1 matematiques

Pàgina 11

Equacions i incògnites. Sistemes d’equacions

1. Podem dir que les dues equacions següents són dues “dades diferents”? No éscert que la segona diu el mateix que la primera?

Representa-les gràficament i observaque es tracta de la mateixa recta.

Es tracta de la mateixa recta.

Posa un altre sistema de dues equacions amb dues incògnites en què la sego-na equació sigui, en essència, igual que la primera. Interpreta’l gràficament.

Gràficament són la mateixa recta:

!"#x + y = 1

3x + 3y = 3

2x + y = 54x + 2y = 10

!"#

41Unitat 1. Sistemes d’equacions. Mètode de Gauss

SISTEMES D’EQUACIONS.MÈTODE DE GAUSS

UNITAT 1

x + y = 1

3x + 3y = 3

1

1

4x + 2y = 10

2x + y = 5

1

1

2. Observa les equacions següents:

Representa-les i observa que les duesprimeres rectes determinen un punt(amb aquestes dues dades es respo-nen les dues preguntes: x = 2, y = 1)i que la tercera recta també passa peraquest punt.

Pensa una altra equació que també si-gui “conseqüència” de les dues pri-meres (per exemple: 2 · 1a + 3 · 2a),representa-la i observa que tambépassa per x = 2, y = 1.

2 · 1a + 3 · 2a $ 7x – y = 13

3. Observa que el que diu la segona equació és contradictori amb el que diu la pri-mera:

Representa-les i observa que es trac-ta de dues rectes paral·leles, és a dir,no tenen solució comuna, perquè lesrectes no es tallen en cap punt.

2x + y = 52x + y = 7

!"#

2x + y = 5x – y = 1x + 2y = 4

!%"%#


x + 2y = 4x – y = 1

2x + y = 5

1 2

(2, 1)1

7x – y = 13

x + 2y = 4x – y = 1

2x + y = 5

1 2

(2, 1)1

2x + y = 7

2x + y = 5

1 2

1

Modifica el terme independent de la segona equació del sistema que has in-ventat en l’exercici 1 i representa de nou les dues rectes.

Observa que el que diuen ambduesequacions és ara contradictori i quees representen mitjançant rectes pa-ral·leles.

Rectes paral·leles:

Pàgina 13

1. Sense resoldre’ls, explica per què són equivalents aquests sistemes:

a) b)

c) d)

a) Hem substituït la segona equació pel resultat de sumar les dues que teníem.

b) Hem substituït la primera equació pel resultat de restar a la segona equació la pri-mera.

c) En el primer sistema, la tercera equació s’obté sumant les dues primeres. La resta ésigual que a b).

d) Hem substituït la segona equació pel resultat de restar a la segona equació la pri-mera.

Pàgina 15

2. Resol i interpreta geomètricament els sistemes següents:

a) b) c) d)

a)1 – 2x = 3 – x $ x = –2, y = 3 – (–2) = 5

!%"%#$ y = 1 – 2x

$ y = 3 – x

!%"%#2x + y = 13x + 2y = 4x + y = 3

x + y + z = 6y – z = 1

z = 1

!%"%#x + y + z = 6x + y + z = 0x – z = 0

!%"%#x + y + z = 6

y – z = 1x + 2y = 7

!%"%#2x + y = 13x + 2y = 4x + y = 3

!%"%#

x + y – z = 11y = –4

!"#x + y – z = 11x + 2y – z = 7

!"#z = 2

x + y = 7!"#

x + y – z = 5x + y = 7

2x + 2y – z = 12

!%"%#

z = 2x + y = 7

!"#x + y – z = 5x + y = 7

!"#x + y = 5

3x = 12!"#

x + y = 52x – y = 7

!"#

!"#x + y = 1

3x + 3y = 0


x + y = 1

3x + 3y = 0

1

1


Comprovem si compleix la 2.a equació: 3 · (–2) + 2 · 5 = –6 + 10 = 4.

Solució: x = –2, y = 5. Són tres rectes que es tallen en el punt (–2, 5).

b)

Solució: x = 5 – 2&, y = 1 + &, z = &. Són tres plans que es tallen en una recta.

c)

d)

Solució: x = 3, y = 2, z = 1. Són tres plans que es tallen en el punt (3, 2, 1).

3. a) Resol el sistema:

b) Afegeix-hi una tercera equació de manera que continuï essent compatible.

c) Afegeix-hi una tercera equació de manera que sigui incompatible.

d) Interpreta geomètricament el que has fet en cada cas.

a)

Solució: x = , y =

b) Per exemple: 2x + y = 7 (suma de les dues anteriors).

c) Per exemple: 2x + y = 9.

d) En a) $ Són dues rectes que es tallen en ( , ).En b) $ La nova recta també passa per ( , ).En c) $ La nova recta no passa per ( , ). No existeix cap punt comú en les

tres rectes. Es tallen dues a dues.

–13

113

–13

113

–13

113

–13

113

–13 – 2y = 4 + y $ –1 = 3y $ y = —

31 11

x = 4 + y = 4 – — = —3 3

!%"%#x = 3 – 2yx = 4 + y

!"#x + 2y = 3x – y = 4

x + 2y = 3x – y = 4

!"#

z = 1y = 1 + z = 2x = 6 – y – z = 6 – 2 – 1 = 3

!%"%#x + y + z = 6

y – z = 1z = 1

Les dues primeres equacions són contradictòries.El sistema és incompatible.Els dos primers plans són paral·lels i el tercer els talla.

!%"%#x + y + z = 6x + y + z = 0x – z = 0

x = 6 – z – y = 6 – z – 1 – z = 5 – 2zy = 1 + z

!"#x + y = 6 – z

y = 1 + z

La 3.a equació s’obté sumant les dues primeres;podem prescindir-ne.

!%"%#x + y + z = 6

y – z = 1x + 2y = 7

Pàgina 16

4. Reconeix com a escalonats els sistemes següents i resol-los:

a) b)

c) d)

a) Solució: x = , y =

b)

Solució: x = 3, y = –29, z = 11

c)

Solucions: x = 3 + &, y = –29 – 19&, z = 11 + 6&, t = &

d)

Solució: x = 1, y = , z =

5. Són escalonats aquests sistemes? Resol-los:

a) b)

c) d)

z + t = 3y + 3z – 2 t = 4

2z = 2x – z + 2 t = 5

!%%"%%#x + y + z + t = 3x – y = 2

!"#

x + y + z = 72x – z = 4

!"#2y + z = 12y = 1

x + 2y + 2z = 1

!%"%#

–23

169

x = 1–2x –2

z = —— = —3 3

7 – x + z 16y = ———— = —

3 9

!%%"%%#

4x = 42x + 3z = 0

x + 3y – z = 7

!%"%#2x + 3z = 0x +3y – z = 7

4x = 4

x = 3 + tz = 5x – 4 + t = 11 + 6ty = 7 – x – 3z = –29 – 19t

!%"%#2x = 6 + 2t5x – z = 4 – tx + y + 3z = 7

!%"%#2x – 2t = 6x + y + 3z = 7

5x – z + t = 4

x = 3z = 5x – 4 = 11y = 7 – x – 3z = 7 – 3 – 33 = –29

!%"%#2x = 65x – z = 4x + y + 3z = 7

!%"%#2x = 6x + y + 3z = 7

5x – z = 4

–43

73

!%%"%%#

7x = —

3x – 5 –4

y = ——— = —2 3

!%%"%%#3x = 7x – 2y = 5

2x + 3z = 0x + 3y – z = 7

4x = 4

!%"%#2x – 2t = 6x + y + 3z = 7

5x – z + t = 4

!%"%#

2x = 6x + y + 3z = 7

5x – z = 4

!%"%#3x = 7x – 2y = 5

!"#



a)

Solució: x = 0, y = , z = 0

b)

Solucions: x = 2 + &, y = 5 – 3&, z = 2&

c)

Solucions: x = 2 + &, y = &, z = 1 – 2& – µ, t = µ

d)

Solució: x = 2, y = 5, z = 1, t = 2

Pàgina 17

6. Transforma en escalonats i resol:

a) b)

a)

Solució: x = 3, y = –5

b)

Solució: x = 1, y = 2, z = –1

!%"%#z = –1y = 3 + z = 2x = –4 + y – 3z = 1

!%"%#x – y + 3z = –4

y – z = 3–z = 1

1a2a3a – 3 · 2a

!%"%#x – y + 3z = –4

y – z = 33y – 4z = 10

1a2a : 23a

!%"%#x – y + 3z = –4

2y – 2z = 63y – 4z = 10

1a2a – 1a3a – 1a

!%"%#x – y + 3z = –4x + y + z = 2x + 2y – z = 6

!"#2x – 3y = 21

–11y = 553 · 1a – 2 · 1a

!"#2x – 3y = 213x + y = 4

x – y + 3z = –4x + y + z = 2x + 2y – z = 6

!%"%#2x – 3y = 213x + 3y = 4

!"#

z = 1t = 3 – z = 2y = 4 – 3z + 2t = 5x = 5 + z – 2t = 2

!%%"%%#

2z = 2z + t = 3

y + 3z – 2t = 4x – z + 2t = 5

!%%"%%#

z + t = 3y + 3z – 2t = 4

2z = 2x – z + 2t = 5

x = 2 + yz = 3 – y – t – 2 – y = 1 – 2y – t

!"#x = 2 + yx + z = 3 – y – t

!"#x + y + z + t = 3x – y = 2

zx = 2 + —

23z

y = 7 – z – x = 5 – —2

!%%"%%#2x = 4 + zx + y = 7 – z

!"#x + y + z = 7

2x – z = 4

12

1y = —

2

z = 1 – 2y = 0

x = 1 – 2y – z = 0

!%%"%%#

2y = 12y + z = 1

x + 2y + z = 1

!%"%#2y + z = 12y = 1

x + 2y + 2z = 1

7. Transforma en escalonat i resol:

a) b)

a)La 2a i la 3a files són iguals.

