Aplicaciones de Vigas Para Ecuaciones Diferenciales

LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

Y SUS APLICACIONES EN LA

INGENIERA

INDICE: -Generalidades. Pg (1-4)

-Etapas de resolucin del problema cientfico. Pg (5)

.Formulacin matemtica del problema cientfico.

.Solucin de las ecuaciones.

.Interpretacin cientfica de la solucin.

-Aplicaciones de ecuaciones diferenciales de primer orden y simples de orden superior. Pg (7-30)

1. Aplicaciones a la mecnica:

1.1 Introduccin. 1.2 Las leyes del movimiento de Newton.

2. Aplicaciones a los circuitos elctricos: 2.1 Introduccin. 2.2 La ley de Kirchhoff.

3. Aplicaciones a flujo de calor en estado estacionario. 4. Aplicaciones a problemas combinados de crecimiento y decrecimiento. 5. El cable colgante. 6. La deflexin de vigas.

-Aplicaciones de ecuaciones diferenciales lineales. Pg (31-50)

1. Movimiento vibratorio de sistemas mecnicos: 1.1 El resorte vibrante (movimiento armnico simple). 1.2 El resorte vibrante con amortiguamiento (movimiento amortiguado). 1.3 El resorte con fuerzas externas. 1.4 La resonancia mecnica.

Las Ecuaciones Diferenciales y sus Aplicaciones en la Ingeniera

LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Y SU APLICACIN A LA INGENIERA

GENERALIDADES:

El descubrimiento de Newton y Leibniz en el siglo diecisiete sobre las ideas bsicas

del clculo integral fue crucial para el avance que sufrieron las matemticas, y ms

importante fue, si cabe, la relacin que encontraron entre el clculo integral y el

diferencial, ya que consiguieron fundirlos en uno solo. Una de las aplicaciones de este

descubrimiento fue la fsica aplicada, dcese, la Ingeniera.

El maestro de Newton, Isaac Barrow, conoca ya la existencia de la relacin entre la

tangente en un punto a una curva (derivada) y el rea de una regin limitada de una curva

(Integral Definida), pero fueron Newton y Leibniz los que comprendieron la importancia

de esa relacin.

La derivada se utiliz, en principio, para el clculo de la tangente en un punto, y pronto se

vi que tambin serva para el clculo de velocidades, y en consecuencia para el estudio

de la variacin de una funcin.

Desde los primeros pasos en el clculo diferencial, de todos es conocido que dada una

funcin y = f(x), su derivada )(xfdxdy = , en forma de diferencial de una funcin de una

sola variable, es tambin una funcin que se puede encontrar mediante ciertas reglas como

el Teorema Fundamental del Clculo Integral, que nos muestra la vinculacin entre la

derivada de una funcin y la integral de dicha funcin ; si F(x) es la funcin integral que

debe ser integrable en el intervalo [a,x] para cada x de [a,b], siendo c tal que bca

tenemos que si = xc

dttfxF )()( bxa , existe entonces en cada punto x del

intervalo abierto (a,b), en el que f es continua, y para tal x tenemos

quedando demostrado la relacin entre Integral y Derivada.

)(xF

)()( xfxF =

1


-La Derivada de la Integral de una funcin es la propia funcin:

)()( xfxF = -La Integral de la Derivada de una funcin es la propia funcin:

= xa

dxxfxf )()(

Con lo antes mencionado, a lo que se une La Regla de Barrow (que no es ms que la

aplicacin del teorema fundamental), es posible conseguir la funcin primitiva de la

funcin derivada )(xfdxdy = mediante la integracin de dicha funcin, que es lo que

necesitamos para poder resolver las ecuaciones diferenciales, pero antes debemos

definirlas.

Hay una gran variedad de problemas en los cuales se desea conocer un elemento variable a

partir de su coeficiente de variacin, o dicho de otra forma, queremos conocer cmo vara

dicho elemento en funcin de una o varias variables.

En definitiva, lo que se pretende es determinar una funcin desconocida mediante datos

relacionados por una ecuacin que contiene, por lo menos, una de las derivadas de la

funcin desconocida.

Estas ecuaciones se denominan ecuaciones diferenciales y su estudio por parte de Newton,

Leibniz y los Bernouilli para resolver algunas de las ecuaciones diferenciales sencillas que

se presentaron en geometra y mecnica, llevaron al conocimiento sobre la resolucin de

ciertos tipos de ecuaciones diferenciales; se conoce mediante la prctica que es difcil

obtener teoras matemticas de gran generalidad para la resolucin de estas ecuaciones

diferenciales, salvo para algunos tipos, como las ecuaciones lineales, muy extendidas para

problemas de tipo cientfico.

Definimos:

-Ecuacin diferencial (E.D.) a una ecuacin que relaciona una funcin (o variable

dependiente), su variable o variables (variables independientes), y sus derivadas.

Si la ecuacin contiene derivadas respecto a una sola variable independiente, entonces se

dice que es una ecuacin diferencial ordinaria (E.D.O); y si contiene las derivadas

parciales respecto a dos o ms variables independientes, se llama ecuacin en derivadas

2


parcialales (E.D.P.). Otro tipo de ecuaciones son las ecuaciones diferenciales de retraso (o retardo) que estn

caracterizadas por la presencia de un desplazamiento en el argumento o variable (x-x0).

-Se llama orden de la ecuacin diferencial al orden de la derivada o derivada parcial

ms alta que aparece en la ecuacin.

Se dice que una ecuacin diferencial (de orden n) est expresada en forma implcita

cuando tiene la forma , siendo F una funcin

siendo un subconjunto (generalmente abierto) de R

0),....,,,( )( =nyyyxF RRF n +2:n+2

Se dice que una ecuacin diferencial (de orden n) est expresada en forma explcita

cuando tenemos y(n)= f(x,y,y,.,y(n-1)) con siendo la funcin definida

en el subconjunto D (generalmente abierto) de R

RRDf n +1:n+1 .

-Se dice que una ecuacin diferencial es lineal si tiene la forma

)()()(...)()( 0111

1 xgyxadxdyxa

dxydxa

dxydxa n

n

nn

n

n =++++

y se llama lineal homognea si

adems g(x) = 0.

-Se dice que una funcin y = (x) definida en un intervalo I es solucin de una

diferencial en el intervalo si, sustituida en dicha ecuacin, la reduce a una identidad.

Una E. D. se dice resoluble (o integrable) por cuadraturas si su solucin es expresable

mediante integrales.

En general, la solucin de la ecuacin diferencial de orden n depender de n parmetros.

Pero incluso de esta forma pueden no obtenerse todas las soluciones de una E. D. Por

ejemplo, cuando tenemos una familia uniparamtrica de soluciones de una E. D., una

sencilla interpretacin geomtrica nos muestra que tambin la envolvente de la familia de

curvas (si existe) es solucin de la E. D.

-Se define como problema de valor inicial y problemas de valor frontera a

aquellos en que la ecuacin diferencial se resuelve sujeta a unas condiciones dadas que la

funcin desconocida debe satisfacer.

3


Problema de valor inicial:

Es un problema que busca determinar una solucin a una ecuacin diferencial sujeta

a condiciones sobre la funcin desconocida y sus derivadas especificadas en un

valor de la variable independiente. Tales condiciones se llaman condiciones

iniciales.

Problemas de valor frontera:

Es un problema que busca determinar una solucin a una ecuacin diferencial sujeta

a condiciones sobre la funcin desconocida, especificadas en dos o ms valores de

la variable independiente. Tales condiciones se llaman condiciones de frontera.

-La funcin primitiva resultante, o funcin solucin de una ecuacin diferencial,

puede tener por las condiciones iniciales o de frontera diversos valores, diferencindose una

solucin de otra en el parmetro, definindose este conjunto de soluciones familia de

soluciones de un parmetro (en el caso de existir slo un parmetro) o familia de

soluciones de dos o ms parmetros (en el caso de existir ms de un parmetro)

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ETAPAS DE RESOLUCIN DEL PROBLEMA CIENTFICO:

1) FORMULACIN MATEMTICA DEL PROBLEMA CIENTFICO:

Las leyes cientficas, que por supuesto estn basadas en experimentos u

observaciones, se traducen en ecuaciones matemticas. En cada caso las ecuaciones

diferenciales representan una simplificacin idealizada del problema fsico con el que nos

encontramos, llamndose esta idealizacin Modelo Matemtico.

Cada modelo es una aproximacin a la realidad del problema fsico, su aproximacin y uso

del modelo slo depende de los criterios impuestos a cada problema para su resolucin.

Si la intuicin o la evidencia del experimento coinciden con los resultados obtenidos por

medio del modelo podremos determinar cuan til es ese modelo.

2) SOLUCIN DE LAS ECUACIONES:

Las ecuaciones formuladas en la etapa anterior necesitan ser resueltas, sujetas a

condiciones obtenidas del problema para determinar la incgnita o incgnitas involucradas.

