rayos solares son perpendiculares al Ecuador el Sol estaacute en lo maacutes alto
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g) Movimientos de la Tierra
La Tierra posee dos movimientos baacutesicos el de traslacioacuten alrededor del Sol que marca el antildeo y el de rotacioacuten sobre su eje que marca el diacutea Ademaacutes tiene los movimientos de precesioacuten y nutacioacuten La precesioacuten de los equinoccios es un movimiento lento de la inclinacioacuten del eje de la Tierra con respecta a la ecliacuteptica Este movimiento retrasa la llegada de los equinoccios lentamente Completa una vuelta completa cada 25790 antildeos
La Tierra tarda un antildeo en completar su oacuterbita alrededor del Sol Esta oacuterbita es
eliacuteptica aunque con muy poca excentricidad Pero iquestcuaacutento tarda realmente la Tierra en dar una vuelta alrededor del Sol Si tenemos en cuenta las estrellas dura 365 diacuteas 6 horas 9 minutos y 95 segundos Se llama antildeo sideacutereo Si tenemos en cuenta dos pasos consecutivos y reales de la Tierra por el equinoccio vernal dura 365 diacuteas 5 horas 48 minutos y 4551 segundos Se llama antildeo troacutepico o solar La diferencia entre el antildeo troacutepico y el sideacutereo es producto del movimiento precesioacuten de los equinoccios En nuestro calendario usamos el antildeo civil que consta de 365 oacute 366 diacuteas Es una solucioacuten que nos permite contar el antildeo en diacuteas completos
La Tierra realiza un movimiento completo de rotacioacuten alrededor de su eje que va de
polo a polo (geograacutefico no magneacutetico) en 23 horas 56 minutos 409 segundos unos 4 minutos menos que 24 horas
La Tierra da una vuelta entera (360deg) en aproximadamente 24 horas debido a la
rotacioacuten de la Tierra y se mueve alrededor del Sol a una velocidad aproximada de 15ordmh oacute 30 Km por segundo (unos 108000 Kmh) Ademaacutes en su rotacioacuten alrededor de su eje la superficie de la Tierra se mueve con distintas velocidades dependiendo de su distancia al Ecuador
La nutacioacuten es un bamboleo menor del eje de la Tierra con respecto a la ecliacuteptica
Tiene un ciclo de 19 antildeos en el que la inclinacioacuten variacutea entre 6 y 9 segundos Tanto la precesioacuten como la nutacioacuten son movimientos provocados por la influencia gravitatoria del Sol y la Luna Son movimientos complementarios mientras la precesioacuten dibuja una elipse la nutacioacuten hace que ese dibujo sea ondulado
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3- Mediciones en el patio a) Medicioacuten de un objeto de base accesible
a1) Medicioacuten del cipreacutes mediante semejanza Para medir la altura de del cipreacutes con semejanza necesitamos un nivel de aacutengulo un nomon (grande a ser posible) y un metro
Cuando hemos reunido todos estos materiales medimos el nomon y la longitud de la sombra del cipreacutes
Luego hay que poner el nomon en un sitio donde concuerden los extremos de las sombras y medir la distancia de la base del nomon hasta el liacutemite de la sombra
Medidas obtenidas
Sombra del cipreacutes 12m Nomon 240m Sombra del nomon 282m
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Al medir todo soacutelo hay que hacer una simple ecuacioacuten
nomondelSombraNomon
cipreacutesdelSombraCipreacutes
=
mymm
ymm
my 211085012850
12822402
12==times==
Luego el cipreacutes mide aproximadamente 1021m de altura a2) Medicioacuten del cipreacutes mediante trigonometriacutea Para medir el cipreacutes con el meacutetodo de trigonometriacutea necesitamos un teodolito vertical y un metro Cuando tengamos esos materiales nos colocamos delante del cipreacutes a unos metros y con el teodolito miramos la punta maacutes alta del cipreacutes y anotamos los grados que nos ha dado Medimos la distancia del cipreacutes al punto donde hemos medido y la distancia del ojo al suelo
Medidas obtenidas Longitud desde el cipreacutes hasta nosotros 885m Aacutengulo 45ordm Longitud del ojo al suelo 146m Una vez medido todo soacutelo hay que hacer una simple ecuacioacuten
aacutengulodelnosotroshastalongcipreacutesdelaltura tan
=
mym
ym
y 85885811858
ordm45tan858
=times===
15
Al nuacutemero hallado hay que sumarle la distancia del ojo al suelo y esa seraacute la altura del cipreacutes
mmm 3110461858 =+
El cipreacutes mide 1031m de altura a3) Medicioacuten del gimnasio mediante trigonometriacutea Para medir el gimnasio con el meacutetodo de trigonometriacutea necesitamos los mismos materiales usados para medir el cipreacutes con esta misma teacutecnica Cuando tenemos los materiales nos ponemos a una cierta distancia de eacutel y medimos el aacutengulo obtenido al mirar a la cornisa del gimnasio y la distancia que nos separa del eacutel Medidas obtenidas Longitud desde el gimnasio hasta nosotros 885m Aacutengulo 27ordm Longitud del ojo al suelo 146m Una vez medido todo hay que hacer la misma ecuacioacuten que la del cipreacutes pero con los datos del gimnasio
aacutengulodelnosotroshastalonggimnasiodelaltura tan
=
mym
yy 514858510510858
ordm27tan858
=times===
Al nuacutemero hallado hay que sumarle la distancia del ojo al suelo y esa seraacute la altura del gimnasio
mmm 975461514 =+
El gimnasio mide 597m de altura
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b) Medicioacuten de un objeto de base inaccesible
Para medir la altura del edificio necesitamos los materiales utilizados en la medicioacuten del gimnasio y del cipreacutes mediante el meacutetodo de la trigonometriacutea Nos colocamos lo maacutes cerca posible del edificio y tomamos la medida del aacutengulo obtenido nos alejamos del punto donde estaacutebamos y medimos la distancia que separa un punto del otro y los grados obtenidos este proceso lo repetimos otra vez
y = edificio x = distancia del edificio a nosotros ( 1ordf medida) Medidas obtenidas Primer aacutengulo 41ordm Segundo aacutengulo 25ordm Tercer aacutengulo 19ordm Primera medida x Segunda medida 20m Tercera medida 10m Distancio del ojo al suelo 168m Planteamos un sistema de ecuaciones con los dos primeros aacutengulos
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+==+
=
===
xyx
y
xyxy
20middot46046020
ordm25tan
870870ordm41tan
17
( )
myy
mx
x
xxx
xxxx
16201023middot3870
102340370329
32940370329460870
46032987020middot460870
===
=
==minus
+=+=
Despueacutes de utilizar los dos primeros aacutengulos ahora utilizaremos el primero y el tercero
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+==++
=
===
xyx
y
xyxy
30middot3403401020
ordm19tan
870870ordm41tan
( )
myy
mx
x
xxx
xxxx
09176519middot870
65195203310
33105203310340870
340331087030middot340870
===
=
==minus+=
+=
Los nuacutemeros hallados sobre la ldquoxrdquo y la ldquoyrdquo van a ser distintos de una ecuacioacuten a otra por eso hay que hallar la media
my
mx
83172
57180917
86162
57186519
=+
=
=+
=
Al nuacutemero dado por la ldquoyrdquo hay que sumarle la distancia del ojo al suelo y esa seraacute la medida del edificio
17rsquo83+1rsquo68= 19rsquo51m
El edificio mide 19rsquo51m
La distancia entre la primera medida y el edificio es 16rsquo86m
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c) Errores y problemas El primer error en la medicioacuten del cipreacutes pudo ser que midieacuteramos la sombra o la penumbra pero hay que medir en el medio entre la sombra y la penumbra
Otro problema que hubo fue el que al medir a distintas alturas con el teodolito vertical el edificio tuvimos que nivelarlo poniendo un objeto que estuviera a la misma altura que la primera para nivelar la distancia al suelo como se ilustra en la siguiente imagen
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4- Vocabulario y Personajes a) Glosario Anatema Curva que describe la posicioacuten del Sol en el cielo a la misma hora del diacutea y en el mismo lugar de observacioacuten por un antildeo entero En la Tierra es en forma de ocho (infin) El componente horizontal muestra la ecuacioacuten de tiempo que es la diferencia entre el tiempo solar aparente y el tiempo solar medio El componente vertical muestra la declinacioacuten del Sol A veces se dibuja en los globos terraacutequeos Aacutengulo figura geomeacutetrica formada en una superficie por liacuteneas que parten de un mismo punto Astronomiacutea (del griego αστρονομία = άστρον + νόμος) etimoloacutegicamente significa la Ley de las estrellas y es la ciencia que estudia los astros a partir de la informacioacuten que nos llega de ellos a traveacutes de la radiacioacuten electromagneacutetica Calendario (del latiacuten calenda) es una cuenta sistematizada del tiempo para la organizacioacuten de las actividades humanas Antiguamente estaba basado en los ciclos lunares En la actualidad los diversos calendarios tienen base en el ciclo que describe la Tierra alrededor del Sol y se denominan calendarios solares El calendario sideral se basa en el movimiento de otros astros diferentes al Sol Cenit interseccioacuten entre la vertical del observador y la esfera celeste O sea si imaginamos una recta que pasa por el centro de la Tierra y por nuestra ubicacioacuten en su superficie el cenit se encuentra sobre esa recta por encima de nuestras cabezas El punto diametralmente opuesto de la esfera celeste al cenit se denomina Nadir Coordenadas se dice de las liacuteneas que sirven para determinar la posicioacuten de un punto y de los ejes planos a que se refieren aquellas liacuteneas Ecliacuteptica (del latiacuten ecliptĭca [linĕa] (del griego ἐκλειπτική relativo a los eclipses) es el plano que contiene la oacuterbita de la Tierra alrededor del Sol Eliacuteptica oacuterbita de un astro que gira alrededor de otro describiendo una elipse El astro central se situacutea en uno de los focos de la elipse Todas las oacuterbitas de los planetas del sistema solar tienen esta oacuterbita Ecuador paralelo que se toma como 0ordm de latitud Equinoccio eacutepoca en que por incidir los rayos perpendicularmente al ecuador los diacuteas tienen la misma duracioacuten que la noche en toda la tierra lo cual sucede anualmente del 20 al 21 de marzo y del 22 al 23 de septiembre Excentricidad en matemaacuteticas y geometriacutea es un paraacutemetro que determina el grado de desviacioacuten de una seccioacuten coacutenica con respecto a una circunferencia Es un paraacutemetro importante en la definicioacuten de las elipses Gnomon Palo vertical de altura determinada Husos horarios son cada una de las veinticuatro aacutereas en que se divide la Tierra y que siguen la misma definicioacuten de tiempo cronoloacutegico
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Latitud Distancia en grados entre un paralelo y el Ecuador Puede alcanzar los 90ordm Norte o Sur Longitud Distancia en grados entre un meridiano con el meridiano de Greenwich Su maacuteximo es 180ordm OE Mediatriz de un segmento es la recta equidistante de dos puntos del plano equidistantes Esta corta el segmento por su mitad y perpendicularmente Meridiano Cada una de las liacuteneas imaginarias que atraviesan la esfera terrestre desde el polo norte hasta el polo sur Meridiano de Greenwich semiciacuterculo imaginario que une los polos y pasa por Greenwich maacutes precisamente por el antiguo observatorio astronoacutemico de este suburbio de Londres Este sirve de meridiano de origen es a partir de eacutel que se miden las longitudes en grados es decir que corresponde a la longitud cero por lo que tambieacuten se llama meridiano cero y primer meridiano Nutacioacuten (del latiacuten ldquonutarerdquo cabecear u oscilar) es la oscilacioacuten perioacutedica del polo de la Tierra alrededor de su posicioacuten media en la esfera celeste debida a la influencia de la Luna sobre el planeta similar al movimiento de una peonza cuando pierde fuerza y estaacute a punto de caerse Paralelo cada una de las liacuteneas imaginarias que rodean la Tierra de Este a Oeste
Ciacuterculo polar aacutertico es uno de los cinco paralelos principales terrestres Se trata del paralelo de latitud 66deg 33 38 Norte El espacio situado al norte del ciacuterculo aacutertico se denomina Aacutertico y la regioacuten al sur de este ciacuterculo se denomina Zona Templada Norte
Ciacuterculo polar antaacutertico uno de los cinco principales paralelos que sentildealan los mapas de la Tierra Es el paralelo de latitud 66deg 33 38 al sur del ecuador Precesioacuten es el cambio de la direccioacuten del eje alrededor del cual gira un objeto Radio liacutenea recta comprendida entre un punto cualquiera de la circunferencia del circulo hasta el centro del mismo Refraccioacuten hacer que cambie de direccioacuten el rayo de la luz que pasa oblicuamente de un medio a otro de diferente densidad Rotacioacuten el movimiento de cambio de orientacioacuten de un cuerpo extenso de forma que dado un punto cualquiera del mismo este permanece a una distancia constante de un punto fijo Semejanza (del griego iso-gonios = iguales aacutengulos) En geometriacutea diacutecese de una figura que tiene aacutengulos congruentes con los de otra Solsticio eacutepoca en que el Sol se halla en uno de los dos troacutepicos lo cual sucede del 21 al 22 de junio para el troacutepico de Caacutencer y del 21 al 22 de diciembre para el de Capricornio Tangente cociente entre los catetos de un triaacutengulo rectaacutengulo cateto opuestocateto contiguo En la eacutepoca de Eratoacutestenes existiacutean tablas aacutengulo ndash tangente Teodolito instrumento de medicioacuten mecaacutenico-oacuteptico universal que sirve para medir aacutengulos verticales y sobre todo horizontales aacutembito en el cual tiene una precisioacuten elevada Con otras herramientas auxiliares puede medir distancias y desniveles
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Traslacioacuten movimiento por el cual la Tierra se mueve alrededor del Sol La causa de este movimiento es la accioacuten de la gravedad originaacutendose cambios que al igual que el diacutea permiten la medicioacuten del tiempo Trigonometriacutea (del griego la medicioacuten de los triaacutengulos) es una rama de las matemaacuteticas que estudia los aacutengulos y los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo y las relaciones entre ellos Troacutepicos liacuteneas imaginarias situadas a aproximadamente 23ordm de latitud Troacutepico de Caacutencer paralelo situado a una latitud de 23ordm27rsquo al norte de ecuador delimita los puntos maacutes septentrionales en los que el sol puede ocupar el cenit o la vertical del lugar mediodiacutea Troacutepico de Capricornio troacutepico del hemisferio sur Se llama de Capricornio porque se consideraba que el diacutea del solsticio en los troacutepicos el Sol iluminaba el fondo de los pozos y en aquellas fechas en el hemisferio sur el Sol estaba en la constelacioacuten de Capricornio 4b) Matemaacuteticos - Tales de Mileto (625-546 aC)
Geoacutemetra griego y uno de los siete sabios de Grecia Fue el primer matemaacutetico griego que inicioacute el desarrollo razonado de la geometriacutea Hacia el antildeo 600 a C Tales visitoacute Egipto El faraoacuten le pidioacute que resolviera un viejo problema conocer la altura exacta de la Gran Piraacutemide Tales se apoyoacute en su bastoacuten y esperoacute Cuando la sombra del bastoacuten fue igual de larga que el propio bastoacuten le dijo a un servidor del faraoacuten ldquoCorre y mide la sombra de la Gran Piraacutemide En este momento es tan larga como la propia piraacutemiderdquo Tales era famoso desde el antildeo 585 aC ya que predijo con toda
exactitud un eclipse de Sol - Pitaacutegoras (582-500 aC)
Fundoacute la escuela pitagoacuterica hacia el antildeo 530aC donde se estudiaba filosofiacutea matemaacuteticas y ciencias naturales estaba situada en Crotona (al sur de Italia) Ademaacutes de formular el teorema que lleva su nombre inventoacute la tabla de multiplicar y estudio la relacioacuten entre la muacutesica y las matemaacuteticas A partir de la Edad Media el teorema de Pitaacutegoras fue considerado como el ldquopons asinorumrdquo (puente de asnos) o conocimiento que separaba a las personas cultas de las incultas
- Euclides (365-300 aC)
Se conoce muy poco de la vida de este sabio griego Posiblemente vivioacute entre el 365 y el 300 aC pero se desconoce su lugar de nacimiento Se le denomina de Alejandriacutea porque fue en esta ciudad donde se desarrollo su trabajo Su obra ldquoElementos de Geometriacuteardquo es el texto matemaacutetico de maacutes eacutexito en toda la historia Tanto es asiacute que hasta una eacutepoca muy reciente todaviacutea se utilizaba como texto escolar en Inglaterra
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-Aristarco (310 aC - 230 aC)
Nacioacute en Samos - Grecia - en el antildeo 310 aC y murioacute en el 220 aC Fue disciacutepulo de Estratoacuten de Lampsacos jefe de la escuela peripateacutetica fundada por Aristoacuteteles Antildeos despueacutes Aristarco sucederiacutea a Teofrasto como jefe de esta institucioacuten entre antildeos 288 y 287 aC Fue un haacutebil geoacutemetra pero es poco lo que se conoce de su vida Sus hipoacutetesis sobre el universo se han extraiacutedo a partir de las referencias hechas por otros autores despueacutes de su muerte Ptolomeo en el Almagesto lo nombra como un concienzudo observador de los solsticios y equinoccios Parece haber interpretado estas observaciones correctamente atribuyendo estos fenoacutemenos al movimiento de la Tierra alrededor del Sol Dedujo por esto
que era necesario que la oacuterbita terrestre estuviera inclinada para explicar los cambios de estacioacuten - Arquiacutemedes (287-212 aC)
Se le considera padre de la ciencia mecaacutenica el cientiacutefico y matemaacutetico maacutes importante de la Edad Antigua Su obra maacutes importante fue el descubrimiento de la relacioacuten entre la superficie el volumen de una esfera y el cilindro que la circunscribe Invento la rueda dentada y la polea para subir pesos sin esfuerzo Tambieacuten a el se le ocurrioacute usar grandes espejos para incendiar los barcos enemigos y descubrioacute la manera de medir el volumen de cuerpos irregulares (sumergieacutendolos en agua y midiendo el incremento de volumen del liacutequido)
-Eratoacutestenes (284-192 aC)
Matemaacutetico astroacutenomo geoacutegrafo filoacutesofo y poeta griego Hizo la ldquoCriba de Erastoacutetenesrdquo (nuacutemeros primos) Fue el primero que midioacute con buena exactitud el meridiano terrestre (para lo que ideoacute un sistema a partir de la semejanza de triaacutengulos que consiste en que la figura tiene aacutengulos concurrentes con los de otro triaacutengulo) Erastoacutetenes tambieacuten midioacute la oblicuidad de la ecliptica (la inclinacioacuten del eje terrestre) con un error de solo 7acute de arco y creoacute un cataacutelogo (actualmente perdido) de 675 estrellas fijas Su obra maacutes importante fue un tratado de geografiacutea general
-Hiparco de Nicea (c 190-120 a C )
Fue un matemaacutetico y astroacutenomo griego el maacutes importante de su eacutepoca tambieacuten conocido como Hiparco de Rodas Este nacioacute en Nicea Bitinia (hoy Iznik Turquiacutea) Se le considera el primer astroacutenomo cientiacutefico Fue muy preciso en sus investigaciones de las que conocemos parte por comentarse en el tratado cientiacutefico Almagesto del astroacutenomo alejandrino Tolomeo sobre quien ejercioacute gran influencia Sus caacutelculos del antildeo tropical duracioacuten del antildeo determinada por las estaciones teniacutean un margen de error de 6 5 minutos con respecto a las mediciones modernas Murioacute en Rodas Grecia en el antildeo 120 a C
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5 Bibliografiacutea wwwgoogleesimages Enciclopedia Aula del Estudiante Enciclopedia Larousse Microsoft Encarta 2007 wwwastronosurfcom wwwastronomiacom wwwwikipediaorg 100ciacomopinionforosarchiveindexphpt-5452html httpenciclopediausesindexphpEnciclopedia_Libre_Universal_en_EspaF1ol
wwwenciclopediaorg
httpwwwastromiacombiografias
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IacuteNDICE 1- Caacutelculo del mediodiacutea solar en Alicante (IES Bahiacutea de Babel)
a) Material utilizado para la construccioacuten del nomon Paacuteg 2 b) Coacutemo usar el nomon Paacuteg 2 c) Suposiciones de clase Paacuteg 3 d) Coacutemo calcular el mediodiacutea
d1) Meacutetodo graacutefico Paacuteg 3 d2) Meacutetodo numeacuterico Paacuteg 3
e) Medidas con distintos nomon Paacuteg 4 f) Medidas con nomons obtenidas por los distintos grupos Paacuteg 5 g) Problemas surgidos al calcular el mediodiacutea Paacuteg 6 h) Razones de que el mediodiacutea diese a esa hora
h1) Influencia de la longitud Paacuteg 6 h2) Ecuacioacuten del tiempo Paacuteg 7
i) Datos obtenidos de distintos perioacutedicos sobre el sol Paacuteg 8
2- Inclinacioacuten de los rayos solares sobre el IES Bahiacutea de Babel (Alicante)
a) Material utilizado para la construccioacuten del ldquoteodolito verticalrdquo Paacuteg 9 b) Coacutemo utilizar el ldquoteodolito verticalrdquo Paacuteg 9 c) Medidas logradas con el ldquoteodolito verticalrdquo Paacuteg 10 d) Medidas con el ldquoteodolito verticalrdquo de distintos grupos Paacuteg 10 e) Inclinacioacuten de los rayos solares mediante el nomon Paacuteg 11 f) Posiciones Sol-Tierra Paacuteg 12 g) Movimientos de la Tierra Paacuteg 13
3- Mediciones en el patio
a) Medicioacuten de un objeto de base accesible a1) Altura de un cipreacutes por semejanza Paacuteg 14 a2) Altura de un cipreacutes por tangente Paacuteg 15 a3) Altura del gimnasio por tangente Paacuteg 16 b) Medicioacuten de un objeto de base inaccesible Paacuteg 17 c) Errores y problemas Paacuteg 19
4- Vocabulario
a) Glosario Paacuteg 20 b) Personajes Paacuteg 22 5- Bibliografiacutea Paacuteg 24
1
1- Caacutelculo del mediodiacutea en Alicante (IES Bahiacutea de Babel) a) Material utilizado para la construccioacuten del nomon
Para saber a queacute hora es el mediodiacutea usamos un aparato llamado nomon nosotros utilizamos uno fabricado con una tabla de 40x64 cm con una varilla de hierro de unos 25 cm de longitud roscada en el centro en posicioacuten vertical
b) Coacutemo usar el nomon Su uso es coacutemodo soacutelo hay que colocar la base en una superficie plana y horizontal orientada hacia el sur Cuando hace sol marcamos una cruz en el extremo de la sombra lo que hicimos cada cierto tiempo (3 oacute 4 min) Marcamos encuentros de la sombra durante una hora desde las 1330h hasta 1430h porque suponiacuteamos que el mediodiacutea dariacutea sobre las 1400h
2
c) Suposiciones de clase Las predicciones realizadas en clase eran loacutegicas a simple vista ya que lo visualizaacutebamos todos de esta manera
1- Pensaacutebamos que la liacutenea obtenida por el nomon iba a ser coacutencava o convexa pero no pensaacutebamos que saldriacutea una liacutenea recta y asiacute fue aunque un poco inclinada
2- Ademaacutes creiacuteamos que el mediodiacutea seriacutea sobre las 1400 de la tarde (hora local) y en cambio se efectuoacute siete minutos antes de lo previsto justamente a las 1353h
3- Tambieacuten se comentoacute que era posible que al mediodiacutea no hubiera sombra ninguna ya que el sol se encontraba justo encima del nomon
4- Para finalizar simplemente antildeadir que tambieacuten se pensoacute en la posibilidad de que hubiesen dos mediodiacuteas si la sombra era coacutencava pero luego fue desmentido puesto que habiacutea que medir la sombra desde el nomon d) Coacutemo calcular el mediodiacutea La sombra maacutes corta que se haya obtenido seraacute el mediodiacutea A nosotros no nos saliacutea justo debido a que varias intersecciones administraban una misma longitud desde el nomon
d1) Procedimiento graacutefico Trazamos una liacutenea desde el primer punto marcado hasta el uacuteltimo seguidamente
hicimos un arco con centro en el palo y con el radio hasta la primera medida desde esa terminamos el arco hasta la uacuteltima
Dibujamos la mediatriz de la recta ese punto de interseccioacuten es el mediodiacutea justamente a las 1353h
Esto es el nomon con el segmento dado y su correspondiente mediatriz para hallar el medio diacutea
d2) Procedimiento numeacuterico Para saberlo con claridad lo hicimos de otra un poco mas difiacutecil como es la de
restarle a la uacuteltima hora obtenida (1416h) la primera (1331h) el dato hallado (045h) lo dividimos entre dos (022rsquo5h) y luego lo sumamos a la primera hora obtenida (1331h + 022rsquo5) y asiacute logramos saber cuando era el mediodiacutea solar (1353rsquo5h)
3
e) Medidas con distintos nomons Las siguientes medidas se tomaron el viernes (diacutea anterior al equinoccio) a las 1353h debido a que el diacutea anterior nos surgioacute que el medio diacutea solar seriacutea maacutes o menos sobre esa hora
Nomon grande Nomon pequentildeo Nomon mediano
Altura Sombra Altura Sombra Altura Sombra 240m 198m 025m 019m 136m 0425m
Si el cociente de la altura del nomon partido por la altura de otro nomon es igual al
cociente de la sombra del nomon partido por la sombra del otro nomon estos dos triaacutengulos son semejantes si no da igual no lo son Razoacuten de semejanza entre Nomon grande y nomon pequentildeo
411069190981
250402
411019098169
250402
ne
ne
==
Los triaacutengulos con el nomon grande y el nomon pequentildeo son casi semejantes Nomon grande y mediano
6647614250981
361402
6644250981761
361402
ne
ne
==
Los triaacutengulos con el nomon grande y el mediano no son semejantes Nomon pequentildeo y mediano
1904250
250361
2321904250445
250361
ne
==
Los triaacutengulos con el nomon pequentildeo y el mediano no son semejantes Conclusioacuten
Ninguno de los triaacutengulos formados por la sombra y la altura del nomon son semejantes
Solo estaacuten cerca de serlo los triaacutengulos formados con el nomon grande y el pequentildeo Tuvo que haber alguacuten error en la medicioacuten con el nomon mediano
4
f) Medidas con nomon obtenidas por los distintos grupos Medidas tomadas el diacutea 21 de septiembre
Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3 Grupo 4 Palo 25cm 25cm 158cm 20cm
Sombra 19cm 19cm 134cm 153
Razoacuten 132 132 118 131
Medidas tomadas el diacutea 22 de septiembre
Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3 Grupo 4 Palo 136m 239m 714cm -
Sombra 0925m 191m 555cm -
Razoacuten iquest147 125 129 -
Medidas tomadas el diacutea 26 de septiembre
Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3 Grupo 4 Palo 240m 138m 5353cm 715cm
Sombra 198m 114m 50cm 625cm
Razoacuten 121 121 107 iquest149
Conclusioacuten la variacioacuten de la sombra desde el diacutea 22 al 26 es de aumento debido a
que el sol estaacute maacutes bajo el diacutea 26 que el 22 por eso hace una sombra maacutes grande
5
g) Problemas surgidos al calcular el mediodiacutea El jueves 21 de septiembre tuvimos unos pequentildeos problemas que pudimos solucionar Las dificultades surgieron debido a la falta de sol en el patio Este al salir pocas veces no nos permitiacutea tomar bien la referencia de la sombra del nomon entonces a veces saliacutean algunos puntos que no pareciacutean estar bien Maacutes tarde salioacute el sol por lo cual se solucionaron los problemas no daacutendole importancia a estos puntos cuando tomamos la mediatriz del segmento
Solucionado el problema surgioacute otro la mediatriz y la sombra miacutenima no daban lo mismo asiacute que tuvimos que restarle a la uacuteltima hora lograda la primera el dato hallado lo dividimos entre dos y luego lo sumamos a la primera hora y asiacute logramos saber con claridad cuando era el mediodiacutea solar Eacuteste resultoacute ser igual que el obtenido haciendo la mediatriz En este dibujo se puede apreciar los errores que hubo al principio y algunos otros que no les dimos importancia
h) Razones de que el mediodiacutea diese a esa hora
h1) Influencia de la longitud de Alicante El globo terraacutequeo estaacute dividido en 24 zonas llamadas husos horarios Sobre la
superficie terrestre una hora corresponde a 15 grados de longitud la hora en cada zona se determina de acuerdo con la hora local media para cada longitud 0ordm 15ordm 30ordm 45ordm 360ordm
La hora del meridiano cero que pasa sobre Greenwich es usada como referencia y es llamada Tiempo Universal (TU) Hacia el oeste los husos horarios disminuyen una hora cada 15 grados y hacia el este aumentan una hora cada 15 grados a partir del meridiano de Greenwich
6
En el verano muchos paiacuteses cambian su horario para aprovechar la mayor cantidad de luz solar de esta manera el tiempo en que las personas estaacuten despiertas coincide con la duracioacuten del diacutea y se ahorra electricidad Durante los cambios de horario la diferencia entre el tiempo solar aparente y la hora oficial se hace auacuten maacutes grande
Debido a que la longitud de Alicante es de 0rsquo5ordm Oeste aproximadamente hace que la
hora solar se retrase un par de minutos respecto a la hora oficial luego el mediodiacutea deberiacutea salir sobre las 1402h aproximadamente
h2) Ecuacioacuten del tiempo La ecuacioacuten del tiempo es la diferencia entre el tiempo solar medio (tiempo medido
sobre la referencia del diacutea solar medio) y el tiempo solar aparente (tiempo dado por el movimiento diario del Sol en el firmamento) Tal como se ve en un reloj de sol este movimiento no es uniforme y regular dado que la oacuterbita terrestre es eliacuteptica y tambieacuten porque el Sol se mueve a lo largo de la ecliacuteptica
El origen de este concepto se deriva de la distinta velocidad del movimiento de
traslacioacuten terrestre alrededor del Sol La oacuterbita terrestre (Ecliacuteptica) y no es circular sino eliacuteptica ocupando el Sol uno de los focos de la elipse De acuerdo con las leyes de Kepler sobre los movimientos de traslacioacuten tiempos iguales barren aacutereas iguales lo cual significa que la Tierra disminuye la velocidad de traslacioacuten cuando se encuentra maacutes alejada del Sol (porque la atraccioacuten del mismo es menor al encontrarse maacutes lejos) y lo acelera al acercarse Si no existiera esta diferencia de velocidad la Tierra se escapariacutea del Sistema Solar cuando se encontrara maacutes lejos o chocariacutea con el Sol al acercarse Asiacute pues el movimiento de traslacioacuten terrestre es un movimiento uniformemente variado
Esta diferencia es mayor a principios de noviembre cuando el tiempo solar medio
estaacute a maacutes de 16 minutos por detraacutes del tiempo solar aparente y a mediados de febrero cuando el tiempo solar medio va maacutes de 14 minutos por delante del aparente Son iguales cuatro veces al antildeo el 15 de abril 14 de junio 1 de septiembre y el 25 de diciembre
La ecuacioacuten del tiempo se representa graacuteficamente con un diagrama denominado analema que suele indicarse en los globos o esferas terrestres y que tiene forma de un 8 algo asimeacutetrico El analema indica la misma informacioacuten que la expresada a traveacutes del graacutefico adjunto
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En enero (-13min) febrero (-12min) marzo (-6min) y mitad de abril (-2min) la ecuacioacuten del tiempo es negativa la segunda mitad de abril (+3min) mayo (+3min) y mitad de junio es positiva (+2min) la segunda mitad de junio (-6min) julio (-60min) y agosto ( -1min) vuelve a ser negativa y en septiembre (+9min) octubre (+17min) noviembre (+12min) y diciembre es positiva (+1min) excepto algunos diacuteas sueltos de la uacuteltima semana de este La diferencia horaria en el equinoccio de otontildeo es de 8min 25s seguacuten el graacutefico es decir nos debiacutea de haber dado 8min 25s antes de las 1400h sobre las 1352h i) Datos obtenidos de distintos perioacutedicos sobre el sol
Los siguientes datos fueron obtenidos de distintos perioacutedicos de Alicante
Queacute (Hora civil) Informacioacuten (Hora solar) Las Provincias (Hora civil)
Salida Puesta Mediodiacutea Salida Puesta Mediodiacutea Salida Puesta Mediodiacutea
Viernes 22 - - - 6h
02min 18h
10min 12h
07min 7h
49min 19h
59min 13h
54min Saacutebado
23 - - - 6h 03min
18h 11min
12h 07min
7h 50min
19h 58min
13h 54min
Domingo 24 - - - 6h
04min 18h
09min 12h
06min 7h
50min 19h
48min 13h
49min Lunes
25 7h
52min 19h
55min 13h
53min 6h
05min 18h
07min 12h
06min 7h
52min 19h
51min 13h
51min Martes
26 7h
53min 19h
53min 13h
53min 6h
06min 18h
06min 12h
06min 7h
53min 19h
53min 13h
53min
En el diario ldquoQueacuterdquo y en ldquoLas provinciasrdquo los datos estaacuten puestos en la hora civil de
Alicante y en el ldquoInformacioacutenrdquo estaacuten en hora solar debido a esto los datos son distintos porque la diferencia entre la hora solar y la hora local es de 2h (aproximadamente)
En el diario ldquoLas Provinciasrdquo los datos del viernes 22 son muy parecidos a los
obtenidos por nosotros ya que les da a las 1354h y a nosotros a las 1353h Como no sabemos exactamente la diferencia entre la hora solar y la hora civil no podemos decir con exactitud la hora que dio el mediodiacutea en el diario ldquoEl Informacioacutenrdquo lo mismo sucede en los diacuteas siguientes el 22 y el 23 de Septiembre
Desde el saacutebado 23 (diacutea del equinoccio) hasta el domingo 24 vemos que el mediodiacutea
disminuye 5min con respecto al del diacutea 24 El lunes 25 en el diario ldquoLas Provinciasrdquo y en el diario ldquoQueacuterdquo los datos son muy iguales 1351 y 1353 respectivamente El martes 26 los datos de los distintos perioacutedicos son iguales las 1353h
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2- Inclinacioacuten de los rayos solares sobre el IES Bahiacutea de Babel a) Material utilizado para la construccioacuten del ldquoteodolito verticalrdquo
El teodolito vertical no fue construido por nosotros sino por unos antiguos alumnos del centro El teodolito vertical estaacute formando por un tubo hueco en la parte superior de una superficie lisa que lleva adherida un transportador de aacutengulos y un peacutendulo aferrado a eacuteste
b) Coacutemo utilizar el ldquoteodolito verticalrdquo
El teodolito vertical tiene una mecaacutenica sencilla a saber cuando un rayo de sol incida por el interior del conducto hueco este saldraacute y se proyectaraacute en una superficie oscura Cuando logre atravesar el cilindro tomaremos la medida del aacutengulo que forma el peacutendulo con la vertical del Sol Gracias a esto podemos saber a queacute altura sobre el horizonte estaacute el Sol desde el punto en que nos encontramos
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c) Medidas logradas con el ldquoteodolito verticalrdquo El viernes 22 intentamos usar el teodolito pero como no habiacutea suficiente sol no se pudo realizar la medicioacuten El martes 26 siacute que pudimos hacerla y a las 1353h medimos la inclinacioacuten del Sol que era de 39ordm sobre el instituto En esa hora el Sol estaba en el punto maacutes alto (cenit) porque era maacutes o menos el mediodiacutea
d) Medidas con el ldquoteodolito verticalrdquo de distintos grupos Medias obtenidas el diacutea 26 de septiembre
Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3 Grupo 4
Inclinacioacuten 39ordm 39ordm 47ordm 38ordm
Conclusioacuten Todos los grupos midieron mal la inclinacioacuten de los rayos solares (porque dieron el aacutengulo que marcaba el teodolito y ese es el que forman con los rayos con la vertical) excepto el grupo 3 que se aproximoacute un poco debido a que deberiacutea dar 52ordm
El aacutengulo que se forma en Alicante cuando los rayos del sol son perpendiculares al Ecuador es de 38ordm (latitud de Alicante) por lo cual el otro aacutengulo son 52ordm (38ordm+52ordm+90ordm=180ordm de un triaacutengulo recto) como se representa en el siguiente dibujo
10
e) Inclinacioacuten de los rayos solares mediante el nomon Con el meacutetodo de la tangente podemos averiguar el aacutengulo de la inclinacioacuten del sol
contiguocatopuestocat
tan =α
El cateto opuesto es la altura del palo y el cateto contiguo es la sombra de eacuteste Despueacutes de hallar el nuacutemero hay que hacerle el arco tangente (tan ) y el nuacutemero
que deacute seraacute el aacutengulo 1minus
Angulo hallado mediante distintos nomons
Nomon grande Nomon mediano Nomon pequentildeo
Altura Sombra Grados Altura Sombra Grados Altura Sombra Grados
240m 198m 50ordm47rdquo 136m 0425m 72ordm64rdquo 025m 019m 52ordm47rdquo
Pasos para calcular el aacutengulo de cada nomon Nomon grande
47ordm50211tan211981402
== arcmm
Nomon mediano
64ordm7223tan234250361
== arcm
m
Nomon pequentildeo
47ordm523151tan3151190250
== arcmm
En el nomon mediano debe haber habido un error porque como bien sale en los otros dos nomon debiacutea de dar 52ordm47rdquo debido a los rayos paralelos del sol que inciden perpendiculares al Ecuador como se explica en el apartado anterior
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f) Posiciones Sol -Tierra
La Tierra tiene un movimiento de rotacioacuten en torno a un eje y otro de traslacioacuten de forma eliacuteptica alrededor del sol El primero de estos movimientos hace que un punto sobre ella se vea iluminado de forma perioacutedica por el Sol originando el diacutea y la noche el segundo movimiento hace que los tiempos de exposicioacuten al sol sean variables originando las estaciones Esta variacioacuten en los tiempos de exposicioacuten es debido a que el eje de rotacioacuten de la Tierra permanece praacutecticamente siempre paralelo a siacute mismo con un aacutengulo de 66ordm 33` respecto al plano de la ecliacuteptica (plano que contiene a la trayectoria de la Tierra)
Solsticio diacutea en el cual el Sol estaacute maacutes alto o maacutes bajo
1) Solsticio de verano 21 de Junio 93 diacuteas y 15h El Sol estaacute perpendicular al troacutepico de caacutencer y estaacute maacutes alto que ninguacuten diacutea del antildeo 2) Solsticio de invierno 21 de Diciembre 89 diacuteas El Sol estaacute perpendicular al troacutepico de capricornio y estaacute maacutes bajo que ninguacuten diacutea del antildeo Equinoccio diacutea donde la noche y el diacutea duran lo mismo 1) Equinoccio de primavera 21 de Marzo 92 diacuteas y 20h 2) Equinoccio de otontildeo 23 de Septiembre 89 diacuteas y 19h En el diacutea del equinoccio en el ecuador a mediodiacutea no hay sombra debido a que los rayos solares son perpendiculares al Ecuador el Sol estaacute en lo maacutes alto
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g) Movimientos de la Tierra
La Tierra posee dos movimientos baacutesicos el de traslacioacuten alrededor del Sol que marca el antildeo y el de rotacioacuten sobre su eje que marca el diacutea Ademaacutes tiene los movimientos de precesioacuten y nutacioacuten La precesioacuten de los equinoccios es un movimiento lento de la inclinacioacuten del eje de la Tierra con respecta a la ecliacuteptica Este movimiento retrasa la llegada de los equinoccios lentamente Completa una vuelta completa cada 25790 antildeos
La Tierra tarda un antildeo en completar su oacuterbita alrededor del Sol Esta oacuterbita es
eliacuteptica aunque con muy poca excentricidad Pero iquestcuaacutento tarda realmente la Tierra en dar una vuelta alrededor del Sol Si tenemos en cuenta las estrellas dura 365 diacuteas 6 horas 9 minutos y 95 segundos Se llama antildeo sideacutereo Si tenemos en cuenta dos pasos consecutivos y reales de la Tierra por el equinoccio vernal dura 365 diacuteas 5 horas 48 minutos y 4551 segundos Se llama antildeo troacutepico o solar La diferencia entre el antildeo troacutepico y el sideacutereo es producto del movimiento precesioacuten de los equinoccios En nuestro calendario usamos el antildeo civil que consta de 365 oacute 366 diacuteas Es una solucioacuten que nos permite contar el antildeo en diacuteas completos
La Tierra realiza un movimiento completo de rotacioacuten alrededor de su eje que va de
polo a polo (geograacutefico no magneacutetico) en 23 horas 56 minutos 409 segundos unos 4 minutos menos que 24 horas
La Tierra da una vuelta entera (360deg) en aproximadamente 24 horas debido a la
rotacioacuten de la Tierra y se mueve alrededor del Sol a una velocidad aproximada de 15ordmh oacute 30 Km por segundo (unos 108000 Kmh) Ademaacutes en su rotacioacuten alrededor de su eje la superficie de la Tierra se mueve con distintas velocidades dependiendo de su distancia al Ecuador
La nutacioacuten es un bamboleo menor del eje de la Tierra con respecto a la ecliacuteptica
Tiene un ciclo de 19 antildeos en el que la inclinacioacuten variacutea entre 6 y 9 segundos Tanto la precesioacuten como la nutacioacuten son movimientos provocados por la influencia gravitatoria del Sol y la Luna Son movimientos complementarios mientras la precesioacuten dibuja una elipse la nutacioacuten hace que ese dibujo sea ondulado
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3- Mediciones en el patio a) Medicioacuten de un objeto de base accesible
a1) Medicioacuten del cipreacutes mediante semejanza Para medir la altura de del cipreacutes con semejanza necesitamos un nivel de aacutengulo un nomon (grande a ser posible) y un metro
Cuando hemos reunido todos estos materiales medimos el nomon y la longitud de la sombra del cipreacutes
Luego hay que poner el nomon en un sitio donde concuerden los extremos de las sombras y medir la distancia de la base del nomon hasta el liacutemite de la sombra
Medidas obtenidas
Sombra del cipreacutes 12m Nomon 240m Sombra del nomon 282m
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Al medir todo soacutelo hay que hacer una simple ecuacioacuten
nomondelSombraNomon
cipreacutesdelSombraCipreacutes
=
mymm
ymm
my 211085012850
12822402
12==times==
Luego el cipreacutes mide aproximadamente 1021m de altura a2) Medicioacuten del cipreacutes mediante trigonometriacutea Para medir el cipreacutes con el meacutetodo de trigonometriacutea necesitamos un teodolito vertical y un metro Cuando tengamos esos materiales nos colocamos delante del cipreacutes a unos metros y con el teodolito miramos la punta maacutes alta del cipreacutes y anotamos los grados que nos ha dado Medimos la distancia del cipreacutes al punto donde hemos medido y la distancia del ojo al suelo
Medidas obtenidas Longitud desde el cipreacutes hasta nosotros 885m Aacutengulo 45ordm Longitud del ojo al suelo 146m Una vez medido todo soacutelo hay que hacer una simple ecuacioacuten
aacutengulodelnosotroshastalongcipreacutesdelaltura tan
=
mym
ym
y 85885811858
ordm45tan858
=times===
15
Al nuacutemero hallado hay que sumarle la distancia del ojo al suelo y esa seraacute la altura del cipreacutes
mmm 3110461858 =+
El cipreacutes mide 1031m de altura a3) Medicioacuten del gimnasio mediante trigonometriacutea Para medir el gimnasio con el meacutetodo de trigonometriacutea necesitamos los mismos materiales usados para medir el cipreacutes con esta misma teacutecnica Cuando tenemos los materiales nos ponemos a una cierta distancia de eacutel y medimos el aacutengulo obtenido al mirar a la cornisa del gimnasio y la distancia que nos separa del eacutel Medidas obtenidas Longitud desde el gimnasio hasta nosotros 885m Aacutengulo 27ordm Longitud del ojo al suelo 146m Una vez medido todo hay que hacer la misma ecuacioacuten que la del cipreacutes pero con los datos del gimnasio
aacutengulodelnosotroshastalonggimnasiodelaltura tan
=
mym
yy 514858510510858
ordm27tan858
=times===
Al nuacutemero hallado hay que sumarle la distancia del ojo al suelo y esa seraacute la altura del gimnasio
mmm 975461514 =+
El gimnasio mide 597m de altura
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b) Medicioacuten de un objeto de base inaccesible
Para medir la altura del edificio necesitamos los materiales utilizados en la medicioacuten del gimnasio y del cipreacutes mediante el meacutetodo de la trigonometriacutea Nos colocamos lo maacutes cerca posible del edificio y tomamos la medida del aacutengulo obtenido nos alejamos del punto donde estaacutebamos y medimos la distancia que separa un punto del otro y los grados obtenidos este proceso lo repetimos otra vez
y = edificio x = distancia del edificio a nosotros ( 1ordf medida) Medidas obtenidas Primer aacutengulo 41ordm Segundo aacutengulo 25ordm Tercer aacutengulo 19ordm Primera medida x Segunda medida 20m Tercera medida 10m Distancio del ojo al suelo 168m Planteamos un sistema de ecuaciones con los dos primeros aacutengulos
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+==+
=
===
xyx
y
xyxy
20middot46046020
ordm25tan
870870ordm41tan
17
( )
myy
mx
x
xxx
xxxx
16201023middot3870
102340370329
32940370329460870
46032987020middot460870
===
=
==minus
+=+=
Despueacutes de utilizar los dos primeros aacutengulos ahora utilizaremos el primero y el tercero
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+==++
=
===
xyx
y
xyxy
30middot3403401020
ordm19tan
870870ordm41tan
( )
myy
mx
x
xxx
xxxx
09176519middot870
65195203310
33105203310340870
340331087030middot340870
===
=
==minus+=
+=
Los nuacutemeros hallados sobre la ldquoxrdquo y la ldquoyrdquo van a ser distintos de una ecuacioacuten a otra por eso hay que hallar la media
my
mx
83172
57180917
86162
57186519
=+
=
=+
=
Al nuacutemero dado por la ldquoyrdquo hay que sumarle la distancia del ojo al suelo y esa seraacute la medida del edificio
17rsquo83+1rsquo68= 19rsquo51m
El edificio mide 19rsquo51m
La distancia entre la primera medida y el edificio es 16rsquo86m
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c) Errores y problemas El primer error en la medicioacuten del cipreacutes pudo ser que midieacuteramos la sombra o la penumbra pero hay que medir en el medio entre la sombra y la penumbra
Otro problema que hubo fue el que al medir a distintas alturas con el teodolito vertical el edificio tuvimos que nivelarlo poniendo un objeto que estuviera a la misma altura que la primera para nivelar la distancia al suelo como se ilustra en la siguiente imagen
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4- Vocabulario y Personajes a) Glosario Anatema Curva que describe la posicioacuten del Sol en el cielo a la misma hora del diacutea y en el mismo lugar de observacioacuten por un antildeo entero En la Tierra es en forma de ocho (infin) El componente horizontal muestra la ecuacioacuten de tiempo que es la diferencia entre el tiempo solar aparente y el tiempo solar medio El componente vertical muestra la declinacioacuten del Sol A veces se dibuja en los globos terraacutequeos Aacutengulo figura geomeacutetrica formada en una superficie por liacuteneas que parten de un mismo punto Astronomiacutea (del griego αστρονομία = άστρον + νόμος) etimoloacutegicamente significa la Ley de las estrellas y es la ciencia que estudia los astros a partir de la informacioacuten que nos llega de ellos a traveacutes de la radiacioacuten electromagneacutetica Calendario (del latiacuten calenda) es una cuenta sistematizada del tiempo para la organizacioacuten de las actividades humanas Antiguamente estaba basado en los ciclos lunares En la actualidad los diversos calendarios tienen base en el ciclo que describe la Tierra alrededor del Sol y se denominan calendarios solares El calendario sideral se basa en el movimiento de otros astros diferentes al Sol Cenit interseccioacuten entre la vertical del observador y la esfera celeste O sea si imaginamos una recta que pasa por el centro de la Tierra y por nuestra ubicacioacuten en su superficie el cenit se encuentra sobre esa recta por encima de nuestras cabezas El punto diametralmente opuesto de la esfera celeste al cenit se denomina Nadir Coordenadas se dice de las liacuteneas que sirven para determinar la posicioacuten de un punto y de los ejes planos a que se refieren aquellas liacuteneas Ecliacuteptica (del latiacuten ecliptĭca [linĕa] (del griego ἐκλειπτική relativo a los eclipses) es el plano que contiene la oacuterbita de la Tierra alrededor del Sol Eliacuteptica oacuterbita de un astro que gira alrededor de otro describiendo una elipse El astro central se situacutea en uno de los focos de la elipse Todas las oacuterbitas de los planetas del sistema solar tienen esta oacuterbita Ecuador paralelo que se toma como 0ordm de latitud Equinoccio eacutepoca en que por incidir los rayos perpendicularmente al ecuador los diacuteas tienen la misma duracioacuten que la noche en toda la tierra lo cual sucede anualmente del 20 al 21 de marzo y del 22 al 23 de septiembre Excentricidad en matemaacuteticas y geometriacutea es un paraacutemetro que determina el grado de desviacioacuten de una seccioacuten coacutenica con respecto a una circunferencia Es un paraacutemetro importante en la definicioacuten de las elipses Gnomon Palo vertical de altura determinada Husos horarios son cada una de las veinticuatro aacutereas en que se divide la Tierra y que siguen la misma definicioacuten de tiempo cronoloacutegico
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Latitud Distancia en grados entre un paralelo y el Ecuador Puede alcanzar los 90ordm Norte o Sur Longitud Distancia en grados entre un meridiano con el meridiano de Greenwich Su maacuteximo es 180ordm OE Mediatriz de un segmento es la recta equidistante de dos puntos del plano equidistantes Esta corta el segmento por su mitad y perpendicularmente Meridiano Cada una de las liacuteneas imaginarias que atraviesan la esfera terrestre desde el polo norte hasta el polo sur Meridiano de Greenwich semiciacuterculo imaginario que une los polos y pasa por Greenwich maacutes precisamente por el antiguo observatorio astronoacutemico de este suburbio de Londres Este sirve de meridiano de origen es a partir de eacutel que se miden las longitudes en grados es decir que corresponde a la longitud cero por lo que tambieacuten se llama meridiano cero y primer meridiano Nutacioacuten (del latiacuten ldquonutarerdquo cabecear u oscilar) es la oscilacioacuten perioacutedica del polo de la Tierra alrededor de su posicioacuten media en la esfera celeste debida a la influencia de la Luna sobre el planeta similar al movimiento de una peonza cuando pierde fuerza y estaacute a punto de caerse Paralelo cada una de las liacuteneas imaginarias que rodean la Tierra de Este a Oeste
Ciacuterculo polar aacutertico es uno de los cinco paralelos principales terrestres Se trata del paralelo de latitud 66deg 33 38 Norte El espacio situado al norte del ciacuterculo aacutertico se denomina Aacutertico y la regioacuten al sur de este ciacuterculo se denomina Zona Templada Norte
Ciacuterculo polar antaacutertico uno de los cinco principales paralelos que sentildealan los mapas de la Tierra Es el paralelo de latitud 66deg 33 38 al sur del ecuador Precesioacuten es el cambio de la direccioacuten del eje alrededor del cual gira un objeto Radio liacutenea recta comprendida entre un punto cualquiera de la circunferencia del circulo hasta el centro del mismo Refraccioacuten hacer que cambie de direccioacuten el rayo de la luz que pasa oblicuamente de un medio a otro de diferente densidad Rotacioacuten el movimiento de cambio de orientacioacuten de un cuerpo extenso de forma que dado un punto cualquiera del mismo este permanece a una distancia constante de un punto fijo Semejanza (del griego iso-gonios = iguales aacutengulos) En geometriacutea diacutecese de una figura que tiene aacutengulos congruentes con los de otra Solsticio eacutepoca en que el Sol se halla en uno de los dos troacutepicos lo cual sucede del 21 al 22 de junio para el troacutepico de Caacutencer y del 21 al 22 de diciembre para el de Capricornio Tangente cociente entre los catetos de un triaacutengulo rectaacutengulo cateto opuestocateto contiguo En la eacutepoca de Eratoacutestenes existiacutean tablas aacutengulo ndash tangente Teodolito instrumento de medicioacuten mecaacutenico-oacuteptico universal que sirve para medir aacutengulos verticales y sobre todo horizontales aacutembito en el cual tiene una precisioacuten elevada Con otras herramientas auxiliares puede medir distancias y desniveles
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Traslacioacuten movimiento por el cual la Tierra se mueve alrededor del Sol La causa de este movimiento es la accioacuten de la gravedad originaacutendose cambios que al igual que el diacutea permiten la medicioacuten del tiempo Trigonometriacutea (del griego la medicioacuten de los triaacutengulos) es una rama de las matemaacuteticas que estudia los aacutengulos y los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo y las relaciones entre ellos Troacutepicos liacuteneas imaginarias situadas a aproximadamente 23ordm de latitud Troacutepico de Caacutencer paralelo situado a una latitud de 23ordm27rsquo al norte de ecuador delimita los puntos maacutes septentrionales en los que el sol puede ocupar el cenit o la vertical del lugar mediodiacutea Troacutepico de Capricornio troacutepico del hemisferio sur Se llama de Capricornio porque se consideraba que el diacutea del solsticio en los troacutepicos el Sol iluminaba el fondo de los pozos y en aquellas fechas en el hemisferio sur el Sol estaba en la constelacioacuten de Capricornio 4b) Matemaacuteticos - Tales de Mileto (625-546 aC)
Geoacutemetra griego y uno de los siete sabios de Grecia Fue el primer matemaacutetico griego que inicioacute el desarrollo razonado de la geometriacutea Hacia el antildeo 600 a C Tales visitoacute Egipto El faraoacuten le pidioacute que resolviera un viejo problema conocer la altura exacta de la Gran Piraacutemide Tales se apoyoacute en su bastoacuten y esperoacute Cuando la sombra del bastoacuten fue igual de larga que el propio bastoacuten le dijo a un servidor del faraoacuten ldquoCorre y mide la sombra de la Gran Piraacutemide En este momento es tan larga como la propia piraacutemiderdquo Tales era famoso desde el antildeo 585 aC ya que predijo con toda
exactitud un eclipse de Sol - Pitaacutegoras (582-500 aC)
Fundoacute la escuela pitagoacuterica hacia el antildeo 530aC donde se estudiaba filosofiacutea matemaacuteticas y ciencias naturales estaba situada en Crotona (al sur de Italia) Ademaacutes de formular el teorema que lleva su nombre inventoacute la tabla de multiplicar y estudio la relacioacuten entre la muacutesica y las matemaacuteticas A partir de la Edad Media el teorema de Pitaacutegoras fue considerado como el ldquopons asinorumrdquo (puente de asnos) o conocimiento que separaba a las personas cultas de las incultas
- Euclides (365-300 aC)
Se conoce muy poco de la vida de este sabio griego Posiblemente vivioacute entre el 365 y el 300 aC pero se desconoce su lugar de nacimiento Se le denomina de Alejandriacutea porque fue en esta ciudad donde se desarrollo su trabajo Su obra ldquoElementos de Geometriacuteardquo es el texto matemaacutetico de maacutes eacutexito en toda la historia Tanto es asiacute que hasta una eacutepoca muy reciente todaviacutea se utilizaba como texto escolar en Inglaterra
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-Aristarco (310 aC - 230 aC)
Nacioacute en Samos - Grecia - en el antildeo 310 aC y murioacute en el 220 aC Fue disciacutepulo de Estratoacuten de Lampsacos jefe de la escuela peripateacutetica fundada por Aristoacuteteles Antildeos despueacutes Aristarco sucederiacutea a Teofrasto como jefe de esta institucioacuten entre antildeos 288 y 287 aC Fue un haacutebil geoacutemetra pero es poco lo que se conoce de su vida Sus hipoacutetesis sobre el universo se han extraiacutedo a partir de las referencias hechas por otros autores despueacutes de su muerte Ptolomeo en el Almagesto lo nombra como un concienzudo observador de los solsticios y equinoccios Parece haber interpretado estas observaciones correctamente atribuyendo estos fenoacutemenos al movimiento de la Tierra alrededor del Sol Dedujo por esto
que era necesario que la oacuterbita terrestre estuviera inclinada para explicar los cambios de estacioacuten - Arquiacutemedes (287-212 aC)
Se le considera padre de la ciencia mecaacutenica el cientiacutefico y matemaacutetico maacutes importante de la Edad Antigua Su obra maacutes importante fue el descubrimiento de la relacioacuten entre la superficie el volumen de una esfera y el cilindro que la circunscribe Invento la rueda dentada y la polea para subir pesos sin esfuerzo Tambieacuten a el se le ocurrioacute usar grandes espejos para incendiar los barcos enemigos y descubrioacute la manera de medir el volumen de cuerpos irregulares (sumergieacutendolos en agua y midiendo el incremento de volumen del liacutequido)
-Eratoacutestenes (284-192 aC)
Matemaacutetico astroacutenomo geoacutegrafo filoacutesofo y poeta griego Hizo la ldquoCriba de Erastoacutetenesrdquo (nuacutemeros primos) Fue el primero que midioacute con buena exactitud el meridiano terrestre (para lo que ideoacute un sistema a partir de la semejanza de triaacutengulos que consiste en que la figura tiene aacutengulos concurrentes con los de otro triaacutengulo) Erastoacutetenes tambieacuten midioacute la oblicuidad de la ecliptica (la inclinacioacuten del eje terrestre) con un error de solo 7acute de arco y creoacute un cataacutelogo (actualmente perdido) de 675 estrellas fijas Su obra maacutes importante fue un tratado de geografiacutea general
-Hiparco de Nicea (c 190-120 a C )
Fue un matemaacutetico y astroacutenomo griego el maacutes importante de su eacutepoca tambieacuten conocido como Hiparco de Rodas Este nacioacute en Nicea Bitinia (hoy Iznik Turquiacutea) Se le considera el primer astroacutenomo cientiacutefico Fue muy preciso en sus investigaciones de las que conocemos parte por comentarse en el tratado cientiacutefico Almagesto del astroacutenomo alejandrino Tolomeo sobre quien ejercioacute gran influencia Sus caacutelculos del antildeo tropical duracioacuten del antildeo determinada por las estaciones teniacutean un margen de error de 6 5 minutos con respecto a las mediciones modernas Murioacute en Rodas Grecia en el antildeo 120 a C
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5 Bibliografiacutea wwwgoogleesimages Enciclopedia Aula del Estudiante Enciclopedia Larousse Microsoft Encarta 2007 wwwastronosurfcom wwwastronomiacom wwwwikipediaorg 100ciacomopinionforosarchiveindexphpt-5452html httpenciclopediausesindexphpEnciclopedia_Libre_Universal_en_EspaF1ol
wwwenciclopediaorg
httpwwwastromiacombiografias
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1- Caacutelculo del mediodiacutea en Alicante (IES Bahiacutea de Babel) a) Material utilizado para la construccioacuten del nomon
Para saber a queacute hora es el mediodiacutea usamos un aparato llamado nomon nosotros utilizamos uno fabricado con una tabla de 40x64 cm con una varilla de hierro de unos 25 cm de longitud roscada en el centro en posicioacuten vertical
b) Coacutemo usar el nomon Su uso es coacutemodo soacutelo hay que colocar la base en una superficie plana y horizontal orientada hacia el sur Cuando hace sol marcamos una cruz en el extremo de la sombra lo que hicimos cada cierto tiempo (3 oacute 4 min) Marcamos encuentros de la sombra durante una hora desde las 1330h hasta 1430h porque suponiacuteamos que el mediodiacutea dariacutea sobre las 1400h
2
c) Suposiciones de clase Las predicciones realizadas en clase eran loacutegicas a simple vista ya que lo visualizaacutebamos todos de esta manera
1- Pensaacutebamos que la liacutenea obtenida por el nomon iba a ser coacutencava o convexa pero no pensaacutebamos que saldriacutea una liacutenea recta y asiacute fue aunque un poco inclinada
2- Ademaacutes creiacuteamos que el mediodiacutea seriacutea sobre las 1400 de la tarde (hora local) y en cambio se efectuoacute siete minutos antes de lo previsto justamente a las 1353h
3- Tambieacuten se comentoacute que era posible que al mediodiacutea no hubiera sombra ninguna ya que el sol se encontraba justo encima del nomon
4- Para finalizar simplemente antildeadir que tambieacuten se pensoacute en la posibilidad de que hubiesen dos mediodiacuteas si la sombra era coacutencava pero luego fue desmentido puesto que habiacutea que medir la sombra desde el nomon d) Coacutemo calcular el mediodiacutea La sombra maacutes corta que se haya obtenido seraacute el mediodiacutea A nosotros no nos saliacutea justo debido a que varias intersecciones administraban una misma longitud desde el nomon
d1) Procedimiento graacutefico Trazamos una liacutenea desde el primer punto marcado hasta el uacuteltimo seguidamente
hicimos un arco con centro en el palo y con el radio hasta la primera medida desde esa terminamos el arco hasta la uacuteltima
Dibujamos la mediatriz de la recta ese punto de interseccioacuten es el mediodiacutea justamente a las 1353h
Esto es el nomon con el segmento dado y su correspondiente mediatriz para hallar el medio diacutea
d2) Procedimiento numeacuterico Para saberlo con claridad lo hicimos de otra un poco mas difiacutecil como es la de
restarle a la uacuteltima hora obtenida (1416h) la primera (1331h) el dato hallado (045h) lo dividimos entre dos (022rsquo5h) y luego lo sumamos a la primera hora obtenida (1331h + 022rsquo5) y asiacute logramos saber cuando era el mediodiacutea solar (1353rsquo5h)
3
e) Medidas con distintos nomons Las siguientes medidas se tomaron el viernes (diacutea anterior al equinoccio) a las 1353h debido a que el diacutea anterior nos surgioacute que el medio diacutea solar seriacutea maacutes o menos sobre esa hora
Nomon grande Nomon pequentildeo Nomon mediano
Altura Sombra Altura Sombra Altura Sombra 240m 198m 025m 019m 136m 0425m
Si el cociente de la altura del nomon partido por la altura de otro nomon es igual al
cociente de la sombra del nomon partido por la sombra del otro nomon estos dos triaacutengulos son semejantes si no da igual no lo son Razoacuten de semejanza entre Nomon grande y nomon pequentildeo
411069190981
250402
411019098169
250402
ne
ne
==
Los triaacutengulos con el nomon grande y el nomon pequentildeo son casi semejantes Nomon grande y mediano
6647614250981
361402
6644250981761
361402
ne
ne
==
Los triaacutengulos con el nomon grande y el mediano no son semejantes Nomon pequentildeo y mediano
1904250
250361
2321904250445
250361
ne
==
Los triaacutengulos con el nomon pequentildeo y el mediano no son semejantes Conclusioacuten
Ninguno de los triaacutengulos formados por la sombra y la altura del nomon son semejantes
Solo estaacuten cerca de serlo los triaacutengulos formados con el nomon grande y el pequentildeo Tuvo que haber alguacuten error en la medicioacuten con el nomon mediano
4
f) Medidas con nomon obtenidas por los distintos grupos Medidas tomadas el diacutea 21 de septiembre
Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3 Grupo 4 Palo 25cm 25cm 158cm 20cm
Sombra 19cm 19cm 134cm 153
Razoacuten 132 132 118 131
Medidas tomadas el diacutea 22 de septiembre
Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3 Grupo 4 Palo 136m 239m 714cm -
Sombra 0925m 191m 555cm -
Razoacuten iquest147 125 129 -
Medidas tomadas el diacutea 26 de septiembre
Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3 Grupo 4 Palo 240m 138m 5353cm 715cm
Sombra 198m 114m 50cm 625cm
Razoacuten 121 121 107 iquest149
Conclusioacuten la variacioacuten de la sombra desde el diacutea 22 al 26 es de aumento debido a
que el sol estaacute maacutes bajo el diacutea 26 que el 22 por eso hace una sombra maacutes grande
5
g) Problemas surgidos al calcular el mediodiacutea El jueves 21 de septiembre tuvimos unos pequentildeos problemas que pudimos solucionar Las dificultades surgieron debido a la falta de sol en el patio Este al salir pocas veces no nos permitiacutea tomar bien la referencia de la sombra del nomon entonces a veces saliacutean algunos puntos que no pareciacutean estar bien Maacutes tarde salioacute el sol por lo cual se solucionaron los problemas no daacutendole importancia a estos puntos cuando tomamos la mediatriz del segmento
Solucionado el problema surgioacute otro la mediatriz y la sombra miacutenima no daban lo mismo asiacute que tuvimos que restarle a la uacuteltima hora lograda la primera el dato hallado lo dividimos entre dos y luego lo sumamos a la primera hora y asiacute logramos saber con claridad cuando era el mediodiacutea solar Eacuteste resultoacute ser igual que el obtenido haciendo la mediatriz En este dibujo se puede apreciar los errores que hubo al principio y algunos otros que no les dimos importancia
h) Razones de que el mediodiacutea diese a esa hora
h1) Influencia de la longitud de Alicante El globo terraacutequeo estaacute dividido en 24 zonas llamadas husos horarios Sobre la
superficie terrestre una hora corresponde a 15 grados de longitud la hora en cada zona se determina de acuerdo con la hora local media para cada longitud 0ordm 15ordm 30ordm 45ordm 360ordm
La hora del meridiano cero que pasa sobre Greenwich es usada como referencia y es llamada Tiempo Universal (TU) Hacia el oeste los husos horarios disminuyen una hora cada 15 grados y hacia el este aumentan una hora cada 15 grados a partir del meridiano de Greenwich
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En el verano muchos paiacuteses cambian su horario para aprovechar la mayor cantidad de luz solar de esta manera el tiempo en que las personas estaacuten despiertas coincide con la duracioacuten del diacutea y se ahorra electricidad Durante los cambios de horario la diferencia entre el tiempo solar aparente y la hora oficial se hace auacuten maacutes grande
