TORSIÓN1 - MODIFICADO

5/16/2018 TORSI N1 - MODIFICADO - slidepdf.com

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TORSIÓN

Fotografía 39 Terminal del Aeropuerto Internacional de Newark, Nueva Jersey. (Cortesía de lasautoridades del puerto de Nueva York - Nueva Jersey.) (Véase p, 209.)



7.1 INTRODUCCIÓN

La torsión ocurre en construcciones monolíticas de concreto principalmente donde la

carga actúa a una distancia del eje longitudinal del miembro estructural. Algunos

ejemplos de elementos estructurales sujetos a momentos torsionantes son: una viga de

extremo en un tablero de piso, una viga de borde cargada en un extremo, vigas

perimetrales que circundan una abertura de piso o una escalera helicoidal. Algunas

veces estos momentos causan esfuerzos cortantes excesivos. Originan el desarrollo de

importantes grietas más allá de los límites permisibles de servicio, a menos que se

proporcione refuerzo especial por torsión. Las fotografías 40 y 41 muestran la ex-

tensión del agrietamiento cuando una viga falla por torsión. En ellas se puede observar

el plano curvilíneo de torsión causado por los momentos torsionantes impuestos. En

vigas reales de borde de un sistema estructural, el grado de daño debido a la torsión no

es por lo general tan crítico, como se observa en las fotografías 42 y 43. Esto se debe a

la redistribución de los esfuerzos en la estructura. Sin embargo, siempre se deberá

evitar la pérdida de la integridad debido al peligro de la torsión realizando un diseño

adecuado del refuerzo necesario por torsión.

Una introducción al tema de distribución de los esfuerzos torsionantes debe comenzar

con el comportamiento elástico básico de las secciones simples, tales como

Fotografía 40 Viga de yeso reforzado a la

falla en torsión pura. (Pruebas en la

Universidad de Rutgers: Law, Nawy. y cols.)

(a)

(b) Fotografía 41 Viga de mortero simple en

torsión pura; (a) vista superior; (b) vista

inferior. (Pruebas en la Universidad de

Rutgers: Law, Nawy, y cols.)



Fotografía 42 Vigas de concreto reforzado en torsión-disposición de

prueba. (Cortesía de Thomas T. C. Hsu.)

Fotografía 43 Acercamiento de las grietas por torsión de las vigas de

La fotografía anterior. (Cortesía de Thomas T. C. Hsu.)



Las circulares o las rectangulares. La mayoría de las vigas de concreto sujetas a

torsión son componentes de rectángulos. Por lo general, son secciones con patín, ya

sea T o L. Aunque las secciones circulares son raras en las construcciones normales de

concreto, una breve discusión de torsión en secciones circulares sirve como intro-

ducción al comportamiento ante la torsión de otros tipos de secciones.

El esfuerzo cortante es igual a la deformación por cortante multiplicada por el

módulo de cortante en el nivel, elástico en las secciones circulares. Como se vio en

el caso de flexión, el esfuerzo es proporcional a su distancia del eje neutro (al centro

de la sección circular) y es máximo en las fibras externas. Si r es el radio del

elemento, J = πr A / 2 , su momento polar de inercia y el esfuerzo cortante elástico

debido a un momento torsionante elástico T e.

Cuando la deformación ocurre en la flecha circular, se supone que el eje del cilindro

circular permanece recto. Cualquier radio en una sección transversal también

permanece recto (sin alabeo) y gira a través del mismo ángulo respecto al eje.

Conforme el elemento circular comienza a comportarse plásticamente, el esfuerzo en

el anillo plástico exterior se hace constante, mientras que en el núcleo interior

permanece elástico, como se muestra en la figura 7.1, Conforme la sección transversal

completa viene a ser plástica, b = 0 y el esfuerzo cortante.

donde es el esfuerzo cortante no lineal debido a un momento torsionante último T p,

y el subíndice f representa la falla.

Fotografía 43 Distribución de esfuerzos de torsión a través de una

sección circular.



Figura 7.2 Distribución del esfuerzo de

torsión pura en una sección rectangular.

En las secciones rectangulares, el problema de la torsión es más complicado.

Las secciones transversales originalmente planas experimentan alabeo debido al

momento torsionante aplicado. Este momento produce esfuerzos cortantes axiales así

como circunferenciales con valores cero en las esquinas de la sección y en el centroide

del rectángulo y valores máximos en la periferia a la mitad de los lados, como se

observa en la figura 7.2. El esfuerzo cortante máximo de torsión ocurre en los puntos

centrales A y B de la dimensión mayor de la sección transversal. Estas complicaciones,

además del hecho de que las secciones de concreto reforzado no son ni homogéneas ni

isotrópicas, hacen difícil desarrollar fórmulas matemáticas exactas basadas en modelos

físicos tales como las ecuaciones (a) y (b) para secciones circulares.Por más de 60 años, el análisis de torsión de miembros de concreto se ha

basado en (1) la teoría clásica de la elasticidad desarrollada a través de fórmulas mate-

máticas en conjunto con la analogía de la membrana (de St.-Venant), o bien, (2) en la

teoría de la plasticidad representada por la analogía del montón de arena (de Nadai).

Ambas teorías se aplicaron principalmente al estado de torsión pura. Sin embargo, se

encontró en forma experimental, que la teoría plástica no es del todo satisfactoria para

la correcta determinación del estado de esfuerzos en el concreto sujeto a torsión pura.

No obstante, en la aproximación plástica es donde el comportamiento del concreto se

encontró mejor representado. Por eso, casi todos los desarrollos en torsión para

concreto simple y reforzado han tomado esta dirección.

7.2 TORSION FURA EN ELEMENTOS DE CONCRETO SIMPLE

7.2.1 Torsión en materiales elásticos

En 1853 St.-Venant presentó su solución al problema de torsión elástica con alabeo

debida a la torsión pura desarrollada en las secciones no circulares. En 1905 Prandtl



demostró el significado físico de las fórmulas matemáticas mediante su modelo de la

analogía de membrana. El modelo establece relaciones particulares entre la superficie

deformada de la membrana cargada y la distribución de los esfuerzos de torsión en un

barra sujeta a momentos torsionantes. La figura 7.3 muestra el comportamiento de la

analogía de membrana para secciones rectangulares así como en L.

Se puede probar que para deformaciones pequeñas, la ecuación diferencial de la

superficie deformada de la membrana tiene la misma forma que la ecuación que

determina la distribución de esfuerzos en la sección transversal de la barra sujeta a

momentos torsionantes. De igual manera, se puede demostrar que (1) la tangente a una

línea de contorno en cualquier punto de una membrana deformada da la dirección del

esfuerzo cortante en la sección transversal correspondiente de la membrana

(a)(b)

(c) (d)

Figura 7.3 Analogía de la membrana en torsión pura elástica:

(a) membrana bajo presión; (b) contornos en una viga real o en

una membrana; (c) sección L; (d) sección rectangular.



real sujeta a torsión; (2) la pendiente máxima de la membrana en cualquier punto es

proporcional a la magnitud del esfuerzo cortante en el punto correspondiente en el

miembro real y (3), el momento torsionante al cual el miembro real se sujeta es

proporcional a dos veces el volumen debajo de la membrana deformada.

De las figuras 7.2 y 7.3b se puede observar que el esfuerzo cortante de torsión

es inversamente proporcional a la distancia entre las líneas de contorno. Cuanto más

cerca esté la línea, mayor será el esfuerzo, llevándonos a la conclusión establecida

anteriormente de que el esfuerzo cortante máximo de torsión ocurre en la mitad del

lado más largo del rectángulo. De acuerdo con la analogía de membrana, este esfuerzo

máximo deberá ser proporcional a la pendiente más inclinada de las tangentes en los

puntos A y B.

