Ecuaciones Diferenciales Orinarias y Aplicaciones

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS Y APLICACIONES

F. Bautista, M. Romero, J. Saavedra y R. Bazán

Universidad Nacional José Faustino Sánchez Carrión

Facultad de Ciencias

Datos de catalogación bibliográfica

UNIVERSIDAD NACIONAL JOSÉ FAUSTINO SÁNCHEZ CARRIÓN

ISBN: En consulta

Formato: 210 x 297mm Páginas: 106

No está permitida la reproducción total o parcial de esta obra ni su tratamiento o transmisión por cualquier medio o método sin autorización escrita de la Editorial.

DERECHOS RESERVADOS

2013 respecto a la primera edición en español por:UNIVERSIDAD NACIONAL JOSÉ FAUSTINO SÁNCHEZ CARRIÓNAv. Mercedes Indacochea609 Huacho (Perú)

c

ISBN: En consulta

Depósito Legal: En consultaÚltima reimpresión, 2013

Edición en español:Editor: Diseño y Diagramación:

Este libro fue financiado con los recursos de FEDU.

F. BAUTISTA, M. ROMERO, J. SAAVEDRA Y R. BAZÁN

AGRADECIMIENTO

Agradecemos en forma muy especial a cada una de nuestras familias, reconocen el

esfuerzo en cada una de nuestras actividades académicas y que hacen de nuestro

trabajo investigación sea el más valorable aporte a la Ciencia. También

agradecemos a nuestros colegas del área de matemáticas autores de otros textos

universitarios que nos han servido de consulta para el desarrollo y culminación de

nuestro texto universitario.

LOS AUTORES

INDICE

Prólogo

Capítulo I: Conceptos básicos 1

1.1. Introducción 1

1.2. Definiciones 1

1.2.1. Ecuación diferencial 1

1.2.2. Clasificación según su tipo 1

1.2.3. Clasificación según el orden 2

1.2.4. Clasificación según la linealidad 3

1.3. Propiedades de una ecuación diferencial 3

1.4. Solución de una ecuación diferencial 4

1.5. Solución explícita 5

1.6. Solución implícita 5

1.7. Solución general de una ecuación diferencial 5

1.8. Solución particular 6

1.9. Problemas de valor inicial 10

1.10. Unicidad y existencia de la solución 13

Capitulo II: Ecuaciones diferenciales de primer orden 16

2.1. Introducción 16

2.2. Ecuaciones diferenciales de Variable separable 16

2.3 Ecuaciones reducibles a Variable Separable 26

2.4. Funciones Homogéneas 30

2.5. Ecuaciones diferenciales Homogéneas 31

2.6. Ecuaciones reducibles a Homogéneas 37

2.7. Ecuaciones diferenciales Exactas 44

2.8. Ecuaciones reducibles a Exactas 53

2.9. Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden 60

2.10. Ecuaciones diferenciales de Bernoulli 65

Capítulo III: Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales 72

3.1. Introducción

3.2. Aplicaciones a problemas geométricos 72

3.3. Aplicaciones al cambio de temperatura 74

3.4. Descomposición y crecimiento poblacional 78

Capítulo IV: Ecuaciones diferenciales Lineales de Orden “n” 83

4.1. Ecuaciones diferenciales Homogéneas con 83

coeficientes constantes

4.2. Ecuaciones diferenciales Lineales No Homogéneas 91

con Coeficientes Constantes

Referencia bibliográfica 106

Apéndice

PROLOGO

Este texto que presentamos está orientado básicamente para los estudiantes

de Ciencias Matemáticas, Física e Ingeniería, teniendo en cuenta que el estudio de

las Ecuaciones Diferenciales ordinarias es muy importante en la formación básica

de los estudiantes de Ciencia e Ingeniería, debido a que con frecuencia aparecen en

el estudio de los fenómenos naturales.

En este texto titulado Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y aplicaciones,

hemos usado la experiencia adquirida en la larga carrera de la docencia

universitaria, en el se presenta ejercicios resueltos y propuestos. La teoría se

expone en forma precisa y necesaria para la solución de los diversos ejercicios y

problemas presentados.

Para entender este texto los estudiantes tienen que tener conocimiento del

Cálculo Diferencial e Integral.

Este texto contiene en el primer Capítulo los Conceptos Básicos de

Ecuaciones Diferenciales, en el Capítulo II se estudia las Ecuaciones Diferenciales

Ordinarias de primer Orden, en el Capítulo III se presenta algunas aplicaciones que

son importantes y en el Capítulo IV se hace el estudio de las Ecuaciones

Diferenciales Lineales de Orden ”n”, en el apéndice se presenta el desarrollo de

ejercicios de Ecuaciones Diferenciales Lineales No Homogéneas con Coeficientes

Constantes.

LOS AUTORES

RESUMEN

En este texto se presenta el estudio de las Ecuaciones Diferenciales

Ordinarias de Primer Orden y sus aplicaciones, donde se consideran los

conceptos básicos como Ecuación Diferencial, clases de Ecuaciones

Diferenciales, Orden, Grado y solución de una Ecuación Diferencial.

También se estudian las Ecuaciones Diferenciales de Variable Separable y

reducibles a Variables Separables. Las Ecuaciones Homogéneas y

reducibles a Homogéneas. Las Ecuaciones diferenciales Exactas y

reducibles a Exactas; las Ecuaciones Diferenciales Lineales de primer orden

y las Ecuaciones Diferenciales de Bernoulli.

En las aplicaciones se ha considerado la aplicación a problemas

geométricos, al cambio de temperatura y a la descomposición y crecimiento

poblacional. También se hace el estudio de como se resuelve una Ecuación

Diferencial Lineal de Orden “n” Homogéneas y no Homogéneas de

coeficientes Constantes y por último se presenta la forma como se halla la

solución general de las ecuaciones diferenciales Lineales de orden “n”

aplicando el método de Variación de parámetros.

Los autores

1

CAPITULO I: CONCEPTOS BASICOS

1.1. INTRODUCCION

Las palabras ecuaciones y diferenciales nos hacen pensar en la solución de

cierto tipo de ecuaciones que tengan derivadas así como al estudiar algebra y

trigonometría se invierten bastante tiempo en resolver ecuaciones, como

con la variables x. Nosotros resolveremos ecuaciones como

para conocer la función desconocida Pero antes de

conocer cualquier tema es necesario conocer las definiciones y sus

terminologías.

1.2. DEFINICIONES

1.2.1. ECUACIÓN DIFERENCIAL

Una ecuación diferencial es una ecuación que contiene las derivadas de

una o más variables dependientes con respecto a una o más variables

independientes.

Las ecuaciones diferenciales se clasifican según su tipo, orden y

linealidad.

1.2.2. CLASIFICACIÓN SEGÚN SU TIPO

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIA (EDO):

Son aquellas ecuaciones que contienen derivadas ordinarias de una o

más variables dependientes con respecto a una sola variable

independiente.

2

( )

Ecuación diferencial para circuitos

eléctricos

Ecuación diferencial de caída libre

Ecuación diferencial de decaimiento

radiactivo

ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES (EDP):

Son las ecuaciones que contienen derivadas parciales de una función de

una o más variables independientes.

( )

Ecuación diferencial de Poissón

Ecuación diferencial de Laplace

(

)

Ecuación diferencial del calor

Ecuación diferencial de la fusión nuclear

1.2.3. CLASIFICACIÓN SEGÚN EL ORDEN

Pueden ser de primer orden, segundo orden, tercer orden, hasta de orden

“n” El orden de una ecuación diferencial esta dado por la mayor derivada

en la ecuación diferencial.