Debido a que la longitud de Alicante es de 0rsquo5ordm Oeste aproximadamente hace que la
hora solar se retrase un par de minutos respecto a la hora oficial luego el mediodiacutea deberiacutea salir sobre las 1402h aproximadamente
h2) Ecuacioacuten del tiempo La ecuacioacuten del tiempo es la diferencia entre el tiempo solar medio (tiempo medido
sobre la referencia del diacutea solar medio) y el tiempo solar aparente (tiempo dado por el movimiento diario del Sol en el firmamento) Tal como se ve en un reloj de sol este movimiento no es uniforme y regular dado que la oacuterbita terrestre es eliacuteptica y tambieacuten porque el Sol se mueve a lo largo de la ecliacuteptica
El origen de este concepto se deriva de la distinta velocidad del movimiento de
traslacioacuten terrestre alrededor del Sol La oacuterbita terrestre (Ecliacuteptica) y no es circular sino eliacuteptica ocupando el Sol uno de los focos de la elipse De acuerdo con las leyes de Kepler sobre los movimientos de traslacioacuten tiempos iguales barren aacutereas iguales lo cual significa que la Tierra disminuye la velocidad de traslacioacuten cuando se encuentra maacutes alejada del Sol (porque la atraccioacuten del mismo es menor al encontrarse maacutes lejos) y lo acelera al acercarse Si no existiera esta diferencia de velocidad la Tierra se escapariacutea del Sistema Solar cuando se encontrara maacutes lejos o chocariacutea con el Sol al acercarse Asiacute pues el movimiento de traslacioacuten terrestre es un movimiento uniformemente variado
Esta diferencia es mayor a principios de noviembre cuando el tiempo solar medio
estaacute a maacutes de 16 minutos por detraacutes del tiempo solar aparente y a mediados de febrero cuando el tiempo solar medio va maacutes de 14 minutos por delante del aparente Son iguales cuatro veces al antildeo el 15 de abril 14 de junio 1 de septiembre y el 25 de diciembre
La ecuacioacuten del tiempo se representa graacuteficamente con un diagrama denominado analema que suele indicarse en los globos o esferas terrestres y que tiene forma de un 8 algo asimeacutetrico El analema indica la misma informacioacuten que la expresada a traveacutes del graacutefico adjunto
7
En enero (-13min) febrero (-12min) marzo (-6min) y mitad de abril (-2min) la ecuacioacuten del tiempo es negativa la segunda mitad de abril (+3min) mayo (+3min) y mitad de junio es positiva (+2min) la segunda mitad de junio (-6min) julio (-60min) y agosto ( -1min) vuelve a ser negativa y en septiembre (+9min) octubre (+17min) noviembre (+12min) y diciembre es positiva (+1min) excepto algunos diacuteas sueltos de la uacuteltima semana de este La diferencia horaria en el equinoccio de otontildeo es de 8min 25s seguacuten el graacutefico es decir nos debiacutea de haber dado 8min 25s antes de las 1400h sobre las 1352h i) Datos obtenidos de distintos perioacutedicos sobre el sol
Los siguientes datos fueron obtenidos de distintos perioacutedicos de Alicante
Queacute (Hora civil) Informacioacuten (Hora solar) Las Provincias (Hora civil)
Salida Puesta Mediodiacutea Salida Puesta Mediodiacutea Salida Puesta Mediodiacutea
Viernes 22 - - - 6h
02min 18h
10min 12h
07min 7h
49min 19h
59min 13h
54min Saacutebado
23 - - - 6h 03min
18h 11min
12h 07min
7h 50min
19h 58min
13h 54min
Domingo 24 - - - 6h
04min 18h
09min 12h
06min 7h
50min 19h
48min 13h
49min Lunes
25 7h
52min 19h
55min 13h
53min 6h
05min 18h
07min 12h
06min 7h
52min 19h
51min 13h
51min Martes
26 7h
53min 19h
53min 13h
53min 6h
06min 18h
06min 12h
06min 7h
53min 19h
53min 13h
53min
En el diario ldquoQueacuterdquo y en ldquoLas provinciasrdquo los datos estaacuten puestos en la hora civil de
Alicante y en el ldquoInformacioacutenrdquo estaacuten en hora solar debido a esto los datos son distintos porque la diferencia entre la hora solar y la hora local es de 2h (aproximadamente)
En el diario ldquoLas Provinciasrdquo los datos del viernes 22 son muy parecidos a los
obtenidos por nosotros ya que les da a las 1354h y a nosotros a las 1353h Como no sabemos exactamente la diferencia entre la hora solar y la hora civil no podemos decir con exactitud la hora que dio el mediodiacutea en el diario ldquoEl Informacioacutenrdquo lo mismo sucede en los diacuteas siguientes el 22 y el 23 de Septiembre
Desde el saacutebado 23 (diacutea del equinoccio) hasta el domingo 24 vemos que el mediodiacutea
disminuye 5min con respecto al del diacutea 24 El lunes 25 en el diario ldquoLas Provinciasrdquo y en el diario ldquoQueacuterdquo los datos son muy iguales 1351 y 1353 respectivamente El martes 26 los datos de los distintos perioacutedicos son iguales las 1353h
8
2- Inclinacioacuten de los rayos solares sobre el IES Bahiacutea de Babel a) Material utilizado para la construccioacuten del ldquoteodolito verticalrdquo
El teodolito vertical no fue construido por nosotros sino por unos antiguos alumnos del centro El teodolito vertical estaacute formando por un tubo hueco en la parte superior de una superficie lisa que lleva adherida un transportador de aacutengulos y un peacutendulo aferrado a eacuteste
b) Coacutemo utilizar el ldquoteodolito verticalrdquo
El teodolito vertical tiene una mecaacutenica sencilla a saber cuando un rayo de sol incida por el interior del conducto hueco este saldraacute y se proyectaraacute en una superficie oscura Cuando logre atravesar el cilindro tomaremos la medida del aacutengulo que forma el peacutendulo con la vertical del Sol Gracias a esto podemos saber a queacute altura sobre el horizonte estaacute el Sol desde el punto en que nos encontramos
9
c) Medidas logradas con el ldquoteodolito verticalrdquo El viernes 22 intentamos usar el teodolito pero como no habiacutea suficiente sol no se pudo realizar la medicioacuten El martes 26 siacute que pudimos hacerla y a las 1353h medimos la inclinacioacuten del Sol que era de 39ordm sobre el instituto En esa hora el Sol estaba en el punto maacutes alto (cenit) porque era maacutes o menos el mediodiacutea
d) Medidas con el ldquoteodolito verticalrdquo de distintos grupos Medias obtenidas el diacutea 26 de septiembre
Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3 Grupo 4
Inclinacioacuten 39ordm 39ordm 47ordm 38ordm
Conclusioacuten Todos los grupos midieron mal la inclinacioacuten de los rayos solares (porque dieron el aacutengulo que marcaba el teodolito y ese es el que forman con los rayos con la vertical) excepto el grupo 3 que se aproximoacute un poco debido a que deberiacutea dar 52ordm
El aacutengulo que se forma en Alicante cuando los rayos del sol son perpendiculares al Ecuador es de 38ordm (latitud de Alicante) por lo cual el otro aacutengulo son 52ordm (38ordm+52ordm+90ordm=180ordm de un triaacutengulo recto) como se representa en el siguiente dibujo
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e) Inclinacioacuten de los rayos solares mediante el nomon Con el meacutetodo de la tangente podemos averiguar el aacutengulo de la inclinacioacuten del sol
contiguocatopuestocat
tan =α
El cateto opuesto es la altura del palo y el cateto contiguo es la sombra de eacuteste Despueacutes de hallar el nuacutemero hay que hacerle el arco tangente (tan ) y el nuacutemero
que deacute seraacute el aacutengulo 1minus
Angulo hallado mediante distintos nomons
Nomon grande Nomon mediano Nomon pequentildeo
Altura Sombra Grados Altura Sombra Grados Altura Sombra Grados
240m 198m 50ordm47rdquo 136m 0425m 72ordm64rdquo 025m 019m 52ordm47rdquo
Pasos para calcular el aacutengulo de cada nomon Nomon grande
47ordm50211tan211981402
== arcmm
Nomon mediano
64ordm7223tan234250361
== arcm
m
Nomon pequentildeo
47ordm523151tan3151190250
== arcmm
En el nomon mediano debe haber habido un error porque como bien sale en los otros dos nomon debiacutea de dar 52ordm47rdquo debido a los rayos paralelos del sol que inciden perpendiculares al Ecuador como se explica en el apartado anterior
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f) Posiciones Sol -Tierra
La Tierra tiene un movimiento de rotacioacuten en torno a un eje y otro de traslacioacuten de forma eliacuteptica alrededor del sol El primero de estos movimientos hace que un punto sobre ella se vea iluminado de forma perioacutedica por el Sol originando el diacutea y la noche el segundo movimiento hace que los tiempos de exposicioacuten al sol sean variables originando las estaciones Esta variacioacuten en los tiempos de exposicioacuten es debido a que el eje de rotacioacuten de la Tierra permanece praacutecticamente siempre paralelo a siacute mismo con un aacutengulo de 66ordm 33` respecto al plano de la ecliacuteptica (plano que contiene a la trayectoria de la Tierra)
Solsticio diacutea en el cual el Sol estaacute maacutes alto o maacutes bajo
1) Solsticio de verano 21 de Junio 93 diacuteas y 15h El Sol estaacute perpendicular al troacutepico de caacutencer y estaacute maacutes alto que ninguacuten diacutea del antildeo 2) Solsticio de invierno 21 de Diciembre 89 diacuteas El Sol estaacute perpendicular al troacutepico de capricornio y estaacute maacutes bajo que ninguacuten diacutea del antildeo Equinoccio diacutea donde la noche y el diacutea duran lo mismo 1) Equinoccio de primavera 21 de Marzo 92 diacuteas y 20h 2) Equinoccio de otontildeo 23 de Septiembre 89 diacuteas y 19h En el diacutea del equinoccio en el ecuador a mediodiacutea no hay sombra debido a que los rayos solares son perpendiculares al Ecuador el Sol estaacute en lo maacutes alto
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g) Movimientos de la Tierra
La Tierra posee dos movimientos baacutesicos el de traslacioacuten alrededor del Sol que marca el antildeo y el de rotacioacuten sobre su eje que marca el diacutea Ademaacutes tiene los movimientos de precesioacuten y nutacioacuten La precesioacuten de los equinoccios es un movimiento lento de la inclinacioacuten del eje de la Tierra con respecta a la ecliacuteptica Este movimiento retrasa la llegada de los equinoccios lentamente Completa una vuelta completa cada 25790 antildeos
La Tierra tarda un antildeo en completar su oacuterbita alrededor del Sol Esta oacuterbita es
eliacuteptica aunque con muy poca excentricidad Pero iquestcuaacutento tarda realmente la Tierra en dar una vuelta alrededor del Sol Si tenemos en cuenta las estrellas dura 365 diacuteas 6 horas 9 minutos y 95 segundos Se llama antildeo sideacutereo Si tenemos en cuenta dos pasos consecutivos y reales de la Tierra por el equinoccio vernal dura 365 diacuteas 5 horas 48 minutos y 4551 segundos Se llama antildeo troacutepico o solar La diferencia entre el antildeo troacutepico y el sideacutereo es producto del movimiento precesioacuten de los equinoccios En nuestro calendario usamos el antildeo civil que consta de 365 oacute 366 diacuteas Es una solucioacuten que nos permite contar el antildeo en diacuteas completos
La Tierra realiza un movimiento completo de rotacioacuten alrededor de su eje que va de
polo a polo (geograacutefico no magneacutetico) en 23 horas 56 minutos 409 segundos unos 4 minutos menos que 24 horas
La Tierra da una vuelta entera (360deg) en aproximadamente 24 horas debido a la
rotacioacuten de la Tierra y se mueve alrededor del Sol a una velocidad aproximada de 15ordmh oacute 30 Km por segundo (unos 108000 Kmh) Ademaacutes en su rotacioacuten alrededor de su eje la superficie de la Tierra se mueve con distintas velocidades dependiendo de su distancia al Ecuador
La nutacioacuten es un bamboleo menor del eje de la Tierra con respecto a la ecliacuteptica
Tiene un ciclo de 19 antildeos en el que la inclinacioacuten variacutea entre 6 y 9 segundos Tanto la precesioacuten como la nutacioacuten son movimientos provocados por la influencia gravitatoria del Sol y la Luna Son movimientos complementarios mientras la precesioacuten dibuja una elipse la nutacioacuten hace que ese dibujo sea ondulado
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3- Mediciones en el patio a) Medicioacuten de un objeto de base accesible
a1) Medicioacuten del cipreacutes mediante semejanza Para medir la altura de del cipreacutes con semejanza necesitamos un nivel de aacutengulo un nomon (grande a ser posible) y un metro
Cuando hemos reunido todos estos materiales medimos el nomon y la longitud de la sombra del cipreacutes
Luego hay que poner el nomon en un sitio donde concuerden los extremos de las sombras y medir la distancia de la base del nomon hasta el liacutemite de la sombra
Medidas obtenidas
Sombra del cipreacutes 12m Nomon 240m Sombra del nomon 282m
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Al medir todo soacutelo hay que hacer una simple ecuacioacuten
nomondelSombraNomon
cipreacutesdelSombraCipreacutes
=
mymm
ymm
my 211085012850
12822402
12==times==
Luego el cipreacutes mide aproximadamente 1021m de altura a2) Medicioacuten del cipreacutes mediante trigonometriacutea Para medir el cipreacutes con el meacutetodo de trigonometriacutea necesitamos un teodolito vertical y un metro Cuando tengamos esos materiales nos colocamos delante del cipreacutes a unos metros y con el teodolito miramos la punta maacutes alta del cipreacutes y anotamos los grados que nos ha dado Medimos la distancia del cipreacutes al punto donde hemos medido y la distancia del ojo al suelo
Medidas obtenidas Longitud desde el cipreacutes hasta nosotros 885m Aacutengulo 45ordm Longitud del ojo al suelo 146m Una vez medido todo soacutelo hay que hacer una simple ecuacioacuten
aacutengulodelnosotroshastalongcipreacutesdelaltura tan
=
mym
ym
y 85885811858
ordm45tan858
=times===
15
Al nuacutemero hallado hay que sumarle la distancia del ojo al suelo y esa seraacute la altura del cipreacutes
mmm 3110461858 =+
El cipreacutes mide 1031m de altura a3) Medicioacuten del gimnasio mediante trigonometriacutea Para medir el gimnasio con el meacutetodo de trigonometriacutea necesitamos los mismos materiales usados para medir el cipreacutes con esta misma teacutecnica Cuando tenemos los materiales nos ponemos a una cierta distancia de eacutel y medimos el aacutengulo obtenido al mirar a la cornisa del gimnasio y la distancia que nos separa del eacutel Medidas obtenidas Longitud desde el gimnasio hasta nosotros 885m Aacutengulo 27ordm Longitud del ojo al suelo 146m Una vez medido todo hay que hacer la misma ecuacioacuten que la del cipreacutes pero con los datos del gimnasio
aacutengulodelnosotroshastalonggimnasiodelaltura tan
=
mym
yy 514858510510858
ordm27tan858
=times===
Al nuacutemero hallado hay que sumarle la distancia del ojo al suelo y esa seraacute la altura del gimnasio
mmm 975461514 =+
El gimnasio mide 597m de altura
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b) Medicioacuten de un objeto de base inaccesible
Para medir la altura del edificio necesitamos los materiales utilizados en la medicioacuten del gimnasio y del cipreacutes mediante el meacutetodo de la trigonometriacutea Nos colocamos lo maacutes cerca posible del edificio y tomamos la medida del aacutengulo obtenido nos alejamos del punto donde estaacutebamos y medimos la distancia que separa un punto del otro y los grados obtenidos este proceso lo repetimos otra vez
y = edificio x = distancia del edificio a nosotros ( 1ordf medida) Medidas obtenidas Primer aacutengulo 41ordm Segundo aacutengulo 25ordm Tercer aacutengulo 19ordm Primera medida x Segunda medida 20m Tercera medida 10m Distancio del ojo al suelo 168m Planteamos un sistema de ecuaciones con los dos primeros aacutengulos
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+==+
=
===
xyx
y
xyxy
20middot46046020
ordm25tan
870870ordm41tan
17
( )
myy
mx
x
xxx
xxxx
16201023middot3870
102340370329
32940370329460870
46032987020middot460870
===
=
==minus
+=+=
Despueacutes de utilizar los dos primeros aacutengulos ahora utilizaremos el primero y el tercero
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+==++
=
===
xyx
y
xyxy
30middot3403401020
ordm19tan
870870ordm41tan
( )
myy
mx
x
xxx
xxxx
09176519middot870
65195203310
33105203310340870
340331087030middot340870
===
=
==minus+=
+=
Los nuacutemeros hallados sobre la ldquoxrdquo y la ldquoyrdquo van a ser distintos de una ecuacioacuten a otra por eso hay que hallar la media
my
mx
83172
57180917
86162
57186519
=+
=
=+
=
Al nuacutemero dado por la ldquoyrdquo hay que sumarle la distancia del ojo al suelo y esa seraacute la medida del edificio
17rsquo83+1rsquo68= 19rsquo51m
El edificio mide 19rsquo51m
La distancia entre la primera medida y el edificio es 16rsquo86m
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c) Errores y problemas El primer error en la medicioacuten del cipreacutes pudo ser que midieacuteramos la sombra o la penumbra pero hay que medir en el medio entre la sombra y la penumbra
Otro problema que hubo fue el que al medir a distintas alturas con el teodolito vertical el edificio tuvimos que nivelarlo poniendo un objeto que estuviera a la misma altura que la primera para nivelar la distancia al suelo como se ilustra en la siguiente imagen
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4- Vocabulario y Personajes a) Glosario Anatema Curva que describe la posicioacuten del Sol en el cielo a la misma hora del diacutea y en el mismo lugar de observacioacuten por un antildeo entero En la Tierra es en forma de ocho (infin) El componente horizontal muestra la ecuacioacuten de tiempo que es la diferencia entre el tiempo solar aparente y el tiempo solar medio El componente vertical muestra la declinacioacuten del Sol A veces se dibuja en los globos terraacutequeos Aacutengulo figura geomeacutetrica formada en una superficie por liacuteneas que parten de un mismo punto Astronomiacutea (del griego αστρονομία = άστρον + νόμος) etimoloacutegicamente significa la Ley de las estrellas y es la ciencia que estudia los astros a partir de la informacioacuten que nos llega de ellos a traveacutes de la radiacioacuten electromagneacutetica Calendario (del latiacuten calenda) es una cuenta sistematizada del tiempo para la organizacioacuten de las actividades humanas Antiguamente estaba basado en los ciclos lunares En la actualidad los diversos calendarios tienen base en el ciclo que describe la Tierra alrededor del Sol y se denominan calendarios solares El calendario sideral se basa en el movimiento de otros astros diferentes al Sol Cenit interseccioacuten entre la vertical del observador y la esfera celeste O sea si imaginamos una recta que pasa por el centro de la Tierra y por nuestra ubicacioacuten en su superficie el cenit se encuentra sobre esa recta por encima de nuestras cabezas El punto diametralmente opuesto de la esfera celeste al cenit se denomina Nadir Coordenadas se dice de las liacuteneas que sirven para determinar la posicioacuten de un punto y de los ejes planos a que se refieren aquellas liacuteneas Ecliacuteptica (del latiacuten ecliptĭca [linĕa] (del griego ἐκλειπτική relativo a los eclipses) es el plano que contiene la oacuterbita de la Tierra alrededor del Sol Eliacuteptica oacuterbita de un astro que gira alrededor de otro describiendo una elipse El astro central se situacutea en uno de los focos de la elipse Todas las oacuterbitas de los planetas del sistema solar tienen esta oacuterbita Ecuador paralelo que se toma como 0ordm de latitud Equinoccio eacutepoca en que por incidir los rayos perpendicularmente al ecuador los diacuteas tienen la misma duracioacuten que la noche en toda la tierra lo cual sucede anualmente del 20 al 21 de marzo y del 22 al 23 de septiembre Excentricidad en matemaacuteticas y geometriacutea es un paraacutemetro que determina el grado de desviacioacuten de una seccioacuten coacutenica con respecto a una circunferencia Es un paraacutemetro importante en la definicioacuten de las elipses Gnomon Palo vertical de altura determinada Husos horarios son cada una de las veinticuatro aacutereas en que se divide la Tierra y que siguen la misma definicioacuten de tiempo cronoloacutegico
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Latitud Distancia en grados entre un paralelo y el Ecuador Puede alcanzar los 90ordm Norte o Sur Longitud Distancia en grados entre un meridiano con el meridiano de Greenwich Su maacuteximo es 180ordm OE Mediatriz de un segmento es la recta equidistante de dos puntos del plano equidistantes Esta corta el segmento por su mitad y perpendicularmente Meridiano Cada una de las liacuteneas imaginarias que atraviesan la esfera terrestre desde el polo norte hasta el polo sur Meridiano de Greenwich semiciacuterculo imaginario que une los polos y pasa por Greenwich maacutes precisamente por el antiguo observatorio astronoacutemico de este suburbio de Londres Este sirve de meridiano de origen es a partir de eacutel que se miden las longitudes en grados es decir que corresponde a la longitud cero por lo que tambieacuten se llama meridiano cero y primer meridiano Nutacioacuten (del latiacuten ldquonutarerdquo cabecear u oscilar) es la oscilacioacuten perioacutedica del polo de la Tierra alrededor de su posicioacuten media en la esfera celeste debida a la influencia de la Luna sobre el planeta similar al movimiento de una peonza cuando pierde fuerza y estaacute a punto de caerse Paralelo cada una de las liacuteneas imaginarias que rodean la Tierra de Este a Oeste
Ciacuterculo polar aacutertico es uno de los cinco paralelos principales terrestres Se trata del paralelo de latitud 66deg 33 38 Norte El espacio situado al norte del ciacuterculo aacutertico se denomina Aacutertico y la regioacuten al sur de este ciacuterculo se denomina Zona Templada Norte
Ciacuterculo polar antaacutertico uno de los cinco principales paralelos que sentildealan los mapas de la Tierra Es el paralelo de latitud 66deg 33 38 al sur del ecuador Precesioacuten es el cambio de la direccioacuten del eje alrededor del cual gira un objeto Radio liacutenea recta comprendida entre un punto cualquiera de la circunferencia del circulo hasta el centro del mismo Refraccioacuten hacer que cambie de direccioacuten el rayo de la luz que pasa oblicuamente de un medio a otro de diferente densidad Rotacioacuten el movimiento de cambio de orientacioacuten de un cuerpo extenso de forma que dado un punto cualquiera del mismo este permanece a una distancia constante de un punto fijo Semejanza (del griego iso-gonios = iguales aacutengulos) En geometriacutea diacutecese de una figura que tiene aacutengulos congruentes con los de otra Solsticio eacutepoca en que el Sol se halla en uno de los dos troacutepicos lo cual sucede del 21 al 22 de junio para el troacutepico de Caacutencer y del 21 al 22 de diciembre para el de Capricornio Tangente cociente entre los catetos de un triaacutengulo rectaacutengulo cateto opuestocateto contiguo En la eacutepoca de Eratoacutestenes existiacutean tablas aacutengulo ndash tangente Teodolito instrumento de medicioacuten mecaacutenico-oacuteptico universal que sirve para medir aacutengulos verticales y sobre todo horizontales aacutembito en el cual tiene una precisioacuten elevada Con otras herramientas auxiliares puede medir distancias y desniveles
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Traslacioacuten movimiento por el cual la Tierra se mueve alrededor del Sol La causa de este movimiento es la accioacuten de la gravedad originaacutendose cambios que al igual que el diacutea permiten la medicioacuten del tiempo Trigonometriacutea (del griego la medicioacuten de los triaacutengulos) es una rama de las matemaacuteticas que estudia los aacutengulos y los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo y las relaciones entre ellos Troacutepicos liacuteneas imaginarias situadas a aproximadamente 23ordm de latitud Troacutepico de Caacutencer paralelo situado a una latitud de 23ordm27rsquo al norte de ecuador delimita los puntos maacutes septentrionales en los que el sol puede ocupar el cenit o la vertical del lugar mediodiacutea Troacutepico de Capricornio troacutepico del hemisferio sur Se llama de Capricornio porque se consideraba que el diacutea del solsticio en los troacutepicos el Sol iluminaba el fondo de los pozos y en aquellas fechas en el hemisferio sur el Sol estaba en la constelacioacuten de Capricornio 4b) Matemaacuteticos - Tales de Mileto (625-546 aC)
Geoacutemetra griego y uno de los siete sabios de Grecia Fue el primer matemaacutetico griego que inicioacute el desarrollo razonado de la geometriacutea Hacia el antildeo 600 a C Tales visitoacute Egipto El faraoacuten le pidioacute que resolviera un viejo problema conocer la altura exacta de la Gran Piraacutemide Tales se apoyoacute en su bastoacuten y esperoacute Cuando la sombra del bastoacuten fue igual de larga que el propio bastoacuten le dijo a un servidor del faraoacuten ldquoCorre y mide la sombra de la Gran Piraacutemide En este momento es tan larga como la propia piraacutemiderdquo Tales era famoso desde el antildeo 585 aC ya que predijo con toda
exactitud un eclipse de Sol - Pitaacutegoras (582-500 aC)
Fundoacute la escuela pitagoacuterica hacia el antildeo 530aC donde se estudiaba filosofiacutea matemaacuteticas y ciencias naturales estaba situada en Crotona (al sur de Italia) Ademaacutes de formular el teorema que lleva su nombre inventoacute la tabla de multiplicar y estudio la relacioacuten entre la muacutesica y las matemaacuteticas A partir de la Edad Media el teorema de Pitaacutegoras fue considerado como el ldquopons asinorumrdquo (puente de asnos) o conocimiento que separaba a las personas cultas de las incultas
- Euclides (365-300 aC)
Se conoce muy poco de la vida de este sabio griego Posiblemente vivioacute entre el 365 y el 300 aC pero se desconoce su lugar de nacimiento Se le denomina de Alejandriacutea porque fue en esta ciudad donde se desarrollo su trabajo Su obra ldquoElementos de Geometriacuteardquo es el texto matemaacutetico de maacutes eacutexito en toda la historia Tanto es asiacute que hasta una eacutepoca muy reciente todaviacutea se utilizaba como texto escolar en Inglaterra
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-Aristarco (310 aC - 230 aC)
Nacioacute en Samos - Grecia - en el antildeo 310 aC y murioacute en el 220 aC Fue disciacutepulo de Estratoacuten de Lampsacos jefe de la escuela peripateacutetica fundada por Aristoacuteteles Antildeos despueacutes Aristarco sucederiacutea a Teofrasto como jefe de esta institucioacuten entre antildeos 288 y 287 aC Fue un haacutebil geoacutemetra pero es poco lo que se conoce de su vida Sus hipoacutetesis sobre el universo se han extraiacutedo a partir de las referencias hechas por otros autores despueacutes de su muerte Ptolomeo en el Almagesto lo nombra como un concienzudo observador de los solsticios y equinoccios Parece haber interpretado estas observaciones correctamente atribuyendo estos fenoacutemenos al movimiento de la Tierra alrededor del Sol Dedujo por esto
que era necesario que la oacuterbita terrestre estuviera inclinada para explicar los cambios de estacioacuten - Arquiacutemedes (287-212 aC)
Se le considera padre de la ciencia mecaacutenica el cientiacutefico y matemaacutetico maacutes importante de la Edad Antigua Su obra maacutes importante fue el descubrimiento de la relacioacuten entre la superficie el volumen de una esfera y el cilindro que la circunscribe Invento la rueda dentada y la polea para subir pesos sin esfuerzo Tambieacuten a el se le ocurrioacute usar grandes espejos para incendiar los barcos enemigos y descubrioacute la manera de medir el volumen de cuerpos irregulares (sumergieacutendolos en agua y midiendo el incremento de volumen del liacutequido)
-Eratoacutestenes (284-192 aC)
Matemaacutetico astroacutenomo geoacutegrafo filoacutesofo y poeta griego Hizo la ldquoCriba de Erastoacutetenesrdquo (nuacutemeros primos) Fue el primero que midioacute con buena exactitud el meridiano terrestre (para lo que ideoacute un sistema a partir de la semejanza de triaacutengulos que consiste en que la figura tiene aacutengulos concurrentes con los de otro triaacutengulo) Erastoacutetenes tambieacuten midioacute la oblicuidad de la ecliptica (la inclinacioacuten del eje terrestre) con un error de solo 7acute de arco y creoacute un cataacutelogo (actualmente perdido) de 675 estrellas fijas Su obra maacutes importante fue un tratado de geografiacutea general
-Hiparco de Nicea (c 190-120 a C )
Fue un matemaacutetico y astroacutenomo griego el maacutes importante de su eacutepoca tambieacuten conocido como Hiparco de Rodas Este nacioacute en Nicea Bitinia (hoy Iznik Turquiacutea) Se le considera el primer astroacutenomo cientiacutefico Fue muy preciso en sus investigaciones de las que conocemos parte por comentarse en el tratado cientiacutefico Almagesto del astroacutenomo alejandrino Tolomeo sobre quien ejercioacute gran influencia Sus caacutelculos del antildeo tropical duracioacuten del antildeo determinada por las estaciones teniacutean un margen de error de 6 5 minutos con respecto a las mediciones modernas Murioacute en Rodas Grecia en el antildeo 120 a C
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5 Bibliografiacutea wwwgoogleesimages Enciclopedia Aula del Estudiante Enciclopedia Larousse Microsoft Encarta 2007 wwwastronosurfcom wwwastronomiacom wwwwikipediaorg 100ciacomopinionforosarchiveindexphpt-5452html httpenciclopediausesindexphpEnciclopedia_Libre_Universal_en_EspaF1ol
wwwenciclopediaorg
httpwwwastromiacombiografias
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c) Suposiciones de clase Las predicciones realizadas en clase eran loacutegicas a simple vista ya que lo visualizaacutebamos todos de esta manera
1- Pensaacutebamos que la liacutenea obtenida por el nomon iba a ser coacutencava o convexa pero no pensaacutebamos que saldriacutea una liacutenea recta y asiacute fue aunque un poco inclinada
2- Ademaacutes creiacuteamos que el mediodiacutea seriacutea sobre las 1400 de la tarde (hora local) y en cambio se efectuoacute siete minutos antes de lo previsto justamente a las 1353h
3- Tambieacuten se comentoacute que era posible que al mediodiacutea no hubiera sombra ninguna ya que el sol se encontraba justo encima del nomon
4- Para finalizar simplemente antildeadir que tambieacuten se pensoacute en la posibilidad de que hubiesen dos mediodiacuteas si la sombra era coacutencava pero luego fue desmentido puesto que habiacutea que medir la sombra desde el nomon d) Coacutemo calcular el mediodiacutea La sombra maacutes corta que se haya obtenido seraacute el mediodiacutea A nosotros no nos saliacutea justo debido a que varias intersecciones administraban una misma longitud desde el nomon
d1) Procedimiento graacutefico Trazamos una liacutenea desde el primer punto marcado hasta el uacuteltimo seguidamente
hicimos un arco con centro en el palo y con el radio hasta la primera medida desde esa terminamos el arco hasta la uacuteltima
Dibujamos la mediatriz de la recta ese punto de interseccioacuten es el mediodiacutea justamente a las 1353h
Esto es el nomon con el segmento dado y su correspondiente mediatriz para hallar el medio diacutea
d2) Procedimiento numeacuterico Para saberlo con claridad lo hicimos de otra un poco mas difiacutecil como es la de
restarle a la uacuteltima hora obtenida (1416h) la primera (1331h) el dato hallado (045h) lo dividimos entre dos (022rsquo5h) y luego lo sumamos a la primera hora obtenida (1331h + 022rsquo5) y asiacute logramos saber cuando era el mediodiacutea solar (1353rsquo5h)
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e) Medidas con distintos nomons Las siguientes medidas se tomaron el viernes (diacutea anterior al equinoccio) a las 1353h debido a que el diacutea anterior nos surgioacute que el medio diacutea solar seriacutea maacutes o menos sobre esa hora
Nomon grande Nomon pequentildeo Nomon mediano
Altura Sombra Altura Sombra Altura Sombra 240m 198m 025m 019m 136m 0425m
Si el cociente de la altura del nomon partido por la altura de otro nomon es igual al
cociente de la sombra del nomon partido por la sombra del otro nomon estos dos triaacutengulos son semejantes si no da igual no lo son Razoacuten de semejanza entre Nomon grande y nomon pequentildeo
411069190981
250402
411019098169
250402
ne
ne
==
Los triaacutengulos con el nomon grande y el nomon pequentildeo son casi semejantes Nomon grande y mediano
6647614250981
361402
6644250981761
361402
ne
ne
==
Los triaacutengulos con el nomon grande y el mediano no son semejantes Nomon pequentildeo y mediano
1904250
250361
2321904250445
250361
ne
==
Los triaacutengulos con el nomon pequentildeo y el mediano no son semejantes Conclusioacuten
Ninguno de los triaacutengulos formados por la sombra y la altura del nomon son semejantes
Solo estaacuten cerca de serlo los triaacutengulos formados con el nomon grande y el pequentildeo Tuvo que haber alguacuten error en la medicioacuten con el nomon mediano
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f) Medidas con nomon obtenidas por los distintos grupos Medidas tomadas el diacutea 21 de septiembre
Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3 Grupo 4 Palo 25cm 25cm 158cm 20cm
Sombra 19cm 19cm 134cm 153
Razoacuten 132 132 118 131
Medidas tomadas el diacutea 22 de septiembre
Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3 Grupo 4 Palo 136m 239m 714cm -
Sombra 0925m 191m 555cm -
Razoacuten iquest147 125 129 -
Medidas tomadas el diacutea 26 de septiembre
Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3 Grupo 4 Palo 240m 138m 5353cm 715cm
Sombra 198m 114m 50cm 625cm
Razoacuten 121 121 107 iquest149
Conclusioacuten la variacioacuten de la sombra desde el diacutea 22 al 26 es de aumento debido a
que el sol estaacute maacutes bajo el diacutea 26 que el 22 por eso hace una sombra maacutes grande
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g) Problemas surgidos al calcular el mediodiacutea El jueves 21 de septiembre tuvimos unos pequentildeos problemas que pudimos solucionar Las dificultades surgieron debido a la falta de sol en el patio Este al salir pocas veces no nos permitiacutea tomar bien la referencia de la sombra del nomon entonces a veces saliacutean algunos puntos que no pareciacutean estar bien Maacutes tarde salioacute el sol por lo cual se solucionaron los problemas no daacutendole importancia a estos puntos cuando tomamos la mediatriz del segmento
Solucionado el problema surgioacute otro la mediatriz y la sombra miacutenima no daban lo mismo asiacute que tuvimos que restarle a la uacuteltima hora lograda la primera el dato hallado lo dividimos entre dos y luego lo sumamos a la primera hora y asiacute logramos saber con claridad cuando era el mediodiacutea solar Eacuteste resultoacute ser igual que el obtenido haciendo la mediatriz En este dibujo se puede apreciar los errores que hubo al principio y algunos otros que no les dimos importancia
h) Razones de que el mediodiacutea diese a esa hora
h1) Influencia de la longitud de Alicante El globo terraacutequeo estaacute dividido en 24 zonas llamadas husos horarios Sobre la
superficie terrestre una hora corresponde a 15 grados de longitud la hora en cada zona se determina de acuerdo con la hora local media para cada longitud 0ordm 15ordm 30ordm 45ordm 360ordm
La hora del meridiano cero que pasa sobre Greenwich es usada como referencia y es llamada Tiempo Universal (TU) Hacia el oeste los husos horarios disminuyen una hora cada 15 grados y hacia el este aumentan una hora cada 15 grados a partir del meridiano de Greenwich
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En el verano muchos paiacuteses cambian su horario para aprovechar la mayor cantidad de luz solar de esta manera el tiempo en que las personas estaacuten despiertas coincide con la duracioacuten del diacutea y se ahorra electricidad Durante los cambios de horario la diferencia entre el tiempo solar aparente y la hora oficial se hace auacuten maacutes grande
Debido a que la longitud de Alicante es de 0rsquo5ordm Oeste aproximadamente hace que la
hora solar se retrase un par de minutos respecto a la hora oficial luego el mediodiacutea deberiacutea salir sobre las 1402h aproximadamente
h2) Ecuacioacuten del tiempo La ecuacioacuten del tiempo es la diferencia entre el tiempo solar medio (tiempo medido
sobre la referencia del diacutea solar medio) y el tiempo solar aparente (tiempo dado por el movimiento diario del Sol en el firmamento) Tal como se ve en un reloj de sol este movimiento no es uniforme y regular dado que la oacuterbita terrestre es eliacuteptica y tambieacuten porque el Sol se mueve a lo largo de la ecliacuteptica
El origen de este concepto se deriva de la distinta velocidad del movimiento de
traslacioacuten terrestre alrededor del Sol La oacuterbita terrestre (Ecliacuteptica) y no es circular sino eliacuteptica ocupando el Sol uno de los focos de la elipse De acuerdo con las leyes de Kepler sobre los movimientos de traslacioacuten tiempos iguales barren aacutereas iguales lo cual significa que la Tierra disminuye la velocidad de traslacioacuten cuando se encuentra maacutes alejada del Sol (porque la atraccioacuten del mismo es menor al encontrarse maacutes lejos) y lo acelera al acercarse Si no existiera esta diferencia de velocidad la Tierra se escapariacutea del Sistema Solar cuando se encontrara maacutes lejos o chocariacutea con el Sol al acercarse Asiacute pues el movimiento de traslacioacuten terrestre es un movimiento uniformemente variado
Esta diferencia es mayor a principios de noviembre cuando el tiempo solar medio
estaacute a maacutes de 16 minutos por detraacutes del tiempo solar aparente y a mediados de febrero cuando el tiempo solar medio va maacutes de 14 minutos por delante del aparente Son iguales cuatro veces al antildeo el 15 de abril 14 de junio 1 de septiembre y el 25 de diciembre
La ecuacioacuten del tiempo se representa graacuteficamente con un diagrama denominado analema que suele indicarse en los globos o esferas terrestres y que tiene forma de un 8 algo asimeacutetrico El analema indica la misma informacioacuten que la expresada a traveacutes del graacutefico adjunto
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En enero (-13min) febrero (-12min) marzo (-6min) y mitad de abril (-2min) la ecuacioacuten del tiempo es negativa la segunda mitad de abril (+3min) mayo (+3min) y mitad de junio es positiva (+2min) la segunda mitad de junio (-6min) julio (-60min) y agosto ( -1min) vuelve a ser negativa y en septiembre (+9min) octubre (+17min) noviembre (+12min) y diciembre es positiva (+1min) excepto algunos diacuteas sueltos de la uacuteltima semana de este La diferencia horaria en el equinoccio de otontildeo es de 8min 25s seguacuten el graacutefico es decir nos debiacutea de haber dado 8min 25s antes de las 1400h sobre las 1352h i) Datos obtenidos de distintos perioacutedicos sobre el sol
Los siguientes datos fueron obtenidos de distintos perioacutedicos de Alicante
Queacute (Hora civil) Informacioacuten (Hora solar) Las Provincias (Hora civil)
Salida Puesta Mediodiacutea Salida Puesta Mediodiacutea Salida Puesta Mediodiacutea
Viernes 22 - - - 6h
02min 18h
10min 12h
07min 7h
49min 19h
59min 13h
54min Saacutebado
23 - - - 6h 03min
18h 11min
12h 07min
7h 50min
19h 58min
13h 54min
Domingo 24 - - - 6h
04min 18h
09min 12h
06min 7h
50min 19h
48min 13h
49min Lunes
25 7h
52min 19h
55min 13h
53min 6h
05min 18h
07min 12h
06min 7h
52min 19h
51min 13h
51min Martes
26 7h
53min 19h
53min 13h
53min 6h
06min 18h
06min 12h
06min 7h
53min 19h
53min 13h
53min
En el diario ldquoQueacuterdquo y en ldquoLas provinciasrdquo los datos estaacuten puestos en la hora civil de
Alicante y en el ldquoInformacioacutenrdquo estaacuten en hora solar debido a esto los datos son distintos porque la diferencia entre la hora solar y la hora local es de 2h (aproximadamente)
En el diario ldquoLas Provinciasrdquo los datos del viernes 22 son muy parecidos a los
obtenidos por nosotros ya que les da a las 1354h y a nosotros a las 1353h Como no sabemos exactamente la diferencia entre la hora solar y la hora civil no podemos decir con exactitud la hora que dio el mediodiacutea en el diario ldquoEl Informacioacutenrdquo lo mismo sucede en los diacuteas siguientes el 22 y el 23 de Septiembre
Desde el saacutebado 23 (diacutea del equinoccio) hasta el domingo 24 vemos que el mediodiacutea
disminuye 5min con respecto al del diacutea 24 El lunes 25 en el diario ldquoLas Provinciasrdquo y en el diario ldquoQueacuterdquo los datos son muy iguales 1351 y 1353 respectivamente El martes 26 los datos de los distintos perioacutedicos son iguales las 1353h
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2- Inclinacioacuten de los rayos solares sobre el IES Bahiacutea de Babel a) Material utilizado para la construccioacuten del ldquoteodolito verticalrdquo
El teodolito vertical no fue construido por nosotros sino por unos antiguos alumnos del centro El teodolito vertical estaacute formando por un tubo hueco en la parte superior de una superficie lisa que lleva adherida un transportador de aacutengulos y un peacutendulo aferrado a eacuteste
b) Coacutemo utilizar el ldquoteodolito verticalrdquo
El teodolito vertical tiene una mecaacutenica sencilla a saber cuando un rayo de sol incida por el interior del conducto hueco este saldraacute y se proyectaraacute en una superficie oscura Cuando logre atravesar el cilindro tomaremos la medida del aacutengulo que forma el peacutendulo con la vertical del Sol Gracias a esto podemos saber a queacute altura sobre el horizonte estaacute el Sol desde el punto en que nos encontramos
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c) Medidas logradas con el ldquoteodolito verticalrdquo El viernes 22 intentamos usar el teodolito pero como no habiacutea suficiente sol no se pudo realizar la medicioacuten El martes 26 siacute que pudimos hacerla y a las 1353h medimos la inclinacioacuten del Sol que era de 39ordm sobre el instituto En esa hora el Sol estaba en el punto maacutes alto (cenit) porque era maacutes o menos el mediodiacutea
d) Medidas con el ldquoteodolito verticalrdquo de distintos grupos Medias obtenidas el diacutea 26 de septiembre
Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3 Grupo 4
Inclinacioacuten 39ordm 39ordm 47ordm 38ordm
Conclusioacuten Todos los grupos midieron mal la inclinacioacuten de los rayos solares (porque dieron el aacutengulo que marcaba el teodolito y ese es el que forman con los rayos con la vertical) excepto el grupo 3 que se aproximoacute un poco debido a que deberiacutea dar 52ordm
El aacutengulo que se forma en Alicante cuando los rayos del sol son perpendiculares al Ecuador es de 38ordm (latitud de Alicante) por lo cual el otro aacutengulo son 52ordm (38ordm+52ordm+90ordm=180ordm de un triaacutengulo recto) como se representa en el siguiente dibujo
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e) Inclinacioacuten de los rayos solares mediante el nomon Con el meacutetodo de la tangente podemos averiguar el aacutengulo de la inclinacioacuten del sol
contiguocatopuestocat
tan =α
El cateto opuesto es la altura del palo y el cateto contiguo es la sombra de eacuteste Despueacutes de hallar el nuacutemero hay que hacerle el arco tangente (tan ) y el nuacutemero
que deacute seraacute el aacutengulo 1minus
Angulo hallado mediante distintos nomons
Nomon grande Nomon mediano Nomon pequentildeo
Altura Sombra Grados Altura Sombra Grados Altura Sombra Grados
240m 198m 50ordm47rdquo 136m 0425m 72ordm64rdquo 025m 019m 52ordm47rdquo
Pasos para calcular el aacutengulo de cada nomon Nomon grande
47ordm50211tan211981402
== arcmm
Nomon mediano
64ordm7223tan234250361
== arcm
m
Nomon pequentildeo
47ordm523151tan3151190250
== arcmm
En el nomon mediano debe haber habido un error porque como bien sale en los otros dos nomon debiacutea de dar 52ordm47rdquo debido a los rayos paralelos del sol que inciden perpendiculares al Ecuador como se explica en el apartado anterior
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f) Posiciones Sol -Tierra
La Tierra tiene un movimiento de rotacioacuten en torno a un eje y otro de traslacioacuten de forma eliacuteptica alrededor del sol El primero de estos movimientos hace que un punto sobre ella se vea iluminado de forma perioacutedica por el Sol originando el diacutea y la noche el segundo movimiento hace que los tiempos de exposicioacuten al sol sean variables originando las estaciones Esta variacioacuten en los tiempos de exposicioacuten es debido a que el eje de rotacioacuten de la Tierra permanece praacutecticamente siempre paralelo a siacute mismo con un aacutengulo de 66ordm 33` respecto al plano de la ecliacuteptica (plano que contiene a la trayectoria de la Tierra)
Solsticio diacutea en el cual el Sol estaacute maacutes alto o maacutes bajo
1) Solsticio de verano 21 de Junio 93 diacuteas y 15h El Sol estaacute perpendicular al troacutepico de caacutencer y estaacute maacutes alto que ninguacuten diacutea del antildeo 2) Solsticio de invierno 21 de Diciembre 89 diacuteas El Sol estaacute perpendicular al troacutepico de capricornio y estaacute maacutes bajo que ninguacuten diacutea del antildeo Equinoccio diacutea donde la noche y el diacutea duran lo mismo 1) Equinoccio de primavera 21 de Marzo 92 diacuteas y 20h 2) Equinoccio de otontildeo 23 de Septiembre 89 diacuteas y 19h En el diacutea del equinoccio en el ecuador a mediodiacutea no hay sombra debido a que los rayos solares son perpendiculares al Ecuador el Sol estaacute en lo maacutes alto
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g) Movimientos de la Tierra
La Tierra posee dos movimientos baacutesicos el de traslacioacuten alrededor del Sol que marca el antildeo y el de rotacioacuten sobre su eje que marca el diacutea Ademaacutes tiene los movimientos de precesioacuten y nutacioacuten La precesioacuten de los equinoccios es un movimiento lento de la inclinacioacuten del eje de la Tierra con respecta a la ecliacuteptica Este movimiento retrasa la llegada de los equinoccios lentamente Completa una vuelta completa cada 25790 antildeos
La Tierra tarda un antildeo en completar su oacuterbita alrededor del Sol Esta oacuterbita es
eliacuteptica aunque con muy poca excentricidad Pero iquestcuaacutento tarda realmente la Tierra en dar una vuelta alrededor del Sol Si tenemos en cuenta las estrellas dura 365 diacuteas 6 horas 9 minutos y 95 segundos Se llama antildeo sideacutereo Si tenemos en cuenta dos pasos consecutivos y reales de la Tierra por el equinoccio vernal dura 365 diacuteas 5 horas 48 minutos y 4551 segundos Se llama antildeo troacutepico o solar La diferencia entre el antildeo troacutepico y el sideacutereo es producto del movimiento precesioacuten de los equinoccios En nuestro calendario usamos el antildeo civil que consta de 365 oacute 366 diacuteas Es una solucioacuten que nos permite contar el antildeo en diacuteas completos
La Tierra realiza un movimiento completo de rotacioacuten alrededor de su eje que va de
polo a polo (geograacutefico no magneacutetico) en 23 horas 56 minutos 409 segundos unos 4 minutos menos que 24 horas
La Tierra da una vuelta entera (360deg) en aproximadamente 24 horas debido a la
rotacioacuten de la Tierra y se mueve alrededor del Sol a una velocidad aproximada de 15ordmh oacute 30 Km por segundo (unos 108000 Kmh) Ademaacutes en su rotacioacuten alrededor de su eje la superficie de la Tierra se mueve con distintas velocidades dependiendo de su distancia al Ecuador
La nutacioacuten es un bamboleo menor del eje de la Tierra con respecto a la ecliacuteptica
Tiene un ciclo de 19 antildeos en el que la inclinacioacuten variacutea entre 6 y 9 segundos Tanto la precesioacuten como la nutacioacuten son movimientos provocados por la influencia gravitatoria del Sol y la Luna Son movimientos complementarios mientras la precesioacuten dibuja una elipse la nutacioacuten hace que ese dibujo sea ondulado
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3- Mediciones en el patio a) Medicioacuten de un objeto de base accesible
a1) Medicioacuten del cipreacutes mediante semejanza Para medir la altura de del cipreacutes con semejanza necesitamos un nivel de aacutengulo un nomon (grande a ser posible) y un metro
Cuando hemos reunido todos estos materiales medimos el nomon y la longitud de la sombra del cipreacutes
Luego hay que poner el nomon en un sitio donde concuerden los extremos de las sombras y medir la distancia de la base del nomon hasta el liacutemite de la sombra
Medidas obtenidas
Sombra del cipreacutes 12m Nomon 240m Sombra del nomon 282m
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Al medir todo soacutelo hay que hacer una simple ecuacioacuten
nomondelSombraNomon
cipreacutesdelSombraCipreacutes
=
mymm
ymm
my 211085012850
12822402
12==times==
Luego el cipreacutes mide aproximadamente 1021m de altura a2) Medicioacuten del cipreacutes mediante trigonometriacutea Para medir el cipreacutes con el meacutetodo de trigonometriacutea necesitamos un teodolito vertical y un metro Cuando tengamos esos materiales nos colocamos delante del cipreacutes a unos metros y con el teodolito miramos la punta maacutes alta del cipreacutes y anotamos los grados que nos ha dado Medimos la distancia del cipreacutes al punto donde hemos medido y la distancia del ojo al suelo
Medidas obtenidas Longitud desde el cipreacutes hasta nosotros 885m Aacutengulo 45ordm Longitud del ojo al suelo 146m Una vez medido todo soacutelo hay que hacer una simple ecuacioacuten
aacutengulodelnosotroshastalongcipreacutesdelaltura tan
=
mym
ym
y 85885811858
ordm45tan858
=times===
15
Al nuacutemero hallado hay que sumarle la distancia del ojo al suelo y esa seraacute la altura del cipreacutes
mmm 3110461858 =+
El cipreacutes mide 1031m de altura a3) Medicioacuten del gimnasio mediante trigonometriacutea Para medir el gimnasio con el meacutetodo de trigonometriacutea necesitamos los mismos materiales usados para medir el cipreacutes con esta misma teacutecnica Cuando tenemos los materiales nos ponemos a una cierta distancia de eacutel y medimos el aacutengulo obtenido al mirar a la cornisa del gimnasio y la distancia que nos separa del eacutel Medidas obtenidas Longitud desde el gimnasio hasta nosotros 885m Aacutengulo 27ordm Longitud del ojo al suelo 146m Una vez medido todo hay que hacer la misma ecuacioacuten que la del cipreacutes pero con los datos del gimnasio
aacutengulodelnosotroshastalonggimnasiodelaltura tan
=
mym
yy 514858510510858
ordm27tan858
=times===
Al nuacutemero hallado hay que sumarle la distancia del ojo al suelo y esa seraacute la altura del gimnasio
mmm 975461514 =+
El gimnasio mide 597m de altura
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b) Medicioacuten de un objeto de base inaccesible
Para medir la altura del edificio necesitamos los materiales utilizados en la medicioacuten del gimnasio y del cipreacutes mediante el meacutetodo de la trigonometriacutea Nos colocamos lo maacutes cerca posible del edificio y tomamos la medida del aacutengulo obtenido nos alejamos del punto donde estaacutebamos y medimos la distancia que separa un punto del otro y los grados obtenidos este proceso lo repetimos otra vez
y = edificio x = distancia del edificio a nosotros ( 1ordf medida) Medidas obtenidas Primer aacutengulo 41ordm Segundo aacutengulo 25ordm Tercer aacutengulo 19ordm Primera medida x Segunda medida 20m Tercera medida 10m Distancio del ojo al suelo 168m Planteamos un sistema de ecuaciones con los dos primeros aacutengulos
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+==+
=
===
xyx
y
xyxy
20middot46046020
ordm25tan
870870ordm41tan
17
( )
myy
mx
x
xxx
xxxx
16201023middot3870
102340370329
32940370329460870
46032987020middot460870
===
=
==minus
+=+=
Despueacutes de utilizar los dos primeros aacutengulos ahora utilizaremos el primero y el tercero
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+==++
=
===
xyx
y
xyxy
30middot3403401020
ordm19tan
870870ordm41tan
( )
myy
mx
x
xxx
xxxx
09176519middot870
65195203310
33105203310340870
340331087030middot340870
===
=
==minus+=
+=
Los nuacutemeros hallados sobre la ldquoxrdquo y la ldquoyrdquo van a ser distintos de una ecuacioacuten a otra por eso hay que hallar la media
my
mx
83172
57180917
86162
57186519
=+
=
=+
=
Al nuacutemero dado por la ldquoyrdquo hay que sumarle la distancia del ojo al suelo y esa seraacute la medida del edificio
17rsquo83+1rsquo68= 19rsquo51m
El edificio mide 19rsquo51m
La distancia entre la primera medida y el edificio es 16rsquo86m
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c) Errores y problemas El primer error en la medicioacuten del cipreacutes pudo ser que midieacuteramos la sombra o la penumbra pero hay que medir en el medio entre la sombra y la penumbra
Otro problema que hubo fue el que al medir a distintas alturas con el teodolito vertical el edificio tuvimos que nivelarlo poniendo un objeto que estuviera a la misma altura que la primera para nivelar la distancia al suelo como se ilustra en la siguiente imagen
19
4- Vocabulario y Personajes a) Glosario Anatema Curva que describe la posicioacuten del Sol en el cielo a la misma hora del diacutea y en el mismo lugar de observacioacuten por un antildeo entero En la Tierra es en forma de ocho (infin) El componente horizontal muestra la ecuacioacuten de tiempo que es la diferencia entre el tiempo solar aparente y el tiempo solar medio El componente vertical muestra la declinacioacuten del Sol A veces se dibuja en los globos terraacutequeos Aacutengulo figura geomeacutetrica formada en una superficie por liacuteneas que parten de un mismo punto Astronomiacutea (del griego αστρονομία = άστρον + νόμος) etimoloacutegicamente significa la Ley de las estrellas y es la ciencia que estudia los astros a partir de la informacioacuten que nos llega de ellos a traveacutes de la radiacioacuten electromagneacutetica Calendario (del latiacuten calenda) es una cuenta sistematizada del tiempo para la organizacioacuten de las actividades humanas Antiguamente estaba basado en los ciclos lunares En la actualidad los diversos calendarios tienen base en el ciclo que describe la Tierra alrededor del Sol y se denominan calendarios solares El calendario sideral se basa en el movimiento de otros astros diferentes al Sol Cenit interseccioacuten entre la vertical del observador y la esfera celeste O sea si imaginamos una recta que pasa por el centro de la Tierra y por nuestra ubicacioacuten en su superficie el cenit se encuentra sobre esa recta por encima de nuestras cabezas El punto diametralmente opuesto de la esfera celeste al cenit se denomina Nadir Coordenadas se dice de las liacuteneas que sirven para determinar la posicioacuten de un punto y de los ejes planos a que se refieren aquellas liacuteneas Ecliacuteptica (del latiacuten ecliptĭca [linĕa] (del griego ἐκλειπτική relativo a los eclipses) es el plano que contiene la oacuterbita de la Tierra alrededor del Sol Eliacuteptica oacuterbita de un astro que gira alrededor de otro describiendo una elipse El astro central se situacutea en uno de los focos de la elipse Todas las oacuterbitas de los planetas del sistema solar tienen esta oacuterbita Ecuador paralelo que se toma como 0ordm de latitud Equinoccio eacutepoca en que por incidir los rayos perpendicularmente al ecuador los diacuteas tienen la misma duracioacuten que la noche en toda la tierra lo cual sucede anualmente del 20 al 21 de marzo y del 22 al 23 de septiembre Excentricidad en matemaacuteticas y geometriacutea es un paraacutemetro que determina el grado de desviacioacuten de una seccioacuten coacutenica con respecto a una circunferencia Es un paraacutemetro importante en la definicioacuten de las elipses Gnomon Palo vertical de altura determinada Husos horarios son cada una de las veinticuatro aacutereas en que se divide la Tierra y que siguen la misma definicioacuten de tiempo cronoloacutegico
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Latitud Distancia en grados entre un paralelo y el Ecuador Puede alcanzar los 90ordm Norte o Sur Longitud Distancia en grados entre un meridiano con el meridiano de Greenwich Su maacuteximo es 180ordm OE Mediatriz de un segmento es la recta equidistante de dos puntos del plano equidistantes Esta corta el segmento por su mitad y perpendicularmente Meridiano Cada una de las liacuteneas imaginarias que atraviesan la esfera terrestre desde el polo norte hasta el polo sur Meridiano de Greenwich semiciacuterculo imaginario que une los polos y pasa por Greenwich maacutes precisamente por el antiguo observatorio astronoacutemico de este suburbio de Londres Este sirve de meridiano de origen es a partir de eacutel que se miden las longitudes en grados es decir que corresponde a la longitud cero por lo que tambieacuten se llama meridiano cero y primer meridiano Nutacioacuten (del latiacuten ldquonutarerdquo cabecear u oscilar) es la oscilacioacuten perioacutedica del polo de la Tierra alrededor de su posicioacuten media en la esfera celeste debida a la influencia de la Luna sobre el planeta similar al movimiento de una peonza cuando pierde fuerza y estaacute a punto de caerse Paralelo cada una de las liacuteneas imaginarias que rodean la Tierra de Este a Oeste
Ciacuterculo polar aacutertico es uno de los cinco paralelos principales terrestres Se trata del paralelo de latitud 66deg 33 38 Norte El espacio situado al norte del ciacuterculo aacutertico se denomina Aacutertico y la regioacuten al sur de este ciacuterculo se denomina Zona Templada Norte
Ciacuterculo polar antaacutertico uno de los cinco principales paralelos que sentildealan los mapas de la Tierra Es el paralelo de latitud 66deg 33 38 al sur del ecuador Precesioacuten es el cambio de la direccioacuten del eje alrededor del cual gira un objeto Radio liacutenea recta comprendida entre un punto cualquiera de la circunferencia del circulo hasta el centro del mismo Refraccioacuten hacer que cambie de direccioacuten el rayo de la luz que pasa oblicuamente de un medio a otro de diferente densidad Rotacioacuten el movimiento de cambio de orientacioacuten de un cuerpo extenso de forma que dado un punto cualquiera del mismo este permanece a una distancia constante de un punto fijo Semejanza (del griego iso-gonios = iguales aacutengulos) En geometriacutea diacutecese de una figura que tiene aacutengulos congruentes con los de otra Solsticio eacutepoca en que el Sol se halla en uno de los dos troacutepicos lo cual sucede del 21 al 22 de junio para el troacutepico de Caacutencer y del 21 al 22 de diciembre para el de Capricornio Tangente cociente entre los catetos de un triaacutengulo rectaacutengulo cateto opuestocateto contiguo En la eacutepoca de Eratoacutestenes existiacutean tablas aacutengulo ndash tangente Teodolito instrumento de medicioacuten mecaacutenico-oacuteptico universal que sirve para medir aacutengulos verticales y sobre todo horizontales aacutembito en el cual tiene una precisioacuten elevada Con otras herramientas auxiliares puede medir distancias y desniveles
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Traslacioacuten movimiento por el cual la Tierra se mueve alrededor del Sol La causa de este movimiento es la accioacuten de la gravedad originaacutendose cambios que al igual que el diacutea permiten la medicioacuten del tiempo Trigonometriacutea (del griego la medicioacuten de los triaacutengulos) es una rama de las matemaacuteticas que estudia los aacutengulos y los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo y las relaciones entre ellos Troacutepicos liacuteneas imaginarias situadas a aproximadamente 23ordm de latitud Troacutepico de Caacutencer paralelo situado a una latitud de 23ordm27rsquo al norte de ecuador delimita los puntos maacutes septentrionales en los que el sol puede ocupar el cenit o la vertical del lugar mediodiacutea Troacutepico de Capricornio troacutepico del hemisferio sur Se llama de Capricornio porque se consideraba que el diacutea del solsticio en los troacutepicos el Sol iluminaba el fondo de los pozos y en aquellas fechas en el hemisferio sur el Sol estaba en la constelacioacuten de Capricornio 4b) Matemaacuteticos - Tales de Mileto (625-546 aC)
Geoacutemetra griego y uno de los siete sabios de Grecia Fue el primer matemaacutetico griego que inicioacute el desarrollo razonado de la geometriacutea Hacia el antildeo 600 a C Tales visitoacute Egipto El faraoacuten le pidioacute que resolviera un viejo problema conocer la altura exacta de la Gran Piraacutemide Tales se apoyoacute en su bastoacuten y esperoacute Cuando la sombra del bastoacuten fue igual de larga que el propio bastoacuten le dijo a un servidor del faraoacuten ldquoCorre y mide la sombra de la Gran Piraacutemide En este momento es tan larga como la propia piraacutemiderdquo Tales era famoso desde el antildeo 585 aC ya que predijo con toda
exactitud un eclipse de Sol - Pitaacutegoras (582-500 aC)
Fundoacute la escuela pitagoacuterica hacia el antildeo 530aC donde se estudiaba filosofiacutea matemaacuteticas y ciencias naturales estaba situada en Crotona (al sur de Italia) Ademaacutes de formular el teorema que lleva su nombre inventoacute la tabla de multiplicar y estudio la relacioacuten entre la muacutesica y las matemaacuteticas A partir de la Edad Media el teorema de Pitaacutegoras fue considerado como el ldquopons asinorumrdquo (puente de asnos) o conocimiento que separaba a las personas cultas de las incultas
- Euclides (365-300 aC)
Se conoce muy poco de la vida de este sabio griego Posiblemente vivioacute entre el 365 y el 300 aC pero se desconoce su lugar de nacimiento Se le denomina de Alejandriacutea porque fue en esta ciudad donde se desarrollo su trabajo Su obra ldquoElementos de Geometriacuteardquo es el texto matemaacutetico de maacutes eacutexito en toda la historia Tanto es asiacute que hasta una eacutepoca muy reciente todaviacutea se utilizaba como texto escolar en Inglaterra
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-Aristarco (310 aC - 230 aC)
Nacioacute en Samos - Grecia - en el antildeo 310 aC y murioacute en el 220 aC Fue disciacutepulo de Estratoacuten de Lampsacos jefe de la escuela peripateacutetica fundada por Aristoacuteteles Antildeos despueacutes Aristarco sucederiacutea a Teofrasto como jefe de esta institucioacuten entre antildeos 288 y 287 aC Fue un haacutebil geoacutemetra pero es poco lo que se conoce de su vida Sus hipoacutetesis sobre el universo se han extraiacutedo a partir de las referencias hechas por otros autores despueacutes de su muerte Ptolomeo en el Almagesto lo nombra como un concienzudo observador de los solsticios y equinoccios Parece haber interpretado estas observaciones correctamente atribuyendo estos fenoacutemenos al movimiento de la Tierra alrededor del Sol Dedujo por esto
que era necesario que la oacuterbita terrestre estuviera inclinada para explicar los cambios de estacioacuten - Arquiacutemedes (287-212 aC)
Se le considera padre de la ciencia mecaacutenica el cientiacutefico y matemaacutetico maacutes importante de la Edad Antigua Su obra maacutes importante fue el descubrimiento de la relacioacuten entre la superficie el volumen de una esfera y el cilindro que la circunscribe Invento la rueda dentada y la polea para subir pesos sin esfuerzo Tambieacuten a el se le ocurrioacute usar grandes espejos para incendiar los barcos enemigos y descubrioacute la manera de medir el volumen de cuerpos irregulares (sumergieacutendolos en agua y midiendo el incremento de volumen del liacutequido)
-Eratoacutestenes (284-192 aC)
Matemaacutetico astroacutenomo geoacutegrafo filoacutesofo y poeta griego Hizo la ldquoCriba de Erastoacutetenesrdquo (nuacutemeros primos) Fue el primero que midioacute con buena exactitud el meridiano terrestre (para lo que ideoacute un sistema a partir de la semejanza de triaacutengulos que consiste en que la figura tiene aacutengulos concurrentes con los de otro triaacutengulo) Erastoacutetenes tambieacuten midioacute la oblicuidad de la ecliptica (la inclinacioacuten del eje terrestre) con un error de solo 7acute de arco y creoacute un cataacutelogo (actualmente perdido) de 675 estrellas fijas Su obra maacutes importante fue un tratado de geografiacutea general
-Hiparco de Nicea (c 190-120 a C )
Fue un matemaacutetico y astroacutenomo griego el maacutes importante de su eacutepoca tambieacuten conocido como Hiparco de Rodas Este nacioacute en Nicea Bitinia (hoy Iznik Turquiacutea) Se le considera el primer astroacutenomo cientiacutefico Fue muy preciso en sus investigaciones de las que conocemos parte por comentarse en el tratado cientiacutefico Almagesto del astroacutenomo alejandrino Tolomeo sobre quien ejercioacute gran influencia Sus caacutelculos del antildeo tropical duracioacuten del antildeo determinada por las estaciones teniacutean un margen de error de 6 5 minutos con respecto a las mediciones modernas Murioacute en Rodas Grecia en el antildeo 120 a C
