ORIENTACIONS PER A UN DESENVOLUPAMENT

ENCULTURADOR DEL CURRÍCULUM DE

MATEMÀTIQUES

Xavier Vilella Miró

Juliol, 2007

Identitat, igualtat i diversitat

Tres principis, tres eixos bàsics de l’educació intercultural. Com ja s’ha

dit, no es tracta d’incorporar nous continguts ni noves estratègies o formes

organitzatives revolucionàries, desconegudes per part de mestres i professors.

Llavors, de què es tracta?

Des del meu punt de vista, hi ha dues peces claus per a fer realitat

aquesta educació basada en presentar la cultura de manera que connecti amb

els referents culturals de context, i faciliti l’adquisició de competències

necessàries per a la vida i per a la comprensió del món en el que vivim:

- les tasques que proposem als alumnes,

- i la gestió que d’aquestes activitats fem a l’aula de matemàtiques.

La tria de les propostes que llencem a la classe és una funció específica

del professorat: hauria de ser un àmbit de decisió exclusiu nostre i una

responsabilitat innegable. Però sovint aquesta funció es delega en el llibre de

text que es fa servir.

“Seguir el llibre” és un eufemisme d’una delegació de decisions i

responsabilitats que mai hauria de permetre el mestre1 o el professor, donat

que si aquest determinat llibre de text tingués la transcendència que

aparentment se li dona, la seva redacció s’encarregaria als més afamats

educadors matemàtics del món en general, i del nostre país, en particular, i

1 Estalviaré a qui llegeixi aquest informe l’ús de “els/les mestres i els/les professors/professores”, com el

de “els/les alumnes” o “els/les nens/nenes”, sense que això signifiqui cap mena de menyspreu a la

importància del gènere a l’hora d’escriure per part de l’autor.

això, com sabeu, no és així, en la majoria de casos. També s’hauria de notar

aquesta transcendència en la fase de tria de llibre de text en cadascun dels

centres, cosa que tampoc revesteix d’aquesta importància i profunda reflexió.

Finalment, la crítica dels llibres de text, des del nostre sector professional, seria

intensa, argumentada, exigent, i revisada constantment, cosa que tampoc es

produeix.

Per tant, podem concloure que la delegació de la responsabilitat en la

tria de les activitats proposades als alumnes a l’aula de matemàtiques en el

llibre de text no es fa, en general, de forma conscient, després d’un debat sobre

l’adequació d’aquesta tria als alumnes concrets de cada centre educatiu, sinó

atenent a altres variables i, per tant, és un primer obstacle en el camí de

l’educació intercultural a la que pretenem arribar.

Així doncs, la tria d’activitats ve molt sovint condicionada per aquest

recurs anomenat llibre de text. Però també el currículum hi juga un paper

important. De fet, el currículum hauria de marcar les línies de treball dels llibres

de text. Però la realitat és que les editorials són empreses fetes per a guanyar

diners i sempre poden argumentar que fan els llibres que els professionals

volen comprar, no els millors llibres per a educar (en el supòsit que sàpiguen

quins podrien ser aquests llibres). I afirmen que els llibres que es volen comprar

tenen unes característiques molt concretes, relacionades amb un ús mecànic i

que no exigeixi la presa de decisions, amb una llarga llista d’exercicis les

solucions dels quals estigui disponible al mestre o professor, etc.

Per tant, si volem arribar a fer realitat a les aules els tres principis d’una

educació intercultural caldrà aconseguir que el professorat assumeixi la

responsabilitat professional de triar les activitats que proposarà a l’aula seguint

uns criteris dels que parlo més endavant.

Respecte del currículum, cal restablir la seva importància, cal que el

professorat comprengui quin és el seu paper, que va lligat al punt anterior. Cal

que reflexioni sobre els diferents currículums que conviuen en un centre

educatiu (l’oficial, l’implementat, l’après, l’ocult) i com es relacionen,

s’interfereixen, interactuen. Aquesta veritable autoavaluació hauria de formar

part del dia a dia de tot el professorat. Avui dia hi ha programes de formació

continua del professorat que treballen d’alguna manera en aquesta línia, com el

de pràctica reflexiva del Departament d’Educació de la Generalitat i també

alguns assessoraments a centre.

El segon aspecte clau del que parlava és la gestió de l’activitat a l’aula

de matemàtiques. Una bona activitat rica, oberta, complexa, amb repte

matemàtic, pot trair els principis d’identitat, igualtat i diversitat, si la gestió que

se’n fa a l’aula no és l’adequada. En aquest sentit, un punt essencial serà la

gestió de la participació que es faci: tota aula de matemàtiques és una

comunitat de pràctiques, siguin aquestes les que siguin, però el professorat ha

d’aconseguir que es converteixi en una comunitat d’indagació2. Aquest procés

de transformació incorpora elements imprescindibles per fer de la participació

un eix de treball en valors a l’aula. La participació rica ajuda a treballar, des de

les matemàtiques, els valors personals, morals i socials. Alhora, donat que

permet l’entrada a l’aula del coneixement de fora del centre, en un ambient de

debat entre iguals en el que finalment es pot produir la validació de

coneixement matemàtic, també ajuda a trencar la invisibilitat del divers, i

possibilita la negociació de significats. Hi ha respecte, hi ha reflexió, hi ha

eficàcia, hi ha diàleg, hi ha crítica. Més endavant posaré alguns exemples

sobre tot això.

Amb unes fotografies i bones intencions, no n’hi ha prou

Podríem pensar que tenir en compte la realitat multicultural de les

nostres aules vol dir presentar dibuixos i fotografies multiculturals per a il·lustrar

les explicacions i els exercicis: amb alumnes de diferents ètnies o races

treballant plegats, per exemple. O bé parlar a classe de les aportacions dels

àrabs en l’arribada a Europa i el desenvolupament de l’àlgebra. O fer saber als

nostres alumnes que els maies, abans de l’arribada de Colom a Amèrica, ja

coneixien el zero i l’usaven en el seu sistema de numeració vigesimal. És cert

que això cal tenir-ho en compte, però la realitat va molt més enllà d’aquest

aspecte. Cal usar imatges on apareguin diferents models d’alumnes, és clar

que sí, com aquesta:

2 Estem treballant aquest tema en el grup EMiCS (Educació Matemàtica i Context Sociocultural), Grup

de Recerca Consolidat de la Direcció General de Recerca de la Generalitat de Catalunya. Alguns dels

primers resultats del nostre treball els podeu trobar al núm. 232 de la Biblioteca de UNO, que porta per

títol “Matemáticas e interculturalidad”, de l’editorial Graó.

Hem de parlar de les aportacions no occidentals al desenvolupament de

les nostres Matemàtiques. Tot això és correcte i s’ha de fer. Però aquestes

actituds ben intencionades no passen de l’anècdota. Si volem arribar a la

categoria, cal fer un altre plantejament, molt més profund, molt més

compromès, molt més complex: l’enculturació del currículum de Matemàtiques.

Equitat, també a l’aula de Matemàtiques

Hi ha qui pensa que les matemàtiques, com són universals i s’expressen

amb un llenguatge lògic i estructurat universalment acceptat, no participen en la

responsabilitat de assegurar l’equitat per a tot l’alumnat. Creuen que unes

classes ben preparades, ben explicades, amb exemples i exercicis d’aplicació,

són les ideals per oferir a tothom les mateixes oportunitats d’aprendre i, si hi ha

diferents resultats, no són deguts a la didàctica utilitzada sinó a les diferències

individuals de cada alumne. Uns arriben a accedir l’estructuració de les

Matemàtiques i d’altres no, i no s’hi pot fer res més.