⏟

(

*

⏟

3

( )

Esta es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden

NOTA: Una ecuación diferencial ordinaria general se puede

representar por:

( ( ))

Por notación suponemos que la derivada de orden máximo, ( ) de

una ecuación diferencial se puede despejar quedando la ecuación:

( ) ( ( ))

1.2.4. CLASIFICACIÓN SEGÚN LA LINEALIDAD

Se dice que una ecuación diferencial de la forma ( ) ( ( ))

es lineal cuando es una función lineal de ( ) Esto significa que

una ecuación es lineal de orden “n”, si se puede escribir de la forma:

( )

( )

( )

( ) ( )

1.3. PROPIEDADES DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL LINEAL

La variable dependiente y todas sus derivadas son de primer grado es

decir que la potencia de todo termino donde aparece y es de primer

grado.

Los coeficientes solo dependen de x, que es la variable independiente.

Las funciones de y como ( ) no pueden aparecer en una

ecuación lineal.

4

Ejemplo de ecuaciones diferenciales lineales

( )

primer orden segundo orden tercer orden

Ejemplo de ecuaciones diferenciales no lineales

( )⏟

⏟

( )

⏟

primer orden segundo orden Cuarto orden

1.4. SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN LINEAL

Cuando una función ( ) definida en algún intervalo se sustituye en una

ecuación diferencial y transforma esa ecuación en una identidad, se dice que es

una solución de la ecuación en el intervalo.

Se dice que ( ) satisface la ecuación diferencial. El intervalo puede ser

abierto, cerrado, infinito, etc. Supondremos que ( ) es una función de valores

reales.

Por ejemplo:

SOLUCIÓN:

(

) (

)

(

)

5

1.5. SOLUCIÓN EXPLICITA DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL

Es una solución en la que la veriable dependiente se expresa tan solo en

terminos de la variable independiente y constantes, es decir que una solución

explícita ( ) es la cual podemos manipular (evaluar y diferenciar)

1.6. SOLUCIÓN IMPLICITA DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL

Una solución implícita de una ecuación diferencial, es una relación ( )

en un intervalo I , y define a una o mas soluciones implícitas en I .

Ejemplo:

( )

No se puede despejar en términos de x luego se puede hallar la derivada

implícitamente.

( )

( ) (

*

( )( ) ( )( )

Luego, esto verifica que es una solución de la ecuación diferencial.

1.7. SOLUCIÓN GENERAL DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL

La solución general de una ecuación deferencial es una función de la de la forma

( ) que contiene constantes arbitrarias.

6

La ecuación diferencial de orden “n”, ( ( )) en un intervalo I,

expresada en parámetros (n-parámetros) como la familia ( )

con valores adecuados para ( ) Tiene una solución general que es

una familia de soluciones.

El nombre de soluciones generales, solo se aplica a ecuaciones diferenciales

lineales.

1.8. SOLUCIÓN PARTICULAR DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL

Una solución particular es una solución donde se conocen los parámetros de

una solución general, es decir no tiene constantes arbitrarias.

-

7

EJERCICIOS PROPUESTOS:

En las siguientes ecuaciones, establezca si la ecuación diferencial es lineal o no

lineal, indique el orden de cada ecuación:

( ) ( )

( )

(

*

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

√ (

)

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

8

En los problemas siguientes, compruebe que la función indicada sea una solución

de la ecuación diferencial dada. En algunos casos suponga un intervalo adecuado

para que la solución sea valida. Indican constantes.

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

√

(√ )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) (

*

( ) √| | | |

( )

9

( )

( )

( )

( )( )

( ) ∫

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) | |

( ) ( ) ( ) | ( ) ( )|

( )

( ) ( ( ))

( ) ( )

( ) ( ) ( )

10

( )

( )

( )

1.9. PROBLEMAS DE VALOR INICIAL

Resolver un problema de ecuaciones diferenciales sujeta a condiciones

prescritas, que son las condiciones iníciales que se imponen a ( ) o a sus

derivadas, es hallar la solución de una ecuación en un intervalo que satisfaga

en las n condiciones iníciales.

Un problema con valor inicial se puede escribir de la siguiente manera:

( ( ))

{

( )

( )

( )( )

Donde son constantes reales especificadas arbitrariamente.

Si una ecuación diferencial es de primer orden se tendrá una sola condición

inicial.

( )

( )

Si una ecuación diferencial es de segundo orden se tendrá dos condiciones

iníciales

( )

11

{ ( )

( )

Para la solución de una ecuación diferencial de primer orden con la constante

“C” se tiene una familia de soluciones de las cuales solo una de las curvas pasa

le punto ( ) donde y esa es la solución particular.

Para la solución de una ecuación diferencial de segundo orden no sólo se pide

que pase por ( ) si no también que la pendiente en ese punto sea por la

segunda condición inicial( ( ) )

(𝑥 𝑦 )

𝑥

𝑦

Soluciones De La Ecuación Diferencial

Solución particular con la condición inicial 𝑦(𝑥 ) 𝑦 es decir (𝑥 𝑦 )

𝐼

(𝑥 𝑦 )

𝑥

𝑦

Soluciones De La Ecuación Diferencial

Solución particular con la condición inicial 𝑦(𝑥 ) 𝑦 es decir (𝑥 𝑦 ) 𝑦 (𝑥 ) 𝑦 Es decir 𝑚 𝑦

𝐼

𝑚 𝑦

12

La solución de una ecuación diferencial de orden n tiene una familia n -

paramétrica de soluciones de la ecuación diferencial dada para determinar n

constantes especificadas de tal manera que la solución se ajuste a la n

condiciones iníciales.

Ejemplo Resolver los siguientes problemas con valor inicial.

(01) Muestre que ( ) ( ) es una solución del problema con

valores iníciales.

( )

( )

Solución:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

Al verificar las condiciones iníciales tenemos:

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

Cumple los requisitos, por tanto y es una solución del problema con

condiciones iníciales.

(02) Determine una solución del problema con valor inicial, si

es una solución biparamétrica de soluciones de

13

{

.

/

.

/

.

/ .

/

⏟

⏟

⏟

Primero derivamos:

.

/ .

/

⏟

⏟

⏟

Por lo tanto:

1.10. EXISTENCIA Y UNICIDAD DE LA SOLUCIÓN

Al resolver un problema con condiciones iníciales surgen dos asuntos

fundamentales:

¿El problema tiene solución? Si tiene, ¿es única?

TEOREMA 1.1 Existencia y unicidad

Dado el problema con valor inicial

( ) ( )

Supóngase que:

( )

*( )| +

14

Que contiene al punto ( ) Entonces el problema con valor inicial tiene una

solución única ( ) en algún intervalo ⟨ ⟩

donde es un número entero positivo.

Ejemplo 01 Problema con valor inicial

( )

Examinar la función según el teorema 1.1

( )

que contenga al punto ( ) el problema con valor inicial tiene una solución única

según el teorema 1.1.

Ejemplo 02 Problema con valor inicial

( )

Examinar la función según el teorema 1.1

( )

REGIÓN RECTANGULAR

𝑑

𝑎 𝑏

𝑐

(𝑥 𝑦 )

𝑥

𝑦

𝑥 𝛿 𝑥 𝛿 𝐼

15

Rectángulo que contenga al punto ( ) el problema con valor inicial no tiene una

solución única según el teorema 1.1.