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5 Bibliografiacutea wwwgoogleesimages Enciclopedia Aula del Estudiante Enciclopedia Larousse Microsoft Encarta 2007 wwwastronosurfcom wwwastronomiacom wwwwikipediaorg 100ciacomopinionforosarchiveindexphpt-5452html httpenciclopediausesindexphpEnciclopedia_Libre_Universal_en_EspaF1ol
wwwenciclopediaorg
httpwwwastromiacombiografias
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e) Medidas con distintos nomons Las siguientes medidas se tomaron el viernes (diacutea anterior al equinoccio) a las 1353h debido a que el diacutea anterior nos surgioacute que el medio diacutea solar seriacutea maacutes o menos sobre esa hora
Nomon grande Nomon pequentildeo Nomon mediano
Altura Sombra Altura Sombra Altura Sombra 240m 198m 025m 019m 136m 0425m
Si el cociente de la altura del nomon partido por la altura de otro nomon es igual al
cociente de la sombra del nomon partido por la sombra del otro nomon estos dos triaacutengulos son semejantes si no da igual no lo son Razoacuten de semejanza entre Nomon grande y nomon pequentildeo
411069190981
250402
411019098169
250402
ne
ne
==
Los triaacutengulos con el nomon grande y el nomon pequentildeo son casi semejantes Nomon grande y mediano
6647614250981
361402
6644250981761
361402
ne
ne
==
Los triaacutengulos con el nomon grande y el mediano no son semejantes Nomon pequentildeo y mediano
1904250
250361
2321904250445
250361
ne
==
Los triaacutengulos con el nomon pequentildeo y el mediano no son semejantes Conclusioacuten
Ninguno de los triaacutengulos formados por la sombra y la altura del nomon son semejantes
Solo estaacuten cerca de serlo los triaacutengulos formados con el nomon grande y el pequentildeo Tuvo que haber alguacuten error en la medicioacuten con el nomon mediano
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f) Medidas con nomon obtenidas por los distintos grupos Medidas tomadas el diacutea 21 de septiembre
Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3 Grupo 4 Palo 25cm 25cm 158cm 20cm
Sombra 19cm 19cm 134cm 153
Razoacuten 132 132 118 131
Medidas tomadas el diacutea 22 de septiembre
Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3 Grupo 4 Palo 136m 239m 714cm -
Sombra 0925m 191m 555cm -
Razoacuten iquest147 125 129 -
Medidas tomadas el diacutea 26 de septiembre
Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3 Grupo 4 Palo 240m 138m 5353cm 715cm
Sombra 198m 114m 50cm 625cm
Razoacuten 121 121 107 iquest149
Conclusioacuten la variacioacuten de la sombra desde el diacutea 22 al 26 es de aumento debido a
que el sol estaacute maacutes bajo el diacutea 26 que el 22 por eso hace una sombra maacutes grande
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g) Problemas surgidos al calcular el mediodiacutea El jueves 21 de septiembre tuvimos unos pequentildeos problemas que pudimos solucionar Las dificultades surgieron debido a la falta de sol en el patio Este al salir pocas veces no nos permitiacutea tomar bien la referencia de la sombra del nomon entonces a veces saliacutean algunos puntos que no pareciacutean estar bien Maacutes tarde salioacute el sol por lo cual se solucionaron los problemas no daacutendole importancia a estos puntos cuando tomamos la mediatriz del segmento
Solucionado el problema surgioacute otro la mediatriz y la sombra miacutenima no daban lo mismo asiacute que tuvimos que restarle a la uacuteltima hora lograda la primera el dato hallado lo dividimos entre dos y luego lo sumamos a la primera hora y asiacute logramos saber con claridad cuando era el mediodiacutea solar Eacuteste resultoacute ser igual que el obtenido haciendo la mediatriz En este dibujo se puede apreciar los errores que hubo al principio y algunos otros que no les dimos importancia
h) Razones de que el mediodiacutea diese a esa hora
h1) Influencia de la longitud de Alicante El globo terraacutequeo estaacute dividido en 24 zonas llamadas husos horarios Sobre la
superficie terrestre una hora corresponde a 15 grados de longitud la hora en cada zona se determina de acuerdo con la hora local media para cada longitud 0ordm 15ordm 30ordm 45ordm 360ordm
La hora del meridiano cero que pasa sobre Greenwich es usada como referencia y es llamada Tiempo Universal (TU) Hacia el oeste los husos horarios disminuyen una hora cada 15 grados y hacia el este aumentan una hora cada 15 grados a partir del meridiano de Greenwich
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En el verano muchos paiacuteses cambian su horario para aprovechar la mayor cantidad de luz solar de esta manera el tiempo en que las personas estaacuten despiertas coincide con la duracioacuten del diacutea y se ahorra electricidad Durante los cambios de horario la diferencia entre el tiempo solar aparente y la hora oficial se hace auacuten maacutes grande
Debido a que la longitud de Alicante es de 0rsquo5ordm Oeste aproximadamente hace que la
hora solar se retrase un par de minutos respecto a la hora oficial luego el mediodiacutea deberiacutea salir sobre las 1402h aproximadamente
h2) Ecuacioacuten del tiempo La ecuacioacuten del tiempo es la diferencia entre el tiempo solar medio (tiempo medido
sobre la referencia del diacutea solar medio) y el tiempo solar aparente (tiempo dado por el movimiento diario del Sol en el firmamento) Tal como se ve en un reloj de sol este movimiento no es uniforme y regular dado que la oacuterbita terrestre es eliacuteptica y tambieacuten porque el Sol se mueve a lo largo de la ecliacuteptica
El origen de este concepto se deriva de la distinta velocidad del movimiento de
traslacioacuten terrestre alrededor del Sol La oacuterbita terrestre (Ecliacuteptica) y no es circular sino eliacuteptica ocupando el Sol uno de los focos de la elipse De acuerdo con las leyes de Kepler sobre los movimientos de traslacioacuten tiempos iguales barren aacutereas iguales lo cual significa que la Tierra disminuye la velocidad de traslacioacuten cuando se encuentra maacutes alejada del Sol (porque la atraccioacuten del mismo es menor al encontrarse maacutes lejos) y lo acelera al acercarse Si no existiera esta diferencia de velocidad la Tierra se escapariacutea del Sistema Solar cuando se encontrara maacutes lejos o chocariacutea con el Sol al acercarse Asiacute pues el movimiento de traslacioacuten terrestre es un movimiento uniformemente variado
Esta diferencia es mayor a principios de noviembre cuando el tiempo solar medio
estaacute a maacutes de 16 minutos por detraacutes del tiempo solar aparente y a mediados de febrero cuando el tiempo solar medio va maacutes de 14 minutos por delante del aparente Son iguales cuatro veces al antildeo el 15 de abril 14 de junio 1 de septiembre y el 25 de diciembre
La ecuacioacuten del tiempo se representa graacuteficamente con un diagrama denominado analema que suele indicarse en los globos o esferas terrestres y que tiene forma de un 8 algo asimeacutetrico El analema indica la misma informacioacuten que la expresada a traveacutes del graacutefico adjunto
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En enero (-13min) febrero (-12min) marzo (-6min) y mitad de abril (-2min) la ecuacioacuten del tiempo es negativa la segunda mitad de abril (+3min) mayo (+3min) y mitad de junio es positiva (+2min) la segunda mitad de junio (-6min) julio (-60min) y agosto ( -1min) vuelve a ser negativa y en septiembre (+9min) octubre (+17min) noviembre (+12min) y diciembre es positiva (+1min) excepto algunos diacuteas sueltos de la uacuteltima semana de este La diferencia horaria en el equinoccio de otontildeo es de 8min 25s seguacuten el graacutefico es decir nos debiacutea de haber dado 8min 25s antes de las 1400h sobre las 1352h i) Datos obtenidos de distintos perioacutedicos sobre el sol
Los siguientes datos fueron obtenidos de distintos perioacutedicos de Alicante
Queacute (Hora civil) Informacioacuten (Hora solar) Las Provincias (Hora civil)
Salida Puesta Mediodiacutea Salida Puesta Mediodiacutea Salida Puesta Mediodiacutea
Viernes 22 - - - 6h
02min 18h
10min 12h
07min 7h
49min 19h
59min 13h
54min Saacutebado
23 - - - 6h 03min
18h 11min
12h 07min
7h 50min
19h 58min
13h 54min
Domingo 24 - - - 6h
04min 18h
09min 12h
06min 7h
50min 19h
48min 13h
49min Lunes
25 7h
52min 19h
55min 13h
53min 6h
05min 18h
07min 12h
06min 7h
52min 19h
51min 13h
51min Martes
26 7h
53min 19h
53min 13h
53min 6h
06min 18h
06min 12h
06min 7h
53min 19h
53min 13h
53min
En el diario ldquoQueacuterdquo y en ldquoLas provinciasrdquo los datos estaacuten puestos en la hora civil de
Alicante y en el ldquoInformacioacutenrdquo estaacuten en hora solar debido a esto los datos son distintos porque la diferencia entre la hora solar y la hora local es de 2h (aproximadamente)
En el diario ldquoLas Provinciasrdquo los datos del viernes 22 son muy parecidos a los
obtenidos por nosotros ya que les da a las 1354h y a nosotros a las 1353h Como no sabemos exactamente la diferencia entre la hora solar y la hora civil no podemos decir con exactitud la hora que dio el mediodiacutea en el diario ldquoEl Informacioacutenrdquo lo mismo sucede en los diacuteas siguientes el 22 y el 23 de Septiembre
Desde el saacutebado 23 (diacutea del equinoccio) hasta el domingo 24 vemos que el mediodiacutea
disminuye 5min con respecto al del diacutea 24 El lunes 25 en el diario ldquoLas Provinciasrdquo y en el diario ldquoQueacuterdquo los datos son muy iguales 1351 y 1353 respectivamente El martes 26 los datos de los distintos perioacutedicos son iguales las 1353h
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2- Inclinacioacuten de los rayos solares sobre el IES Bahiacutea de Babel a) Material utilizado para la construccioacuten del ldquoteodolito verticalrdquo
El teodolito vertical no fue construido por nosotros sino por unos antiguos alumnos del centro El teodolito vertical estaacute formando por un tubo hueco en la parte superior de una superficie lisa que lleva adherida un transportador de aacutengulos y un peacutendulo aferrado a eacuteste
b) Coacutemo utilizar el ldquoteodolito verticalrdquo
El teodolito vertical tiene una mecaacutenica sencilla a saber cuando un rayo de sol incida por el interior del conducto hueco este saldraacute y se proyectaraacute en una superficie oscura Cuando logre atravesar el cilindro tomaremos la medida del aacutengulo que forma el peacutendulo con la vertical del Sol Gracias a esto podemos saber a queacute altura sobre el horizonte estaacute el Sol desde el punto en que nos encontramos
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c) Medidas logradas con el ldquoteodolito verticalrdquo El viernes 22 intentamos usar el teodolito pero como no habiacutea suficiente sol no se pudo realizar la medicioacuten El martes 26 siacute que pudimos hacerla y a las 1353h medimos la inclinacioacuten del Sol que era de 39ordm sobre el instituto En esa hora el Sol estaba en el punto maacutes alto (cenit) porque era maacutes o menos el mediodiacutea
d) Medidas con el ldquoteodolito verticalrdquo de distintos grupos Medias obtenidas el diacutea 26 de septiembre
Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3 Grupo 4
Inclinacioacuten 39ordm 39ordm 47ordm 38ordm
Conclusioacuten Todos los grupos midieron mal la inclinacioacuten de los rayos solares (porque dieron el aacutengulo que marcaba el teodolito y ese es el que forman con los rayos con la vertical) excepto el grupo 3 que se aproximoacute un poco debido a que deberiacutea dar 52ordm
El aacutengulo que se forma en Alicante cuando los rayos del sol son perpendiculares al Ecuador es de 38ordm (latitud de Alicante) por lo cual el otro aacutengulo son 52ordm (38ordm+52ordm+90ordm=180ordm de un triaacutengulo recto) como se representa en el siguiente dibujo
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e) Inclinacioacuten de los rayos solares mediante el nomon Con el meacutetodo de la tangente podemos averiguar el aacutengulo de la inclinacioacuten del sol
contiguocatopuestocat
tan =α
El cateto opuesto es la altura del palo y el cateto contiguo es la sombra de eacuteste Despueacutes de hallar el nuacutemero hay que hacerle el arco tangente (tan ) y el nuacutemero
que deacute seraacute el aacutengulo 1minus
Angulo hallado mediante distintos nomons
Nomon grande Nomon mediano Nomon pequentildeo
Altura Sombra Grados Altura Sombra Grados Altura Sombra Grados
240m 198m 50ordm47rdquo 136m 0425m 72ordm64rdquo 025m 019m 52ordm47rdquo
Pasos para calcular el aacutengulo de cada nomon Nomon grande
47ordm50211tan211981402
== arcmm
Nomon mediano
64ordm7223tan234250361
== arcm
m
Nomon pequentildeo
47ordm523151tan3151190250
== arcmm
En el nomon mediano debe haber habido un error porque como bien sale en los otros dos nomon debiacutea de dar 52ordm47rdquo debido a los rayos paralelos del sol que inciden perpendiculares al Ecuador como se explica en el apartado anterior
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f) Posiciones Sol -Tierra
La Tierra tiene un movimiento de rotacioacuten en torno a un eje y otro de traslacioacuten de forma eliacuteptica alrededor del sol El primero de estos movimientos hace que un punto sobre ella se vea iluminado de forma perioacutedica por el Sol originando el diacutea y la noche el segundo movimiento hace que los tiempos de exposicioacuten al sol sean variables originando las estaciones Esta variacioacuten en los tiempos de exposicioacuten es debido a que el eje de rotacioacuten de la Tierra permanece praacutecticamente siempre paralelo a siacute mismo con un aacutengulo de 66ordm 33` respecto al plano de la ecliacuteptica (plano que contiene a la trayectoria de la Tierra)
Solsticio diacutea en el cual el Sol estaacute maacutes alto o maacutes bajo
1) Solsticio de verano 21 de Junio 93 diacuteas y 15h El Sol estaacute perpendicular al troacutepico de caacutencer y estaacute maacutes alto que ninguacuten diacutea del antildeo 2) Solsticio de invierno 21 de Diciembre 89 diacuteas El Sol estaacute perpendicular al troacutepico de capricornio y estaacute maacutes bajo que ninguacuten diacutea del antildeo Equinoccio diacutea donde la noche y el diacutea duran lo mismo 1) Equinoccio de primavera 21 de Marzo 92 diacuteas y 20h 2) Equinoccio de otontildeo 23 de Septiembre 89 diacuteas y 19h En el diacutea del equinoccio en el ecuador a mediodiacutea no hay sombra debido a que los rayos solares son perpendiculares al Ecuador el Sol estaacute en lo maacutes alto
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g) Movimientos de la Tierra
La Tierra posee dos movimientos baacutesicos el de traslacioacuten alrededor del Sol que marca el antildeo y el de rotacioacuten sobre su eje que marca el diacutea Ademaacutes tiene los movimientos de precesioacuten y nutacioacuten La precesioacuten de los equinoccios es un movimiento lento de la inclinacioacuten del eje de la Tierra con respecta a la ecliacuteptica Este movimiento retrasa la llegada de los equinoccios lentamente Completa una vuelta completa cada 25790 antildeos
La Tierra tarda un antildeo en completar su oacuterbita alrededor del Sol Esta oacuterbita es
eliacuteptica aunque con muy poca excentricidad Pero iquestcuaacutento tarda realmente la Tierra en dar una vuelta alrededor del Sol Si tenemos en cuenta las estrellas dura 365 diacuteas 6 horas 9 minutos y 95 segundos Se llama antildeo sideacutereo Si tenemos en cuenta dos pasos consecutivos y reales de la Tierra por el equinoccio vernal dura 365 diacuteas 5 horas 48 minutos y 4551 segundos Se llama antildeo troacutepico o solar La diferencia entre el antildeo troacutepico y el sideacutereo es producto del movimiento precesioacuten de los equinoccios En nuestro calendario usamos el antildeo civil que consta de 365 oacute 366 diacuteas Es una solucioacuten que nos permite contar el antildeo en diacuteas completos
La Tierra realiza un movimiento completo de rotacioacuten alrededor de su eje que va de
polo a polo (geograacutefico no magneacutetico) en 23 horas 56 minutos 409 segundos unos 4 minutos menos que 24 horas
La Tierra da una vuelta entera (360deg) en aproximadamente 24 horas debido a la
rotacioacuten de la Tierra y se mueve alrededor del Sol a una velocidad aproximada de 15ordmh oacute 30 Km por segundo (unos 108000 Kmh) Ademaacutes en su rotacioacuten alrededor de su eje la superficie de la Tierra se mueve con distintas velocidades dependiendo de su distancia al Ecuador
La nutacioacuten es un bamboleo menor del eje de la Tierra con respecto a la ecliacuteptica
Tiene un ciclo de 19 antildeos en el que la inclinacioacuten variacutea entre 6 y 9 segundos Tanto la precesioacuten como la nutacioacuten son movimientos provocados por la influencia gravitatoria del Sol y la Luna Son movimientos complementarios mientras la precesioacuten dibuja una elipse la nutacioacuten hace que ese dibujo sea ondulado
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3- Mediciones en el patio a) Medicioacuten de un objeto de base accesible
a1) Medicioacuten del cipreacutes mediante semejanza Para medir la altura de del cipreacutes con semejanza necesitamos un nivel de aacutengulo un nomon (grande a ser posible) y un metro
Cuando hemos reunido todos estos materiales medimos el nomon y la longitud de la sombra del cipreacutes
Luego hay que poner el nomon en un sitio donde concuerden los extremos de las sombras y medir la distancia de la base del nomon hasta el liacutemite de la sombra
Medidas obtenidas
Sombra del cipreacutes 12m Nomon 240m Sombra del nomon 282m
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Al medir todo soacutelo hay que hacer una simple ecuacioacuten
nomondelSombraNomon
cipreacutesdelSombraCipreacutes
=
mymm
ymm
my 211085012850
12822402
12==times==
Luego el cipreacutes mide aproximadamente 1021m de altura a2) Medicioacuten del cipreacutes mediante trigonometriacutea Para medir el cipreacutes con el meacutetodo de trigonometriacutea necesitamos un teodolito vertical y un metro Cuando tengamos esos materiales nos colocamos delante del cipreacutes a unos metros y con el teodolito miramos la punta maacutes alta del cipreacutes y anotamos los grados que nos ha dado Medimos la distancia del cipreacutes al punto donde hemos medido y la distancia del ojo al suelo
Medidas obtenidas Longitud desde el cipreacutes hasta nosotros 885m Aacutengulo 45ordm Longitud del ojo al suelo 146m Una vez medido todo soacutelo hay que hacer una simple ecuacioacuten
aacutengulodelnosotroshastalongcipreacutesdelaltura tan
=
mym
ym
y 85885811858
ordm45tan858
=times===
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Al nuacutemero hallado hay que sumarle la distancia del ojo al suelo y esa seraacute la altura del cipreacutes
mmm 3110461858 =+
El cipreacutes mide 1031m de altura a3) Medicioacuten del gimnasio mediante trigonometriacutea Para medir el gimnasio con el meacutetodo de trigonometriacutea necesitamos los mismos materiales usados para medir el cipreacutes con esta misma teacutecnica Cuando tenemos los materiales nos ponemos a una cierta distancia de eacutel y medimos el aacutengulo obtenido al mirar a la cornisa del gimnasio y la distancia que nos separa del eacutel Medidas obtenidas Longitud desde el gimnasio hasta nosotros 885m Aacutengulo 27ordm Longitud del ojo al suelo 146m Una vez medido todo hay que hacer la misma ecuacioacuten que la del cipreacutes pero con los datos del gimnasio
aacutengulodelnosotroshastalonggimnasiodelaltura tan
=
mym
yy 514858510510858
ordm27tan858
=times===
Al nuacutemero hallado hay que sumarle la distancia del ojo al suelo y esa seraacute la altura del gimnasio
mmm 975461514 =+
El gimnasio mide 597m de altura
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b) Medicioacuten de un objeto de base inaccesible
Para medir la altura del edificio necesitamos los materiales utilizados en la medicioacuten del gimnasio y del cipreacutes mediante el meacutetodo de la trigonometriacutea Nos colocamos lo maacutes cerca posible del edificio y tomamos la medida del aacutengulo obtenido nos alejamos del punto donde estaacutebamos y medimos la distancia que separa un punto del otro y los grados obtenidos este proceso lo repetimos otra vez
y = edificio x = distancia del edificio a nosotros ( 1ordf medida) Medidas obtenidas Primer aacutengulo 41ordm Segundo aacutengulo 25ordm Tercer aacutengulo 19ordm Primera medida x Segunda medida 20m Tercera medida 10m Distancio del ojo al suelo 168m Planteamos un sistema de ecuaciones con los dos primeros aacutengulos
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+==+
=
===
xyx
y
xyxy
20middot46046020
ordm25tan
870870ordm41tan
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( )
myy
mx
x
xxx
xxxx
16201023middot3870
102340370329
32940370329460870
46032987020middot460870
===
=
==minus
+=+=
Despueacutes de utilizar los dos primeros aacutengulos ahora utilizaremos el primero y el tercero
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+==++
=
===
xyx
y
xyxy
30middot3403401020
ordm19tan
870870ordm41tan
( )
myy
mx
x
xxx
xxxx
09176519middot870
65195203310
33105203310340870
340331087030middot340870
===
=
==minus+=
+=
Los nuacutemeros hallados sobre la ldquoxrdquo y la ldquoyrdquo van a ser distintos de una ecuacioacuten a otra por eso hay que hallar la media
my
mx
83172
57180917
86162
57186519
=+
=
=+
=
Al nuacutemero dado por la ldquoyrdquo hay que sumarle la distancia del ojo al suelo y esa seraacute la medida del edificio
17rsquo83+1rsquo68= 19rsquo51m
El edificio mide 19rsquo51m
La distancia entre la primera medida y el edificio es 16rsquo86m
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c) Errores y problemas El primer error en la medicioacuten del cipreacutes pudo ser que midieacuteramos la sombra o la penumbra pero hay que medir en el medio entre la sombra y la penumbra
Otro problema que hubo fue el que al medir a distintas alturas con el teodolito vertical el edificio tuvimos que nivelarlo poniendo un objeto que estuviera a la misma altura que la primera para nivelar la distancia al suelo como se ilustra en la siguiente imagen
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4- Vocabulario y Personajes a) Glosario Anatema Curva que describe la posicioacuten del Sol en el cielo a la misma hora del diacutea y en el mismo lugar de observacioacuten por un antildeo entero En la Tierra es en forma de ocho (infin) El componente horizontal muestra la ecuacioacuten de tiempo que es la diferencia entre el tiempo solar aparente y el tiempo solar medio El componente vertical muestra la declinacioacuten del Sol A veces se dibuja en los globos terraacutequeos Aacutengulo figura geomeacutetrica formada en una superficie por liacuteneas que parten de un mismo punto Astronomiacutea (del griego αστρονομία = άστρον + νόμος) etimoloacutegicamente significa la Ley de las estrellas y es la ciencia que estudia los astros a partir de la informacioacuten que nos llega de ellos a traveacutes de la radiacioacuten electromagneacutetica Calendario (del latiacuten calenda) es una cuenta sistematizada del tiempo para la organizacioacuten de las actividades humanas Antiguamente estaba basado en los ciclos lunares En la actualidad los diversos calendarios tienen base en el ciclo que describe la Tierra alrededor del Sol y se denominan calendarios solares El calendario sideral se basa en el movimiento de otros astros diferentes al Sol Cenit interseccioacuten entre la vertical del observador y la esfera celeste O sea si imaginamos una recta que pasa por el centro de la Tierra y por nuestra ubicacioacuten en su superficie el cenit se encuentra sobre esa recta por encima de nuestras cabezas El punto diametralmente opuesto de la esfera celeste al cenit se denomina Nadir Coordenadas se dice de las liacuteneas que sirven para determinar la posicioacuten de un punto y de los ejes planos a que se refieren aquellas liacuteneas Ecliacuteptica (del latiacuten ecliptĭca [linĕa] (del griego ἐκλειπτική relativo a los eclipses) es el plano que contiene la oacuterbita de la Tierra alrededor del Sol Eliacuteptica oacuterbita de un astro que gira alrededor de otro describiendo una elipse El astro central se situacutea en uno de los focos de la elipse Todas las oacuterbitas de los planetas del sistema solar tienen esta oacuterbita Ecuador paralelo que se toma como 0ordm de latitud Equinoccio eacutepoca en que por incidir los rayos perpendicularmente al ecuador los diacuteas tienen la misma duracioacuten que la noche en toda la tierra lo cual sucede anualmente del 20 al 21 de marzo y del 22 al 23 de septiembre Excentricidad en matemaacuteticas y geometriacutea es un paraacutemetro que determina el grado de desviacioacuten de una seccioacuten coacutenica con respecto a una circunferencia Es un paraacutemetro importante en la definicioacuten de las elipses Gnomon Palo vertical de altura determinada Husos horarios son cada una de las veinticuatro aacutereas en que se divide la Tierra y que siguen la misma definicioacuten de tiempo cronoloacutegico
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Latitud Distancia en grados entre un paralelo y el Ecuador Puede alcanzar los 90ordm Norte o Sur Longitud Distancia en grados entre un meridiano con el meridiano de Greenwich Su maacuteximo es 180ordm OE Mediatriz de un segmento es la recta equidistante de dos puntos del plano equidistantes Esta corta el segmento por su mitad y perpendicularmente Meridiano Cada una de las liacuteneas imaginarias que atraviesan la esfera terrestre desde el polo norte hasta el polo sur Meridiano de Greenwich semiciacuterculo imaginario que une los polos y pasa por Greenwich maacutes precisamente por el antiguo observatorio astronoacutemico de este suburbio de Londres Este sirve de meridiano de origen es a partir de eacutel que se miden las longitudes en grados es decir que corresponde a la longitud cero por lo que tambieacuten se llama meridiano cero y primer meridiano Nutacioacuten (del latiacuten ldquonutarerdquo cabecear u oscilar) es la oscilacioacuten perioacutedica del polo de la Tierra alrededor de su posicioacuten media en la esfera celeste debida a la influencia de la Luna sobre el planeta similar al movimiento de una peonza cuando pierde fuerza y estaacute a punto de caerse Paralelo cada una de las liacuteneas imaginarias que rodean la Tierra de Este a Oeste
Ciacuterculo polar aacutertico es uno de los cinco paralelos principales terrestres Se trata del paralelo de latitud 66deg 33 38 Norte El espacio situado al norte del ciacuterculo aacutertico se denomina Aacutertico y la regioacuten al sur de este ciacuterculo se denomina Zona Templada Norte
Ciacuterculo polar antaacutertico uno de los cinco principales paralelos que sentildealan los mapas de la Tierra Es el paralelo de latitud 66deg 33 38 al sur del ecuador Precesioacuten es el cambio de la direccioacuten del eje alrededor del cual gira un objeto Radio liacutenea recta comprendida entre un punto cualquiera de la circunferencia del circulo hasta el centro del mismo Refraccioacuten hacer que cambie de direccioacuten el rayo de la luz que pasa oblicuamente de un medio a otro de diferente densidad Rotacioacuten el movimiento de cambio de orientacioacuten de un cuerpo extenso de forma que dado un punto cualquiera del mismo este permanece a una distancia constante de un punto fijo Semejanza (del griego iso-gonios = iguales aacutengulos) En geometriacutea diacutecese de una figura que tiene aacutengulos congruentes con los de otra Solsticio eacutepoca en que el Sol se halla en uno de los dos troacutepicos lo cual sucede del 21 al 22 de junio para el troacutepico de Caacutencer y del 21 al 22 de diciembre para el de Capricornio Tangente cociente entre los catetos de un triaacutengulo rectaacutengulo cateto opuestocateto contiguo En la eacutepoca de Eratoacutestenes existiacutean tablas aacutengulo ndash tangente Teodolito instrumento de medicioacuten mecaacutenico-oacuteptico universal que sirve para medir aacutengulos verticales y sobre todo horizontales aacutembito en el cual tiene una precisioacuten elevada Con otras herramientas auxiliares puede medir distancias y desniveles
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Traslacioacuten movimiento por el cual la Tierra se mueve alrededor del Sol La causa de este movimiento es la accioacuten de la gravedad originaacutendose cambios que al igual que el diacutea permiten la medicioacuten del tiempo Trigonometriacutea (del griego la medicioacuten de los triaacutengulos) es una rama de las matemaacuteticas que estudia los aacutengulos y los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo y las relaciones entre ellos Troacutepicos liacuteneas imaginarias situadas a aproximadamente 23ordm de latitud Troacutepico de Caacutencer paralelo situado a una latitud de 23ordm27rsquo al norte de ecuador delimita los puntos maacutes septentrionales en los que el sol puede ocupar el cenit o la vertical del lugar mediodiacutea Troacutepico de Capricornio troacutepico del hemisferio sur Se llama de Capricornio porque se consideraba que el diacutea del solsticio en los troacutepicos el Sol iluminaba el fondo de los pozos y en aquellas fechas en el hemisferio sur el Sol estaba en la constelacioacuten de Capricornio 4b) Matemaacuteticos - Tales de Mileto (625-546 aC)
Geoacutemetra griego y uno de los siete sabios de Grecia Fue el primer matemaacutetico griego que inicioacute el desarrollo razonado de la geometriacutea Hacia el antildeo 600 a C Tales visitoacute Egipto El faraoacuten le pidioacute que resolviera un viejo problema conocer la altura exacta de la Gran Piraacutemide Tales se apoyoacute en su bastoacuten y esperoacute Cuando la sombra del bastoacuten fue igual de larga que el propio bastoacuten le dijo a un servidor del faraoacuten ldquoCorre y mide la sombra de la Gran Piraacutemide En este momento es tan larga como la propia piraacutemiderdquo Tales era famoso desde el antildeo 585 aC ya que predijo con toda
exactitud un eclipse de Sol - Pitaacutegoras (582-500 aC)
Fundoacute la escuela pitagoacuterica hacia el antildeo 530aC donde se estudiaba filosofiacutea matemaacuteticas y ciencias naturales estaba situada en Crotona (al sur de Italia) Ademaacutes de formular el teorema que lleva su nombre inventoacute la tabla de multiplicar y estudio la relacioacuten entre la muacutesica y las matemaacuteticas A partir de la Edad Media el teorema de Pitaacutegoras fue considerado como el ldquopons asinorumrdquo (puente de asnos) o conocimiento que separaba a las personas cultas de las incultas
- Euclides (365-300 aC)
Se conoce muy poco de la vida de este sabio griego Posiblemente vivioacute entre el 365 y el 300 aC pero se desconoce su lugar de nacimiento Se le denomina de Alejandriacutea porque fue en esta ciudad donde se desarrollo su trabajo Su obra ldquoElementos de Geometriacuteardquo es el texto matemaacutetico de maacutes eacutexito en toda la historia Tanto es asiacute que hasta una eacutepoca muy reciente todaviacutea se utilizaba como texto escolar en Inglaterra
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-Aristarco (310 aC - 230 aC)
Nacioacute en Samos - Grecia - en el antildeo 310 aC y murioacute en el 220 aC Fue disciacutepulo de Estratoacuten de Lampsacos jefe de la escuela peripateacutetica fundada por Aristoacuteteles Antildeos despueacutes Aristarco sucederiacutea a Teofrasto como jefe de esta institucioacuten entre antildeos 288 y 287 aC Fue un haacutebil geoacutemetra pero es poco lo que se conoce de su vida Sus hipoacutetesis sobre el universo se han extraiacutedo a partir de las referencias hechas por otros autores despueacutes de su muerte Ptolomeo en el Almagesto lo nombra como un concienzudo observador de los solsticios y equinoccios Parece haber interpretado estas observaciones correctamente atribuyendo estos fenoacutemenos al movimiento de la Tierra alrededor del Sol Dedujo por esto
que era necesario que la oacuterbita terrestre estuviera inclinada para explicar los cambios de estacioacuten - Arquiacutemedes (287-212 aC)
Se le considera padre de la ciencia mecaacutenica el cientiacutefico y matemaacutetico maacutes importante de la Edad Antigua Su obra maacutes importante fue el descubrimiento de la relacioacuten entre la superficie el volumen de una esfera y el cilindro que la circunscribe Invento la rueda dentada y la polea para subir pesos sin esfuerzo Tambieacuten a el se le ocurrioacute usar grandes espejos para incendiar los barcos enemigos y descubrioacute la manera de medir el volumen de cuerpos irregulares (sumergieacutendolos en agua y midiendo el incremento de volumen del liacutequido)
-Eratoacutestenes (284-192 aC)
Matemaacutetico astroacutenomo geoacutegrafo filoacutesofo y poeta griego Hizo la ldquoCriba de Erastoacutetenesrdquo (nuacutemeros primos) Fue el primero que midioacute con buena exactitud el meridiano terrestre (para lo que ideoacute un sistema a partir de la semejanza de triaacutengulos que consiste en que la figura tiene aacutengulos concurrentes con los de otro triaacutengulo) Erastoacutetenes tambieacuten midioacute la oblicuidad de la ecliptica (la inclinacioacuten del eje terrestre) con un error de solo 7acute de arco y creoacute un cataacutelogo (actualmente perdido) de 675 estrellas fijas Su obra maacutes importante fue un tratado de geografiacutea general
-Hiparco de Nicea (c 190-120 a C )
Fue un matemaacutetico y astroacutenomo griego el maacutes importante de su eacutepoca tambieacuten conocido como Hiparco de Rodas Este nacioacute en Nicea Bitinia (hoy Iznik Turquiacutea) Se le considera el primer astroacutenomo cientiacutefico Fue muy preciso en sus investigaciones de las que conocemos parte por comentarse en el tratado cientiacutefico Almagesto del astroacutenomo alejandrino Tolomeo sobre quien ejercioacute gran influencia Sus caacutelculos del antildeo tropical duracioacuten del antildeo determinada por las estaciones teniacutean un margen de error de 6 5 minutos con respecto a las mediciones modernas Murioacute en Rodas Grecia en el antildeo 120 a C
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5 Bibliografiacutea wwwgoogleesimages Enciclopedia Aula del Estudiante Enciclopedia Larousse Microsoft Encarta 2007 wwwastronosurfcom wwwastronomiacom wwwwikipediaorg 100ciacomopinionforosarchiveindexphpt-5452html httpenciclopediausesindexphpEnciclopedia_Libre_Universal_en_EspaF1ol
wwwenciclopediaorg
httpwwwastromiacombiografias
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f) Medidas con nomon obtenidas por los distintos grupos Medidas tomadas el diacutea 21 de septiembre
Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3 Grupo 4 Palo 25cm 25cm 158cm 20cm
Sombra 19cm 19cm 134cm 153
Razoacuten 132 132 118 131
Medidas tomadas el diacutea 22 de septiembre
Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3 Grupo 4 Palo 136m 239m 714cm -
Sombra 0925m 191m 555cm -
Razoacuten iquest147 125 129 -
Medidas tomadas el diacutea 26 de septiembre
Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3 Grupo 4 Palo 240m 138m 5353cm 715cm
Sombra 198m 114m 50cm 625cm
Razoacuten 121 121 107 iquest149
Conclusioacuten la variacioacuten de la sombra desde el diacutea 22 al 26 es de aumento debido a
que el sol estaacute maacutes bajo el diacutea 26 que el 22 por eso hace una sombra maacutes grande
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g) Problemas surgidos al calcular el mediodiacutea El jueves 21 de septiembre tuvimos unos pequentildeos problemas que pudimos solucionar Las dificultades surgieron debido a la falta de sol en el patio Este al salir pocas veces no nos permitiacutea tomar bien la referencia de la sombra del nomon entonces a veces saliacutean algunos puntos que no pareciacutean estar bien Maacutes tarde salioacute el sol por lo cual se solucionaron los problemas no daacutendole importancia a estos puntos cuando tomamos la mediatriz del segmento
Solucionado el problema surgioacute otro la mediatriz y la sombra miacutenima no daban lo mismo asiacute que tuvimos que restarle a la uacuteltima hora lograda la primera el dato hallado lo dividimos entre dos y luego lo sumamos a la primera hora y asiacute logramos saber con claridad cuando era el mediodiacutea solar Eacuteste resultoacute ser igual que el obtenido haciendo la mediatriz En este dibujo se puede apreciar los errores que hubo al principio y algunos otros que no les dimos importancia
h) Razones de que el mediodiacutea diese a esa hora
h1) Influencia de la longitud de Alicante El globo terraacutequeo estaacute dividido en 24 zonas llamadas husos horarios Sobre la
superficie terrestre una hora corresponde a 15 grados de longitud la hora en cada zona se determina de acuerdo con la hora local media para cada longitud 0ordm 15ordm 30ordm 45ordm 360ordm
La hora del meridiano cero que pasa sobre Greenwich es usada como referencia y es llamada Tiempo Universal (TU) Hacia el oeste los husos horarios disminuyen una hora cada 15 grados y hacia el este aumentan una hora cada 15 grados a partir del meridiano de Greenwich
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En el verano muchos paiacuteses cambian su horario para aprovechar la mayor cantidad de luz solar de esta manera el tiempo en que las personas estaacuten despiertas coincide con la duracioacuten del diacutea y se ahorra electricidad Durante los cambios de horario la diferencia entre el tiempo solar aparente y la hora oficial se hace auacuten maacutes grande
Debido a que la longitud de Alicante es de 0rsquo5ordm Oeste aproximadamente hace que la
hora solar se retrase un par de minutos respecto a la hora oficial luego el mediodiacutea deberiacutea salir sobre las 1402h aproximadamente
h2) Ecuacioacuten del tiempo La ecuacioacuten del tiempo es la diferencia entre el tiempo solar medio (tiempo medido
sobre la referencia del diacutea solar medio) y el tiempo solar aparente (tiempo dado por el movimiento diario del Sol en el firmamento) Tal como se ve en un reloj de sol este movimiento no es uniforme y regular dado que la oacuterbita terrestre es eliacuteptica y tambieacuten porque el Sol se mueve a lo largo de la ecliacuteptica
El origen de este concepto se deriva de la distinta velocidad del movimiento de
traslacioacuten terrestre alrededor del Sol La oacuterbita terrestre (Ecliacuteptica) y no es circular sino eliacuteptica ocupando el Sol uno de los focos de la elipse De acuerdo con las leyes de Kepler sobre los movimientos de traslacioacuten tiempos iguales barren aacutereas iguales lo cual significa que la Tierra disminuye la velocidad de traslacioacuten cuando se encuentra maacutes alejada del Sol (porque la atraccioacuten del mismo es menor al encontrarse maacutes lejos) y lo acelera al acercarse Si no existiera esta diferencia de velocidad la Tierra se escapariacutea del Sistema Solar cuando se encontrara maacutes lejos o chocariacutea con el Sol al acercarse Asiacute pues el movimiento de traslacioacuten terrestre es un movimiento uniformemente variado
Esta diferencia es mayor a principios de noviembre cuando el tiempo solar medio
estaacute a maacutes de 16 minutos por detraacutes del tiempo solar aparente y a mediados de febrero cuando el tiempo solar medio va maacutes de 14 minutos por delante del aparente Son iguales cuatro veces al antildeo el 15 de abril 14 de junio 1 de septiembre y el 25 de diciembre
La ecuacioacuten del tiempo se representa graacuteficamente con un diagrama denominado analema que suele indicarse en los globos o esferas terrestres y que tiene forma de un 8 algo asimeacutetrico El analema indica la misma informacioacuten que la expresada a traveacutes del graacutefico adjunto
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En enero (-13min) febrero (-12min) marzo (-6min) y mitad de abril (-2min) la ecuacioacuten del tiempo es negativa la segunda mitad de abril (+3min) mayo (+3min) y mitad de junio es positiva (+2min) la segunda mitad de junio (-6min) julio (-60min) y agosto ( -1min) vuelve a ser negativa y en septiembre (+9min) octubre (+17min) noviembre (+12min) y diciembre es positiva (+1min) excepto algunos diacuteas sueltos de la uacuteltima semana de este La diferencia horaria en el equinoccio de otontildeo es de 8min 25s seguacuten el graacutefico es decir nos debiacutea de haber dado 8min 25s antes de las 1400h sobre las 1352h i) Datos obtenidos de distintos perioacutedicos sobre el sol
Los siguientes datos fueron obtenidos de distintos perioacutedicos de Alicante
Queacute (Hora civil) Informacioacuten (Hora solar) Las Provincias (Hora civil)
Salida Puesta Mediodiacutea Salida Puesta Mediodiacutea Salida Puesta Mediodiacutea
Viernes 22 - - - 6h
02min 18h
10min 12h
07min 7h
49min 19h
59min 13h
54min Saacutebado
23 - - - 6h 03min
18h 11min
12h 07min
7h 50min
19h 58min
13h 54min
Domingo 24 - - - 6h
04min 18h
09min 12h
06min 7h
50min 19h
48min 13h
49min Lunes
25 7h
52min 19h
55min 13h
53min 6h
05min 18h
07min 12h
06min 7h
52min 19h
51min 13h
51min Martes
26 7h
53min 19h
53min 13h
53min 6h
06min 18h
06min 12h
06min 7h
53min 19h
53min 13h
53min
En el diario ldquoQueacuterdquo y en ldquoLas provinciasrdquo los datos estaacuten puestos en la hora civil de
Alicante y en el ldquoInformacioacutenrdquo estaacuten en hora solar debido a esto los datos son distintos porque la diferencia entre la hora solar y la hora local es de 2h (aproximadamente)
En el diario ldquoLas Provinciasrdquo los datos del viernes 22 son muy parecidos a los
obtenidos por nosotros ya que les da a las 1354h y a nosotros a las 1353h Como no sabemos exactamente la diferencia entre la hora solar y la hora civil no podemos decir con exactitud la hora que dio el mediodiacutea en el diario ldquoEl Informacioacutenrdquo lo mismo sucede en los diacuteas siguientes el 22 y el 23 de Septiembre
Desde el saacutebado 23 (diacutea del equinoccio) hasta el domingo 24 vemos que el mediodiacutea
disminuye 5min con respecto al del diacutea 24 El lunes 25 en el diario ldquoLas Provinciasrdquo y en el diario ldquoQueacuterdquo los datos son muy iguales 1351 y 1353 respectivamente El martes 26 los datos de los distintos perioacutedicos son iguales las 1353h
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2- Inclinacioacuten de los rayos solares sobre el IES Bahiacutea de Babel a) Material utilizado para la construccioacuten del ldquoteodolito verticalrdquo
El teodolito vertical no fue construido por nosotros sino por unos antiguos alumnos del centro El teodolito vertical estaacute formando por un tubo hueco en la parte superior de una superficie lisa que lleva adherida un transportador de aacutengulos y un peacutendulo aferrado a eacuteste
b) Coacutemo utilizar el ldquoteodolito verticalrdquo
El teodolito vertical tiene una mecaacutenica sencilla a saber cuando un rayo de sol incida por el interior del conducto hueco este saldraacute y se proyectaraacute en una superficie oscura Cuando logre atravesar el cilindro tomaremos la medida del aacutengulo que forma el peacutendulo con la vertical del Sol Gracias a esto podemos saber a queacute altura sobre el horizonte estaacute el Sol desde el punto en que nos encontramos
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c) Medidas logradas con el ldquoteodolito verticalrdquo El viernes 22 intentamos usar el teodolito pero como no habiacutea suficiente sol no se pudo realizar la medicioacuten El martes 26 siacute que pudimos hacerla y a las 1353h medimos la inclinacioacuten del Sol que era de 39ordm sobre el instituto En esa hora el Sol estaba en el punto maacutes alto (cenit) porque era maacutes o menos el mediodiacutea
d) Medidas con el ldquoteodolito verticalrdquo de distintos grupos Medias obtenidas el diacutea 26 de septiembre
Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3 Grupo 4
Inclinacioacuten 39ordm 39ordm 47ordm 38ordm
Conclusioacuten Todos los grupos midieron mal la inclinacioacuten de los rayos solares (porque dieron el aacutengulo que marcaba el teodolito y ese es el que forman con los rayos con la vertical) excepto el grupo 3 que se aproximoacute un poco debido a que deberiacutea dar 52ordm
El aacutengulo que se forma en Alicante cuando los rayos del sol son perpendiculares al Ecuador es de 38ordm (latitud de Alicante) por lo cual el otro aacutengulo son 52ordm (38ordm+52ordm+90ordm=180ordm de un triaacutengulo recto) como se representa en el siguiente dibujo
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e) Inclinacioacuten de los rayos solares mediante el nomon Con el meacutetodo de la tangente podemos averiguar el aacutengulo de la inclinacioacuten del sol
contiguocatopuestocat
tan =α
El cateto opuesto es la altura del palo y el cateto contiguo es la sombra de eacuteste Despueacutes de hallar el nuacutemero hay que hacerle el arco tangente (tan ) y el nuacutemero
que deacute seraacute el aacutengulo 1minus
Angulo hallado mediante distintos nomons
Nomon grande Nomon mediano Nomon pequentildeo
Altura Sombra Grados Altura Sombra Grados Altura Sombra Grados
240m 198m 50ordm47rdquo 136m 0425m 72ordm64rdquo 025m 019m 52ordm47rdquo
Pasos para calcular el aacutengulo de cada nomon Nomon grande
47ordm50211tan211981402
== arcmm
Nomon mediano
64ordm7223tan234250361
== arcm
m
Nomon pequentildeo
47ordm523151tan3151190250
== arcmm
En el nomon mediano debe haber habido un error porque como bien sale en los otros dos nomon debiacutea de dar 52ordm47rdquo debido a los rayos paralelos del sol que inciden perpendiculares al Ecuador como se explica en el apartado anterior
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f) Posiciones Sol -Tierra
La Tierra tiene un movimiento de rotacioacuten en torno a un eje y otro de traslacioacuten de forma eliacuteptica alrededor del sol El primero de estos movimientos hace que un punto sobre ella se vea iluminado de forma perioacutedica por el Sol originando el diacutea y la noche el segundo movimiento hace que los tiempos de exposicioacuten al sol sean variables originando las estaciones Esta variacioacuten en los tiempos de exposicioacuten es debido a que el eje de rotacioacuten de la Tierra permanece praacutecticamente siempre paralelo a siacute mismo con un aacutengulo de 66ordm 33` respecto al plano de la ecliacuteptica (plano que contiene a la trayectoria de la Tierra)
Solsticio diacutea en el cual el Sol estaacute maacutes alto o maacutes bajo
1) Solsticio de verano 21 de Junio 93 diacuteas y 15h El Sol estaacute perpendicular al troacutepico de caacutencer y estaacute maacutes alto que ninguacuten diacutea del antildeo 2) Solsticio de invierno 21 de Diciembre 89 diacuteas El Sol estaacute perpendicular al troacutepico de capricornio y estaacute maacutes bajo que ninguacuten diacutea del antildeo Equinoccio diacutea donde la noche y el diacutea duran lo mismo 1) Equinoccio de primavera 21 de Marzo 92 diacuteas y 20h 2) Equinoccio de otontildeo 23 de Septiembre 89 diacuteas y 19h En el diacutea del equinoccio en el ecuador a mediodiacutea no hay sombra debido a que los rayos solares son perpendiculares al Ecuador el Sol estaacute en lo maacutes alto
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g) Movimientos de la Tierra
La Tierra posee dos movimientos baacutesicos el de traslacioacuten alrededor del Sol que marca el antildeo y el de rotacioacuten sobre su eje que marca el diacutea Ademaacutes tiene los movimientos de precesioacuten y nutacioacuten La precesioacuten de los equinoccios es un movimiento lento de la inclinacioacuten del eje de la Tierra con respecta a la ecliacuteptica Este movimiento retrasa la llegada de los equinoccios lentamente Completa una vuelta completa cada 25790 antildeos
La Tierra tarda un antildeo en completar su oacuterbita alrededor del Sol Esta oacuterbita es
eliacuteptica aunque con muy poca excentricidad Pero iquestcuaacutento tarda realmente la Tierra en dar una vuelta alrededor del Sol Si tenemos en cuenta las estrellas dura 365 diacuteas 6 horas 9 minutos y 95 segundos Se llama antildeo sideacutereo Si tenemos en cuenta dos pasos consecutivos y reales de la Tierra por el equinoccio vernal dura 365 diacuteas 5 horas 48 minutos y 4551 segundos Se llama antildeo troacutepico o solar La diferencia entre el antildeo troacutepico y el sideacutereo es producto del movimiento precesioacuten de los equinoccios En nuestro calendario usamos el antildeo civil que consta de 365 oacute 366 diacuteas Es una solucioacuten que nos permite contar el antildeo en diacuteas completos
La Tierra realiza un movimiento completo de rotacioacuten alrededor de su eje que va de
polo a polo (geograacutefico no magneacutetico) en 23 horas 56 minutos 409 segundos unos 4 minutos menos que 24 horas
La Tierra da una vuelta entera (360deg) en aproximadamente 24 horas debido a la
rotacioacuten de la Tierra y se mueve alrededor del Sol a una velocidad aproximada de 15ordmh oacute 30 Km por segundo (unos 108000 Kmh) Ademaacutes en su rotacioacuten alrededor de su eje la superficie de la Tierra se mueve con distintas velocidades dependiendo de su distancia al Ecuador
La nutacioacuten es un bamboleo menor del eje de la Tierra con respecto a la ecliacuteptica
Tiene un ciclo de 19 antildeos en el que la inclinacioacuten variacutea entre 6 y 9 segundos Tanto la precesioacuten como la nutacioacuten son movimientos provocados por la influencia gravitatoria del Sol y la Luna Son movimientos complementarios mientras la precesioacuten dibuja una elipse la nutacioacuten hace que ese dibujo sea ondulado
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3- Mediciones en el patio a) Medicioacuten de un objeto de base accesible
a1) Medicioacuten del cipreacutes mediante semejanza Para medir la altura de del cipreacutes con semejanza necesitamos un nivel de aacutengulo un nomon (grande a ser posible) y un metro
Cuando hemos reunido todos estos materiales medimos el nomon y la longitud de la sombra del cipreacutes
Luego hay que poner el nomon en un sitio donde concuerden los extremos de las sombras y medir la distancia de la base del nomon hasta el liacutemite de la sombra
Medidas obtenidas
Sombra del cipreacutes 12m Nomon 240m Sombra del nomon 282m
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Al medir todo soacutelo hay que hacer una simple ecuacioacuten
nomondelSombraNomon
cipreacutesdelSombraCipreacutes
=
mymm
ymm
my 211085012850
12822402
12==times==
Luego el cipreacutes mide aproximadamente 1021m de altura a2) Medicioacuten del cipreacutes mediante trigonometriacutea Para medir el cipreacutes con el meacutetodo de trigonometriacutea necesitamos un teodolito vertical y un metro Cuando tengamos esos materiales nos colocamos delante del cipreacutes a unos metros y con el teodolito miramos la punta maacutes alta del cipreacutes y anotamos los grados que nos ha dado Medimos la distancia del cipreacutes al punto donde hemos medido y la distancia del ojo al suelo
Medidas obtenidas Longitud desde el cipreacutes hasta nosotros 885m Aacutengulo 45ordm Longitud del ojo al suelo 146m Una vez medido todo soacutelo hay que hacer una simple ecuacioacuten
aacutengulodelnosotroshastalongcipreacutesdelaltura tan
=
mym
ym
y 85885811858
ordm45tan858
=times===
15
Al nuacutemero hallado hay que sumarle la distancia del ojo al suelo y esa seraacute la altura del cipreacutes
mmm 3110461858 =+
El cipreacutes mide 1031m de altura a3) Medicioacuten del gimnasio mediante trigonometriacutea Para medir el gimnasio con el meacutetodo de trigonometriacutea necesitamos los mismos materiales usados para medir el cipreacutes con esta misma teacutecnica Cuando tenemos los materiales nos ponemos a una cierta distancia de eacutel y medimos el aacutengulo obtenido al mirar a la cornisa del gimnasio y la distancia que nos separa del eacutel Medidas obtenidas Longitud desde el gimnasio hasta nosotros 885m Aacutengulo 27ordm Longitud del ojo al suelo 146m Una vez medido todo hay que hacer la misma ecuacioacuten que la del cipreacutes pero con los datos del gimnasio
aacutengulodelnosotroshastalonggimnasiodelaltura tan
=
mym
yy 514858510510858
ordm27tan858
=times===
Al nuacutemero hallado hay que sumarle la distancia del ojo al suelo y esa seraacute la altura del gimnasio
mmm 975461514 =+
El gimnasio mide 597m de altura
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b) Medicioacuten de un objeto de base inaccesible
Para medir la altura del edificio necesitamos los materiales utilizados en la medicioacuten del gimnasio y del cipreacutes mediante el meacutetodo de la trigonometriacutea Nos colocamos lo maacutes cerca posible del edificio y tomamos la medida del aacutengulo obtenido nos alejamos del punto donde estaacutebamos y medimos la distancia que separa un punto del otro y los grados obtenidos este proceso lo repetimos otra vez
y = edificio x = distancia del edificio a nosotros ( 1ordf medida) Medidas obtenidas Primer aacutengulo 41ordm Segundo aacutengulo 25ordm Tercer aacutengulo 19ordm Primera medida x Segunda medida 20m Tercera medida 10m Distancio del ojo al suelo 168m Planteamos un sistema de ecuaciones con los dos primeros aacutengulos
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+==+
=
===
xyx
y
xyxy
20middot46046020
ordm25tan
870870ordm41tan
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( )
myy
mx
x
xxx
xxxx
16201023middot3870
102340370329
32940370329460870
46032987020middot460870
===
=
==minus
+=+=
Despueacutes de utilizar los dos primeros aacutengulos ahora utilizaremos el primero y el tercero
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+==++
=
===
xyx
y
xyxy
30middot3403401020
ordm19tan
870870ordm41tan
( )
myy
mx
x
xxx
xxxx
09176519middot870
65195203310
33105203310340870
340331087030middot340870
===
=
==minus+=
+=
Los nuacutemeros hallados sobre la ldquoxrdquo y la ldquoyrdquo van a ser distintos de una ecuacioacuten a otra por eso hay que hallar la media
my
mx
83172
57180917
86162
57186519
=+
=
=+
=
Al nuacutemero dado por la ldquoyrdquo hay que sumarle la distancia del ojo al suelo y esa seraacute la medida del edificio
17rsquo83+1rsquo68= 19rsquo51m
El edificio mide 19rsquo51m
La distancia entre la primera medida y el edificio es 16rsquo86m
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c) Errores y problemas El primer error en la medicioacuten del cipreacutes pudo ser que midieacuteramos la sombra o la penumbra pero hay que medir en el medio entre la sombra y la penumbra
Otro problema que hubo fue el que al medir a distintas alturas con el teodolito vertical el edificio tuvimos que nivelarlo poniendo un objeto que estuviera a la misma altura que la primera para nivelar la distancia al suelo como se ilustra en la siguiente imagen
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4- Vocabulario y Personajes a) Glosario Anatema Curva que describe la posicioacuten del Sol en el cielo a la misma hora del diacutea y en el mismo lugar de observacioacuten por un antildeo entero En la Tierra es en forma de ocho (infin) El componente horizontal muestra la ecuacioacuten de tiempo que es la diferencia entre el tiempo solar aparente y el tiempo solar medio El componente vertical muestra la declinacioacuten del Sol A veces se dibuja en los globos terraacutequeos Aacutengulo figura geomeacutetrica formada en una superficie por liacuteneas que parten de un mismo punto Astronomiacutea (del griego αστρονομία = άστρον + νόμος) etimoloacutegicamente significa la Ley de las estrellas y es la ciencia que estudia los astros a partir de la informacioacuten que nos llega de ellos a traveacutes de la radiacioacuten electromagneacutetica Calendario (del latiacuten calenda) es una cuenta sistematizada del tiempo para la organizacioacuten de las actividades humanas Antiguamente estaba basado en los ciclos lunares En la actualidad los diversos calendarios tienen base en el ciclo que describe la Tierra alrededor del Sol y se denominan calendarios solares El calendario sideral se basa en el movimiento de otros astros diferentes al Sol Cenit interseccioacuten entre la vertical del observador y la esfera celeste O sea si imaginamos una recta que pasa por el centro de la Tierra y por nuestra ubicacioacuten en su superficie el cenit se encuentra sobre esa recta por encima de nuestras cabezas El punto diametralmente opuesto de la esfera celeste al cenit se denomina Nadir Coordenadas se dice de las liacuteneas que sirven para determinar la posicioacuten de un punto y de los ejes planos a que se refieren aquellas liacuteneas Ecliacuteptica (del latiacuten ecliptĭca [linĕa] (del griego ἐκλειπτική relativo a los eclipses) es el plano que contiene la oacuterbita de la Tierra alrededor del Sol Eliacuteptica oacuterbita de un astro que gira alrededor de otro describiendo una elipse El astro central se situacutea en uno de los focos de la elipse Todas las oacuterbitas de los planetas del sistema solar tienen esta oacuterbita Ecuador paralelo que se toma como 0ordm de latitud Equinoccio eacutepoca en que por incidir los rayos perpendicularmente al ecuador los diacuteas tienen la misma duracioacuten que la noche en toda la tierra lo cual sucede anualmente del 20 al 21 de marzo y del 22 al 23 de septiembre Excentricidad en matemaacuteticas y geometriacutea es un paraacutemetro que determina el grado de desviacioacuten de una seccioacuten coacutenica con respecto a una circunferencia Es un paraacutemetro importante en la definicioacuten de las elipses Gnomon Palo vertical de altura determinada Husos horarios son cada una de las veinticuatro aacutereas en que se divide la Tierra y que siguen la misma definicioacuten de tiempo cronoloacutegico
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Latitud Distancia en grados entre un paralelo y el Ecuador Puede alcanzar los 90ordm Norte o Sur Longitud Distancia en grados entre un meridiano con el meridiano de Greenwich Su maacuteximo es 180ordm OE Mediatriz de un segmento es la recta equidistante de dos puntos del plano equidistantes Esta corta el segmento por su mitad y perpendicularmente Meridiano Cada una de las liacuteneas imaginarias que atraviesan la esfera terrestre desde el polo norte hasta el polo sur Meridiano de Greenwich semiciacuterculo imaginario que une los polos y pasa por Greenwich maacutes precisamente por el antiguo observatorio astronoacutemico de este suburbio de Londres Este sirve de meridiano de origen es a partir de eacutel que se miden las longitudes en grados es decir que corresponde a la longitud cero por lo que tambieacuten se llama meridiano cero y primer meridiano Nutacioacuten (del latiacuten ldquonutarerdquo cabecear u oscilar) es la oscilacioacuten perioacutedica del polo de la Tierra alrededor de su posicioacuten media en la esfera celeste debida a la influencia de la Luna sobre el planeta similar al movimiento de una peonza cuando pierde fuerza y estaacute a punto de caerse Paralelo cada una de las liacuteneas imaginarias que rodean la Tierra de Este a Oeste
Ciacuterculo polar aacutertico es uno de los cinco paralelos principales terrestres Se trata del paralelo de latitud 66deg 33 38 Norte El espacio situado al norte del ciacuterculo aacutertico se denomina Aacutertico y la regioacuten al sur de este ciacuterculo se denomina Zona Templada Norte
Ciacuterculo polar antaacutertico uno de los cinco principales paralelos que sentildealan los mapas de la Tierra Es el paralelo de latitud 66deg 33 38 al sur del ecuador Precesioacuten es el cambio de la direccioacuten del eje alrededor del cual gira un objeto Radio liacutenea recta comprendida entre un punto cualquiera de la circunferencia del circulo hasta el centro del mismo Refraccioacuten hacer que cambie de direccioacuten el rayo de la luz que pasa oblicuamente de un medio a otro de diferente densidad Rotacioacuten el movimiento de cambio de orientacioacuten de un cuerpo extenso de forma que dado un punto cualquiera del mismo este permanece a una distancia constante de un punto fijo Semejanza (del griego iso-gonios = iguales aacutengulos) En geometriacutea diacutecese de una figura que tiene aacutengulos congruentes con los de otra Solsticio eacutepoca en que el Sol se halla en uno de los dos troacutepicos lo cual sucede del 21 al 22 de junio para el troacutepico de Caacutencer y del 21 al 22 de diciembre para el de Capricornio Tangente cociente entre los catetos de un triaacutengulo rectaacutengulo cateto opuestocateto contiguo En la eacutepoca de Eratoacutestenes existiacutean tablas aacutengulo ndash tangente Teodolito instrumento de medicioacuten mecaacutenico-oacuteptico universal que sirve para medir aacutengulos verticales y sobre todo horizontales aacutembito en el cual tiene una precisioacuten elevada Con otras herramientas auxiliares puede medir distancias y desniveles
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Traslacioacuten movimiento por el cual la Tierra se mueve alrededor del Sol La causa de este movimiento es la accioacuten de la gravedad originaacutendose cambios que al igual que el diacutea permiten la medicioacuten del tiempo Trigonometriacutea (del griego la medicioacuten de los triaacutengulos) es una rama de las matemaacuteticas que estudia los aacutengulos y los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo y las relaciones entre ellos Troacutepicos liacuteneas imaginarias situadas a aproximadamente 23ordm de latitud Troacutepico de Caacutencer paralelo situado a una latitud de 23ordm27rsquo al norte de ecuador delimita los puntos maacutes septentrionales en los que el sol puede ocupar el cenit o la vertical del lugar mediodiacutea Troacutepico de Capricornio troacutepico del hemisferio sur Se llama de Capricornio porque se consideraba que el diacutea del solsticio en los troacutepicos el Sol iluminaba el fondo de los pozos y en aquellas fechas en el hemisferio sur el Sol estaba en la constelacioacuten de Capricornio 4b) Matemaacuteticos - Tales de Mileto (625-546 aC)
Geoacutemetra griego y uno de los siete sabios de Grecia Fue el primer matemaacutetico griego que inicioacute el desarrollo razonado de la geometriacutea Hacia el antildeo 600 a C Tales visitoacute Egipto El faraoacuten le pidioacute que resolviera un viejo problema conocer la altura exacta de la Gran Piraacutemide Tales se apoyoacute en su bastoacuten y esperoacute Cuando la sombra del bastoacuten fue igual de larga que el propio bastoacuten le dijo a un servidor del faraoacuten ldquoCorre y mide la sombra de la Gran Piraacutemide En este momento es tan larga como la propia piraacutemiderdquo Tales era famoso desde el antildeo 585 aC ya que predijo con toda
exactitud un eclipse de Sol - Pitaacutegoras (582-500 aC)
Fundoacute la escuela pitagoacuterica hacia el antildeo 530aC donde se estudiaba filosofiacutea matemaacuteticas y ciencias naturales estaba situada en Crotona (al sur de Italia) Ademaacutes de formular el teorema que lleva su nombre inventoacute la tabla de multiplicar y estudio la relacioacuten entre la muacutesica y las matemaacuteticas A partir de la Edad Media el teorema de Pitaacutegoras fue considerado como el ldquopons asinorumrdquo (puente de asnos) o conocimiento que separaba a las personas cultas de las incultas
- Euclides (365-300 aC)
Se conoce muy poco de la vida de este sabio griego Posiblemente vivioacute entre el 365 y el 300 aC pero se desconoce su lugar de nacimiento Se le denomina de Alejandriacutea porque fue en esta ciudad donde se desarrollo su trabajo Su obra ldquoElementos de Geometriacuteardquo es el texto matemaacutetico de maacutes eacutexito en toda la historia Tanto es asiacute que hasta una eacutepoca muy reciente todaviacutea se utilizaba como texto escolar en Inglaterra
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-Aristarco (310 aC - 230 aC)
Nacioacute en Samos - Grecia - en el antildeo 310 aC y murioacute en el 220 aC Fue disciacutepulo de Estratoacuten de Lampsacos jefe de la escuela peripateacutetica fundada por Aristoacuteteles Antildeos despueacutes Aristarco sucederiacutea a Teofrasto como jefe de esta institucioacuten entre antildeos 288 y 287 aC Fue un haacutebil geoacutemetra pero es poco lo que se conoce de su vida Sus hipoacutetesis sobre el universo se han extraiacutedo a partir de las referencias hechas por otros autores despueacutes de su muerte Ptolomeo en el Almagesto lo nombra como un concienzudo observador de los solsticios y equinoccios Parece haber interpretado estas observaciones correctamente atribuyendo estos fenoacutemenos al movimiento de la Tierra alrededor del Sol Dedujo por esto
que era necesario que la oacuterbita terrestre estuviera inclinada para explicar los cambios de estacioacuten - Arquiacutemedes (287-212 aC)
Se le considera padre de la ciencia mecaacutenica el cientiacutefico y matemaacutetico maacutes importante de la Edad Antigua Su obra maacutes importante fue el descubrimiento de la relacioacuten entre la superficie el volumen de una esfera y el cilindro que la circunscribe Invento la rueda dentada y la polea para subir pesos sin esfuerzo Tambieacuten a el se le ocurrioacute usar grandes espejos para incendiar los barcos enemigos y descubrioacute la manera de medir el volumen de cuerpos irregulares (sumergieacutendolos en agua y midiendo el incremento de volumen del liacutequido)
-Eratoacutestenes (284-192 aC)
