Ingeniería MatemáticaUniversidad de Chile

GuíaSemana 4

Ingeniería MatemáticaFACULTAD DE CIENCIASFÍSICAS Y MATEMÁTICASUNIVERSIDAD DE CHILECálculo en Varias Variables 08- 1

1. RESUMEN

Gradiente. Sean Ω ⊂ RN un abierto, f : Ω → R, x0 ∈ Ω, con f diferen-ciable en x0. La derivada de f en x0, f ′(x0) es una matriz fila de tamaño1×N de modo que puede identificarse con un vector de RN , que llamamosgradiente de f en x0 y lo denotamos por ∇f(x0). Identificando los vectoresde RN con las matrices columna, tenemos entonces que ∇f(x0) = f ′(x0)

T

y

∇f(x0) =

∂f∂x1

(x0)∂f∂x2

(x0)

···

∂f∂xN

(x0)

.

• La dirección del gradiente ∇f(x0), es aquella de máximo crecimiento de

f a partir del punto x0.

El hiperplano tangente al grafo de f en el punto (x0, f(x0)) es el conjuntode puntos (x, xN+1) ∈ RN+1 que satisfacen

xN+1 = f(x0) + ∇f(x0) · (x − x0).

En el caso de que se trate de un conjunto de nivel NC(f) = x ∈ RN | f(x) =C de f , y si ∇f 6= 0. Se define el hiperplano tangente a NC(F ) en x0 comoel conjunto de puntos x ∈ RN que satisfacen

∇f(x) · (x − x0) = 0

2. EJERCICIOS PROPUESTOS

Gradiente y Plano Tangente

P1.- Hallar el gradiente de f en cada uno de los siguientes casos:

a) f(x, y, z) = (x − y)exz, en (1, 2,−1).

b) f(x, y) = x2 − y2 sen y, en (π, π).

c) f(x) = ‖x‖α, x ∈ Rn\0, α ∈ R+. En x = 0 y x 6= 0.Hint: Separe en los casos α < 1 y α > 1 para estudiar la diferen-ciabilidad en 0.

P2.- a) Hallar la ecuación para el plano tangente a cada superficie z =f(x, y) en el punto indicado:

i) z = x3 + y3 − 6xy en (1, 2,−3)

ii) z = cosx sen y en (0, π/2, 1)

b) Calcular, para los siguientes casos, la dirección de mayor creci-miento en (1, 1, 1)

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i) f(x, y, z) = xy + yz + xz3

ii) f(x, y, z) = 1x2+y2+z2

P3.- Considere la función f : R3 → R definida por:

f(x, y, z) =exy + z2

1 + cos2(xy)

a) Encuentre ∇f(x, y, z).

b) Encuentre el plano tangente al grafo de f en el punto (x, y, z) =(0, 3, 2).

P4.- Sea S la superficie:

S =

(x, y, z) ∈ R3 : z2 + (√

x2 + y2 − 2)2 = 1

a) Encuentre los planos tangentes a S en(

0, 2 + 1√2, 1√

2

)

y (0, 1, 0).

b) Bosqueje la intersección de S al plano x = 0. En el bosquejo

indique(

0, 2 + 1√2, 1√

2

)

y (0, 1, 0)y dibuje los vectores normales

a S en dichos puntos.

P5.- Calcular una ecuación para el plano tangente a la gráfica de:

f(x, y) =ex

x2 + y2

en x = 1, y = 2.

P6.- Encuentre la linealización de

f(x, y) = x2 − xy +1

2y2 + 3

en el punto (3, 2).

P7.- a) Trazar las curvas de nivel de

f(x, y) = −x − 9y2

para c = 0,−1,−10

b) Sobre su trazo, dibujar ∇f en (1, 1). Explicar.

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P8.- El capitan PF tiene dificultades cerca del lado soleado de Mercurio.La temperatura del casco de la nave, cuando el está en la posición(x, y, z) estará dada por:

T (x, y, z) = e−(x2+2y2+3z2)

donde x, y, z están medidos en metros. Actualmente él está en (1, 1, 1):

a) ¿En qué dirección deberá avanzar para disminuir más rápido latemperatura?.

b) Si la nave viaja a 8 metros por segundo, ¿con qué rapidez decre-cerá la temperatura?.

c) Desafortunadamente, el metal del casco se quebrará si se enfría auna tasa mayor que

√14e2 grados por segundo. Describir el con-

junto de posibles direcciones en las que puede avanzar bajandola temperatura a una tasa no mayor que esa.

Curvas parametrizadas

P9.- Encuentre la derivada de f(x, y, z) = xyz en la dirección del vectorvelocidad de la hélice

r(t) = (cos 3t, sen 3t, 3t)

en t = π3 .