EJERCICIOS PROPUESTOS

En los problemas siguientes determine una región del plano para que la

ecuación diferencial dada tenga solución única que pase por el punto ( ) en la

región.

)

Rpta. Semiplanos definidos por y >0 o por y<0

)

√

)

Rpta. Semiplanos definidos por x >0 o por x<0

)

) ( ) Rpta. Las regiones definidos por y >2 , y<-2

o por -2 < y < 2

) ( )

) ( ) Rpta. Cualquier región que no contenga a (0,0)

) ( ) x

)

Rpta. Todo el plano xy.

)

( )

16

CAPITULO II: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE

PRIMER ORDEN

2.1. INTRODUCCION

Ya podemos resolver algunas ecuaciones diferenciales. Comenzaremos con las

de primer orden y veremos cómo hacerlo; el método dependerá del tipo de

ecuación. A través de los años, los matemáticos han tratado de resolver muchas

ecuaciones especializadas. Por ello hay muchos métodos; sin embargo, lo que

funciona bien con un tipo de ecuación de primer orden no necesariamente se

aplica a otros. En este capítulo nos concentraremos en ver como se halla la

solución de estas ecuaciones de primer orden.

2.2. ECUACION DE VARIABLES SEPARABLES

Se dice que una ecuación diferencial de primer orden, de la forma:

( ) ( )

es de variable separable, si se puede escribir en forma f(x)dx + g(y) = 0,

y cuya solución general se halla por integración directa de cada término de la

ecuación.

Dada la ecuación:

( ) ( )

Se expresa de la forma siguiente

( ) ( )

se separan las variables y obtenemos:

( ) ( )

17

Luego, integramos para hallar la solución general.

∫ ( ) ∫ ( ) ( ) ( )

Donde C es la constante de integración.

Ejemplo 01

( )

Solución:

( ) ( )

∫

∫

| | | | | | | |

| |

( )

( )

También se puede hacer

∫

∫

| | | | | | | | |

| | | |

|

( )

Ejemplo 02 Problema con valor inicial.

18

( )

Solución:

Primero separamos variables

∫ ∫

Es la ecuación de una circunferencia en forma general, aplicando la condición

general tenemos:

( ) {

( ) ( ) Solución

Particular.

Ejemplo 03

Resolver ( )

19

Solución:

También se puede resolver multiplicando por y dividiendo en

( )

( )

∫ ∫( ) ∫

( )

Observe que no puede ser condición inicial de este ejemplo.

Ejemplo 04 Problema con valor inicial.

( )

Solución:

Primero separamos variables

∫

∫

( ) |

|

|

|

Luego despejamos y:

20

Luego aplicamos la condición inicial ( ) {

( )

( )

( )

Al llegar a esta ultima igualdad debemos examinar con más cuidad la ecuación

diferencial. El hecho de que

( )( )

Queda satisfecha con dos funciones constantes, que son pero

en la solución se advierte que debe de excluirse a Luego en la

solución se puede tomar siendo

1) ( )

Solución

( ) ( )

( )

∫

∫(

*

2)

Solución

( )

( )

∫

∫

∫

( )

∫

( )

( ) ( )

21

( ) ( )

3)

√ √

Solución

√ √

√ ( √ )

( √ )

√

∫( √ )

∫

√ { √

} √

∫( )

√ ∫

( )

√

∫ ( )

∫

∫

√

∫ ( ) ( ) √

( ) ( ) √

√ ( ) (√ ) √

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ∫

( )

∫

( ) ∫

| |

| | ,( ) - ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

| |

Solución

22

( )

∫

∫( )

∫(

* ∫( )

∫(

* ∫( ) | |

| |

Remplazando las condiciones iniciales ( )

| |

| |


En los problemas siguientes resuelva la ecuación diferencial respectiva por

separación de variables.

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )( )

( )

( ) ( )

( )

( )

23

( )

( )

( )

( )

( )

( )( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

(

*

( )

(

*

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )

( )

( )

( )( )

( )

( )

( )

( )

24

( )

( ) ( ( ) ( ))

( ) ( )

( ) ( )

( ) √ ( ) √ ( )

( )( )

( )( √ )

√

En los siguientes problemas resuelva las ecuaciones diferenciales, sujeta a la

condición inicial respectiva.

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) .

/

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

En los siguientes ejercicios determine una solución de la ecuación diferencial

dada que pasa por los puntos indicados.

( )

( )( )( )( )( ) (

*

( )

( )( )( )( )( ) (

*

25

Con frecuencia, un cambio radical en la solución de una ecuación diferencial

corresponde a un cambio muy pequeño en la condición inicial o en la ecuación

misma. Compare las soluciones de los problemas de valor inicial respectivos

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) Caída Libre. Analizamos un modelo para un objeto que cae hacia la tierra.

Si sobre el objeto sólo actúan la resistencia del aire y la gravedad, se

observó que la velocidad debe satisfacer la ecuación.

Donde es la masa, es la aceleración debida a la gravedad y es

una constante, Si ⁄ ⁄ ( ) ⁄

encuentre ( ) ¿Cuál es la velocidad limite (es decir terminal) del objeto?

Donde: -bv es la resistencia del aire

26

V es la velocidad

Mg es la gravedad

( ) Interés Compuesto. Si ( ) es la cantidad de dinero en una cuenta de

ahorros que paga la tasa de interés anual de compuesta

continuamente, entonces

Suponga que el interés es de 5% anual, ( ) y no hay retiros.

(a) ¿Cuánto dinero habrá en la cuenta después de 2 años?

(b) ¿En qué momento tendrá en la cuenta $4000?

(c) Si se agrega $1000 a la cuenta cada 12 meses, ¿Cuánto dinero

habrá al cabo de 3,5 años?

2.3. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS REDUCIBLES A VARIABLES

SEPARABLES

Estas ecuaciones son de la forma siguiente:

( )

Donde: a, b y c son constantes, no son de variables separables.

Para resolver estas ecuaciones se hace un cambio de variables de la siguiente

forma:

27

(

*

Luego esta ecuación se resuelve por separación de variables:

( )

( ) ( ( ) )

( )

Esta ecuación esta lista para ser resuelta por separación de variables.

En forma de diferencial

( )

Luego, se remplaza en la ecuación:

⏟ ( )⏟

( ) ( ) ( )

, ( )-

( )

EJERCICIOS RESUELTOS

( )

28

∫ ∫

( )

( )

( )

( )

∫ ∫

∫ ( )

( )

( )

√

√

29

√ ∫

√ ∫

[ √ √

( )

( )

]

∫

( )

∫

∫

∫

( √ )

( √ )

( √ )

( √ )

(

√ *

( √ )

( )

Solución:

∫( ) ∫

( ) ( )

( )

30


En los problemas siguientes resuelva la ecuación diferencial respectiva

reduciendo a separación de variables.

( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( ) | | | | ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) √

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2.4. FUNCION HOMOGENEA

La función ( ) se llama homogénea de grado en las variables e si se

verifica la siguiente propiedad:

( ) ( )

Donde n es el grado de la función homogénea.

31


Determinar si las funciones siguientes son Homogéneas y diga cual es su grado

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) √

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .

/ (

*

2.5. ECUACION DIFERENCIAL HOMOGENEA

La ecuación diferencial de primer orden de la forma:

( )

Será homogénea respecto las variables x e y, si la función ( ) es homogénea

de grado cero respecto a x e y.