Matemaacutetico astroacutenomo geoacutegrafo filoacutesofo y poeta griego Hizo la ldquoCriba de Erastoacutetenesrdquo (nuacutemeros primos) Fue el primero que midioacute con buena exactitud el meridiano terrestre (para lo que ideoacute un sistema a partir de la semejanza de triaacutengulos que consiste en que la figura tiene aacutengulos concurrentes con los de otro triaacutengulo) Erastoacutetenes tambieacuten midioacute la oblicuidad de la ecliptica (la inclinacioacuten del eje terrestre) con un error de solo 7acute de arco y creoacute un cataacutelogo (actualmente perdido) de 675 estrellas fijas Su obra maacutes importante fue un tratado de geografiacutea general
-Hiparco de Nicea (c 190-120 a C )
Fue un matemaacutetico y astroacutenomo griego el maacutes importante de su eacutepoca tambieacuten conocido como Hiparco de Rodas Este nacioacute en Nicea Bitinia (hoy Iznik Turquiacutea) Se le considera el primer astroacutenomo cientiacutefico Fue muy preciso en sus investigaciones de las que conocemos parte por comentarse en el tratado cientiacutefico Almagesto del astroacutenomo alejandrino Tolomeo sobre quien ejercioacute gran influencia Sus caacutelculos del antildeo tropical duracioacuten del antildeo determinada por las estaciones teniacutean un margen de error de 6 5 minutos con respecto a las mediciones modernas Murioacute en Rodas Grecia en el antildeo 120 a C
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5 Bibliografiacutea wwwgoogleesimages Enciclopedia Aula del Estudiante Enciclopedia Larousse Microsoft Encarta 2007 wwwastronosurfcom wwwastronomiacom wwwwikipediaorg 100ciacomopinionforosarchiveindexphpt-5452html httpenciclopediausesindexphpEnciclopedia_Libre_Universal_en_EspaF1ol
wwwenciclopediaorg
httpwwwastromiacombiografias
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g) Problemas surgidos al calcular el mediodiacutea El jueves 21 de septiembre tuvimos unos pequentildeos problemas que pudimos solucionar Las dificultades surgieron debido a la falta de sol en el patio Este al salir pocas veces no nos permitiacutea tomar bien la referencia de la sombra del nomon entonces a veces saliacutean algunos puntos que no pareciacutean estar bien Maacutes tarde salioacute el sol por lo cual se solucionaron los problemas no daacutendole importancia a estos puntos cuando tomamos la mediatriz del segmento
Solucionado el problema surgioacute otro la mediatriz y la sombra miacutenima no daban lo mismo asiacute que tuvimos que restarle a la uacuteltima hora lograda la primera el dato hallado lo dividimos entre dos y luego lo sumamos a la primera hora y asiacute logramos saber con claridad cuando era el mediodiacutea solar Eacuteste resultoacute ser igual que el obtenido haciendo la mediatriz En este dibujo se puede apreciar los errores que hubo al principio y algunos otros que no les dimos importancia
h) Razones de que el mediodiacutea diese a esa hora
h1) Influencia de la longitud de Alicante El globo terraacutequeo estaacute dividido en 24 zonas llamadas husos horarios Sobre la
superficie terrestre una hora corresponde a 15 grados de longitud la hora en cada zona se determina de acuerdo con la hora local media para cada longitud 0ordm 15ordm 30ordm 45ordm 360ordm
La hora del meridiano cero que pasa sobre Greenwich es usada como referencia y es llamada Tiempo Universal (TU) Hacia el oeste los husos horarios disminuyen una hora cada 15 grados y hacia el este aumentan una hora cada 15 grados a partir del meridiano de Greenwich
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En el verano muchos paiacuteses cambian su horario para aprovechar la mayor cantidad de luz solar de esta manera el tiempo en que las personas estaacuten despiertas coincide con la duracioacuten del diacutea y se ahorra electricidad Durante los cambios de horario la diferencia entre el tiempo solar aparente y la hora oficial se hace auacuten maacutes grande
Debido a que la longitud de Alicante es de 0rsquo5ordm Oeste aproximadamente hace que la
hora solar se retrase un par de minutos respecto a la hora oficial luego el mediodiacutea deberiacutea salir sobre las 1402h aproximadamente
h2) Ecuacioacuten del tiempo La ecuacioacuten del tiempo es la diferencia entre el tiempo solar medio (tiempo medido
sobre la referencia del diacutea solar medio) y el tiempo solar aparente (tiempo dado por el movimiento diario del Sol en el firmamento) Tal como se ve en un reloj de sol este movimiento no es uniforme y regular dado que la oacuterbita terrestre es eliacuteptica y tambieacuten porque el Sol se mueve a lo largo de la ecliacuteptica
El origen de este concepto se deriva de la distinta velocidad del movimiento de
traslacioacuten terrestre alrededor del Sol La oacuterbita terrestre (Ecliacuteptica) y no es circular sino eliacuteptica ocupando el Sol uno de los focos de la elipse De acuerdo con las leyes de Kepler sobre los movimientos de traslacioacuten tiempos iguales barren aacutereas iguales lo cual significa que la Tierra disminuye la velocidad de traslacioacuten cuando se encuentra maacutes alejada del Sol (porque la atraccioacuten del mismo es menor al encontrarse maacutes lejos) y lo acelera al acercarse Si no existiera esta diferencia de velocidad la Tierra se escapariacutea del Sistema Solar cuando se encontrara maacutes lejos o chocariacutea con el Sol al acercarse Asiacute pues el movimiento de traslacioacuten terrestre es un movimiento uniformemente variado
Esta diferencia es mayor a principios de noviembre cuando el tiempo solar medio
estaacute a maacutes de 16 minutos por detraacutes del tiempo solar aparente y a mediados de febrero cuando el tiempo solar medio va maacutes de 14 minutos por delante del aparente Son iguales cuatro veces al antildeo el 15 de abril 14 de junio 1 de septiembre y el 25 de diciembre
La ecuacioacuten del tiempo se representa graacuteficamente con un diagrama denominado analema que suele indicarse en los globos o esferas terrestres y que tiene forma de un 8 algo asimeacutetrico El analema indica la misma informacioacuten que la expresada a traveacutes del graacutefico adjunto
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En enero (-13min) febrero (-12min) marzo (-6min) y mitad de abril (-2min) la ecuacioacuten del tiempo es negativa la segunda mitad de abril (+3min) mayo (+3min) y mitad de junio es positiva (+2min) la segunda mitad de junio (-6min) julio (-60min) y agosto ( -1min) vuelve a ser negativa y en septiembre (+9min) octubre (+17min) noviembre (+12min) y diciembre es positiva (+1min) excepto algunos diacuteas sueltos de la uacuteltima semana de este La diferencia horaria en el equinoccio de otontildeo es de 8min 25s seguacuten el graacutefico es decir nos debiacutea de haber dado 8min 25s antes de las 1400h sobre las 1352h i) Datos obtenidos de distintos perioacutedicos sobre el sol
Los siguientes datos fueron obtenidos de distintos perioacutedicos de Alicante
Queacute (Hora civil) Informacioacuten (Hora solar) Las Provincias (Hora civil)
Salida Puesta Mediodiacutea Salida Puesta Mediodiacutea Salida Puesta Mediodiacutea
Viernes 22 - - - 6h
02min 18h
10min 12h
07min 7h
49min 19h
59min 13h
54min Saacutebado
23 - - - 6h 03min
18h 11min
12h 07min
7h 50min
19h 58min
13h 54min
Domingo 24 - - - 6h
04min 18h
09min 12h
06min 7h
50min 19h
48min 13h
49min Lunes
25 7h
52min 19h
55min 13h
53min 6h
05min 18h
07min 12h
06min 7h
52min 19h
51min 13h
51min Martes
26 7h
53min 19h
53min 13h
53min 6h
06min 18h
06min 12h
06min 7h
53min 19h
53min 13h
53min
En el diario ldquoQueacuterdquo y en ldquoLas provinciasrdquo los datos estaacuten puestos en la hora civil de
Alicante y en el ldquoInformacioacutenrdquo estaacuten en hora solar debido a esto los datos son distintos porque la diferencia entre la hora solar y la hora local es de 2h (aproximadamente)
En el diario ldquoLas Provinciasrdquo los datos del viernes 22 son muy parecidos a los
obtenidos por nosotros ya que les da a las 1354h y a nosotros a las 1353h Como no sabemos exactamente la diferencia entre la hora solar y la hora civil no podemos decir con exactitud la hora que dio el mediodiacutea en el diario ldquoEl Informacioacutenrdquo lo mismo sucede en los diacuteas siguientes el 22 y el 23 de Septiembre
Desde el saacutebado 23 (diacutea del equinoccio) hasta el domingo 24 vemos que el mediodiacutea
disminuye 5min con respecto al del diacutea 24 El lunes 25 en el diario ldquoLas Provinciasrdquo y en el diario ldquoQueacuterdquo los datos son muy iguales 1351 y 1353 respectivamente El martes 26 los datos de los distintos perioacutedicos son iguales las 1353h
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2- Inclinacioacuten de los rayos solares sobre el IES Bahiacutea de Babel a) Material utilizado para la construccioacuten del ldquoteodolito verticalrdquo
El teodolito vertical no fue construido por nosotros sino por unos antiguos alumnos del centro El teodolito vertical estaacute formando por un tubo hueco en la parte superior de una superficie lisa que lleva adherida un transportador de aacutengulos y un peacutendulo aferrado a eacuteste
b) Coacutemo utilizar el ldquoteodolito verticalrdquo
El teodolito vertical tiene una mecaacutenica sencilla a saber cuando un rayo de sol incida por el interior del conducto hueco este saldraacute y se proyectaraacute en una superficie oscura Cuando logre atravesar el cilindro tomaremos la medida del aacutengulo que forma el peacutendulo con la vertical del Sol Gracias a esto podemos saber a queacute altura sobre el horizonte estaacute el Sol desde el punto en que nos encontramos
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c) Medidas logradas con el ldquoteodolito verticalrdquo El viernes 22 intentamos usar el teodolito pero como no habiacutea suficiente sol no se pudo realizar la medicioacuten El martes 26 siacute que pudimos hacerla y a las 1353h medimos la inclinacioacuten del Sol que era de 39ordm sobre el instituto En esa hora el Sol estaba en el punto maacutes alto (cenit) porque era maacutes o menos el mediodiacutea
d) Medidas con el ldquoteodolito verticalrdquo de distintos grupos Medias obtenidas el diacutea 26 de septiembre
Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3 Grupo 4
Inclinacioacuten 39ordm 39ordm 47ordm 38ordm
Conclusioacuten Todos los grupos midieron mal la inclinacioacuten de los rayos solares (porque dieron el aacutengulo que marcaba el teodolito y ese es el que forman con los rayos con la vertical) excepto el grupo 3 que se aproximoacute un poco debido a que deberiacutea dar 52ordm
El aacutengulo que se forma en Alicante cuando los rayos del sol son perpendiculares al Ecuador es de 38ordm (latitud de Alicante) por lo cual el otro aacutengulo son 52ordm (38ordm+52ordm+90ordm=180ordm de un triaacutengulo recto) como se representa en el siguiente dibujo
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e) Inclinacioacuten de los rayos solares mediante el nomon Con el meacutetodo de la tangente podemos averiguar el aacutengulo de la inclinacioacuten del sol
contiguocatopuestocat
tan =α
El cateto opuesto es la altura del palo y el cateto contiguo es la sombra de eacuteste Despueacutes de hallar el nuacutemero hay que hacerle el arco tangente (tan ) y el nuacutemero
que deacute seraacute el aacutengulo 1minus
Angulo hallado mediante distintos nomons
Nomon grande Nomon mediano Nomon pequentildeo
Altura Sombra Grados Altura Sombra Grados Altura Sombra Grados
240m 198m 50ordm47rdquo 136m 0425m 72ordm64rdquo 025m 019m 52ordm47rdquo
Pasos para calcular el aacutengulo de cada nomon Nomon grande
47ordm50211tan211981402
== arcmm
Nomon mediano
64ordm7223tan234250361
== arcm
m
Nomon pequentildeo
47ordm523151tan3151190250
== arcmm
En el nomon mediano debe haber habido un error porque como bien sale en los otros dos nomon debiacutea de dar 52ordm47rdquo debido a los rayos paralelos del sol que inciden perpendiculares al Ecuador como se explica en el apartado anterior
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f) Posiciones Sol -Tierra
La Tierra tiene un movimiento de rotacioacuten en torno a un eje y otro de traslacioacuten de forma eliacuteptica alrededor del sol El primero de estos movimientos hace que un punto sobre ella se vea iluminado de forma perioacutedica por el Sol originando el diacutea y la noche el segundo movimiento hace que los tiempos de exposicioacuten al sol sean variables originando las estaciones Esta variacioacuten en los tiempos de exposicioacuten es debido a que el eje de rotacioacuten de la Tierra permanece praacutecticamente siempre paralelo a siacute mismo con un aacutengulo de 66ordm 33` respecto al plano de la ecliacuteptica (plano que contiene a la trayectoria de la Tierra)
Solsticio diacutea en el cual el Sol estaacute maacutes alto o maacutes bajo
1) Solsticio de verano 21 de Junio 93 diacuteas y 15h El Sol estaacute perpendicular al troacutepico de caacutencer y estaacute maacutes alto que ninguacuten diacutea del antildeo 2) Solsticio de invierno 21 de Diciembre 89 diacuteas El Sol estaacute perpendicular al troacutepico de capricornio y estaacute maacutes bajo que ninguacuten diacutea del antildeo Equinoccio diacutea donde la noche y el diacutea duran lo mismo 1) Equinoccio de primavera 21 de Marzo 92 diacuteas y 20h 2) Equinoccio de otontildeo 23 de Septiembre 89 diacuteas y 19h En el diacutea del equinoccio en el ecuador a mediodiacutea no hay sombra debido a que los rayos solares son perpendiculares al Ecuador el Sol estaacute en lo maacutes alto
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g) Movimientos de la Tierra
La Tierra posee dos movimientos baacutesicos el de traslacioacuten alrededor del Sol que marca el antildeo y el de rotacioacuten sobre su eje que marca el diacutea Ademaacutes tiene los movimientos de precesioacuten y nutacioacuten La precesioacuten de los equinoccios es un movimiento lento de la inclinacioacuten del eje de la Tierra con respecta a la ecliacuteptica Este movimiento retrasa la llegada de los equinoccios lentamente Completa una vuelta completa cada 25790 antildeos
La Tierra tarda un antildeo en completar su oacuterbita alrededor del Sol Esta oacuterbita es
eliacuteptica aunque con muy poca excentricidad Pero iquestcuaacutento tarda realmente la Tierra en dar una vuelta alrededor del Sol Si tenemos en cuenta las estrellas dura 365 diacuteas 6 horas 9 minutos y 95 segundos Se llama antildeo sideacutereo Si tenemos en cuenta dos pasos consecutivos y reales de la Tierra por el equinoccio vernal dura 365 diacuteas 5 horas 48 minutos y 4551 segundos Se llama antildeo troacutepico o solar La diferencia entre el antildeo troacutepico y el sideacutereo es producto del movimiento precesioacuten de los equinoccios En nuestro calendario usamos el antildeo civil que consta de 365 oacute 366 diacuteas Es una solucioacuten que nos permite contar el antildeo en diacuteas completos
La Tierra realiza un movimiento completo de rotacioacuten alrededor de su eje que va de
polo a polo (geograacutefico no magneacutetico) en 23 horas 56 minutos 409 segundos unos 4 minutos menos que 24 horas
La Tierra da una vuelta entera (360deg) en aproximadamente 24 horas debido a la
rotacioacuten de la Tierra y se mueve alrededor del Sol a una velocidad aproximada de 15ordmh oacute 30 Km por segundo (unos 108000 Kmh) Ademaacutes en su rotacioacuten alrededor de su eje la superficie de la Tierra se mueve con distintas velocidades dependiendo de su distancia al Ecuador
La nutacioacuten es un bamboleo menor del eje de la Tierra con respecto a la ecliacuteptica
Tiene un ciclo de 19 antildeos en el que la inclinacioacuten variacutea entre 6 y 9 segundos Tanto la precesioacuten como la nutacioacuten son movimientos provocados por la influencia gravitatoria del Sol y la Luna Son movimientos complementarios mientras la precesioacuten dibuja una elipse la nutacioacuten hace que ese dibujo sea ondulado
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3- Mediciones en el patio a) Medicioacuten de un objeto de base accesible
a1) Medicioacuten del cipreacutes mediante semejanza Para medir la altura de del cipreacutes con semejanza necesitamos un nivel de aacutengulo un nomon (grande a ser posible) y un metro
Cuando hemos reunido todos estos materiales medimos el nomon y la longitud de la sombra del cipreacutes
Luego hay que poner el nomon en un sitio donde concuerden los extremos de las sombras y medir la distancia de la base del nomon hasta el liacutemite de la sombra
Medidas obtenidas
Sombra del cipreacutes 12m Nomon 240m Sombra del nomon 282m
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Al medir todo soacutelo hay que hacer una simple ecuacioacuten
nomondelSombraNomon
cipreacutesdelSombraCipreacutes
=
mymm
ymm
my 211085012850
12822402
12==times==
Luego el cipreacutes mide aproximadamente 1021m de altura a2) Medicioacuten del cipreacutes mediante trigonometriacutea Para medir el cipreacutes con el meacutetodo de trigonometriacutea necesitamos un teodolito vertical y un metro Cuando tengamos esos materiales nos colocamos delante del cipreacutes a unos metros y con el teodolito miramos la punta maacutes alta del cipreacutes y anotamos los grados que nos ha dado Medimos la distancia del cipreacutes al punto donde hemos medido y la distancia del ojo al suelo
Medidas obtenidas Longitud desde el cipreacutes hasta nosotros 885m Aacutengulo 45ordm Longitud del ojo al suelo 146m Una vez medido todo soacutelo hay que hacer una simple ecuacioacuten
aacutengulodelnosotroshastalongcipreacutesdelaltura tan
=
mym
ym
y 85885811858
ordm45tan858
=times===
15
Al nuacutemero hallado hay que sumarle la distancia del ojo al suelo y esa seraacute la altura del cipreacutes
mmm 3110461858 =+
El cipreacutes mide 1031m de altura a3) Medicioacuten del gimnasio mediante trigonometriacutea Para medir el gimnasio con el meacutetodo de trigonometriacutea necesitamos los mismos materiales usados para medir el cipreacutes con esta misma teacutecnica Cuando tenemos los materiales nos ponemos a una cierta distancia de eacutel y medimos el aacutengulo obtenido al mirar a la cornisa del gimnasio y la distancia que nos separa del eacutel Medidas obtenidas Longitud desde el gimnasio hasta nosotros 885m Aacutengulo 27ordm Longitud del ojo al suelo 146m Una vez medido todo hay que hacer la misma ecuacioacuten que la del cipreacutes pero con los datos del gimnasio
aacutengulodelnosotroshastalonggimnasiodelaltura tan
=
mym
yy 514858510510858
ordm27tan858
=times===
Al nuacutemero hallado hay que sumarle la distancia del ojo al suelo y esa seraacute la altura del gimnasio
mmm 975461514 =+
El gimnasio mide 597m de altura
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b) Medicioacuten de un objeto de base inaccesible
Para medir la altura del edificio necesitamos los materiales utilizados en la medicioacuten del gimnasio y del cipreacutes mediante el meacutetodo de la trigonometriacutea Nos colocamos lo maacutes cerca posible del edificio y tomamos la medida del aacutengulo obtenido nos alejamos del punto donde estaacutebamos y medimos la distancia que separa un punto del otro y los grados obtenidos este proceso lo repetimos otra vez
y = edificio x = distancia del edificio a nosotros ( 1ordf medida) Medidas obtenidas Primer aacutengulo 41ordm Segundo aacutengulo 25ordm Tercer aacutengulo 19ordm Primera medida x Segunda medida 20m Tercera medida 10m Distancio del ojo al suelo 168m Planteamos un sistema de ecuaciones con los dos primeros aacutengulos
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+==+
=
===
xyx
y
xyxy
20middot46046020
ordm25tan
870870ordm41tan
17
( )
myy
mx
x
xxx
xxxx
16201023middot3870
102340370329
32940370329460870
46032987020middot460870
===
=
==minus
+=+=
Despueacutes de utilizar los dos primeros aacutengulos ahora utilizaremos el primero y el tercero
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+==++
=
===
xyx
y
xyxy
30middot3403401020
ordm19tan
870870ordm41tan
( )
myy
mx
x
xxx
xxxx
09176519middot870
65195203310
33105203310340870
340331087030middot340870
===
=
==minus+=
+=
Los nuacutemeros hallados sobre la ldquoxrdquo y la ldquoyrdquo van a ser distintos de una ecuacioacuten a otra por eso hay que hallar la media
my
mx
83172
57180917
86162
57186519
=+
=
=+
=
Al nuacutemero dado por la ldquoyrdquo hay que sumarle la distancia del ojo al suelo y esa seraacute la medida del edificio
17rsquo83+1rsquo68= 19rsquo51m
El edificio mide 19rsquo51m
La distancia entre la primera medida y el edificio es 16rsquo86m
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c) Errores y problemas El primer error en la medicioacuten del cipreacutes pudo ser que midieacuteramos la sombra o la penumbra pero hay que medir en el medio entre la sombra y la penumbra
Otro problema que hubo fue el que al medir a distintas alturas con el teodolito vertical el edificio tuvimos que nivelarlo poniendo un objeto que estuviera a la misma altura que la primera para nivelar la distancia al suelo como se ilustra en la siguiente imagen
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4- Vocabulario y Personajes a) Glosario Anatema Curva que describe la posicioacuten del Sol en el cielo a la misma hora del diacutea y en el mismo lugar de observacioacuten por un antildeo entero En la Tierra es en forma de ocho (infin) El componente horizontal muestra la ecuacioacuten de tiempo que es la diferencia entre el tiempo solar aparente y el tiempo solar medio El componente vertical muestra la declinacioacuten del Sol A veces se dibuja en los globos terraacutequeos Aacutengulo figura geomeacutetrica formada en una superficie por liacuteneas que parten de un mismo punto Astronomiacutea (del griego αστρονομία = άστρον + νόμος) etimoloacutegicamente significa la Ley de las estrellas y es la ciencia que estudia los astros a partir de la informacioacuten que nos llega de ellos a traveacutes de la radiacioacuten electromagneacutetica Calendario (del latiacuten calenda) es una cuenta sistematizada del tiempo para la organizacioacuten de las actividades humanas Antiguamente estaba basado en los ciclos lunares En la actualidad los diversos calendarios tienen base en el ciclo que describe la Tierra alrededor del Sol y se denominan calendarios solares El calendario sideral se basa en el movimiento de otros astros diferentes al Sol Cenit interseccioacuten entre la vertical del observador y la esfera celeste O sea si imaginamos una recta que pasa por el centro de la Tierra y por nuestra ubicacioacuten en su superficie el cenit se encuentra sobre esa recta por encima de nuestras cabezas El punto diametralmente opuesto de la esfera celeste al cenit se denomina Nadir Coordenadas se dice de las liacuteneas que sirven para determinar la posicioacuten de un punto y de los ejes planos a que se refieren aquellas liacuteneas Ecliacuteptica (del latiacuten ecliptĭca [linĕa] (del griego ἐκλειπτική relativo a los eclipses) es el plano que contiene la oacuterbita de la Tierra alrededor del Sol Eliacuteptica oacuterbita de un astro que gira alrededor de otro describiendo una elipse El astro central se situacutea en uno de los focos de la elipse Todas las oacuterbitas de los planetas del sistema solar tienen esta oacuterbita Ecuador paralelo que se toma como 0ordm de latitud Equinoccio eacutepoca en que por incidir los rayos perpendicularmente al ecuador los diacuteas tienen la misma duracioacuten que la noche en toda la tierra lo cual sucede anualmente del 20 al 21 de marzo y del 22 al 23 de septiembre Excentricidad en matemaacuteticas y geometriacutea es un paraacutemetro que determina el grado de desviacioacuten de una seccioacuten coacutenica con respecto a una circunferencia Es un paraacutemetro importante en la definicioacuten de las elipses Gnomon Palo vertical de altura determinada Husos horarios son cada una de las veinticuatro aacutereas en que se divide la Tierra y que siguen la misma definicioacuten de tiempo cronoloacutegico
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Latitud Distancia en grados entre un paralelo y el Ecuador Puede alcanzar los 90ordm Norte o Sur Longitud Distancia en grados entre un meridiano con el meridiano de Greenwich Su maacuteximo es 180ordm OE Mediatriz de un segmento es la recta equidistante de dos puntos del plano equidistantes Esta corta el segmento por su mitad y perpendicularmente Meridiano Cada una de las liacuteneas imaginarias que atraviesan la esfera terrestre desde el polo norte hasta el polo sur Meridiano de Greenwich semiciacuterculo imaginario que une los polos y pasa por Greenwich maacutes precisamente por el antiguo observatorio astronoacutemico de este suburbio de Londres Este sirve de meridiano de origen es a partir de eacutel que se miden las longitudes en grados es decir que corresponde a la longitud cero por lo que tambieacuten se llama meridiano cero y primer meridiano Nutacioacuten (del latiacuten ldquonutarerdquo cabecear u oscilar) es la oscilacioacuten perioacutedica del polo de la Tierra alrededor de su posicioacuten media en la esfera celeste debida a la influencia de la Luna sobre el planeta similar al movimiento de una peonza cuando pierde fuerza y estaacute a punto de caerse Paralelo cada una de las liacuteneas imaginarias que rodean la Tierra de Este a Oeste
Ciacuterculo polar aacutertico es uno de los cinco paralelos principales terrestres Se trata del paralelo de latitud 66deg 33 38 Norte El espacio situado al norte del ciacuterculo aacutertico se denomina Aacutertico y la regioacuten al sur de este ciacuterculo se denomina Zona Templada Norte
Ciacuterculo polar antaacutertico uno de los cinco principales paralelos que sentildealan los mapas de la Tierra Es el paralelo de latitud 66deg 33 38 al sur del ecuador Precesioacuten es el cambio de la direccioacuten del eje alrededor del cual gira un objeto Radio liacutenea recta comprendida entre un punto cualquiera de la circunferencia del circulo hasta el centro del mismo Refraccioacuten hacer que cambie de direccioacuten el rayo de la luz que pasa oblicuamente de un medio a otro de diferente densidad Rotacioacuten el movimiento de cambio de orientacioacuten de un cuerpo extenso de forma que dado un punto cualquiera del mismo este permanece a una distancia constante de un punto fijo Semejanza (del griego iso-gonios = iguales aacutengulos) En geometriacutea diacutecese de una figura que tiene aacutengulos congruentes con los de otra Solsticio eacutepoca en que el Sol se halla en uno de los dos troacutepicos lo cual sucede del 21 al 22 de junio para el troacutepico de Caacutencer y del 21 al 22 de diciembre para el de Capricornio Tangente cociente entre los catetos de un triaacutengulo rectaacutengulo cateto opuestocateto contiguo En la eacutepoca de Eratoacutestenes existiacutean tablas aacutengulo ndash tangente Teodolito instrumento de medicioacuten mecaacutenico-oacuteptico universal que sirve para medir aacutengulos verticales y sobre todo horizontales aacutembito en el cual tiene una precisioacuten elevada Con otras herramientas auxiliares puede medir distancias y desniveles
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Traslacioacuten movimiento por el cual la Tierra se mueve alrededor del Sol La causa de este movimiento es la accioacuten de la gravedad originaacutendose cambios que al igual que el diacutea permiten la medicioacuten del tiempo Trigonometriacutea (del griego la medicioacuten de los triaacutengulos) es una rama de las matemaacuteticas que estudia los aacutengulos y los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo y las relaciones entre ellos Troacutepicos liacuteneas imaginarias situadas a aproximadamente 23ordm de latitud Troacutepico de Caacutencer paralelo situado a una latitud de 23ordm27rsquo al norte de ecuador delimita los puntos maacutes septentrionales en los que el sol puede ocupar el cenit o la vertical del lugar mediodiacutea Troacutepico de Capricornio troacutepico del hemisferio sur Se llama de Capricornio porque se consideraba que el diacutea del solsticio en los troacutepicos el Sol iluminaba el fondo de los pozos y en aquellas fechas en el hemisferio sur el Sol estaba en la constelacioacuten de Capricornio 4b) Matemaacuteticos - Tales de Mileto (625-546 aC)
Geoacutemetra griego y uno de los siete sabios de Grecia Fue el primer matemaacutetico griego que inicioacute el desarrollo razonado de la geometriacutea Hacia el antildeo 600 a C Tales visitoacute Egipto El faraoacuten le pidioacute que resolviera un viejo problema conocer la altura exacta de la Gran Piraacutemide Tales se apoyoacute en su bastoacuten y esperoacute Cuando la sombra del bastoacuten fue igual de larga que el propio bastoacuten le dijo a un servidor del faraoacuten ldquoCorre y mide la sombra de la Gran Piraacutemide En este momento es tan larga como la propia piraacutemiderdquo Tales era famoso desde el antildeo 585 aC ya que predijo con toda
exactitud un eclipse de Sol - Pitaacutegoras (582-500 aC)
Fundoacute la escuela pitagoacuterica hacia el antildeo 530aC donde se estudiaba filosofiacutea matemaacuteticas y ciencias naturales estaba situada en Crotona (al sur de Italia) Ademaacutes de formular el teorema que lleva su nombre inventoacute la tabla de multiplicar y estudio la relacioacuten entre la muacutesica y las matemaacuteticas A partir de la Edad Media el teorema de Pitaacutegoras fue considerado como el ldquopons asinorumrdquo (puente de asnos) o conocimiento que separaba a las personas cultas de las incultas
- Euclides (365-300 aC)
Se conoce muy poco de la vida de este sabio griego Posiblemente vivioacute entre el 365 y el 300 aC pero se desconoce su lugar de nacimiento Se le denomina de Alejandriacutea porque fue en esta ciudad donde se desarrollo su trabajo Su obra ldquoElementos de Geometriacuteardquo es el texto matemaacutetico de maacutes eacutexito en toda la historia Tanto es asiacute que hasta una eacutepoca muy reciente todaviacutea se utilizaba como texto escolar en Inglaterra
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-Aristarco (310 aC - 230 aC)
Nacioacute en Samos - Grecia - en el antildeo 310 aC y murioacute en el 220 aC Fue disciacutepulo de Estratoacuten de Lampsacos jefe de la escuela peripateacutetica fundada por Aristoacuteteles Antildeos despueacutes Aristarco sucederiacutea a Teofrasto como jefe de esta institucioacuten entre antildeos 288 y 287 aC Fue un haacutebil geoacutemetra pero es poco lo que se conoce de su vida Sus hipoacutetesis sobre el universo se han extraiacutedo a partir de las referencias hechas por otros autores despueacutes de su muerte Ptolomeo en el Almagesto lo nombra como un concienzudo observador de los solsticios y equinoccios Parece haber interpretado estas observaciones correctamente atribuyendo estos fenoacutemenos al movimiento de la Tierra alrededor del Sol Dedujo por esto
que era necesario que la oacuterbita terrestre estuviera inclinada para explicar los cambios de estacioacuten - Arquiacutemedes (287-212 aC)
Se le considera padre de la ciencia mecaacutenica el cientiacutefico y matemaacutetico maacutes importante de la Edad Antigua Su obra maacutes importante fue el descubrimiento de la relacioacuten entre la superficie el volumen de una esfera y el cilindro que la circunscribe Invento la rueda dentada y la polea para subir pesos sin esfuerzo Tambieacuten a el se le ocurrioacute usar grandes espejos para incendiar los barcos enemigos y descubrioacute la manera de medir el volumen de cuerpos irregulares (sumergieacutendolos en agua y midiendo el incremento de volumen del liacutequido)
-Eratoacutestenes (284-192 aC)
Matemaacutetico astroacutenomo geoacutegrafo filoacutesofo y poeta griego Hizo la ldquoCriba de Erastoacutetenesrdquo (nuacutemeros primos) Fue el primero que midioacute con buena exactitud el meridiano terrestre (para lo que ideoacute un sistema a partir de la semejanza de triaacutengulos que consiste en que la figura tiene aacutengulos concurrentes con los de otro triaacutengulo) Erastoacutetenes tambieacuten midioacute la oblicuidad de la ecliptica (la inclinacioacuten del eje terrestre) con un error de solo 7acute de arco y creoacute un cataacutelogo (actualmente perdido) de 675 estrellas fijas Su obra maacutes importante fue un tratado de geografiacutea general
-Hiparco de Nicea (c 190-120 a C )
Fue un matemaacutetico y astroacutenomo griego el maacutes importante de su eacutepoca tambieacuten conocido como Hiparco de Rodas Este nacioacute en Nicea Bitinia (hoy Iznik Turquiacutea) Se le considera el primer astroacutenomo cientiacutefico Fue muy preciso en sus investigaciones de las que conocemos parte por comentarse en el tratado cientiacutefico Almagesto del astroacutenomo alejandrino Tolomeo sobre quien ejercioacute gran influencia Sus caacutelculos del antildeo tropical duracioacuten del antildeo determinada por las estaciones teniacutean un margen de error de 6 5 minutos con respecto a las mediciones modernas Murioacute en Rodas Grecia en el antildeo 120 a C
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5 Bibliografiacutea wwwgoogleesimages Enciclopedia Aula del Estudiante Enciclopedia Larousse Microsoft Encarta 2007 wwwastronosurfcom wwwastronomiacom wwwwikipediaorg 100ciacomopinionforosarchiveindexphpt-5452html httpenciclopediausesindexphpEnciclopedia_Libre_Universal_en_EspaF1ol
wwwenciclopediaorg
httpwwwastromiacombiografias
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En el verano muchos paiacuteses cambian su horario para aprovechar la mayor cantidad de luz solar de esta manera el tiempo en que las personas estaacuten despiertas coincide con la duracioacuten del diacutea y se ahorra electricidad Durante los cambios de horario la diferencia entre el tiempo solar aparente y la hora oficial se hace auacuten maacutes grande
Debido a que la longitud de Alicante es de 0rsquo5ordm Oeste aproximadamente hace que la
hora solar se retrase un par de minutos respecto a la hora oficial luego el mediodiacutea deberiacutea salir sobre las 1402h aproximadamente
h2) Ecuacioacuten del tiempo La ecuacioacuten del tiempo es la diferencia entre el tiempo solar medio (tiempo medido
sobre la referencia del diacutea solar medio) y el tiempo solar aparente (tiempo dado por el movimiento diario del Sol en el firmamento) Tal como se ve en un reloj de sol este movimiento no es uniforme y regular dado que la oacuterbita terrestre es eliacuteptica y tambieacuten porque el Sol se mueve a lo largo de la ecliacuteptica
El origen de este concepto se deriva de la distinta velocidad del movimiento de
traslacioacuten terrestre alrededor del Sol La oacuterbita terrestre (Ecliacuteptica) y no es circular sino eliacuteptica ocupando el Sol uno de los focos de la elipse De acuerdo con las leyes de Kepler sobre los movimientos de traslacioacuten tiempos iguales barren aacutereas iguales lo cual significa que la Tierra disminuye la velocidad de traslacioacuten cuando se encuentra maacutes alejada del Sol (porque la atraccioacuten del mismo es menor al encontrarse maacutes lejos) y lo acelera al acercarse Si no existiera esta diferencia de velocidad la Tierra se escapariacutea del Sistema Solar cuando se encontrara maacutes lejos o chocariacutea con el Sol al acercarse Asiacute pues el movimiento de traslacioacuten terrestre es un movimiento uniformemente variado
Esta diferencia es mayor a principios de noviembre cuando el tiempo solar medio
estaacute a maacutes de 16 minutos por detraacutes del tiempo solar aparente y a mediados de febrero cuando el tiempo solar medio va maacutes de 14 minutos por delante del aparente Son iguales cuatro veces al antildeo el 15 de abril 14 de junio 1 de septiembre y el 25 de diciembre
La ecuacioacuten del tiempo se representa graacuteficamente con un diagrama denominado analema que suele indicarse en los globos o esferas terrestres y que tiene forma de un 8 algo asimeacutetrico El analema indica la misma informacioacuten que la expresada a traveacutes del graacutefico adjunto
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En enero (-13min) febrero (-12min) marzo (-6min) y mitad de abril (-2min) la ecuacioacuten del tiempo es negativa la segunda mitad de abril (+3min) mayo (+3min) y mitad de junio es positiva (+2min) la segunda mitad de junio (-6min) julio (-60min) y agosto ( -1min) vuelve a ser negativa y en septiembre (+9min) octubre (+17min) noviembre (+12min) y diciembre es positiva (+1min) excepto algunos diacuteas sueltos de la uacuteltima semana de este La diferencia horaria en el equinoccio de otontildeo es de 8min 25s seguacuten el graacutefico es decir nos debiacutea de haber dado 8min 25s antes de las 1400h sobre las 1352h i) Datos obtenidos de distintos perioacutedicos sobre el sol
Los siguientes datos fueron obtenidos de distintos perioacutedicos de Alicante
Queacute (Hora civil) Informacioacuten (Hora solar) Las Provincias (Hora civil)
Salida Puesta Mediodiacutea Salida Puesta Mediodiacutea Salida Puesta Mediodiacutea
Viernes 22 - - - 6h
02min 18h
10min 12h
07min 7h
49min 19h
59min 13h
54min Saacutebado
23 - - - 6h 03min
18h 11min
12h 07min
7h 50min
19h 58min
13h 54min
Domingo 24 - - - 6h
04min 18h
09min 12h
06min 7h
50min 19h
48min 13h
49min Lunes
25 7h
52min 19h
55min 13h
53min 6h
05min 18h
07min 12h
06min 7h
52min 19h
51min 13h
51min Martes
26 7h
53min 19h
53min 13h
53min 6h
06min 18h
06min 12h
06min 7h
53min 19h
53min 13h
53min
En el diario ldquoQueacuterdquo y en ldquoLas provinciasrdquo los datos estaacuten puestos en la hora civil de
Alicante y en el ldquoInformacioacutenrdquo estaacuten en hora solar debido a esto los datos son distintos porque la diferencia entre la hora solar y la hora local es de 2h (aproximadamente)
En el diario ldquoLas Provinciasrdquo los datos del viernes 22 son muy parecidos a los
obtenidos por nosotros ya que les da a las 1354h y a nosotros a las 1353h Como no sabemos exactamente la diferencia entre la hora solar y la hora civil no podemos decir con exactitud la hora que dio el mediodiacutea en el diario ldquoEl Informacioacutenrdquo lo mismo sucede en los diacuteas siguientes el 22 y el 23 de Septiembre
Desde el saacutebado 23 (diacutea del equinoccio) hasta el domingo 24 vemos que el mediodiacutea
disminuye 5min con respecto al del diacutea 24 El lunes 25 en el diario ldquoLas Provinciasrdquo y en el diario ldquoQueacuterdquo los datos son muy iguales 1351 y 1353 respectivamente El martes 26 los datos de los distintos perioacutedicos son iguales las 1353h
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2- Inclinacioacuten de los rayos solares sobre el IES Bahiacutea de Babel a) Material utilizado para la construccioacuten del ldquoteodolito verticalrdquo
El teodolito vertical no fue construido por nosotros sino por unos antiguos alumnos del centro El teodolito vertical estaacute formando por un tubo hueco en la parte superior de una superficie lisa que lleva adherida un transportador de aacutengulos y un peacutendulo aferrado a eacuteste
b) Coacutemo utilizar el ldquoteodolito verticalrdquo
El teodolito vertical tiene una mecaacutenica sencilla a saber cuando un rayo de sol incida por el interior del conducto hueco este saldraacute y se proyectaraacute en una superficie oscura Cuando logre atravesar el cilindro tomaremos la medida del aacutengulo que forma el peacutendulo con la vertical del Sol Gracias a esto podemos saber a queacute altura sobre el horizonte estaacute el Sol desde el punto en que nos encontramos
9
c) Medidas logradas con el ldquoteodolito verticalrdquo El viernes 22 intentamos usar el teodolito pero como no habiacutea suficiente sol no se pudo realizar la medicioacuten El martes 26 siacute que pudimos hacerla y a las 1353h medimos la inclinacioacuten del Sol que era de 39ordm sobre el instituto En esa hora el Sol estaba en el punto maacutes alto (cenit) porque era maacutes o menos el mediodiacutea
d) Medidas con el ldquoteodolito verticalrdquo de distintos grupos Medias obtenidas el diacutea 26 de septiembre
Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3 Grupo 4
Inclinacioacuten 39ordm 39ordm 47ordm 38ordm
Conclusioacuten Todos los grupos midieron mal la inclinacioacuten de los rayos solares (porque dieron el aacutengulo que marcaba el teodolito y ese es el que forman con los rayos con la vertical) excepto el grupo 3 que se aproximoacute un poco debido a que deberiacutea dar 52ordm
El aacutengulo que se forma en Alicante cuando los rayos del sol son perpendiculares al Ecuador es de 38ordm (latitud de Alicante) por lo cual el otro aacutengulo son 52ordm (38ordm+52ordm+90ordm=180ordm de un triaacutengulo recto) como se representa en el siguiente dibujo
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e) Inclinacioacuten de los rayos solares mediante el nomon Con el meacutetodo de la tangente podemos averiguar el aacutengulo de la inclinacioacuten del sol
contiguocatopuestocat
tan =α
El cateto opuesto es la altura del palo y el cateto contiguo es la sombra de eacuteste Despueacutes de hallar el nuacutemero hay que hacerle el arco tangente (tan ) y el nuacutemero
que deacute seraacute el aacutengulo 1minus
Angulo hallado mediante distintos nomons
Nomon grande Nomon mediano Nomon pequentildeo
Altura Sombra Grados Altura Sombra Grados Altura Sombra Grados
240m 198m 50ordm47rdquo 136m 0425m 72ordm64rdquo 025m 019m 52ordm47rdquo
Pasos para calcular el aacutengulo de cada nomon Nomon grande
47ordm50211tan211981402
== arcmm
Nomon mediano
64ordm7223tan234250361
== arcm
m
Nomon pequentildeo
47ordm523151tan3151190250
== arcmm
En el nomon mediano debe haber habido un error porque como bien sale en los otros dos nomon debiacutea de dar 52ordm47rdquo debido a los rayos paralelos del sol que inciden perpendiculares al Ecuador como se explica en el apartado anterior
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f) Posiciones Sol -Tierra
La Tierra tiene un movimiento de rotacioacuten en torno a un eje y otro de traslacioacuten de forma eliacuteptica alrededor del sol El primero de estos movimientos hace que un punto sobre ella se vea iluminado de forma perioacutedica por el Sol originando el diacutea y la noche el segundo movimiento hace que los tiempos de exposicioacuten al sol sean variables originando las estaciones Esta variacioacuten en los tiempos de exposicioacuten es debido a que el eje de rotacioacuten de la Tierra permanece praacutecticamente siempre paralelo a siacute mismo con un aacutengulo de 66ordm 33` respecto al plano de la ecliacuteptica (plano que contiene a la trayectoria de la Tierra)
Solsticio diacutea en el cual el Sol estaacute maacutes alto o maacutes bajo
1) Solsticio de verano 21 de Junio 93 diacuteas y 15h El Sol estaacute perpendicular al troacutepico de caacutencer y estaacute maacutes alto que ninguacuten diacutea del antildeo 2) Solsticio de invierno 21 de Diciembre 89 diacuteas El Sol estaacute perpendicular al troacutepico de capricornio y estaacute maacutes bajo que ninguacuten diacutea del antildeo Equinoccio diacutea donde la noche y el diacutea duran lo mismo 1) Equinoccio de primavera 21 de Marzo 92 diacuteas y 20h 2) Equinoccio de otontildeo 23 de Septiembre 89 diacuteas y 19h En el diacutea del equinoccio en el ecuador a mediodiacutea no hay sombra debido a que los rayos solares son perpendiculares al Ecuador el Sol estaacute en lo maacutes alto
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g) Movimientos de la Tierra
La Tierra posee dos movimientos baacutesicos el de traslacioacuten alrededor del Sol que marca el antildeo y el de rotacioacuten sobre su eje que marca el diacutea Ademaacutes tiene los movimientos de precesioacuten y nutacioacuten La precesioacuten de los equinoccios es un movimiento lento de la inclinacioacuten del eje de la Tierra con respecta a la ecliacuteptica Este movimiento retrasa la llegada de los equinoccios lentamente Completa una vuelta completa cada 25790 antildeos
La Tierra tarda un antildeo en completar su oacuterbita alrededor del Sol Esta oacuterbita es
eliacuteptica aunque con muy poca excentricidad Pero iquestcuaacutento tarda realmente la Tierra en dar una vuelta alrededor del Sol Si tenemos en cuenta las estrellas dura 365 diacuteas 6 horas 9 minutos y 95 segundos Se llama antildeo sideacutereo Si tenemos en cuenta dos pasos consecutivos y reales de la Tierra por el equinoccio vernal dura 365 diacuteas 5 horas 48 minutos y 4551 segundos Se llama antildeo troacutepico o solar La diferencia entre el antildeo troacutepico y el sideacutereo es producto del movimiento precesioacuten de los equinoccios En nuestro calendario usamos el antildeo civil que consta de 365 oacute 366 diacuteas Es una solucioacuten que nos permite contar el antildeo en diacuteas completos
La Tierra realiza un movimiento completo de rotacioacuten alrededor de su eje que va de
polo a polo (geograacutefico no magneacutetico) en 23 horas 56 minutos 409 segundos unos 4 minutos menos que 24 horas
La Tierra da una vuelta entera (360deg) en aproximadamente 24 horas debido a la
rotacioacuten de la Tierra y se mueve alrededor del Sol a una velocidad aproximada de 15ordmh oacute 30 Km por segundo (unos 108000 Kmh) Ademaacutes en su rotacioacuten alrededor de su eje la superficie de la Tierra se mueve con distintas velocidades dependiendo de su distancia al Ecuador
La nutacioacuten es un bamboleo menor del eje de la Tierra con respecto a la ecliacuteptica
Tiene un ciclo de 19 antildeos en el que la inclinacioacuten variacutea entre 6 y 9 segundos Tanto la precesioacuten como la nutacioacuten son movimientos provocados por la influencia gravitatoria del Sol y la Luna Son movimientos complementarios mientras la precesioacuten dibuja una elipse la nutacioacuten hace que ese dibujo sea ondulado
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3- Mediciones en el patio a) Medicioacuten de un objeto de base accesible
a1) Medicioacuten del cipreacutes mediante semejanza Para medir la altura de del cipreacutes con semejanza necesitamos un nivel de aacutengulo un nomon (grande a ser posible) y un metro
Cuando hemos reunido todos estos materiales medimos el nomon y la longitud de la sombra del cipreacutes
Luego hay que poner el nomon en un sitio donde concuerden los extremos de las sombras y medir la distancia de la base del nomon hasta el liacutemite de la sombra
Medidas obtenidas
Sombra del cipreacutes 12m Nomon 240m Sombra del nomon 282m
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Al medir todo soacutelo hay que hacer una simple ecuacioacuten
nomondelSombraNomon
cipreacutesdelSombraCipreacutes
=
mymm
ymm
my 211085012850
12822402
12==times==
Luego el cipreacutes mide aproximadamente 1021m de altura a2) Medicioacuten del cipreacutes mediante trigonometriacutea Para medir el cipreacutes con el meacutetodo de trigonometriacutea necesitamos un teodolito vertical y un metro Cuando tengamos esos materiales nos colocamos delante del cipreacutes a unos metros y con el teodolito miramos la punta maacutes alta del cipreacutes y anotamos los grados que nos ha dado Medimos la distancia del cipreacutes al punto donde hemos medido y la distancia del ojo al suelo
Medidas obtenidas Longitud desde el cipreacutes hasta nosotros 885m Aacutengulo 45ordm Longitud del ojo al suelo 146m Una vez medido todo soacutelo hay que hacer una simple ecuacioacuten
aacutengulodelnosotroshastalongcipreacutesdelaltura tan
=
mym
ym
y 85885811858
ordm45tan858
=times===
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Al nuacutemero hallado hay que sumarle la distancia del ojo al suelo y esa seraacute la altura del cipreacutes
mmm 3110461858 =+
El cipreacutes mide 1031m de altura a3) Medicioacuten del gimnasio mediante trigonometriacutea Para medir el gimnasio con el meacutetodo de trigonometriacutea necesitamos los mismos materiales usados para medir el cipreacutes con esta misma teacutecnica Cuando tenemos los materiales nos ponemos a una cierta distancia de eacutel y medimos el aacutengulo obtenido al mirar a la cornisa del gimnasio y la distancia que nos separa del eacutel Medidas obtenidas Longitud desde el gimnasio hasta nosotros 885m Aacutengulo 27ordm Longitud del ojo al suelo 146m Una vez medido todo hay que hacer la misma ecuacioacuten que la del cipreacutes pero con los datos del gimnasio
aacutengulodelnosotroshastalonggimnasiodelaltura tan
=
mym
yy 514858510510858
ordm27tan858
=times===
Al nuacutemero hallado hay que sumarle la distancia del ojo al suelo y esa seraacute la altura del gimnasio
mmm 975461514 =+
El gimnasio mide 597m de altura
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b) Medicioacuten de un objeto de base inaccesible
Para medir la altura del edificio necesitamos los materiales utilizados en la medicioacuten del gimnasio y del cipreacutes mediante el meacutetodo de la trigonometriacutea Nos colocamos lo maacutes cerca posible del edificio y tomamos la medida del aacutengulo obtenido nos alejamos del punto donde estaacutebamos y medimos la distancia que separa un punto del otro y los grados obtenidos este proceso lo repetimos otra vez
y = edificio x = distancia del edificio a nosotros ( 1ordf medida) Medidas obtenidas Primer aacutengulo 41ordm Segundo aacutengulo 25ordm Tercer aacutengulo 19ordm Primera medida x Segunda medida 20m Tercera medida 10m Distancio del ojo al suelo 168m Planteamos un sistema de ecuaciones con los dos primeros aacutengulos
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+==+
=
===
xyx
y
xyxy
20middot46046020
ordm25tan
870870ordm41tan
17
( )
myy
mx
x
xxx
xxxx
16201023middot3870
102340370329
32940370329460870
46032987020middot460870
===
=
==minus
+=+=
Despueacutes de utilizar los dos primeros aacutengulos ahora utilizaremos el primero y el tercero
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+==++
=
===
xyx
y
xyxy
30middot3403401020
ordm19tan
870870ordm41tan
( )
myy
mx
x
xxx
xxxx
09176519middot870
65195203310
33105203310340870
340331087030middot340870
===
=
==minus+=
+=
Los nuacutemeros hallados sobre la ldquoxrdquo y la ldquoyrdquo van a ser distintos de una ecuacioacuten a otra por eso hay que hallar la media
my
mx
83172
57180917
86162
57186519
=+
=
=+
=
Al nuacutemero dado por la ldquoyrdquo hay que sumarle la distancia del ojo al suelo y esa seraacute la medida del edificio
17rsquo83+1rsquo68= 19rsquo51m
El edificio mide 19rsquo51m
La distancia entre la primera medida y el edificio es 16rsquo86m
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c) Errores y problemas El primer error en la medicioacuten del cipreacutes pudo ser que midieacuteramos la sombra o la penumbra pero hay que medir en el medio entre la sombra y la penumbra
Otro problema que hubo fue el que al medir a distintas alturas con el teodolito vertical el edificio tuvimos que nivelarlo poniendo un objeto que estuviera a la misma altura que la primera para nivelar la distancia al suelo como se ilustra en la siguiente imagen
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4- Vocabulario y Personajes a) Glosario Anatema Curva que describe la posicioacuten del Sol en el cielo a la misma hora del diacutea y en el mismo lugar de observacioacuten por un antildeo entero En la Tierra es en forma de ocho (infin) El componente horizontal muestra la ecuacioacuten de tiempo que es la diferencia entre el tiempo solar aparente y el tiempo solar medio El componente vertical muestra la declinacioacuten del Sol A veces se dibuja en los globos terraacutequeos Aacutengulo figura geomeacutetrica formada en una superficie por liacuteneas que parten de un mismo punto Astronomiacutea (del griego αστρονομία = άστρον + νόμος) etimoloacutegicamente significa la Ley de las estrellas y es la ciencia que estudia los astros a partir de la informacioacuten que nos llega de ellos a traveacutes de la radiacioacuten electromagneacutetica Calendario (del latiacuten calenda) es una cuenta sistematizada del tiempo para la organizacioacuten de las actividades humanas Antiguamente estaba basado en los ciclos lunares En la actualidad los diversos calendarios tienen base en el ciclo que describe la Tierra alrededor del Sol y se denominan calendarios solares El calendario sideral se basa en el movimiento de otros astros diferentes al Sol Cenit interseccioacuten entre la vertical del observador y la esfera celeste O sea si imaginamos una recta que pasa por el centro de la Tierra y por nuestra ubicacioacuten en su superficie el cenit se encuentra sobre esa recta por encima de nuestras cabezas El punto diametralmente opuesto de la esfera celeste al cenit se denomina Nadir Coordenadas se dice de las liacuteneas que sirven para determinar la posicioacuten de un punto y de los ejes planos a que se refieren aquellas liacuteneas Ecliacuteptica (del latiacuten ecliptĭca [linĕa] (del griego ἐκλειπτική relativo a los eclipses) es el plano que contiene la oacuterbita de la Tierra alrededor del Sol Eliacuteptica oacuterbita de un astro que gira alrededor de otro describiendo una elipse El astro central se situacutea en uno de los focos de la elipse Todas las oacuterbitas de los planetas del sistema solar tienen esta oacuterbita Ecuador paralelo que se toma como 0ordm de latitud Equinoccio eacutepoca en que por incidir los rayos perpendicularmente al ecuador los diacuteas tienen la misma duracioacuten que la noche en toda la tierra lo cual sucede anualmente del 20 al 21 de marzo y del 22 al 23 de septiembre Excentricidad en matemaacuteticas y geometriacutea es un paraacutemetro que determina el grado de desviacioacuten de una seccioacuten coacutenica con respecto a una circunferencia Es un paraacutemetro importante en la definicioacuten de las elipses Gnomon Palo vertical de altura determinada Husos horarios son cada una de las veinticuatro aacutereas en que se divide la Tierra y que siguen la misma definicioacuten de tiempo cronoloacutegico
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Latitud Distancia en grados entre un paralelo y el Ecuador Puede alcanzar los 90ordm Norte o Sur Longitud Distancia en grados entre un meridiano con el meridiano de Greenwich Su maacuteximo es 180ordm OE Mediatriz de un segmento es la recta equidistante de dos puntos del plano equidistantes Esta corta el segmento por su mitad y perpendicularmente Meridiano Cada una de las liacuteneas imaginarias que atraviesan la esfera terrestre desde el polo norte hasta el polo sur Meridiano de Greenwich semiciacuterculo imaginario que une los polos y pasa por Greenwich maacutes precisamente por el antiguo observatorio astronoacutemico de este suburbio de Londres Este sirve de meridiano de origen es a partir de eacutel que se miden las longitudes en grados es decir que corresponde a la longitud cero por lo que tambieacuten se llama meridiano cero y primer meridiano Nutacioacuten (del latiacuten ldquonutarerdquo cabecear u oscilar) es la oscilacioacuten perioacutedica del polo de la Tierra alrededor de su posicioacuten media en la esfera celeste debida a la influencia de la Luna sobre el planeta similar al movimiento de una peonza cuando pierde fuerza y estaacute a punto de caerse Paralelo cada una de las liacuteneas imaginarias que rodean la Tierra de Este a Oeste
Ciacuterculo polar aacutertico es uno de los cinco paralelos principales terrestres Se trata del paralelo de latitud 66deg 33 38 Norte El espacio situado al norte del ciacuterculo aacutertico se denomina Aacutertico y la regioacuten al sur de este ciacuterculo se denomina Zona Templada Norte
Ciacuterculo polar antaacutertico uno de los cinco principales paralelos que sentildealan los mapas de la Tierra Es el paralelo de latitud 66deg 33 38 al sur del ecuador Precesioacuten es el cambio de la direccioacuten del eje alrededor del cual gira un objeto Radio liacutenea recta comprendida entre un punto cualquiera de la circunferencia del circulo hasta el centro del mismo Refraccioacuten hacer que cambie de direccioacuten el rayo de la luz que pasa oblicuamente de un medio a otro de diferente densidad Rotacioacuten el movimiento de cambio de orientacioacuten de un cuerpo extenso de forma que dado un punto cualquiera del mismo este permanece a una distancia constante de un punto fijo Semejanza (del griego iso-gonios = iguales aacutengulos) En geometriacutea diacutecese de una figura que tiene aacutengulos congruentes con los de otra Solsticio eacutepoca en que el Sol se halla en uno de los dos troacutepicos lo cual sucede del 21 al 22 de junio para el troacutepico de Caacutencer y del 21 al 22 de diciembre para el de Capricornio Tangente cociente entre los catetos de un triaacutengulo rectaacutengulo cateto opuestocateto contiguo En la eacutepoca de Eratoacutestenes existiacutean tablas aacutengulo ndash tangente Teodolito instrumento de medicioacuten mecaacutenico-oacuteptico universal que sirve para medir aacutengulos verticales y sobre todo horizontales aacutembito en el cual tiene una precisioacuten elevada Con otras herramientas auxiliares puede medir distancias y desniveles
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Traslacioacuten movimiento por el cual la Tierra se mueve alrededor del Sol La causa de este movimiento es la accioacuten de la gravedad originaacutendose cambios que al igual que el diacutea permiten la medicioacuten del tiempo Trigonometriacutea (del griego la medicioacuten de los triaacutengulos) es una rama de las matemaacuteticas que estudia los aacutengulos y los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo y las relaciones entre ellos Troacutepicos liacuteneas imaginarias situadas a aproximadamente 23ordm de latitud Troacutepico de Caacutencer paralelo situado a una latitud de 23ordm27rsquo al norte de ecuador delimita los puntos maacutes septentrionales en los que el sol puede ocupar el cenit o la vertical del lugar mediodiacutea Troacutepico de Capricornio troacutepico del hemisferio sur Se llama de Capricornio porque se consideraba que el diacutea del solsticio en los troacutepicos el Sol iluminaba el fondo de los pozos y en aquellas fechas en el hemisferio sur el Sol estaba en la constelacioacuten de Capricornio 4b) Matemaacuteticos - Tales de Mileto (625-546 aC)
Geoacutemetra griego y uno de los siete sabios de Grecia Fue el primer matemaacutetico griego que inicioacute el desarrollo razonado de la geometriacutea Hacia el antildeo 600 a C Tales visitoacute Egipto El faraoacuten le pidioacute que resolviera un viejo problema conocer la altura exacta de la Gran Piraacutemide Tales se apoyoacute en su bastoacuten y esperoacute Cuando la sombra del bastoacuten fue igual de larga que el propio bastoacuten le dijo a un servidor del faraoacuten ldquoCorre y mide la sombra de la Gran Piraacutemide En este momento es tan larga como la propia piraacutemiderdquo Tales era famoso desde el antildeo 585 aC ya que predijo con toda
exactitud un eclipse de Sol - Pitaacutegoras (582-500 aC)
Fundoacute la escuela pitagoacuterica hacia el antildeo 530aC donde se estudiaba filosofiacutea matemaacuteticas y ciencias naturales estaba situada en Crotona (al sur de Italia) Ademaacutes de formular el teorema que lleva su nombre inventoacute la tabla de multiplicar y estudio la relacioacuten entre la muacutesica y las matemaacuteticas A partir de la Edad Media el teorema de Pitaacutegoras fue considerado como el ldquopons asinorumrdquo (puente de asnos) o conocimiento que separaba a las personas cultas de las incultas
- Euclides (365-300 aC)
Se conoce muy poco de la vida de este sabio griego Posiblemente vivioacute entre el 365 y el 300 aC pero se desconoce su lugar de nacimiento Se le denomina de Alejandriacutea porque fue en esta ciudad donde se desarrollo su trabajo Su obra ldquoElementos de Geometriacuteardquo es el texto matemaacutetico de maacutes eacutexito en toda la historia Tanto es asiacute que hasta una eacutepoca muy reciente todaviacutea se utilizaba como texto escolar en Inglaterra
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-Aristarco (310 aC - 230 aC)
Nacioacute en Samos - Grecia - en el antildeo 310 aC y murioacute en el 220 aC Fue disciacutepulo de Estratoacuten de Lampsacos jefe de la escuela peripateacutetica fundada por Aristoacuteteles Antildeos despueacutes Aristarco sucederiacutea a Teofrasto como jefe de esta institucioacuten entre antildeos 288 y 287 aC Fue un haacutebil geoacutemetra pero es poco lo que se conoce de su vida Sus hipoacutetesis sobre el universo se han extraiacutedo a partir de las referencias hechas por otros autores despueacutes de su muerte Ptolomeo en el Almagesto lo nombra como un concienzudo observador de los solsticios y equinoccios Parece haber interpretado estas observaciones correctamente atribuyendo estos fenoacutemenos al movimiento de la Tierra alrededor del Sol Dedujo por esto
que era necesario que la oacuterbita terrestre estuviera inclinada para explicar los cambios de estacioacuten - Arquiacutemedes (287-212 aC)
Se le considera padre de la ciencia mecaacutenica el cientiacutefico y matemaacutetico maacutes importante de la Edad Antigua Su obra maacutes importante fue el descubrimiento de la relacioacuten entre la superficie el volumen de una esfera y el cilindro que la circunscribe Invento la rueda dentada y la polea para subir pesos sin esfuerzo Tambieacuten a el se le ocurrioacute usar grandes espejos para incendiar los barcos enemigos y descubrioacute la manera de medir el volumen de cuerpos irregulares (sumergieacutendolos en agua y midiendo el incremento de volumen del liacutequido)
-Eratoacutestenes (284-192 aC)
Matemaacutetico astroacutenomo geoacutegrafo filoacutesofo y poeta griego Hizo la ldquoCriba de Erastoacutetenesrdquo (nuacutemeros primos) Fue el primero que midioacute con buena exactitud el meridiano terrestre (para lo que ideoacute un sistema a partir de la semejanza de triaacutengulos que consiste en que la figura tiene aacutengulos concurrentes con los de otro triaacutengulo) Erastoacutetenes tambieacuten midioacute la oblicuidad de la ecliptica (la inclinacioacuten del eje terrestre) con un error de solo 7acute de arco y creoacute un cataacutelogo (actualmente perdido) de 675 estrellas fijas Su obra maacutes importante fue un tratado de geografiacutea general
-Hiparco de Nicea (c 190-120 a C )
Fue un matemaacutetico y astroacutenomo griego el maacutes importante de su eacutepoca tambieacuten conocido como Hiparco de Rodas Este nacioacute en Nicea Bitinia (hoy Iznik Turquiacutea) Se le considera el primer astroacutenomo cientiacutefico Fue muy preciso en sus investigaciones de las que conocemos parte por comentarse en el tratado cientiacutefico Almagesto del astroacutenomo alejandrino Tolomeo sobre quien ejercioacute gran influencia Sus caacutelculos del antildeo tropical duracioacuten del antildeo determinada por las estaciones teniacutean un margen de error de 6 5 minutos con respecto a las mediciones modernas Murioacute en Rodas Grecia en el antildeo 120 a C
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5 Bibliografiacutea wwwgoogleesimages Enciclopedia Aula del Estudiante Enciclopedia Larousse Microsoft Encarta 2007 wwwastronosurfcom wwwastronomiacom wwwwikipediaorg 100ciacomopinionforosarchiveindexphpt-5452html httpenciclopediausesindexphpEnciclopedia_Libre_Universal_en_EspaF1ol
wwwenciclopediaorg
httpwwwastromiacombiografias
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En enero (-13min) febrero (-12min) marzo (-6min) y mitad de abril (-2min) la ecuacioacuten del tiempo es negativa la segunda mitad de abril (+3min) mayo (+3min) y mitad de junio es positiva (+2min) la segunda mitad de junio (-6min) julio (-60min) y agosto ( -1min) vuelve a ser negativa y en septiembre (+9min) octubre (+17min) noviembre (+12min) y diciembre es positiva (+1min) excepto algunos diacuteas sueltos de la uacuteltima semana de este La diferencia horaria en el equinoccio de otontildeo es de 8min 25s seguacuten el graacutefico es decir nos debiacutea de haber dado 8min 25s antes de las 1400h sobre las 1352h i) Datos obtenidos de distintos perioacutedicos sobre el sol
Los siguientes datos fueron obtenidos de distintos perioacutedicos de Alicante
Queacute (Hora civil) Informacioacuten (Hora solar) Las Provincias (Hora civil)
Salida Puesta Mediodiacutea Salida Puesta Mediodiacutea Salida Puesta Mediodiacutea
Viernes 22 - - - 6h
02min 18h
10min 12h
07min 7h
49min 19h
59min 13h
54min Saacutebado
23 - - - 6h 03min
18h 11min
12h 07min
7h 50min
19h 58min
13h 54min
Domingo 24 - - - 6h
04min 18h
09min 12h
06min 7h
50min 19h
48min 13h
49min Lunes
25 7h
52min 19h
55min 13h
53min 6h
05min 18h
07min 12h
06min 7h
52min 19h
51min 13h
51min Martes
26 7h
53min 19h
53min 13h
53min 6h
06min 18h
06min 12h
06min 7h
53min 19h
53min 13h
53min
En el diario ldquoQueacuterdquo y en ldquoLas provinciasrdquo los datos estaacuten puestos en la hora civil de
Alicante y en el ldquoInformacioacutenrdquo estaacuten en hora solar debido a esto los datos son distintos porque la diferencia entre la hora solar y la hora local es de 2h (aproximadamente)
En el diario ldquoLas Provinciasrdquo los datos del viernes 22 son muy parecidos a los
