Cuaderno trabajo matamaticas_2_aprendizaje_refuerzo

ATEMÁTICAS : 2

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2

Cuaderno de trabajoBASADO EN EL PROGRAMA OFICIAL

Silvia García Peña • Armando Solares Rojas • Jesús Rodríguez Viorato

ASESOR PEDAGÓGICO: María de los Dolores Lozano Suárez

71

84

01

21

19

09

7

Dirección de contenidos y servicios educativos Elisa Bonilla Rius

Gerencia editorialHilda Victoria Infante Cosío

EdiciónUriel Jiménez Herrera

Asesor pedagógicoMaría de los Dolores Lozano Suárez

AutoresSilvia Garcia Peña, Armando Solares Rojas y Jesús Rodríguez Viorato

CorrecciónAbdel López Cruz, Esther del Valle Padilla, Ezequiel Ortiz Hernández

Dirección de ArteQuetzatl León Calixto

Diseño Gráfi coFactor 02

Diseño de PortadaClaudia Adriana García, Quetzatl León

DiagramaciónJuan Espinosa Peña, Brenda López Romero

IlustraciónEliud Reyes Reyes

Fotografía© 2010 Thinkstock, Archivo SM, Yina Garza, Elia Pérez, Ricardo Tapia, Carlos Vargas

ProducciónCarlos Olvera, Teresa Amaya

Cuaderno de trabajo. Matemáticas 2SERIE APRENDIZAJES Y REFUERZOPrimera edición, 2010

D. R. © SM de Ediciones, S.A. de C.V., 2010Magdalena 211, Colonia del Valle, 03100, México, D.F.Tel.: (55) 1087 8400www.ediciones-sm.com.mx

Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial MexicanaRegistro número 2830

No está permitida la reproducción total o parcial de este libro, ni su tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo y por escrito de los titulares del copyright.

Impreso en México/Printed in Mexico

3

PRESENTACIÓN :

Este cuaderno de trabajo se diseñó como un complemento de tus clases y de

tu libro de matemáticas para brindarte la oportunidad de repasar y practicar las

técnicas que vas aprendiendo; resolver nuevos problemas, enfrentarte a más

desafíos y conocer datos interesantes acerca de las matemáticas. En suma, para

que puedas aprender más.

Algunos ejercicios y actividades tal vez te parezcan fáciles mientras que en

otros deberás pensar un poco más para llegar a la respuesta correcta. Si no

logras resolver una actividad, te recomendamos que sigas con las demás y en

otro momento vuelvas a intentarlo.

Igual que tu libro, este cuaderno de trabajo se ha dividido en cinco bloques.

En cada bloque hay varias lecciones, conformadas por grupos de ejercicios y

actividades sobre algún contenido del programa. A su vez, dichas lecciones están

divididas en diferentes partes:

• “Repasemos”. Aquí encontrarás ejercicios sencillos con los que podrás practicar

las técnicas estudiadas en la lección o repasar las nociones aprendidas. Esta

sección sólo se incluye en los contenidos que así lo requieren.

• “Problemas y ejercicios”. Aquí podrás resolver situaciones diferentes a las de

tu libro, que te permitirán seguir aplicando los conocimientos aprendidos.

Estos ejercicios y problemas están ordenados del más sencillo al más difícil;

sin embargo hay que tener en cuenta que este orden es relativo, pues a veces

lo que para alguien es sencillo para otro no lo es. Los problemas marcados

con un icono son aquellos que consideramos más difíciles. Esta sección es

la única que está en todas las lecciones del cuaderno.

• “Y algo más...” Esta parte es como un cajón de sastre: hay de todo. En ella

hallarás acertijos, nuevos retos y desafíos, propiedades interesantes o datos

históricos relacionados con las matemáticas.

Por cada contenido de tu libro de texto hay un grupo de actividades en

el cuaderno de trabajo; excepto para los de “Justificación de fórmulas”, pues

los ejercicios y problemas sobre este tema se concentraron en el apartado de

“Aplicación de fórmulas”.

Esperamos que disfrutes este material, que lo vivas como una oportunidad

más para practicar, avanzar y profundizar en tus habilidades y conocimientos

matemáticos.

LOS AUTORES

4

GUÍA DE USO:

Entrada de bloque

En esta página se indican los aprendizajes

que esperamos que adquieras a lo largo

del bloque.

Recuadro de conocimientos y habilidades

Aquí se enuncia el conocimiento y habilidad que

ejercitarás.

Repasemos

En esta sección practicarás las técnicas

aprendidas, que utilizarás en las

actividades de la siguiente sección.

