Ruido de cuantificacin

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Ruido de cuantificacinSe define como error de cuantificacin o ruido de cuantificacin a la seal en tiempo discreto y amplitud continua introducida por el proceso de cuantificacin (uno de los procesos que intervienen en la conversin analgica-digital, que sigue al de Figura 1: Procesos de la conversin A/D. muestreo y precede al de codificacin) y que resulta de igualar los niveles de las muestras de amplitud continua a los niveles de cuantificacin ms prximos. Una vez cuantificadas las muestras podrn ser codificadas ya que siempre se podr establecer una correspondencia biunvoca entre cada nivel de cuantificacin y un nmero entero. Para el caso del cuantificador ideal se trata del nico error que introduce el proceso. El proceso de convertir una seal en tiempo discreto de amplitud continua (esto es, en el proceso de muestreo la seal se ha dividido en el tiempo en un nmero finito de muestras pero el valor de estas an no ha sido limitado en precisin) en una seal discreta en tiempo y amplitud (sus dos dimensiones), expresando cada muestra por medio de una precisin finita y conocida (en contraposicin a una precisin infinita -en matemtica- o indeterminada -en fsica-) consecuencia del ajuste a un nmero finito y determinado de niveles, se denomina cuantificacin. La diferencia que resulta de restar la seal de entrada a la de salida es el error de cuantificacin, esto es, la medida en la que ha sido necesario cambiar el valor Figura 2: Funcin de transferencia del proceso de cuantificacin. Un intervalo de de una muestra para igualarlo a su nivel de valores de entrada (escaln de cuantificacin) se corresponde con un nico valor de cuantificacin ms prximo. Esta diferencia, salida. As, por cada valor de entrada se obtiene un valor de salida y un error que, si se resta al de salida, devolvera el valor de entrada. El error es mximo cuando el entendida como una secuencia de muestras valor de entrada es equidistante a sus dos niveles de cuantificacin ms prximos de tiempo discreto pero de amplitud (se dice entonces que se encuentra sobre el nivel de decisin). El error es cero continua (al igual que la seal de entrada), cuando el valor de entrada equivale a un nivel de cuantificacin y, por tanto, al puede ser interpretado en la prctica como nivel de salida. Se puede observar que la amplitud mxima del error es de medio escaln de cuantificacin ( = Escaln de cuantificacin) mientras la seal de una seal indeseada aadida a la seal entrada se encuentra dentro del rango de cuantificacin. original (motivo por el que se denomina ruido, aunque no siempre cumpla con todos los criterios necesarios para ser considerado as y no distorsin), de modo que se cumple:

Ruido de cuantificacin

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Figura 3: Modelo matemtico del ruido de cuantificacin.

donde

representa a la secuencia de muestras de amplitud continua a la entrada del cuantificador,

a la

secuencia de muestras de amplitud discreta (cuantificadas) a la salida del cuantificador y secuencia de muestras de amplitud continua del error de cuantificacin. El receptor/lector de codificada posterior) no tiene la informacin necesaria para identificar el componente de error poder recuperar

representa a la (o de su versin que incluye y

. Es decir, la reconstruccin de las muestras originales de amplitud continua (sin cuantificar)

no es posible slo a partir de las muestras cuantificadas: falta la informacin necesaria para distinguir el error de la seal una vez2 es posible verificar cuantificacin (vase Figura 3). En la Figura estos se suman en la que el error de cuantificacin est siempre en el rango -/2 a /2 mientras

la seal analgica de entrada se encuentre dentro del rango del cuantificador:

donde

es el tamao del escaln de cuantificacin que viene dado por:

donde

es el rango del cuantificador y

el nmero de niveles de cuantificacin.

Ruido de cuantificacin

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Figura 4: La lnea roja corresponde con las muestras (2000 en este ejemplo para el ciclo completo por lo que produce la ilusin de ser continua) sin cuantificar (muestras de entrada al cuantificador) de una seal original sinusoidal sin dither, la verde representa esas mismas muestras de entrada cuantificadas (salida del cuantificador ideal) y la azul muestra el error de cuantificacin que resulta del proceso de cuantificacin. La relacin seal a ruido de cuantificacin (SQNR) es para este caso de slo 24,74 dB con objeto de resaltar el error de cuantificacin y su forma. Dicho de otro modo, la amplitud de la sinusoidal original de entrada (lnea roja) es de 7,5 niveles de cuantificacin (la mxima amplitud de una sinusoidal que puede cuantificar un cuantificador por redondeo de 4 bits ya que el nivel de cuantificacin de valor 0 no puede estar centrado al haber un nmero par de niveles totales). Con objeto de poner de manifiesto el ruido de cuantificacin, a la seal de entrada sinusoidal de este ejemplo no se le ha aadido Dither (un ruido analgico que se aade intencionadamente a la seal de entrada antes de la conversin A/D). En la prctica, y como consecuencia de la lgica y habitual prctica de aadir dither (vase Ruido o distorsin: la necesidad de aadir dither), la figura notablemente escalonada de una seal cuantificada como la ilustrada aqu adquiere el aspecto de la Figura 9.