Aquest plantejament, molt determinista, avui dia (i des de fa anys) és

refutat completament per la investigació en educació matemàtica. Els estudis

realitzats a diferents parts del món mostren que:

- la universalitat de les Matemàtiques només té sentit (i no en

termes absoluts) en el seu punt final de producció acabada i

contrastada, acceptada per la comunitat mundial de matemàtics, però no

és així en termes d’educació matemàtica.

- les matemàtiques formen part de la cultura d’un poble i en

són un dels seus més importants productes culturals

- a les aules de matemàtiques apareix el conflicte cultural

però sovint resulta invisible als ulls del professorat

- els alumnes més afectats per aquesta mena de conflictes

són els alumnes immigrats que provenen de països pobres

Universalitat de les MatemàtiquesCal tenir en compte que moltes maneres de fer matemàtiques són el

resultat de la interacció entre les persones i l’entorn i, per tant, les pràctiques

matemàtiques que ens inventem els humans es corresponen amb la cultura en

la que estem immersos3. Un exemple del que dic el trobem en alguns

algoritmes, com el de la resta. Us presento4 dues restes efectuades per un

alumne magrebí que es va passar un any aprenent les taules, i a sumar i

restar, a l’aula d’educació especial d’una escola perquè els mestres que el van

acollir en arribar al nostre país no van ser capaços d’establir correctament el

que sabia. Una decisió errònia que va fer perdre en part a aquest alumne un

any de formació. Ell restava així:

El fet que existeixin algoritmes diferents per a realitzar les mateixes

operacions ens indica que cal tenir en compte i, fins i tot, presentar als alumnes

algunes d’aquestes realitats, donat que modelen el seu pensament sobre la

3 Bishop,Alan J. (1999): “Enculturación matemática. La educación matemática desde una perspectiva

cultural”. Ed. Paidós, temas de educación. Barcelona.4 Gorgorió, N, Planas, N., Vilella, X. (2000): “The cultural conflictin the mathematics classroom:

overcoming its invisibility”, en A. Ahmed, J. M. Kramer y H. Williams (Eds.): Cultural diversity in

mathematics (Education): CIEAEM51 (pp. 179-185). Chichester: Horwood Publishing.

relació entre les matemàtiques i les cultures del món5. Els alumnes han de

saber que la manera concreta de fer matemàtiques no és idèntica arreu del

món, i que alguns companys seus acabats d’arribar de terres llunyanes poden

saber fer matemàtiques, pensar matemàticament, però usant pràctiques

diferents.

També cal tenir en compte que això no afecta exclusivament als

alumnes vinguts de països del tercer món, sinó que afecta a alumnes que

vinguin, per exemple, dels EEUU o d’altres punts d’Amèrica. En aquests

països, les divisions es fan una mica diferents de les nostres6:

Per tant, convé mostrar a l’alumnat exemples de pràctiques

matemàtiques diferents no solament de països pobres, que podria fer creure

que tots els altres (els països rics) tot ho fem igual, a la manera anomenada

“occidental”, i que els diferents són els països pobres. I això no és cert.

Les raons de mostrar aquesta mena d’exemples a l’alumnat no s’acaben

en la conveniència de ser inteculturalment correctes, sinó que cal tenir en

compte que mostrar diverses maneres de fer matemàtiques ajuda a reforçar la

comprensió profunda dels conceptes i procediments matemàtics involucrats en

5 Vilella X. (2007): “Enseñar y aprender matemáticas en un aula multicultural: análisis y pautas” Editorial

Horsori, Barcelona. En prensa.6 Conferència impartida en la Societat Catalana de Matemàtiques sota el títol “Matemàtica i cultures: una

relació pendent d’aprofundir”

aquestes pràctiques i no quedar-se en els aspectes més formals, en els que

moltes vegades es queden els alumnes.

Una manera interessant de presentar una activitat d’aquesta mena a

classe podria ser mostrar als alumnes dos maneres de fer una mateixa

proposta, i deixar que siguin ells qui descobreixin les semblances i diferències.

Un debat en gran grup acabaria l’activitat, i el professor ha de destacar

específicament el concepte profund que hi ha darrere de totes dues maneres

de fer.

L’aula de MatemàtiquesCal partir de la idea que cadascú té d’una aula de matemàtiques, del que

s’hi ha de fer, cal establir de quina idea d’aula de matemàtiques partim.

Si l’aula de matemàtiques s’entén com:

- un espai de transmissió del saber matemàtic acumulat

durant mil·lenis, les coses aniran d’una manera.

- Si, en canvi, la considerem com un espai que ajudi als

alumnes a comprendre la realitat, a reconstruir el coneixement

matemàtic, i que permeti transformar la realitat, aniran d’una altra

manera.

En el primer cas, la conseqüència immediata serà la frustració: ni amb

totes les hores de la setmana dedicades a donar Matemàtiques podrem

transmetre una petita part del coneixement atresorat durant tant de temps; pocs

alumnes, molt pocs, podran accedir a aquest coneixement enciclopèdic.

Possiblement, tampoc serviria de massa una vegada l’alumne intenti usar-lo

per comprendre – i, eventualment, canviar - el món actual en el que viu. No cal

insistir en que els culturalment més diversos quedaran immediatament exclosos

d’aquesta aula de matemàtiques. D’altres aniran caient pel camí.

Si atenem al socioconstructivisme, el coneixement és una construcció

personal en interacció amb altres persones. Cal que l’alumne s’impliqui en

l’aprenentatge, i cal un professor que acompanyi i doni suport a cadascun dels

alumnes en aquest camí. Per tant, l’aula de matemàtiques ha de tenir un

vessant instructiu, però encara és més important el vessant formatiu.

Podem considerar l’aula7:

- com un espai d’implicació, en el que es crea un conflicte

cognitiu a partir del qual es promou l’activitat mental dels alumnes: cal

que les tasques que es proposen tinguin sentit per als alumnes.

- Com un espai d’autoconeixement, en el que l’alumne faci

una reflexió personal sobre el propi aprenentatge i sobre les pròpies

capacitats. Cal, per tant, analitzar i reflexionar sobre el procés seguit en

la resolució de les tasques proposades. Això es relaciona amb

l’avaluació, que no es pot dedicar a buscar allò que l’alumne no sap fer,

allò que cal corregir, ans al contrari, cal anar-los descobrint les seves

qualitats. Valorar més el que s’ha après que no el que no se sap. En

aquest ambient de treball, l’error ha de ser considerat una oportunitat de

debat en grup, de reforç de conceptes, de refer una part del camí per

aconseguir l’aprenentatge de tothom. Pels alumnes culturalment molt

diferents això és crucial.

- Com un espai d’autonomia, si entenem l’educació com

aprendre a aprendre, saber posar en marxa els recursos personals de

cadascú per afrontar els reptes de la vida. A més autonomia, menys

ajudes caldrà donar. Les activitats que es proposin als alumnes han de

permetre la planificació i la recerca, només així es poden desenvolupar

la iniciativa i l’autonomia.

- Com un espai de comunicació, donat que el llenguatge

permet construir i reestructurar el coneixement. L’aprenentatge, que és

personal, es basa en un procés que és social, resultat de la interacció.

Interacció entre iguals i amb el professor.

o Cal afrontar la negociació de les normes de classe

(socials), i de les normes a l’hora de resoldre una activitat

matemàtica (normes de la pràctica matemàtica). Explicitar-les és

una condició necessària per a afrontar amb garanties un activitat.

o Fomentar els informes escrits sobre les activitats.

o Promoure la revisió i avaluació de textos sobre

activitats matemàtiques, tant a nivell personal com en grup.