LA QUÍMICA, LA TECNOLOGÍA Y TÚ

7

BLOQUE 1

Aprendizajes esperados

Se espera que los alumnos…

1. Resuelvan problemas que implican efectuar sumas, restas, multiplicaciones y/o divisiones

de números con signo.

2. Justifiquen la suma de los ángulos internos de cualquier triángulo o cuadrilátero.

3. Resuelvan problemas de conteo mediante cálculos numéricos.

4. Resuelvan problemas de valor faltante considerando más de dos conjuntos

de cantidades.

5. Interpreten y construyan polígonos de frecuencia.

BLO

QU

E

1

59

REPASEMOS

1. Resuelve las siguientes ecuaciones. Comprueba tus soluciones.

a) 100x 5 x b) x 80 2 x

c) 9 3(x 1) x d) 20 2 4x x

e) 7(1 2x) 35 x f) 5x 8 4x x

g) 3x 6 4x 5 x h) 3x 4 2x 1 x

i) 2.1x 1 x 11.1 x j) 5x 14 19 6x x

2. Toma aire y respira... ¡Aquí viene otra lista de ecuaciones! Resuélvelas y

comprueba tus soluciones.

a) 6x 3 x 5(1 x) 6 x

b) 2.3x 2 12.3x 2.8x 6 x

c) 2(x – 3) 5x = 4x 9 x

d) 3(x 2) x 7(2x 1) 3 x

e) 10 x 13 x

f) x – 1 __ 2 3 __

5 x 3x – 5 (2x – 1) x

3. ¡Unas más! Las siguientes ecuaciones incluyen expresiones fraccionarias.

Resuélvelas. Usa la propiedad de los productos cruzados cuando lo necesites.

No olvides comprobar tus soluciones.

a) 5

3x 10 1x

x

b) 2x

1 3 x

c) 13

x

x 4 x

d) x 4

5

x 6

3 x

4. Cuando se usa álgebra para resolver problemas, es necesario representar

el problema usando el lenguaje del álgebra. A continuación, se presentan

ejercicios para representar algebraicamente algunos enunciados.

a) Si n representa un número, ¿cuál de las siguientes expresiones representa

al doble de ese número? Subráyala.

n n

n2

ÁLGEBRA, ECUACIONES Y SOLUCIÓN DE PROBLEMASResolver problemas

que impliquen el

planteamiento y la

resolución de ecuaciones

de primer grado de la

forma: ax + bx + c = dx

+ex + f y con paréntesis

en uno o en ambos

miembros de la ecuación,

utilizando coeficientes

enteros o fraccionarios,

positivos o negativos.

3.2LECCIÓN 3.2

40

REPASEMOS

1. Con base en la información que del siguiente rectángulo, contesta.a) ¿Cuánto mide cada una de las partes señaladas con signo de interrogación?

b) ¿Cuál es el área del rectángulo?

2. Simplifica las siguientes expresiones.a) 3(x 2) 2 (4 3x) b) 3 (a 2b) c) 3 (x 5)

d) 4 (a 2b) 2 (2a b)

e) 2x (x 2)

f) n (n 1) (n 2) g) (a b) (c d)

h) 12 (n 3) PROBLEMAS Y EJERCICIOS

3. El área de un rectángulo es 2x2 4x. ¿Cuáles pueden ser las medidas del rectángulo? Largo:

Ancho: 4. El perímetro de un rectángulo es 2x2 4x. ¿Cuáles pueden ser las medidas del rectángulo? Largo:

Ancho: 5. El área del paralelogramo es igual al área del trapecio. Encuentra el valor de a.

6. Los siguientes sólidos tienen el mismo volumen.

PROBLEMAS MULTIPLICATIVOS QUE IMPLICAN EL USO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Resolver problemas multiplicativos que impliquen el uso de expresiones algebraicas.

2.2

3b 1

5a 42a 2

?

?b

a

a

a

12 cm

10 cm

3 cm a

8 cm

6 cm

6 cm

6 cm

LECCIÓN 2.2

4

GUÍA DE USO:

Entrada de bloque

En esta página se indican los aprendizajes

que esperamos que adquieras a lo largo

del bloque.

Recuadro de conocimientos y habilidades

Aquí se enuncia el conocimiento y habilidad que

ejercitarás.

Repasemos

En esta sección practicarás las técnicas

aprendidas, que utilizarás en las

actividades de la siguiente sección.


7

BLOQUE 1



1. Resuelvan problemas que implican efectuar sumas, restas, multiplicaciones y/o divisiones

de números con signo.

