1

MÓDULOFÍSICA DE SEMICONDUCTORES

MANUEL JULIÁN ESCOBAR DÍAZ

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD

BOGOTÁ

2008

2

CAPITULO 0. INTRODUCCIÓN Y PRESABERES

El curso de Física de Semiconductores es de carácter teórico y corresponde a unsegmento primordial de los fundamentos en Ciencias Básicas sobre los que seconstruye la técnica electrónica. Es un curso a distancia y de dos (2) créditosacadémicos. Durante este curso, se tratarán temas fundamentales de la Física yla Ingeniería relacionadas. A continuación se resumen diversos aspectos.

Se aborda brevemente la enunciación de los métodos y objetivos de la IngenieríaElectrónica, a fin de establecer el vínculo entre lo temas visto y la carrerapropiamente dicha.

El tratamiento del curso no tendrá formalidad matemática al 100%. Se espera queel curso sirva sólo como un marco conceptual y operativo respecto a la físicafundamental de los semiconductores y las estrategias de investigación que lavinculan con la Ingeniería Electrónica.

Será muy útil si el estudiante está previamente familiarizado en alguna medida conuna serie de conceptos provenientes de diversas áreas; algunos de ellosrealmente se espera que sean ya manejados rutinariamente por los estudiantes(sobre todo los referentes a física), fruto de anteriores cursos. Se listan acontinuación algunos de ellos:

FÍSICA:Vibración, Onda, Energía, Carga Eléctrica, Potencia, Campos, Campo Eléctrico yMagnético, Potencial, Semiconductores.

INGENIERÍA:Electrónica, Dopado, Materiales conductores y no conductores, transistores,Diseño, Componentes Eléctricos, Leyes de Ohm y Kirchoff, conductividad yuniones.

Las dos unidades del curso son, explícitamente:

PRIMERA UNIDAD, Fundamentos Teóricos, se remite casi exclusivamente apostulados, leyes o principios físicos y procedimientos o formulacionesmatemáticas aplicadas a física fundamental; se hace énfasis en que loscapítulos tendrán profundidad y extensión MUY VARIABLE, ya que seconsidera que ciertos temas de la Física de Semiconductores, asociadosfuertemente a fenómenos eléctricos, son DE MUCHO MÁYOR INTERÉSPARA EL INGENIERO ELECTRÓNICO que otros, importantes en Física deSemiconductores, pero no siempre relevantes en Ing. Electrónica.

3

SEGUNDA UNIDAD, Ingeniería y Tecnología de semiconductores, es unaintroducción al campo tecnológico de los dispositivos usados en sistemaselectrónicos basados en semiconductores simples y las técnicas empleadaspara su empleo, análisis y diseño (aclarando que el curso no se remite aconfiguraciones específicas para determinadas aplicaciones a partir decomponentes semiconductores, sino a un esbozo conceptualcontextualizado). Esto incluye un acercamiento al diseño y la investigaciónen semiconductores.

Durante el curso las temáticas serán oportunamente desarrolladas, pero cabe laposibilidad que desde ya el estudiante intente responder estas preguntas:

¿Qué es “Semiconductor”?¿Cuál es la diferencia entre semiconductores, conductores y aislantes?¿Qué principios físicos gobiernan el comportamiento de un semiconductor?¿Por qué es importante saber Física de Semiconductores en Electrónica?¿En qué consisten las investigaciones adelantadas en Semiconductores y lasaplicaciones más avanzadas que de esta tecnología se conocen?¿De qué forma se definen qué estándares eléctricos se requiere que tenga unsemiconductor, y qué principios físicos se relacionan directamente?¿Qué significa diseñar un Semiconductor?¿Qué matemática puede usarse en el terreno de la Física de Semiconductores?

Dentro de las actividades planeadas para la aprehensión de conocimientos, seencuentra la lectura de textos guías, el desarrollo de investigaciones cien porciento libres y la revisión de artículos. Se espera que el estudiante se sientamotivado a realizar algunas experimentaciones basadas en el contenido teóricodel curso.

4

PRIMERA UNIDAD DIDÁCTICA

FÍSICA FUNDAMENTAL DE SEMICONDUCTORES

CAPÍTULO 1.1 FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA CUÁNTICA

1.1.1 Dualidad Onda Partícula

A principios del siglo pasado (1895-1905) diversas revoluciones conceptuales enfísica comenzaron a hacer carrera en la física mundial. Particularmente, el artículodel Efecto Fotoeléctrico de Einstein (1905) fue abriendo la posibilidad para undesarrollo justificado de la mecánica cuántica.

¿Por qué tan nombrada la Mecánica Cuántica? Porque su revolución conceptuales tan fuerte que se vuelve una revolución de Paradigmas, y como tal tienerepercusiones filosóficas inmediatas. Las contribuciones de Bohr, Schrödinger, DeBroglie, Dirac, Pauli y Heisenberg fueron realmente las que construyeron lamecánica cuántica; aunque Einstein hubiese colaborado en su precursión, elformalismo de la mecánica cuántica es debido realmente a los anteriores nombresmencionados.

Particularmente, De Broglie propuso esta interesante hipótesis, que luego secomprobó y fue convertida en teoría (la siguiente no es una cita textual, ni muchomenos):

Así como la luz puede verse como una onda electromagnética, pero alinteractuar con la materia la entendemos mejor cuando suponemos que estácompuesta por partículas (llamadas “fotones”, los cuantos de la luz), unapartícula puede ser entendida como una onda: en otras palabras, se puedeasociar una onda a cada partícula, para entender ciertas de sus propiedades.

Y lo anterior es cierto SIEMPRE. Siempre puede asignarse una Ecuación deOnda a una Partícula, como si no se propagara una trayectoria de esa partícula,

5

sino unos FRENTES DE ONDA que corresponde a esa realidad física quellamamos “partícula”.

Es importante hacer énfasis en que el TODO el universo sigue las leyes de lamecánica cuántica (y la dualidad onda partícula). El asunto es que los objetosmacroscópicos, debido al orden de magnitud de sus variables físicas (de hecho,una variable física en particular), no demuestran su carácter ondulatoriofácilmente. Cabe entonces preguntar, ¿cómo reconocemos el carácterondulatorio?

Figura 1. Barrera con orificios (negro) y pantalla (rojo)

Véase la figura 1. Una barrera se interpone entre el flujo de partículas que,viajando de izquierda a derecha, se dirigen hacia la barrera en rojo. Parapartículas lo suficientemente pequeñas, se puede pensar que es extremadamenteimprobable que colisionen entre sí, así que, si el grupo de partículas essuficientemente grande, veremos dos posibilidades:

6

A. Partículas en completa Línea Recta: si las partículas describen línea rectaentre la barrera y la pantalla, diremos que VENÍAN en línea recta, desdeantes de la barrera.

B. Partículas en todas direcciones: si las partículas aparecen por todos lados,podremos decir que las partículas, de alguna forma, venían de todasdirecciones cuando pasaron por los orificios de la barrera.

En ambos casos visualizaremos lo que esperamos que quede marcado en lapantalla de choque (la línea roja de los anteriores diagramas), como resultado delas colisiones. En el caso A:

Figura 2. Por cada rendija ha atravesado un grupo grande de partículas en línea recta.

En el caso B, se esperaría que hubiese una distribución aproximadamente igual dealeatoria a lo aleatorias que sean las direcciones antes de atravesar las ranuras.Algo así:

Figura 3. Las partículas tenían direcciones ligeramente diferentes, por lo que se esparcen.

Donde es evidente que haya más concentración en el centro, debido a que lasranuras están en el centro (las gráficas son aproximaciones ilustrativas, nosimulaciones).

Ahora, escogeremos el caso B como el real, ya que en experimentos es imposiblehacer que todas las partículas viajen en línea recta (mejor dicho, alinear

7

perfectamente las partículas), y el tamaño de las ranuras es muy grandecomparado con el de los electrones. Esto se resume en que si los electrones,iones o cualquier otra entidad se comportan como partículas, en unexperimento de doble rendija debemos ver una distribución aleatoriacentrada en el medio de las dos rendijas, seguramente con una distribuciónaproximadamente Normal. Para ser exactos, podemos esperar una distribuciónnormal para cada rendija y para la suma de las dos:

Figura 4. Distribución de los puntos según la distancia, centrada en la posición donde se encuentrela rendija

8

Figura 5. Dos normales superpuestas darían la distribución central mostrada en rojo más losperiféricos azules de cada distribución

Es decir, la aleatoriedad de todas formas presenta más casos sobre la regióndonde está la rendija, y, al ser dos, vemos el patrón señalado en rojo en el espacioentre las rendijas. ES ASÍ COMO SE COMPORTAN PARTÍCULAS.

Ahora, la realidad es que este experimento fue realizado y el verdaderocomportamiento visto en pantalla fue aproximadamente:

Figura 6. Verdadero comportamiento de electrones en experimento doble rendija.

Es decir, un PATRÓN DE INTERFERENCIA ONDULATORIA: LASPARTÍCULAS INTERFERÍAN COMO ONDAS, lo que ha sido posteriormenteconstatado en innumerables experimentos y demostraciones.Esto querrá decir que el estado de una partícula en un tiempo t y posición x sepuede describir definiendo su ecuación de onda en el tiempo t y posición x.

9

La hipótesis de De Broglie se comprobó experimentalmente, en 1927 en loslaboratorios Bell, cuando Joseph Davisson y Lester Halbert Germer observaron ladifrección de electrones en una película metálica. Por este trabajo, Davisson yGermer recibieron el premio Nobel de Física en 1937.

1.1.2 Ecuación de Schrödinger y solución para partícula libre

INTRODUCCIÓN

Erwin Schrödinger utilizó una formulación ya antigua en teoría de mecánica clásicapara definir una importante ecuación de la mecánica cuántica. En principio, esdefinir el Hamiltoniano de un sistema como la suma de su energía cinética ypotencial, sean los potenciales que fuesen; lo siguiente es entender que taldefinición de Hamiltoniano obliga a que éste cumpla ciertas propiedades yrelaciones. Siendo este un tema de una carrera de Pregrado en Física, no seentrará en detalles al respecto, pero sí se hará énfasis que la ecuación deSchrödinger no es compleja de entender en el plano clásico (no cuántico nirelativista) y resulta análoga a la que usaremos para conceptualizar la mecánicacuántica básica que abordaremos.

Entendiendo que las partículas pueden describirse como ondas (y que unfenómeno ondulatorio puede entenderse como partícula), el planteamientofundamental se hace con una Función de Onda (la ecuación de Schrödinger esuna ecuación de onda), y requiere comprender el siguiente principio de lamecánica cuántica, el PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE DE HEISENBERG:

Es imposible conocer al mismo tiempo la ubicación y el momento de unapartícula.

Lo anterior se debe a que se descubrió en la naturaleza una interesante propiedadde impredictibilidad que parecía aplicarse a TODO. En otras palabras, seencontró que las partículas están en continua oscilación respecto a casi cualquierade los parámetros físicos de interés. Una multitud de experimentos ha mostradoque las partículas NO SIEMPRE HACEN LO MISMO. Cuando se repite unexperimento de escala cuántica (es decir, una prueba con átomos individuales opartículas subatómicas, en la que pueda verificarse algún aspecto específico decada partícula), NO SE OBTIENEN LOS MISMOS RESULTADOS, por más quese reproduzcan exacta y precisamente las mismas condiciones. Entonces,¿cómo puede hablarse de Ciencia Física?

Sencillo. Al ver la imposibilidad de acertar predicciones, los Físicos intentaronestudiar estadísticamente los experimentos, y finalmente notaron que habíacomportamientos más probables que otros. A nivel de porcentajes de ocurrencia,

10

SÍ SE PODÍAN PREDECIR RESULTADOS. Por esto, la ecuación de Schrödingerfunciona si se interpreta de manera estadística.

PLANTEAMIENTO

Así pues, la interpretación estadística es suponer que la partícula en cuestión seestá representando con una función de onda cuyo significado será, de algunaforma, estadístico. Aquí el detalle sutil: LA PROBABILIDAD DE ENCONTRARUNA PARTÍCULA EN UN ESPACIO DADO ES IGUAL A LA NORMA DE LAFUNCIÓN DE ONDA AL CUADRADO, INTEGRADA EN EL INTERVALOESPACIAL MENCIONADO. Esto no resulta claro a primera vista, pero quizá enlos siguientes párrafos se dilucide.

Ahora bien, la ecuación de Schrödinger se aplicará sobre una función de onda tiposenos y cosenos…este tipo de funciones tienen su forma más general en:

])[exp(),(),( wtrkitrAtr (1)

Donde el número “i” es la base de los números imaginarios, la raíz cuadrada de -1,y la función de onda (psi) depende del vector de posición r y el tiempo t, por loque, en caso general, suponemos que así mismo ocurre con su parte exponencialy la amplitud A. Es importante que el estudiante recuerde que las exponencialescomplejas se pueden expandir mediante la Identidad de Euler1 (propiedadmatemática que se deduce a partir de la definición formal de exponencial,senoidales y cosenoidales) de la siguiente forma:

)()cos(])[exp( wtrkisenwtrkwtrki

(2)

Y entonces es evidente que la ecuación ondulatoria de Schrödinger tiene sentidocon este tipo de funciones. Ahora, si restringimos el conjunto de funciones deonda a aquellas cuya amplitud no varíe, A = constante hace que la derivadatemporal y la derivada espacial cumplan, teniendo en cuenta un casounidimensional (por simplicidad):

),(),(2

22 tx

xtx

ti

Si se escoge correctamente k y w. ¿Es esta escogencia arbitraria? NO.Realmente, teniendo en cuenta la forma (1) con A constante, y la identidad (2),resulta que una función de ONDA ESTACIONARIA puede ser descrita

1 Respecto a esto se sugiere que se consulte un buen libro de matemáticas, que contenga, claro, seriesinfinitas. A partir de las definiciones en forma de serie infinita es sencillo entender la identidad de Euler

11

especificando los números k y w, que para cualquier onda estacionaria estánrelacionados de una manera bien definida, y que representan conceptos físicos.Entonces:

k: Número de Ondaw: Frecuencia Angular

De manera que k y w guardarán una relación intrínseca. A partir de esta relación,es que podemos decir:

),(),( 2 txx

txt

i

Siempre y cuando la función de onda sea una onda estacionaria. El valorconstante que se representa como una h más una barra cruzada es llamado “hbarra” y es igual a una constante h dividida entre dos veces el número pi.

2h

Y, como el estudiante imaginará, esta h SÍ TIENE UN SIGNIFICADO FÍSICO biendefinido, particular y explícito: es la constante de proporción entre la energíamínima que una onda de luz puede transmitir y la frecuencia de ésta luz.

Más tarde se entenderá mejor el significado de “h” y se abordará con detalle elfenómeno de la luz y su interacción con el medio.

Retomando el hecho de que, para ondas estacionarias:

),(),(2

22 tx

xtx

ti

Extenderemos este resultado a tres dimensiones:

),(),( 2 txtxt

i

Donde el triángulo representa el Laplaciano kz

jy

ix

ˆˆˆ2

, y no es

más un operador que sólo pretende significar que se hace la segunda derivadacon respecto a cada eje de coordenadas y luego se suman los resultados. Estaecuación no sólo es válida para ondas estacionarias, pero el nivel de un curso de

12

pregrado en Ingeniería no permite ahondar más en su razón de ser, por lo quesimplemente se consignará la siguiente definición y ecuación:

Toda partícula, sin entrar en consideraciones de spín2, puede ser descrita por unafunción de onda ψ(r,t) que cumple la ecuación de Schrödinger:

),(),( tritrt

Donde el cuadrado de la función de onda representa una función de densidad deprobabilidad.

Y la ecuación de Schr. (desde ahora utilizaremos esta sigla) se usará en elsiguiente capítulo al encontrar la solución más simple de mecánica cuántica, confines ilustrativos.

1.1.3 Principio de Equivalencia.

ACLARACIONES FUNDAMENTALES

Primero que nada, es necesario aclarar que en Relatividad General existe unPrincipio de Equivalencia fundamental que NO ES EL QUE SE EXPLICARÁ ACONTINUCACIÓN, YA QUE EL NOMBRE DE ESTA LECCIÓN ES SÓLO UNAFORMA EFICIENTE Y RÁPIDA DE RESUMIR EL PROPÓSITO DE ELLA.

Teniendo en cuenta esto, enunciamos el propósito de la lección, que es respondera esta pregunta:

¿Cómo puede ser coherente la mecánica cuántica con el mundomacroscópico cotidiano?

Esta respuesta es análoga a una pregunta que suele hacerse en relatividadespecial:

¿Cómo puede ser coherente la relatividad especial con el mundo cotidiano?

La razón de esta última (como introducción a la pregunta en negrilla, que es la quenos interesa), es que los efectos de la relatividad no son importantes si la

2 Para definición y manejo de Saín remitirse a un libro básico en conceptos de Mecánica Cuántica. Por ahorase dirá que es una propiedad fundamental de toda partícula, que tiene que ver con cómo se comporta encolisiones , órbitas y otros fenómenos.

13

velocidad de los objetos y fenómenos es muy pequeña comparada con la de laluz.

Por ejemplo, si se viaja a una velocidad igual al 80% de la velocidad de la luz, ladilatación del tiempo experimentada al viajar equivale a que, por cada 10 minutostranscurridos para observadores inmóviles, transcurren sólo 6 minutos para elviajero. El problema es que el 80% de la velocidad de la luz ¡son 240.000 km/s!!!Esta velocidad no ha sido siquiera remotamente alcanzada. Se recuerda que unavión supersónico maneja velocidades sólo alrededor de Match3, que equivaleaproximadamente a 1km/s, 240.000 veces menos que el ejemplo.

¿CÓMO SE HACE COHERENTE LA MECÁNICA CUÁNTICA CON EL MUNDOMACROSCÓPICO COTIDIANO?

La razón se encuentra en la dualidad onda-partícula de la materia, propuesta porLouis De Broglie: el que a cada partícula se le asigna una onda, y las propiedadesde éstas definen su comportamiento cuántico.

Ahora bien, la relación entre comportamiento y números ondulatorios es bastantesencilla: simplemente ha de considerarse la frecuencia de la onda asociada,debido a la siguiente característica fenomenológica:

Cualquier onda de frecuencia suficientemente alta, puede tener unaoscilación tan rápida que sus interacciones con el universos no tenganefectos ondulatorios observables: por ejemplo, una mano que golpea unapared de manera ondulatoria, pero cuya frecuencia es más alta que lavelocidad de captura del ojo humano, no se verá como un objeto enmovimiento sino como un objeto estático (si la frecuencia es apropiada).

Y esto es válido para otros fenómenos físicos diferentes a la visión. Como otroejemplo, la propia luz que recibimos es una onda, pero resulta imposible que el ojola aprecie como un fenómenos en el que le “llega o no le llega energía”, sino comoun continuo de partículas. Aún más: piénsese que si un resorte es presionado poruna fuerza que oscila de forma sinusoidal pero de manera tremendamenterápida, el resorte no tiene tiempo suficiente para volver a (o salir de) su posiciónde equilibrio en los intervalos de fuerza negativa. Como último ejemplo, ELPROPIO CONDENSADOR FUNCIONA ASÍ EN UN CIRCUITO CONVERTIDORDE VOLTAJE AC EN DC: SE ESCOGE EL VALOR DE LA CAPACITANCIA DEMANERA QUE SU TAO SEA TAL QUE NO PUEDE SEGUIR SU PROCESO DEDESCARGA, DEJANDO PASAR UN VOLTAJE CONSTANTE.

Si se entiende la validez de los anteriores ejemplos simples, es posiblecomprender que una alta frecuencia de la Onda de De Broglie nos hace ver laonda como un proceso continuo, como una partícula u objeto discreto conpropiedades definidas.

14

Ahora, ¿cómo se halla la frecuencia de una onda asociada a tal objeto? DeBroglie encontró que la onda que describe el estado de un objeto tiene que estarrelacionada de esa forma:

Energía del objeto = h*frecuenciaMomento del objeto = h*k/2*3,141592…

Es decir, la energía es proporcional a la frecuencia por el factor h, que es llamadoCONSTANTE DE PLANCK, y que ya mencionamos anteriormente, mientrasque el momento del objeto es proporcional al vector de onda “k”, mediante laconstante de proporción h/(2π), el “h barra” que también se mencionó.

A partir de las dos relaciones de energía y momento, entonces queda claro que:

p

h (1.3.1)

Lo que entrega la respuesta que necesitábamos, ya que Altas Frecuenciascorresponden a Longitudes de onda Cortas, y precisamente este es caso, sitenemos en cuenta que

h = 6.62618 x 10-34 Joule · Segundo

De manera formal, podemos resumir todo lo anterior en un párrafo:

La constante de Planck tiene un valor tan bajo que en el mundomicroscópico de partículas la longitud de onda producida por los momentosde dichas partículas (mediante ecuación 1.3.1) es lo suficientemente grande(frecuencia suficientemente baja de la onda asociada) como para que seaobservable mediante efectos físicos. En cambio, en mundo macroscópico,los valores de momento de objetos multimoleculares son demasiadograndes (comparados con el caso anterior), y las longitudes asociadas aestos fenómenos son demasiado cortas (frecuencias altas de las ondasasociadas).

Como ejemplo, supóngase una pelota lenta, de masa 100gr y velocidad 0,1 metrospor segundos, comparada con un electrón a 0,5 veces la velocidad de la luz.

MOMENTO PELOTA: (0,1 Kg) * (0,1 m/s ) = 1 x 10-2 Kg·m/sMOMENTO ELECTRÓN: (9,1x10-31 Kg) * (3x108 m/s) = 2,7 x 10-22 Kg·m/s

Donde se observa la diferencia de 20 órdenes de magnitud entre los dosmomentos analizados.

15

1.2 POZOS Y BARRERAS DE POTENCIAL

INTRODUCCIÓN

EN esta sección se intentará esbozar los ejemplos ilustrativos iniciales de lamecánica cuántica, para que el estudiante se vaya familiarizando con cierto tipo degráficas y funciones que serán utilizados posteriormente (de manera más sencilla)en el tratamiento de la física de los Semiconductores.

Cuando se examina el movimiento de una partícula, es posible generalizar éstecomo el resultado de la acción de diversas fuerzas. Como las fuerzasconservativas son realmente las de importancia a escala microscópica y estasfuerzas pueden asociarse a potenciales, tenemos que el movimiento de laspartículas puede ser determinado por la forma e intensidad de los potenciales queexperimenta.

En Mecánica Cuántica la primera aproximación al tratamiento de partículassometidas a fuerza son los diagramas unidimensionales de potencial, porsimplicidad. El caso práctico más sencillo (y quizá más relevante en términos deelectrónica) podría ser el potencial que un electrón experimenta en presencia deun núcleo atómico. Sin embargo, ocurre que la forma de este potencial esmatemáticamente compleja, debido a que la fuerza electromagnética en sí mismadepende de las distancias de separación y las velocidades, por un lado; y por elotro la distribución de cargas dentro de un núcleo atómico realmente NO esuniforme (el modelo representativo puntual es sólo una aproximación, bastanteburda pero a veces útil).

Por todo lo anterior, el primer tema a tratar en un estudio conceptual de funcionesde onda, potenciales, movimientos, átomos y mecánica cuántica, esnecesariamente una simplificación de potenciales realmente existente. Desde lamatemática, se encuentra indicado iniciar con unos niveles de potencialconstantes en un intervalo y cero fuera de él.

1.2.1 Potencial infinito y escalón. Relación con los pozos de potencial

Esta sección será una de las más largas de toda la unidad, debido a que no sólose analiza el caso particular de los potenciales infinitos y escalones, sino que seexpone el sustento matemático de estos métodos; y de hecho la mayor parte del

16

contenido que se tratará aquí será utilizado por las siguientes lecciones, demanera que lo extenso de ésta redundará en una reducción de la longitud deposteriores secciones.

INTRODUCCIÓN

Las barreras y los pozos de potencial simplemente representan la situación en queuna partícula libre (que no experimenta ningún potencial) se ve sometida a laacción de una fuerza en un rango determinado. Un potencial positivo representauna fuerza repulsiva, mientras que un potencial negativo representa una fuerzaatractiva.