La ecuación diferencial:

( ) ( )

32

Será homogénea si ( ) ( ) son funciones homogéneas ambas y

del mismo grado en x e y.

Para hallar la solución general de las ecuaciones diferenciales homogéneas se

hace y = ux, de donde dy = udx + xdu y al remplazar en la ecuación diferencial

dada se convierte en una ecuación diferencial de variable Separable.

Ejercicios Resueltos:

1) Resolver la ecuación: 2(2x2 + y2)dx - xydy = 0

Solución

Como la ecuación diferencial es Homogénea, hacemos:

y = ux de donde dy = udx + xdu

Remplazando tenemos:

2(2x2 +u2x2)dx - ux2(udx + xdu) = 0 , de donde

(4x2 + 2u2x2 - u2x2)dx - ux3du = 0 , que es una ecuación de Variable

Separable de la forma:

x2(4 + u2)dx - x3udu = 0

de donde obtenemos:

Integrando tenemos:

Ln(x) – 1/2Ln( u2 +4) = Ln C, pero u = y/x

De donde, la solución general es:

X4 = C(4x2 + y2).

2) Resolver: (6x2 - 7y2)dx - 14xydy = 0

Solución

Como la ecuación diferencial es Homogénea, hacemos:

y = ux de donde dy = udx + xdu

Remplazando tenemos:

33

(6x2 - 7u2x2)dx - 14ux2(udx + xdu) = 0 , de donde

(6x2 + 21u2x2)dx - 14ux3du = 0 , que es una ecuación de Variable Separable

de la cual obtenemos:

De donde resulta la solución general siguiente:

2x3 - 7xy2 = C

( ) .

/

.

/

( ) [

] ( )

( )

( )

( )

( ) ∫

( ) ∫

∫ ( )

∫

( ) .

/

( )

√

√

√ ∫

√ ∫

0 √ 1

√

√.

/

√.

/

34

( ) .

/

.

/ .

/

Solución:

reemplazando

( ) [

] ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

∫ ( ) ∫

.

/ .

/

. /

( )

Solución:

(

*

35

∫

( ) ∫

( )

( )

( )

( )

( )

∫

∫

∫

( )

( )

(

*

( )

( )

36


Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales Homogéneas.

( )

( ) ( )

( )

. /

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) |

| |

| ( ) ( ) ( )

( )

( )

.

/

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( √ ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

. /

( )

( )

√

( )

( )

37

2.6. ECUACIONES DIFERENCIALES REDUCIBLES A HOMOGÉNEAS

Las ecuaciones diferenciales de la forma siguiente:

(

* ( )

Donde a, b, c, son constantes.

Que no es Homogénea se puede reducir a Homogénea, siguiendo los pasos

siguientes:

1. Se halla el punto de intersección de las rectas:

{

Resolviendo estas ecuaciones como un sistema de ecuaciones

Luego, se hace:

Donde (h, k) es el punto de intersección de las rectas

1. Esto se sustituye en (1) quedando:

(

( ) ( )

( ) ( ) )

(

⏞

⏟

,

Y se consigue la Ecuación homogénea de grado 0:

(

*

2. Esta ecuación se resuelve con la sustitución

Si las dos rectas no se interceptan (o sea son paralelas), entonces esta es una

ecuación homogénea directa que definimos anteriormente.

( )

Y por tanto, para hallar la solución general se hace la sustitución lo

cual quiere decir que ; esta sustitución convierte la Ecuación

Diferencial (1) en una Ecuación Diferencial de variables separables.

38


Resolver las ecuaciones diferenciales siguientes:

( )

Solución:

{

{

{

2

Sea el cambio de variable

{

{

{

Reemplazando se tiene:

( ) ( )

( ) ( )

Ahora esta ecuación es homogénea

Remplazando

Separando variables se tiene:

39

( )

∫

∫

∫

| |

Reemplazando u y z se tiene

(

* | (

*

| | |

( ) ( ) ( )

Solución:

{

{

{

2


{

{

{


( ) ( )

( ) ( )


Reemplazando

40


( )

∫

( )

∫

| |

| |

Reemplazando u y z se tiene

| |

|(

*

(

* |

( )

(

*

Solución:

{

{

{

2


{

{

{


*

( ) ( )

( ) ( ) +

(

*


41

Remplazando

(

*

( )

( )

( )

( )

( )( )

( )


( )

( )( )

∫

( )

( )( ) ∫

Resolviendo por fracciones parciales

( )( )

( ) ( ) ( ) Comparamos los

grados

{

2

2

∫

∫

| | ∫

∫

| | | | ∫

( )

| | | | *

√ |

√

√ |+

42

|

|

√ |

√

√ |

Remplazando u y z se tiene

|. /

. /

|

√ |

√

√

|

| |

( )

Solución

{

∫

( )

∫

∫

∫

∫

, -

, -

, ( )- ( )

43

( ) [ .

/

] 0

1

( ) *( )

( ) + 0

1

( ) 0

1


En los problemas siguientes resuelva la ecuación diferencial reduciendo a una

ecuación diferencial homogénea

( )

( )

(

*

( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

44

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( )( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2.7. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS EXACTAS

Una ecuación diferencial de primer orden es de la forma:

( ) ( ) ( )

Es exacta si su primer miembro:

( ) ( )

Es la diferencial exacta o total de una cierta función ( ) es decir:

( ) ( ) ( )

La diferencial exacta de ( ) es:

Por comparación tenemos:

( ) ( )

( )

( )

45

Si M y N tienen primeras derivadas parciales continuas, entonces:

Ademas para la solución tenemos que ( ) ( )

Entonces

Luego ( ) .

El proceso para hallar la solución general es:

(01) Primero debemos comprobar que ( ) ( ) sea exacta,

es decir:

(02) Debemos aplicar la condición necesaria

( ) ( ) ∫ ∫ ( )

( ) ∫ ( ) ( ) ( )

( )

[∫ ( ) ( )]

( )

[∫ ( ) ( )]

46

Este último paso permite calcular de valor de ( ) que se reemplazara en

(2), para obtener:

( )

∫ ( ) ( )

EJERCICIOS RESUELTOS:


( ) ( )⏟ ( )

( )⏟ ( )

Solución

Primero veremos si la ecuación dada es homogénea

Entonces existe la función F(x, y) = C, talque cumple que:

( )

( )

Entonces tenemos, que:

( ) ∫ ∫( )

( )

( )

( )

Luego se tiene: ( )

( ) ( )

( )

47

( ) ( )⏟ ( )

( )⏟ ( )

Solución

Tenemos que:

Entonces existe F tal que cumple:

( )

( )

Luego tenemos:

( )

∫ ∫( )

( ) ( )

( )

Luego se tiene:

( )

( ) ( )

( )

( )

48

Solución:

( )⏟ ( )

( )⏟ ( )

Tiene que cumplir:

( )

( )

( )

∫ ∫( )

( )

( )

Derivando

( )

Luego se tiene:

( )

( ) ( )

( )

( ) .

/ ( )

Solución:

.

/

⏟ ( )

( )⏟ ( )

49

Tiene que cumplir:

( )

( )

.

/

∫ ∫.