2. Justifiquen la suma de los ángulos internos de cualquier triángulo o cuadrilátero.


4. Resuelvan problemas de valor faltante considerando más de dos conjuntos

de cantidades.


BLO

QU

E

1

59

REPASEMOS

1. Resuelve las siguientes ecuaciones. Comprueba tus soluciones.

a) 100x 5 x b) x 80 2 x

c) 9 3(x 1) x d) 20 2 4x x

e) 7(1 2x) 35 x f) 5x 8 4x x

g) 3x 6 4x 5 x h) 3x 4 2x 1 x

i) 2.1x 1 x 11.1 x j) 5x 14 19 6x x

2. Toma aire y respira... ¡Aquí viene otra lista de ecuaciones! Resuélvelas y

comprueba tus soluciones.

a) 6x 3 x 5(1 x) 6 x

b) 2.3x 2 12.3x 2.8x 6 x

c) 2(x – 3) 5x = 4x 9 x

d) 3(x 2) x 7(2x 1) 3 x

e) 10 x 13 x

f) x – 1 __ 2 3 __

5 x 3x – 5 (2x – 1) x

3. ¡Unas más! Las siguientes ecuaciones incluyen expresiones fraccionarias.

Resuélvelas. Usa la propiedad de los productos cruzados cuando lo necesites.

No olvides comprobar tus soluciones.

a) 5

3x 10 1x

x

b) 2x

1 3 x

c) 13

x

x 4 x

d) x 4

5

x 6

3 x

4. Cuando se usa álgebra para resolver problemas, es necesario representar

el problema usando el lenguaje del álgebra. A continuación, se presentan

ejercicios para representar algebraicamente algunos enunciados.

a) Si n representa un número, ¿cuál de las siguientes expresiones representa

al doble de ese número? Subráyala.

n n

n2

ÁLGEBRA, ECUACIONES Y SOLUCIÓN DE PROBLEMASResolver problemas

que impliquen el

planteamiento y la

resolución de ecuaciones

de primer grado de la

forma: ax + bx + c = dx

+ex + f y con paréntesis

en uno o en ambos

miembros de la ecuación,

utilizando coeficientes

enteros o fraccionarios,

positivos o negativos.

3.2LECCIÓN 3.2

40

REPASEMOS




d) 4 (a 2b) 2 (2a b)

e) 2x (x 2)

f) n (n 1) (n 2) g) (a b) (c d)








2.2

3b 1

5a 42a 2

?

?b

a

a

a

12 cm

10 cm

3 cm a

8 cm

6 cm

6 cm

6 cm

LECCIÓN 2.2

5

Problemas y ejercicios

Aquí resolverás situaciones diferentes a las de tu libro de

texto y seguirás aplicando los conocimientos aprendidos.

Estos problemas y ejercicios están ordenados del más

sencillo al más difícil.

Los problemas marcados con el icono tienen

mayor grado de dificultad.

Y algo más...

Este apartado es como un cajón de sastre: hay

de todo. Hallarás acertijos, nuevos desafíos,

propiedades interesantes o datos históricos

relacionados con las matemáticas.

106

11. Un abuelo dijo a su nieto: "La suma de nuestras edades es 64 años

y dentro de 6 años mi edad será el triple de la tuya”. ¿Cuántos años

tienen actualmente?

Abuelo: Nieto:

12. Una empresa combinará dos tipos de café para obtener 50 kg de una mezcla

nueva. Combinará el tipo Premium, que cuesta $10.00 el kilogramo, y el tipo

Estándar, que cuesta $7.50 el kilogramo. Se quiere que el costo de la mezcla

nueva sea de $9.00 por kilogramo. ¿Cuántos kilogramos de cada tipo debe

combinar?

Premium: Estándar:

13. El ácido sulfúrico es una sustancia altamente corrosiva, por esa razón se

disuelve en agua para manejarlo sin demasiado peligro. En un laboratorio

quieren obtener 30 litros de ácido sulfúrico al 60% de concentración para

ello mezclarán dos concentraciones distintas: una al 80% y la otra al 40%.

¿Cuántos litros de cada concentración deben mezclar para obtener la

concentración deseada?

Litros de ácido al 80%: Litros de ácido al 40%:

14. En una ciudad 3 __ 4 de los hombres están casados con 1 __

2 de las mujeres. En esa

ciudad todos son monógamos y no se casan con forasteros.

a) ¿Cuál es la fracción de hombres solteros? ¿Y de

mujeres solteras?

b) ¿Cuál es la razón de habitantes solteros (hombres y mujeres solteros) respecto

al total de habitantes de la ciudad?

Y ALGO MÁS…

15. En muchos lugares de la antigüedad se desarrolló el conocimiento

matemático que dio origen al algebra. Uno de esos lugares es India.

