Calculo Financiero Ejercicios Practicos

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CÁLCULO FINANCIERO

Ejercicios Resueltos

JUAN RAMON GARNICA HERVÁS ESTEBAN OTTO THOMASZ ROMINA PAULA GARÓFALO

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De los mismos autores Cálculo Financiero Teoría, Ejercicios y Aplicaciones

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Universidad de Buenos Aires Facultad de Ciencias Económicas

Autores:

Juan Ramón Garnica Hervás – Actuario (UBA) –Master en Economía y Administración (ESEADE). Profesor Titular Interino de Cálculo Financiero y Estadística para Administradores y Profesor Asociado Regular Área Actuarial (FCE - UBA). Director de Investigaciones del Área Estadística y Actuarial del CECyT. Federación de Consejos profesionales de Ciencias Econó-micas de la República Argentina.

Esteban Otto Thomasz – Doctor, Máster en Administración y Lic.en Economía (UBA) – Do-cente de Posgrado y Profesor AdjuntoRegular de Cálculo Financiero y Profesor Adjunto Inte-rino de Teoría del Caos (FCE - UBA). Secretario Académico del Centro de Investigacionesen Métodos Cuantitativos Aplicados a la Economía yla Gestión (CMA-FCE-UBA).

Romina Paula M. Garófalo – Estudiante de Actuario (UBA) – Ayudante de Segunda de Cálculo Financiero (FCE - UBA).

Agradecemos especialmente la colaboración de nuestros auxiliares docentes y estudiantes de

la carrera de Actuario (FCE-UBA): Joaquín Otaño, Federico Sardi y Mariano

Resico en la confección de este trabajo.

Los Autores Portada: Pieter Bruegel the Elder.

“KINDERSPIELE” (Juegos de Niños).1560. Kunsthistorisches Museum – Wien.

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Garnica Hervas, Juan R. Cálculo financiero: ejercicios resueltos / Juan R. Garnica Hervás; Paula Garófalo; Esteban Otto Thomasz. - 1a ed. - Buenos Aires: Ediciones Cooperativas, 2008. 94 p.; 28x21 cm. ISBN 978-987-652-018-8 1. Cálculo Financiero. I. Garófalo, Paula II. Otto Thomasz, Esteban III. Título CDD 513

2008 Ediciones Cooperativas Tucumán 3227 (1189) Buenos Aires – Argentina (54 011) 4864 5520 / (15) 4937 6915 http://www.edicionescoop.org.ar [email protected]

2008 Juan Ramón Garnica Hervás Derechos exclusivos

Impreso y encuadernado por:

Imprenta Dorrego. Dorrego 1102, C.A.B.A.

1ª. ed. Tirada: 100 ejemplares. Se terminó de imprimir en Agosto 2008.

Hecho el depósito que establece la ley 11.723

1º edición, Agosto 2008

IMPRESO EN ARGENTINA – PRINTED IN ARGENTINE

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Ninguna parte de esta publicación, incluido el diseño

de cubierta puede ser reproducida, almacenada o

transmitida en manera alguna ni por ningún medio, ya

sea electrónico, mecánico, óptico de grabación o de fotocopia sin permiso previo del Editor. Su infracción

está penada por las leyes 11723 y 25446.

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INDICE

1. ENUNCIADOS 7

1.1. Interés Simple y Compuesto 7

1.2. Descuento Simple y Compuesto 12

1.3. Equivalencia de tasas 14

1.4. Problemas Combinados 17

1.5. Rentas y Sistemas de Amortización de Préstamos 20

1.6. Evaluación de Proyectos 29

2. RESUELTOS 33

2.1. Interés Simple y Compuesto 33

2.2. Descuento Simple y Compuesto 48

2.3. Equivalencia de tasas 53

2.4. Problemas Combinados 58

2.5. Rentas y Sistemas de Amortización de Préstamos 63

2.6. Evaluación de Proyectos 82

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1. ENUNCIADOS

1.1. Interés Simple y Compuesto

1) Se depositan $1000 durante 180 días al 8% anual de interés. Calcular el monto.

R: $1.039,45

2) Si el interés producido por una inversión realizada hace 30 días es de $100 y la

tasa pactada fue del 7% anual, calcular el capital invertido.

R: $17.380,95

3) Calcular el monto total de dos depósitos a plazo fijo con vencimiento el 30/11,

efectuados: el primero el día 14/05 por $1.000 al 6,5% nominal anual de interés y,

el segundo, el día 18/06 por $500 al 7% anual de interés.

R: $1.551,44

4) Dados dos capitales, $23.000 en el momento tres y $32.000 en el momento cin-

co, determinar la tasa de interés que capitaliza mensualmente implícita en la ope-

ración.

R: 17,95%

5) ¿Qué capital invertido al 0,5% de interés que capitaliza mensualmente, produce

un monto de $6.352,45 al cabo de 4 años?

R: $5.000

6) Un capital de $1.000 genera al cabo de 12 meses un monto de $1.903,81. Cal-

cular la tasa que capitaliza mensualmente pactada en la operación.

R: 0,75%

7) Una inversión de $10.000 produce un monto de $13.428,88 colocada al 0,8% de

interés que capitaliza mensualmente. Calcular el tiempo que se mantuvo la inver-

sión.

R: 37 meses

8) Dadas las siguientes cuatro tasas de interés que capitaliza mensualmente, 3%

para el primer mes, 7% para el segundo, 8% para el tercero y 9% para el cuarto, y

sabiendo que en el mes cuarto poseo un monto de $23.000, calcular el valor de

dicho monto en el momento dos, en el momento uno y verificar luego llevando el

capital hasta el momento cuatro.

R: C(1)= $18.259,707

C(2)= $19.537,887

9) El día 05/01 se efectúa un depósito de $1.000 al 12,5% anual de interés. El

05/02 se efectúa otro depósito de $5.000 a igual tasa. Si a partir del 01/04 inclusi-

ve la tasa de interés aumenta al 13,5% anual, calcular el monto a cobrar el día

30/05 considerando:

a) Interés simple

b) Capitalización al momento de cambio de tasa

c) Capitalización el último día de cada mes.

Analice cada situación y saque conclusiones. ¿Qué alternativa es más conveniente

para la persona que realiza el depósito? ¿Por qué?

R: a) $6.254,22

b) $6.257,424

c) $6.258,5368

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10) Se depositaron $100.000 en una institución que capitalizó los intereses men-

sualmente al 3% durante los primeros diez meses, y luego al 12% con capitaliza-

ción trimestral, reuniéndose la suma de $236.844. Calcular la duración total de la

operación.

R: 25 meses

11) Se desea constituir un fondo de $1.000.000 para dentro de seis meses. El Ban-

co “X” abona el 72% de interés anual y la capitalización es mensual. Si en el día de

la fecha se depositó la suma de $250.000, determinar la suma que se debe deposi-

tar en el tercer mes.

R: $544507,33

12) Una caja de ahorros presenta los siguientes movimientos:

01/07/05 Depósito apertura $ 3.000

28/08/05 Depósito $ 1.500

05/09/05 Depósito $ 2.200

14/09/05 Retiro $ 900

Sabiendo que los intereses son del 6% anual y que la capitalización de intereses es

el 30/09, determinar el saldo disponible en la cuenta al 23/04/06.

R: $5.859,688

13) Una caja de ahorro abierta el 01/04/05 presenta los siguientes movimientos:

01/04/05 Depósito $ 500

01/08/05 Depósito $ 700

01/11/05 Retiro $ 350

Determinar los intereses ganados por la misma a la fecha de cierre 01/02/06, sa-

biendo que las tasa de interés fueron del 8,4% anual hasta el 30/06/05 inclusive y

10,8% anual desde ahí en adelante.

R: $70,895

14) Se efectúa un depósito a plazo fijo por 50 días al 12% anual de interés y 20

días más tarde se realiza otro con igual vencimiento, pero al 11% anual de interés.

Al vencimiento se retiran $3.542,74. Si la suma de los capitales invertidos fue de

$3.500, calcular el importe de cada depósito.

R: $1.500 y $2.000

15) Un capital de $5.000 fue distribuido en dos inversiones a 90 y 150 días. La tasa

de interés pactada fue del 9,535% anual. Si el interés obtenido fue de $148,90, se

pide calcular el importe de cada inversión.

R: $2.000 y $3.000

16) Se efectuó un depósito a plazo fijo por 90 días al 120% de interés anual y 30

días después, otro con igual vencimiento pero al 140% de interés anual. Al venci-

miento se retira la suma de $498.630,14. Si la suma de los dos capitales invertidos

es de $400.000, calcular el importe de ambos depósitos.

R: $100.000 y $300.000

17) Un capital de $10.000 se invierte, una parte al 10% y la otra al 12%, conside-

rando en ambos casos una capitalización anual. Si al cabo de 18 años los montos

son iguales, determinar los importes depositados a cada tasa.

R: $5.803,77 y $4.196,23

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18) Se invierten $1.000 durante 24 meses en dos operaciones: la primera al 1% de

interés que capitaliza mensualmente y la segunda, al 2% bimestral que capitaliza

bimestralmente. Si al cabo de dicho período se obtuvo un monto de $1.268,69,

calcular el importe de cada uno de los depósitos.

R: $300 y $700

19) Determinar al cabo de cuánto tiempo los intereses que genera un capital alcan-

zarán al triple del mismo colocados al 4% anual.

R: 75 años

20) Ídem ejercicio anterior, pero considerando una tasa del 4% con capitalización

anual.

R: 35,35 años

21) Determinar el monto generado por un depósito de $100 constituido el 01/08/04

que gana durante el primer año de colocación el 8,4% anual de interés y durante

los 6 meses subsiguientes el 9% anual.

R: $112,8384

22) Ídem ejercicio anterior, pero considerando una capitalización el 01/08/05.

R: $113,21

23) Dos hermanos tienen la misma cantidad de dinero que invierten de la siguiente

manera: uno al 6,5% anual durante 1 año, y el otro, al 5% anual durante un año.

Los intereses ganados por el primero son mayores a los ganados por el segundo en

$600. Determinar el capital inicial que ambos poseían.

R: $40.000

24) El Banco “X” reconoce intereses sobre los saldos diarios de las cuentas corrien-

tes con una tasa del 30% anual. Los intereses son acreditados mensualmente el

primer día de cada mes. Una cuenta corriente abierta el 08/05 registró estos sal-

dos: hasta el 12/05 inclusive $50.000, del 13 al 19/05 inclusive $80.000 y del 20 al

31/05 inclusive, $60.000. Calcular la suma a acreditar el 01/06 en concepto de in-

tereses.

R: $1.257,53

25) Una persona invierte durante dos años la 7/12 partes de su capital al 5% anual

y el resto al 4,5% anual, por el mismo lapso. Si la diferencia entre los intereses

producidos por ambas operaciones es de $750, ¿cuál es el capital?

R: $36.000

26) Un préstamo de una entidad financiera cooperativa debe cancelarse bajo las si-

guientes condiciones:

a) Amortización: 40% a los dos meses y el saldo a los 5

b) Tasa de interés: 1,3% mensual sobre saldos adeudados, pagaderos mensual-

mente

c) Sellado: 1% sobre el préstamo contratado

d) Gastos: 2% sobre el importe del préstamo, pagaderos al momento de otorga-

miento

e) Suscripción de acciones de la entidad otorgante: 5% del importe del préstamo

que se abona a la fecha de contratación y que se rescata, al 99% de su valor nomi-

nal a los 5 meses.

Se pide determinar el costo efectivo mensual de la financiación.

R: 2,3015743%

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27) Se contrata una operación de crédito bajo las siguientes condiciones:

a) Restitución del préstamo en dos pagos iguales al segundo y tercer mes.

b) El deudor se compromete a mantener un saldo mínimo en caja de ahorro por el

10% del préstamo, que gana el 6% anual de interés, y se restituye a los tres me-

ses.

c) Tasa de interés 2% mensual sobre el saldo de deuda, pagadero mensualmente.

d) Se cobra un sellado 1% sobre el crédito al momento de otorgamiento.

Determinar el costo efectivo mensual de la operación para el tomador.

R: 2,6827299%

28) El 01/01/04 se depositan en una cuenta de ahorros $2.500, el 01/07/04 se

agregan $3.000. Sabiendo que los depósitos ganan el 8% anual de interés durante

el 2004, el 7% anual durante el 2005 y 2006 y a partir de ahí el 12% anual de inte-

rés considerando capitalización mensual, determinar en que fecha los intereses de

la cuenta ascienden a $1.150 suponiendo:

a) capitalización a fin de cada año

b) primera capitalización el 31/12/06

R: a) 20/12/06

b) 28/01/07

29) Una persona debe efectuar un depósito por 45 días. El importe debe ser tal

que, al incorporárselo a los intereses ganados constituya un monto de $2.000. Sa-

biendo que la tasa de interés es del 9,4% anual, determinar el importe a depositar.

R: $1.977,09

30) Se efectuó un depósito de $150.000 durante tres meses. Si el interés del pri-

mer mes es 8%, el del segundo 7% y el del tercero 12%, ¿cuál es la tasa mensual

constante que permite reemplazar esas tres tasas diferentes? Considere:

a) Un régimen de interés simple

b) Un régimen de interés compuesto

R: a) i = 0,09

b) i = 0,0897876

31) Se efectuaron tres colocaciones cuyos importes crecen en progresión geométri-

ca, a diferentes tasas durante 120 días, siendo las mismas 45%, 53,5% y 63%

anual respectivamente. Teniendo en cuenta que el primer depósito fue de $1.500 y

que el total de intereses obtenido fue de $1.992,33 determinar la razón de la pro-

gresión.

R: La razón de la progresión es 2 C1 = $1.500, C2 = $3.000 y C3 = $6.000

32) Se efectuaron tres colocaciones, (cuyos importes crecen en progresión aritméti-

ca), a diferentes tasas durante 120 días, siendo las mismas 45%, 53,5% y 63%

anual respectivamente. Teniendo en cuenta que el tercer depósito fue de $8.400 y

que el total de intereses obtenido fue de $3.327,78, determinar la razón de la pro-

gresión.

R: r = $2.400 C1 = 3.600, C2 = 6.000 y C3 = 8.400.

33) Una cuanta bancaria no recibe otro incremento que el de sus intereses. Si sa-

bemos que el interés ganado durante el segundo año fue de $100 y en el octavo de

$126,5319, calcular la tasa de interés y el capital colocado al inicio según un régi-

men de interés compuesto.

R: i = 0,04 Co = 2.403,8462

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34) Un capital de $1.000 es colocado durante cinco meses a cierta tasa de interés

con capitalización mensual. Se desea conocer los intereses ganados durante el

cuarto mes, sabiendo que, si la operación hubiera sido concertada a la misma tasa,

pero bajo un régimen de interés simple, el monto retirado al cabo de 5 meses hu-

biera sido de $1.300.

R: $71,46

35) Se debe pagar $1.000 dentro de dos meses y $2.000 dentro de seis y se desea

reemplazar estas deudas por un documento que vence en ocho meses. Sabiendo

que la tasa de interés es del 6% mensual, calcular:

a) El valor del documento si la fecha de valuación es hoy.

b) El valor del documento si la fecha de valuación es dentro de quince veces

R: a) $3.497,8992

b) $3.422,5352

36) Ídem anterior, utilizando una tasa del 6% que capitaliza mensualmente.

R: $3.665,7191

* Obtenga conclusiones de los ejercicios anteriores.

37) Se desea reemplazar tres documentos (el primero vence en dos meses y es por

$1.000, el segundo vence en seis meses y es por $5.000, el tercero vence en ocho

meses y es por $3.000) por un único documento en siete meses. Si la fecha de va-

luación es en el mes siete, y la tasa a utilizar es una tasa de descuento del 6%

mensual. ¿Cuál debe ser entonces el importe del documento?

R: $9.567,7204

38) Un comerciante tiene que hacer frente al pago de tres documentos de $1.000,

$2.000 y $3.500, con vencimiento en uno, dos y cuatro meses respectivamente.

Debido a dificultades financieras propone al Banco “X” consolidar su deuda en un

único documento con vencimiento dentro de doce meses. Si sabemos que el banco

aceptó la propuesta y que computó para la consolidación una tasa del 10% que

capitaliza mensualmente, determinar el importe de la deuda consolidada.

R: $16.969,7208

39) Continuando con el problema anterior, si suponemos que el banco no acepta la

propuesta del comerciante, exigiéndole que efectúe un pago a los seis meses y que,

a los doce meses abone un importe igual a la suma de los documentos adeudados,

que importe deberá pagar el comerciante a los seis meses?

R: $5.627,6475

40) Se desea reemplazar tres documentos (el primero vence en dos meses y es por

$1.000, el segundo vence en seis meses y es por $5.000, el tercero vence en ocho

meses y es por $3.000) por dos documentos: el primero se abonará en el día de la

fecha y el segundo en diez meses. Sabiendo que el primer documento es la mitad

del segundo, y que la tasa a es del 6% de descuento que actualiza mensualmente,

¿cuánto vale cada documento hoy?

R: $2.966,2845

$5.932,569

41) Ídem anterior, pero se desea remplazar esos tres documentos por uno de

$9.000, considerando una tasa de interés del 6% que capitaliza mensualmente.

a) ¿En qué momento se remplaza?

b) Si se considerara, en cambio, una tasa de descuento del 6% mensual ¿cuál sería

la fecha de reemplazo?

R: a) 6 meses y 3 días.

b) 6 meses y 6 días

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42) Se abre una cuenta de inversión el 01/06/04 con un depósito de $100 que ge-

nera el 0,7% mensual de interés, con el fin de obtener un monto determinado al

cabo de 16 meses. Si el 01/11/04 se retiran $32, cuánto debo depositar el

01/03/05 a fin de constituir idéntico monto al que originalmente había previsto?

R: $32,854

43) Ídem anterior, pero considerando que la tasa anterior es de capitalización men-

sual.

R: $32,91

44) Un comerciante tiene que hacer frente al pago de tres documentos de $5.000,

$8.000 y $10.000, con vencimiento dentro de dos, cinco y nueve meses respecti-

vamente. Considerando una tasa de interés con capitalización mensual del 12%,

determine:

a) El importe necesario para cancelar la deuda hoy

b) Cuánto se deberá abonar dentro de un año si, a cambio de los tres documentos

mencionados sólo se efectúa un pago de $9.000 a los tres meses.

R: a) $12.131,4845

b) $22.306,2623

45) Un plan de financiación es del 20% al contado, 40% a los tres meses y el saldo

a los cinco meses. Se ofrece una alternativa de pago que consiste en abonar mayor

parte al contado y el resto en un pago a los cinco meses. Si se computa el 2% de

interés que capitaliza mensualmente, determinar la proporción de contado sabiendo

que el importe abonado no se modifica.

R: 35,52%

46) Una empresa calcula sus precios de venta al contado. Si desea incorporar un

nuevo método de ventas con el 20% a 30 días y el saldo en dos pagos iguales a 90

y 120 días bajo un régimen de interés simple del 8% mensual, se pide:

a) ¿En qué porcentaje debe aumentar sus precios por financiar el importe de la

venta?

b) ¿Qué bonificación puede efectuar sobre los nuevos precios por pago al contado?

R: a) 23,34 %

b) 18,92%

1.2. Descuento Simple y Compuesto 47) ¿Cuál será el descuento de un documento de $10.000 que vence en 5 meses al

3% mensual? 48) ¿Qué descuento tiene un documento cuyo valor, 5 meses antes de su venci-

miento y descontado al 3% mensual, es de $8.500? 49) ¿A qué tasa se descontó en 5 meses un documento de $10.000 que tuvo un

descuento de $1.500? 50) Por abonar un pagaré de $100.000 antes de su vencimiento, se obtuvo un des-

cuento de $14.795,52. Si la operación se realizó a la tasa de descuento del 60%

anual, ¿Cuántos días se anticipó el pago? 51) Resuelva el problema anterior suponiendo que el 60% es la tasa de interés y

que el descuento sufrido fue de $8.977,5.

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52) Un documento que vence dentro de 2 años se descuenta al 8% que actualiza

anualmente, durante el primer semestre, y al 7% que actualiza anualmente el resto

del tiempo. Si el descuento practicado asciende a $250.000, ¿Cuál es el valor no-

minal del documento? 53) ¿Cuánto tiempo falta aún para que 2 documentos, uno de $4.200 y otro de

$6.000, descontados al 3% y 8% que actualiza mensualmente respectivamente,

igualen sus valores actuales? 54) Calcular el capital que debe pagarse dentro de 2 años y medio para liquidar 3

deudas de: $200.000 exigible dentro de 1 año, $500.000 dentro de 3 años y

$150.000 dentro de 4 años, siendo el tipo de descuento del 4% que actualiza se-

mestralmente. 55) Un documento de $20.000 con vencimiento dentro de 1 año sufre un descuento

de $7.232,17. Si la tasa de descuento vigente para el primer trimestre es del 7%

con actualización mensual, calcular la tasa vigente para el resto del año. 56) En la fecha se venden mercaderías cuyo precio de contado es $20.000, reci-

biéndose a cambio un pagaré a 90 días por dicho precio más intereses calculados al

90% anual vencido. Si hoy mismo procede a descontar ese pagaré en una entidad

financiera obteniéndose un neto de $18.000, a) ¿qué tasa adelantada anual se pac-

tó?, b) ¿qué tasa anual adelantada debió pactarse para que el neto obtenido coinci-

diera con el precio de contado de las mercaderías? 57) Un bien se vende en las siguientes condiciones: $10.000 al contado, $25.000 a

los 90 días y $30.000 a los 180. Se desea saber cual será el precio equivalente de

contado si el comerciante inmediatamente de realizada la venta descuenta los dos

pagarés en el banco NN, el cual considera las siguientes tasas de descuento: 60%

anual para descuento de documentos a 90 días y 48% anual para descuento de

documentos a 180 días. 58) El descuento (no incluye lo descontado en concepto de sellado) de un pagaré

descontado 3 meses antes de su vencimiento a la tasa de descuento del 40% anual

costó $10.000. Calcular el valor nominal del documento y el valor actual teniendo

en cuenta que el cargo por sellado asciende al 1% del valor nominal del pagaré.