En el caso de que el error est limitado en magnitud [es decir,

], el error resultante se denomina es ilimitado y resulta en

ruido granular. Cuando la entrada cae fuera del rango de cuantificacin (recorte),

ruido de sobrecarga. Tericamente, la cuantificacin de las seales analgicas resulta siempre en una prdida de informacin (incluso en su caso ideal). ste es el resultado de la ambigedad introducida por la cuantificacin. De hecho, la cuantificacin es un proceso no reversible, dado que a todas las muestras a un intervalo inferior a /2 de un determinado nivel se les asignan el mismo valor. Sin embargo, discretizar una seal en su otra dimensin (el tiempo) mediante el proceso de muestreo, no es irreversible tal y como demuestra el teorema de muestreo y si se cumplen los criterios que impone el propio teorema debido a la naturaleza peridica y, por tanto, determinista de las seales que se someten a este proceso y a la limitacin del ancho de banda (lmite superior a la frecuencia de los componentes que componen la seal peridica). Dicho de otro modo, una onda peridica muestreada cumpliendo los criterios de Nyquist slo puede comportarse de un nico modo entre dos muestras contiguas y este comportamiento es totalmente deducible a partir de la serie completa de muestras de amplitud continua de la seal. La discretizacin de la dimensin amplitud (la cuantificacin), es, por tanto, el nico proceso que introduce un error terico (en procesos ideales) sobre la seal original en todo el procedimiento completo de digitalizacin de una seal.

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Espectro y distribucin de probabilidad de la amplitud del error de cuantificacinEl ruido de cuantificacin es aproximadamente de distribucin uniforme en amplitud y de densidad espectral ms o menos constante (ruido blanco) sobre toda la banda de Nyquist[1] (hasta la frecuencia crtica) en el supuesto de que el error de cuantificacin no est correlacionado con la seal ni presente periodicidad. En este caso es posible referirse al error de cuantificacin como un ruido blanco uniforme. Bajo ciertas condiciones donde la tasa de muestreo y la seal estn relacionados armnicamente, esto es, que alguno de sus componentes armnicos sea de una frecuencia submltiplo par de la de muestreo, el error de cuantificacin queda correlacionado y la energa se concentra en los armnicos de la seal (si bien la potencia del error es, en general, la misma que para el caso no correlacionado). En este caso, cuando la seal no deseada es funcin de la seal de entrada, el error no es un ruido y debe ser descrito como distorsin.

Clculo de la relacin seal-ruido de cuantificacin (SQNR)Si se cumplen las siguientes suposiciones sobre las propiedades estadsticas de 1. El error se distribuye uniformemente sobre el rango es una secuencia estacionaria de ruido blanco. En otras palabras, el error estn incorrelados. est incorrelada con la secuencia . :

2. La secuencia de error y el error 3. La secuencia de error 4. La secuencia el efecto del ruido aditivo para

tiene media cero y es estacionaria. en la seal deseada se puede cuantificar evaluando la relacin (potencia) seal a

ruido de cuantificacin (SQNR), que se puede expresar en escala logartmica (en decibelios o dB) como

donde

es la potencia de la seal y

es la potencia del ruido de cuantificacin.

En adelante y para el resto de los clculos sobre la potencia promedio del error de cuantificacin, se aceptar que el error cumple con las propiedades estadsticas descritas. No obstante, en general, estas suposiciones no se mantienen, por lo que los clculos que siguen no se entendern de aplicacin universal. Sin embargo, se mantienen cuando el tamao del escaln de cuantificacin es pequeo en relacin con la seal y la secuencia atraviesa varios niveles de cuantificacin entre dos muestras sucesivas.

Ruido de cuantificacin

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Potencia del error de cuantificacinSi el error de cuantificacin se mantiene uniforme en el rango (-/2, /2) (Figura 6), el valor medio del error es, por tanto, cero y la potencia del ruido en toda la banda de Nyquist con relacin al escaln de cuantificacin es la varianza de esta distribucin uniforme:[2]

Figura 6: Funcin de densidad de probabilidad de los valores del error de cuantificacin. Se trata de una distribucin uniforme continua en el rango (-/2, /2). Su varianza es de /12 y su desviacin estndar (e) est marcada en rojo.

Este resultado coincide con la potencia promedio de una onda triangular o en dientes de sierra de amplitud mxima (amplitud de pico o cresta) : una seal en dientes de sierra de esta amplitud de pico en el intervalo correspondiente a un semiciclo (0, ) se puede describir:

Por tanto, la potencia de la seal en dientes de sierra es:

que coincide con el anlisis por la varianza del primer clculo. Es importante notar que estos clculos se refieren a la potencia total del ruido de cuantificacin distribuido en todo el intervalo de frecuencias desde CC hasta la frecuencia de Nyquist (la mitad de la tasa de muestreo), es decir, no contempla la reduccin de la potencia consecuencia del uso de un filtro por sobremuestreo en la conversin A/D (vase Figura 10 y el captulo que trata el sobremuestreo).