/

( )

( )

Derivando

( )

Luego se tiene:

( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) , ( ) -

Solución:

( ) ⏟ ( )

, ( ) -⏟ ( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

50

( )

( )

Tiene que cumplir:

( )

( )

( ) ( )

∫ ∫( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

Derivando

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

Luego se tiene:

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

Usando las condiciones iniciales

( )

( )

( )

51


En los problemas siguientes resuelva las que son ecuaciones diferenciales exactas

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) (

*

( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) (

*

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) .

/ ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) (

* (

*

( )

( ) (

*

( )

( ) ( ( ))

( ) ( )

( ) ( ( ) ( )) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

52

( ) (

* (

*

( ) ( ) ( )

Resuelva cada ecuación diferencial sujeta a la condición inicial indicada.

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) (

)

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) (

*

( ) ( )

En las siguientes ecuaciones determine el valor de k para que la ecuación diferencial

correspondiente sea exacta.

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ( ))

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) Deduzca la función ( ) tal que la siguiente función sea exacta:

( ) ( ) (

*

( ) ( ) ( ( ) ( ))

( ) ( ) ( ( ) ( ) )

( ) Deduzca la función ( ) tal que la siguiente función sea exacta:

( ) (

* ( )

53

( ) ( ( ) ) ( )

( ) ( ) ( )

2.8. ECUACIONES DIFERENCIALES REDUCIBLES A EXACTA

Una ecuación diferencial de primer orden es de la forma:

( ) ( ) ( )

Que no sea exacta se puede reducir a exacta multiplicando por un factor

integrante ( )en la ecuación (1) quedando

( ) ( ) ( ) ( )

Es decir esta ecuación diferencial ya es exacta, el procedimiento de solución ya lo

conocemos.

METODO DE SOLUCION

(01) Primero debemos comprobar que ( ) ( ) no sea exacta,

es decir:

(02) Luego debemos encontrar el factor integrante para lo cual usaremos el

siguiente teorema

FACTOR DE INTEGRACION ESPECIAL

(

*

( ) ∫ ( ) ( ) (

*

54

(

*

( ) ∫ ( ) ( ) (

*

(03) Luego este factor integrante se multiplica a la ecuación (1) quedando esta

ecuación como una ecuación exacta.


Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales

( ) ( ) ( )

Solución

( )

( ) ( )

Luego buscamos el factor de integración

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

∫

55

(

* ( )

( )

( )

∫ ∫(

*

( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

Luego, remplazamos g(y) para obtener la solución general:

( ) ⏟ ( )

. /⏟ ( )

Solución

( )

( )

( ) ∫ ( )

⏟ ( )

. /⏟ ( )

56

Tiene que cumplir:

( )

( )

( ) ∫ ∫( )

( ) ( )

( )

Luego se tiene: ( )

( ) ( ) ∫

{

}

( ) {

∫

} ( )

( )

( ) ⏟ ( )

( )⏟ ( )

Solución

Primero probamos que:

( )

( )

( )

∫

( )

57

⏟ ( )

( )⏟ ( )

Tiene que cumplir:

( )

( )

( ) ∫ ∫( )

( ) ( )

( )

Luego se tiene: ( )

( ) ( ) ∫( ) ( )

( )

( ) ( )⏟ ( )

( )⏟ ( )

Solución

Vemos que:

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

58

( ) ∫

( )

(

*

⏟ ( )

(

*

⏟ ( )

Tiene que cumplir:

( )

( )

(

* ∫ ∫(

*

( )

( )

( )

Luego se tiene:

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )⏟ ( )

( )⏟ ( )

Solución

Vemos que:

59

( )

( )

( )

( ) ∫ ( )

( )⏟ ( )

( )⏟ ( )

Tiene que cumplir:

( )

( )

( )

∫ ∫( )

( ) ( )

( )

Luego se tiene:

( ) ( ) ( )

( )

60


En los problemas siguientes resuelva las que son ecuaciones diferenciales reducibles a

exactas

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2.9. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN

Una ecuación diferencial ordinaria es:

( )

( ) ( ) ( )

Donde: ( ) ( ) ( ) son funciones de o constantes.

( )

( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

A esta ecuación la llamaremos una ecuación diferencial lineal de primer orden

Donde:

61

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

Se quiere determinar ( ) multiplicando a la ecuación (2)

De modo

( )

( ) ( )⏟

( )

⏟

( ( ) )

( ) ( )

Luego:

( ( ) ) ( ) ( )

( ( ) ) ( ) ( ) ∫ ( ( ) ) ∫ ( ) ( ) ( )

∫ ( ) ( )

( )∫ ( ) ( )

Por lo tanto la solución general es::

∫ ( ) [∫ ∫ ( ) ( ) ]

Hallamos ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

∫

( ) ∫ ( )

, ( )- ∫ ( ) ( ) ∫ ( )

62


Resolver las ecuaciones diferenciales Lineales

( )

Solución:

Como vemos que la ecuación diferencial es Lineal en y e x.

La solución general es:

∫

[∫

∫ ]

[∫ ]

[∫ ]

[

]

( ) La corriente , en amperios, en un circuito eléctrico satisface la ecuación

diferencial:

Donde es el tiempo. Si donde , encuentre como función del tiempo.

Solución:

Sabemos que:

63

Se busca el factor integrante ( )

( ) ∫

( )

Multiplicamos a todo por

⏞

⏞

⏞

⏞

, -

∫ , - ∫

Integrando por partes forma especial

[

]

Usando las condiciones iniciales donde se tiene:

[

]

( ) (

+


Resolver las ecuaciones diferenciales Lineales siguientes

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

64

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

.

/

√

( )

( )

( ) 2

( )

( ) ( )

( )

( ) 2

( )

En los problemas siguientes resuelva las que son ecuaciones diferenciales Lineales

( ) ( )

( ) √ √ √

( ) ( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

(25) El suministro de glucosa al torrente sanguíneo es una técnica importante para

detectar la diabetes en una persona. Para estudiar este proceso definimos ( )

65

como la cantidad de glucosa presente en la sangre de un paciente en el tiempo

supongamos que la glucosa se suministra al sistema sanguíneo a una tasa

constante

Al mismo tiempo la glucosa se transforma y se separa de la

sangre a una tasa proporcional a la cantidad de glucosa presente. Construir la

ecuación diferencial. y resuélvala. Hallar ( ) cuando

(26) Hallar la solución general en términos de ( ) de la ecuación diferencial

( )

( ) ( )

2.10. ECUACIONES DIFERENCIALES DE BERNOULLI

Es una ecuación diferencial de la forma:

( ) ( ) ( )

Con: se llama ecuación diferencial de Bernoulli.

Se observa que está, no es una ecuación diferencial lineal.

Para hallar la solución se trasforma en una ecuación lineal para lo cual

presentamos el siguiente procedimiento:

1º Se divide entre a toda la ecuación, quedando:

( ) ( )

( )

66

3º Damos la forma para el cambio de variable multiplicando a la ecuación por

( ) quedando:

( )

( ) ( ) ( ) ( )

4º Reemplazamos:

( ) ( ) ( ) ( )

5º Esta ya es una ecuación diferencial lineal.

( )∫ ( ) [∫ ( )∫ ( ) ( ) ( ) ]

Luego la solución será:

( )∫ ( ) [∫ ( )∫ ( ) ( ) ( ) ]


Resolver las ecuaciones diferenciales:

( )

√

( ) ( )

Solución

La ecuación lo escribimos como:

.

