ECUACIONESDIFERENCIALES y sus Aplicaciones M.Braun TRADUCTOR: Dr.IgnacioBarradas Bribiesca Centrosde investigacionesen Guonjuoto,Mxico. RevisoresEditoriales: lng.FranciscoPaniaguaBocanegra UniversidadNocionalAutnomode Mxico (UNAM), Mx:co,D.F. Dr.Miguelde Guzmn AsociacinMatemticaEspaola UniversidodCompiuense,MadridEspaa. Grupo Editorial Iberoamrica e Findyour solutions manual here! LOLUCIOKABIO wi11w. elsolucionario. net 'jSubscribe RSSn Find on Facebookn Follow my Tweets B1oloqy Encuentra en nuestra pgina los Textos Universitarios que necesitas! Libros y Solucionarios en formato digital El complemento ideal para estar preparados para los exmenes! L9s Solucir;inarios c9ntienen TODOS lr;is prr;i/llemas del liflr9 resuelt9s y explicados paso a paso de forma clara.. Visitanos para descargarlos GRATIS! Descargas directas mucho ms fciles ... WWWELSOLUCIONARIONET .. lnvestigaci n OperativaCo1nputer Sc1ence Matem'1ticas Avanzadas Physics Estad 1stica Geometra Math fermodinamicaClculo Chemistry [lectrnicaCircuitosBusiness CivilEngineering Electromagnetismo EconomaAnlisis Numerico Electri c.al Engineering Mechanical Enqineenng lgebra Ecuaciones Diferenciales Findyour solutions manual here! VersinenespaoldelaobraOifferentialEquationsand Their Applications porMartnBraun Edicinoriginaleninglspublicadapor Springer-VerlagNewYork,Inc. Copyright 1983,enEstadosUnidosdeAmrica. ISBN0-387-90806-4 D.R. 1990porGrupoEditoriallberoamrica,S.A.deC.V.y/o WadsworthInternational/lberoamrica,Belmont,California94002. Ningunapartedeestelibropuedeserreproducida,archivadao transmitidaenformaalgunaomediantealgnsistema,yaseaelectrnico, mecnico,defotorreproduccin,dealmacenamientoenmemoriaocualquierotro, sinelprevioyexpresopermisoporescritodeGrupoEditoriallberoamricay/ o WadsworthInternational/lberoamrica,divisindeWadsworthInc. ISBN968-7270-58-6 ImpresoenMxico Editor:NicolsGrepeP. Productor:EnriquePraderaT. Cubierta:KoojiNishi,ErnestoNakamura GrupoEditoriallberoamrica,S.A.deC.V. RoGangesNo.64,Col.Cuauhtmoc,06500Mxico,D.F. Apdo.5-192,Tels.5112517,2087741,FAX5147024 Reg.CNIEM1382 Prlogo A laPrimeraEdicin Estelibropresentaunacombinacindelateoradelasecuaciones=O __:__+ rv= 1 + r. dr dv 14.__:__- 2ry= 1 dt. y(O)= 1 15.Obtengalasolucingeneraldelaecuacin (l+12)d'i+1y=(l+12)s12. (Sugerencia:Dividaambosladosdelaecuacinentre1+t2). 16.Hallelasolucindelproblemadevalorinicial (1+ r 2 )dyd+ 4 tv = r. r.

17.Encuentreunasolucincontinuadelproblemadevalorinicial donde y'+y=g(t). g( r) = { 2. y{O)=O Ot*.Estoesexactamenteloqueocurreaqu,yaque y(a)=O. EJEMPLO7Resolverelproblemadevalorinicialdyldt=(1+y)t,y(O)=-1. SOLUCIN.En este caso no esposible dividirambos lados dela ecuacin diferencial entre1+y, ya que y(O)=-1. Sin embargo, esfcilver que y(t)= -1 esuna solucin delproblema de valor inicial,y en la Seccin1.10 se mostrar que esla nica solucion. Ms en general,considrese elproblema devalor inicial dyl dt= f(y) g(t), y(t0)= Yo, f(y0)=O.Ciertamente y(t)=Yoesunasolucindelproblemadevalorini-cial,y en la Seccin 1.1 O se mostrar que esla nica solucin siap ay existe y escontinua. EJEMPLO8Resolverelproblemadevalorinicial (1+ eY)dy /dt =COS(, SOLUCIN.De(10)seobtiene y(7T/2)=3. f, y (1+ er) dr=f'coss ds 3 demodoque y+e Y=2+e3 +sen t.Noesposibleresolveresta ecuacinexplci-tamente para ycomo funcin de t.De hecho en la mayora de las ecuaciones separables nopuederesolversepara ycomofuncindet.Aspues,laafirmacindeque y+ eY = 2 + e3 + sent eslasolucindelproblemadevalorinicialsignificaenrealidadqueesunasolucin implcita ms que explcita.Esto norepresenta ninguna dificultaden lasaplicaciones, ya que siempre esposible encontrar y(t) numricamente con la ayuda de una computa-doradigital.