Metodos Newton Raphson y Virge Vieta

UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATOFACULTAD DE INGENIERÍA EN SISTEMAS, ELECTRÓNICA E INDUSTRIAL

PERÍODO ACADÉMICO: SEPTIEMBRE/2013 – FEBRERO/2014

I. PORTADA

UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO

Facultad de Ingeniería en Sistemas, Electrónica e Industrial

Título: Solución numérica de ecuaciones no lineales

Carrera: Electrónica y Comunicaciones

Área Académica: Métodos numéricos

Línea de Investigación: Nuevas Tecnologías

Ciclo Académico y Paralelo: Cuarto Electrónica Paralelo: “A”

Alumnos participantes: Erazo Karla

Pacheco Andrés

Merino Cristhian

Módulo y Docente: Métodos Numéricos Ing.: Paul Zurita

II. INFORME DEL PROYECTO

1.

2.

2.1 Título

Solución numérica de ecuaciones no lineales Método de Newton-Raphson y Método de

Virge Vieta

2.2 Objetivos

2.2.1 Objetivo general

Aplicar los métodos Newton-Raphson y Virge Vieta así como también las

formulas relacionadas con ellos, para poder calcular las soluciones de cada uno

de los ejercicios aplicados.

2.2.2 Objetivos específicos:

Investigar el Método de Newton-Raphson y Método de Virge Vieta para

determinar la solución numérica de ecuaciones no lineales.

Realizar ejercicios de los métodos antes mencionados para su mejor

comprensión.



2.3 Resumen

Una ecuación polinómica se expresa de la siguiente forma

a1 xn+a2 x

n−1+a3 xn−3 +¿………… ..+an=0¿

Este polinomio puede tener raíces reales e imaginarias.

Las raíces reales son aquellos puntos en los cuales la ecuación se interseca con el

eje horizontal X.

El presente trabajo de investigación nos muestra información acerca de los

métodos de solución de ecuaciones polinómicas no lineales, como son el método

de Newton-Raphson y Virge Vieta cada uno de estos métodos se estudiarán

paso a paso y serán verificados con un ejemplo de aplicación.

2.4 Palabras clave:

Método

Newton-Raphson

Birge Vieta

Raíces

2.5 Introducción

Uno de los problemas más conocidos y más utilizados de las matemáticas es la

determinación de las raíces o soluciones de una ecuación no lineal o también llamado

polinomio.

Su proceso manual es bastante extenso aunque no tan complicado, por lo es conveniente

acudir al uso de procesos que permitan su solución. Utilizando métodos los cuales

ayudaran a que el cálculo de estas raíces sea más fácil y con una gran exactitud.

2.6 Materiales y Metodología



2.6.1 Marco teórico

Solución numérica de ecuaciones no lineales

Los métodos numéricos de resolución de ecuaciones no lineales suelen ser métodos

iterativos que producen una sucesión de valores aproximados de la solución, que se

espera, que converja a la raíz de la ecuación. Estos métodos van calculando las

sucesivas aproximaciones en base a los anteriores, a partir de una o varias

aproximaciones iniciales. (es.wikipedia.org, 2014)

MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON

El método de Newton-Raphson es un método abierto, en el sentido de que no está

garantizada su convergencia global. La única manera de alcanzar la convergencia es

seleccionar un valor inicial lo suficientemente cercano a la raíz buscada. Así, se ha de

comenzar la iteración con un valor razonablemente cercano al cero (denominado punto

de arranque o valor supuesto). (Miguel, 2009)

Tal vez, de las fórmulas para localizar raíces, la fórmula de Newton-Raphson sea la más

ampliamente utilizada. Si el valor inicial para la raíz es xi, entonces se puede trazar una

tangente desde el punto [xi, f(xi)] de la curva. Por lo común, el punto donde esta

tangente cruza el eje x representa una aproximación mejorada de la raíz.

(illuminatus.bizhat.com, 2010)

El método de Newton-Raphson se deduce a partir de esta interpretación geométrica.

http://es.wikipedia.org/wiki/Sucesi%C3%B3n_matem%C3%A1tica

http://es.wikipedia.org/wiki/Iteraci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Resoluci%C3%B3n_de_ecuaciones



Fórmula

De la figura se tiene que la primera derivada en x es equivalente a la pendiente:

Que se reordena para obtener:

La cual se conoce como fórmula de Newton-Raphson.

Note que el método de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos asegure

que encontraremos la raíz, y de hecho no tenemos ninguna garantía de que nos

aproximaremos a dicha raíz. Desde luego, existen ejemplos donde este método no

converge a la raíz, en cuyo caso se dice que el método diverge. (noosfera, 2011)

Para que el método de Newton-Raphson converja deben cumplirse ciertas condiciones

de convergencia. En la siguiente figura podemos apreciar, como aun partiendo de un

punto cercano a la raíz buscada, en un caso el método converge y en otro caso no.



CONDICIONES DE CONVERGENCIA

Las condiciones de convergencia del método de Newton-Raphson pueden resumirse de

la siguiente manera:

Existencia de la Raíz: Dado un cierto intervalo de trabajo [a, b], dentro del

mismo debe cumplirse que f(a)*f(b)<0.

