Caractersticas de la Materia

UNIDAD 1

INTRODUCCINA) CLASE NUMERO 7

29

B) CLASE NUMERO 8

34

C) CLASE NUMERO 9

37

D) CLASE NUMERO 10

17

E) CLASE NUMERO 11

F) CLASE NUMERO 12

G) CLASE NUMERO 1323

H) EXAMEN PROPUESTO28

Clase no. 7, (5 de Octubre del 2009)

MaterialAcetatos con los problemas resueltos, Manual del Estudiante, Gua del Profesor.

DescripcinTiempo estimado

Actividades1. Proporcionar una breve descripcin de concepto de Programacin Lineal. (Se sugiere leer el manual con los alumnos).20 min

2. Comenzar a plantear mediante modelos matemticos los problemas propuestos, explicando los 3 primeros problemas.

45 min

3. Permitir que los alumnos realicen SOLO el planteamiento del problema de los 3 problemas, dndoles 10 minutos para cada uno de ellos, y tomar 5 minutos para colocar la solucin y explicacin del mismo en el pizarrn ( y recordarles traer por lo menos 2 hojas milimtricas la prxima clase)

45 min

2.1 Concepto de programacin linealMuchas de las decisiones de los ejecutivos estn unidas a la pregunta de cmo lograr el mximo rendimiento de los recursos de la compaa tiempo, dinero, materias primas, mano de obra, instalaciones de produccin y capacidades de embarque-. Por ejemplo, es posible que un gerente de produccin tenga que decidir cuntas unidades de varios productos debe producir la compaa. El primer artculo debe ensamblarse a mano con grandes dificultades; el segundo necesita de maquinado excesivo; el tercero es voluminoso, y as sucesivamente. Si la compaa concentrara su produccin en un cierto artculo cualquiera, se le agotara su mano de obra, o sus mquinas o el espacio de su almacn. La tcnica de IO llamada programacin lineal puede decir con precisin al gerente, cual es la combinacin a manufacturar que deja mayores utilidades.La programacin lineal tuvo su origen en el mtodo de anlisis de insumo, producto desarrollado por el economista W. W. Leontief. La versin actual es de fecha ms reciente. Hitchocock interpret primero un problema tipo transporte en 1941, mientras que Koopmans estudi el mismo tema en 1947. En 1945, Stigler estudi el problema de la dieta (que se ocupa de entidades separadas que pueden seleccionarse y usarse en diversas cantidades, escogindolas, combinndolas o mezclndolas con objeto de mantener un resultado esperado. Puede decirse que el procedimiento matemtico que se emplea con ms frecuencia para encontrar soluciones ptimas es el mtodo simplex, creado en 1947 por George Dantzing, que colaboraba entonces con la Fuerza Area de los Estados Unidos. Este mtodo es del tipo de ensayo y error. Sin embargo, la bsqueda de una solucin mejor en cada paso y una solucin ptima en un nmero finito de pasos. La mayora de los problemas prcticos de programacin lineal tomaran meses, y hasta aos, para resolverse manualmente; en cambio, en las computadoras se resuelven en unos cuantos minutos u horas.Introduccin a la IO, Robert J. Thierauf, p.p. 252Algunas otras definiciones son las siguientes:

Un programa lineal es aquel en el cual la funcin objetivo es lineal y las restricciones estn dadas por un conjunto de ecuaciones e inecuaciones tambin lineales.

http://usuarios.lycos.es/royel/principal/2/index.htmlLa Programacin Lineal (PL) es una de las principales ramas de la Investigacin Operativa. En esta categora se consideran todos aquellos modelos de optimizacin donde las funciones que lo componen, es decir, funcin objetivo y restricciones, son funciones lineales en las variables de decisin

http://www.programacionlineal.net/PL es la tcnica matemtica para la formalizacin del anlisis de los problemas de optimizacin. http://www.eumed.net/cursecon/dic/P13.htmVeamos ahora la formulacin de algunos problemas que veremos en un futuro.

