Unidad 1Crecimiento de Cristales1. Crecimiento de Cristales1.1 Estructura atmicaEluniverso, comonosotros lo conocemos, est dividido en dos partes: materia y energa. La materia es algo que ocupa espacio y tiene peso; piedras, agua, aire, automviles, ropa, e incluso nuestros propios cuerpos son buenos ejemplos de la materia. Toda la materia est compuesta de un elemento o combinacin de elementos. Un elemento es una sustancia que nopuede reducirse a una forma ms simple. Los ejemplos de elementos conlosqueseestencontactotodoslosdassonfierro, oro, plata, cobre, oxgeno, etc. Hayms de 100elementos conocidos de los que toda la materia est compuesta.Si nos adentramos a una escala ms pequea, veremos altomo, la partcula ms pequeaenlaqueunelementopuedereducirseytodavapuedenretenersetodas sus propiedades originales. Los tomos de un elemento, sin embargo, difieren de los tomos de otros elementos. Como hay ms de 100 elementos conocidos, por lo tanto, hay ms de 100 tomos diferentes, teniendo un tomo diferente para cada elemento.Cuandoinvestigamoseltomo, encontramosque estbsicamente compuesto de electrones,protones, yneutrones. Adems, loselectrones, protonesyneutronesdeun elemento son idnticos ha aquellos de cualquier otro elemento. Existen tipos diferentes de elementos porque el nmero y el arreglo de electrones y protones son diferentes para cada elemento. El electrn lleva una carga negativa pequea de electricidad. El protn lleva un carga positiva de electricidad igual y opuesta a la carga del electrn. En los tomos existe una partcula neutra llamada neutrn. El neutrn tiene una masa aproximadamente igual a la de un protn, pero no tiene carga elctrica.Segn la teora, los electrones, protones y neutrones de los tomos estn colocados de una manera similar a un sistema solar en miniatura. Vea el tomo de helio en la figura 1.1. Dos protones ydos neutrones formanel ncleopesadoconuncargapositiva y alrededor giran dos electrones muy ligeros. El camino que cada electrn toma alrededor del ncleosellamarbita. Loselectrones semuevencontinuamenteensusrbitaspor la fuerza de atraccin del ncleo. Para mantener una rbita alrededor del ncleo, los electrones viajan a unavelocidad que produce una contrafuerza igual ala fuerza de 1Unidad 1Crecimiento de Cristalesatraccindelncleo. As, como se exige energa para mover un vehculo espacialde la tierra, tambin se exige energa para mover un electrn del ncleo. Se dice que el electrn est en el nivel de energa ms alta como un vehculo espacial cuando viaja a una rbita msgrande. Losexperimentoscientficos han mostrado que el electrn exige unacierta cantidad de energa para quedarse en una rbita. Esta cantidad se llama nivel de energa del electrn. Envirtudsolamentedesumovimiento, el electrncontieneenergacinticay debido a su posicin, contiene tambin energa potencial. La energa total contenida por un electrn(energacinticamsenergapotencial) eselfactorprincipal quedeterminael radio dela rbita delelectrn.Para que un electrn permanezca en esta rbita, no debe perder ni ganar energa.Figura 1.1 La composicin de un tomo de helio simple.Los electrones nosiguencaminos al azar, al contrarioellos sonrestringidos a nivelesdeenergadefinidos. Visualiceestosnivelescomocscarasconcadacscara sucesiva espacindose una distancia mayor del ncleo. Las cscaras (o como se nombrar de aqu en adelante capas), y el nmero de electrones requerido para llenarlas, puede ser predicho usando el principio de exclusin de Pauli. Este principio especifica que cada capa contendr unmximode 2n2electrones, donde ncorresponde al nmero de la capa que empiezaconlaprimeramscercanaal ncleo.Poresteprincipio,la segunda capa,por ejemplo, contendra 2(2)2 8 electrones cuando est llena.Adems de numerarse,a las capas se les dan tambin las designaciones de letras empezandoconlams cercanaal ncleoyas progresivamentehaciaafueracomose muestra en la figura 1.2. Se considera que las capas estn llenas, o completas, cuando ellas contienen las cantidades siguientes de electrones: 2 en la primera capa K, 8 en la segunda 2Unidad 1Crecimiento de Cristalescapa L, 18 en la tercera M, y as sucesivamente, de acuerdo con el principio de exclusin de Pauli. Cada una de estas capas es una capa mayor y puede ser dividida en subniveles de capas, delas cuales haycuatro, nombradass,p,dyf. Comolascapas mayores, los subnivelesestntambinlimitadosalnmerodeelectronesqueelloscontienen. As, el subnivel s est completo cuando contiene 2 electrones, el p cuando contiene 6, el d cuando contiene 10, y elf cuando contiene 14 electrones.Figura 1.2 Designacin de capas.Ya que la capa Kno puede contener ms de 2 electrones, debe tener slo un subnivel, el subnivels. La capa M est compuesta de tres subniveles: s, p, y d. Si los electrones en los subniveless,p,yd, sonagregados tambin,se encuentra que su total es 18, el nmero exacto exigido para llenar la capa M. Note la configuracin del Cobre ilustrada en la figura 1.3. El tomo de Cobre contiene 29 electrones que llenan completamente las primeras tres capas y subniveles, dejando un electrn en el subnivel s de la capa N. Una lista de todos los otros elementos conocidos, con el nmero de electrones en cada tomo, esta contenida en la Tabla Peridica de los Elementos.Figura 1.3 El tomo de cobre.3Unidad 1Crecimiento de CristalesEl nmero de electrones en la capa externa de un tomo determina su valencia. Por esta razn, la capa exterior de un tomo se llama Banda de Valencia Capa de Valencia, y los electrones contenidos enestacapasellamanelectrones devalencia(Figura1.4). La valencia de un tomo determina su habilidad para ganar o perder un electrn que a su vez determina las propiedades qumicas y elctricas del tomo. Figura 1.4 La capa de valencia es la primera en captar la energa.Cuando un tomo tiene en su capa de valencia 5 electrones, este trata de completar sucarga a8 electrones debido a que el nmero mximo en la capa de valencia es 8; la tendencia de este tomo es la de captar electrones y no la de cederlos. A los materiales que contienen ms de 5 electrones de valencia se les llama aislantes. Existen tomos con menos de 4 electrones de valencia y resulta ms fcil para ellos cederlos que captarlos de otros tomos; a este tipo de materiales se les llama conductores. Por lo tanto a los elementos que contienen cuatro electrones de valencia se les llama semiconductores, puesto que no son ni buenos conductores ni buenos aislantes.La actividad qumica de un tomo est determinada por el nmero de electrones en sucapadevalencia. Cuandolacapadevalenciaestcompleta, el tomoesestabley muestra una pequea tendencia a combinarse con otros tomos para formar slidos. Slo los tomos que poseen ocho electrones de valencia tienen una capa exterior completa. Estos tomos son llamados tomos inertes o inactivos. Sin embargo, si en la capa de valencia de un tomo falta el nmero requerido de electrones para completarla, entonces la actividad del tomo se incrementa.4Unidad 1Crecimiento de CristalesEl silicio y el germanio, por ejemplo, son los semiconductores ms frecuentemente usados. Los dos son bastante similares en su estructura y conducta qumica. Cada uno tiene cuatro electrones en la capa de valencia. Considere slo al silicio, puesto que tiene menos que el nmero requerido de ocho electrones que se necesitan en la capa exterior, sus tomos se unirn con otrostomoshasta que los ocho electrones estn compartidos.Esto da un total de ocho electrones en cada tomo en su capa de valencia; cuatro propios y cuatro que pidi prestado de los tomos circundantes. El compartir electrones de valencia entre dos o ms tomos forman un enlace covalente entre los tomos. Como resultado de este proceso de compartir, los electrones de valencia se unen. Esto puede ser ilustrado mejor por la vista bidimensional del silicio en la figura 1.5. Los crculos en la figura representan los ncleos de los tomos, las lneas cortas indican electrones de valencia. Debido a que cada tomo en estemodeloseuneacuatrotomos,los electrones no son libres de moverse dentro del cristal. Como resultado de esta unin, el silicio y el germanio puro son conductores pobres de electricidad.Figura 1.5 Vista bidimensional de un retculo cbico de silicio.Otro tipo de enlace es el inico electrovalente, y se presenta cuando dos tomos son de elementos diferentes y alguno de ellos cede uno o ms electrones de valencia y el otro los capta. Cuando esto sucede, el nmero de los electrones en los diferentes tomos es menor mayor que el de sus protones, de modo que los tomos tienen una carga elctrica; es decir, se convierten en iones. Cuando un tomo cede electrones a otro tomo, el que los 5Unidad 1Crecimiento de Cristalescede se vuelve un in positivo y el que los capta se vuelve un in negativo. Por lo tanto, las cargas opuestas se atraen y la atraccin mutua de los iones hace que se unan. Note en la figura 1.6 el cloruro de sodio (sal comn), los iones se combinan formndose una molcula con 8 electrones de valencia.Figura 1.6 Para que exista un enlace inico, un tomo tiene que cederelectrones, al hacerlo se convierte en un in positivo y el otro tomo en un innegativo.Por ltimo, elenlacemetlicoseformaprincipalmenteenbuenos conductores comopor ejemploel Cobre(figura1.7). Cadatomotieneunelectrndevalenciay siempre puede salir de su rbita; sin embargo, casi inmediatamente encontrar la rbita de otrotomo, liberandoas unelectrndevalenciadeesetomo. Entonces, serepiteel proceso y los electrones de valencia pasan continuamente de una rbita a otra . Este proceso seefectadeunamanerabastantedesordenada, puesloselectrones devalencianose asocian con ningn tomo en particular, aunque siempre estn en la rbita de alguno de ellos. Como resultado, todos los tomos comparten todos los electrones de valencia y estn unidos. Figura 1.7 Los electrones de valencia cambian de rbitas al azar; as, todos los tomos comparten sus electrones de valencia.6Unidad 1Crecimiento de Cristales1.2 Materiales Semiconductores.El trminosemiconductorproporciona una idea de las caractersticas de este material, el prefijo semi se aplica por lo general a una gama de niveles que se encuentran a la mitad entre dos niveles.Un conductoresun material que soporta un flujo de carga cuando se aplica una fuente de voltaje a travs de sus terminales. Un aislantees aquel material que ofrece un valor muy pobre de flujo de carga bajo la tensin de una fuente de voltaje aplicada. Por ltimo, unsemiconductoresel material que presenta un nivel de conductividad situado entre los casos anteriores.Laconductividadelctricaes la capacidad que tieneun materialparapermitir el flujo de electrones. La resistividad es la inversa de la conductividad (figura 1.8), es decir, cuanto mayor sea el nivel de conductividad, menor ser el nivel de resistencia; la resistividad esta dada por la siguiente expresin:( ) ( ) 2cmcm cmAlRFigura 1.8 Definicin y representacin de la resistividad en unidades mtricas.En donde R es la resistencia ( ), l es la longitud en metros o centmetros y A es el rea de cortetransversal enmetroscuadradosocentmetroscuadradosy esladensidaden Kg/m3. La tabla 1.1 proporciona distintos valores de resistividades de diferentes materiales.7( 1.1)Unidad 1Crecimiento de CristalesTabla 1.1 Resistividades tpicas de materiales a 20C.MaterialResistividad , mMaterialResistividad , mAluminio 2.83 x 10-8Grafito 8 x 10-6Antimonio 4.17 x 10-7Hierro 9.8 x 10-7Baquelita, compuestos y