El sistema és compatible indeterminat

x + 1; y = &; z = 5–&b)

Solució: x = 1, y = 10, z = 3, w = 0

Pàgina 20

8. Resol aquests sistemes d’equacions mitjançant el mètode de Gauss:

a) b) c)

a) ( ) $ ( ) $

$ ( ) $

Solució: x = 1, y = –2, z = 3

!%%"%%#

z = 32 – 4z

y = ——— = –25

x = 2 – y – z = 1

!%"%#x + y + z = 2

5y + 4z = 22z = 24

1 1 1 20 5 4 | 20 0 8 24

1a2a · (–1)3a · 5 + 2a · 3

1 1 1 20 –5 –4 –20 3 4 6

1a2a – 3 · 1a3a + 2 · 1-a

1 1 1 23 –2 –1 | 4–2 1 2 2

!%"%#x + y + z = 2

3x – 2y – z = 4–2x + y + 2z = 2

x – 2y = –3–2x + 3y + z = 42x + y – 5z = 4

!%"%#3x – 4y + 2z = 1

–2x – 3y + z = 25x – y + z = 5

!%"%#x + y + z = 2

3x – 2y – z = 4–2x + y + 2z = 2

!%"%#

!%%"%%#

w = 057 + 9w

z = ———— = 319

y = –32 + 14z – 7w = 10x = y – 3z = 1

!%%"%%#

x – y + 3z = 0y – 14z + 7w = –32

19z – 9w = 5734w = 0

1a 2a3a : 215 · 3a + 19 · 4a

!%%"%%#

x – y + 3z = 0y – 14z + 7w = –32

38z – 18w = 114–30z + 16w = –90

1a2a 3a – 3 · 2a4a + 2 · 2a

!%%"%%#

x – y + 3z = 0y – 14z + 7w = –32

3y – 4z + 3w = 18–2y – 2z + 2w = –26

1a2a – 3 · 1a3a – 1a4a – 1a

!%%"%%#

x – y + 3z = 03x – 2y – 5z + 7w = –32x + 2y – z + 3w = 18x – 3y + z + 2w = –26

!%"%#3x + y + z = –6–2y – 2z = –10–2y – 2z = –10

1a2a – 1a3a – 3 · 1a

!%"%#3x + y + z = –63x – y – z = –43x + y + z = –8

x – y + 3z = 03x – 2y – 5z + 7w = –32x + 2y – z + 3w = 18x – 3y + z + 2w = –26

3x + y + z = –63x – y – z = –43x + y + z = –8

!%"%#


b) ( ) $ ( )Les dues primeres equacions són contradictòries. El sistema és incompatible.

c) ( ) $ ( ) $

$ ( ) $

Solucions: x = –3 + 2&, y = &, z = –2 + &9. Resol mitjançant el mètode de Gauss:

a) b) c)

a) ( ) $ ( ) $

$

x = 2 – 2z + – = –

Solucions: x = –7&, y = – 3&, z = 2&

b) ( ) $

( ) $ ( ) $2 –1 0 1 01 –2 1 0 04 0 0 0 | 01 0 –1 0 0

1a2a3a + 4a4a

2 –1 0 1 01 –2 1 0 03 0 1 0 | 01 0 –1 0 0

1a2a3a – 1a4a – 2 · 1a

2 –1 0 1 01 –2 1 0 05 –1 1 1 | 05 –2 –1 2 0

!%%"%%#

2x – y + w = 0x – 2y + z = 0

5x – y + z + w = 05x – 2y – z + 2w = 0

52

92

7z2

92

3z2

52

x = 2 – 2z + y5 – 3z 5 3z

y = ——— = — – 1 = —2 2 2

!%"%#x – y = 2 – 2z

2y = 5 – 3z!"#

x – y + 2z = 22y + 3z = 5

1 –1 2 20 2 3 | 50 2 3 5

1a2a + 1a3a – 1a

1 –1 2 2–1 3 1 | 31 1 5 7

!%"%#x – y + 2z = 2

–x + 3y + z = 3x + y + 5z = 7

2x – y + w = 9x – 2y + z = 11

5x – y + z + w = 245x – 2y – z + 2w = 0

!%%"%%#

2x – y + w = 0x – 2y + z = 0

5x – y + z + w = 05x – 2y – z + 2w = 0

!%%"%%#

x – y + 2z = 2–x + 3y + z = 3x + y + 5z = 7

!%"%#

x = –3 + 2yz = –2 + y

!"#x – 2y = –3

–y + z = –2

1 –2 0 –30 –1 1 | –20 0 0 0

1a2a3a + 5 · 2a

1 –2 0 –30 –1 1 | –20 5 –5 10

1a2a + 2 · 1a3a – 2 · 1-a

1 –2 0 –3–2 3 1 | 42 1 –5 4

!%"%#x – 2y = –3

–2x + 3y + z = 42x + y – 5z = 4

–7 –2 0 –9–7 –2 0 |–35 –1 1 5

1a – 2 · 3a2a – 3a3a

3 –4 2 1–2 –3 1 | 25 –1 1 5

!%"%#3x – 4y + 2z = 1

–2x – 3y + z = 25x – y + z = 5


$

Solució: x = 0, y = 0, z = 0, w = 0

c) ( ) $

( ) $ ( ) $

$

x = z = x + 18 = y = = w = 9 – 2x + y =

Solució: x = , y = , z = , w =

Pàgina 21

10. Discuteix, en funció del paràmetre k, aquests sistemes d’equacions:

a) b)

a) ( ) $ ( ) $

$ ( )• Si k = 3, queda:

4 2 0 k1 1 –1 | 2

k – 3 0 0 3 – k

1a2a3a – 1a

4 2 0 k1 1 –1 | 2

k + 1 2 0 3

1a2a3a + 2-a

4 2 0 k1 1 –1 | 2k 1 1 1

!%"%#4x + 2y = k

x + y – z = 2kx + y + z = 1

4x + 2y = kx + y – z = 2

kx + y + z = 0

!%"%#4x + 2y = kx + y – z = 2

kx + y + z = 1

!%"%#

534

694

114

–34

534

114

x + z – 112

694

–34

!%%"%%#

2x – y + w = 9x – 2y + z = 11

4x = –3x – z = –18

2 –1 0 1 91 –2 1 0 114 0 0 0 | –31 0 –1 0 –18

1a2a3a + 4a4a

2 –1 0 1 91 –2 1 0 113 0 1 0 | 151 0 –1 0 –18

1a2a3a – 1a4a – 2 · 1a

2 –1 0 1 91 –2 1 0 115 –1 1 1 |245 –2 –1 2 0

!%%"%%#

2x – y + w = 9x – 2y + z = 11

5x – y + z + w = 245x – 2y – z + 2w = 0

x = 0z = 0y = 0w = 0

!%%"%%#

2x – y + w = 0x – 2y + z = 0

4x = 0x – z = 0


( ) $ $

$ x = = –

z = x – 2 + y = – 2 + y = = +

Sistema compatible indeterminat.

Solucions: x = – &, y = 2&, z = + &

• Si k ' 3, és compatible determinat. El resolem:

x = = –1

y = = = 2 +

z = x + y – 2 = –1 + 2 + – 2 = –1 +

Solució: x = –1, y = 2 + , z = –1 +

b) ( ) $ ( ) $

$ ( )• Si k = 3, queda:( ) El sistema és incompatible.

• Si k ' 3, és compatible determinat. El resolem:

!%"%#x + y – z = 2

4x + 2y = k(k – 3)x = (2 – k)

4 2 0 31 1 –1 | 20 0 0 –1

4 2 0 k1 1 –1 | 2

k – 3 0 0 2 – k

1a2a3a – 1a

4 2 0 k1 1 –1 | 2

k + 1 2 0 2

1a2a3a + 2-a

4 2 0 k1 1 –1 | 2k 1 1 0

!%"%#4x + 2y = k

x + y – z = 2kx + y + z = 0

k2

k2

k2

k2

k2

k + 42

k – 4x2

3 – kk – 3

!%"%#x + y – z = 2

4x + 2y = k(k – 3)x = (3 – k)

–54

34

y2

–54

–5 + 2y4

3 – 2y4

y2

34

3 – 2y4

!"#x – z = 2 – y

4x = 3 – 2y!"#

x + y – z = 24x + 2y = 3

4 2 0 k1 1 –1 | 20 0 0 0


x =

y = =

z = x + y – 2 = + – 2 =

Solució: x = , y = , z =

11. Discuteix aquests sistemes d’equacions en funció del paràmetre k:

a) b)

a) ( ) $ ( ) $

$ ( )• Si k = –3, queda:( ) Sistema incompatible.