(Seccin1.11.) EJEMPLO9Encontrar todas las soluciones de la ecuacin diferencial dyldt= -tly. SOLUCIN.Multiplicandoambosladosdelaecuacindiferencialpor yseobtiene ydyldt=-t. Deloanterior (12) 24CAPTULO1ECUACIONESDIFERENCIALESDEPRIMERORDEN Ahorabien,lascurvasdescritaspor(12)soncerradas,ynosepuedenresolverpara determinar ycomouna funcindevalornicodet.Elorigendeestadificultad,por supuesto,es.elhechodequelaecuacindiferencialnoestdefinidapara y= O.Sin embargo,lascircunferenciast2 +y2 =c2 estnperfectamente definidasinclusopar y=O.Lascircunferenciast2 +y2 =c2 sellamancurvas solucionesdelaecuacin diferencial dy /dt=- t/y. Msengeneral,sedicequetoda curva definidapor (7)esuna curva solucinde(4). EJERCICIOS En cada uno de los problemasla 5,obtenga la solucin general de la ecuacin diferen-cialdada dytanx + tany 1.(1+12)-d = l + y2Sugerencia:tan(x +y)= 1 tt 1- anxany dy 2.dt={l + t)(l +y) dy= e'+y+J 4dt 3 dyl22 .di=- t +y- ly dy 5.cosysentdt=seny cos t En cada uno de losproblemas 6 a12resuelva elproblema de valor inicial dado y deter-mineelintervalodeexistenciadecada solucin. 6.12(1+ y2)+2y dr=O,y(O)= l dy2t 7.-=--, y(2)=3 dty+ yl2 9. dy 312+41+2 y(O)= -1 dt= 2(y- 1) ' 10. dy- tseny y(l)=n/2cosy-= --, dtl +,2 11. = k (a - y)( b - y),y (O)= O,a, b >O dy 12.3 I dt=y cos t'y ( 1) = o 13.Toda ecuacin de laformadyldt=f(y) esseparable.As pues,esposible resol-vertodaslasecuacionesdiferencialesdeprimer orden enlascualesnoaparece el tiempoenformaexplcita.Ahora supongaquesetieneuna ecuacindiferencial dela forma dyldt=f(ylt). Por ejemplo, la ecuacin dyldt=sen (ylt). Las ecua-ciones diferenciales de esta forma se llaman ecuaciones homogneas. Como el lado 1.4Ecuaciones separables25 derechodelaecuacindependesolamentedeylt sesugierehacerlasustitucin y/t=v,obieny=tv. (a)Demuestre queesta sustitucintransforma la ecuacindyldt=f(ylt) enla ecuacinequivalentet dvldt+v=f(v),lacualesseparable. (b)Encuentrelasolucingeneraldelaecuacindyldt=2(y/t)+(y/t)2 14.Determine culesdelassiguientesfuncionesdetydeypuedenexpresarsecomo funcionesdelavariabley/t. y 2 +2 tyy 3 +( 3y 3 +t 3 (a) 2 (b)-- (e) Yyr2+y3r2+yJ t +V (d)lny-lnt+ --.t-y t+y (g)sen--t-y (t2+7ty+9y2)1/2 (h)3t + 5y 15.Resuelvaelproblemadevalorinicialt(dyldt)= y+~ t+y2,y(l)= O. Hallelasolucingeneraldelassiguientesecuacionesdiferenciales. dv 16.2tv _::_= 3 v2 - 12 .dt. dy 17.(t - y; ) dt=y dyt+y 18dt= t-y dv 19.e1l>'(y-t) dt+y(l+e1!.v)=O Sugerencia:Jr- Idr=ln(I + re'1l.'>] re-l/t+L"2 20.Considerelaecuacindiferencial dyt+y+I dt= t-y +3. Esta ecuacin podra resolverse sino estuvieran presentes las constantes1 y 3.Para eliminarestasconstanteshagalasustitucint=T+h,y=Y+k. (a)Determinehykdemodoquelaecuacin(*)sepuedaescribirenlaforma dY/dT=(T+Y)l(T- Y). (b)Encuentrelasolucingeneralde(8).(Ejercicio18.) 21.(a)Pruebequelaecuacindiferencial dyat+by+ m dt=ct+dy+ n donde a,b,e,d,myn son constantes.Siempre sepuedereduciralaforma dyldt=(at+by)/(ct+dy)siad - be-::/-:O. (b)Resuelvalaecuacinanteriorenelcasoespecialad=be. Encuentrelasolucingeneraldelassiguientesecuaciones. 22.(l + t - 2y) + (4t -3y-6)dy /dt =o23.