resinas plsticas1 x 1010Plomo 2.2 x 10-7Latn 7 x 10-8Aleacin de manganina 4.4 x 10-7Carbono 3.5 x 10-5Mercurio 9.6 x 10-7Aleacin de constantn 4.9 x 10-7Mica 1 x 1014Cobre 1.7 x 10-8Nicromo 1 x 10-6Alpaca (plata alemana) 3.3 x 10-7Caucho (duro) 1 x 1016Germanio 0.45 Silicio 1.3 x 103Vidrio 1 x 1012Plata 1.6 x 10-8Oro 2.4 x 10-8Acero (4% Si) 5 x 10-7Tungsteno 5.2 x 10-8La conductividad elctrica puede variar debidoa factores externos tales como cambios de temperatura, excitacin ptica y concentracin de impurezas. Debido a que se pueden variar las propiedades elctricas tales como: movilidad, conductividad, resistividad, etc, los semiconductores son los materiales ms adecuados para el desarrollo de dispositivoselectrnicos. Enel Captulo2.6seretomarel conceptodeConductividad Elctrica.A los semiconductores, Si y Ge, se les llama semiconductores elementales, por que estn compuestos de una sola especie de tomos. Si se agregan elementos de las columnas III ( B, Al, Ga, In, Tl ) y V (N, P, As, Sb) de la tabla peridica al silicio y al germanio se crean los materiales extrinsecos, y combinaciones de las columnas II y III se obtienen los semiconductoresintermetlicos, compuestos. Enel cuadrosinpticodelasiguiente pgina se muestran las aplicaciones de los semiconductores elementales y los compuestos.Los materiales semiconductores presentan un patrn perfecto en el ordenamiento de sus tomos (ocasi perfecto) que es de naturaleza peridica (que se repite enforma continua). Un patrn completo se denomina cristal y el arreglo peridico de los tomos red. Ms adelante se amplan ms estos trminos.8Unidad 1Crecimiento de Cristales1.3 Redes Cristalinas.1.3.1 Materiales Cristalinos y amorfos.Los semiconductores son materiales slidos que poseen caractersticas tales como elasticidad y rigidez. En la clasificacin de los slidos existen tres categoras, que son: los slidos amorfos, los slidos cristalinos y los slidos policristalinos (Fig. 1.9). Los materialesamorfostienensustomosomolculasfuertementeunidosentres, perono tienenningunaregularidadgeomtricaenel espacioqueocupan. Adiferencia delos materiales amorfos, los materialescristalinospresentan una periodicidad perfecta (o casi perfecta) en su estructura atmica; as, se llegan a comprender mejor fsicamente que los slidosamorfos. Lamayoradelossemiconductores sefabricanapartir demateriales cristalinos y por eso se estudiaran algunas caractersticas de ellos.Rectificadores.Transistores.CIs.Detectores de Infrarrojos.Detectores de Radiacin Nuclear.ElementalesGaAs.GaP.GaAsP.Emisores de Luz.Materiales Fluorescentes.ZnS.Combinaciones II-IV.SemiconductoresInSb.CdSe.PbTe.PbSe.CompuestosDetectores de Luz.Diodos de Microondas(Diodo Gunn)GaAs.9Unidad 1Crecimiento de CristalesFigura 1.9 Representacin bidimensional, que muestra la diferencia que existe entre los arreglos atmicos de un slido cristalino, amorfo y policristalino.1.3.2 Celdas Unitarias.En los materiales cristalinos los tomos del cristal presentan un arreglo peridico al cual se le llama red. Existen muchas maneras de colocar los tomos en un volumen, y las distancias yorientaciones entre los tomos pueden tomar muchas formas; pero las redes contienen un volumen llamado celda unitaria, que es una muestra representativa de la red completa y que se repite a todo lo largo del cristal. En la Fig. 1.10 se representa una red cristalina vista de una forma bidimensional.Figura 1.10 Red cristalina.Seleccionemos el paralelogramoformadopor lasletras ABCDcomounacelda unitaria; vemos que en cada esquina existe un tomo. Si tomamos al tomo que tiene la letra A como el origen del paralelogramo, podemos trazar dos vectores; uno de A hacia B y otro de A hacia C. El primer vector se le denota por la letra a y al segundo por la letra b. A 10Unidad 1Crecimiento de Cristalesestosdosvectores selesconocecomovectoresbase. Si trasladamosal paralelogramo ABCD con mltiplos enteros de los vectores a y b, una nueva celda unitaria a la original se obtiene. De esta manera, todo el cristal se puede reproducir de una forma fcil y sencilla. Por lo tanto, cada punto de la red del cristal se puede representar por un vector r, teniendo:kb ha r + en donde h y kson enteros. Por ejemplo, si el vector r = 2a + 2b entonces se obtiene una nueva celda unitaria idntica a la original (Fig. 1.11). La celda unitaria ms pequea que representa la red cristalina se llama celda unitaria primitiva.Figura 1.11 La celda formada por los vectores a y b, se le conoce con el nombre de celda unitaria primitiva.Si vemos la Fig. 1.12, se pueden definir diversas formas de representar las celdas unitarias; por ejemplo: ABCD ycadaunacontienensusvectoresbase. Tambinse puede representar a una celda unitaria en tres dimensiones y se representa de la siguiente manera:lc kb ha r + + en donde h, k, y l son enteros.11(1.2)(1.3)Unidad 1Crecimiento de CristalesFigura 1.12 Celdas unitarias con sus correspondientes vectores base.La celda unitaria tiene un valor muy importante debido a que se puede analizar al cristal completo investigando un volumen representativo. Por ejemplo, con la celda unitaria sepuedenencontrarlasdistanciasentrelostomosmsprximosymscercanospara encontrar las fuerzas que unen a la red; podemos ver la fraccin del volumen de la celda unitaria llenado por tomos y podemos relacionar la densidad del slido al arreglo atmico. Debidoaquelossemiconductorespresentanestetipodearregloenformadered, las propiedadesdelaredcristalinaperidicadeterminanlasenergasdeloselectronesque participan en el proceso de la conduccin; de esta forma, la red cristalina no solo determina las propiedades mecnicas del cristal sino tambin sus propiedades elctricas.1.3.3 Redes de Bravais.Las redes de Bravais (Fig. 1.14) son 14 formas en las que se pueden acomodar los tomosdelasredesparaqueseobtengael mismomediocircundante; dichodeotra forma, si uno observara el cristal desde uno de los tomos de la red, vera exactamente la mismacolocacindelos tomos circundantes alaredsinimportar lacolocacindel observador. Las redes de Bravais se agrupan en 7 grupos o sistemas cristalinos que son:12Unidad 1Crecimiento de CristalesTabla 1.3 Los siete sistemas cristalinosSistema Red de Bravais Caracterstica de la Celda UnitariaTriclnico Simple90 c b aMonoclnico Simple centrada en la base 90c b aOrtorrmbico -Simple centrada en la base-Centrada en el cuerpo-Centrada en la cara90 c b aTetragonal Simple centrada en el cuerpo90 c b aCbico -Simple centrada en el cuerpo-Centrada en la cara90 c b aHexagonal Simple 90 120 ; c b aTrigonal(Rombohdrico)Simple90 c b aLa Fig. 1.13 Nos muestra los ngulos y dimensiones dentro de la celda para representar los valores dados en la tabla 1.3.Figura 1.13 Notacin de ngulos y dimensiones dentro de la celda unitaria.13Unidad 1Crecimiento de CristalesFigura 1.14Representacin tridimensional de las 14 Redes de Bravais.14Unidad 1Crecimiento de Cristales1.4 Bandas de Energa.1.4.1 Interaccin de los niveles de energa u rbitas.Hemosvistoqueenlos materiales semiconductores,los tomos estn unidos por electrones de valencia compartidos (enlace covalente) y para entender que sucede cuando dos o ms tomos en un semiconductor estn prximos entre s, a continuacin se explica que sucede cuando se vara la distancia de dos tomos vecinos.Cuandodos tomosseencuentran muy separados entre s, los niveles de energa ms externos al ncleo de cada tomo no interactan y, por lo tanto, no se presenta ningn cambio en dichos niveles (figura 1.15a). Al disminuir la distancia entre los dos tomos, los nivelesdeenergamsalejados del ncleo interactan y se traslapan, formando un solo nivel deenerga(figura1.15b). Si secontinadisminuyendoladistanciaentreambos tomos, el mismo fenmeno se presentar ahora con los niveles de energa mas cercanos a sus ncleos (figura 1.15c).Figura 1.15 Formacin de las bandas de energa.15Unidad 1Crecimiento de CristalesSi consideramos que un semiconductor slido contiene alrededor de 1023 tomos/mol, se puede observar que los niveles de energa para un conjunto de tomos se encuentran tan prximos entre s que prcticamente forman una banda de energa.Todos los materiales slidos presentan su propia estructura de bandas de energa. Las variaciones en esta estructura son las responsables de la amplia gama de caractersticas elctricas que presentan varios materiales. Las bandas de energa representan la cantidad de energa requerida para liberar a los electrones de sus rbitas, en otras palabras, que tan fcil o difcil es liberar a los electrones para iniciar la conduccin elctrica. Existen niveles de energaparacadaunodelos electrones decadacapa; sinembargo, slonos interesa conocer los niveles correspondientes a las ltimas capas.Paraque loselectronespuedan producir una corriente elctrica primero necesitan liberarse de sus bandas de valencia y as, poder pasar a la siguiente banda que se denomina banda de conduccin. Entre estas dos bandas existe una banda intermedia que recibe el nombredebandaprohibida, debido a que en esta zona no puede estar presente ningn electrn (figura 1.16).Figura 1.16 Representacin de las bandas de valencia y conduccin de forma ideal.Labandaprohibidaesconsideradael parmetromsimportanteenlafsicade semiconductores. Resultados experimentales muestran que la banda prohibida de muchos semiconductores decrece con el incremento de la temperatura. La figura 1.17 muestra las 16Unidad 1Crecimiento de Cristalesvariacionesdelabandaprohibida como una funcin de la temperatura para el Ge, Si y GaAs. La variacin de la banda prohibida con la temperatura puede ser expresada por una funcin universal, dada por:( ) ( )+ T TgE TgE20Figura 1.17 Variacin de la Banda prohibida para el Ge, Si y GaAs, como una funcin de la temperatura.los valores de Eg( 0 ), y se dan en el Apndice E; T corresponde a la temperatura. A la temperatura ambiente(300K), los valores de la banda prohibida para el Ge, Si y GaAs son: 0.66 eV, 1.12 eV y 1.42 eV respectivamente.Para hacer el estudio terico de las bandas de energa en los slidos existen varios mtodos numricos.Para el caso de los semiconductores los ms usados frecuentemente son: elmtodoOrtogonalizadodeondaplana, el mtodoSeudopotencialyel mtodo k p; los cuales no se analizaran en este material. En la figura 1.18 se muestra la estructura de bandas que se han calculado para el Si, Ge y GaAs17(1.4)Unidad 1Crecimiento de CristalesFigura 1.18 Estructuras de banda de energa para el Si, Ge y GaAs, en donde Eg es la energa de la banda prohibida.En la figura 1.19 podemos ver los diagramas de bandas de energa para un aislante, semiconductor y conductor en su forma ideal.Labandadevalenciarepresenta el nivel de energa que poseen los electrones de valencia, entantoquelabandadeconduccin, representael nivel deenergaquelos electrones deben alcanzar para poder liberarse de su capa. Si al electrn se le aplica una energa menor a la energa de la banda prohibida, el electrn permanecer en la banda de valencia; por el contrario, si la energa aplicada al electrn es mayor o igual a la energa de la banda prohibida el electrn adquiere energa suficiente para saltar a la banda de conduccin.Enlosmaterialessemiconductoresaunatemperaturade0K, loselectronesse encuentran en la banda de valencia estticos. Si se aumenta la temperatura, por ejemplo a 300K(25C) ungran nmerode los electrones adquieren suficiente energa para abandonar la banda de valencia y pasar a la banda de conduccin, en otras