7 Adámiz-Echevarría, M. del Mar, et al. (2000): “Com ens ho fem? Propostes per educar en la diversitat”.

Biblioteca de Guix, nº 119, Ed. Graó, Barcelona.

Què ens diu la investigació en Educació Matemàtica sobre les

tasques a proposar?

La majoria d’investigacions en Educació Matemàtica, a nivell

internacional, dels últims 15 anys mostren que el paper més important del

professor de Matemàtiques és preparar contextos de treball en els que els

alumnes reflexionin sobre el que fan, en el camí d’una reconstrucció del

coneixement matemàtic. Aquesta reconstrucció es basa en un currículum que

ha de tenir tres components fonamentals8:

- el component simbòlic: el seu principi és abraçar, caldran

activitats per a tots els conceptes. Mostra a l’alumne quines són les

idees matemàtiques que val la pena conèixer.

- el component social9: en aquest cas, el principi és

exemplificar, usant situacions realment paradigmàtiques. Mostra als

alumnes com s’utilitzen les matemàtiques.

- el component cultural: com i per què es van generar les

idees matemàtiques. Mostra com és l’activitat matemàtica, com

s’inventen, i els permetrà començar a accedir al nivell tècnic de les

matemàtiques.

Aquests tres components han de ser presents en el currículum,

superposats, en interacció, i equilibrats. Cadascun d’aquests components

demana un tipus diferent d’activitats.

1. Per al component simbòlic , que es basa en conceptes,

caldrà:

a. explicar fenòmens,

b. cercar patrons i regularitats en situacions diverses,

c. posar èmfasi en l’estructura i no en els detalls,

d. representar usant diferents codis,

e. generalitzar,

f. connectar conceptes i estructures,

8 Bishop,Alan J. (1999): “Enculturación matemática. La educación matemática desde una perspectiva

cultural”. Ed. Paidós, temas de educación. Barcelona.9En la traducció al castellà del seu llibre Bishop ustilitza el terme “Societal”

g. presentar models.

Cal, per tant, crear entorns adequats per a aquesta mena d’activitats.

Entorns en els que l’activitat estigui relacionada amb un context real, que porti a

discussions conceptuals, a la reflexió i l’anàlisi mitjançant preguntes

intencionals, i que acabi amb explicacions, argumentacions, raons,

comunicació d’idees matemàtiques. Interacció entre alumnes, necessitat de la

demostració, les regles de la raó com a recurs...

Un exemple d’aquest tipus d’activitats seria la que presento a

continuació. Es tracta d’una activitat introductòria a l’àlgebra per a alumnes

d’ESO. Habitualment, es pretén que l’alumnat comprengui la utilització del

llenguatge simbòlic a partir d’una seqüència d’activitats en les que un text es va

convertint en una equació. Primer, passant potser per un dibuix de l’objecte

(cosa que és més que discutible des del punt de vista del significat, donat que

la variable no és l’objecte sinó algun atribut d’ell, com per exemple el preu), i

després el dibuix es substitueix per la x. L’encert que pugui haver en aquesta

manera de presentar el tema no és compartit per diferents grups de recerca i

innovació de Catalunya10, que proposen maneres alternatives de començar-lo.

L’activitat comença amb una reflexió molt poc habitual a les aules

de matemàtiques: ¿què puc saber i què no puc saber del cert sobre una

informació que se’m dona? Amb una bateria de 20 preguntes, totes elles

buscant la reflexió i el debat, es pot introduir als alumnes en el

pensament algèbric a partir del pensament aritmètic, de la

proporcionalitat.

QUÈ PODEM SABER DEL PREU DE LES COSES? (1)

2 pizzas i 3 amanides costen 19,90 euros.

1) Pots saber què costa 1 pizza i 2 amanides? Raona la resposta.

10 Grup Vilatzara (2006): “

2) 4 pizzes i 6 amanides, quant costen? Per què?

3) Explica què més puc saber amb aquestes dades.

4) Raona que 2 pizzes no poden costar 20 euros.

5) Raona que 1 amanida no pot costar més de 6 euros.

6) Raona que cada pizza no pot costar més de 9 euros.

7) Raona que 4 pizzes i 7 amanides costen més de 39 euros.

8) Digues 5 possibles preus de l’amanida i els corresponents de cada

pizza.

QUÈ PODEM SABER DEL PREU DE LES COSES? (2)

Observa el preu de 4 porcions i 6 refrescos: 17,60 €

9) Raona per què no puc saber el preu d’1 porció i 1 beguda

10) Què podem saber del preu de 4 begudes i 2 porcions?

11) Digues 5 coses que podem asegurar a partir de la informació que

tenim.

12) Raona si pots saber el preu de 8 porcions i 12 begudes

QUÈ PODEM SABER DEL PREU DE LES COSES? (3)

Observa el preu de 3 porcions i 3 begudes: 12 €

13) Raona per què ara ara puc saber el preu conjunt d’una porció i una

beguda. Quant és?

14) Explica per què puc saber quant costen 5 begudes i 5 porcions

15) Indica 6 coses que podem saber a partir de les dades que tenim ara.

16) Raona per què no puc saber el preu de 2 porcions i una beguda

només amb la informació d’aquesta 3ª part.

17) Si sabem també el que coneixíem abans (el preu de 6 refrescos i 4

porcions), explica com ho fas per esbrinar el menú d’1 porció i 3 begudes

18) Pots saber el preu de 5 porcions i 15 begudes? Raona la resposta

19) Pots saber ara el preu de cada beguda i el preu de cada porció?

20) Calcula-ho, si has dit que sí.

En aquesta activitat, el context pot ajudar a establir alguns

possibles preus de la pizza, l’amanida o la beguda, però el professor

s’assegurarà que els alumnes vegin la diferència entre estimar alguns

possibles preus i establir amb certesa els preus que s’han pagat en

aquest cas concret.

Els alumnes queden inicialment molt sorpresos de que se’ls

demani una argumentació sobre si es pot o no saber el preu de alguna

cosa: estan acostumats sempre a buscar resultats, i les matemàtiques

són per a ells una tècnica per a obtenir resultats. Ara veuen que es pot

disposar de molta informació encara que el resultat exacte no sigui

possible obtenir-lo.

Aquesta mena de tasques són indispensables si volem que els

alumnes ampliïn la seva visió del que són les matemàtiques i per a què

serveixen. Més endavant parlaré més a fons dels contextos.

2. Per al component social , l’activitat més adequada és el

projecte matemàtic . El projecte estudia la relació entre Societat i

Matemàtiques. El format és el de la resolució de problemes oberts,

llargs, amb poc enunciat, en els que l’alumne ha de treballar de forma

molt autònoma. En els projectes matemàtics, cal que apareguin

situacions socials reals, valors de predicció i de control de l’entorn físic,

avantatges i inconvenients de l’augment del control de les situacions,

discutir el progrés que poden representar els possibles avantatges, les

fonts d’informació, i l’anàlisi crítica del procés realitzat. El projecte

matemàtic és una activitat en context, en la que es poden formular

moltes preguntes, plantejar molts problemes, i cada projecte permet

aprofundir més en un o altre aspecte.

En aquest entorn de treball l’alumne ha d’inspirar-se en experts, treure

idees , inspirar-se en altres autors.