obtenidos por nosotros ya que les da a las 1354h y a nosotros a las 1353h Como no sabemos exactamente la diferencia entre la hora solar y la hora civil no podemos decir con exactitud la hora que dio el mediodiacutea en el diario ldquoEl Informacioacutenrdquo lo mismo sucede en los diacuteas siguientes el 22 y el 23 de Septiembre
Desde el saacutebado 23 (diacutea del equinoccio) hasta el domingo 24 vemos que el mediodiacutea
disminuye 5min con respecto al del diacutea 24 El lunes 25 en el diario ldquoLas Provinciasrdquo y en el diario ldquoQueacuterdquo los datos son muy iguales 1351 y 1353 respectivamente El martes 26 los datos de los distintos perioacutedicos son iguales las 1353h
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2- Inclinacioacuten de los rayos solares sobre el IES Bahiacutea de Babel a) Material utilizado para la construccioacuten del ldquoteodolito verticalrdquo
El teodolito vertical no fue construido por nosotros sino por unos antiguos alumnos del centro El teodolito vertical estaacute formando por un tubo hueco en la parte superior de una superficie lisa que lleva adherida un transportador de aacutengulos y un peacutendulo aferrado a eacuteste
b) Coacutemo utilizar el ldquoteodolito verticalrdquo
El teodolito vertical tiene una mecaacutenica sencilla a saber cuando un rayo de sol incida por el interior del conducto hueco este saldraacute y se proyectaraacute en una superficie oscura Cuando logre atravesar el cilindro tomaremos la medida del aacutengulo que forma el peacutendulo con la vertical del Sol Gracias a esto podemos saber a queacute altura sobre el horizonte estaacute el Sol desde el punto en que nos encontramos
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c) Medidas logradas con el ldquoteodolito verticalrdquo El viernes 22 intentamos usar el teodolito pero como no habiacutea suficiente sol no se pudo realizar la medicioacuten El martes 26 siacute que pudimos hacerla y a las 1353h medimos la inclinacioacuten del Sol que era de 39ordm sobre el instituto En esa hora el Sol estaba en el punto maacutes alto (cenit) porque era maacutes o menos el mediodiacutea
d) Medidas con el ldquoteodolito verticalrdquo de distintos grupos Medias obtenidas el diacutea 26 de septiembre
Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3 Grupo 4
Inclinacioacuten 39ordm 39ordm 47ordm 38ordm
Conclusioacuten Todos los grupos midieron mal la inclinacioacuten de los rayos solares (porque dieron el aacutengulo que marcaba el teodolito y ese es el que forman con los rayos con la vertical) excepto el grupo 3 que se aproximoacute un poco debido a que deberiacutea dar 52ordm
El aacutengulo que se forma en Alicante cuando los rayos del sol son perpendiculares al Ecuador es de 38ordm (latitud de Alicante) por lo cual el otro aacutengulo son 52ordm (38ordm+52ordm+90ordm=180ordm de un triaacutengulo recto) como se representa en el siguiente dibujo
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e) Inclinacioacuten de los rayos solares mediante el nomon Con el meacutetodo de la tangente podemos averiguar el aacutengulo de la inclinacioacuten del sol
contiguocatopuestocat
tan =α
El cateto opuesto es la altura del palo y el cateto contiguo es la sombra de eacuteste Despueacutes de hallar el nuacutemero hay que hacerle el arco tangente (tan ) y el nuacutemero
que deacute seraacute el aacutengulo 1minus
Angulo hallado mediante distintos nomons
Nomon grande Nomon mediano Nomon pequentildeo
Altura Sombra Grados Altura Sombra Grados Altura Sombra Grados
240m 198m 50ordm47rdquo 136m 0425m 72ordm64rdquo 025m 019m 52ordm47rdquo
Pasos para calcular el aacutengulo de cada nomon Nomon grande
47ordm50211tan211981402
== arcmm
Nomon mediano
64ordm7223tan234250361
== arcm
m
Nomon pequentildeo
47ordm523151tan3151190250
== arcmm
En el nomon mediano debe haber habido un error porque como bien sale en los otros dos nomon debiacutea de dar 52ordm47rdquo debido a los rayos paralelos del sol que inciden perpendiculares al Ecuador como se explica en el apartado anterior
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f) Posiciones Sol -Tierra
La Tierra tiene un movimiento de rotacioacuten en torno a un eje y otro de traslacioacuten de forma eliacuteptica alrededor del sol El primero de estos movimientos hace que un punto sobre ella se vea iluminado de forma perioacutedica por el Sol originando el diacutea y la noche el segundo movimiento hace que los tiempos de exposicioacuten al sol sean variables originando las estaciones Esta variacioacuten en los tiempos de exposicioacuten es debido a que el eje de rotacioacuten de la Tierra permanece praacutecticamente siempre paralelo a siacute mismo con un aacutengulo de 66ordm 33` respecto al plano de la ecliacuteptica (plano que contiene a la trayectoria de la Tierra)
Solsticio diacutea en el cual el Sol estaacute maacutes alto o maacutes bajo
1) Solsticio de verano 21 de Junio 93 diacuteas y 15h El Sol estaacute perpendicular al troacutepico de caacutencer y estaacute maacutes alto que ninguacuten diacutea del antildeo 2) Solsticio de invierno 21 de Diciembre 89 diacuteas El Sol estaacute perpendicular al troacutepico de capricornio y estaacute maacutes bajo que ninguacuten diacutea del antildeo Equinoccio diacutea donde la noche y el diacutea duran lo mismo 1) Equinoccio de primavera 21 de Marzo 92 diacuteas y 20h 2) Equinoccio de otontildeo 23 de Septiembre 89 diacuteas y 19h En el diacutea del equinoccio en el ecuador a mediodiacutea no hay sombra debido a que los rayos solares son perpendiculares al Ecuador el Sol estaacute en lo maacutes alto
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g) Movimientos de la Tierra
La Tierra posee dos movimientos baacutesicos el de traslacioacuten alrededor del Sol que marca el antildeo y el de rotacioacuten sobre su eje que marca el diacutea Ademaacutes tiene los movimientos de precesioacuten y nutacioacuten La precesioacuten de los equinoccios es un movimiento lento de la inclinacioacuten del eje de la Tierra con respecta a la ecliacuteptica Este movimiento retrasa la llegada de los equinoccios lentamente Completa una vuelta completa cada 25790 antildeos
La Tierra tarda un antildeo en completar su oacuterbita alrededor del Sol Esta oacuterbita es
eliacuteptica aunque con muy poca excentricidad Pero iquestcuaacutento tarda realmente la Tierra en dar una vuelta alrededor del Sol Si tenemos en cuenta las estrellas dura 365 diacuteas 6 horas 9 minutos y 95 segundos Se llama antildeo sideacutereo Si tenemos en cuenta dos pasos consecutivos y reales de la Tierra por el equinoccio vernal dura 365 diacuteas 5 horas 48 minutos y 4551 segundos Se llama antildeo troacutepico o solar La diferencia entre el antildeo troacutepico y el sideacutereo es producto del movimiento precesioacuten de los equinoccios En nuestro calendario usamos el antildeo civil que consta de 365 oacute 366 diacuteas Es una solucioacuten que nos permite contar el antildeo en diacuteas completos
La Tierra realiza un movimiento completo de rotacioacuten alrededor de su eje que va de
polo a polo (geograacutefico no magneacutetico) en 23 horas 56 minutos 409 segundos unos 4 minutos menos que 24 horas
La Tierra da una vuelta entera (360deg) en aproximadamente 24 horas debido a la
rotacioacuten de la Tierra y se mueve alrededor del Sol a una velocidad aproximada de 15ordmh oacute 30 Km por segundo (unos 108000 Kmh) Ademaacutes en su rotacioacuten alrededor de su eje la superficie de la Tierra se mueve con distintas velocidades dependiendo de su distancia al Ecuador
La nutacioacuten es un bamboleo menor del eje de la Tierra con respecto a la ecliacuteptica
Tiene un ciclo de 19 antildeos en el que la inclinacioacuten variacutea entre 6 y 9 segundos Tanto la precesioacuten como la nutacioacuten son movimientos provocados por la influencia gravitatoria del Sol y la Luna Son movimientos complementarios mientras la precesioacuten dibuja una elipse la nutacioacuten hace que ese dibujo sea ondulado
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3- Mediciones en el patio a) Medicioacuten de un objeto de base accesible
a1) Medicioacuten del cipreacutes mediante semejanza Para medir la altura de del cipreacutes con semejanza necesitamos un nivel de aacutengulo un nomon (grande a ser posible) y un metro
Cuando hemos reunido todos estos materiales medimos el nomon y la longitud de la sombra del cipreacutes
Luego hay que poner el nomon en un sitio donde concuerden los extremos de las sombras y medir la distancia de la base del nomon hasta el liacutemite de la sombra
Medidas obtenidas
Sombra del cipreacutes 12m Nomon 240m Sombra del nomon 282m
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Al medir todo soacutelo hay que hacer una simple ecuacioacuten
nomondelSombraNomon
cipreacutesdelSombraCipreacutes
=
mymm
ymm
my 211085012850
12822402
12==times==
Luego el cipreacutes mide aproximadamente 1021m de altura a2) Medicioacuten del cipreacutes mediante trigonometriacutea Para medir el cipreacutes con el meacutetodo de trigonometriacutea necesitamos un teodolito vertical y un metro Cuando tengamos esos materiales nos colocamos delante del cipreacutes a unos metros y con el teodolito miramos la punta maacutes alta del cipreacutes y anotamos los grados que nos ha dado Medimos la distancia del cipreacutes al punto donde hemos medido y la distancia del ojo al suelo
Medidas obtenidas Longitud desde el cipreacutes hasta nosotros 885m Aacutengulo 45ordm Longitud del ojo al suelo 146m Una vez medido todo soacutelo hay que hacer una simple ecuacioacuten
aacutengulodelnosotroshastalongcipreacutesdelaltura tan
=
mym
ym
y 85885811858
ordm45tan858
=times===
15
Al nuacutemero hallado hay que sumarle la distancia del ojo al suelo y esa seraacute la altura del cipreacutes
mmm 3110461858 =+
El cipreacutes mide 1031m de altura a3) Medicioacuten del gimnasio mediante trigonometriacutea Para medir el gimnasio con el meacutetodo de trigonometriacutea necesitamos los mismos materiales usados para medir el cipreacutes con esta misma teacutecnica Cuando tenemos los materiales nos ponemos a una cierta distancia de eacutel y medimos el aacutengulo obtenido al mirar a la cornisa del gimnasio y la distancia que nos separa del eacutel Medidas obtenidas Longitud desde el gimnasio hasta nosotros 885m Aacutengulo 27ordm Longitud del ojo al suelo 146m Una vez medido todo hay que hacer la misma ecuacioacuten que la del cipreacutes pero con los datos del gimnasio
aacutengulodelnosotroshastalonggimnasiodelaltura tan
=
mym
yy 514858510510858
ordm27tan858
=times===
Al nuacutemero hallado hay que sumarle la distancia del ojo al suelo y esa seraacute la altura del gimnasio
mmm 975461514 =+
El gimnasio mide 597m de altura
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b) Medicioacuten de un objeto de base inaccesible
Para medir la altura del edificio necesitamos los materiales utilizados en la medicioacuten del gimnasio y del cipreacutes mediante el meacutetodo de la trigonometriacutea Nos colocamos lo maacutes cerca posible del edificio y tomamos la medida del aacutengulo obtenido nos alejamos del punto donde estaacutebamos y medimos la distancia que separa un punto del otro y los grados obtenidos este proceso lo repetimos otra vez
y = edificio x = distancia del edificio a nosotros ( 1ordf medida) Medidas obtenidas Primer aacutengulo 41ordm Segundo aacutengulo 25ordm Tercer aacutengulo 19ordm Primera medida x Segunda medida 20m Tercera medida 10m Distancio del ojo al suelo 168m Planteamos un sistema de ecuaciones con los dos primeros aacutengulos
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+==+
=
===
xyx
y
xyxy
20middot46046020
ordm25tan
870870ordm41tan
17
( )
myy
mx
x
xxx
xxxx
16201023middot3870
102340370329
32940370329460870
46032987020middot460870
===
=
==minus
+=+=
Despueacutes de utilizar los dos primeros aacutengulos ahora utilizaremos el primero y el tercero
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+==++
=
===
xyx
y
xyxy
30middot3403401020
ordm19tan
870870ordm41tan
( )
myy
mx
x
xxx
xxxx
09176519middot870
65195203310
33105203310340870
340331087030middot340870
===
=
==minus+=
+=
Los nuacutemeros hallados sobre la ldquoxrdquo y la ldquoyrdquo van a ser distintos de una ecuacioacuten a otra por eso hay que hallar la media
my
mx
83172
57180917
86162
57186519
=+
=
=+
=
Al nuacutemero dado por la ldquoyrdquo hay que sumarle la distancia del ojo al suelo y esa seraacute la medida del edificio
17rsquo83+1rsquo68= 19rsquo51m
El edificio mide 19rsquo51m
La distancia entre la primera medida y el edificio es 16rsquo86m
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c) Errores y problemas El primer error en la medicioacuten del cipreacutes pudo ser que midieacuteramos la sombra o la penumbra pero hay que medir en el medio entre la sombra y la penumbra
Otro problema que hubo fue el que al medir a distintas alturas con el teodolito vertical el edificio tuvimos que nivelarlo poniendo un objeto que estuviera a la misma altura que la primera para nivelar la distancia al suelo como se ilustra en la siguiente imagen
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4- Vocabulario y Personajes a) Glosario Anatema Curva que describe la posicioacuten del Sol en el cielo a la misma hora del diacutea y en el mismo lugar de observacioacuten por un antildeo entero En la Tierra es en forma de ocho (infin) El componente horizontal muestra la ecuacioacuten de tiempo que es la diferencia entre el tiempo solar aparente y el tiempo solar medio El componente vertical muestra la declinacioacuten del Sol A veces se dibuja en los globos terraacutequeos Aacutengulo figura geomeacutetrica formada en una superficie por liacuteneas que parten de un mismo punto Astronomiacutea (del griego αστρονομία = άστρον + νόμος) etimoloacutegicamente significa la Ley de las estrellas y es la ciencia que estudia los astros a partir de la informacioacuten que nos llega de ellos a traveacutes de la radiacioacuten electromagneacutetica Calendario (del latiacuten calenda) es una cuenta sistematizada del tiempo para la organizacioacuten de las actividades humanas Antiguamente estaba basado en los ciclos lunares En la actualidad los diversos calendarios tienen base en el ciclo que describe la Tierra alrededor del Sol y se denominan calendarios solares El calendario sideral se basa en el movimiento de otros astros diferentes al Sol Cenit interseccioacuten entre la vertical del observador y la esfera celeste O sea si imaginamos una recta que pasa por el centro de la Tierra y por nuestra ubicacioacuten en su superficie el cenit se encuentra sobre esa recta por encima de nuestras cabezas El punto diametralmente opuesto de la esfera celeste al cenit se denomina Nadir Coordenadas se dice de las liacuteneas que sirven para determinar la posicioacuten de un punto y de los ejes planos a que se refieren aquellas liacuteneas Ecliacuteptica (del latiacuten ecliptĭca [linĕa] (del griego ἐκλειπτική relativo a los eclipses) es el plano que contiene la oacuterbita de la Tierra alrededor del Sol Eliacuteptica oacuterbita de un astro que gira alrededor de otro describiendo una elipse El astro central se situacutea en uno de los focos de la elipse Todas las oacuterbitas de los planetas del sistema solar tienen esta oacuterbita Ecuador paralelo que se toma como 0ordm de latitud Equinoccio eacutepoca en que por incidir los rayos perpendicularmente al ecuador los diacuteas tienen la misma duracioacuten que la noche en toda la tierra lo cual sucede anualmente del 20 al 21 de marzo y del 22 al 23 de septiembre Excentricidad en matemaacuteticas y geometriacutea es un paraacutemetro que determina el grado de desviacioacuten de una seccioacuten coacutenica con respecto a una circunferencia Es un paraacutemetro importante en la definicioacuten de las elipses Gnomon Palo vertical de altura determinada Husos horarios son cada una de las veinticuatro aacutereas en que se divide la Tierra y que siguen la misma definicioacuten de tiempo cronoloacutegico
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Latitud Distancia en grados entre un paralelo y el Ecuador Puede alcanzar los 90ordm Norte o Sur Longitud Distancia en grados entre un meridiano con el meridiano de Greenwich Su maacuteximo es 180ordm OE Mediatriz de un segmento es la recta equidistante de dos puntos del plano equidistantes Esta corta el segmento por su mitad y perpendicularmente Meridiano Cada una de las liacuteneas imaginarias que atraviesan la esfera terrestre desde el polo norte hasta el polo sur Meridiano de Greenwich semiciacuterculo imaginario que une los polos y pasa por Greenwich maacutes precisamente por el antiguo observatorio astronoacutemico de este suburbio de Londres Este sirve de meridiano de origen es a partir de eacutel que se miden las longitudes en grados es decir que corresponde a la longitud cero por lo que tambieacuten se llama meridiano cero y primer meridiano Nutacioacuten (del latiacuten ldquonutarerdquo cabecear u oscilar) es la oscilacioacuten perioacutedica del polo de la Tierra alrededor de su posicioacuten media en la esfera celeste debida a la influencia de la Luna sobre el planeta similar al movimiento de una peonza cuando pierde fuerza y estaacute a punto de caerse Paralelo cada una de las liacuteneas imaginarias que rodean la Tierra de Este a Oeste
Ciacuterculo polar aacutertico es uno de los cinco paralelos principales terrestres Se trata del paralelo de latitud 66deg 33 38 Norte El espacio situado al norte del ciacuterculo aacutertico se denomina Aacutertico y la regioacuten al sur de este ciacuterculo se denomina Zona Templada Norte
Ciacuterculo polar antaacutertico uno de los cinco principales paralelos que sentildealan los mapas de la Tierra Es el paralelo de latitud 66deg 33 38 al sur del ecuador Precesioacuten es el cambio de la direccioacuten del eje alrededor del cual gira un objeto Radio liacutenea recta comprendida entre un punto cualquiera de la circunferencia del circulo hasta el centro del mismo Refraccioacuten hacer que cambie de direccioacuten el rayo de la luz que pasa oblicuamente de un medio a otro de diferente densidad Rotacioacuten el movimiento de cambio de orientacioacuten de un cuerpo extenso de forma que dado un punto cualquiera del mismo este permanece a una distancia constante de un punto fijo Semejanza (del griego iso-gonios = iguales aacutengulos) En geometriacutea diacutecese de una figura que tiene aacutengulos congruentes con los de otra Solsticio eacutepoca en que el Sol se halla en uno de los dos troacutepicos lo cual sucede del 21 al 22 de junio para el troacutepico de Caacutencer y del 21 al 22 de diciembre para el de Capricornio Tangente cociente entre los catetos de un triaacutengulo rectaacutengulo cateto opuestocateto contiguo En la eacutepoca de Eratoacutestenes existiacutean tablas aacutengulo ndash tangente Teodolito instrumento de medicioacuten mecaacutenico-oacuteptico universal que sirve para medir aacutengulos verticales y sobre todo horizontales aacutembito en el cual tiene una precisioacuten elevada Con otras herramientas auxiliares puede medir distancias y desniveles
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Traslacioacuten movimiento por el cual la Tierra se mueve alrededor del Sol La causa de este movimiento es la accioacuten de la gravedad originaacutendose cambios que al igual que el diacutea permiten la medicioacuten del tiempo Trigonometriacutea (del griego la medicioacuten de los triaacutengulos) es una rama de las matemaacuteticas que estudia los aacutengulos y los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo y las relaciones entre ellos Troacutepicos liacuteneas imaginarias situadas a aproximadamente 23ordm de latitud Troacutepico de Caacutencer paralelo situado a una latitud de 23ordm27rsquo al norte de ecuador delimita los puntos maacutes septentrionales en los que el sol puede ocupar el cenit o la vertical del lugar mediodiacutea Troacutepico de Capricornio troacutepico del hemisferio sur Se llama de Capricornio porque se consideraba que el diacutea del solsticio en los troacutepicos el Sol iluminaba el fondo de los pozos y en aquellas fechas en el hemisferio sur el Sol estaba en la constelacioacuten de Capricornio 4b) Matemaacuteticos - Tales de Mileto (625-546 aC)
Geoacutemetra griego y uno de los siete sabios de Grecia Fue el primer matemaacutetico griego que inicioacute el desarrollo razonado de la geometriacutea Hacia el antildeo 600 a C Tales visitoacute Egipto El faraoacuten le pidioacute que resolviera un viejo problema conocer la altura exacta de la Gran Piraacutemide Tales se apoyoacute en su bastoacuten y esperoacute Cuando la sombra del bastoacuten fue igual de larga que el propio bastoacuten le dijo a un servidor del faraoacuten ldquoCorre y mide la sombra de la Gran Piraacutemide En este momento es tan larga como la propia piraacutemiderdquo Tales era famoso desde el antildeo 585 aC ya que predijo con toda
exactitud un eclipse de Sol - Pitaacutegoras (582-500 aC)
Fundoacute la escuela pitagoacuterica hacia el antildeo 530aC donde se estudiaba filosofiacutea matemaacuteticas y ciencias naturales estaba situada en Crotona (al sur de Italia) Ademaacutes de formular el teorema que lleva su nombre inventoacute la tabla de multiplicar y estudio la relacioacuten entre la muacutesica y las matemaacuteticas A partir de la Edad Media el teorema de Pitaacutegoras fue considerado como el ldquopons asinorumrdquo (puente de asnos) o conocimiento que separaba a las personas cultas de las incultas
- Euclides (365-300 aC)
Se conoce muy poco de la vida de este sabio griego Posiblemente vivioacute entre el 365 y el 300 aC pero se desconoce su lugar de nacimiento Se le denomina de Alejandriacutea porque fue en esta ciudad donde se desarrollo su trabajo Su obra ldquoElementos de Geometriacuteardquo es el texto matemaacutetico de maacutes eacutexito en toda la historia Tanto es asiacute que hasta una eacutepoca muy reciente todaviacutea se utilizaba como texto escolar en Inglaterra
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-Aristarco (310 aC - 230 aC)
Nacioacute en Samos - Grecia - en el antildeo 310 aC y murioacute en el 220 aC Fue disciacutepulo de Estratoacuten de Lampsacos jefe de la escuela peripateacutetica fundada por Aristoacuteteles Antildeos despueacutes Aristarco sucederiacutea a Teofrasto como jefe de esta institucioacuten entre antildeos 288 y 287 aC Fue un haacutebil geoacutemetra pero es poco lo que se conoce de su vida Sus hipoacutetesis sobre el universo se han extraiacutedo a partir de las referencias hechas por otros autores despueacutes de su muerte Ptolomeo en el Almagesto lo nombra como un concienzudo observador de los solsticios y equinoccios Parece haber interpretado estas observaciones correctamente atribuyendo estos fenoacutemenos al movimiento de la Tierra alrededor del Sol Dedujo por esto
que era necesario que la oacuterbita terrestre estuviera inclinada para explicar los cambios de estacioacuten - Arquiacutemedes (287-212 aC)
Se le considera padre de la ciencia mecaacutenica el cientiacutefico y matemaacutetico maacutes importante de la Edad Antigua Su obra maacutes importante fue el descubrimiento de la relacioacuten entre la superficie el volumen de una esfera y el cilindro que la circunscribe Invento la rueda dentada y la polea para subir pesos sin esfuerzo Tambieacuten a el se le ocurrioacute usar grandes espejos para incendiar los barcos enemigos y descubrioacute la manera de medir el volumen de cuerpos irregulares (sumergieacutendolos en agua y midiendo el incremento de volumen del liacutequido)
-Eratoacutestenes (284-192 aC)
Matemaacutetico astroacutenomo geoacutegrafo filoacutesofo y poeta griego Hizo la ldquoCriba de Erastoacutetenesrdquo (nuacutemeros primos) Fue el primero que midioacute con buena exactitud el meridiano terrestre (para lo que ideoacute un sistema a partir de la semejanza de triaacutengulos que consiste en que la figura tiene aacutengulos concurrentes con los de otro triaacutengulo) Erastoacutetenes tambieacuten midioacute la oblicuidad de la ecliptica (la inclinacioacuten del eje terrestre) con un error de solo 7acute de arco y creoacute un cataacutelogo (actualmente perdido) de 675 estrellas fijas Su obra maacutes importante fue un tratado de geografiacutea general
-Hiparco de Nicea (c 190-120 a C )
Fue un matemaacutetico y astroacutenomo griego el maacutes importante de su eacutepoca tambieacuten conocido como Hiparco de Rodas Este nacioacute en Nicea Bitinia (hoy Iznik Turquiacutea) Se le considera el primer astroacutenomo cientiacutefico Fue muy preciso en sus investigaciones de las que conocemos parte por comentarse en el tratado cientiacutefico Almagesto del astroacutenomo alejandrino Tolomeo sobre quien ejercioacute gran influencia Sus caacutelculos del antildeo tropical duracioacuten del antildeo determinada por las estaciones teniacutean un margen de error de 6 5 minutos con respecto a las mediciones modernas Murioacute en Rodas Grecia en el antildeo 120 a C
23
5 Bibliografiacutea wwwgoogleesimages Enciclopedia Aula del Estudiante Enciclopedia Larousse Microsoft Encarta 2007 wwwastronosurfcom wwwastronomiacom wwwwikipediaorg 100ciacomopinionforosarchiveindexphpt-5452html httpenciclopediausesindexphpEnciclopedia_Libre_Universal_en_EspaF1ol
wwwenciclopediaorg
httpwwwastromiacombiografias
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2- Inclinacioacuten de los rayos solares sobre el IES Bahiacutea de Babel a) Material utilizado para la construccioacuten del ldquoteodolito verticalrdquo
El teodolito vertical no fue construido por nosotros sino por unos antiguos alumnos del centro El teodolito vertical estaacute formando por un tubo hueco en la parte superior de una superficie lisa que lleva adherida un transportador de aacutengulos y un peacutendulo aferrado a eacuteste
b) Coacutemo utilizar el ldquoteodolito verticalrdquo
El teodolito vertical tiene una mecaacutenica sencilla a saber cuando un rayo de sol incida por el interior del conducto hueco este saldraacute y se proyectaraacute en una superficie oscura Cuando logre atravesar el cilindro tomaremos la medida del aacutengulo que forma el peacutendulo con la vertical del Sol Gracias a esto podemos saber a queacute altura sobre el horizonte estaacute el Sol desde el punto en que nos encontramos
9
c) Medidas logradas con el ldquoteodolito verticalrdquo El viernes 22 intentamos usar el teodolito pero como no habiacutea suficiente sol no se pudo realizar la medicioacuten El martes 26 siacute que pudimos hacerla y a las 1353h medimos la inclinacioacuten del Sol que era de 39ordm sobre el instituto En esa hora el Sol estaba en el punto maacutes alto (cenit) porque era maacutes o menos el mediodiacutea
d) Medidas con el ldquoteodolito verticalrdquo de distintos grupos Medias obtenidas el diacutea 26 de septiembre
Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3 Grupo 4
Inclinacioacuten 39ordm 39ordm 47ordm 38ordm
Conclusioacuten Todos los grupos midieron mal la inclinacioacuten de los rayos solares (porque dieron el aacutengulo que marcaba el teodolito y ese es el que forman con los rayos con la vertical) excepto el grupo 3 que se aproximoacute un poco debido a que deberiacutea dar 52ordm
El aacutengulo que se forma en Alicante cuando los rayos del sol son perpendiculares al Ecuador es de 38ordm (latitud de Alicante) por lo cual el otro aacutengulo son 52ordm (38ordm+52ordm+90ordm=180ordm de un triaacutengulo recto) como se representa en el siguiente dibujo
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e) Inclinacioacuten de los rayos solares mediante el nomon Con el meacutetodo de la tangente podemos averiguar el aacutengulo de la inclinacioacuten del sol
contiguocatopuestocat
tan =α
El cateto opuesto es la altura del palo y el cateto contiguo es la sombra de eacuteste Despueacutes de hallar el nuacutemero hay que hacerle el arco tangente (tan ) y el nuacutemero
que deacute seraacute el aacutengulo 1minus
Angulo hallado mediante distintos nomons
Nomon grande Nomon mediano Nomon pequentildeo
Altura Sombra Grados Altura Sombra Grados Altura Sombra Grados
240m 198m 50ordm47rdquo 136m 0425m 72ordm64rdquo 025m 019m 52ordm47rdquo
Pasos para calcular el aacutengulo de cada nomon Nomon grande
47ordm50211tan211981402
== arcmm
Nomon mediano
64ordm7223tan234250361
== arcm
m
Nomon pequentildeo
47ordm523151tan3151190250
== arcmm
En el nomon mediano debe haber habido un error porque como bien sale en los otros dos nomon debiacutea de dar 52ordm47rdquo debido a los rayos paralelos del sol que inciden perpendiculares al Ecuador como se explica en el apartado anterior
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f) Posiciones Sol -Tierra
La Tierra tiene un movimiento de rotacioacuten en torno a un eje y otro de traslacioacuten de forma eliacuteptica alrededor del sol El primero de estos movimientos hace que un punto sobre ella se vea iluminado de forma perioacutedica por el Sol originando el diacutea y la noche el segundo movimiento hace que los tiempos de exposicioacuten al sol sean variables originando las estaciones Esta variacioacuten en los tiempos de exposicioacuten es debido a que el eje de rotacioacuten de la Tierra permanece praacutecticamente siempre paralelo a siacute mismo con un aacutengulo de 66ordm 33` respecto al plano de la ecliacuteptica (plano que contiene a la trayectoria de la Tierra)
Solsticio diacutea en el cual el Sol estaacute maacutes alto o maacutes bajo
1) Solsticio de verano 21 de Junio 93 diacuteas y 15h El Sol estaacute perpendicular al troacutepico de caacutencer y estaacute maacutes alto que ninguacuten diacutea del antildeo 2) Solsticio de invierno 21 de Diciembre 89 diacuteas El Sol estaacute perpendicular al troacutepico de capricornio y estaacute maacutes bajo que ninguacuten diacutea del antildeo Equinoccio diacutea donde la noche y el diacutea duran lo mismo 1) Equinoccio de primavera 21 de Marzo 92 diacuteas y 20h 2) Equinoccio de otontildeo 23 de Septiembre 89 diacuteas y 19h En el diacutea del equinoccio en el ecuador a mediodiacutea no hay sombra debido a que los rayos solares son perpendiculares al Ecuador el Sol estaacute en lo maacutes alto
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g) Movimientos de la Tierra
La Tierra posee dos movimientos baacutesicos el de traslacioacuten alrededor del Sol que marca el antildeo y el de rotacioacuten sobre su eje que marca el diacutea Ademaacutes tiene los movimientos de precesioacuten y nutacioacuten La precesioacuten de los equinoccios es un movimiento lento de la inclinacioacuten del eje de la Tierra con respecta a la ecliacuteptica Este movimiento retrasa la llegada de los equinoccios lentamente Completa una vuelta completa cada 25790 antildeos
La Tierra tarda un antildeo en completar su oacuterbita alrededor del Sol Esta oacuterbita es
eliacuteptica aunque con muy poca excentricidad Pero iquestcuaacutento tarda realmente la Tierra en dar una vuelta alrededor del Sol Si tenemos en cuenta las estrellas dura 365 diacuteas 6 horas 9 minutos y 95 segundos Se llama antildeo sideacutereo Si tenemos en cuenta dos pasos consecutivos y reales de la Tierra por el equinoccio vernal dura 365 diacuteas 5 horas 48 minutos y 4551 segundos Se llama antildeo troacutepico o solar La diferencia entre el antildeo troacutepico y el sideacutereo es producto del movimiento precesioacuten de los equinoccios En nuestro calendario usamos el antildeo civil que consta de 365 oacute 366 diacuteas Es una solucioacuten que nos permite contar el antildeo en diacuteas completos
La Tierra realiza un movimiento completo de rotacioacuten alrededor de su eje que va de
polo a polo (geograacutefico no magneacutetico) en 23 horas 56 minutos 409 segundos unos 4 minutos menos que 24 horas
La Tierra da una vuelta entera (360deg) en aproximadamente 24 horas debido a la
rotacioacuten de la Tierra y se mueve alrededor del Sol a una velocidad aproximada de 15ordmh oacute 30 Km por segundo (unos 108000 Kmh) Ademaacutes en su rotacioacuten alrededor de su eje la superficie de la Tierra se mueve con distintas velocidades dependiendo de su distancia al Ecuador
La nutacioacuten es un bamboleo menor del eje de la Tierra con respecto a la ecliacuteptica
Tiene un ciclo de 19 antildeos en el que la inclinacioacuten variacutea entre 6 y 9 segundos Tanto la precesioacuten como la nutacioacuten son movimientos provocados por la influencia gravitatoria del Sol y la Luna Son movimientos complementarios mientras la precesioacuten dibuja una elipse la nutacioacuten hace que ese dibujo sea ondulado
13
3- Mediciones en el patio a) Medicioacuten de un objeto de base accesible
a1) Medicioacuten del cipreacutes mediante semejanza Para medir la altura de del cipreacutes con semejanza necesitamos un nivel de aacutengulo un nomon (grande a ser posible) y un metro
Cuando hemos reunido todos estos materiales medimos el nomon y la longitud de la sombra del cipreacutes
Luego hay que poner el nomon en un sitio donde concuerden los extremos de las sombras y medir la distancia de la base del nomon hasta el liacutemite de la sombra
Medidas obtenidas
Sombra del cipreacutes 12m Nomon 240m Sombra del nomon 282m
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Al medir todo soacutelo hay que hacer una simple ecuacioacuten
nomondelSombraNomon
cipreacutesdelSombraCipreacutes
=
mymm
ymm
my 211085012850
12822402
12==times==
Luego el cipreacutes mide aproximadamente 1021m de altura a2) Medicioacuten del cipreacutes mediante trigonometriacutea Para medir el cipreacutes con el meacutetodo de trigonometriacutea necesitamos un teodolito vertical y un metro Cuando tengamos esos materiales nos colocamos delante del cipreacutes a unos metros y con el teodolito miramos la punta maacutes alta del cipreacutes y anotamos los grados que nos ha dado Medimos la distancia del cipreacutes al punto donde hemos medido y la distancia del ojo al suelo
Medidas obtenidas Longitud desde el cipreacutes hasta nosotros 885m Aacutengulo 45ordm Longitud del ojo al suelo 146m Una vez medido todo soacutelo hay que hacer una simple ecuacioacuten
aacutengulodelnosotroshastalongcipreacutesdelaltura tan
=
mym
ym
y 85885811858
ordm45tan858
=times===
15
Al nuacutemero hallado hay que sumarle la distancia del ojo al suelo y esa seraacute la altura del cipreacutes
mmm 3110461858 =+
El cipreacutes mide 1031m de altura a3) Medicioacuten del gimnasio mediante trigonometriacutea Para medir el gimnasio con el meacutetodo de trigonometriacutea necesitamos los mismos materiales usados para medir el cipreacutes con esta misma teacutecnica Cuando tenemos los materiales nos ponemos a una cierta distancia de eacutel y medimos el aacutengulo obtenido al mirar a la cornisa del gimnasio y la distancia que nos separa del eacutel Medidas obtenidas Longitud desde el gimnasio hasta nosotros 885m Aacutengulo 27ordm Longitud del ojo al suelo 146m Una vez medido todo hay que hacer la misma ecuacioacuten que la del cipreacutes pero con los datos del gimnasio
aacutengulodelnosotroshastalonggimnasiodelaltura tan
=
mym
yy 514858510510858
ordm27tan858
=times===
Al nuacutemero hallado hay que sumarle la distancia del ojo al suelo y esa seraacute la altura del gimnasio
mmm 975461514 =+
El gimnasio mide 597m de altura
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b) Medicioacuten de un objeto de base inaccesible
Para medir la altura del edificio necesitamos los materiales utilizados en la medicioacuten del gimnasio y del cipreacutes mediante el meacutetodo de la trigonometriacutea Nos colocamos lo maacutes cerca posible del edificio y tomamos la medida del aacutengulo obtenido nos alejamos del punto donde estaacutebamos y medimos la distancia que separa un punto del otro y los grados obtenidos este proceso lo repetimos otra vez
y = edificio x = distancia del edificio a nosotros ( 1ordf medida) Medidas obtenidas Primer aacutengulo 41ordm Segundo aacutengulo 25ordm Tercer aacutengulo 19ordm Primera medida x Segunda medida 20m Tercera medida 10m Distancio del ojo al suelo 168m Planteamos un sistema de ecuaciones con los dos primeros aacutengulos
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+==+
=
===
xyx
y
xyxy
20middot46046020
ordm25tan
870870ordm41tan
17
( )
myy
mx
x
xxx
xxxx
16201023middot3870
102340370329
32940370329460870
46032987020middot460870
===
=
==minus
+=+=
Despueacutes de utilizar los dos primeros aacutengulos ahora utilizaremos el primero y el tercero
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+==++
=
===
xyx
y
xyxy
30middot3403401020
ordm19tan
870870ordm41tan
( )
myy
mx
x
xxx
xxxx
09176519middot870
65195203310
33105203310340870
340331087030middot340870
===
=
==minus+=
+=
Los nuacutemeros hallados sobre la ldquoxrdquo y la ldquoyrdquo van a ser distintos de una ecuacioacuten a otra por eso hay que hallar la media
my
mx
83172
57180917
86162
57186519
=+
=
=+
=
Al nuacutemero dado por la ldquoyrdquo hay que sumarle la distancia del ojo al suelo y esa seraacute la medida del edificio
17rsquo83+1rsquo68= 19rsquo51m
El edificio mide 19rsquo51m
La distancia entre la primera medida y el edificio es 16rsquo86m
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c) Errores y problemas El primer error en la medicioacuten del cipreacutes pudo ser que midieacuteramos la sombra o la penumbra pero hay que medir en el medio entre la sombra y la penumbra
Otro problema que hubo fue el que al medir a distintas alturas con el teodolito vertical el edificio tuvimos que nivelarlo poniendo un objeto que estuviera a la misma altura que la primera para nivelar la distancia al suelo como se ilustra en la siguiente imagen
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4- Vocabulario y Personajes a) Glosario Anatema Curva que describe la posicioacuten del Sol en el cielo a la misma hora del diacutea y en el mismo lugar de observacioacuten por un antildeo entero En la Tierra es en forma de ocho (infin) El componente horizontal muestra la ecuacioacuten de tiempo que es la diferencia entre el tiempo solar aparente y el tiempo solar medio El componente vertical muestra la declinacioacuten del Sol A veces se dibuja en los globos terraacutequeos Aacutengulo figura geomeacutetrica formada en una superficie por liacuteneas que parten de un mismo punto Astronomiacutea (del griego αστρονομία = άστρον + νόμος) etimoloacutegicamente significa la Ley de las estrellas y es la ciencia que estudia los astros a partir de la informacioacuten que nos llega de ellos a traveacutes de la radiacioacuten electromagneacutetica Calendario (del latiacuten calenda) es una cuenta sistematizada del tiempo para la organizacioacuten de las actividades humanas Antiguamente estaba basado en los ciclos lunares En la actualidad los diversos calendarios tienen base en el ciclo que describe la Tierra alrededor del Sol y se denominan calendarios solares El calendario sideral se basa en el movimiento de otros astros diferentes al Sol Cenit interseccioacuten entre la vertical del observador y la esfera celeste O sea si imaginamos una recta que pasa por el centro de la Tierra y por nuestra ubicacioacuten en su superficie el cenit se encuentra sobre esa recta por encima de nuestras cabezas El punto diametralmente opuesto de la esfera celeste al cenit se denomina Nadir Coordenadas se dice de las liacuteneas que sirven para determinar la posicioacuten de un punto y de los ejes planos a que se refieren aquellas liacuteneas Ecliacuteptica (del latiacuten ecliptĭca [linĕa] (del griego ἐκλειπτική relativo a los eclipses) es el plano que contiene la oacuterbita de la Tierra alrededor del Sol Eliacuteptica oacuterbita de un astro que gira alrededor de otro describiendo una elipse El astro central se situacutea en uno de los focos de la elipse Todas las oacuterbitas de los planetas del sistema solar tienen esta oacuterbita Ecuador paralelo que se toma como 0ordm de latitud Equinoccio eacutepoca en que por incidir los rayos perpendicularmente al ecuador los diacuteas tienen la misma duracioacuten que la noche en toda la tierra lo cual sucede anualmente del 20 al 21 de marzo y del 22 al 23 de septiembre Excentricidad en matemaacuteticas y geometriacutea es un paraacutemetro que determina el grado de desviacioacuten de una seccioacuten coacutenica con respecto a una circunferencia Es un paraacutemetro importante en la definicioacuten de las elipses Gnomon Palo vertical de altura determinada Husos horarios son cada una de las veinticuatro aacutereas en que se divide la Tierra y que siguen la misma definicioacuten de tiempo cronoloacutegico
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Latitud Distancia en grados entre un paralelo y el Ecuador Puede alcanzar los 90ordm Norte o Sur Longitud Distancia en grados entre un meridiano con el meridiano de Greenwich Su maacuteximo es 180ordm OE Mediatriz de un segmento es la recta equidistante de dos puntos del plano equidistantes Esta corta el segmento por su mitad y perpendicularmente Meridiano Cada una de las liacuteneas imaginarias que atraviesan la esfera terrestre desde el polo norte hasta el polo sur Meridiano de Greenwich semiciacuterculo imaginario que une los polos y pasa por Greenwich maacutes precisamente por el antiguo observatorio astronoacutemico de este suburbio de Londres Este sirve de meridiano de origen es a partir de eacutel que se miden las longitudes en grados es decir que corresponde a la longitud cero por lo que tambieacuten se llama meridiano cero y primer meridiano Nutacioacuten (del latiacuten ldquonutarerdquo cabecear u oscilar) es la oscilacioacuten perioacutedica del polo de la Tierra alrededor de su posicioacuten media en la esfera celeste debida a la influencia de la Luna sobre el planeta similar al movimiento de una peonza cuando pierde fuerza y estaacute a punto de caerse Paralelo cada una de las liacuteneas imaginarias que rodean la Tierra de Este a Oeste
Ciacuterculo polar aacutertico es uno de los cinco paralelos principales terrestres Se trata del paralelo de latitud 66deg 33 38 Norte El espacio situado al norte del ciacuterculo aacutertico se denomina Aacutertico y la regioacuten al sur de este ciacuterculo se denomina Zona Templada Norte
Ciacuterculo polar antaacutertico uno de los cinco principales paralelos que sentildealan los mapas de la Tierra Es el paralelo de latitud 66deg 33 38 al sur del ecuador Precesioacuten es el cambio de la direccioacuten del eje alrededor del cual gira un objeto Radio liacutenea recta comprendida entre un punto cualquiera de la circunferencia del circulo hasta el centro del mismo Refraccioacuten hacer que cambie de direccioacuten el rayo de la luz que pasa oblicuamente de un medio a otro de diferente densidad Rotacioacuten el movimiento de cambio de orientacioacuten de un cuerpo extenso de forma que dado un punto cualquiera del mismo este permanece a una distancia constante de un punto fijo Semejanza (del griego iso-gonios = iguales aacutengulos) En geometriacutea diacutecese de una figura que tiene aacutengulos congruentes con los de otra Solsticio eacutepoca en que el Sol se halla en uno de los dos troacutepicos lo cual sucede del 21 al 22 de junio para el troacutepico de Caacutencer y del 21 al 22 de diciembre para el de Capricornio Tangente cociente entre los catetos de un triaacutengulo rectaacutengulo cateto opuestocateto contiguo En la eacutepoca de Eratoacutestenes existiacutean tablas aacutengulo ndash tangente Teodolito instrumento de medicioacuten mecaacutenico-oacuteptico universal que sirve para medir aacutengulos verticales y sobre todo horizontales aacutembito en el cual tiene una precisioacuten elevada Con otras herramientas auxiliares puede medir distancias y desniveles
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Traslacioacuten movimiento por el cual la Tierra se mueve alrededor del Sol La causa de este movimiento es la accioacuten de la gravedad originaacutendose cambios que al igual que el diacutea permiten la medicioacuten del tiempo Trigonometriacutea (del griego la medicioacuten de los triaacutengulos) es una rama de las matemaacuteticas que estudia los aacutengulos y los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo y las relaciones entre ellos Troacutepicos liacuteneas imaginarias situadas a aproximadamente 23ordm de latitud Troacutepico de Caacutencer paralelo situado a una latitud de 23ordm27rsquo al norte de ecuador delimita los puntos maacutes septentrionales en los que el sol puede ocupar el cenit o la vertical del lugar mediodiacutea Troacutepico de Capricornio troacutepico del hemisferio sur Se llama de Capricornio porque se consideraba que el diacutea del solsticio en los troacutepicos el Sol iluminaba el fondo de los pozos y en aquellas fechas en el hemisferio sur el Sol estaba en la constelacioacuten de Capricornio 4b) Matemaacuteticos - Tales de Mileto (625-546 aC)
Geoacutemetra griego y uno de los siete sabios de Grecia Fue el primer matemaacutetico griego que inicioacute el desarrollo razonado de la geometriacutea Hacia el antildeo 600 a C Tales visitoacute Egipto El faraoacuten le pidioacute que resolviera un viejo problema conocer la altura exacta de la Gran Piraacutemide Tales se apoyoacute en su bastoacuten y esperoacute Cuando la sombra del bastoacuten fue igual de larga que el propio bastoacuten le dijo a un servidor del faraoacuten ldquoCorre y mide la sombra de la Gran Piraacutemide En este momento es tan larga como la propia piraacutemiderdquo Tales era famoso desde el antildeo 585 aC ya que predijo con toda
exactitud un eclipse de Sol - Pitaacutegoras (582-500 aC)
Fundoacute la escuela pitagoacuterica hacia el antildeo 530aC donde se estudiaba filosofiacutea matemaacuteticas y ciencias naturales estaba situada en Crotona (al sur de Italia) Ademaacutes de formular el teorema que lleva su nombre inventoacute la tabla de multiplicar y estudio la relacioacuten entre la muacutesica y las matemaacuteticas A partir de la Edad Media el teorema de Pitaacutegoras fue considerado como el ldquopons asinorumrdquo (puente de asnos) o conocimiento que separaba a las personas cultas de las incultas
- Euclides (365-300 aC)
Se conoce muy poco de la vida de este sabio griego Posiblemente vivioacute entre el 365 y el 300 aC pero se desconoce su lugar de nacimiento Se le denomina de Alejandriacutea porque fue en esta ciudad donde se desarrollo su trabajo Su obra ldquoElementos de Geometriacuteardquo es el texto matemaacutetico de maacutes eacutexito en toda la historia Tanto es asiacute que hasta una eacutepoca muy reciente todaviacutea se utilizaba como texto escolar en Inglaterra
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-Aristarco (310 aC - 230 aC)
Nacioacute en Samos - Grecia - en el antildeo 310 aC y murioacute en el 220 aC Fue disciacutepulo de Estratoacuten de Lampsacos jefe de la escuela peripateacutetica fundada por Aristoacuteteles Antildeos despueacutes Aristarco sucederiacutea a Teofrasto como jefe de esta institucioacuten entre antildeos 288 y 287 aC Fue un haacutebil geoacutemetra pero es poco lo que se conoce de su vida Sus hipoacutetesis sobre el universo se han extraiacutedo a partir de las referencias hechas por otros autores despueacutes de su muerte Ptolomeo en el Almagesto lo nombra como un concienzudo observador de los solsticios y equinoccios Parece haber interpretado estas observaciones correctamente atribuyendo estos fenoacutemenos al movimiento de la Tierra alrededor del Sol Dedujo por esto
que era necesario que la oacuterbita terrestre estuviera inclinada para explicar los cambios de estacioacuten - Arquiacutemedes (287-212 aC)
Se le considera padre de la ciencia mecaacutenica el cientiacutefico y matemaacutetico maacutes importante de la Edad Antigua Su obra maacutes importante fue el descubrimiento de la relacioacuten entre la superficie el volumen de una esfera y el cilindro que la circunscribe Invento la rueda dentada y la polea para subir pesos sin esfuerzo Tambieacuten a el se le ocurrioacute usar grandes espejos para incendiar los barcos enemigos y descubrioacute la manera de medir el volumen de cuerpos irregulares (sumergieacutendolos en agua y midiendo el incremento de volumen del liacutequido)
-Eratoacutestenes (284-192 aC)
Matemaacutetico astroacutenomo geoacutegrafo filoacutesofo y poeta griego Hizo la ldquoCriba de Erastoacutetenesrdquo (nuacutemeros primos) Fue el primero que midioacute con buena exactitud el meridiano terrestre (para lo que ideoacute un sistema a partir de la semejanza de triaacutengulos que consiste en que la figura tiene aacutengulos concurrentes con los de otro triaacutengulo) Erastoacutetenes tambieacuten midioacute la oblicuidad de la ecliptica (la inclinacioacuten del eje terrestre) con un error de solo 7acute de arco y creoacute un cataacutelogo (actualmente perdido) de 675 estrellas fijas Su obra maacutes importante fue un tratado de geografiacutea general
-Hiparco de Nicea (c 190-120 a C )
Fue un matemaacutetico y astroacutenomo griego el maacutes importante de su eacutepoca tambieacuten conocido como Hiparco de Rodas Este nacioacute en Nicea Bitinia (hoy Iznik Turquiacutea) Se le considera el primer astroacutenomo cientiacutefico Fue muy preciso en sus investigaciones de las que conocemos parte por comentarse en el tratado cientiacutefico Almagesto del astroacutenomo alejandrino Tolomeo sobre quien ejercioacute gran influencia Sus caacutelculos del antildeo tropical duracioacuten del antildeo determinada por las estaciones teniacutean un margen de error de 6 5 minutos con respecto a las mediciones modernas Murioacute en Rodas Grecia en el antildeo 120 a C
23
5 Bibliografiacutea wwwgoogleesimages Enciclopedia Aula del Estudiante Enciclopedia Larousse Microsoft Encarta 2007 wwwastronosurfcom wwwastronomiacom wwwwikipediaorg 100ciacomopinionforosarchiveindexphpt-5452html httpenciclopediausesindexphpEnciclopedia_Libre_Universal_en_EspaF1ol
wwwenciclopediaorg
httpwwwastromiacombiografias
24
c) Medidas logradas con el ldquoteodolito verticalrdquo El viernes 22 intentamos usar el teodolito pero como no habiacutea suficiente sol no se pudo realizar la medicioacuten El martes 26 siacute que pudimos hacerla y a las 1353h medimos la inclinacioacuten del Sol que era de 39ordm sobre el instituto En esa hora el Sol estaba en el punto maacutes alto (cenit) porque era maacutes o menos el mediodiacutea
d) Medidas con el ldquoteodolito verticalrdquo de distintos grupos Medias obtenidas el diacutea 26 de septiembre
Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3 Grupo 4
Inclinacioacuten 39ordm 39ordm 47ordm 38ordm
Conclusioacuten Todos los grupos midieron mal la inclinacioacuten de los rayos solares (porque dieron el aacutengulo que marcaba el teodolito y ese es el que forman con los rayos con la vertical) excepto el grupo 3 que se aproximoacute un poco debido a que deberiacutea dar 52ordm
El aacutengulo que se forma en Alicante cuando los rayos del sol son perpendiculares al Ecuador es de 38ordm (latitud de Alicante) por lo cual el otro aacutengulo son 52ordm (38ordm+52ordm+90ordm=180ordm de un triaacutengulo recto) como se representa en el siguiente dibujo
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e) Inclinacioacuten de los rayos solares mediante el nomon Con el meacutetodo de la tangente podemos averiguar el aacutengulo de la inclinacioacuten del sol
contiguocatopuestocat
tan =α
El cateto opuesto es la altura del palo y el cateto contiguo es la sombra de eacuteste Despueacutes de hallar el nuacutemero hay que hacerle el arco tangente (tan ) y el nuacutemero
que deacute seraacute el aacutengulo 1minus
Angulo hallado mediante distintos nomons
Nomon grande Nomon mediano Nomon pequentildeo
Altura Sombra Grados Altura Sombra Grados Altura Sombra Grados
240m 198m 50ordm47rdquo 136m 0425m 72ordm64rdquo 025m 019m 52ordm47rdquo
Pasos para calcular el aacutengulo de cada nomon Nomon grande
47ordm50211tan211981402
== arcmm
Nomon mediano
64ordm7223tan234250361
== arcm
m
Nomon pequentildeo
47ordm523151tan3151190250
== arcmm
En el nomon mediano debe haber habido un error porque como bien sale en los otros dos nomon debiacutea de dar 52ordm47rdquo debido a los rayos paralelos del sol que inciden perpendiculares al Ecuador como se explica en el apartado anterior
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f) Posiciones Sol -Tierra
La Tierra tiene un movimiento de rotacioacuten en torno a un eje y otro de traslacioacuten de forma eliacuteptica alrededor del sol El primero de estos movimientos hace que un punto sobre ella se vea iluminado de forma perioacutedica por el Sol originando el diacutea y la noche el segundo movimiento hace que los tiempos de exposicioacuten al sol sean variables originando las estaciones Esta variacioacuten en los tiempos de exposicioacuten es debido a que el eje de rotacioacuten de la Tierra permanece praacutecticamente siempre paralelo a siacute mismo con un aacutengulo de 66ordm 33` respecto al plano de la ecliacuteptica (plano que contiene a la trayectoria de la Tierra)
Solsticio diacutea en el cual el Sol estaacute maacutes alto o maacutes bajo
1) Solsticio de verano 21 de Junio 93 diacuteas y 15h El Sol estaacute perpendicular al troacutepico de caacutencer y estaacute maacutes alto que ninguacuten diacutea del antildeo 2) Solsticio de invierno 21 de Diciembre 89 diacuteas El Sol estaacute perpendicular al troacutepico de capricornio y estaacute maacutes bajo que ninguacuten diacutea del antildeo Equinoccio diacutea donde la noche y el diacutea duran lo mismo 1) Equinoccio de primavera 21 de Marzo 92 diacuteas y 20h 2) Equinoccio de otontildeo 23 de Septiembre 89 diacuteas y 19h En el diacutea del equinoccio en el ecuador a mediodiacutea no hay sombra debido a que los rayos solares son perpendiculares al Ecuador el Sol estaacute en lo maacutes alto
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g) Movimientos de la Tierra
La Tierra posee dos movimientos baacutesicos el de traslacioacuten alrededor del Sol que marca el antildeo y el de rotacioacuten sobre su eje que marca el diacutea Ademaacutes tiene los movimientos de precesioacuten y nutacioacuten La precesioacuten de los equinoccios es un movimiento lento de la inclinacioacuten del eje de la Tierra con respecta a la ecliacuteptica Este movimiento retrasa la llegada de los equinoccios lentamente Completa una vuelta completa cada 25790 antildeos
La Tierra tarda un antildeo en completar su oacuterbita alrededor del Sol Esta oacuterbita es
eliacuteptica aunque con muy poca excentricidad Pero iquestcuaacutento tarda realmente la Tierra en dar una vuelta alrededor del Sol Si tenemos en cuenta las estrellas dura 365 diacuteas 6 horas 9 minutos y 95 segundos Se llama antildeo sideacutereo Si tenemos en cuenta dos pasos consecutivos y reales de la Tierra por el equinoccio vernal dura 365 diacuteas 5 horas 48 minutos y 4551 segundos Se llama antildeo troacutepico o solar La diferencia entre el antildeo troacutepico y el sideacutereo es producto del movimiento precesioacuten de los equinoccios En nuestro calendario usamos el antildeo civil que consta de 365 oacute 366 diacuteas Es una solucioacuten que nos permite contar el antildeo en diacuteas completos
La Tierra realiza un movimiento completo de rotacioacuten alrededor de su eje que va de
polo a polo (geograacutefico no magneacutetico) en 23 horas 56 minutos 409 segundos unos 4 minutos menos que 24 horas
La Tierra da una vuelta entera (360deg) en aproximadamente 24 horas debido a la
rotacioacuten de la Tierra y se mueve alrededor del Sol a una velocidad aproximada de 15ordmh oacute 30 Km por segundo (unos 108000 Kmh) Ademaacutes en su rotacioacuten alrededor de su eje la superficie de la Tierra se mueve con distintas velocidades dependiendo de su distancia al Ecuador
La nutacioacuten es un bamboleo menor del eje de la Tierra con respecto a la ecliacuteptica
Tiene un ciclo de 19 antildeos en el que la inclinacioacuten variacutea entre 6 y 9 segundos Tanto la precesioacuten como la nutacioacuten son movimientos provocados por la influencia gravitatoria del Sol y la Luna Son movimientos complementarios mientras la precesioacuten dibuja una elipse la nutacioacuten hace que ese dibujo sea ondulado
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3- Mediciones en el patio a) Medicioacuten de un objeto de base accesible
a1) Medicioacuten del cipreacutes mediante semejanza Para medir la altura de del cipreacutes con semejanza necesitamos un nivel de aacutengulo un nomon (grande a ser posible) y un metro
Cuando hemos reunido todos estos materiales medimos el nomon y la longitud de la sombra del cipreacutes
Luego hay que poner el nomon en un sitio donde concuerden los extremos de las sombras y medir la distancia de la base del nomon hasta el liacutemite de la sombra
Medidas obtenidas
Sombra del cipreacutes 12m Nomon 240m Sombra del nomon 282m
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Al medir todo soacutelo hay que hacer una simple ecuacioacuten
nomondelSombraNomon
cipreacutesdelSombraCipreacutes
=
mymm
ymm
my 211085012850
12822402
12==times==
Luego el cipreacutes mide aproximadamente 1021m de altura a2) Medicioacuten del cipreacutes mediante trigonometriacutea Para medir el cipreacutes con el meacutetodo de trigonometriacutea necesitamos un teodolito vertical y un metro Cuando tengamos esos materiales nos colocamos delante del cipreacutes a unos metros y con el teodolito miramos la punta maacutes alta del cipreacutes y anotamos los grados que nos ha dado Medimos la distancia del cipreacutes al punto donde hemos medido y la distancia del ojo al suelo
Medidas obtenidas Longitud desde el cipreacutes hasta nosotros 885m Aacutengulo 45ordm Longitud del ojo al suelo 146m Una vez medido todo soacutelo hay que hacer una simple ecuacioacuten
aacutengulodelnosotroshastalongcipreacutesdelaltura tan
=
mym
ym
y 85885811858
ordm45tan858
=times===
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Al nuacutemero hallado hay que sumarle la distancia del ojo al suelo y esa seraacute la altura del cipreacutes
mmm 3110461858 =+
El cipreacutes mide 1031m de altura a3) Medicioacuten del gimnasio mediante trigonometriacutea Para medir el gimnasio con el meacutetodo de trigonometriacutea necesitamos los mismos materiales usados para medir el cipreacutes con esta misma teacutecnica Cuando tenemos los materiales nos ponemos a una cierta distancia de eacutel y medimos el aacutengulo obtenido al mirar a la cornisa del gimnasio y la distancia que nos separa del eacutel Medidas obtenidas Longitud desde el gimnasio hasta nosotros 885m Aacutengulo 27ordm Longitud del ojo al suelo 146m Una vez medido todo hay que hacer la misma ecuacioacuten que la del cipreacutes pero con los datos del gimnasio
aacutengulodelnosotroshastalonggimnasiodelaltura tan
=
mym
yy 514858510510858
ordm27tan858
=times===
Al nuacutemero hallado hay que sumarle la distancia del ojo al suelo y esa seraacute la altura del gimnasio
mmm 975461514 =+
El gimnasio mide 597m de altura
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b) Medicioacuten de un objeto de base inaccesible
Para medir la altura del edificio necesitamos los materiales utilizados en la medicioacuten del gimnasio y del cipreacutes mediante el meacutetodo de la trigonometriacutea Nos colocamos lo maacutes cerca posible del edificio y tomamos la medida del aacutengulo obtenido nos alejamos del punto donde estaacutebamos y medimos la distancia que separa un punto del otro y los grados obtenidos este proceso lo repetimos otra vez
y = edificio x = distancia del edificio a nosotros ( 1ordf medida) Medidas obtenidas Primer aacutengulo 41ordm Segundo aacutengulo 25ordm Tercer aacutengulo 19ordm Primera medida x Segunda medida 20m Tercera medida 10m Distancio del ojo al suelo 168m Planteamos un sistema de ecuaciones con los dos primeros aacutengulos
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+==+
=
===
xyx
y
xyxy
20middot46046020
ordm25tan
870870ordm41tan
17
( )
myy
mx
x
xxx
xxxx
16201023middot3870
102340370329
32940370329460870
46032987020middot460870
===
=
==minus
+=+=
Despueacutes de utilizar los dos primeros aacutengulos ahora utilizaremos el primero y el tercero
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+==++
=
===
xyx
y
xyxy
30middot3403401020
ordm19tan
870870ordm41tan
( )
myy
mx
x
xxx
xxxx
09176519middot870
65195203310
33105203310340870
340331087030middot340870
===
=
==minus+=
+=
Los nuacutemeros hallados sobre la ldquoxrdquo y la ldquoyrdquo van a ser distintos de una ecuacioacuten a otra por eso hay que hallar la media
my
mx
83172
57180917
86162
57186519
=+
=
=+
=
Al nuacutemero dado por la ldquoyrdquo hay que sumarle la distancia del ojo al suelo y esa seraacute la medida del edificio
17rsquo83+1rsquo68= 19rsquo51m
El edificio mide 19rsquo51m
La distancia entre la primera medida y el edificio es 16rsquo86m
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c) Errores y problemas El primer error en la medicioacuten del cipreacutes pudo ser que midieacuteramos la sombra o la penumbra pero hay que medir en el medio entre la sombra y la penumbra
Otro problema que hubo fue el que al medir a distintas alturas con el teodolito vertical el edificio tuvimos que nivelarlo poniendo un objeto que estuviera a la misma altura que la primera para nivelar la distancia al suelo como se ilustra en la siguiente imagen
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4- Vocabulario y Personajes a) Glosario Anatema Curva que describe la posicioacuten del Sol en el cielo a la misma hora del diacutea y en el mismo lugar de observacioacuten por un antildeo entero En la Tierra es en forma de ocho (infin) El componente horizontal muestra la ecuacioacuten de tiempo que es la diferencia entre el tiempo solar aparente y el tiempo solar medio El componente vertical muestra la declinacioacuten del Sol A veces se dibuja en los globos terraacutequeos Aacutengulo figura geomeacutetrica formada en una superficie por liacuteneas que parten de un mismo punto Astronomiacutea (del griego αστρονομία = άστρον + νόμος) etimoloacutegicamente significa la Ley de las estrellas y es la ciencia que estudia los astros a partir de la informacioacuten que nos llega de ellos a traveacutes de la radiacioacuten electromagneacutetica Calendario (del latiacuten calenda) es una cuenta sistematizada del tiempo para la organizacioacuten de las actividades humanas Antiguamente estaba basado en los ciclos lunares En la actualidad los diversos calendarios tienen base en el ciclo que describe la Tierra alrededor del Sol y se denominan calendarios solares El calendario sideral se basa en el movimiento de otros astros diferentes al Sol Cenit interseccioacuten entre la vertical del observador y la esfera celeste O sea si imaginamos una recta que pasa por el centro de la Tierra y por nuestra ubicacioacuten en su superficie el cenit se encuentra sobre esa recta por encima de nuestras cabezas El punto diametralmente opuesto de la esfera celeste al cenit se denomina Nadir Coordenadas se dice de las liacuteneas que sirven para determinar la posicioacuten de un punto y de los ejes planos a que se refieren aquellas liacuteneas Ecliacuteptica (del latiacuten ecliptĭca [linĕa] (del griego ἐκλειπτική relativo a los eclipses) es el plano que contiene la oacuterbita de la Tierra alrededor del Sol Eliacuteptica oacuterbita de un astro que gira alrededor de otro describiendo una elipse El astro central se situacutea en uno de los focos de la elipse Todas las oacuterbitas de los planetas del sistema solar tienen esta oacuterbita Ecuador paralelo que se toma como 0ordm de latitud Equinoccio eacutepoca en que por incidir los rayos perpendicularmente al ecuador los diacuteas tienen la misma duracioacuten que la noche en toda la tierra lo cual sucede anualmente del 20 al 21 de marzo y del 22 al 23 de septiembre Excentricidad en matemaacuteticas y geometriacutea es un paraacutemetro que determina el grado de desviacioacuten de una seccioacuten coacutenica con respecto a una circunferencia Es un paraacutemetro importante en la definicioacuten de las elipses Gnomon Palo vertical de altura determinada Husos horarios son cada una de las veinticuatro aacutereas en que se divide la Tierra y que siguen la misma definicioacuten de tiempo cronoloacutegico
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Latitud Distancia en grados entre un paralelo y el Ecuador Puede alcanzar los 90ordm Norte o Sur Longitud Distancia en grados entre un meridiano con el meridiano de Greenwich Su maacuteximo es 180ordm OE Mediatriz de un segmento es la recta equidistante de dos puntos del plano equidistantes Esta corta el segmento por su mitad y perpendicularmente Meridiano Cada una de las liacuteneas imaginarias que atraviesan la esfera terrestre desde el polo norte hasta el polo sur Meridiano de Greenwich semiciacuterculo imaginario que une los polos y pasa por Greenwich maacutes precisamente por el antiguo observatorio astronoacutemico de este suburbio de Londres Este sirve de meridiano de origen es a partir de eacutel que se miden las longitudes en grados es decir que corresponde a la longitud cero por lo que tambieacuten se llama meridiano cero y primer meridiano Nutacioacuten (del latiacuten ldquonutarerdquo cabecear u oscilar) es la oscilacioacuten perioacutedica del polo de la Tierra alrededor de su posicioacuten media en la esfera celeste debida a la influencia de la Luna sobre el planeta similar al movimiento de una peonza cuando pierde fuerza y estaacute a punto de caerse Paralelo cada una de las liacuteneas imaginarias que rodean la Tierra de Este a Oeste