1. El granjero Lpez tiene 480 hectreas en la que se puede sembrar ya sea trigo o maz. l calcula que tiene 800 horas de trabajo disponible durante la estacin crucial del verano. Dados mrgenes de utilidad y los requerimientos laborales mostrados a continuacin productoUtilidadTrabajo

Maz$ 402 hs

Trigo$301 hs

Dado que el granjero no sabe qu hacer, le ha pedido ayuda a usted para resolver las siguientes interrogantes Cuntas hectreas de cada producto debe plantar para maximizar su utilidad? Cul es sta utilidad mxima? Solucin: Como primer paso para la formulacin matemtica de este problema, se tabula la informacin dada (Tabla 1). Si llamamos m a las hectreas de maz y t a las hectreas de trigo. Entonces la ganancia total G, en dlares, est dada por:G=40m+30t Dado que las ganancias siempre deben ser maximizadas, esta ser la funcin objetivo a maximizar.MazTrigoElementos disponibles

Horas2m1t

HectreasMt800

Utilidad por unidad$40m$30t480

La cantidad total de tiempo par hectreas para sembrar maz y trigo est dada por 2m+t horas que no debe exceder las 800 horas disponibles para el trabajo. As se tiene la desigualdad:2m + t (800 En forma anloga, la cantidad de hectreas disponibles est dada por m + t, y sta no puede exceder las hectreas disponibles para el trabajo, lo que conduce a la desigualdad.

m + t ( 480 Debemos recordar que dado que no se conoce la cantidad de hectreas disponibles para el maz o para el trigo, es por eso que solo se colocan las variables m o t.

Por ltimo, si no queremos tener prdidas, m y t no pueden ser negativa, de modo que m (0 y t (0 En resumen, el problema en cuestin consiste en maximizar la funcin objetivo G=40m+30tSujeta a las desigualdades2m + t( 800 m+ t ( 480 con m ( 0 y t ( 0 http://www.investigacion-operaciones.com/Solucion_Grafica.htm2. Unos grandes almacenes encargan a un fabricante pantalones y chaquetas deportivas. Usted como fabricante dispone para la confeccin de 750 m de tejido de algodn y 1000 m de tejido de polister. Cada pantaln precisa 1 m de algodn y 2 m de polister, para las chaquetas 1.5 y 1 m respectivamente. Esta es su oportunidad de hacer un buen negocio dado que el precio del pantaln se fija en 50 y el de la chaqueta en 40 . Qu nmero de pantalones y chaquetas debe suministrar a los almacenes para que stos consigan una venta mxima?

Solucin: Dado que tenemos en este problema dos productos, y por lo tanto dos incgnitas, nombrmoslas como sigue:p = nmero de pantalonesc = nmero de chaquetasDado que tenemos aqu precios de venta y producto a entregar, sabemos que debemos maximizar esta funcin en base a los precios de los productos, por lo tanto la funcin a maximizar ser:G = 50p + 40cLas restricciones para describir las restricciones se describen en la siguiente tabla:tela

pantalonesChaquetasdisponible

Algodn11,5750

Polister211000

p + 1.5c 750 2p +3c 15002p + c 1000Como el nmero de pantalones y chaquetas son nmeros naturales, tendremos dos restricciones ms:

p 0 y c 0http://www.vitutor.com/algebra/pl/a_g.html3. Problema de la Dieta: (Stigler, 1945). Consiste en determinar una dieta de manera eficiente, a partir de un conjunto dado de alimentos, de modo de satisfacer requerimientos nutricionales. La cantidad de alimentos a considerar, sus caractersticas nutricionales y los costos de stos, permiten obtener diferentes variantes de este tipo de modelos. Por ejemplo:Leche (lt)Legumbre (1 porcin)Naranjas (unidad)Requerimientos Nutricionales

Niacina3,24,90,813

Tiamina1,121,30,1915

Vitamina C3209345

Costo20,20,25

Solucin: Tres puntos aqu son importantes, 1) los costos recordemos que uno de los objetivos de IO es maximizar beneficios o minimizar costos-, por lo tanto, la funcin objetivo en este problema ser minimizar el costo. 2) el vector restriccin es aquel que nos indicara las cantidades lmites de los recursos disponibles., y por ltimo, la matriz de datos estar conformada por un arreglo de datos numricos que debern satisfacer el vector restriccional.