Potencia de una seal armnica (sinusoidal)Para una seal armnica (sinusoidal) amplitud para el rango de convertidor de un de amplitud de pico bits, la potencia , se obtiene: , es decir, de mxima

Conocida la potencia

del error de cuantificacin en funcin del escaln de cuantificacin siendo

y la potencia

de una seal sinusoidal de amplitud mxima para un convertidor de rango

el nmero de bits que

caracteriza al cuantificador, podemos sustituir en la ecuacin antes mencionada del clculo de la relacin SNQR (resultado expresado en dB):

Ruido de cuantificacin

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En ocasiones se describe esta relacin sin la constante "1,761". Esto es debido a que no se ha tenido en cuenta que la relacin seal a ruido no es una simple relacin entre amplitudes de pico: se relacionan las potencias de dos seales y stas, en relacin a su amplitud de pico, dependen de su forma de onda. En el caso de la aproximacin descrita con la constante "1,761", lo que se relaciona es una sinusoidal pura mxima con un ruido cuya amplitud en las muestras cumple una densidad de probabilidad uniforme (vase Figura 6). La necesidad de aadir una constante resulta del hecho de que la potencia de una sinusoidal es un 50% mayor que la del ruido de distribucin uniforme de idntica amplitud de pico [10log (1,5) 1,761]. Si la seal de referencia (mxima) no fuera una sinusoidal pura, este valor slo sera una aproximacin. El uso de una sinusoidal pura como referencia resulta, por tanto, de una convencin. Es necesario recordar que aunque la aproximacin SQNR 6,0206b + 1,7609 se emplea casi universalmente para la determinacin de la relacin seal a ruido de cuantificacin mxima terica de un cuantificador, sta slo es un clculo preciso para una seal de entrada sinusoidal de mxima amplitud (que cubre todo el rango del cuantificador) y cuyo error de cuantificacin cumple las suposiciones estadsticas descritas en el clculo de la potencia del error (vase Ruido o Distorsin). De hecho, se puede comprobar en la Figura 5 como la SQNR de la ltima seal, la que resulta de una sinusoidal de 32767,5 escalones de cuantificacin de amplitud de cresta (a falta de un nico escaln cubrira todo el rango de un cuantificador de redondeo de 16 bits), es ligeramente superior a lo que resultara del clculo anterior aplicado a un cuantificador de 16 bits. En cualquier caso las diferencias son despreciables para seales de amplitud mxima cuantificadas con ms de 6 bits (una SQNR de unos 40 dB). La relacin SQNR aqu mostrada contempla un ruido que se extiende por toda la banda de Nyquist. Si parte de esta banda se filtra se deber aadir una constante para la banda restante (vase El sobremuestreo...).

Valor eficaz (RMS) del error de cuantificacinSi el error de cuantificacin se mantiene uniforme en el rango (-/2, /2), el valor medio del error es, por tanto, cero y el valor eficaz (raz cuadrtica media o RMS del ingls Root Mean Square) del ruido expresado en escalones de cuantificacin es igual a la desviacin estndar de esta distribucin uniforme:

Es importante notar que estos clculos se refieren al valor eficaz del ruido de cuantificacin distribuido en todo el intervalo de frecuencias desde CC hasta la frecuencia de Nyquist (la mitad de la tasa de muestreo), es decir, no contempla la reduccin del valor eficaz consecuencia del uso de un filtro por sobremuestreo en la conversin A/D (vase Figura 10 y el captulo que trata el sobremuestreo).

Valor eficaz (RMS) de una seal armnica (sinusoidal)Para una seal armnica (sinusoidal) amplitud para el rango de convertidor de un de amplitud de pico , es decir, de mxima , se obtiene:

bits, el valor eficaz en escalones de cuantificacin

Ruido de cuantificacin Por supuesto, tambin es posible deducir la relacin seal a ruido de cuantificacin (SQNR) a partir de los valores eficaces del ruido y la seal sinusoidal mxima para un nmero determinado de bits mediante:

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La relacin SQNR aqu mostrada contempla un ruido que se extiende por toda la banda de Nyquist. Si parte de esta banda se filtra se deber aadir una constante para la banda restante (vase El sobremuestreo...).

Ruido o DistorsinEl error de cuantificacin no siempre cumple, ni por aproximacin, con las propiedades estadsticas que caracterizan a una seal aleatoria, esto es, no siempre puede ser descrito como un ruido. Un ruido blanco de espectro uniforme debe mostrar, al menos, una buena aproximacin a las siguientes propiedades estadsticas: 1. El error se distribuye uniformemente sobre el rango .

2. La secuencia del error y el error entrada al cuantificador. para 3. La secuencia del error

es una secuencia estacionaria de ruido blanco. Dicho de otro modo, el error no muestra correlacin. Es decir, no hay periodicidad. no muestra correlacin con la secuencia , es decir, con la analgica de

Cuando el error de cuantificacin ni siquiera se aproxima a estos supuestos estadsticos, el error no debe ser considerado ruido, sino distorsin. Esto es especialmente notable cuando se cumple al menos una de las tres condiciones relativas a la seal y su relacin con el muestreo y la cuantificacin: 1. La relacin seal a ruido de cuantificacin es baja, es decir, cuando la amplitud de la seal a cuantificar cubre un rango de pocas decenas de escalones de cuantificacin. 2. Con tasas de muestreo altas en relacin con los componentes de frecuencia ms alta de la seal, la secuencia original de muestras a cuantificar se mantienen dentro del mismo escaln de cuantificacin entre dos muestras consecutivas. Las tres primeras seales de la Figura 5 (2000 muestras para un nico ciclo)

Figura 5: Ejemplos de ruido de cuantificacin de distinta relacin seal-ruido de cuantificacin (SQNR) de un nico ciclo de 2000 muestras correspondientes a una seal armnica (sinusoidal). De arriba a abajo: 1) Lnea negra: error resultante de cuantificacin sobre seal original de amplitud 1,5 escalones de cuantificacin (SQNR: 10,18 dB). 2) Lnea roja: error resultante de cuantificacin sobre seal original de amplitud 7,5 escalones de cuantificacin (SQNR: 24,74 dB). 3) Lnea azul: error resultante de cuantificacin sobre seal original de amplitud 127,5 escalones de cuantificacin (SQNR: 49,77 dB). Lnea verde: error resultante de cuantificacin sobre seal original de amplitud 32767,5 escalones de cuantificacin (SQNR: 98,19 dB). En todos los casos, la amplitud mxima del error equivale a la mitad de un escaln de cuantificacin y en las cuatro muestras de esta figura el escaln de cuantificacin se muestra con idntica amplitud.

muestran este efecto. 3. Cuando existen componentes cuya frecuencia son submltiplos enteros de la tasa de muestreo.