Ciacuterculo polar aacutertico es uno de los cinco paralelos principales terrestres Se trata del paralelo de latitud 66deg 33 38 Norte El espacio situado al norte del ciacuterculo aacutertico se denomina Aacutertico y la regioacuten al sur de este ciacuterculo se denomina Zona Templada Norte
Ciacuterculo polar antaacutertico uno de los cinco principales paralelos que sentildealan los mapas de la Tierra Es el paralelo de latitud 66deg 33 38 al sur del ecuador Precesioacuten es el cambio de la direccioacuten del eje alrededor del cual gira un objeto Radio liacutenea recta comprendida entre un punto cualquiera de la circunferencia del circulo hasta el centro del mismo Refraccioacuten hacer que cambie de direccioacuten el rayo de la luz que pasa oblicuamente de un medio a otro de diferente densidad Rotacioacuten el movimiento de cambio de orientacioacuten de un cuerpo extenso de forma que dado un punto cualquiera del mismo este permanece a una distancia constante de un punto fijo Semejanza (del griego iso-gonios = iguales aacutengulos) En geometriacutea diacutecese de una figura que tiene aacutengulos congruentes con los de otra Solsticio eacutepoca en que el Sol se halla en uno de los dos troacutepicos lo cual sucede del 21 al 22 de junio para el troacutepico de Caacutencer y del 21 al 22 de diciembre para el de Capricornio Tangente cociente entre los catetos de un triaacutengulo rectaacutengulo cateto opuestocateto contiguo En la eacutepoca de Eratoacutestenes existiacutean tablas aacutengulo ndash tangente Teodolito instrumento de medicioacuten mecaacutenico-oacuteptico universal que sirve para medir aacutengulos verticales y sobre todo horizontales aacutembito en el cual tiene una precisioacuten elevada Con otras herramientas auxiliares puede medir distancias y desniveles
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Traslacioacuten movimiento por el cual la Tierra se mueve alrededor del Sol La causa de este movimiento es la accioacuten de la gravedad originaacutendose cambios que al igual que el diacutea permiten la medicioacuten del tiempo Trigonometriacutea (del griego la medicioacuten de los triaacutengulos) es una rama de las matemaacuteticas que estudia los aacutengulos y los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo y las relaciones entre ellos Troacutepicos liacuteneas imaginarias situadas a aproximadamente 23ordm de latitud Troacutepico de Caacutencer paralelo situado a una latitud de 23ordm27rsquo al norte de ecuador delimita los puntos maacutes septentrionales en los que el sol puede ocupar el cenit o la vertical del lugar mediodiacutea Troacutepico de Capricornio troacutepico del hemisferio sur Se llama de Capricornio porque se consideraba que el diacutea del solsticio en los troacutepicos el Sol iluminaba el fondo de los pozos y en aquellas fechas en el hemisferio sur el Sol estaba en la constelacioacuten de Capricornio 4b) Matemaacuteticos - Tales de Mileto (625-546 aC)
Geoacutemetra griego y uno de los siete sabios de Grecia Fue el primer matemaacutetico griego que inicioacute el desarrollo razonado de la geometriacutea Hacia el antildeo 600 a C Tales visitoacute Egipto El faraoacuten le pidioacute que resolviera un viejo problema conocer la altura exacta de la Gran Piraacutemide Tales se apoyoacute en su bastoacuten y esperoacute Cuando la sombra del bastoacuten fue igual de larga que el propio bastoacuten le dijo a un servidor del faraoacuten ldquoCorre y mide la sombra de la Gran Piraacutemide En este momento es tan larga como la propia piraacutemiderdquo Tales era famoso desde el antildeo 585 aC ya que predijo con toda
exactitud un eclipse de Sol - Pitaacutegoras (582-500 aC)
Fundoacute la escuela pitagoacuterica hacia el antildeo 530aC donde se estudiaba filosofiacutea matemaacuteticas y ciencias naturales estaba situada en Crotona (al sur de Italia) Ademaacutes de formular el teorema que lleva su nombre inventoacute la tabla de multiplicar y estudio la relacioacuten entre la muacutesica y las matemaacuteticas A partir de la Edad Media el teorema de Pitaacutegoras fue considerado como el ldquopons asinorumrdquo (puente de asnos) o conocimiento que separaba a las personas cultas de las incultas
- Euclides (365-300 aC)
Se conoce muy poco de la vida de este sabio griego Posiblemente vivioacute entre el 365 y el 300 aC pero se desconoce su lugar de nacimiento Se le denomina de Alejandriacutea porque fue en esta ciudad donde se desarrollo su trabajo Su obra ldquoElementos de Geometriacuteardquo es el texto matemaacutetico de maacutes eacutexito en toda la historia Tanto es asiacute que hasta una eacutepoca muy reciente todaviacutea se utilizaba como texto escolar en Inglaterra
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-Aristarco (310 aC - 230 aC)
Nacioacute en Samos - Grecia - en el antildeo 310 aC y murioacute en el 220 aC Fue disciacutepulo de Estratoacuten de Lampsacos jefe de la escuela peripateacutetica fundada por Aristoacuteteles Antildeos despueacutes Aristarco sucederiacutea a Teofrasto como jefe de esta institucioacuten entre antildeos 288 y 287 aC Fue un haacutebil geoacutemetra pero es poco lo que se conoce de su vida Sus hipoacutetesis sobre el universo se han extraiacutedo a partir de las referencias hechas por otros autores despueacutes de su muerte Ptolomeo en el Almagesto lo nombra como un concienzudo observador de los solsticios y equinoccios Parece haber interpretado estas observaciones correctamente atribuyendo estos fenoacutemenos al movimiento de la Tierra alrededor del Sol Dedujo por esto
que era necesario que la oacuterbita terrestre estuviera inclinada para explicar los cambios de estacioacuten - Arquiacutemedes (287-212 aC)
Se le considera padre de la ciencia mecaacutenica el cientiacutefico y matemaacutetico maacutes importante de la Edad Antigua Su obra maacutes importante fue el descubrimiento de la relacioacuten entre la superficie el volumen de una esfera y el cilindro que la circunscribe Invento la rueda dentada y la polea para subir pesos sin esfuerzo Tambieacuten a el se le ocurrioacute usar grandes espejos para incendiar los barcos enemigos y descubrioacute la manera de medir el volumen de cuerpos irregulares (sumergieacutendolos en agua y midiendo el incremento de volumen del liacutequido)
-Eratoacutestenes (284-192 aC)
Matemaacutetico astroacutenomo geoacutegrafo filoacutesofo y poeta griego Hizo la ldquoCriba de Erastoacutetenesrdquo (nuacutemeros primos) Fue el primero que midioacute con buena exactitud el meridiano terrestre (para lo que ideoacute un sistema a partir de la semejanza de triaacutengulos que consiste en que la figura tiene aacutengulos concurrentes con los de otro triaacutengulo) Erastoacutetenes tambieacuten midioacute la oblicuidad de la ecliptica (la inclinacioacuten del eje terrestre) con un error de solo 7acute de arco y creoacute un cataacutelogo (actualmente perdido) de 675 estrellas fijas Su obra maacutes importante fue un tratado de geografiacutea general
-Hiparco de Nicea (c 190-120 a C )
Fue un matemaacutetico y astroacutenomo griego el maacutes importante de su eacutepoca tambieacuten conocido como Hiparco de Rodas Este nacioacute en Nicea Bitinia (hoy Iznik Turquiacutea) Se le considera el primer astroacutenomo cientiacutefico Fue muy preciso en sus investigaciones de las que conocemos parte por comentarse en el tratado cientiacutefico Almagesto del astroacutenomo alejandrino Tolomeo sobre quien ejercioacute gran influencia Sus caacutelculos del antildeo tropical duracioacuten del antildeo determinada por las estaciones teniacutean un margen de error de 6 5 minutos con respecto a las mediciones modernas Murioacute en Rodas Grecia en el antildeo 120 a C
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5 Bibliografiacutea wwwgoogleesimages Enciclopedia Aula del Estudiante Enciclopedia Larousse Microsoft Encarta 2007 wwwastronosurfcom wwwastronomiacom wwwwikipediaorg 100ciacomopinionforosarchiveindexphpt-5452html httpenciclopediausesindexphpEnciclopedia_Libre_Universal_en_EspaF1ol
wwwenciclopediaorg
httpwwwastromiacombiografias
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e) Inclinacioacuten de los rayos solares mediante el nomon Con el meacutetodo de la tangente podemos averiguar el aacutengulo de la inclinacioacuten del sol
contiguocatopuestocat
tan =α
El cateto opuesto es la altura del palo y el cateto contiguo es la sombra de eacuteste Despueacutes de hallar el nuacutemero hay que hacerle el arco tangente (tan ) y el nuacutemero
que deacute seraacute el aacutengulo 1minus
Angulo hallado mediante distintos nomons
Nomon grande Nomon mediano Nomon pequentildeo
Altura Sombra Grados Altura Sombra Grados Altura Sombra Grados
240m 198m 50ordm47rdquo 136m 0425m 72ordm64rdquo 025m 019m 52ordm47rdquo
Pasos para calcular el aacutengulo de cada nomon Nomon grande
47ordm50211tan211981402
== arcmm
Nomon mediano
64ordm7223tan234250361
== arcm
m
Nomon pequentildeo
47ordm523151tan3151190250
== arcmm
En el nomon mediano debe haber habido un error porque como bien sale en los otros dos nomon debiacutea de dar 52ordm47rdquo debido a los rayos paralelos del sol que inciden perpendiculares al Ecuador como se explica en el apartado anterior
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f) Posiciones Sol -Tierra
La Tierra tiene un movimiento de rotacioacuten en torno a un eje y otro de traslacioacuten de forma eliacuteptica alrededor del sol El primero de estos movimientos hace que un punto sobre ella se vea iluminado de forma perioacutedica por el Sol originando el diacutea y la noche el segundo movimiento hace que los tiempos de exposicioacuten al sol sean variables originando las estaciones Esta variacioacuten en los tiempos de exposicioacuten es debido a que el eje de rotacioacuten de la Tierra permanece praacutecticamente siempre paralelo a siacute mismo con un aacutengulo de 66ordm 33` respecto al plano de la ecliacuteptica (plano que contiene a la trayectoria de la Tierra)
Solsticio diacutea en el cual el Sol estaacute maacutes alto o maacutes bajo
1) Solsticio de verano 21 de Junio 93 diacuteas y 15h El Sol estaacute perpendicular al troacutepico de caacutencer y estaacute maacutes alto que ninguacuten diacutea del antildeo 2) Solsticio de invierno 21 de Diciembre 89 diacuteas El Sol estaacute perpendicular al troacutepico de capricornio y estaacute maacutes bajo que ninguacuten diacutea del antildeo Equinoccio diacutea donde la noche y el diacutea duran lo mismo 1) Equinoccio de primavera 21 de Marzo 92 diacuteas y 20h 2) Equinoccio de otontildeo 23 de Septiembre 89 diacuteas y 19h En el diacutea del equinoccio en el ecuador a mediodiacutea no hay sombra debido a que los rayos solares son perpendiculares al Ecuador el Sol estaacute en lo maacutes alto
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g) Movimientos de la Tierra
La Tierra posee dos movimientos baacutesicos el de traslacioacuten alrededor del Sol que marca el antildeo y el de rotacioacuten sobre su eje que marca el diacutea Ademaacutes tiene los movimientos de precesioacuten y nutacioacuten La precesioacuten de los equinoccios es un movimiento lento de la inclinacioacuten del eje de la Tierra con respecta a la ecliacuteptica Este movimiento retrasa la llegada de los equinoccios lentamente Completa una vuelta completa cada 25790 antildeos
La Tierra tarda un antildeo en completar su oacuterbita alrededor del Sol Esta oacuterbita es
eliacuteptica aunque con muy poca excentricidad Pero iquestcuaacutento tarda realmente la Tierra en dar una vuelta alrededor del Sol Si tenemos en cuenta las estrellas dura 365 diacuteas 6 horas 9 minutos y 95 segundos Se llama antildeo sideacutereo Si tenemos en cuenta dos pasos consecutivos y reales de la Tierra por el equinoccio vernal dura 365 diacuteas 5 horas 48 minutos y 4551 segundos Se llama antildeo troacutepico o solar La diferencia entre el antildeo troacutepico y el sideacutereo es producto del movimiento precesioacuten de los equinoccios En nuestro calendario usamos el antildeo civil que consta de 365 oacute 366 diacuteas Es una solucioacuten que nos permite contar el antildeo en diacuteas completos
La Tierra realiza un movimiento completo de rotacioacuten alrededor de su eje que va de
polo a polo (geograacutefico no magneacutetico) en 23 horas 56 minutos 409 segundos unos 4 minutos menos que 24 horas
La Tierra da una vuelta entera (360deg) en aproximadamente 24 horas debido a la
rotacioacuten de la Tierra y se mueve alrededor del Sol a una velocidad aproximada de 15ordmh oacute 30 Km por segundo (unos 108000 Kmh) Ademaacutes en su rotacioacuten alrededor de su eje la superficie de la Tierra se mueve con distintas velocidades dependiendo de su distancia al Ecuador
La nutacioacuten es un bamboleo menor del eje de la Tierra con respecto a la ecliacuteptica
Tiene un ciclo de 19 antildeos en el que la inclinacioacuten variacutea entre 6 y 9 segundos Tanto la precesioacuten como la nutacioacuten son movimientos provocados por la influencia gravitatoria del Sol y la Luna Son movimientos complementarios mientras la precesioacuten dibuja una elipse la nutacioacuten hace que ese dibujo sea ondulado
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3- Mediciones en el patio a) Medicioacuten de un objeto de base accesible
a1) Medicioacuten del cipreacutes mediante semejanza Para medir la altura de del cipreacutes con semejanza necesitamos un nivel de aacutengulo un nomon (grande a ser posible) y un metro
Cuando hemos reunido todos estos materiales medimos el nomon y la longitud de la sombra del cipreacutes
Luego hay que poner el nomon en un sitio donde concuerden los extremos de las sombras y medir la distancia de la base del nomon hasta el liacutemite de la sombra
Medidas obtenidas
Sombra del cipreacutes 12m Nomon 240m Sombra del nomon 282m
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Al medir todo soacutelo hay que hacer una simple ecuacioacuten
nomondelSombraNomon
cipreacutesdelSombraCipreacutes
=
mymm
ymm
my 211085012850
12822402
12==times==
Luego el cipreacutes mide aproximadamente 1021m de altura a2) Medicioacuten del cipreacutes mediante trigonometriacutea Para medir el cipreacutes con el meacutetodo de trigonometriacutea necesitamos un teodolito vertical y un metro Cuando tengamos esos materiales nos colocamos delante del cipreacutes a unos metros y con el teodolito miramos la punta maacutes alta del cipreacutes y anotamos los grados que nos ha dado Medimos la distancia del cipreacutes al punto donde hemos medido y la distancia del ojo al suelo
Medidas obtenidas Longitud desde el cipreacutes hasta nosotros 885m Aacutengulo 45ordm Longitud del ojo al suelo 146m Una vez medido todo soacutelo hay que hacer una simple ecuacioacuten
aacutengulodelnosotroshastalongcipreacutesdelaltura tan
=
mym
ym
y 85885811858
ordm45tan858
=times===
15
Al nuacutemero hallado hay que sumarle la distancia del ojo al suelo y esa seraacute la altura del cipreacutes
mmm 3110461858 =+
El cipreacutes mide 1031m de altura a3) Medicioacuten del gimnasio mediante trigonometriacutea Para medir el gimnasio con el meacutetodo de trigonometriacutea necesitamos los mismos materiales usados para medir el cipreacutes con esta misma teacutecnica Cuando tenemos los materiales nos ponemos a una cierta distancia de eacutel y medimos el aacutengulo obtenido al mirar a la cornisa del gimnasio y la distancia que nos separa del eacutel Medidas obtenidas Longitud desde el gimnasio hasta nosotros 885m Aacutengulo 27ordm Longitud del ojo al suelo 146m Una vez medido todo hay que hacer la misma ecuacioacuten que la del cipreacutes pero con los datos del gimnasio
aacutengulodelnosotroshastalonggimnasiodelaltura tan
=
mym
yy 514858510510858
ordm27tan858
=times===
Al nuacutemero hallado hay que sumarle la distancia del ojo al suelo y esa seraacute la altura del gimnasio
mmm 975461514 =+
El gimnasio mide 597m de altura
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b) Medicioacuten de un objeto de base inaccesible
Para medir la altura del edificio necesitamos los materiales utilizados en la medicioacuten del gimnasio y del cipreacutes mediante el meacutetodo de la trigonometriacutea Nos colocamos lo maacutes cerca posible del edificio y tomamos la medida del aacutengulo obtenido nos alejamos del punto donde estaacutebamos y medimos la distancia que separa un punto del otro y los grados obtenidos este proceso lo repetimos otra vez
y = edificio x = distancia del edificio a nosotros ( 1ordf medida) Medidas obtenidas Primer aacutengulo 41ordm Segundo aacutengulo 25ordm Tercer aacutengulo 19ordm Primera medida x Segunda medida 20m Tercera medida 10m Distancio del ojo al suelo 168m Planteamos un sistema de ecuaciones con los dos primeros aacutengulos
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+==+
=
===
xyx
y
xyxy
20middot46046020
ordm25tan
870870ordm41tan
17
( )
myy
mx
x
xxx
xxxx
16201023middot3870
102340370329
32940370329460870
46032987020middot460870
===
=
==minus
+=+=
Despueacutes de utilizar los dos primeros aacutengulos ahora utilizaremos el primero y el tercero
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+==++
=
===
xyx
y
xyxy
30middot3403401020
ordm19tan
870870ordm41tan
( )
myy
mx
x
xxx
xxxx
09176519middot870
65195203310
33105203310340870
340331087030middot340870
===
=
==minus+=
+=
Los nuacutemeros hallados sobre la ldquoxrdquo y la ldquoyrdquo van a ser distintos de una ecuacioacuten a otra por eso hay que hallar la media
my
mx
83172
57180917
86162
57186519
=+
=
=+
=
Al nuacutemero dado por la ldquoyrdquo hay que sumarle la distancia del ojo al suelo y esa seraacute la medida del edificio
17rsquo83+1rsquo68= 19rsquo51m
El edificio mide 19rsquo51m
La distancia entre la primera medida y el edificio es 16rsquo86m
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c) Errores y problemas El primer error en la medicioacuten del cipreacutes pudo ser que midieacuteramos la sombra o la penumbra pero hay que medir en el medio entre la sombra y la penumbra
Otro problema que hubo fue el que al medir a distintas alturas con el teodolito vertical el edificio tuvimos que nivelarlo poniendo un objeto que estuviera a la misma altura que la primera para nivelar la distancia al suelo como se ilustra en la siguiente imagen
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4- Vocabulario y Personajes a) Glosario Anatema Curva que describe la posicioacuten del Sol en el cielo a la misma hora del diacutea y en el mismo lugar de observacioacuten por un antildeo entero En la Tierra es en forma de ocho (infin) El componente horizontal muestra la ecuacioacuten de tiempo que es la diferencia entre el tiempo solar aparente y el tiempo solar medio El componente vertical muestra la declinacioacuten del Sol A veces se dibuja en los globos terraacutequeos Aacutengulo figura geomeacutetrica formada en una superficie por liacuteneas que parten de un mismo punto Astronomiacutea (del griego αστρονομία = άστρον + νόμος) etimoloacutegicamente significa la Ley de las estrellas y es la ciencia que estudia los astros a partir de la informacioacuten que nos llega de ellos a traveacutes de la radiacioacuten electromagneacutetica Calendario (del latiacuten calenda) es una cuenta sistematizada del tiempo para la organizacioacuten de las actividades humanas Antiguamente estaba basado en los ciclos lunares En la actualidad los diversos calendarios tienen base en el ciclo que describe la Tierra alrededor del Sol y se denominan calendarios solares El calendario sideral se basa en el movimiento de otros astros diferentes al Sol Cenit interseccioacuten entre la vertical del observador y la esfera celeste O sea si imaginamos una recta que pasa por el centro de la Tierra y por nuestra ubicacioacuten en su superficie el cenit se encuentra sobre esa recta por encima de nuestras cabezas El punto diametralmente opuesto de la esfera celeste al cenit se denomina Nadir Coordenadas se dice de las liacuteneas que sirven para determinar la posicioacuten de un punto y de los ejes planos a que se refieren aquellas liacuteneas Ecliacuteptica (del latiacuten ecliptĭca [linĕa] (del griego ἐκλειπτική relativo a los eclipses) es el plano que contiene la oacuterbita de la Tierra alrededor del Sol Eliacuteptica oacuterbita de un astro que gira alrededor de otro describiendo una elipse El astro central se situacutea en uno de los focos de la elipse Todas las oacuterbitas de los planetas del sistema solar tienen esta oacuterbita Ecuador paralelo que se toma como 0ordm de latitud Equinoccio eacutepoca en que por incidir los rayos perpendicularmente al ecuador los diacuteas tienen la misma duracioacuten que la noche en toda la tierra lo cual sucede anualmente del 20 al 21 de marzo y del 22 al 23 de septiembre Excentricidad en matemaacuteticas y geometriacutea es un paraacutemetro que determina el grado de desviacioacuten de una seccioacuten coacutenica con respecto a una circunferencia Es un paraacutemetro importante en la definicioacuten de las elipses Gnomon Palo vertical de altura determinada Husos horarios son cada una de las veinticuatro aacutereas en que se divide la Tierra y que siguen la misma definicioacuten de tiempo cronoloacutegico
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Latitud Distancia en grados entre un paralelo y el Ecuador Puede alcanzar los 90ordm Norte o Sur Longitud Distancia en grados entre un meridiano con el meridiano de Greenwich Su maacuteximo es 180ordm OE Mediatriz de un segmento es la recta equidistante de dos puntos del plano equidistantes Esta corta el segmento por su mitad y perpendicularmente Meridiano Cada una de las liacuteneas imaginarias que atraviesan la esfera terrestre desde el polo norte hasta el polo sur Meridiano de Greenwich semiciacuterculo imaginario que une los polos y pasa por Greenwich maacutes precisamente por el antiguo observatorio astronoacutemico de este suburbio de Londres Este sirve de meridiano de origen es a partir de eacutel que se miden las longitudes en grados es decir que corresponde a la longitud cero por lo que tambieacuten se llama meridiano cero y primer meridiano Nutacioacuten (del latiacuten ldquonutarerdquo cabecear u oscilar) es la oscilacioacuten perioacutedica del polo de la Tierra alrededor de su posicioacuten media en la esfera celeste debida a la influencia de la Luna sobre el planeta similar al movimiento de una peonza cuando pierde fuerza y estaacute a punto de caerse Paralelo cada una de las liacuteneas imaginarias que rodean la Tierra de Este a Oeste
Ciacuterculo polar aacutertico es uno de los cinco paralelos principales terrestres Se trata del paralelo de latitud 66deg 33 38 Norte El espacio situado al norte del ciacuterculo aacutertico se denomina Aacutertico y la regioacuten al sur de este ciacuterculo se denomina Zona Templada Norte
Ciacuterculo polar antaacutertico uno de los cinco principales paralelos que sentildealan los mapas de la Tierra Es el paralelo de latitud 66deg 33 38 al sur del ecuador Precesioacuten es el cambio de la direccioacuten del eje alrededor del cual gira un objeto Radio liacutenea recta comprendida entre un punto cualquiera de la circunferencia del circulo hasta el centro del mismo Refraccioacuten hacer que cambie de direccioacuten el rayo de la luz que pasa oblicuamente de un medio a otro de diferente densidad Rotacioacuten el movimiento de cambio de orientacioacuten de un cuerpo extenso de forma que dado un punto cualquiera del mismo este permanece a una distancia constante de un punto fijo Semejanza (del griego iso-gonios = iguales aacutengulos) En geometriacutea diacutecese de una figura que tiene aacutengulos congruentes con los de otra Solsticio eacutepoca en que el Sol se halla en uno de los dos troacutepicos lo cual sucede del 21 al 22 de junio para el troacutepico de Caacutencer y del 21 al 22 de diciembre para el de Capricornio Tangente cociente entre los catetos de un triaacutengulo rectaacutengulo cateto opuestocateto contiguo En la eacutepoca de Eratoacutestenes existiacutean tablas aacutengulo ndash tangente Teodolito instrumento de medicioacuten mecaacutenico-oacuteptico universal que sirve para medir aacutengulos verticales y sobre todo horizontales aacutembito en el cual tiene una precisioacuten elevada Con otras herramientas auxiliares puede medir distancias y desniveles
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Traslacioacuten movimiento por el cual la Tierra se mueve alrededor del Sol La causa de este movimiento es la accioacuten de la gravedad originaacutendose cambios que al igual que el diacutea permiten la medicioacuten del tiempo Trigonometriacutea (del griego la medicioacuten de los triaacutengulos) es una rama de las matemaacuteticas que estudia los aacutengulos y los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo y las relaciones entre ellos Troacutepicos liacuteneas imaginarias situadas a aproximadamente 23ordm de latitud Troacutepico de Caacutencer paralelo situado a una latitud de 23ordm27rsquo al norte de ecuador delimita los puntos maacutes septentrionales en los que el sol puede ocupar el cenit o la vertical del lugar mediodiacutea Troacutepico de Capricornio troacutepico del hemisferio sur Se llama de Capricornio porque se consideraba que el diacutea del solsticio en los troacutepicos el Sol iluminaba el fondo de los pozos y en aquellas fechas en el hemisferio sur el Sol estaba en la constelacioacuten de Capricornio 4b) Matemaacuteticos - Tales de Mileto (625-546 aC)
Geoacutemetra griego y uno de los siete sabios de Grecia Fue el primer matemaacutetico griego que inicioacute el desarrollo razonado de la geometriacutea Hacia el antildeo 600 a C Tales visitoacute Egipto El faraoacuten le pidioacute que resolviera un viejo problema conocer la altura exacta de la Gran Piraacutemide Tales se apoyoacute en su bastoacuten y esperoacute Cuando la sombra del bastoacuten fue igual de larga que el propio bastoacuten le dijo a un servidor del faraoacuten ldquoCorre y mide la sombra de la Gran Piraacutemide En este momento es tan larga como la propia piraacutemiderdquo Tales era famoso desde el antildeo 585 aC ya que predijo con toda
exactitud un eclipse de Sol - Pitaacutegoras (582-500 aC)
Fundoacute la escuela pitagoacuterica hacia el antildeo 530aC donde se estudiaba filosofiacutea matemaacuteticas y ciencias naturales estaba situada en Crotona (al sur de Italia) Ademaacutes de formular el teorema que lleva su nombre inventoacute la tabla de multiplicar y estudio la relacioacuten entre la muacutesica y las matemaacuteticas A partir de la Edad Media el teorema de Pitaacutegoras fue considerado como el ldquopons asinorumrdquo (puente de asnos) o conocimiento que separaba a las personas cultas de las incultas
- Euclides (365-300 aC)
Se conoce muy poco de la vida de este sabio griego Posiblemente vivioacute entre el 365 y el 300 aC pero se desconoce su lugar de nacimiento Se le denomina de Alejandriacutea porque fue en esta ciudad donde se desarrollo su trabajo Su obra ldquoElementos de Geometriacuteardquo es el texto matemaacutetico de maacutes eacutexito en toda la historia Tanto es asiacute que hasta una eacutepoca muy reciente todaviacutea se utilizaba como texto escolar en Inglaterra
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-Aristarco (310 aC - 230 aC)
Nacioacute en Samos - Grecia - en el antildeo 310 aC y murioacute en el 220 aC Fue disciacutepulo de Estratoacuten de Lampsacos jefe de la escuela peripateacutetica fundada por Aristoacuteteles Antildeos despueacutes Aristarco sucederiacutea a Teofrasto como jefe de esta institucioacuten entre antildeos 288 y 287 aC Fue un haacutebil geoacutemetra pero es poco lo que se conoce de su vida Sus hipoacutetesis sobre el universo se han extraiacutedo a partir de las referencias hechas por otros autores despueacutes de su muerte Ptolomeo en el Almagesto lo nombra como un concienzudo observador de los solsticios y equinoccios Parece haber interpretado estas observaciones correctamente atribuyendo estos fenoacutemenos al movimiento de la Tierra alrededor del Sol Dedujo por esto
que era necesario que la oacuterbita terrestre estuviera inclinada para explicar los cambios de estacioacuten - Arquiacutemedes (287-212 aC)
Se le considera padre de la ciencia mecaacutenica el cientiacutefico y matemaacutetico maacutes importante de la Edad Antigua Su obra maacutes importante fue el descubrimiento de la relacioacuten entre la superficie el volumen de una esfera y el cilindro que la circunscribe Invento la rueda dentada y la polea para subir pesos sin esfuerzo Tambieacuten a el se le ocurrioacute usar grandes espejos para incendiar los barcos enemigos y descubrioacute la manera de medir el volumen de cuerpos irregulares (sumergieacutendolos en agua y midiendo el incremento de volumen del liacutequido)
-Eratoacutestenes (284-192 aC)
Matemaacutetico astroacutenomo geoacutegrafo filoacutesofo y poeta griego Hizo la ldquoCriba de Erastoacutetenesrdquo (nuacutemeros primos) Fue el primero que midioacute con buena exactitud el meridiano terrestre (para lo que ideoacute un sistema a partir de la semejanza de triaacutengulos que consiste en que la figura tiene aacutengulos concurrentes con los de otro triaacutengulo) Erastoacutetenes tambieacuten midioacute la oblicuidad de la ecliptica (la inclinacioacuten del eje terrestre) con un error de solo 7acute de arco y creoacute un cataacutelogo (actualmente perdido) de 675 estrellas fijas Su obra maacutes importante fue un tratado de geografiacutea general
-Hiparco de Nicea (c 190-120 a C )
Fue un matemaacutetico y astroacutenomo griego el maacutes importante de su eacutepoca tambieacuten conocido como Hiparco de Rodas Este nacioacute en Nicea Bitinia (hoy Iznik Turquiacutea) Se le considera el primer astroacutenomo cientiacutefico Fue muy preciso en sus investigaciones de las que conocemos parte por comentarse en el tratado cientiacutefico Almagesto del astroacutenomo alejandrino Tolomeo sobre quien ejercioacute gran influencia Sus caacutelculos del antildeo tropical duracioacuten del antildeo determinada por las estaciones teniacutean un margen de error de 6 5 minutos con respecto a las mediciones modernas Murioacute en Rodas Grecia en el antildeo 120 a C
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5 Bibliografiacutea wwwgoogleesimages Enciclopedia Aula del Estudiante Enciclopedia Larousse Microsoft Encarta 2007 wwwastronosurfcom wwwastronomiacom wwwwikipediaorg 100ciacomopinionforosarchiveindexphpt-5452html httpenciclopediausesindexphpEnciclopedia_Libre_Universal_en_EspaF1ol
wwwenciclopediaorg
httpwwwastromiacombiografias
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f) Posiciones Sol -Tierra
La Tierra tiene un movimiento de rotacioacuten en torno a un eje y otro de traslacioacuten de forma eliacuteptica alrededor del sol El primero de estos movimientos hace que un punto sobre ella se vea iluminado de forma perioacutedica por el Sol originando el diacutea y la noche el segundo movimiento hace que los tiempos de exposicioacuten al sol sean variables originando las estaciones Esta variacioacuten en los tiempos de exposicioacuten es debido a que el eje de rotacioacuten de la Tierra permanece praacutecticamente siempre paralelo a siacute mismo con un aacutengulo de 66ordm 33` respecto al plano de la ecliacuteptica (plano que contiene a la trayectoria de la Tierra)
Solsticio diacutea en el cual el Sol estaacute maacutes alto o maacutes bajo
1) Solsticio de verano 21 de Junio 93 diacuteas y 15h El Sol estaacute perpendicular al troacutepico de caacutencer y estaacute maacutes alto que ninguacuten diacutea del antildeo 2) Solsticio de invierno 21 de Diciembre 89 diacuteas El Sol estaacute perpendicular al troacutepico de capricornio y estaacute maacutes bajo que ninguacuten diacutea del antildeo Equinoccio diacutea donde la noche y el diacutea duran lo mismo 1) Equinoccio de primavera 21 de Marzo 92 diacuteas y 20h 2) Equinoccio de otontildeo 23 de Septiembre 89 diacuteas y 19h En el diacutea del equinoccio en el ecuador a mediodiacutea no hay sombra debido a que los rayos solares son perpendiculares al Ecuador el Sol estaacute en lo maacutes alto
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g) Movimientos de la Tierra
La Tierra posee dos movimientos baacutesicos el de traslacioacuten alrededor del Sol que marca el antildeo y el de rotacioacuten sobre su eje que marca el diacutea Ademaacutes tiene los movimientos de precesioacuten y nutacioacuten La precesioacuten de los equinoccios es un movimiento lento de la inclinacioacuten del eje de la Tierra con respecta a la ecliacuteptica Este movimiento retrasa la llegada de los equinoccios lentamente Completa una vuelta completa cada 25790 antildeos
La Tierra tarda un antildeo en completar su oacuterbita alrededor del Sol Esta oacuterbita es
eliacuteptica aunque con muy poca excentricidad Pero iquestcuaacutento tarda realmente la Tierra en dar una vuelta alrededor del Sol Si tenemos en cuenta las estrellas dura 365 diacuteas 6 horas 9 minutos y 95 segundos Se llama antildeo sideacutereo Si tenemos en cuenta dos pasos consecutivos y reales de la Tierra por el equinoccio vernal dura 365 diacuteas 5 horas 48 minutos y 4551 segundos Se llama antildeo troacutepico o solar La diferencia entre el antildeo troacutepico y el sideacutereo es producto del movimiento precesioacuten de los equinoccios En nuestro calendario usamos el antildeo civil que consta de 365 oacute 366 diacuteas Es una solucioacuten que nos permite contar el antildeo en diacuteas completos
La Tierra realiza un movimiento completo de rotacioacuten alrededor de su eje que va de
polo a polo (geograacutefico no magneacutetico) en 23 horas 56 minutos 409 segundos unos 4 minutos menos que 24 horas
La Tierra da una vuelta entera (360deg) en aproximadamente 24 horas debido a la
rotacioacuten de la Tierra y se mueve alrededor del Sol a una velocidad aproximada de 15ordmh oacute 30 Km por segundo (unos 108000 Kmh) Ademaacutes en su rotacioacuten alrededor de su eje la superficie de la Tierra se mueve con distintas velocidades dependiendo de su distancia al Ecuador
La nutacioacuten es un bamboleo menor del eje de la Tierra con respecto a la ecliacuteptica
Tiene un ciclo de 19 antildeos en el que la inclinacioacuten variacutea entre 6 y 9 segundos Tanto la precesioacuten como la nutacioacuten son movimientos provocados por la influencia gravitatoria del Sol y la Luna Son movimientos complementarios mientras la precesioacuten dibuja una elipse la nutacioacuten hace que ese dibujo sea ondulado
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3- Mediciones en el patio a) Medicioacuten de un objeto de base accesible
a1) Medicioacuten del cipreacutes mediante semejanza Para medir la altura de del cipreacutes con semejanza necesitamos un nivel de aacutengulo un nomon (grande a ser posible) y un metro
Cuando hemos reunido todos estos materiales medimos el nomon y la longitud de la sombra del cipreacutes
Luego hay que poner el nomon en un sitio donde concuerden los extremos de las sombras y medir la distancia de la base del nomon hasta el liacutemite de la sombra
Medidas obtenidas
Sombra del cipreacutes 12m Nomon 240m Sombra del nomon 282m
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Al medir todo soacutelo hay que hacer una simple ecuacioacuten
nomondelSombraNomon
cipreacutesdelSombraCipreacutes
=
mymm
ymm
my 211085012850
12822402
12==times==
Luego el cipreacutes mide aproximadamente 1021m de altura a2) Medicioacuten del cipreacutes mediante trigonometriacutea Para medir el cipreacutes con el meacutetodo de trigonometriacutea necesitamos un teodolito vertical y un metro Cuando tengamos esos materiales nos colocamos delante del cipreacutes a unos metros y con el teodolito miramos la punta maacutes alta del cipreacutes y anotamos los grados que nos ha dado Medimos la distancia del cipreacutes al punto donde hemos medido y la distancia del ojo al suelo
Medidas obtenidas Longitud desde el cipreacutes hasta nosotros 885m Aacutengulo 45ordm Longitud del ojo al suelo 146m Una vez medido todo soacutelo hay que hacer una simple ecuacioacuten
aacutengulodelnosotroshastalongcipreacutesdelaltura tan
=
mym
ym
y 85885811858
ordm45tan858
=times===
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Al nuacutemero hallado hay que sumarle la distancia del ojo al suelo y esa seraacute la altura del cipreacutes
mmm 3110461858 =+
El cipreacutes mide 1031m de altura a3) Medicioacuten del gimnasio mediante trigonometriacutea Para medir el gimnasio con el meacutetodo de trigonometriacutea necesitamos los mismos materiales usados para medir el cipreacutes con esta misma teacutecnica Cuando tenemos los materiales nos ponemos a una cierta distancia de eacutel y medimos el aacutengulo obtenido al mirar a la cornisa del gimnasio y la distancia que nos separa del eacutel Medidas obtenidas Longitud desde el gimnasio hasta nosotros 885m Aacutengulo 27ordm Longitud del ojo al suelo 146m Una vez medido todo hay que hacer la misma ecuacioacuten que la del cipreacutes pero con los datos del gimnasio
aacutengulodelnosotroshastalonggimnasiodelaltura tan
=
mym
yy 514858510510858
ordm27tan858
=times===
Al nuacutemero hallado hay que sumarle la distancia del ojo al suelo y esa seraacute la altura del gimnasio
mmm 975461514 =+
El gimnasio mide 597m de altura
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b) Medicioacuten de un objeto de base inaccesible
Para medir la altura del edificio necesitamos los materiales utilizados en la medicioacuten del gimnasio y del cipreacutes mediante el meacutetodo de la trigonometriacutea Nos colocamos lo maacutes cerca posible del edificio y tomamos la medida del aacutengulo obtenido nos alejamos del punto donde estaacutebamos y medimos la distancia que separa un punto del otro y los grados obtenidos este proceso lo repetimos otra vez
y = edificio x = distancia del edificio a nosotros ( 1ordf medida) Medidas obtenidas Primer aacutengulo 41ordm Segundo aacutengulo 25ordm Tercer aacutengulo 19ordm Primera medida x Segunda medida 20m Tercera medida 10m Distancio del ojo al suelo 168m Planteamos un sistema de ecuaciones con los dos primeros aacutengulos
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+==+
=
===
xyx
y
xyxy
20middot46046020
ordm25tan
870870ordm41tan
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( )
myy
mx
x
xxx
xxxx
16201023middot3870
102340370329
32940370329460870
46032987020middot460870
===
=
==minus
+=+=
Despueacutes de utilizar los dos primeros aacutengulos ahora utilizaremos el primero y el tercero
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+==++
=
===
xyx
y
xyxy
30middot3403401020
ordm19tan
870870ordm41tan
( )
myy
mx
x
xxx
xxxx
09176519middot870
65195203310
33105203310340870
340331087030middot340870
===
=
==minus+=
+=
Los nuacutemeros hallados sobre la ldquoxrdquo y la ldquoyrdquo van a ser distintos de una ecuacioacuten a otra por eso hay que hallar la media
my
mx
83172
57180917
86162
57186519
=+
=
=+
=
Al nuacutemero dado por la ldquoyrdquo hay que sumarle la distancia del ojo al suelo y esa seraacute la medida del edificio
17rsquo83+1rsquo68= 19rsquo51m
El edificio mide 19rsquo51m
La distancia entre la primera medida y el edificio es 16rsquo86m
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c) Errores y problemas El primer error en la medicioacuten del cipreacutes pudo ser que midieacuteramos la sombra o la penumbra pero hay que medir en el medio entre la sombra y la penumbra
Otro problema que hubo fue el que al medir a distintas alturas con el teodolito vertical el edificio tuvimos que nivelarlo poniendo un objeto que estuviera a la misma altura que la primera para nivelar la distancia al suelo como se ilustra en la siguiente imagen
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4- Vocabulario y Personajes a) Glosario Anatema Curva que describe la posicioacuten del Sol en el cielo a la misma hora del diacutea y en el mismo lugar de observacioacuten por un antildeo entero En la Tierra es en forma de ocho (infin) El componente horizontal muestra la ecuacioacuten de tiempo que es la diferencia entre el tiempo solar aparente y el tiempo solar medio El componente vertical muestra la declinacioacuten del Sol A veces se dibuja en los globos terraacutequeos Aacutengulo figura geomeacutetrica formada en una superficie por liacuteneas que parten de un mismo punto Astronomiacutea (del griego αστρονομία = άστρον + νόμος) etimoloacutegicamente significa la Ley de las estrellas y es la ciencia que estudia los astros a partir de la informacioacuten que nos llega de ellos a traveacutes de la radiacioacuten electromagneacutetica Calendario (del latiacuten calenda) es una cuenta sistematizada del tiempo para la organizacioacuten de las actividades humanas Antiguamente estaba basado en los ciclos lunares En la actualidad los diversos calendarios tienen base en el ciclo que describe la Tierra alrededor del Sol y se denominan calendarios solares El calendario sideral se basa en el movimiento de otros astros diferentes al Sol Cenit interseccioacuten entre la vertical del observador y la esfera celeste O sea si imaginamos una recta que pasa por el centro de la Tierra y por nuestra ubicacioacuten en su superficie el cenit se encuentra sobre esa recta por encima de nuestras cabezas El punto diametralmente opuesto de la esfera celeste al cenit se denomina Nadir Coordenadas se dice de las liacuteneas que sirven para determinar la posicioacuten de un punto y de los ejes planos a que se refieren aquellas liacuteneas Ecliacuteptica (del latiacuten ecliptĭca [linĕa] (del griego ἐκλειπτική relativo a los eclipses) es el plano que contiene la oacuterbita de la Tierra alrededor del Sol Eliacuteptica oacuterbita de un astro que gira alrededor de otro describiendo una elipse El astro central se situacutea en uno de los focos de la elipse Todas las oacuterbitas de los planetas del sistema solar tienen esta oacuterbita Ecuador paralelo que se toma como 0ordm de latitud Equinoccio eacutepoca en que por incidir los rayos perpendicularmente al ecuador los diacuteas tienen la misma duracioacuten que la noche en toda la tierra lo cual sucede anualmente del 20 al 21 de marzo y del 22 al 23 de septiembre Excentricidad en matemaacuteticas y geometriacutea es un paraacutemetro que determina el grado de desviacioacuten de una seccioacuten coacutenica con respecto a una circunferencia Es un paraacutemetro importante en la definicioacuten de las elipses Gnomon Palo vertical de altura determinada Husos horarios son cada una de las veinticuatro aacutereas en que se divide la Tierra y que siguen la misma definicioacuten de tiempo cronoloacutegico
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Latitud Distancia en grados entre un paralelo y el Ecuador Puede alcanzar los 90ordm Norte o Sur Longitud Distancia en grados entre un meridiano con el meridiano de Greenwich Su maacuteximo es 180ordm OE Mediatriz de un segmento es la recta equidistante de dos puntos del plano equidistantes Esta corta el segmento por su mitad y perpendicularmente Meridiano Cada una de las liacuteneas imaginarias que atraviesan la esfera terrestre desde el polo norte hasta el polo sur Meridiano de Greenwich semiciacuterculo imaginario que une los polos y pasa por Greenwich maacutes precisamente por el antiguo observatorio astronoacutemico de este suburbio de Londres Este sirve de meridiano de origen es a partir de eacutel que se miden las longitudes en grados es decir que corresponde a la longitud cero por lo que tambieacuten se llama meridiano cero y primer meridiano Nutacioacuten (del latiacuten ldquonutarerdquo cabecear u oscilar) es la oscilacioacuten perioacutedica del polo de la Tierra alrededor de su posicioacuten media en la esfera celeste debida a la influencia de la Luna sobre el planeta similar al movimiento de una peonza cuando pierde fuerza y estaacute a punto de caerse Paralelo cada una de las liacuteneas imaginarias que rodean la Tierra de Este a Oeste
Ciacuterculo polar aacutertico es uno de los cinco paralelos principales terrestres Se trata del paralelo de latitud 66deg 33 38 Norte El espacio situado al norte del ciacuterculo aacutertico se denomina Aacutertico y la regioacuten al sur de este ciacuterculo se denomina Zona Templada Norte
Ciacuterculo polar antaacutertico uno de los cinco principales paralelos que sentildealan los mapas de la Tierra Es el paralelo de latitud 66deg 33 38 al sur del ecuador Precesioacuten es el cambio de la direccioacuten del eje alrededor del cual gira un objeto Radio liacutenea recta comprendida entre un punto cualquiera de la circunferencia del circulo hasta el centro del mismo Refraccioacuten hacer que cambie de direccioacuten el rayo de la luz que pasa oblicuamente de un medio a otro de diferente densidad Rotacioacuten el movimiento de cambio de orientacioacuten de un cuerpo extenso de forma que dado un punto cualquiera del mismo este permanece a una distancia constante de un punto fijo Semejanza (del griego iso-gonios = iguales aacutengulos) En geometriacutea diacutecese de una figura que tiene aacutengulos congruentes con los de otra Solsticio eacutepoca en que el Sol se halla en uno de los dos troacutepicos lo cual sucede del 21 al 22 de junio para el troacutepico de Caacutencer y del 21 al 22 de diciembre para el de Capricornio Tangente cociente entre los catetos de un triaacutengulo rectaacutengulo cateto opuestocateto contiguo En la eacutepoca de Eratoacutestenes existiacutean tablas aacutengulo ndash tangente Teodolito instrumento de medicioacuten mecaacutenico-oacuteptico universal que sirve para medir aacutengulos verticales y sobre todo horizontales aacutembito en el cual tiene una precisioacuten elevada Con otras herramientas auxiliares puede medir distancias y desniveles
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Traslacioacuten movimiento por el cual la Tierra se mueve alrededor del Sol La causa de este movimiento es la accioacuten de la gravedad originaacutendose cambios que al igual que el diacutea permiten la medicioacuten del tiempo Trigonometriacutea (del griego la medicioacuten de los triaacutengulos) es una rama de las matemaacuteticas que estudia los aacutengulos y los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo y las relaciones entre ellos Troacutepicos liacuteneas imaginarias situadas a aproximadamente 23ordm de latitud Troacutepico de Caacutencer paralelo situado a una latitud de 23ordm27rsquo al norte de ecuador delimita los puntos maacutes septentrionales en los que el sol puede ocupar el cenit o la vertical del lugar mediodiacutea Troacutepico de Capricornio troacutepico del hemisferio sur Se llama de Capricornio porque se consideraba que el diacutea del solsticio en los troacutepicos el Sol iluminaba el fondo de los pozos y en aquellas fechas en el hemisferio sur el Sol estaba en la constelacioacuten de Capricornio 4b) Matemaacuteticos - Tales de Mileto (625-546 aC)
Geoacutemetra griego y uno de los siete sabios de Grecia Fue el primer matemaacutetico griego que inicioacute el desarrollo razonado de la geometriacutea Hacia el antildeo 600 a C Tales visitoacute Egipto El faraoacuten le pidioacute que resolviera un viejo problema conocer la altura exacta de la Gran Piraacutemide Tales se apoyoacute en su bastoacuten y esperoacute Cuando la sombra del bastoacuten fue igual de larga que el propio bastoacuten le dijo a un servidor del faraoacuten ldquoCorre y mide la sombra de la Gran Piraacutemide En este momento es tan larga como la propia piraacutemiderdquo Tales era famoso desde el antildeo 585 aC ya que predijo con toda
exactitud un eclipse de Sol - Pitaacutegoras (582-500 aC)
Fundoacute la escuela pitagoacuterica hacia el antildeo 530aC donde se estudiaba filosofiacutea matemaacuteticas y ciencias naturales estaba situada en Crotona (al sur de Italia) Ademaacutes de formular el teorema que lleva su nombre inventoacute la tabla de multiplicar y estudio la relacioacuten entre la muacutesica y las matemaacuteticas A partir de la Edad Media el teorema de Pitaacutegoras fue considerado como el ldquopons asinorumrdquo (puente de asnos) o conocimiento que separaba a las personas cultas de las incultas
- Euclides (365-300 aC)
Se conoce muy poco de la vida de este sabio griego Posiblemente vivioacute entre el 365 y el 300 aC pero se desconoce su lugar de nacimiento Se le denomina de Alejandriacutea porque fue en esta ciudad donde se desarrollo su trabajo Su obra ldquoElementos de Geometriacuteardquo es el texto matemaacutetico de maacutes eacutexito en toda la historia Tanto es asiacute que hasta una eacutepoca muy reciente todaviacutea se utilizaba como texto escolar en Inglaterra
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-Aristarco (310 aC - 230 aC)
Nacioacute en Samos - Grecia - en el antildeo 310 aC y murioacute en el 220 aC Fue disciacutepulo de Estratoacuten de Lampsacos jefe de la escuela peripateacutetica fundada por Aristoacuteteles Antildeos despueacutes Aristarco sucederiacutea a Teofrasto como jefe de esta institucioacuten entre antildeos 288 y 287 aC Fue un haacutebil geoacutemetra pero es poco lo que se conoce de su vida Sus hipoacutetesis sobre el universo se han extraiacutedo a partir de las referencias hechas por otros autores despueacutes de su muerte Ptolomeo en el Almagesto lo nombra como un concienzudo observador de los solsticios y equinoccios Parece haber interpretado estas observaciones correctamente atribuyendo estos fenoacutemenos al movimiento de la Tierra alrededor del Sol Dedujo por esto
que era necesario que la oacuterbita terrestre estuviera inclinada para explicar los cambios de estacioacuten - Arquiacutemedes (287-212 aC)
Se le considera padre de la ciencia mecaacutenica el cientiacutefico y matemaacutetico maacutes importante de la Edad Antigua Su obra maacutes importante fue el descubrimiento de la relacioacuten entre la superficie el volumen de una esfera y el cilindro que la circunscribe Invento la rueda dentada y la polea para subir pesos sin esfuerzo Tambieacuten a el se le ocurrioacute usar grandes espejos para incendiar los barcos enemigos y descubrioacute la manera de medir el volumen de cuerpos irregulares (sumergieacutendolos en agua y midiendo el incremento de volumen del liacutequido)
-Eratoacutestenes (284-192 aC)
Matemaacutetico astroacutenomo geoacutegrafo filoacutesofo y poeta griego Hizo la ldquoCriba de Erastoacutetenesrdquo (nuacutemeros primos) Fue el primero que midioacute con buena exactitud el meridiano terrestre (para lo que ideoacute un sistema a partir de la semejanza de triaacutengulos que consiste en que la figura tiene aacutengulos concurrentes con los de otro triaacutengulo) Erastoacutetenes tambieacuten midioacute la oblicuidad de la ecliptica (la inclinacioacuten del eje terrestre) con un error de solo 7acute de arco y creoacute un cataacutelogo (actualmente perdido) de 675 estrellas fijas Su obra maacutes importante fue un tratado de geografiacutea general
-Hiparco de Nicea (c 190-120 a C )
Fue un matemaacutetico y astroacutenomo griego el maacutes importante de su eacutepoca tambieacuten conocido como Hiparco de Rodas Este nacioacute en Nicea Bitinia (hoy Iznik Turquiacutea) Se le considera el primer astroacutenomo cientiacutefico Fue muy preciso en sus investigaciones de las que conocemos parte por comentarse en el tratado cientiacutefico Almagesto del astroacutenomo alejandrino Tolomeo sobre quien ejercioacute gran influencia Sus caacutelculos del antildeo tropical duracioacuten del antildeo determinada por las estaciones teniacutean un margen de error de 6 5 minutos con respecto a las mediciones modernas Murioacute en Rodas Grecia en el antildeo 120 a C
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5 Bibliografiacutea wwwgoogleesimages Enciclopedia Aula del Estudiante Enciclopedia Larousse Microsoft Encarta 2007 wwwastronosurfcom wwwastronomiacom wwwwikipediaorg 100ciacomopinionforosarchiveindexphpt-5452html httpenciclopediausesindexphpEnciclopedia_Libre_Universal_en_EspaF1ol
wwwenciclopediaorg
httpwwwastromiacombiografias
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g) Movimientos de la Tierra
La Tierra posee dos movimientos baacutesicos el de traslacioacuten alrededor del Sol que marca el antildeo y el de rotacioacuten sobre su eje que marca el diacutea Ademaacutes tiene los movimientos de precesioacuten y nutacioacuten La precesioacuten de los equinoccios es un movimiento lento de la inclinacioacuten del eje de la Tierra con respecta a la ecliacuteptica Este movimiento retrasa la llegada de los equinoccios lentamente Completa una vuelta completa cada 25790 antildeos
La Tierra tarda un antildeo en completar su oacuterbita alrededor del Sol Esta oacuterbita es
eliacuteptica aunque con muy poca excentricidad Pero iquestcuaacutento tarda realmente la Tierra en dar una vuelta alrededor del Sol Si tenemos en cuenta las estrellas dura 365 diacuteas 6 horas 9 minutos y 95 segundos Se llama antildeo sideacutereo Si tenemos en cuenta dos pasos consecutivos y reales de la Tierra por el equinoccio vernal dura 365 diacuteas 5 horas 48 minutos y 4551 segundos Se llama antildeo troacutepico o solar La diferencia entre el antildeo troacutepico y el sideacutereo es producto del movimiento precesioacuten de los equinoccios En nuestro calendario usamos el antildeo civil que consta de 365 oacute 366 diacuteas Es una solucioacuten que nos permite contar el antildeo en diacuteas completos
La Tierra realiza un movimiento completo de rotacioacuten alrededor de su eje que va de
polo a polo (geograacutefico no magneacutetico) en 23 horas 56 minutos 409 segundos unos 4 minutos menos que 24 horas
La Tierra da una vuelta entera (360deg) en aproximadamente 24 horas debido a la
rotacioacuten de la Tierra y se mueve alrededor del Sol a una velocidad aproximada de 15ordmh oacute 30 Km por segundo (unos 108000 Kmh) Ademaacutes en su rotacioacuten alrededor de su eje la superficie de la Tierra se mueve con distintas velocidades dependiendo de su distancia al Ecuador
La nutacioacuten es un bamboleo menor del eje de la Tierra con respecto a la ecliacuteptica
Tiene un ciclo de 19 antildeos en el que la inclinacioacuten variacutea entre 6 y 9 segundos Tanto la precesioacuten como la nutacioacuten son movimientos provocados por la influencia gravitatoria del Sol y la Luna Son movimientos complementarios mientras la precesioacuten dibuja una elipse la nutacioacuten hace que ese dibujo sea ondulado
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3- Mediciones en el patio a) Medicioacuten de un objeto de base accesible
a1) Medicioacuten del cipreacutes mediante semejanza Para medir la altura de del cipreacutes con semejanza necesitamos un nivel de aacutengulo un nomon (grande a ser posible) y un metro
Cuando hemos reunido todos estos materiales medimos el nomon y la longitud de la sombra del cipreacutes
Luego hay que poner el nomon en un sitio donde concuerden los extremos de las sombras y medir la distancia de la base del nomon hasta el liacutemite de la sombra
Medidas obtenidas
Sombra del cipreacutes 12m Nomon 240m Sombra del nomon 282m
14
Al medir todo soacutelo hay que hacer una simple ecuacioacuten
nomondelSombraNomon
cipreacutesdelSombraCipreacutes
=
mymm
ymm
my 211085012850
12822402
12==times==
Luego el cipreacutes mide aproximadamente 1021m de altura a2) Medicioacuten del cipreacutes mediante trigonometriacutea Para medir el cipreacutes con el meacutetodo de trigonometriacutea necesitamos un teodolito vertical y un metro Cuando tengamos esos materiales nos colocamos delante del cipreacutes a unos metros y con el teodolito miramos la punta maacutes alta del cipreacutes y anotamos los grados que nos ha dado Medimos la distancia del cipreacutes al punto donde hemos medido y la distancia del ojo al suelo
Medidas obtenidas Longitud desde el cipreacutes hasta nosotros 885m Aacutengulo 45ordm Longitud del ojo al suelo 146m Una vez medido todo soacutelo hay que hacer una simple ecuacioacuten
aacutengulodelnosotroshastalongcipreacutesdelaltura tan
=
mym
ym
y 85885811858
ordm45tan858
=times===
15
Al nuacutemero hallado hay que sumarle la distancia del ojo al suelo y esa seraacute la altura del cipreacutes
mmm 3110461858 =+
El cipreacutes mide 1031m de altura a3) Medicioacuten del gimnasio mediante trigonometriacutea Para medir el gimnasio con el meacutetodo de trigonometriacutea necesitamos los mismos materiales usados para medir el cipreacutes con esta misma teacutecnica Cuando tenemos los materiales nos ponemos a una cierta distancia de eacutel y medimos el aacutengulo obtenido al mirar a la cornisa del gimnasio y la distancia que nos separa del eacutel Medidas obtenidas Longitud desde el gimnasio hasta nosotros 885m Aacutengulo 27ordm Longitud del ojo al suelo 146m Una vez medido todo hay que hacer la misma ecuacioacuten que la del cipreacutes pero con los datos del gimnasio
aacutengulodelnosotroshastalonggimnasiodelaltura tan
=
mym
yy 514858510510858
ordm27tan858
=times===
Al nuacutemero hallado hay que sumarle la distancia del ojo al suelo y esa seraacute la altura del gimnasio
mmm 975461514 =+
El gimnasio mide 597m de altura
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b) Medicioacuten de un objeto de base inaccesible
Para medir la altura del edificio necesitamos los materiales utilizados en la medicioacuten del gimnasio y del cipreacutes mediante el meacutetodo de la trigonometriacutea Nos colocamos lo maacutes cerca posible del edificio y tomamos la medida del aacutengulo obtenido nos alejamos del punto donde estaacutebamos y medimos la distancia que separa un punto del otro y los grados obtenidos este proceso lo repetimos otra vez
y = edificio x = distancia del edificio a nosotros ( 1ordf medida) Medidas obtenidas Primer aacutengulo 41ordm Segundo aacutengulo 25ordm Tercer aacutengulo 19ordm Primera medida x Segunda medida 20m Tercera medida 10m Distancio del ojo al suelo 168m Planteamos un sistema de ecuaciones con los dos primeros aacutengulos
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+==+
=
===
xyx
y
xyxy
20middot46046020
ordm25tan
870870ordm41tan
17
( )
myy
mx
x
xxx
xxxx
16201023middot3870
102340370329
32940370329460870
46032987020middot460870
===
=
==minus
+=+=
Despueacutes de utilizar los dos primeros aacutengulos ahora utilizaremos el primero y el tercero
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+==++
=
===
xyx
y
xyxy
30middot3403401020
ordm19tan
870870ordm41tan
( )
myy
mx
x
xxx
xxxx
09176519middot870
65195203310
33105203310340870
340331087030middot340870
===
=
==minus+=
+=
Los nuacutemeros hallados sobre la ldquoxrdquo y la ldquoyrdquo van a ser distintos de una ecuacioacuten a otra por eso hay que hallar la media
my
mx
83172
57180917
86162
57186519
=+
=
=+
=
Al nuacutemero dado por la ldquoyrdquo hay que sumarle la distancia del ojo al suelo y esa seraacute la medida del edificio
17rsquo83+1rsquo68= 19rsquo51m
El edificio mide 19rsquo51m
La distancia entre la primera medida y el edificio es 16rsquo86m
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c) Errores y problemas El primer error en la medicioacuten del cipreacutes pudo ser que midieacuteramos la sombra o la penumbra pero hay que medir en el medio entre la sombra y la penumbra
Otro problema que hubo fue el que al medir a distintas alturas con el teodolito vertical el edificio tuvimos que nivelarlo poniendo un objeto que estuviera a la misma altura que la primera para nivelar la distancia al suelo como se ilustra en la siguiente imagen
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4- Vocabulario y Personajes a) Glosario Anatema Curva que describe la posicioacuten del Sol en el cielo a la misma hora del diacutea y en el mismo lugar de observacioacuten por un antildeo entero En la Tierra es en forma de ocho (infin) El componente horizontal muestra la ecuacioacuten de tiempo que es la diferencia entre el tiempo solar aparente y el tiempo solar medio El componente vertical muestra la declinacioacuten del Sol A veces se dibuja en los globos terraacutequeos Aacutengulo figura geomeacutetrica formada en una superficie por liacuteneas que parten de un mismo punto Astronomiacutea (del griego αστρονομία = άστρον + νόμος) etimoloacutegicamente significa la Ley de las estrellas y es la ciencia que estudia los astros a partir de la informacioacuten que nos llega de ellos a traveacutes de la radiacioacuten electromagneacutetica Calendario (del latiacuten calenda) es una cuenta sistematizada del tiempo para la organizacioacuten de las actividades humanas Antiguamente estaba basado en los ciclos lunares En la actualidad los diversos calendarios tienen base en el ciclo que describe la Tierra alrededor del Sol y se denominan calendarios solares El calendario sideral se basa en el movimiento de otros astros diferentes al Sol Cenit interseccioacuten entre la vertical del observador y la esfera celeste O sea si imaginamos una recta que pasa por el centro de la Tierra y por nuestra ubicacioacuten en su superficie el cenit se encuentra sobre esa recta por encima de nuestras cabezas El punto diametralmente opuesto de la esfera celeste al cenit se denomina Nadir Coordenadas se dice de las liacuteneas que sirven para determinar la posicioacuten de un punto y de los ejes planos a que se refieren aquellas liacuteneas Ecliacuteptica (del latiacuten ecliptĭca [linĕa] (del griego ἐκλειπτική relativo a los eclipses) es el plano que contiene la oacuterbita de la Tierra alrededor del Sol Eliacuteptica oacuterbita de un astro que gira alrededor de otro describiendo una elipse El astro central se situacutea en uno de los focos de la elipse Todas las oacuterbitas de los planetas del sistema solar tienen esta oacuterbita Ecuador paralelo que se toma como 0ordm de latitud Equinoccio eacutepoca en que por incidir los rayos perpendicularmente al ecuador los diacuteas tienen la misma duracioacuten que la noche en toda la tierra lo cual sucede anualmente del 20 al 21 de marzo y del 22 al 23 de septiembre Excentricidad en matemaacuteticas y geometriacutea es un paraacutemetro que determina el grado de desviacioacuten de una seccioacuten coacutenica con respecto a una circunferencia Es un paraacutemetro importante en la definicioacuten de las elipses Gnomon Palo vertical de altura determinada Husos horarios son cada una de las veinticuatro aacutereas en que se divide la Tierra y que siguen la misma definicioacuten de tiempo cronoloacutegico
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Latitud Distancia en grados entre un paralelo y el Ecuador Puede alcanzar los 90ordm Norte o Sur Longitud Distancia en grados entre un meridiano con el meridiano de Greenwich Su maacuteximo es 180ordm OE Mediatriz de un segmento es la recta equidistante de dos puntos del plano equidistantes Esta corta el segmento por su mitad y perpendicularmente Meridiano Cada una de las liacuteneas imaginarias que atraviesan la esfera terrestre desde el polo norte hasta el polo sur Meridiano de Greenwich semiciacuterculo imaginario que une los polos y pasa por Greenwich maacutes precisamente por el antiguo observatorio astronoacutemico de este suburbio de Londres Este sirve de meridiano de origen es a partir de eacutel que se miden las longitudes en grados es decir que corresponde a la longitud cero por lo que tambieacuten se llama meridiano cero y primer meridiano Nutacioacuten (del latiacuten ldquonutarerdquo cabecear u oscilar) es la oscilacioacuten perioacutedica del polo de la Tierra alrededor de su posicioacuten media en la esfera celeste debida a la influencia de la Luna sobre el planeta similar al movimiento de una peonza cuando pierde fuerza y estaacute a punto de caerse Paralelo cada una de las liacuteneas imaginarias que rodean la Tierra de Este a Oeste
Ciacuterculo polar aacutertico es uno de los cinco paralelos principales terrestres Se trata del paralelo de latitud 66deg 33 38 Norte El espacio situado al norte del ciacuterculo aacutertico se denomina Aacutertico y la regioacuten al sur de este ciacuterculo se denomina Zona Templada Norte