Alguns exemples possibles són11:

a. les torres de guaita al litoral,

b. la hivernació dels ossos

c. la construcció de les piràmides d’Egipte,

d. la determinació del metre com a unitat internacional,

e. la durada d’un any,

f. l’orientació al Pol Nord,

g. Rellotges de sorra, d’aigua i de sol,

h. la perspectiva a la pintura,

i. la codificació de missatges secrets,

j. la proporció àuria a l’arquitectura,

Altres més lligats amb el món actual són:

a. comprar un automòbil,

b. l’home a la lluna,

c. la predicció meteorològica,

d. el creixement planificat de pobles i ciutats,

e. les enquestes d’opinió,

11 Alguns d’aquests aspectes estan desenvolupats en els treballs del Grup Vilatzara i específicament en un

llibre seu: Grup Vilatzara, (2006): “¿Se puede viajar con las matemáticas?” Colección Matemáticas y

f. les dades informàtiques,

g. la millora del trànsit a les cruïlles,

h. la gestió de cues,

i. els residus i la seva gestió,

j. robòtica i qualitat de vida

Pel professor, la creació de contextos d’aquesta mena és una dificultat i,

per tant, el llibre de text podria proposar-ne alguns en els que quedi clar el

lligam que s’ha de donar entre els coneixements dels alumnes i la situació

social que es va a explorar. D’aquesta manera, el professor rep l’ajuda del llibre

en aquest punt, i pot triar els que millor s’adaptin als seus alumnes. No oblidem,

però, que el més convenient és que l’alumne pugui escollir tant com pugui ser

possible el projecte en el que vol treballar.

3. Per al component cultural , convé que el professor creï un entorn

adequat per a la investigació. Un entorn en el que l’alumne sigui creatiu

per a comprendre millor de quina manera es desenvolupen les idees

matemàtiques. A diferència dels projectes, aquí l’alumne ha de ser

creatiu, ha d’escollir símbols, explorar possibilitats, formular hipòtesis,

representar relacions, establir conjectures, argumentar i demostrar, ser

precís, reflexionar sobre el propi coneixement i les passes donades...

Exemples d’aquest tipus de tasques serien les que es demana als

alumnes:

- que investiguin pautes i sumes de dígits a les taules de

multiplicar, que estudien relacions entre nombres, múltiples, etc.

- que investiguin de quines maneres poden unir triangles

idèntics pels seus costats iguals: recolliran símbols, representaran,

conjecturaran, provaran, argumentaran...

- que investiguin problemes d’ampliar una forma geomètrica

a partir d’una pauta que se’ls dona: un quadrat, ara dos quadrats en la

base i un a sobre d’ells, ara tres quadrats a la base, dos a la següent fila,

i un a la fina de dalt, etc.

Entorno, coeditado por el ICE de la Universidad Autònoma de Barcelona y la Federación Española de

Sociedades de Profesores de Matemáticas (FESPM), Badajoz.

Algunes temàtiques per aquestes breus investigacions matemàtiques

són:

a. Els mosaics romans

b. Nombres parells i senars

c. Mètodes de comptar amb el cos

d. Cerca de la jugada guanyadora en jocs de taula

e. Els quadrats màgics

f. Mesures basades en el cos humà

g. Nombres quadrats i triangulars

h. Nombres de Fibonnacci

i. El triangle de Pascal

El paper principal del professor en aquestes tasques és el

d’atendre especialment l’avenç personal dels alumnes, malgrat

que treballin en grup, perquè es basa en l’esforç personal, cosa

que haurà de quedar clara a l’hora d’encarregar la tasca.

Quines activitats proposa el professorat?

Les activitats que es proposen als alumnes determinen la imatge que

aquests tindran del que són les matemàtiques. Per tant, si el que se’ls proposa

són activitats tècniques, repetitives, en les que l’únic important és aconseguir

un resultat i no la reflexió personal i compartida, el que transmetrem a l’alumnat

serà una imatge de les matemàtiques com una tècnica que ha d’aconseguir

resultats, sense cap mena de reflexió sobre l’ús de les eines matemàtiques.

En aquest sentit, el llibre de text de Matemàtiques hauria de ser una

valuosa ajuda al professor que ha de prendre decisions d’adaptació del

currículum oficial als alumnes en concret, en la situació concreta en que es

troben, en el context concret que els envolta, a les inquietuds i interessos que

mostren. Lamentablement, pocs llibres de text acompleixen aquesta funció i,

sovint, substitueixen al professor en la presa de decisions que li són pròpies.

Si el que volem és educar interculturalment, basant-nos en els tres eixos

de:

- identitat , educant en i per a la pertinença,

- equitat , educant en i per a la igualtat,

- diversitat , educant en i per a la diversitat,

caldrà que les activitats proposades permetin a tots i cadascun dels alumnes de

l’aula participar en els tres components (simbòlic, social i cultural) del

currículum matemàtic.

L’alumne ha de participar d’experiències riques d’aprenentatge, en les

que pugui establir connexions entre idees matemàtiques i conèixer els valors

que van associats a aquestes idees, desenvolupant una comprensió àmplia del

que aprèn.

Activitats per a tots o per a uns quants?

Això no està reservat a una part de l’alumnat, els més capaços i

interessats en l’estudi, sinó que és necessari, des del punt de vista de l’equitat,

per a tots els alumnes. Encara més, els alumnes que aviat deixaran els estudis

i entraran al món del treball, ho necessiten més que els altres. L’educació

matemàtica de qualitat, profunda i significativa, permet a les persones veure el

món – i entendre’l – amb uns altres ulls. Tenir coneixement de la base

matemàtica que hi ha sota la tecnologia, dels valors associats a un o altre ús

d’aquesta base matemàtica i de les repercussions que tindrà en la societat, en

la vida de tots, dóna una competència a la persona que va més enllà de la

comprensió dels nombres en un context determinat o de la geometria que

veiem pel carrer: té relació amb la competència democràtica de les persones.

Desenvolupar la competència democràtica dels alumnes és un repte de primer

ordre si parlem del futur de la societat intercultural en la que ja vivim.

L’única manera d’aconseguir desenvolupar la competència democràtica

des de les matemàtiques és obrint espais de reflexió i de debat a les classes,

en base a activitats obertes i que facilitin la reflexió.

Per aconseguir-ho, el professorat hauria de plantejar les tasques amb un

contingut de treball que permeti en diferents moments de la seva execució

l’obertura d’espais de reflexió i debat entre iguals i l’observació del treball

desenvolupat pels alumnes:

- Pot proposar activitats en les que l’objectiu no sigui única i

exclusivament obtenir un resultat aplicant una tècnica determinada, sinó

que ajudi a comprendre com es fa servir l’eina matemàtica en la societat,

i quines repercussions té.

- Pot plantejar les millors maneres de treballar una o altra

activitat, combinant adequadament l’estona de reflexió individual, el

treball de compartir en petit grup, i la posada en comú en gran grup.

- Pot tenir determinats els elements a observar en cadascun

d’aquests moments, per facilitar la tasca d’avaluació contínua.

- Pot disposar de possibles línies d’ampliació de les activitats

per a alumnes que vulguin anar més enllà i d’altres de reconstrucció per

els que encara es trobin en un punt anterior.

Característiques de les activitats

Les propostes d’activitats que poden ajudar a que cada alumne present

en una aula pugui recórrer un camí de reconstrucció del coneixement

matemàtic propi han de tenir algunes característiques importants:

- Han de permetre camins diferents per afrontar-les i per

resoldre-les; el coneixement matemàtic de fora del centre educatiu ha de

poder entrar, ha de servir d’alguna cosa per a afrontar-les. Això farà que

els alumnes procedents d’altres cultures, i també els nascuts aquí,

puguin utilitzar coneixements i no quedi ningú fora de joc.