Ruido de cuantificacin Cuando se da alguna de estas condiciones, si bien no se alteran los valores generales de potencia del error en todo su espectro (y, por tanto, de la relacin total SQNR), sta se concentra en armnicos cuya intensidad excede ampliamente el nivel del ruido cuando ste puede ser considerado como tal. La distorsin, en general, es una propiedad menos tolerable que el ruido. La energa se acumula en frecuencias determinadas del espectro y la relacin de esta energa con la de la seal de entrada puede ser significativa. En aplicaciones de audio y vdeo, el fenmeno de la distorsin es mucho ms perceptible que el del ruido. Existe un modo de asegurar que el error de cuantificacin se pueda considerar siempre un ruido blanco, es decir, que cumpla una buena aproximacin a los tres supuestos estadsticos antes mencionados que caracterizan a este tipo de ruido: sacrificar relacin seal a ruido total (SNR) aadiendo ruido analgico a la seal analgica antes del proceso de conversin A/D (vase Figura 8). Este ruido analgico que se aade intencionadamente antes del proceso de conversin A/D se denomina Dither (que podra ser traducido al espaol como "temblor") y, siendo del correcto tipo y amplitud, asegura que en todas las circunstancias de muestreo y cuantificacin, el error de cuantificacin muestre una densidad espectral de potencia (DEP) compatible con la naturaleza aleatoria de un ruido.

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La necesidad de aadir "dither"El dither sacrifica relacin seal a ruido total (SNR) a cambio de impedir que la seal cuantificada pueda mostrar caractersticas propias de una distorsin, esto es, alejarse del ideal de una seal aleatoria como ruido. La reduccin terica de la relacin seal a ruido total como consecuencia de la adicin correcta de dither triangular de rango (-, ) (vase Figura 7) a la seal analgica de entrada al convertidor A/D es de, aproximadamente, 4,77 dB (el equivalente a multiplicar por tres la potencia del ruido, esto es, 10log(3) 4,77), de modo que un cuantificador de 16 bits, por ejemplo, cuya relacin seal sinusoidal mxima a ruido de cuantificacin (SQNR) es de, aproximadamente, 98,09 dB, en la prctica no Figura 7: Funcin densidad de probabilidad de un dither puede presentar relaciones seal a ruido (SNR) superiores a triangular. La varianza es de /6 y su desviacin estndar (v) est marcada en rojo. los 93,32 dB slo como consecuencia del uso de dither. Naturalmente, en la prctica la reduccin ser an mayor. Para muchas aplicaciones este sacrificio debe ser considerado un mal necesario. Es necesario tener presente que en muchos casos se hace innecesario aadir dither artificialmente toda vez que la seal a convertir ya incluye un ruido cuya potencia es suficiente para evitar la necesidad de aadir ms, esto es, cuando la potencia del ruido de la seal iguala o supera la potencia que resultara del escaln de cuantificacin del cuantificador que se pretende emplear. Esto es especialmente frecuente en los procesos de cuantificacin de ms de 16 bits, donde es habitual que la seal analgica a cuantificar presente un ruido de potencia o valor eficaz comparable o superior al del hipottico ruido que resultara de ese mismo proceso de cuantificacin realizado sin aadir dither. Sin embargo, el dither se hace casi universalmente necesario en todos los casos de recuantificacin[3] donde se reduce el nmero total de niveles de cuantificacin (por ejemplo, al convertir una seal ya digitalizada de 16 a 14 bits), es decir, cuando se aumenta la amplitud del escaln de cuantificacin (mismo rango de cuantificacin, menor nmero de niveles de cuantificador) o cuando se reduce la amplitud de una seal en el dominio digital (por ejemplo, cuando se pretende controlar el volumen de una seal de audio en el mbito digital, esto es, multiplicando/dividiendo los valores por una constante): dividir los valores cuantificados (enteros) entre dos con redondeo con la pretensin de atenuar en -6 dB su intensidad, por ejemplo, es equivalente en la prctica a dividir tambin entre dos el dither que inclua la seal. Un mismo escaln de cuantificacin (intervalo de amplitud entre dos niveles contiguos de

Ruido de cuantificacin cuantificacin que no ha cambiado porque slo se han dividido el valor de las muestras) para un dither original atenuado requiere ms dither para compensar el hecho de que ste ya no cubre la amplitud (relativa al escaln de cuantificacin) prevista. Dicho en pocas palabras, toda atenuacin digital de una seal debe compensar la inevitable atenuacin del dither original aadiendo el perdido en la atenuacin. Esto es un procedimiento habitual en los procesadores digitales de seal (DSP). Son varios los tipos de dither empleados en la conversin A/D de seales. Si bien en todos los casos se trata de un ruido de densidad espectral de potencia (DEP) esencialmente constante en todo el espectro (es decir, blanco), tanto la distribucin estadstica de la amplitud que pueden mostrar las muestras de entrada al cuantificador como la amplitud de pico del dither a aadir puede ser variable:[4] - Funcin densidad de probabilidad (FDP) uniforme (RPDF) y amplitud de pico - FDP uniforme (RPDF) y amplitud de pico - FDP triangular (TPDF) y amplitud de pico - FDP gaussiana y (potencia = (potencia = (potencia = ). ). ). Vase Figura 7. (potencia = ).