67

Que es una ecuación diferencial Lineal, cuya solución es:

∫

[∫

∫ ] [∫ ]

[∫ ] √ 0

1

√ ∫ √ | |

( )

√

( ) ( )

Solución

Procedemos del mismo modo del ejemplo anterior

∫

[∫

∫

] [

∫ ]

[∫ ] √ [∫

] √ , -

√ , -

( )

Solución:

68

∫ *∫

∫ +

[∫ ] [∫ ]

Reemplando

, -

( )

( )

Solución:

∫

[∫ ∫

]

| | [∫ | | ]

( ) [∫( ) ]

( ) [∫( ) ]

( )

( )

( )

Solución:

( ) ( )

69

∫ [∫

∫ ( ) ] [ ∫ ]

[∫ ] , -

( )

Solución:

( ) ( )

∫

[∫

∫ ( ) ] [ ∫ ]

[ ∫

]

, -

∫ ∫ ∫

{

}

70

∫

EJERCICIOS POROPUESTOS

En los problemas siguientes resuelva las que son ecuaciones diferenciales de Bernoulli

( )

( )√ ( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

Resuelva las que son ecuaciones diferenciales de Bernoulli con condiciones iníciales.

( )

( )

( )

( ) ( ) ( ) √

( ) ( ) ( ) ( )

( )

71

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) , ( ) ( ) -

72

CAPITULO III: APLICACIONES DE LAS ECUACIONES

DIFERENCIALES

3.1. INTRODUCCION

En esta sección nos concentraremos en la formulación de ecuaciones

diferenciales como modelos matemáticos. Una vez examinados algunos

métodos con frecuencia se desea describir el comportamiento de algún sistema

o fenómeno de la vida real en términos matemáticos; dicho sistema puede ser

físico, sociológico o hasta económico. La descripción matemática de un sistema

o fenómeno se llama modelo matemático y se forma con ciertos objetivos en

mente; por ejemplo, podríamos tratar de comprender los mecanismos de cierto

ecosistema estudiando el crecimiento de las poblaciones de animales, o

podríamos tratar de fechar fósiles analizando la desintegración de una sustancia

radiactiva, sea en el fósil o en el estrato donde se encontraba.

3.2. APLICACIÓN A PROBLEMAS GEOMETRICOS

Los problemas geométricos ofrecen una gran cantidad de ecuaciones

diferenciales teniendo en cuanta a las rectas tangentes y normales como se

plantea el siguiente modelo:

Se una curva descrita por la ecuación:

( )

Tomamos:

Sea ( ) cualquier punto de la recta tangente

Sea ( )un punto de tangencia en la curva

Sea una recta tangente a si ( ) es cualquier punto de

tangencia de la recta tangente, entonces la ecuación de la recta tangente es:

( )

|

73

Sea una recta normal (perpendicular) a en el punto ( ),

entonces la ecuación de la recta Normal es:

( )

En el siguiente grafico podemos observar lo dicho anteriormente.

𝛼

𝜃

𝑃(𝑥 𝑦 )

B A

𝑇

𝑁

𝑥

𝑦

𝑦

𝐶(𝑥 )

74

3.3. APLICACIÓN AL CAMBIO DE TEMPERATURA

La ley de enfriamiento de Newton establece, que la rapidez de cambio de

temperatura de un cuerpo en cualquier tiempo t, es proporcional a la diferencia de

temperaturas del cuerpo y del medio ambiente en el tiempo t.

Esto es:

( ) o

( )

Ya sea que aumente o disminuya, donde es la constante de proporcionalidad:

Si

( ),entonces

( ), que es una ecuación lineal de

primer orden y su solución se halla Integrando esta ecuación con la condición que

la temperatura ambiente es constante.

Obtenemos la relación lineal siguiente.

Problema aplicativo Nº 01

Una varilla de acero corrugado a una temperatura de se pone en cuarto a

una temperatura constante de . Después de 20 minutos la temperatura de la

barra es de .

¿Cuánto tiempo tardará la barra para llegar a una temperatura de ?

¿Cuál será la temperatura de la barra después de 10 minutos?

Solución:

Sea ( ) la temperatura de la barra al tiempo , luego ( ) y ( )

. La temperatura del medio ambiente, , es . Nótese que

es l

velocidad a la que se enfría la barra.

Por la ley de enfriamiento de Newton se tiene que:

( )

75

Y como , este problema queda formulado con la siguiente ecuación

diferencial y sus condiciones

( )

( )

La solución general ya es conocida

( )

Como ( ) se tiene que:

( )

Cuando ( ) resulta:

La ecuación resultante quedaría:

( )

Rptas:

a) El tiempo necesario para que la temperatura de la barra sea de

( )

La barra tardará 40 minutos en alcanzar una temperatura de .

b) La temperatura de la barra después de 10 minutos es igual a

76

( ) (

*

( )

La temperatura de la barra después de 10minutos será aproximadamente de

.


Una taza de café cuya temperatura se coloca en cuarto cuya

temperatura es . Dos minutos más tarde la temperatura del café es

.

¿Después de cuánto tiempo la temperatura del café será ?

Solución:

Datos:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( ( ))

→

( )

77

6° 2’ 7.46” Rpta.


Un cuerpo a una temperatura desconocida se pone en un refrigerador a una

temperatura constante de . Si después de 20 minutos la temperatura del

cuerpo es de y des pues de 40 minutos a temperatura del cuerpo es de

, hallar la temperatura inicial de éste.

Solución:

Denotemos nuevamente con ( ) a la temperatura del cuerpo en u instante dado.

Así ( ) , ( ) , y

es la velocidad con que se enfría el cuerpo.

Ahora la temperatura constante del medio ambiente es

( )

( )

( )

La solución general de la ecuación diferencial es:

( )

Para obtener y utilizamos las condiciones iniciales dadas, como siempre.

( )

( )

De donde:

78

Aplicando logaritmo natural a las ecuaciones anteriores:

De aquí que:

Sustituyendo en y hallando :

Obtenemos la ecuación:

( )

.

/

( )

(

*

⁄

Rptas:

La temperatura inicial del cuerpo era aproximadamente .

3.4. DESCOMPOSICION Y CRECIMIENTO POBLACIONAL

3.4.1. CRECIMIENTO POBLACIONAL

Sea ( ) el numero de individuos en el timpo . La ley de Malthus de

crecimiento de poblaciones dice que la razon de cambio de la población

es proporcional al numero de individuos en ese tiempo, es decir:

( )

79

Este modelo lineal para crecimientode poblaciones, son satissfactorios

siempre que la población no sea demasiado grande o bien que no se

aplique a un futro distante.

Cuando la poblacion es demasiado grande, este modelo matematico no

puede ser exacto, ya que no refleja el hecho de que los individuos

compiten entre si por el limitado espacio vital, por recursos naturales,

etc. Asi pues, hay que agregar un termino de competicion para que el

crecimiento de la poblacion esté representado en forma mas realista.

Una eleccion adecuada del termino competitivo es , llamda ley de

logistica(Verhulst, en 1837):

Ahora bien, en general la constante es muy pequeña comparada con ,

de tal modo que si no es demasiado grande entonces el termino

es insignificante comparado con . Sin embargo, si es grande

entonces el termino debe tomarse en cuenta ya que dismnuye la

tasa de crecimiento.


La aparición de salitre en estructuras de concreto armado cerca a las

orillas del mar se ve incrementando muchísimo al pasar del tiempo. Si se

tuvo una cierta cantidad de salitre . Después de 5 días se observó que

aumento en un 100 por ciento y después de 8 días 400 por ciento.