Alrededor del siglo XII de nuestra era, el matemático y astrónomo indio

Bhâskara usó los nombres de los colores para representar distintas incógnitas.

Por ejemplo, para representar tres incógnitas podía usar los colores negro,

azul y amarillo (o calaca, nîlaca y pîtaca, por sus nombres en sánscrito, lengua

que se hablaba en India en esa época). Esto le permitió plantear y resolver

sistemas de ecuaciones con muchas incógnitas. A continuación, se presenta

un sistema de ecuaciones usando tres colores para representar tres números

desconocidos, como lo habría hecho Bhâskara.

calaca nîlaca pîtaca 60

calaca nîlaca pîtaca

2 calaca nîlaca

a) ¿Crees que se pueda resolver este sistema de ecuaciones?

b) Si piensas que se pueda, encuentra la solución.

calaca = nîlaca = pîtaca =

40

REPASEMOS




d) 4 (a 2b) 2 (2a b)

e) 2x (x 2)

f) n (n 1) (n 2) g) (a b) (c d)








2.2

3b 1

5a 42a 2

?

?b

a

a

a

12 cm

10 cm

3 cm a

8 cm

6 cm

6 cm

6 cm

LECCIÓN 2.2

Alrededor del sigl

Bhâskara usó los nombres

Por ejemplo, para repres

azul y amarillo (o calaca

que se hablaba en India

sistemas de ecuaciones c

un sistema de ecuaciones

desconocidos, como lo ha

a) ¿Crees que se pued

b) Si piensas que se

calacacc =

día usar los colores negro,

scrito, lengua

70

8. Con pentágonos regulares y rombos es posible cubrir el plano.

Sin medir, contesta lo siguiente.a) ¿Cuánto miden los ángulos del rombo rojo? b) ¿Cómo lo supiste?

c) ¿Cuánto miden los ángulos del rombo azul? d) ¿Cómo lo supiste?

Y ALGO MÁS…

Los recubrimientos en el plano, llamados mosaicos o teselados, dan lugar a ver-

daderas obras de arte. Prueba de ello son los mosaicos de Escher, de la Alham-

bra y de Penrose.

Te recomendamos que busques en Internet más imágenes de mosaicos o tesela-

dos de Escher. Sólo tienes que usar un buscador y escribir "buscar imágenes de

Escher". Te sorprenderá la belleza del trabajo de este artista gráfico y observarás

el amplio uso de la geometría en toda su obra.

M.C. Escher's “Circle Limit IV”. © 2010 The M.C. Escher Company-Holland. All rights reserved. www.mcescher.com

6

ÍNDICE:

Bloque 1 7

Lección 1.1 Multiplicaciones y divisiones de números con signo ................................................ 8

Lección 1.2 Adición y sustracción de expresiones algebraicas .................................................. 10

Lección 1.3 Modelos geométricos y expresiones algebraicas .................................................... 12

Lección 1.4 El grado, unidad de medida de ángulos ............................................................... 15

Lección 1.5 Posición relativa de dos rectas .............................................................................. 19

Lección 1.6 Ángulos entre paralelas ........................................................................................ 22

Lección 1.7 El recíproco de un factor de proporcionalidad ...................................................... 25

Lección 1.8 Proporcionalidad múltiple .................................................................................... 27

Lección 1.9 Combinaciones y permutaciones ........................................................................... 31

Lección 1.10 Polígonos de frecuencias ...................................................................................... 33

Bloque 2 37

Lección 2.1 Jerarquía de las operaciones .................................................................................. 38

Lección 2.2 Problemas multiplicativos que implican el uso de expresiones algebraicas .............40

Lección 2.3 Prismas y pirámides ............................................................................................... 42

Lección 2.5 Volumen de prismas y pirámides ........................................................................... 46

Lección 2.6 Comparación de razones ....................................................................................... 49

Lección 2.7 Medidas de tendencia central ............................................................................... 52

Bloque 3 55

Lección 3.1 Sucesiones de números con signo ......................................................................... 56

Lección 3.2 Álgebra, ecuaciones y solución de problemas ........................................................ 59

Lección 3.3 Variación lineal ...................................................................................................... 63

Lección 3.4 Suma de los ángulos interiores de un polígono ..................................................... 65

Lección 3.5 Recubrimientos del plano ......................................................................................68

Lección 3.6 Variación lineal .......................................................................................................71

Lección 3.7 Gráfica de y � mx � b cuando varía b .................................................................. 74

Lección 3.8 Gráfica de y � mx � b cuando varía m ................................................................. 78

