Calculo Diferencia Derivada Ejercicios

Cálculo diferencial Unidad 3. Derivación

Actividad 2. Derivada de funciones trascendentes

Instrucciones: Resuelve los siguientes ejercicios determinando la derivada de las funciones o demostrando las expresiones que mencionan.

1. Calcula las siguientes derivadas:

a. .

Utilizando la regla de la cadena queda

ddx [√ x2−1x2+1 ]=d √u

dududx

Siendo

u= x2−1x2+1

y ddu √u= 1

2√u

ddx [√ x2−1x2+1 ]=

ddx ( x

2−1x2+1 )

2√ x2−1x2+1Usando la regla de la división en

ddx ( x

2−1x2+1 )

ddx ( uv )=

v dudx

−u dvdx

v2

Siendo

u=x2−1→ dudx

=2 x y v=x2+1→ dvdx

=2x

Queda


ddx [√ x2−1x2+1 ]= x2+1(2x )−x2−1(2 x)¿¿ ¿

b. .

Utilizando la regla de la cadenaddx (sen ( x+4x2−9 ))=d (senu )du

Siendo

u= x+4x2−9

y ddusenu=cosu

ddx (sen ( x+4x2−9 ))=cos ( x+4x2−9 )( ddx ( x+4x2−9 ))

Ocupando la regla de la división paraddx ( x+4x2−9 )

Siendo esta fórmula como

ddx ( uv )=

v dudx

−u dvdx

v2

Siendo u=x+4→dudx

=1 y v=x2−9→dvdx

=2 x

ddx ( x+4x2−9 )= x

2−9 (1 )−( x+4 )2 x(x2−9)2

=x2−9−2 x ( x+4 )

(x2−9)2

Luego queda para


ddx (sen ( x+4x2−9 ))=cos ( x+4x2−9 )( x

2−9−2x ( x+4 )( x2−9)2 )

ddx (sen ( x+4x2−9 ))=

cos( x+4x2−9 )(x2−9−2x ( x+4 ))

(x2−9)2

ddx (sen ( x+4x2−9 ))=

(x2−9−2x ( x+4 ))cos ( x+4x2−9 )(x2−9)2

ddx (sen ( x+4x2−9 ))=

−(x2−8 x+9)cos( x+4x2−9 )(x2−9)2

c. .

La derivada para calcular un logaritmo es:ddu

(¿u )=u ´u

Siendo u=sen (x2 )+1u´=2 xcos(x2)Entonces

ddx

¿

d. .

Ocupando la regla del producto ddx

(uv )=v dudx

+u dvdx

Siendo


u= 1√ x+1

→u´= dda ( 1√a ) dadx →a=x+1→a´=dadx=1→

dda ( 1√a )= −1

2a32

∴→u´=dudx

= dda ( 1√a ) dadx= −1

2a32

= −1

2(x+1)32

v=x3+¿( x2+1 )v ´=dvdx

=3 x2+ 2xx2+1

Entonces ddx

(uv )=x3+¿ (x2+1 ) ( −1

2 ( x+1 )32

)+ 1√ x+1

(3 x2+ 2 xx2+1

)

ddx

(uv )= 1√x+1 (3 x2+ 2 x

x2+1 )−(x3+¿ (x2+1 ))( 1

2 ( x+1 )32

)

ddx

(uv )=3x2+ 2 x

x2+1√ x+1

−x3+¿ (x2+1 )

2 ( x+1 )32

Por lo tanto para finalizar

ddx

(uv )= ddx

(x3+¿ (x2+1 )

√x+1)

Esto implica que

ddx ( x

3+¿ (x2+1 )√x+1 )=

3 x2+ 2xx2+1

√ x+1−x3+¿ (x2+1 )

2 ( x+1 )32

ddx ( x

3+¿ (x2+1 )√x+1 )=

x ( 2x2+1

+3 x )

√x+1−x3+¿ (x2+1 )

2 ( x+1 )32

e. .

Utilizando la regla de la sumad (u+v)dx

=dudx

+ dvdx

u=x3 e4 x dudx

=d (fg)dx

=f dgdx

+g dfdx


Siendo f=x3→ dfdx

=f ´=3x2g=e4 x→ dgdx

=g ´=4e4 x

dudx

=u´=4 x3 e4x+3 x2e4 x

v=e2x cos x2 dvdx

=d ( pq)dx

=p dqdx

+q dpdx

Siendo

p=ex2

→dpdx

=p´=2 xex2

q=cos x2→dqdx

=q´=−2xsen x2

dvdx

=v ´=−2 x ex2

sen x2+2x ex2

cos x2

Para finalizar:ddx

(x3 e4x+ex2cos x2)=dudx

+ dvdx

ddx

(x3 e4x+ex2 cos x2)=4 x3 e4 x+3 x2e4x+2x ex2cos x2−2 x ex2 sen x2

ddx

(x3 e4 x+ex2 cos x2)=x (2ex2 (cos x2−sen x2 )+e4 x x (4 x+3 ))

2. Demuestre dados se tiene que:

.

Debemos mostrar que senh ( x+ y )=senh (x+ y )

Ahora bien con la identidad senh ( x+ y )=senhxcoshy+coshxsenhy

Definiendo las funciones hiperbólicas

senha= ea−e−a

2cosha= e

a+e−a

2Ahora sustituyendo a por x o por y queda en nuestra identidad lo siguiente

senh ( x+ y )=( ex−e−x2 )( e y∓ e− y2 )+( ex+e− x2 )( ey−e− y2 )Realizando operaciones correspondientes queda lo propuesto a demostrar

senh ( x+ y )=14(e x+ y−e− x+ y+e x− y−e−( x+ y)+ex + y−e− x+ y−ex− y−e−(x+ y))

senh ( x+ y )=14(2 (ex + y−e−(x+ y )))


senh ( x+ y )= ex+ y−e−(x + y)

2senh ( x+ y )=senh (x+ y )

3. Demuestre que dados con y se tiene que:

.