El asunto de si es o no válido decir que una fuerza actúa SÓLO en un determinadorango tiene que ver con la forma matemática de la SUMATORIA DE EFECTOSDINÄMICOS: es decir, no basta con conocer la forma matemática de la fuerza,sino si ésta es la única realmente presente, o si algún efecto referente a la historiacinemática (qué estado de movimiento tenía la partícula antes de experimentar lafuerza) podría alterar la manera como la partícula responde a la fuerza neta sobreella.

Finalmente, aquí asumiremos que en algunos casos el modelo de barreras ypozos es una aproximación suficientemente exacta.

Consideremos primero las gráficas que corresponden a cada caso:

17

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Figura 7. Típica barrera de potencial positivo

18

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-1

-0.9

-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

Figura 8 Barrera de potencial negativo, equivalente aun pozo de potencial

Dejando esto totalmente claro, se puede ahora pasar a tratar de entender cómoarticula la ecuación de Schrödinger una solución para casos en los que existe unpotencial infinitamente grande o un escalón positivo.

19

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Figura 9 Escalón de potencial. Corresponde a un caso en que la región de acción se extiendeinfinitamente en una dirección.

En la figura 7 identificamos un potencial positivo, mientras que en la 8 es claro queel potencial en mención es negativo (la magnitud del potencial se haestandarizado a 1 por simplicidad; la escala de longitud del eje X tampoco esrelevante para la explicación conceptual). Como resulta evidente, es más fácilhablar en términos de “barrera” y “pozo”, ya que con esto queda especificado elsigno del potencial y la forma de la gráfica.

En cuanto la figura 9, analizamos una barrera que cubre infinitos rangos delongitud. Esta barrera es realmente correspondiente a la función matemática“Escalón”, así que es conveniente llamar a la situación ESCALÓN DEPOTENCIAL. Los escalones también puedes ser negativos o de forma inversa (ysiguen siendo escalones), como puede verse en estas figuras:

20

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-1

-0.9

-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

Figura 10. Escalón de potencial negativo

21

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-1

-0.9

-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

Figura 11. Escalón de potencial negativo en los valores negativos de x

22

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Figura 12. Escalón de potencial positivo en los valores negativos de x

Donde vemos que en el caso de las figuras 11 y 12 es necesario especificar haciaqué valores del eje espacial observamos la presencia del potencial. También sepuede decir “Un escalón de potencial en el eje positivo/negativo de las x (o de lacoordenada espacial)”, pero en este caso resultaría más práctico colocar el marcode referencia en el punto de discontinuidad. Esto quiere decir que la forma usualde escribir un escalón de potencial es así:

23

-500 -400 .300 .200 -100 0 100 200 300 400 500-1

-0.9

-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

Figura 13. Escalón de potencial de la figura 9 después del ajuste de coordenadas que usualmentese realiza para encarar mejor el problema

SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER PARA ESCALÓN DEPOTENCIAL

Como la función de onda que representa el movimiento de la partícula a estudiardebe depender de su energía, podemos tratar de evadir la solución de la evolucióntemporal separando la ecuación de SCH (se abreviará de ahora en adelante elnombre de esta manera), ya que la Energía será para nosotros simplemente unparámetro conocido que obtenemos respecto a una partícula que vienedesplazándose desde el espacio libre. Observemos una gráfica explicativa de lasituación inicial del problema:

24

Figura 14. Partícula libre en el medio descrito por el escalón de potencial.

La energía de la partícula puede tener diferentes valores (es un simple parámetro),pero en todo caso está relacionada con su masa y su velocidad. La ecuación deSCH en ausencia de potencial:

),(),( 2 txtxt

i

Conviene sea separada de manera que se encuentre una ecuación que involucrea la función de onda pero NO dependa del tiempo, pues entonces desaparece unaderivada (la del lado izquierdo), y nos quedamos con una ecuación mucho másfácil de solucionar. Específicamente, si la onda solución es estacionaria:

)/exp()(),( iEtxtx

Y, de hecho, la anterior condición permite separar la ecuación diferencialrespecto a sus dos variables, x y t. Recapitulemos el procedimiento:

1. Es más fácil resolver el problema si se pudiera separar la ecuación en parteespacial y parte temporal, porque así es más fácil encontrar la función deonda ),( tx

25

2. Si la onda es estacionaria, la forma matemática de ),( tx es tal que lateoría de Ecuaciones Diferenciales específica que la Ecuación SÍ ESSEPARABLE.

3. Como conclusión, una función de onda estacionaria permite hallar confacilidad la Función de Onda que nos permitirá conocer el estadocinemático y dinámico de la partícula en presencia del escalón de potencial.

Es por eso que el siguiente principio físico, que no se demostrará o enunciará contoda la formalidad matemático-física del caso pero que en la aproximación que sedará es suficiente para brindar un marco conceptual para posteriores análisis, esradicalmente importante:

“Una función de onda estacionaria está asociada a una partícula en unestado estable”

Ahora, el concepto de estabilidad en Mecánica Cuántica requiere una enunciaciónmuy cuidadosa, que será examinada posteriormente. Por ahora nosconformaremos con concluir que nuestro método de solución, basado en analizarsólo el aspecto espacial de la ecuación de onda, NOS ENTREGARÁ COMORESULTADO LAS FUNCIONES DE ONDA ESTABLES DEL SISTEMA.

A partir de la teoría de Ecuaciones Diferenciales se llega a la ECUACIÓN DE SCHINDEPENDIENTE DEL TIEMPO:

)()(2

)(2

xxVm

xE

(1.2.1.1)

Donde m es la masa y E la energía, ambas cosas respecto a la partícula. V(x) esel potencial presente en la región de análisis, y se incluye sin ningún problema,simplemente añadiéndolo al Laplaciano, ya que hemos supuesto que el potencialno depende del tiempo, sino sólo de x. Si el potencial fuera variable en eltiempo, tendría que suponerse que éste potencial fuera separable en las variablesx y t.

Formalmente se escribe de una manera mucho más sintética de esta forma:

ExxVm

xE

ˆ)()(

2)(

2 (1.2.1.2)

Y para resolverla, resolvemos la ecuación de SCH en dos diferentes subespacios:

26

Figura 15. Las dos regiones a analizar

En la región 1 el potencial es cero, y entonces la ecuación 1.2.1.2 se reduce adecir “La segunda derivada de la Función es igual a La función multiplicada poruna constante”. Este es uno de los casos más simples de ecuacionesdiferenciales, de manera que la solución será:

)exp()exp()(1 ikxBikxAx (1.2.1.3)

Donde k es la raíz cuadrada de lo que acompaña a la función en el lado derechode la ecuación ya despejada (el resultado típico y simple de Ecuacionesdiferenciales que fue mencionado):

)(2

)(22

2

xmE

xdx

d

(1.2.1.4)

Es decir,

mEk

2 (1.2.1.5)

27

Las constantes A y B se encuentran mediante comprobación de condiciones en lafrontera entre regiones 1-2 que son necesarias para poder usar la función de ondacomo representación de un estado físico.

Para la región 2, sí existe potencial. La ventaja es que, al ser un potencialconstante, la ecuación 2.1.1.4es prácticamente igual a la que se produce en estecaso:

)()(2

)(22

2

xVEm

xdx

d

(1.2.1.6)

Produciendo dos tipos de soluciones para cada uno de estos casos:

1. Energía de la partícula mayor que el potencial2. Energía de la partícula menor que el potencial

Figura 16. La energía de la partícula se suele representar en los diagramas de potencial mediantelíneas rectas

28

Por ejemplo, en la figura 16 se observa una línea roja que identifica una partículacon energía mayor que el potencial de la fuerza repulsiva que experimenta,mientras que la línea amarilla representa una partícula con energía menor.

Como el término E - V en la ecuación 1.2.1.6 cambia de signo según sea uno deestos dos casos, entonces tenemos:

CASO 1. Energía Mayor

)exp()exp()(2 xiBxiAx (1.2.1.3)

CASO 2. Energía Menor

)exp()exp()(2 xDxCx (1.2.1.7)

Donde, para la ecuación 1.2.1.7, “alfa” es también obtenida de la ecuaciónfundamental, mientras que C y D tienen que ver con las condiciones de frontera acumplir. También es importante notar que estos A y B no tienen necesariamenteque ser iguales a los A y B de la zona 1 de análisis.

)(2 EVm

Las condiciones de frontera son:

1. La función de onda debe estar definida y ser continua en todo punto delespacio. De otro modo, no podría identificarse como una función dedensidad de probabilidad

2. Su derivada espacial debe también estar definida y ser continua, ya que sesupone que la segunda derivada existe.

3. También debe existir la derivada temporal, en todo momento.

Sin embargo, aún existen otras condiciones que debes satisfacerse para tener unafunción de densidad de probabilidad. Esto es, la función de densidad deprobabilidad no debe ser infinita en ningún punto, sino más bien tender a 0 en elinfinito, ya que cualquier función de densidad es tal que:

econvergentdxxf )( (1.2.1.8)

29

A partir de esto, es posible resolver el sistema de ecuaciones que hemosplanteado, si tenemos en cuenta que el punto de inflexión de la función de onda esdonde debemos plantear y resolver el sistema de educaciones:

-500 -400 .300 .200 -100 0 100 200 300 400 500-1

-0.9

-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

Figura 17. Escalón de potencial estandarizado.

Aplicando las condiciones en la frontera (se recomienda que el estudiante loverifique), se obtiene que los valores de las funciones de onda que conforman lasolución son:

)exp()exp()(1 ikxik

ikikxAx

(1.2.1.9)

)exp(

2)(2 x

ik

ikAx

(1.2.1.10)

Con A como una constante que respeta 1.2.1.8 y además la siguientenormalización, que proviene también del concepto de función de densidad deprobabilidad (recuérdese que una probabilidad es un número entre 0 y 1, pordefinición):

30

1)()(* dxxx (1.2.1.10)

Donde el asterisco quiere decir “complejo conjugado”, ya que la norma de unafunción compleja es el resultado de multiplicar el complejo conjugado de la funciónpor ella misma y sacar raíz cuadrada a este término Real.

A partir de todo lo anterior, se conoce la probabilidad de que una partícula seencuentre en el intervalo (por ejemplo) que va desde 0 hasta x:

x x

dxxxdxxxob0 0

2)()(*)()0(Pr Número

Ya que la función de onda es bien conocida.

Como el objeto de este curso es entender la física de los semiconductores desdeuna perspectiva de Ingeniería, no es necesario realizar más aclaraciones respectoa los detalles de la derivación, que es sólo una muestra de cómo puede hacerseun cálculo en Mecánica Cuántica (para este ejemplo se escogió, de hecho, el mássimple de los cálculos posibles con el más simple de los ejemplos deutilidad, de modo que el estudiante pueda entender y extrapolar la idea a otroscontextos).

En el caso de “Potencial Infinito”, simplemente el número “alfa” será un valorinfinito, de manera que la función de onda en la zona 2 cae a 0 desde el inicio.Cabe anotar que los potenciales infinitos puede corresponderse a, por ejemplos,soluciones de situaciones reales en las que una partícula (por ejemplo, unelectrón) tiene una energía miles o decenas de miles de veces menor que elpotencial repulsivo que experimenta.

Finalmente, en la figura 18 se observa la gráfica de norma de la función de onda(rojo) superpuesta a la gráfica del escalón de potencial (azul), de una maneraaproximada y en el caso en que la Energía de la partícula es menor que elpotencial repulsivo que se le impone. En verde se señala el punto en el que, apesar de que el potencial de la fuerza es discontinuo, la función de onda siguesiendo continua.

31

Figura 18. Comportamiento de la norma de la Función de Onda ante el escalón de potencial. Enverde se resalta que la función de onda es continua.

Dos puntos es imperioso mencionar:

Aunque la función de onda parece tener “zonas prohibidas” donde laprobabilidad es cero o casi cero, la realidad es que una función de ondarealmente es una función del tiempo, por lo que los espacios posibles a laizquierda del potencial no tienen probabilidad completamente constante deser ocupados por la partícula: su probabilidad cambia con el tiempo.

En mecánica clásica, cualquier partícula que tenga energía menor que unpotencial repulsivo simplemente rebotará contra la barrera de potencial quese le impone. La mecánica cuántica, en cambio, establece que unapartícula de energía menor que una barrera de potencial repulsivo quela bloquea SÍ TIENE UNA PROBABILIDAD DE PENETRARLA, AUNQUEPUEDA SER BAJA.

1.2.2 Barrera de potencial. Pozo infinito y finito

En esta sección se utilizan todos los resultados de la sección anterior. Para labarrera de potencial, la función de onda tiene un comportamiento que puedevisualizarse aproximadamente de la siguiente forma:

32

Figura 19. Comportamiento de la Barrera de potencial. Tomado de www.wikimedia.org

Básicamente la Figura 19 significa que existe una probabilidad de atravesar unabarrera de potencial más alta que la energía disponible (un resultado francamenteen contra del concepto Clásico). Este fenómeno es conocido como EFECTOTÚNEL, y es la base de la operación de algunos dispositivos, tales como elMicroscopio que lleva su nombre.

La solución de la ecuación se basa simplemente en los pasos anteriormentedetallados. Para mayor claridad, se resumen de nuevo:

1. Incluir en el Hamiltoniano el potencial respectivo.

2. Para primeras aproximaciones, afrontar sólo la parte Espacial de laEcuación de SCH.

3. Encontrar la Ecuación Diferencial Equivalente.

33

4. Resolverla; esto equivale a hallar los valores de las constantes que seencuentran en las exponenciales, que SIEMPRE son función de la energíaincidente y la energía de la barrera.

5. Trasladar el origen del sistema de coordenadas (para poder realizarrápidamente el paso 6).

6. Aplicar las condiciones de continuidad en los dos puntos de la barreradonde el potencial de discontinuo: así se obtienen las condiciones de lasconstantes.

7. Verificar las condiciones de Normalización de la Función de Onda.

Tanto para una barrera como para un pozo de potencial, se deben haber definidotres zonas claramente:

Figura 20. Pozo de potencial y sus zonas relevantes

Lo que simplemente quiere decir que la partícula se encuentra ante un potencialatractivo. A la luz de lo anterior, el resultado de solucionar la ecuación de SCHcorrespondiente se resume en:

34

Figura 21. Comportamiento de la función de onda en una caja de potencial.

Es decir, aunque una caja de potencial mayor que la energía de la partícula SÍCONFINA LA PARTÍCULA, no es posible restringir absolutamente su movimiento:sólo limitarlo. Esta tipo de inseguridades son comunes en la mecánica cuántica,debido a que la NATURALEZA MISMA de la Mecánica Cuántica está relacionadaintrínsecamente con la no certeza (Principio de Incertidumbre de Heisenberg). Dehecho, la definición de la diferencia de la Mecánica Cuántica con la MecánicaClásica es que “La mecánica cuántica incluye el principio de incertidumbre”,y la clásica no3.

De nuevo, EN EL CASO DE UN POZO INFINITO, LA PARTÍCULA ESTÁPERFECTAMENTE CONFINADA Y LA SITUACIÓN ES LA PREDICHACLÁSICAMENTE. Qué tanto el potencial real en análisis sea realmenteinfinito, define qué tanto es válida una aproximación clásica, que no manejefunciones de onda ni tenga en cuenta efectos túnel.

1.2.2.3 Barreras de potencial y estudio de caso: Molécula de Amoníaco

La siguiente es una ilustración a cómo una situación real es modelada por laMecánica Cuántica.

3 Sin embargo, es conveniente anotar que existe una definición ampliada de Mecánica Clásica en la que secomplementa el anterior enunciado, así: “La mecánica Clásica es aquella que no tiene en cuenta ni elprincipio de incertidumbre ni efectos relativistas (velocidades cercanas a la de la luz)”

35

La molécula de Amoníaco es NH3, lo que significa que tiene tres átomos dehidrógeno y un átomo de Nitrógeno. Los enlaces, como se ve en bachillerato,pueden ser —en general— covalentes o iónicos, principalmente; en la molécula deAmoníaco lo importante es la forma de esta molécula: una pirámide triangular.

La pirámide triangular es un poliedro cuyas caras son triángulos:

Figura 22. Pirámide triangular o tetraedro, en una vista superior. Tomado dewww.gaussianos.com

Figura 23. Posible lista lateral de la anterior. Tomado de la página de la Universidad Politécnica deCataluña

36

De manera que un gráfico que incluya los átomos de la molécula de Amoníacopuede ser este:

Figura 24. Esquematización de la ubicación de cada uno de los tres átomos de hidrógeno y el denitrógeno dentro de la estructura de la molécula de Amoníaco. Recordar que en el gráfico hay una

perspectiva presente.

La figura 24 es una representación bastante exacta: sólo con esta geometría elAmoníaco podría ser una estructura estable, así que es realmente ésta la formaque la naturaleza adopta. Notar que el hecho de que los triángulos seanequiláteros obliga a que haya simetría en los ángulos existentes entre las líneasque unen un átomo con otro (indicadores de trayectorias de enlace)

Ahora, para entender cómo la molécula de Amoníaco puede —conservando partede la simetría para permitir cierta estabilidad— oscilar de algún modo, sería demucha ayuda si fuésemos capaces de aplicar mecánica cuántica y encontrar unafunción de onda asociada a este movimiento.

Analizar el comportamiento de la molécula puede corresponder a analizar elmovimiento de:

a.) Los tres átomos de hidrógeno, como si fueran una entidad rígida, ya que lasimetría entre ellos puede que se conserve y la figura que forman entre sí(triángulo equilátero) nunca cambie.

b.) El átomo de Nitrógeno.

Realmente, si tenemos en cuenta que obviamente el movimiento absoluto no esinteresante (la molécula en realidad de todas maneras está fluctuando de muchasformas y desplazándose constantemente), sino más bien el relativo, podemos

37

plantear el problema en términos del Movimiento del Nitrógeno CON RESPECTOal plano conformado por los tres hidrógenos, o viceversa. Entonces podemoshablar de este sistema de coordenadas:

Figura 25. Eje de coordenadas seleccionado por conveniencia, a sabiendas de la estructura quetendrá el planteamiento de la Ecuación de SCH

Entonces, el V(y) relacionado con las fuerzas interatómicas tiene una dependenciacon la distancia que se extrae de la naturaleza de las fuerzas interatómicas: lasfuerzas electromagnéticas entre un átomo y otro. Claramente, V(y) será mayor entanto más negativo sea y, para luego decrecer a medida que se aleje de losátomos de Hidrógeno.

Por supuesto, también podemos pensar en que el sistema de coordenadas es otroque funcione de la anterior manera para valores positivos de y:

38

Figura 26. Otro sistema de coordenadas

Finalmente, suponemos que el átomo de Nitrógeno quizá pueda oscilar de lasiguiente forma:

39

Figura 27. Posible oscilación del N, entre la posición en A y la posición B; ambas son vértice de untetraedro (pirámide triangular), así que ambas son estables.

Ya que las posiciones finales (en un vértice de la pirámide) son estables. Estasuposición tiene ciertas prohibiciones clásicas que se ven cuando se examina laforma del potencial. A la vista de esta posible oscilación, lo mejor es colocar elorigen del eje de coordenadas en la base del tetraedro:

40

Figura 28. SISTEMA DE COORDENADAS FINAL ESCOGIDO PARA EL ANÁLISIS DE LAPOSIBLE OSCILACIÓN

Entonces el potencial electromagnético, ya que se sabe que normalmente elAmoníaco haya estabilidad en la configuración de un tetraedro, tiene unaforma que se puede representar así:

Figura 29. Gráfica del potencial electromagnético entre los hidrógenos y el Nitrógeno, asociado alas fuerzas interatómicas. Este comportamiento no es simplemente el de una fuerza atractiva orepulsiva: la región en azul representa la barrera de potencial repulsiva, mientras que las zonas

amarillas son zonas estables.

En la figura 29, ¿cuáles son las zonas estables? Por supuesto, las que tengan elmínimo de energía potencial. Corresponden a los puntos mínimos encerrados encírculos rojos. Si a la altura de la pirámide le llamamos h, la gráfica completa es:

41

Figura 30. Potencial de fuerzas interatómicas y puntos estables en la molécula de amoníaco.

Donde los puntos rojos son los puntos estables. Si necesidad de resolver el casoparticular exacto, se puede aproximar este potencial una suma de los casosbarrera de potencial y pozo de potencial:

Figura 31. Modelo de pozos y barreras de potencial superpuesto al real.

42

Figura 32. Modelo esquemático de pozos y barreras de potencial

Así que es posible proceder de una manera aproximada con análisis análogos alas anteriores secciones. De hecho, la conclusión de la posibilidad delEFECTO TÚNEL, hace que se pueda decir que sí existe una oscilación.

Especificando las zonas de interés:

43

Figura 33. Zonas de interés

Se ve que la solución de este problema es exactamente juntar las soluciones debarreras y pozos de potencial. Las zonas 1 y 5 finalmente se pueden tratar comode energía infinita, por tener una probabilidad de penetración muy baja adistancias mensurables, pero la zona 3 es definitivamente lo suficientemente bajacomo para que ciertos estados energéticos puedan tener una probabilidad deatravesarla. Las ecuaciones son las mismas que fueron analizadas anteriormente.

Aunque el tratamiento matemático de la molécula de Amoníaco es un pococomplejo, con la exposición meramente conceptual pero cercana al procesomatemático, el estudiante puede tener una idea del enfoque con que se puedeafrontar problemas de este tipo. De hecho, muchas de las conclusiones que seobtienen a partir del modelo “rectangular” de pozos y barreras para lamolécula de Amoníaco son CIERTAS. Los experimentos lo hancomprobado.

Una de las conclusiones más importantes del la resolución de la ecuación deSCH modelada con un potencial rectangular es que existen dos nivelesprincipales de energía posible para la Energía, que en realidad correspondencada uno a dos niveles de energía muy cercanos, si se examina másdetenidamente el espectro.

44

Como nota final, se enuncia que para poder hallar el valor esperado de unavariable observada a partir de la función de onda encontrada, se usa el siguientemétodo operativo:

)()(*int

xObservablexObservableervableadodeunObsValorEsperervalo

Esto es, que el valor esperado de un observable es igual a la integral de elconjugado de la función de onda por el observable por la función de onda,evaluado sobre el intervalo que quiere tomarse para hallar el valor esperado (éstepuede ser el infinito, para hallar un valor esperado total).

Como las fluctuaciones son aleatorias y gobernadas por el principio deincertidumbre, sólo podemos hablar del valor esperado y del resultado concretoobtenido en una medición, pero no podríamos predecir con exactitud qué resultadotendremos, hacia futuro. En otras palabras, no se puede hacer qué valorenergético tendrá una molécula de NH3 que no conocemos, pero sí podemos decirqué valores son posibles, y con qué probabilidad: esto quiere decir que, sitenemos un grupo de un millón de moléculas de NH3, es muy posible que SÍpodamos predecir en qué proporción se presentan los resultados de energía.Una predicción estadística.

1.3 APROXIMACIÓN AL COMPORTAMIENTO CUÁNTICO DESEMICONDUCTORES

1.3.1 Fenomenología Eléctrica de Semiconductores

Un semiconductor tiene la posibilidad de comportarse como aislante o conductor,en principio. Los límites de cuando se comporta en uno u otro caso están definidopor una multitud de factores.

En este capítulo se tratará de abordar la caracterización de semiconductoresdesde diferentes puntos de vista; una de las definiciones más exactas, dada por J.P. McKelvey, es (no se consigna textualmente):

“Un semiconductor es una sustancia cristalina cuyos electrones tienen un intervalode energía (Banda de Energía) prohibida, que no pueden ocupar, entre su región

45

energética de valencia y la región energética de conducción, siendo posible quesus electrones salten de una a otra región”

En términos de teoría de bandas, se diría simplemente que existe una bandaangosta prohibida entre las bandas de valencia y conducción, pero estaterminología aún no nos es familiar. Durante el desarrollo de este capítulo se haráclaridad sobre esto.