• Si k ' –3, és compatible determinat. El resolem:

x =

z = k – 2x =

y = –x – z =

Solució: x = , y = , z = k2 – k – 16k + 3

–k2 – k + 8(k + 3)

8 + 2kk + 3

–k2 – k + 8(k + 3)

k2 – k – 16k + 3

8 + 2kk + 3

!%"%#(k + 3)x = 8 + 2k

x + y + z = 02x + z = k

0 0 0 21 1 1 | 02 0 1 –3

k + 3 0 0 8 + 2k1 1 1 | 02 0 1 k

1a + 2 · 3a2a3a

k – 1 0 –2 81 1 1 | 02 0 1 k

1a – 2-a2a3a

k 1 –1 81 1 1 | 02 0 1 k

!%"%#kx + y – z = 8x + y + z = 0

2x + z = k

x + y + z = 1y + kz = 1

x + 2y = k

!%"%#kx + y – z = 8

x + y + z = 02x + z = k

!%"%#

k2 – 5k + 82k – 6

k2 + k – 82k – 6

2 – kk – 3

k2 – 5k + 82k – 6

k2 + k – 82(k – 3)

2 – kk – 3

k2 + k – 82k – 6

k – 4x2

2 – kk – 3


b) ( ) $ ( ) $

$ ( )• Si k = –1, queda: ( ) Sistema incompatible.

• Si k ' –1, és compatible determinat. El resolem:

z = =

y + k ( ) = 1 $ y = 1 – = =

x = 1 – y – z = 1 – – = =

=

Solució: x = , y = , z =

Pàgina 26

EXERCICIS I PROBLEMES PROPOSATS

PER PRACTICAR

12. Troba, si existeix, la solució dels sistemes següents i interpreta’ls gràficament:

a) b)

Els resolem pel mètode de Gauss:

x + 2y = 12x – y = 35x + y = 8

!%"%#

3x + y = 2x – y = 1

5x – y = 42x + 2y = 1

!%%"%%#

2 – k1 + k

1 – k + k2

1 + k–2 + 3k – k2

1 + k

–2 + 3k – k2

1 + k

1 + k – 1 + k – k2 – 2 + k1 + k

2 – k1 + k

1 – k + k2

1 + k

1 – k + k2

1 + k1 + k – 2k + k2

1 + k2k – k2

1 + k2 – k1 + k

2 – k1 + k

k – 2–1 – k

!%"%#x + y + z = 1

y + kz = 1(–1 – k)z = k – 2

1 1 1 10 1 –1 | 10 0 0 –3

1 1 1 10 1 k | 10 0 –1 – k k – 2

1a2a3a – 2a

1 1 1 10 1 k | 10 1 –1 k – 1

1a2a3a – 1a

1 1 1 10 1 k | 11 2 0 k

!%"%#x + y + z = 1

y + kz = 1x + 2y = k


a) ( ) $ ( )Podem prescindir de les dues últimes files, ja que coincideixen amb la primera.Quedaria:

4y = –1 $ y =

x – y = 1 $ x = 1 + y = 1 – =

Solució: ( , )El sistema representa quatre rectes que es tallen en el punt ( , ).

b) ( ) $ ( )De la 2a equació, obtenim y = ; de la 3a equació, obtenim y = .

Per tant, el sistema és incompatible.

El sistema representa tres rectes que es tallen dues a dues, però no hi ha cappunt comú a les tres.

13. Comprova que aquest sistema és incompatible i raona quina és la posició re-lativa de les tres rectes que representa:

Si dividim la 3a equació entre 2, obtenim: x + 2y = 0. La 1a equació és x + 2y = 5.Són contradictòries, així doncs el sistema és incompatible.

La 1a i la 3a equació representen dues rectes paral·leles; la 2a les talla.

14. Resol i interpreta geomètricament el sistema:

( ) $ ( ) $ ( )–1 2 00 5 |–10 0 0

1a2a3a + 1a

–1 2 00 5 |–11 –2 0

1a2a + 2 · 1a(2/3) · 3a

–1 2 02 1 –1

3/2 –3 0

–x + 2y = 02x + y = –1

(3/2)x – 3y = 0

!%"%#

x + 2y = 53x – y = 12x + 4y = 0

!%"%#

–13

–15

1 2 10 –5 | 10 –9 3

1a2a – 2 · 1a3a – 5 · 1-a

1 2 12 –1 | 35 1 8

–14

34

–14

34

34

14

–14

0 4 –11 –1 10 4 |–10 4 –1

1a – 3 · 2a2a 3a – 5 · 2a4a – 2 · 2a

3 1 21 –1 15 –1 | 42 2 1


Solució: ( , )Geomètricament, són tres rectes que es tallen en el punt ( , ).

15. Raona si aquests sistemes tenen solució i interpreta’ls geomètricament:

a) b)

a) Si dividim la 2.a equació entre 2, obtenim:

x + 2y – z = , que contradiu la 1.a.

El sistema és incompatible. Són dos plans paral·lels.

b) Si multipliquem per – la 1.a equació, obtenim:

x – 2y – 4z = –2, que contradiu la 2.a equació.

El sistema és incompatible. Són dos plans paral·lels.

16. Resol els sistemes següents però reconeix prèviament que són escalonats:

a) b)

c) d)

a)

Solució: ( , )–6911

411

!%%"%%#

–69y = —

117 + y 4

x = — = —2 11

!"#2x – y = 7

11y = –69

2x – 3y + z = 03x – y = 0

2y = 1

!%"%#x + y – t = 2

y + z = 4y + t – z = 1

!%"%#

– y + z = 19z = 2

3x – y + z = 3

!%"%#2x – y = 7

11y = –69!"#

23

23

!"#–x + 3y + 6z = 3

(2/3x) – 2y – 4z = 2

12

!"#x + 2y – z = 3

2x + 4y – 2z = 1

–x+ 3y + 6z = 32/3x – 2y – 4z = 2

!"#x + 2y – z = 3

2x + 4y – 2z = 1!"#

–15

–25

–15

–25

!%%"%%#

–2x = 2y = —

5–1

y = —5

!"#–x + 2y = 0

5y = –1


b)z = y = z – 1 = x = =

Solució: ( , , )c)

Solucions: (–5 + 3&, 4 – &, &, –3 + 2&)

d)y = x = = z = –2x + 3y =

Solució: ( , , )17. Transforma en escalonats i resol els sistemes següents:

a) b)

a)

Solució: x = , y =

b)

Solució: x = 2, y = 1, z = –2

!%"%#–z = 2y = –1 – zx = 2 + 2y + z

!%"%#x – 2y – z = 2

– 2y – z = 13x –z = 2

5 · 2a – 3a

!%"%#x – 2y – 4z = 2x – 2y – 4z = 1x – 5y – 4z = 3

3 · 1a – 3a

!%"%#x – 2y – z = 2x – 2y – z = 1

3x – y + z = 3

!%"%#x – 2y – z = 1x – 2y – z = 2

3x – y + z = 3

–6911

16

!"#2x – 13y = 17

– 11y = 695 · 1a – 2 · 2a

!"#2x – y = 75x + 3y = –17

x – 2y – z = 1x – 2y – z = 2

3x – y + z = 3

!%"%#2x – y = 75x + 3y = –17

!"#

76

12

16

76

16

y3

12

!%"%#2x – 3y + z = 03x – y = 0

2y = 1

z = &y = 4 – zt = 1 – y + z = 1 – (4 – z) + z = –3 + 2z

x = 2 – y + t = 2 – (4 – z) – 3 + 2z = –5 + 3z

!%"%#x + y – t = 2

y + z = 4y + t – z = 1

29

–79

23

23

3 + y – z3

–79

29

!%"%#– y + z = 1

9z = 23x – y + z = 3


18. Resol aquests sistemes d’equacions lineals:

a) b)

a) ( ) $ ( ) $$ ( ) $ ( ) $

$

Solució: (–2, 4, 6)

b) ( ) $ ( ) $

$ ( ) $ ( ) $

$ z = y = = –2 x = –y – z =

Solució: ( , –2, )19. Resol:

a) b)

a) ( ) $ ( ) $$ ( ) $ !"#

x + y – z = 1–y + 4z = –2

1 1 –1 10 –1 4 | –20 0 0 0

1a2a3a – 2 · 2a

1 1 –1 10 –1 4 | –20 –2 8 –4

1a2a – 3 · 1a3a – 5 · 1a

1 1 –1 13 2 1 | 15 3 3 1

!%"%#x + y – z = 1

3x + 2y + z = 15x + 3y + 3z = 1

3x + 4y – z = 36x – 6y + 2z = –16x – y + 2z = –6

!%"%#x + y – z = 1

3x + 2y + z = 15x + 3y + 3z = 1

!%"%#

12

32

32

3 + 2z–2

12

!%"%#x + y + z = 0

–2y – 2z = 32z = 1

1 1 1 00 –2 –2 | 30 0 2 1

1a 2a–2 · 3a + 2a

1 1 1 00 –2 –2 | 30 –1 –2 1

1a2a – 5 · 1a3a – 3 · 1a

1 1 1 05 3 3 | 33 2 1 1

3a2a1a

3 2 1 15 3 3 | 31 1 1 0

!%"%#3x + 2y + z = 15x + 3y + 3z = 3x + y + z = 0

x = –2y = 2 – x = 4z = 4 – x = 6

!%"%#–3x = 6

x + y = 2x + z = 4

–3 0 0 61 1 0 | 21 0 1 4

1a – 5 · 2a2a3a

2 5 0 161 1 0 | 21 0 1 4

1a2a : 33a

2 5 0 163 3 0 | 61 0 1 4

1a2a + 2 · 3a3a

2 5 0 161 3 –2 | –21 0 1 4

!%"%#2x + 5y = 16x + 3y – 2z = –2x + z = 4

3x + 2y + z = 15x + 3y + 3z = 3x + y + z = 0

!%"%#2x + 5y = 16x + 3y – 2z = –2x + z = 4

!%"%#


Solucions: (–1 – 3&, 2 + 4&, &)

b) ( ) $ ( ) $

$ ( ) $ ( ) $

$

Solució: (–1, 1, –2)