Encontrar la expresión para la cantidad de salitre presente en estructuras

de concreto al tiempo y el porcentaje que había originalmente de salitre.

Solución:

Sea ( ) la cantidad de salitre que hay en días. De ahí que ( ) y

( ) y

es la velocidad a la que se incrementa el salitre.

80

Por la ley de maltusiana este problema se formula de la siguiente

manera:

( )

( )

Cuya solución integrada es conocida:

( )

Como ( ) se tiene que:

( )

Cuando ( ) resulta:

( )


( )

Hallan , si ( )

( )


( )

Rpt: El porcentaje que habia inicialmente aproximadamente es de 9.9213

porciento .


En un cultivo de bacterias se tenían número de familias. Después de

una hora se observaron en el cultivo 1000 familias de la bacteria y

después de cuatro horas, 3000 familias. Encontrar la expresión para el

81

número de familias de la bacteria presentes en el cultivo al tiempo y el

numero de familias de la bacteria que había originalmente n el cultivo.

Solución:

Sea ( ) la cantidad de familias de la bacteria que hay en horas. De ahí

que ( ) y ( ) y

es la velocidad a la que crece el

cultivo de bacterias.

Por la ley de maltusiana este problema se formula de la siguiente

manera:

( )

( )

Cuya solución integrada es conocida:

( )

y considerando las ecuaciones iniciales se tiene que:

( )

Rpta.

Es la expresión que nos da el número de familias presentes en un

momento .

Observamos que el número de familias que había originalmente en el

cultivo es

( ) Familias


Una población de cierta comunidad aumenta con una razón proporcional a

la cantidad de personas, si la población se duplico en 5 años ¿en cuanto

tiempo se va a triplicar la población?

82

( )

( )

Como:

( )

Cuando

( ) Por lo tanto : ( ) ( )

( )

Entonces:

( )

( )

Aplicando logaritmo natural:

Hallando

( )

Rpta:

La población se triplicara en 7.85 años

83

CAPITULO IV: ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE

ORDEN “n”

La forma general de escribir una ecuación diferencial es la siguiente:

an(x).yn + an-1(x).yn-1 + an-2(x)yn-2 + …. + a1(x)y¡ + a0(x)y = R(x) (1)

donde, a0, a1, a2, … , an y R son funciones solo de x, por lo que recibe el nombre

de ecuación diferencial Lineal no Homogénea con coeficientes variables.

Si en la ecuación (1) el segundo miembro es igual a cero, se obtiene la ecuación

an(x).yn + an-1(x).yn-1 + an-2(x)yn-2 + …. + a1(x)y¡ + a0(x)y = 0 (2)

Que recibe el nombre de Ecuación diferencial Lineal Homogénea con coeficientes

variables.

Si en la ecuación (2) los a0, a1, a2, … , an son constantes, la ecuación se llama

Lineal Homogénea con coeficientes constantes.

4.1. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES HOMOGENEAS CON

COEFICIENTES CONSTANTES

La forma general de escribir estas ecuaciones es:

an.yn + an-1.y

n-1 + an-2.yn-2 + …. + a1.y

¡ + a0.y = 0

Para hallar la solución general de esta ecuación, se recurre al llamado

polinomio característico de la forma:

P(r) = an.rn + an-1.r

n-1 + an-2.rn-2 + …. + a1.r + a0. = 0 ,

84

Donde, yn = rn.

Al resolver la ecuación an.rn + an-1.r

n-1 + an-2.rn-2 + …. + a1.r + a0. = 0, se

obtiene “n” raíces de la forma r1, r2, r3, …, rn , las cuales pueden ser reales

iguales, reales diferentes y raíces complejas.

Si las raíces son todas reales diferentes, la solución general tiene la forma:

Yg = C1 + C2 + C3 + … + Cn .

Si las raíces son reales iguales todas, la solución general tiene la forma:

Yg = C1 + C2 + C3 + … + Cn .

Si las raíces del polinomio característico son complejas, la solución general

de la ecuación tiene la forma:


( )

Solución:

Primero hallamos la raíces del polinomio característico

( )

( )

Luego la solución general es:

85

02) Se da la solución de una ecuación diferencial. Determine la solución general

si:

a) ( ) ( )

Solución:

Es solución es solución, También es solución.

Luego es un factor de la solución.

Luego formamos la ecuación característica:

.

Luego dividimos entre el factor hallado para encontrar los otros factores.

Encontrando el factor

Quedando:

( )( )

√

Luego las raíces son:


⁄

⁄

3) Determine una función ( ) tal que ( )( ) ( )( ) para todo donde

( ) ( ) ( ) ( )

Solución:

Sea la ecuación diferencial ( )( ) ( )( )

86

Luego formamos la ecuación característica:

Resolviendo la ecuación

Multiplicidad 3

( )


( )

Usando las condiciones iniciales tenemos:

La primera condición

( ) Reemplazando en (1)

( ) ( )

( )

La segunda condición

( )

Derivamos a (1)

( )

Reemplazamos la condición inicial en (2)

( )

( )

La tercera condición

( )

Derivamos a (2)

( )

Reemplazamos la condición inicial en (3)

( )

La cuarta condición

( )

Derivando a (3)

( )

87

Reemplazando la condición

( )

Reemplazando ( ) en ( )

Reemplazando ( ) en ( )

Reemplazando (( ) en ( )

Luego la solución queda:

4) Encuentre la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales

homogénea de coeficiente constantes

a) ( )

Solución:

Formaron la ecuación característica

( )

( ) ( )


b)

Solución:


√

√

√

88

√ √


( √ )

( √ )

c) ( )

Solución:

( )


( )( )


d) ( ) ( )

Solución:


( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )( )

( )

√

√

√

√

√

89


( )

√

( )

√

e) ( ) ( )

Solución:


Factorizando obtenemos las raíces siguientes:


(

)


Encuentre la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales

homogénea de coeficientes constantes

1)

2)

3) ( )

4)

5)

6)

7)

8)

9) ( )

10) ( )

11) ( )

12) ( )

13) ( )

90

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20) ( ) ( ) ( ) ( )

21) ( ) ( ) ( ) ( )

Resuelva cada una de las ecuaciones diferenciales sujeta a las condiciones

iniciales indicadas.

1) ( ) ( )

2) ( ) ( )

3) ( ) ( )

4) ( ) ( ) ( )

5) ( ) ( ) ( ) ( )

6) ( ) ( ) ( )

La reducción de orden se generaliza de las ecuaciones de segundo orden a las

de orden superior. Resulta particular simple en el caso de coeficientes

constantes, ya que entonces basta dividir las ecuaciones características

donde es una solución conocida. Reducir y resolver las siguientes

ecuaciones, usando dado:

1)

2) ⁄

3) ( ) ( )

4)

5)

6)

91

4.2. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES CON COEFICIENTES CONSTANTES

NO HOMOGÉNEAS

La forma general de escribir esta ecuación es:

an.yn + an-1.y

n-1 + an-2.yn-2 + …. + a1.y

¡ + a0.y = R(x) (1)

La solución general de esta ecuación diferencial, es la suma de la solución

general de la ecuación diferencial Homogénea Yg más la solución particular

Yp de la ecuación diferencial no Homogénea, es decir:

Y = Yg + Yp.