Un semiconductor presenta diferente comportamiento eléctrico (aislante oconductor) dependiendo de:

1. Temperatura.

2. Nivel de voltaje al que se haya sometido.

3. Cantidad de impurezas que lo conforman.

4. Tipo de impurezas que lo conforman.

5. Estructura cristalina.

6. Estructura macroscópica, si es que está conformado por un arreglo demateriales.

De lo anterior, un semiconductor podría dejar de comportarse como aislante parapaulatinamente conducir más y más corriente si un voltaje aplicado sobre él varíade la manera correcta, suponiendo que sus impurezas y estructura general lo hanpreparado para ello. Éste es una de las manipulaciones más comunes enIngeniería. Junto con ésta, también aparece el efecto de AUMENTO de laconductividad al incrementarse la temperatura del material como un fenómeno útilen multitud de sistemas usados en Ingeniería.

El por qué los semiconductores responden de las formas anteriormente descritasestá directamente relacionado con la Teoría de Bandas mencionadaanteriormente. En el caso de la respuesta a cambios de temperaturas, la relacióndirecta se debe a que la temperatura es simplemente el aumento de energíacinética molecular y electrónica, por lo que una mayor temperatura trae comoconsecuencia una mucha mayor probabilidad de salto de electrones desde labanda de valencia a la de conducción.

Entender los mecanismos físicos que permiten los efectos semiconductoresrequiere, como mínimo, comprender la estructura de la materia. La siguientelección se refiere a esto.

46

1.3.2. Estructura atómica e iones

INTRODUCCIÓN

Los átomos, constituyentes fundamentales de la materia, están formados por unnúcleo (compuesto de protones y neutrones) cubierto de un cúmulo de nubes deelectrones orbitando alrededor de él en trayectorias no completamente constantesen el tiempo. Cada electrón no tiene una trayectoria definida, pero sí tiene unaREGIÓN de órbitas bien definida. Cada región identifica un Nivel Energético: laúnica forma de que un electrón pase de una región de órbitas permitidas a otra esque cambie su energía.

Adicionalmente a esto, en el modelo de la mecánica cuántica, sabemos que enpresencia de un potencial, todos los niveles Energéticos de una partículaestán cuantizados: esto quiere decir que los niveles posibles son múltiplosenteros de una cantidad determinada. Esto es igualmente válido paramoléculas, átomos y cualquier situación microscópica en la que una o máspartículas experimentan una fuerza, asociada a un potencial, si esto tiene comoefecto estados ligados (estados donde la partícula no tiene completa libertad demovimiento).

De aquí que exista la llamada “BANDA PROHIBIDA” (GAP). Los electrones en unátomo tienen un último nivel de suma importancia para la teoría de enlacesmoleculares: los electrones ubicados en el último nivel energético son losElectrones de Valencia, y son los que son transferidos de un átomo a otro ocompartidos entre los átomos, formando los enlaces que dan estructura a lasmoléculas.

Existen dos tipos de enlaces principales:

- IÓNICOS: Los electrones de un átomo son totalmente atraídos yprácticamente transferidos a otro átomo, víctima de la fuerzaelectromagnética atractiva que ejerce sobre él ese núcleo.

- COVALENTES: Los electrones de un átomo son también atraídos por elotro átomo, pero en este caso no es suficiente la fuerza de atracción yse genera un estado estable orbital para ambos átomos con el mismoúnico electrón. El electrón se dice entonces que es compartido.

Realmente, no son sólo las fuerzas electromagnéticas las que gobiernan losenlaces y fenómenos atómicos. Como se vio en la breve conceptualización deanálisis del Amoníaco, ni siquiera el potencial interatómico tiene una forma simple.Asimismo, se sabe que existe la llamada REGLA DEL OCTETO:

47

“Los enlaces entre átomos tienden a darse de tal manera que cada átomo tienda acompletar 8 electrones en su nivel de valencia, o, si sólo tiene un nivel de energía,2 electrones en su nivel de valencia”.

Otro efecto bastante significativo es que un par de electrones en enlace covalentesiempre tienen su espín antiparalelo al otro. El espín es uno de los númeroscuánticos relevantes. Esto nos lleva a la necesidad de entender ciertos aspectossobre la Mecánica Cuántica en Átomos y Moléculas.

MECÁNICA CUÁNTICA EN ÁTOMOS

Para la ilustración de lo anterior, conviene estudiar el átomo de Hidrógeno: éstetiene sólo un electrón orbitando alrededor de un protón. Por tanto, no es muydifícil describir una versión simplificada del potencial, donde éste siga a la ley deCoulomb con toda exactitud y usemos como distancia R de separación entreelectrón y protón el radio de un supuesta órbita circular. Este modelo es sóloaproximado debido a la existencia de ciertos efectos, de los cuales algunos sonpequeños y otros no tanto:

1. Como el electrón moviéndose corresponde a una corriente eléctrica, lapresencia de un campo magnético lo afecta y altera el potencial.

2. Si existiera un efecto de giro en el electrón, también habría un momentomagnético que interactuaría con la corriente eléctrica conformada por elelectrón girando (de hecho, esto se verá más adelante).

3. Una órbita estable puede ser elíptica: entonces R no sería constante.

La aproximación comentada es suficientemente buena. Entonces el potencial delHamiltoniano que usaremos es:

r

KerV

2

)(

Donde “e” es el valor absoluto de la carga del electrón (o del protón, ya que sucarga es igual: todo átomo natural es eléctricamente neutro) y K es una constanteque ajusta unidades. Usualmente en el Sistema Internacional de Unidades setoma que K=1/(4πε0). Como este potencial no es constante, podemos intuir desdeya que la solución de la Ecuación de SCH no será tan sencilla como la de pozos ybarreras.

De hecho, para resolver la ecuación resultante (la letra griega Miú [μ] representa lamasa reducida: una transformación de las masas de protón y electrón que haceque el término asociado represente la energía cinética total, incluyendo losposibles movimientos del protón):

48

r

eEH

22

2ˆ 1.3.2.1

Es necesario separar de nuevo variables, pero ahora respecto a cada coordenadade análisis (el mejor método a escoger es un sistema de coordenadas esféricas,debido a que el potencial es puramente radial: depende de la distancia al centropero no de en qué dirección esté el electrón). Antes de proseguir es necesarioespecificar en qué consisten los procedimientos descritos:

21

21

mm

mm

Es la masa reducida de la que se habló. La expresión de la energía cinéticausada en el Hamiltoniano es fruto de un análisis puramente matemático y usual.Ahora, la energía potencial tiene la exacta definición que se conoce delelectromagnetismo clásico. Entonces se puede suponer una solución de variablesseparables (ecuaciones diferenciales), identificada como ),,(,, rmln por serrealmente una familia de soluciones (cada solución se diferencia de las otras porlos valores de su tríada n, l, m):

)()()(),,( ,,,, mmllnmln rRr

donde los tres factores multiplicativos corresponden a la solución partida en sustres componentes (cada una dependiente de una coordenada). Nótese que lassoluciones son infinitas: la primera es ),,(0,0,1 r y corresponde a una formamatemática diferente a la siguiente solución. Los números n, l y m son parámetrosdentro de la solución (de ahora en adelante “bautizados” como NúmerosCuánticos), y deben cumplir las siguientes restricciones:

1.) n es un número entero mayor que 0.2.) l es mayor o igual a 0 pero, como máximo, igual a n-1.3.) m es un entero cuyo valor absoluto es, como máximo, igual a l.

Los tres puntos anteriores se desprenden de que, si en las fórmulas que dictancómo se resuelve la ecuación del átomo de hidrógeno se introducen otrosnúmeros que no cumplan 1.), 2.) y 3.), el resultado es una función imposiblefísicamente. Entonces, por ejemplo, NO podemos tener:

),,(2,3,1 r

Pero SÍ podemos tener:

49

),,(500,800,1000 r

Sin embargo, el hecho de que estos números cumplan las restricciones no essuficiente para poder entender qué significan. Como la ecuación de Schrödingerestá basada en leyes físicas, cada Número Cuántico debe tener significado físico.Analizando lo que estas funciones significaban, se entendió a qué se referían;antes de pasar a este punto, primero debemos ver explícitamente las funcionesque son solución de la ecuación.

Uniendo los dos factores direccionales (los que no dependen del radio),encontramos la siguiente solución general dependiente de la dirección(representada con la letra Y en mayúscula:):

con

Por lo que la solución entonces debe escribirse ψ (r,θ,φ) = R ( r ) * Y (θ,φ). Porsupuesto, la forma de R y Y dependen de Números Cuánticos SIEMPRE. La parteradial de la función de onda es:

50

donde

son los polinomios de Laguerre, similares a los polinomios de Legendremencionados anteriormente, con su símbolo Pl

m. Ya conociendo las funcionesque conforman el conjunto de soluciones que satisfacen las leyes físicas querepresenta la Ecuación de Schrödinger, se procede a interpretar estos parámetrosllamados Números Cuánticos. Finalmente se encuentra que:

n representa el número cuántico principal, que da la contribución principal, laenergía base que tiene un electrón girando alrededor del núcleo, y que por elloestá relacionado con el radio de la trayectoria orbital. Se entiende que la órbitaNO es estacionaria: ésta puede cambiar y existir una “región orbital” y no unaórbita exacta definida.

l es el número cuántico de momento angular, que representa qué tanto se puedehablar de un momento angular neto, y en qué dirección, ya que el concepto de“región orbital” hace que sea posible que, si sacamos un promedio de cómo secomporta el momento angular en un intervalo de tiempo, este sea cero. De hecho,l = 0 corresponde a un momento angular cero porque la fluctuación de la órbita esesféricamente simétrica: no hay una dirección o plano sobre el que orbitepreferentemente el electrón, sino que aleatoriamente su órbita cambia de planodescribiendo algo similar a lo que se ve en la figura 34.

Figura 34

m es el número cuántico de ORIENTACIÓN del momento angular con respecto aleje z (escogido como se quiera), así que corresponde a qué tanto del momentoangular se concentra en una sola dirección. Pero, como la dirección de z esarbitraria, puede decirse que la información de m es relevante cuando se

51

comparan momentos angulares, pues para un solo electrón siempre puede decirseque, SI EXISTE MOMENTO ANGULAR (l ≠ 0), la dirección del vector momentoangular se define como el eje Z. Por supuesto, si l = 0, entonces m = 0; no haycomponente en dirección z.

Lo anterior puede revelar su importancia cuando ya se sabe que la energía totaldisponible en el átomo (en los electrones) depende del radio de la órbita Y DELMOMENTO ANGULAR, debido a que éste genera un campo magnético queinteractúa con el núcleo. Sin embargo, la contribución a la energía que tiene quever con el momento angular es mucho menor.

Así mismo, las partículas fundamentales presentan otra propiedad asociada conun número cuántico: El spín (nombre en inglés que usaremos para ajustarnos a laliteratura al respecto, que es más abundante en este idioma). Esta propiedad serefiere al hecho de que cualquier partícula cargada genera un pequeño campomagnético aún en reposo. Esto quizá pueda pensarse que se debe a que lapartícula gira (si está cargada, esto genera campo magnético porque constituye unequivalente a corriente), pero la realidad es que no se puede suponer esto:cuando se calcula el momento angular intrínseco de un electrón y se tiene encuenta su carga y su masa (ya muy conocidas), encontramos que el giro que enrealidad tendría un electrón en realidad no generaría ese campo magnético. Poresto es que se asegura que el espín no representa Momento Angular Intrínseco,aunque se pueda usar la matemática de momento angular para trabajar con él.

Teniendo en cuenta lo explicado, a continuación profundizamos sobre la estructuraatómica y el concepto de ionización.

ESTRUCTURA ATÓMICA E IONES

Por lo anterior, podemos establecer un modelo de Capas del átomo. Cada capase identifica por sus números cuánticos n y l, de tal modo que electrones condiferentes valores de número cuántico m se encuentran en la misma “capa”: sitienen el mismo número n y número l, el sector donde orbitan será el mismo, vistocomo una región del espacio semejante a un cascarón esférico de algún grosorbien definido y mucho menor que el radio medido desde el centro del átomo hastala órbita. Se puede decir que las regiones identificadas por el número cuántico demomento angular l ( “L”) tienen una forma específica para cada valor que tomaeste número, por lo que se puede pensar en cada grupo de electrones que con unmismo l y n como pertenecientes a una subcapa. Haciendo claridad sobre esto,vemos la figura 35.

52

Figura 35. Orbitales atómicos según la información de la página de la Universidad de Huelva,www.uhu.es

Donde los orbitales serán siempre: s los de l = 0, p los de l = 1, d los de l = 2, etc.Se aprecia la aleatoriedad que exhibe el orbital s, siendo representado con uncascarón esférico que abarca las posibles trayectorias de los electrones de talnúmero cuántico. Para el orbital 2s (n=2, l=0), entendemos que el dibujo que lorepresenta es simplemente un cascarón esférico de menor tamaño. La notaciónpx, py, pz tiene que ver con el número cuántico m, como se ve en la explicacióndada en el siguiente párrafo.

Adicional a lo anterior, el principio de exclusión de Pauli establece que ningúnfermión puede tener los mismos números cuánticos que otro fermiónidéntico en el mismo sistema. Como el electrón es un fermión, esto quiere decirque si dos electrones tienen sus números cuánticos principales idénticos,entonces la orientación del spín debe ser diferente. Para electrones, laorientación spin es ½ o -½; como sólo existen dos posibilidades, se les llama spinarriba (up) o spin abajo (down). Esta orientación se asocia con el número cuánticode orientación del spín, ms. De esta forma, en cada orbital l = 0 sólo existenelectrones con m=0, por lo que sólo hay dos electrones en total (uno con spin up yotro con spin down). Análogamente, si l=1, entonces m puede ser `-1, 0 o 1: tresdiferentes valores de m están contenidos en este único orbital. Como para cadavalor de m puede haber un par de electrones entonces el orbital don l = 1 puedetener 2x3 = 6 electrones. Entendemos entonces el significado de px, py, pz y porqué hay como máximo dos electrones en cada uno.

Una vez comprendido lo anterior, debemos hacer un breve resumen de lo vistosobre la estructura, para poder dar una simple y corta definición de iones:

53

1. La mecánica cuántica gobierna el comportamiento físico de cualquierpartícula, lo que incluye a los constituyentes del átomo.

2. Átomos y moléculas entonces siguen la ecuación de Schrödinger como leya cumplir, pero la compleja estructura e interacciones existentes entre losconstituyentes del átomo y entre los mismos átomos hacen frecuentementeimposible la solución exacta de la ecuación, aunque sí permitenaproximaciones suficientemente buenas como para entender la base de sucomportamiento.

3. Pozos y barreras de potencial son aproximaciones a los verdaderospotenciales que la naturaleza presenta, adecuados porque puedenresolverse de manera exacta y porque lo que se puede concluir de lassuposiciones ideales aplican bastante bien en la realidad.

4. El átomo de hidrógeno se resuelve de manera exacta y su familia desoluciones nos permite entender que un mismo sistema puede hallarseen sus estado base (n=1 y l=0) o estar en cualquier estado excitado denúmeros cuánticos superiores, de manera que se tienen otrasfunciones solución.

5. El número n define el radio característico de la región de órbitas, sudistancia desde el núcleo, mientras que el l la FORMA de la órbita.

6. En cada subcapa hay un cantidad máxima diferente de electrones quepueden existir, debido a que entre mayor sea l son más los posibles valoresque puede tomar m.

7. Para cada tríada n, l, m pueden haber dos electrones: uno con espín downy otro con espín down.

8. Para cada uno de estos electrones hay una función de onda diferenteque describe completamente su movimiento y energía. Si acercamosun átomo a otro, los potenciales experimentados por el electrón cambian yhay que replantear la ecuación de Schrödinger para hallar la nueva funciónde onda que cumple el electrón.

9. Lo mismo ocurre en átomos multielectrónicos: el potencial se deberá, porun lado, a un núcleo mayor; y por el otro, a la existencia de otroselectrones que, al estar cargados, interactúan con los otros electrones,trayendo como consecuencias que la función de onda hallada para elelectrón del hidrógeno no sea válida para estos átomos.

De todos los puntos anteriores queda completamente claro que una molécula en lados átomos están cercanos, fácilmente puede haber electrones cuyas órbitaspasen por ambos núcleos. A esto llamamos un ENLACE COVALENTE. Porejemplo, veamos cómo pueden solaparse dos orbitales s:

54

Figura 36. Extraída de www.textoscientificos.com

Existiendo el orbital p aún, éste puede no interferir con el s. Examinando elproceso de manera más general:

Figura 37. Extraída de www.textoscientificos.com

Debido a que nuestro interés en la mecánica cuántica de los enlaces moleculareses puramente molecular, se dejará la explicación hasta acá, con objetivomeramente ilustrativo. Entendiendo la idea general de enlaces covalentes, resultasencillo entender la definición de enlaces iónicos:

55

En un enlace iónico un electrón de un átomo es transferido completamente aotro átomo, debido a que las fuerzas de atracción con éste último han sidomayores. Una vez es transferido, el átomo receptor queda cargadoeléctricamente (con la carga eléctrica negativa que le proporciona el nuevoelectrón), al igual que el donador (que al perder el electrón queda con cargapositiva)…ambas cargas son siempre opuestas, por definición del procesoanterior. Por esto, ambos átomos estarán probablemente adheridos (si elenlace se rompe no estarán adheridos pero aún tendrán carga) por la fuerzaelectrostática que sus cargas opuestas generan. Cada átomo es llamadoIÓN.

Queda claro cómo funciona el sistema, y cómo éste electrón tenderá a cumplir lafunción de onda que le corresponde en orden en su nuevo átomo, aunque noexactamente debido a que está presente el potencial del otro átomo. A efectosprácticos, nos interesa el concepto general y el entendimiento que el proceso deIONIZACIÓN no es más que la creación de Iones….no siempre esto termina en unenlace iónico, ya que en un Gas Ionizado existen iones que se mantienenseparados debido a la baja densidad del conjunto.

1.3.3 Teoría de bandas

Una vez entendida —aunque en una primera aproximación conceptual— lanaturaleza de la estructura molecular de la materia, se puede pasar a estudiarestadísticamente los materiales de interés.

En un material cualquiera siempre existirán rutas de viaje de los electrones.Podemos esperar que un electrón se mantenga en órbita relativamente aleatoriaalrededor de su núcleo o que se transfiera a otro átomo en razón a diferentescausas:

1.) Mucha energía térmica: se mueve tan rápido la molécula que en algúnmomento el electrón puede saltar a otro átomo.

2.) Campo eléctrico: una fuente de carga lo atrae o lo repele muy fuertementede un momento a otro (puede ser entendido como un voltaje)

3.) Campo Magnético: igual a lo anterior, pero por causa de un imán.4.) Energía mecánica macroscópica: un golpe macroscópico de gran impacto

puede alterar la estructura interna de un sólido (por ejemplo, chocar dosmetales puede sacar chispas)

Entre otras. La teoría de bandas modela la manera como se distribuyen losestados electrónicos según se alteran los parámetros relevantes del sistema. Así,una banda no es más que un intervalo de energías asociadas —como es natural—

56

a un intervalo de estados posibles. Para el análisis del comportamientoelectromagnético de los semiconductores lo más importante es entender loreferente a las bandas de valencia y conducción:

Si analizamos el comportamiento de un electrón que se mueve a través de unsólido saltando de átomo a átomo, entenderemos que el potencial queexperimenta (el potencial que “ve”) el electrón es tan periódico como la disposiciónde los átomos lo sea. Si tenemos una sucesión de cien átomos, el electrónexperimenta un decrecimiento de fuerza eléctrica que le ejerce el átomo del quese está alejando mientras se incrementa la fuerza eléctrica ejercida por el átomo alque se está acercando. El potencial debido a cada átomo es de la misma forma(el potencial electrostático decrece como 1/ r y cada átomo funciona como un iónvisto desde la perspectiva del electrón) y por esto tendríamos un potencialperiódico en el caso de un material compuesto por N átomos de algún elementoespecífico.

Gráficamente tendríamos:

Figura 38. Potencial experimentado por un electrón: la línea horizontal es donde se encuentran losátomos de interés, que el eje vertical representa la energía potencial experimentada en cada punto.

Recuérdese que el máximo de energía potencial (en valor absoluto) se experimenta cuando seencuentra justo en el punto donde está la fuente del campo eléctrico.

Ahora, éste electrón viajero (como hemos visto) no debe estar muy fuertementeatado a ninguno de los átomos. Su energía cinética debe ser mayor que lamagnitud de energía potencial que lo atrae a cada átomo. Es por esto que elmodelo de energía potencial usado para cualquier estado en el que una partículase encuentra de alguna manera oscilando en una zona definida (órbitas,vibraciones, etc.) es definido con SIGNO NEGATIVO. Así como la energíapotencial Gravitacional que la tierra tiene al girar alrededor del sol es un númeronegativo, la energía potencial electromagnética del electrón alrededor de un centrode carga positiva es siempre negativa, para usar este hecho en el cálculo de laenergía total y definir un criterio que especifique cuándo es posible que el

57

electrón escape de la atracción y cuando no; en éste último caso hablamosde un ESTADO LIGADO. Para entender lo anterior se consignan las ecuaciones:

R

QEEEE Cpotencialcinéticatotal

04

Donde hablamos de la carga Q del núcleo, la distancia R y “Épsilon sub cero”, lapermitividad del espacio libre.

Y si recordamos que si la magnitud de energía potencial almacenada es mayorque la energía cinética entonces tenemos un estado ligado, podemos decir que unestado ligado tiene energía total menor que cero. Esto tiene sentido porque laenergía potencial siempre se define arbitrariamente con respecto a un nivel dereferencia, así que podemos entenderla como negativa y en ese caso la energíatotal puede ser también así. Es la ENERGÍA CINÉTICA la que no puede sermenor que cero. Con todo, es muy claro que si el valor absoluto (la magnitud) dela energía potencial es mayor que la energía cinética del electrón (es decir, estáorbitando o en estado ligado), es cierto que la Energía total hallada como semencionó anteriormente es menor que cero.

Ahora, como el electrón ligado es muy diferente al electrón libre, se definenBandas para Electrones Ligados y Banda para Electrón Libre. Primeroenunciamos cuál es cada una e inmediatamente justificamos el porqué:

BANDA DE CONDUCCIÓN: Es el intervalo que corresponde a las energías de loselectrones que pueden ser los electrones libres. Estas energías debencorresponder a la última banda de energías del sistema atómico que NO ESTÉLLENA; es decir, el intervalo de energías que no tiene electrones o no tiene elnúmero máximo de electrones posibles para esa banda. Con la definición deBanda de Valencia se aclara la razón de esto.

BANDA DE VALENCIA: Es la Banda asociada a los Electrones Ligados y es laúltima banda que esté llena. ¿Por qué? Porque es claro que, los electrones libresocupan un nivel de energía en el que haya posibilidad de perder y ganarelectrones. Si el electrón pasa por un sistema cuya última capa está llena (segúnlo que se discutió sobre el principio de exclusión de Pauli), se deduce que tomarálos valores energéticos de la siguiente banda. Por otro lado, si existe una bandaparcialmente llena, estos electrones pueden ser removidos fácilmente porque todala capa es susceptible de interactuar con los electrones de conducción. De hecho,se puede decir —sin entrar en las razones exactas de esto— que las bandasllenas están “blindadas” contra la conducción. Esto tiene ciertas sutilezas quepueden constituirse en una especie de excepción, pero tal efecto lo revisaremosen el siguiente apartado, al hablar de Solapamiento de Bandas.

58

1.3.4 Características térmicas y electromagnéticas generales

Existe una dependencia de la temperatura y de la distancia en las gráficas de lasbandas energéticas que existen en los materiales. Como se mencionó cuando sedescribieron inicialmente los semiconductores, las formas como existen yevolucionan las bandas en cada material definen la clasificación de éstos. A laluz de los conceptos anteriormente explicados, podemos comprender la siguientefigura esquemática:

Figura 39. Bandas de conducción y de valencia, extraído de www.wikimedia.org

Como puede verse en la figura 39, existe el solapamiento de bandas. Es decir, losestados energético pueden que estar solapados (superpuestos), de manera que,aunque la banda de valencia está llena, parte de sus energías son también partede los intervalos de la banda de conducción, de manera que un mismo electrón encierta forma pertenece a cualquiera de las dos bandas. Esto proviene de laresolución de las ecuaciones de Mecánica Cuántica pertinentes en cada caso,como revisamos en anteriores apartados.