Si = desplazamiento máximo de la membrana con respecto a la tangente en el

punto A, entonces por principios básicos de mecánica, y por la teoría de St.-Venant,

δ = b2Gθ (7.1a)

donde G es el módulo de cortante y θ el ángulo de torsión. Pero es propor-

cional a la pendiente de la tangente; entonces (7.1b)

donde las k son constantes. El momento torsionante correspondiente T e es propor-

cional a dos veces el volumen debajo de la membrana, o bien

*

o bien (7.1c)

De las ecuaciones 7.1b y 7.1c,

(7.1d)

El denominador kb3h en la ecuación 7.1d representa el momento polar de inercia J de

la sección. Comparando la ecuación 7.1d con la ecuación (a) para la sección circular,

se puede ver la similitud de las dos expresiones excepto porque el factor k en la

ecuación para la sección rectangular toma en cuenta las deformaciones por cortante

debido al alabeo. La ecuación 7.1d se puede simplificar aún más dándonos

(7.2)

Se puede escribir también de manera que nos dé el esfuerzo en planos dentro de la

sección, tal como un rectángulo concéntrico interior de dimensiones x y y, donde x es el

lado más corto, de manera que



(7.3)

Es importante señalar que cuando se utiliza la analogía de la membrana, el esfuerzo

cortante de torsión cambia de un punto a otro a lo largo del mismo eje como AB en la

figura 7.3, debido al cambio de pendiente de la membrana análoga, originando largoscálculos para el esfuerzo cortante de torsión.

7.2.2 Torsión en materiales plásticos

Como se mencionó anteriormente, la analogía plástica del montón de arena propor-

ciona una mejor representación del comportamiento de los elementos frágiles tales

como las vigas de concreto sujetas a torsión pura. El momento torsionante es también

proporcional a dos veces el volumen debajo del montón y el esfuerzo cortante

Figura 7.4 Analogía del montón de arena en torsión pura plástica; (a) montón de arena

en una sección L; (b) montón de arena en una sección rectangular; (c) planta de la

sección rectangular; (d) esfuerzo cortante por torsión.



máximo de torsión es proporcional a la pendiente del montón de arena. La figura 7.4

es una representación bidimensional y tridimensional del montón de arena. El

momento torsionante T p en la figura 7 .4d es proporcional a dos veces el volumen del

montón rectangular que se muestra en las partes (b) y (c). Por otro lado, se debe

reconocer que en la analogía del montón de arena, la pendiente de los lados del

montón de arena como una medida del esfuerzo cortante de torsión es constante,

mientras que en la analogía de la membrana es continuamente variable. Esta carac-

terística del montón de arena simplifica las soluciones en forma considerable.

7.2.3 Analogía del montón de arena aplicada a vigas L

La mayoría de los elementos de concreto sujetos a torsión son las secciones con un

volado de patín, más comúnmente vigas L abarcando las vigas de los muros externos

de un piso estructural.

Figura 7.5 Analogía del montón de arena en una sección con patín: (a) montón de arena en

una sección transversal en forma de L; (b) pirámide compuesta del alma (V1); (c) segmentode la membrana del alma (V2); (d) membrana transformada del patín de la viga (V3).



Se ha escogido la viga L de la figura 7.5 para la aplicación de la aproximación plástica

del montón de arena a fin de evaluar su capacidad de momento torsionante y los

esfuerzos cortantes a los cuales está sujeta. El montón de arena se divide en tres

volúmenes:

V 1 = pirámide representando una sección transversal cuadrada

V 2 = parte de la membrana del alma que representa una sección transversal

rectangular =

V 3 = representando el patín de la viga, trasladando la parte PDI a NQM = (b — bw) /2

El momento torsionante es proporcional a dos veces el volumen de los montones de

arena; de donde

(7.4)

Por otra parte, el esfuerzo cortante de torsión es proporcional a la pendiente de los

montones de arena; por lo tanto,

(7.5a)

(7.5b)

Sustituyendo , y de las ecuaciones 7.5a y 7.5b en la ecuación 7.4 tenemos ⁄ ( ⁄ ) (7.6)

Si dividimos entre tanto el numerador como el denominador de la ecuación 7.6

y reordenamos términos, se tiene

⁄ (

⁄ ) ⁄

⁄

(7.7a)

Si suponemos que es el denominador en la ecuación 7.7a y , la

ecuación 7.7a viene a ser

(7.7b)

donde es el momento polar de inercia equivalente y una función de la forma de la

sección transversal de la viga. Cabe hacer notar que la ecuación 7.7b es similar

en formato a la ecuación 7.1d según la analogía de la membrana excepto por los

diferentes valores de los denominadores J y

.

La ecuación 7.7a se puede aplicarfácilmente a las secciones rectangulares haciendo .



Figura 7.6 Componentes de rectángulos para el cálculo de Tc

Por otra parte, se debe reconocer que el concreto no es un material perfecta-

mente plástico; por lo que la resistencia real a la torsión de la sección de concreto

simple tiene un valor que está entre los valores de la analogía de la membrana y la

analogía del montón de arena.

La ecuación 7.7b se puede volver a escribir haciendo T p = T c como la resis-

tencia nominal a la torsión del concreto simple y utilizando la termi-

nología del ACI, de manera que (7.8a)

(7.8b)

donde x es la dimensión más pequeña de la sección rectangular.

Trabajos realizados por Hsu y confirmados por otros han establecido que se

puede tomar como 1/3. Este valor se obtuvo de investigaciones en la teoría de la

flexión asimétrica del concreto simple. Por otra parte, se ha establecido que se

considere como un valor límite de la resistencia a la torsión pura de un miembro sin

refuerzo por torsión. Utilizando un factor de reducción de 2.5 para la primera carga de

agrietamiento por torsión

y utilizando

in en la ecuación

7.8, resulta (7.9a)

donde x es el lado más corto de la sección rectangular. El elevado factor de reducción

de 2.5 se utiliza para tomar en cuenta cualquier efecto de momentos flexionantes que

se pudiera presentar.

Si la sección transversal es una sección T o L, el área se puede dividir en

componentes de rectángulos como se muestra en la figura 7.6, de manera que

(7.9a)



7.3 TORSIÒN EN ELEMENTOS DE CONCRETO REFORZADO

La torsión raramente ocurre en las estructuras de concreto sin que esté acompañada

por flexión y cortante. Lo anterior dará un antecedente suficiente sobre la contribución

del concreto simple en la sección para resistir parte de los esfuerzos combinados que

resultan de las fuerzas de torsión, axiales, cortantes o de flexión. La capacidad delconcreto simple para resistir torsión cuando se presenta en combinación con otras

cargas puede, en muchos casos, ser menor que cuando resiste únicamente los mismos

momentos torsionantes externos factorizados. Así que se deberá proporcionar refuerzo

por torsión para resistir el exceso de ésta. La inclusión del refuerzo longitudinal y

transversal para resistir parte de los momentos torsionantes introduce un nuevo

elemento en el conjunto de fuerzas y momentos en la sección. Si

T n = resistencia nominal total a la torsión requerida de la sección incluyendo el

refuerzo

T c = resistencia nominal a la torsión del concreto simple

T s = resistencia a la torsión del refuerzo

de donde T n = T c + T s (7.10a)

o bien T s = T n T c (7.10b)

A fin de estudiar la contribución de las varillas longitudinales y transversales

para poder evaluar T s , se deberá analizar el sistema de fuerzas que actúa en las

secciones transversales alabeadas del elemento estructural en el estado límite de falla.

En la actualidad se aceptan básicamente dos aproximaciones:

1. La teoría de la flexión asimétrica, la cual se basa en la aproximación de la

distribución plana de deformaciones de las secciones transversales sujetas a flexión

y torsión.