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Para el clculo de la potencia del ruido total (dither+error de cuantificacin) tras el proceso de cuantificacin, basta aadir a la potencia del dither. El ejemplo de las Figuras 8 y 9 incluye un dither de distribucin triangular y amplitud de pico de densidad de probabilidad en Figura 7) a -21,03 dB de la seal. (vase su funcin

Figura 8: Rplica de la seal de entrada de la Figura 4 con dither analgico aadido. La amplitud del dither que se debe aadir depende del escaln de cuantificacin con el que se cuantificar la seal posteriormente. En este caso, considerando que el rango total del grfico se cuantificar posteriormente (para la Figura 9) con un total 16 niveles de cuantificacin (4 bits), el dither aqu aadido tiene una amplitud de pico de un escaln de cuantificacin: 1/16 del rango total del grfico. Con relacin a la seal de la Figura 4, la seal sinusoidal sin dither se ha reducido en amplitud (-1,243 dB aprox.) en la medida del dither para dar cabida a la seal resultante en el rango del cuantificador. La amplitud de pico de la seal sinusoidal sin dither es de 6,5 escalones en un cuantificador de 16 niveles (4 bits), que resultar en la seal cuantificada de la Figura 9. La relacin seal a ruido (seal a dither) es de 21,03 dB en este ejemplo, siendo la potencia de este dither igual a /6 y la de la seal igual a 169/8. La seal tiene, por tanto, unas 127 veces la potencia del dither (11,26 veces su valor eficaz -RMS-).

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Figura 9: En azul, seal con dither de la Figura 8 cuantificada con redondeo a 16 niveles (2000 muestras en todo el intervalo mostrado). Tambin se muestra el error total [dither+error de cuantificacin] sobre la seal sinusoidal original. La relacin seal a ruido total (dither+error de cuantificacin) es de 19,27 dB, es decir, el proceso de cuantificacin ha aadido un 50% de potencia al ruido dither original al sumar su error de cuantificacin. Comparada esta relacin con la SQNR de la Figura 4 (considerando la atenuacin de la seal en el ejemplo de las Figuras 8 y 9), se hace evidente que el uso de dither tiene como contrapartida un sacrificio neto de la relacin seal a ruido total. La amplitud de pico mxima del ruido total es de 1,5 escalones de cuantificacin y su valor eficaz (RMS) es de, exactamente, medio escaln.

El sobremuestreo en conversin A/D y su relacin con el error de cuantificacinEl sobremuestreo en la conversin A/D (que no debe ser confundido con el sobremuestreo en conversin D/A) consiste en realizar el proceso de muestreo a una tasa superior a la estrictamente necesaria para la reconstruccin de la seal a registrar. Esta tasa estrictamente necesaria viene determinada, de acuerdo con el teorema de muestreo de Nyquist-Shannon, por la frecuencia lmite que se desea registrar en la seal de inters: slo se podrn registrar frecuencias por debajo de la mitad de la tasa de muestreo. En la prctica, y como consecuencia de las limitaciones prcticas de los filtros analgicos reales, siempre es necesario realizar sobremuestreo en alguna medida. Por ejemplo, en aplicaciones de audiofrecuencia como el CD-Audio, donde la seal de inters se limita componentes de frecuencias de hasta 20 kHz, se aplica un sobremuestreo de un 10% (k=1,1), aproximadamente, resultando en una frecuencia lmite de 22,05 kHz (tasa de muestreo de 44100 muestras por segundo). Pero este sobremuestreo del 10% slo tiene por objeto contemplar las limitaciones prcticas que resultan de una implantacin real. En otros diseos, un sobremuestreo an mayor permite implantaciones prcticas que minimizan o eliminan la necesidad de filtros antialiasing analgicos complejos y costosos, esto es, permiten filtros con pendientes de atenuacin suaves y de fase lineal en la banda pasante (ventajas prcticas que, en algunos casos, se pueden lograr tambin aplicando tcnicas de sobremuestreo con filtrado digital en la conversin D/A).

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Figura 10: Densidad Espectral de Potencia (DEP) del ruido de cuantificacin (no se muestra seal) para dos tasas de muestreo fs2=2fs1. Es importante notar que el eje de las ordenadas no representa potencia, sino potencia por unidad de frecuencia. La potencia en este diagrama es siempre un rea (en verde). La potencia total (rea verde) es la misma en los dos casos a y b (A/12) por lo que se demuestra que es independiente de la frecuencia de muestreo, pero la que resulta de una tasa de muestreo doble (b con tasa fs2) se extiende por un intervalo espectral superior con una densidad de potencia que es la mitad del caso a.