En la figura 39 también se aprecia que la superposición de estados del silicio(gráfica a la izquierda) ocurrirá en un punto específico del diagrama. La flechaque señala el orden A, B, C indica un proceso de compresión. La forma de lagráfica de las bandas del carbono es casi exactamente igual al del silicio, comoquiera que ambos elementos tienen cuatro electrones en su última capa. Lossubíndices S y P diferencian las energías de los orbitales “s” de la de los orbitales“p”, que son los asociados a cada banda. Para la correcta finalización de estecurso es suficiente entender las dependencias y significado de las bandas de

59

energía correspondientes a electrones libres (conducción) y ligados (valencia), porlo que no se ahondará sobre la forma matemática exacta. Sin embargo, sí esnecesario dar una definición adicional:

GAP: Banda que corresponde al intervalo de energía existente entre el nivel másbajo de la banda de conducción y el nivel más alto de la banda de valencia. SUnombre proviene del inglés. La figura 40 Ilustra lo anterior.

Figura 40. Tomado de www.kalipedia.org

Ahora tenemos una comprensión y terminología acordes con la temática de lossemiconductores. Examinando la figura 39 de nuevo, las gráficas de la derechadan la definición de semiconductores, metales y aislantes, desde el punto de vistade teoría de bandas. El GAP del aislante de la figura es 6eV. Obsérvese la figura41 como ejemplos.

Figura 41. Ejemplos de algunos GAP de energía.

60

Por otro lado, las bandas de energía de un metal no siempre están superpuestas(ver figura 39): también es posible que simplemente la última banda estéparcialmente llena.

Debido a que en el cero absoluto no existe energía cinética que pueda producir elsalto del GAP, un semiconductor en el cero absoluto debe tenerconductividad cero. A medida que aumenta su temperatura, suconductividad aumenta hasta que, en determinada temperaturacaracterística, se comporta como un conductor. Electromagnéticamente unsemiconductor es susceptible a los campos magnéticos o campos eléctricos deuna manera correspondiente a la “Región de comportamiento” donde seencuentra: si por densidad o por temperatura se comporta como conductor, seráinfluenciado por los campos electromagnéticos tal como le sucede a un conductor.Lo mismo aplica en el caso que esté en su “modo” aislante.

Si un semiconductor tuviera iones portadores de cargas o un flujo específico deelectrones en una u otra dirección, el cambio en las concentraciones de cargaspuede verse asociado a un posible voltaje efectivo. Esto será más claro cuandose explique el comportamiento de semiconductores dopados, en la sección 1.5.

1.3.5 Cinemática del electrón en Semiconductores

Para entender el movimiento del electrón hay que remitirnos a los casos másfundamentales y modelos más simples, estudiados en cualquier curso de físicaelectromagnética. A partir de este sintético repaso se espera que sea másentendible la explicación conceptual sobre su comportamiento ensemiconductores.

Si existe una corriente de electrones, es natural que microscópicamente estocorresponda a un movimiento nada simple del conjunto de electrones: cadaelectrón sigue su trayectoria con velocidad no constante y sujeto a choques conotros electrones. También es posible incluso que algún factor externo o internorelativamente aleatorio lo haga intercambiar energía al punto de saltar el GAP ybajar a la banda de Valencia. Probablemente algún electrón de capa de Valenciahará el mismo salto en sentido contrario y se convertirá en electrón de conducción.

Lo anterior lleva inmediatamente a la conclusión de que el movimiento electrónicodebe estudiarse estadísticamente. Como la carga del electrón esmacroscópicamente indetectable debido a que es muy pequeña, finalmente lo quenos interesa es el movimiento del grupo de electrones del sólido…piénsese quecuando se miden microamperios (una de las unidades más bajas de corriente

61

macroscópica), se está midiendo el flujo de 1x10-6 Coulombs por segundo,mientras que la carga del electrón es 1.602x10-19 Coulombs, más de diez millonesde millones de veces la carga que fluye en cuando se habla del microamperio. Espor esto que fluctuaciones de un solo electrón e incluso de unos cientos deelectrones, suelen ser irrelevantes; es más, aunque estos cambios de cargatuviesen importancia, suelen compensarse por su carácter aleatorio (unos suben,otros bajan) y por la velocidad con que ocurren (mucho menor a unmicrosegundo).

Definimos la VELOCIDAD DE DERIVA como la velocidad promedio de loselectrones en el material, el CAMINO LIBRE MEDIO como el promedio de ladistancia que puede recorrer un electrón antes de chocar y el TIEMPO DEDERIVA como el tiempo promedio entre colisiones. La ley de Ohm se mantienepara todo material con una resistencia bien caracterizada y constante: V = IR, peropara semiconductores su carácter dinámico (a veces más conductor que otrasveces) esta ley debe verificarse con cuidado. Entonces, los conceptos deVelocidad y Tiempo de Deriva, así como el Camino Libre Medio, son másexactamente relacionables con las variables macroscópicas de voltaje y corrienteen CONDUCTORES.

1.4 CRISTALOGRAFÍA

1.4.1 Sólidos amorfos y cristalinos

Hemos hablado ya de sucesiones de átomos, sólidos, materiales ycomportamiento cuántico y electromagnético. También se ha comentado sobre laestructura atómica y molecular general; ahora introduciremos algunas ideasfundamentales sobre la forma como se dispone una multitud de átomosconformando un objeto macroscópico.

Cuando los átomos se aglomeran para conformar una estructura mayor,frecuentemente presentan alguna estructura regular. Para ser exactos, existenpatrones de configuración aún microscópicos que definen, caracterizan y de hechopueden identificar inequívocamente la estructura y propiedades del sólidomacroscópico que conforman en total.

Se define al sólido como una estructura no fluida: un material en estado fluido(líquido, gaseoso) sólo reacciona como un todo en respuesta a fuerzashidrostáticas o hidrodinámicas…un ejemplo es el agua contenida en un recipiente,sobre la que no podemos definir algo como “esfuerzo cortante”, a diferencia de un

62

pedazo metal, sobre el cual es claro que podemos verle reaccionar ante un objetoque ejerza presión sobre él: hablando formalmente, un sólido exhibecomportamiento elástico y es rígido. En general, se sabe que un sólidopresenta una estructura u organización molecular bien definida, y en lamayoría de los casos es de tipo red cristalina. Una Red Cristalina es unaconglomeración de moléculas o átomos que sigue una geometría determinada.Aquí el mejor ejemplo es un tablero de ajedrez. Si los cuadros representan unamolécula que se encuentra en cada centro, entonces las moléculas negras y lasmoléculas blancas de este tablero siempre se encuentran espaciadas de la mismaforma y con los mismos ángulos. Por supuesto, podemos pensar que estaestructura cristalina se puede complejizar imaginando que cubre las tresdimensiones.

Un sólido amorfo hace parte de la minoría, y presentan un comportamientosemifluido y semisólido, respondiendo de una forma intermedia ante excitacionesvarias. Las moléculas de un sólido amorfo pueden tener alguna periodicidad(alguna geometría que se repita periódicamente), pero ésta será imperfecta y en lamayor parte de los segmentos de sólido que se tomen no podrá prácticamente serdiferenciada de un conglomerado aleatorio y sin forma. Para aclarar aspectossutiles sobre esta diferenciación, lo mejor es observar la figura 42.

Figura 42. Sólido amorfo y cristalino.

Como puede observarse, la figura 42 (izquierda) no parece tener un orden tan sólocontemplando este pequeño número de átomos. Sin embargo, aún se puedeestablecer algunas periodicidades parciales, y equidistancias entre algunos paresde átomos. Esto, por supuesto, no lo convierte en cristalino: es un sólido amorfosin lugar a dudas.

Más interesante es notar que el sólido de la derecha es aproximadamentecristalino si se quiere ser muy estricto en la definición, o simplemente Cristalino, sise es amplio. Como los modelos perfectamente simétricos no tienen sentido, yaque los átomos y moléculas están siempre en movimiento, las pequeñasasimetrías que son visibles en la estructura cuadriculada que aquí suponemos esla fotografía de la red cristalina que conforma algún sólido pueden deberse almovimiento natural de cada partícula o a pequeños desperfectos de la red. Engeneral, durante el curso hemos de tener en cuenta que la perfección en las redescristalina es relativa, y que para efectos prácticos el análisis aproximado es muyfiable.

63

Por último, se le recuerda al estudiante que 1.) los sólidos a estudiar son loscristalinos, ya que los amorfos pueden modelarse prácticamente como fluidos encondiciones especiales; y 2.) Los sólidos pueden estar formados por distintasclases de átomos y moléculas, además de posibles impurezas.

1.4.2 Redes de Bravais

Ahora estudiaremos las formas en que pueden existir los Cristales (por cristalentendemos una agrupación de moléculas/átomos que conforman un sólido demanera periódica).

Geométricamente sólo hay 14 posibles formas de acomodar periódicamente laspartículas que forman un sólido:

1. Cúbica simple,2. Cúbica centrada en la cara,3. Cúbica centrada en el cuerpo,4. Tetragonal simple,5. Tetragonal centrada en el cuerpo,6. Ortorrómbica simple,7. Ortorrómbica centrada en cara,8. Ortorrómbica centrada en el cuerpo,9. Ortorrómbica centrada en las bases,10. Monoclínica simple,11. Monoclínica centrada en las bases,12. Triclínica,13. Trigonal,14. Hexagonal.

Cuya correspondencia podemos explicar mediante la gráfica y tabla empotrada delColegio de Bachilleres del Estado de Sinaloa, en México:

64

Figura 43. Tomada de www.cobaes.edu.mx :

Donde podemos observar la mayor parte de las diferencias geométricasvisualmente. Por supuesto, varias de las redes parecen pertenecer a la mismafamilia por sus condiciones angulares y de aristas. Más allá de esto, esdemostrable geométricamente que estas redes cumplen algunas simetrías que lasclasifican en subgrupos.

Las simetrías son propiedades definidas sobre cualquier objeto de estudio y quetienen que ver con invariabilidad del algún resultado a pesar de cambiar alguno delos aspectos de su operación: dicho de manera práctica: un objeto de estudio (uncuerpo físico, una función matemática, un fenómeno de la naturaleza, una figura ouna partícula) se dice que cumple una simetría o TIENE una simetría bajodeterminada operación cuando, al hacer esta operación sobre él, ALGOpermanece igual. Previendo que el estudiante no esté familiarizado con elconcepto, aquí hay algunos ejemplos:

1.) La esfera es simétrica bajo rotaciones sobre su eje: si un globoperfectamente esférico se gira, el resultado es una figura exactamenteigual.

2.) El cilindro es simétrico bajo rotaciones sobre su eje

65

3.) La operación “Elevar al cuadrado” es simétrica bajo cambios de signos dela base: si cambiamos el signo de la base que se va a elevar al cuadrado,de todas maneras es resultado es igual (y positivo, dicho sea de paso)

4.) La operación “Elevar a la cuatro” es simétrica bajo cambios de signos de labase.

Habiendo aclarado lo anterior, se resume que existen las 14 redes anteriores seagrupan en SIETE SISTEMAS CRISTALINOS, debido a sus propiedades desimetría:

Sistema Cristalino Ejes Ángulos entre ejes

Cúbico a = b = c α = β = γ = 90º;Tetragonal a = b ≠ c α = β = γ = 90ºOrtorrómbico a ≠ b ≠ c ≠ a α = β = γ = 90ºHexagonal a = b ≠ c α = β = 90º; γ = 120ºTrigonal (o Romboédrica) a = b = c α = β = γ ≠ 90ºMonoclínico a ≠ b ≠ c ≠ a α = γ = 90º; β ≠ 90ºTriclínico a ≠ b ≠ c ≠ a α ≠ β ≠ γ (Todos distintos de

90º)

Donde cada eje lo asimilamos a cada arista de la figura geométrica. Para mayorclaridad:

Figura 44. Ángulos y ejes, extraído de www.wikipedia.org

1.4.3 Índices de Miller

Las figuras geométricas que identifican cada red de Bravais se pueden pensarcomo unidades básicas. De hecho, una Celda Unitaria está definida como unaregión del cristal especificada por los tres vectores a, b y que corresponden a losejes mencionados anteriormente; para ser realmente una celda unitaria, estaregión debe producir cualquier otra región del cristal (aproximadamente) altrasladarse espacialmente mediante la multiplicación por un número entero.

66

Los vectores a, b, c deben ser linealmente independientes y son llamadosVectores Base. Según las anteriores definiciones, es claro que pueden existirdiferentes Celdas Unitarias (el sólido periódico que es la sucesión de cuadradosde un centímetro cuadrado de área también es la sucesión infinita de rombos deun centímetro cuadrado de área, o cuadrados de cuatro centímetros cuadrados deárea). Por lo anterior, se define la Celda Unitaria Primitiva como la celda unitariade menor volumen que es posible definir. Así, los Vectores Base Primitivos sonlos vectores linealmente independientes que la definen.

La ubicación de dada átomo existente en una red se puede representar entoncesde ésta forma:

clbkahrátomo

Por supuesto, una estructura que sigue esta forma tiene tal regularidad que puedeentenderse como una sucesión de planos compuestos por redes bidimensionalesde átomos. La orientación de estos planos bidimensionales tiene mucharelevancia física debido a que debe estar intrínsecamente relacionada con lamanera como el sólido se cohesiona y las direcciones de conducción eléctricapreferidas, entre otras muchas propiedades (la multitud de factores, sin embargo,hace que la relación entre muchas de estas propiedades físicas y los planos nosea muy directa). Se puede demostrar que la orientación de los planos quedadefinida de una manera muy práctica realizando ciertas operaciones simples. Alresultado se le llama Índices de Miller. Este es el procedimiento:

1.) Definir correctamente los Vectores Base2.) Se calculan las intersecciones de éstos con un plano del sistema de

manera que estos puntos estén descritos en función de múltiplos enteros delos vectores base.

3.) Se invierten estos números. La proporción entre ellos es la que debemantenerse, así que los índices de Miller son los enteros más pequeñosque guarden esa proporción.

Veamos la gráfica del departamento de Cristalografía del Consejo Superior deInvestigaciones Científicas de España:

67

Figura 45. Plano abc que corta los vectores direccionales (el plano mayor, definido por las líneasverdes, es paralelo al plano menor)

Como se aprecia, los vectores direccionales cortan infinitos planos paralelos si sonextendidos de manera infinita. Sin embargo, si se les da la longitud mínima d quelos hace constituir la celda unitaria primitiva, sólo cortarán un plano adecuandocorrectamente la amplificación de esto (multiplicación por números enteros).Como no es de todo relevante el entendimiento profundo de Cristalografía para uncurso de Física de Semiconductores dirigido a ingenieros, terminamos estecapítulo con un ejemplo:

1. Un plano específico está conformado por diversos átomos.2. Los átomos que se encuentran en dirección a los vectores mencionados

anteriormente son sólo tres.3. Si las distancias reticulares de la red son las longitudes de los vectores, es

decir, a, b y c, ubicamos los tres átomos de intersección por sus distanciasdesde el origen que escogimos para el sistema de coordenadas.Supongamos que estas distancias son 5a, 6b y 3c.

4. Entonces los inversos son 1/5, 1/6 y 1/3.5. Utilizando el mínimo común múltiplo, obtenemos que debemos amplificar

estos números por 30 para obtener los menores enteros posibles sin perderla proporción. Entonces los Índices de Miller correspondientes son 6, 5y 10: hkl = 6,5,10

68

1.5 SEMICONDUCTORES Y DOPADO

1.5.1 Tipos de dopado y semiconductores

Los semiconductores que hemos revisado brevemente son semiconductorespuros, aproximadamente. Con esto queremos decir que son semiconductoresnaturales, sin impurezas o con una cantidad ínfima de ellas, si la comparamos conel número total de átomos. Las características intermedias entre conductores yaislantes exhibidas por ellos se refieren a su configuración de bandas general, yes también la que produce su dependencia fuerte la temperatura y su resistenciaeléctrica típicamente intermedia entre la de los aislantes y la de los conductores,en general. Estos semiconductores son llamados Intrínsecos.

Los semiconductores Extrínsecos son aquellos que presentan impurezas en suestructura. En otras palabras, algunos átomos de un material externo seencuentran en su estructura cristalina.

En los semiconductores intrínsecos cualquier fenómeno de conductividad se debesiempre a los efectos térmicos. Por tanto, lo que hemos referido acerca de lasbandas electrónicas lleva a la ineludible consecuencia de que, por cada electrónlibre de conducción, hay necesariamente un hueco en bandas inferiores, y éstesalto ha sido producto de la energía cinética molecular (asociada directamente conla temperatura). Este hueco es portador de carga positivo, e incrementa laconductividad.

Obviamente, un semiconductor Intrínseco entonces tiene la misma cantidad dehuecos que de electrones libres. El semiconductor extrínseco, en cambio, nopresenta tal comportamiento porque LA IMPUREZA ALTERA LA ESTRUCTURADE BANDAS. De hecho, la valencia (electrones en el último nivel) de lasimpurezas simula una partícula cargada, como se verá más adelante.

Los tipos de dopado son:

- TIPO N: El átomo de impureza tiene más electrones en la capa devalencia que los átomos de material semiconductor que lo rodean. Elcaso típico es el de las impurezas del grupo V de la tabla periódica quese encuentran comúnmente en semiconductores de Silicio o Germanio.Como los cuatro electrones de valencia de los semiconductores seasocian con enlaces covalentes, el quinto electrón de la impureza quedacomo “sobrante” y no forma parte de enlace alguno. El resultado esque, aunque el átomo de impureza es neutro incluyendo a este electrón,

69

la fuerza con la que éste se liga al átomo es bajísima (banda deconducción).

- TIPO P: Justo lo opuesto. Los átomos de impurezas son del grupo III,haciendo que FALTE un electrón para completar la valencia, hablandoen términos de enlaces y estructura cristalina. Esto puede verse comoun hueco, y en el sentido anteriormente descrito éste contribuye a laconducción eléctrica.

En ambos casos existe un aumento de conductividad. En la próxima secciónveremos cómo funcionan los semiconductores extrínsecos.

1.5.2 Análisis de materiales p y n

Los materiales p y n son los semiconductores utilizados comúnmente enelectrónica. Mediante ellos se pueden construir diodos, transistores y otrosdispositivos. La diferencia entre uno y otro en tanto la viabilidad de suconstrucción tiene que ver con las características atómicas de los elementos delgrupo III y V, ya que son los que más fácilmente pueden “inmiscuirse” en una redsemiconductora pura.

Los semiconductores en general siguen la estadística de Fermi Dirac en cuantosus portadores de carga. Esto quiere decir que, en cuanto a las concentracionesde huecos y electrones, hay una herramienta estadística que permite entender elcomportamiento eléctrico total.

Los semiconductores tipo p y tipo n siempre tienen una mayor concentración dehuecos o electrones que un semiconductor intrínseco, por supuesto, hay queentender que los semiconductores tipo n y tipo p simplemente AÑADEN electroneso huecos a la configuración natural de los semiconductores. De esta forma, paradiferenciar uno de otro, se define:

Electrones o huecos térmicos: los generados naturalmente en cualquiersemiconductor por efecto de que su temperatura sea mayor a la del cero absoluto,debido al salto de electrones a través del GAP.

Para aclarar ésta sección y la interior, se consignan las siguientes gráficas,extraídas de www.pcaudio.com:

70

Figura 46. Red de silicio, semiconductor Intrínseco

Figura 47. Red de silicio Dopado. Existe un hueco que corresponde a una ausencia de electrón.El átomo de abajo podría ser Boro, por ejemplo.

71

Figura 48. Red de silicio dopado. Existe un electrón por fuera de red, así que el átomo de abajo esdel grupo V, como el fósforo.

Como puede verse, las últimas dos figuras deben ser semiconductoresextrínsecos. También podemos identificar que la figura 47 corresponde a unsemiconductor tipo P y la figura 48 a un semiconductor tipo N.

La estadística de Fermi Dirac simplemente relaciona las posibles energías de loselectrones con la probabilidad de que un electrón tenga esas energías: en otraspalabras, aclara cuántos electrones (o qué intervalo de número de electrones)podemos tener con ciertas características. Es claro que lo anterior se puede decirde los huecos de igual forma. Las ecuaciones de corriente y voltaje queestudiaremos más adelante sólo son posibles a través del uso de la informaciónestadística de los portadores de carga. Las figuras ilustran la estructuraelectrónica de impurezas dentro de los cristales.

72

Figura 49. Arsénico como impureza, de www.autocity.com

Figura 50. Boro como impureza, de www.autocity.com

73

1.5.3 Unión PN y recombinación

Cuando unimos un semiconductor n con uno p estamos creando una zonafísicamente diferente en la juntura. Entendamos la unión de los dos materialescomo la unión en una cadena tridimensional de dos diferentes estructuras.

De un lado tenemos una sucesión geométrica de enlaces covalentes dondeencontramos ocasionalmente impurezas con un electrón de menos sobre la red,mientras que del otro la situación es análoga, a excepción del electrónSOBRANTE en vez de FALTANTE, sobre la estructura de la red. Supondremosque la red es de silicio.

Del lado izquierdo (p) imaginamos entonces concentraciones de huecos, mientrasque del lado derecho (n) imaginamos concentraciones de electrones. Si loshuecos y electrones fueran resultado de una simple ionización térmica (es decir, sino existieran impurezas), el número de huecos sería igual al de electrones, encada uno de los sectores. Esta concentración intrínseca de portadores de carga(sean electrones o huecos) es:

)/exp(32 kTEBTn Gi

donde T es temperatura, EG la energía del GAP, k la constante de Boltzmann, B esel parámetro del material (4.4x1031 en el caso del silicio) y ni el número deportadores. Si sabemos el número de portadores disponibles, podemos intentarcalcular la corriente que éstos pueden producir.

El factor que hace falta es conocer cómo se presenta el fenómeno físico deconducción en esta región. La corriente puede responder a dos procesosdiferentes:

- Corriente por Difusión: Es la ocasionada por simple “dilución” de unaimpureza en un material. Lo que esto quiere decir es que simplementelos huecos se mueven hacia donde hay menor concentración de huecosy los electrones a donde hay menor concentración de electrones. Sedebe a la agitación térmica y movimiento aleatorio natural del mundomicroscópico.

- Corriente por Drift (no se usa la traducción para ajustarse mejor a laterminología internacional): Es la corriente tradicional esperada por laaplicación de un campo eléctrico. Como huecos y electrones no soncompleta y puramente libres, la simple ecuación de campo eléctrico noes suficiente.

74

De hecho, existe la difusión porque existe un gradiente de concentración. Sin esterequisito, no puede ocurrir. Cuando se da este movimiento de cargas, llega elmomento en que los huecos y los electrones puedan encontrarse, en la unión pn.Este es el proceso de Recombinación, mediante el cuál se agotan los portadoresdisponibles porque, a la luz de lo que se ha explicado, un encuentro de un electróny un hueco no es más que el llenado de ese hueco.

La región en la que se da la recombinación es denominada Zona de Agotamientoy este proceso está estrechamente relacionado con las concentraciones deportadores que existan. En un semiconductor extrínseco estas concentracionesestán relacionadas con la razón de ionización térmica: cuántos electrones saltanpor intervalo de tiempo, originando el par electrón-hueco.

En semiconductores extrínsecos encontramos todo lo anterior de la mismamanera, entendiendo que los átomos de impureza pueden ser de dos clases:donadores y receptores. La independencia de las dos regiones a lado y lado de launión PN puede llevar, entonces, a una manipulación de las razones de ionizacióny de las concentraciones; esto alterará profundamente la respuesta eléctrica delmaterial al campo eléctrico.

La concentración de impurezas equivale a concentración de electrones o huecos,y el producto de multiplicar las concentraciones de electrones por las de huecossiempre es igual a una constante, siempre y cuando se esté en equilibriotérmico…aquí el estudiante podrá notar entonces que los semiconductoresdopados no tienen igual cantidad de huecos que de electrones, en ningúncaso: habrá portadores mayoritarios y portadores minoritarios. Obviamente,los portadores mayoritarios de materiales tipo n son electrones y los portadoresmayoritarios de materiales tipo p son huecos.

En las siguientes gráficas se aclara parte de lo explicado hasta el momento conrelación a la región semiconductora PN.

75

Figura 51. Tomado del Departamento de Ingeniería de Harvey Mudd College. www.hmc.edu

Figura 52. Op. Cit. Muestra la carga eléctrica como función de la ubicación dentro del material pncompleto. Obsérvese en el centro la región de agotamiento.