59) Idem anterior, pero con la salvedad de que los $10.000 constituyen el descuen-

to total. 60) El valor actual de un pagaré descontado por el régimen de descuento simple 2

meses antes de su vencimiento es de $7.500, mientras que si se hubiera desconta-

do por el régimen de descuento compuesto hubiese sido de $8.000. Calcular el va-

lor nominal del pagaré y la tasa. 61) el valor actual de un pagaré descontado por el régimen de descuento simple 3

meses antes de su vencimiento es de $8.000, mientras que si se hubiera desconta-

do 4 meses antes de su vencimiento hubiese sido de $ $6.000. Calcular el valor

nominal del pagaré y la tasa. 62) El 01/07/87 se firmaron dos pagarés de $50.000 y $100.000 con vencimientos

el 29/09/87 y 28/11/87 respectivamente. El 01/08/87 son reemplazados por 1 solo

con vencimiento el 30/10/87. Calcular el valor nominal del nuevo documento asu-

miendo una tasa anual de descuento del 60% de descuento para vencimientos de

hasta 90 días y del 50% para plazos mayores. 63) Un señor debe cancelar una deuda de $100.000 y dispone de $20.000 por lo

que solicita un préstamo bancario. La operación se concreta mediante la firma de

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dos documentos de igual valor nominal con vencimientos a los 30 y 60 días respecti-

vamente. El banco percibe un interés del 80% anual adelantado y cobra $5.000 por

estudio de antecedentes y sellado. Calcular el valor nominal de cada documento. 64) He comprado un pagaré a dos años de plazo de $1.000.000 de valor nominal al

7% que actualiza semestralmente. Si transcurridos tres meses lo vendo computan-

do una tasa del 12% que actualiza anualmente, ¿cuál fue el rendimiento de la ope-

ración expresado como tasa de interés que capitaliza anualmente?

65) Invierto $1.000.000 en un préstamo hipotecario al 72% efectivo anual con pa-

go de los intereses por trimestre adelantado y reembolso del capital a fin de año. Si

los intereses recibidos se invierten en el descuento de documentos trimestrales a la

tasa de efectiva descuento del 18% con actualización trimestral, ¿cuál será el mon-

to reunido al final del año?

1.3. Equivalencia de tasas

66) Un capital de $10.000.000 en 45 días permitió retirar un monto de

$10.500.000, ¿a qué tasa nominal anual para operaciones a 45 días y a qué tasa

efectiva anual fue invertido? 67) En una operación de 7 días se invierten $1.000.000 y se reciben $1.030.000,

¿qué tasa nominal anual para operaciones a 7 días y qué tasa efectiva anual son las

implícitas en dicha operación? 68) ¿Qué monto se reúne al cabo de tres años si se depositan $1.000.000 en una

institución que capitaliza los intereses trimestralmente al 20%? 69) Idem anterior pero con una tasa contractual del 84% nominal anual para ope-

raciones a 90 días. 70) Idem anterior pero con una tasa del 80% efectiva anual.

71) Completar el siguiente cuadro:

d(365/8) i(365/19) j(365/90) d(365/7) i i(365/20) f(365/1)

20.00%

9.20%

1.50%

87.00%

15.00%

0.03% 72) Una persona realiza un depósito durante 5 meses que ganó un interés anual

efectivo del 175%, se pide:

a) determinar el rendimiento de la operación expresado como:

aa) tasa de interés efectiva para el período de la operación.

ab) tasa de interés efectiva mensual

ac) tasa de interés efectiva trimestral

ad) tasa de interés nominal anual para el período de la operación

ae) tasa de interés nominal anual para operaciones a 45 días.

______________________________________________________________________________

15

b) determinar, bajo un régimen de interés simple, la tasa de interés mensual con la

que se obtendría el mismo rendimiento que bajo un régimen de interés com-

puesto. 73) Determinar cual de las siguientes operaciones es la más conveniente para el

inversor:

a) depósito a interés simple por el plazo de 1 año a la tasa del 267% anual.

b) Depósito por el lapso de 4 meses, por el cual el inversor obtiene un interés de

$0,89 por cada peso.

c) Depósito al 267% efectivo anual.

d) Depósito al 20% efectivo trimestral.

e) Depósito a interés compuesto a la tasa del 267% nominal anual para operacio-

nes a 30 días.

74) Si se pacta una operación a interés simple por el plazo de 120 días al 140%

(TNA para el plazo de la operación), ¿cual sería la tasa mensual a aplicarse si se

hubiera pactado efectuar el depósito a interés compuesto? 75) Por un préstamo de $1.000 he firmado un documento con vencimiento dentro

de 210 días y cuyo valor nominal incluye intereses calculados al 120% nominal

anual vencido para operaciones a 210 días. Si cuando restan 90 días para el venci-

miento concurro al banco para saldar la deuda por lo que me hacen un descuento

del 92% nominal anual adelantado para operaciones a 90 días, ¿cuál ha sido la tasa

de costo de la operación? Exprese el resultado de las siguientes maneras:

a) TNA vencida para operaciones a 120 días.

b) TNA adelantada para operaciones a 120 días.

c) Tasa efectiva vencida para 30 días.

d) Tasa efectiva vencida anual. 76) Por la adquisición de una máquina debo pagar $1.000 al contado, $3.000 den-

tro de dos meses y $4.000 dentro de 3 meses. Dada una tasa de interés de 72%

nominal anual para operaciones a 30 días determinar los desembolsos a realizar

según las siguientes alternativas de pago:

a) pago único dentro de un mes.

b) Pago al contado.

c) Pago único dentro de 6 meses.

d) $500 al contado, un pago dentro de 1 mes y $7.000 dentro de 6 meses.

e) $1.000 al contado, un pago dentro de 3 meses y otro a los 5 meses igual al do-

ble del anterior.

f) De estas alternativas, financieramente, ¿cuál es la alternativa que mas convie-

ne? 77) Por la venta de un camión queda un saldo a financiar de $300.000 que será

cancelado con dos documentos a 3 y 9 meses. El comprador acepta que los mismos

incluyan un interés equivalente al 250% (TEA) y el vendedor accede a que el im-

porte del segundo documento sea el doble del primero. ¿De qué importe serán los

documentos? 78) Una entidad financiera pretende que costo efectivo anual de todos sus plazos

de captación sea del 14%. Determinar las tasas nominales anuales a pagar por de-

pósitos a plazo fijo, considerando los siguientes plazos:

a) 30 días; b) 45 días; c) 60 días; d) 90 días; e) 105 días; f) 180 días y g) 365

días. 79) Una entidad financiera paga por los depósitos a plazo de 30 días el 20% nomi-

nal anual. Determinar la tasa a pagar por los plazos de 45, 60, 105, 120 y 180 días,

sabiendo que se pretende disminuir en un punto el costo efectivo anual de cada

plazo.

_____________________________________________________________________________

16

80) Una entidad financiera cobra el 50% nominal anual de descuento para opera-

ciones a 15 y 90 días. Se solicita determinar:

a) la tasa efectiva de interés mensual y trimestral de cada operación.

b) Idem a) pero considerando un sellado del 1% incluido. 81) El banco YY de fijar las tasas adelantadas nominales anuales para las operacio-

nes de descuento de documentos. Si la dirección del mismo no deseara cobrar una

tasa efectiva anual de interés equivalente inferior al 24% determinar las tasas an-

tes mencionadas que debe cobrar el banco para las operaciones a 30 y 90 días. 82) Una entidad financiera abona el 18% nominal anual de interés por depósitos a

30 días. Sabiendo que la rentabilidad pretendida es de 4 puntos efectivos anuales

por sobre su costo efectivo anual de captación, determinar que tasa nominal anual

de descuento deberá cobrar para descuento de pagarés con vencimiento a 30, 60 y

75 días.

83) Determinar el costo implícito en la tasa efectiva mensual vencida de las si-

guientes condiciones de compra/venta:

a) contado 5% de descuento, 60 días neto.

b) 30 días 3% de descuento, 60 días neto.

c) Contado 4% de descuento, 30 días neto.

d) 30 días neto, 60 días 1,2% de recargo. 84) La tasa efectiva semestral proyectada de inflación es del 12%. ¿Qué tasa efec-

tiva mensual se debería obtener por una inversión a plazo fijo ajustable si se pre-

tende un rendimiento real efectivo mensual del 0,5%. 85) Sabiendo que la tasa nominal anual de interés para un depósito a plazo fijo

efectuado el 01/08 fue del 10% para 31 días, determinar:

a) el incremento en índice de precios al consumidor, si se pretendiera un rendi-

miento real del 0,3% para el período.

b) La tasa efectiva anual de interés equivalente a la tasa de interés obtenida en a) 86) El 01/03 se adquirió al contado un vehículo en $9.000 que se vende el día 16/3

cobrándose de la siguiente manera: contado $2.500 y el 01/05 $7.000. Sabiendo

que los índices son para febrero 1.065,12, para marzo 1.086,42 y para abril

1.106,09, determinar si la operación rindió el 1% efectivo mensual por encima de

los índices. 87) Sabiendo que la inflación en $ es del 1,6% efectiva mensual y que en u$s es

del 1% efectivo mensual, ¿qué elección es la más conveniente para quien contrae

un préstamo?

a) préstamo ajustable en $ a reintegrar en 6 cuotas mensuales e iguales compu-

tando una tasa de descuento del 6% efectiva mensual.

b) Préstamo ajustable en dólares a reintegrar en 2 cuotas trimestrales iguales cuya

suma es un 6% mayor que el préstamo recibido.

c) Préstamo ajustable en $ a reintegrar a los 6 meses, tasa aplicable: tasa de des-

cuento comercial del 120% anual. 88) El 31/03/87 se otorgó un préstamo de $10.000 reembolsable mediante un pago

de capital e intereses a los 3 meses. En ese momento se estimó que la inflación del

trimestre sería del 15%. Determinar la tasa nominal anual vencida para el período

de la operación a la que se pactó la misma, si se sabe que se pretendía obtener un

rendimiento real del 2%.

______________________________________________________________________________

17

89) Continuando con el ejercicio anterior, el 11/07/87 se obtiene la siguiente infor-

mación a fin de evaluar la operación pactada:

Mes Índice de Pre-

cios

02/87 100,000

03/87 105,000

04/87 109,725

05/87 113,017

06/87 122,058

¿La proyección fue excesiva o insuficiente?, ¿cual fue la tasa de rendimiento real

efectivo mensual?, y dicha tasa para toda la operación?

1.4. Problemas Combinados 90- Un documento de $10.000 se descuenta al 36% nominal anual para operacio-

nes a 90 días 5 meses antes de su vencimiento, se pregunta:

a) valor nominal del descuento.

b) Descuento correspondiente al primer mes.

c) Descuento correspondiente al tercer mes. 91) Ante la necesidad de invertir fondos ociosos durante 90 días un comerciante

analiza las siguientes alternativas de colocación:

a) suscripción de letras de tesorería que gana el 11% efectivo anual de interés.

b) Depósito a plazo fijo al 10,5% nominal anual para el período de la operación.

c) Compra de Bonex, a $85, los cuales se estima se venderían a los 90 días a un

precio de $86,7. Gastos de compra 0,4% sobre el precio de compra. Gastos de

venta 0,5% sobre el precio de venta.

Determinar cual es la alternativa más conveniente.

92) Se han comprado 10.000 títulos públicos al 96% de su valor nominal. Durante

3 años se ha cobrado semestralmente el 12% nominal anual para operaciones a

180 días en concepto de interés. Al cabo de ese plazo se produce el rescate de los

títulos a la par. Determinar si la inversión ha superado el 13% efectivo anual de

intereses. 93) Un documento de $240.000 se ha descontado comercialmente 5 meses antes

de su vencimiento. La suma obtenida ha sido invertida en otra operación bajo el

régimen en el cual los intereses no se capitalizan, a la misma tasa y por el mismo

plazo. Cumplidos los 5 meses se ha obtenido un monto de $239.400. Determinar la

tasa implícita en ambas operaciones. 94) Una empresa tiene excedentes financieros durante 70 días y cuenta con las

siguientes alternativas de inversión:

a) Compra de títulos públicos: cotización al día de la inversión $89. Cotización es-

timada al septuagésimo día $93. Gastos de compra 0,4% y de venta 0,6%.

b) Colocación a plazo fijo al 1,5% efectivo mensual durante los primeros 30 días y

al 1,4% efectivo mensual los restantes 40 días.

c) Compra de documentos de terceros con vencimiento dentro de 70 días.

Determinar cual deberá ser la tasa nominal anual de descuento bancario a cobrar

en la operación c) de tal modo que el rendimiento de la misma sea igual a la mejor

de las otras dos opciones:

_____________________________________________________________________________

18

95) Una empresa solicita descontar un pagaré de $1.000.000 con vencimiento a los

90 días, siendo la tasa nominal anual de descuento para el período de la operación

aplicable del 20%. Como contrapartida el prestatario se obliga a constituir un depó-

sito del 10% del préstamo nominal hasta tanto no cancele el mismo. Dicho depósito

devenga un interés nominal anual del 20% (para el período de la operación). De-

terminar:

a) tasa nominal anual de interés para el período de la operación que represente el

costo de la misma.

b) tasa nominal anual de interés para operaciones a 30 días, equivalente a la obte-

nida en a). 96) Si colocamos un capital de $10.000 durante 9 meses a las tasas efectivas men-

suales del 1% para los 2 primeros meses, del 2% para los próximos 4 y del 3%

para los últimos 3, ¿cuál será la tasa nominal anual de interés para operaciones a

60 días que representa el mismo costo de la operación? 97) Descontamos un documento de $1.000 con vencimiento dentro de 30 días a la

tasa nominal anual de descuento para el período de la operación del 12%. Si nos

cobran gastos de sellado del 1% sobre el valor nominal, ¿cuál es el costo efectivo

vencido mensual de la operación? 98) Una deuda de $1.500.000 se financia mediante la emisión de 2 pagarés a 2 y 4

años. Sabiendo que la tasa de la operación es del 7% anual y que el importe del

segundo pagaré es la mitad del primero, determinar el importe de cada uno de ellos

en:

a) un régimen de interés simple.

b) Un régimen de interés compuesto. 99) Ante la necesidad de financiar una operación cuyo rendimiento estimado es 3%

mensual efectivo, se analiza la posibilidad de obtener fondos en una entidad bajo

las siguientes condiciones:

a) tasa de interés 20% nominal anual para operaciones a 60 días.

b) Devolución del capital adeudado al año de obtener el préstamo, abonándose los

intereses por bimestre vencido.

c) Sellado 1% sobre el valor del préstamo, pagaderos en el momento de otorga-

miento.

d) Gastos del 2% sobre el valor del préstamo, pagaderos por adelantado.

e) Como condición adicional es necesario constituir un depósito a plazo fijo en la

referida entidad por el 10% del valor del préstamo. Dicho depósito gana el 15%

nominal anual de interés para operaciones a 1 año.

Se pide:

1) determinar si el rendimiento de la inversión supera el costo de la financiación.

2) Determinar el costo efectivo mensual de la financiación. 100) Un bono de valor nominal 100 gana un 3% semestral vencido libre de gastos

e impuestos, si se compra a $50 (cotización en el mercado por cada 100 unidades

de valor nominal), ¿a que precio debe venderse al cabo de dos años para que el

rendimiento sea del 5% efectivo semestral?. Gastos de compra 0,2% y de venta

0,2%.

______________________________________________________________________________

19

101) Se invierten en una empresa industrial el día 01/02/93 u$s 10.000 y se reci-

ben como utilidad las siguientes sumas:

15/03/93 u$s 250

19/03/93 u$s 1.200

15/11/93 u$s 2.000

28/12/93 u$s 8.000 (en concepto de retiro de capital)

Determinar si la “Revolución productiva” se impuso a la “Bicicleta financiera” me-

diante la comparación entre el rendimiento de la inversión y la tasa de mercado del

período que asciende al 12% efectivo anual.

102) Se realiza una inversión a la tasa del 10% efectiva anual durante un determi-

nado período. Si se hubiera invertido por un plazo igual al doble del original se ob-

tendría un monto de 14,421 veces el capital original. Determinar el plazo original

de la inversión.

103) Una empresa adquiere productos terminados según el siguiente detalle: a 90

días neto (utilizada actualmente), 30 días 6% de descuento. Se estudia la posibili-

dad de comprarle al proveedor a 30 días sabiendo que para ello la empresa deberá

usar de alguna de las siguientes alternativas de financiación:

a) descuento de documentos de terceros a 60 días a la tasa de descuento del 40%

nominal anual para el período de la operación. La entidad financiera exige man-

tener como saldo de apoyo en cuenta corriente el equivalente al 10% del valor

actual, que no gana interés alguno.

b) Venta de documentos en una compañía financiera al 35% nominal anual de des-

cuento para operaciones a 60 días, debiendo afrontar los siguientes costos: co-

misión 0,3%, gastos 0,2% y sellado 1% (todos pagaderos por adelantado y so-

bre el valor nominal).

c) Aceptaciones bancarias a 60 días sin gastos ni comisiones al 3,5% efectivo men-

sual.

d) Utilización de adelanto en cuenta corriente renovable cada 15 días a la tasa del

37% nominal anual para el período de la operación.

¿Con alguna de las alternativas la empresa puede pagarle al proveedor a 30 días

obteniendo algún provecho de ello?

104) Siguiendo con el ejercicio anterior, ¿qué ocurre si recibimos información del

proveedor diciendo que se recargarán las ventas pagaderas a 90 días en un 1% en

concepto de gastos administrativos?

105) El departamento de comercialización de una empresa desea saber los des-

cuentos a otorgar a sus clientes, conociendo la existencia de las siguientes condi-

ciones:

- costo del dinero: 0,15% efectivo diario de interés.

- Condición de venta actual: neto a 100 días de la fecha de la factura (F.F.)

Determinar los importes a percibir en cada una de las siguientes alternativas de

cobro para no ganar ni perder:

a) cobro a 30 días F.F.

b) cobro en 2 pagos iguales a los 30 y 60 días F.F.

c) cobro contado contra entrega.

_____________________________________________________________________________

20

106) Se desea saber la opción más favorable para financiar a 180 días una opera-

ción de equipamiento industrial, contando con las siguientes alternativas:

a) descuento de documentos a 180 días, mediante la aplicación del 2,5% efectivo

mensual de interés, sufriendo una comisión adelantada del 0,5%.

b) Crédito a sola firma: TNA vencida para operaciones a 180 días del 40%.

c) Alquiler de Bonex a 180 días: costo del alquiler 0,5 % efectivo mensual por se-

mestre vencido, pagadero en Bonex. El precio de venta estimado $81, siendo los

gastos de venta del 0,41% y el precio estimado de compra a 180 días $94. Sien-

do los gastos de compra iguales a los de venta.

1.5. Rentas y Sistemas de Amortización de Préstamos

107) Sea una sucesión de 30 capitales iguales y equidistantes en el tiempo, si la

tasa periódica es del 6% efectiva y el valor de cada capital es de $5.000, se pide

valuar la renta en los siguientes momentos:

a) un momento antes del primer pago.

b) Al momento del último capital.

c) En el momento 10.

d) Al momento del primer pago. 108) Determinar el valor actual de una renta de 20 cuotas iguales, mensuales, con-

secutivas y equidistantes en el tiempo de $500, diferidas en 4 meses al 5% efectivo

mensual. 109) Se está pagando un televisor mediante cuotas de $5.000 al comienzo de cada

trimestres, transcurridos 3 años, cuando aún restan 32 pagos se quiere saldar la

deuda. ¿Cuánto debe abonarse al 6% anual efectivo? 110) ¿Cuál es el precio de compra de una renta de 40 cuotas iguales, mensuales,

consecutivas y equidistantes en el tiempo de $10.000, sabiendo que son vencidas,

que se valúan al 8% efectivo mensual y que se pactó un año de gracia entre las

cuotas 11 y 12? 111) Una persona desea abonar, al cabo de 5 años, $1.000.000, para ello se com-

promete a efectuar depósitos mensuales comenzando hoy, los que se capitalizan al

5% efectivo mensual de interés. Si transcurridos 2 años dicha persona realiza un

retiro de $50.000, sin efectuar depósito alguno, ¿de que capital será poseedor a 18

meses mas tarde?, ¿y a los 5 años? 112) Una persona desea formar un capital, al cabo de 15 meses, de $1.000.000,

para ello debe depositar al final de cada mes $50.000. ¿Cuánto tendrá que deposi-

tar si desea formar un monto de $1.500.000? 113) Se obtendrá un préstamo luego de abonar 11 cuotas bianuales de $100000 a

partir del 31/12/76. Si la capitalización se efectúa al 10% nominal anual para ope-

raciones a 180 días, ¿determinar el importe que se recibirá el 31/12/90. 114) Un capital de $100.000 se deposita en un banco al 4,5% efectivo anual duran-

te 20 años. Si al fin de cada año se retiran $2.000, ¿qué monto tendrá la cuenta de

ahorro al cabo de dicho período? 115) Calcular el valor de contado de un departamento a la fecha de posesión

(01/01/76), sabiendo que se financia en 10 cuotas anuales de $200.000 al 18%

nominal anual para operaciones a 90 días y que el primer pago tiene lugar el

01/01/73.

______________________________________________________________________________

21

116) Mediante el pago inicial de $1.500 se ha contratado una renta perpetua de

pagos anuales vencidos y constantes. Calcular la cuota de dicha renta, sabiendo

que durante los primeros 10 años se valuó al 5% efectivo anual, para luego pasar a

valuarse al 4,5% efectivo anual. 117) Un señor compra una renta pagadera durante 6 años mediante cuotas venci-

das. Dada la tasa del 24% nominal anual para operaciones a 30 días, pagó

$37.984.063 por ella. Para elegir la periodicidad de cobros quiere saber que renta

cobraría de ser las cuotas mensuales, trimestrales, semestrales, anuales o bianua-

les, y le solicita a Ud. que lo asesore respecto de que periodicidad es más conve-

niente desde el punto de financiero. (Usar 360 días). 118) Con ocho depósitos de $100 que se capitalizan al 4% efectivo mensual de in-

terés se quiere reunir cierta suma. Si el cuarto depósito no se realiza, retirándose

además $200, y sabiendo que se desea reunir el monto originalmente planeado, se

quiere saber:

a) adicional mensual a depositar a partir de la quinta cuota.

b) Adicional único junto con la séptima cuota. 119) Un señor desea comprar un bien dentro de 2 años. Con ese objeto deposita

todos los meses $1.200, que se capitalizan al 3% efectivo mensual. Si efectúa el

primer el primer depósito hoy, ¿qué importe adicional deberá, al momento de la

compra si dicho Sr. no depositó:

a) la cuarta cuota.

b) La cuarta, la quinta, y sexta cuota.

c) La cuarta, sexta y octava cuota.

