Ejercicios Calculo Integral TC-3
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CALCULO INTEGRAL
TRABAJO COLABORATIVO FASE 3
ARLEY ANDRES ROBLES ROJAS
CODIGO: 1.098.612.812
INGENIERIA INDUSTRIAL
GRUPO: 100411_122
TUTOR: EDGAR ORLEY MORENO
BARRANCABERMEJA
26 DE OCTUBRE DE 2014
1. hallar el área situada entre las curvas y=x−1 y y=2x3−1 entre x=1 y x=2
f ( x )=x−1 g(x )=2 x3−1
Vemos que la función f ( x )<g ( x ) , entonces:
A=∫1
2
[g ( x )−f (x )] dx
Reemplazando:
A=∫1
2
[2x3−1−( x−1 ) ]dx
A=∫1
2
[2x3−1−x+1 ]dx
A=∫1
2
2x3−x dx
Integrando:
A=2∫1
2
x3dx−∫1
2
x dx
A=( x4
2 |21)+(−x2
2 |21 )
Desarrollando:
A=( (2 )4
2−
(1 )4
2 )+(−(2 )2
2−(−(1 )2
2 ))A=15
2−3
2
A=6
El área entre las curvas es de 6 unidades cuadradas.
2. Hallar el área de la región limitada por las gráficas de f ( x )=x3−3x+2 y g ( x )=x+2
Hallamos los límites
x3−3 x+2=x+2
¿ x3−4 x
¿ x (x−2)(x+2)
x=−2 Y x=2
El problema lo debemos resolver en dos partes: la primera será el intervalo de [-2,0], donde la función mayor es f ( x )=x3−3x+2 y la menor g ( x )=x+2. La segunda
parte será el intervalo [0,2], donde la función mayor es g ( x )=x+2 y la menor
f ( x )=x3−3x+2.
Primera parte:
A1=∫−2
0
[ f ( x )−g(x )] dx
Reemplazando:
A1=∫−2
0
[ x3−3 x+2−( x+2 ) ]dx
A1=∫−2
0
[ x3−3 x+2−x−2 ] dx
A1=∫−2
0
x3−4 x dx
Integrando:
A1=∫−2
0
x3dx−4∫−2
0
x dx
A1=( x4
4 | 0−2 )+(−2x2| 0
−2)Desarrollando:
A1=( (0 )4
4−
(−2 )4
4 )+(−2 (0 )2−(−2 (−2 )2 ))
A1=−4+8
A1=4
Segunda parte:
A2=∫0
2
[g ( x )−f (x )]dx
Reemplazando:
A2=∫0
2
[ x+2−(x3−3 x+2 ) ]dx
A2=∫0
2
[x+2−x3+3 x−2 ]dx
A2=∫0
2
−x3+4 x dx
Integrando:
A2=−∫0
2
x3dx+4∫0
2
xdx
A2=(−x4
4 |20)+(2 x2|20 )Desarrollando:
A2=(−(2 )4
4−(−(0 )4
4 ))+(2 (2 )2−2 (0 )2)
A2=−4+8
A2=4
Sumamos las dos áreas para hallar el área total:
A1+A2=4+4=8
El área de la región limitada por las gráficas es de 8 unidades cuadradas.
3. La región limitada por la gráfica de y=x3, el eje X y x=1/2 se gira alrededor del eje x. Hallar el área de la superficie lateral del solido resultante.
A=2π∫b
a
f (x)√1+ [ f ´ (x )]2dx
y=x3 x=[0 , 12 ]f ( x )=x3 f ´ ( x )=3 x2
Reemplazamos:
A=2π∫0
12
x3√1+(3 x2 )2dx
A=2π∫0
12
x3√9 x4+1dx
u=9 x4+1 du=36 x3dx
u=1+9 (0 )4=1 u=1+9( 12 )
4
=2516
A= π18
∫0
2516
√udu
A= 127πu
32|25
16¿0
= 127π ( 25
16 )32 − 1
27π1
32
A= 61π1728
A=0.11090
El área de la superficie lateral del solido resultante es de 0.11090 unidades cuadradas.
4. Halla la longitud de la curva cos (x)=e y para x entre π /6 y π /3.
5. Hallar el volumen generado por la rotación del área del primer cuadrante limitada por la parábola y2=8 x y la ordena correspondiente a x=2 con respecto al eje x, como lo muestra la figura.
6. El volumen del solido de revolución generado cuando la región limitada por las gráficas de las ecuaciones y=x2 y y=4, gira alrededor del eje Y, es:
7. Un hombre lleva un costal de 100 Libras de arena, por una escalera de 20 pies, a razón de 5 pies por minuto. El costal tiene un agujero por el cual se fuga continuamente la arena a razón de 4 libras por minuto ¿cuánto trabajo realiza el hombre en llevar el costal por la escalera?
2. Un hombre lleva un costal de 100lb.de arena por una escalera de 20 pies, a razón de 5 pies por minuto.El costal tiene un agujero por el que se fuga continuamente la arena a razón de 4lb. por minuto ¿Cuánto trabajo realiza el hombre en llevar el costal por la escalera?
Peso inicial del costal = 100 lbLargo de la escalera = 20 ftPies subidos por minuto = 5 ftCantidad de arena perdida por minuto = 4 lbTrabajo total = ?
Tiempo en subir la escalera = 4 minEn el instante t,el saco tendrá 100 - 4t lb de arenaDel tiempo t al tiempo delta t, el hombre se mueve 5 . delta t pies hacia arriba de la escalera
Entonces el trabajo será igual a:
w = F . dW = (100 - 3t)(5 . delta t)
4
W= ∫0 (100 - 4t)(5 .dt
4
W = ∫0 (500 - 20t) dt
W = 1840 ft/lb
8. Un objeto se empuja en el plano desde x=0 , hasta x=10 , pero debido al viento la fuerza que debe que debe aplicarse en el punto x es: F ( x )=3 x2−x+10 ¿Cuál es el trabajo realizado al recorrer esta distancia?
1. Un objeto se empuja en el plano desde x=0 hasta x=10, pero debido al viento, la fuerza que debe aplicarse en el punto x es F (x) = 3x^2 - x + 10. ¿ Cuánto trabajo se necesita para dicho recorrido? 10
w(x) = ∫0 (3x^2 - x + 10) dx
w(x) = x^3 (-x^2/2) + 10x evaluado entre 0 y 10w(x) = 1050 J
9. El excedente del consumidor de un producto para un nivel de venta a un precio P de
Q artículos, está dado por la expresión EC=∫
0
Q
D (x )dx−QP. El excedente del
consumidor de un producto a un precio de $ 10.000 cuya ecuación de la demanda está
dada por D ( x )=( x+10 )2 , es:
Solución:
EC=∫0
2
D (x )dx−QP
EC=∫0
1
¿¿ u=x+10→dudx
=1
EC=∫0
1
u2du−10000 du=dx
= u3
3¿
¿¿¿
¿−386693
=−12889.66
10. Si la función demanda es D (q )=1000−0. 4 q2 y la función oferta es S (q ) 42q .
Calcule el excedente del productor EP y el excedente del consumidor EC.