As que, dados los antecedentes anteriores tenemos que:

Variables de Decisin: e: Litros de Leche utilizados en la Dieta

g: Porciones de Legumbres utilizadas en la Dieta

n: Unidades de Naranjas utilizadas en la Dieta

Funcin Objetivo: (Minimizar los Costos de la Dieta) Min 2e + 0.2g2 + 0.25nRestricciones: Satisfacer los requerimientos nutricionales

Niacina: 3.2e + 4,9g + 0.8n >= 13

Tiamina: 1.12e + 1,3g + 0.19n >=15

Vitamina C: 32e + 0g + 93n >= 45

No Negatividad: e1 >= 0; g >= 0; n >= 0 Recordemos que como son requerimientos nutricionales, el cuerpo acepta una cantidad mnima, as que es por eso que la desigualdad se presenta como mayor o igual a.

http://www.programacionlineal.net/4. La Corporacin Qumica Toms River debe producir para un cliente 1000 kilos de una mezcla especial que est formada por los ingredientes A, B y C. El ingrediente A cuesta 5 pesos el kilo, el B cuesta 6 pesos el kilo y el C cuesta 7. No puede usarse ms de 300 k del componente A, y deben usarse por lo menos 150 del componente C. Como la empresa desea minimizar los costos, el problema consiste en determinar qu cantidad de cada ingrediente debe incorporar en la mezcla de la empresa.Solucin: Este problema se refiere a un problema de minimizacin, en donde la funcin objetivo ser:

MC = 5A + 6B + 7C

Sujeto a

A + B + C = 1000 k

A = 150 k

C >= 200 kClase no. 8, (6 de Octubre del 2009)

MaterialAcetatos con los problemas resueltos, Manual del Estudiante, Gua del Profesor.

DescripcinTiempo estimado

Actividades1. Proporcionar una breve descripcin de concepto de Programacin explicacin de el mtodo grfico para la solucin de problemas de programacin Lineal. (Se sugiere leer el manual con los alumnos).20 min

2. Solucionar los tres problemas propuestos en el manual.

60 min

3. Permitir que los alumnos resuelvan los problemas propuestos en la parte final de este temario.

40 min

1.2 Mtodos de solucina. Mtodo Grfico. El mtodo grfico se emplea para resolver problemas que presentan slo 2 variables de decisin. El procedimiento consiste en trazar las ecuaciones de las restricciones en un eje de coordenadas X1, X2 para tratar de identificar el rea de soluciones factibles (soluciones que cumplen con todas las restricciones).La solucin ptima del problema se encuentra en uno de los vrtices de esta rea de soluciones creada, por lo que se buscar en estos datos el valor mnimo o mximo del problemaPara encontrar la solucin a un problema propuesto de IO utilizando el metodo grfico, ser necesario realizar el siguiente procedimiento. Definir correctamente la funcin objetivo y la matriz de datos y restricciones.

En la primer ecuacin de la matriz, igualar la segunda incgnita con cero y resolver la ecuacin.

De la misma primera ecuacin, igualar la primera variable con cero y resolver la ecuacin.

Graficar en un sistema cartesiano dicha lnea.

Repetir los procedimientos anteriores para las dems ecuaciones de dicha matriz. Evaluar los puntos cartesianos que acotan la ecuacin en la funcin objetivo.

Decidir sobre el resultado.

1. Demos solucin empleando el procedimiento antes descrito al primer problema planteado.

Dado que el modelo matemtico ya ha sido planteado, evaluemos la matriz para encontrar los puntos a graficar:

Si t=0, entoncesSi m=0, entoncesPuntos a graficar

2m + t( 800 m < 800/2t= 0

3. Despejar de las ecuaciones de tipo = y >= las variables artificialesR1 = 3 - 3x1 x2

R2 = 6 4x1 3x2 + x3

4. Sustituir estas ecuaciones en la funcin objetivoMiminizar z = 4x1+x2+Mr1+Mr2

z = 4x1 + x2 +M(3 - 3x1 x2) + M(6 4x1 3x2 + x3)

z = 4x1 + x2 + 3M - 3x1M - x2M + 6M - 4x1M - 3x2M + x3M

z= (4x1 - 3x1M - 4x1M) + (x2 - xM2 - 3x2M) + x3M + 9M

z= (4 - 7m)x1 + (1 - 4M)x2 + x3M + 9M

z - (4 - 7m)x1 - (1 - 4M)x2 - x3M = 9M

Se puede advertir que en la solucin inicial, dadas x1 = x2= x3= 0, el valor de z = 9M como debe ser cuando r1= 3 y r2 =6.