Sin embargo, el sobremuestreo tambin puede ser empleado para lograr una mayor relacin seal a ruido de cuantificacin mxima a la posible para un nmero determinado de niveles de cuantificacin sin sobremuestro. Esto es as porque las ecuaciones que se detallan en este artculo se refieren a seales (sus potencias y valores eficaces) que cubren toda la banda de Nyquist o, dicho de otro modo, presuponen que todas las posibles frecuencias de la seal cuantificada son de inters hasta el lmite de Nyquist. Si hay sobremuestreo y los intervalos excedentes del espectro (donde no existen frecuencias de inters) se eliminan -filtran-, se reducir la potencia total del ruido de cuantificacin y, consecuentemente, aumentar la relacin seal a ruido de cuantificacin (SQNR) mxima en la banda de inters (que con sobremuestreo slo es un subconjunto de toda la banda de Nyquist). Para este caso (sobremuestreo+filtro), las ecuaciones de este artculo para el clculo de la potencia (o del valor eficaz) del ruido de cuantificacin y de la relacin seal a ruido de cuantificacin sobre sinusoidal mxima debern contemplar como variable al cociente (k) resultante de dividir la frecuencia crtica (frecuencia de Nyquist) que resulta de la tasa de muestreo empleada entre el ancho de banda de inters.

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Sea

igual al ancho de banda (Hz) de la

seal de inters (si se trata de una seal en banda base, la frecuencia ms alta de inters que sta puede contener) y la tasa (muestras por segundo) de muestreo empleada, el factor de sobremuestreo se define como:

Figura 11: Si se emplea una tasa de muestreo fs y slo se tiene inters por registrar seales con frecuencias hasta fs/4, se estar empleando un factor de sobremuestreo k=2. Si se elimina el ruido correspondiente al espectro que no es de inters (de fs/4 a fs/2 en este ejemplo y cuya potencia est representada por el rea roja) mediante un filtro pasa-bajo ideal se estar dividiendo la potencia total del ruido en un factor que ser el mismo que el de sobremuestreo (k), en este caso, la potencia pasara de /12 a /24. La relacin seal a ruido de cuantificacin mxima terica se incrementar en este caso en 10log(k)=10log(2)3,0103 dB.

La potencia del ruido de cuantificacin

pasa de

para toda la banda de Nyquist a

tras aplicar el filtro y

slo para la banda de inters. En el clculo de la relacin seal a ruido de cuantificacin mxima, es necesario aadir una constante ( como ganancia del proceso) que depende del factor empleado:

, conocida

El equivalente en bits

de esta ganancia de proceso es:

De modo que SQNR tambin se puede expresar:

As, mediante este procedimiento, es necesario multiplicar por 4 la tasa de muestreo cada vez que se desea aadir, aproximadamente, 6,0206 dB a la relacin seal a ruido de cuantificacin mxima terica de un cuantificador determinado. Por ejemplo; si para una seal de 30 kHz de ancho de banda B=30000 se emplea una tasa de muestreo de 65 millones de muestras por segundo fs=65000000 con una cuantificacin de 10 bits (SQNR mxima terica de 61,967 dB sin sobremuestreo), tendr una relacin seal a ruido de cuantificacin de 92,31 dB para sinusoidal mxima sobre la banda de 30 kHz exclusivamente, esto es, una ganancia de proceso de 30,35 dB (k1083; bg5). Por s solo, el sobremuestreo+filtrado no es un proceso eficiente para incrementar la SQNR mxima de un sistema o formato, dado que multiplicar por 4 la tasa de muestreo equivale a un incremento de la SQNR que se corresponde con doblar el nmero de niveles de cuantificacin, esto es, emplear un bit ms en la codificacin (+6,0206 dB aprox.). Sin compresin de datos, un CD-Audio genera, para su transmisin o almacenamiento, un caudal de datos netos[5] de 1,41 Mbps. Un sistema con una cuantificacin de 131072 niveles (codificacin de 17 bits) en lugar de los

Ruido de cuantificacin 65536 (16 bits) que emplea el CD-Audio generara un flujo de datos slo un 6,25% superior, esto es, de 1,5 Mbps. Sin embargo, si se pretende la misma SQNR slo mediante sobremuestreo y filtro, ser necesario multiplicar por 4 la tasa de muestreo y, en el mismo factor, el flujo de datos que genera (pasando de 1,41 Mbps a 5,64 Mbps). Sin embargo, s existen modelos tericos que explotan notablemente mejor el principio del sobremuestreo gracias al uso de tcnicas adicionales que redistribuyen el ruido de cuantificacin en el espectro, aumentando la densidad espectral de potencia en la banda a eliminar y disminuyendo la que corresponde a la banda de inters: la modulacin denominada Sigma-Delta, de aplicacin extendida para seales de ancho de banda bajo o medio-bajo.

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Modulacin Sigma-Delta

Figura 12: Modulacin Delta y sus dos tipos de errores de cuantificacin (en azul).