76

1.6 RELACIÓN CON EL CONTEXTO

1.6.1 Descripción general de un semiconductor: casos prácticos

El contexto de nuestro estudio es puramente de ingeniería; toda la física revisada,a los niveles que sea, debe enmarcarse en el objeto de la carrera que se cursa.Por tanto, a continuación tratan de vincularse los aspectos teóricos con su utilidadpráctica.

Para describir un semiconductor pensamos en sus propiedades físicas. ¿Qué esimportante saber si se desea construir algún dispositivo para una posterioraplicación electrónica?

1.) Conductividad a una temperatura dada.Si se especifica la conductividad del semiconductor a una temperatura dada,es posible hacer proyecciones de cuál será su resistencia eléctrica en otrastemperaturas. Siempre es posible realizar pruebas que especifiquen elcomportamiento térmico de un semiconductor mediante curva experimental.

2.) Concentración de impurezasActualmente, en el proceso de fabricación de un material semiconductor, esposible conocer con gran precisión la proporción con que se encuentranimpurezas en un semiconductor.

3.) Defectos de redEn la fabricación de cualquier cristal se presentan diversas imperfecciones.Estas son inevitables: también en la naturaleza se presentan estos fenómenos,como se mencionó en parte de lo estudiado anteriormente. Entre estosdefectos están las dislocaciones: deformaciones en la estructura cristalina quese ven con ángulos alterados y que afectan sólo a una fila de átomos.

4.) Comportamiento frente al campo eléctricoComo un material semiconductor puede pertenecer a diferentes períodos de latabla periódica, es natural que sus propiedades físicas puedan variar según elsemiconductor sea de un material u otro. Particularmente, la respuesta acampos eléctricos varía y es de crucial importancia, pudiendo definirse tambiéncon el trazado de gráficas experimentales, y relacionada siempre con aspectos

77

circuitales. Es decir, la resistencia eléctrica y otros fenómenos seráncualidades que caracterizan el sistema semiconductor, recordando que encircuitos aplicar campo eléctrico equivale a aplicar voltaje. Además esimportante recordar que el hecho de que el incremento de la corriente eléctricagenere también un aumento en temperatura debe considerarse en elentendimiento cualitativo y cuantitativo del comportamiento de la resistencia alpaso de corriente a través del semiconductor.

5.) Características mecánicasLa resistencia a la deformación y otros aspectos meramente mecánicospueden ser útiles en multitud de situaciones, ya que algunas aplicaciones deingeniería exigen ciertas características específicas. Cabe anotar que el uso desemiconductores en aplicaciones que no tengan que ver con optoelectrónica otransductores (como se verá en la segunda parte del curso) se remitegeneralmente al diseño de semiconductores a escala microscópica, encircuitos integrados, transistores o diodos.

1.6.2 Estado del arte

Por primera vez hablaremos específicamente de los semiconductores. Estos son:

ELEMENTO GRUPO ELECTRONES ÚLTIMACAPA

Cd IIB 2Al, Ga, B, In IIIA 3Si, Ge IVA 4P, As, Sb VA 5Se, Te, S VIA 6

Ya hemos entendido que la clave para el comportamiento semiconductor son losenlaces covalentes, por lo que entendemos que son necesarias combinacionesque produzcan cuatro (4) electrones de valencia. Esto sabemos que ocurrenaturalmente con el Silicio y el Germanio, elementos ambos del grupo IV. Sicombinamos en una molécula un elemento del grupo II con otro del VI o del III condel V, obtenemos también comportamiento semiconductor.

El azufre es de utilización más reciente y el Silicio es el más fácil de construir, porlo que fue el primero en utilizarse, históricamente hablando. Veamos cómo se veuna red donde la unidad principal no es un átomo sino una molécula, en éste casocorrespondiente al compuesto químico GaAs, Arseniuro de Galio:

78

Figura 53. Segmento de Arseniuro de galio, donde se observa que un galio se enlaza con más deun germanio. Tomado de la página de la universidad de Waterloo, www.uwaterloo.ca

1.6.3 Análisis de un posible diseño de semiconductor

En esta sección el estudiante debe investigar por su cuenta con miras al trabajocolaborativo propuesto. A continuación se consignan algunos aspectosreferenciales acerca de cómo enfocar sus lecturas libres.

Debe entenderse que entre los aspectos importantes a definir, están lossiguientes:

- Elementos químicos a usar.- Tipo de impureza a emplear.- Concentración de impurezas.- Pureza del semiconductor, respecto a imperfecciones de la red.- Características Mecánicas externas como consecuencias de los

anteriores puntos.- Características Eléctricas externas como consecuencias de los

anteriores puntos.

79

Y los dos puntos anteriores deben responder a específicos requerimientos dediseño que la aplicación electrónica final exija.

Es necesario tener en cuenta que el diseño de semiconductores se refierebásicamente a crear elementos sólidos capaces de responder electromagnética ytérmicamente de un modo específico. El diseño de COMPONENTES electrónicoses una etapa posterior y consiste en USAR los semiconductores ya disponiblespara construir una estructura que, debido a su arquitectura, funciona como uno uotro dispositivo electrónico (diodos, transistores, etc.).

1.7 FENÓMENOS Y FORMULACIONES RELEVANTES EN TEORÍA DESEMICONDUCTORES

1.7.1 Fonones y vibraciones

En general cualquier sólido puede verse afectado por una onda mecánica. Laincidencia de la onda mecánica sobre el medio se traduce microscópicamente enalgún tipo de colisión entre las moléculas del medio y las del sólido. Siendo másespecíficos, las ondas mecánicas no son más que vibraciones que soncomunicadas de una molécula a otra: es natural que tales vibraciones puedanpasar a un sólido.

Como se vio anteriormente, los sólidos cristalinos tienen una estructura tanespecífica y geométrica, que puede esperarse que la reacción a las colisiones seasimilar en toda la red. Por esto, cuando existe una excitación vibratoria en algúnpunto de la red, ésta puede fácilmente extenderse a los demás justo de la mismaforma como se provocan ondas de sonido en el aire; recuérdese que cuando untambor es golpeado es la vibración de su membrana la que produce la ondasonora en el aire: su periódica (rítmica, podría decirse) oscilación en uno y otrosentido comprime y descomprime el aire acompasadamente, de manera que estasdiferencias de presión afectarán las moléculas contiguas del aire, haciendo queéstas últimas también presentes cambios similares de presión. Esto es el sonido.

A la luz del anterior párrafo, resulta comprensible que en una red cristalina, dondelos átomos están a distancias iguales de sus compañeros, cualquier cambio en elmovimiento de uno de sus componentes se traduzca en un radical cambio en lafuerza que éste ejerce sobre sus compañeros, ya que las fuerzas dependen de la

80

distancia entre partículas. Estas alteraciones de fuerzas son experimentadas porlos vecinos: finalmente, un proceso ondulatorio se presenta en todo el sólido.

Ahora bien, no necesariamente la onda podrá verse como un fenómenocompletamente simétrico. Según la organización de la red, es posible que existanciertas direcciones preferenciales a través de las cuales la vibración se comunicaóptimamente y otras en las que la vibración se atenúa con rapidez a través delsólido. Esto se vería como dos tipos de ondas: una sin atenuación medible y otracuya amplitud va decreciendo rápidamente, exhibiendo un comportamiento quemuchas veces es rotulado como “Oscilación Amortiguada”.

Figura 54 Oscilador Amortiguado, gráfica de la amplitud de oscilación de cada elemento de la reden función a la distancia a partir del punto de origen de la onda (en alguna unidad relacionada conla constante de red). En este caso la atenuación de la vibración en verde es mucho mayor que la

azul.

La transmisión de la onda supone una transmisión de energía. Medir esta energíapuede ser objeto de estudios interesantes; de hecho, la energía que se transmitepuede verse como un “paquete” debido a que la transmisión no se da de formacontinua sino discreta. En otras palabras: no se transmite cualquier cantidad deenergía cuando se hace vibrar la red, sino un múltiplo entero de una cantidadmínima de energía definida por algunas condiciones físicas. Un fonón es elcuanto de energía (la mínima cantidad posible de transmitir) en la redcristalina. Entonces un fonón viajando representa la propagación de unaonda en la dirección de su trayectoria de viaje.

81

El tratamiento de Cuantos en física es un poco más delicado que simplementeentenderlos como representantes de ondas. El fonón es una especie de “energíaviajera” que se comporta exactamente igual a una partícula cuando colisiona conotra partícula (sean fermiones u otro fonón, por ejemplo), pero que sigue laspropiedades de las ondas en otras situaciones (recuérdese la dualidad onda-partícula estudiada al inicio de la unidad).

A continuación se estudiará el problema de la dualidad de los cuantos con una“partícula” mucho más usada en el contexto de la ingeniería Electrónica: El Fotón.

1.7.2 Efecto fotoeléctrico y cuantización de la energía.

Ciertos materiales, al recibir cierto tipo de luz, alteran su respuesta eléctrica.Microscópicamente hablando, la luz puede hacer que aumenten los electronesdisponibles para conducción. De hecho, puede establecerse una corrienteeléctrica espontánea si la trayectoria es cerrada (circuito cerrado).

Este fenómeno es conocido como Efecto Fotoeléctrico. Su definición exacta havariado con el transcurso de los años, los experimentos, la teorización al respectoy las investigaciones formales. Aunque existe una manera de explicarloformalmente haciendo uso de la Mecánica Cuántica, nosotros haremos unasimplificación de ésta para poder abordar sus aspectos fundamentalesbrevemente.

A continuación se consigna separadamente el aspecto microscópico de laspartículas involucradas y el aspecto macroscópico del cúmulo total que conformael sólido. Posteriormente se encuentra el concepto global que une ambos puntosde vista.

Aspecto Microscópico

- Los electrones orbitan alrededor de los núcleos debido a la fuerzaelectromagnética atractiva: cambios en su energía cinética puedendesencadenar que los electrones salgan de sus órbitas.

- La luz es una onda electromagnética. Cualquier flujo lumínico a travésde un átomo o molécula es experimentado por los electrones como uncampo electromagnético que los excita.

- La excitación electromagnética para un electrón ligado es simplementeuna adición a su energía total equivalente justamente a la energía quela onda electromagnética pierda: exactamente igual a como funciona uncolador, si un material (por ejemplo, un vidrio) parece “bloquear” la luz,

82

es posible que no sea porque ésta se refleje, sino porque haya sidoABSORBIDA por él.

- La onda electromagnética transfiere energía en cuantos llamadosFOTONES. Los fotones son la mínima cantidad de energía transferibleal electrón y su valor numérico (es decir, su “tamaño”, usando unametáfora) depende de la frecuencia de la onda.

Un cuanto de luz, un fotón, tiene una energía E = hf, donde h es la constante deplanck y f la frecuencia de la onda electromagnética incidente. De lo anterior,entonces:

E

Aspecto Macroscópico

- Cuando se suministra luz a diversos materiales en cortocircuito, sóloalgunos establecen una corriente eléctrica.

- Al variar la frecuencia de la luz incidente, se observa mayor o menorefecto fotoeléctrico. Particularmente, existe una frecuencia de corte apartir de la cual se presenta el efecto Fotoeléctrico.

- La cantidad de electrones desprendidos por causa de la luz esproporcional a la Intensidad Luminosa (relacionada con la amplitud de laonda electromagnética), pero NO GUARDA RELACIÓN con lafrecuencia. LA FRECUENCIA DE LA LUZ SÓLO DETERMINA SI SEPRESENTA O NO EL EFECTO.

- Con mayor detalle, se encuentra que, más allá de la frecuencia de cortehay frecuencias específicas donde, para una misma intensidad, parecehaber una mejor respuesta del material.

Se modela el fenómeno comprendiendo que la luz suministra energía para dosaspectos:

1.) Que el electrón del material se libere (electrón libre).2.) Que ése electrón libre se acelere.

De donde ya podemos deducir que el efecto fotoeléctrico se presenta enSEMICONDUCTORES con gran claridad; en otros materiales algunas veces nopueden diferenciarse con tanta facilidad los electrones provenientes de este efecto(llamados fotoelectrones en argot técnico) de los libres comunes que pueda tenerel material. Por supuesto, en metales este efecto se puede presentar y exhibirsemediante un Ánodo que atraiga los electrones liberados. La energía del electrónliberado es:

electrónE

83

Donde “phi” (ϕ) es la energía necesaria para liberar el electrón, nombradacomúnmente como “Función Trabajo”. Como puede verse, éste es un modeloeminentemente cuántico: la energía electromagnética está cuantizada respecto asu interacción con la materia, y en general colisiona como partícula.

En general un electrón absorbe energía electromagnética en múltiplosenteros de la cantidad mínima posible Ef, es decir, absorbe fotones deenergía. Si la fuente de luz tiene varias frecuencias, entonces absorbediferentes fotones.

Para aclarar lo anterior se suele decir que un fotón tiene distinto color que otro:así, el fotón de la onda electromagnética de mayor frecuencia tiende a ser “másvioleta”. Esto, por supuesto, no es más que notación y nemotecnia, ya que elcolor es una construcción cerebral sin otra realidad física que la frecuencia deoscilación de la onda; se puede decir que una onda tiene mayor o menor longitudde onda o frecuencia de oscilación, pero hablar de color no es físicamente exacto,ya que la percepción del color es relativa.

En un átomo, a primer orden de aproximación, las transiciones en estadoselectrónicos sólo ocurren entre estados adyacentes de energía: el númerocuántico “n” del nuevo estado al que evoluciona un electrón debe ser consecutivoal anterior, por defecto o por exceso; por ejemplo, si el electrón está en una órbitacorrespondiente a n=2, sólo puede pasar a una órbita n=1 o n=3 cuando mucho.Por esto, sólo fotones del “tamaño” (o “color”, ya que en todo caso estas son sólometáforas) suficiente como para proveer esta energía pueden provocar estoscambios. Si el fotón es ABSORBIDO, salta a n=3; si el fotón es EMITIDO porel electrón, esto corresponde a un salto a un nivel inferior n=2. Es importanterecordar que un electrón también puede emitir espontáneamente fotones, si sudecaimiento a niveles inferiores es también espontáneo.

1.7.3 Introducción a la estadística de Fermi-Dirac

ESTADOS ENERGÉTICOS Y ESTADÍSTICAS

En general sería ideal conocer todos los aspectos físicos de un sistema pararealmente poder construir un modelo de su comportamiento. Como hay miles ymiles de átomos en un material, y además cada átomo es tan pequeño que esdifícil medir variables sobre un único átomo, es natural que este proceso seacomplicado; quizá imposible. Teniendo en cuenta que la naturaleza misma de loscomponentes del universo —los fermiones, bosones, átomos y moléculas— estáregida por una teoría probabilística (La Mecánica Cuántica), es comprensible queel estudio de un sólido deba recurrir a herramientas estadísticas para poder vencer

84

la ineludible aleatoriedad en el comportamiento individual de cada átomo,molécula, electrón, etc.

La energía de un electrón está dada principalmente por el número cuántico “n”debido a que las contribuciones a la energía provenientes de cambios en elmomento angular (como se vio anteriormente) —es decir, en el número cuántico“l”— son muy pequeñas: la cantidad más importante de energía que tendrá elelectrón responde a qué valor de n tiene su función de onda. La energía totaltambién está relacionada con otros aspectos del electrón (órbita, velocidad, etc.),de modo que especificar la energía de un electrón en particular se hace decisivo ala hora de entender su estado cuántico. De hecho, en la teoría estadística queexpondremos a continuación se entenderá que un estado cuántico estácompletamente determinado al especificar a qué energía corresponde; dicho deotro modo, hablaremos de estados cuánticos energéticos como los estadosde interés para la comprensión del comportamiento de los sólidos.

Específicamente, en la próxima unidad, abordaremos los temas de la física desemiconductores que realmente son relevantes para la Ingeniería Electrónica.Estos, por supuesto, son los referentes a la respuesta eléctrica, magnética ytérmica de los semiconductores.

ESTADÍSTICA DE FERMI-DIRAC

En este contexto las estadísticas son entonces modelos matemáticos de cuánprobable es que una partícula se encuentre en determinado estado energético.Básicamente, esto corresponde a especificar, en un sólido, cuál es la proporciónde partículas en cada estado: usar la descripción matemática de la probabilidadpara calcular cuántas hay en cada estado energético se haría sencillo.

La estadística de Fermi-Dirac es una excelente aproximación al comportamientoexacto de fermiones en general, desde un punto de vista cuántico….cabe recordarque decir “un punto de vista cuántico” es equivalente a decir “desde el punto devista real y exacto de las partículas”, pues el universo en general es cuántico. Sinembargo, para muchísimos problemas son utilizados modelos clásicos. Porejemplo, la distribución de Maxwell-Boltzmann es aplicada para el estudio demultitud de fenómenos macroscópicos compuestos por la interacción y evoluciónde trillones de trillones de partículas, funcionando de una manera muy satisfactoria¿Por qué? Porque muchos fenómenos físicos (como se discutió al inicio de estaunidad) se comportan de manera clásica en multitud de circunstancias (seaporque el número de partículas provoca este efecto, sea porque las temperaturaslo posibilitan, o sea por la razón que sea), permitiendo un análisis que no requiereutilizar principios de Mecánica Cuántica. La Estadística de Fermi-Dirac SÍ utiliza lamecánica cuántica de electrones que hemos aprendido hasta ahora. Debido a sucomplejidad y el poco uso que se hace en Ingeniería al proceso de estas

85

demostraciones, se explicará muy brevemente y en la próxima unidad se utilizarándirectamente fórmulas finales y conceptos.

La distribución de Maxwell-Boltzman es, aproximada y básicamente, unaexponencial decreciente. Es decir, a medida que revisamos energías superiores,encontramos que hay menos electrones con tal energía. Cualquier fermiónsiempre tenderá a ocupar más bien los estados de menor energía que los demayor energía. Hablando de manera exacta, la distribución de Maxwell-Boltzmanes una exponencial decreciente alterada, de forma que su máximo valor no ocurrepara energía cero sino para alguna energía baja comparada con el resto deenergías mayores que ella que tengan alguna probabilidad significativa.

La distribución de Fermi-Dirac funciona un poco diferente: primero que nada, lassuposiciones de ambas estadísticas son diferentes. En la vida real, los electronesson indistinguibles y cumplen el principio de exclusión de Pauli; estos dosaspectos son completamente ignorados en la derivación de la distribución deMaxwell-Boltzman.

Si tenemos un estado identificado por la energía Ñ, podemos tratar de deducircuántos electrones pueden ocupar ese estado, para construir una función dedistribución de probabilidad según la energía de cada estado. Como debencumplir el principio de exclusión de Pauli, lo que se hace es contar cuántosestados electrónicos contiene cada nivel de energía. Esto quiere decir quecada estado electrónico de energía de un mismo número “n” tiene muchossubestados, como lo vimos al inicio de esta unidad. Si existen 6 electrones en unnivel n1, sabemos que esos 6 electrones están cada uno en un estado cuánticodiferente del resto de electrones, por el principio de exclusión de Pauli. Así,podemos revisar cuántas configuraciones diferentes corresponden al mismoestado energético n1 de esos seis electrones. Esquemáticamente podemos verlos conceptos que hemos explicado hasta ahora en las siguientes figuras.

Figura 55. Electrones en distintos estados energéticos.

En la figura 55 se aprecian 6 niveles, de manera que el último está vacío. Estagráfica puede representar estados energéticos: de esta forma, los nivelessuperiores tienen energía más alta, y por lo menos existen 2 estados cuánticos

86

posibles para los dos primeros niveles: tienen que haber por lo menos dos estadosdiferentes para que dos electrones estén en ese nivel energético. Es posibleencontrar una configuración diferente de los mismos 6 electrones:

Figura 56. De nuevo los 6 electrones de la figura anterior.

Acá es claro que éste es un estado energético de menor energía: ahora el electrónnaranja se encuentra con una energía inferior (de hecho, la más baja deldiagrama), y de paso esto obliga a que en realidad ése estado base debe tenermínimo tres estados cuánticos posibles. Sin embargo, es posible también quedistintas configuraciones produzcan la misma energía total. Supongamos que los5 niveles de los diagramas anteriores no son energéticos, sino de otro tipo. Dehecho, pensemos que n=2: entonces l=0,1 y m = -1,0,1, mientras que los espinesson ½ ó –½. Existen entonces muchas más posibilidades:

L=0 m=0 Un solo estadoL=1 m=-1,0,1 Tres estados

Así vistos, pueden haber 4 electrones en el nivel de energía 2 sin necesidad deacudir al espín. Sin embargo, como la realidad es que el espín existe, contemos:

L=0 m=0 Pero dos espines posibles Dos estadosL=1 m=-1,0,1 Pero dos espines posibles Seis estados

Entonces grafiquemos los niveles que corresponden a Energía = E2:

87

Figura 57. Estados para n=2. En amarillo los posibles estados para l=1 y en morado los posiblesestados para l=0.

Donde el concepto de “subnivel” tiene un sentido independiente de la energía eneste contexto: nuestra aproximación especifica que la energía de todos lossubniveles (los amarillos y el morado) es la misma, la E2. En amarilloencontramos los seis estados que corresponde a l=1, debido a los tres posiblesvalores de m y el spin. El último subnivel está vacío.

El número de estados cuánticos correspondientes a una misma energía se llamaDEGENERAMIENTO DEL NIVEL. La distribución de Fermi-Dirac responde a lasiguiente descripción matemática:

1)(

TK

ii

B

i

e

gn

Donde ni es el número promedio de partículas en el estado de energíai , gi es la

degeneración del estado i-ésimo y μ es una constante que representa el estadofrontera a partir del cual no se espera tener partículas; es el llamado Nivel oEnergía de Fermi, Ef.

88

SEGUNDA UNIDAD DIDÁCTICA

SEMICONDUCTORES EN INGENIERÍA ELECTRÓNICA

2.1 UNIONES

2.1.2 Aproximación conceptual a las consecuencias eléctricas de la regiónde agotamiento

Como se comentó en las últimas secciones de la unidad anterior, una unión PNtiene una zona de recombinación de portadores en donde hay un tránsito decargas a través de la juntura misma. La región P, con portadores positivos, tiendea atraer hacia sí los portadores negativos de la región N. De hecho, esta atracciónpermite que muchos portadores crucen la juntura, dirigiéndose a la zona contrariay permaneciendo ahí sin llegar a recombinarse (recuérdese que la recombinaciónes un proceso parcial, que requiere cierta coincidencia aleatoria entre la ubicaciónde los huecos y los electrones).

Figura 58. Región de agotamiento

En la figura 58 podemos observar que en la región P se acumulan portadoresnegativos, mientras que en la N ocurre lo contrario. Esto se puede ver como unabarrera de potencial (o voltaje) ubicada cerca de la juntura, o como un campoeléctrico atravesándola. Como es evidente, el campo eléctrico va en sentido

89

contrario al existente naturalmente en las zonas PN, como vemos en la figuranúmero 59.

Figura 59. La flecha roja es el campo en la región de agotamiento y la derecha indica el sentidonatural de la corriente de difusión

De este modo, este campo eléctrico debe asociarse a una barrera de potencialque entorpece la circulación de la corriente de difusión. Por supuesto, estosignifica que debemos modificar cualquier modelo simple para encontrarnuméricamente el valor de la corriente de difusión, incorporando el efecto de laregión de agotamiento. Si polarizamos de ciertas maneras, el ancho de la regiónde agotamiento se ve afectado:

Figura 60. Polarización Inversa

En la figura 60 se aprecia la definición de Polarización Inversa: se coloca elterminal N más positivo que el terminal P con una fuente de voltaje. Debido aesto, la región de agotamiento se ensancha (los extremos de cada zona atraen losportadores de la zona contraria), trayendo como consecuencia una reducción de lacorriente de difusión.

En realidad, una mejor manera de mostrar la consecuencia eléctrica es polarizarmediante una fuente de Corriente en sentido INVERSO a la corriente de difusión(en amarillo en la gráfica); en este caso aparecería espontáneamente un voltaje através del material PN, correspondiente exactamente a la barrera de potencial de

90

la región de agotamiento (voltaje inverso). La fuente de corriente tendría un valortambién exactamente igual a IS - ID (recuérdese la notación y descripción usada enla unidad anterior).