- El professor no ha d’avançar-se als alumnes en la

resolució, ha de deixar marge perquè els alumnes puguin trobar el seu

camí de resolució.

- La tasca ha de tenir dos moments, si més no, en el seu

desenvolupament: el del treball personal i el del treball col·lectiu,

permetent la reflexió individual i la interacció necessària per a reconstruir

el coneixement matemàtic.

- Han de contenir el repte necessari per a ser interessants

per als alumnes: sense repte no hi haurà aprenentatge significatiu.

- L’activitat proposada no ha de justificar-se en el fet que

“serveix per aprovar”, ha de tenir significat per ella mateixa i els alumnes

n’han de ser conscients abans de començar a resoldre-la.

- Les tasques han de facilitar l’observació del professor, de

manera que hi quedin clars els elements d’avaluació continua

El llibre de text

Caldria que el llibre de text:

- Proposi l’ampliació, de manera que tothom pugui trobar el

seu punt d’avenç en cada tema que es desenvolupi, respectant els

ritmes d’aprenentatge de cada alumne.

- Posi més èmfasi en la creativitat i la reflexió sobre el procés

de resolució que en la repetició i l’obtenció de resultats.

- Proposi activitats diferents (però lligades) per a cada fase

del procés d’ensenyament i aprenentatge:

o motivació i exploració: es fan les primeres

representacions d’allò que es va a estudiar, el professor pot

observar les estructures i els coneixements previs dels alumnes,

s’han de plantejar les preguntes interessants, el repte matemàtic

del conjunt de les activitats; és el moment per a explicitar els

objectius i les normes que planteja el professor

o introducció de conceptes i de models,

desenvolupament, fase de contrast entre el que cada alumne ja

sap i allò nou que arriba: confrontació.

o estructuració del coneixement, moment de la síntesi

personal i el reajustament.

o aplicació: capacitat de transferir el coneixement

adquirit a altres situacions.

Contextos i estructuració a partir del currículum m atemàtic

La importància del context en l‘aprenentatge matemàtic està avui dia fora

de dubte. Un context potent ha de ser:

- pròxim a l’alumne: la idea de proximitat que defenso no és

geogràfica sinó més aviat psicopedagògica. Tenint en compte que

podem entendre l’aprenentatge com una xarxa de conceptes i

procediments, actituds i valors, ampliada constantment per reconstrucció

i en interacció amb els altres, aquesta xarxa sempre deixa fils solts en

les vores, i la proximitat de la que parlo és trobar el contacte entre la

proposta de tasca i els fils que pengen. Proximitat amb repte, amb

desafiament una mica més enllà del que l’alumne ja sap.

- complex: presentant una proposta amb continguts realment

importants, des del punt de vista epistemològic, significatius en

l’aprenentatge de l’alumne, sense estalviar-li la complexitat de la realitat

que serà la que li permetrà:

o establir quines variables tenim, quines triem i quines

rebutgem, i pensar quines conseqüències tindrà aquesta

simplificació de la realitat

o l’elaboració d’un primer model matemàtic rústic, poc

eficaç, fins i tot gens eficaç, però que iniciarà un camí de

descobriment del per què no acaba de funcionar i el portarà a

assajar nous models millorats.

o Tot això no es pot fer sense la complexitat del

context que utilitzem.

Però no podem oblidar que l’aprenentatge matemàtic es dirigeix cap

aconseguir que l’alumnat arribi a l’estructuració del seu pensament cosa que li

permetrà un ús eficient de les Matemàtiques per a resoldre problemes de tota

mena. I aquesta estructuració no s’aconsegueix per simple acumulació de

tasques en context. Cal la intencionalitat del professor en provocar-la.

Seguint el plantejament de Freudenthal i de l’institut holandès que porta

el seu nom, ens podem plantejar la necessitat de partir d’un context i anar cap

a l’estructuració. Si ho representem en uns eixos de coordenades, en els que

l’eix d’abscisses és la matematització horitzontal i l’eix d’ordenades és la

matematització vertical, les diferents visions de les Matemàtiques es

representarien en els punts indicats:

Si entenem les Matemàtiques com una mecànica (Me en el dibuix),

voldrà dir que:

- les Matemàtiques són un sistema de regles que es mostren als alumnes:

les verifiquen i les apliquen a problemes semblants als que ha fet el

professor

- aquesta visió presenta als alumnes unes matemàtiques de perfil baix i

gens atractives

- Les dificultats per a molts alumnes van portant al professorat a fer cada

vegada més repetitius, simples i mimètics els exercicis proposats

- Desapareix el repte i el desafiament

En aquesta visió de les matemàtiques, el paper del context és el de ser una

mena de decorat:

- “Un jardí triangular té dos costats en angle recte. Un d’aquests costats

mesura 3 metres de llarg i l’altre 5 metres de llarg. Calcula l’àrea del

jardí”

E

Me C

- “En una festa hi ha un nombre determinat de persones. Hi arriben 26

persones més, i ara n’hi ha el triple de les que hi havia a l’inici. Quantes

persones hi havia al començament?”

- “Calcula quin és el preu d’un llibre sabent que un cinquè, més un sisè,

més un setè del preu menys 60 cèntims d’euro sumen la meitat del preu”

Una altra manera de veure les Matemàtiques és considerar-les com a

estructura (E en el dibuix)

En aquest cas, només trobem matematització vertical:

- Aprofundiment

- Reflexió individual i de grup

- Generalització

- Abstracció

- Argumentació, proves

- Connexions

- Modelització

I el que es tracta habitualment és:

- Aprofundir en els nombres, conjunts, propietats de les operacions

- Desenvolupar la potència de les matemàtiques

- La formalització

- La deducció, lògica, estructura, generalització...

- L’abstracció

Alguns exemples d’aquesta visió de les Matemàtiques:

- “Calcula les dimensions d’un camp rectangular que hem tancat amb 140

m. de filferro sabent que la llargària fa dues vegades l’amplària”

- Resoldre l’equació: x2 + ( x / x + 1) 2 = 1

- ¿És cert que a · ( 1+ 1/a-1) = a + (1 + 1/a-1) ?

Les Matemàtiques en context (C en el dibuix) presenten una visió

diferent de les anteriors

- Trobem molta matematització horitzontal:

o Preguntes quotidianes

o El dia a dia

o Context, que pot ser senzill o complicat, pròxim o llunyà

o Ens dóna més possibles respostes

- Es presenten exemples, situacions reals

Així doncs, ens cal matematitzar (M en el dibuix):

- En horitzontal : contextualitzant les activitats

- En vertical : estructurant i generalitzant

Pot resultar difícil de fer-ho tot a la vegada, però és possible. Podem començar

per contextualitzar i anar cap a la matematització vertical. Ho represento amb

aquesta línia corba:

L’àlgebra i la dependència funcional a l’ESO

E

Me C

M

Si pensem en el cas de l’àlgebra i la dependència funcional a l’ESO12,

l’esquema de seqüència didàctica que proposo seria partir d’un context i pujar

un esglaó en l’estructuració; seguidament, presentar un nou context i pujar un

altre esglaó. I així treballar diferents contextos però cada vegada partint d’un

punt en l’estructuració que sigui més alt que l’anterior. Una representació del

que proposo seria el següent gràfic:

12 Estem treballant en el Grup Vilatzara aquest tema actualment.

E

C1

M

C2

C3

t

Un exemple de com es pot concretar aquesta manera de treballar

l’àlgebra el tenim en els següents contextos, que estem experimentant en

el Grup Vilatzara actualment.