2. La teoría de la analogía de la armadura y su extensión como teoría en el campo de

compresión. Esta teoría aplica a los estribos de torsión una analogía de la armadura

modificada comparable a la utilizada para el diseño de los estribos de cortante.

7.3.1 Teoría de la flexión asimétrica

Esta teoría considera en detalle el comportamiento de la deformación interna de las

series de superficies transversales alabeadas a lo largo de la viga. Propuesta

inicialmente por Lessig, tuvo contribuciones posteriores de Collins, Hsu, Zia, Gesund,

Mattock y Elfgren entre otros investigadores en este campo, T. C. C. Hsu hizo la

mayor contribución experimental en el desarrollo de la teoría de la flexión asimétrica.

En su reciente libro (referencia 7.12), Hsu detalla el desarrollo de la teoría de la

torsión aplicada a las estructuras de concreto y cómo la teoría de la flexión asimétrica

formó las bases de la norma actual del ACI referente a torsión. La complejidad del



Figura 7.7 Flexión asimétrica debida a la torsión: (a) flexión antes de la

torsión; (b) flexión y torsión.

problema de torsión permite en este libro de texto únicamente una discusión breve de

acuerdo a lo siguiente.

La superficie de falla cíe la sección transversal de una viga normal sujeta a un

momento flexionante permanece plana después de la flexión, como se muestra en

la figura 7.7a. Si además se aplica un momento torsionante

de tal forma que se

exceda la capacidad de la sección, se comenzarán a desarrollar grietas en las tres caras

de la sección transversal de la viga y esfuerzos de compresión en algunas partes de la

cuarta cara a lo largo de la viga. Conforme la carga de torsión alcanza el estado límite

de falla, resulta una superficie de falla oblicua debido a la combinación del momento

torsionante y el momento flexionante El eje neutro de la superficie oblicua y el

área sombreada en la figura 7.7b que representa la zona de compresión, ya no será

recta sino que tendrá un ángulo

respecto a las secciones transversales planas

originales.Antes del agrietamiento, ni las varillas longitudinales ni los estribos cerrados

tienen una contribución apreciable a la rigidez torsional de la sección. En la etapa de

carga posterior al agrietamiento, se reduce la rigidez de la sección, pero su resistencia

a la torsión aumenta en forma considerable, dependiendo de la cantidad y

distribución, tanto de las varillas longitudinales como de los estribos transversales

cerrados. Se debe señalar que, si no se usan varillas longitudinales de torsión y

estribos transversales, no se logrará resistencia adicional a la torsión en la viga,

además de la capacidad del concreto simple.



Figura 7.8 Fuerzas en los planos bajo flexión asimétrica: (a) todas las

fuerzas actúan en el plano oblicuo a la falla; (b) vector de fuerzas en la

zona de compresión.

La teoría de la flexión asimétrica idealiza la zona de compresión considerán-

dola de una profundidad uniforme. Supone que las grietas en las tres caras restantes de

la sección transversal se extienden de manera uniforme, con los estribos en esas caras

soportando las fuerzas de tensión en las grietas y las varillas longitudinales resistiendo

el cortante a través de la acción de dovela con el concreto. La figura 7.8a muestra las

fuerzas que actúan en el plano oblicuo flexionado. El polígono de la figura 7.8b da la

resistencia al cortante F c del concreto, la fuerza T t de las varillas longitudinales activas

en la zona de compresión y la fuerza normal C c del bloque de compresión.

El momento torsionante T c de la fuerza cortante resistente F c generada por el

área sombreada del bloque de compresión en la figura 7.8a es de este modo

su brazo respecto a las fuerzas

en la figura 7.8a



O bien √ (7.11a)

donde x es el lado más corto de la viga. Como resultado de una gran número de

pruebas (referencias 7.9 y 7.12) para evaluar F c en términos de los esfuerzos internos

en el concreto,

, y las constantes torsionales geométricas de la sección,

,

conducen a la expresión √ (7.11)

Las fuerzas de dovela F x y F y. se suponen proporcionales a las áreas de la sección

transversal de estas varillas. Si se establece una relación entre la proporción de la

resistencia a la torsión proporcionada por las fuerzas de dovela F x y F v y la resistencia

a la torsión de las fuerzas del zuncho F v, los momentos torsionantes serán las

sumatorias

* * * *

Las dimensiones x1 y y1 son, respectivamente, las dimensiones corta y larga centro a

centro de los estribos cerrados rectangulares y las dimensiones x0 y y0 son las

dimensiones correspondientes centro a centro de las varillas longitudinales en las

esquinas de los estribos. La expresión resultante para la resistencia a la torsión, ,

proporcionada por los zunchos y el acero longitudinal en la sección rectangular es

(7.12)

donde ⁄ , de manera que el momento resistente nominal total a

la torsión es , o bien

√ * (7.13)

7.3.2 Teoría de la analogía de la armadura en el espacio

Esta teoría se desarrolló en un principio por Ramsch y fue difundida posteriormente

por Lampert y Collins, con trabajos adicionales por Hsu, Thurliman, Elfgren y otros.

Collins y Mitchell introdujeron un mayor refinamiento (referencia 7.11) como una

teoría en el campo de compresión. La analogía de la armadura en el espacio es una

extensión del modelo utilizado en el diseño de los estribos que resisten cortantes, en

la cual las grietas de tensión diagonal, una vez presentadas, son resistidas por los

estribos. Debido a la forma no plana de las secciones transversales por efecto del

momento torsionante, se utiliza una armadura en el espacio compuesta de los estribos

como miembros en tensión diagonal y las franjas de concreto idealizadas a 45° entre

las grietas como los miembros en compresión, como se muestra en la figura 7.9.

En esta teoría se supone que la viga de concreto se comporta en torsión en forma

similar a un cajón de pared delgada con un flujo de cortante constante en la sección



Figura 7.9 Fuerzas en la superficie de concreto de una sección hueca

en cajón según la analogía de la armadura.

sección transversal de la pared, produciendo un momento torsionante constante. El uso

de secciones de pared hueca en lugar de secciones sólidas probaron dar esencialmente

el mismo momento torsionante último, con la condición de que las paredes no sean

demasiado delgadas. Dicha conclusión se apoya en pruebas que muestran que la

resistencia a la torsión de las secciones sólidas está compuesta de la resistencia de los

estribos cerrados, consistiendo de las varillas longitudinales y de los estribos

transversales y de los puntales de concreto inclinados en compresión idealizados en el

plano de la pared. Los puntales de compresión son las franjas de concreto inclinadas

entre las grietas como se indica en la figura 7.9.

La norma del Comité Europeo del Concreto (CEB-FIP) se basa en el modelo

de la armadura en el espacio. En esta norma, el espesor efectivo de la pared de la viga

hueca se toma como , donde , es el diámetro del círculo inscrito en el rectángulo

que conecta, las varillas longitudinales de esquina, designando, en la figura

7.9. En resumen, la ausencia del núcleo no afecta la resistencia de tales miembros en

torsión; de aquí que se acepte la aproximación de la analogía de la armadura en elespacio basada en las secciones huecas.



Si el flujo de cortante en las paredes de la sección en cajón es τ t , donde τ es el

esfuerzo cortante y F es la fuerza de tensión en cada varilla longitudinal de esquina,

la ecuación de equilibrio de fuerzas será

(7.14)

Y los momentos debidos a las fuerzas del flujo de cortante serán (7.15)

Si At es el área de la sección transversal del estribo y f y es la resistencia de fluencia del

estribo separado a una distancia s, entonces (7.16a)

Por otra parte, si Al es el área total de las cuatro varillas longitudinales en las

esquinas.