(t+2y+3)+(2t+4y- l)dy/dt=O 26CAPTULO1ECUACIONESDIFERENCIALESDEPRIMERORDEN 1.5MODELOSPOBLACIONALES En esta seccin seestudiarn ecuaciones diferenciales deprimer orden que rigenelcre-cimientodevariasespecies.Aprimera vistapareceimposibledescribirelcrecimiento deuna especiepor medio deuna ecuacin diferencial,ya que eltamao de una pobla-cin semide siempre en nmeros enteros.Por ello, eltamao de una poblacin no pue-de serunafuncindiferenciableconrespectoaltiempo.Sinembargo,sieltamao de unapoblacinesgrandeyseincrementa enuno,entonceselcambioesmuypequeo comparado coneltamao delapoblacin.Aspues,setomalaaproximacindeque poblacionesgrandescambiancontinuamente,einclusodemaneradiferenciable,con respectoaltiempo. Dentesepor p(t) lapoblacindeunaespeciedada eneltiempoty por r(t, p) ladiferencia entre sustasasde natalidad yde mortalidad.Siesta poblacin est aislada,esdecir,sino existeemigracin oinmigracin,entonces dpldt,la tasa de variacin o cambio de lapoblacin esigual ar p(t). En elmodelo ms simple se supone rconstante,esdecir,que no dependenideltiempo nide la poblacin.Entonces puede escribirsela siguiente ecuacin diferencial que gobierna elcrecimiento delapoblacin dp(t) --=ap(t) dt, a=constante. Esta esuna ecuacin linealy seconoce comolaleyde Malthus para el crecimientode una poblacin.Silapoblacin deuna especie dada es p0 en eltiempo t0,entonces p(t) satisface elproblema de valorinicial d p(t)/dt=a p(t), p(t0)=Po.La solucin de-este problemadevalorinicialesp(t)=p0eU-tol.Deaququetodaespeciequesatisface laleydecrecimientodeMalthuscreceexponencialmenteconeltiempo. Ahora bien,slo sepropusounmodelo sencillopara elcrecimiento de una pobla-cin,tan sencillo que fueposible resolverlo completamente en pocas lneas.Por lo tan-to,esimportante ver sieste modelo, con susencillez,tiene alguna relacin con la reali-dad.Dentese por p(t) lapoblacin humana dela Tierra en eltiempot.Se estima que la poblacin humana delplaneta aument con una tasa promedio de 2% anual durante elperiodo1960-1970.Alempezar la mitad de la dcada,el1 de enero de1965,cuando elDepartamentodeComerciodelgobiernodeEstadosUnidosestimabalapoblacin delaTierraen3 340millonesdepersonas,entoncest0 =1965,P0 =3.34x109 y a=0.02,demodoque Una manera de comprobar la precisin de esta frmula escalcular eltiempo requerido para que seduplique lapoblacin delplaneta y compararlo con elvalor observado de 35aos.La frmula predice que la poblacin de la Tierra se duplica cada Taos, donde e.02T = 2. Sacando logaritmos en ambos lados de la ecuacin se obtiene 0.02 T=ln 2, de modo que T= 50ln2 '.::!'.34.6aos 1.5Modelospoblaconales27 Esto constituye una excelente concordancia con elvalor observado.Por otro lado,sin embargo,viendohaciaelfuturodistante,laecuacinpredicequelapoblacindela Tierra ser de 200 billones en elao 2515,de1 800billones en2625,y de 3 600billones en 2660.Estas son cifras astronmicas cuyo significado esdifcilde imaginar.La super-ficietotaldelplaneta esdeaproximadamente1 860billonesdepiescuadrados( 1 pie cuadradoesiguala929cm2).El8011/odelasuperficieestcubiertaporagua.Supo-niendoqueseestdispuestoavivirenbotesaligualqueentierrafirme,puedeverse fcilmenteqepara elao2515habr solamente9.3piescuadradosporpersona;en elao2625cada persona dispondr deslamenteunpiecuadrado enelcualestarde pieyparaelao2660laspersonasestarnunasenloshombrosdeotras. Parecer,porlotanto,queelmodelonoesrazonableydeberaserdescartado. Sin embargo, no puede ignorarse elhecho de que lopasado ofreci concordancias exce-lentes.Ms an, existe evidencia adicional de que laspoblaciones efectivamente crecen exponencialmente.Considrese elcasodelMicrotusArvallis Pal!,unpequeoroedor que sereproduce rpidamente.Considrese como unidad detiempo elmes y que lapobla-cin crece con una tasa de4011/omensual.Sihay dosroedorespresentes enelmomento