Context 1: Pizzes i amanides

Ja l’he presentat, és el de les pizzes i les amanides, que mostra a

l’alumnat la gran quantitat d’informació de la que es pot disposar, més

enllà de trobar un resultat concret. Aquest plantejament facilita la visió

d’unes matemàtiques que permeten l’entrada de coneixement extern al

centre, no deixa ningú fora de joc, fomenta el debat i és un desafiament

pròxim a alumnes de 2n d’ESO que comencen a estudiar l’àlgebra i la

dependència funcional.

La matematització vertical consisteix en passar al mètode de

Gauss per a resoldre sistemes de dues equacions amb dues incògnites.

D’aquesta manera, el que eren situacions contextualitzades del tipus

“tres xiclets i quatre caramels ens van costar ahir 50 cèntims d’euro; avui

hem comprat dos xiclets i cinc caramels i ens han costat 45 cèntims.

Podem saber el preu d’un caramel? I el d’un xiclet?”, ara passaran a ser

enunciats d’aquest mena, però sense enunciat de context:

3 4 � 50

2 5 � 45

Els alumnes ja no necessiten el context perquè els que ho

necessiten ho apliquen pensant en ell i, els que no ho necessiten, ho

resolen ja de manera abstracta.

Un altre exemple d’aquesta mena d’exercicis:

2 1 � 5

2 5 � 29

En aquest cas apareixeran de forma natural els valors negatius,

com els fraccionaris.

També convé posar algun exercici que plantegi un sistema

impossible de resoldre, com aquest:

t

3 4 � 5

6 8 � 10

Una vegada resolts diversos exercicis descontextualitzats que

presenten els diferents casos en la resolució de sistemes de dues

equacions amb dues incògnites, es pot plantejar un problema

específicament per a la participació rica. Un exemple podria ser aquest:

es planteja als alumnes un sistema amb l’aspecte tradicional i la potència

del context en el que han treballat és tan gran que hi apliquen el que han

après amb les pizzes i les amanides:

4x + 3y = 12,50

8x + 4y = 22

A la sessió següent, se’ls presenta la manera de resoldre’l per part

d’un company de la classe i se’ls demana que revisin els passos seguits i

esbrinin si hi ha algun error i, si és el cas, proposin com esmenar-lo:

4 3 12,5

8 4 22

4 3 12,5

4 2 11

1 1,5

4 3·1,5 12,5

4 4,5 12,5

4 12,5 – 4,5

4 8

1 8 : 4 = 2

Aquesta mena de tasques es fan seguint sempre una

seqüència de tres passos: un primer pas és la reflexió individual,

que pot durar des de pocs minuts fins a un quart d’hora; el segon

pas és compartir i comparar en petit grup, que pot durar uns vint

minuts, per exemple en aquest cas; el tercer pas és la posada en

comú en gran grup, en la que el professor adopta el paper de

moderador del debat entre iguals, debat que ha de portar, sempre

que sigui possible, a validar situacions d’incertesa sense la seva

intervenció directa.

En aquesta seqüència de treball, conflueixen alguns

elements essencials per a fer realitat:

- el principi d’identitat (educar per a la construcció de

personalitats madures i responsables...),

- el principi d’igualtat (garantir una educació bàsica i

de qualitat per a tots...)

- i el principi de diversitat (aprendre a conviure en

societats plurals i complexes i a gestionar els conflictes i a

resoldre’ls...)

El fet que hi hagi tres moments, tres temps per a intervenir,

amb formats totalment diferents (individual, petit grup, gran grup)

permet a cadascú trobar el moment més adequat a la seva manera

de ser, i també que entri el coneixement matemàtic de fora del

centre educatiu.

El fet que el professor no intervingui directament fins que no

es fa del tot imprescindible (si s’esdevé aquesta situació) permet

que els alumnes avancin en la seva maduració i responsabilitat,

donat que se’ls dona la llibertat d’intervenir, i d’interpel·lar-se,

seguint les normes socials explicitades prèviament pel professor,

que ell mateix també complirà;

El fet que la validació s’intenti que es produeixi a partir i con

a conclusió del debat entre iguals permet que es negociïn els

significats, es reconstrueixi el coneixement matemàtic, en un

procés culturalment ric en el que es troben les creences i els valors

de cadascun dels alumnes, però en un entorn controlat (l’aula de

matemàtiques en situació desenvolupada pel professor) i amb una

finalitat clarament establerta (establir la validesa d’una situació

incerta), relacionada amb convivència de cultures però sense que

sigui aquesta relació explicitada en cap moment.

Per altra part, aquesta mena d’activitats

- afavoreixen la reflexió, inicialment individual per passar

a compartir-la amb els iguals;

- es basen en la participació de l’alumnat

- es mostren eficaces per aconseguir que tots aprenguin

matemàtiques, no les mateixes sinó les que cadascú fa seves

- són justes perquè durant el procés el professor pot

prendre el paper d’observador i això facilitarà l’avaluació contínua

dels seus alumnes

- la seva eina fonamental és el diàleg entre iguals

- es basen en l’actitud crítica dels alumnes, però la

crítica cal exposar-la públicament i justificar-la, i també cal donar

una alternativa

- afavoreix no solament el respecte a tothom, donat que

l’únic important en el debat són els arguments expressats,

independentment de les característiques de la persona que parla,

sinó també la valorització dels altres, perquè justament aquestes

activitats mostren que la validació només arribarà amb la

participació de molts.

Context 2: Les tarifes de telèfon mòbil i la persecució.

El context és engrescador donada l’actual presència constant del

telèfon mòbil en la vida dels adolescents, però matemàticament és més

important el fet que el problema plantejat permet l’abordatge inicial

utilitzant el tempteig. La matematització vertical inclou la preparació de

taules de dades i l’ús d’eines informàtiques amb fórmules que preparen

l’aparició de la funció lineal i afí.

Tarifes telefòniques:

La companyia telefònica DD (Digui - digui Comunications) llança

una oferta de telefonia mòbil per tal de captar clients: ofereix una tarifa A

en la que l’usuari només paga pel temps total que ha estat trucant a raó

de 0,08 euros / minut.

Per altra banda, ofereix una segona tarifa, la B, en la que l’usuari

paga 6 euros fixos al mes però les trucades les paga a 0,05 euros /

minut.

Sigui quina sigui la tarifa escollida, aquesta companyia factura pels

segons que l’usuari hagi trucat; a més, en aquesta oferta no es cobra

l’establiment de trucada.

Fes un estudi comparatiu de les dues tarifes i treu conclusions.

Segona part, un vegada han acabat la primera: Dies més tard, la

mateixa companyia llança una tercera tarifa, la C, en la que l’usuari paga

10 euros fixos al mes, podent trucar 180 minuts; si truca més minuts,

l’usuari paga aquests minuts de més a 0,20 euros / minut.

Compara aquesta tarifa amb les anteriors. Exposa les teves

conclusions.

Una persecució: Un cotxe amb tres lladregots està fugint de la

policia. El cotxe pren la carretera C21, que va cap a la frontera, i fuig a

una velocitat de 140 km/h. Els tres cotxes de policia que els

persegueixen entren a la c21 6 minuts més tard del que ho havia fet el

cotxe dels lladres, i van a 155 km/h. En quin moment la policia atraparà

als lladres? Per simplificar els problema, suposarem que els lladres no

tenen amagatalls i que la seva única escapatòria és arribar a la frontera”

Extensió del problema: “La frontera està a 192 km d’on comença la

C21. La policia no té cap patrulla a la frontera, per la qual cosa demanen

via diplomàtica que la policia del país veí els ajudi a tallar l’escapada dels

lladregots. Els tràmits diplomàtics són lents, però han tingut sort: dos

cotxes de la gendarmeria (la policia del país veí) entren a la C21 per la

frontera a 175 km/h i aniran a interceptar els lladres. El problema és que

entren a la C21 mitja hora més tard del que ha entrat la policia. Qui

atraparà primer els lladres: la policia o la gendarmeria? Una vegada els

hagin atrapat, quant de temps hauran d’esperar per a que arribin els

altres?