Entendiendo estos básicos efectos, es mucho más sencillo afrontar la tarea dededucir el comportamiento de los materiales de los que están hechos losdispositivos semiconductores. El anterior por ejemplo es un DIODO. Cualquierunión PN se constituye en un Diodo, cuyo comportamiento eléctrico se puederesumir en, básicamente, impedir el flujo de corriente en una dirección y permitirloen la otra, admitiendo todo tipo de valores de corriente mientras el voltaje a travésde sus terminales permanece aproximadamente fijo.

2.1.2 Semiconductores con varias uniones: generalidades

Antes de emprender la tarea de entender ecuaciones relacionadas con las unionesPN, daremos un vistazo a los semiconductores en general.

Como se dijo anteriormente, una unión PN constituye un diodo. Estos diodos sepueden construir con diferentes materiales y especificaciones físicas,consiguiendo que sus funcionamientos varíen bastante. Así mismo, laconfiguración y materiales de dispositivos de dos uniones o más hacen que sufuncionamiento tenga muchas más variantes que los de los diodos.

Ajustando las dimensiones del dispositivo semiconductor, en general se puedemanipular la corriente típica (o la máxima o mínima posible) que puede atravesarel semiconductor. De hecho, es lógico pensar que a mayor ancho de seccióntransversal (que sería también el ancho de las junturas PN), habrá más corrientedisponible, como quiera que la cantidad de portadores aumentará.

Con varias uniones pueden construirse transistores bipolares: estos pueden serNPN o PNP. Como puede suponerse, la polarización para lograr que estostransistores funcionen de una u otra forma será exactamente inversa, ya que laregión de agotamiento de cada juntura tiene una barrera potencial de signocontrario.

91

Figura 61. Semiconductor PNP

Otras características tendrán un análogo similar. De hecho, en la construcción decualquier dispositivo electrónico basado en semiconductores siempre intervienenlos mismos aspectos:

- Materiales P y N- Uniones- Diseño de las dimensiones para controlar las corrientes- Diseño de dopado (semiconductores extrínsecos)- Terminales metálicas a través de las cuales se conectan fuentes de

corriente o voltaje para poner a funcionar el dispositivo- Derivación de ecuaciones de corriente y voltaje que dependen de la

corriente y el voltaje forzado a través de las terminales- Posibilidad, para un mismo dispositivo electrónico, de diversas opciones

de funcionamiento.

Existe un tipo más complicado de transistor: el MOSFET, Metal-OxideSemiconductor Field Effect Transistor (luego se verá el significado de su sigla),para cuya construcción se usan técnicas diferentes y cuya estructura es máscompleja. Si se cuentan las uniones, resultan ser muchas: en realidad parte desus zonas P o N no cumplen exactamente la función de proveer portadores sinomás bien de CATALIZAR procesos, hacer que ciertos fenómenos ocurranfácilmente. Su operación es diferente a un transistor PNP o NPN (estos últimosson llamados BJT, Bipolar Junction Transistor).

92

Figura 62. Mosfet y sus partes

Un transistor puede para usarse de varias maneras:

1.) Amplificador: Es capaz de tomar una señal eléctrica y aumentar suamplitud. Para que realice esta función existen siempre varias maneras deconectar el transistor a fuentes de señal y polarización.

2.) Conmutador: Capaz de dejar o no pasar señal (esta es una definición muysimple, pero da la idea general)

3.) Fuente de corriente o voltaje: Grupos de transistores configuradoscorrectamente pueden suministrar una corriente o voltaje estable, paradispositivos “a polarizar”.

En las siguientes secciones se entenderá la operación básica de los dispositivoselectrónicos.

2.1.3 Obtención de ecuaciones

En esta sección se trata de explicar algunos aspectos acerca de las ecuaciones dejuntura, su derivación y compresión, no con el objeto de dejar demostraciones enclaro, sino con la intención de que el estudiante comprenda la mecánica generalde estudio que permite comprender el SIGNIFICADO de una ecuación y lasprincipales leyes que llevaron a su deducción o aceptación. Si el estudiantedecidiera profundizar, se recomiendas los libros de la bibliografía.

En una unión PN en circuito abierto no puede haber corriente. Esto eseléctricamente evidente: sin cerrar el circuito, la corriente es cero. Debido a esto,se plantea la primera y más sencilla ecuación: ID = IS, recordando que estascorrientes van en sentido contrario.

93

Algunas ecuaciones son más profundas en su demostración. Por ejemplo, laexistencia del voltaje de barrera en ausencia de polarización externa TIENE querelacionarse con los portadores de carga…¿pero cómo? Esta ecuación implicaformar otros conceptos adicionales, que requieren física más profunda. Usandolas constantes definidas apropiadamente:

DP= Difusividad de Huecos (una N significaría de electrones)μP= Mobilidad de Huecos (una N significaría de electrones)

Se puede definir VT = DP / μP, el llamado Voltaje Térmico (como ejercicio elestudiante puede constatar exactamente que sus unidades son de voltaje). Estevoltaje es un parámetro fundamental y entrará en multitud de ecuaciones desemiconductores. La idea de “térmico” proviene del que la difusividad y movilidadde los huecos cambia con la temperatura: si especificamos VT, habremosespecificado el comportamiento de la Barrera de Potencial de la juntura. Dehecho, la ecuación que se extrae (Ver el libro de Streetman) es

2

0 lni

NP

T n

NN

V

V

Donde V0 es la Barrera de Potencial en la juntura y las N representan lasconcentraciones de dopado y ni fue definido en la unidad anterior. Esto se reducesimplemente a decir que la relación entre las concentraciones varía de maneraexponencial con el voltaje de juntura. Para temperatura ambiente, el voltajetérmico está alrededor de los 25 mV y la barrera de potencial entre los 0.6 y 0.8Volts. Esta barrera de potencial hay que recordar que NO APARECE A TRAVÉSDE LOS TERMINALES EXTERNOS, PUES ES UN EFECTO INTERNO que escompensado por el dispositivo completo.

El ancho de la región de agotamiento es la suma del ancho en la región n y laregión p (representaremos el ancho por letras W). Si la carga es “q” entonces:

nnpp NqWNqW

Ya que la región de agotamiento es eléctricamente simétrica respecto a la juntura.Debido a esta ecuación se deduce inmediatamente que el producto entre ancho yconcentración es constante para ambos lados. De aquí se deduce que:

0

112V

NNqWWW

np

spn

94

Donde s es la permitividad eléctrica del Silicio, produciendo como consecuenciaque W vaya de 0.1 a 1 micrómetro.

Análogamente se pueden encontrar relaciones exponenciales similares. Laconcentración de portadores minoritarios (pn para la zona p y np para la zona n delsemiconductor) sigue la ecuación:

TVVV

nnn epWp/

0)(

Donde V es el voltaje conectado a través de los terminales de una región PN, enpolarización directa. Entonces la densidad de corriente de difusión de huecosasociada (en unidades de corriente por unidad de área) es:

PnT LwxVVn

P

PP eep

L

DqJ //

0 1

Donde x es la distancia medida desde la juntura y LP es la constante quedetermina el decrecimiento exponencial.

Es posible derivar una ecuación final de la IS mediante consideraciones similares alas anteriores y relaciones de proporcionalidad basadas en principios físicos. Laecuación de la densidad de corriente, por ejemplo, es fácilmente comprensible sise expresan las ecuaciones en términos de proporcionalidad. Por ejemplo, lasegunda exponencial habla simplemente del decrecimiento exponencial de ladensidad de corriente a medida que la distancia a la región de agotamientoaumenta. La primera exponencial se refiere a que la densidad es corrienteaumenta si se le suministra mayor voltaje de polarización externos: ambasexponenciales representan efectos lógicos y comprensibles.

La ecuación para IS es:

nN

N

pP

PiS NL

D

NL

DAqnI 2

Si algún estudiante quisiera profundizar en el tema, puede referirse a los libros dela bibliografía consignada en el Protocolo Académico.

95

2.2 PRINCIPALES DISPOSITIVOS USADOS EN ELECTRÓNICA

2.2.1 Usos comunes de semiconductores. Configuraciones de diodos,transistores y dispositivos relacionados

Los semiconductores se utilizan en toda la electrónica moderna. Una lista(incompleta) de dispositivos basados en semiconductores podría ser ésta:

- Diodos rectificadores- Diodos Zener- Diodos Varicap- Diodos Gunn Impatt- Diodos supresores de tensión- Diodos de corriente constante- Diodos túnel- Diodos Shottky- Diodos Led- Diodos Pin- Diodos sensibles a temperatura- Fotodiodos- Transistores NPN y PNP simples- Transistores NPN y PNP con colector unido a cubierta- Transistores UJT- Transistores de avalancha- Transistores Shottky- Transistores JFET canal n y p- Transistores multiemisores- Transistores Darlington- Tiristores simples- Tiristores de conducción inversa- Triac- Diac

96

- Transistores MOSFET tipo empobrecimiento o enriquecimiento- Transistores MOSFET en general

Donde algunos de los listados anteriormente corresponden a aplicaciones depotencia, donde el material semiconductor tendrá que soportar altas corrientes.Muchos de estos dispositivos se usan para controlar el paso de corriente o voltajea otras partes del circuito. Por otro lado, los fotodiodos aprovechan el efectofotoeléctrico que se estudió anteriormente….así mismo pueden aprovecharseefectos normalmente no deseados para construir aplicaciones específicas. Dehecho, la sensibilidad en temperatura normalmente indeseada es unacaracterística que se busca reforzar en diodos sensibles a temperatura,probablemente con el objetivo que lograr que el diodo registre cambios anómalosen la operación de alguna máquina eléctrica que corra riesgo de averiarse, bajarsu rendimiento u ocasionar daños si opera a temperaturas no permitidas por elfabricante.

A continuación se tratará de mostrar rápidamente algunas de las más simplesconfiguraciones de transistores, diodos y tiristores en Ingeniería Electrónica, con elfin de que el estudiante encuentre motivación para su estudio del funcionamientofísico de estos.

Los diodos y transistores se representan por la siguiente simbología:

Figura 63. Diodos y transistores

Donde D2 es un diodo rectificador normal, Q4 es un TRIAC, Q1 es npn, Q2 espnp, Q3 es un MOSFET de canal N y Q4 uno de canal P. Existen muchos otrosímbolos para otros dispositivos; de hecho, puede haber varios diferentessímbolos que representan el mismo elemento, dependiendo del standard oconvención que se use para nombrarlos/dibujarlos.

Un diodo puede montarse en un circuito de esta forma:

97

Figura 63. Diodo conduciendo

El triángulo marca la región p, mientras la raya indica la región n. De aquí sederiva que está polarizado DIRECTAMENTE. Entonces habrá una corriente através de él apreciable y su caída de potencial será aproximadamente constante.Si el voltaje B1 cambia de sentido, la polarización es inversa y NO HAY FLUJO DECORRIENTE HACIA la resistencia R1. Éste es uno de los usos del diodo:bloquear voltajes inversos a los esperados.

Veamos otro caso muy sencillo, esta vez son transistores.

Figura 65. Transistor en modo amplificador.

La flecha hacia fuera indica que es npn: la terminal con la flecha y la opuesta a ellason de regiones n, mientras que la tercera terminal es la conexión a la región p.

En la figura 65 observamos una polarización de transistor npn para modoamplificador. En realidad esta configuración no es del todo funcional, ya que lasresistencias R2, R3 y R4 cumplen funciones diferentes, especialmente la R4 conrespecto a las otras. Si estos valores de resistencia realmente hubiesen sidocorrectamente calculados y el valor de B1=10Volts fuese correcto, entonces

98

cualquier pequeña señal de voltaje (es decir, una especie de onda perturbativa)que fuera introducida al circuito por la base (la terminal p) saldría amplificad uncierto valor al salir por el Colector (la terminal n superior, conectada a la R2).

Cuando a un diodo rectificador se le somete a un gran voltaje inverso, su funciónbloqueadora de voltajes de este tipo no puede mantenerse. Inevitablementedejarán pasar una corriente después que se les ha polarizado más allá de sulímite, y de hecho resultarán averiados muy probablemente. En esta región eldiodo ZENER presenta a través de sus terminales un voltaje constante aún paragrandes polarizaciones, porque ha sido diseñado específicamente no para quebloquee voltajes inversos sino para mantener un voltaje constante. Comoconsecuencia, un Zener puede conectarse así:

Figura 66. Ejemplo de uso del zener

En este caso vemos que el diodo está conectado al revés de lo que esperaríamos,y sin embargo la corriente fluirá a través de él, desde la parte superior deldiagrama hacia el nodo resaltado en verde (se colocan dos puntos para recordarque eléctricamente la línea es un solo punto, un nodo eléctrico). La mayor partede la corriente que sale de la fuente va hacia el Zener porque su resistenciainterna es baja.

Más adelante se verán detalles respecto a la operación interna de estossemiconductores.

2.2.2 Diodos Rectificador y Zener

Un diodo trabaja siguiendo el siguiente par de ecuaciones:

R

VVI

eII

DDDD

nVVSD

TD

/

Donde ID es la corriente que atraviesa el diodo en un momento dado en el que elvoltaje a través de sus terminales es VD, R es una resistencia en serie con el diodo

99

(normalmente se colocan resistencias en serie o paralelo con el diodo; a vecesson resistencias de carga inherentes a dispositivos conectados al diodo), VDD es elvoltaje de polarización general (ver figura 67) y n es un parámetro de construccióndel diodo (probando cómo cambia ID con VD en un laboratorio se puede trazar unaexponencial y calcular n, fácilmente).

Figura 67. Circuito típico, correspondiente a las ecuaciones mencionadas

En la figura 67 se ve que, suponiendo un voltaje de operación típico de 0.7Voltspara el diodo, todo el sistema tiene una corriente definida por la segunda de lasecuaciones mencionadas. Esta segunda ecuación sólo es válida para este tipo decircuito, ya que uno con, por ejemplo, un arreglo de resistencias corresponderá adiferentes ecuaciones, aunque también sean estas consecuencias de aplicar lasleyes de Ohm y Kirchoff.

La juntura PN tiene un cúmulo de ecuaciones bastante grande. Sedra y Smith, ensu libro “Microelectronics Circuits” consigna la siguiente tabla:

100

Figura 68. Tabla de ecuaciones de la unión PN, extraído Sedra y Smith: Microelectronics Circuits

Es importante notar que cuando especificamos que el voltaje a través del diodoestá fijo en 0.7, estamos realizando una aproximación y descartando la

101

primera de las ecuaciones, que incluye una exponencial. Es decir,suponemos que la corriente y el voltaje tienen una relación mucho más simple quela exponencial. El comportamiento real de la corriente en el diodo con relación alvoltaje que se presenta en él es una exponencial MUY inclinada, por lo que laprimera aproximación (la más cercana a la realidad) que podemos hacer es:

Figura 69. Aproximación de líneas rectas a la corriente en el diodo como función del voltaje.

La figura 69 es muy parecida a una exponencial creciente. Esta gráfica implicaque el modelo cambia para regirse por, en vez de la primera ecuación, por estaotras:

1.) Si el voltaje en el diodo es menor a cierto voltaje umbral (la inflexión de lagráfica, el punto donde la línea horizontal y la inclinada se unen),simplemente la corriente es 0.

2.) De lo contrario, el diodo funciona como una resistencia muy pequeña, conla salvedad de que sólo puede conducir corriente en un sentidodeterminado (polarización directa).

Esto equivale a pensar en el DIODO REAL como un DIODO IDEAL y unaRESISTENCIA conectados en serie.

102

Figura 70. Modelo de líneas rectas

Aún es posible modelar el diodo de una forma más simple. Si el hecho de tener0.6Volts o 0.8Volts en el diodo no es importante (quizá porque el voltaje disponibleB1 es mucho mayor y esa pequeña pérdida es insignificante), podemos pensarque simplemente se mantiene constante en 0,7Volts y la aproximación essimplemente considerar que el diodo es IDEAL. La gráfica entonces es:

Figura 71. Modelo simple de diodo ideal

Ahora bien, si el voltaje aplicado es inverso el comportamiento en el lado negativodel eje de las abcisas no es completamente simétrico con relación al eje y (esdecir, la forma que la gráfica para VD positivo es diferente a la forma de la gráficapara VD negativo. Cuando se le aplica voltaje inverso pequeño el diodo realbloquea el flujo de corriente bastante bien, pero si el voltaje se incrementa su

103

comportamiento empieza a alejarse de lo ideal y en un momento dado entra a laRegión de Ruptura, definida como la región de la gráfica corriente-voltaje en la queel diodo ya no se comporta en absoluto de forma ideal. En la siguiente figura de laUniversidad de la Frontera de Chile puede verse la explicación detallada:

Figura 72. Gráfica real de diodo

De esta gráfica podemos mencionar varios puntos:

1.) Corresponde al modelo de líneas rectas, como resulta obvio.2.) La conducción se logra antes del voltaje de operación (sea 0.6 o 0.8), pero

como no alcanza un alto nivel hasta que pasa este intervalo, se consideraque la baja corriente es aproximadamente cero.

3.) Cuando se le somete a un voltaje negativo (polarización inversa) SÍ existeuna corriente inversa, también aproximadamente igual a cero hasta quepasa un umbral de voltaje inverso más allá del cual el diodo conduce ensentido inverso.

La región de Ruptura por Avalancha corresponde entonces al “lugar eléctrico” enel que ocurre el efecto avalancha, que se traduce en avería si estamos hablandode Diodos Semiconductores normales. El diodo Zener está construidoespecíficamente para operar la región de ruptura por avalancha. Como puedeverse en la gráfica, el Zener puede manejar muy altas corrientes sin alterar en unnivel apreciable su voltaje.

Un mecanismo de ruptura usual, a nivel físico, es la simple liberación deelectrones libres adicionales debido al choque de electrones libres con los enlacesde la red. Este choque es capaz de liberar un electrón enlazado sólo una vez suenergía cinética —proveniente del campo eléctrico— es lo suficientemente grandecomo para “soltar” el enlace.

104

2.2.3 Transistores BJT

Ya hemos comentado varios aspectos directamente relacionados con lostransistores de unión bipolar. Como se vio anteriormente, los npn y pnp sonsimplemente dos versiones de un mismo principio de construcciónsemiconductora.

Como existen dos uniones, podemos definir más modos de operación. Haremosla descripción y el análisis de un transistor npn para luego establecer el paralelocon los pnp.

En un transistor npn decimos que la región p es la BASE. Las dos regiones n sellamarán EMISOR y COLECTOR. Entonces disponemos de dos unones: La deColector-base (CBJ) y la de Emisor-Base (EBJ). Los modos de operación siguenentonces la indicación de esta tabla, según la manera como se polarizan cada unade las uniones:

Modo EBJ CBJCorte Inversa InversaActivo Directa Inversa

Saturación Inversa Directa

ACTIVO

La corriente ID es despreciada en este modo de operación. La EBJ directa traeconsigo un flujo de corriente desde la Base hacia el Emisor. El flujo de corriente,por supuesto, se compone de un flujo de electrones en una dirección y un flujo dehuecos en dirección contraria: esto finalmente se refiere a un flujo de carga, uncambio de estructura del campo eléctrico. De esta manera ésa es la corriente quese espera “salga” de la terminal del Emisor, Ie. Es deseable que la corriente sedeba a flujo de electrones más que a flujo de huecos, por lo que se espera que eldopado n sea mucho mayor que el p.

Como la corriente es Base-Emisor, entonces los electrones del emisor se dirigenhacia la base (su carga es negativa): estos portadores minoritarios siguen comodistribución una línea recta decreciente (aproximadamente), siempre y cuando labase sea de un ancho suficientemente pequeño. La concentración np(0) de estoselectrones en la EBJ sigue:

TBE Vvpp enn /

0)0(

Donde np0 es la concentración en la EBJ, todo suponiendo equilibrio térmico. Lacaída completa de la concentración (línea recta decreciente) responde a la

105

polarización suministrada a CBJ. Las siguientes son gráficas del libro de Sedra-Smith mencionado anteriormente:

Figura 73. Concentración de portadores en función de la distancia, gráfica extraida de SEDRA-SMITH, Microelectronics Circuits.

Figura 74. Flujo de corriente en el npn. Op. Cit.

La corriente de difusión desde la base al colector TIENE que depender de algunaforma de la concentración de electrones. La ecuación exacta es:

W

nqDA

dx

xdnqDAi p

NEp

NEn

)0()(

106

Donde AE es el área de la sección transversal de la EBJ y las otras variablesfueron especificadas anteriormente.La corriente de colector sigue

TBE VvpnEc e

W

nqDAI /0

Donde la cantidad entre paréntesis corresponde a IS, pero np0 = ni2/NA, así que

estas corrientes pueden ponerse en términos equivalentes.

La corriente de base sigue:

TBE

TBE

Vv

bn

iEB

Vv

pp

inEB

eN

qWnAI

eLN

nqDAI

/2

2

/2

1

2

Donde la primera es la corriente debida a los huecos que fluyen de la base alemisor, mientras que la segunda se refiere a los huecos suministrados por elcircuito exterior de polarización (pero recuérdese que todos los puntos seconectan formando un sistema completo, por lo que huecos y electrones delcircuito exterior se relacionan con la recombinación y abundancia de portadores enel interior del semiconductor). b es el tiempo promedio que le toma en la base aun hueco mayoritario combinarse con un electrón minoritario.

Finalmente encontramos que la suma de las corrientes de base difiere de lacorriente de colector en un producto y cociente de parámetros; es decir, difieren enun largo término constante. Entonces la ecuación simplificada es:

BCE

bnppn

np

BC

III

DW

LNDWND

II

2

12

Donde la última es una ecuación eléctrica que se extrae únicamente de la Ley deConservación de Corriente de Kirchoff, en el nodo de confluencia de lasconexiones.

107

2.2.4 Transistores MOSFET

Los transistores de Efecto de Campo de Metal-Óxido Semiconductor funcionandiferente a los BJT, pero los materiales que lo componen y su efecto sobre loscircuitos final una vez se emplean suele ser igual.

El diseño estructural es el siguiente:

Figura 75. Estructura de un MOSFET canal n, basado en el libro de SEDRA.

Otro nombre con el que es conocido el Mosfet canal N es IGFET (Isolated GateFET), debido a que la compuerta (Gate) se encuentra aislada del sustrato P poruna capa de Óxido de Silicio.

VOLTAJE VGS Y CANAL N.

El MOSFET de canal n requiere para operación diferente a modo de corte, esdecir, modos en los que exista corriente circulante aprovechable, que lapolarización sea directa entre compuerta (Gate) y fuente (Source), y estadiferencia de potencial VGS sea mayor que un voltaje de umbral igual a unaconstante de voltaje, Vt. Este límite está relacionado con el concepto mismo delvoltaje térmico, ya que la idea de operación (lo que en el BJT llamábamos activo,saturación) está asociada a la existencia de una región con exceso de electrones

108

entre las dos regiones n y muy cerca de la capa de dióxido de silicio. Esta regiónes llamada canal n, ya que intercomunica las regiones n justo como un canal.

Si no existe voltaje VDS entre las terminales del diodo, por supuesto no hay razónpara tener una IDS, pero el canal n sí puede presentarse, tan solo asegurando queel potencial aplicado en la compuerta repele lo suficiente los huecos el sustrato pcomo para que se cree la región n inducida por este voltaje de compuerta. Paraesto se debe superar el hecho de que naturalmente los electrones colisionanaleatoriamente entre ellos cuando se les atrae con una fuente de voltaje: estascolisiones también se pueden representar por el Voltaje Térmico Vt (diferente alVoltaje Térmico de los BJT’s). Para no confundir los dos Voltajes térmicos, el delBJT es el único que es llamado de esta forma (“Voltaje Térmico”), mientras que elVoltaje Térmico del Mosfet (ya que tiene un significado eléctrico adicional comonivel mínimo de voltaje necesario para la creación de canal n) es llamado Voltajede umbral.

FLUJO DE CORRIENTE

Una vez creado el canal n, los huecos que son desplazados hacia el fondo delsustrato constituyen una concentración de carga positiva aparente, o campoeléctrico positivo (como se quiera expresar). Este campo eléctrico hará que lasregiones n pierdan electrones hacia la región p: estos electrones fluyentes crean laregión de agotamiento característica, como se observa en la figura 76.