inicialt=O,entonces p(t), elnmero de roedores en eltiempo t,satisface elproblema devalorinicial dp (t)/ dt =0.4p,p(0)=2. Porlotanto, (1) Enla Tabla1 secomparanlaspoblacionesobservadasconlaspoblacionescalculadas delaecuacin( 1) TABLA1.CrecimientodelMicrotusArvallisPal! Meseso2610 pobservada2520109 pcalculada 24.522109.1 Comopuedeverse,laconcordanciaesexcelente. OBSERVACIN1.En el caso del Microtus Arval!is Pal/,la p observada esmuy preci-sa,yaqueelperiododegestacinesdetressemanasy eltiempoque serequierepara medir la poblacin esmucho menor.Sielperiodo de gestasinfueramuy corto enton-cesla pobservada podra ser inexacta,ya que muchos de losroedores enpreez daran aluzantesdequeelcensoseterminara. La solucin aldilemaesobservar que losmodeloslinealespara elcrecimientode poblaciones son satisfactorios siempre que la poblacin no sea demasiado grande.Cuan-dolapoblacin esdemasiado grande,estos modelosnopueden serexactosyaqueno reflejanelhecho de que losindividuoscompiten entre spor ellimitado espaciovital, por recursos naturales y por el alimento disponible.As pues, hay que agregar un trmi-no de competicin ala ecuacin diferencial lineal.Una eleccin adecuada deltrmino 28CAPTULO1ECUACIONESDIFERENCIALESDEPRIMERORDEN competitivoes-bp2,dondebesunaconstante,yaqueelpromedioestadsticodel nmero de encuentros por unidad de tiempo esproporcional ap 2Considrese enton-ceslaecuacinmodificada dp2 dt=ap-bp. Estaecuacinseconocecomo laleylogsticadelcrecimientodeunapoblacinylos nmeros a y b sellaman coeficientes vitales de la poblacin.La introdujo por primera vez elmatemtico y bilogo holands Verhulst, en 1837. Ahora bien, en general la cons-tante bes muy pequea comparada con a,de tal modo que si pno esdemasiado gran-de,entonces eltrmino -bp2 esinsignificante comparado con ap,por loque la pobla-cincreceexponencialmente.Sinembargo,sipesgrandeentonceseltrmino-bp2 debetomarseencuentayaquedisminuyelatasadecrecimientodelapoblacin.No esnecesariomencionar que cuantomsindustrializadoesunpas,tantomsespacio disponible tiene, y cuanto ms alimento posee, entonces esms pequeo el coeficiente b. Considrese ahora la ecuacin logstica para predecir elcrecimiento futuro de una poblacin aislada.Si p0 esla poblacin en eltiempot0,entonces p(t), la poblacin en eltiempot,satisfaceelproblemadevalorinicial dp2 - =an-bn dtrr' Esta es. una ecuacin diferencial separable, y de la ecuacin (10) en la Seccin 1.4, se tiene f PdrJ' 2 =ds= t- t0 Poar- br10 Paraintegrarlafuncin1/(ar - br2)serecurreafraccionesparciales.Sehace ar- br2 l=A+-B-r(a-br)ra-br ParaencontrarAyBseobservaque ABA(a-br)+BrAa+(B-bA)r -+--==. ra-brr(a-br)r(a-br) Por lotanto, Aa+(B- bA)r=l. Ya que esta ecuacin escierta para todo valor de r,sevequeAa=1yB- bA= O.Porlotanto,A=1/a,B=bla Y f P_d_r =!f P(!+_b )dr r(a-br)ara-br PoPo l[p1 a - bp0 I ]1p1 a - bpo1 = - ln-+ln=-In- --b- ap0 a - bpaPoa - 'P Aspues, p1a-bp01 a(t-t )=In- -- . oPoa-bp (2) 1.5Modelospoblacionales 29 Ahora bien,esfcildemostrar (Ejercicio1)que la siguiente expresin siempre espositiva a-bp0 a- bp(t) Deaqusesigueque pa- bp a( t- t0)= In - b 0 Poa- 'P Alaplicarelexponencialenambosladosdeestaecuacinseobtiene obien P a-bp e(t-to)=- --- Poa-bp. p0(a- bp)e (3) Ahora se examinar la ecuacin (3) para ver qu tipo de poblaciones predice.Obsr-vesequecuandot- oo Poa p t } ~ - = - . bp0 b Esdecir,independientemente del valor inicial,la poblacin siempre tiende al valor llmite al b.Adems,nteseque p(t) esunafuncinmontona crecienterespectodeltiempo siO O puedeencontrarse>O talque IY(t+h)-y(t)l