Bloque 4 81

Lección 4.1 Potencias y notación científica ............................................................................... 82

Lección 4.2 Criterios de congruencia de triángulos .................................................................. 85

Lección 4.3 Puntos y rectas notables del triángulo ...................................................................88

Lección 4.4 Eventos mutuamente excluyentes .......................................................................... 93

Lección 4.5 Gráficas de línea ................................................................................................... 95

Lección 4.6 Gráficas lineales por pedazos ................................................................................ 99

Bloque 5 103

Lección 5.1 Sistemas de ecuaciones ....................................................................................... 104

Lección 5.2 Reflexiones, traslaciones y rotaciones en el plano .................................................107

Lección 5.3 Gráficas y sistemas de ecuaciones ........................................................................114

Lección 5.4 Eventos independientes .......................................................................................118


7

BLOQUE 1



1. Resuelvan problemas que implican efectuar sumas, restas, multiplicaciones y/o divisiones de números con signo.

2. Justifi quen la suma de los ángulos internos de cualquier triángulo o cuadrilátero.


4. Resuelvan problemas de valor faltante considerando más de dos conjuntos de cantidades.


BLO

QU

E

1

8

MULTIPLICACIONES Y DIVISIONES DE NÚMEROS CON SIGNO

REPASEMOS

1. Resuelve las operaciones.

a) (–3) (–8) � b) (–15) ÷ (3) �

c) (12) ÷ (–4) � d) (8) (7) (–1) �

e) (–5) (–9) (–2) � f) (–10) (–20) (0.5) �

g) (–45) ÷ (–9) � h) (–1) (–2) (–3) (–4) �

i) (–500) (2) (–0.1) � j) (–5) (–50) (0.001) �

2. Escribe los números que faltan en cada expresión. En algunos casos hay más de una solución.

a) (72) ( ) � 216 b) ( ) ÷ (–13) � 5

c) –27 � ( ) ( ) d) (-57) � (8) ( ) + ( )

e) ( ) ÷ (9) � –9 f) 47 � ( ) (–7) + ( )

g) ( ) ( ) � –25 h) ( ) (–12) � –144

i) (–13)2 � j) (–2)3 �

k) (–3)4 � l) (–1)5 �

3. Escribe sobre las líneas verdadero (V) o falso (F).

a) El producto de dos números negativos es un número negativo.

b) El producto de tres números negativos es un número positivo.

c) El cociente de dos números negativos es un número positivo.

d) Cualquier número multiplicado por -1 da como resultado el mismo número.

PROBLEMAS Y EJERCICIOS

4. Un cuadrado es multimágico cuando al multiplicar tres números en línea (horizontal, vertical o diagonal) se obtiene siempre el mismo resultado. Averigua si el siguiente cuadrado es multimágico y contesta las preguntas.

Resolver problemas

que impliquen

multiplicaciones y

divisiones de números

con signo.

1.1

20 25 2

1 10 100

50 4 5

LECCIÓN 1.1

8

MULTIPLICACIONES Y DIVISIONES DE NÚMEROS CON SIGNO

REPASEMOS

1. Resuelve las operaciones.

a) (–3) (–8) � b) (–15) ÷ (3) �

c) (12) ÷ (–4) � d) (8) (7) (–1) �

e) (–5) (–9) (–2) � f) (–10) (–20) (0.5) �

g) (–45) ÷ (–9) � h) (–1) (–2) (–3) (–4) �

i) (–500) (2) (–0.1) � j) (–5) (–50) (0.001) �

2. Escribe los números que faltan en cada expresión. En algunos casos hay más de una solución.

a) (72) ( ) � 216 b) ( ) ÷ (–13) � 5

c) –27 � ( ) ( ) d) (-57) � (8) ( ) + ( )

e) ( ) ÷ (9) � –9 f) 47 � ( ) (–7) + ( )

g) ( ) ( ) � –25 h) ( ) (–12) � –144

i) (–13)2 � j) (–2)3 �

k) (–3)4 � l) (–1)5 �

3. Escribe sobre las líneas verdadero (V) o falso (F).

a) El producto de dos números negativos es un número negativo.

b) El producto de tres números negativos es un número positivo.

c) El cociente de dos números negativos es un número positivo.

d) Cualquier número multiplicado por -1 da como resultado el mismo número.


4. Un cuadrado es multimágico cuando al multiplicar tres números en línea (horizontal, vertical o diagonal) se obtiene siempre el mismo resultado. Averigua si el siguiente cuadrado es multimágico y contesta las preguntas.

Resolver problemas

que impliquen

multiplicaciones y

divisiones de números

con signo.