20. Resol, si és possible, els sistemes següents:

a) b)

c) d)

a) ( ) $ ( ) $

$ ( ) $

y = 1 z = = 8 x = 9 – 2y – z = –1

Solució: (–1, 1, 8)

b) ( ) $ ( ) $

$ 7 z

y = — – —5 5

14 2z 1 3zx = 3 – z – 2y = 3 – z – — + — = — – —

5 5 5 5

!%%"%%#x + 2y = 3 – z

5y = 7 – z

1 2 1 30 5 1 | 7

1a–2a + 2 · 1a

1 2 1 32 –1 1 | –1

!"#x + 2y + z = 3

2x – y + z = –1

19 – 3y2

!%"%#x + 2y + z = 9

3y + 2z = 19–7y = –7

1 2 1 90 3 2 | 190 –7 0 –7

1a2a2a + 2 · 3a

1 2 1 90 3 2 | 190 –5 –1 –13

1a–2a + 1a3a – 2 · 1a

1 2 1 91 –1 –1 |–102 –1 1 5

!%"%#x + 2y + z = 9x – y – z = –10

2x – y + z = 5

2x – 3y + z = 03x – y = 04x + y – z = 0

!%"%#–x + 2y – z = 12x – 4y + 2z = 3x + y + z = 2

!%"%#

x + 2y + z = 32x – y + z = –1

!"#x+ 2y + z = 9x – y – z = –10

2x – y + z = 5

!%"%#

y = 3 + z = 3 – 2 = 1x = –6 + y – 2z = –6 + 1 + 4 = –1

!%"%#x – y + 2z = –6

z = –2y – z = 3

1 –1 2 –60 0 1 | –20 1 –1 3

1a 2a : (–5)3a : 7

1 –1 2 –60 0 –5 | 100 7 –7 21

1a2a – 3 · 1a3a – 3 · 1a

1 –1 2 –63 –3 1 | –83 4 –1 3

3a2a : 21a

3 4 –1 36 –6 2 |–161 –1 2 –6

!%"%#3x + 4y – z = 36x – 6y + 2z = –16x – y + 2z = –6

y = 4z + 2x = 1 – y + z = 1 – (4z + 2) + z = –1 – 3zz = &


Si fem z = 5&, les solucions són: ( – 3&, – &, 5&)c) ( ) $ ( ) $

$ ( ) $ ( )La segona equació és impossible: 0x + 0y + 0z = 5.

El sistema és incompatible.

d) ( ) $ ( ) $

$ ( ) $

Solucions: (&, 3&, 7&)

21. Classifica els sistemes següents en compatibles o incompatibles:

a) b)

a)Compatible indeterminat.

b) ( ) $ ( ) $

$ Compatible determinat.

1 1 1 30 –3 –1 | –40 –2 0 –2

1a2a – 2 · 1a3a – 1a

1 1 1 32 –1 1 | 21 –1 1 1

!%"%#x + y + z = 3

2x – y + z = 2x – y + z = 1

!%"%#x + y = 3x + y = 3

z = 0

!%"%#x + y + z = 3x + y – z = 3

z = 0

x + y + z = 32x – y + z = 2x – y + z = 1

!%"%#x + y + z = 3x + y – z = 3

z = 0

!%"%#

y = 3xz = –2x + 3y = –2x + 9x = 7xx = &

!"#2x – 3y + z = 03x – y = 0

2 –3 1 03 –1 0 | 00 0 0 0

1a2a3a – 2 · 2a

2 –3 1 03 –1 0 | 06 –2 0 0

1a2a3a + 1a

2 –3 1 03 –1 0 | 04 1 –1 0

!%"%#2x – 3y + z = 03x – y = 04x + y – z = 0

1 1 1 20 0 0 | 50 3 0 3

1a2a + 2 · 3a3a

1 1 1 20 –6 0 | –10 3 0 3

1a2a – 2 · 1a3a + 1a

1 1 1 22 –4 2 | 3–1 2 –1 1

3a2a1a

–1 2 –1 12 –4 2 | 31 1 1 2

!%"%#–x + 2y – z = 12x – 4y + 2z = 3x + y + z = 2

75

15


22. Estudia els sistemes següents i els resols pel mètode de Gauss:

a) b)

a) ( ) $ ( ) $

$ ( )Sistema determinat. Solució: (1, –2, 3).

b) ( ) $ ( ) $

$ ( ) $ Sistema compatible indeterminat.

El resolem:

Solucions: ( &, 3&, 7&)

23. Estudia i resol aquests sistemes pel mètode de Gauss:

a) b)

c) d)

a) ( ) $ ( ) $

$ ( ) $ Sistema compatible determinat.–1 1 3 –20 6 11 | –30 0 –12 0

1a2a 3a – 2a

–1 1 3 –20 6 11 | –30 6 –1 –3

1a2a + 4 · 1a3a + 2 · 1a

–1 1 3 –24 2 –1 | 52 4 –7 1

!%"%#–x + y + 3z = –24x + 2y – z = 52x + 4y – 7z = 1

2x – 2y + 3z – 14t = 02x – 2y + 3z + 14t = 03x – 3y + 5z + 6t = 0

!%"%#5x + 2y + 3z = 42x + 2y + z = 3x – 2y + 2z = –3

!%"%#

x – 3y – z = –1x + 5y + 3z = 3x + y + z = 1

3x + 7y + 5z = 5

!%%"%%#

–x + y + 3z = –24x + 2y – z = 52x + 4y – 7z = 1

!%"%#

y = 3xz = –2x + 3y = –2x + 9x = 7xx = &

!%"%#2x – 3y + z = 03x – y = 0

2 –3 1 03 –1 0 | 00 0 0 0

1a2a 3a – 2 · 2a

2 –3 1 03 –1 0 | 06 –2 0 0

1a2a + 1a3a + 1a

2 –3 1 01 2 –1 | 04 1 –1 0

!%"%#2x – 3y + z = 0x + 2y – z = 0

4x + y – z = 0

1 1 1 20 1 3 | 70 0 23 69

1a2a3a + 6 · 2a

1 1 1 20 1 3 | 70 –6 5 27

1a2a – 2 · 1a3a – 1

1 1 1 22 3 5 | 111 –5 6 29

!%"%#x + y + z = 2

2x + 3y + 5z = 11x – 5y + 6z = 29

2x – 3y + z = 0x + 2y – z = 0

4x + y – z = 0

!%"%#x + y + z = 2

2x + 3y + 5z = 11x – 5y + 6z = 29

!%"%#


El resolem: y = – x = y + 3z + 2 =

Solució: ( , – , 0)b) ( ) $ ( ) $

$ ( ) $ ( ) $

$

Solucions: ( &, &, 1 – 2 &). Són quatre plans amb una recta en comú.

c) ( ) $ ( ) $

$ ( ) $ ( )Sistema compatible determinat. El resolem:

Solució: (1, 1, –1)

d) ( )$ ( )$$ ( )1 –1 3 –14 0

0 0 –3 29 | 00 0 0 28 0

1a2a–4 · 2a + 3 · 3a

1 –1 3 –14 00 0 –3 29 | 00 0 –4 48 0

1a2a – 2 · 1a3a – 3 · 1a

1 –1 3 –14 02 –2 3 1 | 03 –3 5 6 0

!%"%#x – y + 3z – 14t = 0

2x – 2y + 3z + t = 03x – 3y + 5z + 6t = 0

z = –1y = 1x = –3 + 2y – 2z = 1

!%"%#x – 2y + 2z = –3

2y – z = 3–z = 1

1 –2 2 –30 2 –1 | 30 0 –1 1

1a2a : 33a – 2 · 2a

1 –2 2 –30 6 –3 | 90 12 –7 19

1a2a – 2 · 1a3a – 5 · 1a

1 –2 2 –32 2 1 | 35 2 3 4

3a2a1a

5 2 3 42 2 1 | 31 –2 2 –3

!%"%#5x + 2y + 3z = 42x + 2y + z = 3x – 2y + 2z = –3

z = 1 – 2yx = 1 – y – z = yy = &

!%"%#x + y + z = 1

2y + z = 1

1 1 1 10 2 1 10 0 0 | 00 0 0 0

1a 2a : 23a + 2a4a – 2a

1 1 1 10 4 2 20 –4 –2 | –20 4 2 2

1a 2a – 1a3a – 1a4a – 3 · 1a

1 1 1 11 5 3 31 –3 –1 | –13 7 5 5

3a 2a 1a 4a

1 –3 –1 –11 5 3 31 1 1 | 13 7 5 5

!%%"%%#

x – 3y – z = –1x + 5y + 3z = 3x + y + z = 1

3x + 7y + 5z = 5

12

32

32

12

!%"%#–x + y + 3z = –2

6y + 11z = –3z = 0


Sistema compatible indeterminat. El resolem:

Solucions: (&, &, 0, 0)

Pàgina 27

24. Discuteix els sistemes següents i els resol-los quan sigui possible:

a) b)

a) ( ) $ ( )• Si k = – $ Sistema compatible indeterminat. El resolem:

2x – y = 4 $ Solucions: (&, 2& – 4)

• Si k ' – $ Sistema compatible determinat.

Solució: (2, 0)

b) ( ) $ ( ) $

$ ( ) $ ( )• Si m = 10 $ Sistema compatible indeterminat. El resolem:

Fent z = 5&.