Figura 76. Región de agotamiento y Canal N.

109

El canal n, por su parte, es un camino de electrones que provee un caminocircuital que se puede cerrar externamente. De esta manera, cualquier diferenciade potencial VDS creará un flujo de corriente de Drain a Source (Drenaje a Fuente)siempre y cuando exista el canal n, como efecto de un VGS aplicado (recuérdeseque decir que hay corriente positiva de drenaje a fuente es decir que loselectrones van desde la fuente al drenaje).

OPERACIÓN DEL MOSFET

Como puede verse, el procedimiento de conducción es muy diferente al presenteen el BJT. Como primera medida, observamos que no hay corriente deCompuerta, rompiendo la analogía con la Base de los transistores BJT. Elhecho de no tener esta corriente de compuerta implica que la corriente de Drenajees también la corriente de Compuerta: no hay pérdidas de potencia en la base.Esto supone una gran ventaja respecto al BJT; el único reside en la altasusceptibilidad de los Mosfet a daños por descargas electrostáticas (elcomportamiento del canal n es muy sensible a cambios en las característicaselectrostáticas del medio).

Debido a que las curvas corriente-voltaje del Mosfet son muy diferentes, el nombrede las regiones también lo es:

SaturacióntGSDS VVV .

TríodotGSDS VVV

ApagadotGS VV

2.2.5 Montaje en Baquelita

Se puede construir un circuito de muchas formas. También existen variascategorías bajo las cuales se pueden clasificas estos métodos. Todo lo que vienea continuación se referirá a diseño, construcción y montaje de, o biensemiconductores, o bien aplicaciones electrónicas basadas en componentesdiscretos que pueden incluso adquirirse en el mercado. Veamos los tipos declasificaciones del proceso de uso de un semiconductor en una aplicaciónelectrónica:

110

SEGÚN EL NIVEL DE AUTOMATIZACIÓN:- Artesanal: Diseñado y construido completamente por una o más

personas, sin uso de dispositivos o equipos automáticos.- Artesanal asistido: Construido por una o más personas, pero con la

asistencia de hardware o software de ayuda en alguna de las tareas,aunque no todas. Por ejemplo, el uso de CAD para electrónica o deequipos automáticos perforadores.

- Semiautomático: El proceso fundamental es automático, aunque hayaaspectos que se dejen a la mano de obra humana.

- Automático: No interviene mano de obra humana excepto en la fase dediseño, y probablemente parte del diseño lo hace un softwareencargado de calcular secciones transversales, valores de resistenciasy otros.

SEGÚN EL OBJETIVO:- Industrial única: Cuando se configuran y usan las máquinas de

construcción para la elaboración de un único prototipo.- Industrial en serie: Cuando se configuran y usan las máquinas de

construcción para la elaboración en serie de muchos dispositivos, quedebió ya haber sido probado.

- No industrial de investigación o desarrollo: Cuando un investigadorconstruye un circuito o dispositivo de prueba en su formato no final, sólopara constatar el funcionamiento eléctrico.

- No industrial en serie: Cuando un Ingeniero o Técnico construye, unapor una, el número de piezas que necesita de un dispositivo que yaprobó, sin usar máquinas industriales sofisticadas.

SEGÚN LA TÉCNICA:Son muchas, y se distingue ampliamente la técnica para desarrollar circuitosintegrados de la técnica para investigar en semiconductores, al tiempo que estasdos resultan muy diferentes de los métodos usuales (industrial y artesanalmente)de construcción de circuitos y aplicaciones electrónicas basadas en componentesdiscretos (los ya construidos).

A continuación expondremos, sólo como ejemplo orientativo, el Montaje enBaquelita en sus rutas más usadas.

Se pueden montar componentes tales como transistores, diodos, condensadores yresistencias para armar un circuito electrónico para una aplicación específica. Lasuperficie sobre la que se monta debe tener cierta resistencia térmica y eléctrica,excepto en las rutas de conexión entre los puntos que deben estar conectados(según el diseño previo). El montaje en general se puede hacer de tres manerasbásicas:

111

- Baquelitas. Material fenoplástico que puede fabricarse en diferentesformas geométricas, pero que no es modificable por segunda vez.En electrónica, Baquelita se le llama al la estructura formada porverdadera baquelita y una capa de metal (cobre) que, bajo la accióndel ácido férrico, se vuelve dieléctrico. Si se imprimen los caminosde conducción eléctrica sobre la baquelita con una substancia que laproteja de la acción del ácido férrico (cloruro férrico), al final se tieneuna tarjeta sobre la que se pueden soldar los dispositivos. Haydiversas técnicas para lograr la “impresión” mencionada, y otrossustratos de composición similar que sustituyen la baquelita enaplicaciones industriales (producción en fábricas)

- Tarjeta universal: es una especie de baquelita llena de huecos,similar a una protoboard, donde se pueden colocar los elementos asoldar, sin necesidad de tener que hacer la operación de taladro yconstrucción de pistas que sí hace falta en el método anterior.

- Elementos Modulares “Al aire”. Si el circuito tiene suficientementepocos elementos, es posible fijar cada uno a las superficiesdisponibles dentro de la carcaza, de manera que los cables (“al aire”)se fijarán con silicona, ganchos o tornillos, para que el circuitoguarde un orden comprensible. Si hay más de cinco o seiselementos en el circuito, es mejor no utilizar esta alternativa. Inclusoen algunos contextos resulta del todo desaconsejable, aunque elcircuito sea solo un integrado y su polarización.

Las técnicas que permiten la construcción sobre la baquelita (o, en el caso deproducción en masa, de la construcción sobre el sustrato) son, en cuanto aprincipios físicos, básicamente iguales para construcción automatizada en granescala y manufactura de prototipos. La técnica, sin embargo, difiere mucho.

Un estudiante o técnico independiente usará seguramente un perforador si deseahacer los agujeros del circuito donde irán los componentes; una empresa utilizaráuna máquina que automatice el proceso, cuya entrada en computador sonmatrices de puntos sobre los que se ordena taladrar (la alineación de la máquinaes fundamental).

Así mismo, los métodos de impresión del circuito (transferencia térmica,serigráfico, fílmico y cualquier otro similar) se hacen diferentes sólo en tanto latecnología de aplicación es diferente: mientras un estudiante aplicará el método detransferencia fílmica mediante una Impresora Láser que impregna de polvo negrouna lámina de Press N-Peel (tipo de hoja de papel que reaccionaconvenientemente a la temperatura), este proceso en una fábrica corresponderá ala labor de una máquina especializada en impresión para circuitos integrados. Esposible que esta máquina haga las otras funciones de impresión también.

112

TIPOS DE MONTAJE EN TARJETA

El montaje en tarjeta puede ser superficial o through hole. El primero es tal que enrealidad no es necesario hacer huecos, ya que se suelda SOBRE la tarjeta. Estemontaje es característico de circuitos integrados modernos y trae complicacionesen el proceso de soldado, aunque tiene múltiples ventajas relacionadas con peso,tamaño, automatización del proceso, etc.

El segundo, el through hole, es del que hemos hablado hasta ahora: se atraviesala tarjeta para luego soldar por detrás de ella.

También es posible definir una clasificación del montaje según el número de capasutilizadas. Una capa es exactamente eso: una capa de cobre. En una mismabaquelita se puede incluir varias capas intermedias, de modo que se multiplicanlas posibilidades de conexión.

113

2.3 APLICACIONES DE POTENCIA Y APLICACIONES DE SEÑAL

2.3.1 Similitudes y diferencias entre los dispositivos usados en aplicacionesde potencia y de señal. Triac, Tiristor, Schokty.

Una aplicación de Señal es aquella en la que se busca algún tipo de procesado(amplificación, filtrado en frecuencia, etc.) sobre la señal de entrada, pero que nose espera que la señal de salida sea requerida por la carga. ¿A qué se refiere“ser requerida” por la carga? Esto es “no será conectada una carga”; es decir, elprocesado tiene como resultado que las dos terminales de salida exhiben unvoltaje exactamente igual al que se esperaba (por ejemplo, una onda seno igual ala de la entrada pero cuya amplitud es el doble), pero que se mantiene solamenteen circuito abierto.

Cuando se conecta una carga existe un consumo de corriente, ya que se cierrael circuito, y eléctricamente lo normal es que el nivel de voltaje de salida caiga.Una aplicación de potencia es capaz de compensar de alguna forma este efecto,al punto de poder sostener la forma de onda de salida y su amplitud, sin unadisminución apreciable del nivel de voltaje, para un determinado rango deresistencias de carga equivalentes.

En cuanto a diseño electrónico cualquier etapa de potencia puede ser bastantesimilar a una de señal. Sólo en sistemas que añadan elementos de seguridad nosemiconductores (por ejemplo fusibles o acoplamiento por transformadores)pueden verse grandes diferencias morfológicas en los circuitos, ya que ladiferencia fundamental suele caer en qué semiconductores son usados. Untransistor 2n2222, por ejemplo, no puede siquiera soportar una corriente decolector más alta que 0.8 A, típicamente. En cambio, un transistor MOSFETIRFP450 puede soportar hasta 14 A y un TIP41D (npn) puede soportar hasta 6 Ade corriente continua en el colector, o 10 A de amplitud pico. La diferencia en lacorriente máxima que puede soportar un dispositivo se define desde suconstrucción.

Examinemos como ejemplo tres dispositivos semiconductores utilizados enrectificación y control de señales AC (Corriente Alterna):

TIRISTOR

114

Formado por cuatro regiones semiconductoras intercaladas: pnpn. Cuenta contres terminales (ánodo, cátodo y compuerta) y equivale aproximadamente aconectar dos transistores npn y pnp por las dos regiones comunes. La compuertacontrola el paso de corriente, de manera que se hace posible modular cuantacorriente pase según sea la señal de voltaje/corriente en compuerta. Una señalaplicada a la compuerta (ver figura 77), como un pulso de corriente, posibilita elpaso de corriente a través del tiristor, para voltajes ánodo-cátodo bajos. Paravoltajes ánodo-cátodo muy altos, se da un fenómeno de ruptura espontáneo en eltiristor. También puede darse conducción como efecto de incrementos detemperatura, efecto fotoeléctrico sobre el silicio o gradiente de voltaje demasiadoalto.

En realidad el dispositivo que se acaba de describir en el párrafo anterior nosiempre se conoce como la definición de Tiristor, debido a que algunos autoresconsideran que el Triac y otros dispositivos (como el Diac) no son más quediferentes versiones de lo que debe llamarse Tiristor. De esta forma, dentro de losTiristores ubican a estos dos y al que se acaba de explicar, que es llamado SCR(Silicon-Controlled Rectifier).

Figura 77. Tiristor.

TRIAC

Toma su nombre de Triode for Altern Current. Como se mencionó, algunas veceses catalogado también como Tiristor. La razón es que su comportamiento es casi

115

exactamente igual, a excepción del hecho de poder operar en ambas direcciones;es evidente, entonces, que su estructura física es mucho más compleja, comopuede verse en la figura 78 (Universidad de la Frontera, Chile).

Figura 78. Estructura física de un Triac, de http://www.inele.ufro.cl/

El TRIAC puede entenderse como dos tiristores (SCR) conectados en paralelo, ensentido contrario, y con sus compuertas cortocircuitadas. Si se analiza elfuncionamiento del SCR, se entiende inmediatamente que esto permitiría el pasode corriente en ambos sentidos.

SCHOKTTY

Es un diodo que en vez de tener una capa de material semiconductor p, poseeuna capa de metal. De hecho, la capa más bien constituye un electrodo; lainexistencia de la capa p trae como consecuencia un caída de voltaje (en la regiónde conducción) mucho menor a la que se tiene con diodos pn convencionales. Deesta manera, un Metal-Semiconductor Diode (el Schokkty) ofrece menores

116

pérdidas de potencia y alta velocidad de conmutación, pero no es capaz desoportar uso en aplicaciones de potencia (sino más bien de señal).

Hay, sin embargo, ciertos Diodos Schoktty de potencia disponibles en el mercado,que sin embargo no resultan ser los indicados para una variedad de aplicaciones:la capacidad para manejo de potencia depende en gran medida del tamaño deldispositivo, así como indirectamente del número de capas que este tiene, comopuede verse.

2.3.2 Análisis eléctrico detallado de transistores

Eléctricamente se puede representar cualquier dispositivo electrónico en términosde resistencias internas, condensadores, inductancias y amplificadores. La razónde esto es que las transformaciones que puede sufrir una señal constituyen ungrupo de categorías (es decir, están divididas en clases) que no son infinitas.Dicho de otra forma, a cualquier transformación de señal producto de la acción deun dispositivo electrónico se le puede tipificar en una categoría, y estas categoríasno son infinitas. Por ejemplo, un BJT funciona de muchas maneras y puedetrabajar en infinitas configuraciones, ya que siempre puede inventarse una nuevaconfiguración añadiendo otro BJT o cambiando valores de las resistencias deconfiguración; pero podemos agrupar su modo de operación en Corte, Activo ySaturación. Así mismo, las configuraciones posibles (la estructura del circuito alque está conectado el BJT para que trabaje) pueden agruparse en clases; dehecho, éstas existen y son bien conocidas: Emisor Común, Colector Común, BaseComún.

Por todo lo anterior, resulta conveniente usar como modelo eléctrico del transistorun grupo de ecuaciones sencillo, en parte extraído de las ecuacioneseléctricamente relevantes de la sección 2.2.3. Estas ecuaciones soneléctricamente relevantes dependiendo de la aplicación en la que se usa: elmodelo eléctrico para aplicaciones DC diferirá del modelo para aplicaciones AC.

En particular, las ecuaciones fundamentales para DC en el caso del BJT npn(tomémoslo como ejemplo), activo o en saturación, serían:

BCE

EC

BE

BC

III

II

V

II

1,

7.0

Mientras que las ecuaciones AC deben responder a un modelo que representaqué efecto tiene el transistor sobre la señal de entrada. Suponiendo que

117

hayamos asegurado la polarización correspondiente a modo activo en el transistor,tendremos un modo de amplificación; es decir, la señal sufrirá una transformaciónen su amplitud según la constante β y la configuración específica seleccionada.Para modelar cómo se comporta el transistor, podemos usar la siguienterepresentación del funcionamiento interno de éste:

Figura 79. Modelo Híbrido π para pequeña señal

Donde la fuente dependiente debe representar la ganancia: es natural que su valorsea βIB y que las resistencias representen el comportamiento no ideal de untransistor: que existen pérdidas inevitables. Se puede usar también otro modelo,como el modelo T, pero el estudio específico de cada uno suele realizarse en uncurso de electrónica análoga, por lo que (para nuestros intereses) es suficientecon comprender dos aspectos sobre el estudio del comportamiento eléctrico de lostransistores:

1.) La forma como se polariza el transistor en DC determina su operación: esdecir, es necesario colocar los niveles de voltaje requeridos para estarseguros que el transistor se operará en la zona de funcionamientodeseada, durante todo el tiempo que se espera que eso ocurra (la señal aamplificar, por ejemplo, puede verse como un voltaje que varía, pero debeexistir un nivel de DC en todo momento que asegure que la polarización delas uniones es la correcta).

2.) Cuando se desea diseñar un circuito basado en transistor, es necesarioasegurar lo anterior con un modelo simplificado al que le suministramosparámetros como β, corriente máxima permitida, VBE mínimo, etc.; y luegodiseñar el resto de condiciones requeridas con un modelo de AC(pequeña señal) sobre el que representamos con más detalle la estructurainterna del semiconductor, aunque de una manera simple y práctica, demanera que aseguremos el resultado que se exige al diseñar.

Otro efecto interno de los transistores en general es el comportamiento capacitivode las junturas. Siguiendo un esquema similar al presentado anteriormente, estopuede representarse en el siguiente modelo π (en este caso para un MOSFET):

118

Figura 80. Modelo π complementado con la incorporación de los efectos capacitivos de juntura entransistor MOSFET (Sedra)

Como se estudia en cualquier curso de circuitos AC, los capacitares presentanuna respuesta a las señales que varía con la frecuencia (como consecuencia de lanatural imposibilidad para cargarse instantáneamente). El resultado de introduciruna capacitancia en un circuito amplificador es que éste tendrá una banda defrecuencias en las que responde mejor (la amplificación es posible), mientras queotras tenderá a rechazarlas. Ajustando las conexiones externas y la configuracióny valores de dispositivos como resistencias, se puede manipular la respuesta enfrecuencia, al menos dentro de ciertos límites.

La resistencia R0 representa el carácter no ideal del transistor: las pérdida entredrenaje y fuente.

119

2.4 FÍSICA DE DISPOSITIVOS ELECTRÓNICOS ESPECIALIZADOS

2.4.1 Comportamiento eléctrico de células solares, centelladores y tubosFotomultiplicadores

En general los transductores optoelectrónicos funcionan a partir del efectofotoeléctrico o el de Emisión Espontánea. Éste último se refiere a la emisión deenergía electromagnética debido a un cambio estructural interno de un material.Para ser exactos, cada fotón es emitido por un electrón que cambia su estadocuántico a uno de menor energía. Como vimos en la primera parte del curso, estosólo ocurre en intervalos de energía bien determinados (cuantización de los saltosenergéticos).

Por tanto, la INTENSIDAD (no confundir con la frecuencia o energía por fotón) dela radiación electromagnética siempre está directamente relacionada con elnúmero de electrones causantes de la emisión espontánea. Por otro lado, laFRECUENCIA de la onda emitida está relacionada con el cambio de energía quesufren los electrones. Esto obedece a la ecuación:

E

Teniendo en cuenta lo anterior, podemos entender la Emisión Espontánea como elproceso aproximadamente inverso al efecto fotoeléctrico. Esto será básico paraasociar los tres elementos mencionados bajo una misma categoría: laoptoelectrónica.

CÉLULAS SOLARES

Cuando el silicio recibe radiación, el efecto fotoeléctrico obliga a que cada electrónaumente su energía; sin embargo, esta energía puede no ser aprovechada enforma de corriente eléctrica sino como simple energía térmica.

Si en vez de tomar silicio se usa una unión PN, el exceso de energía por electróntrabaja a favor del efecto la aparición de huecos y electrones de conducción queya hemos revisado en secciones anteriores. De hecho, cuando luz de laslongitudes de onda correctas incide sobre la región de agotamiento, los electrones

120

atraviesan la barrera de potencial característica y se produce corriente; lasuficiente para asegurar un flujo permanente (salvando las pérdidas resistivasnaturales de todo circuito). Para el silicio monocristalino la eficiencia teóricamáxima en cuanto a la conversión de energía lumínica en energía eléctrica es del26%, frente a la máxima alcanzada en laboratorio de un 25%. Otros materialesmanejan eficiencias superiores: el Arseniuro de Galio, por ejemplo, ya en 1996producía una eficiencia del 35% usado con concentradores (véase próximopárrafo) y en 2006 del 40.7%, usando multicapas de arseniuro de galio sobreobleas de Germanio.

Es necesario diferenciar el concepto de “unión pn” a lo que comúnmente sedenomina “Celda Solar”. Una Celda Solar normalmente se compone, además delmaterial semiconductor básico, de dispositivos que optimizan el desempeño. Porejemplo, se recubre el semiconductor de un material antireflectivo para mejorar laabsorción de luz; otra solución que ya es exterior a la celda solar misma es el usode estructuras transparentes que funcionen como lentes, concentrando los rayossolares hacia la celda, aprovechando en fenómeno de refracción.

Eléctricamente la celda solar se identificará por su corriente de corto circuito,voltaje a circuito abierto, el factor de forma del diagrama de Voltaje-Corriente y unpunto de éste. La eficiencia (obviamente) disminuye con la temperatura, ya que laagitación térmica estorbará el normal desarrollo del efecto fotoeléctrico en la celdasolar. Esta eficiencia SIEMPRE está relacionada con el hecho de que la absorciónde fotones se hace para ciertos intervalos de frecuencia de luz, que son loscorrespondientes a las transiciones atómicas posibles en el material.

CENTELLADORES

Aprovechan tanto el efecto fotoeléctrico como la emisión espontánea. UnCentellador está hecho de materiales que puedan ser excitados por el paso departiculas cargadas o radiación gamma (radiación electromagnética, o fotones,como quiera pensarse), o en otras palabras, que experimenten colisiones desde elpunto de vista cuántico (recuérdese que a nivel cuántico no se espera un choqueentre partículas sino una interacción entre ellas). Como consecuencia de esto, laspartículas que se radian sobre el centellador pierden algo de velocidad y laradiación gamma es absorbida: los estados atómicos del centellador seránestados excitados (en cierta proporción), en razón a las colisiones partícula-partícula o partícula-fotón (ésta última es una absorción). Los estados excitadospresentan emisión espontánea, produciendo finalmente fotones (radiación gamma)que puede ser usada para identificar qué tipo de radiación fue la que provocó laexcitación inicialmente.

La respuesta del centellador a rayos gamma puede no deberse únicamente alefecto fotoeléctrico, sino también al efecto Compton, que es la dispersión de unfotón al cruzarse con un electrón, perdiendo energía en el proceso (cambiando su

121

frecuencia y alterando el estado del electrón). El funcionamiento del centelladorcomo detector se complementa con algún material fotoeléctrico que presente unaintensidad de corriente directamente proporcional a la intensidad de luz incidente.Puede verse la representación de la detección de fotones centellados en la figura81.

Figura 81. Cuentas de fotones centellados contra una variable indicadora de su frecuencia oenergía asociada (llamada aquí “canal”). La imagen proviene de http://bibliotecadigital.ilce.edu.mx

Los centelladores pueden ser de diversos materiales, como compuestos de sodioo GeLi; éste último corresponde a la figura 81.

TUBOS FOTOMULTIPLICADORES

Los tubos fotomultiplicadores básicamente funcionan mediante la amplificación deefecto fotoeléctrico inicial. La forma como esto se consigue se puede entenderfácilmente si se separa la acción de sus componentes:

- Fotocátodo: Es el material (con baja función trabajo) que recibe la luzpara generar electrones libres a su superficie

122

- Fuente de voltaje: se encarga de suministrar la diferencia depotencial base a través de la cual se aceleran, a lo largo del tubo, loselectrones emitidos.

- Dínodo: es un material que sirve a la vez como ánodo y cátodo, yaque los electrones que incidan sobre él producirán a su vez emisiónde una mayor cantidad de electrones. Entre más dínodos haya,mayor es la amplificación de señal que realiza el fotomultiplicador.

- Ánodo: es la terminal final que sirve como electrodo o contacto desalida, desde donde se registra la corriente medida.

La disposición de los dínodos puede seguir diferentes geometrías que se intentaadecuar a un óptimo desempeño del tubo fotomultiplicador, mientras que losmateriales escogidos para el fotocátodo presentan respuesta fotoeléctrica siempraa bandas de frecuencia específicas. Con diez dínodos se puede obtener unaamplificación hasta de 105 veces lo detectado, pudiéndose lograr sensibilidadesextremas.

2.4.2 Transductores láser, termoeléctricos y piezoeléctricos

LÁSER

Quiere decir Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation, Amplificaciónde Luz por Emisión Estimulada de Radiación. Como su nombre lo indica, difierede la Emisión Espontánea en que el efecto de emisión no se debe a la relajaciónsimple de un estado excitado, sino a alguna manipulación externa.

El efecto Láser se produce únicamente cuando la alguna pre-estimulación crea elestado de excitación artificial mencionado anteriormente y posteriormente se da unefecto de amplificación como consecuencia de la Emisión Estimulada y la reflexiónde esta dentro de una cavidad preparada para ello (espejos). Examinemos puntoa punto el proceso del láser:

1.) Se excitan los átomos mediante luz (mayores o iguales frecuencias a ladel láser) o campos eléctricos adecuados (son posibles las colisiones) conobjeto de incrementar su energía. Este proceso es llamado Inversión de laPoblación, debido a que los estados excitados se conviertenprácticamente, por su abundancia estadística, en los nuevos estadosbase.

2.) Se bombardea con luz de la frecuencia del Láser. Einstein demostró quecuando un fotón golpea el estado excitado, se desprenden dos fotonesidénticos (es decir, de la misma frecuencia) en la misma dirección: uno esel incidente y otro es el liberado.