palabras, brincan la banda prohibida.18Unidad 1Crecimiento de CristalesFigura 1.19 Diferentes alturas de la banda prohibida para un aislante, semiconductor y conductor.Sepuedever enlas figuras quelabandaprohibidatienediferentes valores de energaenlosdistintosmateriales, estonosindicaquetanfcil odifcil esliberar un electrneiniciar laconduccin. Parael aislantelabandaprohibidaesmuyancha, el semiconductor tiene una banda prohibida ms estrecha y el conductor no tiene debido al traslapamiento de la banda conduccin y la de valencia.La energa necesaria para que elelectrn salga de la banda de valencia a la banda deconduccinsemideenelectrn-volts(eV),quesedefinecomolaenergacintica adquirida porun electrn cuando es acelerado en un campo elctrico producido por una diferencia de potencial de un volt. Numricamente, un eV equivale a 1.6x10-19joules, o bien unjoule son 6.2x1018 eV. Por ejemplo, se necesitaran6.2x1020 eV/sec para encender una bombilla de luz de 100 watts."1.5 Semiconductores Directos e Indirectos.En la figura 1.18 se mostraron las bandas de valencia y conduccin para el Ge, Si y para el GaAs. Se puede ver una diferencia notable entre las grficas del Si y GaAs. En el GaAs, el mnimodelabandadeconduccincoincideconel mximodelabandade valencia; si unelectrn enla banda de valencia saltara la banda prohibida, caera directamente en la banda de conduccin. Al aplicar una energa externa al semiconductor (voltaje, calor, etc) los electrones logran pasar de la banda de valencia a la de conduccin; 19Unidad 1Crecimiento de Cristalesal quitar esta excitacin, los electrones tienden a regresar a la banda de valencia, emitiendo la energa que absorbieron en forma de un fotn de luz. A este tipo de semiconductor se le conoce como semiconductor directo.Por otraparte, enel casodel Si nocoincidenlasdosbandas. Al aplicarleuna energa externa y luego quitar la excitacin, los electrones regresan a la banda de valencia pero, la energa que recibieron ya no la liberan en forma de un fotn de luz sino en forma de calor. Esta diferencia de estructuras de bandas directas e indirectas es muy importante para decidir cuales semiconductores pueden ser usados en dispositivos que emiten luz (por ejemplo, para fabricar LEDs).1.5.1 Materiales IntrnsecosUn materialintrnsecoes aquel que se ha refinado para obtener un semiconductor puro. Un cristal de silicio es un semiconductor puro, si cada tomo existente en el cristal es untomodesilicio. Alatemperaturade0Ktodosloselectronesseencuentranenla banda de valencia y por lo tanto, la banda de conduccin se encuentra vaca (Figura 1.20).Figura 1.20 Electrones de valencia en reposo.Cuandose incrementa la temperatura de unsemiconductor slido, unnmero crecientedeelectrones devalenciaabsorbensuficienteenergatrmicapararomper el enlace covalente y lograr alcanzar la banda de conduccin. Estos electrones contribuyen a 20Unidad 1Crecimiento de Cristalesun nmero mayor de portadores libres e incrementan el ndice de conductividad, produciendo un nivel inferior de resistencia (Figura 1.21).Figura 1.21 Al adquirir energa los electrones saltan a la banda de conduccin.Apesar dequesehaincrementadoel nmerodeelectrones libres dentrodel material, el flujodeelectrones sermnimoydesordenadoynoexisteunacorriente elctrica en s. Este fenmeno se abordar a fondo en el apartado 2.3 (Proceso de conduccin).1.5.2 Materiales Extrnsecos.Paraaumentar lamuypocaconductividadquepresentaunsemiconductor puro (material intrnseco), lo que se hace es impurificarlo doparlo. Para el caso del Silicio este proceso consiste en aadir tomosde elementos que contengan 5 electrones de valencia y 3 electrones de valencia. Aunque al material intrnseco se le agrega una pequea cantidad de impurezas(quiz1parteen10millones), sealteranconsiderablementelaspropiedades elctricas del material. A un semiconductor puro que se ha impurificado se le conoce como semiconductor extrnseco. Existen dos tipos de materiales semiconductores extrnsecos, el material tipo p y el material tipo n.1.5.2.1 Material tipo N.Para el caso del silicio y el germanio se pueden agregar impurezas pentavalentes (5 electronesdevalencia) comoantimonio, arsnicoyfsforo, yobtener loquesellama 21Unidad 1Crecimiento de Cristalessemiconductor tipo n. En los semiconductores tipo n existen ms electrones libres que en un semiconductor intrnseco(Figura 1.22). En este caso a los electrones se les da el nombre de portadores mayoritariosmientras que al dficit de huecos, conforman losportadores minoritariosenel material tipon. Enconclusinpodemos decir quealas impurezas pentavalentesselesdael nombredeimpurezasdonadorasporqueaportanelectrones libres al semiconductor.Figura 1.22 Representacin simblica del dopaje con tomos pentavalentes.Si vemos la figura 1.23, existe un tomo de antimonio rodeado por tomos de silicio; el tomodeantimonioal tener 5electronesdevalencia, 4deellosloscomparteconlos tomos circundantes (uniones covalentes), peroel ltimoelectrnquedarelativamente libre, ya que queda dbilmente unido a su tomo padre, este electrn, requerir muy poca energa para "saltar" a la banda de conduccin y generar una corriente elctrica. Una caracterstica importante es que an cuando hay un nmero mayor de electrones, el material tiponsiguesiendoneutroporqueexisteel mismonmerode protones como de electrones en la estructura.Figura 1.23 Un tomo de antimonio rodeado por tomos de silicio.22Unidad 1Crecimiento de CristalesFigura 1.24 Efecto que producen las impurezas donadoras sobre la estructura de las bandas de energa.Si se observa el efecto que tiene agregar las impurezas desde el punto de vista de las bandasdeenergaseobtienelosiguiente. El niveldeenergaquetienenloselectrones libres parece en la figura 1.24, a este tipo de energa se le denomina nivel donador y tiene unaEgmuchomenoraldelmaterialsemiconductor. Estoselectronesfcilmente pueden absorberenergaymoversehacialabandadeconduccin; as, elnmerodeelectrones libres (portadores mayoritarios) aumenta y por lo tanto, existe una mayor conductividad del material.1.5.2.2 Material tipo P.Considerandoel casoanterior, sepuedeobtener unsemiconductortipopsi se agregan al material intrnseco tomos de impureza que contengan 3 electrones de valencia como son: boro, galio, indio (figura 1.25)23Unidad 1Crecimiento de CristalesFigura 1.25 Impurificacin de un material intrnseco para obtener un material extrnseco tipo p.En la figura 1.26 se muestra la impureza del Boro. En los enlaces covalentes que presenta con los tomos de silicio, se ve claramente que falta un electrn en uno de los enlaces; a esta vacante se le llama hueco. Este hueco atraer inmediatamente a cualquier electrn que pase cerca de l.Figura 1.26 Existe un hueco en uno de los enlaces debido a la impureza de Boro.Las impurezas trivalentes reciben el nombre deimpurezas aceptoras. El semiconductor tipo ptambin presenta un diagrama de bandas de energa. La figura 1.27 muestrael nivel deenergaquepresentanlos huecos; estenivel surgedeunamayor cantidaddehuecosquedeelectrones; porlotanto, losportadoresmayoritariossonlos huecos y los minoritarios los electrones.24Unidad 1Crecimiento de CristalesFigura 1.27 Debido al exceso de huecos, el nivel de energa de los portadores aceptores es ms alto que el nivel de valencia.1.6 Crecimiento de Cristales.Losdiferentesdispositivossemiconductoressonmuestrasdeunmonocristal que puedeimpurificarseintencionalmentecon algntomodeimpureza,paraobtenerun material con un tipo de conductividad y una resistencia elctrica especfica. Son varios los procesos para fabricarmonocristales y cada uno posee ciertas ventajas para aplicaciones particulares.1.6.1 Proceso de refinacin por zonas.Lo primero que se debe de hacer para fabricar cualquier dispositivo semiconductor eslaobtencindelosmaterialessemiconductoresconel nivel depurezadeseado. Las materias primas tanto como las del dixido de silicio y el dixido de germanio (que son las ms utilizadas) sesometenaprocesos qumicos ydefundicinparaobtener silicioy germanio. Los tomos de estos cristales se encuentran desordenados (material policristalino). Para que se logre una purificacin mayor y un ordenamiento de los cristales, se someten al proceso llamado Refinacin por Zonas Mtodo de Bridgman.En la figura 1.28 se muestra el aparato o dispositivo con el cual se logra la purificacin y ordenamiento del cristal. Este sistema est formado por un recipiente (bote) largo y angosto 25Unidad 1Crecimiento de Cristaleshechodematerial decuarzoodegrafitoparaqueexistaunacontaminacinmnima, adems de un contenedor de cuarzo en forma de tubo y un grupo de bobinas de induccin de RF (radio frecuencia). Existen dos formas para fundir el material que se encuentra en el interior; una es que las bobinas se muevan a lo largo del contenedor en otro caso sea el recipiente el que se mueve. El resultado es el mismo en cualquiera de los dos casos, el fin es fundir una pequea porcin del lingote y hacer un desplazamiento de la zona fundida continuamente a todo lo largo del lingote, de un extremo al otro; aunque para este ejemplo, son lasbobinaslas que se mueven.Para un mayor grado de purificacin,al interior del contenedor se le aplica un vaco para reducir la posibilidad de contaminacin. El material quevaser purificadosecolocaenel recipiente(bote). Enunextremosecolocauna pequea semilla, que es una pequea muestra monocristalina con el patrn deseado de los tomos (comoalgunadelas redes deBravais) ysecolocanlas bobinas enel mismo extremo de la semilla. Posteriormente se le aplica a la bobina la seal de radio frecuencia la cul, inducirunflujodecargaenel lingoteobarra. Lamagnituddeestascorrientes aumenta hasta que se desarrolla una cantidad de calor suficiente para fundir esa regin del material semiconductor as, lasimpurezasenel lingotepasarnaunestadolquido. Al mover enformatransversal lasbobinasderadiofrecuencia, sevacreandounmaterial fundido que al irse enfriando, los tomos adoptan un patrn de red similar al de la semilla.Figura 1.28 Proceso de refinamiento de zonas.Conformelazonafundidavapasandolentamenteatravsdelabarraslida, la mayor parte de los tomos de impureza en el fundido son rechazados por el slido en la interfaz, en donde la regin que est fundida se solidifica para volver a formar una barra slida. Cuando la zona fundida pasa a travs del lingote largo, los tomos de las impurezas 26Unidad 1Crecimiento de Cristalessevanacumulando(recogiendo) enel lquidoyal final seacumulansolamenteenel extremo del lingote cuando la ltima parte de la zona fundida se solidifica finalmente; o sea, las bobinas de induccin ya han alcanzado el extremo de la barra. Esta parte del lingote contiene casi todas las impurezas y entonces se corta, y se repite el proceso completo hasta que se haya logrado el nivel de impurezas que se desea. Una desventaja que presenta este mtodo, esel contactodel material fundidoconlasparedesdel crisol; lainterferencia resultantedelapareddel crisol introducetensiones durantelasolidificacinyforma desviaciones en la estructura reticular de los tomos, por lo que el arreglo peridico de los tomos no es del todo perfecto.1.6.2 Mtodo de Czochralski.Un mtodo alternativo que elimina el problema anterior es elmtodo de Czochralski. En un crisol de cuarzo se coloca la materia prima de la cual se obtendr un lingote de material monocristalino (figura 1.29).Figura 1.29 Mtodo de Czochralski.27Unidad 1Crecimiento de CristalesPor medio de las bobinas de calefaccin de grafito se funde el material contenido en el crisol aunatemperaturaaproximadade1500C; cuandoel material esttotalmente fundido, la temperatura se comienza a disminuir hasta alcanzar unos pocos grados arriba del punto de solidificacin y a continuacin se introduce la semilla de muestra monocristalina en el fundido apenas penetrando debajo de la superficie del mismo hasta que se forma una interfase slido-lquido adecuada (Figura 1.30)Figura 1.30 Vista superior de la extraccin de la semilla del material fundido.Los tomos del material fundido tienen mas energa que los de la semilla y tienden a ocupar los lugares de mnima energa que sta les proporciona. Cuando todos los lugares de una capa de tomos se han ocupado, la semilla se retira en forma gradual mientras se gira lentamente el eje que sostiene a la misma en sentido contrario a las manecillas del reloj y el eje del pedestal del crisol en sentido horario; esto se hace para obtener una perfeccin del cristal ycontrolar el dimetrodel lingote. Cuandoel ejequesostienealasemillaest girando, seretiralentamentedel fundidoyselograformar otracapadetomosyas sucesivamente una red reticular con las caractersticas de la semilla se empieza a formar (Figura 1.31). 