120) Un individuo posee $700.000 que desea convertir en una renta de pagos men-

suales con adicionales cuatrimestrales durante los próximos 4 años. Si se cobra un

haber mensual de $18.000, por adelantado, y que el primer adicional se cobra den-

tro de 2 meses, calcular de qué importe serán los adicionales cuatrimestrales si se

pretende que la operación rinda un 3% efectivo mensual. 121) El día 01/07/94 se adquiere una propiedad de acuerdo con las siguientes con-

diciones:

a) suma a ingresar de contado $10.000.

b) cuotas iguales, mensuales y consecutivas de $400. Vencimiento de la primera

cuota el 1/8/94 y de la última el 1/8/96.

c) cuotas iguales, mensuales y consecutivas de $500. Vencimiento de la primera

cuota el 1/9/96 y de la última el 1/10/98.

d) cuarenta cuotas iguales y mensuales de $600, siendo el vencimiento e la primera

el 1/11/98.

e) Refuerzos anuales de $2.000, con vencimientos el 1/10/95, 1/10/96 y 1/10/97.

Se pide determinar el valor de contado de la propiedad, sabiendo que el vendedor

al establecer el plan de financiación pretendió obtener el 2% efectivo mensual de

rendimiento. 122) Se estudia la factibilidad de compra de un inmueble destinado a la locación de

acuerdo con las siguientes condiciones:

a) fecha de entrega: 1 año a partir de la fecha de compra.

b) Precio de compra: $200.000.

c) Renta estimada: $1.800 mensuales, los cuales se cobran de forma adelantada.

Si al cabo de cuatro años de explotación se presupuesta vender el inmueble, de-

terminar el precio de venta si se pretendiera una rentabilidad del 1% efectivo men-

sual.

_____________________________________________________________________________

22

123) El 1/4/93 se depositan $1.000 en una entidad financiera, y a partir del

01/07/93 se integran cuotas mensuales, iguales y consecutivas hasta el 01/10/95,

ambas fechas inclusive, que obtienen el 4% efectivo mensual de interés, constitu-

yendo el total de estos depósitos la suma de $5.741,77. Si el 01/10/95 se recibe

una suma de pesos igual a 137 cuotas de las abonadas desde el 01/07/93 al

01/10/95, ¿en cuántas cuotas iguales, mensuales y consecutivas de $60 que inclu-

yen un costo del 5% efectivo mensual del interés, y que comienzan el 01/11/95, se

cancela el préstamo? 124) Se adquiere un negocio el 1/1/93 y en concepto de llave se fija un precio de

u$s 100.000, pagadero mediante 48 cuotas mensuales a partir del 31/12/93. Si la

tasa de interés es del 1% efectivo mensual hasta el 31/05/94 inclusive, luego del

2% efectivo mensual hasta el 31/12/95 inclusive y de allí en adelante el 3% efecti-

vo mensual, determinar el importe de cada pago. 125) El 01/01/93 se obtiene un préstamo de $100.000 amortizable mediante 10

cuotas bimestrales de $15.000, sabiendo que el costo de la operación es del 4%

efectivo bimestral, se pide determinar la fecha del primer pago. 126) El 31/12/97 se debe realizar un pago de u$s 100.000. Si para ello se realizan

depósitos anuales de u$s 5.000 a partir del 31/12/92, los que ganan el 5% efectivo

anual de interés hasta el año 95 inclusive, y luego un 7% efectivo anual de interés,

determinar el saldo impago a la fecha de su vencimiento. 127) Un préstamo de DM 10.000 tomado el 01/05/95 se paga en cuotas, con pri-

mer vencimiento el 01/02/96, de DM 690, las cuales son mensuales y consecutivas,

hasta el 01/01/97 inclusive. A partir de allí la cuota aumenta a DM 700, siendo el

último vencimiento el 01/07/97. Si la tasa de la operación fue del 0,8% efectivo

mensual para 1996, y de allí en adelante del 0,9% efectivo mensual, determinar la

tasa de interés aplicada durante 1995.

128) Una persona el 01/01/93 recibe un préstamo cancelable en 15 cuotas de u$s

100 a partir de 01/01/98 al 15% efectivo anual de interés. Esta persona ofrece otra

alternativa de pago que consiste en abonar 10 cuotas, a partir del 01/01/2000, al

6% efectivo anual de interés. Sabiendo que los pagos son anuales y vencidos, de-

terminar cual es la alternativa que mas conviene al prestamista. 129) Determinar las cuotas de pago que amortizan un préstamo de $100.000, sa-

biendo que:

a) fecha de liquidación: 01/05/93

b) vencimiento primera cuota: 01/10/93

c) vencimiento última cuota: 01/05/96

d) tasa de interés: 1% efectiva mensual durante 1993 y 1994, desde allí el 1,2%

efectivo mensual

e) cada 12 meses la cuota aumenta un 10% con respecto a la anterior 130) Idem ejercicio anterior, pero si se supone que a partir del 01/11/94 se quisie-

ran abonar cuotas iguales manteniendo la fecha de pago de la última cuota, ¿cuál

sería el monto de estas? 131) Idem ejercicio anterior, pero si se modifica la tasa al 1,5% efectivo mensual

para el último año (1996), ¿cuál será la amortización extraordinaria a abonar con la

última cuota de pago a fin de no modificar las condiciones pactadas? 132) Calcular la suma que puede pedirse en préstamo si la misma será reintegrada

mediante 14 pagos bimestrales vencidos de los cuales el primero es de $465 y cada

uno de los restantes es de $35 menor que el anterior, siendo el costo del dinero del

18% efectivo bimestral.

______________________________________________________________________________

23

133) Si deposito en una entidad financiera $12.000 al 127,77% efectivo anual y se

quiere retirar a fin de cada mes y durante 1 año sumas que se van incrementando

cada mes en el importe del primer retiro, ¿cuál es el importe del primer retiro? 134) Se desea saber cual es el primer pago que produce una renta de $6.000 en

moneda de hoy, durante 26 meses, sabiendo que los mismos se incrementan a ra-

zón del 4% mensual y siendo la rentabilidad de la misma del 4,5% efectivo men-

sual. 135) Determinar el valor final de la siguiente serie de pagos vencidos, sabiendo que

la valuación para los primeros 5 es al 4% efectivo mensual y para los restantes al

5% efectivo mensual:

a) primeros 5: el primer pago es de $230, siendo los restantes mayores que el

anterior en $30

b) siguientes 7: constantes, de $400 136) Compro una máquina por $6.0000. Se pagan 12 mensualidades vencidas de

modo que la última sea igual a la cantidad en que disminuye cada cuota respecto

de su anterior. Si la tasa que me cobra quien me financia es del 8,2%, ¿cuál es el

importe del primer pago? 137) ¿Qué resulta más conveniente para tomar un préstamo de $2.800, pagaderos

en 7 cuotas mensuales crecientes a razón del 6% mensual?

a) aceptar una tasa efectiva mensual vencida del 6%

b) aceptar una tasa efectiva anual vencida del 81,05192%

c) aceptar una TNA de interés para operaciones a 30 días del 79,08333%

¿Varía la elección si en lugar de seleccionar la alternativa más conveniente en fun-

ción de la tasa lo hiciéramos en función de la cuota?, explique. 138) ¿Cuánto tendré que abonar hoy para cancelar una deuda que reúne las si-

guientes características?

a) deberé pagar, pasados tres meses, 18 cuotas mensuales, adelantadas consecu-

tivas, siendo la primera de $170, disminuyendo las siguientes en $20 cada una

b) el costo de la operación asciende al 2% efectivo mensual 139) Un préstamo es concedido al 5% efectivo mensual. Si la primera cuota se

abona a fin del mes siguiente por $500 y las restantes 7 decrecen en $50 cada una,

¿Cuál es el valor del préstamo? 140) A una persona, para obtener un préstamo mediante un plan de ahorro previo,

se le exige integrar una suma de dinero. Para ello opta por un plan de 10 meses de

plazo con cuotas crecientes en razón de $20 por mes, comprometiéndose a integrar

la suma de $3.500 al cabo de ese período. Si la tasa de interés que representa el

costo de la operación para el tomador es del 2% efectivo mensual, ¿Cuál es el valor

de la primera y séptima cuota?

141) Calcular el valor actual de una serie de 18 pagos mensuales y vencidos que

presentan las siguientes características:

a) primeros 8: se realizan en progresión geométrica siendo el primero de $120 y el

último de $137,84.

b) restantes 10: constantes e iguales al octavo pago.

c) tasa de interés: 4,25% efectivo mensual para los primeros 8, 5% efectivo men-

sual para los siguientes 5 y 5,2 efectiva mensual para los restantes.

_____________________________________________________________________________

24

142) Calcular el valor final obtenido para haber realizado 9 depósitos constantes y

vencidos de $180 y luego que aumentan en progresión aritmética cuyas sumas de-

positadas el 10/02/87 es de $195, el 10/03/87 de $210 y el 10/06/87 de $255,

siendo la tasa de rendimiento para los primeros 9 depósitos del 19,50926% efectiva

mensual y para los restantes del 2,5% efectivo mensual. Además calcule el rendi-

miento de la operación. 143) Siguiendo con el ejercicio anterior responda conceptualmente:

a) si la tasa aplicable para los 9 primeros pagos hubiese sido aplicable para los

primeros 10, el valor final sería mayor o menor? ¿y el valor actual?

b) si el valor final recibido por quien realizó los depósitos es menor a $5326,06, ¿el

rendimiento de la operación aumentó o disminuyó? 144) En un préstamo de $1.800 a 5 meses de plazo se establece que la primera

cuota se abonará al mes siguiente de concretada la operación. Además, cada cuota

será superior a la precedente en $35. Si la tasa es del 62% nominal anual para

operaciones a 30 días, calcular el valor de la primera cuota. 145) Sea un préstamo cancelable por el sistema de tasa sobre saldos, amortización

creciente en progresión geométrica y cuota constante, si se sabe que dicha cuota

es mensual e igual a $10.185,22, que m4 = $2.752,75 y que m7 = $3467,67, se

pide:

a) Hallar la tasa de interés efectiva mensual que representa el costo de la opera-

ción.

b) Hallar el período en que se amortiza la deuda.

c) Importe de las amortizaciones contenidas en las 5 primeras cuotas.

d) Importe de las amortizaciones contenidas en las cuotas 6 a 15 inclusive.

e) Importe de las amortizaciones contenidas en las últimas 5 cuotas.

f) Importe de los intereses incluidos en las 10 primeras cuotas.

g) Importe de los intereses incluidos entre las cuotas 5 y 10.

h) Importe de los intereses incluidos en las últimas 3 cuotas.

146) Una persona adeuda un capital de $200.000, a devolver por el sistema de

tasa sobre saldos, amortización creciente en progresión geométrica y cuota cons-

tante, siendo la tasa que le cobran por la financiación del 6%. Si se sabe que du-

rante los tres primeros años amortizó un cuarto de lo adeudado, cancelando el sal-

do en los restantes 3 años, construya el cuadro de marcha del préstamo. 147) Un comprador obtiene la financiación de un inmueble de valor $40.000 en un

90% al 12% nominal anual para operaciones a 30 días, a devolver por el sistema

de tasa sobre saldos, amortización creciente en progresión geométrica y cuota

constante, mediante pagos mensuales en 5 años. Si dos años después vende dicho

inmueble en la suma de $90.000, transfiriendo la deuda y recibiendo el saldo al

contado, ¿cuál fue el saldo recibido? 148) El total amortizado, por el sistema de cuota constante y amortizaciones cre-

cientes en progresión geométrica, de una deuda faltando 15 servicios para su can-

celación total es de $250.000. Sabiendo que la duración total del préstamo es de

20 años, calcular la deuda inicial si el costo de la operación es de; 6% efectivo

anual.

______________________________________________________________________________

25

149) Un préstamo de $8.000 contratado el 01/04/93 se abona en 12 cuotas igua-

les, mensuales y consecutivas, con primer vencimiento el 01/08/93. Sabiendo que

el costo de la operación es del 6% efectivo mensual, se pide:

a) Determinar el importe de la cuota de pago.

b) Determinar el importe de los intereses incluidos en la cuarta cuota.

c) Determinar el importe del saldo de deuda impago después de pagadas 5 cuotas.

d) Determinar el importe de los intereses abonados en las últimas 5 cuotas.

e) Determinar en que fecha el total amortizado supera el 75% de la deuda original.

f) Si supiéramos que existe un sellado del 1% del importe de cada una de las cuo-

tas, pagadero en el momento de contratación, determinar si el costo del prés-

tamo supera el 127,758% efectivo anual. 150) Se recibe un préstamo de $1.000.000, amortizable en 10 años por el sistema

de cuota constante y amortizaciones crecientes en progresión geométrica. Sabiendo

que la tasa que nos cobran es 6% efectivo anual para los primeros 4 años, 6,5%

efectivo anual para los 3 siguientes y 7% para los restantes y si los gastos de otor-

gamiento ascienden a $11.000, se pide:

a) Anualidad constante.

b) Deuda al principio del cuarto año.

c) Cuotas de interés de los años sexto y noveno.

d) Costo de la operación. 151) Se presta un capital de $200.000, bajo el sistema de cuota constante (com-

puesta de amortización e intereses y tasa sobre saldos, al 7% efectivo anual de

interés. Sabiendo que al cabo de 6 años el capital pendiente de amortización es la

mitad del prestado, se pide:

a) Plazo del préstamo.

b) Cuota.

c) Composición de la cuota del tercer año. 152) La venta de un préstamo del que restan 7 años es $727.105,18. Si se sabe

que: a) el préstamo se amortiza por el sistema de amortización creciente en pro-

gresión geométrica, b) la cuota de interés del año en curso hubiera sido $50.000,

c) la cuota de amortización del año anterior fue de $75.000 y d) la tasa del présta-

mo es un 1% superior a la de la venta, se pide:

a) Calcular la tasa del préstamo.

b) Calcular la tasa de la venta.

c) Calcular la cuota.

d) Calcular el capital adeudado al momento de la venta. 153) Una compañía obtuvo de un banco 3 préstamos en dólares, amortizables me-

diante el sistema francés, según el siguiente detalle:

Fecha Monto TEA Plazo

Enero ‘59 u$s 100.000 6% 30 años

Enero ‘63 U$s 60.000 7% 40 años

Enero ‘70 U$s 30.000 8% 30 años

Si para unificar sus deudas, a fines de diciembre de 1977 y luego de pagada la cuo-

ta vencida, dicha compañía solicita a su acreedor que las 3 deudas queden unifica-

das en una sola a 30 años, determinar la nueva anualidad si el acreedor pretende

un rendimiento del 6,78% nominal anual para operaciones a 365 días.

_____________________________________________________________________________

26

154) Una persona tomó prestados $100.000, reembolsables por el sistema de

amortización creciente en progresión geométrica en 20 años, al 4% efectivo anual

de interés. Se pide:

a) Calcular la cuota

b) Calcular el interés del primer año

c) Calcular la amortización del primer año

d) Calcular la amortización del último año

e) Calcular el año en que se amortizan $6.047

f) Calcular el momento en que la anualidad será el duplo del interés. 155) Un préstamo de $8.000 contratado el 01/07/93 se amortiza bajo las siguien-

tes condiciones:

a) El sistema contratado es el de cuota constante (compuesta de amortización e

intereses) y tasa sobre saldos de deuda.

b) Las cuotas son de $550.

c) Primer vencimiento: 01/08/93.

d) Último vencimiento: 01/07/94.

e) A partir de allí y con primer vencimiento el 01/08/94 se abonan 12 cuotas igua-

les, mensuales y consecutivas de $892,06.

f) Tasa de interés 6,5% efectivo mensual hasta el 01/07/94.

Determinar:

a) Tasa de interés aplicable desde el 01/07/94.

b) Saldo de deuda después de pagada la cuota 15.

c) Amortización del período 16.

d) Total de intereses pagados en los últimos 9 pagos. 156) A qué tasa efectiva mensual de interés se habrá concertado una operación por

el sistema de amortizaciones constantes y tasa sobre saldos, si cancelándola en 24

cuotas, los intereses representan 1/3 de la suma pagada por todo concepto durante

la operación. 157) Construir el cuadro de marcha, por el sistema de cuota decreciente en progre-

sión aritmética, de un préstamo de $200.000, amortizable en 5 años al 5% efectivo

anual de interés. 158) El 01/01/75 se obtuvo un préstamo de $10.000.000, cancelable en 20 anuali-

dades vencidas al 5% efectivo anual, por el sistema en el que la cuota decrece en

progresión aritmética. Se pide:

a) Cuota de pago del 31/12/87 y su composición.

b) Total de intereses pagados al 31/12/90. 159) Determinar el total de intereses que se abonarán para la cancelación de una

deuda que, por el sistema de cuota capital constante y tasa sobre saldos, demanda-

rá 36 meses en amortizarse, sabiendo que el servicio del 18avo mes es de $20000 y

la tasa de interés es del 1,75% efectivo mensual. 160) Se adquiere una maquinaria y se la abona en 10 cuotas mensuales, iguales y

adelantadas de $18.000. Sabiendo que se aplicaron intereses directos del 8% efec-

tivo mensual, se pide:

a) Valor de la maquinaria.

b) Total de intereses a abonar.

c) Costo de la operación.

______________________________________________________________________________

27

161) Un automóvil cuyo precio es de $400.000 se ofrece con 50% al contado y el

saldo en 20 cuotas mensuales de $20.000 cada una. Determinar:

a) La tasa directa que se usó en el cálculo de los intereses.

b) Costo de la operación. 162) Se contrae una deuda de $1.000.000 a amortizar en 10 cuotas constantes

considerando un interés directo del 2% efectivo mensual. Se pide:

a) Determinar el importe de la cuota constante.

b) Determinar el total amortizado luego del quinto pago.

c) Determinar el saldo de deuda luego de pagada la octava cuota.

d) Costo de la operación.

e) Si el deudor cancela la deuda junto con el quinto pago:

1. ¿Cuál es el costo de la operación?

2. ¿Cuándo debería haber abonado para que el costo de la operación fuera el

obtenido en d. 163) Una deuda de $2.000.000 a 10 años se amortiza por el sistema en el cual el

saldo de deuda al inicio se paga junto con la última cuota. Se pide:

a) Cuota de capital que debe depositarse en una entidad financiera al 3,5% efecti-

vo semestral.

b) Cuota de intereses al 5% semestral.

c) Cuota total.

d) Habiéndose abonado 15 cuotas semestrales, ¿de cuanto debe disponerse para

cancelar la deuda? 164) Si en una operación a 24 meses por una deuda de $10.000.000, concertada

por el sistema en el cual el acreedor solo cobra intereses hasta el último período, la

tasa es del 3% efectiva mensual, determinar a que tasa efectiva mensual debe

constituirse el fondo para que la operación resulte sin costo. 165) Se contrae un préstamo por $100.000 amortizable en 8 meses por el sistema

en el cual el saldo de deuda al inicio se paga junto con la última cuota, siendo la

tasa que nos cobran del 15% efectiva mensual. Si una entidad financiera nos ofrece

una tasa del 13% efectivo mensual para obtener el valor del préstamo al culminar

el plazo, determinar:

a) Valor total de la cuota.

b) Costo de la operación.

c) Tasa real que representa el costo de la operación, siendo la inflación del 16%

efectiva mensual. 166) Se contrata un préstamo de $100.000 pagadero en 60 cuotas a una tasa del

2,5% efectivo mensual, siendo la fecha de otorgamiento el 01/03/93 y la del primer

pago el 01/06/93. Determinar, si el préstamo se concertó por el sistema de cuota

constante (compuesto de amortización e intereses) y tasa sobre saldos:

a) Cuota de pago.

b) Nueva cuota de pago si a partir de 1994 se modifica la tasa al 3,5% efectivo

mensual.

c) Importe a pagar el 01/01/94 para que no se modifique la cuota, habiendo

subido la tasa.

d) Si no hubiera cambio de tasa, ¿cuando se amortiza la mitad del préstamo que

incluye los intereses del diferimiento?

e) Determinar el total de intereses abonados en 1996.

_____________________________________________________________________________

28

167) Una casa de artículos del hogar nos ofrece la venta de un producto bajo dos

condiciones distintas de pago:

a) Adelanto 30%, saldo 10 cuotas iguales, mensuales y consecutivas, con el 1,2%

directo de intereses.

b) Adelanto 20%, saldo en 5 cuotas iguales, bimestrales y consecutivas, con el

2,5% directo de interés bimestral.

Determinar cual es la alternativa más conveniente desde el punto de vista financie-

ro para el comprador. 168) Una compañía financiera ofrece créditos a devolver en 10 cuotas mensuales

con sistema de amortización francés o alemán a elección del cliente, siendo para

ambos sistemas la tasa de interés mensual del 2% y los gastos del crédito del 10%

del valor obtenido.

Elija la opción más conveniente desde el punto de vista económico y financiero. 169) Si deseo cobrar por un préstamo un interés del 10%, ¿cuál es la tasa directa

que debo aplicar si dicho préstamo es de $1.000 y me lo reintegran en 5 períodos? 170) Una persona constituye un préstamo de cuotas fijas (compuesta de amortiza-

ción e intereses) y tasa sobre saldos. Sabemos que pagó entre el período 7 y 8 in-

tereses por $793,22, que durante el período 4 amortizó $652,96 y que entre el pe-

ríodo 4 y 10 inclusive acumuló una amortización de $4.854,27. Se pide deducir:

a) La tasa de la operación.

b) La cantidad de períodos.

c) Valor del préstamo.

d) Composición de la cuota 9. 171) Una persona recibe un préstamo por $50.000 a pagar en 30 años por medio

de un sistema de amortización constante y tasa sobre saldos, con una pequeña

variación, la amortización de los últimos 15 años es el doble de la de los primeros

15, a su vez sabemos que la tasa permaneció constante durante los primeros 15

años y que luego aumentó un 1%. También conocemos la cuota Nº 18, que es igual

a $3.666,66. Se pide:

a) Averiguar la tasa de los primeros y de los últimos 15 años.

b) También la composición de la cuota 7. 172) Se solicita un préstamo de $100.000 a devolver mediante un sistema ameri-

cano en 10 cuotas. Sabiendo que la cuota total es de $12.024.14 y que la tasa que

paga el banco donde se decidió constituir el fondo amortizante es del 3% efectivo,

pedimos averiguar:

a) La tasa del prestamista.

b) El costo de la operación.

c) La tasa directa que hubiera correspondido a un préstamo de tales características,

justificando las diferencias existentes entre esta y el costo de la operación.