(7.16b)

Resolviendo las ecuaciones (7.14), (7.15) y (7.16a) tenemos

(7.17)

Para el caso de volúmenes iguales de acero longitudinal y de estribos transversales

(por ejemplo

), en el momento resistente a la torsión T n en la falla será

(7.18)

Cabe hacer notar la similitud del formato con la ecuación 7,12, desarrollada con la

teoría de la flexión asimétrica y la ecuación 7.18, que se dedujo por la teoría de la

analogía de la armadura en el espacio.

7.4 COMPORTAMIENTO DEL CONCRETO BAJO COMBINACIÓN DE TORSIÓN,

CORTANTE Y FLEXIÓN

7.4.1 Torsión y cortante combinados

Hasta aquí la discusión ha presentado el mecanismo interno resistente y las fuerzas,

momentos y esfuerzos acompañantes en el concreto simple y en el refuerzo cuando un

elemento estructural unidimensional está sujeto a momentos torsionantes.



Figura 7.10 Diagrama de interacción

para torsión y cortante combinados.

Cuando la torsión externa está acompañada por un cortante externo, la misma sección

queda sujeta a esfuerzos cortantes, más elevados debido al efecto combinado de los

dos tipos de carga mientras interactúan entre sí. La resistencia de una viga a torsión y

cortante combinados es menor que su resistencia a cualquiera de estos dos parámetros

cuando actúan en forma separada. Así que, es necesaria una relación de interacción de

manera similar a la desarrollada para carga axial y flexión combinados, discutida en el

capítulo 9. La figura 7.10 representa la siguiente expresión de interacción

adimensional relacionando a la torsión con el cortante:

1. Miembro sin acero en el alma:

*

*

(7.19a)

y son la torsión y el cortante externo nominal cuando actúan

simultáneamente. y son los valores nominales para la torsión y el cortante

cuando cada una actúa en forma separada.

2. Miembros reforzados por torsión y cortante combinados:

* * (7.19b)



T n y V n representan las resistencias nominales a la torsión y al cortante para resistir

T u y V u cuando actúan simultáneamente. T n0 = T c +T s representa la resistencia

nominal a la torsión del alma reforzada cuando actúa únicamente torsión pura en

la sección; V n0 = V c + V s representa la resistencia nominal al cortante del alma

reforzada cuando actúa únicamente cortante en la sección. La ecuación 7.19a se

puede volver a escribir utilizando los valores aproximados de T c de la ecuación

7.11b y de V c de la ecuación 6.9 para el alma no reforzada:

∑ (7.20)

En el caso del alma reforzada sujeta a torsión y cortante combinados, se deberá

considerar un límite superior para T n0 y V n0 a fin de garantizar la fluencia del

refuerzo del alma en el estado límite de falla. Basado en resultados de pruebas, ∑ y

De donde, la ecuación 7.19b viene a ser

∑ (7.21)

Al comparar la ecuación 7.20 con la ecuación 7.21 se puede ver que . El

ACI simplifica el procedimiento con la condición de que

(7.22)

De otra manera, se deberá aumentar la sección transversal de la viga.

7.4.2 Torsión y flexión combinados

Cuando la flexión la flexión actúa simultáneamente con la torsión, la capacidad a la

flexión de la sección se reduce en forma considerable. Debido a ello, se produce el

agrietamiento por efecto de los esfuerzos cortantes de torsión a bajos niveles de carga.

La figura 7.11c muestra el vector resultante Ru para momentos flexionantes y

torsionantes combinados, los cuales causan el alabeo de la sección, como se indica en

la figura 7.7b.

De manera similar al caso de torsión y cortante combinados, se establece una relación

de interacción relacionando a la torsión con la flexión y actuando en forma simultánea.

Se debe suponer que la sección está reforzada con acero de tensión y de compresión.



Figura 7.11 Representación esquemática del vector de torsión y flexión

combinados: (a) flexión; (b) torsión; (c) flexión y torsión combinados.

Se pueden desarrollar dos casos para los cuales las siguientes expresiones de

interacción sean aplicables:

1. Cuando el acero de tensión fluye en la zona de tensión,

* * (7.23a)

2. Cuando el acero de tensión fluye en la zona de comprensión por flexión,

Figura 7.12 Diagrama de

interacción para torsión y

flexión combinados.



* (7.23b)

Donde T n = momento resistente nominal a la torsión equivalente a ⁄

T n0 = resistencia nominal a la torsión del alma reforzada cuando sólo

actúa la torsión pura. M n = momento flexionante resistente nominal ⁄

M n0 = resistencia flexionante nominal cuando sólo actúa la flexión

La figura 7.12 muestra el diagrama de interacción para torsión y flexión combinados

para relaciones de fuerza ⁄ entre los valores de 1.0 y 3.0.

7.4.3 Flexión, cortante y torsión combinados

Una combinación de estos tres parámetros en una superficie tridimensional de

interacción. El alcance del libro limita la factibilidad de una discusión profunda. La

expresión aplicable resulta de superponer el efecto de la torsión y el cortante

combinados en el efecto de la flexión y la torsión combinados según los dos casos de

interacción presentados en las secciones 7.4.1 y 7.4.2. El ACI requiere (1) cálculo del

acero transversal del alma por cortante, adicionándolo al acero transversal del alma

por torsión calculado separadamente, y (2) cálculo del acero longitudinal por torsión,

adicionándolo al acero de tensión requerido por flexión, pero distribuyéndolo en forma

simétrica en todas las caras de la sección transversal.

7.5 DISEÑO DE VIGAS DE CONCRETO REFORZADO SUJETAS A TORSIÓN,

FLEXIÓN Y CORTANTE COMBINADOS

7.5.1 Comportamiento de estructuras bajo torsión

El momento torsionante que actúa en un componente estructural en particular, tal

como una viga de borde se puede calcular utilizando procedimientos normales de

análisis estructural. El diseño de dicho elemento se deberá basar en el estado límite de

falla. Por lo tanto, el comportamiento no lineal de un sistema estructural después deí

agrietamiento por torsión se deberá identificar en una de las dos siguientes

condiciones: (1) no existe una redistribución de los esfuerzos de torsión a otros

miembros después del agrietamiento y (2) existe una redistribución de los esfuerzos y

momentos de torsión después del agrietamiento para efecto de la compatibilidad de

deformaciones entre los miembros que se intersectan.



Figura 7.13 No existe redistribución de la

torsión (equilibrio por torsión).

Los esfuerzos que resultan de la torsión en vigas estáticamente determinadas se

pueden evaluar únicamente a partir de las condiciones de equilibrio. Tales condiciones

requieren un diseño para el momento torsionante externo total factorizado, ya que no

es posible la redistribución de los esfuerzos de torsión. A este estado frecuentemente

se le denomina equilibrio por torsión. Un ejemplo de ello es el de una viga de orilla

que soporta un voladizo como el que se muestra en la figura 7,13.

La viga de orilla se debe diseñar para resistir el momento torsionante externo total

factorizado debido a la losa en voladizo; de otro modo, la estructura fallará. La falla

será causada porque no se satisfacen las condiciones de equilibrio de fuerzas y

momentos en la viga que resultan de la gran torsión externa.

En sistemas estáticamente indeterminados, suposiciones de rigidez, compatibilidad de

las deformaciones en las uniones y redistribución de los esfuerzos pueden afectar las

resultantes de los esfuerzos, conduciendo a una reducción de los esfuerzos cortantes de

torsión resultantes. Se permite una reducción en el valor del momento factorizado,

utilizado en el diseño del miembro, si parte de este momento, se puede redistribuir a

los miembros que se intersectan. El ACI permite un momento torsionante máximo

factorizado en la sección crítica d a partir del paño de los apoyos:

∑ (7.24)

La omisión del efecto de la torsión total externa realmente en este caso no conduce a la

falla de la estructura pero puede resultar en un agrietamiento excesivo si



∑ ⁄ es considerablemente menor que el momento torsionante real

factorizado. En la figura 7.14 se indica un ejemplo de la compatibilidad de la torsión.