28Unidad 1Crecimiento de CristalesFigura 1.31 Vista lateral del crecimiento del lingote.Una vez que se ha alcanzado el tamao deseado del lingote se procede a desmontarlo de la semilla que lo sostiene (Figura 1.33).Figura 1.32 Representacin de las diferentes temperaturas en el crecimiento del lingote.29Unidad 1Crecimiento de CristalesFigura 1.33 Lingote terminado.Figura 1.34 Diferentes tamaos de lingotes.Un crisol de grafito puede ser satisfactorio para hacer crecer cristales de germanio; peroserequiereunrecubrimientodecuarzoamorfodealtapurezaparael silicio. Un elemento contaminante que aparece en los lingotes crecidos por este mtodo es el oxgeno, este es elctricamente inactivo pero cuando el material se somete a tratamientos trmicos, los tomos del oxgeno intervienen en fenmenos complejos que provocan la aparicin de los llamados defectos trmicos; si estos son elctricamente activos, tendrn un comportamiento que produce efectos degradantes en un buen nmero de dispositivos. Otro elemento contaminante que aparece durante el crecimiento es el carbono, debido a que se utilizagrafitocomocalefactor parafundirel silicio(yaseacomoelementoresistivo, o como elemento emisor para calentamiento por radio frecuencia). Todo el proceso se realiza en una atmsfera inerte con el fin de desalojar todo el oxgeno y el carbono que surgen de lareaccindel material del fundidoconel crisol decuarzoylaspartesdegrafitodel 30Unidad 1Crecimiento de Cristalescalefactor. Para esto se introduce un flujo controlado de argn de ultra alta pureza manteniendo un vaco. Durante el proceso de crecimiento de monocristales por este mtodo, se deben controlar cuatro parmetros crticos, que son la temperatura del horno y de la interfase slido-lquido, la velocidad de tiro de la semilla, las velocidades de rotacin del crisol y la semilla y el flujo de argn.1.6.3 Comparacin de los dos mtodos.El mtodo de Czochralski es capaz de producir cristales de varios pies de longitud y con dimetros arriba de 12 o ms pulgadas. Generalmente, el crecimiento de cristales por el mtodo de Zona-Flotante no es capaz de producir grandes dimetros como el proceso de Czochralski, puede tener un lmite superior en resistividad y puede producir en los cristales gran densidad de dislocaciones (defectos en el cristal). Pero al mismo tiempo, el mtodo de zona-flotante produce esencialmente cristales que contienen los ms bajos niveles de oxgeno en comparacin con el mtodo de Czochralski. Se comparan los dos mtodos en la Tabla 4.Tabla 4 Comparacin entre los dos mtodos.PARAMETROS CZOCHRALSKI ZONA-FLOTANTECristales grandes Si DifcilCosto Bajo AltoDislocaciones 0 1e5/cm21e3 1e5/cm2Resistividad radial 5 10% 5 10%Contenido de Oxgeno 1e16 1e180- muy bajoLasprincipalestendenciasenlatecnologadecrecimientodel siliciopuedenresumirse como siguen:1.Extenso aumento del dimetro, longitud y masa de mono-cristales.2.Mejoradelacalidadestructural del cristal: produciendodislocaciones enlos mono-cristales con el ms bajo nivel de microdefectos (MD).3. Bajando el nivel residual de impurezas, especialmente oxgeno y carbono que influyen en las propiedades elctricas del cristal as como la formacin del microdefectos.4. Proporcionando alta uniformidad en las propiedades elctricas del cristal.5. Esperando las maneras de disminuir el costo del material.31Unidad 1Crecimiento de Cristales2. Nivel de Fermi Dirac2.1 Densidad de Estados.En este apartado estudiaremos como estn distribuidos los portadores de carga en el material semiconductor con respecto a la energa. Para describir el flujo de corriente en un semiconductor nosotros necesitamos saber cuntos electrones yhuecos residenenlas bandas de energa. Para contestar esta pregunta, nosotros necesitamos conocer el nmero de estados permitidos por unidad de volumen y por unidad de energa.Si el nmero promedio de partculas del sistema ocupa un solo estado cuntico de energa sedesignacomof( )y si se hacequeg( )d sea elnmerodeestados cunticos del sistema, cuya energa est dentro de un rango dalrededor de estar dado por N( )d , lo anterior se expresa en la siguiente frmula:( ) ( ) ( ) d g f d N en donde f( ) es la funcin de distribucin del sistema y g( ) es la densidad de estados.Conociendoestasdoscantidades, conoceremoselvalorpromediodelnmerode partculas en el semiconductor. El valor de g( ) es el siguiente:( ) d mhd g233*2 8de dondehesla Constante de Planck (La constante de Planck se usa para describir la cuantizacinqueseproduceen laspartculas, para las cuales ciertas propiedades fsicas slo toman valores mltiplos de valores fijos en vez de un espectro continuo de valores) y m* la masa efectiva.32(2.1)(2.2)Unidad 1Crecimiento de CristalesLa densidad de estados g( ) es para la banda de valencia como en la conduccin; por lo tanto, la frmula anterior cambia quedando de la siguiente manera:( ) d mhd gc n c 23*32 8( ) d mhd gv p v 23*32 8donde:gc( ) = Densidad de estados en la banda de conduccin.gv( ) = Densidad de estados en la banda de valencia.v = Energa de la banda de valencia.c = Energa de la banda de conduccin.*nm = Masa efectiva de los electrones en la banda de conduccin.*pm=Masa efectiva de los huecos en la banda de valencia.En la regin de la banda prohibida (v < < c), la densidad de estados tiene un valor de cero debido a que en esta regin no hay niveles permitidos. La grfica de la figura 2.1 nos muestra las curvas de densidad de estados, tanto de la banda de conduccin como la de valencia en un semiconductor intrnseco.33(2.3a)(2.3b)Unidad 1Crecimiento de CristalesFigura 2.1 Representacin de las densidades de estados en la banda de valencia y conduccinen un semiconductor intrnseco.2.2 Funcin de distribucin de Fermi-Dirac.Existen varias frmulas estadsticas para determinar el nmero promedio de partculas de un material semiconductor, entre ellas se encuentran:Funcin de distribucin de Maxwell-Boltzmann.Funcin de distribucin de Fermi-Dirac.Funcin de distribucin de Bose-Einstein.La estadstica de distribucin de Fermi-Dirac tiene una importancia enorme, debido a que describe como se comportan los electrones en los semiconductores.Una caracterstica importante de las estadsticas de Fermi-Dirac, es que obedece el PrincipiodeExclusindePauli, el cual dicequedospartculasnopuedenocuparun mismo estado cuntico. Cuando estas partculas se aaden a una banda de energa, ellas llenarn los estados disponibles en una banda de energa as como el agua llena una cubo. Los estados con la energa ms baja se llenan primero, seguido por los prximos ms altos.34Unidad 1Crecimiento de CristalesLa distribucin de Fermi-Dirac es la siguiente:( )( )kTE EFeE f+11en donde k representa a la constante de Boltzmann, T la temperatura, E es la energa y EF es el Nivel de Fermi.Esta frmula nos dice que probabilidad existe de que un estado de energa (nivel de energa)Epuedaser ocupado por un electrn.Veamos como varaf(E)empezando por calcular su lmite para T0.Para T = 0 K y E < EF:( ) 111+eE fPara T = 0 K y E > EF:( ) 011+eE fEl trmino EFes un valor muy importante para el anlisis del comportamiento del semiconductor, mas adelante se ver con detalle. Para un nivel de energa E igual al nivel de energa de Fermi EF, la probabilidad de ocupacin es:( )21110+eE fDel resultado anterior podemos observar que f(E)valdr 0.5 siempre que E= EF. De los valores anteriores se obtiene la grfica de la figura 2.2. Todos los estados cunticos correspondientes a energas menores que EF estn ocupados y todos los que corresponden a energas mayores que EF estn vacos; en otras palabras, todos los electrones se encuentran en la banda de valencia.35(2.4)(2.4a)(2.4b)(2.4c)Unidad 1Crecimiento de CristalesFigura 2.2 Funcin de distribucin de Fermi-Dirac.De la figura anterior se observa la variacin de la energa de Fermi con la temperatura. Conforme se incrementa la temperatura los bordes del escaln se redondean y la funcin de distribucin vara rpidamente desde la unidad hasta casi cero, presentndose una mayor probabilidad de que los estados superiores al nivel de Fermi puedanser ocupados por los portadores de carga.2.3 Nivel de Fermi-Dirac en un Semiconductor Intrnseco.La funcin de Distribucin de Fermi-Dirac se puede usar para calcular las densidades deelectrones yhuecos enunsemiconductor si las densidades deestados disponibles tanto en la banda de valencia y conduccin son conocidas.La expresin general que proporciona la densidad en un semiconductor es obtenida integrando el producto de la densidad de estados con la funcin de la densidadde probabilidad sobre todos los estados posibles. Para los electrones en la banda de conduccin la integral es tomada del fondo de la banda de conduccin, llamado Ec, a la cima de la banda de conduccin como se expresa en la ecuacin de abajo:EcdE E g E f n ) ( ) (36(2.5)Unidad 1Crecimiento de Cristalesdonde g(E) es la densidad de estados en la banda de conduccin y f(E) es la funcin de Fermi.Enlarelacinanteriorsepuedeverqueel nmerodeelectronesporunidadde volumen nes el producto de la densidad de estados por la probabilidad de ocupacin, es decir:) ( ) ( E f E N n Enel bordedelabandadeconduccin(Ec) existelamayor concentracinde electrones, por lo tanto, existe una mayor densidad de estados N(E), esto se puede ver en la grfica (d) de la figura 2.3.Podemos representar tal densidad de estados en el borde de Ec como una densidad efectiva quedando la ecuacin anterior como:) (C CE f N n NC representa la densidad de estados en la banda de conduccin.Ahora ocuparemos la funcin de distribucin de Fermi-Dirac cambiando Epor la energa en el borde de la banda de conduccin Ec:Figura 2.3 Representacin de los diagramas de: (a) Bandas de energa, (b) densidad de estados, (c) distribucin de Fermi-Dirac, y (d) concentracin de portadores para un semiconductor intrnseco.37(2.6)(2.7)Unidad 1Crecimiento de CristaleskTE E CF CeE f+11) (En la expresin anterior, se asume que el nivel de Fermi EF est varias unidades por debajo de la banda de conduccin (EC EF) con lo cual, el trmino exponencial es grande en comparacin con la unidad; as, se simplifica a:kTE ECF Ce E f ) (Substituyendo la ec 2.9 en la ec 2.7, tenemos:kTE ECF Ce N nLa densidad efectiva NCest dada por:232*22