______________________________________________________________________________

29

1.6. Evaluación de Proyectos 173) Dos proyectos mutuamente excluyentes tienen los siguientes flujos de efectivo

proyectados:

A B

Período Costo Flujo de Fondos Costo Flujo de Fondos

0 9.000 12.000

1 5.000 5.000

2 4.000 5.000

3 3.000 8.000

Calcule para cada proyectos la TIR, su período de recuperación, Índice de Rentabili-

dad y el VAN utilizando una tasa de corte del 15%.

174) Dos proyectos mutuamente excluyentes tienen los siguientes flujos de efectivo

proyectados:

Período 0 1 2 3 4

A (10.000) 5.000 5.000 5.000 5.000

B (10.000) 0 0 0 30.000

Determine:

a) La tasa interna de rendimiento para cada proyecto.

b) Suponiendo una tasa de rendimiento requerida del 10%, determine el VAN para

cada proyecto.

c) ¿Qué proyecto seleccionaría? ¿Qué suposiciones influyen en su decisión? 175) Zaire Electronics puede realizar una y solo una de las dos inversiones al mo-

mento 0. Suponiendo una tasa de rendimiento del 14%, determine para cada pro-

yecto:

a) El período de recuperación.

b) El valor actual neto.

c) El índice de rentabilidad.

d) Tasa interna de rendimiento.

e) Grafique cada uno de los proyectos.

Suponga para la depreciación el sistema lineal de 5 años y que la tasa de impuesto

a las ganancias es del 20%. Proyec-

to

Costo 1 2 3 4 5 6 7

A (28.000) 8.000 8.000 8.000 8.000 8.000 8.000 8.000

B (20.000) 5.000 5.000 6.000 6.000 7.000 7.000 7.000

_____________________________________________________________________________

30

176) SEA – FLY dispone de la opción de comprar una cierta tecnología para investi-

gación y desarrollo con un costo de $60.000. Se espera que al contar con este

equipo puedan prescindir de un trabajador de tiempo completo, con un ahorro

anual de $20.000. La computadora tiene una vida útil de cinco años. Impuesto a las

ganancias: 40% y la tasa de rendimiento requerida después de impuestos sobre el

proyecto es del 15%.

a) ¿Cuál es el valor actual neto?

b) Si fuera necesario un capital de trabajo de $5.000 además del costo de la

computadora y este importe adicional se necesitara a lo largo de la vida del

proyecto, ¿Cuál sería el efecto sobre el valor actual neto? 177) TRULY CLOTHES está comprando dos máquinas tejedoras de igual eficiencia

para llevar a cabo un trabajo de rutina. La máquina “Bob” tiene una vida económica

de dos años, gastos de mantenimiento de $100 al año y un precio de $5.000.

La máquina “Whip” cuesta $8.000 y durará tres años con gastos de mantenimiento

de $500 anuales. Bajo su sistema producción Truly Clothes necesitará una máquina

de hilar de este tipo durante muchos años. Tasa de impuestos a las ganancias 0%.

Si su tasa de rendimiento requerida es del 15%, ¿Qué modelo deberá seleccionar?

178) Una empresa analiza los siguientes proyectos mutuamente excluyentes entre

sí. Tasa de corte 6%.

Período A B

0 (2.000) (800)

1 500 200

2 500 200

3 500 200

4 500 200

5 500 200

6 500 200

7 500 200

¿Cuál es el proyecto más conveniente? Justifique su respuesta. 179) Se analiza la formación de una sociedad para explotar varias plantaciones de

cañas de azúcar. Para ello estima contar con una transportadora pesada. Dicho

equipo tiene un costo en plaza de $1.100 al contado. Sin embargo existe la posibili-

dad de alquilarlo por 5 años en los siguientes términos: los 3 primeros años con un

alquiler de $315 anuales, el cuarto año $260 y el quinto $250. El monto del alquiler

incluye servicio y mantenimiento.

Otros datos: los ahorros operativos por utilizar este equipo alcanzan a $300 anua-

les.

La vida útil de la maquinaria es de 5 años, calculándose que su valor de reventa (al

final del quinto año) alcanzará los $20.

Los costos de mantenimiento (solo en caso de compra) ascenderán a $10 anuales.

La empresa estima una tasa de impuesto de las ganancias del 20% que se estima

abonar al año siguiente.

Sabiendo que la tasa de corte fijada por la empresa es del 10% anual, determinar

el VAN de las dos alternativas y decidir la alternativa mas aconsejable. Justifique.

______________________________________________________________________________

31

180) “Corparation” puede invertir en un proyecto que cuesta $100.000 y tiene una

vida útil de 5 años. Los flujos de efectivo esperados del proyecto son:

Años 1 2 3 4 5

20.000 40.000 40.000 30.000 20.000

La tasa de impuesto a las ganancias es del 50% y su costo de capital sobre la base

de las condiciones actuales en los mercados financieros es del 12%.

La empresa utiliza el sistema de depreciación en línea recta y depreciará en 5 años.

a) Calcule el VAN del proyecto, TIR, pay-back e índice de rentabilidad. 181) Considere los proyectos A y B:

Proyecto 0 1 2 TIR

A (4.000) 2410 2930 21%

B (2.000) 1310 1720 31%

El costo de oportunidad del capital es inferior al 10%. Utilice criterio TIR para de-

terminar qué proyecto deberían ser aceptados si: A.- pueden emprenderse ambos y

B.- si solo uno puede emprenderse. 182) Una inversión tiene un flujo de ingresos de $200 hoy, un flujo de egresos de

$300 al final del año 1 y un flujo de ingresos de $400 al final del año 2. ¿Cuál es su

tasa interna de rendimiento?

183) Una empresa analiza dos proyectos independiente y excluyentes con las si-

guientes distribuciones de probabilidad discreta de los flujos de efectivo esperado

en cada uno de los 3 años de vida del proyecto.

A B

Flujo Probabilidad Flujo Probabilidad

3.000 0.10 2.000 0.10

3.500 0.20 3.000 0.25

4.000 0.40 4.000 0.30

4.500 0.20 5.000 0.25

5.000 0.10 6.000 0.10

La inversión inicial requerida es de $9.500 y la tasa de costo de oportunidad del

10%.

Se pide que determine para cada proyecto:

a) El valor actual neto esperado

b) La desviación estándar en torno al valor esperado

c) El coeficiente de variabilidad e interpretarlo

d) La probabilidad de que el VAN sea mayor a cero

e) Si la empresa acepta proyectos que maximicen el VAN esperado y menor riesgo,

¿Cuál eligiría?

_____________________________________________________________________________

32

184) Una empresa ha determinado la siguiente distribución de probabilidad discreta

para los flujos de fondos netos a generar por un proyecto bajo estudio.

Posible ingreso Probabilidad %

Año 1 Año 2 Año 3

1 0.50 0.20 0.00

2 0.10 0.10 0.50

3 0.40 0.70 0.50

La inversión inicial requerida es de $5 y la tasa mínima de aceptación es del 5%

anual.

Si la empresa acepta solamente aquellos proyectos rentables que tengan probabili-

dad superior al 90% de tener VAN positivo y además que el coeficiente de variabili-

dad no sea mayor al 0.6, ¿el proyecto debería realizarse?

______________________________________________________________________________

33

2. RESUELTOS

2.1. Interés Simple y Compuesto

1)

0 180 días

C0 = 1000 Cn i anual = 0,08

Como la tasa utilizada debe corresponderse con el período de la operación, debe-

mos hallar la tasa correspondiente a 180 días.

Cn = 1000 . (1 + 0,08.180/365)

Cn = 1039,45

2)

0 30 días

C0 Cn = 100

i anual = 0.07

I(0,n) = Cn – C0 (1)

Sabiendo que: Cn = C0 . (1 + i . n)

Reemplazando en (1)

I(0,n) = C0 . (1 + i . n) – C0

= C0 . ((1 + i.n) – 1)

= C0 . i .n (5)

C0 = I (0,n) /i.n

= 100/(0,07 . 30/365) = 17380,95

3) 14/5 18/6 30/11 n1 n2

Mayo 17

1000 500 Cn Junio 30 12

Julio 31 31

0,07 Agosto 31 31

Septiembre 30 30

Octubre 31 31

0,065 Noviembre 30 30

Total 200 165

_____________________________________________________________________________

34

Cn = C1 . (1 + i1.n1) + C2 . (1 + i2.n2)

= 1000 . (1 + 0,065 . 200/365) + 500 . (1 + 0,07 . 165/365)

= 1551,44

4)

0 3 5 meses

23000 32000 Cn = C0 . (1 + i) n

i = (Cn /C0) 1/n – 1

= (32000/23000) 1/2 – 1

i = 0,1795

5)

0 48 meses

C0 6352,45

i(365/30) = 0,005

C0 = Cn. (1 + i) –n

= 6352,45 . (1 + 0,005) –48

= 5000

6)

0 12

1000 1093.81

(365/30) = ?

1000.( 1 + i(365/30) ) 12 = 1093,81

Realizando el despeje

i(365/30) = (1093,81/1000) 1/12 – 1

= 0,0075

______________________________________________________________________________

35

7)

0 n meses

10000 13428,88

i(365/30) = 0,008

Sabiendo que:

Cn = C0 . (1 + i) n

Cn /C0 = (1 + i) n

ln(Cn /C0) = n . ln(1+ i)

ln(Cn /C0) / ln(1 + i) = n

ln(13428,88/10000) / ln(1 + 0,008) = n 37 = n

8)

0 1 2 3 4

C1 C2 23000

0.03 0.07 0.08 0.09

23000 = C1 . (1 + 0,07) . (1 + 0,08) . (1 + 0,09)

18259,707 = C1

23000 = C2 . (1 + 0,08) . (1 + 0,09)

19537,8865 = C2

9)

05/01 05/02 01/04 30/05 Enero 26

Febrero 28 23

Marzo 31 31

1000 5000 Cn Abril 30

Mayo 30

i = 0,125 i = 0,135 Total 85 54 60

a.- Cn1 = 1000 . [1 + 0,125 . 85/365 + 0,135 . 60/365] Los intereses capitalizan

solo en el final.

Cn2 = 5000 . [1 + 0,125 . 54/365 + 0,135 . 60/365]

Cn = 1051,301 + 5203,425

= 6254,726

b.- Cn1=1000.(1 + 0,125.85 /365).(1 + 0,135.60/365) *

Cn2= 5000.(1 + 0,125.54/365).(1 + 0,135.60/365)

Cn = 1051,947 + 5205,477

= 6257,424

c.- Cn1 = 1000.(1+0,125.26/365).(1+0,125.28/365).(1+0,125.31/365).

(1+0,135.30/365)2

Cn2 = 5000.(1+0,125.23/365).(1+0,125.31/365). (1+0,135.30/365)2

Cn = 1052,363 + 5206,5311 = 6258,894

_____________________________________________________________________________

36

10)

0 10 n meses

100.000 236.844

i(365/30)=0,03 i(365/90) = 0,12

236844 = 100000.(1+0,03)10.(1+0,12)m trimestres

(236.844/100.000).(1+0,03)-10 = (1+0,12)m

ln(1,762342) = m.ln(1,12)

ln(1,762342) = m

ln(1,12)

5 = m

Como la tasa del 12% es trimestral “m” expresa trimestres 15 meses, siendo la

duración total de la operación 25 meses.

11)

0 3 6 meses

250.000 X 1.000.000

Siempre la tasa debe corresponderse con el período de la operación o con los sub-

períodos considerados en la misma.

La tasa que nos da el ejercicio es una i anual = 0,72. Como en este caso la capitali-

zación es mensual, debemos hallar la tasa mensual equivalente a esa i nominal

anual.

i(365/30)= 0,72.30/365

1.000.000 = 250.000.(1+0,05918)6 + X.(1+0.05918)3

647013,06 = X.(1+0.05918)3

544507,33 = X

12) 01/07 28/08 05/09 14/09 30/09

3000 1500 2200 (900) Cn

Cn = 3000.(1 + 0,06.91/365) + 1500.(1 + 0,06.33/365) +

2200.(1 + 0,06.25/365) - 900.(1 + 0,06.16/365)

Cn = 5859,688

______________________________________________________________________________

37

13)

1/4/5 30/6/5 1/8/05 1/11/05 1/2/06

500 700 (350) I (0,n)

i = 0,084 i = 0,108

I (0,n) = 500.(0,084.90/365 + 0,108.216/365) + 700(0,108.184/365) –

350.(0,108.92/365) = 42,312 + 38,111 – 9,528 = 70,895

14)

0 20 50 días

C1 C2 3542,74

i=0,11

i=0,12

C1 + C2 = 3500 (1) C1 = 3500 – C2

3542,74 = C1.(1 + 0,12.50/365) + C2.(1 + 0,11.30/365) (2)

Reemplazando C1 por su expresión en (2)

3542,74 = (3500 – C2).(1 + 0,12.50/365) + C2.(1 + 0,11.30/365)

= 3557,5342 – C2.1,01644 + C2.1,009041

2000,27 = C2

Volviendo a la expresión (1)

C1 = 3500 – 2000,27

C1 = 1499,73

15) Planteamos el sistema de ecuaciones y resolvemos por sustitución

C1 + C2 = 5000 C1 = 5000 – C2 (1)

I(0,n) = C1.0,09535.90/365 + C2.0,09535.150/365 = 148,90 (2)

Reemplazando C1 por su expresión en (2)

148,90 = (5000 – C2).0,02351 + C2.0,03918

= 117,55 – C2.0,02351 + C2.0,03918

31,35 = C2.0,01567

C2 = 2000,64

C1= 5000 – 2000,64 = 2999,36

_____________________________________________________________________________

38

16)

0 30 90 días

C1 C2 498.630,14

i = 1,4

i = 1,2

C1 + C2 = 400.000 C1 = 400.000 – C2 (1)

498.630,14 = C1.(1 + 1,2.90/365) +C2.(1 + 1,4.60/365) (2)

De (1) y (2)

498.630,14 = (400000 – C2).(1 + 1,2.90/365) + C2.(1 + 1,4.60/365)

= 518356,16 – C2.1,29589 + C2.1,23014

300.000 = C2 aproximadamente

C1 = 400.000 – 300.000 = 100.000

17)

0 18 años

C1 Cn i = 0,10

C2 Cn i = 0,12

C1 + C2 = 10000 C1 = 10000 – C2 (1)

C1.(1+0,10)18 = Cn

C2.(1+0,12)18 = Cn

(10000 – C2).(1+0,10)18 = C2.(1+0,12)18

55.599,173 – C2.5,5599 = C2.7,6899

55.599,173 = 13,2498.C2

4.196,227 = C2

C1 = 10.000 – 4.196,227 = 5.803,773

______________________________________________________________________________

39

18)

0 24

C1 Cn1 i(365/30) = 0,01

C2 Cn2 i(365/60) = 0,02

Cn1 + Cn2 = 1268,69

C1 + C2 = 1000

C1 = 1000 – C2 (1)

1268,69 = C1.(1+0,01)24 + C2.(1+0,02)12 (2)

1268,69 = (1000 – C2).(1+0,01)24 + C2.(1+0,02)12

1268,69 = 1269,7346 – C2.1,2697346 + C2.1,268242

-1,0446 = -C2.0,0014926

699,85 = C2

C1 = 1000 – 699,85 = 300,15

19) I (0,n) = C.i.n

sabiendo que I(0,n)= 3.C 3.C = C.i.n

3 = 0,04.n

n = 75 años

20) I(0,n) = C0.[(1 + 0.04) n – 1]

I(0,n) = 3.C0

3.C0 = C0.[(1 + 0,04) n – 1]

3 = (1+ 0,04) n - 1

4 = (1,04) n

ln (4) = n . ln (1,04)

n = 35,35 años

21) 1/8/04 1/8/05 1/2/06

100 Cn

i = 0,084 i = 0,09

Cn = 100.(1 + 0,084 + 0,09.180/365)

= 112,8384

22) Cn = 100.(1 + 0,084).(1 + 0,09.180/365)

= 113,21

_____________________________________________________________________________

40

23)

0 1

i1 = 0,065

C

i2 = 0,05

C

I1(0,n) = C.i1.n

I2(0,n) = C.i2.n

I1 – I2 = 600

C.i1.n– C.i2.n= 600

C.0,065 – C.0,05 = 600

C.0,015 = 600

C = 40000

24)

8/5 12/5 19/5 31/5

50000 80000 60000

I = 50000.0,3.5/365 + 80000.0,3.7/365 + 60000.0,3.12/365 I = 205,47 +

460,27 + 591,78 = 1257,53

25)

0 2 años

i = 0,05

(7/12).C

i = 0,045

(5/12).C

(7/12).C.2.0,05 – (5/12).C.2.0,045 = 750

(7/120 – 3/80)C = 750

1/48.C = 750

C = 36.000

26) Lo primero que debemos hacer es armar el flujo de fondos

Períodos 0 1 2 3 4 5

Préstamo 100

Devolución (40) (60)

Intereses (1,3) (1,3) (0,78) (0,78) (0,78)

Sellado (1)

Gastos (2)

Acciones (5) 4.95

Total 92 (1,3) (41,3) (0,78) (0,78) (55,83)

92 = 1,3.(1+i)-1 + 41,3.(1+i)-2 + 0,78.(1+i)-3 + 0,78.(1+i)-4 + 55,83.(1+i)-5

T.I.R. = 2,3015%

______________________________________________________________________________

41

27)

Período 0 1 2 3

Préstamo 100

Devolución (50) (50)

Saldo mínimo (10) 10,1467

Interés (2) (2) (1)

Sellado (1)

Total 89 (2) (52) (40,853)

T.I.R. = 2,6827

28)

01/01/04 01/07/04 31/12/04 31/12/05 31/12/06 n

2500 3000

i = 0,08 i = 0,07 i = 0,12

a) Calculamos los intereses acumulados hasta el final de cada año, teniendo en

cuenta que C 1n = Cn + I(n, n+1)

I (0,1) = 2500.0,08 + 3000.0,08.183/365 = 320,329

I (1,2) = 5820,329.0,07 = 407,423

I (2,3) = 6227,752.0,07 = 435,943

Intereses acumulados:

I (0,1) = 320,329

I (0,2) = 727,752

I (0,3) = 1163,695

Como debemos fijarnos en que fecha los intereses acumulados alcanzan los $1150

y los intereses acumulados al final del año 2006 son $1164,45, queda en evidencia

que en algún momento dentro del año 2006 los intereses alcanzaron los $1.150.

Veamos entonces en que fecha.

Hasta el año 2006, los intereses acumulados eran de $727,752 faltando para com-

pletar la suma deseada

$422,248. El capital sobre el cual se calculan los intereses durante el año 2006 es

de $6227,752 422,248 = 6227,752.0,07. 365

díasn

353,534 = n días

Redondeando, el día 354 del año es el 20/12/06

b) Calculamos los intereses generados hasta el 31/12/06, teniendo en cuenta que

es en esta fecha la primera capitalización.

I (01/01/04, 31/12/06) = 2500.(0,08 + 0,07.2) + 3000.(0,08.183/365 + 0,07.2) =

1090,329

Faltan $59,671 para alcanzar la suma de intereses deseada.

_____________________________________________________________________________

42

Veamos que pasa con los intereses durante el 2007

i anual = 0,12

I (01/01/07, 31/12/07) = 6590,329.0,12 = 790,839

Llego a tener $1150 de intereses en algún momento del 2007

Como a partir del 2007 la tasa es del 12% nominal anual con capitalización men-

sual *

i mensual = 0,12.30/365 = 0,009863

Calculamos los intereses generados en el mes de enero

6590,9863.0,009863 = $65

Dado que a principios de año faltaban $59,671 en algún momento del primer mes

se alcanza la cifra de intereses deseada

Calculo la tasa diaria equivalente a la tasa mensual anteriormente calculada

i diaria = ( 1 + 0,009863) 1/30 – 1 = 0,0003272

6590,329.( 1 + 0,0003272) n días – 6590,329 = 59,671

Cn – Cn-1 = I(n-1, n)

n = ln (1,009054)/ln(1,0003272)

n = 27,55

El día número 28 del año 2007 es el 28/01/07.

29) i anual = 0,094

i(365/45) = 0,094.45/365 = 0,011589

C0.(1+i(365/45)) = 2000

C0 .(1+0,011589) = 2000

C0 = 1977,09

30)

a) Interés simple

150000.(1+i.3) = 150000.(1+0,08+0,07+0,12)

i = 0,09

b) Interés Compuesto

150000.(1+0,08).(1+0,07).(1+0,12) = 194140,8

150000.(1+i)3 = 194140,8

i = 0,0897876

31) Sabiendo que los importes de las colocaciones crecen en progresión geométrica

y el primer capital es de $1.500

C1 = $1.500

C2 = C1.q = 1500.q

C3 = C1. q2 = 1500. q2

I(0,n) = 1992,33 = 1500.0,45.120/365 + 1500.q.0,535.120/365 +

______________________________________________________________________________

43

1500.q2.0,63.120/365

1992,33 = 221,919 + 263,836.q + 310,685.q2

0 = -1770,411 + 263,836.q+ 310,685.q2

Hallamos “q” utilizando la fórmula Bhaskhara, (hallamos las raíces de esta ecuación

de segundo grado)

a

acbbq

2

42

21

,

6853102

4111770685310443456960983626321

,.

,.,.,,,

q

Por ser de segundo grado, esta ecuación tiene dos soluciones:

q1 = -2,89

q2 = 2

Rechazamos la primera solución ya que sabemos que la progresión es creciente,

q = 2.

C1 = $1.500

C2 = $3.000

C3 = $6.000

32) Sabiendo que los importes de las colocaciones crecen en progresión aritmética

y que el tercer importe es de $8.400

C1

C2 = C1 + r

C3 = C1 + 2.r

C1 = C3 – 2.r

= 8400 – 2.r

C2 = C3 – r

I (0, n) = 3327,78 = (8400 –2.r).0,45.120/365 + (8400 – r).0,535.120/365 +

8400.0,63.120/365

= 1242,7397 – 0,29589.r + 1477,4795 – 0,1758904.r + 1739,8356

-1132,2747 = -0,4717804.r

2400 = r

C1 = 3600,

C2 = 6000

C3= 8400.