Ciacuterculo polar antaacutertico uno de los cinco principales paralelos que sentildealan los mapas de la Tierra Es el paralelo de latitud 66deg 33 38 al sur del ecuador Precesioacuten es el cambio de la direccioacuten del eje alrededor del cual gira un objeto Radio liacutenea recta comprendida entre un punto cualquiera de la circunferencia del circulo hasta el centro del mismo Refraccioacuten hacer que cambie de direccioacuten el rayo de la luz que pasa oblicuamente de un medio a otro de diferente densidad Rotacioacuten el movimiento de cambio de orientacioacuten de un cuerpo extenso de forma que dado un punto cualquiera del mismo este permanece a una distancia constante de un punto fijo Semejanza (del griego iso-gonios = iguales aacutengulos) En geometriacutea diacutecese de una figura que tiene aacutengulos congruentes con los de otra Solsticio eacutepoca en que el Sol se halla en uno de los dos troacutepicos lo cual sucede del 21 al 22 de junio para el troacutepico de Caacutencer y del 21 al 22 de diciembre para el de Capricornio Tangente cociente entre los catetos de un triaacutengulo rectaacutengulo cateto opuestocateto contiguo En la eacutepoca de Eratoacutestenes existiacutean tablas aacutengulo ndash tangente Teodolito instrumento de medicioacuten mecaacutenico-oacuteptico universal que sirve para medir aacutengulos verticales y sobre todo horizontales aacutembito en el cual tiene una precisioacuten elevada Con otras herramientas auxiliares puede medir distancias y desniveles
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Traslacioacuten movimiento por el cual la Tierra se mueve alrededor del Sol La causa de este movimiento es la accioacuten de la gravedad originaacutendose cambios que al igual que el diacutea permiten la medicioacuten del tiempo Trigonometriacutea (del griego la medicioacuten de los triaacutengulos) es una rama de las matemaacuteticas que estudia los aacutengulos y los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo y las relaciones entre ellos Troacutepicos liacuteneas imaginarias situadas a aproximadamente 23ordm de latitud Troacutepico de Caacutencer paralelo situado a una latitud de 23ordm27rsquo al norte de ecuador delimita los puntos maacutes septentrionales en los que el sol puede ocupar el cenit o la vertical del lugar mediodiacutea Troacutepico de Capricornio troacutepico del hemisferio sur Se llama de Capricornio porque se consideraba que el diacutea del solsticio en los troacutepicos el Sol iluminaba el fondo de los pozos y en aquellas fechas en el hemisferio sur el Sol estaba en la constelacioacuten de Capricornio 4b) Matemaacuteticos - Tales de Mileto (625-546 aC)
Geoacutemetra griego y uno de los siete sabios de Grecia Fue el primer matemaacutetico griego que inicioacute el desarrollo razonado de la geometriacutea Hacia el antildeo 600 a C Tales visitoacute Egipto El faraoacuten le pidioacute que resolviera un viejo problema conocer la altura exacta de la Gran Piraacutemide Tales se apoyoacute en su bastoacuten y esperoacute Cuando la sombra del bastoacuten fue igual de larga que el propio bastoacuten le dijo a un servidor del faraoacuten ldquoCorre y mide la sombra de la Gran Piraacutemide En este momento es tan larga como la propia piraacutemiderdquo Tales era famoso desde el antildeo 585 aC ya que predijo con toda
exactitud un eclipse de Sol - Pitaacutegoras (582-500 aC)
Fundoacute la escuela pitagoacuterica hacia el antildeo 530aC donde se estudiaba filosofiacutea matemaacuteticas y ciencias naturales estaba situada en Crotona (al sur de Italia) Ademaacutes de formular el teorema que lleva su nombre inventoacute la tabla de multiplicar y estudio la relacioacuten entre la muacutesica y las matemaacuteticas A partir de la Edad Media el teorema de Pitaacutegoras fue considerado como el ldquopons asinorumrdquo (puente de asnos) o conocimiento que separaba a las personas cultas de las incultas
- Euclides (365-300 aC)
Se conoce muy poco de la vida de este sabio griego Posiblemente vivioacute entre el 365 y el 300 aC pero se desconoce su lugar de nacimiento Se le denomina de Alejandriacutea porque fue en esta ciudad donde se desarrollo su trabajo Su obra ldquoElementos de Geometriacuteardquo es el texto matemaacutetico de maacutes eacutexito en toda la historia Tanto es asiacute que hasta una eacutepoca muy reciente todaviacutea se utilizaba como texto escolar en Inglaterra
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-Aristarco (310 aC - 230 aC)
Nacioacute en Samos - Grecia - en el antildeo 310 aC y murioacute en el 220 aC Fue disciacutepulo de Estratoacuten de Lampsacos jefe de la escuela peripateacutetica fundada por Aristoacuteteles Antildeos despueacutes Aristarco sucederiacutea a Teofrasto como jefe de esta institucioacuten entre antildeos 288 y 287 aC Fue un haacutebil geoacutemetra pero es poco lo que se conoce de su vida Sus hipoacutetesis sobre el universo se han extraiacutedo a partir de las referencias hechas por otros autores despueacutes de su muerte Ptolomeo en el Almagesto lo nombra como un concienzudo observador de los solsticios y equinoccios Parece haber interpretado estas observaciones correctamente atribuyendo estos fenoacutemenos al movimiento de la Tierra alrededor del Sol Dedujo por esto
que era necesario que la oacuterbita terrestre estuviera inclinada para explicar los cambios de estacioacuten - Arquiacutemedes (287-212 aC)
Se le considera padre de la ciencia mecaacutenica el cientiacutefico y matemaacutetico maacutes importante de la Edad Antigua Su obra maacutes importante fue el descubrimiento de la relacioacuten entre la superficie el volumen de una esfera y el cilindro que la circunscribe Invento la rueda dentada y la polea para subir pesos sin esfuerzo Tambieacuten a el se le ocurrioacute usar grandes espejos para incendiar los barcos enemigos y descubrioacute la manera de medir el volumen de cuerpos irregulares (sumergieacutendolos en agua y midiendo el incremento de volumen del liacutequido)
-Eratoacutestenes (284-192 aC)
Matemaacutetico astroacutenomo geoacutegrafo filoacutesofo y poeta griego Hizo la ldquoCriba de Erastoacutetenesrdquo (nuacutemeros primos) Fue el primero que midioacute con buena exactitud el meridiano terrestre (para lo que ideoacute un sistema a partir de la semejanza de triaacutengulos que consiste en que la figura tiene aacutengulos concurrentes con los de otro triaacutengulo) Erastoacutetenes tambieacuten midioacute la oblicuidad de la ecliptica (la inclinacioacuten del eje terrestre) con un error de solo 7acute de arco y creoacute un cataacutelogo (actualmente perdido) de 675 estrellas fijas Su obra maacutes importante fue un tratado de geografiacutea general
-Hiparco de Nicea (c 190-120 a C )
Fue un matemaacutetico y astroacutenomo griego el maacutes importante de su eacutepoca tambieacuten conocido como Hiparco de Rodas Este nacioacute en Nicea Bitinia (hoy Iznik Turquiacutea) Se le considera el primer astroacutenomo cientiacutefico Fue muy preciso en sus investigaciones de las que conocemos parte por comentarse en el tratado cientiacutefico Almagesto del astroacutenomo alejandrino Tolomeo sobre quien ejercioacute gran influencia Sus caacutelculos del antildeo tropical duracioacuten del antildeo determinada por las estaciones teniacutean un margen de error de 6 5 minutos con respecto a las mediciones modernas Murioacute en Rodas Grecia en el antildeo 120 a C
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5 Bibliografiacutea wwwgoogleesimages Enciclopedia Aula del Estudiante Enciclopedia Larousse Microsoft Encarta 2007 wwwastronosurfcom wwwastronomiacom wwwwikipediaorg 100ciacomopinionforosarchiveindexphpt-5452html httpenciclopediausesindexphpEnciclopedia_Libre_Universal_en_EspaF1ol
wwwenciclopediaorg
httpwwwastromiacombiografias
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3- Mediciones en el patio a) Medicioacuten de un objeto de base accesible
a1) Medicioacuten del cipreacutes mediante semejanza Para medir la altura de del cipreacutes con semejanza necesitamos un nivel de aacutengulo un nomon (grande a ser posible) y un metro
Cuando hemos reunido todos estos materiales medimos el nomon y la longitud de la sombra del cipreacutes
Luego hay que poner el nomon en un sitio donde concuerden los extremos de las sombras y medir la distancia de la base del nomon hasta el liacutemite de la sombra
Medidas obtenidas
Sombra del cipreacutes 12m Nomon 240m Sombra del nomon 282m
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Al medir todo soacutelo hay que hacer una simple ecuacioacuten
nomondelSombraNomon
cipreacutesdelSombraCipreacutes
=
mymm
ymm
my 211085012850
12822402
12==times==
Luego el cipreacutes mide aproximadamente 1021m de altura a2) Medicioacuten del cipreacutes mediante trigonometriacutea Para medir el cipreacutes con el meacutetodo de trigonometriacutea necesitamos un teodolito vertical y un metro Cuando tengamos esos materiales nos colocamos delante del cipreacutes a unos metros y con el teodolito miramos la punta maacutes alta del cipreacutes y anotamos los grados que nos ha dado Medimos la distancia del cipreacutes al punto donde hemos medido y la distancia del ojo al suelo
Medidas obtenidas Longitud desde el cipreacutes hasta nosotros 885m Aacutengulo 45ordm Longitud del ojo al suelo 146m Una vez medido todo soacutelo hay que hacer una simple ecuacioacuten
aacutengulodelnosotroshastalongcipreacutesdelaltura tan
=
mym
ym
y 85885811858
ordm45tan858
=times===
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Al nuacutemero hallado hay que sumarle la distancia del ojo al suelo y esa seraacute la altura del cipreacutes
mmm 3110461858 =+
El cipreacutes mide 1031m de altura a3) Medicioacuten del gimnasio mediante trigonometriacutea Para medir el gimnasio con el meacutetodo de trigonometriacutea necesitamos los mismos materiales usados para medir el cipreacutes con esta misma teacutecnica Cuando tenemos los materiales nos ponemos a una cierta distancia de eacutel y medimos el aacutengulo obtenido al mirar a la cornisa del gimnasio y la distancia que nos separa del eacutel Medidas obtenidas Longitud desde el gimnasio hasta nosotros 885m Aacutengulo 27ordm Longitud del ojo al suelo 146m Una vez medido todo hay que hacer la misma ecuacioacuten que la del cipreacutes pero con los datos del gimnasio
aacutengulodelnosotroshastalonggimnasiodelaltura tan
=
mym
yy 514858510510858
ordm27tan858
=times===
Al nuacutemero hallado hay que sumarle la distancia del ojo al suelo y esa seraacute la altura del gimnasio
mmm 975461514 =+
El gimnasio mide 597m de altura
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b) Medicioacuten de un objeto de base inaccesible
Para medir la altura del edificio necesitamos los materiales utilizados en la medicioacuten del gimnasio y del cipreacutes mediante el meacutetodo de la trigonometriacutea Nos colocamos lo maacutes cerca posible del edificio y tomamos la medida del aacutengulo obtenido nos alejamos del punto donde estaacutebamos y medimos la distancia que separa un punto del otro y los grados obtenidos este proceso lo repetimos otra vez
y = edificio x = distancia del edificio a nosotros ( 1ordf medida) Medidas obtenidas Primer aacutengulo 41ordm Segundo aacutengulo 25ordm Tercer aacutengulo 19ordm Primera medida x Segunda medida 20m Tercera medida 10m Distancio del ojo al suelo 168m Planteamos un sistema de ecuaciones con los dos primeros aacutengulos
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+==+
=
===
xyx
y
xyxy
20middot46046020
ordm25tan
870870ordm41tan
17
( )
myy
mx
x
xxx
xxxx
16201023middot3870
102340370329
32940370329460870
46032987020middot460870
===
=
==minus
+=+=
Despueacutes de utilizar los dos primeros aacutengulos ahora utilizaremos el primero y el tercero
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+==++
=
===
xyx
y
xyxy
30middot3403401020
ordm19tan
870870ordm41tan
( )
myy
mx
x
xxx
xxxx
09176519middot870
65195203310
33105203310340870
340331087030middot340870
===
=
==minus+=
+=
Los nuacutemeros hallados sobre la ldquoxrdquo y la ldquoyrdquo van a ser distintos de una ecuacioacuten a otra por eso hay que hallar la media
my
mx
83172
57180917
86162
57186519
=+
=
=+
=
Al nuacutemero dado por la ldquoyrdquo hay que sumarle la distancia del ojo al suelo y esa seraacute la medida del edificio
17rsquo83+1rsquo68= 19rsquo51m
El edificio mide 19rsquo51m
La distancia entre la primera medida y el edificio es 16rsquo86m
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c) Errores y problemas El primer error en la medicioacuten del cipreacutes pudo ser que midieacuteramos la sombra o la penumbra pero hay que medir en el medio entre la sombra y la penumbra
Otro problema que hubo fue el que al medir a distintas alturas con el teodolito vertical el edificio tuvimos que nivelarlo poniendo un objeto que estuviera a la misma altura que la primera para nivelar la distancia al suelo como se ilustra en la siguiente imagen
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4- Vocabulario y Personajes a) Glosario Anatema Curva que describe la posicioacuten del Sol en el cielo a la misma hora del diacutea y en el mismo lugar de observacioacuten por un antildeo entero En la Tierra es en forma de ocho (infin) El componente horizontal muestra la ecuacioacuten de tiempo que es la diferencia entre el tiempo solar aparente y el tiempo solar medio El componente vertical muestra la declinacioacuten del Sol A veces se dibuja en los globos terraacutequeos Aacutengulo figura geomeacutetrica formada en una superficie por liacuteneas que parten de un mismo punto Astronomiacutea (del griego αστρονομία = άστρον + νόμος) etimoloacutegicamente significa la Ley de las estrellas y es la ciencia que estudia los astros a partir de la informacioacuten que nos llega de ellos a traveacutes de la radiacioacuten electromagneacutetica Calendario (del latiacuten calenda) es una cuenta sistematizada del tiempo para la organizacioacuten de las actividades humanas Antiguamente estaba basado en los ciclos lunares En la actualidad los diversos calendarios tienen base en el ciclo que describe la Tierra alrededor del Sol y se denominan calendarios solares El calendario sideral se basa en el movimiento de otros astros diferentes al Sol Cenit interseccioacuten entre la vertical del observador y la esfera celeste O sea si imaginamos una recta que pasa por el centro de la Tierra y por nuestra ubicacioacuten en su superficie el cenit se encuentra sobre esa recta por encima de nuestras cabezas El punto diametralmente opuesto de la esfera celeste al cenit se denomina Nadir Coordenadas se dice de las liacuteneas que sirven para determinar la posicioacuten de un punto y de los ejes planos a que se refieren aquellas liacuteneas Ecliacuteptica (del latiacuten ecliptĭca [linĕa] (del griego ἐκλειπτική relativo a los eclipses) es el plano que contiene la oacuterbita de la Tierra alrededor del Sol Eliacuteptica oacuterbita de un astro que gira alrededor de otro describiendo una elipse El astro central se situacutea en uno de los focos de la elipse Todas las oacuterbitas de los planetas del sistema solar tienen esta oacuterbita Ecuador paralelo que se toma como 0ordm de latitud Equinoccio eacutepoca en que por incidir los rayos perpendicularmente al ecuador los diacuteas tienen la misma duracioacuten que la noche en toda la tierra lo cual sucede anualmente del 20 al 21 de marzo y del 22 al 23 de septiembre Excentricidad en matemaacuteticas y geometriacutea es un paraacutemetro que determina el grado de desviacioacuten de una seccioacuten coacutenica con respecto a una circunferencia Es un paraacutemetro importante en la definicioacuten de las elipses Gnomon Palo vertical de altura determinada Husos horarios son cada una de las veinticuatro aacutereas en que se divide la Tierra y que siguen la misma definicioacuten de tiempo cronoloacutegico
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Latitud Distancia en grados entre un paralelo y el Ecuador Puede alcanzar los 90ordm Norte o Sur Longitud Distancia en grados entre un meridiano con el meridiano de Greenwich Su maacuteximo es 180ordm OE Mediatriz de un segmento es la recta equidistante de dos puntos del plano equidistantes Esta corta el segmento por su mitad y perpendicularmente Meridiano Cada una de las liacuteneas imaginarias que atraviesan la esfera terrestre desde el polo norte hasta el polo sur Meridiano de Greenwich semiciacuterculo imaginario que une los polos y pasa por Greenwich maacutes precisamente por el antiguo observatorio astronoacutemico de este suburbio de Londres Este sirve de meridiano de origen es a partir de eacutel que se miden las longitudes en grados es decir que corresponde a la longitud cero por lo que tambieacuten se llama meridiano cero y primer meridiano Nutacioacuten (del latiacuten ldquonutarerdquo cabecear u oscilar) es la oscilacioacuten perioacutedica del polo de la Tierra alrededor de su posicioacuten media en la esfera celeste debida a la influencia de la Luna sobre el planeta similar al movimiento de una peonza cuando pierde fuerza y estaacute a punto de caerse Paralelo cada una de las liacuteneas imaginarias que rodean la Tierra de Este a Oeste
Ciacuterculo polar aacutertico es uno de los cinco paralelos principales terrestres Se trata del paralelo de latitud 66deg 33 38 Norte El espacio situado al norte del ciacuterculo aacutertico se denomina Aacutertico y la regioacuten al sur de este ciacuterculo se denomina Zona Templada Norte
Ciacuterculo polar antaacutertico uno de los cinco principales paralelos que sentildealan los mapas de la Tierra Es el paralelo de latitud 66deg 33 38 al sur del ecuador Precesioacuten es el cambio de la direccioacuten del eje alrededor del cual gira un objeto Radio liacutenea recta comprendida entre un punto cualquiera de la circunferencia del circulo hasta el centro del mismo Refraccioacuten hacer que cambie de direccioacuten el rayo de la luz que pasa oblicuamente de un medio a otro de diferente densidad Rotacioacuten el movimiento de cambio de orientacioacuten de un cuerpo extenso de forma que dado un punto cualquiera del mismo este permanece a una distancia constante de un punto fijo Semejanza (del griego iso-gonios = iguales aacutengulos) En geometriacutea diacutecese de una figura que tiene aacutengulos congruentes con los de otra Solsticio eacutepoca en que el Sol se halla en uno de los dos troacutepicos lo cual sucede del 21 al 22 de junio para el troacutepico de Caacutencer y del 21 al 22 de diciembre para el de Capricornio Tangente cociente entre los catetos de un triaacutengulo rectaacutengulo cateto opuestocateto contiguo En la eacutepoca de Eratoacutestenes existiacutean tablas aacutengulo ndash tangente Teodolito instrumento de medicioacuten mecaacutenico-oacuteptico universal que sirve para medir aacutengulos verticales y sobre todo horizontales aacutembito en el cual tiene una precisioacuten elevada Con otras herramientas auxiliares puede medir distancias y desniveles
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Traslacioacuten movimiento por el cual la Tierra se mueve alrededor del Sol La causa de este movimiento es la accioacuten de la gravedad originaacutendose cambios que al igual que el diacutea permiten la medicioacuten del tiempo Trigonometriacutea (del griego la medicioacuten de los triaacutengulos) es una rama de las matemaacuteticas que estudia los aacutengulos y los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo y las relaciones entre ellos Troacutepicos liacuteneas imaginarias situadas a aproximadamente 23ordm de latitud Troacutepico de Caacutencer paralelo situado a una latitud de 23ordm27rsquo al norte de ecuador delimita los puntos maacutes septentrionales en los que el sol puede ocupar el cenit o la vertical del lugar mediodiacutea Troacutepico de Capricornio troacutepico del hemisferio sur Se llama de Capricornio porque se consideraba que el diacutea del solsticio en los troacutepicos el Sol iluminaba el fondo de los pozos y en aquellas fechas en el hemisferio sur el Sol estaba en la constelacioacuten de Capricornio 4b) Matemaacuteticos - Tales de Mileto (625-546 aC)
Geoacutemetra griego y uno de los siete sabios de Grecia Fue el primer matemaacutetico griego que inicioacute el desarrollo razonado de la geometriacutea Hacia el antildeo 600 a C Tales visitoacute Egipto El faraoacuten le pidioacute que resolviera un viejo problema conocer la altura exacta de la Gran Piraacutemide Tales se apoyoacute en su bastoacuten y esperoacute Cuando la sombra del bastoacuten fue igual de larga que el propio bastoacuten le dijo a un servidor del faraoacuten ldquoCorre y mide la sombra de la Gran Piraacutemide En este momento es tan larga como la propia piraacutemiderdquo Tales era famoso desde el antildeo 585 aC ya que predijo con toda
exactitud un eclipse de Sol - Pitaacutegoras (582-500 aC)
Fundoacute la escuela pitagoacuterica hacia el antildeo 530aC donde se estudiaba filosofiacutea matemaacuteticas y ciencias naturales estaba situada en Crotona (al sur de Italia) Ademaacutes de formular el teorema que lleva su nombre inventoacute la tabla de multiplicar y estudio la relacioacuten entre la muacutesica y las matemaacuteticas A partir de la Edad Media el teorema de Pitaacutegoras fue considerado como el ldquopons asinorumrdquo (puente de asnos) o conocimiento que separaba a las personas cultas de las incultas
- Euclides (365-300 aC)
Se conoce muy poco de la vida de este sabio griego Posiblemente vivioacute entre el 365 y el 300 aC pero se desconoce su lugar de nacimiento Se le denomina de Alejandriacutea porque fue en esta ciudad donde se desarrollo su trabajo Su obra ldquoElementos de Geometriacuteardquo es el texto matemaacutetico de maacutes eacutexito en toda la historia Tanto es asiacute que hasta una eacutepoca muy reciente todaviacutea se utilizaba como texto escolar en Inglaterra
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-Aristarco (310 aC - 230 aC)
Nacioacute en Samos - Grecia - en el antildeo 310 aC y murioacute en el 220 aC Fue disciacutepulo de Estratoacuten de Lampsacos jefe de la escuela peripateacutetica fundada por Aristoacuteteles Antildeos despueacutes Aristarco sucederiacutea a Teofrasto como jefe de esta institucioacuten entre antildeos 288 y 287 aC Fue un haacutebil geoacutemetra pero es poco lo que se conoce de su vida Sus hipoacutetesis sobre el universo se han extraiacutedo a partir de las referencias hechas por otros autores despueacutes de su muerte Ptolomeo en el Almagesto lo nombra como un concienzudo observador de los solsticios y equinoccios Parece haber interpretado estas observaciones correctamente atribuyendo estos fenoacutemenos al movimiento de la Tierra alrededor del Sol Dedujo por esto
que era necesario que la oacuterbita terrestre estuviera inclinada para explicar los cambios de estacioacuten - Arquiacutemedes (287-212 aC)
Se le considera padre de la ciencia mecaacutenica el cientiacutefico y matemaacutetico maacutes importante de la Edad Antigua Su obra maacutes importante fue el descubrimiento de la relacioacuten entre la superficie el volumen de una esfera y el cilindro que la circunscribe Invento la rueda dentada y la polea para subir pesos sin esfuerzo Tambieacuten a el se le ocurrioacute usar grandes espejos para incendiar los barcos enemigos y descubrioacute la manera de medir el volumen de cuerpos irregulares (sumergieacutendolos en agua y midiendo el incremento de volumen del liacutequido)
-Eratoacutestenes (284-192 aC)
Matemaacutetico astroacutenomo geoacutegrafo filoacutesofo y poeta griego Hizo la ldquoCriba de Erastoacutetenesrdquo (nuacutemeros primos) Fue el primero que midioacute con buena exactitud el meridiano terrestre (para lo que ideoacute un sistema a partir de la semejanza de triaacutengulos que consiste en que la figura tiene aacutengulos concurrentes con los de otro triaacutengulo) Erastoacutetenes tambieacuten midioacute la oblicuidad de la ecliptica (la inclinacioacuten del eje terrestre) con un error de solo 7acute de arco y creoacute un cataacutelogo (actualmente perdido) de 675 estrellas fijas Su obra maacutes importante fue un tratado de geografiacutea general
-Hiparco de Nicea (c 190-120 a C )
Fue un matemaacutetico y astroacutenomo griego el maacutes importante de su eacutepoca tambieacuten conocido como Hiparco de Rodas Este nacioacute en Nicea Bitinia (hoy Iznik Turquiacutea) Se le considera el primer astroacutenomo cientiacutefico Fue muy preciso en sus investigaciones de las que conocemos parte por comentarse en el tratado cientiacutefico Almagesto del astroacutenomo alejandrino Tolomeo sobre quien ejercioacute gran influencia Sus caacutelculos del antildeo tropical duracioacuten del antildeo determinada por las estaciones teniacutean un margen de error de 6 5 minutos con respecto a las mediciones modernas Murioacute en Rodas Grecia en el antildeo 120 a C
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5 Bibliografiacutea wwwgoogleesimages Enciclopedia Aula del Estudiante Enciclopedia Larousse Microsoft Encarta 2007 wwwastronosurfcom wwwastronomiacom wwwwikipediaorg 100ciacomopinionforosarchiveindexphpt-5452html httpenciclopediausesindexphpEnciclopedia_Libre_Universal_en_EspaF1ol
wwwenciclopediaorg
httpwwwastromiacombiografias
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Al medir todo soacutelo hay que hacer una simple ecuacioacuten
nomondelSombraNomon
cipreacutesdelSombraCipreacutes
=
mymm
ymm
my 211085012850
12822402
12==times==
Luego el cipreacutes mide aproximadamente 1021m de altura a2) Medicioacuten del cipreacutes mediante trigonometriacutea Para medir el cipreacutes con el meacutetodo de trigonometriacutea necesitamos un teodolito vertical y un metro Cuando tengamos esos materiales nos colocamos delante del cipreacutes a unos metros y con el teodolito miramos la punta maacutes alta del cipreacutes y anotamos los grados que nos ha dado Medimos la distancia del cipreacutes al punto donde hemos medido y la distancia del ojo al suelo
Medidas obtenidas Longitud desde el cipreacutes hasta nosotros 885m Aacutengulo 45ordm Longitud del ojo al suelo 146m Una vez medido todo soacutelo hay que hacer una simple ecuacioacuten
aacutengulodelnosotroshastalongcipreacutesdelaltura tan
=
mym
ym
y 85885811858
ordm45tan858
=times===
15
Al nuacutemero hallado hay que sumarle la distancia del ojo al suelo y esa seraacute la altura del cipreacutes
mmm 3110461858 =+
El cipreacutes mide 1031m de altura a3) Medicioacuten del gimnasio mediante trigonometriacutea Para medir el gimnasio con el meacutetodo de trigonometriacutea necesitamos los mismos materiales usados para medir el cipreacutes con esta misma teacutecnica Cuando tenemos los materiales nos ponemos a una cierta distancia de eacutel y medimos el aacutengulo obtenido al mirar a la cornisa del gimnasio y la distancia que nos separa del eacutel Medidas obtenidas Longitud desde el gimnasio hasta nosotros 885m Aacutengulo 27ordm Longitud del ojo al suelo 146m Una vez medido todo hay que hacer la misma ecuacioacuten que la del cipreacutes pero con los datos del gimnasio
aacutengulodelnosotroshastalonggimnasiodelaltura tan
=
mym
yy 514858510510858
ordm27tan858
=times===
Al nuacutemero hallado hay que sumarle la distancia del ojo al suelo y esa seraacute la altura del gimnasio
mmm 975461514 =+
El gimnasio mide 597m de altura
16
b) Medicioacuten de un objeto de base inaccesible
Para medir la altura del edificio necesitamos los materiales utilizados en la medicioacuten del gimnasio y del cipreacutes mediante el meacutetodo de la trigonometriacutea Nos colocamos lo maacutes cerca posible del edificio y tomamos la medida del aacutengulo obtenido nos alejamos del punto donde estaacutebamos y medimos la distancia que separa un punto del otro y los grados obtenidos este proceso lo repetimos otra vez
y = edificio x = distancia del edificio a nosotros ( 1ordf medida) Medidas obtenidas Primer aacutengulo 41ordm Segundo aacutengulo 25ordm Tercer aacutengulo 19ordm Primera medida x Segunda medida 20m Tercera medida 10m Distancio del ojo al suelo 168m Planteamos un sistema de ecuaciones con los dos primeros aacutengulos
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+==+
=
===
xyx
y
xyxy
20middot46046020
ordm25tan
870870ordm41tan
17
( )
myy
mx
x
xxx
xxxx
16201023middot3870
102340370329
32940370329460870
46032987020middot460870
===
=
==minus
+=+=
Despueacutes de utilizar los dos primeros aacutengulos ahora utilizaremos el primero y el tercero
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+==++
=
===
xyx
y
xyxy
30middot3403401020
ordm19tan
870870ordm41tan
( )
myy
mx
x
xxx
xxxx
09176519middot870
65195203310
33105203310340870
340331087030middot340870
===
=
==minus+=
+=
Los nuacutemeros hallados sobre la ldquoxrdquo y la ldquoyrdquo van a ser distintos de una ecuacioacuten a otra por eso hay que hallar la media
my
mx
83172
57180917
86162
57186519
=+
=
=+
=
Al nuacutemero dado por la ldquoyrdquo hay que sumarle la distancia del ojo al suelo y esa seraacute la medida del edificio
17rsquo83+1rsquo68= 19rsquo51m
El edificio mide 19rsquo51m
La distancia entre la primera medida y el edificio es 16rsquo86m
18
c) Errores y problemas El primer error en la medicioacuten del cipreacutes pudo ser que midieacuteramos la sombra o la penumbra pero hay que medir en el medio entre la sombra y la penumbra
Otro problema que hubo fue el que al medir a distintas alturas con el teodolito vertical el edificio tuvimos que nivelarlo poniendo un objeto que estuviera a la misma altura que la primera para nivelar la distancia al suelo como se ilustra en la siguiente imagen
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4- Vocabulario y Personajes a) Glosario Anatema Curva que describe la posicioacuten del Sol en el cielo a la misma hora del diacutea y en el mismo lugar de observacioacuten por un antildeo entero En la Tierra es en forma de ocho (infin) El componente horizontal muestra la ecuacioacuten de tiempo que es la diferencia entre el tiempo solar aparente y el tiempo solar medio El componente vertical muestra la declinacioacuten del Sol A veces se dibuja en los globos terraacutequeos Aacutengulo figura geomeacutetrica formada en una superficie por liacuteneas que parten de un mismo punto Astronomiacutea (del griego αστρονομία = άστρον + νόμος) etimoloacutegicamente significa la Ley de las estrellas y es la ciencia que estudia los astros a partir de la informacioacuten que nos llega de ellos a traveacutes de la radiacioacuten electromagneacutetica Calendario (del latiacuten calenda) es una cuenta sistematizada del tiempo para la organizacioacuten de las actividades humanas Antiguamente estaba basado en los ciclos lunares En la actualidad los diversos calendarios tienen base en el ciclo que describe la Tierra alrededor del Sol y se denominan calendarios solares El calendario sideral se basa en el movimiento de otros astros diferentes al Sol Cenit interseccioacuten entre la vertical del observador y la esfera celeste O sea si imaginamos una recta que pasa por el centro de la Tierra y por nuestra ubicacioacuten en su superficie el cenit se encuentra sobre esa recta por encima de nuestras cabezas El punto diametralmente opuesto de la esfera celeste al cenit se denomina Nadir Coordenadas se dice de las liacuteneas que sirven para determinar la posicioacuten de un punto y de los ejes planos a que se refieren aquellas liacuteneas Ecliacuteptica (del latiacuten ecliptĭca [linĕa] (del griego ἐκλειπτική relativo a los eclipses) es el plano que contiene la oacuterbita de la Tierra alrededor del Sol Eliacuteptica oacuterbita de un astro que gira alrededor de otro describiendo una elipse El astro central se situacutea en uno de los focos de la elipse Todas las oacuterbitas de los planetas del sistema solar tienen esta oacuterbita Ecuador paralelo que se toma como 0ordm de latitud Equinoccio eacutepoca en que por incidir los rayos perpendicularmente al ecuador los diacuteas tienen la misma duracioacuten que la noche en toda la tierra lo cual sucede anualmente del 20 al 21 de marzo y del 22 al 23 de septiembre Excentricidad en matemaacuteticas y geometriacutea es un paraacutemetro que determina el grado de desviacioacuten de una seccioacuten coacutenica con respecto a una circunferencia Es un paraacutemetro importante en la definicioacuten de las elipses Gnomon Palo vertical de altura determinada Husos horarios son cada una de las veinticuatro aacutereas en que se divide la Tierra y que siguen la misma definicioacuten de tiempo cronoloacutegico
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Latitud Distancia en grados entre un paralelo y el Ecuador Puede alcanzar los 90ordm Norte o Sur Longitud Distancia en grados entre un meridiano con el meridiano de Greenwich Su maacuteximo es 180ordm OE Mediatriz de un segmento es la recta equidistante de dos puntos del plano equidistantes Esta corta el segmento por su mitad y perpendicularmente Meridiano Cada una de las liacuteneas imaginarias que atraviesan la esfera terrestre desde el polo norte hasta el polo sur Meridiano de Greenwich semiciacuterculo imaginario que une los polos y pasa por Greenwich maacutes precisamente por el antiguo observatorio astronoacutemico de este suburbio de Londres Este sirve de meridiano de origen es a partir de eacutel que se miden las longitudes en grados es decir que corresponde a la longitud cero por lo que tambieacuten se llama meridiano cero y primer meridiano Nutacioacuten (del latiacuten ldquonutarerdquo cabecear u oscilar) es la oscilacioacuten perioacutedica del polo de la Tierra alrededor de su posicioacuten media en la esfera celeste debida a la influencia de la Luna sobre el planeta similar al movimiento de una peonza cuando pierde fuerza y estaacute a punto de caerse Paralelo cada una de las liacuteneas imaginarias que rodean la Tierra de Este a Oeste
Ciacuterculo polar aacutertico es uno de los cinco paralelos principales terrestres Se trata del paralelo de latitud 66deg 33 38 Norte El espacio situado al norte del ciacuterculo aacutertico se denomina Aacutertico y la regioacuten al sur de este ciacuterculo se denomina Zona Templada Norte
Ciacuterculo polar antaacutertico uno de los cinco principales paralelos que sentildealan los mapas de la Tierra Es el paralelo de latitud 66deg 33 38 al sur del ecuador Precesioacuten es el cambio de la direccioacuten del eje alrededor del cual gira un objeto Radio liacutenea recta comprendida entre un punto cualquiera de la circunferencia del circulo hasta el centro del mismo Refraccioacuten hacer que cambie de direccioacuten el rayo de la luz que pasa oblicuamente de un medio a otro de diferente densidad Rotacioacuten el movimiento de cambio de orientacioacuten de un cuerpo extenso de forma que dado un punto cualquiera del mismo este permanece a una distancia constante de un punto fijo Semejanza (del griego iso-gonios = iguales aacutengulos) En geometriacutea diacutecese de una figura que tiene aacutengulos congruentes con los de otra Solsticio eacutepoca en que el Sol se halla en uno de los dos troacutepicos lo cual sucede del 21 al 22 de junio para el troacutepico de Caacutencer y del 21 al 22 de diciembre para el de Capricornio Tangente cociente entre los catetos de un triaacutengulo rectaacutengulo cateto opuestocateto contiguo En la eacutepoca de Eratoacutestenes existiacutean tablas aacutengulo ndash tangente Teodolito instrumento de medicioacuten mecaacutenico-oacuteptico universal que sirve para medir aacutengulos verticales y sobre todo horizontales aacutembito en el cual tiene una precisioacuten elevada Con otras herramientas auxiliares puede medir distancias y desniveles
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Traslacioacuten movimiento por el cual la Tierra se mueve alrededor del Sol La causa de este movimiento es la accioacuten de la gravedad originaacutendose cambios que al igual que el diacutea permiten la medicioacuten del tiempo Trigonometriacutea (del griego la medicioacuten de los triaacutengulos) es una rama de las matemaacuteticas que estudia los aacutengulos y los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo y las relaciones entre ellos Troacutepicos liacuteneas imaginarias situadas a aproximadamente 23ordm de latitud Troacutepico de Caacutencer paralelo situado a una latitud de 23ordm27rsquo al norte de ecuador delimita los puntos maacutes septentrionales en los que el sol puede ocupar el cenit o la vertical del lugar mediodiacutea Troacutepico de Capricornio troacutepico del hemisferio sur Se llama de Capricornio porque se consideraba que el diacutea del solsticio en los troacutepicos el Sol iluminaba el fondo de los pozos y en aquellas fechas en el hemisferio sur el Sol estaba en la constelacioacuten de Capricornio 4b) Matemaacuteticos - Tales de Mileto (625-546 aC)
Geoacutemetra griego y uno de los siete sabios de Grecia Fue el primer matemaacutetico griego que inicioacute el desarrollo razonado de la geometriacutea Hacia el antildeo 600 a C Tales visitoacute Egipto El faraoacuten le pidioacute que resolviera un viejo problema conocer la altura exacta de la Gran Piraacutemide Tales se apoyoacute en su bastoacuten y esperoacute Cuando la sombra del bastoacuten fue igual de larga que el propio bastoacuten le dijo a un servidor del faraoacuten ldquoCorre y mide la sombra de la Gran Piraacutemide En este momento es tan larga como la propia piraacutemiderdquo Tales era famoso desde el antildeo 585 aC ya que predijo con toda
exactitud un eclipse de Sol - Pitaacutegoras (582-500 aC)
Fundoacute la escuela pitagoacuterica hacia el antildeo 530aC donde se estudiaba filosofiacutea matemaacuteticas y ciencias naturales estaba situada en Crotona (al sur de Italia) Ademaacutes de formular el teorema que lleva su nombre inventoacute la tabla de multiplicar y estudio la relacioacuten entre la muacutesica y las matemaacuteticas A partir de la Edad Media el teorema de Pitaacutegoras fue considerado como el ldquopons asinorumrdquo (puente de asnos) o conocimiento que separaba a las personas cultas de las incultas
- Euclides (365-300 aC)
Se conoce muy poco de la vida de este sabio griego Posiblemente vivioacute entre el 365 y el 300 aC pero se desconoce su lugar de nacimiento Se le denomina de Alejandriacutea porque fue en esta ciudad donde se desarrollo su trabajo Su obra ldquoElementos de Geometriacuteardquo es el texto matemaacutetico de maacutes eacutexito en toda la historia Tanto es asiacute que hasta una eacutepoca muy reciente todaviacutea se utilizaba como texto escolar en Inglaterra
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-Aristarco (310 aC - 230 aC)
Nacioacute en Samos - Grecia - en el antildeo 310 aC y murioacute en el 220 aC Fue disciacutepulo de Estratoacuten de Lampsacos jefe de la escuela peripateacutetica fundada por Aristoacuteteles Antildeos despueacutes Aristarco sucederiacutea a Teofrasto como jefe de esta institucioacuten entre antildeos 288 y 287 aC Fue un haacutebil geoacutemetra pero es poco lo que se conoce de su vida Sus hipoacutetesis sobre el universo se han extraiacutedo a partir de las referencias hechas por otros autores despueacutes de su muerte Ptolomeo en el Almagesto lo nombra como un concienzudo observador de los solsticios y equinoccios Parece haber interpretado estas observaciones correctamente atribuyendo estos fenoacutemenos al movimiento de la Tierra alrededor del Sol Dedujo por esto
que era necesario que la oacuterbita terrestre estuviera inclinada para explicar los cambios de estacioacuten - Arquiacutemedes (287-212 aC)
Se le considera padre de la ciencia mecaacutenica el cientiacutefico y matemaacutetico maacutes importante de la Edad Antigua Su obra maacutes importante fue el descubrimiento de la relacioacuten entre la superficie el volumen de una esfera y el cilindro que la circunscribe Invento la rueda dentada y la polea para subir pesos sin esfuerzo Tambieacuten a el se le ocurrioacute usar grandes espejos para incendiar los barcos enemigos y descubrioacute la manera de medir el volumen de cuerpos irregulares (sumergieacutendolos en agua y midiendo el incremento de volumen del liacutequido)
-Eratoacutestenes (284-192 aC)
Matemaacutetico astroacutenomo geoacutegrafo filoacutesofo y poeta griego Hizo la ldquoCriba de Erastoacutetenesrdquo (nuacutemeros primos) Fue el primero que midioacute con buena exactitud el meridiano terrestre (para lo que ideoacute un sistema a partir de la semejanza de triaacutengulos que consiste en que la figura tiene aacutengulos concurrentes con los de otro triaacutengulo) Erastoacutetenes tambieacuten midioacute la oblicuidad de la ecliptica (la inclinacioacuten del eje terrestre) con un error de solo 7acute de arco y creoacute un cataacutelogo (actualmente perdido) de 675 estrellas fijas Su obra maacutes importante fue un tratado de geografiacutea general
-Hiparco de Nicea (c 190-120 a C )
Fue un matemaacutetico y astroacutenomo griego el maacutes importante de su eacutepoca tambieacuten conocido como Hiparco de Rodas Este nacioacute en Nicea Bitinia (hoy Iznik Turquiacutea) Se le considera el primer astroacutenomo cientiacutefico Fue muy preciso en sus investigaciones de las que conocemos parte por comentarse en el tratado cientiacutefico Almagesto del astroacutenomo alejandrino Tolomeo sobre quien ejercioacute gran influencia Sus caacutelculos del antildeo tropical duracioacuten del antildeo determinada por las estaciones teniacutean un margen de error de 6 5 minutos con respecto a las mediciones modernas Murioacute en Rodas Grecia en el antildeo 120 a C
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5 Bibliografiacutea wwwgoogleesimages Enciclopedia Aula del Estudiante Enciclopedia Larousse Microsoft Encarta 2007 wwwastronosurfcom wwwastronomiacom wwwwikipediaorg 100ciacomopinionforosarchiveindexphpt-5452html httpenciclopediausesindexphpEnciclopedia_Libre_Universal_en_EspaF1ol
wwwenciclopediaorg
httpwwwastromiacombiografias
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Al nuacutemero hallado hay que sumarle la distancia del ojo al suelo y esa seraacute la altura del cipreacutes
mmm 3110461858 =+
El cipreacutes mide 1031m de altura a3) Medicioacuten del gimnasio mediante trigonometriacutea Para medir el gimnasio con el meacutetodo de trigonometriacutea necesitamos los mismos materiales usados para medir el cipreacutes con esta misma teacutecnica Cuando tenemos los materiales nos ponemos a una cierta distancia de eacutel y medimos el aacutengulo obtenido al mirar a la cornisa del gimnasio y la distancia que nos separa del eacutel Medidas obtenidas Longitud desde el gimnasio hasta nosotros 885m Aacutengulo 27ordm Longitud del ojo al suelo 146m Una vez medido todo hay que hacer la misma ecuacioacuten que la del cipreacutes pero con los datos del gimnasio
aacutengulodelnosotroshastalonggimnasiodelaltura tan
=
mym
yy 514858510510858
ordm27tan858
=times===
Al nuacutemero hallado hay que sumarle la distancia del ojo al suelo y esa seraacute la altura del gimnasio
mmm 975461514 =+
El gimnasio mide 597m de altura
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b) Medicioacuten de un objeto de base inaccesible
Para medir la altura del edificio necesitamos los materiales utilizados en la medicioacuten del gimnasio y del cipreacutes mediante el meacutetodo de la trigonometriacutea Nos colocamos lo maacutes cerca posible del edificio y tomamos la medida del aacutengulo obtenido nos alejamos del punto donde estaacutebamos y medimos la distancia que separa un punto del otro y los grados obtenidos este proceso lo repetimos otra vez
y = edificio x = distancia del edificio a nosotros ( 1ordf medida) Medidas obtenidas Primer aacutengulo 41ordm Segundo aacutengulo 25ordm Tercer aacutengulo 19ordm Primera medida x Segunda medida 20m Tercera medida 10m Distancio del ojo al suelo 168m Planteamos un sistema de ecuaciones con los dos primeros aacutengulos
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+==+
=
===
xyx
y
xyxy
20middot46046020
ordm25tan
870870ordm41tan
17
( )
myy
mx
x
xxx
xxxx
16201023middot3870
102340370329
32940370329460870
46032987020middot460870
===
=
==minus
+=+=
Despueacutes de utilizar los dos primeros aacutengulos ahora utilizaremos el primero y el tercero
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+==++
=
===
xyx
y
xyxy
30middot3403401020
ordm19tan
870870ordm41tan
( )
myy
mx
x
xxx
xxxx
09176519middot870
65195203310
33105203310340870
340331087030middot340870
===
=
==minus+=
+=
Los nuacutemeros hallados sobre la ldquoxrdquo y la ldquoyrdquo van a ser distintos de una ecuacioacuten a otra por eso hay que hallar la media
my
mx
83172
57180917
86162
57186519
=+
=
=+
=
Al nuacutemero dado por la ldquoyrdquo hay que sumarle la distancia del ojo al suelo y esa seraacute la medida del edificio
17rsquo83+1rsquo68= 19rsquo51m
El edificio mide 19rsquo51m
La distancia entre la primera medida y el edificio es 16rsquo86m
18
c) Errores y problemas El primer error en la medicioacuten del cipreacutes pudo ser que midieacuteramos la sombra o la penumbra pero hay que medir en el medio entre la sombra y la penumbra
Otro problema que hubo fue el que al medir a distintas alturas con el teodolito vertical el edificio tuvimos que nivelarlo poniendo un objeto que estuviera a la misma altura que la primera para nivelar la distancia al suelo como se ilustra en la siguiente imagen
19
4- Vocabulario y Personajes a) Glosario Anatema Curva que describe la posicioacuten del Sol en el cielo a la misma hora del diacutea y en el mismo lugar de observacioacuten por un antildeo entero En la Tierra es en forma de ocho (infin) El componente horizontal muestra la ecuacioacuten de tiempo que es la diferencia entre el tiempo solar aparente y el tiempo solar medio El componente vertical muestra la declinacioacuten del Sol A veces se dibuja en los globos terraacutequeos Aacutengulo figura geomeacutetrica formada en una superficie por liacuteneas que parten de un mismo punto Astronomiacutea (del griego αστρονομία = άστρον + νόμος) etimoloacutegicamente significa la Ley de las estrellas y es la ciencia que estudia los astros a partir de la informacioacuten que nos llega de ellos a traveacutes de la radiacioacuten electromagneacutetica Calendario (del latiacuten calenda) es una cuenta sistematizada del tiempo para la organizacioacuten de las actividades humanas Antiguamente estaba basado en los ciclos lunares En la actualidad los diversos calendarios tienen base en el ciclo que describe la Tierra alrededor del Sol y se denominan calendarios solares El calendario sideral se basa en el movimiento de otros astros diferentes al Sol Cenit interseccioacuten entre la vertical del observador y la esfera celeste O sea si imaginamos una recta que pasa por el centro de la Tierra y por nuestra ubicacioacuten en su superficie el cenit se encuentra sobre esa recta por encima de nuestras cabezas El punto diametralmente opuesto de la esfera celeste al cenit se denomina Nadir Coordenadas se dice de las liacuteneas que sirven para determinar la posicioacuten de un punto y de los ejes planos a que se refieren aquellas liacuteneas Ecliacuteptica (del latiacuten ecliptĭca [linĕa] (del griego ἐκλειπτική relativo a los eclipses) es el plano que contiene la oacuterbita de la Tierra alrededor del Sol Eliacuteptica oacuterbita de un astro que gira alrededor de otro describiendo una elipse El astro central se situacutea en uno de los focos de la elipse Todas las oacuterbitas de los planetas del sistema solar tienen esta oacuterbita Ecuador paralelo que se toma como 0ordm de latitud Equinoccio eacutepoca en que por incidir los rayos perpendicularmente al ecuador los diacuteas tienen la misma duracioacuten que la noche en toda la tierra lo cual sucede anualmente del 20 al 21 de marzo y del 22 al 23 de septiembre Excentricidad en matemaacuteticas y geometriacutea es un paraacutemetro que determina el grado de desviacioacuten de una seccioacuten coacutenica con respecto a una circunferencia Es un paraacutemetro importante en la definicioacuten de las elipses Gnomon Palo vertical de altura determinada Husos horarios son cada una de las veinticuatro aacutereas en que se divide la Tierra y que siguen la misma definicioacuten de tiempo cronoloacutegico
20
Latitud Distancia en grados entre un paralelo y el Ecuador Puede alcanzar los 90ordm Norte o Sur Longitud Distancia en grados entre un meridiano con el meridiano de Greenwich Su maacuteximo es 180ordm OE Mediatriz de un segmento es la recta equidistante de dos puntos del plano equidistantes Esta corta el segmento por su mitad y perpendicularmente Meridiano Cada una de las liacuteneas imaginarias que atraviesan la esfera terrestre desde el polo norte hasta el polo sur Meridiano de Greenwich semiciacuterculo imaginario que une los polos y pasa por Greenwich maacutes precisamente por el antiguo observatorio astronoacutemico de este suburbio de Londres Este sirve de meridiano de origen es a partir de eacutel que se miden las longitudes en grados es decir que corresponde a la longitud cero por lo que tambieacuten se llama meridiano cero y primer meridiano Nutacioacuten (del latiacuten ldquonutarerdquo cabecear u oscilar) es la oscilacioacuten perioacutedica del polo de la Tierra alrededor de su posicioacuten media en la esfera celeste debida a la influencia de la Luna sobre el planeta similar al movimiento de una peonza cuando pierde fuerza y estaacute a punto de caerse Paralelo cada una de las liacuteneas imaginarias que rodean la Tierra de Este a Oeste
Ciacuterculo polar aacutertico es uno de los cinco paralelos principales terrestres Se trata del paralelo de latitud 66deg 33 38 Norte El espacio situado al norte del ciacuterculo aacutertico se denomina Aacutertico y la regioacuten al sur de este ciacuterculo se denomina Zona Templada Norte
Ciacuterculo polar antaacutertico uno de los cinco principales paralelos que sentildealan los mapas de la Tierra Es el paralelo de latitud 66deg 33 38 al sur del ecuador Precesioacuten es el cambio de la direccioacuten del eje alrededor del cual gira un objeto Radio liacutenea recta comprendida entre un punto cualquiera de la circunferencia del circulo hasta el centro del mismo Refraccioacuten hacer que cambie de direccioacuten el rayo de la luz que pasa oblicuamente de un medio a otro de diferente densidad Rotacioacuten el movimiento de cambio de orientacioacuten de un cuerpo extenso de forma que dado un punto cualquiera del mismo este permanece a una distancia constante de un punto fijo Semejanza (del griego iso-gonios = iguales aacutengulos) En geometriacutea diacutecese de una figura que tiene aacutengulos congruentes con los de otra Solsticio eacutepoca en que el Sol se halla en uno de los dos troacutepicos lo cual sucede del 21 al 22 de junio para el troacutepico de Caacutencer y del 21 al 22 de diciembre para el de Capricornio Tangente cociente entre los catetos de un triaacutengulo rectaacutengulo cateto opuestocateto contiguo En la eacutepoca de Eratoacutestenes existiacutean tablas aacutengulo ndash tangente Teodolito instrumento de medicioacuten mecaacutenico-oacuteptico universal que sirve para medir aacutengulos verticales y sobre todo horizontales aacutembito en el cual tiene una precisioacuten elevada Con otras herramientas auxiliares puede medir distancias y desniveles
21
Traslacioacuten movimiento por el cual la Tierra se mueve alrededor del Sol La causa de este movimiento es la accioacuten de la gravedad originaacutendose cambios que al igual que el diacutea permiten la medicioacuten del tiempo Trigonometriacutea (del griego la medicioacuten de los triaacutengulos) es una rama de las matemaacuteticas que estudia los aacutengulos y los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo y las relaciones entre ellos Troacutepicos liacuteneas imaginarias situadas a aproximadamente 23ordm de latitud Troacutepico de Caacutencer paralelo situado a una latitud de 23ordm27rsquo al norte de ecuador delimita los puntos maacutes septentrionales en los que el sol puede ocupar el cenit o la vertical del lugar mediodiacutea Troacutepico de Capricornio troacutepico del hemisferio sur Se llama de Capricornio porque se consideraba que el diacutea del solsticio en los troacutepicos el Sol iluminaba el fondo de los pozos y en aquellas fechas en el hemisferio sur el Sol estaba en la constelacioacuten de Capricornio 4b) Matemaacuteticos - Tales de Mileto (625-546 aC)
Geoacutemetra griego y uno de los siete sabios de Grecia Fue el primer matemaacutetico griego que inicioacute el desarrollo razonado de la geometriacutea Hacia el antildeo 600 a C Tales visitoacute Egipto El faraoacuten le pidioacute que resolviera un viejo problema conocer la altura exacta de la Gran Piraacutemide Tales se apoyoacute en su bastoacuten y esperoacute Cuando la sombra del bastoacuten fue igual de larga que el propio bastoacuten le dijo a un servidor del faraoacuten ldquoCorre y mide la sombra de la Gran Piraacutemide En este momento es tan larga como la propia piraacutemiderdquo Tales era famoso desde el antildeo 585 aC ya que predijo con toda
exactitud un eclipse de Sol - Pitaacutegoras (582-500 aC)
Fundoacute la escuela pitagoacuterica hacia el antildeo 530aC donde se estudiaba filosofiacutea matemaacuteticas y ciencias naturales estaba situada en Crotona (al sur de Italia) Ademaacutes de formular el teorema que lleva su nombre inventoacute la tabla de multiplicar y estudio la relacioacuten entre la muacutesica y las matemaacuteticas A partir de la Edad Media el teorema de Pitaacutegoras fue considerado como el ldquopons asinorumrdquo (puente de asnos) o conocimiento que separaba a las personas cultas de las incultas
- Euclides (365-300 aC)
Se conoce muy poco de la vida de este sabio griego Posiblemente vivioacute entre el 365 y el 300 aC pero se desconoce su lugar de nacimiento Se le denomina de Alejandriacutea porque fue en esta ciudad donde se desarrollo su trabajo Su obra ldquoElementos de Geometriacuteardquo es el texto matemaacutetico de maacutes eacutexito en toda la historia Tanto es asiacute que hasta una eacutepoca muy reciente todaviacutea se utilizaba como texto escolar en Inglaterra
22
-Aristarco (310 aC - 230 aC)
Nacioacute en Samos - Grecia - en el antildeo 310 aC y murioacute en el 220 aC Fue disciacutepulo de Estratoacuten de Lampsacos jefe de la escuela peripateacutetica fundada por Aristoacuteteles Antildeos despueacutes Aristarco sucederiacutea a Teofrasto como jefe de esta institucioacuten entre antildeos 288 y 287 aC Fue un haacutebil geoacutemetra pero es poco lo que se conoce de su vida Sus hipoacutetesis sobre el universo se han extraiacutedo a partir de las referencias hechas por otros autores despueacutes de su muerte Ptolomeo en el Almagesto lo nombra como un concienzudo observador de los solsticios y equinoccios Parece haber interpretado estas observaciones correctamente atribuyendo estos fenoacutemenos al movimiento de la Tierra alrededor del Sol Dedujo por esto
que era necesario que la oacuterbita terrestre estuviera inclinada para explicar los cambios de estacioacuten - Arquiacutemedes (287-212 aC)
Se le considera padre de la ciencia mecaacutenica el cientiacutefico y matemaacutetico maacutes importante de la Edad Antigua Su obra maacutes importante fue el descubrimiento de la relacioacuten entre la superficie el volumen de una esfera y el cilindro que la circunscribe Invento la rueda dentada y la polea para subir pesos sin esfuerzo Tambieacuten a el se le ocurrioacute usar grandes espejos para incendiar los barcos enemigos y descubrioacute la manera de medir el volumen de cuerpos irregulares (sumergieacutendolos en agua y midiendo el incremento de volumen del liacutequido)
-Eratoacutestenes (284-192 aC)
Matemaacutetico astroacutenomo geoacutegrafo filoacutesofo y poeta griego Hizo la ldquoCriba de Erastoacutetenesrdquo (nuacutemeros primos) Fue el primero que midioacute con buena exactitud el meridiano terrestre (para lo que ideoacute un sistema a partir de la semejanza de triaacutengulos que consiste en que la figura tiene aacutengulos concurrentes con los de otro triaacutengulo) Erastoacutetenes tambieacuten midioacute la oblicuidad de la ecliptica (la inclinacioacuten del eje terrestre) con un error de solo 7acute de arco y creoacute un cataacutelogo (actualmente perdido) de 675 estrellas fijas Su obra maacutes importante fue un tratado de geografiacutea general
-Hiparco de Nicea (c 190-120 a C )
Fue un matemaacutetico y astroacutenomo griego el maacutes importante de su eacutepoca tambieacuten conocido como Hiparco de Rodas Este nacioacute en Nicea Bitinia (hoy Iznik Turquiacutea) Se le considera el primer astroacutenomo cientiacutefico Fue muy preciso en sus investigaciones de las que conocemos parte por comentarse en el tratado cientiacutefico Almagesto del astroacutenomo alejandrino Tolomeo sobre quien ejercioacute gran influencia Sus caacutelculos del antildeo tropical duracioacuten del antildeo determinada por las estaciones teniacutean un margen de error de 6 5 minutos con respecto a las mediciones modernas Murioacute en Rodas Grecia en el antildeo 120 a C
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5 Bibliografiacutea wwwgoogleesimages Enciclopedia Aula del Estudiante Enciclopedia Larousse Microsoft Encarta 2007 wwwastronosurfcom wwwastronomiacom wwwwikipediaorg 100ciacomopinionforosarchiveindexphpt-5452html httpenciclopediausesindexphpEnciclopedia_Libre_Universal_en_EspaF1ol
wwwenciclopediaorg
httpwwwastromiacombiografias
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b) Medicioacuten de un objeto de base inaccesible
Para medir la altura del edificio necesitamos los materiales utilizados en la medicioacuten del gimnasio y del cipreacutes mediante el meacutetodo de la trigonometriacutea Nos colocamos lo maacutes cerca posible del edificio y tomamos la medida del aacutengulo obtenido nos alejamos del punto donde estaacutebamos y medimos la distancia que separa un punto del otro y los grados obtenidos este proceso lo repetimos otra vez
y = edificio x = distancia del edificio a nosotros ( 1ordf medida) Medidas obtenidas Primer aacutengulo 41ordm Segundo aacutengulo 25ordm Tercer aacutengulo 19ordm Primera medida x Segunda medida 20m Tercera medida 10m Distancio del ojo al suelo 168m Planteamos un sistema de ecuaciones con los dos primeros aacutengulos
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
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=
===
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( )
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46032987020middot460870
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=
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+=+=
Despueacutes de utilizar los dos primeros aacutengulos ahora utilizaremos el primero y el tercero
( )⎪⎪⎩
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33105203310340870
340331087030middot340870
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Los nuacutemeros hallados sobre la ldquoxrdquo y la ldquoyrdquo van a ser distintos de una ecuacioacuten a otra por eso hay que hallar la media
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83172
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86162
57186519
=+
=
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=
Al nuacutemero dado por la ldquoyrdquo hay que sumarle la distancia del ojo al suelo y esa seraacute la medida del edificio
17rsquo83+1rsquo68= 19rsquo51m
El edificio mide 19rsquo51m
La distancia entre la primera medida y el edificio es 16rsquo86m
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c) Errores y problemas El primer error en la medicioacuten del cipreacutes pudo ser que midieacuteramos la sombra o la penumbra pero hay que medir en el medio entre la sombra y la penumbra
Otro problema que hubo fue el que al medir a distintas alturas con el teodolito vertical el edificio tuvimos que nivelarlo poniendo un objeto que estuviera a la misma altura que la primera para nivelar la distancia al suelo como se ilustra en la siguiente imagen
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4- Vocabulario y Personajes a) Glosario Anatema Curva que describe la posicioacuten del Sol en el cielo a la misma hora del diacutea y en el mismo lugar de observacioacuten por un antildeo entero En la Tierra es en forma de ocho (infin) El componente horizontal muestra la ecuacioacuten de tiempo que es la diferencia entre el tiempo solar aparente y el tiempo solar medio El componente vertical muestra la declinacioacuten del Sol A veces se dibuja en los globos terraacutequeos Aacutengulo figura geomeacutetrica formada en una superficie por liacuteneas que parten de un mismo punto Astronomiacutea (del griego αστρονομία = άστρον + νόμος) etimoloacutegicamente significa la Ley de las estrellas y es la ciencia que estudia los astros a partir de la informacioacuten que nos llega de ellos a traveacutes de la radiacioacuten electromagneacutetica Calendario (del latiacuten calenda) es una cuenta sistematizada del tiempo para la organizacioacuten de las actividades humanas Antiguamente estaba basado en los ciclos lunares En la actualidad los diversos calendarios tienen base en el ciclo que describe la Tierra alrededor del Sol y se denominan calendarios solares El calendario sideral se basa en el movimiento de otros astros diferentes al Sol Cenit interseccioacuten entre la vertical del observador y la esfera celeste O sea si imaginamos una recta que pasa por el centro de la Tierra y por nuestra ubicacioacuten en su superficie el cenit se encuentra sobre esa recta por encima de nuestras cabezas El punto diametralmente opuesto de la esfera celeste al cenit se denomina Nadir Coordenadas se dice de las liacuteneas que sirven para determinar la posicioacuten de un punto y de los ejes planos a que se refieren aquellas liacuteneas Ecliacuteptica (del latiacuten ecliptĭca [linĕa] (del griego ἐκλειπτική relativo a los eclipses) es el plano que contiene la oacuterbita de la Tierra alrededor del Sol Eliacuteptica oacuterbita de un astro que gira alrededor de otro describiendo una elipse El astro central se situacutea en uno de los focos de la elipse Todas las oacuterbitas de los planetas del sistema solar tienen esta oacuterbita Ecuador paralelo que se toma como 0ordm de latitud Equinoccio eacutepoca en que por incidir los rayos perpendicularmente al ecuador los diacuteas tienen la misma duracioacuten que la noche en toda la tierra lo cual sucede anualmente del 20 al 21 de marzo y del 22 al 23 de septiembre Excentricidad en matemaacuteticas y geometriacutea es un paraacutemetro que determina el grado de desviacioacuten de una seccioacuten coacutenica con respecto a una circunferencia Es un paraacutemetro importante en la definicioacuten de las elipses Gnomon Palo vertical de altura determinada Husos horarios son cada una de las veinticuatro aacutereas en que se divide la Tierra y que siguen la misma definicioacuten de tiempo cronoloacutegico
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Latitud Distancia en grados entre un paralelo y el Ecuador Puede alcanzar los 90ordm Norte o Sur Longitud Distancia en grados entre un meridiano con el meridiano de Greenwich Su maacuteximo es 180ordm OE Mediatriz de un segmento es la recta equidistante de dos puntos del plano equidistantes Esta corta el segmento por su mitad y perpendicularmente Meridiano Cada una de las liacuteneas imaginarias que atraviesan la esfera terrestre desde el polo norte hasta el polo sur Meridiano de Greenwich semiciacuterculo imaginario que une los polos y pasa por Greenwich maacutes precisamente por el antiguo observatorio astronoacutemico de este suburbio de Londres Este sirve de meridiano de origen es a partir de eacutel que se miden las longitudes en grados es decir que corresponde a la longitud cero por lo que tambieacuten se llama meridiano cero y primer meridiano Nutacioacuten (del latiacuten ldquonutarerdquo cabecear u oscilar) es la oscilacioacuten perioacutedica del polo de la Tierra alrededor de su posicioacuten media en la esfera celeste debida a la influencia de la Luna sobre el planeta similar al movimiento de una peonza cuando pierde fuerza y estaacute a punto de caerse Paralelo cada una de las liacuteneas imaginarias que rodean la Tierra de Este a Oeste
Ciacuterculo polar aacutertico es uno de los cinco paralelos principales terrestres Se trata del paralelo de latitud 66deg 33 38 Norte El espacio situado al norte del ciacuterculo aacutertico se denomina Aacutertico y la regioacuten al sur de este ciacuterculo se denomina Zona Templada Norte