Por lo tanto el problema es al final hallar Yp de la ecuación no homogénea,

para eso consideraremos los casos siguientes:

Primer Caso: Cuando el segundo miembro de la ecuación es un polinomio

de grado “n”, es decir:

R(x) = Pn(x), entonces:

a) Si r = 0 , no es raíz del polinomio característico, entonces la solución

particular tiene la forma

Yp = p*n(x)

b) Si r = 0, es raíz del polinomio característico, entonces Yp tiene la forma

Yp = xs p*n(x), donde s es la multiplicidad de r = 0.

Segundo Caso: Cuando R(x) = pn(x), entonces:

a) Si r = no es raiz del polinomio característico, entonces la solución

particular tiene la forma:

Yp = p*n(x),

92

( )

( )

(

)

( )b) Si r = , es raíz del polinomio característico, entonces

Yp tiene la forma

Yp = xs c donde s es la multiplicidad de r = .

Tercer Caso: Cuando R(x) = pn(x)cos + Qm(x) , entonces.

a) Si r = i , no es raiz del polinomio característico, entonces la

solución particular tiene la forma:

Yp = Pk(x)cos + Qk(x)

Donde k = Max(m, n)

b) Si r = i , es raíz del polinomio característico, entonces la solución


Yp = xs( Pk(x)cos + Qk(x) )

Donde s es la multiplicidad de la raíz r = i y k = Max(m, n)

Cuarto caso: Cuando R(x) = (pn(x)cos + Qm(x) ), entonces:

a) Si r = i , no es raíz del polinomio característico, entonces la

solución particular tiene la forma:

R(x) = (pk(x)cos + Qk(x) ),

Donde k = Max(m, n)

b) Si r = i es raíz del polinomio particular, entonces la solución


Yp = xs( (pn(x)cos + Qm(x) ))

Donde s es la multiplicidad de la raíz r = i y k = Max(m, n)

93



( )

Solución

Primero hallamos la solución complementaria de la ecuación Homogénea, para

luego hallar la solución particular de la ecuación dada

( )

( ) ( )

( ) {

( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

Remplazando:

, ( ) - , ( ) - ( )

, -

, -

94

(

*

(

*

( )

Solución

{

( ) ( )

{

{

( )

Solución:

( )

No se agrega

Luego la solución complementaria es:

( )

Remplazando:

95

( )

( ) (

*

{

( )

Solución:

{

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

,

( ) ( )

( )

( ) ( )

(

)

La solución general es:

(

)

96

4) Encuentre la solución particular de la ecuación dada.

a)

Solución:

Primero formamos a ecuación característica

( )( )

Hallamos la solución particular, luego sus derivadas para remplazar y hallar

su coeficientes

Remplazando en la ecuación

Luego la solución general es luego se tiene:

97

b)

Solución:


( )

La solución complementaria es:

⁄

⁄

Ahora formamos la Solución parcial si ( )

( )

Derivando

( )

( )

Remplazando las derivadas en la ecuación diferencial

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

Entonces ( )


⁄

⁄ ( )

c)

Solución:


98

√

√



Derivando

( ) ( ) (

)

Remplazando las derivadas en la ecuación diferencial

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )⏟

,

,


99

d)

Solución:


( )( )



( )

( )

Derivando

( ) ( ) , ( ) -

( ) ( )

( )

, ( ) ( )-

Ordenando las ecuaciones para sumar

( )

( ( ) )

( ( ) )

,( ) ( )-

( ) ,( ) ( )-

100

(

)


(

)

e) ( ) ( )

Solución:


( ) ( )

Solución complementaria

( )

( )( )

Luego eliminamos los operadores en la ecuación diferencial

( )

Solución particular si ( )

( ) ( )

( )

( )

Derivando

( ) ( )

( ) ( ) ( )

101

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

Formamos el sistema de ecuaciones para sumar

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

Comparamos los coeficientes de esta identidad

102

Remplazando en la solución particular

(

*


(

*

f)

Solución:


Solución complementaria

Luego formamos la solución particular si ( )

Remplazando

103


g)

Solución:

Usamos las identidades

( )

(

*

( )

Quedando la ecuación de la siguiente manera


Encontrando la ecuación complementaria

Ordenado para sumar:

⏟

⏟

104

De donde resulta:



Encuentre la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10) ( )

11) ( )

12)

105

13)

14)

15) ( )

16)

17)

18)

ABREVIATURAS

P(r) se denomina polinômio característico

106

GLOSARIO DE TERMINOS

Ecuación Diferencial: Ecuación que contiene la derivada o diferencial de una

función desconocida llamada solución de la ecuación.

Ecuación Diferencial Ordinaria: Cuando la función desconocida, llamada

solución depende de una sola variable independiente.

Ecuación Diferencial Parcial: Cuando la función desconocida, llamada solución

depende de más de una variable independiente.

Función Homogénea: Una función en dos variables es homogénea, cuando cumple

la igualdad f(x, y) = kn f(x, y), donde indica el grado.

Ecuación Diferencial Exacta: Cuando cumple la igualdad siguiente:

Ecuación Diferencial Lineal de Orden “n”: es una Ecuación Diferencial de la forma:

an(x).yn + an-1(x).yn-1 + an-2(x)yn-2 + …. + a1(x)y¡ + a0(x)y = R(x)

Parámetro: Constantes indeterminadas que toman valores en un subintervalo.

107

BIBLIOGRAFÍA

ESPINOZA, EDUARDO. ANÁLISIS MATEMÁTICO IV PARA ESTUDIANTES

DE CIENCIAS E INGENIERÍA, Lima – Perú: Edit. San Marcos, Sexta Edición

2012

Nota: Se ha considerado en la bibliografía un solo libro aomo guía porque el texto es

el conocimiento de nuestra experiencia en el dictado del Curso de Ecuaciones

Diferenciales Ordinarias en la Facultad de Ciencias y en la Facultad de Ingeniería.

108

APENDICE

EJERCICIOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES NO HOMOGENEAS


( )

Solución

{

( ) ( )

{

*

+

*

+

*

+

∫ ( )

| |

∫ ( )

| |

109

| |

( ) ( )

Solución:

{

( ) ( )

Formamos el sistema de ecuaciones

{

( )

0

1

[

( ) ] ( ) ( )

[

( )] ( ) ( )

( )

∫ ( )

0

1 ( ) ∫ ( )

( ) ( )

( )

∫ ( ) ( )

( )

La solución general es

110

( )

( )

Solución:

Formamos la solución particular

( ) ( )

{ ( )

( )

( )

( )

Usando Cramer

|

|

|

|

|

|

( )

( )

∫

( )

( )

| |

( )

∫ ( )

| |

( ) ( )

| |

04)

Solución:

111

( ) ( )

{ ( )

( )

( )

( )

Aplicando Cramer

|

|

|

|

|

|

( )

( )

( ) ∫

( ) ∫(

*

( )

(

*

(

)

112

05) ( )

Solución:

La solución particular es:

( ) ( )

{

Aplicando Cramer

|

|

|

| ( ) (

)

|

| ( ) (

)

( ) ∫(

)

( ) ∫(

)

(

) (

)

113

.

/

(

)

(

)

06)

Solución:

( )


Formamos la solución particular

( ) ( ) ( )

{

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

|

|

( ) |

| ( )

114

( ) |

|

( ) |

|

( ) ( ) ∫ ( ) | |

( ) ( ) ∫ ( )

( )

( ) ∫

( )

∫ ∫

( ) | |

( ) ( | |)

| | |

|

Ecuaciones Diferenciales Orinarias y Aplicaciones

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