Figura 7.14 Redistribución de la torsión (compatibilidad): (a) vista

isométrica de un tablero de extremo; (b) planta de un sistema típico de

piso en una dirección.

De la figura 7.14b se puede ver que las vigas B2 producen momentos torsionantes T u

en las secciones 1 y 2 de la viga de borde AB. Las magnitudes de las rigideces relativas

de la viga AB y de las vigas transversales B2 determinan las magnitudes de rotación en

las uniones 1 y 2. Por continuidad y acción en dos direcciones, los momentos extremos

de las vigas B2 en sus intersecciones con la viga de borde AB no se transferirán en su

totalidad como momentos torsionantes a los apoyos de las columnas en A y B. Sin

embargo, se reducirán de manera significativa como resultado de 1a. redistribución de

momento en la transferencia de la mayor parte de los momentos flexionantes extremos



de los puntos 1 y 2 a los puntos 3 y 4 así como

al centro del claro de las vigas B2 .T u se determina con la ecuación 7.24 en cada uno de

los apoyos A y B de la viga de borde y en la sección crítica d a partir de estos apoyos.

∑

Si el momento torsionante real factorizado debido a las vigas B2 es menor que el

obtenido con la ecuación 7.24, la viga se deberá diseñar para el valor menor de la

torsión. Sin embargo, los momentos torsionantes pueden ser insignificantes si (7.25)

Cuando el momento torsionante factorizando T u excede

∑

el ACI

requiere que el alma de las secciones de concreto simple se diseñe para

[ ⁄ ] (7.26a)

Y

∑ ⁄ (7.26b)

Las ecuaciones 7.26a y 7.26b se derivan de la ecuación 7.20 suponiendo que la

relación del momento torsionante a la fuerza cortante permanece constante a través de

la historia de la carga. Cuando se toma en cuenta la contribución del refuerzo por

torsión, el ACI limita la fuerza de torsión T s resistida por el acero a un valor no mayor

de 4 T c, véase la ecuación 7.22.

7.5.2 Refuerzo del alma por torsión

Como se indicó en la sección 7.3.1, se puede lograr una resistencia adicional a la

torsión muy significativa debido a la adición del refuerzo por torsión, únicamente si se

utilizan estribos y varillas longitudinales. Idealmente, se deberán utilizar iguales

volúmenes de acero tanto en los estribos cerrados como en las varillas longitudinales,

de tal manera que ambos participen por igual al resistir los momentos torsionantes.

Este principio es la base de las expresiones del ACI para el proporcionamiento del

acero por torsión en el alma. Si s es la separación de los estribos, Al es el área total de

la sección transversal de las varillas longitudinales y At es la sección transversal de

una rama de estribo, donde las dimensiones del estribo son x1 en la dirección corta y

y1 en la dirección larga, entonces



(7.27a)

De manera que

(7.27b)

Por eso el acero total del alma pro torsión, incluyendo tanto los estribos cerrados como

las varillas longitudinales de las ecuaciones 7.27ª y 7.27b, viene a ser

(7.28a)

Pero, de la ecuación 7.12,

(7.28b)

Donde ⁄ y T s es el momento resistente a la torsión delacero del alma por torsión. Si T c es la resistencia nominal a la torsión del concreto

simple en el alma, (7.29)

De la ecuación 7.27b y utilizando la expresión del ACI para At para torsión y cortante

combinados, donde

⁄

El refuerzo longitudinal por torsión se puede expresar como

⁄ (7.30)

Donde ∑ ⁄ . El término 2 At en la ecuación 7.30 no debe ser menor que

50bws/f y ya que este valor; 2 At es el mínimo, para que los estribos por torsión sean

efectivos, En la referencia 7.12 se presenta una discusión completa, así como un

desarrollo detallado de la ecuación 7.30.

Una reducción en los estribos se puede compensar con un aumento en el acerolongitudinal mientras que el volumen total del acero por torsión permanezca igual.

la separación s de los estribos es pequeña de tal modo que 2 At , sea considerablemente

mayor que el valor mínimo de 50bws/f y , no es raro que At de la ecuación 7.30

proporcione un valor negativo de manera que se recurra al mínimo At de la ecuación

7.27a para iguales volúmenes de estribos y varillas longitudinales; esto es,

(7.31)

El área total Avt de los estribos cerrados para torsión y cortante combinados viene a ser



(7.32)

7.5.3 Procedimiento de diseño para torsión y cortante

A continuación se presenta un resumen de la secuencia recomendada de los pasos dediseño. En la figura 7.15 se muestra un diagrama de flujo el cual describe en forma

gráfica la secuencia de las operaciones.

1. Clasifique a la torsión aplicada ya sea como problema de equilibrio o com-

patibilidad por torsión. Determine la sección crítica y calcule el momento torsionante

factorizado T u. La sección crítica se toma a una distancia d a partir del paño del apoyo.

Si T u es menor que

∑

, se pueden omitir los efectos de torsión.

2. Calcule la resistencia nominal a la torsión T c del alma de concreto simple:

∑ ⁄ (7.32)

donde C t = bwd ∑ , Los miembros sujetos a una tensión axial significativa se

pueden diseñar para un valor de T c la cual es multiplicada por (1 + N u /500 Ag), donde

N u es negativa para tensión.

Verifique si T u excede a T c. Si no es así, no tome en cuenta el efecto de la torsión. En

caso contrario, calcule el valor de T s de la parte del momento torsionante que será

resistida por el refuerzo. Por equilibrio de torsión

Por compatibilidad de torsión

O bien

el que sea menor. El valor de T s tiene que ser cuando menos equivalente a T u /

. Si

T s > 4T c , aumente la sección.

Seleccione los estribos cerrados que va a utilizar como refuerzo transversal. Se

puede utilizar un tamaño mínimo de varilla del núm. 3 (9.5 mm de diámetro). Si

s = separación constante de los estribos, calcule el área del estribo por torsión para una

rama de estribo por unidad de separación:



3. Calcule el refuerzo por cortante requerido Av por unidad de separación en una

sección transversal. V u es la fuerza cortante externa factorizada en la sección



Figura 7.15 Diagrama de flujo para el diseño de refuerzo por cortante y

torsión combinados: (a) acero del alma por torsión; (b) acero del alma por

cortante.



Figura 7.15 (cont.)

crítica, V c es la resistencia nominal por cortante del concreto en el alma y V s es la

fuerza cortante que deben resistir los estribos:

Donde V s =V nV c y

[ ⁄ ]

El valor V n tiene que ser cuando menos igual a V u /

4. Obtenga el total de Avt , el área de los estribos cerrados por torsión y cortante y

diseñe los estribos de manera que

5. Calcule el área del refuerzo longitudinal At requerido por torsión donde



O bien

⁄

El que sea mayor. El valor calculado de At con la segunda expresión no debe exceder

⁄

6. Distribuya el refuerzo de acuerdo a lo siguiente:

a) La separación s de los estribos cerrados no deberá ser menor que ( x1 + y1)/4 ni

que 12 in.

b) Las varillas longitudinales deberán tener la misma separación con respecto al

perímetro de los estribos cerrados. La distancia entre las varillas no deberá ser

menor que 12 in y se colocará cuando menos una varilla longitudinal en cada

esquina.

c) La resistencia de fluencia de diseño del refuerzo por torsión no deberá exceder

de 60,000 psi.

d) Los estribos utilizados para el refuerzo por torsión se deberán anclar a lo largo

de una distancia, d de las fibras extremas en compresión. Los estribos cerrados

con ganchos en los extremos logran este efecto.

e) El refuerzo por torsión se deberá proporcionar cuando menos a una distancia

(d + b) más allá del punto donde teóricamente se requiera, a fin de cubrir

algunos esfuerzos cortantes excesivos potenciales.

