MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON

Newton-Raphson

Si el valor inicial de la raíz es Xi, se puede extender una tangente desde [Xi, f(Xi)].

Interpretación Geométrica

La primera derivada de X es equivalente a la pendiente.

)('

)(1

i

iii

xf

xfxx

Primer Ejemplo Calcular la raíz de

Primera derivada

Sustituyendo

I Xi Et(%)

0 0 100

1 0.500000000 11.8

2 0.566311003 0.147

3 0.567143165 0.0000220

4 0.567143290 <1X10-8

xexf x )( ,Con Xo = 0.

1)(' xexf

11

xi

ixi

iie

xexx

Segundo Ejemplo Calcular la Raíz

positiva de

Con Xo= 0.5

Iteración X

0 0.5

1 51.65

2 46.485

3 41.8365

4 37.65285

5 33.887565

. .

. .

. .

∞ 1.000000

1)( 10 xxf

9

10

110

1

i

iii

x

xxx

Función por evaluar :

Ejemplo 3

Comenzando con     y hasta que .

Comenzamos con y obtenemos:

En este caso, el error aproximado es:

Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidió.

Aprox. a la raíz Error aprox.

1

1.268941421 21.19%

1.309108403 3.06%

1.309799389 0.052%

Ejemplo 4

Comenzando con     y hasta que .

Comenzamos con y obtenemos:

En este caso, el error aproximado es:

Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidió.

Aprox. a la raíz Error aprox.

0

0.5 100%

0.5201957728 3.88%

0.5202689918 0.01%

Comenzando con     y hasta que .

Ejemplo 5

Aprox. a la raíz Error aprox.

5

5.1 1.96%

5.099019608 0.019%

5.099019514 0.0000018%

Comenzamos con y obtenemos:

Convergencia Deficiente del método

NEWTON- RAPHSON

Se debe incluir una rutina gráfica del programa

Al final de los cálculos, se deberá siempre sustituir la raíz final calculada en la función original, para determinar si el resultado es cercano a cero. Esta prueba protege el desarrollo del programa contra aquellos casos en los que se presenta convergencia lenta u oscilatoria, la cual puede llevar a valores pequeños de Ea, mientras que la solución aun está muy lejos de una raíz.

El programa deberá incluir siempre un límite máximo permitido del número de iteraciones para estar prevenidos contra soluciones oscilantes, de lenta convergencia o divergentes que podrían persistir en forma interminable.

El programa deberá alertar al usuario para que tome en cuenta la posibilidad de que f´(x) sea igual a cero en cualquier momento durante el cálculo

PASOS QUE SE DEBEN SEGUIR PARA IMPLEMENTAR UN PROGRAMA QUE EJECUTE EL MÉTODO DE NEWTON - RAPHSON