Los procedimientos usados pueden producir una solucin exacta o, en casos donde

soluciones exactas no se pueden obtener, soluciones aproximadas. Frecuentemente para

elaborar los clculos numricos se recurre al uso de la informtica. El proceso de obtener

soluciones a menudo conduce a preguntas de naturaleza puramente matemtica que

propician y propiciaron el avance de las susodichas matemticas.

3) INTERPRETACIN CIENTFICA DE LA SOLUCIN:

Con el uso de las soluciones conocidas, el matemtico o fsico puede ser capaz de

interpretar lo que est sucediendo desde el punto de vista aplicado. Puede hacer

interpretaciones grficas y tablas para poder comparar la teora con lo obtenido de los

experimentos. Puede, incluso, basar una investigacin posterior en las interpretaciones de

experimentos previos. Por supuesto que, si encuentra que los experimentos u observaciones

no estn de acuerdo con la teora, debe revisar el modelo matemtico y su formulacin

matemtica hasta que se consiga un resultado cuyo margen de error lo marque la persona o

personas encargadas de los experimentos. Cada una de estas etapas es importante en la

solucin final de un problema aplicado.

5


6


APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Y SIMPLES DE ORDEN SUPERIOR:

Tipos de aplicaciones: 1. Aplicaciones a la mecnica:

1.1 Introduccin. 1.2 Las leyes del movimiento de Newton.

2. Aplicaciones a los circuitos elctricos: 2.1 Introduccin. 2.2 La ley de Kirchhoff.

3. Aplicaciones a flujo de calor en estado estacionario. 4. Aplicaciones a problemas combinados de crecimiento y decrecimiento. 5. El cable colgante. 6. La deflexin de vigas.

1. Aplicaciones a la mecnica:

1.1 Introduccin:

La fsica trata de la investigacin de las leyes que gobiernan el comportamiento del

universo fsico. Por universo fsico entendemos la totalidad de objetos a nuestro alrededor,

no slo las cosas que observamos sino tambien las que no observamos, tales como los

tomos y molculas. El estudio del movimiento de los objetos en nuestro universo es una

rama de la mecnica llamada dinmica formulada mediante las leyes del movimiento de

Newton. Para los objetos que se mueven muy rpido, cerca de la velocidad de la luz, no

podemos usar las leyes de Newton. En su lugar debemos usar una versin revisada de estas

leyes, desarrolladas por Einstein y conocidas como mecnica relativista, o mecnica de la

relatividad. Para objetos de dimensiones atmicas las leyes de Newton tampoco son

vlidas. De hecho, para obtener descripciones precisas del movimiento de objetos de

dimensiones atmicas, necesitamos establecer un conjunto de leyes denominadas mecnica

cuntica. La mecnica cuntica y la relativista son muy complicadas, no siendo objeto de

estudio en este trabajo.

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1.2 Las leyes del movimiento de Newton.

Las tres leyes del movimiento primero desarrolladas por Newton son:

1. Un cuerpo en reposo tiende a permanecer en reposo, mientras que un cuerpo en

movimiento tiende a persistir en movimiento en una lnea recta con velocidad constante a

menos que fuerzas externas acten sobre l.

2. La tasa de variacin del momentum de un cuerpo en funcin del tiempo es proporcional

a la fuerza neta que acta sobre el cuerpo teniendo la misma direccin de la fuerza,

(entendindose por momentum de un objeto al producto de su masa m multiplicado por su

velocidad v).

3. A cada accin existe una reaccin igual y opuesta.

La segunda ley nos proporciona una relacin importante, conocindose como la ley de

Newton.

La tasa de cambio o variacin en el momentum en el tiempo es as d (mv) /dt.

Si por F entendemos a la fuerza neta que acta sobre el cuerpo, por la segunda ley tenemos:

)(mvdtd

F siendo el smbolo que indica proporcionalidad. Introduciendo la constante

de proporcionalidad k, obtenemos:

)(mvdtd = kF

Si m es una constante, kFdtdvm = o ma = kF, dnde a = dv/dt es la aceleracin.

As vemos que k

maF = donde el valor de k depende de las unidades que deseemos usar.

Para el sistema CGS (o sistema Centmetro, Gramo, Segundo), k = 1 siendo la ley F = ma.

En la simbologa del clculo podemos escribir las leyes de Newton en formas diferentes, al

notar que la aceleracin a puede expresarse como la primera derivada de la velocidad v

(esto es, dv/dt), o como la segunda derivada de v de un desplazamiento s (esto es, d2s/dt2 ).

2

2

dtsdm

dtdvmF ==

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Una vez conocido el problema fsico podemos aplicar estos conocimientos para obtener las

formulaciones matemticas de varios problemas de la mecnica clsica que involucran los

conceptos anteriores, y la solucin e interpretacin de tales problemas.

Ejemplo aclaratorio:

Una masa de m gramos cae verticalmente hacia abajo, bajo la influencia de la gravedad,

partiendo del reposo, siendo despreciable la resistencia del aire. Vamos a establecer la

ecuacin diferencial y las condiciones asociadas que describen el movimiento y a

solventarla.

Diagrama de fuerzas:

A

Tierra

t=0

Pi t

P

mgx

y

Formulacin matemtica:

Sea A en la figura la posicin de la masa m en el tiempo t = 0, y sea Pi la posicin de m en

cualquier tiempo posterior t. En cualquier problema de fsica que involucre cantidades

vectoriales tales como fuerza, desplazamiento, velocidad y aceleracin, las cuales

necesariamente requieren un conocimiento de direccin, es conveniente establecer un

sistema de coordenadas, junto con la asignacin de direcciones positivas y negativas. En

este ejemplo observamos que la variacin se realiza respecto del eje x.

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La velocidad instantnea en P es v = dx/dt. La aceleracin instantnea en P es a = dv/dt o

a = d2x/dt2. La fuerza que acta es el peso, siendo su magnitud P= mg. Por la ley de

Newton tenemos:

mgdtdvm = o g

dtdv =

Puesto que la masa cae desde el reposo, vemos que v = 0 cuando t = 0, o en otras palabras

v(0) =0 .

Nuestra formulacin matemtica es el problema de valor inicial v(t)

gdt

dv t =)( v(0) =0 Aqu tenemos una ecuacin de primer orden y su condicin requerida.

Otra manera de formular el problema es escribir:

mgdt

xdm =22

o gdt

xd =22

En tal caso tenemos una ecuacin de segundo orden en las variables x y t, y necesitamos

dos condiciones para determinar x. Una de ellas es v = 0 o dx/dt = 0 en t = 0. La segunda

puede obtenerse al notar que x = 0 en t = 0 (puesto que escogimos el origen de nuestro

sistema de coordenadas en A).

La formulacin matemtica es:

gdt

xd =22

x=0 y 0=dtdx en t = 0

Cuando establezcamos ecuaciones diferenciales para describir algn fenmeno o ley,

siempre las acompaaremos de suficientes condiciones necesarias para la determinacin de

las constantes arbitrarias en la solucin general.

Solucin:

Empezando con gdtdv = (separacin de variables) obtenemos por integracin v = gt + c1.

Puesto que v=0 cuando t = 0, c1 = 0, v = gt, esto es, gtdtdx = .

10


Otra integracin produce de la anterior ecuacin 22

21 cgtx += . Puesto que x= 0 en t = 0,

c2 = 0. Por tanto 221 gtx = . Podramos haber llegado al mismo resultado al empezar con

mgdt

xdm =22

o gdt

xd =22

.

El signo ms indica que el objeto se est moviendo en la direccin positiva, esto es, hacia

abajo. Se debera tener en cuenta que si hubiramos tomado la direccin positiva hacia

arriba la ecuacin diferencial hubiera sido m(dv/dt) = - mg, esto es, gdtdv = o g

dtxd =2

2

Esto conducira a resultados equivalentes a los obtenidos.

Para otros problemas similares la forma de actuar es la misma.

2. Aplicaciones a los circuitos elctricos:

2.1 Introduccin. As como la mecnica tiene como base fundamental las leyes de Newton, la

electricidad tambin tiene una ley que describe el comportamiento de los circuitos

elctricos, conocida como la ley de Kirchhoff. Realmente, la teora de la electricidad est

gobernada por un cierto conjunto de ecuaciones conocidas en la teora electromagntica

como las ecuaciones de Maxwell. La ley de Kirchhoff es adecuada para estudiar las

propiedades simples de los circuitos elctricos. El circuito elctrico ms simple es un

circuito en serie, en el cual tenemos una fem (fuerza electromotriz), la cual acta como una

fuente de energa tal como una batera o generador, y una resistencia, la cual consume o usa

energa, tal como una bombilla elctrica, tostador, u otro electrodomstico.