7.5.4 Ejemplo 7.1: Diseño del refuerzo del alma por torsión y cortante

combinados en una viga da sección T

Una viga T tiene las dimensiones geométricas que se muestran en la figura

7.16. Una fuerza cortante externa factorizada actúa en la sección crítica,

teniendo un valor V u=15,000lb/(67.5 kN). Está sujeta a las siguientes

torsiones: (a) momento torsionante externo factorizado por equilibrio T u =

500,000 in-lb (57.15 kN-m), (b) momento externo factorizado por

compatibilidad T u = 75,000 in-lb (8.47 kN-m) y (c) momento externo

factorizado por compatibilidad T u = 300,000 in-lb. Considere:

Refuerzo por flexión = 3.4 in2

(2193 mm2)

= 4,000 (27.58 MPa), concreto de peso normal

f y = 60,000 (413.7 MPa)Diseñe el refuerzo del alma requerido para esta sección.



Figura 7.16 Componentes de

rectángulos de la viga T.

Solución

(a) Equilibrio por torsión:

Momento torsionante factorizado (paso 1)

Dado el momento torsionante por equilibrio = 500,000 in-lb (57.15 kN-m). El

momento torsionante total se deberá proporcionar en el diseño. De la figura

7.16 ∑ = 142

x 25 + 42

x 3 x 4 + 42

x 3 x 4 = 5284 in3

∑

= 0.85 x 0.5 x

√ x 5284 = 142,030 in-lb < T u

Por lo tanto, se requieren estribos.

Diseño de los estribos cerrados por torsión (paso 2) in-lb (66.47 kN-m)

∑ ⁄

Suponga un recubrimiento efectivo de 2.5 in y d = 25.0 2.5 = 22.5 in.

∑

√

Suponga también que T c y V c son constantes en el centro del claro de la viga

para todos los casos prácticos.



T s = T n T c = 588,235 262,092 = 326,143 in-lb (36.85 kN-m)

Suponga un recubrimiento efectivo de 1 in y estribos cerrados del núm. 4.

x1 = 14 2(1.5 4- 0.25) = 10.5 in

y1 = 25 ~ 2(1.5 + 0.25) = 21.5 in

0.66 + 0.33 = 1.34 < 1.5

Utilice 1.34.

in2 / in – de separación / una rama

Diseño de los estribos por cortante (paso 3)

[ ⁄ ] √

lb (35.39 kN)

de separación / dos ramas

Estribos cerrados por torsión y cortante combinados (paso 4) in2

/ in / dos ramas

Pruebe estribos cerrados del núm. 3 (9.5 mm de diámetro). El área por dos

ramas = 0.22 in2

(142 mm2).

separación máxima permisible, in > 5 in Bien

Utilice estribos, cerrados del núm. 3 a cada 5 in (127 mm) centro a centro.

estribos mínimos requeridos = Av + 2 At = in

2

área proporcionada = 0.22 in2

> 0.0583 in2

Bien



Diseño del acero longitudinal por torsión (paso 5)

También

(O sustituyendo 50 el que rija)

Utilice 2 At = 0.18 in2. De donde

Por lo tanto, utilice Al = 1.41 in2.

Distribución de las varillas longitudinales por torsión

Al por torsión = 1.41 in2. Suponga que

se va a las esquinas superiores y

a las esquinas inferiores de los estribos, adicionándose a las varillas por

flexión. El restante , se distribuirá en partes iguales en las caras verticales

de la sección transversal de la viga a una separación no mayor de 12 in centro a

centro.

Figura 7.17 Detalles del refuerzo del alma, ejemplo 7.1 (a).



Proporcione cinco varillas del núm. 8 (25.4 mm de diámetro) en la parte

inferior. Dos varillas del núm. 4 (12.7 mm de diámetro) con un área de 0.40 in:

en la parte superior. El área requerida de Al /4 es 0.35 in2. El área de acero

requerido por cada cara vertical = 0.35 in2. Proporcione dos varillas del núm. 4

(12.7 mm de diámetro) en cada cara. En la figura 7.17 se muestra la geometría

de la sección transversal.

Solución

(b) Compatibilidad por torsión:


Dado. T u = 75,000 in-lb (8.47 kN/m). Utilizando los resultados del caso

(a), se tiene

* √

De donde se pueden omitir los efectos de torsión.

Solución

Compatibilidad por torsión:


Dado que T u = 300,000 in-lb (33.9 kN-m) es mayor que

( ∑

). Se deberán proporcionar estribos. Debido a que esto es una

condición de compatibilidad por torsión, la sección se puede diseñar para un

momento torsionante de ( ∑ ) si la torsión externa excede este

valor. ∑ T u dado = 300,000 in-lb

Por lo tanto, la sección se deberá diseñar para T u = 300,000 in-lb.

Diseño de los estribos cerrados por torsión (paso 2)

Utilizando la ecuación 7.26b.



T c = 253,467 in-lb (28.64 kN-m)

T s = T n – T c = - (11.24 kN-m)

/ una rama


√

⁄ ⁄

Estribos cerrados por torsión y cortante combinados (paso 4) ⁄ ⁄

Probando estribos del núm. 3 con un área = 2 0.11 = 0.22 in2

(9.5 mm de

diámetro, As= 142 mm2) se tiene

separación máxima permisible

De donde proporcione estribos cerrados del núm. 3 (9.5 mm de diámetro) a

cada 8 in (203.2 mm centro a centro).

área mínima del estribo requerida =


> 0.0933 in2

Bien


A, = 2A*1 + y% = 0.01(10.5 + 21.5) = 0.32 in2 s

De donde, de manera alterna



Figura 7.18 Detalles del refuerzo del alma, ejemplo 7.1 (c).

Figura 7.19 Planta y elevación de la sección, ejemplo 7.2: (a) planta;

(b) sección A-A



Por lo tanto

a proporcionar


At por torsión = 1.96 in2, de donde Al /4 = 0.49 in

2. Aplicando la misma

lógica del caso (a), proporcione cinco varillas del núm. 8 (25.4 mm de diá-

metro) en la cara inferior. El área requerida, As + Al /4 = 3.89 in2; el área pro-

porcionada = 3.95 in2. El área requerida en las esquinas superiores y en cada

cara vertical = Al /4 = 0.49 in2. Proporcione dos varillas del núm. 5 (15.9 mm

de diámetro) en la parte superior y en cada una de las dos caras verticales,dando 0.62 in

2en cada área. En la figura 7.18 se muestra la geometría del re-

fuerzo de la sección.

7.5.5 Ejemplo 7.2: Diseño del acero del alma por equilibrio de torsión

Una losa de concreto normal en voladizo apoyada sobre vigas continuas de 24

ft (7.32 m) de longitud, corno se muestra en la figura 7.19, soporta una carga

viva uniforme de servicio de 30 psf (1.44 kPa). Diseñe la viga de borde A1- A2

del claro interior por tensión diagonal y torsión. No tome en cuenta los efectos

de viento o sismos ni de contracción y flujo plástico. Considere:

f c = 4000 psi (27.6 MPa)

f y = 60,000 psi (413.7 MPa)

Columnas exteriores = 12 in 20 in (304.8 508 mm)

As en el centro del claro = 1.50 in2

(967.74 mm2)

As en el apoyo = 2.4 in2

(1548 mm2)

As en el apoyo = 0.8 in

2

(516.13 mm

2

)Solución

Momento torsionante factorizado (paso l)

La viga A1- A2 es un caso de torsión sin redistribución debido a que se

requiere la resistencia a la torsión de la viga para mantener el equilibrio. Por lo

tanto, la sección se deberá diseñar para resistir el momento torsionante total

externo factorizado.

carga muerta de servicio de la losa en voladizo = psf

(5.08 kPa)



carga viva de servicio = 30 psf (1.44 kPa)

carga factorizada U = 1.4100.0 + 1.730 = 191 psf (9.1 kPa)

carga total sobre la loza en voladizo= 191247= 32,088 lb (144.4 kN)

Esta carga actúa en el centro de gravedad de carga que se muestra en la figura

7.19a con un brazo de momento = 4.0 ft (1.22 m). De donde el momento máxi-

mo factorizado en el eje central de apoyo = (32,088 4) = 64,176 ft-lb.

