ResumenLa práctica que se realizó utilizando el software Matlab se procedió a realizar el método de Newton Raphson Mejorado con la finalidad de obtener resultados más apropiados y exactos y así poder observar y verificar con que menos margen de error se está obteniendo, de cuando se trabaja el mismo ejercicio pero este mismo aplicado de forma analítica en el cual se estableció un margen y también esta práctica nos servirá para ir obteniendo más conocimientos sobre la correcta utilización del Matlab e ir manejando de mejor forma este método numérico.

Palabras Claves: Error, Matlab, método, práctica, programación.

AbstractThe practice that was carried out using the software Matlab you proceeded to carry out Newton's method Improved Raphson with the purpose of obtaining more appropriate and more exact results and this way to be able to observe and to verify with which less error margin is obtaining, of when one works the same exercise but this same one applied in an analytic way in which a margin settled down and this practice will also be good us to go obtaining more knowledge on the correct use of Matlab and to go managing in a better way this numeric method.

Key Words: Error, Matlab, method, practice, programming.

I. INTRODUCCIÓN

En análisis numérico, el método de Newton Mejorado (conocido también como el método de Newton-Raphson Modificado es un algoritmo eficiente para encontrar aproximaciones de los ceros o raíces de una función real. También puede ser usado para encontrar el máximo o mínimo de una función, encontrando los ceros de su primera derivada.

MARCO TEÓRICO El método de Newton-Raphson Mejorado es un método que es aplicable en el cálculo de raíces múltiples en sistema no lineales. La única manera de alcanzar la convergencia es seleccionar un valor inicial lo suficientemente cercano a la raíz buscada. Así, se ha de comenzar la iteración con un valor razonablemente cercano al cero (denominado punto de arranque o valor supuesto). La relativa cercanía del punto inicial a la raíz depende mucho de la naturaleza de la propia función; si ésta presenta múltiples puntos de inflexión o pendientes grandes en el entorno de la raíz, entonces las probabilidades de que el algoritmo diverja aumentan, lo cual exige seleccionar un valor puesto cercano a la raíz. La dificultad del método de Newton Raphson mejorado en el comportamiento de una función con raíces múltiples obliga a considerar una modificación del método discutido por Ralston. Como primero se desean encontrar las raíces de una función f(x). Definimos una función nueva U(x), dada por: [1].

Sea f: [a, b] -> R función derivable definida en el intervalo real [a, b]. Empezamos con un valor inicial x0 y definimos para cada número natural n.

U (X )= f (X )f ' (x )

INFORME DEL MÉTODO DE NEWTON RAPHSON MEJORADO

Bryan Yanza, José Caraguay, Nerio Silva, Edin Armijos, Darwin Larabyanzaf@est.ups.edu.ec, jcaraguay@est.ups.edu.ec, nsilva@est.ups.edu.ec,

earmijos@est.ups.edu.ec, dlaras1@est.ups.edu.ec

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Figura.1 Representación gráfica de la función f(x).

Se observa que la función U(x) tiene las mismas raíces que f(x), entonces U(x) se vuelve cero en cualquier punto que f(x) es cero. Suponiendo ahora que f(x) tiene una raíz múltiple en x = c de multicidad r. Esto podría ocurrir, por ejemplo, si f(x) contiene un factor (x-c). Entonces, podría fácilmente demostrarse que U(x) tiene una raíz en x = c de multicidad r, o una raíz simple. Puesto que el método de Newton Raphson es efectivo para raíces simples, podemos aplicar el método de Newton para resolver U(x) en lugar de f(x). De esta manera, la ecuación recursiva de este método queda:

xn+1=xn−U (xn )U , (xn )

Derivando la función auxiliar U(x), dada por (3-11), queda:

U' ( x )=1−

f (xn)∙ f' ' (x )

[ f ' (x )]2

Esto puede producir convergencia en alguno de los arreglos y divergencia en el otro.es posible saber de antemano si la primera o la segunda forma convergirán para el caso de sistemas de dos ecuaciones, pero cuando 3 <= n las posibilidades son varias (n!) y es imposible conocer cual de estos arreglos tiene viabilidad de convergencia, por lo cual la elección se convierte en un proceso aleatorio. Esta aleatoriedad es la mayor desventaja de este método.Para una ecuación polinómica de grado n, se tienen n raíces (entre complejas y reales)

Figura.2 Método Newton Raphson

Se dice que hay una raíz doble, cuando 2 términos

de la ecuación son iguales a cero a un valor de x. Se

dice que hay una raíz triple, cuando 3 términos de la

ecuación son iguales a cero a un valor de x. Cuando

la cantidad de raíces es impar, la función cruza al

eje; cuando la cantidad es par, no lo cruza.

“Una raíz múltiple corresponde a un punto donde

una función es tangencial al eje x, y varios valores

de x hacen que f(x) sea cero.”

x i+1=x i−f (xi) f '(x i)

[ f ' (x i)]2−f (x i) f ' '(x i)

Para este método en particular son necesarios los

siguientes parámetros:

1) xi

2) f (xi)

3) f’ (xi)

4) f’’ (xi)

Ya que este método está significativamente

relacionado con el método de Newton-Raphson,

cuando la derivada tiende a cero, tiene problema

con la convergencia.