,_

hkT mNnCDe esta frmula conocemos todos los valores de los parmetros involucrados (Apndices C y D). Ocupando el procedimiento anterior para NC, ahora se puede determinar lopropioparaladensidaddeestadosenlabandadevalencia(NV)comosemuestraa continuacin:[ ] ) ( 1V VE f N p Donde ) ( 1VE f expresa la probabilidad de no ocupacin, dicho de otra forma, los estados vacos. NV representa la densidad efectiva de estados en la banda de valencia.38(2.8)(2.9)(2.10)(2.11)(2.12)(2.13)Unidad 1Crecimiento de Cristales) ( 1vE f kTE EVF VeE f+11) (substituyendo ec 2.14 en ec 2.13:kTE EF VV FekTE Ee+111para un valor de EF ms grande que EV.Por lo tanto, substituyendo la ec 2.15 en ec 2.12 tenemos:kTE EVV Fe N pDe la ecuacin anterior se obtiene la densidad de huecos en la banda de valencia.La densidad de estados efectiva en el borde de la banda de valencia es:232*22

,_

hkT mNpV2.3.1 Calculo de la densidad intrnseca de portadores.Si consideramos a EF para un semiconductor intrnseco como EFi, podemos escribir dos relaciones con las expresiones 2.10 y 2.16 entre la densidad intrnseca de portadores y la energa; se pueden rescribir como:

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kTE EC iFi Ce N n39(2.14)(2.15)(2.16)(2.17)(2.18)(2.19)Unidad 1Crecimiento de Cristales