P10.- Sea f : R2 → R definida por:

f(x, y) = x3 − xy + cos(π(x + y))

a) Encuentre un vector normal a la curva de nivel f = 1 en el punto(1, 1).

b) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva de nivelf = 1 en el punto (1, 1).

c) Encuentre un vector normal al grafo de f en el punto (1, 1).

d) Encuentre el plano tangente al grafo de f en (1, 1).

P11.- Considere la superficie S = (x, y, z) ∈ R3 | x2 + y2 − z = 0.

a) Encuentre el plano tangente a S en el punto (0,−π, π2).

b) Considere la curva definida por σ(t) = (t sen t, t cos t, t2).Muestre que σ está contenida en S y que pasa por el punto(0,−π, π2) ¿Cuál es el valor de t allí?Calcule el vector v, tangente a la curva en (0,−π, π2). Haga undibujo.

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3. PROBLEMAS RESUELTOS

P12.- P3 C2 PRIM 07, M. Leseigneur

a) Muestre que la ecuación del plano tangente a la elipsoide x2

a2 +y2

b2+ z2

c2 = 1 en el punto (x0, y0, z0), puede escribirse como:

xx0

a2+

yy0

b2+

zz0

c2= 1

b) Encuentre todos los puntos de la elipsoide x2

a2 + y2

b2+ z2

c2 = 1 paralos cuales el plano tangente forma un ángulo de π

4 con el eje OZ.Identifique la ecuación que satisfacen dichos puntos y expliquesu resultado geométricamente.

Solución

a) Si definimos la función g(x, y, z) = x2

a2 + y2

b2+ z2

c2 − 1, entoncesel vector normal al plano deseado corresponde al gradiente de g.Este es:

∇g =

(

2x

a2,2y

b2,2z

c2

)

Luego, la ecuación del plano corresponde a:

〈∇g, x − x0〉 = 0

Es decir:

2x

a2(x − x0) +

2y

b2(y − y0) +

2z

c2(z − z0) = 0

Luego, utilizando el hecho quex2

0

a2 +y2

0

b2+

z2

0

c2 = 1, se obtiene:

xx0

a2+

yy0

b2+

zz0

c2= 1

b) Necesitamos encontrar los puntos tales que la normal del planoanterior forma un ángulo de π

4 con el eje OZ. Si se impone estacondición:

cos(π

4

)

=〈(

2x0

a2 , 2y0

b2, 2z0

c2

)

, (0, 0, 1)〉∥

∥

(

2x0

a2 , 2y0

b2, 2z0

c2

)∥

∥

Esto lleva a:

√2

2 =2zo

c2

√

4(

x2

0

a4 +y2

0

b4+

z2

0

b4

)

12 =

z2o

c4(

x2

0

a4 +y2

0

b4+

z2

0

b4

)

12

(

x2

0

a4 +y2

0

b4+

z2

0

b4

)

=z2

0

c4

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Finalmente:z20

c4=

x20

a4+

y20

b4

lo que corresponde a elementos pertenecientes al cono de estaúltima ecuación.

P13.- (P1 EX OT 2005, M. Leseigneur)Encontrar todos los puntos de la superficie

z = ex+y + sen(x − y)

cuyo plano tangente es paralelo a z = x + y.

Solución

Sea F (x, y, z) = z − ex+y − sen(x− y), entonces el vector normal a lasuperficie del enunciado es:

∇F =

−ex+y − cos(x − y)−ex+y + cos(x − y)

1

Dado que la curva de nivel F (x, y, z) = 0 coincide con la superficiedel enunciado.Por otro lado, el plano z − x − y = 0 tiene por vector normal:

−1−1

1

Por lo que si se quiere que el plano tangente en (x0, y0, z0) sea paraleloal plano pedido, debemos imponer que sus vectores normales seanparalelos, es decir:

−ex0+y0 − cos(x0 − y0)−ex0+y0 + cos(x0 − y0)

1

= λ

−1−1

1

para algún λ 6= 0. Entonces:

λ = 1, −ex0+y0 − cos(x0 − y0) = −1, −ex0+y0 +cos(x0 − y0) = −1

Y se tienen las siguientes ecuaciones:

ex0+y0 = 2 ⇔ x0+y0 = ln(2), cos(x0−y0) = 0 ⇔ x0−y0 = 2kπ para algúnk ∈ ZFinalmente, los puntos son:

(x, y) ∈ R2| (∃k ∈ Z) x =ln(2)

2+ kπ, y =

ln(2)

2− kπ

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