Fisica Mecanica - Manual Alumno-2-Modificado v2
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REFORZAMIENTO FÍSICA MECÁNICA INACAP Ciencias Básicas Vicerrectoría de Académica de Pregrado 2014
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REFORZAMIENTO FÍSICA MECÁNICA
INACAPCiencias Básicas
Vicerrectoría de Académica de Pregrado 2014
Reforzamiento
PRESENTACIÓN
Estimado alumno:
Junto con darte la bienvenida a una nueva instancia formativa, te presentamos el manual de reforzamiento de física mecánica para el alumno inacapino. Éste será el documento guía del reforzamiento correspondiente y te servirá como apoyo paralelo a la asignatura que cursas.
Debes tener presente que para aprender física debes ejercitar siempre, pero además, debes comprender lo que ejercitas. Por esta razón, la primera clase será Transformación de Unidades, con el objetivo de que el énfasis se realice en el razonamiento, más que en los cálculos (para ello podrás utilizar calculadora).
En esta asignatura revisaremos ejercicios resueltos, te propondremos otros para que realices grupalmente, otros de manera individual, y te dejaremos notas al margen para que recuerdes los conceptos y procedimientos más importantes de la unidad.
Al finalizar esta asignatura, esperamos que puedas establecer tu propia estrategia de resolución de problemas utilizando las representaciones que estimes necesarias y, por supuesto, tu calculadora.
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Reforzamiento
REFORZAMIENTO FISICA MECANICAEl reforzamiento Física Mecánica, es una asignatura, que contribuye a que los alumnos comprendan los fundamentos y métodos de cálculo en las leyes que caracterizan y describen las causas del movimiento, trabajo, conservación de energía y dinámica de rotación, para adquirir un entendimiento conceptual detallado de fenómenos físicos clásicos cotidianos y las capacidades que le permitan la resolución de problemas prácticos simples, los cuales servirán de base y como herramienta para asignaturas posteriores y su desempeño laboral.
Al aprobar este reforzamiento, el estudiante estará en condiciones de Aplicar los fundamentos de la física, para el estudio y resolución de problemas simples, de acuerdo a situaciones relacionadas con los fenómenos físicos del área de especialidad. Es por esta razón que te invitamos a recordar:
Estrategia de resolución de problemas:
1° Leer y comprender Leer el enunciado del problema.
Identificar datos y pregunta del problema.
2° Propone
r y fundame
ntar
Proponer una estrategia de resolución.Explicar la estrategia y justificarla.
3° Resolver
y comprob
ar
Resolver el problema aplicando procedimientos matemáticos.Comprobar que el resultado que obtuviste da respuesta al problema
4° Comunic
arComunicar los resultado de manera acorde a la situación e interlocutores.
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Reforzamiento
Unidad de Aprendizaje 1Conceptos fundamentales, unidades de medidas, vectores y cinemática.
CLASEAPRENDIZAJES
ESPERADOS CRITERIOS DE EVALUACION CONTENIDOS
1 1.1 Convierte unidades de magnitudes físicas en el sistema internacional.
1.1.1.- Transforma unidades de medida de magnitudes físicas y derivadas en el sistema internacional.
1.1.2.- Transforma magnitudes físicas derivadas, usando dimensiones algebraicamente.
Sistema Internacional de Unidades.
Magnitudes fundamentales y derivadas.
Transformación de unidades de medida.
Transformación de unidades entre sistemas de medida respecto al SI.
2 1.2.- Resuelve problemas de vectores métodos de las componentes rectangulares o cartesianas en el plano.
1.2.1.- Calcula las componentes rectangulares de un vector en el plano, en función de su magnitud y su dirección.
1.2.2.- Calcula la magnitud y dirección de un vector y de un sistema de vectores en el plano.
1.2.3.- Determina el vector resultante en la adición de dos o más vectores.
Magnitudes escalares y vectoriales.
Características y propiedades de un vector.
Vectores en el plano cartesiano
- Magnitud, - Dirección, - Sentido
- Componentes cartesianas
Suma y resta gráfica de vectores.
Multiplicación de vectores con escalares.
Vectores unitarios.
3 1.3.- Resuelve problemas de movimiento rectilíneo uniforme y uniformemente acelerado, de acuerdo a las ecuaciones cinemáticas y haciendo uso de representaciones gráficas.
1.3.1.- Identifica el tipo de movimiento de acuerdo a la variación temporal de la posición, rapidez, velocidad de una partícula.
1.3.2.- Calcula variables del movimiento unidimensional utilizando definiciones y las ecuaciones cinemáticas que las caracterizan.
1.3.3.- Identifica el movimiento vertical y en caída libre, por medio de la aplicación de ecuaciones cinemáticas que lo rijan.
1.3.4.- Resuelve problemas de lanzamiento de proyectiles a través de las ecuaciones cinemáticas
Conceptos fundamentales:
- Desplazamiento, Rapidez
- Velocidad instantánea y promedio.
- Aceleración
Movimiento rectilíneo uniforme y uniformemente acelerado
Lanzamientos verticales y caída libre.
Lanzamiento de proyectiles:
4 1.4.- Resuelve problemas de movimiento circular uniforme y uniformemente acelerado, de acuerdo a las ecuaciones cinemáticas.
1.4.1.- Reconoce el periodo y frecuencia en el movimiento circular, y sus relaciones.
1.4.2.- Calcula variables del movimiento circular utilizando definiciones de posición angular, y las ecuaciones cinemáticas que lo caracterizan.
Periodo y frecuencia
Conceptos fundamentales:
- Desplazamiento angular.
- Velocidad angular instantánea y promedio.
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Reforzamiento
CLASEAPRENDIZAJES
ESPERADOS CRITERIOS DE EVALUACION CONTENIDOS
- Aceleración angular. Movimiento circular uniforme y uniformemente acelerado.
5 EVALUACION FORMATIVA (CON RETROALIMNETACION DEL DOCENTE)
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Reforzamiento
Clase 1Para describir los fenómenos naturales, es necesario hacer mediciones de varios aspectos de la naturaleza. Cada medición se asocia con una cantidad física, tal como la longitud de un objeto.
Si tuviese que reportar los resultados de una medición a alguien que desea reproducir esa medición, tendría que definir un estándar. Cualquier unidad que elija como estándar debe ser accesible y poseer alguna propiedad que se puede medir confiablemente. En 1960 un comité internacional estableció un conjunto de estándares y se denominó Sistema Internacional.
Sistema Internacional de Medidas.
El Sistema internacional (SI) define siete unidades básicas o unidades físicas fundamentales, las cuales son descritas por una definición operacional y son independientes desde el punto de vista dimensional.
Todas las demás unidades utilizadas para expresar magnitudes físicas se pueden derivar de estas unidades básicas y se conocen como unidades derivadas. La derivación se lleva a cabo por medio del análisis dimensional.