Unicidad de la Raíz: Dentro del intervalo de trabajo [a, b], la derivada de f(x)

debe ser diferente de cero.

Concavidad: La gráfica de la función f(x) dentro del intervalo de trabajo [a, b],

debe ser cóncava, hacia arriba o hacia abajo. Para ello debe verificarse que:

f ''(x) <= 0 ó f ''(x) >= 0 para todo x que pertenezca a [a, b]

Intersección de la Tangente a f(x), dentro de [a, b]: Se debe asegurar que la

tangente a la curva en el EXTREMO del intervalo [a, b] en el cual f'(x) sea

mínima, intersecte al eje x dentro del intervalo [a, b].

De esta manera aseguramos que la sucesión de valores de xi caigan dentro de [a,

b]. (Francisco, 2003)

MÉTODO DE BIRGE VIETA

Un polinomio de la forma:

Puede ser factorizado en la forma:



Donde pi es un cero (o raíz) del polinomio porque P (pi) = 0

El método Virge-Vieta aplica Newton-Raphson para encontrar una raíz del polinomio

P (x). Dado un punto xk, evalúa P (k) y P’ (xk) mediante división sintética. Cuando

encuentra una raíz pi, elimina el factor (x−pi) mediante división sintética y continúa

trabajando sobre el polinomio resultante. El proceso se repite hasta encontrar todas las

raíces del polinomio (Lluvia, 2012)

Para el análisis se utiliza la siguiente tabla de valores:

K X R R' R'/R

1

2

3

4

Dónde:

K: números de interacciones

X: valores inicial para las divisiones

R: primer residuo

R’: segundo residuo

R/R’: relación entre el primer y segundo residuo

Ejemplo:

Dado el polinomio encontrar una de sus raíces y=x^3-5x^2+4x+2

1 -5 4 2

4 4 -4 0



1 -1 0 2

4 4 12

1 3 12

x 3,833

1 -5 4 2

3,814 3,814 -4,524 -1,998

1 -1,186 -0,524 0,002

3,814 3,814 10,022

1 2,628 9,498

X 3,814

1 -5 4 2

3,833 3,833 -4,472 -1,810

1 -1,167 -0,472 0,190

3,833 3,833 10,222

1 2,667 9,750

X 3,814

1 -5 4 2

3,814 3,814 -4,524 -2,000

1 -1,186 -0,524 0,000

3,814 3,814 10,019

1 2,627 9,495

X 3,814

K X R R' R'/R

1 4 2 12 0,16666667

2 3,833 0,18981481 9,750 0,019

3 3,814 0,002 9,498 0,000

4 3,814 0,002 9,495 0,000

RAIZ=3,814



2.7 Resultados y Discusión

El método de Newton – Raphson y Birge Vieta son utilizados para la resolución de

ecuaciones no lineales y nos proporcionan una forma más sencilla para determinar las

raíces de dichas ecuaciones, las mismas se presentan de diversas formas, y también en

diferentes intervalos de valores, los cuales se han determinado mediante las gráficas de

las gráficas de cada una de las ecuaciones.

Los diversos métodos nos permiten acercarnos a los resultados de una manera la cual se

debe realizar una exploración correcta de cada intervalo para así llegar a comprobar su

resultado el cual será la raíz o raíces de la ecuación.

2.8 Conclusiones

El método de Newton – Raphson es un método abierto el cual trata de encontrar

las raíces de una ecuación por medio de aproximaciones a la misma.

El método de Birge Vieta nos ayuda determinar las raíces de las ecuaciones

mediante el uso de las divisiones sucesivas o conocida también como la regla de

Ruffini.

Los ejercicios realizados por medio de estos dos métodos nos permitieron

calcular las raíces de la ecuaciones de diferente manera pero llegamos al mismo

resultado.

2.9 Referencias bibliográficas

illuminatus.bizhat.com. (11 de 05 de 2010). Recuperado el 23 de 11 de 2014, de

illuminatus.bizhat.com:

http://illuminatus.bizhat.com/metodos/newtonraphson.htm

noosfera. (18 de 07 de 2011). Recuperado el 23 de 11 de 2014, de noosfera.indivia.net:

http://noosfera.indivia.net/metodos/newtonRaphson.html



es.wikipedia.org. (06 de 08 de 2014). (wiki) Recuperado el 23 de 11 de 2014, de

http://es.wikipedia.org/wiki/Resoluci%C3%B3n_num

%C3%A9rica_de_ecuaciones_no_lineales

Francisco, L. (21 de 08 de 2003). www3.fi.mdp.edu.a. Recuperado el 23 de 11 de 2014,

de www3.fi.mdp.edu.a:

http://www3.fi.mdp.edu.ar/analisis/temas/no_lineales_1/newtonRaphson.htm

Lluvia, C. (10 de 03 de 2012). es.scribd.com. Recuperado el 24 de 11 de 2014, de

http://es.scribd.com/doc/84759266/Metodo-Birge-Vieta

Miguel, P. (29 de 08 de 2009). wikipedia. Recuperado el 23 de 11 de 2014, de

es.wikipedia.org: http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_Newton

2.10 Gráficos



tan(sen(x)) – sen(tan(x)) = 0



7x^4 - 8x^3 - 12x^2 - 3x - 12

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