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kTE EV iV Fie N pCuando un electrn salta de la banda de valencia a la banda de conduccin, detrs de l deja un hueco; por lo tanto, la densidad de huecos y electrones es la misma (ni = pi = nint(T)); endondenint(T)representael nmerodehuecosoelectronesenunamuestra intrnseca del semiconductor en funcin de la temperatura T. Es posible eliminar la energa intrnseca de Fermi de ambas ecuaciones simplemente multiplicando ambas ecuaciones y sacandorazcuadrada. Estoproporcionaunaexpresinparaladensidadintrnsecade portadores como una funcin de la densidad efectiva de estados en la banda de conduccin y de valencia y la energa de la banda prohibida Eg = Ec - Ev:

,_

kTEV Cge N N n2intSi se desea obtener una grfica para la concentracin intrnseca de cualquier otro semiconductor, se debe ocupar la frmula siguiente:( )kTEn pgehkT m mT n23221* *int22 ) (11]1

El valor de la densidad intrnseca de portadores (ni) para una temperatura dada se puede encontrar en el Apndice H para l Si y el Ge.2.3.2 Ley de la accin de masa.Resultaqueel productodelasdensidadesdehuecosyelectrones(nyp)enun semiconductor es siempre igual al cuadrado de la densidad intrnseca de portadores, esta es unarelacinimportanteysepuedeocupartantoparamaterialesintrnsecoscomopara materialesextrnsecos. Almultiplicar las expresiones por las densidades de electrones y huecos en un semiconductor da:40(2.20)(2.21)Unidad 1Crecimiento de Cristales

,_

,_

kTEgV CkTE EV C ie N N e N N n p nC V2Esta propiedad se conoce como la Ley de Accin de Masa y es una relacin poderosa que habilita a encontrar rpidamente la densidad de huecos si se sabe la densidad de electrones o viceversa.2.3.3 Clculo de la energa intrnseca de Fermi.El nivel de Fermi es de particular importancia al estudiar el problema de dos slidos en contacto. Cuando dos slidos o ms se ponen en contacto y el sistema formado se halla en equilibrio trmico, el nivel de Fermi en uno de los slidos debe coincidir exactamente coneldelotro;enundiagrama de niveles de energa, los niveles de Fermi deben estar alineados. Esto debe ser interpretado como el principio fsico de vasos comunicantes, en el cual independientemente del nivel de lquido que cada recipiente posea, al interconectarse mutuamente los niveles de los recipientes se igualarn. Lo enunciado se cumple cuando la junturaselograporprocesosqumicosenunmismocristal. Sisepartedeuntrozode cristal tipopyotrodel tiponyselosunemecnicamente(juntarlos unoaotro), se producir una unin policristalina que no poseer las caractersticas deseadas.Las ecuaciones anteriores para la densidad intrnseca de electrones y huecos pueden ser resueltas para la energa intrnseca de Fermi, quedando:CV V CFi FNN kT E EE E ln2 2++ La energa de Fermi est tpicamente cerca de la mitad de la banda de energa prohibida, a medio camino entre los bordes de la banda de conduccin y de la banda de valencia.2.3.4 Las densidades de portadores expresadas como una funcin de los parmetros intrnsecos.41(2.22)(2.23)Unidad 1Crecimiento de CristalesDividiendo la expresin para las densidades de portadores por una para la densidad intrnseca, permite escribir las densidades de portadores como una funcin de la densidad intrnseca y la energa de Fermi, dando:

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kTE EiFi Fe n ny

,_

kTE EiF Fie n pLas mismas relaciones se pueden reordenar tambin para obtener la energa de Fermi de cualquier densidad de portadores, quedando:

,_

+ iFi FnnkT E E lny

,_

iFi FnpkT E E lnEjemplo:Considerando las expresiones 2.11, 2.17 y 2.23 utilice un semiconductor intrnseco de Si con una temperaturaT=300K, y determine la concentracin de portadores y el valor del nivel de Fermi.De los datos anteriores podemos dibujar el siguiente esquema:42(2.24a)(2.24b)(2.25a)(2.25b)Unidad 1Crecimiento de CristalesSe puede observar que el nivel de Fermi para este semiconductor intrnseco deber estar alamitaddeEg, esdecirEF=0.67eV, paracomprobar loanterior primerose proceder a calcular la densidad de estados en la banda de conduccin; partiendo de la ec 2.11 tenemos que:232*22

,_

hkT mNnc32*22

,_

hkT mNnC320*221]1

hkT m mNnC( )( )( )( )( )321523 3010 62617 . 6300 10 38066 . 1 10 91095 . 0 09 . 1 2211]1

xx xNC3 2510 8556 . 2 m x NCFigura 2.4 Representacin del diagrama de bandas de energa.43Unidad 1Crecimiento de CristalesConvirtiendo de metros a centmetros, se obtiene el resultado:3 1910 8556 . 2 cm x NCUna vez determinado NCprocedemos a determinar la densidad de estados en la banda de valencia NV, y de acuerdo con la relacin 2.17 tenemos:232*22

,_

hkT mNpV32*22

,_

hkT mNpV320*2211]1

hkT m mNpV( )( )( )( )( )323423 3010 62617 . 6300 10 38066 . 1 10 91095 . 0 03 . 1 2211]1

xx xNV3 2510 6231 . 2 m x NVHaciendo la conversin de unidades:3 1910 6231 . 2 cm x NVA continuacin necesitamos convertir la energa trmica kT, de joules a eV.( ) KKJx kT 300 10 38066 . 12344Unidad 1Crecimiento de CristalesJ x kT2110 14198 . 4J x eV1910 60218 . 1 1J xJ xkT192110 60218 . 110 14198 . 4eV kT 02585 . 0 De esta manera, podemoscalcular el valor de la densidad intrnseca de la frmula 2.22, obteniendo:kTEgV C ie N N n22( )( )

,_

02585 . 012 . 119 19 210 6231 . 2 10 8556 . 2 e x x ni3 10 210 0708 . 1 cm x niTambin podemos calcular el nmero de electrones en la banda de conduccin mediante las ecuaciones 2.10, 2.18 2.24a; elegiremos la ltima ecuacin:

,_

kTE Eii Fe n n( )

,_

02585 . 066 . 0 66 . 01010 0708 . 1 e x n( ) 1 10 0708 . 110x n 3 1010 0708 . 1 cm x n45Unidad 1Crecimiento de Cristaleseste es el valor de la densidad de electrones en la banda de conduccin.Para encontrar el nmero de huecos en la banda de conduccin se utiliza la ecuacin 2.24b, obteniendo:

,_

kTE EiF ie n p

,_

02585 . 066 . 0 66 . 01010 0708 . 1 e x p( ) 1 10 0708 . 110x p 3 1010 0708 . 1 cm x pAhora bien, con el valor de n y p ya conocidos, se puede aplicar la ecuacin 2.24a 2.24b para encontrar el valor del nivel de Fermi. Ocuparemos la ecuacin 2.24a, obteniendo:

,_

+ ii FnnkT E E ln1]1

,_

+ 101010 0708 . 110 0708 . 1ln 02585 . 0 66 . 0xxEF( )( ) 0 02585 . 0 66 . 0 + FEeV EF66 . 0 Habiendo obtenido el valor del nivel de Fermi, podemos utilizar la frmula de la Funcin de Distribucin de Fermi-Dirac (ecuacin 2.4) y obtener la grfica para f(E). El valor de f(E) se puede calcular dando diferentes valores para E arriba y abajo del valor de 46Unidad 1Crecimiento de CristalesEF, por ejemplo, con los valores de la siguiente tabla se obtiene la grafica (c) de la figura 2.5.Tabla 1.1 Valores obtenidos sustituyendo valores de E en la ecuacin 2.4.Figura 2.5 Representacin grfica de los valores obtenidos del ejemplo anterior.Los resultados anteriores nos muestran que en un semiconductor intrnseco libre de cualquier impurezaqumica o defecto de estructura del cristal semiconductor obtenemos n = p = ni y adems EF = EFi.2.4 Nivel de Fermi-Dirac en un Semiconductor Extrnseco.E (eV)f(E)E (eV)f(E)0.1 1 0.57 0.680.2 0.99 0.59 0.50.3 0.99 0.61 0.310.4 0.99 0.63 0.170.5 0.97 0.65 0.080.51 0.95 0.67 0.040.53 0.91 0.69 0.020.55 0.82 0.7 0.0147Unidad 1Crecimiento de CristalesCuandoenunsemiconductor intrnsecoseintroducenimpurezas(Ndimpurezas donadoras y Naimpurezas aceptoras ), el nivel de Fermi debe ajustarse para preservar la neutralidad de las cargas ( figura 2.6).Anteriormentese hamencionado que al dopar un material semiconductor intrnseco con algn tipo de impureza (ya sea donadora o aceptora), los portadores de carga adquieren una energamayor alaenergadelabandadevalenciayquetal energaenunmaterial semiconductor impurificado con tomos donadores recibe el nombre de nivel donador. La frmula siguiente nos da el nmero de electrones en un semiconductor tipo n:kTE EddF deNn+211en donde Edes la energa de los niveles donadores,Ndel nmero de tomos de impureza que se agregan al material y nd representa al nmero de electrones que ocupan los niveles donadores (es decir, la concentracin de donadores no ionizados).48(2.26)Unidad 1Crecimiento de CristalesFigura 2.6 Funcin de distribucin aplicada a los semiconductores: (a) material intrnseco; (b) material tipo p; (c) material tipo n.Demanerasimilar podemos obtener unafrmulaparaencontrar el nmerode huecos que ocupan los niveles aceptores para un semiconductor tipo p:kTE Eaaa FeNp+21149(2.27)Unidad 1Crecimiento de Cristalesas,paesel nmerodehuecosqueocupanlosnivelesaceptores,Naesel nmerode impurezas aceptoras agregadas al material y Ea el nivel de energa de los niveles aceptores (la energa de los niveles donadores y aceptores se obtienen del Apndice H).Las siguientes ecuaciones se utilizan para encontrar el Nivel de Fermi enun semiconductor extrnseco, ya sea para un material tipono un material tipop respectivamente.