Magnitud física que se toma como fundamental
Unidad básica o fundamental
Símbolo de la unidad
Longitud ( L ) metro mMasa ( M ) kilogramo kgTiempo ( T ) segundo sTemperatura ( Θ ) Kelvin KIntensidad de corriente eléctrica ( I ) Ampere A
Cantidad de sustancia ( μ ) mol mol
Intensidad luminosa ( Iv ) candela cd
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Reforzamiento
Otro sistema utilizado es
Para convertir unidades de medición de un sistema a otro, o dentro de uno mismo, las unidades deben manipularse como cantidades algebraicas que se cancelan mutuamente.
Por ejemplo:
Convertir 5 pulgadas (in) a metros
5∈¿ 2.54 cm
1∈ ¿∗1m100 cm
=0.127m¿
Además del uso de prefijos, como el de la siguiente tabla
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Reforzamiento
Ejemplos:1. Convertir 100 Km/h en m/s
100
Kmh
∗1000m
1Km∗1h
3600 s=27.77m
s
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Reforzamiento
2. Convertir 11.6 Kg/m3 a g/cm3
11.6
Kgm3∗1m∗1m∗1m
100cm∗100 cm∗100cm∗1000g
1Kg=0.0116 g
cm3
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Reforzamiento
EJERCICIOS DE CONVERSIÓN DIRECTA
CantidadConvertir en
¿Qué hay que hacer? Respuesta
8 kg g gkg
gkg 8000
11000·8 8000 g
8 ton kg 8000 kg
7 g kg 0,007 kg
200 m km 0,200 km
2 cm m 0,02 m
20 km m 20000 m
8 cl l (l=litro) 0,08 l
10 ml l 0,010 l
10 l cl 1000 cl
20 l ml 20000 ml
10 m3 dm3 10000 dm3
10 cm3 dm3 0,010 dm3
10 m3 cm3 10000000 cm3
8 dm3 m3 0,008 m3
10 cm3 m3 0,000010 m3
10 m3 l ldm
mdm
m 10000100001
1000·10 3
3
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(Litro es lo mismo que dm3) 10000 l
10 dm3 l 10 l
10 ml dm3 0,010 dm3
20 cm3 ml 20 ml
200 ml m3 0,000200 m3
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Reforzamiento
CantidadConvertir en
¿Qué hay que hacer? Respuesta
1,3 kg / l kg / m3 1300 kg / m3
6 g / cm3 kg / m3 6000 kg / m3
980 g / l kg / m3 980 kg / m3
20 km / h m / s 5,55 m / s
20 m / s km / h 72 km / h
20 cm / s km / h 0,72 km / h
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Reforzamiento
Clase 2
Magnitudes Físicas
Magnitudes escalares, son aquellas que son caracterizadas a través de una cantidad, ejemplo longitud 5 m, masa 70 Kg, 60 s, etc.
Magnitudes vectoriales, son aquellas que se caracterizan por tener tres cantidades asociadas, magnitud, dirección y sentido, ejemplo velocidad 20 Km/h en dirección norte, posición 3 m î, aceleración 9.8 m/s2 – ĵ, etc.
Vectores en un plano cartesiano
Gráficamente, un vector es representado por una flecha. La magnitud o módulo del vector es proporcional a la longitud de la flecha.
El ángulo θ representa la dirección del vector.
La punta de la flecha determina el sentido del vector, el origen del vector es el inicio de la flecha.
El vector se designa con una letra mayúscula con una flecha sobre ellaA .
En un plano cartesiano, hacemos coincidir el origen del vector con el origen del plano, generando las componentes Ax y Ay.
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Reforzamiento
Así el vector queda escrito como
A=A x i+A y j
siendo i y j
vectores unitarios en las direcciones x e y respectivamente, definidos por
i= x|x| y j=
y| y|
La magnitud o módulo de un vector queda definido como|A|=√A x
2+A y2
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Reforzamiento
Y la dirección como
θ=tan−1 A y
A x
También podemos escribir las componentes en coordenadas polares,
A x=|A|cosθ
A y=|A|sin θ
Suma de vectores en forma geométrica
Si A, B y C tres vectores cuales quiera
A
B
C
La suma será un vector que tenga el origen en el origen del primer vector y su punta en la punta del último vector, si estos se colocan ordenadamente uno detrás del otro. A este vector suma se denomina resultante R
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Reforzamiento
Multiplicación de un vector por un escalar
Si A es un vector, 2 A es
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Reforzamiento
2 A=2 Ax i+2 Ay j
Geométricamente
A
2 A
Resta de Vectores
La resta se genera considerando que la resta es la suma con uno de los vectores multiplicado por -1, es decir solo cambia su sentido.
R=A−B= A+(−B)
A
B
−B
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Reforzamiento
Ejemplos:
1. Con los siguientes vectores realice las operaciones señaladas.
Calcular
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AC
D
B
Reforzamiento
a. B+ D+ A+Cb. B+C−A
c. 2 B+3C−25D
a.
b.
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Reforzamiento
c.
2. Con los siguientes vectores realice las operaciones señaladas.
A=3 i+5 j
B=i−2 j
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Reforzamiento
C=−4 i+6 j
D=7 i−8 j
Calcular
a. B+D+ A+Cb. B+C−A
c. 2 B+3C−25D
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Reforzamiento 21
Reforzamiento
a. R=i−2 j+7 i−8 j+3 i+5 j−4 i+6 j=7 i+ jb. R=i−2 j−4 i+6 j−(3 i+5 j )=−6 i− j
c. R=2 ( i−2 j )+3 (−4 i+6 j )−25(7 i−8 j)=12.4 i+17.2 j
3. Un alumno camina 25 metros hacia el sureste desde su casa, se acuerda de pasar a buscar a su amigo y camina 40 m en la dirección 60° al noreste. A que distancia desde su casa queda la casa de su amigo.
Para su primer desplazamiento se deduce que se mueve 25 m la dirección es -45°, así que las componentes son
A=25mcos−45 i+25m sin−45 j=17.7mi−17.7m j
El segundo desplazamiento
B=40mcos60 i+40m sin 60 j=20m i+34.6m j
El desplazamiento resultante
R=17.7mi−17.7m j+20mi+34.6 j=37.7mi+16.9m j
|R|=√(37.7m)2+(16.9m)2=41.3m
θ=tan−1 16.937.7
=24.1 °
EjerciciosLos vectores están representados con negritas
1. Sean los vectores:i. a = 3i - 2jii. b = -4i + j
Calcular:a. El vector suma y su magnitud.b. El vector diferencia y el ángulo que forma con el eje OX.c. El vector c = 2 a - 3 b y el vector unitario que define la dirección y sentido de c.