En fsica elemental encontramos que la fem est relacionada con el flujo de corriente en el

circuito. En forma simple, la ley dice que la corriente instantnea I (en un circuito que

contiene slo una fem E y una resistencia R) es directamente proporcional a la fem.

Simblicamente: I E o I E de donde, E = IR donde R es una constante de

proporcionalidad llamada el coeficiente de resistencia o simplemente, resistencia. La

ecuacin anterior es conocida bajo el nombre de la ley de Ohm.

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Circuitos ms complicados, pero para muchos casos ms prcticos, son circuitos que

contienen otros elementos distintos a resistencias. Dos elementos importantes son

inductores y condensadores. Un inductor se opone a cambios en corriente. Tiene un efecto

de inercia en electricidad de la misma manera que una masa tiene un efecto de inercia en

mecnica. Un condensador es un elemento que almacena energa.

En fsica hablamos de una cada de voltaje a travs de un elemento.

En la prctica podemos determinar esta cada de voltaje, o como se llama comnmente,

cada de potencial o diferencia de potencial, por medio de un instrumento llamado

voltmetro.

Experimentalmente las siguientes leyes se cumplen:

1. La cada de voltaje a travs de una resistencia es proporcional a la corriente que

pasa a travs de la resistencia.

Si ER, es la cada de voltaje a travs de una resistencia e I es la corriente, entonces ER I o

ER = IR donde R es la constante de proporcionalidad llamada el coeficiente de resistencia o

simplemente resistencia.

2. La cada de voltaje a travs de un inductor es proporcional a la tasa de tiempo

instantnea de cambio de la corriente.

Si EL es la cada de voltaje a travs del inductor, entonces dtdIEL o dt

dILEL = donde L

es la constante de proporcionalidad llamada el coeficiente de inductancia o simplemente

inductancia.

3. La cada de voltaje a travs de un condensador es proporcional a la carga

elctrica instantnea en el condensador.

Si Ec es la cada de voltaje a travs del condensador y Q la carga instantnea, entonces

Ec Q CQEc = donde hemos tomado 1/C como la constante de proporcionalidad,

C se conoce como el coeficiente de capacitancia o simplemente capacitancia.

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2.2 La ley de Kirchhoff.

El enunciado es uno de los de la ley de Kirchhoff:

La suma algebraica de todas las cadas de voltaje alrededor de un circuito elctrico es

cero. [Otra manera de enunciar esto es decir que el voltaje suministrado (fem) es igual a la

suma de las cadas de voltaje.]

Se acostumbra indicar los diferentes elementos de un circuito como se ilustra:

Interruptor

Condensador

Inductor

Resistencia

Generador o batera

Como un ejemplo, considere un circuito elctrico consistente en una fuente de voltaje E

(batera o generador), una resistencia R, y un inductor L, conectados en serie como se

muestra en la figura:

L

E I

K-

R

Adoptamos la siguiente convencin: la corriente fluye del lado positivo (+ ) de la batera o

generador a travs del circuito hacia el lado negativo (- ).

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Puesto que, por la ley de Kirchhoff, la fem suministrada (E) es igual a la cada de voltaje a

travs del inductor (dtdIL ) ms la cada de voltaje a travs de la resistencia (RI), tenemos

como la ecuacin diferencial requerida para el circuito:

ERIdtdIL =+

Como otro ejemplo, suponga que nos dan un circuito elctrico consistente en una batera o

generador de E en serie con una resistencia de R y un condensador de C.

C

-

E

R

I

Aqu la cada de voltaje a travs de la resistencia es RI y la cada de voltaje a travs del

condensador es Q/C, de modo que por la ley de Kirchhoff ECQRI =+ tal como aparece

esto no es una ecuacin diferencial. Sin embargo al notar que la corriente es la variacin de

la carga con el tiempo, esto es, I = dQ/dt, ECQRI =+ se convierte en E

CQ

dtdQR =+ , la

cual es una ecuacin diferencial para la carga instantnea. Acompaando a las ecuaciones

diferenciales obtenidas estn las condiciones que se derivan, por supuesto, del problema

especfico considerado.


Un generador con una fem se conecta en serie con una resistencia y un inductor. Si el

interruptor K se cierra en tiempo t = 0, establezca una ecuacin diferencial para la corriente

y determine la corriente en tiempo t.

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Llamando a I la corriente o intensidad de corriente que fluye segn el primer circuito

descrito, tenemos, por la ley de Kirchhoff, dtdILRIE +=

Puesto que el interruptor se cierra en t = 0, debemos tener I= 0 en t = 0.

Solucin:

La ecuacin diferencial anterior dtdILRIE += es una ecuacin de primer orden lineal

exacta; buscando un factor integrante obtenemos tR

et 2)( = . Multiplicado por este factor

la ecuacin, da dtdILeRIeEe

tRtRtR222 += , es decir

dtIedEe

tR

tR )( 22 = integrando

cEeIetR

tR +=10

22

Puesto que I= 0 en t =0 , podemos con estas condiciones obtener la constante c.

Otro mtodo. La ecuacin dtdILRIE += puede tambin resolverse por separacin de

variables. Los problemas de este tipo se resuelven todos de la misma forma.

3. Aplicaciones a flujo de calor en estado estacionario.

Considere una pieza de material de longitud indefinida acotada por dos planos

paralelos A y B, segn la figura, suponiendo que el material es uniforme en todas sus

propiedades, por ejemplo, calor especfico, densidad, etc.

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BA

100C90C75C50C

Considerando que los planos A y B se mantienen a 50 C y 100C, respectivamente, todo

punto en la regin entre A y B alcanza cierta temperatura que no cambia posteriormente.

As todos los puntos en el plano C entre A y B estarn a 75C,y en el plano E a 90C.

Cuando la temperatura en cada punto de un cuerpo no vara con el tiempo decimos que

prevalecen las condiciones de estado estacionario o que tenemos un flujo de calor en

estado estacionario.

Como otro ejemplo se considera un tubo de material uniforme, cuyo corte transversal

aparece en la figura.

80C

40C

60C

Se supone que la parte exterior se mantiene a 80C y la interna a 40C.

Habr una superficie (lnea punteada) en la cual cada punto estar a 60C. Sin embargo,

sta no est en la mitad entre las superficies interna y externa.

Lneas paralelas a A y en un plano perpendicular a A (figura de la pared) se llaman lneas

isotrmicas.

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La curva punteada del tubo es una curva isotrmica.

Los planos correspondientes de la pared y los cilindros se llaman superficies isotrmicas.

En el caso general, las curvas isotrmicas no sern lneas o crculos, como en los ejemplos,

pero pueden ser una familia de curvas como se muestra en la siguiente figura (curvas

punteadas).

Las trayectorias ortogonales de la familia se llaman lneas de flujo. Considere pequeas porciones de dos superficies isotrmicas contiguas separadas por una distancia n.

An

S1S2

Considerando que la temperatura correspondiente a la superficie S1 es T1 y la

correspondiente a S2 es T2. Llamando a la diferencia de temperatura T1 - T2= T.

Experimentalmente se encuentra que la cantidad de calor que fluye de S1a S2 por unidad de

area y por unidad de tiempo es aproximadamente proporcional a T/n. La aproximacin

llega a ser ms precisa a medida que n (y desde luego T) se hace ms pequeo. En el

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caso lmite, a medida que n 0, T/ndT/dn lo cual se llama el gradiente de T (variacin de T en la direccin normal a la superficie o curva isotrmica). Si q es la

cantidad de flujo de calor por unidad de rea y unidad de tiempo, tomamos como nuestra

ley fsica:

dndTq

dtdTkq =

Si deseamos considerar a T como una cantidad vectorial (teniendo direccin y magnitud), el

razonamiento es el siguiente. Considere como positiva la direccin de S1 a S2. Si dT/dn es

positiva, entonces T aumenta y, por tanto, debemos tener T2 < T1. As, el calor realmente

fluye de S1 a S2 (de mayor a menor temperatura); esto es, el flujo de calor est en la

direccin negativa.

De modo similar, si dT/dn es negativa, T disminuye, T2 > T1, y el flujo es de S2 a S1; esto es,

el flujo de calor est en la direccin positiva.

La direccin del flujo de calor puede tenerse en cuenta mediante un signo menos en

dtdTkq = esto es, cantidad de calor por unidad de tiempo que fluye a travs de un rea A,

est dada por q (cantidad vectorial) = dndTkA (proviene de la teora de campos).

La anterior constante de proporcionalidad k depende del material usado y se llama

conductividad trmica.

Ejemplo aclaratorio: Un tubo largo de acero, de conductividad trmica k, tiene un radio interior ri y un radio

exterior re. La superficie interna se mantiene a Ti y la superficie exterior se mantiene a Te.

(a) Definir la temperatura como una funcin de la distancia r del eje comn de los cilindros

concntricos.

