Matematiques I

UNIVERSITAT POMPEU FABRA ESTUDIS EMPRESARIALS

MATEMATIQUES I

Curs 2008-09

Professorat:

Adam MahdiJoan Miralles de I.

Jaume ParadısRamon Villanova

Index

1 Successions i lımits 41.1 Concepte de successio i terme general . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Progressions aritmetiques i geometriques . . . . . . . . . . . . 51.3 Suma en una progressio aritmetica . . . . . . . . . . . . . . . 61.4 Suma en una progressio geometrica . . . . . . . . . . . . . . . 71.5 Calcul de lımits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Funcions d’una variable real 172.1 Concepte de funcio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2 Expressio algebraica de les funcions . . . . . . . . . . . . . . . 182.3 Representacio grafica de les funcions . . . . . . . . . . . . . . 182.4 Domini i recorregut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.5 Resolucio d’inequacions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.6 Composicio de funcions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.7 Funcio inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.8 Algunes funcions importants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.9 Lımits de funcions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.10 Asımptotes d’una funcio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.10.1 Calcul de les asımptotes horitzontals . . . . . . . . . . 292.10.2 Calcul de les asımptotes obliques . . . . . . . . . . . . 302.10.3 Calcul de les asımptotes verticals . . . . . . . . . . . . 31

2.11 Continuıtat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.12 Algunes funcions de la microeconomia . . . . . . . . . . . . . 32

2.12.1 Corbes de demanda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.12.2 Corbes d’ingres brut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.12.3 Corbes de Cost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.12.4 Corbes de cost mitja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.12.5 Corba de beneficis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.13 Problemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2

INDEX 3

3 La derivada d’una funcio 393.1 Derivada d’una funcio en un punt . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.1.1 Funcio derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.1.2 Regles de derivacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.1.3 Derivades successives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.1.4 Recta tangent a una funcio en un punt . . . . . . . . . 43

3.2 Desenvolupament d’una funcio en serie de Taylor . . . . . . . 443.3 Creixement i decreixement d’una funcio . . . . . . . . . . . . . 483.4 Concavitat i convexitat d’una funcio . . . . . . . . . . . . . . 493.5 Maxims i mınims . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.5.1 Maxims i mınims relatius . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.5.2 Maxims i mınims absoluts . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.6 Problemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4 Aplicacions a l’economia 584.1 La derivada en economia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.1.1 Relacio entre la funcio de cost mitja i cost marginal . . 594.1.2 El concepte d’elasticitat . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.2 Duopoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.2.1 El problema del duopoli . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.2.2 Fals duopoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.3 Problemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5 Recapitulacio de funcions d’una variable 72

6 Problemes d’examens i solucions 836.1 Funcions d’una variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 836.2 Examens complets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

6.2.1 Desembre 06 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 876.2.2 Setembre 07 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 916.2.3 Desembre 07 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 946.2.4 Setembre 08 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

Capıtol 1

Successions i lımits

1.1 Concepte de successio i terme general

El concepte matematic de successio es equivalent, amb matisacions, al que esfa servir en el llenguatge del carrer. Es tracta de posar “coses” una darrere del’altra. Aixo significa posar una cosa al primer lloc, una altra al segon, i aixısuccessivament. L’unica diferencia es que, en matematiques, el que posemun darrere l’altre son nombres reals i, a mes, n’ordenem sempre infinits.Aquestes consideracions ens porten a la definicio de successio de nombresreals:

Una successio de nombres reals es una assignacio que a cadanombre natural (1, 2, 3, . . .) li fa correspondre un nombre real.

Exemples de successions:

1. 2, 4, 6, 8, 10, . . .

2. 1, -1, 1, -1, . . .

3. 1, 2, 1, 2, 1, 2, . . .

4. 2, 4, 8, 16, 32, . . .

5.1

2,

2

3,

3

4,

4

5, . . .

6.1

2,

1

5,

1

8,

1

11,. . .

Un altre problema es, donada una successio, saber quin nombre real es tro-bara en cada lloc. Anomenarem n al lloc corresponent. El terme que es al

4

CAPITOL 1. SUCCESSIONS I LIMITS 5

lloc n l’anomenarem an. Si trobem l’expressio de an tindrem una formula queens permet saber quin nombre real hi ha a cada lloc. Aquesta formula rep elnom de terme general de la successio. Els terme generals corresponentsa les successions de l’exemple anterior serien:

1. an = 2n.

2. an = (−1)n+1.

3. an = 1 si n es senar, an = 2 si n es parell. O be an =(−1)n + 3

2.

4. an = 2n.

5. an =n

n + 1.

6. an =1

3n − 1.

Exercici 1. Determineu el cinque i el vuite terme de la successio de terme

general an =

√n − 1

n2 + 2.

Exercici 2: Donada la successio de terme general an =n2

2n − 1, determineu

si els nombres:25

11i

16

7pertanyen o no a la successio.

1.2 Progressions aritmetiques i geometriques

Com hem vist mes amunt, hi ha successions creixents –cada terme es mesgran que l’anterior–, successions decreixents –cada terme es mes petit quel’anterior– i d’altres que no son ni creixents ni decreixents. Tambe hi hasuccessions fitades, es a dir, que tots els seus termes son menors –o mesgrans– que un valor donat. En altres paraules, podem fixar-nos en diversescaracterıstiques de les successions. Per exemple, hi ha successions, com lanumero 1 de la pagina 4, en la que cada terme es 2 unitats mes gran quel’anterior. Les successions que verifiquen aquesta propietat s’anomenen pro-gressions aritmetiques. D’altres, com per exemple la numero 4 de la pagina4, verifiquen que cada terme es el doble de l’anterior. Les successions queverifiquen aquesta propietat s’anomenen progressions geometriques.


• Si en una successio es verifica que, per a tot valor n de lasuccessio, an − an−1 = d, on d es una quantitat constant,aleshores la successio rep el nom de progressio aritmetica.

• d rep el nom de diferencia de la progressio aritmetica.

• La formula del terme general d’una progressio aritmetica dediferencia d es an = a1 + d · (n − 1).

• Si en una successio es verifica que, per a tot valor n de la

successio,an

an−1= r, on r es una quantitat constant, aleshores

la successio rep el nom de progressio geometrica.

• r rep el nom de rao de la progressio geometrica.

• La formula del terme general d’una progressio geometrica derao r es an = a1 · rn−1.

Vegem-ne alguns exemples:

1. La successio 1, 4, 7, 10, 13, . . . es una progressio aritmetica de diferenciad = 3.

2. La successio 1,1

2,

1

4,

1

8,

1

16, . . . es una progressio geometrica de rao

r =1

2.

3. La successio 1,1

2,

1

4,

1

6,

1

8, . . . no es una progressio aritmetica ni geo-

metrica.

4. La successio 2, 6, 18, 54, 162, . . . es una progressio geometrica de raor = 3.

1.3 Suma en una progressio aritmetica

Una manera facil de caracteritzar una progressio aritmetica es la seguent:per a avancar en la progressio cal anar sumant la diferencia d, i per a anarretrocedint cal restar la diferencia. Per exemple, si 8 es un terme d’una


progressio aritmetica de diferencia 3, els termes seguents de la progressioson:

8, 11, 14, 17, . . .

i els termes anteriors son:

−4, −1, 2, 5, 8 . . .

Observem que, prenguem el tros que prenguem de la progressio, la suma delprimer mes l’ultim val el mateixa que la del segon i el penultim, . . . i aixısuccessivament. Per exemple, si prenem:

−4, −1, 2, 5, 8, 11, 14, . . .

tenim que −4 + 14 = −1 + 11 = 2 + 8 = 10 que es el doble de 5, el termecentral.

Considerem ara amb mes detall la propietat que acabem d’assenyalar: la su-ma dels termes simetrics d’una progressio aritmetica finita es constant. Aixovol dir que, si coneixem el primer i el darrer dels termes de la progressio, enpodem coneixer la suma. Dit d’una altra manera: si considerem la progressioaritmetica finita:

a1, a2, a3, . . . , an ,

la suma dels seus termes es S = (a1 + an) · n

2.

Exemple: La suma, S, dels 100 primers nombres naturals: 1, 2, 3, . . . , 100

val: S = (1 + 100) · 100

2= 101 · 50 = 5050.

Exercici 3: Calculeu la suma dels cent primers nombres senars.

1.4 Suma en una progressio geometrica

Una manera facil de caracteritzar una progressio geometrica es la seguent:per a avancar en la progressio cal anar multiplicant per la rao r i per aanar retrocedint cal dividir per la rao. Aixo significa que, donat un termea qualsevol d’una progressio geometrica, podem escriure els termes seguentsaixı:

a, a · r, a · r2, a · r3, a · r4, . . . .

Tambe podrem escriure els termes anteriors a a aixı:

a

r4,

a

r3,

a

r2,a

r, a, . . . .


En resum: els termes de la progressio geometrica que es troben al voltant dea es poden escriure com:

. . .a

r4,

a

r3,

a

r2,a

r, a, a · r, a · r2, a · r3, a · r4, . . . (1.1)

Aquesta forma d’expressar els termes d’una progressio geometrica ens serviriaper a aconseguir una formula per al producte dels termes analoga a la de lasuma dels termes d’una progressio aritmetica. Nomes cal fixar-nos en que enuna progressio geometrica finita, el producte de dos termes simetrics respecteal terme central es constant.

Tanmateix, es molt mes important aconseguir una formula per a la sumade termes d’una progressio geometrica. Es demostra facilment que la sumadels n primers termes d’una progressio geometrica de rao r es:

Sn =an · r − a1

r − 1. (1.2)

En efecte, nomes cal escriure

Sn = a1 + a2 + · · ·+ an

r · Sn = r · a1 + r · a2 + · · ·+ r · an

= a2 + a3 + · · ·+ an + r · an

i restar la ultima igualtat de la primera:

r · Sn − Sn = r · an − a1.

Aıllant Sn de la igualtat anterior es troba la formula (1.2).Exercici 4: Trobeu la suma dels termes de la progressio

3

10,

3

102,

3

103, . . . ,

3

108.

Creieu que us calia la formula per calcular-ne la suma?

Suposem ara una progressio geometrica decreixent, es a dir, una progres-sio geometrica de rao mes petita que 1. Per exemple, r = 1/2 i a1 = 1/2:

1

2,

1

4,

1

8,

1

16,

1

32, . . .

Graficament, si considerem un quadrat de costat 1, podem representar elstermes de la successio de la manera seguent: A la figura 1.1 es veu que cada


Figura 1.1: Suma de termes de la pr. geometrica

vegada afegim la meitat del que falta per arribar a completar el quadratd’area 1, de forma que, tot afegint cada vegades mes termes a la suma:

1

2+

1

4+

1

8+

1

16+

1

32+ · · · ,

ens aproparem tant com vulguem a completar el quadrat de costat 1. Enaltres paraules, direm que la suma de tots els termes d’aquesta pro-gressio geometrica val 1.

Observem que a mesura que avancem en qualsevol progressio geometrica derao mes petita que 1, els termes es fan cada vegada mes petits, “tendei-xen a zero”. Per tant, per a progressions geometriques de rao mes petitaque 1 podem adaptar la formula (1.2) per a sumar “tots” els termes de laprogressio:

S =0 · r − a1

r − 1=

−a1

r − 1=

a1

1 − r.

Exercici 5: Calculeu la suma de tots els termes de la progressio geometricade primer terme a1 = 1/2 i de rao r = 2/3.

Exercici 6: Calculeu la suma de tots els termes de la progressio geometricade primer terme a1 = 3/10 i de rao r = 1/10. Com a l’exercici 4, creieu quecalia la formula per trobar-ne la suma?


Lımit d’una successio

Considerem la successio:

1,1

2,

1

4,

1

8,

1

16,

1

32, . . . (1.3)

de terme general1

2n−1. Dibuixant aquests valors sobre la recta (figura 1.2)

Figura 1.2: Els termes de la successio (1.3)

veiem que els successius termes s’apropen a zero tant com vulguem; en altresparaules, si volem algun terme de la successio que li falti menys d’una mili-onesima –o menys que qualsevol altra quantitat, per petita que sigui– per aarribar a zero, en trobarem i no nomes un, sino que a partir d’un cert lloctots els termes estaran a menys de la milionesima. Aixo es resumira dientque el lımit de la successio es zero, i ho escriurem aixı:

limn→∞

1

2n−1= 0 .

Analogament, considerem la successio:

1, 2, 4, 8, 16, 32, . . .

Es clar que qualsevol nombre, per gran que sigui, es superat per termesd’aquesta successio: direm que el lımit d’aquesta successio es infinit, i hoescriurem aixı:

limn→∞

2n−1 = ∞ .

Suposem ara la successio:

−1, −2, −4, −8, −16, −32, . . .

De manera similar al cas anterior, esta clar que qualsevol nombre, per petit –negatiu– que sigui, es superat per baix per termes d’aquesta successio: diremque el lımit d’aquesta successio es menys infinit, i ho escriurem aixı:

limn→∞

(−2n−1) = −∞ .


No totes les successions tenen lımit. Per exemple, la successio de termegeneral an = (−1)n, es a dir,

−1, 1,−1, 1,−1, 1, . . . ,

no te lımit.

1.5 Calcul de lımits

Considerem ara el lımit de la successio (1.3). Des d’un punt de vista formalpodrıem “calcular-lo” aixı:

limn→∞

1

n=

1

∞ = 0 .

La ultima igualtat s’ha de llegir en el sentit de lımits d’una successio, NOcom una operacio numerica valida (∞ no es CAP nombre real). Aixı, desdel punt de vista de lımits de successions podem plantejar la seguent llistad’“operacions”amb lımits:

1.1

∞ = 0,1

0= ∞.

2. ∞ + a = ∞, on a es un nombre qualsevol.

3. ∞ · a =

{∞ si a > 0

−∞ si a < 0. El cas ∞ · 0 es indeterminat, es a dir, el

seu valor depen de les successions concretes involucrades.

4. ∞ ·∞ = ∞.

5.∞∞ es indeterminat.

6.0

0es indeterminat.

7. ∞−∞ es indeterminat.

8. Si a > 1, a∞ = ∞, a−∞ = 0.

9. 1∞ es indeterminat.

Aquestes seran les regles que haurem d’aplicar per al calcul de lımits, jun-tament amb el coneixement d’alguns lımits de successions com les definides


per polinomis: si P (x) es un polinomi, aleshores limn→∞

P (n) = ∞. Mes con-

cretament:

limn→+∞

anxn + an−1xn−1 + · · ·+ a0 = +∞ si an > 0

limn→+∞

anxn + an−1xn−1 + · · · + a0 = −∞ si an < 0

limn→−∞

anxn + an−1xn−1 + · · · + a0 = −∞ si an > 0

limn→−∞

anxn + an−1xn−1 + · · ·+ a0 = +∞ si an < 0

Exemple: limn→∞

n2 − 1

2n2 − 3n + 4. El resoldrem pas per pas:

Pas 1. Com que el numerador i el denominador son polinomis, ambdos ten-

deixen a infinit: limn→∞

n2 − 1

2n2 − 3n + 4=

∞∞ , que es indeterminat.

Pas 2. Dividim numerador i denominador per n elevat a la maxima potenciaque hi aparegui; en aquest cas, 2:

limn→∞

n2 − 1

2n2 − 3n + 4= lim

n→∞

1 − 1

n2

2 − 3

n+

4

n2

=1 − 0

2 − 0 + 0=

1

2.

Exemple: limn→∞

(√

n + 1 −√

n − 1).

Pas 1. limn→∞

(√

n + 1 −√

n − 1) = ∞−∞, que es indeterminat.

Pas 2. Multipliquem numerador i denominador per√

n + 1 +√

n − 1. Tin-drem

limn→∞

(√

n + 1−√

n − 1) = limn→∞

(√

n + 1 −√

n − 1)(√

n + 1 +√

n − 1)√n + 1 +

√n − 1

=

limn→∞

2√n + 1 +

√n − 1

=2

∞ = 0.

Exemple: limn→∞

e

−n2

n + 2 .

Pas 1. L’exponent es, igual que en el cas anterior, una indeterminacio del tipus∞∞ . Resolguem-la.


Pas 2. Dividint numerador i denominador per n2 tindrem:

limn→∞

−n2

n + 2= lim

n→∞

−11

n+

2

n2

=−1

0= −∞.

Pas 3. Tornant al nostre problema inicial tindrem:

limn→∞

e

−n2

n + 2 = e−∞ = 0.

Considerem ara la successio de terme general an =

(1 +

1

n

)n

, i calculem

alguns dels seus primers termes:

• a1 = 11 = 1.

• a2 =

(1 +

1

2

)2

=

(3

2

)2

=9

4= 2,25.

• a3 =

(1 +

1

3

)3

=

(4

3

)3

=64

27= 2,37.

• a4 =

(1 +

1

4

)4

=

(5

4

)4

=625

256= 2,44140.

• a5 =

(1 +

1

5

)5

=

(6

5

)5

=7776

3125= 2,48832.

• a6 =

(1 +

1

6

)6

=

(7

6

)6

=117649

46656= 2,521626371.

Pretenem coneixer el lımit d’aquesta successio. Si substituım n per ∞, comhem fet abans, tindrem:

limn→∞

(1 +

1

n

)n

= (1 + 0)∞ = 1∞ , (1.4)

que es indeterminat. A partir dels termes que hem calculat, queda clar queel resultat no es 1, sino un nombre entre 2 i 3. Aquest nombre s’anomena e,i el seu valor aproximat es:

e = 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 352 662 497 757 247 09 .


Aquest nombre es irracional, es a dir, te infinits decimals, sense cap perıode.

Un resultat important, a l’hora de trobar lımits, es que si el lımit de l’ex-pressio (1.4) es e, tambe ho es el de qualsevol expressio del tipus:

limn→∞

(1 + kn)1

kn = e si limn→∞

kn = 0 .

En consequencia, quan tinguem una expressio del tipus 1∞ podrem utilitzaraquest fet per a resoldre la indeterminacio. Per exemple, volem calcular ellımit seguent:

limn→∞

(1 +

1

2n − 1

)n+1

i, com abans, procedirem per passos:

Pas 1. limn→∞

(1 +

1

2n − 1

)n+1

= limn→∞

[(1 +

1

2n − 1

)2n−1] n + 1

2n − 1

Pas 2. Calculem el lımit de l’exponent. Per tot el que s’ha explicat mes amunt

tindrem: limn→∞

n + 1

2n − 1=

1

2.

Pas 3. El lımit inclos dins del claudator, per tot l’anterior, es e. Acabem de

calcular el lımit de l’exponent, i ens ha sortit1

2. Per tant,

limn→∞

(1 +

1

2n − 1

)n+1

= limn→∞

[(1 +

1

2n − 1

)2n−1] n + 1

2n − 1= e

1

2 .

Es facil comprovar que, per a calcular limn→∞

(an)bn on limn→∞

an = 1 i limn→∞

bn =

∞, aleshores podem determinar-lo fent servir la formula seguent:

limn→∞

(an)bn = elim

n→∞

(an − 1) · bn.

Exercicis: Calculeu els lımits seguents:

Ex. 1. limn→∞

3n3 − 2n + 4

n2 + 5n − 6.

Ex. 2. limn→∞

3n2 − 2n + 4

n3 + 5n − 6.


Ex. 3. limn→∞

3n2 − 2n + 4

n2 + 5n − 6.

Ex. 4. Utilitzeu els exercicis anteriors per a calcular limn→∞

P (n)

Q(n), on P (n) es un

polinomi de grau k i Q(n) es un polinomi de grau k′.

Ex. 5. limn→∞

√n√

n + 1 −√

n − 1.

Ex. 6. limn→∞

(n + 1

n

)2n−3

.

Ex. 7. limn→∞

e

( √n

n+1

).

Exercicis de recapitulacio

Rec. 1. En una progressio geometrica tenim:

a1 + a2 + a3 = 7a4 + a5 + a6 = 56 .

Quant val a1 + a4?

Rec. 2. Si sabem que els tres nombres x, x + 9 i x + 45 estan en progressiogeometrica, determineu el valor de x.