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Reforzamiento
Respuesta:a. a + b = –i – j .|a+b| ≈ 1,4142b. a- b = 7i – 3j = (7, -3). α ≈ –23.2oc. c = 2 a - 3 b = 18i – 7j ; c/|c| ≈ 0.93i – 0.36j
2. Se tienen tres fuerzas concurrentes cuyos módulos son: F1 = 6 N.; F2 = 3 N. y F3 = 4 N., que forman, respectivamente, los siguientes ángulos con el eje OX: 45°, 30° y 60°. Las tres fuerzas están en el mismo plano. Calcular el módulo de la suma resultante y el coseno del ángulo que forma, dicha resultante, con el eje OX.Respuesta: |F| = 10,46 N, cos α ≈ 0.69.
3. Expresa en forma vectorial un vector a que tiene por origen el origen de coordenadas y cuyas componentes son: ax = 3 unidades y ay = 4 unidades. Determina su módulo y el ángulo que forma con el eje de abscisas.
Respuesta: a = 3 i + 4 j u; magnitud = 5 unidades; α = 53°7′48″
4. Determina las componentes cartesianas de un vector a con origen en el origen de coordenadas, de módulo 4 unidades y que forma un ángulo de 60° con el eje de abscisas.Respuesta: ax = 2 u; ay = 3,46 u; a = 2 i + 3,46 j
5. Determina el vector unitario de dirección y sentido los del vector: a = 3 i – 4 j. Respuesta: ua = 3/5 i – 4/5 j
6. Un explorador camina 17 km hacia el norte, 22 km hacia el NW (a 45° del norte hacia el oeste) y 10 km hacia el sur.(a)Usando métodos gráficos, calcule el desplazamiento resultante.
(b)En este caso, ¿es mayor o menor (o igual) la magnitud del desplazamiento resultante comparada con la longitud del camino recorrido?
Respuesta: 27.4 km; 49 km por lo tanto menor.
7. Un aeroplano viaja 320 km en línea recta en la dirección NE, formando un ángulo de 28° con el norte. Utilizando un método gráfico, encuentre (a) ¿qué distancia hacia el norte del punto de partida
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Reforzamiento
recorrió el avión? (b) ¿qué distancia hacia el este del punto de partida recorrió el avión?Respuesta: 282,54 km, 150.2 km.
8. Una bandada de pájaros vuela en línea recta una distancia de 50 km hacia el este, y luego (también en línea recta) una distancia de 75 km hacia el sur, Utilizando el teorema de Pitágoras, calcule la magnitud del desplazamiento de la bandada de pájaros.Respuesta: 90.1 km
9. Un vector A tiene una longitud de 3 m. Otro vector B tiene una longitud de 4 m. ¿Es posible colocar estos vectores de modo tal que su suma A+ B tenga una longitud de (a) 7m, (b) 1 m o bien (c) 5 m?Respuesta: a) si sumando A+B b) si restando B – A c) si sumando A y B perpendiculares.
10. Un vector Z tiene una magnitud de 15 km y apunta directamente hacia el sur. ¿Cuál es la magnitud y dirección de:i. –Zii. Z/3 iii. 2Ziv. –2Z
Respuesta: i) 15 km hacia el norte; ii) 5 km hacia el sur; iii) 30 km hacia el sur; iv) 30 km hacia el norte
11. Dados dos vectores A = 3 m i + 4 m j y B = 5 m i - 2 m j, encuentre: a) la magnitud (o módulo) de A y b) la magnitud |B|.Respuesta: a) |A| = 5m, b) |B|= 5,38 m
12. Un insecto empieza a moverse en un punto A, se arrastra 8 cm al Este, 5 cm al sur, 3 cm al Oeste y 4 cm al Norte hasta un punto B.
a. ¿Qué tan retirado se encuentra el punto B del A en la dirección Norte y en la dirección Este?
b. Calcular el desplazamiento de A a B gráfica y algebraicamente.
Respuesta: a) 5 cm al Este, –1 cm al Norte; b) 5.1 cm a 11.3o al sureste.
Una topógrafa calcula el ancho de un rio mediante el siguiente método: se para directamente frente a un árbol en el lado opuesto y camina 100 m a lo largo de la ribera del río, después mira el árbol. El ángulo que forma la línea que parte de ella y termina en el árbol es de 35o. Calcule el ancho del río.
Respuesta: 142.8 m.
13. Un avión despega desde un aeropuerto A y viaja a otro B que se encuentra a 200 km en la dirección N37o O. A continuación vuela hasta una
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Reforzamiento
ciudad C desplazándose para ello 300 km hacia Este. Calcule la magnitud y dirección del desplazamiento que lo lleve en seguida hasta una ciudad D ubicada a 150 km de A en la dirección S60o E.Respuesta: 373.45 km, O 38.9° S.
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Reforzamiento
Clase 3
Cinemática
El movimiento de una partícula se conoce por completo si la posición de la partícula en el espacio se conoce en todo momento.
La posición de una partícula, que es un vector, es la ubicación de la partícula respecto a un punto de referencia elegido que se considera el origen de un sistema coordenada.
El desplazamiento de una partícula se define como su cambio en posición en algún intervalo de tiempo. ∆ x=posicion final−posicion inicial
Distancia es la longitud de una trayectoria seguida por una partícula.
La velocidad promedio de una partícula, es una cantidad vectorial, se define como el desplazamiento Δx de la partícula dividido entre el intervalo de tiempo Δt durante el que ocurre dicho desplazamiento
vprom=∆ x∆ t
La rapidez promedio de una partícula, es una cantidad escalar, se define como la distancia total recorrida dividida entre el intervalo de tiempo total requerido para recorrer dicha distancia
vprom=d∆ t
La velocidad instantánea es igual al límite de la proporción Δx/Δt conforme Δt tiende a cero.
La partícula bajo velocidad constante en el eje x, quiere decir que su velocidad instantánea en cualquier instante durante un intervalo de tiempo es la misma que la
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Reforzamiento
velocidad promedio durante ese intervalo, esto genera una ecuación de posición respecto al tiempo de
x f=x i+vx t
La aceleración promedio de la partícula se define como el cambio en velocidad, dividido por el intervalo de tiempo que ocurre el cambio.
a prom=∆v x
∆ t
La partícula bajo aceleración constante en el eje x, genera una ecuación de velocidad con respecto al tiempo
v f=v i+ax t
Y la ecuación itinerario
x f=x i+vx t+12a t 2
Y mezclando ambas
v f2=vi
2+2a (x f−x i)
Objetos en caída libre corresponde a una aceleración constante de valor g=9.8 m/s2, en dirección y sentido al centro de la tierra.
El lanzamiento de proyectiles es un movimiento en dos dimensiones, en el eje x se comporta como un movimiento con velocidad constante y en el eje y se comporta como un movimiento con aceleración constante.