Solucions: (1 + &, –1 + 3&, 5&)

• Si m ' 10 $ Incompatible

–5 + 3z 3zy = ——— = –1 + —

5 56z z

x = 3 + 2y – z = 3 – 2 + — – z = 1 + —5 5

!%"%#x – 2y + z = 3

5y – 3z = –5

1 –2 1 30 5 –3 | –50 0 0 m – 10

1a2a3a – 2a

1 –2 1 30 5 –3 | –50 5 –3 m – 15

1a2a – 2 · 1a3a – 5 · 1a

1 –2 1 32 1 –1 | 15 –5 2 m

2a1a 3a

2 1 –1 11 –2 1 | 35 –5 2 m

!%"%#2x + y – z = 1x – 2y + z = 3

5x – 5y + 2z = m

y = 0x = 2

!"#2x – y = 4

(2k + 1)y = 0

12

y = 2x –4x = &

!"#

12

2 –1 40 0 | 00 2k + 1 0

1a2 · 2a + 1a2 · 3a – 1a

2 –1 4–1 1/2 | –21 k 2

!%"%#2x – y = 4–x + y/2 = –2x + ky = 2

2x + y – z = 1x – 2y + z = 3

5x – 5y + 2z = m

!%"%#2x – y = 4–x + y/2 = –2x + ky = 2

!%"%#

t = 0z = 0x = yy = &

!%%"%%#

x – y + 3z – 14t = 0–3z + 29t = 0

28t = 0


25. Discuteix els següents sistemes d’equacions:

a) b)

c) d)

a) ( ) $ ( )Sistema compatible determinat per a tot k.

b) ( ) $ ( ) $

$ ( ) $ ( )• Si a = 10 $ Sistema compatible indeterminat

• Si a ' 10 $ Sistema compatible determinat

c) ( ) $ ( ) $

$ ( )Compatible determinat per a tot m.

d) ( ) $ ( ) $

$ ( ) $ ( )2 – 2a = 0 $ a = 1

• Si a = 1 $ Sistema incompatible

• Si a ' 1 $ Sistema compatible determinat

1 1 –1 10 –2 8 | –30 0 2 – 2a 1

1a2a–2 · 3a + 2a

1 1 –1 10 –2 8 | –30 –1 a + 3 –2

1a2a – 5 · 1a3a – 3 · 1a

1 1 –1 15 3 3 | 23 2 a 1

3a2a 1a

3 2 a 15 3 3 | 21 1 –1 1

!%"%#3x + 2y + az = 15x + 3y + 3z = 2x + y – z = 1

1 –2 1 15 0 0 | –1

m + 1 –1 0 2

1a2a + 2 · 1a3a + 1a

1 –2 1 13 4 –2 | –3m 1 –1 1

1a3a2a

1 –2 1 1m 1 –1 | 13 4 –2 –3

!%"%#x – 2y + z = 1

mx + y – z = 13x + 4y – 2z = –3

1 1 –1 00 1 1 | 00 a – 10 0 0

1a2a3a – 7 · 2a

1 1 –1 00 1 1 | 00 a – 3 7 0

1a2a : 23a

1 1 –1 00 2 2 | 00 a – 3 7 0

1a2a – 1a3a – 3 · 1a

1 1 –1 01 3 1 | 03 a 4 0

!%"%#x + y – z = 0x + 3y + z = 0

3x + ay + 4z = 0

1 –1 –1 k0 0 3 | 1 – k0 3 k + 2 –2k

1a2a – 1a3a – 2 · 1a

1 –1 –1 k1 –1 2 | 12 1 k 0

!%"%#x – y – z = kx – y + 2z = 1

2x + y + kz = 0

3x + 2y + az = 15x + 3y + 3z = 2

x + y – z = 1

!%"%#x – 2y + z = 1

mx + y – z = 13x + 4y – 2z = –3

!%"%#

x + y – z = 0x + 3y + z = 0

3x + ay +4z = 0

!%"%#x – y – z = kx – y + 2z = 1

2x + y + kz = 0

!%"%#


26. Resol cada un dels sistemes següents per als valors de m que el fan compatible:

a) b)

a) ( ) $ ( ) $

$ ( )• Si m = 7 $ Sistema compatible determinat

x = 3 – 2y = 1

Solució: (1, 1)

• Si m ' 7 $ Sistema incompatible

b) ( ) $ ( ) $

$ ( )• Si m = –1 $ Sistema compatible indeterminat.

Fent z = 3&:

Solucions: (1 – &, –1 – 7&, 3&)

• Si m ' –1 $ Sistema incompatible

27. Discuteix i resol en funció del paràmetre:

a) b) x + y + z = 0

3x + 2y + az = 52x + y + z = 3

!%"%#–x + my + z = 22x – y + 2z = 0–x – 3z = –2

!%"%#

–3 – 7z 7zy = ——— = –1 – —

3 37z z

x = 2 + y + 2z = 2 – 1 – — + 2z = 1 – —3 3

!%%"%%#x – y – 2z = 2

3y + 7z = –3

1 –1 –2 20 3 7 –30 0 0 | 00 0 0 m + 1

1a 2a3a – 2a4a – 2a

1 –1 –2 20 3 7 –30 3 7 | –30 3 7 m – 2

1ª 2a – 2 · 1a3a – 3 · 1a4-a– 1a

1 –1 –2 22 1 3 13 0 1 | 31 2 5 m

!%%"%%#

x – y – 2z = 22x + y + 3z = 13x + z = 3x + 2y + 5z = m

!"#x + 2y = 3

y = 1

1 2 30 1 | 10 0 m – 7

1a2a : (–5)3a – 2a

1 2 30 –5 | –50 –5 m – 12

1a2a – 2 · 1a3a – 4 · 1a

1 2 32 –1 | 14 3 m

!%"%#x + 2y = 3

2x – y = 14x + 3y = m

x – y – 2z = 22x + y + 3z = 13x + z = 3x + 2y + 5z = m

!%%"%%#

x + 2y = 32x – y = 14x + 3y = m

!%"%#


a) ( ) $ ( ) $

$ ( ) $ ( )• Si m = 1 $ Sistema compatible indeterminat

Solucions: (2 – 3&, 4 – 4&, &)

• Si m ' 1 $ Sistema compatible determinat

Solució: (–1, 0, 1)

b) ( ) $ ( ) $

$ ( ) $ ( )• Si a = 2 $ Sistema incompatible

• Si a ' 2 $ Sistema compatible determinat. El resolem:

z =

y = –3 – z = –3 – =

x = –y – z = – =

Solució: ( , , )2a – 2

4 – 3aa – 2

3a – 6a – 2

3a – 6a – 2

2a – 2

–4 + 3aa – 2

4 – 3aa – 2

2a – 2

2a – 2

!%"%#x + y + z = 0

y + z = –3(a – 2)z = 2

1 1 1 00 1 1 | –30 0 a – 2 2

1a–2a3a – 2a

1 1 1 00 –1 –1 | 30 –1 a – 3 5

1a2a – 2 · 1a3a – 3 · 1a

1 1 1 02 1 1 | 33 2 a 5

1a3a2a

1 1 1 03 2 a | 52 1 1 3

!%"%#x + y + z = 0

3x + 2y + az = 52x + y + z = 3

!%"%#y = 0z = 1x = 2 – 3z = –1

!%"%#x + 3z = 2

y + 4z = 4(m – 1)y = 0

!%"%#x = 2 – 3zy = 4 – 4zz = &

!%"%#x + 3z = 2

y + 4z = 4

1 0 3 20 1 4 | 40 m – 1 0 0

1a–2a3a + 2a

1 0 3 20 –1 –4 | –40 m 4 4

1a2a – 2 · 1a3a + 1a

1 0 3 22 –1 2 | 0–1 m 1 2

–3a2a1a

–1 m 1 22 –1 2 | 0–1 0 –3 –2

!%"%#–x + my + z = 22x – y + 2z = 0–x – 3z = –2


PER RESOLDRE

28. Resol pel mètode de Gauss.

a) b)

c) d)

a) ( ) $ ( ) $

$ ( ) $ ( ) $

$

Solució: (–3, 6, 7)

b) ( ) $ ( ) $

t = – z = 1 – t = 1 + = y = = 1 x = 1 – y – z – t = –1

Solució: (–1, 1, , – )12

32

2t – 1–2

32

12

12

!%%"%%#

x + y + z + t = 1–2y – 2t = –1

z + t = 1–2t = 1

1 1 1 1 10 –2 0 –2 –10 0 –2 –2|–20 0 0 –2 1

1a 2a – 1a3a – 1a4a – 1a

1 1 1 1 11 –1 1 –1 01 1 –1 –1|–11 1 1 –1 2

!%%"%%#

x + y + z + t = 1x – y + z – t = 0x + y – z – t = –1x + y + z – t = 2

!"#y = –8 + 2z = –8 + 14 = 6x = 11 – 2z = 11 – 14 = –3

!%"%#x + 2z = 11

y – 2z = –8z = 7

1 0 2 110 1 –2 –80 0 0 | 00 0 1 7

1a 2a 3a – 3 · 4a4a

1 0 2 110 1 –2 –80 0 3 | 210 0 1 7

1a 2a 3a – 2a4a – 2a

1 0 2 110 1 –2 –80 1 1 | 130 1 –1 –1

1a 2a – 1a3a 4a – 1a

1 0 2 111 1 0 30 1 1 |131 1 1 10

!%%"%%#

x + 2z = 11x + y = 3

y + z = 13x + y + z = 10

x – 3y – z = –1x + 5y + 3z = 3x + y + z = 1

3x + 7y + 5z = 5

!%%"%%#

2x + y + 3z = 04x + 2y – z = 06x + 3y + 2z = 0

!%"%#

x + y + z + t = 1x – y + z – t = 0x + y – z – t = –1x + y + z – t = 2

!%%"%%#

x + 2z = 11x + y = 3

y + z = 13x + y + z = 10

!%%"%%#


c) ( ) $ ( ) $

$ Solucions: (&, –2&, 0)

d) ( ) $ ( ) $

$ ( ) $ ( ) $

$

Solucions: ( &, &, 1 – 2 &)

29. Discuteix els sistemes següents segons els valors de ( i interpreta’ls geomè-tricament:

a) b)

a) ( ) $ ( )( ' 0

• Si ( ' 1, queda:( ) Sistema compatible indeterminat. Són dues rectes coincidents.