Observe que la reacción en los apoyos es la mitad de la torsión total que actúa

sobre la losa, corno se señala en la figura 7.20, esto es debido a que el centro de

gravedad del momento torsionante se encuentra a la mitad de los apoyos. Como

la carga está uniformemente distribuida, la variación del momento torsionante

será lineal a lo largo del claro, La figura 7.21a muestra la envolvente de torsión

para esta viga con el valor constante supuesto de T c a lo largo del claro. El mo-

mento torsionante factorizado en la sección crítica d (17.5 in) a partir del paño

del apoyo es

Distribución de la fuerza cortante: Es necesario determinar la distribución de la

fuerza cortante a lo largo del claro, debido a que la viga se diseñará por cortante

y torsión combinados. Utilizando la carga factorizada U, la fuerza cortante en el

eje central del apoyo debida a la carga de la losa = (191 8 24) = 18,336 lb.

La reacción debida al peso propio del alma es

Por lo tanto, el cortante total factorizado en el eje central del apoyo = 18,336 +

2520 = 20,856 lb. El cortante factorizado V u V n en la sección crítica es



Figura 7.21 Envolventes de resistencia de (a) torsión y (b) cortante

para la viga A1- A2, ejemplo 7.2.

Observe que un factor de continuidad de 1.15 se hubiera utilizado en el cálculo

de V u si se estuviera considerando la sección del primer apoyo interior. La

figura 7.21b muestra la envolvente de cortante factorizado para la viga A1- A2con

el valor constante supuesto de V c a lo largo del claro. De la figura 7.22:

∑ 12

2

20 + 8

2

24 = 4416 in

3

∑ = 0.85 0.5√ 4416 = 118,699 in-lb < T u



Por lo tanto, los efectos de torsión se deberán considerar en el diseño.


En la sección crítica, = 732,988 in-lb = 61,082 ft-lb (82.82 kN-m)

∑ ⁄

∑

√

T s = T n - T c = 732,988 217,863 = 515,125 in-lb = 42,927 ft-lb (58.21 kN-m)

T s (515,125 in-lb) < 4T c (871,452 in-lb) Bien

Suponga un recubrimiento efectivo de 1 in y estribos cerrados del núm. 4.

x1 = 12 - 2(1.5 + 0.25) = 8.5 in

y1 = 20 - 2(1.5 + 0.25) = 16.5 in= 0.66 + 0.33 = 1.30 < 1.5 8.5

Utilice = 1.30 ⁄ ⁄




+ √

⁄ ⁄

Estribos cerrados por torsión y cortante combinados (paso 4)

⁄ ⁄ Bien

Pruebe estribos cerrados del núm. 4, área = 2 0.2 = 0.4 in2.

Separación máxima permisible

Bien

De donde proporcione estribos cerrados del núm. 4 (12.7 mm de diámetro) a

cada 3.5 in (89 mm) centro a centro en la sección crítica hasta el paño del

apoyo.

Aumento en la separación de los estribos: La separación de los estribos se

puede aumentar conforme nos desplacemos hacía el centro del claro, debido a

que el momento torsionante y la fuerza cortante disminuyen en el centro de la

viga. Si se proporcionan estribos cerrados del núm. 4 a la separación máxima

permisible de 6.25 in centro a centro, la capacidad a la torsión T s de los estribos

será

Para propósitos prácticos en el cálculo de T s los valores de V c y T c se suponen

constantes a lo largo del claro. La resistencia nominal a la torsión T n1 debido a



correspondiente a estribos del núm. 4 por torsión únicamente a . La distancia x1 correspondiente a del paño del apoyo al

plano 1 en la figura 7.21ª, es

*

Aumente la original s = 3.5 in en un plano x1 = 43.73 del paño del apoyo, por

ejemplo a 45 in de la sección crítica de

Diseño de los estribos:

⁄ ⁄

⁄ ⁄

⁄ ⁄

Para estribos cerrados del No. 4.

Por eso, cambie la separación de los estribos del núm. 4 a 6.25 in centro a

centro comenzando aproximadamente a 45 in de la sección crítica d hacia y

hasta el centro del claro. Los estribos se deben utilizar hasta una distancia d + b= 17.5 + 12.0 = 29.0 in , más allá del requerimiento teórico. De la figura 7.21b

se puede ver que los estribos se deben utilizar hasta la sección en el centro del

claro. La figura 7.23 muestra de manera esquemática la separación de los

estribos cerrados.




También

Sustituyendo

si es mayor que 2A

t , se tiene

Por lo tanto, utilice 2 At = 0.33 in2.

En forma alterna,

*

= 0.676 in2

Esto no rige, ya que el volumen del acero longitudinal Al tiene que ser igual al

volumen mínimo de los estribos cerrados transversales. Así que rige Al = 2.36

in2

(1523 mm2). Aunque un refinamiento en el diseño puede reducir el número

de las varillas longitudinales por torsión conforme nos acerquemos al centro del

claro debido a la disminución en el valor de T„, para propósitos prácticos utilice

la misma At hasta el centro del claro.



Para distribuir Al en partes iguales en todas las caras de la viga, utilice en

cada cara vertical con en las esquinas superiores y

en las esquinas infe-

riores adicionándose al refuerzo por flexión. Al /4 = 2.36/4 = 0.59 in2

(381

mm2). Utilice dos varillas del núm. 5 = 0.62 in

2(12.7 mm de diámetro) en cada

cara vertical tanto para la sección en el apoyo como en el centro del claro.

Sección en el apoyo:

As = = 0.59 + 2.4 = 2.99 in

2

Utilice cuatro varillas del núm. 8 = 3.16 in2

(25.4 mm de diámetro).

in

2

Utilice dos varillas del núm. 8 = 1.58 in2

Sección en el centro del claro:

As = = 0.59 + 1.5 = 2.09 in

2

Utilice tres varillas del núm. 8 = 2.37 in2.

Debido a que la torsión es menor conforme nos aproximamos al centro del

claro, se pueden cortar dos varillas longitudinales superiores del núm. 8 antes de



que se llegue a), centro del claro. En la figura 7.24a y b se indican los detalles

del refuerzo de las secciones en el apoyo y en el centro del claro

respectivamente.

7.5.6 Ejemplo 7.3: Diseño del acero del alma por compatibilidad de torsión

En la figura 7.25 se muestra un sistema de piso de estacionamiento a base de

losas en una dirección sobre vigas. Las dimensiones típicas de un tablero son 12

ft 6 in X 50 ft (3.81 m X 15.24 m) a centros. Diseñe la viga exterior de borde por torsión y cortante combinados, suponiendo que las secciones están

adecuadamente diseñadas por flexión. Considere:

Carga viva de servicio = 50 psf (2.4 kPa.)