Ejemplos
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Reforzamiento
1. Un carro de supermercado se desplaza en línea recta con rapidez constante en 4 s por un pasillo de 20 m. Cuál es la velocidad del carro
vx=∆ x∆ t
=xf−x i
∆ t=20m−0
4 s=5m /s
Si sigue a la misma velocidad cuantos metros recorre en 10 s
v f=x i+vx t=0+(5 ms ) (10 s )=50m
2. Un automóvil cubre una distancia en 5 s, hasta alcanzar 60 m/s, desde el reposo. Determinar su aceleración
ax=∆ v∆ t
=vf−v i
∆ t=60m/ s−0
5 s=12m /s2
Que distancia cubre
x f=0+(0 ) (5 s)+ 12 (12 m
s2 ) (5 s)2=150m
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Reforzamiento
3. Un automovilista quiere ingresar a una autopista que en carril más cercano los automóviles viajan con una rapidez de 45 m/s. Si un segundo después de ver pasar un auto acelera a razón de 3 m/s2, ¿cuánto tiempo se tarda en darle alcance?
Primero se establece que existen dos cuerpos en movimiento, el automóvil que está detenido y el que transita por la autopista, ambos poseen ecuaciones de movimiento propias. Y el requisito para que dos cuerpos se encuentran es que estén en el mismo lugar, al mismo tiempo.
La ecuación de automóvil en la autopista es
xautopista=x inicial+45mst
Este valor de posición inicial depende de donde fijamos el tiempo t=0, y para este problema el auto en la autopista en un segundo recorre 45 m, la ecuación queda finalmente
xautopista=45m+45mst
Cuando t=0 y comienza a moverse el auto que está detenido tratando de ingresar.
Para este auto detenido su ecuación es
xdetenido=0+(0 ) (t )+ 12 (3 m
s2 ) ( t )2
Para que se encuentren igualamos las posiciones
xautopista=xdetenido
45m+45mst=12 (3ms2 ) (t )2
t=31 s
Y el automóvil detenido ha recorrido
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Reforzamiento
xdetenido=12 (3 ms2 ) (31 s )2=1441.5m
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Reforzamiento
4. Una joven lanza una moneda hacia arriba con una velocidad inicial de 20 m/s, y cae en el pozo de los deseos, que tiene una profundidad de 50 m. Determine el tiempo que tarda en caer.
Si fijamos la posición inicial al comienzo dl pozo y señalamos que las posiciones positivas están hacia arriba, la posición final de la moneda es -50 m
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Reforzamiento
−50m=0+20mst+ 12(−9.8 m
s2)t 2
Resolviendo la ecuación obtenemos
t=5.83 s
5. Si la joven anterior, decide lanzar la moneda con un ángulo de 60° con respecto a la horizontal. ¿Cuánto tiempo se demora en caer?
En este caso la velocidad inicial se descompone en dos componentes:
v=20m /scos 60 i+20m /s sin 60 j=10m /s i+17.32m /s j
Para el eje y tenemos,
−50m=0+17.32 mst+ 12(−9.8 m
s2)t 2
t=5.41 s
Si queremos saber cuánto recorrió horizontalmente, tenemos que para el eje x
x f=0+10ms
(5.41 s)=54.1m
Ejercicios
1. Un automóvil viaja en línea recta con rapidez media de 80 km/h durante 2,5 h y luego con velocidad media de 40 km/h durante 1,5 h.
a) ¿Cuál es el desplazamiento total en el viaje de 4 h?b) ¿Cuál es la rapidez media del viaje completo?
Respuesta: a) 260 Km; b) 65 km/h
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Reforzamiento
2. Un automóvil viaja a razón de 25 km/h durante 4 minutos, después a 50 km/h durante 8 minutos, y finalmente a 20 km/h durante 2 minutos. Encuentre (a) la distancia total recorrida en km y (b) la rapidez promedio de todo el viaje en m/s.
Respuesta: (a) 9 km; (b) 10,7 m/s
3. Dos trenes parten de una misma estación, uno a 50[km/h] y el otro a 72[km/h]. ¿A qué distancia se encontrará uno de otro al cabo de 120[min], si ambos viajan con velocidad constante?
a) Si marchan en el mismo sentido. Respuesta : 44[km]
b) Si marchan en sentidos opuestos. Respuesta : 244[km]
4. Dos ciclistas, A y B, inician su movimiento simultáneamente. A con una velocidad constante de 12[m/s] y B con aceleración constante de 5[m/s2].
a) ¿Qué distancia han recorrido cuando B alcanza a A?
b) ¿Cuánto tiempo ha transcurrido hasta ese momento?
c) ¿Cuál es la velocidad de B cuando alcanza a A?
Respuesta: 57,6[m]; 4,8[s]; 24[m/s]
5. Por un punto A de una carretera pasa un camión con velocidad constante de 45 km/h; 10 s más tarde pasa por el mismo punto un automóvil con una velocidad de 90 km/h. Calcular:
a) ¿Dónde se encuentra el camión cuando el automóvil pasa por A?
b) ¿Qué aceleración constante debe tener el automóvil si quiere alcanzar al camión 15 s después de pasar por A?
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Reforzamiento
c) ¿Qué velocidad tiene el automóvil en el momento que alcanza al camión?
Respuesta: a) 125m; b) -0,55 m/s2 c) 16,75 m/s
6. Un auto parte del reposo y se desplaza con una aceleración de 1 m/s2 durante 1 s. Luego se apaga el motor y el auto desacelera debido a la fricción, durante 10 s a un promedio de 5 cm/s2. Entonces se aplican los frenos y el auto se detiene a 5 segundos más. Calcular la distancia total recorrida por el auto. Hacer un gráfico de x, v y a contra t.
Respuesta: 9,25 m
7. Un auto está esperando que cambie la luz roja. Cuando la luz cambia a verde, el auto acelera uniformemente durante 6 s a razón de 2 m/s2, después de lo cual se mueve con velocidad constante. En el instante que el auto comienza a moverse, un camión que se mueve en la misma dirección con movimiento uniforme con una velocidad de 10 m/s, lo pasa. ¿En qué tiempo, y a qué distancia se encontrarán nuevamente el auto y el camión?
Respuesta: 18s; 180 m
8. Se lanza una pelota con velocidad inicial v de componentes: vx = 20 m/s, y vy = 16 m/s. Calcular: a) el tiempo que está subiendo; b) la altura que alcanza; c) la distancia a que se debe encontrar otro jugador de la misma talla para devolver la pelota.
Respuesta: t = 1,6 s; y = 13 m; x = 65 m.
9. En un duelo del lejano Oeste un pistolero dispara horizontalmente una bala con velocidad de 200 m/s desde una altura de 1,25 m. Calcular la
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Reforzamiento
distancia mínima entre los adversarios situados en plano horizontal, para que la presunta víctima no sea alcanzada.
Respuesta: Rx = 101 m
10. El famoso cañón Berta (de la 1ª Guerra Mundial) tenía un alcance máximo de 100 Km. Despreciando la resistencia del aire, calcular: a) la velocidad del proyectil al salir por la boca del cañón; b) la altura máxima del proyectil en tiro vertical.