Rec. 3. El tercer terme d’una progressio geometrica es 10 i el sise es 80. Quantval la seva rao?

Rec. 4. Calculeu la suma dels 100 primers nombres parells estrictament posi-tius.

Rec. 5. Quants elements te la progressio aritmetica 100, 98, 96, . . . , 22?

Rec. 6. En una progressio aritmetica, quant val a50 si a5 = 30 i a10 = 50?

Rec. 7. Calculeu els lımits seguents:

(a) limn→∞

−5n4 + 4n2

3n3.

(b) limn→∞

−5n4 + 4n−2

3n3.


(c) limn→∞

−5n3 + 4n2

3n3.

(d) limn→∞

−5n3 + 4n−2

3n3.

(e) limn→∞

−5n−3 + 4n−2

3n3.

(f) limn→∞

√n2 + n − n.

(g) limn→∞

√n2 + 3n + 1 −

√n2 + 4.

(h) limn→∞

√n2 + 3n + 1 −

√n2 + 4

n.

(i) limn→∞

(1 +

1

n2

)n2/3

.

(j) limn→∞

(n2 + 3

n2 − 3

)n2+2n−1

.

Capıtol 2

Funcions d’una variable real

2.1 Concepte de funcio

Donat un conjunt de nombres, podem establir una relacio o correspondenciaentre els seus elements. Per exemple, si suposem el conjunt dels nombresenters, podem establir la relacio que a cada nombre enter li fa correspondreel seu oposat, es a dir, al 7 li fa correspondre el −7, al 4 li fa correspondre el−4, al 0 li fa correspondre el 0, al −3 li fa correspondre el 3, i aixı successi-vament.

Nosaltres estem interessats en un tipus molt especıfic de correspondencies orelacions: les funcions d’una variable real, que son les mes basiques i impor-tants del mon de la Matematica.

Anomenem funcio d’una variable real a tota relacio entre nom-bres reals que a cada element n’hi faci correspondre un i nomesun.

Ara caldra que fem un petit esforc de definicio del llenguatge de les funcions ide la seva expressio algebraica. Per a comencar, aquells nombres reals que sonels subjectes de la nostra funcio, es a dir, aquells a qui en fem correspondreun altre, formen l’anomenat conjunt de sortida, conjunt d’originals oconjunt de les antiimatges. Els destinataris, aquells que corresponen aalgun original, formen el conjunt d’arribada o conjunt de les imatges.La recepta que ens permet saber qui correspon a qui s’anomena regla oformula de la funcio.

Vegem-ho amb un exemple. Considerem la funcio que a cada nombre realli fa correspondre el seu doble: aquesta es la regla de la funcio. El conjuntoriginal es ara el de tots els nombres reals, el mateix que el conjunt de les

17

CAPITOL 2. FUNCIONS D’UNA VARIABLE REAL 18

imatges. Per tant, en aquest cas tenim que el conjunt original es R, el mateixque el conjunt imatge. Podem dir que la imatge de 4 es 8, que 6,5 es unaantiimatge de 13, que a −

√3 li correspon −2

√3, i aixı successivament.

2.2 Expressio algebraica de les funcions

Per tal de seguir amb eficiencia qualsevol curs de matematiques es fona-mental ser capac de llegir correctament el llenguatge de les funcions. Enl’exemple anterior no ens hem preocupat gaire de quins eren els conjunts desortida i d’arribada; ara definirem en concret que es tracta del conjunt delsnombres reals. A mes, la nostra funcio ha de tenir un nom: per exemple,li donarem el nom mes habitual, que es f . Tambe de manera habitual, elselements del conjunt original acostumen a indicar-se amb la lletra x, que nos’ha de confondre amb la incognita d’una equacio: de moment, son dues cosesque no tenen res a veure. Esquematitzem tot aquest llenguatge de funcions:seguint amb el nostre exemple tindrem:

Llenguatge habitual Llenguatge algebraic

f es una funcio de R en R f : R −→ R

A cada nombre real li fa corres-pondre el seu doble f(x) = 2x

La imatge de 4 es 8 f(4) = 8

2,5 es una antimatge de 5 f(2,5) = 5

Fem notar que en una funcio la imatge d’un nombre es unica, pero la an-tiimatge no te perque ser-ho. En la funcio f(x) = x2, el nombre 4 te duesantiimatges: 2 i −2.

2.3 Representacio grafica de les funcions

En el modul de SIREMA dedicat a les funcions polinomiques hi trobareuun repas exhaustiu de la representacio grafica de les funcions. Aquı nomesrecordarem que, per a representar graficament una funcio d’una variable f :


• Les representarem en un sistema de dos eixos perpendiculars, que s’a-nomenen eixos de coordenades.

• Posarem els elements del conjunt de sortida a l’eix horitzontal, ques’anomena eix d’abscisses. Aquests elements s’acostumen a indicaramb la lletra x.

• Posarem els elements del conjunt d’arribada a l’eix vertical, que s’ano-mena eix d’ordenades. Aquests elements s’acostumen a indicar ambla lletra y o, tambe, f(x).

• Si la imatge de x es y, indicarem que el punt (x, y) pertany a la graficade la funcio f .

Figura 2.1: Representacio grafica de funcions

2.4 Domini i recorregut

Habitualment n’hi ha prou amb donar la regla de la funcio, sense que cal-gui explicitar quins nombres reals tenen imatge i quins son imatge d’algunnombre real. Tanmateix, moltes vegades ens sera d’utilitat coneixer aquestsconjunts, i es per aquest motiu que tenen nom especıfic:


Donada una funcio f d’una variable:

• Anomenem domini de la funcio f al conjunt de tots elsnombres reals que tenen imatge, i l’indicarem com a Dom f .

• Anomenem recorregut de la funcio f al conjunt de totsaquells nombres reals que son imatge d’algun altre, i l’indica-rem com a Im f .

La cerca del domini d’una funcio es habitualment senzilla: nomes cal coneixerles operacions que hi apareixen. Pero per a determinar el recorregut d’unafuncio de vegades cal comencar per coneixer-la completament. Vegem algunsexemples de calcul de dominis de funcions:

Ex. 1. f(x) = x2 − 5x + 6.Es evident que a tot nombre real se li poden aplicar les operacionsindicades: elevar-lo al quadrat, restar-li ell mateix quintuplicat, . . . .Per tant, Dom f = R.

Ex. 2. g(x) =2x

x − 2.

Com que no es pot dividir per zero, nomes quedaran exclosos del dominide f aquells valors que facin zero el denominador; es tracta de resoldrela senzillıssima equacio x − 2 = 0, que te com a unica solucio x = 2.Per tant, Dom g = R − {2} = (−∞, 2) ∪ (2,∞).

Ex. 3. h(x) =x − 2

x2 − 5x + 6.

Amb el mateix criteri de l’exemple anterior, nomes quedaran exclososdel domini aquells valors que facin zero el denominador. Les solucionsde l’equacio x2 − 5x + 6 = 0 son x = 2 i x = 3. En consequencia, Domh = R − {2, 3} = (−∞, 2) ∪ (2, 3) ∪ (3,∞).

Ex. 4. j(x) =x − 1

x2 + 2x + 2.

Fent servir els mateixos criteris dels darrers exemples comprovem quel’equacio x2 + 2x + 2 = 0 no te cap solucio real. Per tant, com que eldenominador no s’anul·la mai, tindrem que Dom j = R.

Ex. 5. k(x) =√

x − 3.Aquest es un cas diferent dels anteriors: com que nomes existeix l’arrelquadrada dels nombres no negatius, ara no ens preocupa si algun poli-nomi val zero o no, sino que volem saber per a quins valors es positiui per a quins no. En altres paraules, hem de resoldre la inequacio


x − 3 ≥ 0 que, obviament, te com a solucio x ≥ 3. Per tant, tindremque Dom k = [3, +∞). Pero, en cas que la inequacio sigui mes difıcil,com podrem resoldre-la?

2.5 Resolucio d’inequacions

A l’hora de determinar el valors que verifiquen una inequacio cal anar encompte amb les situacions seguents:

• Si a < b, aleshores −a > −b.

• Si 0 < a < b, aleshores1

a>

1

b.

• Si a < b, aleshores

{a · c < b · c si c > 0a · c > b · c si c < 0

.

Tenint en compte aquestes possibilitats, les inequacions de primer grau esresolen simplement transposant termes. Per exemple:

3x − 4 ≥ 5x − 6 → 3x − 5x ≥ 4 − 6 → −2x ≥ −2 → 2x ≤ 2 → x ≤ 1 .

Quan tenim una inequacio polinomica de grau mes gran que 1, el problemacanvia: cal que descomponem el polinomi en producte de polinomis de grauel mes petit possible. El cas dels polinomis de grau 2 es facil. Nomes hem detrobar les arrels del polinomi a traves de la formula habitual. Per exemple,el polinomi 3x2 − 3x − 6 es descompon

3x2 − 3x − 6 = 3(x − 2)(x + 1)

perque 3x2 − 3x− 6 = 0 te com arrels −1 i 2. Ara, saber per quins valors dex es compleix que 3x2 + 3x − 6 < 0, es facil. Els signes dels factors x − 2 ix + 1 ens permeten saber el signe del producte:

x < −1 x = −1 −1 < x < 2 x = 2 2 < xx + 1 − 0 + 0 +x − 2 − − − 0 +

3(x − 2)(x + 1) + 0 − 0 +

En consequencia, 3x2 − 3x − 6 < 0 quan −1 < x < 2.En el cas de grau mes elevat, el procediment es el mateix pero no tenim

la formula per trobar les arrels del polinomi. Per exemple, si volem calcularper a quins valors de x es verifica

x3 − 4x2 + 3x < 0 , (2.1)


ens caldra descompondre en factors el polinomi, tal com hem fet en el casanterior, apel·lant a les tecniques que permeten trobar les arrels d’un poli-nomi de grau superior a 2. Per recordar-les, mireu el modul de SIREMA“divisibilitat de polinomis”. En aquest cas el resultat es:

x3 − 4x2 + 3x = x(x − 1)(x − 3) . (2.2)

Vegem ara la manera d’esbrinar quins valors de x verifica la inequacio x3 −4x2 + 3x < 0. El polinomi (2.2) val zero quan x pren els valors x = 0, x = 1,x = 3 i, per tant, el polinomi nomes pot canviar de signe quan x prenguiaquests valors. Vegem ara de manera esquematica els signes que pren elpolinomi (2.2) en cadascuna d’aquestes zones:

x < 0 x = 0 0 < x < 1 x = 1 1 < x < 3 x = 3 x > 3x − 0 + + + + +

x − 1 − − − 0 + + +x − 3 − − − − − 0 +

Com que el nostre polinomi es producte d’aquests factors, podem completarla taula de signes del polinomi simplement per producte dels factors corres-ponents:

x < 0 x = 0 0 < x < 1 x = 1 1 < x < 3 x = 3 x > 3x − 0 + + + + +

x − 1 − − − 0 + + +x − 3 − − − − − 0 +

Producte − 0 + 0 − 0 +

Per tant, els valors de x que verifiquen la inequacio (2.1) son (−∞, 0)∪(1, 3).

En cas de tenir un producte o quocient de diversos factors polinomics faremservir exactament els mateixos criteris. Vegem-ho amb el seguent exemple:

Exemple: Calculeu el domini de la funcio f(x) =

√x2 − 1

x3 + 2x2 + x + 2.

Procedirem per passos:

Pas 1. Ens interessa saber quin signe pren l’expressio del radicand:x2 − 1

x3 + 2x2 + x + 2, pels diversos valors de x.

Pas 2. Descomposem en factors el numerador:x2 − 1 = (x + 1)(x − 1).Aquests factors valen zero quan x = −1 i x = 1 respectivament.


Pas 3. Descomposem en factors el denominador:x3 + 2x2 + x + 2 = (x + 2)(x2 + 1).El primer factor val zero quan x = −2, i el factor x2 + 1 es positiu pera qualsevol valor de x; per tant, no afecta al signe del resultat.

Pas 4. En resum, els diversos factors valen zero quan x = −2, x = −1 i x = 1respectivament: aquests son els valors on canviara el signe del radicand.

Pas 5. Plantegem el quadre de signes com hem fet a l’exemple anterior:

x < −2 x = −2 −2 < x < −1 x = −1 −1 < x < 1 x = 1 x > 1x + 2 − 0 + + + + +x + 1 − − − 0 + + +x − 1 − − − − − 0 +

− + 0 − 0 +

Pas 6. Si tenim en compte que el valor x = −2 fa que el denominador valguizero i, per tant, no pertany al domini, tindrem que:

Dom f = (−2,−1] ∪ [1, +∞) .

2.6 Composicio de funcions

En l’ambit de les funcions, a banda de les operacions de suma, producte,etc., que estem acostumats a fer servir es important considerar un altre tipusd’operacio que es podria descriure com posar una funcio darrera d’una altrao tambe aplicar dues funcions consecutivament. Aquı sera important, unavegada mes, dominar el llenguatge de les funcions. En tot cas, comencaremper una definicio:

Donades dues funcions f i g anomenarem funcio composicio def i g, i l’escriurem com f ◦ g, a:

(f ◦ g)(x) = f (g(x)) . (2.3)

Vegem ara el significat d’aquesta definicio: considerem dues funcions concre-tes, f(x) = 2x i g(x) = x + 1. Aquı sera especialment important el saber“llegir” les funcions: la funcio f es tal que a cada nombre real li fa corres-pondre el seu doble, mentre que la funcio g, a cada real li fa correspondre elque es una unitat mes gran. Apliquem la definicio (2.3) pas a pas:

Pas 1. Primer aplicarem la funcio g, ja que observem que la definicio (2.3)parla de g(x), pero no de f(x): (f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f(x + 1).


Pas 2. Com que f es una funcio que a cada real li fa correspondre el seu doble,al nombre real x + 1 li fa correspondre 2(x + 1):(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f(x + 1) = 2(x + 1).

Pas 3. En cas que sigui convenient, aquesta expressio pot simplificar-se almaxim: (f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f(x + 1) = 2(x + 1) = 2x + 2. Enresum: (f ◦ g)(x) = 2x + 2.

MOLT IMPORTANT: La composicio de funcions es una operacio no con-mutativa, es a dir, no sempre es verifica que f ◦ g sigui igual a g ◦ f . Perexemple, en el cas de les funcions anteriors tindrem que:

(g ◦ f)(x) = g (f(x)) = g(2x) = 2x + 1 6= 2x + 2 .

Exercici: Donades les funcions f(x) = x2 + x + 1 i g(x) =1

x, calculeu f ◦ g

i g ◦ f , simplificant les expressions corresponents tot el que sigui possible.

2.7 Funcio inversa

Donada una funcio real d’una variable, la seva funcio inversa es aquellaen la que originals i imatges inverteixen els seus papers. En altres paraules,si la funcio f es la que consisteix en multiplicar per 2 cada nombre real, laseva inversa consistira en dividir per 2 cada nombre real. La questio es: siexisteix la funcio inversa de f , com es calcula?

Per a simplificar, posem la formula de la funcio f aixı: y = 2x. Sabem quela x correspon als originals i la y a les imatges. Amb el concepte de funcioinversa que acabem de presentar queda clar que la inversa d’aquesta funciosera aquella en la que les x fan de y i viceversa, es a dir, x = 2y. Si ara

aıllem la y tindrem l’expressio de la inversa de la nostra funcio: y =x

2, com

ja sabıem. La funcio inversa de la funcio f , si existeix, s’escriu aixı: f−1(x).ATENCIO: aquesta expressio no te res a veure amb una potencia.

El darrer dels passos que acabem d’escriure, el d’aıllar la y, no sempre serapossible: aleshores direm que la funcio no te inversa per a tots els valorsreals.

Exemple: Demostreu que la funcio f(x) = x2 no te inversa per a tots elsvalors reals.Procedirem com en el primer exemple:

Pas 1. Escriurem la funcio que ens donen com y = x2.


Pas 2. Intercanviarem els noms –i els papers– de les variables: x = y2.

Pas 3. En intentar aıllar la y ens trobem que haurıem de posar y = ±√x, on

hi hauria valors de x que no tindrien imatge i d’altres que en tindriendues. Per tant, no es funcio.

2.8 Algunes funcions importants

Descriurem aquı algunes funcions senzilles pero de gran importancia en elmon de la Matematica, juntament amb les seves grafiques.

1. La funcio valor absolut. S’escriu habitualment com a f(x) = |x|.La seva definicio rigorosa es:

|x| =

{x si x ≥ 0

−x si x < 0

Per exemple, |5| = 5, | − 4| = 4. La seva grafica es representada a lafigura 2.2.

Figura 2.2: La funcio valor absolut

2. La funcio part entera. S’escriu habitualment com a E(x). A cadanombre real x li fa correspondre el mes gran nombre enter que siguimes petit o igual que x.

3. La funcio part fraccionaria. La part fraccionaria d’un nombre esdefineix que el valor del nombre menys la seva part entera, es a dir,D(x) = x − E(x). La seva grafica es a la figura 2.4.

4. Les funcions polinomiques. Les seves propietats son prou sabudes.Podeu repassar-les al modul corresponent de SIREMA.


Figura 2.3: La funcio part entera

Figura 2.4: La funcio part fraccionaria

5. Les funcions racionals. S’anomenen aixı les funcions que son quoci-ent de dues funcions polinomiques. Per exemple, les funcions:

f(x) =x2

x2 + 1o g(x) =

1

x

son funcions racionals.

6. Les funcions irracionals. Son aquelles en que les variables es trobensota arrels. Per exemple, les funcions:

f(x) =√

x2 + 1 o g(x) =1√

x2 − 2

son funcions irracionals.

7. Les funcions exponencials. Son funcions de la forma f(x) = ax ona > 0 i a 6= 1, que podeu repassar en el modul correponent de SIREMA.La mes habitual i senzilla es f(x) = ex, que te com a grafica la figura2.5.


Figura 2.5: La funcio ex

8. Les funcions logarıtmiques. Son les funcions inverses de la corres-ponent funcio exponencial, que podeu repassar en el modul correponentde SIREMA. La mes habitual i senzilla es f(x) = ln x, que es la inversade ex i te com a grafica la figura 2.6.

Figura 2.6: La funcio ln x

2.9 Lımits de funcions

Tot el que sabem sobre lımits de successions es trasllada de manera similara les funcions. Tanmateix, a diferencia de les successions, amb les funcionsno cal que la x tendeixi a infinit: pot tendir a −∞, o a un valor donat qual-sevol, a. En una primera aproximacio podem parlar de lim

x→−∞

f(x), limx→a

f(x),

limx→∞

f(x). Aixo significara analitzar el comportament de la funcio quan x

s’acosta cada vegada mes a aquests valors: Com calcular lımits? N’hi haprou amb substituir la x pel seu valor i, en cas que resulti indeterminat,aplicar els metodes que ja coneixem. Vegem-ne alguns exemples:


Figura 2.7: Els lımits d’una funcio

Ex. 1. limx→8

1

x − 8=

1

0= ∞.

Ex. 2. limx→3

(x − 1

x

)1/(x−3)2

=

(2

3

)∞

= 0.

Ex. 3. limx→1

x2 − 3x + 2

x2 − 1=

0

0que es indeterminat. El resoldrem per passos:

Pas 1. Descomposarem en factors el numerador i el denominador:

x2 − 3x + 2 = (x − 1)(x − 2) , x2 − 1 = (x + 1)(x − 1) .

Pas 2. Simplificarem abans de calcular el lımit:

limx→1

x2 − 3x + 2

x2 − 1= lim

x→1

(x − 1)(x − 2)

(x + 1)(x − 1)= lim

x→1

(x − 2)

(x + 1)= −1

2.

En alguns casos, ens interessara coneixer el comportament de la funcio enun punt a pero nomes per l’esquerra d’aquest valor, es a dir per a x < a.Direm que calculem el lımit lateral per l’esquerra. Es simbolitza de la seguentmanera:

limx→a−

f(x).


De la mateixa manera es defineix el lımit lateral per la dreta :

limx→a+

f(x).

El calcul de lımits laterals tambe es fa substituint x per a pero tenint encompte que x < a o x > a segons el cas. Aquesta restriccio pot provocarcomportaments diferents. Per exemple,

limx→0−

e1/x = e−∞ = 0,

i, en canvi:lim

x→0+e1/x = e+∞ = +∞.