(b) Encuentre la temperatura en r.

(c) Cunto calor se pierde por minuto en una parte del tubo de L de largo?


Es claro que las superficies isotrmicas son cilindros concntricos con los cilindros dados.

El rea de tal superficie con radio ri


caso es dr. As, la ecuacin puede escribirse drdTrLkq )2( = .En esta ecuacin, q es una

constante. Las condiciones iniciales son: k , L, Te en re y Ti en ri.

Solucin:

Ecuacin diferencial de variables separadas, integrando se obtiene:

-k2LT=qLnr+c

Usando las condiciones iniciales obtendremos el valor de c.

Otras ideas sobre transmisin de calor:

En el caso de conduccin de calor, el calor fluye de lugares de ms alta temperatura a

lugares de ms baja temperatura. Fsicamente, cuando un extremo de una barra aumenta de

temperatura, el movimiento aleatorio de las molculas en este extremo se aumenta con un

incremento resultante en velocidad y nmero de colisiones entre molculas. Las molculas

con ms alta velocidad tienden a moverse hacia el otro extremo de la barra, dando lugar a

colisiones adicionales y a un consecuente incremento gradual en temperatura en el resto de

la barra.

Podemos considerar una conduccin de calor como una difusin de molculas. Tal difusin,

sin embargo, no est limitada a la conduccin de calor.

4. Aplicaciones a problemas combinados de crecimiento y decrecimiento.

La ecuacin diferencial aydtdy = nos dice que la variacin con el tiempo de una cantidad y

es proporcional a y. Si la constante de proporcionalidad a es positiva siendo y positivo,

entonces dy/dt es positivo e y aumenta. En este caso hablamos de que y crece, y el problema

es de crecimiento. Por otro lado, si a es negativo siendo y positivo, entonces dy/dt es

negativo e y decrece. Aqu el problema es uno que involucra decrecimiento.

Puesto que la solucin de aydtdy = identificada como una ecuacin de variables separadas

est dada por la funcin exponencial y = ceat , resolviendo mediante integracin,

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definindose la ecuacin diferencial aydtdy = como la ley de crecimiento exponencial si

a > 0 y la ley de decrecimiento exponencial si a ti.

(b) Cundo la temperatura del agua ser de Ti? Siendo Te>Tf>Ti>Tc


La diferencia de temperatura entre el agua y el cuarto es Te-Tc=T. La variacin en T es

dT/dt. Tomando como base en la experiencia, uno espera que la temperatura cambie ms

rpidamente cuando (T) es grande y ms lentamente cuando (T) es pequeo.

Desarrollemos un experimento en el cual tomamos temperaturas en varios intervalos de

tiempo, siendo T el cambio en temperatura y t el tiempo para producir este cambio.

Tomando a t pequeo esperamos que T / t ser muy cercano a dT/dt.

Si hacemos una grfica representando T / t y T, podramos producir un grfico similar

al de esta figura.

20


Los puntos marcados estn determinados por el experimento. Puesto que el grfico es,

aproximadamente, una lnea recta, asumimos que dT/dt es proporcional a T, esto es:

)( TadtdT = donde a es una constante de proporcionalidad. Ahora dT/dt es negativo

cuando (T) es positivo, y as escribiremos a = -h donde h > 0. La ecuacin es

)( ThdtdT = . Esta ecuacin se conoce en fsica como la ley de enfriamiento de Newton y

es de importancia en muchos problemas de temperatura. Realmente, es slo una

aproximacin a la situacin fsica. Las condiciones que acompaan esta ecuacin se

obtienen de las condiciones iniciales dispuestas en el enunciado del ejemplo.

Solucin:

Resolviendo la ecuacin por separacin de variables tenemos:

= hdtTdT ln (T)= -ht + c1 T= ce-ht de la cual teniendo las condiciones iniciales podemos calcular las constantes h y c, pudiendo dar contestacin al problema

planteado.


Por mtodos experimentales similares a los indicados en el problema anterior de

temperatura obtenemos la siguiente ley:

Ley de desintegracin radioactiva: La velocidad de desintegracin de una sustancia

radioactiva es proporcional, en cualquier instante, a la cantidad de sustancia que est

presente.

Antes de formular matemticamente esta ley, consideremos el fenmeno de radioactividad

con algn detalle. Cuando un elemento radioactivo como el radio o el uranio se desintegran,

emiten partculas de una manera aleatoria. Cada una de estas partculas tiene una masa

definida, la cual es pequea. Si empezamos con una masa de 1 g del material radioactivo y

consideramos lo que sucede cuando se emiten las partculas, encontramos una situacin

similar a la que muestra en la figura.

21


x Prdida de partculas

t

1 u

Aqu, x es la cantidad de sustancia que queda despus de tiempo t, asumiendo que

empezamos con 1u (unidad) en t = 0. Cada vez que hay una baja en el valor de x significa

que se han emitido partculas; cuanto ms grande sea la baja, mayor ser el nmero de

partculas emitidas. As, la cantidad de la sustancia radioactiva es, en realidad, una funcin

discontinua en t. Entonces, qu se quiere decir con dx/dt?

Para obviar esta dificultad matemtica, aproximamos la curva verdadera por una curva

continua (punteada en la figura de arriba). As, no cometemos mucho error, y al mismo

tiempo aseguramos tener un grfico para el cual dx/dt existir en todo el dominio. Aqu

estamos construyendo una abstraccin matemtica de una situacin fsica. Las ideas

presentadas aqu ocurren frecuentemente en fsica debido al tamao finito, aun de la

partcula ms pequea, en otras palabras, debido a la teora atmica. Aun en los problemas

de circuitos elctricos ocurre la abstraccin matemtica.


Sea A la cantidad de elemento radiactivo presente despus de t aos. Entonces dA/dt (la

cual existe segn la abstraccin matemtica anterior) representa la tasa o velocidad de

desintegracin del compuesto. De acuerdo con la ley AdtdA A

dtdA = , donde es una

constante de proporcionalidad. Puesto que A > 0 y decreciente, entonces dA/dt


Solucin:

Separando las variables, tenemos al integrar:

kAdtdA = ln A = -kt + c1 antiln 1ckteA +=

Introduciendo las condiciones iniciales en la funcin solucin de la ecuacin diferencial

podremos calcular las constantes k y c1.

5. El cable colgante.

Considere un cable o una cuerda que cuelga de dos puntos A y B (segn la figura), no

necesariamente al mismo nivel. Suponiendo que el cable es flexible de modo que debido a

su carga (la cual puede ser debida a su propio peso, o a fuerzas externas actuantes, o a una

combinacin de stas) toma la forma como en la figura. Siendo C la posicin ms baja del

cable, escogiendo los ejes x e y como en la figura, donde el eje y pasa por C.

PA

x

B

(x,y)

C

y

23


P

HC

W (x)

Q

(x,y)

T

Considere aquella parte del cable entre el punto ms bajo y cualquier punto P en el cable

con coordenadas (x, y). Esta parte estar en equilibrio debido a la tensin T en P (segn la

figura siguiente), la fuerza horizontal H en C, y la carga vertical total en el segmento CP

del cable denotada por W(x), la cual asumimos que acta en algn punto Q, no

necesariamente en el centro del arco CP. Para el equilibrio, la suma algebraica de las

fuerzas en la direccin x (u horizontal) debe ser igual a cero, y la suma algebraica de

fuerzas en el eje y (o vertical) debe ser igual a cero. Otra forma de indicar lo mismo es que

la suma de fuerzas hacia la derecha debe ser igual a la suma de las fuerzas hacia la

izquierda, y la suma de fuerzas hacia arriba debe ser igual a la suma de fuerzas hacia abajo.

Descomponemos la tensin T en dos componentes (lneas punteadas en la figura), la

componente horizontal con magnitud Tcos, y la componente vertical con magnitud

Tsen.

Las fuerzas en la direccin x son H hacia la izquierda y Tcos hacia la derecha, mientras

que las fuerzas en la direccin y son W hacia abajo y Tsen hacia arriba. De donde,

haciendo equilibrio de acciones o fuerzas en las direcciones de los ejes tenemos:

Tsen = W, Tcos = H

Dividiendo, y usando el hecho de que la tangente = dy/dx = pendiente en P, tenemos

HW

dxdy =

En esta ecuacin, H es una constante, puesto que es la tensin en el punto ms bajo, pero W

puede depender de x. Derivando esta ltima ecuacin con respecto a x, tenemos:

dxdW

Hdxyd 12

2

=

24


Ahora dW/dx representa el incremento en W por unidad de incremento en x; esto es, la

carga por unidad de distancia en la direccin horizontal. La ecuacin diferencial anterior es

fundamental.


Un cable flexible de poco peso (despreciable) soporta un puente uniforme.