1.1

20 25 2

1 10 100

50 4 5

LECCIÓN 1.1

9

a) ¿Por qué sí o por qué no el cuadrado es multimágico?

b) ¿Cuál es el resultado de elevar al cubo el número que está en el centro del

cuadrado?

5. Completa los siguientes cuadrados para que sean multimágicos.

6. Anota los números que faltan en las siguientes tablas.

a)

b)

c)

d)

Y ALGO MÁS…

Anota los números que faltan en las casillas en blanco.

–4

–14

–28

–18 –1 –12

–6

× 4 –9 2

–8 18

–3 –12

35 –14

12

3 5 –9 1 0 –10 –30� – 7

3.5

4 –13 –1 100 0� 0.5

–7 15 –1

20 15 35 –8 100 –5�

–2 –1 5

7 –9 1 –4 –1.7�

10.8 6 –1.8 12

44

–22

3 11

10

REPASEMOS

1. En cada grupo de expresiones algebraicas, tacha la que no es equivalente a la del recuadro.

3 (b + 5) – (b + 3)

a) 2b + 12 b) 2b + 18 c) 2 (b + 6)

3 (b + 5) – (b – 3)

a) 2b + 12 b) 2b + 18 c) 2 (b + 9)

4 a2 + 2 (3a –2) – (2a)2

a) 2 (3a + 2) b) 2 (3a – 2) c) 6a – 4

(a – 5) + 2 (a + 1)

a) 3 (a – 1) b) 3a + 3 c) 7a – 3 – 4a


2. De las siguientes expresiones, tacha las que no representen el perímetro del rectángulo.

a) a + b + a + b d) 2a + 2b

b) a + a + b + b e) (a + b) 2

c) 2a + b f) b (a + 2)

3. ¿Cuáles de las siguientes expresiones no representan el área del rectángulo?

a) 7 (b – c) b) 7 (b + c)

c) 7b + 7c d) 7(b + c)+7(b + c)

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Resolver problemas

que impliquen adición

y sustracción de

expresiones algebraicas.

1.2

a

b c

b

7

LECCIÓN 1.2

10

REPASEMOS

1. En cada grupo de expresiones algebraicas, tacha la que no es equivalente a la del recuadro.

3 (b + 5) – (b + 3)

a) 2b + 12 b) 2b + 18 c) 2 (b + 6)

3 (b + 5) – (b – 3)

a) 2b + 12 b) 2b + 18 c) 2 (b + 9)

4 a2 + 2 (3a –2) – (2a)2

a) 2 (3a + 2) b) 2 (3a – 2) c) 6a – 4

(a – 5) + 2 (a + 1)

a) 3 (a – 1) b) 3a + 3 c) 7a – 3 – 4a


2. De las siguientes expresiones, tacha las que no representen el perímetro del rectángulo.

a) a + b + a + b d) 2a + 2b

b) a + a + b + b e) (a + b) 2

c) 2a + b f) b (a + 2)

3. ¿Cuáles de las siguientes expresiones no representan el área del rectángulo?

a) 7 (b – c) b) 7 (b + c)

c) 7b + 7c d) 7(b + c)+7(b + c)

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Resolver problemas

que impliquen adición

y sustracción de

expresiones algebraicas.

1.2

a

b c

b

7

LECCIÓN 1.2

11

4. Si el lado más largo del rectángulo anterior mide 15 unidades, ¿cuánto vale c?

a) 15 + b b) 15b c) 15b

d) 15 – b

5. Completa las siguientes pirámides según esta regla: el valor de cada cuadro es la suma de los valores de los dos cuadros que están debajo.

6. Une con una línea las expresiones que son equivalentes.

n + n n(n)

n ÷ 3 4n + 8

2n + 3 3 (n)

n2 3 + n + n

4 (n+2)2n

5n 2n + 3n

3nn3

7. Anota dos sumas diferentes de expresiones algebraicas cuyo resultado sea el mismo.

=

n –2 15

13

a 5 2b

a + 5

12

MODELOS GEOMÉTRICOS Y EXPRESIONES ALGEBRAICAS

REPASEMOS

1. Simplifica las siguientes expresiones.

a) a + a + a =

b) b + b + 2b + b =

c) 2x – x + 3x – 2x =

d) a – b + 3b – 2a =

e) 3(x + 2) =

2. Une cada frase del lado izquierdo con la expresión del lado derecho a la que corresponda.

a) Sumar 2 a un número.

b) Restar un número a 2.

c) Multiplicar por 2 un número.

d) Sumar 2 a un número y el resultadodividirlo entre 2.

e) Dividir entre 2 un número y al resultadosumarle 2.


