HOJA 8. PRCTICAS DE CLCULO INTEGRAL
DOBLE GRADOS: MATEMTICAS Y FSICAS Y MATEMTICAS E INGENIERA INFORMTICA,CURSO 2013-2014
1. EvaluarC
(2x3 y3)dx+ (x3 + y3)dy, donde C es el crculo unitario y verificar el Teoremade Green para este caso.
2. Usar el teorema de Green para evaluarC+
(y2 + x3)dx+ x4dy, donde C+ es el permetro de[0, 1] [0, 1] en direccin contraria a la que giran las agujas del reloj3.(a) Verificar el teorema de la divergencia para F = xi+ yj y D el disco unitario x2 + y2 1.(b) Evaluar la integral de la componente normal de 2xyiy2j alrededor de la elipse x2
a2+ y
2
b2= 1.
4.(a) Mostrar que si C es una curva cerrada simple que acota una regin en la cual se aplica elteorema de Green, entonces el rea de la regin D acotada por C es
A =1
2
(D
xdy D
ydx).
(b) En el caso anterior, si D est parametrizada como (t) = (x(t), y(t)) con t [a, b], mostrarque
A =1
2
ba
det
x(t) y(t)x(t) y(t) dt
(c) Usar el apartado anterior para calcular el rea encerrada de la elipse:
x2
a2+y2
b2= 1.
5. Verificar el teorema de Stokes para el hemisferio superior z =
1 x2 y2, y el campovectorial radial F (x, y, z) = xi+ yj + zk.
6. Sea formada por las rectas que unen los puntos (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1) y sea S el trigulocon estos vertices. Verificar el teorema de Stokes directamente con F = yzi+ xzj + xyk.
7. Sea F = yixj+zx3y2k. Evaluar S(F )ndS, donde S es la superficie x2 +y2 +z2 = 1,
z 0.8. Sea F (x, y, z) = xyi+ yj + zk. Puede existir una funcin f tal que F = f?9. Sea F (x, y, z) = (ex sin y)i + (ex cos y)j + z2k. Evaluar la integral
F dS, donde (t) =
(t, t3, e
t), t [0, 1].
10. Determinar cul de los siguientes campos vectoriales F es el gradiente de una funcinescalar f . Si existe dicha funcin, calcularla.
(a) F (x, y) = xi+ yj.
(b) F (x, y) = xyi+ xyj.(c) F (x, y) = (x2 + y2)i+ 2xyj.(d) F (x, y, z) = (2xyz + sinx, x2z, x2y).
11. Para qu valores de a R el campo vectorial F : R3 R3, definido comoF (x, y, z) = (axy z3, (a 2)x2, (1 a)xz2)
es conservativo?. Para esos valores, calcular una funcin f : R3 R tal que F = f .
12. Mostrar que los siguientes campos vectoriales son conservativos. CalcularCF dS para la
curva dada.
(a) F = (xy2 + 3x2y)i+ (x+ y)x2j, donde C es la curva que est formada por los segmentosde recta de (1, 1) a (0, 2) a (3, 0).
(b) F = 2xy2+1
i 2y(x2+1)(y2+1)2
j, donde C es la curva parametrizada por x = t3 1, y = t6 t,t [0, 1].
(c) F =(
cos(xy2)xy2 sin(xy2))i2x2y sin(xy2)j, donde C es la curva (et, et+1)), t [1, 0].13. Es cada uno de los siguientes campos vectoriales el rotacional de algn campo vectorial?.De ser as, hallar el campo vectorial.
(a) F (x, y, z) = xi+ yj + zk.(b) F (x, y) = (x2 + 1)i+ (z 2xy)j + yk.
14. Sea F = xzi yzj + yk. Verificar que F = 0. Hallar G tal que F = G.
15. EvaluarF dS, donde es el cubo unitario (en el primer octante) y para cada una
de las siguientes F s. Realizar directamente los clculos y verificarlos usando el teorema de ladivergencia.
(a) F = xi+ yj + zk.(b) F = i+ j + k.
16. Sea F = (x y)i+ (y z)j + (z x)k. Evaluar F dS para cada una de las siguientes
regiones .
(a) x2 + y2 z 1.(b) x2 + y2 z 1 y x 0.