La sucesin de tablas que nos conduce a la solucin ptima se presenta en la siguiente tabla. Obsrvese que ste es un problema de minimizacin, de manera que la variable que entra debe tener el coeficiente ms positivo en la ecuacin z, se llega al ptimo cuando todas las variables no bsicas tiene coeficientes z no positivos. (Recurdese que M es una constante positiva muy grande).

La solucin ptima es x1= 0.4, x2 = 1.8 y z = 17/5. Como no contiene variables artificiales en el nivel positivo, la solucin es factible con respecto al problema original antes de que se sumaran las variables artificiales. ( Si el problema no tiene solucin factible, cuando menos una variable artificial ser positiva en la solucin ptima).Investigacin de operaciones, Taha, 5 edicion. p.p.87Clase no. 12, (19 de Octubre del 2009)

MaterialAcetatos con los problemas resueltos, Manual del Estudiante, Gua del Profesor.

DescripcinTiempo estimado

Actividades1. Proporcionar una explicacin del mtodo de anlisis de sensibilidad. (Se sugiere leer el manual con los alumnos).40 min

2. Proporcionar una explicacin del mtodo de transporte. (Se sugiere leer el manual con los alumnos).40 min

3. Proporcionar una explicacin del mtodo de programacin lineal entera. Asimismo, comentar que el da de maana ser el examen.

40 min

1.3 Anlisis de sensibilidadAnlisis de sensibilidad con el Mtodo Simplex Ahora aprenderemos una manera ms prctica de hacer un anlisis de sensibilidad en un modelo de programacin lineal, utilizando el Mtodo Simplex. Tomemos el siguiente modelo: Max Z =3x1+4x2+3/2 x3

Sujeto aX1+2x2=< 10

2x1+2x2+X3=< 10

X1>0X2>0X3>0

Cuya tabla simplex final es:

Anlisis de sensibilidad para coeficientes de la funcin objetivo Recordemos que las variables estructurales son aquellas con las que se planteo originalmente el problema de programacin lineal, en nuestro caso: x1,x2 y x3; pero, dentro de las variables estructurales podemos distinguir variables bsicas (X2 y x3) (aparecen en la primera columna de la tabla simplex final y definen la solucin ptima)y variables no bsicas (X1); entonces, el anlisis de sensibilidad para los coeficientes de la funcin objetivo de estas variables depende de si la variable es bsica o no. Anlisis de sensibilidad para coeficientes de variables no bsicas Este es el anlisis ms sencillo ya que si la variable es no bsica, entonces tiene un coeficiente distinto de cero en la ltima fila de la tabla simplex final, este coeficiente es el mximo valor que el coeficiente de la funcin objetivo de dicha variable puede aumentar manteniendo la solucin ptima. Procedimiento: a) Se lee de la tabla simplex final, el trmino que pertenece a la columna de la variable no bsica en la ltima fila y se le resta una variable cualquiera b) Se plantea la condicin de optimalidad; es decir, que este nuevo trmino debe ser positivo (mayor que cero) para que la solucin siga siendo ptima b) Se resuelve la desigualdad d) Se suma a ambos lados de la desigualdad el coeficiente de la funcin objetivo que acompaa a la variable y este resultado es el intervalo de sensibilidad del coeficiente Anlisis para la variable no bsica a ) -

b) - >=0

c) >= d) El coeficiente de la variable x1 en el problema es: 3 por tanto:3+ =< 3 +

Si sustituimos 3 + = C1

C1 =< 7/2 e) entonces el intervalo es el siguiente:

- =< C10==0

+ >=0

3/2 >=0

d) >=-1

>=-1

Siempre es verdadera

Se interceptan los conjuntos soluciones para dar el siguiente resultado: >=-1e) El coeficiente de la variable x2 en el problema es: 4 por tanto:

4 + >=-1

Sustituimos 4 + >= c2

C3>=3

f) Entonces el intervalo es el siguiente 3=< c2 =< Anlisis para la variable no bsica x3a)

b) Para optimizar la tabla de nuevo se efectuar la siguiente operacin: f3 + *f2 f3Obteniendo el siguiente resultado c) + >=0

- >=0

3/2 + >=0

d) >=-1/2

== 3/2Se interceptan los conjuntos soluciones para dar el siguiente resultado: -1/2 == c3

1=