La matematització vertical potencia la utilització de dues eines de

gran importància matemàtica: les taules de dades i l’eina informàtica, i

amb aquesta última iniciar la presentació de les funcions lineal i afí.

La manera de treballar aquestes activitats és començar amb una

reflexió individual, compartir-la en petits grups, i arribar novament al gran

grup.

Context 3: SOS, rescat a alta mar .

Aquest context de salvament, en una superfície idealment infinita i

plana com és l’alta mar, porta a pensar en com podem situar un punt, i

en quines condicions podem compartir aquesta informació amb algú

altra. La matematització vertical ens porta a les coordenades cartesianes,

punts de referència, rectes i direccions en el moviment, punt de tall de

dues rectes, i a les estimacions.

SOS Alta mar: Els últims dos missatges de socors, rebuts per ràdio

a l’estació de seguiment marítim d’Arenys, des d’un veler de 12 metres

amb 6 tripulants han estat aquests:

a. Rebut a les 5:30 de la matinada d’avui:

“S.O.S – S.O.S. del veler anomenat L’intrèpid. La turmenta

forta de llevant ens ha trencat el pal de la vela major. En

començar a navegar a motor, ens ha fallat perquè havia

entrat aigua al gas-oil. Estem intentant fer la reparació, però

no sabem si ens en sortirem. Demanem ajuda urgent. La

nostra posició actual és (3,2). Anem a la deriva. El corrent

marí ens porta cap el punt (6,4). Ajuda urgent. S.O.S –

S.O.S.”

Rebut a les 6:30 del matí: “S.O.S – S.O.S. Veler L’intrèpid.

Via d’aigua al casc. Ens disposem a abandonar el buc. Ara

ens trobem a la posició (9,6). El vent segueix bufant molt fort

i el corrent ens porta en la mateixa direcció que abans, a raó

aproximadament d’una unitat del mapa per hora. S.O.S –

S.O.S. - S.O.S – S.O.S.”

Ara has de prendre decisions:

1. Estableix en un paper mil·límetrat la zona

de recerca més ajustada possible per a l’helicòpter de

rescat, tenint en compte que trigarà 3 hores en arribar al

punt on els espera recollir, i que surt a les 6:30 h. del matí

de la base situada en el punt (0,0)

2. Un vaixell que es troba al punt (6,14) ha

escoltat els missatges.

Es dirigeix a tota màquina per donar ajuda als nàufrags

seguint una trajectòria recta y = - x + 20 . Suposant que

la velocitat sigui l’adequada, a quin punt del mar espera

trobar-los?

Context 4: Reconstruint el passat ibèric.

Davant d’unes restes arqueològiques ibèriques pròximes a l’institut,

es proposa als alumnes redescobrir-les, situar-les, mesurar-les. Cal

que estableixin relacions entre restes: reconstrucció física i

reconstrucció social, i trobar regularitats a partir de mesures

conegudes i calcular-ne de desconegudes, idea de variable, donar

sentit a fórmules lineals i quadràtiques, la proporció com a model...

Aquí presento el desenvolupament d’aquest exemple de context

complex.

Arqueologia i matemàtiques

Has vist mai les restes

d’un antic poblat ibèric? O

d’una ciutat romana?

Recordaràs que el que es veu

són algunes pedres que

poden marcar les bases dels

murs d’una casa, o alguna columna si es tracta d’un temple o una casa gran...

Sovint s’hi troben trossos de ceràmica, algunes monedes, estris casolans que

han d’anar als museus, per al seu estudi i exposició. Amb aquesta evidència

tan minsa, els arqueòlegs refan la nostra història.

Per a fer-ho, s’ajuden de moltes altres àrees de coneixement, entre elles,

de les matemàtiques. L’Arqueologia i les Matemàtiques, juntes, fan un camí de

recerca. Ara intentarem fer un tros d’aquest camí.

Encara que

no podem partir

de zero, farem un

intent de re-

descobrir un

poblat ibèric que

existeix a prop del

nostre institut.

Diem re-descobrir

perquè de fet ja el van trobar fa quasi 100 anys, però avui en dia està tan deixat

que per a qualsevol persona que hi camini pel damunt, passarà desapercebut.

Nosaltres anirem a la zona, l’estudiarem, en traurem dades i amb elles i les

matemàtiques, refarem una part de la història.

Algunes coses que has de saber sobre els poblats ib èrics:

- solien estar en llocs elevats que dominen els camps i els

camins dels voltants o les costes

- acostumaven a estar fortificats, amb muralles i torres de

defensa

- les muralles no acostumaven a tenir fonaments,

s’aixecaven directament sobre el terra, i les primeres filades són de

pedres molt grosses

- les cases construïdes als pendents sovint aprofitaven les

pedres de l’excavació a la muntanya per a fer de paret posterior de la

casa

- acostumaven a tenir una o dues habitacions; les parets,

fetes d’un sòcol de pedres posades en sec i falcades amb pedres més

petites, i s’acabaven amb toves, fang

- la coberta, a una o a dues vessants, estava feta amb

branques i fang, i tenien un forat per deixar sortir el fum de la llar,

normalment en posició central, que servia per a escalfar la casa i per a

cuinar

- en la majoria de poblats ibèrics hi havia una plaça pública

on podien haver el forn del pa, el de la ceràmica, les sitges per

emmagatzemar el gra, les cisternes d’aigua, etc.

- De vegades, si el poblat era prou important, podia tenir

edificis públics, com ara els temples. Es reconeixen per les seves

dimensions, clarament més grans que les cases

El poblat que descobrirem és el de

Burriac. El seu nom és ILDURO.

Es troba sota el castell, en el terme de

Cabrera de Mar, i va tenir força importància a

la zona entre els anys -500 i el -50

Els que hi vivien formaven part de les

tribus laietanes, que ocupaven la zona del

Maresme i del Vallès Oriental.

SITUACIÓ GEOGRÀFICA

Material: plànol amb corbes de nivell, plànol de l’arqueòleg que ho va

excavar.

- Punts de referència. Límits probables

- Direccions

- Cursos d’aigua o fonts, potser ara extingides

- Conreus pròxims possibles

- Combustibles

- Capacitat de defensa. Muralles, torres

- Vistes de camins o rutes, també marítimes

EL POBLAT

Material: cinta mètrica,

- Cases identificades

- Camins i accessos

- Fotografies

- Planta de les cases estudiades

- Situació possible de la llar de foc, on dormien, quanta gent

hi vivia...

Estudi d’una casa ibèrica

a) Com estem segurs que hem trobat una casa ibèrica ?