Respuesta: v = 990 m/s; h = 50 km.
Clase 4
En los movimientos en dos dimensiones también se considera el movimiento circular uniforme, que es un movimiento que describe una trayectoria circular con rapidez constante.
El periodo se define como el intervalo de tiempo requerido para una vuelta completa de la partícula
T=2πrv
La frecuencia es el inverso del periodo
f= 1T
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Reforzamiento
La posición angular de la partícula que describe una circunferencia es un ángulo θ, entre la línea de referencia y posición de la partícula.
El desplazamiento angular se define como
∆θ=θ f−θ i
La rapidez angular ω se define como la relación del desplazamiento angular y el intervalo Δt
w prom=θf−θi
∆ t=∆θ
∆t
La aceleración angular promedio se define como el cambio en la rapidez angular respecto al intervalo de tiempo Δt
α prom=w f−wi
∆ t=∆w
∆ t
Ejemplos
1. Una rueda da vueltas con una aceleración angular constante de 3.50 rad/s2. Si la rapidez angular de la rueda es 2 rad/s en t=0, que desplazamiento angular se produce en 2 s
∆θ=θ f−θ i=w i+12α t2
∆θ=2 rads
∗2 s+ 123.5 rad
s2(2 s )2=630 °
¿Cuántas vueltas o revoluciones dio?
∆θ=630 °( 1 rev360° )=1.75 vueltasY su rapidez es de
w f=wi+αt
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Reforzamiento
w f=2rads
+3.5 rads22 s=9 rad
s
Ejercicios
1. La velocidad angular de un volante disminuye uniformemente de 900 a 800 vueltas por minuto en 5 s. Calcular: a) la aceleración angular del movimiento; b) el número de vueltas que da en esos 5 s; c) el tiempo que tarda en detenerse, a partir de ese instante.
Respuesta: a = - 2,1 rad/s2; n = 70,8 vueltas; t = 40 s
2. Un carro de juguete que se mueve con rapidez constante completa una vuelta alrededor de una pista circular (una distancia de 200 metros) en 25 s. ¿Cuál es la rapidez promedio?
Respuesta: 8 m/s
3. La velocidad de la punta de la manecilla del minutero en un reloj es 1,75x10-3 m/s. ¿Cuál es la velocidad de la punta de la manecilla de los segundos de la misma longitud?
Respuesta: velocidad del segundero = 0,105 m/s
4. Un carro cuyas ruedas tiene 80 cm de diámetro viaja a 90 Km/h. Hallar: a) Velocidad angular de cada rueda; b) Frecuencia y periodo de cada rueda; c) Cuántas vueltas da cada rueda si el carro recorre 10 Km.
Respuesta: a) 62.5 rad /s; b) 9.94 Hz.; c) 0.1 s; d) 3978.77
37
Reforzamiento
Unidad de Aprendizaje 2Dinámica y Trabajo.
CLASEAPRENDIZAJES
ESPERADOS CRITERIOS DE EVALUACION CONTENIDOS
6 2.1.-Calcula variables fundamentales de acuerdo a las Leyes de Newton, masa, como una medida de inercia, y peso, como acción de un campo gravitatorio.
2.1.1.- Describe cualitativa y gráficamente las fuerzas que actúan sobre objetos estáticos y en movimiento, de acuerdo al concepto de fuerza.
2.1.2.- Diferencia los conceptos de masa y peso, según sus aplicaciones y unidades.
2.1.3.- Identifica las fuerzas que actúan sobre un sistema simple en movimiento o en equilibrio desarrollando un diagrama de cuerpo libre y descomponiendo vectorialmente.
2.1.4.- Calcula aceleraciones, masas y fuerzas resultantes usando la segunda ley de Newton.
Concepto de dinámica y leyes del movimiento.
Concepto de fuerza, masa y peso:
-Masa bajo un campo gravitatorio.
Leyes de Newton: Primera, Segunda y Tercera Ley. Fuerzas:
-Normal y Tensión.
-Roce (Coeficiente de roce estático y cinético)
-Elástica (Ley de Hooke)
Diagramas de cuerpo libre.
7 2.2.- Resuelve problemas de sistemas en equilibrio estático o cinético, y acelerados.
2.2.1.- Reconoce el estado dinámico de un sistema de acuerdo a condiciones iniciales del problema y del cálculo de una fuerza resultante.
2.2.2.- Calcula las fuerzas que rigen el estado dinámico de un sistema compuesto usando un diagrama de cuerpo libre.
2.2.3.- Calcula variables como: masa, peso, aceleraciones, fuerzas resultantes, fuerzas normales, tensiones, fuerzas de roce y sus coeficientes, fuerzas elásticas y ángulos de inclinación en sistemas compuestos tanto en equilibrio estático como en movimiento, descomponiendo la sumatoria de fuerzas.
Sistemas en equilibrio estático y en movimiento.
Interacción dinámica de uno o más cuerpos en el plano, cuerpos sostenidos por cuerdas inextensibles, sistemas de poleas simples, sistemas con resortes y el plano inclinado.
8 2.3.- Resuelve problemas de acuerdo a la capacidad que tiene un objeto de realizar trabajo cuando se mueve en un sistema aislado y bajo la influencia de un potencial.
2.3.1.- Calcula el trabajo que realiza un cuerpo bajo la influencia de una fuerza constante usando el producto punto o escalar.
2.3.2.- Calcula la energía cinética y potencial de un cuerpo usando ecuaciones de energía cinética y potencial.
Trabajo
Energía Mecánica:
- Cinética.
- Potencial Gravitatoria
Energía Elástica
Aplicaciones en sistemas simples
38
Reforzamiento
Clase 6Dinámica
La dinámica se encarga de determinar los factores que provocan un movimiento, en particular la masa, fuerza y leyes que rigen el fenómeno.
La masa es la propiedad de un objeto que especifica cuanta resistencia muestra un objeto para cambiar su velocidad, se mide en kilogramos.
La fuerza se define como aquello que causa un cambio en el movimiento de un objeto, es de carácter vectorial y se asume que es una interacción de contacto. Su unidad es el Newton
Las Leyes de Newton son tres:
Primera Ley de Newton o Ley de Inercia
Si un objeto no interactúa con otros objetos, es posible identificar un marco de referencia (inercial) en el que el objeto tiene aceleración cero. En ausencia de fuerzas externas, y cuando se ve desde un marco de referencia inercial, un objeto en reposo se mantiene en reposo y un objeto en movimiento continua en movimiento con una velocidad constante (esto es, con una rapidez constante en línea recta). Es decir, cuando ninguna fuerza actúa sobre un objeto, la aceleración del objeto es cero.