• Si ( = –1, queda:( ) Sistema incompatible. Són dues rectes paral·leles.

• Si ( ' 1 y ( ' –1 $ Sistema compatible determinat. Són dues rectes se-cants.

–1 –1 10 0 | 2

1 –1 10 0 | 0

( –1 10 1 – (2 2(2 – ( – 1

1a2a · ( – 1a

( –1 11 –( 2( – 1

!"#(x – y = 1x – (y = 2( – 1

x – y = 12x + 3y – 5z = –16x + (y – z = 0

!%"%#(x – y = 1

x – (y = 2( – 1!"#

z = 1 – 2yx = 1 – y – z = 1 – y – 1 + 2y = yy = &

!%"%#x + y + z = 1

2y + z = 1

1 1 1 10 2 1 10 0 0 | 00 0 0 0

1a 2a : 23a + 2a4a – 2a

1 1 1 10 4 2 20 –4 –2 | –20 4 2 2

1a 2a – 1a3a – 1a4a – 3 · 1a

1 1 1 11 5 3 31 –3 –1 | –13 7 5 5

3a 2a 1a 4a

1 –3 –1 –11 5 3 31 1 1 | 13 7 5 5

!%%"%%#

x – 3y – z = –1x + 5y + 3z = 3x + y + z = 1

3x + 7y + 5z = 5

!%"%#z = 0y = –2xx = &

!%"%#2x + y + 3z = 0

–7z = 0

2 1 3 00 0 –7 | 00 0 –7 0

1a2a – 2 · 1a3a – 3 · 1a

2 1 3 04 2 –1 | 06 3 2 0

!%"%#2x + y + 3z = 04x + 2y – z = 06x + 3y + 2z = 0


b) ( ) $ ( ) $$ ( )• Si ( ' 0 $ Sistema compatible determinat. Són tres plans que es tallen en

un punt.

• Si ( = 0 $ Sistema incompatible. Els plans es tallen dos a dos, però no hiha cap punt comú als tres.

30. Es considera el sistema d’equacions lineals:

a) Troba un valor de a per al qual el sistema sigui incompatible.

b) Discuteix si hi ha algun valor del paràmetre a per al qual el sistema siguicompatible determinat.

c) Resol el sistema per a a = 0.

( ) $ ( ) $

$ ( )a) a = 2

b) No existeix cap valor de a per al qual el sistema sigui compatible determinat.

c) Si a = 0, queda:

Solucions: (2 – 3&, – , &)12

y = – 1/2x – 1 + 3z = 1 $ x = 2 – 3zz = &

!%"%#x + 2y + 3z = 1

–2y = 1

1 2 3 10 a – 2 0 | 10 0 0 0

1a2a3a – 2a

1 2 3 10 a – 2 0 | 10 a – 2 0 1

1a2a – 1a3a – 2 · 1a

1 2 3 11 a 3 | 22 (2 + a) 6 3

!%"%#x + 2y + 3z = 1x + ay + 3z = 2

2x + (2 + a)y + 6z = 3

x + 2y + 3z = 1x + ay + 3z = 2

2x + (2 + a)y + 6z = 3

!%"%#

1 –1 0 10 5 –5 | –180 5( 0 13

1a2a5 · 3a – 2a

1 –1 0 10 5 –5 | –180 ( + 1 –1 –1

1a2a – 2 · 1a3a – 1a

1 –1 0 12 3 –5 | –161 ( –1 0

!%"%#x – y = 1

2x + 3y – 5z = –16x + (y – z = 0


31. Considera el sistema d’equacions:

a) Hi ha una solució en què y sigui igual a 0?

b) Resol el sistema.

c) Interpreta’l geomètricament.( ) $ ( ) $

( ) $ ( )a) y = 0 $

Solució: (3, 0, 2)

b)

Solucions: (3 + 2&, &, 2& + 2)

c) Són tres plans que es tallen en una recta.

32. Troba un nombre de tres xifres sabent que aquestes sumen 9; que, si del nom-bre donat se li resta el que resulta d’invertir l’ordre de les seves xifres, la di-ferència és 198, i que la xifra de les desenes és mitjana aritmètica de les altresdues.

! Si x és la xifra de les unitats, y la de les desenes i z la de les centenes, el nombreserà x + 10y + 100z.

Activitat resolta.

33. A, B i C són tres amics. A li diu a B: si et dono la tercera part dels meus diners,els tres en tindrem la mateixa quantitat. Calcula el que té cadascú si entre elstres tenen 60 !.

x = diners A y = diners B z = diners C

x – = y + = z =

x + y + z = 60

Solució: z = 20 !, y = 10 !, x = 30 !

!%"%#603

x3

x3

!%"%#x = 1 + z = 1 + 2y + 2 = 3 + 2yz = 2y + 2y = &

!"#z = 2x = 1 + z = 3

!"#x – z = 1

– z = –2

!"#x – z = 1

2y – z = –2

1 0 –1 10 2 –1 | –20 0 0 0

1a2a3a + 2a

1 0 –1 10 2 –1 | –20 –2 1 2

1a2a – 1a3a – 2 · 1a

1 0 –1 11 2 –2 | –12 –2 –1 4

3a2a1a

2 –2 –1 41 2 –2 | –11 0 –1 1

!%"%#2x – 2y – z = 4x + 2y – 2z = –1x – z = 1

2x – 2y – z = 4x + 2y – 2z = –1x – z = 1

!%"%#


34. Un magatzemista disposa de tres tipus de cafè: el tipus A de 9,8 !/kg; el B de8,75 !/kg i el C de 9,5 !/kg. Vol fer una mescla amb els tres tipus de 10,5 kga 9,40 !/kg. Quants quilos de cada tipus ha de mesclar si ha de posar el do-ble del tipus C que dels tipus A i B?

x = quantitat en les de cafè A y = quantitat en les de cafè Bz = quantitat en les de cafè C

Solució: Amb les 2 primeres eq.: z = 3,5 kg, y = 3 kg, x = 4 kg

Pàgina 28

35. Una botiga ha venut 600 exemplars d’un videojoc per un total de 6 384 !. Elpreu original era de 12 !, però també ha venut còpies defectuoses amb des-comptes del 30% i del 40%. Si sabem que el nombre de còpies defectuoses ve-nudes va ser la meitat del de les còpies en bon estat, calcula a quantes còpiesse li aplicà el 30% de descompte.

Anomenem x el nombre de còpies venudes al preu original, 12 !; y el nombre decòpies venudes amb un 30% de descompte, 0,7 · 12 = 8,4 !; i z el nombre de cò-pies venudes amb un 40% de descompte, 0,6 · 12 = 7,2 !.

Així:

( ) $ ( ) $

( ) $ ( )Solució: El 30 % de descompte es va aplicar a 120 còpies.

z = 80y = 120x = 400

!%"%#x + y + z = 600

y + z = 2001,2z = 96

1 1 1 6000 1 1 | 2000 0 1,2 96

1a3a2a – 3,6 · 3a

1 1 1 6000 3,6 4,8 | 8160 1 1 200

1a2a3a : 3

1 1 1 6000 3,6 4,8 | 8160 3 3 600

1a–2a + 12 · 1a–3a + 1a

1 1 1 60012 8,4 7,2 | 6 3841 –2 –2 0

!%"%#x + y + z = 60012x + 8,4y + 7,2z = 6 384x – 2y – 2z = 0

!%%"%%#

x + y + z = 600

12x + 8,4y + 7,2z = 6 384

xy + z = —

2

!%"%#x + y + z = 10,5x + y = 2z9,8x + 8,75y + 9,5z = 9,40 · 10,5


36. Un caixer automàtic conté 95 bitllets de 10, 20 i 50 ! i un total de 2 000 !. Siel nombre de bitllets de 10 ! és el doble que el nombre de bitllets de 20 !,descobreix quants bitllets hi ha de cada tipus.

Anomenem x el nombre de billets de 10 !; y el nombre de billets de 20 !, i zel nombre de billets de 50 !. Veiem que:

z = 95 – 3y

4y + 5(95 – 3y) = 200 $ 4y + 475 – 15y = 200 $ 275 = 11 y

y = 25 $ z = 20 $ x = 50

Solució: Hi ha 50 billets de 10 !, 25 billets de 20 ! i 20 billets de 50 !.

37. Es disposa de tres caixes A, B i C amb monedes d’1 euro. Se sap que en totalhi ha 36 euros. El nombre de monedes de A excedeix en 2 a la suma de lesmonedes de les altres dues caixes. Si es trasllada 1 moneda de la caixa B a lacaixa A, aquesta tindrà el doble de monedes que B. Esbrina quantes monedeshi havia en cada caixa.

Anomenem x el nombre de monedes que hi ha a la caixa A, y el nombre de mone-des que hi ha a la caixa B, i z el nombre de monedes que hi ha a la caixa C. Veiem que:

Sumant les dues primeres equacions: 2x = 38 $ x = 19

De la 3a equació $ y = = 11

z = 36 – y – x = 6

Solució: Hi havia 19 monedes a la caixa A, 11 a la B i 6 a la C.