Ciacuterculo polar antaacutertico uno de los cinco principales paralelos que sentildealan los mapas de la Tierra Es el paralelo de latitud 66deg 33 38 al sur del ecuador Precesioacuten es el cambio de la direccioacuten del eje alrededor del cual gira un objeto Radio liacutenea recta comprendida entre un punto cualquiera de la circunferencia del circulo hasta el centro del mismo Refraccioacuten hacer que cambie de direccioacuten el rayo de la luz que pasa oblicuamente de un medio a otro de diferente densidad Rotacioacuten el movimiento de cambio de orientacioacuten de un cuerpo extenso de forma que dado un punto cualquiera del mismo este permanece a una distancia constante de un punto fijo Semejanza (del griego iso-gonios = iguales aacutengulos) En geometriacutea diacutecese de una figura que tiene aacutengulos congruentes con los de otra Solsticio eacutepoca en que el Sol se halla en uno de los dos troacutepicos lo cual sucede del 21 al 22 de junio para el troacutepico de Caacutencer y del 21 al 22 de diciembre para el de Capricornio Tangente cociente entre los catetos de un triaacutengulo rectaacutengulo cateto opuestocateto contiguo En la eacutepoca de Eratoacutestenes existiacutean tablas aacutengulo ndash tangente Teodolito instrumento de medicioacuten mecaacutenico-oacuteptico universal que sirve para medir aacutengulos verticales y sobre todo horizontales aacutembito en el cual tiene una precisioacuten elevada Con otras herramientas auxiliares puede medir distancias y desniveles
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Traslacioacuten movimiento por el cual la Tierra se mueve alrededor del Sol La causa de este movimiento es la accioacuten de la gravedad originaacutendose cambios que al igual que el diacutea permiten la medicioacuten del tiempo Trigonometriacutea (del griego la medicioacuten de los triaacutengulos) es una rama de las matemaacuteticas que estudia los aacutengulos y los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo y las relaciones entre ellos Troacutepicos liacuteneas imaginarias situadas a aproximadamente 23ordm de latitud Troacutepico de Caacutencer paralelo situado a una latitud de 23ordm27rsquo al norte de ecuador delimita los puntos maacutes septentrionales en los que el sol puede ocupar el cenit o la vertical del lugar mediodiacutea Troacutepico de Capricornio troacutepico del hemisferio sur Se llama de Capricornio porque se consideraba que el diacutea del solsticio en los troacutepicos el Sol iluminaba el fondo de los pozos y en aquellas fechas en el hemisferio sur el Sol estaba en la constelacioacuten de Capricornio 4b) Matemaacuteticos - Tales de Mileto (625-546 aC)
Geoacutemetra griego y uno de los siete sabios de Grecia Fue el primer matemaacutetico griego que inicioacute el desarrollo razonado de la geometriacutea Hacia el antildeo 600 a C Tales visitoacute Egipto El faraoacuten le pidioacute que resolviera un viejo problema conocer la altura exacta de la Gran Piraacutemide Tales se apoyoacute en su bastoacuten y esperoacute Cuando la sombra del bastoacuten fue igual de larga que el propio bastoacuten le dijo a un servidor del faraoacuten ldquoCorre y mide la sombra de la Gran Piraacutemide En este momento es tan larga como la propia piraacutemiderdquo Tales era famoso desde el antildeo 585 aC ya que predijo con toda
exactitud un eclipse de Sol - Pitaacutegoras (582-500 aC)
Fundoacute la escuela pitagoacuterica hacia el antildeo 530aC donde se estudiaba filosofiacutea matemaacuteticas y ciencias naturales estaba situada en Crotona (al sur de Italia) Ademaacutes de formular el teorema que lleva su nombre inventoacute la tabla de multiplicar y estudio la relacioacuten entre la muacutesica y las matemaacuteticas A partir de la Edad Media el teorema de Pitaacutegoras fue considerado como el ldquopons asinorumrdquo (puente de asnos) o conocimiento que separaba a las personas cultas de las incultas
- Euclides (365-300 aC)
Se conoce muy poco de la vida de este sabio griego Posiblemente vivioacute entre el 365 y el 300 aC pero se desconoce su lugar de nacimiento Se le denomina de Alejandriacutea porque fue en esta ciudad donde se desarrollo su trabajo Su obra ldquoElementos de Geometriacuteardquo es el texto matemaacutetico de maacutes eacutexito en toda la historia Tanto es asiacute que hasta una eacutepoca muy reciente todaviacutea se utilizaba como texto escolar en Inglaterra
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-Aristarco (310 aC - 230 aC)
Nacioacute en Samos - Grecia - en el antildeo 310 aC y murioacute en el 220 aC Fue disciacutepulo de Estratoacuten de Lampsacos jefe de la escuela peripateacutetica fundada por Aristoacuteteles Antildeos despueacutes Aristarco sucederiacutea a Teofrasto como jefe de esta institucioacuten entre antildeos 288 y 287 aC Fue un haacutebil geoacutemetra pero es poco lo que se conoce de su vida Sus hipoacutetesis sobre el universo se han extraiacutedo a partir de las referencias hechas por otros autores despueacutes de su muerte Ptolomeo en el Almagesto lo nombra como un concienzudo observador de los solsticios y equinoccios Parece haber interpretado estas observaciones correctamente atribuyendo estos fenoacutemenos al movimiento de la Tierra alrededor del Sol Dedujo por esto
que era necesario que la oacuterbita terrestre estuviera inclinada para explicar los cambios de estacioacuten - Arquiacutemedes (287-212 aC)
Se le considera padre de la ciencia mecaacutenica el cientiacutefico y matemaacutetico maacutes importante de la Edad Antigua Su obra maacutes importante fue el descubrimiento de la relacioacuten entre la superficie el volumen de una esfera y el cilindro que la circunscribe Invento la rueda dentada y la polea para subir pesos sin esfuerzo Tambieacuten a el se le ocurrioacute usar grandes espejos para incendiar los barcos enemigos y descubrioacute la manera de medir el volumen de cuerpos irregulares (sumergieacutendolos en agua y midiendo el incremento de volumen del liacutequido)
-Eratoacutestenes (284-192 aC)
Matemaacutetico astroacutenomo geoacutegrafo filoacutesofo y poeta griego Hizo la ldquoCriba de Erastoacutetenesrdquo (nuacutemeros primos) Fue el primero que midioacute con buena exactitud el meridiano terrestre (para lo que ideoacute un sistema a partir de la semejanza de triaacutengulos que consiste en que la figura tiene aacutengulos concurrentes con los de otro triaacutengulo) Erastoacutetenes tambieacuten midioacute la oblicuidad de la ecliptica (la inclinacioacuten del eje terrestre) con un error de solo 7acute de arco y creoacute un cataacutelogo (actualmente perdido) de 675 estrellas fijas Su obra maacutes importante fue un tratado de geografiacutea general
-Hiparco de Nicea (c 190-120 a C )
Fue un matemaacutetico y astroacutenomo griego el maacutes importante de su eacutepoca tambieacuten conocido como Hiparco de Rodas Este nacioacute en Nicea Bitinia (hoy Iznik Turquiacutea) Se le considera el primer astroacutenomo cientiacutefico Fue muy preciso en sus investigaciones de las que conocemos parte por comentarse en el tratado cientiacutefico Almagesto del astroacutenomo alejandrino Tolomeo sobre quien ejercioacute gran influencia Sus caacutelculos del antildeo tropical duracioacuten del antildeo determinada por las estaciones teniacutean un margen de error de 6 5 minutos con respecto a las mediciones modernas Murioacute en Rodas Grecia en el antildeo 120 a C
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5 Bibliografiacutea wwwgoogleesimages Enciclopedia Aula del Estudiante Enciclopedia Larousse Microsoft Encarta 2007 wwwastronosurfcom wwwastronomiacom wwwwikipediaorg 100ciacomopinionforosarchiveindexphpt-5452html httpenciclopediausesindexphpEnciclopedia_Libre_Universal_en_EspaF1ol
wwwenciclopediaorg
httpwwwastromiacombiografias
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Despueacutes de utilizar los dos primeros aacutengulos ahora utilizaremos el primero y el tercero
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xxxx
09176519middot870
65195203310
33105203310340870
340331087030middot340870
===
=
==minus+=
+=
Los nuacutemeros hallados sobre la ldquoxrdquo y la ldquoyrdquo van a ser distintos de una ecuacioacuten a otra por eso hay que hallar la media
my
mx
83172
57180917
86162
57186519
=+
=
=+
=
Al nuacutemero dado por la ldquoyrdquo hay que sumarle la distancia del ojo al suelo y esa seraacute la medida del edificio
17rsquo83+1rsquo68= 19rsquo51m
El edificio mide 19rsquo51m
La distancia entre la primera medida y el edificio es 16rsquo86m
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c) Errores y problemas El primer error en la medicioacuten del cipreacutes pudo ser que midieacuteramos la sombra o la penumbra pero hay que medir en el medio entre la sombra y la penumbra
Otro problema que hubo fue el que al medir a distintas alturas con el teodolito vertical el edificio tuvimos que nivelarlo poniendo un objeto que estuviera a la misma altura que la primera para nivelar la distancia al suelo como se ilustra en la siguiente imagen
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4- Vocabulario y Personajes a) Glosario Anatema Curva que describe la posicioacuten del Sol en el cielo a la misma hora del diacutea y en el mismo lugar de observacioacuten por un antildeo entero En la Tierra es en forma de ocho (infin) El componente horizontal muestra la ecuacioacuten de tiempo que es la diferencia entre el tiempo solar aparente y el tiempo solar medio El componente vertical muestra la declinacioacuten del Sol A veces se dibuja en los globos terraacutequeos Aacutengulo figura geomeacutetrica formada en una superficie por liacuteneas que parten de un mismo punto Astronomiacutea (del griego αστρονομία = άστρον + νόμος) etimoloacutegicamente significa la Ley de las estrellas y es la ciencia que estudia los astros a partir de la informacioacuten que nos llega de ellos a traveacutes de la radiacioacuten electromagneacutetica Calendario (del latiacuten calenda) es una cuenta sistematizada del tiempo para la organizacioacuten de las actividades humanas Antiguamente estaba basado en los ciclos lunares En la actualidad los diversos calendarios tienen base en el ciclo que describe la Tierra alrededor del Sol y se denominan calendarios solares El calendario sideral se basa en el movimiento de otros astros diferentes al Sol Cenit interseccioacuten entre la vertical del observador y la esfera celeste O sea si imaginamos una recta que pasa por el centro de la Tierra y por nuestra ubicacioacuten en su superficie el cenit se encuentra sobre esa recta por encima de nuestras cabezas El punto diametralmente opuesto de la esfera celeste al cenit se denomina Nadir Coordenadas se dice de las liacuteneas que sirven para determinar la posicioacuten de un punto y de los ejes planos a que se refieren aquellas liacuteneas Ecliacuteptica (del latiacuten ecliptĭca [linĕa] (del griego ἐκλειπτική relativo a los eclipses) es el plano que contiene la oacuterbita de la Tierra alrededor del Sol Eliacuteptica oacuterbita de un astro que gira alrededor de otro describiendo una elipse El astro central se situacutea en uno de los focos de la elipse Todas las oacuterbitas de los planetas del sistema solar tienen esta oacuterbita Ecuador paralelo que se toma como 0ordm de latitud Equinoccio eacutepoca en que por incidir los rayos perpendicularmente al ecuador los diacuteas tienen la misma duracioacuten que la noche en toda la tierra lo cual sucede anualmente del 20 al 21 de marzo y del 22 al 23 de septiembre Excentricidad en matemaacuteticas y geometriacutea es un paraacutemetro que determina el grado de desviacioacuten de una seccioacuten coacutenica con respecto a una circunferencia Es un paraacutemetro importante en la definicioacuten de las elipses Gnomon Palo vertical de altura determinada Husos horarios son cada una de las veinticuatro aacutereas en que se divide la Tierra y que siguen la misma definicioacuten de tiempo cronoloacutegico
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Latitud Distancia en grados entre un paralelo y el Ecuador Puede alcanzar los 90ordm Norte o Sur Longitud Distancia en grados entre un meridiano con el meridiano de Greenwich Su maacuteximo es 180ordm OE Mediatriz de un segmento es la recta equidistante de dos puntos del plano equidistantes Esta corta el segmento por su mitad y perpendicularmente Meridiano Cada una de las liacuteneas imaginarias que atraviesan la esfera terrestre desde el polo norte hasta el polo sur Meridiano de Greenwich semiciacuterculo imaginario que une los polos y pasa por Greenwich maacutes precisamente por el antiguo observatorio astronoacutemico de este suburbio de Londres Este sirve de meridiano de origen es a partir de eacutel que se miden las longitudes en grados es decir que corresponde a la longitud cero por lo que tambieacuten se llama meridiano cero y primer meridiano Nutacioacuten (del latiacuten ldquonutarerdquo cabecear u oscilar) es la oscilacioacuten perioacutedica del polo de la Tierra alrededor de su posicioacuten media en la esfera celeste debida a la influencia de la Luna sobre el planeta similar al movimiento de una peonza cuando pierde fuerza y estaacute a punto de caerse Paralelo cada una de las liacuteneas imaginarias que rodean la Tierra de Este a Oeste
Ciacuterculo polar aacutertico es uno de los cinco paralelos principales terrestres Se trata del paralelo de latitud 66deg 33 38 Norte El espacio situado al norte del ciacuterculo aacutertico se denomina Aacutertico y la regioacuten al sur de este ciacuterculo se denomina Zona Templada Norte
Ciacuterculo polar antaacutertico uno de los cinco principales paralelos que sentildealan los mapas de la Tierra Es el paralelo de latitud 66deg 33 38 al sur del ecuador Precesioacuten es el cambio de la direccioacuten del eje alrededor del cual gira un objeto Radio liacutenea recta comprendida entre un punto cualquiera de la circunferencia del circulo hasta el centro del mismo Refraccioacuten hacer que cambie de direccioacuten el rayo de la luz que pasa oblicuamente de un medio a otro de diferente densidad Rotacioacuten el movimiento de cambio de orientacioacuten de un cuerpo extenso de forma que dado un punto cualquiera del mismo este permanece a una distancia constante de un punto fijo Semejanza (del griego iso-gonios = iguales aacutengulos) En geometriacutea diacutecese de una figura que tiene aacutengulos congruentes con los de otra Solsticio eacutepoca en que el Sol se halla en uno de los dos troacutepicos lo cual sucede del 21 al 22 de junio para el troacutepico de Caacutencer y del 21 al 22 de diciembre para el de Capricornio Tangente cociente entre los catetos de un triaacutengulo rectaacutengulo cateto opuestocateto contiguo En la eacutepoca de Eratoacutestenes existiacutean tablas aacutengulo ndash tangente Teodolito instrumento de medicioacuten mecaacutenico-oacuteptico universal que sirve para medir aacutengulos verticales y sobre todo horizontales aacutembito en el cual tiene una precisioacuten elevada Con otras herramientas auxiliares puede medir distancias y desniveles
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Traslacioacuten movimiento por el cual la Tierra se mueve alrededor del Sol La causa de este movimiento es la accioacuten de la gravedad originaacutendose cambios que al igual que el diacutea permiten la medicioacuten del tiempo Trigonometriacutea (del griego la medicioacuten de los triaacutengulos) es una rama de las matemaacuteticas que estudia los aacutengulos y los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo y las relaciones entre ellos Troacutepicos liacuteneas imaginarias situadas a aproximadamente 23ordm de latitud Troacutepico de Caacutencer paralelo situado a una latitud de 23ordm27rsquo al norte de ecuador delimita los puntos maacutes septentrionales en los que el sol puede ocupar el cenit o la vertical del lugar mediodiacutea Troacutepico de Capricornio troacutepico del hemisferio sur Se llama de Capricornio porque se consideraba que el diacutea del solsticio en los troacutepicos el Sol iluminaba el fondo de los pozos y en aquellas fechas en el hemisferio sur el Sol estaba en la constelacioacuten de Capricornio 4b) Matemaacuteticos - Tales de Mileto (625-546 aC)
Geoacutemetra griego y uno de los siete sabios de Grecia Fue el primer matemaacutetico griego que inicioacute el desarrollo razonado de la geometriacutea Hacia el antildeo 600 a C Tales visitoacute Egipto El faraoacuten le pidioacute que resolviera un viejo problema conocer la altura exacta de la Gran Piraacutemide Tales se apoyoacute en su bastoacuten y esperoacute Cuando la sombra del bastoacuten fue igual de larga que el propio bastoacuten le dijo a un servidor del faraoacuten ldquoCorre y mide la sombra de la Gran Piraacutemide En este momento es tan larga como la propia piraacutemiderdquo Tales era famoso desde el antildeo 585 aC ya que predijo con toda
exactitud un eclipse de Sol - Pitaacutegoras (582-500 aC)
Fundoacute la escuela pitagoacuterica hacia el antildeo 530aC donde se estudiaba filosofiacutea matemaacuteticas y ciencias naturales estaba situada en Crotona (al sur de Italia) Ademaacutes de formular el teorema que lleva su nombre inventoacute la tabla de multiplicar y estudio la relacioacuten entre la muacutesica y las matemaacuteticas A partir de la Edad Media el teorema de Pitaacutegoras fue considerado como el ldquopons asinorumrdquo (puente de asnos) o conocimiento que separaba a las personas cultas de las incultas
- Euclides (365-300 aC)
Se conoce muy poco de la vida de este sabio griego Posiblemente vivioacute entre el 365 y el 300 aC pero se desconoce su lugar de nacimiento Se le denomina de Alejandriacutea porque fue en esta ciudad donde se desarrollo su trabajo Su obra ldquoElementos de Geometriacuteardquo es el texto matemaacutetico de maacutes eacutexito en toda la historia Tanto es asiacute que hasta una eacutepoca muy reciente todaviacutea se utilizaba como texto escolar en Inglaterra
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-Aristarco (310 aC - 230 aC)
Nacioacute en Samos - Grecia - en el antildeo 310 aC y murioacute en el 220 aC Fue disciacutepulo de Estratoacuten de Lampsacos jefe de la escuela peripateacutetica fundada por Aristoacuteteles Antildeos despueacutes Aristarco sucederiacutea a Teofrasto como jefe de esta institucioacuten entre antildeos 288 y 287 aC Fue un haacutebil geoacutemetra pero es poco lo que se conoce de su vida Sus hipoacutetesis sobre el universo se han extraiacutedo a partir de las referencias hechas por otros autores despueacutes de su muerte Ptolomeo en el Almagesto lo nombra como un concienzudo observador de los solsticios y equinoccios Parece haber interpretado estas observaciones correctamente atribuyendo estos fenoacutemenos al movimiento de la Tierra alrededor del Sol Dedujo por esto
que era necesario que la oacuterbita terrestre estuviera inclinada para explicar los cambios de estacioacuten - Arquiacutemedes (287-212 aC)
Se le considera padre de la ciencia mecaacutenica el cientiacutefico y matemaacutetico maacutes importante de la Edad Antigua Su obra maacutes importante fue el descubrimiento de la relacioacuten entre la superficie el volumen de una esfera y el cilindro que la circunscribe Invento la rueda dentada y la polea para subir pesos sin esfuerzo Tambieacuten a el se le ocurrioacute usar grandes espejos para incendiar los barcos enemigos y descubrioacute la manera de medir el volumen de cuerpos irregulares (sumergieacutendolos en agua y midiendo el incremento de volumen del liacutequido)
-Eratoacutestenes (284-192 aC)
Matemaacutetico astroacutenomo geoacutegrafo filoacutesofo y poeta griego Hizo la ldquoCriba de Erastoacutetenesrdquo (nuacutemeros primos) Fue el primero que midioacute con buena exactitud el meridiano terrestre (para lo que ideoacute un sistema a partir de la semejanza de triaacutengulos que consiste en que la figura tiene aacutengulos concurrentes con los de otro triaacutengulo) Erastoacutetenes tambieacuten midioacute la oblicuidad de la ecliptica (la inclinacioacuten del eje terrestre) con un error de solo 7acute de arco y creoacute un cataacutelogo (actualmente perdido) de 675 estrellas fijas Su obra maacutes importante fue un tratado de geografiacutea general
-Hiparco de Nicea (c 190-120 a C )
Fue un matemaacutetico y astroacutenomo griego el maacutes importante de su eacutepoca tambieacuten conocido como Hiparco de Rodas Este nacioacute en Nicea Bitinia (hoy Iznik Turquiacutea) Se le considera el primer astroacutenomo cientiacutefico Fue muy preciso en sus investigaciones de las que conocemos parte por comentarse en el tratado cientiacutefico Almagesto del astroacutenomo alejandrino Tolomeo sobre quien ejercioacute gran influencia Sus caacutelculos del antildeo tropical duracioacuten del antildeo determinada por las estaciones teniacutean un margen de error de 6 5 minutos con respecto a las mediciones modernas Murioacute en Rodas Grecia en el antildeo 120 a C
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5 Bibliografiacutea wwwgoogleesimages Enciclopedia Aula del Estudiante Enciclopedia Larousse Microsoft Encarta 2007 wwwastronosurfcom wwwastronomiacom wwwwikipediaorg 100ciacomopinionforosarchiveindexphpt-5452html httpenciclopediausesindexphpEnciclopedia_Libre_Universal_en_EspaF1ol
wwwenciclopediaorg
httpwwwastromiacombiografias
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c) Errores y problemas El primer error en la medicioacuten del cipreacutes pudo ser que midieacuteramos la sombra o la penumbra pero hay que medir en el medio entre la sombra y la penumbra
Otro problema que hubo fue el que al medir a distintas alturas con el teodolito vertical el edificio tuvimos que nivelarlo poniendo un objeto que estuviera a la misma altura que la primera para nivelar la distancia al suelo como se ilustra en la siguiente imagen
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4- Vocabulario y Personajes a) Glosario Anatema Curva que describe la posicioacuten del Sol en el cielo a la misma hora del diacutea y en el mismo lugar de observacioacuten por un antildeo entero En la Tierra es en forma de ocho (infin) El componente horizontal muestra la ecuacioacuten de tiempo que es la diferencia entre el tiempo solar aparente y el tiempo solar medio El componente vertical muestra la declinacioacuten del Sol A veces se dibuja en los globos terraacutequeos Aacutengulo figura geomeacutetrica formada en una superficie por liacuteneas que parten de un mismo punto Astronomiacutea (del griego αστρονομία = άστρον + νόμος) etimoloacutegicamente significa la Ley de las estrellas y es la ciencia que estudia los astros a partir de la informacioacuten que nos llega de ellos a traveacutes de la radiacioacuten electromagneacutetica Calendario (del latiacuten calenda) es una cuenta sistematizada del tiempo para la organizacioacuten de las actividades humanas Antiguamente estaba basado en los ciclos lunares En la actualidad los diversos calendarios tienen base en el ciclo que describe la Tierra alrededor del Sol y se denominan calendarios solares El calendario sideral se basa en el movimiento de otros astros diferentes al Sol Cenit interseccioacuten entre la vertical del observador y la esfera celeste O sea si imaginamos una recta que pasa por el centro de la Tierra y por nuestra ubicacioacuten en su superficie el cenit se encuentra sobre esa recta por encima de nuestras cabezas El punto diametralmente opuesto de la esfera celeste al cenit se denomina Nadir Coordenadas se dice de las liacuteneas que sirven para determinar la posicioacuten de un punto y de los ejes planos a que se refieren aquellas liacuteneas Ecliacuteptica (del latiacuten ecliptĭca [linĕa] (del griego ἐκλειπτική relativo a los eclipses) es el plano que contiene la oacuterbita de la Tierra alrededor del Sol Eliacuteptica oacuterbita de un astro que gira alrededor de otro describiendo una elipse El astro central se situacutea en uno de los focos de la elipse Todas las oacuterbitas de los planetas del sistema solar tienen esta oacuterbita Ecuador paralelo que se toma como 0ordm de latitud Equinoccio eacutepoca en que por incidir los rayos perpendicularmente al ecuador los diacuteas tienen la misma duracioacuten que la noche en toda la tierra lo cual sucede anualmente del 20 al 21 de marzo y del 22 al 23 de septiembre Excentricidad en matemaacuteticas y geometriacutea es un paraacutemetro que determina el grado de desviacioacuten de una seccioacuten coacutenica con respecto a una circunferencia Es un paraacutemetro importante en la definicioacuten de las elipses Gnomon Palo vertical de altura determinada Husos horarios son cada una de las veinticuatro aacutereas en que se divide la Tierra y que siguen la misma definicioacuten de tiempo cronoloacutegico
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Latitud Distancia en grados entre un paralelo y el Ecuador Puede alcanzar los 90ordm Norte o Sur Longitud Distancia en grados entre un meridiano con el meridiano de Greenwich Su maacuteximo es 180ordm OE Mediatriz de un segmento es la recta equidistante de dos puntos del plano equidistantes Esta corta el segmento por su mitad y perpendicularmente Meridiano Cada una de las liacuteneas imaginarias que atraviesan la esfera terrestre desde el polo norte hasta el polo sur Meridiano de Greenwich semiciacuterculo imaginario que une los polos y pasa por Greenwich maacutes precisamente por el antiguo observatorio astronoacutemico de este suburbio de Londres Este sirve de meridiano de origen es a partir de eacutel que se miden las longitudes en grados es decir que corresponde a la longitud cero por lo que tambieacuten se llama meridiano cero y primer meridiano Nutacioacuten (del latiacuten ldquonutarerdquo cabecear u oscilar) es la oscilacioacuten perioacutedica del polo de la Tierra alrededor de su posicioacuten media en la esfera celeste debida a la influencia de la Luna sobre el planeta similar al movimiento de una peonza cuando pierde fuerza y estaacute a punto de caerse Paralelo cada una de las liacuteneas imaginarias que rodean la Tierra de Este a Oeste
Ciacuterculo polar aacutertico es uno de los cinco paralelos principales terrestres Se trata del paralelo de latitud 66deg 33 38 Norte El espacio situado al norte del ciacuterculo aacutertico se denomina Aacutertico y la regioacuten al sur de este ciacuterculo se denomina Zona Templada Norte
Ciacuterculo polar antaacutertico uno de los cinco principales paralelos que sentildealan los mapas de la Tierra Es el paralelo de latitud 66deg 33 38 al sur del ecuador Precesioacuten es el cambio de la direccioacuten del eje alrededor del cual gira un objeto Radio liacutenea recta comprendida entre un punto cualquiera de la circunferencia del circulo hasta el centro del mismo Refraccioacuten hacer que cambie de direccioacuten el rayo de la luz que pasa oblicuamente de un medio a otro de diferente densidad Rotacioacuten el movimiento de cambio de orientacioacuten de un cuerpo extenso de forma que dado un punto cualquiera del mismo este permanece a una distancia constante de un punto fijo Semejanza (del griego iso-gonios = iguales aacutengulos) En geometriacutea diacutecese de una figura que tiene aacutengulos congruentes con los de otra Solsticio eacutepoca en que el Sol se halla en uno de los dos troacutepicos lo cual sucede del 21 al 22 de junio para el troacutepico de Caacutencer y del 21 al 22 de diciembre para el de Capricornio Tangente cociente entre los catetos de un triaacutengulo rectaacutengulo cateto opuestocateto contiguo En la eacutepoca de Eratoacutestenes existiacutean tablas aacutengulo ndash tangente Teodolito instrumento de medicioacuten mecaacutenico-oacuteptico universal que sirve para medir aacutengulos verticales y sobre todo horizontales aacutembito en el cual tiene una precisioacuten elevada Con otras herramientas auxiliares puede medir distancias y desniveles
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Traslacioacuten movimiento por el cual la Tierra se mueve alrededor del Sol La causa de este movimiento es la accioacuten de la gravedad originaacutendose cambios que al igual que el diacutea permiten la medicioacuten del tiempo Trigonometriacutea (del griego la medicioacuten de los triaacutengulos) es una rama de las matemaacuteticas que estudia los aacutengulos y los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo y las relaciones entre ellos Troacutepicos liacuteneas imaginarias situadas a aproximadamente 23ordm de latitud Troacutepico de Caacutencer paralelo situado a una latitud de 23ordm27rsquo al norte de ecuador delimita los puntos maacutes septentrionales en los que el sol puede ocupar el cenit o la vertical del lugar mediodiacutea Troacutepico de Capricornio troacutepico del hemisferio sur Se llama de Capricornio porque se consideraba que el diacutea del solsticio en los troacutepicos el Sol iluminaba el fondo de los pozos y en aquellas fechas en el hemisferio sur el Sol estaba en la constelacioacuten de Capricornio 4b) Matemaacuteticos - Tales de Mileto (625-546 aC)
Geoacutemetra griego y uno de los siete sabios de Grecia Fue el primer matemaacutetico griego que inicioacute el desarrollo razonado de la geometriacutea Hacia el antildeo 600 a C Tales visitoacute Egipto El faraoacuten le pidioacute que resolviera un viejo problema conocer la altura exacta de la Gran Piraacutemide Tales se apoyoacute en su bastoacuten y esperoacute Cuando la sombra del bastoacuten fue igual de larga que el propio bastoacuten le dijo a un servidor del faraoacuten ldquoCorre y mide la sombra de la Gran Piraacutemide En este momento es tan larga como la propia piraacutemiderdquo Tales era famoso desde el antildeo 585 aC ya que predijo con toda
exactitud un eclipse de Sol - Pitaacutegoras (582-500 aC)
Fundoacute la escuela pitagoacuterica hacia el antildeo 530aC donde se estudiaba filosofiacutea matemaacuteticas y ciencias naturales estaba situada en Crotona (al sur de Italia) Ademaacutes de formular el teorema que lleva su nombre inventoacute la tabla de multiplicar y estudio la relacioacuten entre la muacutesica y las matemaacuteticas A partir de la Edad Media el teorema de Pitaacutegoras fue considerado como el ldquopons asinorumrdquo (puente de asnos) o conocimiento que separaba a las personas cultas de las incultas
- Euclides (365-300 aC)
Se conoce muy poco de la vida de este sabio griego Posiblemente vivioacute entre el 365 y el 300 aC pero se desconoce su lugar de nacimiento Se le denomina de Alejandriacutea porque fue en esta ciudad donde se desarrollo su trabajo Su obra ldquoElementos de Geometriacuteardquo es el texto matemaacutetico de maacutes eacutexito en toda la historia Tanto es asiacute que hasta una eacutepoca muy reciente todaviacutea se utilizaba como texto escolar en Inglaterra
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-Aristarco (310 aC - 230 aC)
Nacioacute en Samos - Grecia - en el antildeo 310 aC y murioacute en el 220 aC Fue disciacutepulo de Estratoacuten de Lampsacos jefe de la escuela peripateacutetica fundada por Aristoacuteteles Antildeos despueacutes Aristarco sucederiacutea a Teofrasto como jefe de esta institucioacuten entre antildeos 288 y 287 aC Fue un haacutebil geoacutemetra pero es poco lo que se conoce de su vida Sus hipoacutetesis sobre el universo se han extraiacutedo a partir de las referencias hechas por otros autores despueacutes de su muerte Ptolomeo en el Almagesto lo nombra como un concienzudo observador de los solsticios y equinoccios Parece haber interpretado estas observaciones correctamente atribuyendo estos fenoacutemenos al movimiento de la Tierra alrededor del Sol Dedujo por esto
que era necesario que la oacuterbita terrestre estuviera inclinada para explicar los cambios de estacioacuten - Arquiacutemedes (287-212 aC)
Se le considera padre de la ciencia mecaacutenica el cientiacutefico y matemaacutetico maacutes importante de la Edad Antigua Su obra maacutes importante fue el descubrimiento de la relacioacuten entre la superficie el volumen de una esfera y el cilindro que la circunscribe Invento la rueda dentada y la polea para subir pesos sin esfuerzo Tambieacuten a el se le ocurrioacute usar grandes espejos para incendiar los barcos enemigos y descubrioacute la manera de medir el volumen de cuerpos irregulares (sumergieacutendolos en agua y midiendo el incremento de volumen del liacutequido)
-Eratoacutestenes (284-192 aC)
Matemaacutetico astroacutenomo geoacutegrafo filoacutesofo y poeta griego Hizo la ldquoCriba de Erastoacutetenesrdquo (nuacutemeros primos) Fue el primero que midioacute con buena exactitud el meridiano terrestre (para lo que ideoacute un sistema a partir de la semejanza de triaacutengulos que consiste en que la figura tiene aacutengulos concurrentes con los de otro triaacutengulo) Erastoacutetenes tambieacuten midioacute la oblicuidad de la ecliptica (la inclinacioacuten del eje terrestre) con un error de solo 7acute de arco y creoacute un cataacutelogo (actualmente perdido) de 675 estrellas fijas Su obra maacutes importante fue un tratado de geografiacutea general
-Hiparco de Nicea (c 190-120 a C )
Fue un matemaacutetico y astroacutenomo griego el maacutes importante de su eacutepoca tambieacuten conocido como Hiparco de Rodas Este nacioacute en Nicea Bitinia (hoy Iznik Turquiacutea) Se le considera el primer astroacutenomo cientiacutefico Fue muy preciso en sus investigaciones de las que conocemos parte por comentarse en el tratado cientiacutefico Almagesto del astroacutenomo alejandrino Tolomeo sobre quien ejercioacute gran influencia Sus caacutelculos del antildeo tropical duracioacuten del antildeo determinada por las estaciones teniacutean un margen de error de 6 5 minutos con respecto a las mediciones modernas Murioacute en Rodas Grecia en el antildeo 120 a C
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5 Bibliografiacutea wwwgoogleesimages Enciclopedia Aula del Estudiante Enciclopedia Larousse Microsoft Encarta 2007 wwwastronosurfcom wwwastronomiacom wwwwikipediaorg 100ciacomopinionforosarchiveindexphpt-5452html httpenciclopediausesindexphpEnciclopedia_Libre_Universal_en_EspaF1ol
wwwenciclopediaorg
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4- Vocabulario y Personajes a) Glosario Anatema Curva que describe la posicioacuten del Sol en el cielo a la misma hora del diacutea y en el mismo lugar de observacioacuten por un antildeo entero En la Tierra es en forma de ocho (infin) El componente horizontal muestra la ecuacioacuten de tiempo que es la diferencia entre el tiempo solar aparente y el tiempo solar medio El componente vertical muestra la declinacioacuten del Sol A veces se dibuja en los globos terraacutequeos Aacutengulo figura geomeacutetrica formada en una superficie por liacuteneas que parten de un mismo punto Astronomiacutea (del griego αστρονομία = άστρον + νόμος) etimoloacutegicamente significa la Ley de las estrellas y es la ciencia que estudia los astros a partir de la informacioacuten que nos llega de ellos a traveacutes de la radiacioacuten electromagneacutetica Calendario (del latiacuten calenda) es una cuenta sistematizada del tiempo para la organizacioacuten de las actividades humanas Antiguamente estaba basado en los ciclos lunares En la actualidad los diversos calendarios tienen base en el ciclo que describe la Tierra alrededor del Sol y se denominan calendarios solares El calendario sideral se basa en el movimiento de otros astros diferentes al Sol Cenit interseccioacuten entre la vertical del observador y la esfera celeste O sea si imaginamos una recta que pasa por el centro de la Tierra y por nuestra ubicacioacuten en su superficie el cenit se encuentra sobre esa recta por encima de nuestras cabezas El punto diametralmente opuesto de la esfera celeste al cenit se denomina Nadir Coordenadas se dice de las liacuteneas que sirven para determinar la posicioacuten de un punto y de los ejes planos a que se refieren aquellas liacuteneas Ecliacuteptica (del latiacuten ecliptĭca [linĕa] (del griego ἐκλειπτική relativo a los eclipses) es el plano que contiene la oacuterbita de la Tierra alrededor del Sol Eliacuteptica oacuterbita de un astro que gira alrededor de otro describiendo una elipse El astro central se situacutea en uno de los focos de la elipse Todas las oacuterbitas de los planetas del sistema solar tienen esta oacuterbita Ecuador paralelo que se toma como 0ordm de latitud Equinoccio eacutepoca en que por incidir los rayos perpendicularmente al ecuador los diacuteas tienen la misma duracioacuten que la noche en toda la tierra lo cual sucede anualmente del 20 al 21 de marzo y del 22 al 23 de septiembre Excentricidad en matemaacuteticas y geometriacutea es un paraacutemetro que determina el grado de desviacioacuten de una seccioacuten coacutenica con respecto a una circunferencia Es un paraacutemetro importante en la definicioacuten de las elipses Gnomon Palo vertical de altura determinada Husos horarios son cada una de las veinticuatro aacutereas en que se divide la Tierra y que siguen la misma definicioacuten de tiempo cronoloacutegico
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Latitud Distancia en grados entre un paralelo y el Ecuador Puede alcanzar los 90ordm Norte o Sur Longitud Distancia en grados entre un meridiano con el meridiano de Greenwich Su maacuteximo es 180ordm OE Mediatriz de un segmento es la recta equidistante de dos puntos del plano equidistantes Esta corta el segmento por su mitad y perpendicularmente Meridiano Cada una de las liacuteneas imaginarias que atraviesan la esfera terrestre desde el polo norte hasta el polo sur Meridiano de Greenwich semiciacuterculo imaginario que une los polos y pasa por Greenwich maacutes precisamente por el antiguo observatorio astronoacutemico de este suburbio de Londres Este sirve de meridiano de origen es a partir de eacutel que se miden las longitudes en grados es decir que corresponde a la longitud cero por lo que tambieacuten se llama meridiano cero y primer meridiano Nutacioacuten (del latiacuten ldquonutarerdquo cabecear u oscilar) es la oscilacioacuten perioacutedica del polo de la Tierra alrededor de su posicioacuten media en la esfera celeste debida a la influencia de la Luna sobre el planeta similar al movimiento de una peonza cuando pierde fuerza y estaacute a punto de caerse Paralelo cada una de las liacuteneas imaginarias que rodean la Tierra de Este a Oeste
Ciacuterculo polar aacutertico es uno de los cinco paralelos principales terrestres Se trata del paralelo de latitud 66deg 33 38 Norte El espacio situado al norte del ciacuterculo aacutertico se denomina Aacutertico y la regioacuten al sur de este ciacuterculo se denomina Zona Templada Norte
Ciacuterculo polar antaacutertico uno de los cinco principales paralelos que sentildealan los mapas de la Tierra Es el paralelo de latitud 66deg 33 38 al sur del ecuador Precesioacuten es el cambio de la direccioacuten del eje alrededor del cual gira un objeto Radio liacutenea recta comprendida entre un punto cualquiera de la circunferencia del circulo hasta el centro del mismo Refraccioacuten hacer que cambie de direccioacuten el rayo de la luz que pasa oblicuamente de un medio a otro de diferente densidad Rotacioacuten el movimiento de cambio de orientacioacuten de un cuerpo extenso de forma que dado un punto cualquiera del mismo este permanece a una distancia constante de un punto fijo Semejanza (del griego iso-gonios = iguales aacutengulos) En geometriacutea diacutecese de una figura que tiene aacutengulos congruentes con los de otra Solsticio eacutepoca en que el Sol se halla en uno de los dos troacutepicos lo cual sucede del 21 al 22 de junio para el troacutepico de Caacutencer y del 21 al 22 de diciembre para el de Capricornio Tangente cociente entre los catetos de un triaacutengulo rectaacutengulo cateto opuestocateto contiguo En la eacutepoca de Eratoacutestenes existiacutean tablas aacutengulo ndash tangente Teodolito instrumento de medicioacuten mecaacutenico-oacuteptico universal que sirve para medir aacutengulos verticales y sobre todo horizontales aacutembito en el cual tiene una precisioacuten elevada Con otras herramientas auxiliares puede medir distancias y desniveles
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Traslacioacuten movimiento por el cual la Tierra se mueve alrededor del Sol La causa de este movimiento es la accioacuten de la gravedad originaacutendose cambios que al igual que el diacutea permiten la medicioacuten del tiempo Trigonometriacutea (del griego la medicioacuten de los triaacutengulos) es una rama de las matemaacuteticas que estudia los aacutengulos y los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo y las relaciones entre ellos Troacutepicos liacuteneas imaginarias situadas a aproximadamente 23ordm de latitud Troacutepico de Caacutencer paralelo situado a una latitud de 23ordm27rsquo al norte de ecuador delimita los puntos maacutes septentrionales en los que el sol puede ocupar el cenit o la vertical del lugar mediodiacutea Troacutepico de Capricornio troacutepico del hemisferio sur Se llama de Capricornio porque se consideraba que el diacutea del solsticio en los troacutepicos el Sol iluminaba el fondo de los pozos y en aquellas fechas en el hemisferio sur el Sol estaba en la constelacioacuten de Capricornio 4b) Matemaacuteticos - Tales de Mileto (625-546 aC)
Geoacutemetra griego y uno de los siete sabios de Grecia Fue el primer matemaacutetico griego que inicioacute el desarrollo razonado de la geometriacutea Hacia el antildeo 600 a C Tales visitoacute Egipto El faraoacuten le pidioacute que resolviera un viejo problema conocer la altura exacta de la Gran Piraacutemide Tales se apoyoacute en su bastoacuten y esperoacute Cuando la sombra del bastoacuten fue igual de larga que el propio bastoacuten le dijo a un servidor del faraoacuten ldquoCorre y mide la sombra de la Gran Piraacutemide En este momento es tan larga como la propia piraacutemiderdquo Tales era famoso desde el antildeo 585 aC ya que predijo con toda
exactitud un eclipse de Sol - Pitaacutegoras (582-500 aC)
Fundoacute la escuela pitagoacuterica hacia el antildeo 530aC donde se estudiaba filosofiacutea matemaacuteticas y ciencias naturales estaba situada en Crotona (al sur de Italia) Ademaacutes de formular el teorema que lleva su nombre inventoacute la tabla de multiplicar y estudio la relacioacuten entre la muacutesica y las matemaacuteticas A partir de la Edad Media el teorema de Pitaacutegoras fue considerado como el ldquopons asinorumrdquo (puente de asnos) o conocimiento que separaba a las personas cultas de las incultas
- Euclides (365-300 aC)
Se conoce muy poco de la vida de este sabio griego Posiblemente vivioacute entre el 365 y el 300 aC pero se desconoce su lugar de nacimiento Se le denomina de Alejandriacutea porque fue en esta ciudad donde se desarrollo su trabajo Su obra ldquoElementos de Geometriacuteardquo es el texto matemaacutetico de maacutes eacutexito en toda la historia Tanto es asiacute que hasta una eacutepoca muy reciente todaviacutea se utilizaba como texto escolar en Inglaterra
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-Aristarco (310 aC - 230 aC)
Nacioacute en Samos - Grecia - en el antildeo 310 aC y murioacute en el 220 aC Fue disciacutepulo de Estratoacuten de Lampsacos jefe de la escuela peripateacutetica fundada por Aristoacuteteles Antildeos despueacutes Aristarco sucederiacutea a Teofrasto como jefe de esta institucioacuten entre antildeos 288 y 287 aC Fue un haacutebil geoacutemetra pero es poco lo que se conoce de su vida Sus hipoacutetesis sobre el universo se han extraiacutedo a partir de las referencias hechas por otros autores despueacutes de su muerte Ptolomeo en el Almagesto lo nombra como un concienzudo observador de los solsticios y equinoccios Parece haber interpretado estas observaciones correctamente atribuyendo estos fenoacutemenos al movimiento de la Tierra alrededor del Sol Dedujo por esto
que era necesario que la oacuterbita terrestre estuviera inclinada para explicar los cambios de estacioacuten - Arquiacutemedes (287-212 aC)
Se le considera padre de la ciencia mecaacutenica el cientiacutefico y matemaacutetico maacutes importante de la Edad Antigua Su obra maacutes importante fue el descubrimiento de la relacioacuten entre la superficie el volumen de una esfera y el cilindro que la circunscribe Invento la rueda dentada y la polea para subir pesos sin esfuerzo Tambieacuten a el se le ocurrioacute usar grandes espejos para incendiar los barcos enemigos y descubrioacute la manera de medir el volumen de cuerpos irregulares (sumergieacutendolos en agua y midiendo el incremento de volumen del liacutequido)
-Eratoacutestenes (284-192 aC)
Matemaacutetico astroacutenomo geoacutegrafo filoacutesofo y poeta griego Hizo la ldquoCriba de Erastoacutetenesrdquo (nuacutemeros primos) Fue el primero que midioacute con buena exactitud el meridiano terrestre (para lo que ideoacute un sistema a partir de la semejanza de triaacutengulos que consiste en que la figura tiene aacutengulos concurrentes con los de otro triaacutengulo) Erastoacutetenes tambieacuten midioacute la oblicuidad de la ecliptica (la inclinacioacuten del eje terrestre) con un error de solo 7acute de arco y creoacute un cataacutelogo (actualmente perdido) de 675 estrellas fijas Su obra maacutes importante fue un tratado de geografiacutea general
-Hiparco de Nicea (c 190-120 a C )
Fue un matemaacutetico y astroacutenomo griego el maacutes importante de su eacutepoca tambieacuten conocido como Hiparco de Rodas Este nacioacute en Nicea Bitinia (hoy Iznik Turquiacutea) Se le considera el primer astroacutenomo cientiacutefico Fue muy preciso en sus investigaciones de las que conocemos parte por comentarse en el tratado cientiacutefico Almagesto del astroacutenomo alejandrino Tolomeo sobre quien ejercioacute gran influencia Sus caacutelculos del antildeo tropical duracioacuten del antildeo determinada por las estaciones teniacutean un margen de error de 6 5 minutos con respecto a las mediciones modernas Murioacute en Rodas Grecia en el antildeo 120 a C
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5 Bibliografiacutea wwwgoogleesimages Enciclopedia Aula del Estudiante Enciclopedia Larousse Microsoft Encarta 2007 wwwastronosurfcom wwwastronomiacom wwwwikipediaorg 100ciacomopinionforosarchiveindexphpt-5452html httpenciclopediausesindexphpEnciclopedia_Libre_Universal_en_EspaF1ol
wwwenciclopediaorg
httpwwwastromiacombiografias
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Latitud Distancia en grados entre un paralelo y el Ecuador Puede alcanzar los 90ordm Norte o Sur Longitud Distancia en grados entre un meridiano con el meridiano de Greenwich Su maacuteximo es 180ordm OE Mediatriz de un segmento es la recta equidistante de dos puntos del plano equidistantes Esta corta el segmento por su mitad y perpendicularmente Meridiano Cada una de las liacuteneas imaginarias que atraviesan la esfera terrestre desde el polo norte hasta el polo sur Meridiano de Greenwich semiciacuterculo imaginario que une los polos y pasa por Greenwich maacutes precisamente por el antiguo observatorio astronoacutemico de este suburbio de Londres Este sirve de meridiano de origen es a partir de eacutel que se miden las longitudes en grados es decir que corresponde a la longitud cero por lo que tambieacuten se llama meridiano cero y primer meridiano Nutacioacuten (del latiacuten ldquonutarerdquo cabecear u oscilar) es la oscilacioacuten perioacutedica del polo de la Tierra alrededor de su posicioacuten media en la esfera celeste debida a la influencia de la Luna sobre el planeta similar al movimiento de una peonza cuando pierde fuerza y estaacute a punto de caerse Paralelo cada una de las liacuteneas imaginarias que rodean la Tierra de Este a Oeste
Ciacuterculo polar aacutertico es uno de los cinco paralelos principales terrestres Se trata del paralelo de latitud 66deg 33 38 Norte El espacio situado al norte del ciacuterculo aacutertico se denomina Aacutertico y la regioacuten al sur de este ciacuterculo se denomina Zona Templada Norte
Ciacuterculo polar antaacutertico uno de los cinco principales paralelos que sentildealan los mapas de la Tierra Es el paralelo de latitud 66deg 33 38 al sur del ecuador Precesioacuten es el cambio de la direccioacuten del eje alrededor del cual gira un objeto Radio liacutenea recta comprendida entre un punto cualquiera de la circunferencia del circulo hasta el centro del mismo Refraccioacuten hacer que cambie de direccioacuten el rayo de la luz que pasa oblicuamente de un medio a otro de diferente densidad Rotacioacuten el movimiento de cambio de orientacioacuten de un cuerpo extenso de forma que dado un punto cualquiera del mismo este permanece a una distancia constante de un punto fijo Semejanza (del griego iso-gonios = iguales aacutengulos) En geometriacutea diacutecese de una figura que tiene aacutengulos congruentes con los de otra Solsticio eacutepoca en que el Sol se halla en uno de los dos troacutepicos lo cual sucede del 21 al 22 de junio para el troacutepico de Caacutencer y del 21 al 22 de diciembre para el de Capricornio Tangente cociente entre los catetos de un triaacutengulo rectaacutengulo cateto opuestocateto contiguo En la eacutepoca de Eratoacutestenes existiacutean tablas aacutengulo ndash tangente Teodolito instrumento de medicioacuten mecaacutenico-oacuteptico universal que sirve para medir aacutengulos verticales y sobre todo horizontales aacutembito en el cual tiene una precisioacuten elevada Con otras herramientas auxiliares puede medir distancias y desniveles
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Traslacioacuten movimiento por el cual la Tierra se mueve alrededor del Sol La causa de este movimiento es la accioacuten de la gravedad originaacutendose cambios que al igual que el diacutea permiten la medicioacuten del tiempo Trigonometriacutea (del griego la medicioacuten de los triaacutengulos) es una rama de las matemaacuteticas que estudia los aacutengulos y los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo y las relaciones entre ellos Troacutepicos liacuteneas imaginarias situadas a aproximadamente 23ordm de latitud Troacutepico de Caacutencer paralelo situado a una latitud de 23ordm27rsquo al norte de ecuador delimita los puntos maacutes septentrionales en los que el sol puede ocupar el cenit o la vertical del lugar mediodiacutea Troacutepico de Capricornio troacutepico del hemisferio sur Se llama de Capricornio porque se consideraba que el diacutea del solsticio en los troacutepicos el Sol iluminaba el fondo de los pozos y en aquellas fechas en el hemisferio sur el Sol estaba en la constelacioacuten de Capricornio 4b) Matemaacuteticos - Tales de Mileto (625-546 aC)
Geoacutemetra griego y uno de los siete sabios de Grecia Fue el primer matemaacutetico griego que inicioacute el desarrollo razonado de la geometriacutea Hacia el antildeo 600 a C Tales visitoacute Egipto El faraoacuten le pidioacute que resolviera un viejo problema conocer la altura exacta de la Gran Piraacutemide Tales se apoyoacute en su bastoacuten y esperoacute Cuando la sombra del bastoacuten fue igual de larga que el propio bastoacuten le dijo a un servidor del faraoacuten ldquoCorre y mide la sombra de la Gran Piraacutemide En este momento es tan larga como la propia piraacutemiderdquo Tales era famoso desde el antildeo 585 aC ya que predijo con toda
exactitud un eclipse de Sol - Pitaacutegoras (582-500 aC)
Fundoacute la escuela pitagoacuterica hacia el antildeo 530aC donde se estudiaba filosofiacutea matemaacuteticas y ciencias naturales estaba situada en Crotona (al sur de Italia) Ademaacutes de formular el teorema que lleva su nombre inventoacute la tabla de multiplicar y estudio la relacioacuten entre la muacutesica y las matemaacuteticas A partir de la Edad Media el teorema de Pitaacutegoras fue considerado como el ldquopons asinorumrdquo (puente de asnos) o conocimiento que separaba a las personas cultas de las incultas
- Euclides (365-300 aC)
Se conoce muy poco de la vida de este sabio griego Posiblemente vivioacute entre el 365 y el 300 aC pero se desconoce su lugar de nacimiento Se le denomina de Alejandriacutea porque fue en esta ciudad donde se desarrollo su trabajo Su obra ldquoElementos de Geometriacuteardquo es el texto matemaacutetico de maacutes eacutexito en toda la historia Tanto es asiacute que hasta una eacutepoca muy reciente todaviacutea se utilizaba como texto escolar en Inglaterra
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-Aristarco (310 aC - 230 aC)
Nacioacute en Samos - Grecia - en el antildeo 310 aC y murioacute en el 220 aC Fue disciacutepulo de Estratoacuten de Lampsacos jefe de la escuela peripateacutetica fundada por Aristoacuteteles Antildeos despueacutes Aristarco sucederiacutea a Teofrasto como jefe de esta institucioacuten entre antildeos 288 y 287 aC Fue un haacutebil geoacutemetra pero es poco lo que se conoce de su vida Sus hipoacutetesis sobre el universo se han extraiacutedo a partir de las referencias hechas por otros autores despueacutes de su muerte Ptolomeo en el Almagesto lo nombra como un concienzudo observador de los solsticios y equinoccios Parece haber interpretado estas observaciones correctamente atribuyendo estos fenoacutemenos al movimiento de la Tierra alrededor del Sol Dedujo por esto
que era necesario que la oacuterbita terrestre estuviera inclinada para explicar los cambios de estacioacuten - Arquiacutemedes (287-212 aC)
Se le considera padre de la ciencia mecaacutenica el cientiacutefico y matemaacutetico maacutes importante de la Edad Antigua Su obra maacutes importante fue el descubrimiento de la relacioacuten entre la superficie el volumen de una esfera y el cilindro que la circunscribe Invento la rueda dentada y la polea para subir pesos sin esfuerzo Tambieacuten a el se le ocurrioacute usar grandes espejos para incendiar los barcos enemigos y descubrioacute la manera de medir el volumen de cuerpos irregulares (sumergieacutendolos en agua y midiendo el incremento de volumen del liacutequido)
-Eratoacutestenes (284-192 aC)
Matemaacutetico astroacutenomo geoacutegrafo filoacutesofo y poeta griego Hizo la ldquoCriba de Erastoacutetenesrdquo (nuacutemeros primos) Fue el primero que midioacute con buena exactitud el meridiano terrestre (para lo que ideoacute un sistema a partir de la semejanza de triaacutengulos que consiste en que la figura tiene aacutengulos concurrentes con los de otro triaacutengulo) Erastoacutetenes tambieacuten midioacute la oblicuidad de la ecliptica (la inclinacioacuten del eje terrestre) con un error de solo 7acute de arco y creoacute un cataacutelogo (actualmente perdido) de 675 estrellas fijas Su obra maacutes importante fue un tratado de geografiacutea general
-Hiparco de Nicea (c 190-120 a C )
Fue un matemaacutetico y astroacutenomo griego el maacutes importante de su eacutepoca tambieacuten conocido como Hiparco de Rodas Este nacioacute en Nicea Bitinia (hoy Iznik Turquiacutea) Se le considera el primer astroacutenomo cientiacutefico Fue muy preciso en sus investigaciones de las que conocemos parte por comentarse en el tratado cientiacutefico Almagesto del astroacutenomo alejandrino Tolomeo sobre quien ejercioacute gran influencia Sus caacutelculos del antildeo tropical duracioacuten del antildeo determinada por las estaciones teniacutean un margen de error de 6 5 minutos con respecto a las mediciones modernas Murioacute en Rodas Grecia en el antildeo 120 a C
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5 Bibliografiacutea wwwgoogleesimages Enciclopedia Aula del Estudiante Enciclopedia Larousse Microsoft Encarta 2007 wwwastronosurfcom wwwastronomiacom wwwwikipediaorg 100ciacomopinionforosarchiveindexphpt-5452html httpenciclopediausesindexphpEnciclopedia_Libre_Universal_en_EspaF1ol
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Traslacioacuten movimiento por el cual la Tierra se mueve alrededor del Sol La causa de este movimiento es la accioacuten de la gravedad originaacutendose cambios que al igual que el diacutea permiten la medicioacuten del tiempo Trigonometriacutea (del griego la medicioacuten de los triaacutengulos) es una rama de las matemaacuteticas que estudia los aacutengulos y los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo y las relaciones entre ellos Troacutepicos liacuteneas imaginarias situadas a aproximadamente 23ordm de latitud Troacutepico de Caacutencer paralelo situado a una latitud de 23ordm27rsquo al norte de ecuador delimita los puntos maacutes septentrionales en los que el sol puede ocupar el cenit o la vertical del lugar mediodiacutea Troacutepico de Capricornio troacutepico del hemisferio sur Se llama de Capricornio porque se consideraba que el diacutea del solsticio en los troacutepicos el Sol iluminaba el fondo de los pozos y en aquellas fechas en el hemisferio sur el Sol estaba en la constelacioacuten de Capricornio 4b) Matemaacuteticos - Tales de Mileto (625-546 aC)
Geoacutemetra griego y uno de los siete sabios de Grecia Fue el primer matemaacutetico griego que inicioacute el desarrollo razonado de la geometriacutea Hacia el antildeo 600 a C Tales visitoacute Egipto El faraoacuten le pidioacute que resolviera un viejo problema conocer la altura exacta de la Gran Piraacutemide Tales se apoyoacute en su bastoacuten y esperoacute Cuando la sombra del bastoacuten fue igual de larga que el propio bastoacuten le dijo a un servidor del faraoacuten ldquoCorre y mide la sombra de la Gran Piraacutemide En este momento es tan larga como la propia piraacutemiderdquo Tales era famoso desde el antildeo 585 aC ya que predijo con toda
exactitud un eclipse de Sol - Pitaacutegoras (582-500 aC)
Fundoacute la escuela pitagoacuterica hacia el antildeo 530aC donde se estudiaba filosofiacutea matemaacuteticas y ciencias naturales estaba situada en Crotona (al sur de Italia) Ademaacutes de formular el teorema que lleva su nombre inventoacute la tabla de multiplicar y estudio la relacioacuten entre la muacutesica y las matemaacuteticas A partir de la Edad Media el teorema de Pitaacutegoras fue considerado como el ldquopons asinorumrdquo (puente de asnos) o conocimiento que separaba a las personas cultas de las incultas
- Euclides (365-300 aC)
Se conoce muy poco de la vida de este sabio griego Posiblemente vivioacute entre el 365 y el 300 aC pero se desconoce su lugar de nacimiento Se le denomina de Alejandriacutea porque fue en esta ciudad donde se desarrollo su trabajo Su obra ldquoElementos de Geometriacuteardquo es el texto matemaacutetico de maacutes eacutexito en toda la historia Tanto es asiacute que hasta una eacutepoca muy reciente todaviacutea se utilizaba como texto escolar en Inglaterra
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-Aristarco (310 aC - 230 aC)
Nacioacute en Samos - Grecia - en el antildeo 310 aC y murioacute en el 220 aC Fue disciacutepulo de Estratoacuten de Lampsacos jefe de la escuela peripateacutetica fundada por Aristoacuteteles Antildeos despueacutes Aristarco sucederiacutea a Teofrasto como jefe de esta institucioacuten entre antildeos 288 y 287 aC Fue un haacutebil geoacutemetra pero es poco lo que se conoce de su vida Sus hipoacutetesis sobre el universo se han extraiacutedo a partir de las referencias hechas por otros autores despueacutes de su muerte Ptolomeo en el Almagesto lo nombra como un concienzudo observador de los solsticios y equinoccios Parece haber interpretado estas observaciones correctamente atribuyendo estos fenoacutemenos al movimiento de la Tierra alrededor del Sol Dedujo por esto
que era necesario que la oacuterbita terrestre estuviera inclinada para explicar los cambios de estacioacuten - Arquiacutemedes (287-212 aC)
Se le considera padre de la ciencia mecaacutenica el cientiacutefico y matemaacutetico maacutes importante de la Edad Antigua Su obra maacutes importante fue el descubrimiento de la relacioacuten entre la superficie el volumen de una esfera y el cilindro que la circunscribe Invento la rueda dentada y la polea para subir pesos sin esfuerzo Tambieacuten a el se le ocurrioacute usar grandes espejos para incendiar los barcos enemigos y descubrioacute la manera de medir el volumen de cuerpos irregulares (sumergieacutendolos en agua y midiendo el incremento de volumen del liacutequido)
-Eratoacutestenes (284-192 aC)
Matemaacutetico astroacutenomo geoacutegrafo filoacutesofo y poeta griego Hizo la ldquoCriba de Erastoacutetenesrdquo (nuacutemeros primos) Fue el primero que midioacute con buena exactitud el meridiano terrestre (para lo que ideoacute un sistema a partir de la semejanza de triaacutengulos que consiste en que la figura tiene aacutengulos concurrentes con los de otro triaacutengulo) Erastoacutetenes tambieacuten midioacute la oblicuidad de la ecliptica (la inclinacioacuten del eje terrestre) con un error de solo 7acute de arco y creoacute un cataacutelogo (actualmente perdido) de 675 estrellas fijas Su obra maacutes importante fue un tratado de geografiacutea general
-Hiparco de Nicea (c 190-120 a C )
Fue un matemaacutetico y astroacutenomo griego el maacutes importante de su eacutepoca tambieacuten conocido como Hiparco de Rodas Este nacioacute en Nicea Bitinia (hoy Iznik Turquiacutea) Se le considera el primer astroacutenomo cientiacutefico Fue muy preciso en sus investigaciones de las que conocemos parte por comentarse en el tratado cientiacutefico Almagesto del astroacutenomo alejandrino Tolomeo sobre quien ejercioacute gran influencia Sus caacutelculos del antildeo tropical duracioacuten del antildeo determinada por las estaciones teniacutean un margen de error de 6 5 minutos con respecto a las mediciones modernas Murioacute en Rodas Grecia en el antildeo 120 a C
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5 Bibliografiacutea wwwgoogleesimages Enciclopedia Aula del Estudiante Enciclopedia Larousse Microsoft Encarta 2007 wwwastronosurfcom wwwastronomiacom wwwwikipediaorg 100ciacomopinionforosarchiveindexphpt-5452html httpenciclopediausesindexphpEnciclopedia_Libre_Universal_en_EspaF1ol
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-Aristarco (310 aC - 230 aC)
Nacioacute en Samos - Grecia - en el antildeo 310 aC y murioacute en el 220 aC Fue disciacutepulo de Estratoacuten de Lampsacos jefe de la escuela peripateacutetica fundada por Aristoacuteteles Antildeos despueacutes Aristarco sucederiacutea a Teofrasto como jefe de esta institucioacuten entre antildeos 288 y 287 aC Fue un haacutebil geoacutemetra pero es poco lo que se conoce de su vida Sus hipoacutetesis sobre el universo se han extraiacutedo a partir de las referencias hechas por otros autores despueacutes de su muerte Ptolomeo en el Almagesto lo nombra como un concienzudo observador de los solsticios y equinoccios Parece haber interpretado estas observaciones correctamente atribuyendo estos fenoacutemenos al movimiento de la Tierra alrededor del Sol Dedujo por esto
que era necesario que la oacuterbita terrestre estuviera inclinada para explicar los cambios de estacioacuten - Arquiacutemedes (287-212 aC)
Se le considera padre de la ciencia mecaacutenica el cientiacutefico y matemaacutetico maacutes importante de la Edad Antigua Su obra maacutes importante fue el descubrimiento de la relacioacuten entre la superficie el volumen de una esfera y el cilindro que la circunscribe Invento la rueda dentada y la polea para subir pesos sin esfuerzo Tambieacuten a el se le ocurrioacute usar grandes espejos para incendiar los barcos enemigos y descubrioacute la manera de medir el volumen de cuerpos irregulares (sumergieacutendolos en agua y midiendo el incremento de volumen del liacutequido)
-Eratoacutestenes (284-192 aC)
Matemaacutetico astroacutenomo geoacutegrafo filoacutesofo y poeta griego Hizo la ldquoCriba de Erastoacutetenesrdquo (nuacutemeros primos) Fue el primero que midioacute con buena exactitud el meridiano terrestre (para lo que ideoacute un sistema a partir de la semejanza de triaacutengulos que consiste en que la figura tiene aacutengulos concurrentes con los de otro triaacutengulo) Erastoacutetenes tambieacuten midioacute la oblicuidad de la ecliptica (la inclinacioacuten del eje terrestre) con un error de solo 7acute de arco y creoacute un cataacutelogo (actualmente perdido) de 675 estrellas fijas Su obra maacutes importante fue un tratado de geografiacutea general
-Hiparco de Nicea (c 190-120 a C )
Fue un matemaacutetico y astroacutenomo griego el maacutes importante de su eacutepoca tambieacuten conocido como Hiparco de Rodas Este nacioacute en Nicea Bitinia (hoy Iznik Turquiacutea) Se le considera el primer astroacutenomo cientiacutefico Fue muy preciso en sus investigaciones de las que conocemos parte por comentarse en el tratado cientiacutefico Almagesto del astroacutenomo alejandrino Tolomeo sobre quien ejercioacute gran influencia Sus caacutelculos del antildeo tropical duracioacuten del antildeo determinada por las estaciones teniacutean un margen de error de 6 5 minutos con respecto a las mediciones modernas Murioacute en Rodas Grecia en el antildeo 120 a C
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5 Bibliografiacutea wwwgoogleesimages Enciclopedia Aula del Estudiante Enciclopedia Larousse Microsoft Encarta 2007 wwwastronosurfcom wwwastronomiacom wwwwikipediaorg 100ciacomopinionforosarchiveindexphpt-5452html httpenciclopediausesindexphpEnciclopedia_Libre_Universal_en_EspaF1ol
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