2.10 Asımptotes d’una funcio

Les diferents asımptotes que pot tenir una funcio corresponen a les diferentsrectes que serien tangents a la funcio a l’infinit. Vegem les diferents classesd’asımptotes i la forma de calcular-les.

2.10.1 Calcul de les asımptotes horitzontals

Les asımptotes horitzontals son rectes paral·leles al eix OX que per valorsmolt grans de la variable x el valor que pren la funcio f(x) s’apropa inde-finidament als valors que pren la recta (segona coordenada dels punts de larecta).

Per procedir al seu calcul cal veure si existeixen els lımits de la funcio f(x)quan x tendeix a +∞, o be a −∞. Si existeix el lımit:

limx→+∞

f(x) = b

aleshores direm que la recta y = b es una asımptota horitzontal per ladreta de la funcio f(x). Si existeix el lımit:

limx→−∞

f(x) = c ,

aleshores direm que la recta y = c es una asımptota horitzontal perl’esquerra de la funcio f(x).

Com a molt poden haver-hi dues asımptotes horitzontals diferents –una per


la dreta i l’altra per l’esquerra– i en alguns casos no n’hi ha cap, com es potcomprovar facilment amb la funcio y =

√x − 4, on limx→+∞

√x − 4 = ∞, i

per tant no existeix asımptota horitzontal per la dreta. Per l’esquerra ni tansols te sentit plantejar-se l’existencia del lımit ja que el domini de la funcioes restringeix a nombres ≥ 4.

Exercici 2.1 Calcul de les asımptotes de la funcio f(x) =2x + 5

|x − 4| .

Resolucio

limx→+∞

2x + 5

|x − 4| = limx→+∞

2x + 5

x − 4= 2.

Per tant, la recta y = 2 es asımptota horitzontal per la dreta.

limx→−∞

2x + 5

|x − 4| = limx→−∞

2x + 5

−x + 4= −2.

I, en consequencia, y = −2 es l’asımptota horitzontal per l’esquerra.

2.10.2 Calcul de les asımptotes obliques

Asımptotes obliques son rectes amb pendent diferent de zero, tals que pervalors molt grans de la x la diferencia entre el valor que pren la funcio i elvalor que pren la recta son gairebe el mateix. Per tant, donada la funciof(x) direm que la recta y = mx + n es asımptota obliqua per la dretasi limx→+∞ [f(x) − (mx + n)] = 0. Tambe ho es per l’esquerra si es verificalimx→−∞ [f(x) − (mx + n)] = 0.

Exercici 2.2 Calculeu les asımptotes obliques de la funcio

f(x) =2x2 − 7

x + 1.

ResolucioEn primer lloc, perque pugui haver-hi asımptota obliqua cal que, quan xtendeix a ∞, el lımit de la funcio f(x) sigui infinit, la qual cosa es verificaen l’exemple anterior. Suposem que l’asımptota que cerquem es y = mx+n.Intentem trobar els valors de m i n, perque es verifiqui:

limn→∞

2x2 − 7

x + 1− (mx + n) = 0.

El lımit anterior es igual a:

limn→∞

2x2 − 7 − mx2 − nx − mx − n

x + 1=

= limn→∞

(2 − m)x2 − (n + m)x − (7 + n)

x + 1= 0.


Pero perque l’anterior lımit pugui ser igual a zero cal que es verifiqui:

{2 − m = 0n + m = 0

sistema que admet la solucio m = 2 i n = −2, i per tant existeix asımptotaobliqua i aquesta es la recta y = 2x− 2. Si a l’hora de resoldre l’anterior sis-tema no hi hagues hagut solucio, haurıem conclos que no hi hauria asımptotaobliqua.

2.10.3 Calcul de les asımptotes verticals

Asımptotes verticals d’una funcio f(x) son rectes paral·leles a l’eix OY ,es a dir d’equacio x = a, tals que prop del valor a la funcio pren valors inde-finidament grans o indefinidament petits.

Per procedir al seu calcul es necesari calcular el lımit de la funcio quan la va-riable x tendeix al punt a, tant per la dreta com per l’esquerra. Naturalment,perque pugui haver-hi una asımptota vertical a x = a es imprescindible queel punt x = a no formi part del domini, pero que qualsevol punt proxim ax = a sigui del domini.

Exercici 2.3 Calculem les asımptotes verticals de la funcio f(x) =x − 3

x2 − 4.

ResolucioEls dos unics punts que no son del domini son el 2 i el −2. Aixı doncs,calculem els seguents dos lımits laterals:

limx→2+

x − 3

x2 − 4= lim

ε→0

2 + ε − 3

(2 + ε)2 − 4= lim

ε→0

−1 + ε

4ε + ε2= lim

ε→0

−1 + ε

ε(4 + ε)=

−+

= −∞.

Aixo vol dir que quan x tendeix a 2 per la dreta, llavors la funcio tendeix a−∞.

limx→2−

x − 3

x2 − 4= lim

ε→0

2 − ε − 3

(2 − ε)2 − 4= lim

ε→0

−1 − ε

−4ε + ε2= lim

ε→0

−1 − ε

ε(ε − 4)=

−− = +∞.

es a dir, quan x tendeix a 2 per l’esquerra, llavors la funcio tendeix a +∞. Pertant, podem afirmar que la recta x = 2 es una asımptota vertical de la funcioanterior. Demostreu que la recta x = −2 tambe es asımptota, calculant elsdos lımits laterals de la funcio en el punt x = −2.


2.11 Continuıtat

Direm que una funcio es contınua en un punt x = a si aquest punt esdel domini, i a mes quan ens apropem al punt a, el valor que pren la funcios’apropa a f(a).

Definicio 1 La funcio f(x) es contınua en el punt x = a si escompleix la igualtat seguent:

limx→a+

f(x) = limx→a−

f(x) = f(a).

2.12 Algunes funcions de la microeconomia

En aquesta seccio analitzarem algunes de les funcions mes usuals en l’estudide la microeconomia, com la funcio demanda, funcio d’ingres brut, funcionsde costos, funcio de cost mitja, etc.

Es convenient tenir present que aquestes funcions que operen sobre variablesamb significat economic, s’han de restringir a certs valors del seu domini quesiguin raonables des del punt de vista economic. Aixo vol dir que, tant lesvariables com els valors que pugui prendre la funcio, hauran de ser, pel capbaix, positius. A continuacio analitzarem algunes de les funcions mes usuals.

2.12.1 Corbes de demanda

La corba de demanda d’un determinat producte es una funcio que dona pera cada preu la quantitat de producte que absorbiria un determinat mercat.Simbolicament l’expressarem com q = q(p), on la variable p representa el preui q la demanda. Logicament, la corba de demanda sempre es decreixent, esa dir, a mes preu menys demanda.

El model mes senzill de corba de demanda vindria determinat per una rectade pendent negatiu, es a dir, una funcio del tipus q = −mp+n, amb m, n > 0.El domini de possibles preus per tal que la funcio demanda tingui sentit nocoincideix amb el domini matematic, tal com ja hem comentat abans. Lesrestriccions que haurıem d’imposar son p > 0 i q > 0, la qual cosa voldria dir

que −mp + n > 0, d’on es dedueix p <n

m. Es a dir, l’interval de preus ha

de ser(0,

n

m

).


Algunes de les funcions de demanda que utilitzarem al llarg del curs son,amb a, b, c ≥ 0:

Paraboles:

q =a − p2

b; q =

√a − p

b; q =

a −√p

b,

Hiperboles:

q =a

p + c− b,

Exponencials:

q = a · e−bp ; q = b · p−a + c ; q = pa · e−b(p+c).

2.12.2 Corbes d’ingres brut

Representen les funcions d’ingressos bruts I(q) que te un fabricant en funciode la produccio que ven al mercat.

Si el mercat es de lliure competencia (es a dir, que hi ha molts fabricants quesubministren el mateix producte), aleshores el preu es una variable indepen-dent de la produccio d’un fabricant concret i, en consequencia, el preu es potconsiderar com una constant. En aquest cas, la funcio d’ingres brut es unarecta: I = p · q.

Si el mercat es monopolista (un sol fabricant subministra tot el producte),aleshores el productor te dues opcions: pot fixar el nivell de produccio i dei-xar fluctuar el preu, que trobara el seu punt d’equilibri segons la funcio dedemanda, o be pot fixar el preu i deixar que la propia demanda determini elnivell de produccio. En tots dos casos queda determinada una funcio d’in-gressos bruts per part del fabricant, que es pot expressar indistintament apartir de la variable produccio q o de la variable preu p:

I = p · q, (2.4)

I(p) = p · q = p · f(p), (2.5)

I(q) = p · q = f−1(q) · q, (2.6)

on q = f(p) es la funcio demanda.


2.12.3 Corbes de Cost

Son les corbes C(q) que expressen el cost total de la produccio en funciod’aquesta produccio. Al valor C(0) s’anomena cost fix (o en plural, costosfixos) i representa el total de diners que costa mantenir les instal·lacions dela fabrica, pagar els impostos fixos, etc. El terme C(q) − C(0) s’anomenael cost variable, que son els costos relacionats directament amb les despesesderivades de la produccio (consums electric, cost de les materies primes,salaris, etc.)

Dues condicions necessaries per que una funcio pugui considerar-se funcio decost son que sigui creixent en el seu domini economic (a mes produccio, mescost total) i que pel valor q = 0 prengui un valor no negatiu. Per exemple,la funcio C(q) = q2 + 4 verifica aquests requisits. En aquest cas, direm queels costos fixos son de 4 unitats monetaries, i que a mesura que augmentemla produccio tambe augmenten els costos segons la parabola anterior.

Exercici 2.4 Per a la fabricacio d’un article un fabricant pot optar perescollir dos models de produccio A i B, tals que cada un d’ells comporta laseguent funcio de cost:

CA(q) = 4 + q2, CB(q) = 35 + 30q,

Es demana quin dels dos tipus de fabricacio escollira l’empresari en funciode la produccio que hagi de realitzar.

Resolucio

Es tracta de veure per quins valors de la variable q es verifica CA(q) ≥ CB(q).Plantegem la inequacio que hem de resoldre, tot canviant la variable q perx, per familiaritat:

4 + x2 ≥ 35 + 30x; x2 − 30x − 31 ≥ 0.

En aquesta inequacio el primer membre es descompon en factors de la forma

x2 − 30x − 31 = (x + 1)(x − 31).

Estudiem els signes dels factors:

x < −1 x = −1 −1 < x < 31 x = 31 31 < xx + 1 − 0 + 0 +x − 31 − − − 0 +

(x + 1)(x − 31) + 0 − 0 +


En consequencia, la solucio matematica de la inequacio vindra donada pelsdos intervals:

(−∞,−1] ∪ [31, +∞).

Com que nomes ens interessen les solucions amb sentit economic, el primerdels intervals no s’ha de considerar i conclourem que el fabricant optara perla funcio de cost CB(q) per produccions superiors a les 31 unitats, ja que enaquest cas sempre es verifica la desigualtat CB(q) < CA(q). Per produccionsinferiors triara el model CA(q), i per produir 31 unitats li seria indiferenttreballar amb una funcio de cost o l’altra.

2.12.4 Corbes de cost mitja

Sovint, no interessa tant el cost total de produccio, sino el cost per unitat deproduccio, la qual cosa ens condueix al concepte de cost mitja.

El cost mitja de produccio ve donat per la funcio

CM(q) =C(q)

q,

i expressa el cost per unitat de produccio.

Exercici 2.5 Donada la funcio de cost C(q) = 3q2 + q + 48 es pregunta:

1. Quin es el cost de fabricacio de 20 articles?

2. Quin es el cost de fabricacio del vinte article?

3. Quin es el cost mitja quan fabriquem 24 articles? I quan en fabriquem48?

Resolucio

1. C(20) = 3 · 400 + 20 + 48 = 1268.

2. C(20) − C(19) = 3(202 − 192) + 20 − 19 = 118.

3. CM(q) =C(q)

q= 3q + 1 +

48

q, i per tant tindrem: CM(24) = 75, i

CM(48) = 146.


2.12.5 Corba de beneficis

Els beneficis d’un fabricant venen donats per la diferencia entre els seus in-gressos bruts i les despeses de produccio. Es a dir la funcio adopta l’expressioseguent:

Π(q) = I(q) − C(q). (2.7)

En un mercat de lliure competencia la funcio beneficis es pot determinarnomes amb la variable q. En efecte, si la corba de demanda ve donada perq = f(p), aleshores tindrem p = f−1(q), i en definitiva obtindrem:

Π(q) = p · q − C(q) = f−1(q) · q − C(q). (2.8)

En un mercat monopolista, a mes de (2.8) tambe es pot expressar el beneficien funcio del preu:

Π(p) = p · q − C(q) = p · f(p) − C(f(p)). (2.9)

Exercici 2.6 En un mercat monopolista se sap que la demanda ve donadaper la funcio: q = 9 · e−p/10 i que la funcio de costos del fabricant es: C(q) =5 + 10

√q. Calculeu el benefici en funcio de la produccio i del preu.

ResolucioDe la corba de demanda aıllem la variable preu:

e−p/10 =q

9;

−p

10= ln

q

9;

p

10= − ln

q

9;

p

10= ln

9

q; p = 10 ln

9

q.

D’aquesta forma tindrem:

Π(q) = p · q − C(q) = 10q ln9

q− 5 − 10

√q.

Tambe tindrıem els beneficis en funcio del preu:

Π(p) = p · q − C(q) = 9p · e−p/10 − 5 − 30e−p/20.

2.13 Problemes

Problema 1. Calculeu el domini, recorregut, zeros i asımptotes de les seguentsfuncions:

f(x) =x2 − 4

2x2 − 18, g(x) =

√x + 3

x − 1, h(x) =

x2 + x + 1

x − 1.


Problema 2. Estudieu la continuıtat de les funcions seguents:

f(x) =1

1 − e1/x, g(x) =

x2

x2 − 4, h(x) = x · E(x + 1),

on E(x) vol dir part entera del numero x.

Problema 3. Estudieu la continuıtat de les funcions definides a trossos:

f(x) =

−2x si x < 0x si 0 ≤ x < 1x2 si x ≥ 6.

f(x) =

−x2 si x ≤ 0ex si 0 < x < 1e · x si x ≥ 1.

f(x) =

|x| si x < 0

x2

6− 1 si 0 ≤ x < 6

x − 1 si x ≥ 6.

Problema 4. Trobeu l’interval de preus raonable per a les seguents funcionsde demanda:

q =169 − p2

4, q =

100

p + 2− 4, q = −2 + 100 e−p/10.

Problema 5.

1. En una situacio de monopoli, trobeu les funcions d’ingres brut del fa-bricant, en funcio del preu i en funcio de la produccio, en els casos enque la funcio de demanda venen donades per les corbes:

q =169 − p2

4, q =

100

p + 2− 4, q = −2 + 100 e−p/10 .

2. Determineu en cada cas quins son els intervals de les variables preu (p)i produccio (q) que tenen sentit economic.

Problema 6. Per a la fabricacio d’un article un fabricant pot optar per escollirdos models de produccio A i B, tals que cada un d’ells comporta la seguentfuncio de cost:

CA(q) = 200 +√

q, CB(q) = 44 + 10q,

Es demana quin dels dos tipus de fabricacio escollira l’empresari en funciode la produccio que hagi de realitzar.


Problema 7. Donada la funcio de cost C(x) = x2 + 3x + 96 es pregunta:

1. Quin es el cost de fabricacio de 20 articles?

2. Quin es el cost de fabricacio del vinte article?

3. Quin es el cost mitja quan fabriquem 24 articles? I quan en fabriquem48?

Problema 8. En un mercat monopolista la demanda ve donada per la funcioq = 10 −√

p i que la funcio de costos del fabricant es: C(q) = 5 + 10q2.

1. Determineu l’interval de preus, i de produccio perque tingui sentit lafuncio demanda.

2. Calculeu el benefici en funcio de la produccio i del preu.

Capıtol 3

La derivada d’una funcio

F Moduls de SIREMA relacionats amb aquest capıtol:

X Derivacio en una variable.

X Aplicacions de la derivada.

X Derivacio implıcita.

X Desenvolupament en serie de Taylor.

En aquest capıtol estudiarem les tecniques matematiques que determinen lavariacio local d’una funcio en un punt. L’aplicacio d’aquestes tecniques enspermetra calcular els maxims, mınims i punts d’inflexio de les funcions mesusuals que apareixen a l’economia i poder resoldre problemes d’optimitzacio.Tambe introduirem els desenvolupaments en serie de Taylor d’una funcio enun punt, i com a aplicacio extreurem criteris per a determinar els intervalson la funcio es concava o convexa. Finalment introduirem el concepte d’elas-ticitat d’una funcio i tractarem un ventall de problemes concrets en el campde la microeconomia.

3.1 Derivada d’una funcio en un punt

La derivada d’una funcio en un punt es una mesura del creixement o decrei-xement de la funcio en aquest punt. Per tal que existeixi la derivada en unpunt la funcio ha de ser contınua en aquest punt i a mes no ha d’experimen-tar un canvi brusc de direccio. Geometricament es equivalent a que existeixiuna recta tangent –no vertical– a la funcio en aquell punt. Vegem l’expressio

39

CAPITOL 3. LA DERIVADA D’UNA FUNCIO 40

que ens permet fer el calcul efectiu de la derivada d’una funcio en un punt.

Definicio 2 Direm que f(x) es derivable en el punt x0 si exis-teix el seguent lımit:

lim∆x→0

∆y

∆x= lim

∆x→0

f(x0 + ∆x) − f(x0)

∆x. (3.1)

Figura 3.1: Derivada d’una funcio en un punt

on ∆x representa l’increment de la variable i ∆y representa l’increment cor-responent de la funcio. Si el lımit (3.1) existeix, aleshores direm que f(x)es derivable en el punt x0. Aquesta derivada la simbolitzarem com f ′(x0), o

tambe com

(dy

dx

)

x=x0

.

Exercici 3.1 Calcul de la derivada de f(x) = 3x2 +2x+3 en el punt x = 4.

ResolucioApliquem (3.1) fent, per comoditat, ∆x = h:

limh→0

[3(4 + h)2 + 2(4 + h) + 3] − [3 · 42 + 2 · 4 + 3]

h=

= limh→0

24h + 3h2 + 2h

h= lim

h→0(26 + 3h) = 26.

En aquest cas dirıem que la funcio f(x) = 3x2 +2x+3 creix en el punt x = 4un valor de 26. Aixo es pot interpretar en el sentit que si ens desplacem capa la dreta del punt x = 4 una distancia molt petita, ∆x, llavors la funciocreix aproximadament 26 vegades aquella distancia, 26 · ∆x.


3.1.1 Funcio derivada

Definicio 3 Donada una funcio f(x), direm que la funcio f ′(x) esla seva funcio derivada si a cada punt x li fa correspondre el valorde la derivada de la funcio f en el punt x. Es a dir, la funcio f ′(x)es defineix de la seguent forma:

f ′(x) = limh→0

f(x + h) − f(x)

h. (3.2)

Mitjancant aquesta definicio es dedueixen les funcions derivades de les fun-cions mes senzilles:

f(x) = xa, f ′(x) = axa−1. (3.3)

f(x) = ax, f ′(x) = ln(a) · ax. (3.4)

f(x) = ln x, f ′(x) =1

x. (3.5)

3.1.2 Regles de derivacio

A partir de la definicio de funcio derivada tambe es dedueixen algunes re-gles de derivacio, que ens faciliten el calcul de derivades a partir de les meselementals. Si f(x) i g(x) son derivables, aleshores es verifica:

• f ± g es derivable i (f ± g)′(x) = f ′(x) ± g′(x).

• f · g es derivable i (f · g)′(x) = f ′(x) · g(x) + f(x) · g′(x).

• f/g es derivable en els punts on g(x) 6= 0 i

(f

g

)′

(x) =f ′(x) · g(x) − f(x) · g′(x)

(g(x))2.

