Ejercicios de Calculo i

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    UNIVERSIDAD “JOSE CARLOS MARIÁTEGUI”

    FACULTAD DE INGENIERIASCARRERA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

    CURSO:

    CÁLCULO I

    TEMA:

    FUNCIONES

    PRESENTADO:

    ERICKSON JULIAN

    MOQUEGUA – PERÚ

    2014

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    TRABAJO CALIFICADO

    Hallar Df, Rf y la Gráfica de las siguientes funciones:

    1. = SOLUCIÓN:

    Notamos que es la función constante, entonces:

    : ∈ℝ ∶ } La gráfica de la función se muestra en la figura.

    -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100-5

    -4

    -3

    -2

    -1

    0

    1

    2

    3

    4

    5

    EJE X

    EJE Y

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    2. = SOLUCIÓN:

    Notamos que es la función lineal, de la ecuación obtenemos la pendiente m=4 con puntosde intersección en el eje x (5/4,0) y en el eje y (0,-5)

    ∶ ∈ℝ

    ∶ ∈ℝLa gráfica de la función se muestra en la figura.

    -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 -30

    -20

    -10

    0

    10

    20

    30

    EJE X

    EJE Y

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    3. = SOLUCIÓN:

    Notamos que es la función lineal, de la ecuación obtenemos la pendiente m=-3 conpuntos de intersección en el eje x (2/3,0) y en el eje y (0,2)

    ∶ ∈ℝ ∶ ∈ℝLa gráfica de la función se muestra en la figura.

    -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-10

    -8

    -6

    -4

    -2

    0

    2

    4

    6

    8

    10

    EJE X

    EJE Y

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    4. = SOLUCIÓN:

    Notamos que es la función cuadrática, de la ecuación completamos cuadrados paraobtener un binomio al cuadrado.

    =3 73 (76) (76) 13 =3 73 (76) 493613×1212

    =3 73 (76) 6136

    =373 (

    76) 3×

    6136

    =3(76) 6112 De la ecuación final obtenemos el vértice , Entonces:

    ∶ ∈ℝ

    ∶ ∈ ,∞⟩ La gráfica de la función es para arriba puesto que la variable de segundo grado espositiva:

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    5. = SOLUCIÓN:

    Notamos que es la función cuadrática, de la ecuación completamos cuadrados para

    obtener un binomio al cuadrado.

    = 21 14 = 21 5 = 21 5 = 15 De la ecuación final obtenemos el vértice 1,5 Entonces:

    ∶ ∈ℝ

    ∶ ∈⟨ ∞, La gráfica de la función es para abajo puesto que el termino de segundo grado esnegativo:

    -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0-6

    -5.5

    -5

    -4.5

    -4

    -3.5

    -3

    -2.5

    -2

    EJE X

    EJE Y

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    6. =| | SOLUCIÓN:

    Notamos que es la función Valor Absoluto, entonces aplicamos su definición.

    | 8|={ 8 8≥0 ≥8 8

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    Entonces:

    ∶ ∈ℝ ∶ ∈ ,∞⟩

    Su gráfica es:

    7. =| | | | SOLUCIÓN:

    A la definición de función Valor Absoluto:

    | 6|={ 6 6≥0 ≥6 6

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    < = 6 7 =

    ≤ <

    = 6 7 = ≥ = 6 7 =

    Redefinimos la función: = 2 1< 13 ≤ < 2 1≥

    Entonces: ∶ ∈ℝ

    ∶ ∈ ,∞⟩ Su gráfica es:

    -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 200

    5

    10

    15

    20

    25

    30

    EJE X

    EJE Y

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    8. =√ SOLUCIÓN:

    Notamos que es una función Raíz Cuadrada, entonces decimos que:

    ≥0

    4 6≤0 …….(*)Aplicando la ecuacion general hallamos las soluciones:

    = ±√42 = 4± 4 4. 1 . 62 1

    = 4±√ 402 = 4±2√ 102 = 2±√ 10

    Por puntos críticos

    De la condición (*), escogemos los negativos, por tanto:

    ∶ ∈[√ ,√ ] ∶ ∈[ ,√

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    -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 30

    0.5

    1

    1.5

    2

    2.5

    3

    3.5

    EJE X

    EJE Y

    Su gráfica es:

    .

    9. = SOLUCIÓN:

    Notamos que es una función Raíz Cuadrada, entonces decimos que:

    ≥0 Aplicando la formula general y hallamos las soluciones:= ±√42

    = 6± 6 4. 1 . 12 1

    = 6±√ 322 = 6±4√ 22 = 3±2√ 2

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    Por puntos críticos:

    De la condición escogemos los positivos

    ∶ ∈⟨ ∞ , √ ]∪[√ , ∞⟩ ∶ ∈ ,∞⟩

    Su gráfica es:

    -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 60

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    10

    EJE X

    EJE Y

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    10. =√ SOLUCIÓN:

    Notamos que es una función Raíz Cuadrada, entonces decimos que:

    ≥0

    ≥0 Por puntos críticos

    De la condición, escogemos los positivos, por tanto:

    ∶ ∈⟨ ∞ , ∪ , ∞⟩ ∶ ∈ ,∞⟩

    Su gráfica es:

    -6 -4 -2 0 2 4 6 80

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    10

    EJE X

    EJE Y

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    11. = SOLUCIÓN:

    3 =0 < 31 ≥ 3< =4 0 =

    ≥ =4 1 Redefinimos la función:

    =4 < 34 1 ≥ 3Entonces:

    ∶ ∈ℝ ∶ ∈ℝ

    -10 -5 0 -30

    -25

    -20

    -15

    -10

    -5

    0

    5

    10

    15

    20

    EJE X

    EJE Y

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    13. = −+ − SOLUCIÓN:

    = 3 224 11 2 = 3 6 2 4 4 41 2 = 3 121 2

    = 3 41 2 3 41 2≥0

    -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -20

    5

    10

    15

    20

    25

    EJE X

    EJE Y

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    Por propiedad:

    >0 > . >0

    .

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    >0 > . >0 .