Determine la forma del cable. (Este es el problema de determinar la forma del cable en un

puente colgante, el cual es de gran uso en la construccin de puentes).

x

y


La ecuacin dx

dWHdx

yd 12

2

= se cumple aqu y nos resta determinar dW/dx, la carga por

unidad de incremento en la direccin horizontal. En este caso dW/dx es una constante,

llamada el peso por unidad de longitud del puente. Llamando a esta constante W, tenemos

que HW

dxyd =2

2

Denotando por b la distancia del punto ms bajo del cable desde el puente, tenemos y = b

donde x = 0 , 0=dxdy donde x = 0, la segunda condicin debido a que el punto donde x = 0

es un punto mnimo.

25


Integrando dos veces la ecuacin HW

dxyd =2

2

y haciendo uso de las condiciones dadas,

encontramos que bH

Wxy +=2

2

, siendo esta la ecuacin de una parbola.

6. La deflexin de vigas.

Considere una viga horizontal AB segn la figura. Se supone que la viga es uniforme en su

seccin transversal y de material homogneo. El eje de simetra se encuentra en el plano

medio indica por la zona sombreada.

A B

Cuando est sometida a fuerzas, las cuales suponemos que estn en un plano que contiene

el eje de simetra, la viga, debido a su elasticidad, puede distorsionarse en su forma como se

muestra en la siguiente figura.

A B

Estas fuerzas pueden ser debidas al peso de la viga, a cargas aplicadas externamente, o a

una combinacin de ambas. El eje de simetra distorsionado resultante, situado en el plano

medio distorsionado de la segunda figura, se llama la curva elstica. La determinacin de

esta curva es de importancia en la teora de elasticidad.

Hay muchas maneras de apoyar vigas.

26


Vigas en voladizo: una viga en la cual el extremo A est rgidamente fijo, mientras que el

extremo B est libre, para moverse.

Viga simplemente apoyada: la viga est apoyada en los dos extremos A y B.

Hay ms formas y ms condiciones para la deflexin que sern aplicadas a cada tipo de

problema.

As como hay diferentes maneras de apoyar vigas, tambin hay diferentes maneras de

aplicar fuerzas de carga externa.

Carga uniformemente distribuida sobre toda la viga.

Carga variable sobre toda la viga o slo en una parte de ella.

Carga puntual o concentrada.

Considere la viga horizontal OB de la figura siguiente. Colocando el eje de simetra (lnea

punteada) en el eje X tomado como positivo a la derecha y con origen en 0. Escoja el eje Y

como positivo hacia abajo.

x=0

x

A

0

F1F2

yx=L

B

F3

M(x)

A

x=0

0

F1

x

F2

x=L

B

F3

X

X

Y

Y

Debido a la accin de las fuerzas externas F1 y F2 (y si es apreciable el peso de la viga) el

eje de simetra se distorsiona en la curva elstica que se muestra punteada en la figura de

abajo donde hemos tomado la viga como fija en 0. El desplazamiento y de la curva elstica

desde el eje X se llama la deflexin o flecha de la viga en la posicin x. As, si

determinamos la ecuacin de la curva elstica, se conocer la deflexin de la viga.

Para poder formular la ecuacin debemos saber:

27


Sea M(x) el momento flector en una seccin transversal vertical de la viga en x. Este

momento flector se define como la suma algebraica de los momentos de esas fuerzas que

actan sobre un lado de x, los momentos se toman sobre una lnea horizontal en la seccin

transversal en x. Al calcular los momentos adoptaremos la convencin de que fuerzas hacia

arriba producen momentos negativos y fuerzas hacia abajo producen momentos positivos,

asumiendo por supuesto que el eje y se toma hacia abajo como se mencion antes. No

importa cul lado de x se tome puesto que los momentos flectores calculados desde

cualquier lado son iguales. El momento flector en x est simplemente relacionado con el

radio de curvatura de la curva elstica en x, siendo la relacin:

[ ] )()'(1 '' 322 xMyyEI =+ Donde E es el mdulo de elasticidad de Young y depende del material usado en el diseo

de la viga, e I es el momento de inercia de la seccin transversal de la viga en x con

respecto a una lnea horizontal que pasa por el centro de gravedad de esta seccin

transversal. El producto EI se llama la rigidez y se considerar como una constante.

Si asumimos que la viga se dobla slo levemente, lo cual es vlido para muchos propsitos

prcticos, la pendiente y de la curva elstica es tan pequea que su cuadrado es

despreciable comparado con 1, y la ecuacin se puede remplazar por la buena

aproximacin:

)('' xMEIy =


Una viga horizontal, simplemente apoyada, de longitud L se dobla bajo su propio peso, el

cual es w por unidad de longitud. Encuentre la ecuacin de su curva elstica.


En la figura se muestra la curva elstica de la viga (lnea punteada) relativa a un conjunto

de ejes coordenados con origen en 0 y direcciones positivas indicadas; puesto que la viga

est simplemente soportada en 0 y en B, cada uno de estos soportes lleva la mitad del peso

de la viga, o sea wL/2.

28


Y

x L-x

A

x=0

0

wL/2

wx P w(L-x) x=L

B

wL/2

X

El momento flector M(x) es la suma algebraica de los momentos de estas fuerzas actuando

a un lado del punto P.

Escogiendo el lado derecho de P, actuaran dos fuerzas:

1. La fuerza hacia abajo w (L - x), a una distancia (L -x)/2 de P, produciendo un momento

positivo.

2. La fuerza hacia arriba wL/2, a una distancia L-x de P, produciendo un momento negativo.

En este caso el momento flector es:

222)()

2)(()(

2 wLxwxwLxLxLxLwxM ==

Con el valor de M(x), la ecuacin fundamental es:

22''

2 wLxwxEIy =

Dos condiciones son necesarias para determinar y. Estas son, y = 0 en x = 0, y en x = L,

puesto que la viga no tiene deformacin en los extremos o apoyos.

Solucin:

Integrando dos veces 22

''2 wLxwxEIy = se obtiene 21

34

1224cxcwLxwxEIy ++=

Puesto que y = 0 cuando x = 0, tenemos c2 = 0. De donde xcwLxwxEIy 1

34

1224+=

Puesto que y = 0 cuando x = L, c1 = wL3 /24 y tenemos, finalmente:

29


)2(24

334 xLLxxEI

wy +=

Como la ecuacin requerida de la curva elstica. Es de inters prctico usar la solucin

final )2(24

334 xLLxxEI

wy += para hallar la mxima deflexin. De la simetra o por el

clculo, el mximo ocurre en x = L/2, de donde la flecha mxima ser:

EIwLy

3845 4

max =

30


APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES:

Tipos de aplicaciones: 1. Movimiento vibratorio de sistemas mecnicos:

1.1 El resorte vibrante (movimiento armnico simple). 1.2 El resorte vibrante con amortiguamiento (movimiento amortiguado). 1.3 El resorte con fuerzas externas. 1.4 La resonancia mecnica.

1. Movimiento vibratorio de sistemas mecnicos:

El sistema ms simple disponible para estudiar el movimiento vibratorio consiste en

un resorte de peso despreciable [figura(a)] suspendido verticalmente de un soporte fijo.

Suponga que un peso W se cuelga del resorte [figura(b)].

Cuando el peso est en reposo describimos su posicin como la posicin de equilibrio. Si el

peso se desplaza ejerciendo una fuerza vertical y hacia abajo y se deja de ejercer cuando

tiene una cierta distancia respeto de la posicin de equilibrio, estar bajo un movimiento

vibratorio alrededor de la posicin de equilibrio [figura(c)].Queremos averiguar el

movimiento que realiza el cuerpo en su desplazamiento respecto de la posicin de

equilibrio. Para conseguir este propsito, tendremos que conocer las fuerzas que actan

sobre el peso durante su movimiento. Por la experiencia vemos que hay una fuerza que

31


hace regresar o restaurar un peso desplazado a su posicin de equilibrio. Esta fuerza se

llama la fuerza restauradora.

La ley que gobierna esta fuerza es un caso especial de la ley generalizada de Hooke. Nos

referiremos a este caso especial como la ley de Hooke, la cual se enuncia como sigue:

La fuerza ejercida por un resorte, tendiente a restaurar el peso W a la posicin de

equilibrio, es proporcional a la distancia de W a la posicin de equilibrio. (la fuerza es

proporcional al alargamiento).

Denotamos la magnitud de la fuerza restauradora por | f |, y sea x la posicin de W medida

desde la posicin de equilibrio. Se supone la direccin positiva hacia abajo, de modo que x

es positivo cuando W est por debajo de la posicin de equilibrio y negativo cuando W est

por encima de esta posicin.