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+ inoFi FnnkT E E ln

,_

+ dCC FNNkT E E lndondenno:eselnmerodeelectrones,nilaconcentracin intrnseca del material,EFiel nivel deFermi intrnseco,NCladensidadefectivaenlabandadeconduccinyNdel nmerodeimpurezas donadoras agregadas. Las siguientes ecuaciones seocupanpara obtener el Nivel de Fermi en un material tipo p:

,_

+ ipoFi FnpkT E E ln

,_

+ aVV FNNkT E E lnde donde: ppo es el nmero de huecos presente en el material, NV es la densidad efectiva en la banda de valencia y Na el nmero de impurezas aceptoras agregadas al material.En un material semiconductor extrnseco adems de los portadores de carga agregados (impurezas), existen los portadores del propio material. Para encontrar la cantidad de portadores mayoritarios que hay en el material semiconductor se utilizan las siguientes expresiones:50(2.28a)(2.28b)(2.29a)(2.29b)(2.30)Ecuaciones de Fermi para el material tipo p.Ecuaciones de Fermi para el material tipo n.Unidad 1Crecimiento de Cristales( ) ( ) [ ]2 2421i a d a d non N N N N n + + noinonnp2Para el caso de los materiales fuertemente dopados las ecuaciones anteriores se simplifican quedando:d noN n sia dN N>> in y dN >> aNdinoNnp2( ) ( ) [ ]2 2421i d a d a pon N N N N p + + poipopnn2Igual que en el caso anterior en un material tipo p fuertemente dopado:a poN p sid aN N>> in yaN>>dNaipoNnp2Cuando en un material semiconductor extrnseco tipo n, los portadores que ocupan elniveldonadoradquierenenergasuficienteparasaltaraunniveldeenergasuperior (bandadeconduccin), seconviertenendonadoresionizados. Lomismopasaparaun material semiconductor extrnseco tipo p; si los electrones que se encuentran en la banda de 51(2.31)(2.32a)(2.33b)(2.32b)(2.33a)(2.34a)(2.34b)Para el material tipo n.Para el material tipo p.Unidad 1Crecimiento de Cristalesvalencia adquieren suficiente energa para saltaral nivel aceptor, las impurezas aceptoras queseencuentranenel nivel aceptor sernocupadas yseconvertirn enimpurezas aceptoras ionizadas. Las siguientes expresiones nos dan la cantidad de portadores ionizados tanto para un material tipo n como tipo p respectivamente:1111]1

+

,_

+kTE Ed dF deN N21111

,_

+kTE EaaF aeNN4 1en las ecuaciones anteriores +dNrepresenta la cantidad de donadores ionizados y aNla cantidad de aceptores ionizados.En el material intrnseco existe una neutralidad de cargas y el material extrnseco no eslaexcepcin. Sielmaterial eselctricamenteneutro,lasumade las cargas positivas (huecos y tomos donadores ionizados) y la suma de cargas negativas (electrones y tomos aceptores ionizados) debe ser igual con cero; as se obtiene:0 + a d o oN N n pEjemplo:Aunmaterial intrnseco(Silicio) seleagregan impurezas deArsnico (As) con un valor de Nd = 2.3x1016 cm-3. Calcule el Nivel de Fermi, la densidad de huecos y electrones a una temperatura de 400K; con EC = 2eV, EV = 0.88eV, EFi = 1.44eV.Comoprimer pasosedebecalcular lacantidaddeportadores minoritarios que existen en el material semiconductor de silicio. En un material semiconductor extrnseco tipo n, los portadores mayoritarios estn formados por los electrones y se denominan como nno(electrones en un material tipo nen equilibrio) y, a los portadores minoritarios en el mismo material como pno (huecos en un material tipo n en equilibrio); as, la ec 2.22 queda de la siguiente manera:52(2.35)(2.37)(2.36)Unidad 1Crecimiento de Cristalesnp ni2po no ip n n 2Si se introducen impurezas de As (impurezas donadoras Nd) al material de Si, estas se convierten en los portadores mayoritarios (o sea, Nd = nno) y, los portadores minoritarios sern los huecos (es decir, Na = pno). Substituyendo Nd y Na en la ec anterior, se obtiene:a d iN N n 2Despejando Na:diaNnN2Necesitamos conocer el valor de la densidad de portadores intrnseca. Este valor lo podemos obtener de la grfica que se encuentra en el apndice H. Substituyendo los valores correspondientes, se tiene:( )1621210 3 . 210 2 . 6xxNa 3 910 67 . 1 cm x NaConociendo este valor, podemos comprobar con la ec 2.30 y 2.31 el nmero de portadores existentes en el material:( ) ( ) [ ]2 2421i a d a d non N N N N n + + 53Unidad 1Crecimiento de Cristales( ) ( ) ( )1]1

+ + 21229 16 9 1610 2 . 6 4 10 6713 . 1 10 3 . 2 10 6713 . 1 10 3 . 221x x x x x nno3 1610 15 . 1 cm x nnodinoipoNnnnp2 2 ( )1621210 15 . 110 2 . 6xxppo 3 91 0 3 4 2 . 3 c m x pp oSe observa que los resultados anteriores concuerdan con los de Na y Nd.A continuacin se calcular el nivel de Fermi utilizando la ecuacin 2.26 para un material semiconductor tipo n.

,_

+ inoFi FnnkT E E ln( )( );'1]1

,_

+ 1216610 2 . 610 3 . 2ln 400 10 2 . 86 44 . 1xxx EF( ) [ ] { }6 310 7096 . 3 ln 10 48 . 34 44 . 1 x eV x eV EF+ eV EF72 . 1 54Unidad 1Crecimiento de CristalesPara encontrar el nmero de donadores ionizados se utiliza la ec 2.34 pero antes, debemoscalcular el valor deEd(el valor deEDseencuentraenel ApndiceH)dela siguiente manera:D C dE E E 013 . 0 2 dEeV Ed987 . 1 Ahorapodemoscalcular el nmerodeportadoresqueestpresenteenel nivel donador de la siguiente manera:kTE EddF deNn+211

,_

+310 48 . 3472 . 1 987 . 11621110 3 . 2xdexn3 1610 0019 . 0 cm x ndSubstituyendo el valor de Ed y el de EF para encontrar el nmero de portadores ionizados en la ec 2.34, se obtiene:1111]1