Sea definido por las formulas trigonométricas

tan ( x+ y )= sen(x+ y )cos (x+ y )

= senx+cosy+senycosxcosxcosy−senxseny

Dividiendo numerador y denominador porcosxcosy

tan ( x+ y )=

senx+cosy+senycosxcosxcosy

cosxcosy−senxsenycosxcosy

=

senxcosycosxcosy

+ senycosxcosxcosy

cosxcosycosxcosy

− senxsenycosxcosy

Simplificando

tan ( x+ y )=

senxcosx

+ senycosy

1− senxsenycosxcosy

…… (1 )

Perosenxcosx

=tanx… (2 ) y senycosy

=tany….(3)

Sustituyendo(2 ) y (3 )en(1 )tenemos

tan ( x+ y )= tanx+tany1−tanxtany

4. Calcular los siguientes límites:

a. .


Si evaluamos en la función de límite nos quedaría una indeterminación del tipo 00

Entonces aplicamos la regla del L`Hopital que significa que derivando la función del numerador y denominador respectivamente se evalúa después en la función resultante

limx→4

f (x)g ( x)

=limx→ 4

5−12x+3 x2

−6−6 x+3x2=limx→ 4

5−12(4)+3(4)2

−6−6 (4)+3 (4)2= 518

b. .

Si evaluamos en la función de limite nos quedaría una indeterminación del tipo 00

Entonces aplicamos la regla del L`Hopital que significa que derivando la función del numerador y denominador respectivamente se evalúa después en la función resultante

limx→1

f (x)g ( x)

=limx→1

13−14 x−3 x2+4 x3

−31+6 x+21x2+4 x3=limx→1

13−14 (1)−3(1)2+4 (1)3

−31+6 (1)+21(1)2+4(1)3=00

Otra vez quedo indeterminado entonces volvemos a derivar otra vez según la regla entonces:

limx→1

13−14 x−3 x2+4 x3

−31+6 x+21x2+4 x3=limx→1

f (x)g (x)

=limx→1

−14−6 x+12x2

6+42 x+12x2

limx→1

−14−6 (1 )+12 (1 )2

6+42 (1 )+12 (1 )2=−215

5. Dada la función definida sobre el intervalo hallar el valor

que satisface .

F es continua en [ –2,2 ] y derivable (−2,2 )Si f ( x )=x3−4 x→f ( x )=3 x2−4Evaluando f(b) y f(a) respectivamente

f (b )=f (2 )=23−4 (2 )=8−8=0f (a )=f (−2 )=−23−4 (−2 )=−8+8=0

Evaluando la derivada en x=cf (x )=3x2−4→f (c )=3c2−4

Restando b−a=2−(−2 )=2+2=4Ahora evaluando en la ecuación

f (b )−f (a )=f (c ) (b−a )→0=3c2−4 (4 )→0=12c2−16Resolviendo la ecuación queda


−12c2=−16→c2= 43→c=±√ 43=± 2√3

6. Demuestre que para cuales quiera se cumple:

.

Si α y β son dos ángulos de la forma α=x+ y y β=x− y

Resolviendo el sistema de ecuacionesα=x+ yβ=x− y

Tenemos

α=12( x+ y ) y β=1

2(x− y )

Considerando la suma de senossen ( x+ y )=senxcosy+senycosx …… (1 )

sen ( x− y )=senxcosy−senycosx ……(2 )Sumando (1) y (2) tenemos

sen ( x+ y )+sen ( x− y )=2 senxcosySustituyendo los valores x+ y , x− y , x , y resultaresulta

senx+seny=2 sen 12

( x+ y )cos 12(x− y )

Es decir

senx+seny=2 sen( x+ y2 )cos ( x− y2 )7. Dada la función definida en hallar que satisface la

relación .

Si f ( x )=x2−4 x→ f (x )=2x−4Evaluando f(b) y f(a) respectivamente

f (b )=f (5 )=52−4 (5 )=25−20=5f (a )=f (1 )=12−4 (1 )=1−4=−3

Evaluando la derivada en x=cf (x )=2x−4→f (c )=2c−4


Restando b−a=5−1=4Ahora evaluando en la ecuación

f (5 )−f (1 )=f (c ) (5−1 )→5−(−3 )=2c−4 (4 )5+3=8c−16→8=8c−16→−8c=−16−8

Resolviendo la ecuación queda−8 c=−24→∴ c=3

8. Demostrar las siguientes identidades:

Para todo .

Para toda x en [0 , π2 ] se cumple las identidades en 2 casos

Caso 1

Consideremos cos2a=2cos2a−1 siendo a= x2

Sustituyendo queda y despejando queda por tanto

cos2( x2 )=2cos2 x2−1→cosx=2cos2 x2−1→∴

cos2 x2=1+cosx

2

Es decir

cos x2=√ 1+cosx2

Caso 2

Consideremos cos2a=1−2sen2a siendo a= x2


Sustituyendo queda y despejando queda por tanto

cos2( x2 )=1−2 sen2 x2→cosx=1−2 sen2 x2→∴

sen2 x2=1−cosx

2

Es decir

sen x2=√ 1−cosx2

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