Cal no confondre una casa

ibèrica amb una cabana de pastor ni

amb una terrassa o un marge de

pagès. Un marge de pagès no té

contrafort. Un pagès no es

construeix una cabana si no està al

costat dels seus camps, no ho fa

mai en un pendent, ni excava la

roca per aconseguir una zona

plana.Un jaciment ibèric

b) Situar la casa al mapa

Per a situar una cosa en un mapa necessitem punts de referència. El

principal pot ser el nord, que et dona la brúixola, situant-lo en el teu mapa. Però

també necessites altres punts. En el nostre cas, podem situar el castell de

Burriac, per exemple, amb la brúixola, col·locar-lo al mapa, i després anar

posant altres punts: l’última casa de la urbanització per la que s’arriba al poblat,

el camí principal, l’entrada del poblat que està al mig del barranc, etc. En

aquest mapa amb punts de referència, ja pots anar situant les cases i edificis

que vagis trobant.

c) Croquis de la casa

Per a fer un croquis, has de fixar-te en les proporcions, les mides d’unes

coses respecte de les altres. Mesurar et pot ajudar. El croquis ha de tenir una

certa coherència, una certa escala. Només hi has de posar els elements

importants en relació amb l’estudi que estàs fent.

d) Mesura de la casa

La presa de mesures ha de ser el més exacta possible: aquestes

mesures serviran per a fer posteriorment la reconstrucció virtual del poblat.

Quan ets en el lloc arqueològic, aprofita per a mesurar-ho tot, donat que no hi

tornaràs fàcilment.

e) Reportatge gràfic.

Prendre bones fotografies no és gens senzill. Necessites una bona

màquina, i saber-la usar. Les fotografies de coses inanimades costen més que

las animades. Si són pedres pel terra, cobertes parcialment de restes de

plantes, d’un color gris que es confon amb el terra... encara costa més. Has

d’anar en compte amb les mides, els fons i les perspectives:

- si poses un objecte de mida molt coneguda al costat dels

objectes fotografiats, donaràs un punt de referència visual a qui miri la

fotografia després.

- Si et col·loques per a fer la foto en un punt de vista des del

qual el fons sigui molt contrastat amb l’objecte fotografiat, aconseguiràs

que aquest destaqui clarament

- Si vols que la perspectiva que veuen els nostres ulls es

mantingui, cal que l’objecte estigui ben il·luminat, amb les seves ombres

on toca. També hi ajuda que la foto abraci un camp una mica més ampli

que l’objecte tot sol: el que hi ha pels costats pot ajudar a veure la

perspectiva.

f) Estimació de qui - i com - hi

vivia.

Una vegada tinguis fet tot l’anterior, ja pots

començar a imaginar com seria el poblat fa més de

2.000 anys: el poblat, la vida de la gent, quanta gent

hi vivia...

Activitats a realitzar a l’aula de matemàtiques:

Activitat 1.

Determinar l’alçada d’una casa és important perquè té relació amb la

importància que tenia: més alçada, més difícil de construir, més important per a

tots els qui vivien al poblat.

Els arqueòlegs utilitzen la proporcionalitat per estimar quina hauria de

ser l’alçada dels murs de les diferents edificacions ibèriques. Hi ha poblats

ibèrics en els que s’han conservat els murs millor que en els altres, i s’han fet

estudis i experiments per a determinar com calcular l’alçada dels murs.

Si construeixes una paret, l’alçada a la que podràs arribar dependrà de

diverses variables: els materials que utilitzes, el gruix, els fonaments en el

terra… Els ibèrics construïen directament sobre el terra, no feien fonaments.

Per això, calia que el mur fos gruixut, especialment en la base, i que estigués

fet de pedra, per suportar el pes. A més, la base de pedra aïllava de la humitat

del terra.

Però si l’edifici tenia una sola planta, no calia que tot el mur fos de pedra:

a partir de 1/3 de l’alçada usaven tobot, una mena de maó a base de fang.

Aquí tens alguns càlculs realitzats a altres poblats ibèrics, per a edificis

grans i edificis petits.

Taula edificis grans mesurats a altres llocs

Poblat ibèric Alçada calculada Gruix del mur Raó deproporcionalitat n

Cerro Los Santos 7.40 0.60Sant Miquel de

Llíria 4.90 0.43

Ullastret A 7.90 0.65Ullastret B 4.72 0.40

Taula edificis petits mesurats a altres llocs

Poblat ibèric Alçada totalcalculada

Gruix del mur Raó deproporcionalitat n

Cerro Los Santos 2.40 0.40Sant Miquel de

Llíria 3.00 0.43

Ullastret A 2.90 0.45Ullastret B 3.60 0.40

A la vista del resultat obtingut, escriu una expressió que ens doni l’alçada

del mur (H) a partir de saber el gruix (E):

Activitat 2.

Ara utilitzaràs l’expressió descoberta en l’activitat anterior per a calcular

l’alçada de les paret de les cases que has mesurat al poblat d’Ilduro.

Pots usar un valor màxim i un valor mínim de la raó de proporcionalitat,

en dues columnes diferents, i després en trauràs conclusions.

Casa nº E n1 H1 n2 H2

12345

Conclusions:

Activitat 3.

Posem en comú els resultats de tota la classe.

Activitat 4.

Hi ha un edifici a Ilduro que presenta alguna característica especial.

Revisa els càlculs per a trobar-lo. Compara les seves dades amb les dels

edificis d’altres poblats i treu les teves conclusions. L’has trobat? Com l’has

descobert?

Activitat 5.

Ara has d’esbrinar quines d’aquestes fórmules serveixen i quines no:

H = E · n H = n · EH = E / n E = H / nH / E = n E = n / H

Algunes d’aquestes fórmules volen dir el mateix. Agrupa-les i explica per

què consideres que es diuen equivalents:

Quantes fórmules equivalents hi ha a la fórmula a = b · c?

Activitat 6.

Existeix una fórmula per a fer els mateixos càlculs que hem fet nosaltres,

però que és més complexa. S’anomena la fórmula de Rondelet:

E = H/8 · L/ √ (L2 + H2)

Compara la fórmula que hem descobert i utilitzat abans, amb la de

Rondelet: en què són diferents?

Activitat 7.

Aplica la fórmula de Rondelet a una casa i a l’edifici gran d’Ilduro. Hi ha

diferències en els resultats estimats amb la nostra fórmula senzilla? Quines

diferències?

Activitat 8.

A la vista de les dades totals recollides, fes una estimació de la població

probable d’Ilduro.

Activitat 9.

Busca la confirmació dels teus resultats. On pots buscar aquesta

confirmació?

Activitat 10.

Comuniquem els resultats de la nostra recerca a l’Ajuntament de

Cabrera de Mar, i de Vilassar de Mar, i a la Generalitat de Catalunya?

Matemàtiques transversals en els temes treballats:

exemple de “Les necessitats bàsiques dels humans”

Les sis activitats que proposa Bishop per a treballar el component

simbòlic del currículum poden incorporar-se amb relativa facilitat en els temes

treballats. Aporto un exemple d’alguns punts que podrien relacionar-se amb

Les necessitats bàsiques dels humans.

Alimentació:

- nombres naturals,

- enters (diferències, variacions),

- percentatges

- pressupostos

Habitatge:

- geometria plana i de l’espai:

o la victòria del triangle, la omnipresència del rectangle i del quadrat

o localització,

o construir en pendent, en el pla

o forma i àrea màxima

o volum d’aire per a viure

o plànols, pas 2D a 3D i viceversa

o la casa ecològica

- proporcionalitat i dependència funcional:

o el gruix de les parets i l’alçada màxima

o fórmula de Rondelet

Vestit:

- mesura,

o magnituds

o unitat

o mesura directa i indirecta

o exactitud, error, aproximació, estimació

- disseny,

- forma, perímetre i àrea

Salut:

- nombres, càlculs

- percentatges

- estadístiques, gràfiques

- mesura del cos, proporció àuria

- unitats de mesura antropomòrfiques

Sexualitat:

- matemàtica discreta (recomptes de casos, arbres),

- percentatges

- lectura de gràfiques i estadístiques

Xavier Vilella Miró

Juny, 2007