Basado en el principio de sobremuestreo existe un tipo de conversor A/D y D/A caracterizado por el uso de un tipo de codificacin de forma de onda denominado modulacin sigma-delta (o modulacin ).[6] Estos conversores explotan eficientemente el principio de sobremuestreo empleando tcnicas de modelado de ruido (del ingls Noise Shaping), y filtrado digital. Mediante el proceso de diezmado (tambin descrito como submuestreo o, del ingls, downsampling), consistente en dividir la tasa de muestreo de una seal en tiempo discreto por un divisor entero (cualquier valor entero, no necesariamente diez como se podra pensar por el significado habitual del verbo diezmar), esto es,

se puede deshacer el sobremuestreo sin prdida alguna de informacin (siempre que slo se elimine el sobremuestreo en hasta su factor , es decir, y se haga uso previamente del correspondiente filtrado antialiasing).[7] Una buena proporcin de convertidores A/D hacen uso de modelos de codificacin por modulacin proceder a la conversin a modulacin por impulsos codificados (PCM) multibit. para despus

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Es una SQNR mxima terica de 98,1 dB (CD-Audio) suficiente para audio?En esencia, lo descrito en este artculo se puede resumir en que todo lo que aade un cuantificador ideal a una seal de entrada es otra seal y que si el procedimiento es realizado correctamente, la seal aadida ser de naturaleza aleatoria, esto es, un ruido. Esto es vlido incluso para relaciones seal a ruido tan bajas como las de la Figura 9, donde se hacen evidentes los 15 niveles empleados en su cuantificacin. Y la adicin de un ruido blanco nunca puede resultar en una propiedad caractersticamente digital (para aplicaciones de audiofrecuencia son frecuentes los prejuicios "digitales", es decir, la atribucin errnea de propiedades caractersticas al sonido reproducido de fuentes digitales, atributos del tipo "sonido metlico" o "sonido digital"). La Figura 9, por ejemplo, debe ser interpretada como una seal perfectamente armnica (sinusoidal) cuya nica limitacin es la de tener una potencia que slo representa, aproximadamente, 85 veces la del ruido blanco que incorpora. Este ruido (que equivale a la informacin perdida en el proceso de cuantificacin y al dither aadido antes), sin embargo, no es algo exclusivo de lo digital: todas las seales analgicas lo incorporan en mayor o menor medida. Un estudio de grabacin (un lugar extraordinariamente silencioso), por ejemplo, puede tener un nivel de ruido ambiente cuya potencia promedio es el equivalente a unos 20 dBSPL en toda la banda de audiofrecuencias. Si el sonido ms intenso que se desea registrar en ese estudio slo tiene una potencia 100000 veces (+50 dB) la de ese ruido ambiente, es decir, de 70 dBSPL, la seal de un hipottico micrfono (la electrnica tambin contribuir con su propio ruido, tpicamente trmico) mostrara para este caso una relacin seal a ruido mxima sobre los 50 dB y bastara un cuantificador de 512 niveles de cuantificacin (9 bits) para cuantificar correctamente la seal (mximo SQNR para 512 niveles: 55,95 dB). Al contrario de lo que puede parecer intuitivo (y, de hecho, es creencia extendida), emplear para este caso un cuantificador ms resolutivo no resulta en una grabacin ms fiel: el ruido que incorpora la seal analgica es lo que limita su resolucin final (el ruido analgico acta como un intervalo de incertidumbre parecido al de la ambigedad que introduce el cuantificador entre niveles) y cada bit que se emplee por encima de los necesarios es un bit cuyo valor ser aleatorio puro (sin informacin/entropa mxima). Todo cuanto se obtiene de una cuantificacin con ms niveles es el potencial para registrar una mayor relacin seal a ruido mxima, esto es, que la potencia mxima que se puede registrar respecto al nivel del ruido sea mayor, pero no podr en ningn caso mejorar la relacin seal a ruido que ya tiene la seal analgica en origen. Por tanto, para saber cuntos niveles de cuantificacin son necesarios y suficientes, slo es necesario conocer la relacin seal a ruido mxima de la seal analgica que se pretende cuantificar. La aparicin reciente de nuevos formatos de registro de audio digital para usuario final denominados de alta resolucin (DVD-Audio y SACD), que permiten el registro de seales con una relacin mxima seal a ruido de cuantificacin (SQNR) sobre los 120 dB en la banda de audiofrecuencias (20-20000 Hz) parece poner en cuestin la suficiencia, en el mbito del registro y reproduccin de sonidos para el usuario final, del formato ms extendido, el CD-Audio (PCM/16 bits), que permite un lmite superior terico a la relacin seal a ruido de cuantificacin de 98,1 dB en toda la banda hasta su frecuencia crtica (22,05 kHz).