33)

0 2 8 años

C0 I(1;2) = 100 I(7;8) = 126,5319

I (0,n) = C0.(1 + i)n – C0

= C0.[(1 + i)n –1]

I (1,2) = C1.i = 100

Sabemos que

C1 = C0.(1 + i)

100 = C0.(1 + i).i (1)

_____________________________________________________________________________

44

Por otro lado

I (7,8) = C7.i = 126,5319

C7 = C0. (1 + i)7 126,5319 = C0. (1 + i)7.i (2)

Despejando C0 en (1) y reemplazando en (2)

ii

ii

1

11005319126

7..

,

Simplificando

126,5319 = 100.(1 + i)6 0,04 = i

Volviendo a (1)

100 = C0.(1 + 0,04).0,04

2403,8462 = C0

34) I(3,4) = C3.i

Sabemos que 1000.(1+i.5) = 1300 i = 0,06

C3 = 1000(1+0,06)3 = 1191,016

I(3;4) = C3.(1+0,06)

= 71,461

35)

0 2 6 8 15 meses

$1000 $2000

i = 0,06

a) C.(1 + 0,06.8)-1 = 1000.(1 + 0,06.2)-1 + 2000.(1 + 0,06.6)-1

C = 3497,8992

b) C.(1 + 0,06.7) = 1000.(1 + 0,06.13) + 2000.(1 + 0,06.9)

C = 3422,5352

36)

a) C.(1 + 0,06)-8 = 1000.(1 + 0,06)-2 + 2000.(1 + 0,06)-6

C = 3665,7191

b) C.(1 + 0,06)7 = 1000.(1 + 0,06)13 + 2000.(1 + 0,06)9

C = 3665,7191

______________________________________________________________________________

45

37)

0 2 6 7 8

1000 5000 C* 3000 i = 0,06

C* = 1000.(1 - 0,06.5)-1 + 5000.(1 - 0,06)-1 + 3000.(1 - 0,06)

C* = 9567,7204

38)

0 1 2 4 12

// i(365/30)=0,1

1500 2000 3500 C*

C* = 1500.(1 + 0,1)11 + 2000.(1 + 0,1)10 + 3500.(1 + 0,1)8

= 16969,7208

39) 1500.(1+0,1)11 + 2000.(1+0,1)10 + 3500.(1+0,1)8 = 7000 + x.(1+0,1)6

16969,72 –7000 = x.(1+0,1)6

5627,6475 = x

40) 0 2 6 8 10 meses

C1 1000 5000 3000 C2

2C1 = C2

C1 + 2C1.(1 - 0,06)10 = 1000.(1 – 0,06)2 + 5000.(1 – 0,06)6 + 3000.(1 – 0,06)8

C1.( 1 + 2.(1 - 0,06)10 ) = 6161,6557 C1 = 2966,2845

41)

a) 9000.(1 + 0,06)-n = 1000.(1 + 0,06)-2 + 5000.(1 + 0,06)-6 + 3000.(1 + 0,06)-8

n = 6,1293

n = 6 meses y 3 días

b) 9000.(1 - 0,06.n) = 1000.(1 - 0,06.2) + 5000.(1 - 0,06.6) + 3000.(1 - 0,06.8)

n = 6,2223

n = 6 meses y 6 días

_____________________________________________________________________________

46

42)

1/6/04 1/11/04 1/3/05 1/10/05

100 (32) x Cn i(365/30) = 0,007

100.(1+0,007.16) = 111,2

Es el monto al que quiero llegar aunque haya modificado la operación original

100.(1+0,007.16) = 100.(1+0,007.16) – 32.(1+0,007.11) + x.(1+0,007.7)

32.(1+0,007.11) = x.(1+0,007.7)

34,464 = x.1,049

32,854 = x

43) 100.(1+0,007)16 = Cn = 111,8077

111,8077 = 100.(1+0,007)16 – 32.(1+0,007)11 + x.(1+0,007)7

32.(1+0,007)11 = x.(1+0,007)7

34,552 = x.1,05

32,91 = x

44)

0 2 5 9

C 5000 8000 10000

i(365/30)=0,12

a) C = 5000.(1+0,12)-2 + 8000.(1+0,12)-5 + 10000.(1+0,12)-9

C = 12131,4845

b) 9000.(1+0,12)9 + x = 5000.(1+0,12)10 + 8000(1+0,12)7 + 10000.(1+0,12)3

24957,71 + x = 47263,9723

x = 22306,2623

45)

0 3 5 meses

0,2 0,4 0,4 Opción alternativa

0 5 meses

x (1 - x)

i(365/30) = 0,02

Si el capital “C” del cual obtengo las proporciones a pagar en los distintos momen-

tos es $100

20.(1+0,02)5 + 40.(1+0,02)2 + 40 = 103,698

______________________________________________________________________________

47

Como no se modifica el importe abonado

100.x.(1+0,02)5 + 100.(1-x) = 103,698

10,41.x = 3,698

x = 0,3552

El porcentaje de contado es del 35,52%

Como se trata de un régimen compuesto, obtendríamos el mismo resultado si eva-

luáramos la operación en cero.

20 + 40.(1+ 0,02)-3 + 40.(1+ 0,02)-5 = 93,922

100.x + 100.(1-x).(1+0,02)-5 = 93,922

3,349 = 9,427.x

0,3552 = x

46) a) Considerando $100 el precio de contado y P el precio financiado, se plantea

100 = 0,2.P.(1 + 0,08) -1 + 0,4.P.(1 + 0,08.3) -1 + 0,4.P.(1 + 0,08.4) -1

= P.0,8108

123,34 = P Debe aumentar sus precios el un 23,34%

b) Por pago al contado se puede hacer una bonificación de $23,34. Veamos enton-

ces que porcentaje del total ($123,34) representa planteando un regla de tres

123,34 ________________ 100%

23,34 ________________ x %

x = 18,92%

_____________________________________________________________________________

48

2.2. Descuento Simple y Compuesto

47)

VA = VN.(1 – d.n) (1)

D = VN – VA

D = VN – VN.(1 – d.n) D = VN.d.n

D = 10000.0,03.5

D = 1500

48)

D = VN – VA

D = VA/(1-d.n) – VA D = VA.(1/(1- d.n) – 1)

D = 8500.(1/(1 – 0,03.5) –1)

D = 1500

49)

D = VN.d.n

d = D/VN.n

d = 1500/10000.5

d = 0,03

50)

D = VN.d.n/365

n = (D/VN.d).365

n = (14794,52/100000.0,6).365

n = 90

51)

D = VA.i.n/365

n = (D/VA.i).365

n = (8977,5/91022,5.0,6).365

n = 60

52)

4 1 0

VN

d = 0,07 d = 0,08 D = 250000

d(365/180) = 1 - (1 – d)180/365

d1(365/180) = 1 – (1- 0,08)180/365 d(365/180)= 0,04028

d2(365/180) = 1 – (1- 0,07)180/365 d(365/180)= 0,03515

D = VN.(1 – (1-d1).(1-d2))

250000 = VN.(1 – (1-0,03515)3.(1-0,04028))

VN = 1788747,9

______________________________________________________________________________

49

53)

n 0

VN=4200 d = 0,03

VA VN=6000 d = 0,08

VA = 4200.(1 – 0,03)n

VA = 6000.(1 – 0,08)n

4200.(1 – 0,03)n = 6000.(1 – 0,08)n

0,7 = (0,92/0,97)n

ln(0,7) = n.ln(0,92/0,97)

n = 6,73 6 meses y 0,73.30 días = 22 días.

54)

0 2 5 6 8

200000 X 500000 150000

X = 200000.(1-0,04)-3 + 500000.(1-0,04) + 150000.(1-0,04)3

X = 838766,53

55)

12 0

20000

D = 7232,17

D = 20000.(1- (1-d)3.(1-d)9)

7232,17 = 20000.(1- (1 – 0,07)3.(1 - d)9)

0,3616 = 1 - (1 – 0,07)3.(1 - d)9

(1 - d)9 = 0,7936

d = 0,02535

56) 0 3

20000 VN =20000 + I = 24438,35

VA = 18000

i = 0,9

I = 20000.0,9.90/365 = 4438,35

a.-

VA = VN.(1-d)

18000 = 24438,35.(1-d.90/365)

d = 1,068

_____________________________________________________________________________

50

b.-

20000 = 24438,35.(1-d.90/365)

d = 0,7365

57)

0 90 180

$10000 25000 30000

VA.

VA = 10000 + 25000.(1 – 0,6.90/365) + 30000.(1 – 0,48.180/365)

VA = 54200

58)

D = VN – VA

10000 = VN – VN.(1-d)

10000 = VN.0,4.90/365

VN = 101388,89

VA = VN.(1 – 0,4.90/365) – 0,01.VN VA =101388.(1 – 0,04.90/365 – 0,01) =

90375

59)

10000 = VN.0,4.90/365 + VN.0,01 10000 = VN.(0,4.90/365 + 0,01)

VN = 92055,486

VA = 92055,486 – 10000 = 82055,486

60)

2 0

7500 VN

D simple

8000

D compuesto

7500 = VN.(1 – d.2)

8000 = VN.(1 - d)2

7500.(1 – d.2)-1 = 8000.(1 - d)-2

7500.(1 - d)2 = 8000.(1 – d.2)

(1 - d)2 = 16/15.(1 – 2.d)

(1 – 2.d + d2).15 = 16 –32.d

15 – 30.d + 15d2 –16 +32d =0 15d2 +2d –1 = 0

30

6

30

11544221

..,d d = 0,2 no hay tasa negativa.

8000 = VN.(1 – 0,2)2 VN = 12500

______________________________________________________________________________

51

61)

8000 = VN.(1 – d.3)

6000 = VN.(1 – d.4)

8000/(1 – d.3) = 6000/(1 – d.4)

8000.(1 – d.4) = 6000.(1 – d.3)

8000 – 32000.d – 6000 + 18000.d = 0

2000 = 14000.d d = 0,1428

VN = 6000/(1 – 0,1428.4) VN = 14000

62)

1/7/87 1/8/87 29/9/87 30/10/87 28/11/87

VA 50000 VN 100000

Noviembre 28

Octubre 31

Septiembre 30 29

Agosto 30 30

Total 119 59

VA = 100000.(1 – 0,5.119/365) + 50000.(1 – 0,6.59/365)

VA = 128849,32

VN = 128849,32/(1 – 0,6.90/365) VN = 151221,86

63)

0 30 60

85000 VN VN

(5000)

80000

Necesita $80000, pero como tiene que pagar $5000 en concepto de sellado, debe

pedir prestados 85000.

85000 = VN.(1 – 0,8.30/365) + VN.(1 – 0,8.60/365)

85000 = VN.(1 – 0,8.30/365 + 1 – 0,8.60/365)

VN = 47150,456

_____________________________________________________________________________

52

64)

0 3 24

VA X 1000000

i = ? d = 0,12

d(365/180) = 0,07

VA = 1000000.(1 – 0,07)4

VA = 748052,01

X = 1000000.(1 – 0,12)1,75

X = 799548,25

799548,25 = 748052,01.(1 + i)90/360

i = 0,3051

65)

Tasa efectiva subperiódica: i(360/90) = (1+0,72) 90/360 – 1

Cuota de Interés: I = 1000000.((1 + 0,72)90/360 – 1) = 145.202,04

Cada una de las cuotas de interés cobradas se reinvierten hasta el final del período

utilizando la tasa de descuento del 18% efectiva trimestral.

Cuota Interés Tasa DtoFactor

CapitalizaciónValor Cuota Reinvertida

al Final del Período0 145.202 0,18 2,21179 321.1571 145.202 0,18 1,81367 263.3492 145.202 0,18 1,48721 215.9463 145.202 0,18 1,21951 177.0764 1.000.000

Monto 1.977.527,2

Al final del año se cobra, aparte de las cuotas de interés reinvertidas, el monto ori-

ginal del préstamo de $1.000.000.

______________________________________________________________________________

53

2.3. Equivalencia de tasas

66)

M = C.(1 + i(365/45))

i(365/45) = 10500000/10000000 – 1 = 0,05

j(365/45) = i(365/45).365/45 = 0,405

i = [1 + i(365/45)]365/45 –1 = 0,4854

67)

1030000 = 1000000.(1 + i(365/7)) 1030000/1000000 – 1 = 0,03

j(365/7) = i(365/7).365/7 0,03.365/7 = 1,564

i = (1 + i(365/7))365/7 – 1 = 3,67

68)

M = 1000000.(1 + 0,2)12 = 8916100,44

69)

i(365/90) = j(365/90).90/365

M = 1000000.(1 + (0,84.90/365))12 = 9572371,39

70)

M = 1000000.(1 + [(1 + 0,8)90/365 –1])12 = 5692812,29

71)

d(365/8) i(365/19) j(365/90) d(365/7) i i(365/20) f(365/1)

20.00% 69.89% 4586.60% 17.74% 2639385.88% 74.69% 1004.0247%

0.20% 0.47% 9.20% 0.17% 9.52% 0.50% 9.09606%

0.59% 1.42% 28.10% 0.52% 31.22% 1.50% 27.161606%

1.36% 3.31% 67.68% 1.19% 87.00% 3.49% 62.5402%

0.32829% 0.784040% 15.284048% 0.287316% 16.1870063% 0.8254752% 15.00%

0.03% 0.08% 1.57% 0.03% 1.58% 0.09% 15.644868%

c) 72)

a.- i = 1,75

aa.- i(365/150) = (1 + i)150/365 –1 = 0,5154

ab.- i(365/30) = (1 + i)30/365 – 1 = 0,0867

ac.- i(365/90) = (1 + i)90/365 – 1 = 0,2833

ad.- j(365/150) = i(365/150).365/150 = 1,2541

ae.- j(365/45) = [(1 + i)45/365 –1].365/45 = 1,077

b.- (1 + i.5) = (1 + 1,75)150/365 0,1031

_____________________________________________________________________________

54

73)

a.- i = 2,67

b.- i(365/120) = 0,89 i = (1 + i(365/120)365/120 – 1 = 5,93

c.- i = 2,67

d.- i(365/90) = 0,2 i = (1 + i(365/90)365/90 –1 = 1,09

e.- j(365/30) = 2,67 i = (1 + j(365/30)/(365/30))365/30 – 1 = 10,17

74)

J(365/120) = 1,4 i(365/30) = (1 + j(365/120)/(365/120))30/120 –1 = 0,0992

75)

210 90 0

1000 VA90 VN = 1000 + I => j(365/210) = 1,2

f(365/90) = 0,92

I = 1000.(j(365/210)/(365/210) = 690,41

VA90 = 1690,41.(1 – f(365/90)/(365/90)) = 1306,94

i(365/120) = 1306,94/1000 – 1 = 0,3069

a.- j(365/120) = i(365/120).365/120 = 0,9336

b.- f(365/120) = [1 – (1 + i(365/120))-1].365/120 = 0,7143

c.- i(365/30) = (1 + i(365/120))30/120 – 1 = 0,0692

d.- i = (1 + i(365/120))365/120 –1 = 1,2574

76)

0 1 2 3 6

j(365/30) = 0,72

1000 3000 4000

i(365/30) = j(365/30).30/365 = 0,05917

a.- X1 = 1000.(1 + 0,05917) + 3000.(1 + 0,05917) -1 + 4000.(1 + 0,05917) -2

X1 = 7457,07

b.- X0 = 1000 + 3000.(1 + 0,05917) -2 + 4000.(1 + 0,05917) -3 X0 = 7040,43

c.- X6 = 1000(1 + 0,05917)6 + 3000.(1 + 0,05917)4 + 4000.(1 + 0,05917)3 X6 =

9940,62

d.- 500.(1,05917) + 7000.(1,05917) –5 + X1 = 1000(1,05917)1 + 3000.(1,05917)-1

+ 4000.(1,05917)-2

X1 = 1676,352

e.- 1000.(1,05917)3 + X + 2X.(1,05917) –2 = 1000(1,05917)3 + 3000.(1,05917)1 +

4000

2,782.X = 7177,53 X = 2579,28

f.- Financieramente son todas indistintas pues todas tienen un rendimiento del

5,91% mensual.

______________________________________________________________________________

55

77)

i = 2,50 i(365/30) = (1 + i)30/365 – 1 = 0,108

300000 = X.(1 + 0,108)–3 + 2.X.(1 + 0,108)–9 X = 196596,45

D3 = 196596,45; D9 = 393192,90

78)

a.- j(365/30) = [(1 + i)30/365 –1].365/30 = 0,1317

b.- j(365/45) = [(1 + i)45/365 –1].365/45 = 0,1320

c.- j(365/60) = [(1 + i)60/365 –1].365/60 = 0,1324

d.- j(365/90) = [(1 + i)90/365 –1].365/90 = 0,1331

e.- j(365/105) = [(1 + i)105/365 –1].365/105 = 0,1335

f.- j(365/180) = [(1 + i)180/365 –1].365/180 = 0,1353

g.- j(365/365) = [(1 + i) 365/365 –1].365/365 = 0,14

79)

i = [1 + j(365/30)/(365/30)]365/30 – 1 = 0,2194

j(365/45) = ([1 + (i – 0,01)]45/365]– 1).365/45 = 0,1923

j(365/60) = ([1 + (i – 0,02)]60/365]– 1).365/60 = 0,1845

j(365/90) = ([1 + (i – 0,03)]90/365] – 1).365/90 = 0,1772

j(365/105) = ([1 + (i – 0,04)]105/365] – 1).365/105 = 0,1690

j(365/120) = ([1 + (i – 0,05)]120/365]– 1).365/120 = 0,1606

j(365/180) = ([1 + (i – 0,06)]180/365]– 1).365/180 = 0,1534

80)

a.- f(365/15) = 0,5 i(365/30) = [(1 – f(365/15)/(365/15))–30/15] – 1 = 0,04239

i(365/90) = [(1 – f(365/15)/(365/15))–90/15] – 1 = 0,13266

f(365/90) = 0,5 i(365/30) = [(1 – f(365/90)/(365/90))–30/90] – 1 = 0,04483

i(365/90) = [(1 – f(365/90)/(365/90))–1] – 1 = 0,14062

b.- f(365/15) = 0,5 i(365/30) = [(1 – (f(365/15)/(365/15) + 0,01))–30/15] – 1

= 0,06401

i(365/90) = [(1 – (f(365/15)/(365/15) + 0,01))–90/15] – 1 = 0,20459

f(365/90) = 0,5 i(365/30) = [(1 – (f(365/90)/(365/90) + 0,01))–30/90] – 1

= 0,04883

i(365/90) = [(1 – (f(365/90)/(365/90) + 0,01))–1] – 1 = 0,1537

81)

f(365/30) = [1 – (1 + 0,24)-30/365].365/30 = 0,2132

f(365/90) = [1 – (1 + 0,24)-90/365].365/90 = 0,2095

82)

j(365/30) = 0,18 i = (1 + j(365/30)/(365/30))365/30 – 1 = 0,1956 i deseada

= i + 0,04 = 0,2356

f(365/30) = [1 – (1 + 0,2356)–30/365].365/30 = 0,2097

f(365/60) = [1 – (1 + 0,2356)–60/365].365/60 = 0,2079

f(365/75) = [1 – (1 + 0,2356)–75/365].365/75 = 0,2070

_____________________________________________________________________________

56

83)

a.- d(365/60) = 0,05 i(365/30) = (1 – d(365/60))-30/60 – 1 = 0,0259

b.- d(365/30) = 0,03 i(365/30) = (1 – d(365/30))–1 –1 = 0,0309

c.- d(365/30) = 0,04 i(365/30) = (1 – d(365/30))–1 –1 = 0,0416

d.- i(365/60) = 0,012 (1 + i(365/30)) = (1 + i(365/60))1/2 = i(365/30)

= 0,005982

84)

(0;6) = 0,12 (0,1) = (1 + (0;6))1/6 – 1 = 0,01906

(1 + ia) = (1 + ir).(1 + )

ia = (1 + 0,005).(1 + 0,01906) – 1 0,0241

85)

j(365/31) = 0,1 i(365/31) = 0,0084

a.- (1 + ia) = (1 + ir).(1 + )

(0;31) = (1 + 0,00840)/(1 + 0,003) – 1 = 0,005476

b.- i = (1 + 0,0084)365/31 – 1 = 0,1047

86)

01/03 16/03 01/05

(9000) 2500 7000

marzo = 1086,42/1065,12 – 1 = 0,01999

abril = 1106,09/1086,42 –1 = 0,0181

9000 = 2500.(1 + 0,01)-1/2.(1 + marzo)-1/2 + 7000.(1 + 0,01)–2.(1 +marzo)

–1.

(1 + abril)–1

9000 < 9070,98

Al ser mayor el valor presente descontado que la inversión inicial, se considera que

el rendimiento fue superior al 1%.

87)

a.- i(365/30) = (1 - d(365/30))-1 – 1 = 0,06382

ir = (1 + 0,06382)/(1 + 0,016) –1 = 0,047

b.- 0 1 2

C X X

______________________________________________________________________________

57

2.X = C.1,06

X.(1 - d(365/90)) + X.(1 - d(365/90))2 = C

0,53.C.(1 - d(365/90)) + 0,53.C.(1 - d(365/90))2 = C

Si C = 1

0,53.(1 - d(365/90)) + 0,53.(1 - d(365/90))2 = 1

(1 – d(365/90)) = u

0,53.u + 0,53u2 – 1 = 0

[-0,53 +/- (0,2809 – 4.0,53.(-1))1/2]/2.0,53 u = 0,96177

como u = (1 – d(365/90)

d(365/90) = 0,038222 i(365/30) = (1 – 0,038222) -30/90 – 1 = 0,01307

ir = (1 + 0,01307)/(1 + 0,01) –1 = 0,00304

c.- f(365/180) = 1,2 i(365/30) = (1 – f(365/180)/(365/180))–30/180 – 1 = 0,161

ir = (1 + 0,161)/(1 + 0,016) –1 = 0,1427

88)

(1 + ia) = (1 + ir).(1 + )

ia = (1 + 0,02).(1 + 0,15) –1 ia = 0,173

j(365/90) = 0,173.365/90 = 0,7016

89)

La inflación del trimestre fue: = 122,058/105,000 – 1 = 0,1624 La inflación fue

mayor a la esperada, entonces la previsión fue insuficiente.

ir = (1 + 0,173)/(1 + 0,1624) –1 = 0,009069

ir(365/30) = (1 + i(365/90))30/90 – 1 = 0,00301

_____________________________________________________________________________

58

2.4. Problemas Combinados

90)

f(365/90) = 0,36 d(365/30) = 1 – (1 – f(365/90)/(365/90))30/90 = 0,03051

a.- D = VN – VA D = VN – VN.(1 – d) = D = 10000.(1 – (1 – 0,03051)5) =

1435,23

b.- D1 = VN.(1 – (1 – 0,03051)) = 305,10

c.- D3 = VN.(1 – 0,03051)2.0,03051 = 286,77 primero se halla el valor actual en

el período Nº 2 y luego se encuentra el descuento correspondiente al tercer perío-

do.