• Regla de la cadena, que permet derivar una funcio en la qual lavariable no es x, sino una altra funcio:

Si h(x) = f(g(x)) llavors h′(x) = f ′(g(x)) · g′(x). (3.6)

Aquest conjunt de regles ens permet calcular les derivades de les funcions mesusuals partint del coneixement de les derivades elementals. Vegem algunsexemples:


Exercici 3.2 Calcul de les derivades de les funcions:

f(x) = (3x − 4)(5 − x2), g(x) = (ln(5x2 − 2))2.

Resolucio

f ′(x) = 3(5 − x2) + (3x − 4)(−2x) = −9x2 + 8x + 15.

g′(x) = 2 ln(5x2 − 2)10x

5x2 − 2=

20x · ln(5x2 − 2)

5x2 − 2.

Exercici 3.3 Calculeu la derivada de la funcio h(x) = ln(x2 +√

x.)

Resolucio

Si repassem la regla de la cadena (3.6), i fem h(x) = f(g(x)), amb la sevanotacio tindrem:

f(x) = ln x , g(x) = x2 +√

x .

Com que f ′(x) =1

xtindrem que

f ′(g(x)) =1

x2 +√

x

i, com que g′(x) = 2x +1

2√

x,

h′(x) =1

x2 +√

x·(

2x +1

2√

x

).

3.1.3 Derivades successives

La funcio derivada f ′(x), al seu torn, pot ser derivable. En aquest cas esdiu que f es derivable dues vegades i (f ′)′ s’anomena la derivada segonade f . S’acostuma a escriure f ′′. La derivada de f ′′ es la derivada tercerade f i s’escriu f ′′′, i aixı successivament. La derivada quarta, cinquena, etc.s’escriuen amb superındex en nombres romans: f iv, fv, etc. Quan l’ordre dela derivada es elevat, el superındex s’escriu en nombres arabics corrents peroentre parentesi. Per exemple la derivada d’ordre 23 de f s’escriu f (23).

Una funcio pot ser derivable infinites vegades. Per exemple, f(x) =ex adment infinites derivades successives, totes elles identiques a la funciooriginal: f (n)(x) = ex per a tot n.

Exercici 3.4 Trobeu totes les derivades successives de la funcio f(x) =1/(1 − x).


ResolucioCalculem unes quantes derivades:

f(x) =1

1 − x= (1 − x)−1 (es mes facil derivar aquesta expressio)

f ′(x) = (−1) · (1 − x)−2 · (−1) =1

(1 − x)2

f ′′(x) = (−2) · (1 − x)−3 · (−1) =2 · 1

(1 − x)3

f ′′′(x) = (−3) · (2 · 1) · (1 − x)−4 · (−1) =3 · 2 · 1(1 − x)4

f iv(x) = (−4) · (3 · 2 · 1) · (1 − x)−5 · (−1) =4 · 3 · 2 · 1(1 − x)5

· · · · · · · · ·

Podem continuar una mica mes, pero ja es veu clar el patro que segueixenles diferents derivades:

f (n)(x) =n · (n − 1) · (n − 2) · · · 3 · 2 · 1

(1 − x)n+1=

n!

(1 − x)n+1.

3.1.4 Recta tangent a una funcio en un punt

El valor de la derivada d’una funcio f(x) en un punt x = a es igual al pendentde la recta tangent a la funcio en aquest punt. Aixo es facil de veure en lafigura 3.1, on tenim que el pendent de la recta tangent coincideix amb latangent de l’angle que forma la recta tangent amb l’eix OX. Si aquest angleel simbolitzem per θ, tenim, doncs, que:

m = tan θ = lim∆x→0

∆y

∆x= f ′(a).

D’aquesta manera tindrem que l’equacio vectorial de la recta tangent a f(x)en el punt de coordenades (a, f(a)) sera

(x, y) = (a, f(a)) + λ(1, f ′(a)) , (3.7)

que tambe podem expressar en forma explıcita:

y − f(a) = f ′(a)(x − a). (3.8)

Exercici 3.5 Calculeu les rectes tangents a la funcio f(x) =1

xque son

paral·leles a la recta y = −2x.


ResolucioLa recta y = −2x te pendent −2. Totes les seves paral·leles tambe. Fem laderivada de la funcio i imposem que el seu pendent sigui −2:

f ′(x) =−1

x2= −2; x = ±

√2

2.

Aixo vol dir que les coordenades dels punts de tangencia seran

(√2

2,√

2

)

i

(−√

2

2,−

√2

). D’aquesta forma les equacions de les dues rectes tangents

seran:

y −√

2 = −2

(x −

√2

2

), y +

√2 = −2

(x +

√2

2

)

3.2 Desenvolupament d’una funcio en serie

de Taylor

Quan tenim una funcio contınua i infinitament derivable en un punt x = p,aleshores la funcio queda determinada als voltants del punt x = p a partirdels valors:

f(p), f ′(p), f ′′(p), · · · , fn)(p), · · ·on fn)(p) expressa la derivada n-essima de f(x) en el punt x = p.

Tenim diverses formes d’aproximar una funcio en un entorn d’un punt mit-jancant un polinomi. Una d’elles consisteix en prendre n punts molt proximsa p i trobar el polinomi de grau n que passa per aquests n punts. Pero encerta forma el coneixement del conjunt de derivades successives de la funciof(x) en el punt x = p supleix la necessitat de prendre n punts proxims a p,com aviat posarem de manifest.

Direm que dues funcions f i g tenen un contacte d’ordre n enel punt p, si en aquest punt coincideixen la funcio i les seves nprimeres derivades, es a dir:

f(p) = g(p), f ′(p) = g′(p), . . . , fn)(p) = gn)(p). (3.9)

Si volem calcular el polinomi de grau n que millor aproxima la funcio f(x)en el punt x = p, a partir de l’expressio (3.9) veiem que en tindrem prou


amb fer les successives derivades en el punt x = p. Expressarem el polinomique cerquem en la forma:

Pn(x) = a0 + a1(x − p) + a2(x − p)2 + · · ·+ an(x − p)n.

Si aquest polinomi ha de tenir un contacte d’ordre n amb la funcio f en elpunt p s’haura de verificar:

f(p) = a0

f ′(p) = a1

f ′′(p) = 2a2

· · · · · ·fn)(p) = n! · an,

on n! es llegeix “n factorial” i simbolitza el producte 1 · 2 · · · (n − 1) · n.

Aixı, el polinomi de grau n que mes s’aproxima a la funcio f(x) en el punt pes

Pn(x) = f(p) + f ′(p)(x − p) +f ′′(p)

2!(x − p)2 + · · ·+ fn)(p)

n!(x − p)n. (3.10)

Naturalment, si posem n = 1 obtenim novament l’expressio de la recta tan-gent que havıem trobat abans.

Si denotem per Rn(x) –se li diu residu de Lagrange– la diferencia que hiha entre la funcio i el polinomi, es demostra que:

Rn(x) =fn+1)(p + θ(x − p))

(n + 1)!(x − p)n+1, on 0 ≤ θ ≤ 1.

Per punts molt proxims a p tindrem :

f(p + ε) − Pn(p + ε) = Rn(p + ε) =fn+1)(p + θε)

(n + 1)!εn+1,

la qual cosa indica que la diferencia sera mınima per valors de ε petits.

Si la funcio f(x) es infinitament derivable, llavors s’anomena serie de Tayloral lımit dels polinomis Pn(x) quan n tendeix a infinit. Es a dir, es te:

f(x) = f(p)+f ′(p)(x−p)+f ′′(p)

2!(x−p)2 + · · ·+ fn)(p)

n!(x−p)n + · · · (3.11)


Exercici 3.6 Trobeu el polinomi de grau 3 que millor s’aproxima a la funcioy = ex en el punt x = 0. Calculeu aproximadament la diferencia que hi haentre el valor de la funcio i el polinomi calculat en el punt x = 0,1.

Resolucio

P3(x) = 1 + 1(x − 0) +1

2!(x − 0)2 +

1

3!(x − 0)3 = 1 + x +

1

2x2 +

1

6x3.

El valor que pren el polinomi anterior en el punt x = 0,1 es:

P3(0,1) = 1 +1

10+

1

200+

1

6000≈ 1,10516666,

i per altra banda tenim e0,1 ≈ 1,105170918; es a dir, la diferencia entre totsdos valors es aproximadament de 0,000495.

Exercici 3.7 Calculeu aproximacions de√

2 a partir del desenvolupamentde Taylor de la funcio f(x) =

√x + 1 en el punt x = 0.

Resolucio

• Comencem per calcular les derivades successives de f(x):

f ′(x) =1

2(x + 1)−1/2 , f ′′(x) = −1

4(x + 1)−3/2

f ′′′(x) =3

8(x + 1)−5/2 , f iv(x) = −15

16(x + 1)−7/2

fv(x) =105

32(x + 1)−9/2 , fvi(x) = −945

64(x + 1)−11/2.

• Els seus valors en el punt x = 0 son:

f(0) = 1 , f ′(0) =1

2, f ′′(0) = −1

4, f ′′′(0) =

3

8

f iv(0) = −15

16, fv(0) =

105

32, fvi(0) = −945

64.


• Els polinomis de Taylor successius (vegeu-ne la representacio fins al degrau 3 a la figura 3.2) son, per tant:

P1(x) = 1 +1

2x (= P1) ,

P2(x) = 1 +1

2x − 1

8x2 (= P2) ,

P3(x) = 1 +1

2x − 1

8x2 +

1

16x3 (= P3) ,

P4(x) = 1 +1

2x − 1

8x2 +

1

16x3 − 5

128x4 ,

P5(x) = 1 +1

2x − 1

8x2 +

1

16x3 − 5

128x4 +

7

256x5 ,

P6(x) = 1 +1

2x − 1

8x2 +

1

16x3 − 5

128x4 +

7

256x5 − 21

1024x6 .

P3

P2

P1

y=f(x)

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

y

–1 1 2 3x

Figura 3.2: Aproximacions a√

x + 1 en el punt x = 0

• Les aproximacions successives de√

2 seran els valors dels polinomis deTaylor successius en el punt x = 1:

P1(1) = 1,5; P2(1) = 1,375; P3(1) = 1,4375;

P4(1) = 1,3984; P5(1) = 1,4257; P6(1) = 1,4052.

El valor de√

2 calculat amb calculadora es 1,4142 . . .. Com es pot veure, lesaproximacions successives que hem obtingut amb els polinomis de Taylor nos’acosten al valor real de manera massa rapida. Aixo, en part, es degut aque el punt x = 1 es “lluny”del punt x = 0 on es fa el desenvolupament. A


la figura 3.2 es veu clarament que els diferents polinomis de Taylor s’ajustenmolt be a la funcio al voltant del punt x = 0, pero no tant be a mida que ensallunyem.

3.3 Creixement i decreixement d’una funcio

Definicio 4 Direm que la funcio f(x) es creixent en un interval[a, b] si es compleix que per a tot x1, x2 de l’interval tals que x1 ≤ x2

tenim que f(x1) ≤ f(x2).

Definicio 5 Direm que la funcio f(x) es decreixent en un in-terval [a, b] si es compleix que per a tot x1, x2 de l’interval tals quex1 ≤ x2 tenim que f(x1) ≥ f(x2).

Graficament una funcio creixent en un interval te una grafica que, miradad’esquerra a dreta, mai “baixa”dintre l’interval. (Alerta! pot tenir algun trosconstant, es a dir, amb grafica horitzontal). Les funcions f(x), P1 i P3 de lafigura 3.2 son creixents a l’interval [−1, 3].

De la mateixa manera un funcio decreixent mai “puja”dintre l’interval,es a dir, baixa o es mante horitzontal.

La funcio de la figura 3.4 es creixent a l’interval (−∞, 0], decreixent al’interval [0, 2] i torna a ser creixent a l’interval [2,∞).

Si una funcio f(x) es derivable en un interval (a, b), es facil de veure lesseguents equivalencies:

f es creixent a (a, b) ⇔ f ′(x) ≥ 0 per a tot x ∈ (a, b);

f es decreixent a (a, b) ⇔ f ′(x) ≤ 0 per a tot x ∈ (a, b).

Amb l’ajut d’aquestes equivalencies, es facil determinar els intervals on unafuncio es mante creixent o decreixent. N’hi ha prou amb estudiar el signe dela derivada.

Exercici 3.8 Trobeu els intervals de creixement i decreixement de la funcio

f(x) =x4

4− x2

2.


Resolucio.Hem d’estudiar els signes de la funcio f ′(x) = x3 − x. Una funcio contınuag(x) nomes pot canviar de signe en un punt x = a si g(a) = 0. (Si la funciote punts de discontinuıtat, el signe de g tambe pot canviar en cada un d’ells.)Trobem doncs el zeros de f ′(x):

x3 − x = 0 ⇔ x(x2 − 1) = 0; ⇔ x(x − 1)(x + 1) = 0 ⇒

x = 0x = 1x = −1.

Aixı, el signe de f ′(x) nomes pot canviar en els punts −1, 0, +1. Aixo vol dirque es mante constant en els intervals oberts (−∞,−1), (−1, 1), (1, +∞).Per saber quin signe te a cada interval, n’hi ha prou amb calcular un valorde f ′ qualsevol dintre de cada un d’ells i mirar el seu signe:

f ′(−10) = −1010 < 0 a l’interval (−∞,−1);

f ′(−1/2) = 3/8 > 0 a l’interval (−1, 0);

f ′(1/2) = −3/8 < 0 a l’interval (0, 1);

f ′(10) = 900 > 0 a l’interval (+1, +∞).

Es a dir, com a conclusio, f es creixent a (−1, 0) ∪ (+1, +∞), i decreixent a(−∞,−1) ∪ (0, 1).

3.4 Concavitat i convexitat d’una funcio

Definicio 6 Direm que la funcio derivable f(x) es concava en elpunt p si la recta tangent en el punt p queda damunt de la funcioen un entorn del punt p. Direm que es convexa en el punt p sien un entorn de p la recta tangent queda per sota de la funcio.

Trobem a continuacio un criteri per calcular la convexitat o concavitat enfuncions derivables.

Suposem que en el punt p la funcio f(x) es desenvolupable en serie de Taylor:

f(x) = f(p) + f ′(p)(x − p) +f ′′(p)

2(x − p)2 + · · · (3.12)

Com que el terme y = f(p) + f ′(p)(x − p) del segon membre de l’expressio


Figura 3.3: Concavitat i convexitat

(3.12) correspon a l’equacio de la recta tangent, passant-lo al primer membretenim:

f(x) − (f(p) + f ′(p)(x − p)) =f ′′(p)

2(x − p)2 + · · · (3.13)

De totes les potencies (x − p)n que apareixen en el segon membre de (3.13),en un entorn petit de p, la que mes compta es la d’exponent mes petit i elvalor de les altres es pot menysprear. En el cas que f ′′(x) > 0, com que(x − p)2 sempre es positiu tindrem:

f(x) > f(p) + f ′(p)(x − p),

i per tant f(x) seria convexa en el punt p.

Si en canvi es verifica f ′′(p) < 0, llavors pel mateix raonament es te que:

f(x) < f(p) + f ′(p)(x − p),

i per tant observem que la funcio seria concava en el punt p.

En el cas que f ′′(p) = 0, l’expressio (3.13) adoptaria la forma:

f(x) − (f(p) + f ′(p)(x − p)) =f ′′′(p)

3!(x − p)3 + · · · (3.14)

Si f ′′′(p) > 0, pels valors de x a la dreta del punt p es te que (x − p)3 > 0, ien consequencia es verifica:

per x > p, f(x) > f(p) + f ′(p)(x − p).


Pels x a l’esquerra del punt p es te que (x − p)3 < 0, i per tant es verifica:

per x < p, f(x) < f(p) + f ′(p)(x − p)

Resumint, a la dreta de p la funcio f(x) seria convexa i a l’esquerra seriaconcava. A aquests punts se’ls denomina punts d’inflexio, i separen leszones de concavitat de les de convexitat.

Si la tercera derivada f ′′′(p) hagues estat negativa, a l’esquerra de p hi hauriahagut convexitat, i a la dreta concavitat.

Si tenim f ′′′(p) = 0 i f IV 6= 0, raonarem exactament igual que ho hem fetpel cas f ′′(p) 6= 0. Aixı, podem resumir tots els casos en els seguents criteris:

• La funcio es convexa en el punt x = p si la primera derivada no nul.lade la funcio en el punt x = p (a partit de l’ordre segon) es d’ordre parelli positiva.

• La funcio es concava en el punt x = p si la primera derivada no nul.lade la funcio en el punt x = p –a partir de l’ordre segon– es d’ordreparell i negativa.

• La funcio presenta un punt d’inflexio en x = p si la primera derivadano nul.la de la funcio en el punt x = p (a partit de l’ordre segon) esd’ordre senar.

3.5 Maxims i mınims

3.5.1 Maxims i mınims relatius

Definicio 7 Direm que la funcio f(x) te un maxim relatiu en elpunt x = a si existeix un entorn de a en el qual totes les imatgesson mes petites o iguals que f(a). Direm que la funcio f(x) te unmınim relatiu en el punt x = a si existeix un entorn de a en elqual totes les imatges son mes grans o iguals que f(a).

Es facil veure que tant en un maxim com en un mınim relatiu la derivada dela funcio (si existeix) s’ha d’anul·lar, ja que en tots dos casos la recta tangentes paral·lela a l’eix OX, i en consequencia el seu pendent es zero. Pero lacondicio f ′(x) = 0 no es suficient, com aviat veurem.


Condicions per a un mınim

En primer lloc s’ha de verificar f ′(x)=0. Pero, a mes, cal que en un entorndel punt on hi ha un mınim la funcio quedi per damunt de la recta tangent,la qual cosa es equivalent a dir que en aquell punt la funcio es convexa, talcom hem vist en la seccio precedent. Aixı, perque hi hagi mınim es suficientque la primera derivada no nul·la sigui d’ordre parell i a mes prengui un valorpositiu.

Condicions per a un maxim

La primera derivada s’ha d’anul·lar en el punt i a mes la funcio ha de serconcava en el punt. Es a dir, per trobar els maxims primer cal resoldref ′(x) = 0, i despres d’entre les diferents solucions s’han d’escollir aquellestals que la seva primera derivada no nul·la sigui d’ordre parell i prengui unvalor negatiu.

Exercici 3.9 Determineu els maxims, mınims, punts d’inflexio, intervals deconcavitat i de convexitat, de creixement i decreixement de la funcio

f(x) = (x − 2)2(x + 1).

Resolucio

f ′(x) = 2(x− 2)(x + 1)+ (x− 2)2 = (x− 2)(2x + 2+ x− 2) = (x− 2)3x = 0.

Els valors que anul·len la primera derivada son x = 2 i x = 0. Calculem elvalor de la segona derivada per aquests punts:

f ′′(x) = 6x − 6, f ′′(0) = −6, f ′′(2) = 6.

Aixı, doncs, hi ha un maxim a x = 0, i un mınim a x = 2. Entremig hi ha elpunt d’inflexio x = 1, que anul·la la segona derivada de la funcio.

Convexitat: 6x − 6 > 0, → x > 1. Per tant la zona de convexitat correspona l’interval (1, +∞). Es concava a l’interval (−∞, 1).

Per trobar els intervals de creixement cal resoldre la inequacio f ′(x) > 0, esa dir, en el nostre cas 3x(x − 2) > 0, que te per solucions x < 0 i x > 2. Lafuncio sera creixent a (−∞, 0)∪ (2, +∞) i, per tant, la zona de decreixementes redueix a l’interval (0, 2).


3.5.2 Maxims i mınims absoluts

Els maxims i mınims de la seccio anterior eren relatius (o locals), en el sentitque el valor maxim (mınim) ho era entre els punts d’un interval centrat enel punt on s’assolia el maxim (mınim). Podia passar, pero, que en un puntllunya, el valor de la funcio superes el maxim (mınim). Aixı, a la figura 3.3,el punt mes a la dreta de la grafica te un valor mes gran que el valor delmaxim relatiu i el punt mes a l’esquerra te un valor mes petit que el mınimrelatiu.