+

,_

+kTE Ed dF deN N2111155Unidad 1Crecimiento de Cristales( )( )11111]1

+

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+400 10 2 . 8672 . 1 987 . 116621111 10 3 . 2xdex N3 1410 2999 . 2 + cm x NdEl cristal semiconductor debepreservar laneutralidaddecargaelctrica, por lo tanto, la condicin de neutralidad nos sirve para comprobar que el material es elctricamente neutro, como se muestra a continuacin:0 +d aN p N n0 10 3 . 2 10 6713 . 1 10 6713 . 1 10 3 . 23 16 3 3 9 3 16 + cm x cm x cm x cm x0 0 Graficando el resultado anterior se obtiene lo siguiente:La densidad de los portadores mayoritarios n (impurezas donadoras, electrones) es mayor que el nmero de portadores minoritarios p (huecos) originan que el nivel de Fermiseencuentradesplazado unos cuantos electrn-volts por encima deEg/ 2. Al ser no dn N + significa que todos los portadores mayoritarios han pasado del nivel donador Ed a la banda de conduccin (como puede verse en la ltima grafica de la figura anterior). Las Figura 2.7 Representacin grfica de los resultados anteriores.56Unidad 1Crecimiento de Cristalesfrmulas vistas anteriormente nos muestran que tipo de material semiconductor extrnseco podemos obtener variando la cantidad de impurezas, ya sea donadoras o aceptoras, que se obtendr. Inclusive estas frmulas sirven para un material semiconductor intrnseco al cual seleagreguenlosdostiposdeimpurezas(aceptorasydonadoras) comoseverenla siguiente unidad.2.5 Proceso de Conduccin.Conociendo el valor de la densidaddecargas enunsemiconductor, podemos calcular el flujo de corriente en presencia de un campo elctrico o magntico.A la temperatura del cero absoluto ( 0K ), los tomos en un semiconductor se mantienen estticos en sus posiciones dentro de la estructura del retculo. Si el material experimenta una temperatura superior al cero absoluto, los tomos comenzarn a vibrar en sus posiciones de equilibrio, provocando una dispersin de cargas (portadores). Los portadores dentrodel semiconductor semuevencomosi ellosfueranpartculaslibresquenoson afectadas por la presencia de tomos en el material. A la temperatura ambiente la velocidad trmicadeloselectronesenvolumenenunsemiconductor esaproximadamentede107 cm/seg. Los portadores se mueven a travs del semiconductor hasta que ocurre una colisin. Las colisiones tambin llamadas eventos de difusin, se deben a los defectos, impurezas, etc. Estas colisiones causan un cambio abrupto en la velocidad y la energa del portador en el momento de la colisin. El movimiento del portador resultante es semi-azaroso debido a cambios frecuentes en la direccin y velocidad.Tomandocomoejemplo a un solo electrn, su movimiento trmico resultara ser azaroso y la probabilidad de que este volviera a su posicin inicial es remota (figura 2.8).57Unidad 1Crecimiento de CristalesSi se considera un nmero mucho mayor de electrones (por ejemplo 1025/cm3) no existir una direccin preferida de movimiento del grupo y por lo tanto, no existir un flujo de electrones neto. Lo anterior cambiar si se aplica un campo elctrico al semiconductor (figura2.9). Cadaelectrnexperimentaunafuerzadebidaal campo, estafuerzaesde magnitud suficiente como para sobreponerse al movimiento desordenado de los portadores producidos por la agitacin trmica.Sin embargo, la trayectoria de los electrones no est libre debido a que existen otros tomos enel material provocandocolisiones quereducenlavelocidadconlacual se desplazaban, pero el campo aplicado hace que recuperen su velocidad.Figura 2.8 Movimiento trmico de un electrn.Figura 2.9 Arrastre de electrones y huecos por accin del campo elctrico.58Unidad 1Crecimiento de Cristales2.6 Movilidad de los portadores.Si partimos de una carga en reposo q que est situada en la proximidad de un campo elctrico E, entonces q experimentar una fuerza F igual a:qE F esta fuerza produce una aceleracin de la carga definida como:mFa mqEa La partcula adquiere una velocidad de vuelo libre en , dando:mqEat v La cargaexperimenta una colisin perdiendo toda la velocidad que haba ganado por la accin del campo, quedando una velocidad media dada por:mqEv2 Estavelocidadsesuperpone a la agitacin trmica y viene a ser lavelocidad de arrastreconquelacargasedesplazaatravsdelmaterial. Enlaecuacinanteriorlos trminos E y v no son constantes para cada material y cada tipo de portador. La velocidad de arrastre que llamaremos vd, es proporcional al campo elctrico aplicado. Por lo tanto la ecuacin anterior se puede escribir como:59(2.38)(2.39)(2.40)(2.41)(2.42)(2.43a)Unidad 1Crecimiento de Cristales*mq E vd en donde es la movilidad de arrastrede las partculas. A lo largo de esta derivacin nosotros simplemente consideramos la masa,m, de la partcula. Sin embargo para incorporar el efecto del potencial peridico de los tomos en el semiconductor se consider la masa efectiva,m*, en lugar de la masa de la partcula libre. La movilidad definida de la ecuacin anterior puede expresarse como la velocidad promedio de la partcula por unidad de campo elctrico aplicado expresada por:Ev La unidad de movilidad es la velocidad por unidad de campo, es decir, cm2/Vseg. La movilidaddecrece conel incrementodela masaefectiva pero, seincrementa conla temperatura. Ejemplo: La movilidad de los electrones en un semiconductor puro de Arseniuro de Galio es de 8,500 cm2/Vseg y su masa efectiva es de 0.067 m0. Cul es el tiempo libre medio entre los eventos de dispersin?Usando la ecuacin 2.43a para la movilidad, tenemos:*mq qm* convirtiendo 8,500 cm2/Vseg a m2:60(2.44)(2.43b)Unidad 1Crecimiento de Cristales( ) [ ]193010 6 . 110 91095 . 0 067 . 0 85 . 0xxseg x1210 324 . 0 pseg 324 . 0 2.7 Densidad de la Corriente de Corrimiento.Si tenemos unsemiconductor quepresentaunaconcentracindeelectrones de conduccin n, la cantidad de carga mvil Q en un paraleleppedo de una seccin transversal A y una longitud l est dada por:nqAl Q q es el valor de la carga del electrn. Si vemos Al representa una distancia d; substituyendo en la ecuacin anterior:nqd Q La carga Q necesita un tiempo t para recorrer la distancia d debidoa la aplicacin deuncampoelctricoEperpendicular aA, lacorrienteresultantedebidaal flujode electrones est dada por:tQJn tnqdJn tdv 61(2.45)(2.46)(2.47)(2.48)(2.49)Unidad 1Crecimiento de Cristalesd nnqv J substituyendo la ecuacin 2.36 en la ecuacin 2.43, queda:E nq Jn n dondeneslavelocidaddecorrimientodeloselectronesenel semiconductor. Si el semiconductor presenta adems de la concentracin de electrones n, una concentracin de huecos p, la densidad de corriente Jp debida al flujo de huecos es:E pq Jp p donde prepresenta la concentracin de huecos y pla movilidad de corrimiento de los huecos. Como la corriente total es la suma de corriente de electrones y huecos, la densidad de corriente de corrimiento es:( )p np n qE J + Esta ecuacin representa simplemente la Ley de Ohm. La tensin aplicada es Ey (nn+ pp) es una constante para el material supuesto a una temperatura dada, de esta forma se obtiene:RVI R1 substituyendo ecuacin 2.46 en la ecuacin 2.45:E I 62(2.50)(2.51)(2.52)(2.53)(2.54)(2.55)(2.56)Unidad 1Crecimiento de Cristalesrepresenta la conductividad elctrica.2.8 Conductividad Elctrica.La conductividad elctrica de un material ( la recproca de la resistividad )es la densidad de corriente por unidad de campo elctrico, es decir:EI teniendo en cuenta la ecuacin 2.48 y despejando la ecuacin 2.44 se obtiene:( )p np n q + Laecuacinanterior nosdaunaexpresingeneral aplicableacualquier tipode material. Para un semiconductor intrnseco n = p = ni, la ecuacin 2.49 se convierte en:( )p n iqn + En el caso de un material tipo n, la conductividad resulta:( )n n p n n n nq n p n q + debido a que la contribucin que presentan los huecos a la conductividad de un material tipo nes por lo general despreciable. A su vez, para el material tipo pla ecuacin 2.51 queda:( )p p n p p p nq p n p q + 63(2.57)(2.58)(2.59)(2.60)(2.61)Unidad 1Crecimiento de CristalesLas unidades para la conductividad estn expresadas en mho/metro u (ohmio-metro)-1, e en coulombios, n y p en portadores por metro cbico (cm-3), y en m2/Vseg.2.9 Resistividad.La resistividad se define como la constante de proporcionalidad entre el campo elctrico y la densidad de corriente J:J es el valor recproco de la conductividad, esto es:1y JPara semiconductores con ambos tipos de portadores, electrones y huecos, se obtiene:( ) p n qp n + 1 1Si n >> p, como en un semiconductor tipo n:n qn1n qn Para el caso contrario, en que p >> n:64(2.62)(2.63)(2.64)(2.65)(2.66a)(2.66b)Unidad 1Crecimiento de Cristalesp qp1p qp Ejemplo: Calcule la conductividad y la resistividad de una oblea de silicio tipo n la culcontiene1016electronesporcentmetrocbicoconunamovilidaddeelectronesde 1,400 cm2/Vseg.Laconductividadseobtieneagregandoal productodelacargaelectrnicaq, la movilidad de portadores, y la densidad de portadores de cada tipo, :( )p np n q + Como un material tipo n no contiene casi huecos, la conductividad ser igual a:n qn sustituyendo valores:( )( )16 1910 400 , 1 10 6 . 1 x ( )124 . 2 cm La resistividad es la inversa de la conductividad :( ) p n qp n + 1 1y es igual a:65(2.67a)(2.67b)Unidad 1Crecimiento de Cristales24 . 21 cm 446 . 0 2.10 Proceso de difusin.En un semiconductor los portadores (electrones o huecos) no estn bien distribuidos y hay zonas donde existe una mayor cantidad concentrada que otras zonas. Por lo tanto, existe un movimiento azaroso de las regiones de alta concentracin a las de baja concentracin, a este proceso se le conoce como difusin (figura 2.10).En un semiconductor se presenta una difusin a travs de impurezas, esto significa que los tomos de impureza son centros de difusin eficiente cuando tienen una carga neta. Los donadores y aceptores ionizados en un semiconductor son un ejemplo comn de tales impurezas. La cantidad de difusin debida a fuerzas electroestticas entre el portador y la impurezaionizadadependedel tiempodeinteraccinyel nmerodeimpurezas. Las concentraciones de impureza ms grandes producen una movilidad ms baja. El movimiento de difusin se superpone al movimiento de los portadores por la accin trmica. Es importante recalcar que el proceso de difusin es el resultado natural del movimiento azarosodelosportadoresmientras noexistaunafuerzaquefuercealosportadoresa Figura 2.10 Difusin de cargas.66Unidad 1Crecimiento de Cristalesmoversedeunpuntoaotro. Lacorrientededifusinesdebidaalosgradientesdelas concentraciones de los portadores y se da por:n n nqD J p p pqD J en donde:q = Carga del electrn.Dn = Coeficiente de difusin.n = Operador nabla de electrones.El signonegativoenlaecuacinanterior nosindicasolamentequeel flujode huecos es en sentido contrario al flujo de los electrones.Existeunarelacinentrelaconstantededifusinylamovilidad. Al principio parece no haber ninguna relacin entre las dos ya que la fuerte tendencia es distintamente diferente: la difusin es causada a travs de la energa trmica mientras que el arrastre es causado por un campo externamente aplicado.Para semiconductores en los cuales n es mucho menor que NC, se tiene:n nqkTD

,_

p pqkTD

,_

Las ecuaciones (2.70) y (2.71) son conocidas como lasrelaciones de Einstein. A 300K kT/q = 0.0259 V, y los valores de D son obtenidos de los resultados de la movilidad mostrados en el Apndice X. Las movilidades discutidas anteriormente son las movilidades de conductividad, que se ha mostrado para ser igual a las movilidades de arrastre.2.11 Corriente Total.67(2.68)(2.69)(2.70)(2.71)Unidad 1Crecimiento de CristalesLa corriente total de los electrones es obtenida agregando la corriente de difusin causada por el gradiente de concentracin de portadores y la corriente de arrastre causada por el campo elctrico, obteniendo:n qD n q Jn n n + p qD p q Jp p p + la densidad de la corriente total es la suma de las densidades de las corrientes de electrones y huecos:p n condJ J J + Aqu Jn y Jp son la densidad de corriente de electrones y la densidad de corriente de huecos. Enlasecuaciones(2.72a) y (2.72b) sesuponeque no hay camposmagnticos presentes o cuando menos, que su efecto en los portadores es pequeo en comparacin con el campo elctrico.La corriente total es igual a ladensidaddecorriente multiplicada por el rea perpendicular al flujo del portador:( )p n total totalJ J A AJ I + LossmbolosJny Jpseusa para representar la densidad de flujo de partcula en tanto que I se usa para la densidad de la corriente elctrica.68(2.72a)(2.72b)(2.73)(2.74)