91)

a.- i(365/90) = (1 + 0,11)90/365 – 1 = 0,02606

b.- i(365/90) = j(365/90).90/365 = 0,02589

c.- 86,7.(1 – 0,005) = 85.(1 + 0,004).(1 + i(365/90)) i(365/90) = 0,01085

92)

Tir(365/180) = (1 + 0,13)180/365 – 1 = 0,06212

j(365/180) = 0,12 i(365/180) = 0,12.180/365 = 0,05917

Se considera que el VN = $1

0 1 2 3 4 5 6

(9600) 591,78 591,78 591,78 591,78 591,78 10000 + 591,78

9600 = 591,78.(1 + 0,06212)-1 + 591,78.(1 + 0,06212)-2 +

591,78.(1 + 0,06212)-3 + 591,78.(1 + 0,06212)-4 +

591,78.(1 + 0,06212)-5 + 10591,78.(1 + 0,06212)-6

9600 = 2890,64 + 6965,39 9600 < 9856,03 Al ser mayor el Valor descontado

de los flujos de fondos la operación rindió mas del 13% anual.

93)

5 0

d

X VN= 240000

i 239400

240000.(1 – d.5).(1 + i.5) = 239400

d = i

240000.(1 – i.5).(1 + i.5) = 239400 0,9975 = 1 + i.5 – i.5 – (i.5)2

i = 0,01.

94)

a.- 93.(1 – 0,006) = 89.(1 + 0,004).(1 + i(365/70)) i(365/70) = 0,034536

b.- i(365/70) = (1 + 0,015).(1 + 0,014)40/30 – 1 = 0,03399

c.- f(365/70) = [1 – (1 + 0,034536)–1 ].365/70 = 0,1740

______________________________________________________________________________

59

95)

d(365/90) = f(365/90).90/365 = 0,04931

VA = 1000000.(1 – 0,04931) = 950684,931

Depósito = 100000 En mano le queda 850684,931

i(365/90) = j(365/90).90/365 = 0,2.90/365 = 0,04931

I = 100000.(1 + 0,04931) = 104931,50

90 0

950.684,931 (100.0000)

(100.000) 104.931,50

850.684,931 895.068,4931

850684,931.(1 + i(365/90) = 895068.4931 i(365/90) = 0,05217

j(365/90) = 0,2115

b.- j(365/30) = [(1 + 0,05217)30/90 – 1].365/30 = 0,2080

96)

10000.(1 + i(365/270)) = 10000.(1 + 0,01)2.(1 + 0,02)4.(1 + 0,03)3

i(365/270) = 0,20657

j(365/60) = [(1 + 0,2065)60/270 – 1].365/60 = 0,2592

97)

(1-F(365/30)/365/30)365/30= (1- d(365/30)) 365/30

d(365730)= 0,009863

VA = 1000.(1 – 0,009863) – 1000.0,01 = 980,1369

1000 = 980,1369.(1 + i(365/30)) i(365/30) = 0,02026

98)

0 2 4

1500000 D D/2

a.- 1500000 = D.(1 + 0,07.2) -1 + (D/2).(1 + 0,07.4) -1 D = 1183135,135

D/2 = 591567,56

b.- 1500000 = D.(1 + 0,07)–2 + D/2.(1 + 0,07)–4 D = 1195327,38 D/2 =

597663,69

99)

(1+ j(365/60)/365/60) 365/60 = (1+ i(365/60)) 365/60

i(365/60)= 0,032876

I= 0,032876. 100= 3,2876

Sellado=0,01. 100= 1

Gastos= 0,02. 100= 2

Depósito= 0,1. 100= 10

_____________________________________________________________________________

60

0 1 2 3 4 5 6

Préstamo 100

intereses (3,2876) (3,2876) (3,2876) (3,2876) (3,2876) (3,2876)

sellado (1)

gastos (2)

depósito (10) 11,5

Devolu-

ción

(100)

Total 87 (3,2876) (3,2876) (3,2876) (3,2876) (3,2876) (91,787)

TIR = 0,040384 i(365/30) = (1 + 0,040384)30/60 – 1 = 0,01999 es menor al

3% del rendimiento.

100)

0 1 2 3 4

50 + GC 3 3 3 X – GV + 3

X.(1 – 0,002) + 3.(1,05)3 + 3.(1,05)2 + 3.(1,05) + 3 = 50.(1 + 0,002).(1 + 0,05)4

X = 48,06

101)

1/2/93 15/3/93 19/3/93 15/11/93 28/12/93

(10000) 250 1200 2000 8000

(1+0,12)= (1+i(365/331)) 365/331

i(365/331)= 0,108238

(1+0,12)= (1+i(365/228)) 365/228

i(365/228)= 0,09354

(1+0,12)= (1+i(365/47)) 365/47

i(365/47)= 0,0147

(1+0,12)= (1+i(365/43)) 365/43

i(365/43)= 0,01344

10000 = ¿? =250.(1+0,01344)-1+1200.(1+0,0147)-1+

2000.(1+0,09354)-1+8000.(1+0,108238) -1

10000 < 10476,91

Al ser el valor descontado mayor a la inversión se comprueba que se impuso la “re-

volución productiva”.

______________________________________________________________________________

61

102)

14,421.C = C.(1 + 0,1)2.n

ln (14,421) = 2.n . ln (1,1) n = 14 como la tasa es anual el período también

es dado en años.

103)

0 30 90

0,94 1

1 = 0,94.(1 + i(365/60)) i(365/60) = 0,0638

a.- f(365/60) = 0,4 d(365/60) = 0,06575

0 60

0,9342 (1)

(0,09342) 0,09342

0,84082 (0,90657)

0,90657 = 0,84082.(1 + i(365/60)) = 0,7820

b.- f(365/60) = 0,35 d(365/60) = 0,05753

0 60

0,9424 (1)

(0,003)

(0,002)

(0,01) 1 = 0,9274.(1 + i(365/60)) = i(365/60) = 0,7820

0,9274

c.- i(365/60) = (1 + 0,035)60/30 – 1 = 0,07122

d.- f(365/15) = 0,35 i(365/60) = (1 – 0,37/(365/15))–60/15 – 1 = 0,06320 Esta

alternativa tiene un costo inferior al ahorro que es 0,068 por lo que me conviene.

104)

0 30 90

0,94 1,01

1,01 = 0,94.(1 + i(365/60)) i(365/60) = 0,074468

En este caso la alternativa c) también es conveniente pues es superior el beneficio

al costo, pero de cualquier manera sigue siendo la alternativa d) la óptima.

_____________________________________________________________________________

62

105)

100 70 40 0

1

a.- X = 1.(1 + 0,0015)–70 = X = 0,90039

b.- 1 = X.(1 + 0,0015)70 + X.(1 + 0,0015)40 X = 0,4603

c.- 1 = X.(1 + 0,0015)100 = X = 0,8608

106)

a.- i(365/180) = (1 + 0,025)180/30 – 1 = 0,1596

VA = 1.(1+0,1596) = 0,8622

0 180

0,8622 (1)

(0,005)

0,8572

1 = 0,8572.(1 + i(365/180)) = i(365/180) = 0,1664

b.- (1+j(365/180)/365/180)365/180 = (1+ i(365/180)) 365/180

i(365/180) = 0,1972

c.- alquiler : (1 + 0,005.180/30 – 1) = 0,03037

0 180

81.0,9959 (94.0,03037)

(94.1,0041)

94. (1,0041 + 0,03037) = 81.(0,9959).(1 + i(365/180)) i(365/180) = 0,2054

______________________________________________________________________________

63

2.5. Rentas y Sistemas de Amortización de Préstamos

107)

0 1 2 10 11 29 30

5000 5 000 5000 5000 5000 5000

a) V0 = C a(1;n;i)

V0 = 5000 a(1;30;0,06) V0 = 5000 1 – (1 + 0,06)-30

0,06

V0 = 68824,1558

b) VF = C s(1;n;i)

VF = 5000 s(1;30;0,06) VF = 5000 (1 + 0,06)30 – 1

0,06

VF = 395290,9311

c) V10 = Vo (1 + i)10

V10 = 68824,1558 (1 + 0,06)10

V10 = 123253,5808

d) V1 = C a(0;n;i)

V1 = 5000 a(0;30;0,06) V1 = 5000 1 – (1 + 0,06)-30 (1 + 0,06)

0,06

V1 = 72953,6051

108)

0 1 2 3 4 5 6 22 23

C1 C2 C3 C19 C20

V0 = C a(1;n;i) (1 + i)-3

V0 = 500 a(1;20;0,05) (1 + 0,05)-3 V0 = 500 1 – (1 + 0,05)-20 (1 + 0,05)-3

0,05

V0 = 5382,6629

109)

0 1 2 11 12 13 42 43

C1 C2 C3 C12 C13 C14 C43 C44

M

i(365/90) = 1 – (1 + 0,06)90/365 = 0,01447

M = C a(0;n;i)

M = 5000 a(0;32;0,01447) M = 5000 1 – (1 + 0,01447)-32 (1 + 0,01447)

0,01447

M = 129186,6759

_____________________________________________________________________________

64

110)

0 1 2 11 12 22 23 24 51 52

C1 C2 C11 C12 C13 C39 C40

V0 = C a(1;11;i) + C a(1;29;i) (1 + i)-23

V0 = 10000 a(1;11;0,08) + 10000 a(1;29;0,08) (1 + 0,08)-23

V0 = 10000 1 – (1 + 0,08)-11 + 10000 1 – (1 + 0,08)-29 (1 + 0,08)-23

0,08 0,08

V0 = 90394,1135

111)

0 1 2 24 25 42 59 60

C1 C2 C3 -50000 C26 C43 C60

VF = 1000000 = C s(0;n;i)

C = 1000000 (1 + 0,05)60 – 1 (1 + 0,05) -1

0,05

C = 2693,5091

V42 = C s(1;43;i) – (50000 + C25) (1 + i)18

V42 = 2693,5091 (1 + 0,05)43 - 1 – (50000 + 2693,5091) (1 + 0,05)18

0,05

V42 = 258340,6427

b) V60 = C s(0;60;i) – (50000 + C25) (1 + i)36

V60 = 1000000 – (50000 + 2693,5091) (1 + 0,05)36

V60 = 694808,8839

112)

0 1 14 15

C C C

VF = C s(1;n;i) = 1000000

Si 1000000 = 50000 s(1;15;i) s(1;15;i) = 20

Si VF = 1500000 1500000 = C s(1;n;i) C= 1500000

20

C = 75000

113)

76 78 90 92 94 96

C1 C2 C8 C9 C10 C11

i(730) = [1 + j(365/180) . 180/365]730/180 – 1 i(730) = [1 + 0,1 . 180/365]730/180 – 1

i(730) = 0,2156

______________________________________________________________________________

65

VF = C s(1;n;i)

VF = 100000 s(1;11;0,2156) VF = 100000 (1 + 0,2156)11 - 1

0,2156

VF = 3508231,273

V31/12/90 = VF (1 + i)-3 V31/12/90 = 3508231,273 (1 + 0,2156)-3

V31/12/90 = 1953138,241

114)

0 1 2 19 20

100000 -2000 -2000 -2000 -2000

VF = VA (1 + i)n - 2000 s(1;n;i)

VF = 100000 (1 + 0,045)20 – 2000 (1 + 0,045)20 - 1

0,045

VF = 178428,5569

115)

73 74 76 77 81 82

C1 C2 C4 C5 C9 C10

i = [1 + j(365/90) . 90/365]365/90 – 1 i = [1 + 0,18 . 90/365]365/90 – 1

i = 0,1926

V01/01/76 = VA (1 + i)4 V01/01/76 = C a(1;n;i) (1 + i)4

V01/01/76 = 200000 a(1;10;0,1926) (1 + 0,1926)4

V01/01/76 = 200000 1 – (1 + 0,1926)-10 (1 + 0,1926)4

0,1926

V01/01/76 = 1739734,597

116)

0 1 2 10 11

i = 0,05 i = 0,045

VA = C a(1;n;i1) + C (1 + i1)-10 1500 = C 1 – (1 + 0,05)-10 + C (1 + 0,05)-10

i2 0,05 0,045

1500 = C 7,7217 + C 13,6425 C = 1500

21,3642

C = 70,2107

_____________________________________________________________________________

66

117)

0 1 2 3 4 5 6

C C C C C C

con cuota mensual: i(360/30) = j(360/30) . 30/360 i(360/30) = 0,24 . 30/360

i(360/30) = 0,02

VA = C a(1;n;i) 37984063 = C 1 – (1 + 0,02)-72 C = 1000000

0,02

con cuota trimestral: i(360/90) = [1 + j(360/30) . 30/360]90/30 – 1

i(360/90) = 0,0612

VA = C a(1;n;i) 37984063 = C 1 – (1 + 0,612)-24 C = 3060400

0,612

con cuota semestral: i(360/180) = [1 + j(360/30) . 30/360]180/30 – 1

i(360/180) = 0,1261

VA = C a(1;n;i) 37984063 = C 1 – (1 + 0,1261)-12 C = 6308121

0,1261

con cuota anual: i = [1 + j(360/30) . 30/360]360/30 – 1

i = 0,2682

VA = C a(1;n;i) 37984063 = C 1 – (1 + 0,2682)-6 C = 13412090

0,2682

con cuota bianual: i(720) = [1 + j(360/30) . 30/360]720/30 – 1

i(720) = 0,6084

VA = C a(1;n;i) 37984063 = C 1 – (1 + 0,6084)-3 C = 30421862

0,6084

Desde el punto de vista financiero da lo mismo cualquiera de las cinco opciones, ya

que las tasas son equivalentes entre sí.

Aclaración: a fin de facilitar los cálculos, se utilizó año de 360 días para calcular las

tasas.

118)

0 1 2 3 4 5 6 7 8

C C C -200 C C C C

VF = C s(1;n;i) VF = 100 (1 + 0,04)8 – 1

0,04

VF = 921,42

a) VF = C s(1;3;i) (1 + i)5 – 200 (1 + i)4 + (C + plus) s(1,4,i)

921,42 = 100 (1+0,04)3 – 1 (1+0,04)5 – 200 (1+0,04)4 + (100+X) (1+0,04)4 – 1

0,04 0,04

921,42 = 379,7903 – 233,9717 + (100 + X) 4,2465

X = 82,647 (adicional a pagar desde la cuota 7)

b) VF = C s(1;3;i) (1+i)5 – 200 (1+i)4 + C s(1;2;i) (1+i)2 + (C+plus) (1+i) + C

921,42 = 379,7903 – 233,9717 + 220,6464 + (100 + X) 1,04 + 100

X = 337,4592 (adicional único a pagar con la cuota 5)

______________________________________________________________________________

67

119)

0 1 2 23 24

C C C C VF

VF = C s(0;n;i) VF = 1200 (1 + 0,03)24 – 1 (1+0,03)

0,03

VF = 42551,1172

a) X = C (1+i)21 X = 1200 (1+0,03)21

X = 2232,3535

b) X = C s(1;3;i) (1+i)19 X =1200 (1+0,03)4 – 1 (1+0,03)19

0,03

X = 6503,8942

c) X = C (1+i)21 + C (1+i)19 + C (1+i)17

X = 1200 (1+0,03)21 + 1200 (1+0,03)19 + 1200 (1+0,03)17

X = 6319,9779

120)

0 1 2 3 4 5 6 45 46 47 48

C C C+X C C C C+X C C+X C

i(365/30) = 0,03

i(365/120) = [1 + i(365/30) ]120/30 – 1 i(365/120) = [1 + 0,03 ]120/30 – 1

i(365/120) = 0,1255

VA = C a(0;48;i(365/30)) + X a(1;12;i(365/120)) (1+ i(365/30))2

700000 = 18000 1 – (1+0,03)-48 (1+0,03) + X 1 – (1+0,1255)-12 (1+0,03)2

0,03 0,1255

700000 = 468444,741 + X 6,4072

X = 36139,698

121)

07/94 08/94 10/95 08/96 09/96 10/96 10/97 10/98 11/98 02/02

10000 400 400 400 500 500 500 500 600 600

2000 2000 2000

i = [1 + i(365/30) ]365/30 – 1 i = [1 + 0,02 ]365/30 – 1 i = 0,2724

VA = 10000 + 400 a(1,25,0,02) + 500 a(1,26,0,02) (1+0,02)-25 +

600 a(1,40,0,02) (1+0,02)-51 + 2000 a(1,3,0,2724) (1+0,02)-3

VA = 33479,9462

_____________________________________________________________________________

68

122)

0 1 2 12 13 14 58 59 60

C1 C2 C3 C47 C48

Precio de venta = Precio de compra (1 + i)60 – C s(0,48,i)

Precio de venta = 200000 (1 + 0,01)60 – 1800 s(0,48,0,01)

Precio de venta = 252036,6388

123)

04/93 07/93 08/93 10/95

C1 C2 C28

VF = depósito (1 + i)30 + C s(1;28;i)

5741,77 = 1000 (1 + 0,04)30 + C (1 + 0,04)28 – 1 C = 50

0,04

Deuda = 137 C – VF = 6850 – 5741,77 = 1108,23

Si Deuda = 60 a(1;n;0,05) 1108,23 = 60 1 - (1+0,05)-n

0,05

0,0765 = (1+0,05)-n Aplico Logaritmos para bajar el exponente y poder despejar n

log (0,0765) = -n log (1,05) -n = log 0,0765

log 1,05

-n = - 52,6908 n = 52,6908

124)

01/93 12/93 05/94 12/95 11/97

100000 C1 C6 C25 C48

i1 = 0,01 i2 = 0,02 i3 = 0,03

VA = C a(1;6;i1) (1+i1)

-11 + C a(1;19;i2) (1+i1)-17 + C a(1;23;i3) (1+i1)

-17 (1+i2)-19

100000 = C [a(1;6;0,01) (1,01)-11 + a(1;19;0,02) (1,01)-17 +

+ a(1;23;0,03) (1,01)-17 (1,02)-19]

C = 3576,0278

125)

01/93 X

100000 C1 C2 C10

VA = C a(0;10;i) (1+i)-n 100000 = 15000 1 - (1+0,04)-10 (1+0,04) (1+0,04)-n

0,04

0,7903 = (1,04)-n Aplico Logaritmos para bajar el exponente y poder despejar n

______________________________________________________________________________

69

log (0,7903) = -n log (1,04) -n = log 0,7903

log 1,04

-n = - 6 n = 6

n representa bimestres, por la tanto la primer cuota se paga un año después de

obtener el préstamo , es decir el 01/01/94

126)

12/92 12/95 12/96 12/97

C1 C4 C5 X

i1 = 0,05 i2 = 0,07

VF = C s(1;4;i1) (1 + i2)2 + C (1 + i2) + X

100000 = 5000 s(1;4;0,05) (1 + 0,07)2 + 5000 (1 + 0,07) + X

100000 = 5000 (1 + 0,05)4 – 1 + (1,07)2 + 5000 (1,07) + X

0,05

X = 100000 – 24673,3106 – 5350

X = 69976,6894

127)

05/95 01/96 02/96 01/97 02/97 07/97

10000 -690 -690 -700 -700

i1 = ? i2 = 0,008 i3= 0,009

10000 = [690 a(1;12;0,008) + 700 a(1;6;0,009) (1,008)–12] (1 + i1)

–8

10000 = 11564,64 (1 + i1)–8 i1 = 0,01833

128)

a)

01/93 01/98 01/12

i = 0,15

VA 100 100

b)

01/93 01/00 01/10

i = 0,06

VA 100 100

VAa = 100 a(1;15;0,15) (1,15)–4 = 334,32

VAb = 100 a(1;10;0,06) (1,06)–6 = 518,85

Ia = 15.100 – 334,32 = 1165,68

Ib = 10.100 – 518,85 = 481,15

_____________________________________________________________________________

70

La suma de todas las cuotas menos el valor actual de un préstamo son el total de

intereses que recibirá el prestamista. Así se elige la primera alternativa pues le deja

mayor intereses que la segunda.

129)

05/93 10/93 10/94 01/95 10/95 05/96

100000 C 1,1.C 1,21.C

i1 = 0,01 i2 = 0,012

100000 = C a(1;12;0,01) (1,01)–4 + 1,1 C a(1;4;0,01) (1,01)–16 +

1,1 C a(1;8;0,012) (1,01)–20 + 1,21 C a(1;8;0,012) (1,012)–8 (1,01)–20

100000 = C [a(1;12;0,01) (1,01)–4 + 1,1 a(1;4;0,01) (1,01)–16 +

1,1 a(1;8;0,012) (1,01)–20 + 1,21 a(1;8;0,012) (1,012)–8 (1,01)–20]

C = 3552,29

130) Idem ejercicio anterior, pero si se supone que a partir del 01/11/94 se quisie-

ran abonar cuotas iguales manteniendo la fecha de pago de la última cuota, ¿cuál

sería el monto de éstas?