Segunda Ley de Newton
La aceleración de un objeto es directamente proporcional a la fuerza neta ∑ F, que actúa sobre el e inversamente proporcional a su masa
∑ F=ma
El peso es la fuerza de atracción que ejerce la tierra sobre la masa: mg (g=9.8 m/s2)
39
Reforzamiento
Tercera Ley de Newton
Si dos cuerpos interactúan, la fuerza F12 que ejerce el
objeto 1 sobre el objeto 2 es igual en magnitud y opuesta en dirección a la fuerza F21 que ejerce el objeto 2 sobre el objeto 1
F12=−F21
La fuerza F12 suele llamarse de acción y la fuerza F21 de
reacción. En todos los casos, las fuerzas de acción y reacción actúan sobre objetos diferentes y deben ser del mismo tipo.
La fuerza de reacción de una superficie sobre una masa se llama Fuerza Normal (N) y la aplicada a una cuerda se señala como T , cuya magnitud se denomina Tensión. La representación pictórica de las fuerzas sobre un cuerpo se denomina Diagrama de Cuerpo Libre. Cuando las Leyes de Newton se aplican a un objeto, se tiene interés solo en las fuerzas externas que actúan sobre el objeto.
Para una partícula en equilibrio la sumatoria de las fuerzas es igual a 0
∑ F=0
Para una partícula bajo una fuerza neta, la sumatoria se rige por la Segunda Ley de Newton
∑ F=ma
Recordar que las cuerdas y cables son inextensibles y solo trasmiten fuerza. Las poleas son ideales y sin masa, ni fricción.
Ejemplo
40
Reforzamiento
1. Un letrero está colgado de dos cadenas que forman un ángulo entre la horizontal del letrero y ellas de 35° y 55° respectivamente El letrero pesa
20 Kg y se desprecia el peso de las cadenas. Calcular la tensión de las cadenas.
Realizando Un Diagrama de Cuerpo Libre (DCL) del letrero, tenemos
∑ F=0
T 3−20 Kg 9.8ms2
=0
T 3−196 N=0
T 3=196N
Realizando una descomposición vectorial, tenemos
Eje x: −T 1cos35 °+T 2cos55 °=0
Eje y: T 1sin35 °+T2 sin 55°−196N=0
Resolviendo:
T 1sin 35 °+T1cos35°cos55°
sin55 °=196N
41
Reforzamiento
T 1=196N
sin35 °+ cos35 °cos55 °
sin 55 °=112.4N
T 2=160.5N
2. Determine la aceleración de la masa m, si se suelta desde la parte alta.
Las únicas fuerzas que actúan sobre el automóvil (N) que ejerce el plano inclinado, que actúa perpendicularmente al plano, y la fuerza gravitacional Fg=m g, que actúa verticalmente hacia abajo. Eligiendo convenientemente los ejes, tenemos
∑ F x=mgsin 30 °=max
∑ F y=N−mg cos30 °=0
ax=g sin 30 °=4.9 ms2
3. Una masa m1 y un bloque de masa m2 se unen mediante una cuerda ligera que pasa sobre una polea sin fricción de masa despreciable, como el de la figura. El bloque se encuentra sobre un plano inclinado sin fricción de ángulo θ. Encuentre la magnitud de la aceleración de los dos objetos y la tensión de la cuerda.
42
Reforzamiento
Primera se generan los DCL individualmente para identificar las fuerzas y generara las ecuaciones por componentes.
Aplicando la Segunda Ley de Newton en forma de componentes a la masa m2,
∑ F x=0
∑ F y=T−m2 g=m2ay=m2a
Esto es cierto si T > m1g.
Aplicando la Segunda Ley de Newton en forma de componentes a la masa m1, como los une una cuerda ambas aceleraciones son iguales
∑ F x=m1 g sin θ−T=m1ax=m1a
∑ F y=N−m1gcosθ=0
Ya que los dos objetos están conectados, se pueden igualar las magnitudes de la componente x de la aceleración del bloque y la componente y de la aceleración del bloque m2 y denominar a ambas a.Resolviendo, encontramos
T=m2(g+a)
43
Reforzamiento
m1g sinθ−m2 ( g+a )=m1a
a=m1 g sinθ−m2g
m1+m2
T=m1m2g(sinθ+1)
m1+m2
Ejercicios
1. Dos alumnos ubicados en los bordes opuestos de un camino recto tiran a un carro por el camino, con fuerzas de 160 N y 200 N, que forman un ángulo de 30º y 60º respectivamente, con la dirección del camino.
a) Calcular la magnitud de la fuerza resultante y la dirección en la que se moverá el carro.
b) Calcular la fuerza necesaria para que el carro se mueva en la dirección del camino
Respuesta: a) 256.1N, -21.3°, b) F2 = 128N
2. Tres fuerzas F1 = (-2i + 2j)N, F2 = (5i – 3j)N, y F3 = (-45i)N que actúan sobre un objeto le producen una aceleración de valor 3 m/s2.
a) ¿Cuál es la dirección de la aceleración? b) ¿Cuál es la masa del objeto?c) Si el objeto esta inicialmente en reposo, calcular
su velocidad después de 10s.
Respuesta: a) 1.4°, b) 14 kg, c) 30 m/s.
Una araña de 2 x 10-4 kg está suspendida de una hebra delgada de telaraña. La tensión máxima que soporta la hebra antes de romperse es 2.1 x10-3 N. Calcular la aceleración máxima con la cual la araña puede subir por la hebra con toda seguridad. Respuesta: 0.5m/s2.
44
Reforzamiento
3. En el sistema de la figura, la fuerza F paralela al plano inclinado empuja al bloque de masa m haciéndolo subir sobre el plano, de coeficiente de roce μ. Calcular en función de m, F, g, y α, la aceleración del bloque.
Respuesta: F/m -gsenα.
45
Reforzamiento
Clase 7
Fuerzas de Fricción
Cuando un objeto está en movimiento ya sea sobre una superficie o en un medio viscoso como aire o agua, existe resistencia al movimiento por que el objeto interactúa con su entorno. A tal resistencia se le llama fuerza de fricción. Los experimentos muestran que la fuerza de fricción surge de la naturaleza de las dos superficies debido a su rigurosidad.
Cuando un objeto al aplicarse una fuerza, este no se mueve, existiendo esa posibilidad, la fuerza opuesta se denomina fuerza de fricción estática f s y esta condición se llama movimiento inminente.
Y se cumple que f s≤μsN , siendo μs el coeficiente de
fricción estática y es adimensional.
Cuando el objeto comienza a moverse, la magnitud de la fuerza de fricción, que se opone al movimiento, se considerara como
f k=μk N
Donde μk se llama coeficiente de fricción cinética. Los
coeficientes toman valores entre 0 y 1.
Ejemplo
Un bloque de masa m1 sobre
una superficie horizontal rugosa se conecta a un bloque de masa m2 mediante una cuerda ideal que pasa por una polea ideal también,
46
Reforzamiento
como la figura. Al bloque m1 se aplica una fuerza de magnitud F en un ángulo θ. El coeficiente de fricción cinética entre el bloque y la superficie es de μk. Determine la magnitud de la aceleración de los cuerpos y la tensión de la cuerda.