38. Un automòbil puja els pendents a 54 km/h, els baixa a 90 km/h i en pla cir-cula a 80 km/h. Per anar de A a B triga 2 hores i 30 minuts, i per tornar de Ba A, 2 hores i 45 minuts. Quina és la longitud de camí pla entre A i B si sabemque la distància entre A i B és de 192 km?

94,8 km.

39. Tres entitats financeres A, B i C ofereixen, respectivament, per a dipòsits su-periors a 2000 !, un interès anual del 2 %, 3 % i K %. La Joana, en Manel i enDaniel decideixen invertir els seus estalvis en aquestes entitats durant un any.Si tots ho fessin a A obtindrien en total uns beneficis de 164 !; però si la Joanaoptés per A, en Manel per C i en Daniel per B, obtindrien 192 !; i si la Joanai en Manel es decidissin per B i en Daniel per C, obtindrien 218 !.

x + 32

!%"%#x + y + z = 36x – y – z = 2x – 2y = –3

!%"%#x + y + z = 36x – y – z = 2x + 1 = 2y – 2

!%"%#x + y + z = 36x = y + z + 2x + 1 = 2(y – 1)

!%"%#3x + z = 95

4y + 5z = 200x = 2y

!%"%#x + y + z = 95x + 2y + 5z = 200x = 2y

!%"%#x + y + z = 95

10x + 20y + 50z = 2 000x = 2y


a) Escriu un sistema d’equacions que descrigui la situació.

b) Calcula, sense resoldre el sistema, la quantitat de diners invertits entre lestres persones.

c) Troba, si existeix, un valor de K per al qual hi hagin infinites solucions.Resol el sistema per a l’esmentat valor de K y dóna tres solucions diferents.

j = diners invertits per la Joanam = diners invertits per en Maneld = diners invertits per en David

a) (j + m + d) · = 164

j · + m + d · = 192 $(j + m)· + d · = 218

b) No és possible, ja que ens calen més dades, tot i quesi tots han d’haver invertit > 2000 ! $ 1,6 < k < 2,3

)

c) Avaluem el sistema( ) ( )De l’última equació: Si (k – 3) = 0 el sistema serà incompatible,

k = 3 sistema incompatible $ no solució.

De la segona equació: Si (k – 2) = 0 $ k = 2 quedarà:( ) $ ( )Sistema compatible indeterminat $ ) solucions

Per k = 2:

j + m + d = 8.200 En Daniel ha invertit 2.800 ! i entre la Joana i en Manelj + m + d = 2.800 n’han invertit 5.400 !.

Podria ser:

1 1 1 8.2000 0 1 2.8000 0 0 0

1 1 1 8.2000 0 1 2.8000 0 –1 –2.800

1 1 1 8.2000 k–2 1 2.8000 0 k–3 2.800

(2a) – 2 · (1a)(3a) – 3 (1a)

1 1 1 8.2002 k 3 19.2003 3 k 21.800

j + m + d = 8.2002j + km + 3d = 19.2003j + 3m + kd = 21.800

!%%% %"%%%%#k

1003

100

3100

k100

2100

2100


JOANA MANEL DANIEL

SOLUCIÓ 1 3.000 2.400 2.800

SOLUCIÓ 2 3.200 2.200 2.800

SOLUCIÓ 3 2.100 3.300 2.800

… 2.800

40. Una persona ha obtingut 6000 ! de benefici per invertir un total de 60 000 !en tres empreses: A, B i C. La suma dels diners invertits en A i B va ser m ve-gades els invertits en C i els beneficis van ser el 5 % en l’empresa A, el 10 %en la B i el 20 % en la C.

a) Planteja un sistema d’equacions per esbrinar la quantitat invertida en cadaempresa.

b) Prova que si m > 0 el sistema és comptable determinat.

c) Troba la solució per a m = 5.

a) a = diners invertits en l’empresa A a + b + c = 60.000b = diners invertits en l’empresa B a + b = mcc = diners invertits en l’empresa C

a · + b · + c · = 6.000

b) ( )Cal que m > 0 per tal que sistema compatible determinat

c) ( )Solució: Si m = 5 $ 6c = –60.000

Si m = c = 10.000, b = 30.000, a = 20.000

41. Les edats d’un noi, el seu pare i el seu avi compleixen les condicions següents:la suma de les edats del pare, del fill i el doble de la de l’avi fa 182 anys. El do-ble de l’edat del fill més la de l’avi fa 100 anys i l’edat del pare és (( vegades ladel seu fill.

a) Troba les edats dels tres suposant que (( = 2.

b) És possible que (( = 3?

c) Si (( = 3 i en la primera condició la suma és 200, què passa amb el problema?

a)$

Solució: Si ( = 2 $ f = 18 anys, p = 36 anys, a = 64 anys

2a + p + f = 182a + 2f = 100p – (f = 0

!%"%#p + f + 2a = 182

2f + a = 100p = (f

!%"%#f = edat del noi o fillp = parea = avi

1 1 1 60.0000 5 15 | 300.0000 0 m –60.000

1 1 1 60.0001 1 –m | 05 10 20 600.000

!%"%#a + b + c = 60.000a + b – mc = 05a + 10b + 20c = 600.000

!%"%# 20100

10100

5100


b)$ ( ) ( )

( )Solució: Si ( = 3 Sistema incompatible $ No solució

c) Sistema incompatible ja que la 3a equació no es pot solucionar.

42. Tres amics acorden jugar tres partides de daus de forma que, quan un perdi,donarà a cada un dels altres dos una quantitat igual a la que cada un posseei-xi en aquell moment. Cada un va perdre una partida, i al final cada un tenia24 !. Quant tenia cada jugador en començar?

Fem una taula que resumeixi la situació:

( ) $

( ) $ ( ) $ ( )Solució: El jugador que va perdre primer tenia 39 !; el que va perdre en segon lloc

tenia 21 !, i el que va perdre en tercer lloc tenia 12 !.

43. Si tenim un sistema compatible indeterminat de 2 equacions lineals amb2 incògnites, es pot aconseguir un sistema incompatible afegint-hi una ter-cera equació?

Sí. Per exemple:

Incompatible Compatible indeterminat!"#

x + 2y = 32x + 4y = 6x + 2y = 1

!%"%#

!%"%#z = 12y = 9 + z = 21x = 6 + y + z = 39

!%"%#x – y – z = 6

y – z = 92z = 24

1 –1 –1 60 1 –1 | 90 0 2 24

1a2a3a + 2a

1 –1 –1 60 1 –1 | 90 –1 3 15

1a2a : 23a : 2

1 –1 –1 60 2 –2 | 180 –2 6 30

1a2a + 1a3a + 1a

1 –1 –1 6–1 3 –1 | 12–1 –1 7 24

!%"%#x – y – z = 6

–x + 3y – z = 12–x – y + 7z = 24

!%"%#4x – 4y – 4z = 24

–2x + 6y – 2z = 24–x – y + 7z = 24

2 1 1 1820 1 –3 | –180 0 (–3 –18

2a – 3a

2 1 1 1820 1 –3 –180 1 –( 0

(1a) – 2 (2a)

2 1 1 1821 0 2 1000 1 –( 0

!%"%#2a + p + f = 182a + 2f = 100

p – (f = 0


COMENÇAMENT 1a PARTIDA 2a PARTIDA 3a PARTIDA

1r QUE PERD x x – y – z 2x – 2y – 2z 4x – 4y – 4z

2n QUE PERD y 2y –x + 3y – z –2x + 6y – 2z

3r QUE PERD z 2z 4z –x – y + 7z

44. Si a un sistema de 2 equacions amb 2 incògnites incompatible li afegim unaaltra equació, podríem aconseguir que fos compatible indeterminat? I deter-minat? Justifica les respostes.

No. Si el sistema és incompatible, les dues equacions inicials són contradictòries.Afegint una altra equació, no podem canviar aquest fet; el sistema seguirà sent in-compatible.

45. Quantes solucions té el següent sistema si a és diferent de 1. I si a és igual a1? Pot ser incompatible?

Si a ' 1 té única solució, x = y = z = 0

Si a = 1 sistema compatible indeterminat $ Té infinites solucions

No pot ser mai incompatible.

Pàgina 29

46. És possible convertir aquest sistema en compatible indeterminat si hi can-viem un signe?

No, a més de canviar el signe perquè les dues equacions deixessin de ser contra-dictòries, caldria que existís una altra incògnita (per tenir així més d’una solució po-sible).

47. Donades les equacions:

a) Afegeix-hi una equació perquè el sistema sigui incompatible.

b) Afegeix-hi una equació perquè el sistema sigui compatible determinat.

Justifica en cada cas el procediment seguit.

a) Perquè sigui incompatible, l’equació que afegim ha de ser de la forma:

a (3x – 2y + z) + b (2x – 3y + z) = k con k ' 5a – 4b.

Si agafem, per exemple, a = 1, b = 0, k = 1, queda:

3x – 2y + z = 1

Afegint aquesta equació, el sistema seria incompatible.

b) Per exemple, afegint y = 0, queda:

Compatible determinat!%"%#

x = 9y = 0z = –22

!%"%#3x + z = 52x + z = –4

y = 0

!%"%#3x – 2y + z = 52x – 3y + z = –4

y = 0

3x – 2y + z = 52x – 3y + z = –4

!"#

x + y + 2z = 0(a – 1) x = 0

x + 3z = 0

!%"%#


48. Defineix quan dos sistemes d’equacions lineals són equivalents. Justifica sisón equivalents o no els sistemes següents:

Dos sistemes d’equacions lineals són equivalents quan totes les solucions del1r sistema ho són també del 2n, i a la inversa.