De acuerdo a la ley de Hooke,

xf o xkf = donde k > 0 es una constante de proporcionalidad, que depende de la dureza del resorte y se llama constante del resorte o mdulo de elasticidad del resorte. Para

determinar la direccin de la fuerza, observamos que cuando x > 0 la fuerza est dirigida

hacia arriba y por tanto es negativa. Cuando x < 0 la fuerza est dirigida hacia abajo y es

por tanto positiva. Esto se puede satisfacer, slo si la fuerza est dada tanto en magnitud

como direccin por - kx, de modo que la ley de Hooke es:

f = - k x

Cuando el peso W se coloca en el resorte, se estira una distancia s como se ve en la anterior

figura en la posicin (b), segn la ley de Hooke, la tensin T en el resorte es proporcional al

elongamiento, y as T1 = ks; puesto que el resorte y el peso estn en equilibrio se tiene que

T1 = ks= W

Cuando el peso se baja ms y se suelta, su posicin en cualquier tiempo se muestra en la

figura (c). La tensin T, en el resorte en este tiempo es, de acuerdo a la ley de Hooke,

T2 = k(s + x)

Sigue que la fuerza neta en la direccin positiva est dada por:

32


W - T 2 = W - k s - k x = - k x

Por la ley de Newton, la ecuacin diferencial que describe el movimiento es:

kxdt

xdg

W =22

As, la fuerza neta es simplemente la fuerza restauradora y no depende del peso W.


Un peso P estira un resorte x1 unidades de longitud. Si el peso se halla x2 unidades de

longitud por debajo de la posicin de equilibrio y se suelta:

(a) Establecer la ecuacin diferencial y condiciones asociadas que describan el movimiento.

(b) Encontrar la posicin del peso como una funcin del tiempo.

(c) Determinar la posicin, velocidad y aceleracin del peso t tiempo despus de haberse

soltado.


Por la ley de Hooke:

1xkf = y Pf = 1x

Pk = La ecuacin diferencial que describe el movimiento

es por tanto kxdt

xdgP =2

2

Puesto que inicialmente (t = 0) el peso est x2 por debajo de la posicin de equilibrio,

tenemos x = x2 en t = 0 .

Tambin, puesto que el peso se suelta (esto es, tiene velocidad cero) en t = 0,

0=dtdx en t = 0 .

33


La respuesta a la cuestin (a) est dada por la ecuacin kxdt

xdgP =2

2

con las condiciones

x = x2 en t = 0 , 0=dtdx en t = 0

Solucin:

Por el teorema de existencia y unicidad, para ecuaciones lineales, sacamos la funcin

auxiliar que nos permite llegar a la general.

La ecuacin auxiliar sale de kxdt

xdgP =2

2

llamando a dtdD = , y a mtex =

PkgE =

tenemos 022

=+ Exdt

xd y . mtemD 22 =

Sustituyendo en 022

=+ Exdt

xd la anterior tendremos: de donde sacamos

que para la cual m

0)( 2 =+ mteED

0)( 2 =+ mteEm 2 + E = 0 y tiene races m = Ei. De donde la ecuacin diferencial tiene la solucin de la forma: EitEit ececx += 21De otra forma podemos calcular la solucin general de esta ecuacin haciendo a x= v en

la ecuacin x + Ex=0 tendremos que para 022

=+ Exdt

xd , 0=+ Exdtdv , 0=+ Ex

dtdx

dxdv ,

0=+ Exdxdvv separado variables e integrando tendremos vdv+Exdx=0 entonces

cExv =+ 2221

21 de donde c2 = 2c despejando 22 Excv = como x= v

integrando en la anterior = dtExcdx

22 con lo cual 2

1

cEtcxacsen +=

senEtccEtsencccEtcx 212121 coscos)( =+= que se puede escribir como :

x = A sen Et + B cos Et siendo A y B constantes.

34


Como la ecuacin x = A sen Et + B cos Et, y la ecuacin ,son las dos

ecuaciones generales, debe haber una correlacin entre ambas de tal forma que:

EitEit ececx += 21

EitEit ecec ++ 21Et cos B Et sen A si consideramos que en t = 0 tendremos diferenciando en ambos lados de la ecuacin

1=Eite21 B cc +=

EitEit ecec ++ 21Et cos B Et sen A [ ]EitEit ececEi 21)Et sen B Et cosE(A para t = 0 con lo que [ 21)E(A ccEi ] [ ]21A cci = con los valores obtenidos antes de A y, , ,tendremos:

con lo cual .

21 B cc += [ 21A cci = ]EitEit ececicic +++ 2121 Et)sen (cosEt Et)sen (cosEt Etsen cosEt ieEit +=

De la condicin x = x2 en t = 0, encontramos A, as que sustituyendo en

x = A cos Et + B sen Et y derivando respecto de t e introduciendo la condicin 0=dtdx

en t = 0 podemos encontrar el valor de B y con lo cual la x para las condiciones dadas.

Para calcular la velocidad y aceleracin solo habr que derivar una vez para la velocidad y

dos para la aceleracin, respecto del tiempo, en la ecuacin de la posicin:

x = A sen Et + B cos Et

)(tvdtdx = )(2

2

tadt

xd =

En el grfico de la figura siguiente se obtiene dando valores a la funcin posicin,

x = A sen Et + B cos Et, se ve que el peso empieza en x = A donde t = 0, luego pasa por la

posicin de equilibrio en x =0 a la posicin x =-A y luego regresa de nuevo a la posicin

de equilibrio, la pasa y vuelve a x = A. Este ciclo se repite una y otra vez. Fsicamente el

grfico describe el movimiento peridico hacia arriba y abajo del resorte, el cual se llama

movimiento armnico simple.

En general, cualquier movimiento descrito por la ecuacin axdt

xd =22

,

35


donde a > 0 es una constante, ser movimiento armnico simple. Fsicamente esta ecuacin

nos dice que la aceleracin es directamente proporcional al desplazamiento pero en

direccin opuesta (indicado por el signo menos).

Llamamos al desplazamiento mximo del peso de su posicin de equilibrio (esto es, x = 0)

amplitud.

El tiempo para un ciclo completo se llama periodo. Del grfico vemos que el perodo es

T=4 ; otra forma de ver que el perodo es

4 ,sin el grfico, es determinando cundo el

peso est en un extremo de su trayectoria (esto es, ya sea el punto ms alto, o ms bajo).

Cuando tomamos el punto ms bajo dado por x = A cos Et, esto ocurrir cuando cos Et =

1, esto es, Et = 0, 2 , 4 , 6, . . o t = 0; /4, 2 /4, 3 /4, . . .la primera vez que x =

max es cuando t = 0, la segunda cuando t = /4, la tercera cuando t = 2 /4, etc. La

diferencia entre tiempos sucesivos es /4, la cual es el perodo. El nmero de ciclos por

segundos se llama frecuencia.

Perodo (T) = Nmero unidades de tiempo por ciclo = /4

Frecuencia (f) = Nmero de ciclos por unidad de tiempo = 4

4

1 =

En general si T es el perodo, la frecuencia f est dada por T

f 1=

Si ahora de la solucin general x = A cos Et + B sen Et damos las condiciones iniciales:

0dtdx en t = 0 . 0x

36


Despejando las constantes A y B obtenemos una ecuacin de la forma:

x = a cos Et + b sen Et llamando a E = tendremos x = a cos t + b sen t esta

ecuacin la podemos poner de la forma:

)(cos 22 ++=+ tsenbatbsenta

obtenida de =++=++ )coscos()( 2222 tsentsenbatsenba

tbsentaba

atba

btsenba +=

++

++= cos)(cos)( 222222

El ngulo a menudo se llama el ngulo de fase.

Si un movimiento se puede describir de la forma:

)( += tAsenx entonces 2

1 ==T

f 2=T

obteniendo la relacin = 2f la cual a menudo es til.

El movimiento armnico simple se da en muchos otros casos adems de las vibraciones de

resortes, como en el movimiento del pndulo de un reloj, el balanceo de un barco o un

avin, etc.

37


1.2 El resorte vibrante con amortiguamiento (movimiento amortiguado). Los resortes considerados en el apartado anterior son modelos idealizados fuera de los

casos reales, puesto que las oscilaciones no disminuan, como uno esperara por

experiencia, sino por el contrario, se mantenan constantes en el tiempo. En la prctica,

fuerzas de friccin y otras (tales como la resistencia del aire) actan para decrecer la

amplitud de las oscilaciones y finalmente traer el sistema al reposo. Una manera para

obtener una mejor aproximacin a la realidad, es suponiendo una fuerza amortiguadora. La

ley exacta para esta fuerza no se conoce, puesto que depende de muchas variables, pero se

ha encontrado mediante la experimentacin, que para velocidades pequeas, la magnitud de

la fuerza amortiguadora es aproximadamente proporcional a la velocidad instantnea del

peso en el resorte.

La magnitud por tanto est dada por:

dtdx

donde es la constante de proporcionalidad llamada la constante de amortiguamiento.