100000 = C a(1;12;0,01) (1,01)–4 + 1,1 C a(1;4;0,01) (1,01)–16 +

1,1 C a(1;16;0,012) (1,01)–20

100000 = C [a(1;12;0,01) (1,01)–4 + 1,1 a(1;4;0,01) (1,01)–16 +

1,1 a(1;16;0,012) (1,01)–20]

C = 3632,4984

131)

100000 = 3632,4984 [a(1;12;0,01) (1,01)–4 + 1,1 a(1;4;0,01) (1,01)–16 +

1,1 a(1;12;0,012) (1,01)–20 + 1,1 a(1;4;0,015) (1,012)–12 (1,01)–20] +

[X (1,015)–4 (1,012)–12 (1,01)–20]

X = 120,5955

132)

VA = [C + r/i] a(1;n;i) – (r.n.vn)/i

VA = [465 – 35/0,18] a(1;14;0,18) – [(–35).14.(1,18)–14]/0,18

VA = 1623,2309

133)

i(365/30) = (1 + 1,2777)30/365 – 1 = 0,07

12000 = (C + C/0,07) a(1;12;0,07) – [C.12.(1,07)–12]/0,07

12000 = C {15,28 a(1;12;0,07) – [12.(1,07)–12]/0,07}

C = 264,9375

______________________________________________________________________________

71

134)

i(365/30) = 0,045 q = 1,04

VA = C (1 – (q.v)n)/(1 + i – q)

6000 = C (1 – (1,04/1,045)26)/(1 + 0,045 – 1,04)

C = 255,8881

135)

0 1 5 6 12

230 (230 + 4r) 400 400

VF = [(C1 + r/i1) s(1;n1;i1) – r.n1/i1] (1 + i2)

7 + C2 s(1;n2;i2)

VF = [(230 + 30/0,04) s(1;5;0,04) – 30.5/0,04] (1 + 0,05)7 + 400 s(1;7;0,05)

VF = 5449,06

136)

C + 11r = – r C = -12r r = -C/12

VA = (C + r/i) a(1;n;i) – (r.n.vn)/i

VA = [C + C/(12.i)] a(1;n;i) + (C.n.vn)/(12.i)

60000 = C {[1 – 1/(12.0,082)] a(1;12;0,082) + 1/0,082 (1 + 0,082)-12}

C = 13000,4131

137)

En función de la tasa:

a) i(365/30) = 0,06

b) i(365/30) = (1 + 0,8105192)30/365 – 1 = 0,05

c) i(365/30) = 0,79083333.30/365 = 0,065

Conviene la opción b, ya que ofrece la tasa más baja.

En función de la cuota:

a) Cuando q.v = 1 VA = C.v.n VA = C.n (1 + i)-1

2800 = C.7/1,06

C = 424

b) VA = C 1 – (q.v)n 2800 = C 1 – (1,06/1,05)7

(1 + i) – q (1 + 0,05) – 1,06

C = 408,1516

c) 2800 = C 1 – (1,06/1,065)7

(1 + 0,065) – 1,06

C = 432,03

Elijo la alternativa b, porque tiene la cuota mas baja también.

_____________________________________________________________________________

72

138)

VA = [(C + r/i) a(1;n;i) – (r.n.vn)/i] (1 + i)–2

VA = (1,02)–2.{(170 + (-20)/0,02).a(1;18;0,02) – [-20.18.(1,02)–18]/0,02}

VA = 153,2899

139)

0 1 2 3 8 9

V 500 450 200 150

VA = (C + r/i) a(1;n;i) – (r.n.vn)/i

VA = {(500 + (-50)/0,05) a(1;8;0,05) – [-50.8.(1,05)–8]/0,05} (1+0,05) –1

VA = 2079,151

140)

VF = (C1 + r/i) s(1;n;i) – r.n/i

VF = (C1 + 20/0,02) s(1;10;0,02) – 20.10/0,02

C1 = 232,9081

C7 = C + r.6 = 232,90 + 20.6 = 352,9081

141)

0 1 8 13 18

120 137,84 137,84

i = 0,0425 i = 0,05 i = 0,052

C1.q

7 = C8 120.q7 = 137,84 q = 1,02

V0 = C1 1 – (q.v)8 + C8 a(1;5;i2) (1 + i1)–8 + C8 a(1;5;i3) (1 + i2)

–5 (1 + i1)–8

(1 + i1) – q

V0 = 120 [1 – (1,02/1,0425)8]/(1 + 0,0425 – 1,02) +

137,84 a(1;5;0,05) (1,0425)–8 + 137,84 a(1;5;0,052) (1,05)–5 (1,0425)–8

V0 = 1615,3045

142)

0 1 9 10 11 14

180 180 195 210 255

i = 0,1950926 i = 0,025

VF = C1 s(1;9;i1) (1 + i2)

–5 + (C2 + r/i2) s(1;5;i2) – r.5/i2

VF = 180 s(1;9;0,1950926) (1,025)5 + (195 + 15/0,025) s(1;5;0,025) –

15.5/0,025

VF = 5326,0677

______________________________________________________________________________

73

VA = C1 a(1;9;i1) + [(C2 + r/i2) a(1;5;i2) – r.5/i2 (1 + i2)–5] (1 + i1)

–9

VA = 180 a(1;9;0,1950926) + {(195 + 15/0,025) a(1;5;0,025) -

[15.5.(1,025)–5]/0,025)} (1,1950926)–9

VA = 946,6149

VF = VA (1 + i(365/30))14 i(365/30) = 0,1313

143)

a.- El Valor final sería mayor porque la tasa de los primeros 9 pagos es mayor, por

tanto al capitalizarse los intereses aumentaría el VF. El razonamiento es a la inversa

para el VA, pues al descontar intereses y al ser mayor la tasa de los primeros 9

pagos el VA sería menor.

b.- El rendimiento disminuye pues con el mismo desembolso tenemos al final me-

nor monto acumulado.

144)

i(365/30) = 0,62.30/365 = 0,05095

VA = (C + r/i) a(1;n;i) – (r.n.vn)/i

1800 = [(C + 35/0,05095) a(1;5;0,05095) – 35.5 (1,05095)–5/0,05095]

C = 350,3328

145)

a) t7 = t4 (1 + i(365/30)3 i(365/30) = (3467,67/2752,75)1/3 – 1 = 0,08

b) Siendo C = t1 (1 + i)n y t1 = t4 (1 + i)-3 C = t4 (1 + i)n-3

10185,22 = 2752,75 (1 + 0,08)n-3 ln(3,7)/ln(1,08) + 3 = n n = 20.

c) T5 = t1 s(1;5;0,08) = 2185,22 s(1;5;0,08) = 12819,82

d) T15 – T5 t1 s(1;15;0,08) - t1 s(1;5;0,08) = 46513,53

e) T20 – T15 = 100000 - t1 s(1;5;0,08) = 40666,65

f) I(0;10) = 10.C – T10 = 10.10185,22 – t1 s(1;10;0,08) = 70195,56

g) I(5;10) = 5.C – [T10 – T5] 5.10185,22 – t6 s(1;5;0,08)

I(5;10) 5.10185,22 – [t1 (1 + 0,08)5] s(1;5;0,08) = 32089,57

h) I(17;20) = 3.C – [T20 – T17] = 3.10185,22 - t18 s(1;3;0,08)

I(17;20) 5.10185,22 – [t1 (1 + 0,08)17] s(1;3;0,08) = 4307,35

_____________________________________________________________________________

74

146)

V0 = C a(1;n;i) C = 200000 a-1(1;6;0,06) = 40672,52

Período Vp Ip tp Cp T V’p

0 200000 200000

1 200000 12000 28672,52 40672,52 28672,52 171327,47

2 171327,47 10279,64 30392,87 40672,52 59065,40 140934,59

3 140934,59 8456,07 32216,44 40672,52 91281,85 108718,14

4 108718,14 6523,08 34149,43 40672,52 125431,28 74568,71

5 74568,71 4474,12 36198,40 40672,52 161629,69 38370,30

6 38370,30 2302,21 38370,30 40672,52 200000 0

147)

0 24 60

36000 90000

i(365/30) = j(365/30) 30/365 0,00986

C = 36000 a-1(1;60;0,00986) = 797,8129

t1 = C – V0.i = 797,81 – 36000.0,00986 = 442,7444

V24 = V0 – T23 = 36000 - t1 s(1;23;0,00986) = 24631,8972

Recibido: 90000 – 24631,8972 = 65368,1028

148)

T5 = t1 s(1;n;i) T5 = 250000 t1 = 250000 s-1(1;5;0,06) = 44349,1001

C = t1 (1+i)n C = 44349,1 (1+0,06)20 C = 142233,5721

V0 = C a(1;n;i) V0 = 142233,57 a(1;20;0,06) = 1631407,867

149)

1/4/93 1/8/93 1/7/94

8000 C C

V0 = 8000 (1+ 0,06)3 = 9528,128

a) C = V0 a-1(1;n;i) C = 9528,128 a-1(1;12;0,06) = 1136,4868

b) t1 = C - V0.i = 1136,48 – 9528,128.0,06 = 564,7991

t4 = t1 (1 + 0,06)3 = 564,7991 (1,06)3 = 672,6848

i4 = C - t4 = 1136,4868 – 672,6848 = 463,802

c) V6 = V0 – T5 = 9528,128 – t1 s(1;5;0,06) = 6344,3028

______________________________________________________________________________

75

d) I(7;12) = 5.1136,48 – t8 s(1;5;0,06) = 895,1382

e) Tp = t1 s(1;p;i) 6000 = 564,7991 [(1+0,06)p –1]/0,06

p = ln(1,6374)/ln(1,06) = 8,4626

En la cuota 9

f) VA del préstamo con sellado = 8000 – C.0,01.12 = 7863,6216

la tasa de 127,758% anual equivale a una i(365/30) = 0,0699

V0 = 1136,4868 a(1;12;0,0699) = 9027,0405

VA = V0 (1+0,0699)-3 = 7368,8753

Como 7368,8753 (VA) es menor a 7863,6216 (VA del préstamo con sellado), el

costo del préstamo es menor al 127,752% efectivo anual.

150)

0 4 7 10

1000000

0,06 0,065 0,07

a) 1000000 = C a(1;4;0,06) + C a(1;3;0,065) (1+0,06)-4 +

C a(1;3;0,07) (1+0,065)-3 (1+0,06)-4

C = 137290,9822

b) t1 = C – V0.i = 77290,9822

V4 = V0 – T3 = 1000000 – t1 s(1;3;0,06) = 753936,4291

c) I9 = V9.i = 137280,98 a(1;2;0,07).0,07 = 17375,72

I6 = V6 .i = 567612,96.0,065 = 36894,84217

Pueden verificarse los resultados de los puntos “b” y “c” construyendo el cuadro de

marcha:

n i C Saldo al inicio I t T

01 0,06 137290,98 1000000,00 60000,00 77290,98 77290,982 0,06 137290,98 922709,02 55362,54 81928,44 159219,423 0,06 137290,98 840780,58 50446,83 86844,15 246063,574 0,06 137290,98 753936,43 45236,19 92054,80 338118,375 0,065 137290,98 661881,63 43022,31 94268,68 432387,046 0,065 137290,98 567612,96 36894,84 100396,14 532783,187 0,065 137290,98 467216,82 30369,09 106921,89 639705,078 0,07 137290,98 360294,93 25220,64 112070,34 751775,419 0,07 137290,98 248224,59 17375,72 119915,26 871690,67

10 0,07 137290,98 128309,33 8981,65 128309,33 1000000,00

_____________________________________________________________________________

76

d) 1000000 = C a(1;10;0,0622) sin gastos de otorgamiento

V0 neto = 1000000 – 11000 = 989000

989000 = C a(1;10,i*) computando gastos de otorgamiento

para despejar la i* (costo de la operación considerando los gastos) se debe recurrir

a la interpolación:

[1 – (1+i)-10]/i* = 989000/137290,9822 = 7,2037

si i1 = 0,07 a1 = (1+0,07)-10/0,07 – 1 = 7,0236

si i2 = 0,06 a2 = (1+0,06)-10/0,06 – 1 = 7,36

(a2 – a1)/(i1 - i2) = (a* – a1)/(i1 – i*)

(7,36 – 7,0236)/(0,07 – 0,06) = (7,2037 – 7,0236)/(0,07 – i*)

i* = 0,0646

151)

V0 = 200000

T6 = t1 s(1;6;0,07) t1 = 100000 s-1(1;6;0,07) = 13979,57

i1 = 200000.0,07 = 14000

b) C = t1 + i1 = 13979,57 + 14000 = 27979,58

a) C = t1 (1 + 0,07)n n = Ln(2,0014)/Ln(1,07)

n = 10,2555 10 años y 93 días.

c) t3 = t1 (1,07)2 = 16005,2211

i3 = C - t3 = 11974,3589

152)

X X+1 X+7

Ix+1 = 50000

tx = 75000

a) C = Ix+1 + tx+1 Ix+1 = Vx.i Ix+1 = C a(1;7;i).i

Ix+1 = (Ix+1 +tx+1) a(1;7;i).i 50000 = [50000 + 75000 (1+i)] a(1;7;i).i

i = 0,06 ________________ 43375,103

i* ____________________ 50000

i = 0,075 _______________ 51890,141

(0,06 - i*)/(43375,103 – 50000) = (0,06 – 0,075)/(43375,103 – 51890,141) i*

= 0,07167

b) tasa venta = tasa préstamo – 0,01 = 0,06167

c) C = 50000 + 75000 (1,07167) = 130375,25

d) Vx = C a(1;7;0,07167) = 698557,51

______________________________________________________________________________

77

153)

1/59 1/63 1/70 1/78

100000 60000 30000 V

0,08

0,07

0,06

C1 = 100000 a-1(1;30;0,06) = 7264,89

C2 = 60000 a-1(1;40;0,07) = 4500,54

C3 = 30000 a-1(1;30;0,08) = 2664,82

V78 = C1 a(1;11;0,06) + C2 a(1;25;0,07) + C3 a(1;22;0,08)

V78 = 57297,28 + 52447,51 + 27183,17

V78 = 136927,98

C = V78 a-1(1;30;0,0678) = 136927,98 a-1(1;30;0,0678) = 10791,68

154)

a) C = 100000 a-1(1;20;0,04) = 7358,175

b) I1 = 100000.0,04 = 4000

c) t1 = C – i1 = 3358,175

d) t20 = t1 (1 + 0,04)19 = 7075,1683

e) 6047 = t1 (1 + 0,04)p-1 p-1 = ln(1,8)/ln(1,04) p = 16

f) C = 2 Ip C = 2 (C – tp) C = 2 [C – t1 (1+i)p-1]

7358,175 = 2 [7358,175 – 3358,175.(1,04)p-1]

p – 1 = ln(1,0955)/Ln(1,04) p = 3,327

155)

1/7/93 1/8/93 1/7/94 1/8/94 1/7/95

8000 550 550 892,06 892,06

I = 0,065 i = ?

a) 8000 = 550 a(1;12;0,065) + 892,06 a(1;12;i) (1+0,065)-12

3512,70 = 892,06 a(1;12;i) (1+0,065)-12 a(1;12;i) = 8,3838

por interpolación: i = 0,06.

b) V16 = 892,06 a(1;9;0,06) = 6067,5176

c) I16 = 6067,5176.0,06 = 364,051 t16 = C - I16 t16 = 892,06 – 364,051

t16 = 528,0089

d) I(15;24) = 9 C – (T24 - T15)= 9 C – V16 = 9.892,06 – 6067,5176 = 1961,0229

_____________________________________________________________________________

78

156)

I(0,n) + V0 = M

I(0,n) = M/3 V0 = 2/3 M = 2 I(0,n)

I(0,n) = V0.i.(n+1)/2 I(0,n) = i.2 I(0,n) (n+1)/2

I(0,24) = i.2 I(0,24) 25/2 1 = i.25

i = 0,04

157)

n i C Saldo al inicio I t T

01 0,05 50.000 200.000 10.000 40.000 40.0002 0,05 48.000 160.000 8.000 40.000 80.0003 0,05 46.000 120.000 6.000 40.000 120.0004 0,05 44.000 80.000 4.000 40.000 160.0005 0,05 42.000 40.000 2.000 40.000 200.000

c) 158)

1/1/75 1/1/76 1/1/88 1/1/91

10000000 c1 c13 c16

a) Cp = C1 – t.i (p-1) C13 = C1 – t.i.12

C13 = V0/n + V0.i - (V0/n) i.12 C13 = 500000 + 500000 – 500000.0,005.12

C13 = 700000

t13 = 10000000/20 = 500000

i13 = C – t13 = 200000

b) I(0;p) = V0.i.p [2 – (p-1)/n]/2 I(0;16) = 10000000.0,05.16 (2 – 15/20)/2

I(0;16) = 5000000

159)

Cp = (V0/n) [1 + (n – p +1).i] 20000 = (V0/36) [1 + (36 – 18 + 1).0,0175]

V0 = 540337,7111

I(0;n) = V0.i (1 + n)/2 = 540337,71.0,0175 (37/2) = 174934,334

160)

a) C = V0 (id + 1/n) V0 = C (id + 1/n)-1 V0 = 18000/(0,08 + 1/10) = 100000

b) I(0;n) = V0.i.n = 100000.0,08.10 = 80000

c) 100000 = 18000 a(0;10;i) por interpolación i = 0,1632

161)

a) C = V0 (id + 1/n) 20000 = 200000 (id + 1/20) id = 0,05

b) 200000 = 20000 a(1;20;i) i = 0,07764

162)

a) C = 1000000 (0,02 + 1/10) c = 120000

b) Tp = (V0/n) p T5 = (1000000/10) 5 = 500000

c) V’8 = V0 – T8 = 1000000 – (1000000/10) 8 = 200000

d) 1000000 = 120000 a(1;10;i) por interpolación i = 0,034602

______________________________________________________________________________

79

e) 1) 1000000 = 120000 a(1;5;i) + 500000 (1+i)-5 i = 0,02491 (interpolación)

2) 1000000 = 120000 a(1;5;0,03406) + X (1+0,03406)-5 X = 542421,7377

163)

a) Ct = 2000000 s-1(1;20;0,035) = 70722,1535

b) Ci = V0.i = 2000000.0,05 = 100000

c) C = Ct + Ci = 170722,1535

d) V’15 = V0 – T15 = 2000000 – Ct s(1;15;0,035) = 635367,8937

164)

Si la operación no tiene costo: C = V0/n C = 10000000/24 = 416666,66

Ci = 10000000.0,03 = 300000 Ct = 416666,66 – 300000 = 116666,66

10000000 = 116666,66 s(1;24;i) i = 0,09762 (interpolación)

165)

a) Ci = 100000.0,15 = 15000

Ct = 100000 s-1(1;8;0,13) = 7838,6718

C = 22838.6718

b) 100000 = 22838,6718 a(1;8;i) i = 0,1577 (interpolación)

c) ir = (1 + ia)/(1 + ∏) - 1

ir = (1 + 0,1577)/(1 + 0,16) - 1 ir = - 0,002

166)

1/3/93 1/6/93 1/1/94 1/1/96

100000 c V9 C32

a) C = 100000(1+0,025)2 a-1(1;60;0,025) C = 3399,1286

b) V9 = 3399,1286 a(1;52;0,025) = 98313,2725

C = 98313,3725 a-1(1;52;0,035) = 4131,545

c) 3399,12 = (98313,3725 – X) a-1(1;52;0,035) X = 17428,41

d) Tp = V0(1+i)2/2 Tp = 52531,25

t1 = 3399,1286 – 105062,5.0,025 = 772,5662

52531,25 = 772,5662 s(1;p;0,025) p = 40,223 es decir en la cuota 41

e) I(32;44) = 12 C – t33 s(1;12;0,025) = 17301,9524

167)

Suponemos préstamo de 100

a) C = 70 (0,012 + 1/10) C = 7,84 70 = 7,84 a(1;10;i(365/30))

i(365/30) = 0,0213

b) C = 80 (0,025 + 1/5) C = 18 80 = 18 a(1;5;i(365/60)) i(365/60) = 0,0405

i(365/30) = 0,02

Elijo la segunda opción porque tiene una tasa menor.

_____________________________________________________________________________

80

168)

Suponemos préstamo de 100

Sistema Francés: C = 100 a-1(1;10;0,02) = 11,1326

Costo de la operación: 90 = 11,1326 a(1;10;i) i = 0,04066

Sistema Alemán: C1 = 100.(1/10 + 0,02) = 12

C2 = 10 + (100 – 10.)0,02 = 12

Etc.

1 122 11,83 11,64 11,45 11,26 117 10,88 10,69 10,4

10 10,2

Cuota Total Alemán

Costo de la operación: 90 = 12.(1+i)1+ 11,8.(1+i)

2+ 11,6.(1+i)

3+

11,4.(1+i)4+ …….. + 10,4.(1+i)

9+ 10,2.(1+i)

10 i = 0,04127

Conviene el sistema francés por tener menor tasa efectiva.

169)

C = V0 a-1(1;n;i) C = 1000 a-1(1;5;0,1)

C = 263,7975

C = V0/n + V0.id id = (C - V0/n)/ V0

id = (263,7975 - 200)/1000 id = 0,0637

170)

I8 = 793,22; t4 = 652,96; T(3;10) = 4854,27

a) T(3;10) = t4 s(1;7;i) 4854,27 = 652,96 s(1;7;i) i = 0,02

b) t1 = t4 (1,02)-3 t1 =615,29

t8 = t4 (1,02)4 = 706,784 C = 793,22 + 706,784 = 1500

1500 = t1 (1,02)n n = ln(2,43784)/ln(1,02) n = 45

c) V0 = 1500 a(1;45;0,02) = 44235,22

d) t9 = t8 (1,02) = 720,92 I9 = 1500 - t9 = 779,08

______________________________________________________________________________

81

171)

a) 50000 = 15.t + 2.15.t t = 1111,1111 (para los primeros 15 años)

C18 = 2.1111,1111 + I18 I18 = 1444,4444

V18 = V0 – T17 = 50000 – (1111,1111.15 + 2222,2222.2) = 28888,8888

I18 = V18.i(16;30) i(16;30) = 1444,4444/28888,8888 = 0,05

i(0;15) = i(16;30) – 0,01 = 0,04

b) C7 = t7 + I7 t7 = 1111,1111

I7 = V7.i = (50000 - 1111,1111.6).0,04 = 1733,3333

172)

a) Ct = 100000 s-1(1;10;0,03) = 8723,05

C = Ct + Ci Ci = 12024,14 – 8723,05 = 3301,08

Ci = V0.i i = 3301,08/100000 = 0,03301

b) 100000 = 12024,14 a(1;10;i) i = 0,035 (interpolación)

c) C = V0 (1/n + id) id = C/V0 - 1/n id = 12024,14/100000 – 1/10

id = 0,02024

id es menor a i porque en el sistema de tasa directa, la cuota de interés se calcula

sobre la deuda inicial y para generar el mismo monto, sobre una deuda mayor, la

tasa de interés debe ser menor.