47
Reforzamiento
Dibujando el DCL para ambos cuerpos
Ya que los dos objetos están conectados, se pueden igualar las magnitudes de la componente x de la aceleración del bloque y la componente y de la aceleración del bloque m2 y denominar a ambas a.
Aplicando la Segunda Ley de Newton en forma de componentes a la masa m2,
∑ F x=0
∑ F y=T−m2 g=m2ay=m2a
Aplicando la Segunda Ley de Newton en forma de componentes a la masa m1, como los une una cuerda ambas aceleraciones son iguales
∑ F x=F cosθ−f k−T=m1ax=m1a
∑ F y=F sinθ+N−m1g=0
f k=μk N
Resolviendo
N=m1 g−F sinθ
f k=μk (m1 g−F sinθ)
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Reforzamiento
T=m2(g+a)
F cosθ−μk (m1 g−F sinθ)−m2(g+a)=m1a
Finalmente
a=F (cosθ−μk sinθ)−(m¿¿2+μkm1)g
m1+m2¿
T=m2F (cosθ−μk sinθ)−(1+μk )m1 g
m1+m2
Ejercicios
1. En el sistema de la figura, la fuerza F paralela al plano inclinado empuja al bloque de masa m haciéndolo subir sobre el plano, de coeficiente de roce μ. Calcular en función de m, F, g, μ y α, la aceleración del bloque.
Respuesta: F/m -g(μcosα + senα).
2. El objeto de 100 g de masa se encuentra sobre un plano inclinado en 30° con la horizontal, con μk.de 0.22. Encuentre la fuerza paralela al plano que se necesita aplicar al objeto para que suba con velocidad constante.
Respuesta: 0.677 N
3. Tres objetos están conectados sobre una mesa como se muestra en la figura. La mesa es rugosa y tiene un coeficiente roce cinético de 0,35. Los
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Reforzamiento
objetos tienen masa de 4 kg, 1 kg y 2 kg y las poleas no tienen fricción. Trace diagramas de cuerpo libre de cada uno de los objetos. Calcule la aceleración de cada objeto y sus direcciones y las tensiones de las cuerdas.
Respuesta: 2,31 m/s2, 30 N y 24,2 N
50
Reforzamiento
Clase 8
Trabajo invertido por una fuerza constante
El trabajo es un mecanismo de transferencia de energía en un sistema.
El trabajo W invertido sobre un sistema por un agente que ejerce una fuerza constante sobre el sistema es el producto de la magnitud F de la fuerza, la magnitud Δr del desplazamiento del punto de aplicación de la fuerza y cos θ, donde θ es el ángulo entre los vectores fuerza y desplazamiento. La unidad de Trabajo es el Joule.
W=F∆r cosθ
Ley de Hooke
Dicha Ley establece que la fuerza que se requiere para estirar o comprimir un resorte es proporcional a la cantidad de estiramiento y compresión x.
F=−k x
Donde k es una medida de rigidez del resorte.
El trabajo consumido por un resorte
W s=12k x i
2−12k x f
2
Y se define la Energía Potencial Elástica como
U s=12k x2
El trabajo invertido por la fuerza neta en una partícula de masa m
W neta=12mv f
2−12mv i
2
51
Reforzamiento
Quiere decir que cuando se consume trabajo en un sistema, y el único cambio en el sistema es su rapidez, el trabajo neto consumido en el sistema es igual al cambio en energía cinética del sistema, es el teorema trabajo-energía.
Y se define la Energía Cinética como
K=12mv2
El trabajo consumido al moverse a través del Campo Gravitacional (g)
W neta=mgh f−mghi
La Energía Potencial Gravitacional de un sistema
U g=mgh
Ejemplos
1. Una señora va de compras con su carrito arrastrándolo con una fuerza de 50 N en un ángulo de 30° con la horizontal. Calcule el trabajo consumido por la fuerza sobre la aspiradora a medida que esta se desplaza 1 cuadra (aprox. 100 m).
Se aplica una fuerza sobre un objeto, un desplazamiento del objeto y un ángulo entre ambos. Utilizando la definición
W=50N 100m cos30°=4330 J
2. Se dispone de un resorte que cuelga verticalmente, donde se le ha adicionado una masa de 0.55 Kg y se estira 2 cm. Considerando
52
Reforzamiento
que la constante k del resorte es 5 N/m, encuentre el trabajo que invierte el resorte sobre la masa.
Aplicando la definición de trabajo para un resorte
W s=125 Nm0−125 Nm
(0.02m)2=−0.001 J
3. ¿Cuál es la Energía Cinética de un automóvil de 1 Tonelada que viaja a 100 Km/h y de un camión de 20 Toneladas a la misma velocidad?
Energía Cinética del automóvil
100
Kmh
∗1000m
1Km∗1h
3600 s=27.77m
s
K=121000Kg(27.7 m
s)2
=383645 J
Energía Cinética del camión
K=1220000Kg(27.7 m
s)2
=7.67 x106 J
4. ¿Cuál es la energía que debe aplicarse a una masa de 10 Kg para elevarla 2 m del suelo?
53
Reforzamiento
U g=mgh=10Kg 9.8ms22m=196 J
Ejercicios
Una masa de 2 kg cae 400 cm ¿Cuánto trabajo fue realizado sobre la masa por la fuerza de gravedad? ¿Cuánta Ug perdió la masa?
Respuesta: 78 J y -78 J
¿Cuánto trabajo se realiza contra la gravedad al levantar un objeto de 3 kg a través de una distancia vertical de 40 cm?
Respuesta: 11.76 J
Un remolcador ejerce una fuerza constante de 5000 Newton sobre un barco que se mueve con rapidez constante a través de una bahía. ¿Cuánto trabajo hace el remolcador sobre el barco en una distancia de 3 km?
Respuesta: 15000 J
Un bloque de 2,5 kg de masa es empujado 2,2 metros a lo largo de una mesa horizontal sin fricción por una fuerza constante de 16 Newton dirigida a 250 debajo de la horizontal. Encuentre el trabajo efectuado por:
a) La fuerza aplicada
b) La fuerza normal ejercida por la mesa
c) La fuerza de la gravedad
d) La fuerza neta sobre el bloque.
Respuesta: a) 14.5 J, b) 0, c) 0, d) 31.9 J
Unidad de Aprendizaje 3Conservación de la Energía.
CLASEAPRENDIZAJES
ESPERADOS CRITERIOS DE EVALUACION CONTENIDOS
9 3.1.- Resuelve problemas de conservación de energía en sistemas conservativos y no
3.1.1.- Aplica conceptos de conservación de la energía, en la resolución de problemas.
Sistemas conservativos y no conservativos.