Definicio 8 Una funcio f amb domini S te un maxim absolut

(o global) en el punt a quan f(a) es el valor mes gran de f en totel seu domini, S. Es a dir, una funcio te un maxim absolut en unpunt quan el valor de la funcio en el punt es el mes gran de totsels valors que agafa la funcio.

La definicio de mınim absolut es la mateixa canviant mes gran per mespetit.

Teorema de Weierstrass. Una funcio contınua definida en un interval [a, b]te un maxim i un mınim absoluts.

Aquest resultat assegura l’existencia de maxims i mınims absoluts per lesfuncions contınues definides en un interval tancat. Com que les funcionsderivables son totes contınues, el teorema es pot aplicar a les funcions deri-vables.

Si f : [a, b] −→ R es derivable en (a, b), el maxim i mınim absoluts de f en[a, b] es troben de la seguent manera:

Pas 1. Es calculen els punts crıtics de f , es a dir els punts que fan f ′(x) = 0.Ens quedem amb els que siguin dins de l’interval [a, b]: x1, x2, . . . , xn.

Pas 2. Fem una llista amb els valors de f en els punts anteriors i els valors def en els extrems de l’interval:

f(x1), f(x2), . . . , f(xn), f(a), f(b).

Pas 3. El maxim absolut de f en [a, b] es el valor mes gran de la llista anterior.El mınim absolut es el valor mes petit.


Exercici 3.10 Determineu els maxims i mınims absoluts de la funcio del’exercici 3.9 a l’interval tancat [1, 3].

Resolucio

Seguim pas a pas el protocol de 3 passes de mes amunt.

Pas 1. f ′(x) = 0 te per solucio x = 0 i x = 2. D’aquesta punts, nomes x1 = 2cau dintre l’interval [1, 3].

Pas 2. La llista de valors es:

f(2) = 0

f(1) = 2

f(3) = 4.

Pas 3. El maxim absolut de f a [1, 3] es troba al punt x = 3 i val 4. Elmınim absolut de f a [1, 3] es troba al punt x = 2 i val 0, tal i compodem comprovar al grafic de la figura 3.4.

–1

0

1

2

3

4

5

6

–1 1 2 3x

Figura 3.4: La funcio f(x) = (x − 2)2(x + 1)

Exercici 3.11 Una agencia de viatges proposa un viatge conjunt per 60persones, essent el preu per persona de 100 C . Per obtenir mes clients, redueixen 1 C el preu del viatge per persona per cada viatger que excedeix dels 60inicialment proposats. Calculeu el numero de viatgers que proporcionaran al’agencia un ingres maxim.


Resolucio

Sigui x la quantitat de viatgers. Per qualsevol valor enter de la x compresa l’interval [0, 60] la funcio d’ingres brut es I(x) = 100x, que a l’intervalconsiderat te un maxim per x = 60.

Considerem a continuacio l’interval (60, +∞). Llavors l’exces de viatgers quepassen de 60 sera x − 60 i la funcio d’ingres:

I(x) = (100 − (x − 60)) · x = 160x − x2,

funcio que representa una parabola. Per trobar el maxim derivem i igualema zero: I ′(x) = 160 − 2x, d’on x = 80. Podem assegurar que es un maximja que la segona derivada val −2 i es negativa. De fet, per estar segurs queel maxim d’ingres s’obte per 80 viatgers haurıem de comparar el valor I(60)(maxim a l’interval (0, 60]), amb I(80) (maxim de l’interval (60, +∞).

Exercici 3.12 Un estudi d’eficiencia realitzat en certa fabrica indica que siun treballador qualsevol arriba al treball a les 8h del matı construira −x3 +6x2 + 15x xips durant les x hores seguents (0 ≤ x ≤ 4). Un segon estudid’eficiencia indica que despres d’una interrupcio de 15 minuts per prendrecafe, el treballador pot construir (1/3)y3+y2+21y xips en y hores (0 ≤ y ≤ 4).Determineu el moment entre les 8h. i les 12h. del dia en el qual hem deprogramar un descans de 15 minuts per tal que el treballador mitja produeixiel maxim de xips abans de les 12h 15m, que es l’hora d’esmorzar.

Resolucio

Suposem que x es la quantitat d’hores seguides que treballa despres de les 8del matı. Fins a les 12.15, despres de prendre el cafe, treballara 4− x hores.La quantitat de xips que produira fins l’hora d’esmorzar sera:

N(x) = −x3 + 6x2 + 15x +1

3(4 − x)3 + (4 − x)2 + 21(4 − x).

N es una funcio real amb domini l’interval tancat [0, 4]. Ens demanen elmaxim global de N . Si seguim les passes indicades a la seccio 3.5.2: De-rivem l’expressio anterior per calcular els punts estacionaris que cauen dinsl’interval:

N ′(x) = −3x2 + 12x + 15 − (4 − x)2 − 2(4 − x) − 21 = −4x2 + 22x − 30.

Igualant a zero N ′(x) = 0, obtenim la doble solucio x = 3, x = 2.5. Els dosvalors cauen dintre l’interval (0, 4). Ara, fem la llista de les imatges de lafuncio en aquests punts junt amb les imatges dels extrems de l’interval:

N(2,5) = 94,25; N(3) = 94,33; N(0) = 121,33; N(4) = 92.


El maxim clarament es troba a x = 0. Es a dir, s’hauria de suprimir l’horadel cafe i endarrerir l’hora d’entrada a la feina fins a les 8.15 per tal demaximitzar la produccio.

3.6 Problemes

Problema 9. Calculeu el valor de la derivada de la funcio f(x) =2

xen el

punt x = 2.

Problema 10. Calculeu la derivada de les funcions seguents:

a) y =1

x− ln(x)

x, b) y = ex · (x2 + 3x), c) y = ln

x + 1

x − 1.

Problema 11. Calculeu les derivades successives de les funcions seguents:

a) y =1

1 + x, b) y =

√1 + x, c) y = sin(x), d) y =

1

x.

Problema 12. Trobeu la recta tangent a la funcio y =√

x + 4 en cada undels punts x = 5 i x = 12.

Problema 13. Trobeu el polinomi de grau 3 que aproxima millor la funcio

f(x) =1

xen el punt x = 1. Calculeu aproximadament la diferencia que hi

ha entre el valor de la funcio en el punt x = 1,1 i el valor del polinomi queheu calculat en el punt x = 1,1.

Problema 14. Trobeu el polinomi de grau 3 que aproxima millor la funcio

f(x) =1

1 + xen el punt x = 0. Calculeu aproximadament la diferencia que

hi ha entre el valor de la funcio en el punt x = 0,1 i el valor del polinomi queheu calculat en el punt x = 0,1. Compareu els resultats amb els del problema13.

Problema 15. Calculeu aproximacions de ln 2 a partir del desenvolupamentde Taylor f(x) = ln(x+1) en el punt x = 0. (Arribeu, com a mınim, al grau4). Compareu els valors obtinguts amb el valor real calculat amb calculadora:ln 2 = 0,693147 . . ..

Problema 16. Determineu els maxims, mınims, punts d’inflexio, zones deconcavitat i de convexitat, zones de creixement i decreixement de la funcio

f(x) = (x − 3)2(x + 2).


Problema 17.

1. Determineu per quins valors del parametre k la funcio

f(x) = ln(kx2 + 1)

es creixent en x = 1.

2. Calculeu la famılia de rectes tangents en el punt x = 1 en funcio delparametre k.

Problema 18. Calculeu els maxims i mınims de les funcions:

f(x) =x2 − 4

x + 1, g(x) = x · ln x, h(x) = x · ex2

−2x, r(x) = x · ex−2 .

Problema 19. El cost per hora del combustible d’un avio en vol es aproxi-madament proporcional al cub de la seva velocitat. Sabem que el cost perhora del combustible gastat a la velocitat de 300 km/h es de 1600 C . Laresta dels costos de manteniment de l’avio en vol pugen a 7600 C per hora.Els ingressos mitjans per quilometre recorregut son de 250 C . Determineu lavelocitat de vol optima (Indicacio: maximitzeu el benefici per hora)

Capıtol 4

Aplicacions a l’economia

F Moduls de SIREMA relacionats amb aquest capıtol:

X Derivacio en una variable.

X Aplicacions de la derivada.

X Elasticitat.

4.1 La derivada en economia

En economia, per referir-nos a la variacio d’una funcio en un punt de vegadess’utilitza l’expressio el marginal de la funcio en un punt en lloc d’utilitzarla paraula “derivada”. Vegem a continuacio algunes relacions entre la mitjanad’una funcio i el seu marginal.

Recordem que en el capıtol de funcions ja hem vist la mitjana d’una funcio:el cost mitja, CM com a funcio mitjana de la funcio de cost, C. En general,

la funcio mitjana de f(x) es defineix com la funcio fM(x) =f(x)

x.

Propietat: L’ingres mitja IM coincideix amb el preu.

En efecte, com que I(q) = p · q, tindrem que:

IM(q) =I(q)

q= p. (4.1)

58

CAPITOL 4. APLICACIONS A L’ECONOMIA 59

Si estem en un mercat de lliure competencia, llavors el preu es unaconstant donada pel mercat1 independentment de la produccio d’un fabricantconcret, i per tant l’ingres mitja es constant per qualsevol nivell de produccio.

Si el mercat es de tipus monopolista i la funcio de demanda es q = f(p),llavors l’ingres mitja es igual a p = f−1(q), que es una corba decreixent.Vegem la relacio entre l’ingres marginal i l’ingres mitja:

I(q) = p · q = f−1(q) · q

I ′(q) = p + q · (f−1(q))′ = IM(q) + q · (f−1(q))′ .

Aquesta darrera expressio dona la relacio entre l’ingres marginal i l’ingresmitja. Com que en un mercat monopolista p = f−1(q) es decreixent, llavorses verifica que I ′(q) < IM(q) per tot nivell de fabricacio.

4.1.1 Relacio entre la funcio de cost mitja i cost mar-ginal

Sigui C(q) la funcio de cost i CM(q) =C(q)

qel cost mitja. La variacio del

cost mitja sera:

dCM

dq=

C ′(q) · q − C(q)

q2=

1

q

(C ′(q) − C(q)

q

). (4.2)

De l’equacio (4.2) deduım:

CM es creixent ⇐⇒ C ′(q) > CM ,

CM es estacionari ⇐⇒ C ′(q) = CM ,

CM es decreixent ⇐⇒ C ′(q) < CM .

Com que el marginal de la funcio en un punt podem identificar-lo amb elpendent de la recta tangent a la funcio en aquest punt i el cost mitja amb elpendent del radi vector, tal com es veu en el dibuix 4.1, es facil donar unainterpretacio geometrica als resultats anteriors.

1De fet, el preu de mercat es la resultant d’igualar la corba de demanda del mercatamb la suma de totes les produccions dels fabricants que subministren aquest mercat. Lavariacio de produccio d’un fabricant es insignificant comparat amb la produccio total.


Figura 4.1: Cost mitja i cost marginal

Exercici 4.1 La demanda en un mercat monopolista es p = β − αq, i l’em-presa que subministra aquest mercat te una funcio de cost

C(q) = aq3 − bq2 + cq + α .

Demostreu que la produccio necessaria per obtenir un benefici maxim es iguala l’arrel positiva de l’equacio: 3aq2 − 2(b − α)q − (β − c) = 0.

Resolucio

Escrivim la funcio benefici:

Π(q) = I(q) − C(q) = (β − αq)q − (aq3 − bq2 + cq + α) =

= −aq3 + q2(b − α) + q(β − c) − α.

Si derivem aquesta ultima expressio ens quedara:

Π′(q) = −3aq2 + 2q(b − α) + (β − c).

L’anul·lacio de l’equacio de segon grau coincideix amb la que dona l’enunciat,i com que la funcio Π′(q) representa una parabola invertida (coeficient de q2

negatiu) podem estar segurs que la solucio positiva de l’equacio es un valoron Π′′(q) adquireix un valor negatiu i per tant que es tracta d’un maxim.

4.1.2 El concepte d’elasticitat

El concepte d’elasticitat s’introdueix com una mesura del creixement d’unafuncio en relacio al valor que pren la funcio.


Definicio 9 Donada una funcio f(x) definim l’elasticitat de f enun punt x com la rao entre la derivada f ′(x) en aquest punt i elvalor relatiu d’aquesta funcio en el mateix punt f(x)/x.

En llenguatge economic, es el quocient entre el marginal i la mitjana de lafuncio. Denominarem l’elasticitat de f aixı: Ef,x.

Ef,x =f ′(x)

f(x)

x

=x · f ′(x)

f(x). (4.3)

Com que el concepte d’elasticitat nomes l’aplicarem a funcions amb signi-ficacio economica (funcions de variable positiva i valor de la funcio tambepositiu), tindrem que si la funcio es decreixent (f ′(x) < 0) llavors l’elastici-tat es negativa, i si es creixent l’elasticitat es positiva.

Exercici 4.2 Calculeu l’elasticitat de f(x) = 1/x en el punt x = 3.

Resolucio.Apliquem la definicio (4.3):

Ef,x =x · f ′(x)

f(x)=

x · (−1/x2)

(1/x)= −1 per x 6= 0.

La funcio 1/x te, doncs, elasticitat constant igual a −1. O sigui: Ef,3 = −1.

Definicio 10 Es diu que la funcio y = f(x) es elastica en el puntx0 si es verifica

|Ey,x(x0)| > 1 .

Es diu que es inelastica si |Ey,x(x0)| < 1.

Es d’elasticitat unitaria si |Ey,x(x0)| = 1.

Des del punt de vista de l’economia podrıem dir que si una funcio creixent eselastica en un punt aleshores aquest creixement es prou significatiu en aquestpunt. Per exemple, si tenim les funcions de benefici ΠA(q) = 1000 + q2 iΠB(q) = q2, es clar que en tots dos casos el creixement dels beneficis en elpunt x = 1 es 2, es a dir Π′

A(1) = Π′

B(1) = 2, pero les elasticitats en el puntq = 1 valen respectivament:

EΠA,q(1) =1 · 21001

< 1, EΠB ,q(1) =1 · 21

> 1.


Es a dir, en el primer cas l’elasticitat es molt petita i per tant el creixementrelatiu es poc significatiu, pero en el segon cas l’elasticitat val 2 i el creixementrelatiu es fortament significatiu.

Vegem a continuacio una interpretacio geometrica de l’elasticitat d’una funcioen un punt. Suposem en primer lloc que f(x) es creixent. Tal com es pot

Figura 4.2: Elasticitat d’una funcio creixent

apreciar en la figura 4.2, la derivada la podem interpretar com la tangentde l’angle θ2 i la mitjana de la funcio en el mateix punt com la tangent queforma el radi vector amb l’eix OX, es a dir com la tangent de l’angle θ1.

f ′(x0) = tan θ2

f(x0)

x0= tan θ1

=⇒ Ef,x(x0) =

tan θ2

tan θ1

.

Es clar que es verifiquen les seguents relacions:

si θ2 < θ1 =⇒ tan θ2 < tan θ1 =⇒ Ef,x(x0) < 1,si θ2 > θ1 =⇒ tan θ2 > tan θ1 =⇒ Ef,x(x0) > 1.

La funcio es d’elasticitat unitaria quan els dos angles θ1 i θ2 son iguals. Defet podrıem dir que la funcio es elastica en un punt quan la recta tangenten aquest punt talla a l’eix OX en una abscissa positiva, i es inelastica quanho fa en una abscissa negativa. Quan la recta tangent passa per l’origen decoordenades podem dir que l’elasticitat es unitaria.

La interpretacio geometrica ens permet determinar a cop d’ull els intervalson una funcio es elastica. En efecte, si tenim una funcio creixent com la de la


figura 4.1, aleshores podem dibuixar les dues rectes tangents a la funcio des del’origen de coordenades. Els dos punts de tangencia P (p1, p2) i Q(q1, q2) sontals que podem afirmar que pels valors de les seves abscisses p1 i q1 la funciopresenta elasticitat unitaria. Fet aixo es facil veure que l’unic interval on lafuncio es elastica es (p1, q1), ja que les rectes tangents en aquest interval tallena l’eix OX en una abscissa positiva (a la dreta de l’origen de coordenades).Un estudi semblant es fa quan la funcio es decreixent. Geometricament

Figura 4.3: Elasticitat d’una funcio decreixent

s’estableixen les seguents relacions:

Ef,x(x0) =tan θ2

tan θ1=

−TP

PQTP

OP

= −OP

PQ.

A partir de les relacions en el triangle OTQ tindrem:

OP < PQ =⇒ inelasticaOP = PQ =⇒ elasticitat unitaria.OP > PQ =⇒ elastica.

Exercici 4.3 Determineu els punts pels quals es elastica la funcio demandaseguent:

q = a · e−bp,

on a i b son constants positives.

Resolucio


Calculem, en primer lloc, la funcio elasticitat:

Eq,p =p · q′

q=

−ab · e−bp

a · e−bp= −bp.

Com podem veure l’elasticitat ens dona negativa en tot l’interval de preuspositius, la qual cosa esta d’acord amb el fet que la funcio demanda es decrei-xent. Ara es facil determinar els punts on la funcio es d’elasticitat unitaria:

| − bp| = 1, bp = 1, p =1

b.

L’interval on la funcio es elastica vindra donat per la solucio de la seguentinequacio:

| − bp| > 1, bp > 1, p ∈(

1

b,∞)

.

La funcio es inelastica a l’interval (0, 1/b).

Vegem alguns resultat vinculats al concepte d’elasticitat:

1. Si y = f(x) es una funcio que te inversa x = f−1(y) , aleshores esverifica la seguent relacio entre les elasticitats:

Ey,x(x0) =1

Ex,y(y0),

on y0 = f(x0).

En efecte, aplicant la definicio d’elasticitat:

Ey,x(x0) =x0 · y′(x0)

y0=

dy

dx(x0) ·

x0

y0,

i, si tenim present la regla de la cadena per la funcio identitat x(y(x)) =x, equivalent a dx/dy(y0) · dy/dx(x0) = 1, podem afirmar que:

Ey,x(x0) =1

dxdy

(y0)· 1

y0

x0

=1

Ex,y(y0).

2. En un mercat monopolista, el maxim d’ingressos bruts s’assoleix perun preu on l’elasticitat de la demanda es unitaria.


En efecte, sigui q = f(p) la funcio demanda i trobem la funcio d’ingressosbruts. Despres derivem per trobar el maxim:

I = p · q = p · f(p),

I ′(p) = f(p) + p · f ′(p) = f(p)

(1 +

p · f ′(p)

f(p)

)=

= q

(1 +

p · q′(p)

q(p)

)= q(1 + Eq,p).

Ara tindrem la seguent equivalencia:

I ′(p) = 0 ⇐⇒ Eq,p = −1 =⇒ |Eq,p| = 1,

que es el resultat de la proposicio enunciada.

Tambe es facil veure que els maxims i mınims de la funcio de cost mitjas’assoleixen en els punts on la funcio de cost presenta elasticitat unitaria. Esdeixa al lector, com exercici, la demostracio d’aquest resultat.

4.2 Duopoli

4.2.1 El problema del duopoli

Es interessant l’analisi matematica d’una situacio de mercat on hi ha dosfabricants que subministren un mateix producte. Suposem que aquest mercatte una demanda donada per la funcio q = f(p) i suposem tambe que lesfuncions de cost d’aquests fabricants son C1(q) i C2(q).

En la situacio anterior es evident que cada fabricant pot determinar el seunivell de produccio, pero no el volum de fabricacio de l’altre fabricant (a noser que es posin d’acord, pero aquest fet donaria lloc a una nova situacio queanalitzarem mes endavant).

El preu del producte vindra donat en funcio de les produccions q1 i q2 quecada fabricant posi al mercat. Naturalment, la premisa de partida es quecada fabricant voldra maximitzar els seus beneficis i que les variables q1, q2

son, d’entrada, independents (no hi ha acord previ entre els productors iaquests competeixen entre ells). La produccio total que hi haura disponibleal mercat es q1 + q2 i el preu de mercat corresponent sera:

p = f−1(q1 + q2).