_____________________________________________________________________________

82

2.6. Evaluación de Proyectos


proyectados:

A B Período Costo Flujo de Fondos Costo Flujo de Fondos

0 9.000 12.000 1 5.000 5.000 2 4.000 5.000 3 3.000 8.000

Calcule para cada proyectos la TIR, su período de recuperación, Índice de Rentabili-

dad y el VAN utilizando una tasa de corte del 15%. Proyecto A:

Calculamos la TIR: (Recordamos que la Tir se calcula igualando el Van a cero)

0 = -9000 + 5000.(1+ Tir)-1 + 4000.(1+ Tir)-2 + 3000.(1 + Tir)-3

Tir = 17,5140% Por interpolación o calculadora Financiera

VAN = -9000 + 5000(1 + 0,15)-1 + 4000.(1 + 0,15)-2 + 3000.(1 + 0,15)-3

VAN = 344,9494

Ind. Rent = Van/ Inv. Inicial. = 344,9494/ 9000 = 0,03833

Inv. Inicial – lo que ya recuperé

Período de Recupero = Año anterior de Recupero +

Ingreso del año que recupero

Per. Rec. = 2 + (9000 – 9000)/3000 = 2 años

Proyecto B:

Calculamos la TIR:

0 = -12000 + 5000.(1+ Tir)-1 + 5000.(1+ Tir)-2 + 8000.(1 + Tir)-3

Tir = 21,312827% Por interpolación o calculadora Financiera

VAN = -12000 + 5000(1 + 0,15)-1 + 5000.(1 + 0,15)-2 + 8000.(1 + 0,15)-3

VAN = 1388,67428

Ind. Rent = Van/ Inv. Inicial. = 1388,67428/ 12000=0,115723

Inv. Inicial – lo que ya recuperé

Período de Recupero = Año anterior de Recupero +

Ingreso del año que recupero

Per. Rec. = 2+ (12000- 10000)/ 8000= 2,25

______________________________________________________________________________

83


proyectados:

Período 0 1 2 3 4

A (10.000) 5.000 5.000 5.000 5.000

B (10.000) 0 0 0 30.000

Determine:

d) La tasa interna de rendimiento para cada proyecto.

e) Suponiendo una tasa de rendimiento requerida del 10%, determine el VAN para

cada proyecto.

f) ¿Qué proyecto seleccionaría? ¿Qué suposiciones influyen en su decisión?

Proyecto A:

VAN= -10000+5000. A(1; 4; 0,1) = 5849,32

Tir: 0= -10000+ 5000.A (1; 4; r) Tir= 0,4104

Ind. Rent: 5849,32/ 10000 = 0,5849

Proyecto B:

VAN= -10000+ 30000.(1+ 0,1) -4 = 10490,4

Tir: 0= -10000+30000(1+r) -4 Tir = 0,31607

Ind. Rent: 10490,4/10000 = 1,049

175) Zaire Electronics puede realizar una y solo una de las dos inversiones al mo-

mento 0. Suponiendo una tasa de rendimiento del 14%, determine para cada pro-

yecto:

f) El período de recuperación.

g) El valor actual neto.

h) El índice de rentabilidad.

i) Tasa interna de rendimiento.

j) Grafique cada uno de los proyectos.

Suponga para la depreciación el sistema lineal de 5 años y que la tasa de impuesto

a las ganancias es del 20%.

Proyecto Costo 1 2 3 4 5 6 7

A (28.000) 8.000 8.000 8.000 8.000 8.000 8.000 8.000

B (20.000) 5.000 5.000 6.000 6.000 7.000 7.000 7.000

¿Cuál Proyecto aconseja realizar?

Proyecto A:

0 1 2 3 4 5 6 7

Inversión (28000)

Ingresos 8000 8000 8000 8000 8000 8000 8000

Amortiz. (5600) (5600) (5600) (5600) (5600)

B.A.I. 2400 2400 2400 2400 2400 8000 8000

Impuesto (480) (480) (480) (480) (480) (1600) (1600)

Utilidad 1920 1920 1920 1920 1920 6400 6400

Amortiz. 5600 5600 5600 5600 5600

F.F.N. (28000) 7520 7520 7520 7520 7520 6400 6400

_____________________________________________________________________________

84

Van= -28000+ 7520.A(1; 5; 0,14)+6400.A(1;2;0,14).(1+0,14)-5 = 3290,2

Tir: 0=-2800+7520.A(1; 5; r)+6400.A(1;2; r).(1+r)-5 Tir= 0,1786

Per.Rec: 3+ (28000-7520.3)/7520= 3,72

Ind. Rent: 3290,2/28000= 0,1175

Proyecto B:

0 1 2 3 4 5 6 7

Inversión (20000)

Ingresos 5000 5000 6000 6000 7000 7000 7000

Amortiz. (4000) (4000) (4000) (4000) (4000)

B.A.I. 1000 1000 2000 2000 3000 7000 7000

Impuesto (200) (200) (400) (400) (600) (1400) (1400)

Utilidad 800 800 1600 1600 2400 5600 5600

Amortiz. 4000 4000 4000 4000 4000

F.F.N. (20000) 4800 4800 5600 5600 6400 5600 5600

Van= -20000+4800.(1+0,14)-1+4800(1+0,14)-2+5600.A(1;2;0,14).(1+0,14)-2

+6400.(1+0,14) -5 +5600.A(1;2;0,14).(1+0,14) -5 Van= 3112,67

Tir: 0=-20000+ 4800.(1+r) -1+ 4800(1+r) -2+5600.A(1;2;r).(1+r) -2+6400.(1+r) -5

+5600.A(1;2;r).(1+r) -5 Tir= 0,1874

Per.Rec: 3+ (20000-15200)/5600= 3,857

Ind. Rend: 3112,67/20000= 0,1556

A B

TIR 17,86% 18,74%

VAN 3290,20 3112,67

Per. Recupero 3,72 3,85

Ind. Rentabilidad 1,11 1,15

______________________________________________________________________________

85

Se elige el proyecto A, ya que para una tasa de corte del 14% nos da un valor ac-

tual mayor que la del proyecto B, si vemos el gráfico hay un punto a partir del cual

ya no es conveniente el Proyecto A y comienza a ser mayor el VAN del B, a este

punto se lo denomina Punto de Fisher.

Otro método para determinar la elección:

Se determina que proyecto tiene mayor VAN en este caso el Proyecto A.

Luego hallo la diferencia entre los flujos generados por ambos proyectos:

0 1 2 3 4 5 6 7

A – B (8000) 2720 2720 1920 1920 1120 800 800

TIR del Flujo Incremental = 14,92% > Tasa de Corte = 14%

Elijo Proyecto A.

-10000

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

0% 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10%

11%

12%

13%

14%

15%

16%

17%

18%

19%

20%

21%

22%

23%

24%

25%

26%

27%

28%

29%

30%

Tasa

VA

N

Proyecto AProyecto B

Punto de Fisher

_____________________________________________________________________________

86

176) SEA – FLY dispone de la opción de comprar una cierta tecnología para investi-

gación y desarrollo con un costo de $60.000. Se espera que al contar con este

equipo puedan prescindir de un trabajador de tiempo completo, con un ahorro

anual de $20.000. La computadora tiene una vida útil de cinco años. Impuesto a las

ganancias: 40% y la tasa de rendimiento requerida después de impuestos sobre el

proyecto es del 15%.

c) ¿Cuál es el valor actual neto?

d) Si fuera necesario un capital de trabajo de $5.000 además del costo de la

computadora y este importe adicional se necesitara a lo largo de la vida del pro-

yecto, ¿Cuál sería el efecto sobre el valor actual neto?

0 1 2 3 4 5

Inversión (60000) 20000 20000 20000 20000 20000

Ingresos (12000) (12000) (12000) (12000) (12000)

B.A.I. 8000 8000 8000 8000 8000

Impuesto (3200) (3200) (3200) (3200) (3200)

Utilidad 4800 4800 4800 4800 4800

Amortiz. 12000 12000 12000 12000 12000

F.F.N. (60000) 16800

16800

16800 16800 16800

Van= -60000+16800. A(1;5;0,15)= -3683,7943

Alternativa b:

0 1 2 3 4 5

Inversión (60000)

Capital

Trab.

(5000)

Ingreso 20000 20000 20000 20000 20000

Amortizac. (12000) (12000) (12000) (12000) (12000)

B.A.I. 8000 8000 8000 8000 8000

Impuesto (3200) (3200) (3200) (3200) (3200)

Utilidad 4800 4800 4800 4800 4800

Amortizac. 12000 12000 12000 12000 12000

Capital

Trab.

5000

F.F.N. (65000) 16800 16800 16800 16800 21800

VAN = -65000 +16800. A(1; 4;0,15)+ 21800(1+0,15) -5= -6197,91

177) TRULY CLOTHES está comprando dos máquinas tejedoras de igual eficiencia

para llevar a cabo un trabajo de rutina. La máquina “Bob” tiene una vida económica

de dos años, gastos de mantenimiento de $100 al año y un precio de $5.000.

La máquina “Whip” cuesta $8.000 y durará tres años con gastos de mantenimiento

de $500 anuales. Bajo su sistema producción Truly Clothes necesitará una máquina

de hilar de este tipo durante muchos años. Tasa de impuestos a las ganancias 0%.

Si su tasa de rendimiento requerida es del 15%, ¿Qué modelo deberá seleccionar?

Horizonte: Dado que una máquina tiene una duración de 2 años y la otra de 3 años,

y como se supone que la empresa una vez elegida una, continuará indefinidamente

utilizándola, elegimos un horizonte que nos haga poder comparar ambas alternati-

vas, en este caso 6 años.

______________________________________________________________________________

87

BOB 0 1 2 3 4 5 6

Inversión (5000) (5000) (5000)

Gastos (100) (100) (100) (100) (100) (100)

F.F. (5000) (100) (5100) (100) (5100) (100) (100)

WHIP 0 1 2 3 4 5 6

Inversión (8000) (8000)

Gastos (500) (500) (500) (500) (500) (500)

F.F. (8000) (500) (500) (8500) (500) (500) (500)

VAN BOB = -10.450,37

VAN WHIP = -13.175,97

Dado que al 15% de tasa de Corte, la máquina BOB, tiene un Valor Actual más alto

(es “menos negativo”), es la que prefiero. Es decir, a un flujo de ingresos igual para

ambas situaciones, la máquina BOB generará un VAN mayor, dado que en términos

absolutos el VA de los costos es menor.

178) Una empresa analiza los siguientes proyectos mutuamente excluyentes entre

sí. Tasa de corte 6%.

Período A B

0 (2.000) (800)

1 500 200

2 500 200

3 500 200

4 500 200

5 500 200

6 500 200

7 500 200

¿Cuál es el proyecto más conveniente? Justifique su respuesta.

Proyecto A:

Van: -2000+ 500. A (1; 7; 0,06)= 791,19

Tir: 0= -2000+ 500. A (1; 7; r) Tir= 0,164

Ind. Rent: 791,19/ 2000= 0,3955

Payback: 4

Proyecto B:

Van: -800 + 200. A(1; 7; 0,06)= 316,48

Tir: 0=-800 + 200. A(1; 7; r) Tir= 0,164

Ind. Rent: 316,48/800 = 0,3956

Payback: 4

179) Se analiza la formación de una sociedad para explotar varias plantaciones de

cañas de azúcar. Para ello estima contar con una transportadora pesada. Dicho

equipo tiene un costo en plaza de $1.100 al contado. Sin embargo existe la posibili-

dad de alquilarlo por 5 años en los siguientes términos: los 3 primeros años con un

alquiler de $315 anuales, el cuarto año $260 y el quinto $250. El monto del alquiler

incluye servicio y mantenimiento.

Otros datos: los ahorros operativos por utilizar este equipo alcanzan a $300 anuales.

La vida útil de la maquinaria es de 5 años.

_____________________________________________________________________________

88

Los costos de mantenimiento (solo en caso de compra) ascenderán a $10 anuales.

La empresa estima una tasa de impuesto de las ganancias del 20% que se estima

abonar al año siguiente.

Sabiendo que la tasa de corte fijada por la empresa es del 10% anual, determinar

el VAN de las dos alternativas y decidir la alternativa mas aconsejable. Justifique.

Compra

0 1 2 3 4 5 6

Inversión (1100)

Ingreso 300 300 300 300 300

Mant. (10) (10) (10) (10) (10)

Amort (220) (220) (220) (220) (220)

B.A.I. 70 70 70 70 70

Impuesto1 (14) (14) (14) (14) (14)

Utilidad 70 56 56 56 56 (14)

Amort. 220 220 220 220 220

FFN (1100) 290 276 276 276 276 (14)

Van= -1100+ 290.(1+0,1)-1+276. A(1;4;0,1).(1+0,1)-1- 14.(1+0,1)-6

Van= - 48,9246

Alquiler

0 1 2 3 4 5 6

Ingresos 300 300 300 300 300 -

Alquiler (315) (315) (315) (260) (250) -

B.A.I. (15) (15) (15) 40 50 -

Impuesto - - - - +8 -8 +1 -10

FFN (15) (15) (15) 40 50 (9)

Tengo un ahorro impositivo en los tres primeros meses que recién lo veo reflejado

en el mes 5 ya que en el mes cuatro tengo un gasto impositivo (y se paga mes

vencido). El peso que tengo de diferencia se pasa al otro mes.

Van= (15). A (1, 3, 0,1) +40.(1+0,1)-4 +50.(1+0,1)-5 -9.(1+0,1)-6

Van= 15,9835

180) “Corparation” puede invertir en un proyecto que cuesta $100.000 y tiene una

vida útil de 5 años. Los flujos de efectivo esperados del proyecto son:

Años 1 2 3 4 5

20.000 40.000 40.000 30.000 20.000

La tasa de impuesto a las ganancias es del 50% y su costo de capital sobre la base

de las condiciones actuales en los mercados financieros es del 12%.

La empresa utiliza el sistema de depreciación en línea recta y depreciará en 5 años.

1 Los impuestos se pagan un año después, por ende se agrega un período.

______________________________________________________________________________

89

b) Calcule el VAN del proyecto, TIR, pay-back e índice de rentabilidad.

0 1 2 3 4 5

Inversión (100000)

Ingresos 20000 40000 40000 30000 20000

Deprecia-

ción

(20000) (20000) (20000) (20000) (20000)

B.A.I. 0 20000 20000 10000 0

Impuestos 0 (10000) (10000) (5000) 0

Utilidad 0 10000 10000 5000 0

Deprecia-

ción

20000 20000 20000 20000 20000

FFN (100000) 20000 30000 30000 25000 20000

Van= -100000+20000(1+ 0,12)-1+30000.(1+1,12)-2+30000.(1+0,12)-3

+25000(1+0,12)-4+20000(1+0,12) -5 Van= -9637,14

TIR = + 20000(1+ r)-1+30000.(1+r)-2+30000.(1+r)-3+25000(1+r)-4+

20000(1+r) -5 = 8,01%

Ind. Rent: -9637,14/ 100000= -0,09637

Pay back: 3+(100000-80000)/25000= 3,8

181) Considere los proyectos A y B:

Proyecto 0 1 2 TIR

A (4.000) 2410 2930 21%

B (2.000) 1310 1720 31%

El costo de oportunidad del capital es inferior al 10%. Utilice criterio TIR para de-

terminar qué proyecto deberían ser aceptados si: A.- pueden emprenderse ambos y

B.- si solo uno puede emprenderse.

A- Tir: 0= -6000+ 3720.(1+r)-1+4650.(1+r)-2 Tir = 0,245

B- En caso que uno solo se pueda llevar a cabo, se elige el proyecto b

182) Una inversión tiene un flujo de ingresos de $200 hoy, un flujo de egresos de

$300 al final del año 1 y un flujo de ingresos de $400 al final del año 2. ¿Cuál es su

tasa interna de rendimiento?

0 1 2

F.F.N. 200 (300) 400

_____________________________________________________________________________

90

Proyecto

0

50

100

150

200

250

300

350

0% 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9%10%

11%12%

13%14%

15%16%

17%18%

19%20%

21%22%

23%24%

25%26%

27%28%

29%30%

Tasa

VAN

Proyecto

No Hay TIR, pues el VAN nunca se hace 0.

183) Una empresa analiza dos proyectos independientes y excluyentes con las si-

guientes distribuciones de probabilidad discreta de los flujos de efectivo esperado

en cada uno de los 3 años de vida del proyecto.

A B

Flujo Probabilidad Flujo Probabilidad

3.000 0.10 2.000 0.10

3.500 0.20 3.000 0.25

4.000 0.40 4.000 0.30

4.500 0.20 5.000 0.25

5.000 0.10 6.000 0.10

La inversión inicial requerida es de $9.500 y la tasa de costo de oportunidad del

10%.

Se pide que determine para cada proyecto:

f) El valor actual neto esperado

g) La desviación estándar en torno al valor esperado

h) El coeficiente de variabilidad e interpretarlo

i) La probabilidad de que el VAN sea mayor a cero

j) Si la empresa acepta proyectos que maximicen el VAN esperado y menor riesgo,

¿Cuál elegiría?

Flujos Probabilidad VAN V.E. Varianza2

3000 0,10 -2039,44 -203,944 618437,318

3500 0,20 -796,01 -159,202 309213,685

4000 0,40 447,4 178,96 0

4500 0,20 1690,83 338,166 309223,63

5000 0,10 2934,25 293,425 618442,29

V.E. = 447,4 2

=1855316,92

Esperanza VAN = 447,4

2 Recordar que [2 = (X-V.E)2.Probabilidad]

______________________________________________________________________________

91

La suma de V.E. (que son los VAN, considerando a todos los flujos iguales, multipli-

cado por su probabilidad) es igual al VAN esperado.

Desvío Estándar = A = 1362,10

Coeficiente Variabilidad = A/V.E = 1362,10/447,4 = 3,044

La probabilidad que el VAN > 0 es: 0,4 + 0,2 + 0,1 = 70% ya que el VAN será

positivo si los flujos son de 4000 o más.

Alternativa B

Flujos Probabilidad VAN V.E. Varianza

2000 0,10 -4526,29 -452,2629 2474057,652

3000 0,25 -2039,44 -509,86 1546466,34

4000 0,30 447,4 134,22 0,027

5000 0,25 2934,25 733,56 1545732,72

6000 0,10 5421,11 542,111 2473480,70

V.E. = 447,7 2

=8039737,45

B = 2835,44

Coeficiente de Variabilidad = 2835,44/447,7 = 6,333

La probabilidad que el VAN > 0 es: 0,3 + 0,25 + 0,1 = 65%

Ambos proyectos tienen la misma media, pero el proyecto A tiene menos desvíos

estándar, es decir que los valores están más concentrados alrededor de la media

que es 447,4, lo que significa que es menos riesgoso. Como se ve en el gráfico.

Distribución

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

-2039.44 -796.01 447.4 1690.83 2934.25

VAN

Pro

bab

ilid

ad

Proyecto B

Pryecto A

_____________________________________________________________________________

92

184) Una empresa ha determinado la siguiente distribución de probabilidad discreta

para los flujos de fondos netos a generar por un proyecto bajo estudio.

Posible ingreso Probabilidad %

Año 1 Año 2 Año 3

1 0.50 0.20 0.00

2 0.10 0.10 0.50

3 0.40 0.70 0.50

La inversión inicial requerida es de $5 y la tasa mínima de aceptación es del 5%

anual.

Si la empresa acepta solamente aquellos proyectos rentables que tengan probabili-

dad superior al 90% de tener VAN positivo y además que el coeficiente de variabili-

dad no sea mayor al 0.6, ¿el proyecto debería realizarse?

0 1 2 3

(5) 1 0.5 1 0.2 1 0

3 0.1 3 0.1 3 0.5

4 0.4 4 0.7 4 0.5

V.E. (5) 2.4 3.3 3.5

VAN Esperado = 3.3

Posib 0 1 Prob. 2 Prob. 3 Prob. VAN Prob. V.E. Varianza 1 -5 1 0.5 1 0.2 3 0.5 -0.54907677 0.05 -0.0275 0.74167178 2 -5 1 0.5 3 0.1 3 0.5 1.26498218 0.025 0.03162 0.10377099 3 -5 1 0.5 4 0.7 3 0.5 2.17201166 0.175 0.3801 0.22358863 4 -5 3 0.1 1 0.2 3 0.5 1.35568513 0.01 0.01356 0.03789477 5 -5 3 0.1 3 0.1 3 0.5 3.16974409 0.005 0.01585 8.7913E-05 6 -5 3 0.1 4 0.7 3 0.5 4.07677357 0.035 0.14269 0.02099099 7 -5 4 0.4 1 0.2 3 0.5 2.30806608 0.04 0.09232 0.03954348 8 -5 4 0.4 3 0.1 3 0.5 4.12212504 0.02 0.08244 0.01344085 9 -5 4 0.4 4 0.7 3 0.5 5.02915452 0.14 0.70408 0.41746285

10 -5 1 0.5 1 0.2 4 0.5 0.31476082 0.05 0.01574 0.44628241 11 -5 1 0.5 3 0.1 4 0.5 2.12881978 0.025 0.05322 0.03442893 12 -5 1 0.5 4 0.7 4 0.5 3.03584926 0.175 0.53127 0.01242832 13 -5 3 0.1 1 0.2 4 0.5 2.21952273 0.01 0.0222 0.011725 14 -5 3 0.1 3 0.1 4 0.5 4.03358169 0.005 0.02017 0.00267355 15 -5 3 0.1 4 0.7 4 0.5 4.94061117 0.035 0.17292 0.09393727 16 -5 4 0.4 1 0.2 4 0.5 3.17190368 0.04 0.12688 0.00068058 17 -5 4 0.4 3 0.1 4 0.5 4.98596264 0.02 0.09972 0.05669149 18 -5 4 0.4 4 0.7 4 0.5 5.89299212 0.14 0.82502 0.93960468

Suma 1 3.30234 3.19690447

Desvío estándar: = 1,788

Coeficiente de Variabilidad: 1,788/3,3 = 0,54

Probabilidad VAN > 0 = Solo hay una posibilidad que el VAN < 0 = 0,05 por lo

tanto la probabilidad que VAN > 0 = 95%.

El proyecto puede aprobarse ya que el coeficiente de variabilidad es menor a 0,6, y

la probabilidad es superior a la pedida.

______________________________________________________________________________

93

_____________________________________________________________________________

94

Calculo Financiero Ejercicios Practicos

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