La fuerza amortiguadora se opone al movimiento, de modo, que cuando el peso va bajando

la fuerza amortiguadora acta hacia arriba, mientras que acta hacia abajo cuando el peso

va subiendo. Asumiendo hacia abajo como la direccin positiva, vemos que la fuerza

amortiguadora debe ser negativa cuando dx/dt sea positiva, y debe ser positiva cuando dx/dt

sea negativa. As, con > 0, es claro que la fuerza amortiguadora debe estar dada tanto en

magnitud como en direccin por - dx/dt .

Cuando se tienen en cuenta las fuerzas restauradoras ya consideradas, segn la ley de

Newton, la ecuacin diferencial del movimiento es:

kxdtdx

dtxd

gW = 2

2

o 022

=++ kxdtdx

dtxd

gW

38



Un peso W estira un resorte x1 unidades de longitud. Si el peso se halla x2 unidades de

longitud por debajo de la posicin de equilibrio y se suelta:




Teniendo en cuenta la fuerza amortiguadora

La ecuacin del movimiento ser 022

=++ kxdtdx

dtxd

gW

Las condiciones iniciales son: x = x2 en t = 0 , 0=dtdx en t = 0

Solucin:

Por el teorema de existencia y unicidad para ecuaciones lineales sacamos la funcin

auxiliar que nos permite llegar a la general.

La ecuacin auxiliar sale de 022

=++ kxdtdx

dtxd

gW llamando a

dtdD = , y a mtex =

WkgE =

WgF = tenemos 02

2

=++ ExdtdxF

dtxd y . mtmeD = mtemD 22 =

Sustituyendo en 022

=++ ExdtdxF

dtxd la anterior tendremos: de

donde sacamos que para la cual y tiene races

0)( 2 =++ mteEDFD

0)( 2 =++ mteEmFm 0)( 2 =++ EmFm

39


242 EFFm = De donde la ecuacin diferencial tiene la solucin de la forma:

donde tmtm ececx 21 21+=

242

1EFFm +=

242

2EFFm =

De otra forma si biam = EF 42 < 0 [ ]tbitbitabiatbiat ececeececx + +=+= 21)(2)(1 siendo la expresin [ ]tbitbi ececx += 21 cuya solucin general debe ser como la ecuacin

, son las dos ecuaciones generales. Debe haber una correlacin

entre ambas, de tal forma que:

bt cos B bt sen A x +=

tbitbi ecec ++ 21bt cos B bt sen A si consideramos que en t = 0 tendremos diferenciando en ambos lados de la ecuacin

1=tbie21 B cc += tbitbi ecec ++ 21bt cos B bt sen A

[ ]bitbit ececbi 21)bt sen B bt cosb(A para t = 0 [ 21)b(A ccbi ] con lo que con los valores obtenidos antes de A y B , [ 21A cci = ] 21 B cc += , [ ]21A cci = ,

tendremos , con lo cual

.

bitbit ececicic ++ 2121 bt)sen (cosbt bt)sen (cosbtbtsen cosbt iebit +=

De la condicin x = x2 en t = 0, encontramos A, as que sustituyendo en

y derivando respecto de t e introduciendo la condicin bt cos B bt sen A x += 0=dtdx en

t = 0 podemos encontrar el valor de B y con lo cual la x para las condiciones dadas.

Por analoga de las ecuaciones:

tbitbi ecec ++ 21bt cos B bt sen A

[ ]tbitbita ecece ++ 21bt cos B bt sen A tendremos que la segunda ecuacin se convierte en [ ]tbitbita ececex += 21 donde su ecuacin solucin ser:

[ ]BsenbtbtAex ta += cos

40


Determinando las constantes A y B sujetas a las condiciones citadas anteriormente,

encontramos la ecuacin de la posicin en funcin del tiempo, que determina una grfica de

este tipo:

Si hacemos uso de la identidad )(cos 22 ++=+ tsenbatbsenta

y de la ecuacin se puede escribir: [ BsenbtbtAex ta += cos ][ ])(22 ++= tsendcex ta

El grfico de la figura est entre los grficos de lneas punteadas puesto que el seno vara

entre - 1 y + 1. El punto P representa un mnimo relativo, mientras que el punto Q est

sobre la curva punteada. La diferencia constante en tiempos entre mximos (o mnimos)

sucesivos se llama cuasi perodo, aunque se puede referenciar ste como el perodo. El

adjetivo cuasi se usa, puesto que los valores funcionales no se repiten como lo haran si

realmente hubiera periodicidad.

El movimiento descrito en este ejemplo se llama movimiento oscilatorio amortiguado o

movimiento amortiguado.

Se debera notar que [ ])(22 ++= tsendcex ta tiene la forma [ ])()( += tsentx

41


El cuasi perodo est dado por: 2=T

Por analoga con el caso no amortiguado, (t) se llama la amplitud, o ms exactamente la

amplitud tiempo variante. Se ve que la amplitud decrece con el tiempo, estando as de

acuerdo con lo experimentado. Un hecho destacado es que la frecuencia con

amortiguamiento es menor que aquella sin amortiguamiento, esto es posible ya que se

esperara oposicin al movimiento para incrementar el tiempo para un ciclo completo. La

frecuencia sin amortiguamiento, esto es, con = 0, a menudo se llama la frecuencia

natural. Esta es de gran importancia en conexin con el fenmeno de resonancia a ser

discutido posteriormente.

La fuerza amortiguadora puede ser demasiado grande comparada con la fuerza restauradora

para permitir el movimiento oscilatorio.

1.3 El resorte con fuerzas externas. En los casos anteriores vimos el problema de un resorte donde solo se consideraron las

fuerzas restauradora y amortiguadora. Consideramos ahora casos donde pueden actuar otras

fuerzas externas que varan con el tiempo. Tales fuerzas pueden ocurrir, por ejemplo,

cuando el soporte que sostiene el resorte se mueve arriba y abajo en una manera

especificada tal como en movimiento peridico, o cuando al peso se le da un pequeo

empuje cada vez que alcanza la posicin ms baja. Si denotamos la fuerza externa por F(t),

la ecuacin diferencial para el movimiento es:

)(22

tFkxdtdx

dtxd

gW += o )(2

2

tFkxdtdx

dtxd

gW =++

donde la ltima ecuacin puede escribirse: )(22

tFcxdtdxb

dtxda =++

(donde a = W/g, b= , c = k), a menudo llamada la ecuacin de vibraciones forzadas.

42



Un peso W estira un resorte x1 unidades de longitud. Si el peso se halla x2 unidades de

longitud por debajo de la posicin de equilibrio y se suelta actuando sobre l una fuerza

externa peridica, dada por la ecuacin BtAtF cos)( = :




La ecuacin diferencial es:

BtAcxdtdxb

dtxda cos2

2

=++

las condiciones iniciales son: x = x2 en t = 0 , 0=dtdx en t = 0

Solucin:

Estudiando la primera parte de la ecuacin diferencial

cxdtdxb

dtxda ++= 2

2

0

escribindola en funcin de dtdD = , , se vera como mtex = mtemD 22 =

0)( 2 =++ mtecbDaD o donde en est ultima ecuacin a,b,c, seran constantes no todas iguales a cero de tal forma que usando la definicin de

dependencia lineal:

0)( 2 =++ xcbDaD

43


Un conjunto de funciones y1 (x), y2 (x),, yn (x) denotadas como y1, y2,, yn , se dice que

son linealmente dependientes en un intervalo si existe un conjunto de n constantes, no todas

cero, tales que en el intervalo 0...2211 +++ nn yyy en caso contrario se dice que el conjunto es linealmente independiente.

La dependencia o independencia se averigua mediante el Wronskiano.

Teorema: Si y1, y2 son linealmente dependientes en un intervalo, y si sus derivadas y1, y2

existen en el intervalo, entonces el Wronskiano de y1, y2 dado por

1221212121 ,,,det),( yyyyyyyyyyW ==

es idnticamente cero (esto es, W= 0) en el intervalo.

Este teorema puede enunciarse en trminos de independencia lineal como sigue:

Si el Wronskiano de y1, y2 no es idnticamente cero (esto es, W 0) en un intervalo,

entonces y1, y2 son linealmente independientes en el intervalo.

Esto es cierto puesto que si y1, y2 fueran linealmente dependientes en el intervalo su

Wronskiano sera idnticamente cero en el intervalo segn el teorema anterior. Esta

contradiccin muestra que las funciones no son linealmente independientes, esto es, son

linealmente dependientes en el intervalo. Con lo cual, si 0 1221 = yyyyW tenemos 01 = 02 = .