Les funcions de benefici respectives seran:{

Π1(q1, q2) = q1 · f−1(q1 + q2) − C1(q1)Π2(q1, q2) = q2 · f−1(q1 + q2) − C2(q2)

Els beneficis del primer fabricant venen donats per una famılia de corbes quedepenen del parametre q2. El maxim de beneficis l’assolira per un valor deq1 tal que anul·li la primera derivada:

∂Π1

∂q1

= 0, q1 = D1(q2). (4.4)

La solucio q1 = D1(q2) ve donada per una funcio de q2 que s’anomena corbade reaccio del primer fabricant respecte del segon. Es a dir, dona elnivell de produccio optim del primer fabricant en funcio de la quantitat deproduccio que posa al mercat el segon fabricant.

Pero el segon fabricant fara un plantejament semblant a l’hora de maximitzarels seus beneficis:

∂Π2

∂q2= 0, q2 = D2(q1). (4.5)

La corba (4.5) es la corba de reaccio del segon fabricant respecte delprimer.

La solucio del sistema {q1 = D1(q2)q2 = D2(q1)

proporciona el punt d’equilibri (q1, q2) que fa que els dos fabricants opti-mitzin els seus beneficis sense un acord previ. Vegem un exemple senzill queclarifiqui les idees.

Exercici 4.4 En un mercat duopolista la funcio demanda es q = 100 − p iles corbes de cost dels dos fabricants son

C1(q) = 2 + q , C2(q) = 1 + 2q .

Trobeu el preu del producte, les produccions de cada fabricant i els seusbeneficis respectius.

Resolucio

Si q1 i q2 son les produccions respectives de cada fabricant, llavors el preu serap = 100− (q1 + q2). Les funcions de benefici correspondran a les expressions:

{Π1(q1, q2) = (100 − q1 − q2)q1 − 2 − q1

Π2(q1, q2) = (100 − q1 − q2)q2 − 1 − 2q2


Si fem les derivades corresponents i les anul.lem obtindrem les corbes dereaccio:

∂Π1

∂q1

= 100 − q1 − q2 − q1 − 1 = 0, q1 =99 − q2

2

∂Π2

∂q2= 100 − q1 − q2 − q2 − 2 = 0, q2 =

98 − q1

2

Per trobar el punt d’equilibri ens cal resoldre el sistema format per les duescorbes de reaccio:

{2q1 + q2 = 99q1 + 2q2 = 98

}=⇒ q1 =

100

3, q2 =

97

3.

Constatem que aquests valors donen, efectivament, maxims per totes duesfuncions de benefici:

∂2Π1

∂q21

= −2q1 < 0 ,∂2Π2

∂q22

= −2q2 < 0.

El preu del mercat sera:

p = 100 − 100

3− 97

3=

103

3≈ 34,3

i els beneficis per a cada fabricant:

Π1

(100

3,97

3

)=

103

3

100

3− 2 − 100

3≈ 1109,1

Π2

(100

3,97

3

)=

103

3

97

3− 1 − 2

97

3≈ 1054,4.

4.2.2 Fals duopoli

A l’apartat anterior hem analitzat una situacio de duopoli i hem deduıt lesquotes de produccio pels dos fabricants, el preu de mercat i els beneficis.Ara ens plantajarem si no hi ha cap altra nivell de fabricacio (q1, q2) possibleque faci que els dos fabricants puguin augmentar simultaniament els seusbeneficis. La resposta a aquesta questio es afirmativa, pero per donar-se call’acord previ dels dos fabricants: es a dir, cal vulnerar el principi decompetitivitat entre els dos fabricants.

Imaginem que a l’exemple 4.4 anterior els dos fabricants s’asseuen al voltantd’una taula i que el primer fabricant li diu a l’altre el seguent:


“Fixa’t que jo produeixo una mica mes que tu, 100/3 en front dela teva produccio que es de 97/3. Aixo, com be saps, es fruit de laresolucio de les equacions que ens porten a tots dos a maximitzarels nostres beneficis. Et proposo el seguent tracte: cerquem unesproduccions proporcionals a les que farıem si no ens haguessimparat a parlar en aquesta taula, per tal de millorar els nostresbeneficis”.

L’altre fabricant es rumia la proposta i al cap d’una estona argu-menta aixı: “no perdem res tornant a refer els calculs anteriorsi si ens perjudiquen ja tenim temps de tornar a les produccionsoriginals. Aixı, doncs, comencem de nou a calcular”.

Partim de l’acord:

q1 =100

3x , q2 =

97

3x.

El nou preu de mercat sera: p = 100 − 197

3x. I la funcio benefici del primer

fabricant adoptara la forma:

Π1(x) =

(100 − 197

3x

)100

3x − 2 − 100

3x =

(99 − 197

3x

)100

3x − 2.

Derivant i igualant a zero, obtenim:

Π′

1(x) =

(99 − 197

3x

)100

3− 197

3

100

3x = 0, x =

297

394.

Aixı trobem les noves quotes de produccio per tots dos:

q1 =100

3· 297

394=

9900

394≈ 25,127

q2 =97

3· 297

394=

9603

394≈ 24,373.

Amb aquestes produccions el preu de mercat i els beneficis seran:

p = 100 − 197

3

297

394=

101

2= 50,5

Π1 =244631

197≈ 1241, 78 Π2 =

949909

788≈ 1205,46.

Despres d’aquests calculs el primer fabricant conclou que ell augmenta el seuguany en 132,68 unitats monetaries i que el segon fabricant tambe augmentaels seus beneficis en 160,06 unitats. Si us entreteniu en refer els calculs,


prenent com a referencia la funcio de benefici del segon fabricant, veureu queel valor que trobem per la variable x es el mateix. La consequencia primerad’aquest acord que permet augmentar el merge de benefici es una pujadaconsiderable del preu de mercat que ha passat de 34,3 a 50,5.

La situacio que acabem de descriure no correspondria a un duopoli real, sinoa una mena de cartel, o de monopoli encobert.

4.3 Problemes

Problema 20. Una empresa te una funcio de costos C(x) = 4x, on x es elnombre d’unitats produıdes. La funcio d’ingressos es:

I(x) =

{6x + 1, 0 ≤ x ≤ 1x2 + 6, 1 < x ≤ 3.

1. Representeu graficament la funcio d’ingressos.

2. Estudieu el nivell de produccio que fa maxim l’ingres en l’interval [0, 3].

3. Representeu la funcio benefici i estudieu la seva continuıtat i derivabi-litat en l’interval [0, 3].

4. A quin punt es maxim el benefici en l’interval [0, 3]? Es un maximabsolut?

Problema 21. Una revista es ven a p C . Se sap que la demanda es en milers:

QD =1800

p + 12− 6.

1. Feu un grafic de la corba de demanda.

2. Per quin preu no hi ha demanda?

3. Feu un grafic de l’ingres total en funcio del preu.

4. Feu un grafic de l’ingres total en funcio de la produccio.

5. Quina es la produccio i el preu que fan maxims els ingressos?

6. Dibuixeu les corbes de la demanda marginal i de l’ingres marginal.

7. Comproveu que l’ingres marginal es nul quan l’ingres total es maxim.


Problema 22. Una empresa te les seguents funcions de cost total i de deman-da:

C(q) =1

3q3 − 7q2 + 111q + 50

q = 100 − p.

1. Analitzeu la funcio de cost i trobeu el valor de q pel qual el cost marginales mınim.

2. Expresseu la funcio d’ingres total I en termes de q.

3. Formuleu la funcio de benefici en termes de q.

4. Trobeu el nivell de produccio q que maximitza el benefici.

5. Quin es el benefici maxim?

Problema 23. Un fabricant de bolıgrafs produeix q unitats per hora amb un

cost total de C(q) =1

25q2 − 3q + 100 C . Si te el monopoli sobre un mercat

on la demanda per hora es: q = 75 − 3p, essent p el preu de cada bolıgraf:

1. Demostreu que l’ingres net maxim s’assoleix quan es produeixen quasi40 bolıgrafs/hora.

2. Quin sera el preu de monopoli en aquest cas?

3. Si el mercat es subministrat per 2 fabricants que es reparteixen la pro-duccio (amb identica funcio de cost per cada un), per quina producciode cada un s’estabilitzara el mercat?

4. En aquest ultim cas, esbrineu el preu del producte i els beneficis netsper a cada fabricant. Comenteu en aquesta situacio de fals duopolisi l’usuari de bolıgrafs hi guanya o hi perd. I pels fabricants, quinadiferencia hi ha entre una situacio de monopoli i aquesta altra?

Problema 24. Determineu els punts pels quals es elastica la funcio demandaseguent:

q = a − b · p,on a i b son constants positives.

Problema 25. Trobeu la funcio elasticitat de la funcio demanda donada perl’expressio

q =k

pn, on k, n son constants positives.


1. En les funcions anteriors, depen l’elasticitat del preu?

2. Sota regim monopolista, estudieu pels diferents valors de n la funciod’ingres brut.

3. En el cas particular n = 1, quina es la forma de la demanda? Compro-veu que l’elasticitat es unitaria en tot el domini.

Problema 26. En un mercat se sap que hi ha una demanda donada per lafuncio q = 100 − p. Aquest mercat esta subministrat per un unic fabricantque te una funcio de cost C1(q) = 1 + 2q. Esbrineu:

1. Quin sera el preu de mercat i la produccio del fabricant.

2. Quins seran els beneficis de l’empresa.

3. Si el govern grava el producte amb un impost k per unitat de produccio,calculeu el benefici maxim en funcio del parametre k.

4. Si en aquest mercat s’instal·la un nou fabricant amb la mateixa funciode costos, recalculeu els tres apartats anteriors.

Problema 27. Reproduıu la situacio descrita al problema 26 apartat 4 en elcas que els dos fabricants estableixin un acord de produccio. Determineu lapujada de preus que aixo representaria, aixı com l’increment de beneficis pelsdos fabricants.

Problema 28. Si tenim la funcio de costos C(q) = 4q2 + 8q + 3:

1. Determineu els intervals on la funcio es elastica.

2. Trobeu el mınim de la funcio de cost mitja.

Capıtol 5

Recapitulacio de funcions d’unavariable

Exercici 5.1 Donada la corba d’ingressos bruts en funcio del preu:

I(p) =−4p2 + 60p

p + 1.

Calculeu:

1. L’interval de preus pels quals l’ingres brut es positiu.

2. El preu pel qual l’ingres brut es maxim.

3. La corba de demanda en funcio del preu del producte (es suposa unregim monopolista).

4. El preu pel qual la demanda marginal es −1.

5. L’expressio de la corba d’ingres brut en funcio de la produccio.

Resolucio

1. Plantegem la inequacio i resolem-la:

I =−4p2 + 60p

p + 1> 0.

Com que p ha de ser positiu, el denominador p + 1 sempre es positiu iper tant tot es redueix a resoldre la inequacio de segon grau:

−4p2 + 60p > 0, p(−4p + 60) > 0, p > 0, p < 15.

L’interval de preus que fa que els ingressos siguin positius es p ∈ (0, 15).

72

CAPITOL 5. RECAPITULACIO DE FUNCIONS D’UNA VARIABLE 73

2. Derivem per trobar el maxim:

I ′(p) =(−8p + 60)(p + 1) − (−4p2 + 60p)

(p + 1)2= 0,

−8p2 − 8p + 60p + 60 + 4p2 − 60p = 0; −4p2 − 8p + 60 = 0,

p2 + 2p − 15 = 0, p =−2 ±

√4 + 60

2= −1 ± 4.

L’unica solucio valida es la positiva p = 3. Comprovem que efectiva-ment es un maxim. Fem la segona derivada de la funcio I(p):

I ′′(p) =(−8p − 8)(p + 1)2 − 2(p + 1)(−4p2 − 8p + 60)

(p + 1)4.

En el punt p = 3 sabem que el parentesi (−4p2−8p+60) pren el valor 0.Com que els factors (p + 1) apareixen al quadrat i a la quarta, sempreson positius. Llavors el signe d’ I ′′(3) coincideix amb el signe del factor(−8p − 8) que, evidentment, es negatiu.

3. Trobem la funcio demanda:

I = p · q =−4p2 + 60p

p + 1, q =

−4p + 60

p + 1.

4. Calculem el preu pel qual la demanda marginal es −1.

q′(p) =−4(p + 1) − (−4p + 60)

(p + 1)2=

−64

(p + 1)2= −1,

(p + 1)2 = 64, p = 7.

5. Calculem l’ingres en funcio de la produccio. Per fer-ho aıllem p al’equacio que ens dona la demanda:

q =−4p + 60

p + 1, q(p+1) = −4p+60, pq+4p = 60−q, p =

60 − q

4 + q.

Ara podem trobar l’ingres brut en funcio de q:

I = p · q =60 − q

4 + q· q =

−q2 + 60q

4 + q.

Exercici 5.2 Considerem la funcio y = 100/(x + 5).

1. Desenvolupeu-la en serie de Taylor fins al polinomi de grau 3 en el puntx = 5.


2. Trobeu la diferencia entre el valor de la funcio i el del polinomi trobatal punt x = 5,1.

Resolucio

1. Trobem les tres primeres derivades de la funcio i el valor que prenen enel punt x = 5:

y =100

x + 5, y(5) = 10,

y′ = − 100

(x + 5)2, y′(5) = −1,

y′′ =2 · 100

(x + 5)3,

y′′(5)

2!= 0,1 ,

y′′′ =−3! · 100

(x + 5)4,

y′′′(5)

3!= −0,01.

El polinomi de Taylor de tercer grau sera:

P3(x) = 10 − (x − 5) + 0,1(x − 5)2 − 0,01(x − 5)3.

2. El valor que pren aquest polinomi en el punt x = 5,1 es:

P3(5,1) = 10 − 0,1 + 0,13 − 0,15 = 9,90099.

Com que tenim y(5,1) = 9, 9009, la diferencia que ens demanen es

y(5,1) − P3(5,1) = 0,000000099.

Exercici 5.3 1. Dibuixeu un grafic de la funcio:

y = x · e−x/5,

indicant les coordenades dels maxims i mınims en el cas que n’hi hagin.

2. Trobeu els punts d’inflexio i indiqueu els intervals de x que corresponena punts de concavitat o de convexitat de la corba.

Resolucio

1. Efectuem una analisi de la funcio y = x · e−x/5. La seva derivada es:

y′ = e−x/5 − 1

5x · e−x/5 =

(1 − 1

5x

)e−x/5.


Figura 5.1:

Es clar que y′ = 0 implica que x = 5, ja que la part exponencial maino te cap zero. Tambe deduım que per x < 5 la funcio creix, i queper x > 5 la funcio decreix. Aixo ens fa pensar que en el punt x = 5forcosament ha d’haver-hi un maxim. Nogensmenys, fem la segonaderivada per trobar els punts de concavitat i convexitat. I vegem queper x = 5 hi ha maxim:

y′′ = −1

5e−x/5 +

(1 − 1

5x

)(−1

5

)e−x/5 = −1

5e−x/5

(2 − 1

5x

).

Per x = 5 es te y′′(5) = 5/e > 0: hi ha maxim.

2. Per x > 10 es te y′′ > 0: hi ha concavitat. Per x < 10 es te y′′ < 0: hiha convexitat. L’unic punt d’inflexio es x = 10 que anul·la la segonaderivada.

Exercici 5.4 En un mercat monopolista se sap que la corba de demanda es:

q = −4 +300

p + 5,

on q es mesura en milers de tones i p en C /Kg. Se sap tambe que la funciode cost es C(q) = 60+10q, on C(q) ve donat en milions de C si q s’expressaen tones. Trobeu:

1. Per quin interval de preus hi ha demanda efectiva?

2. Calculeu la funcio d’ingres brut en funcio del preu i en funcio de laproduccio.

3. Per quin preu els beneficis son maxims?


4. Calculeu la funcio polinomica de segon grau que mes s’aproxima a lacorba de demanda en el punt p = 5.

Exercici 5.5 Donada la seguent corba de beneficis en funcio del preu delproducte:

Π(p) =−4p2 + 260p − 3100

p + 5,

es pregunta:

1. Per quin interval de preus el benefici es positiu?

2. Representeu graficament la corba per aquella part del domini que tinguisentit economic.

3. Calculeu el valor maxim de beneficis. La funcio de beneficis ve donadaen milions de C . si p s’expressa en C /kg.

4. Calculeu quin es l’interval de produccio pel qual els beneficis marginalsson positius.

Exercici 5.6 La corba de demanda d’un determinat producte es qd = 6+15

2p

i la seva corba d’oferta es qs = −1 +p

2. Calculeu:

1. Per quin preu s’equilibrara la demanda i l’oferta?

2. Per quin interval de preus la demanda supera l’oferta, tenint presentque l’oferta no pot ser negativa?

3. Quines son la demanda i l’oferta marginals quan el preu es de 10 uni-tats?

Exercici 5.7 En un mercat monopolista la demanda d’un producte ve do-nada per la funcio q = 100 − p. Un fabricant pot optar per una de les duesfuncions de cost seguents:

C1(q) = 200 + 10q, o C2(q) = 10 + 20q.

1. Calculeu quina de les dues funcions de cost sera mes beneficiosa pelfabricant per tal d’obtenir els maxims beneficis. Justifiqueu la resposta.

2. Quina de les dues funcions de cost sera mes beneficiosa pels consu-midors del producte des del punt de vista d’obtenir-lo a un preu mesfavorable? Justifiqueu la resposta.


3. Calculeu α perque la funcio de cost C3(q) = α + 10q sigui exactamentigual a C2(q) = 10 + 20q pel que fa al benefici maxim obtingut pelfabricant. En aquest cas, pel consumidor del producte li es indiferentuna o altra corba de cost? Justifiqueu la resposta.

Exercici 5.8 En un mercat monopolista ens donen la corba de demanda:

q =

√10

p− 3,

i la corba de cost:

c(q) = 4 − 10

q2 + 3.

1. Calculeu la funcio d’ingres brut en funcio del preu i en funcio de laproduccio.

2. Per quin interval de preus son positius els ingressos bruts?

3. Per quin preu es maximitzen els beneficis?

4. Trobeu la funcio polinomica de segon grau que mes s’aproxima a lacorba de beneficis en el punt q = 0.

Exercici 5.9 Donada la seguent corba de beneficis:

Π(q) = 10q + 1

q2 + 3− 4.

1. Representeu graficament la corba per tot el domini de q, incloent elsvalors negatius.

2. Trobeu les coordenades dels maxims i mınims; els punts de disconti-nuıtat, si n’hi ha; les asımptotes horitzontals i verticals si n’hi ha.

3. Quin es l’interval de produccio pel qual els beneficis son positius?

4. Hi ha algun nivell de produccio pel qual els beneficis marginals sonexactament iguals a 1?

Exercici 5.10 La llei de demanda d’un producte es:

q =p + 26

p + 2− 2,

on q es dona en milions i p en euros. Els costos de produccio del monopolique subministra el producte al mercat son C(q) = (1 + q)2.


1. Calculeu el cost fix.

2. Per quins casos els ingressos del monopoli son positius?

3. Calculeu la produccio per la qual el benefici de l’empresa es maxim.

4. Per quins valors del preu l’elasticitat de la demanda es unitaria?

5. Trobeu els intervals del preu que fan la corba de demanda elastica.

Exercici 5.11 Donada la corba de demanda Q(p) = B · e−Ap, on A, B sonparametres reals, es demana:

1. Quin signe han de tenir els parametres A i B per tal que Q tingui sentitcom a funcio de demanda?

2. Representeu graficament la funcio per p ≥ 0.

3. Calculeu l’elasticitat i determineu el valor d’ A per tal que la demandasigui unitaria a p = 1.

Exercici 5.12 Una empresa subministra un mercat, en regim de compe-tencia perfecta, amb una corba de cost C(q) = q + 5.

1. Quines condicions han de satisfer les produccions, en funcio del preudel mercat p, per tal que el benefici sigui positiu?

2. Si l’empresa es trobes en un regim monopolista, amb una demandadonada per:

Q(p) = 10 · e−(p/10)2 ,

quina seria la funcio benefici?

3. Determineu els intervals de produccio que fan els beneficis positius.

4. Calculeu el preu pel qual el benefici es maxim.

5. Trobeu la funcio polinomica de segon grau que mes s’aproxima a lacorba de demanda per un preu de 10 unitats monetaries.

