HOJA 8. PRCTICAS DE CLCULO INTEGRAL

DOBLE GRADOS: MATEMTICAS Y FSICAS Y MATEMTICAS E INGENIERA INFORMTICA,CURSO 2013-2014

1. EvaluarC

(2x3 y3)dx+ (x3 + y3)dy, donde C es el crculo unitario y verificar el Teoremade Green para este caso.

2. Usar el teorema de Green para evaluarC+

(y2 + x3)dx+ x4dy, donde C+ es el permetro de[0, 1] [0, 1] en direccin contraria a la que giran las agujas del reloj3.(a) Verificar el teorema de la divergencia para F = xi+ yj y D el disco unitario x2 + y2 1.(b) Evaluar la integral de la componente normal de 2xyiy2j alrededor de la elipse x2

a2+ y

2

b2= 1.

4.(a) Mostrar que si C es una curva cerrada simple que acota una regin en la cual se aplica elteorema de Green, entonces el rea de la regin D acotada por C es

A =1

2

(D

xdy D

ydx).

(b) En el caso anterior, si D est parametrizada como (t) = (x(t), y(t)) con t [a, b], mostrarque

A =1

2

ba

det

x(t) y(t)x(t) y(t) dt

(c) Usar el apartado anterior para calcular el rea encerrada de la elipse:

x2

a2+y2

b2= 1.

5. Verificar el teorema de Stokes para el hemisferio superior z =

1 x2 y2, y el campovectorial radial F (x, y, z) = xi+ yj + zk.

6. Sea formada por las rectas que unen los puntos (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1) y sea S el trigulocon estos vertices. Verificar el teorema de Stokes directamente con F = yzi+ xzj + xyk.

7. Sea F = yixj+zx3y2k. Evaluar S(F )ndS, donde S es la superficie x2 +y2 +z2 = 1,

z 0.8. Sea F (x, y, z) = xyi+ yj + zk. Puede existir una funcin f tal que F = f?9. Sea F (x, y, z) = (ex sin y)i + (ex cos y)j + z2k. Evaluar la integral

F dS, donde (t) =

(t, t3, e

t), t [0, 1].

10. Determinar cul de los siguientes campos vectoriales F es el gradiente de una funcinescalar f . Si existe dicha funcin, calcularla.

(a) F (x, y) = xi+ yj.

(b) F (x, y) = xyi+ xyj.(c) F (x, y) = (x2 + y2)i+ 2xyj.(d) F (x, y, z) = (2xyz + sinx, x2z, x2y).

11. Para qu valores de a R el campo vectorial F : R3 R3, definido comoF (x, y, z) = (axy z3, (a 2)x2, (1 a)xz2)

es conservativo?. Para esos valores, calcular una funcin f : R3 R tal que F = f .

12. Mostrar que los siguientes campos vectoriales son conservativos. CalcularCF dS para la

curva dada.

(a) F = (xy2 + 3x2y)i+ (x+ y)x2j, donde C es la curva que est formada por los segmentosde recta de (1, 1) a (0, 2) a (3, 0).

(b) F = 2xy2+1

i 2y(x2+1)(y2+1)2

j, donde C es la curva parametrizada por x = t3 1, y = t6 t,t [0, 1].

(c) F =(

cos(xy2)xy2 sin(xy2))i2x2y sin(xy2)j, donde C es la curva (et, et+1)), t [1, 0].13. Es cada uno de los siguientes campos vectoriales el rotacional de algn campo vectorial?.De ser as, hallar el campo vectorial.

(a) F (x, y, z) = xi+ yj + zk.(b) F (x, y) = (x2 + 1)i+ (z 2xy)j + yk.

14. Sea F = xzi yzj + yk. Verificar que F = 0. Hallar G tal que F = G.

15. EvaluarF dS, donde es el cubo unitario (en el primer octante) y para cada una

de las siguientes F s. Realizar directamente los clculos y verificarlos usando el teorema de ladivergencia.

(a) F = xi+ yj + zk.(b) F = i+ j + k.

16. Sea F = (x y)i+ (y z)j + (z x)k. Evaluar F dS para cada una de las siguientes

regiones .

(a) x2 + y2 z 1.(b) x2 + y2 z 1 y x 0.