Retomando la ecuacin y por el teorema de existencia-unicidad para

n = 2, tomando como soluciones de la ecuacin a

0)( 2 =++ xcbDaD

0)( 111 =++ cxbxax y 0)( 222 =++ cxbxax

multiplicando a la primera ecuacin por x2, a la segunda por x1, restando las dos tendremos

0)()( 12211221 =+ xxxxbxxxxa

Puesto que el Wronskiano est dado por 1221 xxxxW = y ya que

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12211221 )( xxxxxxxxdtd

dtdW == se convierte en 0=+ bW

dtdWa

Resolviendo, esta ecuacin diferencial de variables separadas

dtab

WdW = integrando 1cta

blW += === + tdtab

cdttabctdt

ab

ceeeeW 11

relacin importante conocida como la identidad de Abel, dada por tdtceW =

Puesto que la funcin exponencial en = tdtab

ceW nunca es cero, vemos que el Wronskiano

W debe ser idnticamente cero en el intervalo dado, en cuyo caso c = 0, o nunca cero en el

intervalo, en cuyo caso c 0. No puede haber nada intermedio.

Con todo lo anteriormente dicho, tendremos el siguiente teorema:

Teorema: Sea x1,x2 dos soluciones de la ecuacin diferencial 0)( 2 =++ xcbDaD

donde a 0, b,c son funciones continuas de x en algn intervalo. Entonces el Wronskiano

de x1,x2 est dado por la identidad de Abel.

tdtcexxxxW == 2121 ,,,det y W es ya sea idnticamente cero en el intervalo o nunca cero en el intervalo.

Usando este teorema, podemos probar ahora el siguiente teorema para el caso de que x1,x2

sean soluciones de la ecuacin 0)( 2 =++ xcbDaD

Teorema: Sean x1,x2 soluciones de la ecuacin diferencial en algn

intervalo. Entonces

0)( 2 =++ xcbDaD

(a) x1,x2 son linealmente dependientes si y slo si W= 0 en el intervalo.

(b) x1,x2 son linealmente independientes si y slo si W 0 en el intervalo.

De los dos Teoremas anteriores podemos obtener el siguiente teorema til:

Teorema: Sea x1 una solucin a la ecuacin diferencial . Entonces 0)( 2 =++ xcbDaD

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una solucin linealmente independiente est dada por tdtcexxxxW == 2121 ,,,det

dividendo en los dos termino por 21x 211

2 )(x

cexx

dtd

dttab

=

dtx

cekxx

dttab

=+

211

2 )(

integrando y tomando la constante de integracin c = 1, k = 0 dtx

exxdtt

ab

=

21

12

Otros teoremas importante nos dicen:

-Si x1,x2 son soluciones linealmente independientes de la ecuacin ,

entonces es una solucin de la ecuacin para cualesquiera constantes .

0)( 2 =++ xcbDaD2211 xcxcx += 21,cc

-Si x1,x2 son soluciones linealmente independientes de y x0)( 2 =++ xcbDaD p es una solucin particular de entonces )()( 2 tFxcbDaD =++ pxxcxcx ++= 2211 es una solucin de la ecuacin diferencial para cualesquiera constantes c)()( 2 tFxcbDaD =++ 1,c2 .

De estos dos ltimos teoremas se puede desprender:

Se ha definido la solucin general de una ecuacin diferencial de orden n como aquella

solucin que involucra n constantes arbitrarias. Todas las soluciones que no se podan

obtener de esta solucin general por ninguna seleccin de estas constantes se denominan

soluciones singulares. En la mayora de los problemas de naturaleza prctica la solucin

general es la que proporciona la solucin significativa despus de determinar las constantes

de las condiciones dadas. Si surgen soluciones singulares, estas tienen generalmente poco

o ningn significado prctico. De estos teoremas vemos que no hemos encontrado la

solucin que involucra dos constantes arbitrarias (el mismo nmero como el orden de la

ecuacin diferencial), la cual hemos llamado la solucin general, sino en realidad todas las

otras soluciones que de existir son soluciones particulares, esto es, casos especiales de la

solucin general obtenidos por la seleccin apropiada de las constantes. As, estos

Teoremas garantizan que no haya soluciones singulares.

Esta propiedad de no tener soluciones singulares es peculiar de las ecuaciones diferenciales

lineales, pero no de todas las ecuaciones diferenciales no lineales.

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Como contiene una funcin de los trminos cosBt con lo que podemos

utilizar el mtodo de los coeficientes indeterminados para determinar la solucin particular.

BtAtF cos)( =

Ensayando como solucin particular BtcsenBtcx p cos21 += de )()( 2 tFxcbDaD =++

BtcsenBtcxp cos21 += senBtBcBtBcx p 21 cos = Sustituyendo en la ecuacin

BtcBsenBtcBx p cos 22

12 =

)( tFcxxbax =++ calculamos el valor de las constantes y por tanto la solucin particular. 21,cc

La solucin complementaria se obtiene de la misma forma que en el apartado anterior 1.2

con lo que sera

[ BsenBtBtAex tac += cos ] con lo que la solucin general ser de la forma: [ ] BtcsenBtcBsenBtBtAexxx tapc coscos 21 +++=+=

Usando las condiciones iniciales podramos determinar el grfico siguiente:

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1.4 La resonancia mecnica. Cuando la frecuencia de una fuerza externa peridica aplicada a un sistema mecnico est

relacionada de una manera sencilla con la frecuencia natural del sistema, puede ocurrir el

fenmeno de la resonancia mecnica, la cual eleva las oscilaciones tales que el sistema

puede desplomarse o colapsarse. Una compaa de soldados marchando en fila a travs de

un puente puede de esta manera hacer que el puente colapse. En una manera anloga, puede

ser posible que una nota musical de una frecuencia caracterstica propia estalle un cristal.

Debido a los grandes daos que pueden ocurrir, la resonancia mecnica es en general algo

que necesita ser evitado, especialmente por el ingeniero al disear estructuras o

mecanismos vibrantes.

La resonancia mecnica puede tambin servir para propsitos tiles. Por ejemplo, si un

automvil se quedara atascado en la nieve (o barro), puede, al mecerlo, ser puesto a

vibrar con su frecuencia natural. Entonces, al aplicarle una fuerza con esta misma

frecuencia, la resonancia mecnica resultante puede ser algunas veces suficiente para

liberarlo.


Un peso P estira un resorte x1 unidades de longitud. Si el peso se halla x2 unidades de

longitud por debajo de la posicin de equilibrio y se suelta aplicndole una fuerza externa

dada por . BtAtF cos)( =

Describir el movimiento que resulta si se supone que inicialmente el peso est en la

posicin de equilibrio (x = 0) y que su velocidad inicial es cero.


La ecuacin diferencial que describe el movimiento es por tanto

)(22

tFkxdt

xdgP +=

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Las Ecuaciones Diferenciales ysus Aplicaciones en la Ingeniera

Puesto que inicialmente (t = 0) el peso est x2 por debajo de la posicin de equilibrio,

tenemos x = x2 en t = 0 .

Tambin, puesto que el peso se suelta (esto es, tiene velocidad cero) en t = 0,

0=dtdx en t = 0 .

Solucin:

Como contiene una funcin de los trminos cosBt, con lo que podemos

utilizar el mtodo de los coeficientes indeterminados para determinar la solucin particular.

BtAtF cos)( =

Ensayando como solucin particular BtcsenBtcx p cos21 += de

)()( 2 tFxkDgP =+

BtcsenBtcxp cos21 += senBtBcBtBcx p 21 cos =

Sustituyendo en la ecuacin

BtcBsenBtcBx p cos 22

12 =

)( tFKxxgP =+ calculamos el valor de las constantes y

por tanto la solucin particular.

21,cc

La solucin complementaria de )(22

tFkxdt

xdgP += se obtiene de la misma forma que en el

apartado anterior 1.1 con lo que sera BsenBtBtAxc += cos con lo que la solucin general ser de la forma:

BtcsenBtcBsenBtBtAxxx pc coscos 21 +++=+=

Usando las condiciones iniciales, podemos observar una solucin ser cuando A = B = 0 de

donde podemos sacar que:

BtcsenBtcx cos21 +=

podramos determinar el grfico siguiente:

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El grfico de la ecuacin BtcsenBtcx cos21 += est entre los grficos de x = t y x = - t como se muestra en la figura. Se puede ver en el grfico que las oscilaciones van creciendo

sin lmite. Naturalmente, el resorte est limitado a romperse dentro de un corto tiempo.

En este ejemplo, el amortiguamiento fue ignorado, ocurriendo la resonancia porque la

frecuencia de la fuerza externa aplicada fue igual a la frecuencia natural del sistema no

amortiguado. Esto es un principio general.

En el caso donde ocurre amortiguamiento las oscilaciones no crecen sin lmite, pero sin

embargo pueden llegar a ser muy grandes, la resonancia en este caso ocurre cuando la

frecuencia de la fuerza externa aplicada es ligeramente menor que la frecuencia natural del

sistema.

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Aplicaciones de Vigas Para Ecuaciones Diferenciales

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