Exercici 5.13 Una empresa, en regim de competencia perfecta, subministrael mercat amb un producte. Els costos de produccio per aquesta empresavenen donats per la llei C(q) = 10q2 + 1000q + 2000.

1. Deduıu quina sera la llei d’oferta de l’empresa a partir de la maximit-zacio del benefici.


2. Determineu a partir de quin preu la produccio es viable (positiva).

3. Determineu a partir de quina produccio i de quin preu els beneficisseran positius.

4. Calculeu el nivell de produccio que iguala el cost marginal i el costmitja. Comproveu que es el mateix que dona un benefici nul.

Exercici 5.14 Un fabricant d’un producte produeix q unitats setmanals ambun cost total de 1

2q2 + 3q + 2 C . Si te el monopoli sobre un mercat en el qual

la demanda es q = 10 − 2p:

1. Calculeu el nivell de produccio i el preu per obtenir un maxim de bene-fici.

2. Suposant que el govern estableix un impost de k C per unitat, el fabricanthaura d’afegir aquest impost al cost. Deduıu el nou preu i la novaproduccio que maximitzaran el benefici.

3. Trobeu la disminucio que experimentara la produccio i l’augment delpreu en funcio de k.

Exercici 5.15 Donades les funcions:

f(x) = 3√

x, g(x) = ln x ,

trobeu els intervals on es concava i on es convexa. Alguna d’elles te puntsd’inflexio? Trobeu la famılia de rectes tangents a cadascuna de les funcions.

Exercici 5.16 Demostreu que la corba f(x) =2x

x2 + 1te 3 punts d’inflexio

separats per un maxim i un mınim. Feu una representacio grafica de lafuncio.

Exercici 5.17 La concentracio en mg/cm3 de la droga A a la sang d’unapersona despres de t hores ve donada per la funcio

C(t) =0, 18t

t2 + 3t + 25.

Dibuixeu la grafica de C(t) i trobeu el valor de t necessari per aconseguir unaconcentracio maxima.

Exercici 5.18 Una mutua sanitaria vol augmentar les seves tarifes. Te2000 membres que paguen 150 C l’any i un estudi de mercat indica que percada 25 C d’increment l’organitzacio perd 200 membres. Quina tarifa had’aplicar per maximitzar els seus ingressos?


Exercici 5.19 Donada la funcio de cost total C(q) =1

2q2+

3

2q+8 per produir

q tones de fertilitzant, trobeu:

1. El cost mitja de produccio entre q = 4 tones i q = 6 tones.

2. El cost marginal per q = 4 tones.

3. Trobeu el mınim del cost mitja i comproveu que coincideix amb aquellnivell de produccio que fa que l’elasticitat del cost sigui unitaria.

Exercici 5.20 Una refineria de sucre te la funcio de cost:

C(q) = 100

(1

10q2 + 5q + 200

)C

per q tones de produccio setmanals. El preu de mercat es de p C /kg. Espregunta:

1. Quina sera la corba d’oferta d’aquesta empresa?

2. Quin sera el preu que correspondra a una produccio de 150 tones desucre?

3. Quin sera el preu mınim que cobreixi tots els costos?

Exercici 5.21 Un fabricant de xupa-xups, que te el monopoli sobre un mer-cat, produeix x centenars de caramels per minut amb un cost total de C(x) =1

25x2 + 3x + 100 C . La demanda per hora es de x = 60(75 − 3p), si el preu

del centenar es de p C . Trobeu la produccio aproximada de xupa-xups perdia que maximitza el benefici empresarial. Quin sera el preu de monopoli delxupa-xup?

Exercici 5.22 Si l’anterior fabricant, tenint el mateix cost, produeix d’acordamb una demanda de x = 100− 20

√p xupa-xups per minut, calculeu la nova

produccio per maximitzar els beneficis i doneu el nou preu de venda del xupa-xup.

Exercici 5.23 Suposant que, en el cas de l’exercici 5.21, el govern decidısgravar el preu del caramel amb un impost al fabricant de k C . per centenar,el fabricant afegiria aquest impost als costos. A partir d’aquests nous costosdeterminaria el nou nivell de produccio i el nou preu de monopoli. Demostreuque, si es fa aixo, el preu de venda augmentara molt poc respecte l’impost.Trobeu en funcio de k la disminucio que experimentara la produccio i l’ingres


del monopoli i determineu quin ha de ser el valor de l’impost per tal que elgovern aconsegueixi una recaptacio maxima. Interpreteu els resultats des delpunt de vista de l’empresa, dels consumidors i del govern. Discutiu, tambe,els diferents resultats, si l’impost es grava directament sobre el preu de venda(com es el cas de l’IVA).

Exercici 5.24 Generalitzeu el problema d’imposicio fiscal de l’exercici ante-rior tot trobant els efectes i repercussions d’un impost de k unitats monetariesper unitat de produccio quan el cost total del monopolista es C(q) = aq2+bq+ci la llei de demanda es p = β −α · q. Demostreu que l’impost condueix a unarecaptacio maxima quan k = 1

2(β − b) i que l’augment del preu del monopoli

es sempre menor que el de l’impost que s’aplica.

Exercici 5.25 Una fabrica produeix un article que es ven a 800 u.m. perunitat Els costos son funcio de la produccio, x, i venen donats per C(x) =kx2 +2k2x+15. Trobeu el valor de k per tal que el benefici sigui maxim ambun ingres igual a 158.400 u.m.

Exercici 5.26 En una situacio de monopoli se sap que la corba de demandaes q = 100 −√

p i que la corba de cost del fabricant es C(q) = 10 + 1000q.

1. Trobeu el preu que maximitza els beneficis i la quantia d’aquests bene-ficis maxims.

2. Si el mercat es duplica, es a dir, la demanda es multiplica per dos,trobeu el nou preu del producte i comproveu si el benefici tambe haquedat multiplicat per dos.


Exercici 5.27 En un regim de lliure competencia:

1. Determineu, en funcio del preu p del mercat, quina de les dues funcionsde costos es preferible pel fabricant:

C1(q) = 400 + q

√q

10, C2(q) = 20 + q2 .

2. Trobeu els valors de la produccio pels quals la funcio C2(q) es elastica.

3. Trobeu el polinomi de segon grau que mes s’aproxima a la funcio C1(q)en el punt q = 10.

Exercici 5.28 Si una empresa produeix amb una funcio de cost total

C(q) = aq2 + bq ,

trobeu l’elasticitat del cost total per a cada nivell de produccio. Demostreuque l’elasticitat es sempre mes gran que 1 i que creix a mesura que creix laproduccio. Per una produccio molt gran, quin seria aproximadament el valorde l’elasticitat?

Exercici 5.29 Trobeu l’elasticitat de la demanda en funcio de x per a cadauna de les seguents lleis de demanda:

p =√

a − bx; p = (a − bx)2; p = a − bx2.

Demostreu que l’elasticitat decreix quan creix x i trobeu, en cada cas, en quinpunt l’elasticitat es unitaria.

Capıtol 6

Problemes d’examens isolucions

6.1 Funcions d’una variable

1. [mar 01] En un mercat monopolista se sap que la demanda es q =10 −√

p, i la funcio de costos del fabricant es C(q) = 35 + q + q2. Esdemana:

(a) Trobeu el domini economic del preu i de la demanda.

p > 0, q > 0. Per tant, 10 − √p > 0 d’on obtenim p < 100. A

mes, q = 10 −√p < 10. En resum, 0 < p < 100, 0 < q < 10

(b) Trobeu la produccio i el preu que maximitzen els beneficis, aixıcom el benefici maxim assolit.

Si√

p = 10−q, aleshores p = 100−20q+q2. La funcio de beneficisera, per tant:

Π(q) = (100− 20q + q2) · q − (35 + q + q2) = q3 − 21q2 + 99q − 35

Les seves derivades seran: Π′(q) = 3q2−42q+99 i Π′′(q) = 6q−42.Si trobem els valors que anul·len la primera derivada obtindrem:q = 11 i q = 3. Π′′(11) = 24 > 0. Π′′(3) = −24 < 0. Siq = 3, aleshores p = 49 i Π(3) = 100. La solucio es, per tant,

q = 3, p = 49, Π(3) = 100

(c) Calculeu el polinomi de Taylor de grau 2 de la funcio demanda enel punt p = 1.

83

CAPITOL 6. PROBLEMES D’EXAMENS I SOLUCIONS 84

Calculem les dues primeres derivades de la funcio q: q′ = −12p−

1

2 ,

q′′ = 14p−

3

2 . El polinomi de Taylor de grau 2 sera, per tant: q(1)+q′(1)1!

(p − 1) + q′′(1)2!

(p − 1)2. Com que q(1) = 9, q′(1) = −12

i

q′′(1) = 14

tindrem que el polinomi demanat es: 18p2 − 3

4p + 77

8 Si√

p = 10 − q, aleshores p = 100 − 20q + q2. La funcio de beneficisera, per tant:

Π(q) = (100− 20q + q2) · q − (35 + q + q2) = q3 − 21q2 + 99q − 35

Les seves derivades seran: Π′(q) = 3q2−42q+99 i Π′′(q) = 6q−42.Si trobem els valors que anul·len la primera derivada obtindrem:q = 11 i q = 3. Π′′(11) = 24 > 0. Π′′(3) = −24 < 0. Siq = 3, aleshores p = 49 i Π(3) = 100. La solucio es, per tant,

q = 3, p = 49, Π(3) = 100 .

(d) Calculeu el valor de q pel qual es te que la funcio de costos pre-senta elasticitat unitaria.

Com que la funcio de costos es creixent, la seva elasticitat espositiva. Hem de determinar el valor de q tal que es verifiqui:q · C ′(q)

C(q)= 1. Com que C ′(q) = 1 + 2q es tracta de resoldre l’e-

quacioq + 2q2

35 + q + q2= 1 que es converteix en q2 = 35. La solucio

es, per tant, q =√

35 .

2. [set 02] En un mercat monopolista la funcio de demanda ve donadaper q = 50 − 1

2

√p. La funcio de costos del fabricant es: C(q) = 4q3.

Es demana:

(a) El domini del preu i de la demanda.

Com que la demanda ha de ser positiva tindrem 50 − 12

√p > 0

que, aıllant, ens dona p < 10.000. Per tant:

0 < p < 10.000, 0 < q < 50.

(b) El preu i la produccio que maximitzen el benefici.

Si aıllem p a la corba de demanda obtindrem p = (100 − 2q)2 =10000−400q+4q2. La funcio de benefici sera Π(q) = p ·q−C(q) =10000q − 400q2. Tindrem Π′(q) = 10000 − 800q, Π′′(q) = −800.

L’unic valor que anul·la Π′ es q = 25/2 que substituıt a la funcio

de demanda ens dona p = 752 = 5625 .


(c) Calculeu la funcio d’elasticitat de la funcio de costos.

EC(q) =C ′(q) · q

C(q)=

12q3

4q3= 3 .

(d) Desenvolupeu per Taylor fins a grau 2 la funcio de demanda en elpunt p = 1.

q′ = −14p−1/2, q′′ = 1

8p−3/2. Per tant, q(1) = 99

2, q′(1) = −1/4,

q′′(1) = 1/8 i el polinomi demanat es

P (p) = 992− 1

4(p−1)+ 1

16(p−1)2 .

3. [set 02] En un mercat de competencia perfecta un producte es vena 40 euros la unitat. Un fabricant te per funcio de costos la seguent:C(q) = 100 + 1

2q2. Es demana:

(a) Trobeu la quota de produccio que fa maxim el benefici.

Π(q) = 40q − 12q2 − 100, Π′(q) = 40 − q, Π′′(q) = −1 < 0. Per

tant, la quota de produccio que maximitza el benefici es q = 40 .

(b) Trobeu el valor del cost mitja mınim.

CM =C(q)

q=

1

2q +

100

q, CM ′ =

1

2q − 100

q2, CM ′′ =

200

q3. Per

tant, si fem CM ′(q) = 0 obtenim q =√

200 ∼ 14 que fa positiva

CM ′′ i, per tant, es un mınim de la funcio.

(c)

4. [mar 03] En un mercat monopolista se sap que la demanda es q =100 − p

p, i la funcio de costos del fabricant es C(q) = 4 + 4q. Es

demana:

(a) El domini del preu i de la demanda.

Com que la demanda ha de ser positiva tindrem 100− p > 0 que,aıllant, ens dona p < 100. Per tant: 0 < p < 100, q > 0.

(b) Trobeu la produccio i el preu que maximitzen els beneficis, aixıcom el benefici maxim assolit.


Si aıllem p a la corba de demanda obtindrem p =100

q + 1. La

funcio de benefici sera Π(q) =100q

q + 1− 4 − 4q. Tindrem Π′(q) =

1001

(q + 1)2−4, Π′′(q) = − 200

(q + 1)3. L’unic valor que anul·la Π′ es

q = 4 que substituıt a la funcio de demanda ens dona p = 20 .

El benefici maxim assolit es, doncs, Π(4) = 60 .

(c) Si el govern grava la produccio amb un impost de 21 unitats mo-netaries per unitat produıda, calculeu en aquest cas la nova pro-duccio i el preu per tal d’aconseguir un maxim benefici.

Caldra que imputem en els costos un sumand 21q, i obtindrem la

nova funcio de benefici: Π(q) =100q

q + 1− 4 − 25q. Tindrem ara

Π′(q) = 1001

(q + 1)2− 25, Π′′(q) = − 200

(q + 1)3. L’unic valor que

anul·la Π′ es q = 1 que substituıt a la funcio de demanda ens

dona p = 50 .

(d) Calculeu el polinomi de Taylor de grau 2 de la funcio demanda enel punt p = 1

Les derivades de la funcio demanda son q′ =−100

p2, q′′ =

200

p3.

Per tant, q(1) = 99, q′(1) = −100, q′′(1) = 200, i el polinomi deTaylor sera:

P (p) = 99−100(p−1)+100(p−1)2 = 100p2−300p+299 .

(e) Calculeu els intervals del preu pels quals la funcio de demanda eselastica.

La funcio d’elasticitat de la demanda sera:

−100/p2

(100 − p)/p2=

−100

100 − p.

La demanda sera elastica quan−100

100 − p< −1, es a dir quan

100

100 − p> 1, que es verifica en tot el domini economic. Per tant,

la funcio de demanda es sempre elastica .


5. [set 03] En un mercat monopolista se sap que la demanda ve donadaper la funcio q = 20

p+1− 2, i la funcio de costos del fabricant es: C(q) =

5 + 19q. Es demana:

(a) Quin es el domini economic de la demanda i del preu.

Com que la demanda ha de ser positiva tindrem20

p + 1− 2 > 0

que, aıllant, ens dona p < 9. Per a p = 0 obtenim q = 18. Pertant: 0 < p < 9, 0 < q < 18.

(b) Trobeu la produccio i el preu que fan maxim el benefici.

Si aıllem p a la corba de demanda obtindrem p =20

q + 2− 1.

La funcio de benefici sera Π(q) =20q

q + 2− 10

9q − 5. Tindrem

Π′(q) =40

(q + 2)2− 10

9, Π′′(q) =

−4

(q + 2)3. L’unic valor del domini

que anul·la Π′ es q = 4 que substituıt a la funcio de demanda

ens dona p =7

3.

(c) Trobeu el valor del preu pel qual l’elasticitat de la demanda esunitaria.

Eq =q′

q/p=

−10p

−p2 + 8p + 9= −1 −→ p2 + 2p − 9 = 0. L’unica

solucio positiva de aquesta equacio es p =√

10 − 1 .

(d) Desenvolupeu la funcio de demanda per Taylor fins el grau segonen el punt p = 0.

q′ =−20

(p + 1)2, q′′ =

40

(p + 1)3. Per tant, q(0) = 18, q′(0) = −20,

q′′(0) = 40 i el polinomi demanat es P (p) = 18−20p+20p2 .

6.2 Examens complets

6.2.1 Desembre 06

Problemes1. En un mercat monopolista tenim la corba de demanda q = 10 − √

p. Lacorba de costos del productor es C(q) = q3 + 1.


(a) Si es fabriquen 5 unitats, quant costa, en promig, cadascuna d’elles?

La corba de cost mitja sera CM (q) =C(q)

q= q2 +

1

q. Per tant, el cost

mitja de produir cada unitat en produir-ne 5 es CM (5) = 25 +1

5= 25, 2 .

(b) Quant hem de produir per tal d’obtenir el maxim benefici? Quin esaquest benefici?Aıllant p a la corba de demanda obtenim p = (10−q)2 = 100−20q+q2.La funcio de beneficis sera:

Π(q) = 100q − 20q2 + q3 − q3 − 1 = 100q − 20q2 − 1 .

Derivant obtenim:

Π′(q) = 100 − 40q Π′′(q) = −40

La segona derivada es sempre negativa. Per tant, qualsevol valor queanul·li la primera derivada correspon a un maxim relatiu. Busquemaquest valor:

Π′(q) = 0 → 100 − 40q = 0 → q =5

2= 2, 5 .

A mes, Π

(5

2

)= 124. Per tant, el maxim es dona quan q = 2, 5 , i

es de Π(2, 5) = 124 .

(c) Quant cal produır per tal que el cost mitja sigui mınim?

Ja hem calculat que CM (q) =C(q)

q= q2 +

1

q. Tindrem: C ′

M (q) =

2q − 1

q2i C ′′

M (q) = 2 +2

q3, que es positiu per a tot valor de q. El valor

positiu que fa zero la primera derivada es 2q − 1

q2= 0 que, aıllant, ens

dona q = 3

√1

2= 0, 79 .

(d) Determineu per a quin valor del preu es unitaria l’elasticitat de la corbade demanda.

Comencem per calcular la derivada de la corba de demanda: q′ =−1

2√

p.

La funcio d’elasticitat sera Eq(p) =

−1

2√

p

10 −√p

p

=−p

2√

p(10 −√p)

, que ha

de valer −1 per tal que l’elasticitat de la demanda sigui unitaria:

−p

2√

p(10 −√p)

= −1 → p = 20√

p − 2p →


√p =

20

3→ p =

400

9= 44, 4 .

2. Considerem la funcio f(x) =√

x2 + x.

(a) Determineu el domini i els zeros de la funcio f .x2 + x = x(x + 1), que haura de ser positiu o zero per tal que x sigui

del domini. Per tant, domf = (−∞,−1] ∪ [0,+∞) . Els zeros de

la funcio son x = −1 i x = 0 .

(b) Indiqueu en quins intervals del seu domini f es creixent i en quins esdecreixent.

f ′(x) =2x + 1

2√

x2 + x. El denominador es positiu per a tot valor de x que

sigui del domini. El numerador es positiu quan x > −1

2. Per tant,

f decreix a (−∞,−1] i f creix a [0,+∞) .

(c) Indiqueu el recorregut de la funcio f .

La funcio es sempre positiva. Per tant, Rec f = [0,+∞) .

(d) Calculeu, si existeixen, les asımptotes horitzontals i obliques de la fun-cio quan x tendeix a +∞.

limx→+∞

√x2 + x = +∞. Per tant, no hi ha asımptotes horitzontals.

Vegem si n’hi ha d’obliques:

m = limx→+∞

√x2 + x

x= lim

x→+∞

√x2 + x

x2= lim

x→+∞

√1 +

1

x= 1 .

n = limx→+∞

(√

x2 + x − x) = limx→+∞

(√

x2 + x − x)(√

x2 + x + x)√x2 + x + x

=

limx→+∞

x√x2 + x + x

= limx→+∞

1√1 +

1

x+ 1

=1

2.

Per tant, y = x +1

2es l’asımptota obliqua de f per +∞ .

Questions (1 p. cadascuna)

1. Calculeu la suma de tots els termes d’una progressio geometrica de raor = 1/3 i que el seu tercer terme es a3 = 2.

a1 =a3

r2= 2 · 9 = 18. Per tant, la suma de tots els termes de la

progressio geometrica es S =18

1 − 1

3

= 27.


2. Calculeu el lımit de la successio de terme general an = e

n2

1 − n

.

limn→∞

e

n2

1 − n

= e−∞ = 0.