3. Escribe una expresión que denote el perímetro de la siguiente figura.

4. A continuación se presenta un recuadro con algunas expresiones algebraicas y, después rectángulos con medidas. En cada uno de los rectángulos, decide qué expresión del recuadro representa su área y escríbela debajo de él.

Reconocer y obtener

expresiones algebraicas

equivalentes a partir

del empleo de modelos

geométricos.

1.3

a

a

b

b

2x x + 2x 2(3x) x x + x +2x x + 4x

LECCIÓN 1.3

i. 2n

ii. (n � 2) � 2

iii. 2n – 2

iv. n – 2

v. n __ 2 � 2

vi. n � 2

vii. 2 – n

12

MODELOS GEOMÉTRICOS Y EXPRESIONES ALGEBRAICAS

REPASEMOS

1. Simplifica las siguientes expresiones.

a) a + a + a =

b) b + b + 2b + b =

c) 2x – x + 3x – 2x =

d) a – b + 3b – 2a =

e) 3(x + 2) =

2. Une cada frase del lado izquierdo con la expresión del lado derecho a la que corresponda.

a) Sumar 2 a un número.

b) Restar un número a 2.

c) Multiplicar por 2 un número.

d) Sumar 2 a un número y el resultadodividirlo entre 2.

e) Dividir entre 2 un número y al resultadosumarle 2.


3. Escribe una expresión que denote el perímetro de la siguiente figura.

4. A continuación se presenta un recuadro con algunas expresiones algebraicas y, después rectángulos con medidas. En cada uno de los rectángulos, decide qué expresión del recuadro representa su área y escríbela debajo de él.

Reconocer y obtener

expresiones algebraicas

equivalentes a partir

del empleo de modelos

geométricos.

1.3

a

a

b

b

2x x + 2x 2(3x) x x + x +2x x + 4x

LECCIÓN 1.3

i. 2n

ii. (n � 2) � 2

iii. 2n – 2

iv. n – 2

v. n __ 2 � 2

vi. n � 2

vii. 2 – n

13

5. Cada uno de los siguientes rectángulos está divido en dos pedazos.

a) Anota dentro de cada pedazo una expresión que represente su área.

Rectángulo I Rectángulo II

Rectángulo III Rectángulo IV

b) Completa cada una de las siguientes oraciones. Escribe el número del rec-tángulo (I, II, III o IV) correspondiente.

El área del rectángulo es 3x + 3. El área del rectángulo es 2x + 4.

El área del rectángulo es 2 (x + 1). El área del rectángulo es 3(x + 1).

El área del rectángulo es x (x + 2). El área del rectángulo es 2x + 2.

El área del rectángulo es x2 + 2x. El área del rectángulo es 2(x + 2).

x x x x

1 2 3 4

x 1

2

x

x

1

2

3

x

x 2

2

14

6. Escribe las medidas de los siguientes rectángulos para que el área sea igual a la indicada.

Y ALGO MÁS…

La propiedad distributiva de los números dice que al multiplicar un número (n) por la suma de otros dos (a y b) obtenemos lo mismo que si multiplicamos el primer número (n) por cada uno de los otros dos (a y b) y luego sumamos los resultados. Algebráicamente esto se escribe así

n(a + b) = na + nb.

La propiedad distributiva es muy fácil de verificar en números enteros. Por ejemplo, para n = 3, a = 2 y b = 4 se puede comprobar la distributividad:

3(2 + 4) � 3(6) � 18, y de igual manera,

3(2) + 3(4) � 6 + 12 � 18.

Esta propiedad puede ser observada geométricamente si pensamos que n, a y b son medidas de la siguiente figura.

Como el área del rectángulo es base (a + b) por altura (n), el área será igual a n(a + b). Pero, por otro lado, el área también será igual a la suma de las áreas de los dos rectángulos pequeños (uno de área na y el otro de área nb), es decir, el área será na + nb. En resumen, se observa la propiedad distributiva:

n(a + b) = na + nb.

Área = x2 + x

Área = (x + 1)(x + 2)

Área = xy + y

Área = x2 + 2x + 1

Área � na Área � nbn

a b

14

6. Escribe las medidas de los siguientes rectángulos para que el área sea igual a la indicada.

Y ALGO MÁS…

La propiedad distributiva de los números dice que al multiplicar un número (n) por la suma de otros dos (a y b) obtenemos lo mismo que si multiplicamos el primer número (n) por cada uno de los otros dos (a y b) y luego sumamos los resultados. Algebráicamente esto se escribe así

n(a + b) = na + nb.