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Reforzamiento
CLASEAPRENDIZAJES
ESPERADOS CRITERIOS DE EVALUACION CONTENIDOS
conservativos, de acuerdo al principio de conservación de la energía.
3.1.2.- Calcula variables: masa, posición, velocidad y coeficientes de roce, de acuerdo al principio de conservación de la energía en sistemas conservativos y no conservativos
Principio de conservación de la energía.
Disipación de la energía.
10 EVALUACION FORMATIVA CON RETROALIMNETACION DEL DOCENTE
55
Reforzamiento
Clase 9Fuerzas Conservativas y no conservativas
Las fuerzas conservativas tienen dos propiedades
1. El trabajo invertido por una fuerza conservativa sobre una partícula móvil entre dos puntos cualesquiera es independiente de la trayectoria tomada por la partícula.
2. El trabajo invertido por una fuerza conservativa en una partícula móvil a lo largo de cualesquier trayectoria cerrada es cero.
La fuerza gravitacional es conservativa.
Las fuerzas no conservativas no satisfacen las condiciones anteriores.
Se define la suma de las energías cinética y potencial de un sistema como la Energía Mecánica del sistema.
Emec=K+U
Conservación de la Energía
Si la cantidad total de energía en un sistema cambia, solo es porque la energía cambio mediante un mecanismo de transferencia, y este es el enunciado general del principio de conservación de la energía.
∆ E sistema=∑Transferencias
Un sistema es conservativo si la energía mecánica total del sistema es constante, es decir no existen fuerzas no conservativas
∆ E sistema=0
Es decir
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Reforzamiento
K f +U f=K i+U i
En caso contrario es un sistema no conservativo y se tendrá
∑W otras fuerzas no conservativas−f k d=∆ K
Para este curso la fuerza no conservativa será la fricción cinética, f k d
En otras palabras
∆ E sistema=∑W otras fuerzasno conservativas− f k d
Ejemplo
1. Una pelota de masa m se deja caer desde una altura h sobre el suelo, ignorando la resistencia del aire determine su rapidez cuando está a una altura h/2.
Como no hay fuerzas disipativas, se cumple que
K f +U f=K i+U i
12mv f
2+mgh f=0+mghi
12mv f
2+mgh2
=mgh
v f=√gh
2. Un bloque de 6 Kg, inicialmente en reposo, se jala hacia la derecha a lo largo de una superficie horizontal mediante una fuerza horizontal constante de 12 N. Encuentre la rapidez del
57
Reforzamiento
bloque después de que se mueve 3 m si el coeficiente de roce cinético es 0.15.
Realizando un DCL del bloque se obtiene que
W=12N 3m=36 J
∑ F y=0
n−mg=0
N=mg
Por lo tanto
f k=μkmg=0.156Kg 9.8 ms2
=8.82N
Aplicando teorema de energía
∑W otras fuerzas noconservativas−f k d=∆ K
36 J−8.82N 3m=126Kgvf
2
Resolviendo, obtenemos
v f=1.8ms
Ejercicios
1. Una pelota de masa m se deja caer de una altura h sobre el suelo.
a) Despreciando el roce con el aire, determine la rapidez de la pelota cuando esté a una altura y sobre el suelo.
b) Determine la rapidez de la pelota en y si en el instante de soltarla ya tiene rapidez inicial vi hacia arriba en la altura inicial h.
58
Reforzamiento
Respuesta: a) v f=√2 g (h− y ) b) v f=√v i2+2g(h− y )
2. Un péndulo simple consiste en una masa puntual m unida a una cuerda que no se estira. En ausencia de fricción el sistema oscila de un lado a otro en un plano vertical. Si la cuerda mide 2 m y forma un ángulo inicial de 30◦ con la vertical. Calcule la rapidez de la partícula en el punto más bajo de su trayectoria.
Respuesta: 2.29 m/s
3. Un tren de 60 ton asciende por una pendiente con inclinación del 1% (esto es, se eleva 1 m por cada 100 m horizontales) por medio de una tracción de lo tira con una fuerza de 3 kN. La fuerza de fricción que se opone al movimiento del tren es 4 kN. La rapidez inicial del tren es 12 m/s ¿Qué distancia horizontal s viajará el tren antes de que su velocidad se reduzca a 9 m/s?
Respuesta: 275 m
4. Un niño de masa m se desliza por un resbalín de altura h = 2 m. El niño arranca desde la parte alta desde el reposo.
a) Determine su rapidez en la parte más baja suponiendo que no hay fricción.
b) Si una fuerza de roce cinético actúa sobre el niño. ¿Cuánta energía mecánica pierde el sistema? Suponga que vf = 3 m/s y m = 20 kg.
Respuesta: a) 6,26 m/s, b) 302 J.
5. Una esquiadora inicia desde e reposo en la parte más alta de una pendiente sin fricción de 20 m de altura. En la parte más baja de la pendiente encuentra una superficie horizontal donde el coeficiente de roce cinético entre los esquís y la nieve es 0,21. ¿Qué distancia recorre ella en la superficie horizontal antes de detenerse si no se impulsa con los bastones?
Respuesta: 1595,3 m.
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Reforzamiento
AnexoTrigonometría
La trigonometría es el estudio de las razones trigonométricas
La trigonometría es una rama importante de las matemáticas dedicada al estudio de la relación entre los lados y ángulos de un triángulo rectángulo y una circunferencia. Con este propósito se definieron una serie de funciones.
Razones trigonométricas
El triángulo ABC es un triángulo rectángulo en C; lo usaremos para definir las razones seno, coseno y tangente, del ángulo , correspondiente al vértice A, situado en el centro de la circunferencia.
El seno (abreviado como sen, o sin por llamarse "sĭnus" en latín) es la razón entre el cateto opuesto sobre la hipotenusa.
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Reforzamiento
El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente sobre la hipotenusa,
La tangente (abreviado como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto sobre el cateto adyacente,
La Cosecante: (abreviado como csc o cosec) es la razón inversa de seno, o también su inverso multiplicativo:
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Reforzamiento
Funciones trigonométricas recíprocas
En trigonometría, cuando el ángulo se expresa en radianes (dado que un radián es el arco de circunferencia de longitud igual al radio), suele denominarse arco a cualquier cantidad expresada en radianes; por eso las funciones inversas se denominan con el prefijo arco, cada razón trigonométrica posee su propia función inversa:
y es igual al seno de x, la función inversa:
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Reforzamiento
x es el arco cuyo seno vale y, o también x es el arcoseno de y.
si:
y es igual al coseno de x, la función inversa:
x es el arco cuyo coseno vale y, que se dice: x es el arcocoseno de y.
si:
y es igual al tangente de x, la función inversa:
x es el arco cuya tangente vale y, o x es igual al arcotangente de y.
NOTA: Es común, que las funciones inversas sean escritas de esta manera:
Pero se debe tener cuidado de no confundirlas con:
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