Cuando se tiene existencia de raíces múltiples, tanto

el método de Newton-Raphson como el de la

secante convergen linealmente

La primera derivada de la ecuación (6.9) es :

ƒ′(x) = 3x2 – 10x + 7, y por lo

Tanto, el método de Newton-Raphson estándar para

este problema es

2

x i+1=x i−x i

3−5 x i2+7 x i−3

3 xi2−10x i+7

Que se resuelve iterativamente para obtener:

Figura.3 Desarrollo del ejercicio aplicando método Newton Raphson Mejorado.

EJERCICIO DE APLICACIÓNPara la realización del ejercicio de aplicación nosotros utilizaremos el software matemático de Matlab, en donde se introducira el programa del método de Newton-Raphson Mejorado.

Iniciamos con el encabezado del programa.

%realizado por: Darwin Lara %Edin Armijos %Nerio Silva %Jose Caraguay %Byan Yanzaclear%% eliminamos variables existentesclc%% limpiamos ventana de comandofprintf('Realizado por:\n');fprintf(' Darwin lara\n Edin Armijos\n Nerio Silva\n Jose Caraguay\n Bryan Yanza\n');disp('METODO DE Newton Raphson Mejorado');%%mostrando el titulo del metododisp('===================');

Este código se visualiza de la siguiente forma.

A continuación procedimos a realizar el código que

nos permite ingresar la función, el resultado de la

primera derivada y de la segunda, el porcentaje de

error al que deseemos que se acerque y también se

pedirá el punto inicial.

funcion=input('Dame la funcion f(x) : ','s');dfuncion=input('Dame la derivada de funcion f(x) : ','s');d2funcion=input('Dame la segunda derivada de funcion f(x) : ','s');xi=input('Dame el valor inicial de x : ');e=input('Dame el porciento del error : ');

Lo que se visualiza de la siguiente manera en la ventana de comandos.

Luego se realizó el siguiente código para realizar cada una de las operaciones, lo que está especificado en forma de comentario en el programa mismo.

ea=1000;%designamos al margen de error inicial de 1000%c=1;x=xi;%designamos que el valor inicial sea igual a x%el siguiente procedimiento es un buble de repeticion%q no dejara de hacer la operacion hasta llegar al valor%de margen de error ingresado al principiowhile ea>e g=eval(funcion);%realizar la evaluación en la función del primer punto inicialh=eval(dfuncion);

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%realizar la evaluación en la función de la primera derivada del primer punto inicialk=eval(d2funcion);%realizar la evaluación en la función de la segunda derivada del primer punto inicialj=x-(g*h)/(h^(2)-(g*k));%se realiza las operaciones para determinar cual es el valor del siguiente punto inicialea=abs((j-x)/j*100);%se determina cual es el valor de error que se esta obteniendox=j;%se reemplaza el valor obtenido de la raíz por xc=c+1;%realiza la suma de +1 iteraciones según se vaya dando los resultadosEnd%se finaliza con el bucle de repetición fprintf('\n\n\n\nLa raiz exacta es: %d',j) fprintf('\n\nNumero de iteraciones: %d',c);%finalmente se muestran los resultados del método de Newton Raphson Mejorado

Conclusiones

En lo que se refiere al método de Newton-Raphson Mejorado realizado en software Matlab solo es necesario ingresar los datos de la función, de la primera derivada de la función y de la segunda derivada de la función, el valor inicial de Xo y el porcentaje de error y el software este es el encargado de calcular el número de iteraciones por medio de la fórmula planteada en este por lo cual obtenemos la respuesta de la raíz de manera más rápido con menos iteraciones por lo cual tiene una

complejidad que solo se puede aplicar a raíces complejas y múltiples.

También se pudo verificar y constatar que el error que nos presenta el programa es mucho menor que el que se va obteniendo cuando se realiza en forma analítica o a mano por que el programa trabaja con los decimales posibles haciendo que los resultados sean más precisos y demás si se tiene el programa es más rápido llegar a las respuestas.

Para resolver las ecuaciones aplicando el método de Newton Raphson Mejorado se determinó que es un método de fácil resolución aplicando en el software, pero al realizarse de forma analítica resulta tener un grado de complejidad para lo cual debemos de tener en cuenta los signos de los términos y tener bien claro las reglas de derivación esto hace que el ejercicio tenga un grado de intensidad al momento de su resolución , con esto podemos concluir que es un método muy confiable con una sola condición que solo se aplica para métodos de raíces complejas y múltiples.

Bibliografía[1].Chapra, R.P. Canale S.C., Mc. Graw Hill "Métodos numéricos para ingenieros",1999.

[2]. INFANTE, J.A.; REY, J.M.: Métodos numéricos. Teoría, problemas y prácticas con MATLAB, Ed. Pirámide (1999).

«En este lugar encontrarás alguna». Accedido 24 de mayo de 2015. Disponible en: http://www.frsn.utn.edu.ar/GIE/AN/ENL/Metodo_Newton Raphson.html

«Método de la secante». Accedido 24 de mayo de 2015. Disponible en:http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/resolucion_numerica_de_ecuaciones/secante.htm.

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