3. Determineu l’equacio de la recta tangent a f(x) =√

x que te pendent1.

f ′(x) =1

2√

x= 1 quan

√x =

1

2, es a dir, x =

1

4. Com que f

(1

4

)=

1

2,

l’equacio de la recta tangent sera: y − 1

2= x − 1

4o be, y = x +

1

4.

4. Determineu el polinomi de Taylor de grau 2 de la funcio f(x) = e−x enels voltants del punt P (0, 1).Comencarem per calcular les derivades: f ′(x) = −e−x. f ′′(x) = e−x.Per tant, f(0) = 1, f ′(0) = −1, f ′′(0) = 1. Per tant, el polinomi de

Taylor que ens demanen es P2(x) = 1 − x +1

2x2 .

5. Determineu els valors maxim i mınim absoluts de la funcio f(x) =x

ln xen l’interval [2, 10].Caldra que comencem per veure si f te algun extrem relatiu a l’interval

donat: f ′(x) =ln x − 1

(ln x)2, que s’anul·la quan x = e. ln x−1 < 0 si x < e

i ln x−1 > 0 si x > e. Per tant, x = e es un mınim relatiu. Busquem les

imatges corresponents: f(2) =2

ln 2= 2, 8. f(e) = e. f(10) =

10

ln 10=

4, 3. Per tant, el valor maxim de f a l’interval donat es10

ln 10, a x = 10 ,

i el valor mınim de f a l’interval donat es e, a x = e .

6. Estudieu la concavitat i la convexitat de la funcio f(x) = e−1/x.Comencem per calcular les derivades:

f ′(x) =1

x2e−1/x ; f ′′(x) = − 2

x3e−1/x +

1

x2· 1

x2e−1/x =

1 − 2x

x4.

Tant e−1/x com x4 son sempre positius. Per tant,

f es convexa quan x < 1/2 –exclos el zero, que no es del domini– i

f es concava quan x > 1/2 .


6.2.2 Setembre 07

Problemes

1. En un mercat en competencia perfecta la corba de corba de costos del pro-ductor es C(q) = 2q2 + 8.

(a) Si es fabriquen 4 unitats, quant costa, en promig, cadascuna d’elles?

La funcio cost mitja es CM (q) =C(q)

q= 2q +

8

q. D’aquı, CM (4) = 10.

El cost mitja de produir 4 unitats es de 10 unitats monetaries .

(b) Si el preu unitari del producte es de 60 unitats monetaries, quant hemde produir per tal d’obtenir el maxim benefici? Quin es aquest bene-fici?La corba de benefici sera Π(q) = 60q − 2q2 − 8. Les seves derivadesson Π′(q) = 60 − 4q, Π′′(q) = −4. L’unic valor que anul·la la primeraderivada es q = 15. A mes, Π′′(15) < 0 i Π(15) = 442.

(c) Quant cal produir per tal que el cost mitja sigui mınim?

Al primer apartat hem calculat CM (q) = 2q +8

q. Derivant, C ′

M (q) =

2 − 8

q2, C ′′

M (q) =16

q3. L’unic valor que anul·la la primera derivada es

q = 2. A mes, C ′′

M (2) > 0. Per tant,

el cost mitja mınim s’obte produint 2 unitats .

(d) Determineu per a quin valor de la produccio l’elasticitat de la corba decostos es unitaria.

EC(q) =C ′(q)

C(q)/q=

2q2

q2 + 4. Si volem que l’elasticitat sigui unitaria

caldra que es verifiqui2q2

q2 + 4= 1, d’on obtenim q = 2

2. Considerem la funcio f(x) =2x2 − 4

x2 − 4.

(a) Determineu el domini i els zeros de la funcio f .

dom f = R − {−2, 2} . Si resolem f(x) = 0, es a dir, 2x2 − 4 = 0,

obtenim x = −√

2, x =√

2. Per tant, els zeros de f son (−√

2, 0) i (√

2, 0) .


(b) Indiqueu en quins intervals del seu domini f es creixent i en quins esdecreixent.

Calculant la derivada obtenim f ′(x) =−8x

(x2 − 4)2. El denominador no

es mai negatiu, i el numerador canvia de signe a x = 0. Per tant,

f es creixent a (−∞,−2) ∪ (−2, 0) i

f es decreixent a (0, 2) ∪ (2,+∞) .

(c) Calculeu, si existeixen, les asımptotes horitzontals i verticals de la fun-cio f .lim

x→∞f(x) = 2; per tant, y = 2 es asımptota horitzontal . lim

x→±2f(x) =

∞; per tant, x = −2 i x = 2 son asımptotes verticals .

(d) Indiqueu el recorregut de la funcio f .A partir de les dades que hem obtingut en els apartats anteriors sabemque la grafica de la funcio f es aproximadament aixı:

y

4

0

-4

x

40-4

Com que f(0) = 1 i, ames, y = 2 es l’asımptota horitzontal, tindremque

rec f = (−∞, 1] ∪ (2,+∞) .


1. Calculeu la suma de tots els termes de una progressio geometrica deprimer terme 3 i rao r = 2/3.

S =3

1 − 2

3

= 9 .


2. Calculeu justificadament el lımit de la successio de terme general an =1 + n + n2

1 + 2n − 3n2.

Com que es tracta de dos polinomis del mateix grau, dividint numera-dor i denominador per n2 obtindrem:

lim an = −1

3

3. Determineu l’equacio de la recta tangent a f(x) = ln x en el puntx = 1.

f ′(x) =1

x. Per tant, f ′(1) = 1 i f(1) = 0. La recta tangent, que

passara per (1, 0) i te pendent 1 es y = x − 1 .

4. Determineu el polinomi de Taylor de grau 2 de la funcio f(x) = x · ex

en els voltants del punt x = 0.

f(x) = x · ex → f(0) = 0f ′(x) = ex(1 + x) → f ′(0) = 1f ′′(x) = ex(2 + x) → f ′′(0) = 2

Per tant, el polinomi de Taylor es P (x) = x + x2 .

5. Determineu els valors maxim i mınim absoluts de la funcio f(x) =2x3 − 3x2 + 2 en l’interval [−1, 1].Si calculem les derivades tindrem f ′(x) = 6x2 − 6x i f ′′(x) = 12x − 6.Per tant, f te un maxim relatiu a x = 0 (dins de l’interval) i un mınimrelatiu a x = 1 (en un extrem de l’interval). A mes, f(−1) = −3,f(0) = 2 i f(1) = 1: els valors maxims de f en aquest interval seran:

valor maxim: 2 per a x = 0 . valor mınim: −3 per a x = −1 .

6. Estudieu la concavitat i la convexitat de la funcio f(x) = 2x3−3x2 +2.

Ja sabıem que f ′′(x) = 12x − 6, que s’anul·la per a x =1

2. Per tant,

f es concava a (−∞,1

2) i f es convexa a (

1

2, +∞) .


6.2.3 Desembre 07

Problemes (2 p. cadascun)

1. Donada la funcio f(x) =2x2 − 8

x − 1:

(a) Determineu-ne el domini.El denominador nomes s’anul·la quan x = 1. Per tant, domf =R − {1}.

(b) Trobeu totes les antimatges de 8.Es tracta de resoldre l’equacio f(x) = 8:

2x2 − 8

x − 1= 8 → 2x2−8 = 8x−8 → 2x2−8x = 0 → 2x(x−4) = 0 ,

d’on obtenim x = 0 i x = 4.

(c) Calculeu totes les asımptotes de f .

• Asımptotes horitzontals: limx→∞

f(x) = ∞ perque el numerador

es un polinomi de grau mes gran que el del denominador. Pertant, f no te asımptotes horitzontals.

• Asımptotes verticals: L’unic valor que anul·la el denominadores x = 1, i, a mes, lim

x→1f(x) = ∞. Per tant, x = 1 es una

asımptota vertical de f .

• Asımptotes obliques: m = limx→∞

f(x)

x= lim

x→∞

2x2 − 8

x2 − x= 2;

n = limx→∞

(f(x) − 2x) = limx→∞

2x − 8

x − 1= 2. Per tant, la recta

y = 2x + 2 es asımptota obliqua de f .

(d) Determineu els punts de tall amb els eixos de coordenades.D’una banda, f(0) = 8. Per tant, f talla l’eix d’ordenades en elpunt (0, 8). D’altra banda,

2x2 − 8

x − 1= 0 → 2x2−8 = 0 → 2(x2−4) = 0 → x2 = 4 → x = ±2 .

Per tant, f talla l’eix d’abscisses en els punts (−2, 0) i (2, 0). Enresum, la grafica de la funcio podria ser com es mostra a la figura6.1.

2. Considerem la funcio f(x) = x · ex.


-5-10y

10

5

0

-5

-10

x

1050

Figura 6.1: La funcio del probl. 1.

(a) Determineu els intervals de creixement i de decreixement de f .f ′(x) = ex+x ·ex = (1+x) ·ex. Per tant, si x < −1 f es decreixent(f ′ < 0) i, si x > −1, f es creixent (f ′ > 0).

(b) Determineu els maxims i els mınims relatius de la funcio.Com que f es decreixent per a valors de x menors que −1 i escreixent per a valors de x mes grans que −1, f te un mınim relatiu

en el punt x = −1. Com que f(−1) = −1

e, ens referim al punt

(−1,−1

e). Tambe es pot comprovar que es tracta d’un mınim

veient que f ′′(−1) > 0 (vegeu l’apartat (d) ).

(c) Escriviu l’equacio de la recta tangent a la corba en el punt x = 0.Com que f(0) = 0 i f ′(0) = 1, l’equacio de la recta que passa perl’origen i te pendent 1 es y = x.

(d) Determineu els intervals de concavitat (⋂

) i convexitat (⋃

) de f .f ′′(x) = ex + (1 + x) · ex = (2 + x) · ex. Per tant, f es concava (

⋂)

quan x < −2 i es convexa (⋃

) quan x > −2. Per tant, a x = −2hi tenim un punt d’inflexio. En resum, la grafica de la funcio f esaproximadament com mostra la figura 6.2.


1. En una progressio aritmetica sabem que a10 = 20 i a20 = 80. Trobeu-nela diferencia (o rao) i la suma dels termes compresos entre a10 i a20, ellsinclosos.Com que es tracta d’una progressio aritmetica tenim a20 = a10 + 10 d

d’on obtenim d = 6. La suma dels 11 termes es S11 =20 + 80

2·11 = 550.

2. Calculeu el polinomi de Taylor de grau 2 de la funcio f(x) =x2 − 2

x − 1


y

6

4

2

0

-2

x

420-2-4


en el punt x = 0.Comencem per calcular les dues primeres derivades de f :

f ′(x) =2x(x − 1) − (x2 − 2)

(x − 1)2=

x2 − 2x + 2

(x − 1)2.

f ′′(x) =(2x − 2)(x − 1)2 − (x2 − 2x + 2) · 2(x − 1)

(x − 1)4=

−2

(x − 1)3.

Donat que busquem el polinomi de Taylor en el punt x = 0 tindremf(0) = 2, f ′(0) = 2, f ′′(0) = 2. Per tant, el polinomi de Taylor de f en

el punt x = 0 es: P2(x) = 2 + 2x +2

2!x2 = 2 + 2x + x2. Les grafiques

de la funcio i el polinomi corresponen a la figura 6.3.

y

4

3

2

1

0

-1

x

210-1-2

Figura 6.3: questio 2.

3. Donada la corba de cost C(q) = 2q2 + 50, trobeu el valor de q pel qualobtenim el cost mitja mınim.


CM(q) =C(q)

q= 2q +

50

q.

Les derivades de la funcio cost mitja son C ′

M(q) = 2−50

q2, C ′′

M(q) =100

q3.

Vegem quins valors anul·len C ′

M(q): 2 − 50

q2= 0 → 2q2 = 50 → q2 =

25 → q = ±5. Com que nomes te sentit q = 5 i C ′′

M(q) > 0 per a totq positiu, q = 5 correspon a un mınim.

4. En un mercat monopolista sabem que la corba de demanda es q =100 e−

p

2 , i la corba de cost del fabricant es C(q) = 1 + 8q. Trobeu elpreu de venda que fa maxim el benefici.Resoldrem el problema de dues maneres diferents:

(a) Aıllant p a la corba de demanda tindrem:

e−p

2 =q

100→ −p

2= ln

q

100→ p = −2 ln

q

100.

Aleshores, la funcio de beneficis i les seves derivades son:

Π(q) = −2q · ln q

100− 1 − 8q ,

Π′(q) = −2 lnq

100− 2q · 1

q− 8 = −2 ln

q

100− 10 ,

Π′′(q) = −2

q.

Vegem quin valor anul·la la primera derivada:

−2 lnq

100− 10 = 0 → ln

q

100= −5 → q = 100 e−5 ,

que, com que Π′′(100 e−5) < 0, correspon a un maxim. Si arasubstituım aquest valor de q a la corba de demanda obtindrem:

100 e−5 = 100 e−p

2 → −5 = −p

2→ p = 10 .

(b) Si plantegem la funcio de benefici amb p com a variable tindrem:

Π(p) = p · 100 e−p2 − 1 − 8 · 100 e−

p2 .

Les seves derivades son:

Π′(q) = 100 e−p

2 +100 p·e− p

2 ·(−1

2

)−800 e−

p

2 ·(−1

2

)= e−

p

2 (500−50p) .


Π′′(q) = e−p

2 ·(−1

2

)+ e−

p

2 · (−50) = e−p

2 (−300 + 25p) .

Els valors que anul·len la primera derivada son: e−p

2 (500−50p) →p = 10 que, com que Π′′(p) < 0, ens diu que p = 10 correspon aun maxim.

5. Calculeu l’elasticitat de la corba de cost C(q) = q3 + 25q.El cost marginal es C ′(q) = 3q2 +25, i el cost mitja es CM(q) = q2 +25.

Per tant, l’elasticitat es E =3q2 + 25

q2 + 25.

6. Determineu els valors maxim i mınim absoluts de f(x) =ln x

xen l’in-

terval [1, 3].

Comencem per calcular la derivada: f ′(x) =1 − ln x

x2. La derivada

sera positiva –i, per tant, f sera creixent– quan x < e; la derivada seranegativa –i, per tant, f sera decreixent– quan x > e. Per tant el maxim

absolut de f en l’interval demanat correspon a x = e, i val f(e) =1

e.

D’altra banda, f(1) = 0 i f(3) =ln 3

3> 0. Per tant, el mınim absolut

de f a l’interval donat correspon a x = 1, i val 0. La grafica es aixı:

Figura 6.4: questio 6.

6.2.4 Setembre 08

Problemes

1. En un mercat monopolista se sap que la demanda es q =100 − p

p, i la

funcio de costos del fabricant es C(q) = 2 + 9q. Es demana:


(a) (0,5 p.) Trobeu l’interval de preus que fan que la demanda siguiinferior a 19 unitats.

100 − p

p< 19 → 100− p < 19p → 100 < 20p → p >

5. Per tant, la solucio es l’interval (5, 100).

(b) (0,5 p.) Trobeu el domini economic del preu i de la demanda.Com que p i q ha de ser positius, ha de ser p < 100. Per tant, eldomini economic del preu es 0 < p < 100. Aıllant p a la corba de

demanda obtenim p =100

q + 1. Per tant, p sera positiu sempre que

ho sigui q: q > 0.

(c) (1 p.) Trobeu la produccio i el preu que maximitzen els beneficis,aixı com el benefici maxim assolit.

De l’apartat anterior sabem que p =100

q + 1. La funcio de benefici

i les seves derivades valdran:

Π(q) = 100q

q + 1− 2 − 9q .

Π′(q) = 1001

(q + 1)2− 9 .

Π′′(q) = −2001

(q + 1)3.

Ara mirarem per a quins valors Π′(q) = 0:

100

(q + 1)2= 9 → (q+1)2 =

100

9→ q+1 =

10

3→ q =

7

3.

Com que Π′′

(7

3

)< 0, el valor de q que hem trobat correspon a

un maxim. Per tant, p = 30. El benefici maxim sera Π

(7

3

)= 47.

2. Donada la funcio y =x2 + 4

x, trobeu:

(a) (1 p.) Totes les rectes asımptotes.

• limx→∞

x2 + 4

x= ∞. Per tant, no hi ha asımptotes horitzon-

tals.


• limx→0

x2 + 4

x= ∞. Per tant, la recta x = 0 es una asımptota

vertical.

• limx→∞

y

x= lim

x→∞

x2 + 4

x2= 1. Per tant, existeix una asımptota

obliqua de pendent m = 1. A mes, n = limx→∞

(y − mx) =

limx→∞

(x2 + 4

x− x

)= lim

x→∞

4

x= 0. Per tant, y = x es asımptota

obliqua.

(b) (0,5 p.) Intervals de creixement i decreixement.

Comencem per calcular la derivada: y′ =2x2 − (x2 + 4)

x2=

x2 − 4

x2=

(x + 2)(x − 2)

x2. Per tant:

• La funcio es creixent a (−∞,−2) ∪ (2, +∞).

• La funcio es decreixent a (−2, 0) ∪ (0, 2).

(c) (0,5 p.) Trobeu l’equacio de la recta tangent a la funcio en el puntP(1,5).y′(1) = −3. Per tant, l’equacio de la recta tangent es y − 5 =−3(x−1) que, una vegada arreglada, es converteix en y = −3x+8.La grafica de la funcio amb les seves asımptotes i la recta tangenten el punt P(1,5) es la que es mostra a la figura 6.5.

y

10

5

0

-5

-10

x

100-10




1. Calculeu el polinomi de Taylor de grau 2 de la funcio f(x) = x2 +ln(x)en el punt x = 1.

• f(x) = x2 + ln x. Per tant, f(1) = 1 + 0 = 1.

• f ′(x) = 2x +1

x. Per tant, f ′(1) = 3.

• f ′′(x) = 2 − 1

x2. Per tant, f ′′(1) = 1.

Per tant, el polinomi de Taylor d’ordre 2 es:

P (x) = 1 + 3(x − 1) +1

2(x − 1)2 =

1

2x2 + 2x − 3

2.

2. Calculeu l’interval pel qual la funcio de costos C(q) = 2eq es elastica.

Com que C ′(q) = 2eq, la funcio d’elasticitat es ε(q) =2eq

2eq/q= q. Per

tant, la funcio sera elastica per a q > 1.

3. En una progressio geometrica se sap que el segon terme es 18, i que elquart terme val 2. Trobeu la rao i la suma dels infinits termes de laprogressio.De a2 a a4 hi ha dos passos. Per tant, tenim que 18 · r2 = 2 que equival

a r = ±1

3. Vegem els dos casos per separat:

• r =1

3→ a1 =

a2

r=

18

1/3= 54 → S =

54

1 − 1

3

= 81.

• r = −1

3→ a1 =

a2

r= − 18

1/3= −54 → S =

−54

1 +1

3

=

−81

2.

4. Donada la funcio y = x2 −2x−3, trobeu els maxims i mınims absolutsen l’interval [−5, 2].Comencem pel calcul de la derivada: y′ = 2x − 2, que s’anul·la quanx = 1. Aleshores, com que: f(−5) = 32, f(1) = −4, f(2) = −3, elmaxim absolut de la funcio a l’interval donat es 32, quan x = −5, i elmınim absolut es -4, quan x = 1.

5. Trobeu el cost mitja mınim de la funcio de cost C(q) = q4 + 48.

La funcio de cost mitja es CM(q) =C(q)

q= q3 +

48

q. Per tant,


CM ′(q) = 3q2 − 48

q2i CM ′′(q) = 6q +

96

q3. Vegem per a quin valor

s’anul·la la primera derivada:

3q2 − 48

q2= 0 → 3q2 =

48

q2→ q4 = 16 → q = 2. Com que

aquest valor fa positiva la derivada segona, correspon a un mınim, queval CM(2) = 32,

6. Calculeu els seguents lımits:

limx→∞

(2x + 1

x − 1

) 2x+1

x−1

=22 = 4.

limx→∞

(x + 1

x − 1

)2x+1

= limx→∞

(

1 +2

x − 1

)x − 1

2

2(2x + 1)

x − 1

= e4.

Matematiques I

Documents

Transcript of Matematiques I