Els dos sistemes donats no són equivalents, atès que el 1r és compatible indetermi-nat (té infinites solucions) i el 2n és determinat (només té una solució).

49. Siguin S i S' dos sistemes equivalents amb solució única que tenen igualsels termes independents. Podem assegurar que tenen iguals els coeficientsde les incògnites?

No. Per exemple, els sistemes:

S: S':

són equivalents, amb solució única (2, 1), tenen iguals els terme independents,però no els coeficients de les incògnites.

PER APROFUNDIR

50. Troba raonadament dos valors del paràmetre a per als quals el sistema se-güent sigui incompatible:

( ) $ ( ) $

( ) Si a = 1 o a = 6, el sistema és incompatible.

1 1 2 0a – 1 0 0 1

1 0 3 | 20 0 a – 6 –1

1a 2a3a4a – 2 · 3a

1 1 2 0a – 1 0 0 1

1 0 3 | 22 0 a 3

1a 2a – 1a3a4a

1 1 2 0a 1 2 11 0 3 | 22 0 a 3

!%%"%%#

x + y + 2z = 0ax + y + 2z = 1

x + 3z = 22x + az = 3

x + y + 2z = 0ax + y + 2z = 1x + 3z = 2

2x + az = 3

!%%"%%#

2x – y = 32x – 3y = 1

!"#x + y = 3x – y = 1

!"#

x = 2y = 1z = –1

!%"%#x + y + z = 2x + y – z = 4

!"#


51. Discuteix els sistemes següents en funció del paràmetre a i els resols en elcas que siguin compatibles indeterminats:

a) b)

a) ( ) $

( )• Si a = 1, queda:( ) $ Sistema incompatible

• Si a = 2, queda:( ) $ ( ) $$ Sistema compatible indeterminat

El resolem en aquest cas:

Solucions: (1 – &, 0, &)

• Si a ' 1 i a ' 2 $ Sistema compatible determinat

b) ( ) $ ( ) $

( ) $ ( )a ' 0

–a2 + a + 2 = 0 $ a = = a = –1a = 2

–1 ± 3–2

–1 ± *1 + 8–2

–1 0 1 12 a 0 | 2

–a2 + a + 2 0 0 2 – a

1a2a –a · 3a + 2a

–1 0 1 12 a 0 | 2

a – 1 1 0 1

1a2a 3a + 1a

–1 0 1 12 a 0 | 2a 1 –1 0

3a2a 1a

a 1 –1 02 a 0 | 2–1 0 1 1

!%"%#ax + y – z = 02x + ay = 2–x + z = 1

!%"%#x + z = 1 $ x = 1 – z

y = 0z = &

!%"%#x + y + z = 1

y = 0

1 1 1 10 0 0 | 00 1 0 0

1a2a + 3a3a

1 1 1 10 –1 0 | 00 1 0 0

1 1 1 00 –1 –1 | 10 0 0 1

1 1 1 a – 10 –1 a – 2 | –a + 20 a – 1 0 2 – a

1a2a – 2 · 1a3a – 1a

1 1 1 a – 12 1 a | a1 a 1 1

!%"%#x + y + z = a – 1

2x + y + az = ax + ay + z = 1

ax + y – z = 02x + ay = 2–x + z = 1

!%"%#x + y + z = a – 1

2x + y + az = ax + ay + z = 1

!%"%#


• Si a = –1, queda:( ) $ Sistema incompatible

• Si a = 2, queda:( ) $ ( )Sistema compatible indeterminat

Solucions: (&, 1 – &, 1 + &)

• Si a ' –1 i a ' 2 $ Sistema compatible determinat

52. Discuteix el sistema següent segons els valors del paràmetre a. Interpreta’lgeomètricament:

( ) $

( ) $ ( )• Si a = 1, queda:( ) $ Sistema incompatible

Els dos primers plans són paral·lels, i el tercer els talla.

• Si a = –1, queda:( ) $ Sistema incompatible

Els dos últims plans són paral·lels, i el primer els talla.

• Si a ' 1 i a ' –1 $ Sistema compatible determinat. Són tres plans que es ta-llen en un punt.

1 1 1 –1–2 0 0 | 50 0 0 2

1 1 1 –10 0 0 | 50 –2 0 2

1 1 1 –1a – 1 0 0 | 5

0 –a – 1 0 2

1a2a – 1a3a – 1a

1 1 1 –1a 1 1 | 41 –a 1 1

2a1a 3a

a 1 1 41 1 1 | –11 –a 1 1

!%"%#ax + y + z = 4

x + y + z = –1x – ay + z = 1

!%"%#ax + y + z – 4 = 0x + y + z + 1 = 0x – ay + z – 1 = 0

ax + y + z – 4 = 0x + y + z + 1 = 0x – ay + z – 1 = 0

!%"%#

z = 1 + xy = 1 – xx = &

!%"%#–x + z = 1x + y = 1

–1 0 1 11 1 0 | 10 0 0 0

1a2a : 23a

–1 0 1 12 2 0 | 20 0 0 0

–1 0 1 12 –1 0 | 20 0 0 3


PER PENSAR UNA MICA MÉS

53. Resol el sistema següent:

! Si sumes les cinc igualtats, n’obtindràs una altra amb què se’t poden simplificarmolt els càlculs.

Sumant les cinc igualtats, obtenim:

4x + 4y + 4z + 4t + 4w = 76, és a dir:

4(x + y + z + t + w) = 76, o bé:

x + y + z + t + w = 19

Per tant: (x + y + z + t) + w = 17 + w = 19 $ w = 2

(x + y + z + w) + t = 16 + t = 19 $ t = 3

(x + y + t + w) + z = 15 + z = 19 $ z = 4

(x + z + t + w) + y = 14 + y = 19 $ y = 5

(y + z + t + w) + x = 14 + x = 19 $ x = 5

54. Ens diuen que x, y, z, t, w són nombres enters i que k val 36 o 38. Decideixraonadament quin dels dos és el seu valor i resol el sistema:

!%%"%%#

x + y + z + t = 35x + y + z + w = 36x + y + t + w = 38x + z + t + w = 39

y + z + t + w = k


y + z + t + w = k

!%%"%%#

!%%"%%#


y + z + t + w = 14


y + z + t + w = 14

!%%"%%#


!%%%%"%%%%#

Sumant les cinc igualtats, obtenim:

4x + 4y + 4z + 4t + 4w = 148 + k, és a dir:

4(x + y + z + t + w) = 148 + k, o bé:

x + y + z + t + w = 37 +

Si x, y, z, t, w són nombres enters, llur suma també ho serà; així doncs, k hade ser múltiple de 4. Com que ens diuen que val 36 o 38, tenim que ha de ser k = 36(ja que 38 no és múltiple de 4).

Resolem el sistema, ara que sabem que k = 36:

La suma de les cinc igualtats donarà lloc a:

x + y +z + t + w = 37 + = 37 + 9 = 46

Per tant: (x + y + z + t) + w = 35 + w = 46 $ w = 11

(x + y + z + w) + t = 36 + t = 46 $ t = 10

(x + y + t + w) + z = 38 + z = 46 $ z = 8

(x + z + t + w) + y = 39 + y = 46 $ y = 7

(y + z + t + w) + x = 36 + x = 46 $ x = 10

55. Una colla de 6 obrers es compromet a podar els arbres d’una plantació.Treballen de dilluns a dissabte. Cada dia, cinc d’ells poden i el sisè els atén (re-posa eines, els dóna aigua, arreplega els troncs que cauen…). Cada obrerpoda el mateix nombre d’arbres cada dia, és a dir, si l’Albert poda 8 arbres undia, podarà 8 arbres cada dia que intervingui. Els resultats són:

Dilluns: 34 arbres podats.

Dimarts: 36 arbres podats.

Dimecres: 37 arbres podats.

Dijous: 38 arbres podats.

Divendres: 40 arbres podats.

Dissabte: 33 arbres podats.

Calcula quants arbres diaris poda cada un dels sis obrers sabent que cap d’ellspoda els sis dies.

Anomenem:

a = nombre d’arbres que poda l’obrer que descansa dilluns.

b = nombre d’arbres que poda l’obrer que descansa dimarts.

c = nombre d’arbres que poda l’obrer que descansa dimecres.

d = nombre d’arbres que poda l’obrer que descansa dijous.

e = nombre d’arbres que poda l’obrer que descansa divendres.

f = nombre d’arbres que poda l’obrer que descansa dissabte.

364

k4


Tenim el següent sistema d’equacions:

b + c + d + e + f = 34

a + c + d + e + f = 36

a + b + d + e + f = 37

a + b + c + e + f = 38

a + b + c + d + f = 40

a + b + c + d + e = 33 o 35

Sumem totes les equacions:

5a + 5b + 5c + 5d + 5e + 5f = 218 o 220

5 (a + b + c + d + e + f ) = 218 o 220

218 no és múltiple de 5, per tant el total ha de ser 220 (el dissabte es poden 35 ar-bres)

a + b + c + d + e + f = 44

a + b + c + d + e + f = 44 $ a + (b + c + d + e + f ) = 44 $ a + 34 = 44 $ a = 10

b + 36 = 44 $ b = 8

c + 37 = 44 $ c = 7

d + 38 = 44 $ d = 6

e + 40 = 44 $ e = 4

f + 35 = 44 $ f = 9


1 matematiques

Documents

Transcript of 1 matematiques