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Los 98,1 dB del CD-Audio representan un lmite terico para una seal sinusoidal pura (sin dither) mxima en un cuantificador ideal de 16 bits. En la prctica, la relacin seal a ruido total queda limitada a valores mximos prximos a los 90 dB por factores entre los que se incluye la correcta adicin de dither a la seal analgica antes del proceso de conversin. Pero incluso un rango prctico sobre los 90 dB representa un intervalo extraordinariamente amplio si se tiene presente que ese es el rango que se cubre desde un nivel de ruido de ambiente Figura 13: Extensin de la voz y la msica natural en intensidad (a distancias de tan bajo como el de un estudio de grabacin escucha normales) y frecuencia. (~25 dBSPL) hasta la proximidad del umbral del dolor (~120 dBSPL; vase Figura 13). Es necesario notar que, para frecuencias inferiores a 125 Hz (lo que incluye ms de dos de las diez octavas audibles), un nivel de 25 dBSPL ni siquiera supera el umbral de audibilidad.[8] La necesidad de una cuantificacin que provea una relacin seal a ruido de cuantificacin terica superior a los 98,1 dB del CD-Audio para distribucin final es slo un mito[9] audifilo. Asimismo, y para material musical normal, existen evidencias experimentales[10] que concluyen que no existen diferencias audibles entre los formatos denominados de "alta resolucin" y el tradicional soporte de audio digital CD-Audio. Sin embargo, el uso de cuantificadores de 20 bits est plenamente justificado en los equipos de grabacin y procesamiento o como formato de edicin de los estudios profesionales. Este rango dinmico extra permite a los profesionales mayores mrgenes de error durante los procesos de grabacin y procesamiento digital posterior, dejando para el final la conversin al formato final de distribucin de 16 bits. Actualmente, los mejores convertidores comerciales disponibles de audiofrecuencia ofrecen niveles de ruido de Johnson-Nyquist (tambin conocido como ruido trmico) que permiten relaciones seal a ruido (SNR) mximas sobre los 115-120 dB,[11] esto es, el equivalente aproximado al lmite terico de la SQNR de un convertidor de 19-20 bits. Y, tratndose de ruido trmico, no son previsibles avances significativos en un futuro cercano. Un sistema o formato que declara emplear 24 bits en la cuantificacin es un sistema o formato que, en el mejor de los casos, registra o almacena ruido en sus cuatro bits menos significativos: sus valores en las muestras resultan del ms puro azar (y, de hecho, se emplean en el estudio de fenmenos estocsticos). El nmero de bits efectivos siempre ser, en el mejor de los casos, de 19 20.[12] Naturalmente, con un ruido trmico (ruido blanco gaussiano) de valor eficaz (RMS) de 16 a 20 veces la del error de cuantificacin terico de un cuantificador de 24 bits, no es necesario aadir dither antes a la analgica de entrada al cuantificador. Los formatos de 24 bits, si bien son un desperdicio de capacidad y ancho de banda sobre los de 20 bits, sin embargo, presentan la ventaja de representar cada muestra en un nmero entero de bytes (3), lo que facilita el manejo de la informacin en un entorno donde la capacidad de almacenamiento y el ancho de banda en las transmisiones es cada vez menos crtico. Con relacin a los formatos analgicos, es conveniente sealar que si la seal de la Figura 9 resultara de una cuantificacin de 16 bits (CD-Audio), se tratara de una seal 74 dB por debajo del rango del cuantificador, es decir, de -74 dBFS. Los sistemas de reproduccin analgicos del pasado reciente (discos de vinilo, bobinas, casetes, etc.) muestran relaciones seal a ruido mximas inferiores a esta cifra en toda la banda de audiofrecuencias, lo que significa que no pueden registrar seales 74 dB por debajo de su mximo ya que el ruido analgico sera mucho ms potente que la seal que se desea registrar.

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Bibliografa Proakis, J. G. y Manolakis, D. G. (1998). Tratamiento digital de seales. Principios, algoritmos y aplicaciones. Hertfordshire: PRENTICE HALL International (UK) Ltd. ISBN 84-8322-000-8.

Vase tambin Cuantificacin digital Muestreo digital Codificacin digital Teorema de muestreo de Nyquist-Shannon Onda peridica

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Fuentes y contribuyentes del artculo

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Fuentes y contribuyentes del artculoRuido de cuantificacin Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=49879504 Contribuyentes: Aweinstein, Biasoli, Bigsus, C'est moi, David Capello, Gusgus, HUB, Holbeist, Jerowiki, Jmcalderon, Julian Colina, Marb, Matdrodes, Nolaiz, Paintman, 49 ediciones annimas

Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentesArchivo:Conversor AD 1.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Conversor_AD_1.svg Licencia: Public Domain Contribuyentes: Jmcalderon Archivo:FuncionTransferenciaCuantificador.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:FuncionTransferenciaCuantificador.svg Licencia: Public Domain Contribuyentes: Jmcalderon Archivo:ModeloMatematicoConvertidor.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:ModeloMatematicoConvertidor.svg Licencia: Public Domain Contribuyentes: Jmcalderon Archivo:SenalRuidoCuantificacion4bits.png Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:SenalRuidoCuantificacion4bits.png Licencia: Public Domain Contribuyentes: Jmcalderon Archivo:FDP Uniforme.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:FDP_Uniforme.svg Licencia: Public Domain Contribuyentes: Jmcalderon Archivo:RuidosCuantificacionSegunResolucion.png Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:RuidosCuantificacionSegunResolucion.png Licencia: Public Domain Contribuyentes: Jmcalderon Archivo:FDP Triangular.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:FDP_Triangular.svg Licencia: Public Domain Contribuyentes: Jmcalderon Archivo:Senal4bitsDitherAnalogica1.png Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Senal4bitsDitherAnalogica1.png Licencia: Public Domain Contribuyentes: Jmcalderon Archivo:Senal4bitsDitherCuentif1.png Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Senal4bitsDitherCuentif1.png Licencia: Public Domain Contribuyentes: Jmcalderon Archivo:DEP RuidoCuantificacion.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:DEP_RuidoCuantificacion.svg Licencia: Public Domain Contribuyentes: Jmcalderon Archivo:DEP RuidoCuantificacion2.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:DEP_RuidoCuantificacion2.svg Licencia: Public Domain Contribuyentes: Jmcalderon Archivo:SenalSigmaDelta.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:SenalSigmaDelta.svg Licencia: Public Domain Contribuyentes: Jmcalderon Archivo:IntensidadFrecuencia.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:IntensidadFrecuencia.svg Licencia: Public Domain Contribuyentes: Jmcalderon

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