123

3.) Son usados espejos ubicados en línea recta y en la dirección de enfoquedel láser. Como consecuencia de esto, los fotones que permanecenencerrados son solamente los fotones que van en esa dirección, demanera que llega el momento en que sólo estos fotones inciden sobre loselectrones excitados, produciéndose solamente luz en la direcciónescogida.

Como consecuencia de su método de elaboración, el láser tiene las siguientescaracterísticas:

1. Coherencia.La Luz emitida tendrá una única fase a nivel dirección. Esto puede verse por elhecho de que la emisión de los fotones se hace en la exacta misma direcciónpara cada electrón emisor, ya que la dualidad onda-partícula implicaría que laonda asociada a cada fotón es de igual fase.

2. MonocromatismoSe puede alcanzar una emisión de luz potente y bastante restringida en cuantoa intervalo de frecuencias posibles (casi de una sola frecuencia), según sehaya escogido una fuente inicial de luz con espectro de frecuencias lo másacotado posible.

3. Concentración de hazLos espejos permiten escoger el ancho del haz, ya que la cantidad de fotonespor unidad de área en el proceso de rebote será la que produzca el haz finalproyectado a través del espejo semitransparente.

Los láseres no sólo se hacen con semiconductores. Por ejemplo, el láser de Helio-Neón es excitado mediante la aplicación de voltajes de alrededor de 100 volts ytrabaja a una longitud de onda de 632.8 nm.

TRANSDUCTORES TERMOELÉCTRICOS

Como se ha visto en diferentes momentos del curso, la energía cinética de unelectrón individual (partícula) puede afectar diversas variables macroscópicas deun material específico (red): específicamente la temperatura y la corrienteeléctrica. La razón de lo anterior viene de las propias definiciones de temperatura,corriente y energía cinética por átomo o electrón.

En un transductor termoeléctrico la cantidad de electrones libres está directamenterelacionada con la temperatura del material: esto se deduce inmediatamente sitenemos en cuenta que un semiconductor (ejemplo de posible transductor de estetipo) la resistencia disminuye con la temperatura. Por otro lado, no sólo elincremento de una corriente dada puede ser indicadora de cambios en la

124

temperatura: la termocupla en general es construida uniendo metales diferentes, oaleaciones de estos, lo que quiere decir que el efecto térmico de lossemiconductores no es realmente el usualmente escogido.

La termocupla o termopar en realidad aprovecha el efecto Seebeck: si un extremode un metal se encuentra a diferente temperatura que el otro extremo, éste exhibeun cambio en el potencial eléctrico que aparece en el extremo de referenciatérmico; ese cambio en el potencial es diferente según cada material, así que si seestablece una misma diferencia de temperaturas ΔT entre los extremos de cadauno de los dos metales, se puede leer una diferencia de potencial entre unextremo de referencia de un material y el del otro material (los que están a lamisma temperatura de referencia, que puede ser la ambiente o 0 grados Celsius,dependiendo de la aplicación).

Como los materiales de las termocuplas con el Platino, Rodio, Cobre, Hierro yotros metales, no es objeto de nuestro estudio profundizar en esto.

TRANSDUCTORES PIEZOELÉCTRICOS

Presentan un efecto similar al fotoeléctrico en cuanto a resultados, perorelacionado con la presión ejercida por el material, en vez de la luz.

Los transductores piezoeléctricos pueden estar hechos de materiales diferentes,como el Titanato de Bario o el Dióxido de Silicio; en estos casos no se debeconfundir estos compuestos con un semiconductor, ya que los oxígenos presentescambian mucho las propiedades eléctricas del material en la red cristalina (loconvierte en un dieléctrico muy eficiente). El efecto piezoeléctrico es,fundamentalmente, la aparición de una diferencia de potencial como resultado dela creación de dipolos eléctricos bien definidos en la estructura cristalina, comoefecto de la presión ejercida.

2.4.3 Estudio de caso: uso de transductores en electrónica avanzada.

Los transductores en general son usados en una gran cantidad de aplicaciones.Además de las celdas solares usadas en los equipos espaciales (satélites,exploradores, etc), se pueden contar numerosas aplicaciones sofisticadas desemiconductores, en sistemas en los que típicamente la electrónica es mucho máscompleja que la usual.

Entre las aplicaciones fundamentales están los láseres de alta precisión, potencia,monocromatismo o coherencia y los centelladores y tubos fotomultiplicadores de

125

los detectores o aceleradores de partículas. A continuación se consigna el papelde los semiconductores en cada uno, así como su propósito.

DETECTORES

Son centros creados para medir o identificar radiación cósmica: luz, positrones,muones, neutrinos y otros. Los neutrinos, por ejemplo, son partículas de casi nulamasa y sin carga, por lo que no interaccionan mucho con la materia. Comoconsecuencia de esto su detección es indirecta, y toda detección indirecta traelugar a mayores posibles errores; sin el uso de tubos fotomultiplicadores, lasseñales lumínicas detectadas (absorbidas por un transductor fotoeléctrico menoselaborado) serían demasiado débiles y confusas para ser consideradas fiables.

El detector de neutrinos Super Kamiokande de Japón funciona detectando laradiación que emiten 50.000 toneladas de agua pura al interactuar con neutrinosdel espacio. Para ello se ubica una capa exterior de más de 1800fotomultiplicadores encima de una capa interior de más de 9000fotomultiplicadores, con el objeto de discriminar mejor la señal (direcciones deincidencia, etc.).

La comprensión de cómo la información de recepción de los multiplicadores puededar información acerca del neutrino (estos tienen diferentes energías cinéticas yson de diversos tipos) requiere un nivel de conocimientos físicos mayor al de uningeniero no especializado en ello, por lo que no se abordará. En la figura 82 semuestra cómo se observa el registro de detección en una visualización gráfica dela superficie interna del tanque de agua, tomada de la página oficial del detector.En particular, representa un Muón atravesando la masa de agua, entrando por laparte inferior del tanque y saliendo por el costado. Cada partícula deja una “huelladactilar” lumínica cuando atraviesa la masa de agua, produciendo la detección deradiación en los tubos fotomultiplicadores a diversas frecuencias. Los coloresrepresentan el tiempo, siendo el azul anterior al verde.

Un neutrino muónico puede descomponerse al atravesar la masa de agua: ésta esla única forma de detectarlo efectivamente: por las partículas en las que se hadescompuesto. Particularmente, en la figura 83 observamos cómo el muón queun neutrino a producido emite cierta huella luminosa. Después que el muón a suvez decae en electrón, éste también puede ser detectado.

ACELERADORES DE PARTÍCULAS

El objeto de los aceleradores de partículas es realmente colisionarlas. Cuando secolisionan un par de antipartículas, por ejemplo, éstas se aniquilan y setransforman en energía pura. Sin embargo, la energía en que se transforman es

126

demasiado alta (la suma de sus energías cinéticas más la energía de sus masas,por la relación E=mc2), así que tienen a formarse espontáneamente partículas quepueden entenderse como la “decantación” o “solidificación” de la energía liberada.Normalmente las partículas que se espera de estas colisiones son de muchostipos, entre neutrinos, muones, electrones, positrones y otros, por lo que esnecesario una física de detectores muy avanzada y precisa.

Figura 82. Huella de un muón, tomada de la página oficial del Superkamiokande

127

Figura 83. Huella de un muón, tomada de la página del SuperKamiokande

El LHC (Large Hadron Collider) es un colisionador de cierto tipo de partículas (loshadrones) de 27 Km de largo dispuesto en forma de circunferencia para acelerarlas partículas hasta colisionalas en el detector ATLAS (A Toroidal LHCApparatuS), donde se encuentra la electrónica de detección requerida.

El detector ATLAS se componte de varios subdetectores; cada uno con múltiplescapas, como se ve en la figuras 84.

128

Figura 84. Detector Atlas, LHC, CERN:

El papel de los semiconductores en este detector es muy importante: por ejemplo,el detector de pixels (Pixel Detector) usa silicio de 250 micrómetros.

129

2.5 TÓPICOS AVANZADOS EN SEMICONDUCTORES

2.5.1 Técnicas para la elaboración de circuitos integrados

Actualmente los circuitos integrados se fabrican por medio de procesos decrecimiento de películas delgadas basados en semiconductores como el silicio(Si), el germanio (Ge) y el arseniuro de galio (GaAs). El material más usado parala fabricación de los circuitos integrados es el silicio porque se puede encontrarfácilmente en la naturaleza, ya que es el elemento principal que compone la arena.El proceso de fabricación tradicional (estandarizado) comienza con el crecimientode un cristal de silicio de alta pureza en forma de cilindro de 10 a 30 cm dediámetro y un metro de longitud. Este cilindro es luego cortado en láminas de 400a 600 micrómetros de espesor; estas láminas se pulen hasta tener un acabado deespejo, mediante técnicas químicas y mecánicas de pulido (este CMP, por sussiglas en inglés, es un proceso que utiliza un compuesto acuoso abrasivoconjuntamente con una almohadilla de pulido). Las láminas se presionan contra laalmohadilla y se rotan de tal manera que se eliminan todas las impurezas, dejandola lámina completamente plana y limpia.

Una vez que las láminas estén preparadas, se recubren algunas zonas condióxido de silicio ( 2SiO ), esto se lleva a cabo calentando las láminas a 1000 –1200 ºC hasta que se genera una capa de óxido en la superficie del material. Laspartes de la lámina que no están recubiertas se someten a un proceso de difusiónque dopa el silicio (tipo p) con impurezas que contengan electrones creando unacapa de silicio tipo n (Figura…a.). Las impurezas usadas más comunes sondopantes como el fósforo, el boro y el arsénico.

El siguiente paso es definir la región activa, o la región donde los transistoresserán ubicados, esto se hace usando una técnica llamada de oxidación local, en laque una capa de nitruro de silicio ( 43 NSi ) es depositada sobre la superficie de lalámina en patrones, de tal forma que protege las regiones con el nitruro de laoxidación (Figura…b.). Este proceso de oxidación se lleva a cabo mediante unproceso llamado oxidación húmeda que consiste en un proceso químico deoxidación con vapor de agua. Después de este proceso aparecen regiones condióxido de silicio entre los transistores (Figura…c.). Luego se procede con laformación de una compuerta de polisilicio, esto se hace cuando una delgada capade óxido es removida de la región activa seguida por el crecimiento de unacompuerta de óxido de alta calidad (Figura…d.). La geometría de la superficie sedefine mediante un proceso llamado fotolitografía, que consiste en usar la luz para

130

transferir un patrón geométrico a un material sensible a la luz en el sustrato, estematerial es llamado fotoresistivo (Figura…e.). Cuando el material se expone a laluz a través de una placa fotográfica que contiene el patrón, las zonasfotoresistivas se ablandan imprimiendo el patrón o la máscara en la superficie delmaterial. Una vez que se haya depositado el material fotoresistivo, se pone otracapa de polisilicio, usualmente dopado con arsénico (tipo n). El proceso re repiteuna vez más pero esta vez se dopa el material son boro (tipo p) (Figura…f.). Antesde que los contactos sean hechos, se deposita una delgada capa de dióxido desilicio mediante el proceso (CVD) o deposición química de vapor, que es unproceso en el cual gases reaccionan químicamente permitiendo la formación de unsólido sobre un sustrato (Figura…g.). El óxido CVD se deposita usando unamáscara fotosensible, de tal manera queden hechos los orificios para loscontactos metálicos. Por último, estos contactos se hacen mediante el proceso demetalización que consiste en evaporar por medio de calor una capa de aluminioque luego se deposita sobre la superficie del sustrato (Figura 85, siguientepágina).

2.5.2 Control del crecimiento de semiconductores: Física de materiacondensada

Desde la época del inicio de la construcción de circuitos y dispositivos electrónicosa escalas nanométricas, se empezaron a desarrollar técnicas para el crecimientode películas delgadas (láminas de varios micrómetros de espesor) de diferentesmateriales, ya fueran metales, aislantes o semiconductores. Los procesos decrecimiento de materiales generalmente son de origen químico o físico, yconsisten en controlar la manera como las redes cristalinas se enlazan entre sí.Estos procesos son llamados deposiciones, lo que textualmente significaríadepositar una lámina delgada de algún material sobre un sustrato (material conforma no laminar). Los procesos que son de origen químico generalmente sonutilizados para el crecimiento de películas metálicas, debido a que se llevan acabo de esta forma, como —por ejemplo— los baños de plata y oro.

En el caso de los materiales semiconductores se utilizan procesos físicos para elcrecimiento de las películas delgadas; estos son:

- Evaporador de haz de electrones.- Sputtering.- Deposición por pulsos láser.- Haz molecular epitaxial.

131

Los procesos se diferencian en la forma como los átomos son desprendidos delmaterial que se desea crecer; el resto del proceso suele ser muy similar, comoveremos a continuación.

132

Figura 85. Proceso típico de fabricación de un Mosfet Complementario (CMOS), tomado deSEDRA.

EVAPORADOR DE HAZ DE ELECTRONES

133

Es una forma de deposición por vapor en el cual un objetivo es bombardeado porun haz de electrones generado a partir un filamento de tungsteno previamentecalentado en una cámara de alto vacío. El haz de electrones evapora el objetivo(que contiene el material deseado), que luego se precipita sobre el sustrato,cubriéndolo en forma de película delgada.

SPUTTERING

Este sistema de crecimiento de películas semiconductoras consiste en que losátomos del material que se desea crecer se disparan hacia un sustrato para quesean depositados en éste y formen la lámina delgada. Esto es logrado por lascámaras evaporadoras: emiten un gas inerte ionizado (como el argón) hacia unobjetivo que contiene el material que se desea crecer, haciendo que los átomosdel objetivo sean expulsados al colisionar con el gas inerte, para despuésdepositarse sobre el sustrato. Para que esto funcione bien, es necesario que losiones sean de un tamaño comparable a los átomos del material a crecer; por lotanto, también se utilizan otros gases inertes como el neón, el kriptón y el xenón.

DEPOSICIÓN POR PULSOS LÁSER

Este sistema consiste en un pulso de luz localizado que evapora la superficie delmaterial deseado para luego depositarse en el sustrato. Generalmente esteproceso es llevado a cabo en una cámara de alto vacío.

HAZ DE MOLÉCULAS EPITAXIAL

Este método consiste en un sistema que calienta materiales cono el galio o elarsénico hasta el punto de sublimación, para luego condensarse sobre el sustrato.Una de las características principales de este método es la baja tasa dedeposición (aproximadamente 1000 nm/h), lo que permite que la lámina crezcaepitaxialmente, es decir, se hace crecer una capa monocristalina sobre un sustratotambién monocristalino, pero de otro material. Por este motivo, el proceso debellevarse a cabo en una cámara de alto vacío donde no haya impurezas de ningunanaturaleza. De esta forma se pueden crecer películas delgadas de arseniuro degalio (GaAs) para este caso.

La física de la materia condensada estudia básicamente los problemas que serefieren a estados coloides, estados sólidos (amorfos o cristalinos), fluidos ycualquier otro estado intermedio de la materia que en el que las partículas puedanestudiarse como un conjunto estadístico. A continuación se brinda una breve

134

explicación de un tópico de investigación de frontera en Materia Condensada: lospuntos cuánticos.

PUNTOS CUÁNTICOS

En la primera mitad de los años 80, un físico-químico de los laboratorios Bell(Louis E. Brus) descubrió que cuando existe contacto directo entre dossemiconductores crecidos epitaxialmente, se crea un confinamiento cuántico paralos excitones (pares electrón - hueco) en las tres dimensiones espaciales. Esteconfinamiento da como resultado un espectro discreto de energías posibles queda lugar a estados ligados similares a los de los átomos; es por esto que lospuntos cuánticos también son conocidos como átomos artificiales.

El confinamiento cuántico de los puntos se crea cuando dos semiconductores quetienen diferentes GAP’s de energía se acoplan. Estas diferencias de energíascrean pozos de potencial que confinan los electrones y los huecos espacialmente,dando como resultado el espectro discreto de energías.

Los puntos cuánticos se han estudiado con gran interés desde su descubrimientohasta la actualidad debido a sus propiedades ópticas no lineales y susaplicaciones en el desarrollo de dispositivos tecnológicos de nanoescala, ya que eltamaño de los puntos cuánticos varía generalmente entre 10 y 50 nm. Una de laspropiedades ópticas más destacadas es que puntos cuánticos del mismo materialpero con diferente tamaño emiten luz de diferente color. Por esta razón, lasaplicaciones más importantes son los dispositivos emisores de luz, como losláseres.

En la figura 86 podemos ver cómo se registra la apariencia de estos puntoscuánticos.

2.5.3 Investigación en semiconductores y la aproximación Hartree-Fock-Funcional de Densidad

La investigación en semiconductores es una rama de la física aplicada cuyasconsecuencias en el diseño y construcción de circuitos integrados pueden serinmediatas. El diseño de circuitos integrados, por su parte, puede darse a nivel desemiconductores o a nivel de circuito: el primero se refiere a la elaboración denuevos materiales idóneos para aplicaciones de electrónica y el segundo serefiere al ajuste de los parámetros geométricos y eléctricos del circuito integrado(como puede ser, por ejemplo, el ancho del canal de un Mosfet).

135

Figura 86. Puntos cuánticos nanocristalinos de CdSe. Emiten luz de diferente color dependiendo eltamaño de los puntos cuando se irradian con luz ultravioleta. V. I. Klimov. Nanocrystal quantumdots: From fundamental photophysics to multicolor lasing. Los Alamos Science 28 214 (2003).

Dentro del nivel más fundamental encontramos numerosos estudios tenientes amejorar la manera como se estiman las características cuánticas de redessemiconductoras que son creadas para determinada aplicación. La importanciade conocer esta información mecano-cuántica (conocer el hamiltoniano y lafunción de onda del sistema de partículas) radica en que los procedimientos deconstrucción de circuitos integrados VLSI (Very Large Scale Integration) requierenla manipulación de una cantidad cada vez menor de átomos (nanotecnología), demanera que aproximaciones no muy exactas acerca de cómo se comportan losmateriales que desprecien los aspectos cuánticos resultan inadecuadas: laspredicciones de lo que debería pasar con un determinado material al aplicardeterminada técnica de manipulación fallan.

Es por esto que el estudio de la física de semiconductores de la forma más exactaposible hoy adquiere más importancia que en el pasado (años 50’s, por ejemplo),cuando la tecnología no podía siquiera detectar muchos de los efectos cuánticosmás sorprendentes, como la condensación de Bose-Einstein (un cuarto estado dela materia que sólo se consiguió en 1996 y era predecido por cálculos combinadosde Albert Einstein y Satyendra Nath Bose). Además del proceso de fabricación decircuitos integrados, una correcta estimación de las propiedades cuánticas desemiconductores (y otros compuestos inorgánicos y orgánicos) puede finalizar enel desarrollo de dispositivos de alta tecnología (de hecho, ya ha ocurrido endiferentes momentos de la historia como, por ejemplo, la invención delmicroscopio de efecto túnel) en campos tan disímiles como la medicina, laexploración espacial, la industria de electrónica de consumo y la informática dealto nivel.

136

Una de las aproximaciones al cálculo exacto de una función de onda de muchaspartículas es la Hartree-Fock.

El problema del caso de muchas partículas es que la forma usual de encontrar lafunción de onda (usar el hamiltoniano conocido, aplicar condiciones de frontera yver qué funciones cumplen las leyes físicas que se sabe son inherentes alsistema) se vuelve extremadamente compleja, al punto de hacerse irrealizable.Esto se debe principalmente a la interacción entre partículas: si el conjunto que seexamina es, por ejemplo, diez electrones girando alrededor del núcleo, la solucióncompletamente exacta tendría que tener un hamiltoniano que depende de todas lacoordenadas relativas, ya que la energía potencial electromagnética del sistemadepende de las distancias de separación entre los electrones y su posiciónrespecto al núcleo. Ahora, si queremos escribir el hamiltoniano de un sistema de1023 átomos (lo que es apenas unos pocos gramos), la tarea es prácticamenteimposible.

Aunque las aplicaciones de nanotecnología manejan unos órdenes de magnituden la cantidad de partículas mucho menores que 1023, aún así la tarea escompletamente impráctica, sobretodo si se consideran TODAS las interaccionesposibles, debido a cualquiera de las cuatro fuerzas fundamentales (la gravedad,sin embargo, siempre se puede despreciar, al igual que efectos relativistas que aestas velocidades no suelen ser importantes).

En el caso de materiales cristalinos, la aproximación de Hartree-Fock usa términosaproximados en el hamiltoniano y —aquí la contribución del método— lasuposición que la función de onda total del sistema es igual a la combinación linealde productos de funciones de onda orbitales. Dicho más claramente, se asumeque la función de onda real del sistema es una suma de productos de funciones deondas más simples, que a efectos prácticos terminan siendo las funciones de ondacorrespondientes a los orbitales atómicos, explicados en la unidad 1. La razón deque cada sumando sea un producto de varios funciones es que cada funciónrepresenta el estado de cada partícula, de manera que el producto de ellas es elestado total del sistema cuando cada partícula está en el orbital atómicocorrespondiente.

La teoría del Funcional de Densidad puede usar resultados de aproximaciones deHartree Fock: esta teoría intenta usar un Funcional de Densidad (una especie defunción de funciones) en vez de la función de onda previamente dicha. Siendoexplícitos:

137

Representa la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para unsistemas de N partículas (en la aproximación Bohn-Oppenheimer), donde U es laenergía de interacción entre esas partículas. Aún en el caso de que sean todoselectrones, esta interacción electromagnética es difícil de determinar, porque laenergía electromagnética depende en realidad de las posiciones de cada par departículas que se está analizando (y, he hecho, de su velocidad, si se quiere tenertoda la energía de manera muy exacta). Inclusive esta complicada ecuación essólo una estimación, ya que en realidad:

)....,,,.....,,(ˆ321321 NN vvvvrrrrUU

Y la sumatoria de V(ri) también debiera depender de las velocidades, si el cálculofuera exacto. A pesar de todo, la ecuación que asume las energías totales comosumatorias de energías parciales es una aproximación casi exacta, debido a quelas energías que se calculan considerando las velocidades son las magnéticas, ynormalmente estas son de una magnitud mucho menor, así que pueden serdespreciadas sin que los cálculos de energía o las funciones de onda halladasdifieran mucho.

La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo que hemos llamado “de laaproximación Bohn Oppenheimer” (en realidad esta aproximación se refiere aconsiderar el núcleo como estático y las aproximaciones de energía sindependencia de velocidad son más bien usuales a todos los métodos) podríautilizarse para, sabiendo cómo debe ser las funciones de energía —y esto seconoce en gran proporción, debido a que las leyes físicas están bienestablecidas— hallar cuál es la función de onda que identifica el sistema departículas que analizamos (por ejemplo, este sistema podrían ser un millón deátomos de silicio, sólo 106 átomos, comparados con los 1023 de los que hablamosanteriormente).

El problema reside en que 106 átomos de silicio, por ejemplo, a pesar de constituirmenos de una millonésima de nanogramo (una cantidad que sólo se puedemanipular en laboratorio), convierten la ecuación de Schrödinger asociada en unaecuación imposible de resolver. Por esto se usa la teoría del Funcional deDensidad, que expresa la física de la Ecuación de Schrödinger en otra ecuación,que además actúa sobre una función diferente a la función de onda: la densidadde partículas, definida como sigue:

Y el valor esperado de un observable O (recordando la unidad 1) se escribe, paratoda teoría de mecánica cuántica, en la notación de Dirac, que es ésta:

138

Donde O[n0] es el observado para una densidad de partículas n0, es decir, delestado base. Entiéndase entonces que ni será otra densidad, de un estado i quebásicamente se refiere a otra configuración, muy probablemente con observablescon valores esperados completamente diferentes, incluyendo a la energía (si tienedudas respecto al concepto de observables y cómo se calculan, refiérase a lospárrafos finales de la sección 1.2.2.3). El estado base entonces tiene energía:

Y la contribución de energía que hace el potencial externo V se calculará demanera análoga, en el caso de que se trabaje la densidad de partículas en vez dela función de onda, así:

La de energía de intercambio entre los electrones se halla de manera idéntica:

Como las expresiones son más simples, se puede tratar el sistema como un todo,aunque no se pueden evitar las complicaciones matemáticas del todo.