Espesor de losa = 5 in. (127 mm)

f c = 4000 psi (27.58 MPa), concreto de peso normal f y = 60,000 psi (413.7 MPa)

Altura de piso a piso = 10 ft

Columnas exteriores = 14 in x 24 in (356 mm x 610 mm)

Columnas interiores = 24 in x 24 in (610 mm x 610 mm)

Todas las vigas = 14 in x 30 in (356 mm x 762 mm)

Refuerzo por flexión requerido para la viga



En el centro del claro=1.69 in2

En el apoyo As = 2.16 in2

En el apoyo As = 0.90 in2

Solución

Momento torsionante factorizado (pasos I, 2 y 5)

1. La viga A1-B1 es un caso de compatibilidad por torsión debido a que forma

parte de un sistema continuo de piso en donde se llevan a cabo redistribu-

ciones de los momentos. El momento torsionante debido a C 1-C 2 en la

intersección C 1 se redistribuye en las direcciones C 1-C 2 debido a la

flexibilidad y rotación de la sección de la viga en C 1 comparada con su

rigidez en A1 y B2 Por tanto, el valor máximo factorizado de la torsión

aplicada a la sección en cada uno de los dos extremos (figura 7.26a) es ∑

√

2.

Momentos de empotramiento en la viga

C 1 - C 2 150 = 1146 lb/ft (16.7 kN/m)

carga muerta de servicio = + carga viva deservicio = 50 x 12.5 = 625 lb/ft (9.1 kN/m)

carga factorizada U = 1.4 x 1146 + 1.7 x 625 = 2667 lb/ft (38.9 kNm)

momento de empotramiento =

La torsión factorizada según la condición de la compatibilidad por torsión que

la viga C2-C1, aplica en la unión C1 es = 2 x 37,362.3 = 74,725 ft-lb

Este valor es menor que el momento extremo factorizado wul2 / 12 en C1. Por lo

tanto, el momento torsionante a utilizar en el centro del claro de A1-B1 es

T u = 74,725 ft-lb. Para determinar la reacción y desarrolle la distribu-

ción de momento que se muestra en la figura 7.26b.



3. Reacción de la viga en C 1 , y cortante resultante en la viga A1-B1:∑ o bien ()

Peso propio factorizado de A1- B1= distancia de la sección crítica en A1- B1 a partir del eje central de la columna

*

La viga A1- B1 estará sujeta a las envolventes de torsión y cortante que se mues-

tran en la figura 7.27.


∑

⁄

∑

√

a resistir por los estribos cerrados. Suponga un recubrimiento libre de

in y

estribos cerrados del núm. 4.

⁄ ⁄




[ ⁄ ] √

⁄ ⁄

Estribos cerrados por torsión y cortante combinados (paso 4) ⁄ ⁄

Pruebe estribos del núm. 3:



⁄

Separación máxima permisible

Verifique la separación de los estribos requerida en el centro del claro (paso 5)

en el centro del claro =√ ⁄

⁄ ⁄

en el centro del claro =√

⁄

⁄ ⁄

Utilice estribos cerrados del núm. 3 a cada in (184 mm) centro a centro.

estribos mínimos requeridos =

estribos mínimos requeridos = 0.0846 in2


> 0.0846 in2. Bien

Diseño del acero longitudinal por torsión

También.



⁄

(O bien sustituyendo 50 ⁄ , por el que rija)

De donde

Utilice Al = 1.78 in2

(1148 mm2). Las varillas se deberán colocar en el contorno

del perímetro del alma, a una separación no mayor que 12 in entre sí y con una

varilla en cada esquina del estribo cerrado. Combine las varillas de esquina con

el refuerzo longitudinal por flexión.


Al por torsión = 1.78 in2

(utilice la misma tanto para la sección en el

centro del claro como para en el apoyo). Suponga que se va a las esquinas

superiores y

se distribuirá en partes iguales en las caras verticales de la

sección transversal de la viga a una separación no mayor que 12 in centro a

centro.∑ en el centro del claro =



Proporcione cinco varillas del núm. 6 = 2.20 in2

(19.1 mm de diámetro), conti-

núe tres varillas hasta el apoyo:

Proporcione seis varillas del núm. 6 = 2.64 in2

(19.1 mm de diámetro):

A s en cada cara vertical = in2

(tres varillas del núm. 4 = 0.60

in2)

Utilice tres varillas del núm. 4 en cada cara (12.7 mm de diámetro).

Algunas de las varillas longitudinales se cortarán antes de alcanzar el centro del

claro, como se hizo en el ejemplo 7.2. La figura 7.28 muestra la geometría de

la sección transversal de la viga de borde tanto en el centro del claro como en

el apoyo.

BIBLIOGRAFÍA

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York, 1952, 501 pp.

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York, 1983, 510 pp.

PROBLEMAS PROPUESTOS

7.1 Calcule la capacidad a la torsión T c para las secciones que se muestran en la figura

7.29. Considere:

⁄ (27.6 MPa), concreto de peso normal

7.2 Una viga en voladizo está sujeta a una carga viva concentrada de servicio de

20,000 lb (90 kN) actuando a una distancia de 3 ft 6 in del apoyo del muro.

Además, la viga deberá resistir una torsión de equilibrio factorizada T u = 300,000

in-lb (33.89 kN/m). La sección transversal de la viga es de 12 in 24 in (304.8

mm

609.6 mm) con un peralte efectivo de 22.5 in (571.5 mm). Diseñe los

estribos y el acero longitudinal adicional requerido. Considere: = 3,500 psi

f y = 60,000 psi

As = 4.0 in2

(2580.64 mm2)

7.3 El primer claro interior de una viga continua de cuatro claros tiene un claro libre

= 18 ft (5.49 m). La viga está sujeta a una carga muerta externa uniforme de

servicio W D = 1700 plf (24 pkN/m) y a una. carga viva de servicio W L = 2200 plf

(32.1 kN/m). Diseñe la sección por flexión, tensión diagonal y torsión. Seleccione

el tamaño y la separación de los estribos cerrados y del acero longitudinal

adicional que se pueda requerir por torsión. Suponga el ancho de la viga bw= 15 in

(381.0 mm) y que es posible una redistribución de los esfuerzos torsionantes de tal

manera que la torsión externa T u se pueda tomar como ∑ .

Considérese:

fc = 5,000 psi (34.47 MPa). concreto de peso normal

f y = 60,000 psi (413.7 MPa)



(Cabe señalar que este problema es similar al problema 6.4 excepto que se ha

adicionado el momento torsionante.)

7.4 Una viga continua tiene las envolventes de cortante y torsión que se muestran en la

figura 7.30. Las dimensiones de la viga son bw = 14 in (355.6 mm) y d = 25 in (63.5

mm). La viga está sujeta a fuerzas cortantes factorizadas Vu1 = 75,000 lb (333.6

kN), Vu2 = 60,000 lb y Vu3 = 45,000 lb. Diseñe la viga por torsión y cortante y detalle

el refuerzo del alma. Considere:

f c = 4,000 psi (27.58 MPa), concreto ligero

f y = 60,000 psi (413.7 MPa)

El refuerzo requerido es el siguiente:



As en el centro del claro =3.0 in2

As en el apoyo = 3.6 in2, A' s = 0.7 in

2

7.5 Diseñe la viga rectangular que se muestra en la figura 7.31 por flexión, cortante y

torsión. Suponga el ancho de la viga b = 12 in (305 mm). Considere:

fc = 4,000 psi (27,58 MPa)

f y = 60,000 psi (413.8 MPa)



7.6 Una viga exterior de borde A1-B1 que forma parte del sistema de piso monolítico

que se muestra en la figura 7.32, tiene un claro de 36 ft centro a centro y un

espesor de losa h f = 6 in (152.4 mm) la cual descansa sobre vigas de 15 in 36 in

de sección transversal. La viga está sujeta a una carga viva de servicio = 50 psf

(2.4 kPa). Diseñe el refuerzo por cortante y por torsión que se requiere para resistir

las cargas externas íactorizadas.

Considere:

f ' c = 4,000 psi (27.58 MPa), concreto de peso normal

f y = 60,000 psi (413.7 MPa)

Suponga que el refuerzo por flexión requerido para la viga A1-B1 es:

As en el centro del claro = 2.09 in2

As en el apoyo = 3 in2, A' s = 1.6 in

2

TORSIÓN1 - MODIFICADO

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