La propiedad distributiva es muy fácil de verificar en números enteros. Por ejemplo, para n = 3, a = 2 y b = 4 se puede comprobar la distributividad:

3(2 + 4) � 3(6) � 18, y de igual manera,

3(2) + 3(4) � 6 + 12 � 18.

Esta propiedad puede ser observada geométricamente si pensamos que n, a y b son medidas de la siguiente figura.

Como el área del rectángulo es base (a + b) por altura (n), el área será igual a n(a + b). Pero, por otro lado, el área también será igual a la suma de las áreas de los dos rectángulos pequeños (uno de área na y el otro de área nb), es decir, el área será na + nb. En resumen, se observa la propiedad distributiva:

n(a + b) = na + nb.

Área = x2 + x

Área = (x + 1)(x + 2)

Área = xy + y

Área = x2 + 2x + 1

Área � na Área � nbn

a b

15

REPASEMOS

1. Escribe el nombre de los siguientes seis ángulos, del menor

al mayor. , , , , ,

2. ¿A cuántos minutos equivalen los siguientes grados?

a) 0.5° = b) 0.05° = c) 0.25° = d) 0.6° =

3. Anota las medidas de los ángulos internos de cada figura.


4. En cada caso, anota la medida del ángulo (marcado en rojo) que forman las manecillas del reloj.

EL GRADO, UNIDAD DE MEDIDA DE ÁNGULOS

Resolver problemas que

impliquen reconocer,

estimar y medir ángulos,

utilizando el grado como

unidad de medida.

1.4

Ángulo A

Ángulo D

Ángulo B

Ángulo E

Ángulo C

Ángulo F

LECCIÓN 1.4

16

5. Ayúdate de un transportador y una regla para dibujar dos cuadriláteros en los que tres de sus ángulos internos midan 45°.

6. En el siguiente mapa a escala se indica cómo encontrar la isla donde fue enterrado un tesoro. Completa las instrucciones que tiene que dar el capitán del barco para que se siga la ruta del mapa.

a) Girar el barco a estribor (derecha) grados y avanzar.

b) Al encontrar una isla giramos a babor (izquierda) grados y con-

tinuamos avanzando.

c) Al encontrar la “Isla Mini” giramos a estribor y entonces es-

taremos avanzando en dirección de la Isla del Tesoro.

Zona de niebla

Isla

Isla Mini

Isla del tesoro

Zona de tormentas

16

5. Ayúdate de un transportador y una regla para dibujar dos cuadriláteros en los que tres de sus ángulos internos midan 45°.

6. En el siguiente mapa a escala se indica cómo encontrar la isla donde fue enterrado un tesoro. Completa las instrucciones que tiene que dar el capitán del barco para que se siga la ruta del mapa.

a) Girar el barco a estribor (derecha) grados y avanzar.

b) Al encontrar una isla giramos a babor (izquierda) grados y con-

tinuamos avanzando.

c) Al encontrar la “Isla Mini” giramos a estribor y entonces es-

taremos avanzando en dirección de la Isla del Tesoro.

Zona de niebla

Isla

Isla Mini

Isla del tesoro

Zona de tormentas

17

7. En una empresa de robots quieren programar un brazo robótico para que tome un frasco y lo coloque sobre el centro de una mesa. El brazo sólo responde a las siguientes instrucciones.

Instrucción Descripción Ejemplo

Alargar x El brazo se alarga x centímetros. "Alargar 10" alarga 10 cm el brazo.

Encoger x El brazo encoge su longitud y centímetros.

"Encoger 10" encoge 10 cm el brazo.

Cerrar Cierra la pinza de la punta para tomar el objeto.

---

Abrir Abre la pinza para soltar un objeto. ---

Girar-D y Gira el brazo y grados a la derecha. "Girar-D 10" gira 10° a la derecha.

Girar-I y Gira el brazo y grados a la izquierda.

"Girar-I 10" gira 10° a la izquierda.

a) La siguiente figura es un diagrama a escala que muestra la posición original de brazo. El brazo se encuentra con las pinzas abiertas y su longitud es de 30 cm. Completa las instrucciones que debe seguir el brazo robótico para lograr su objetivo: acomodar el frasco en la mesa.

Instrucciones

Paso 1. Alargar

Paso 2.

Paso 3. Girar-D

Paso 4.

Paso 5. Abrir

b) Si se descompusiera el brazo y ya no pudiera girar a la derecha, ¿cómo cambiarías las instrucciones anteriores para que el brazo logre su objetivo?

c) Un programador nuevo escribió las siguientes instrucciones para que el bra-zo tomara una pelota. Escribe unas instrucciones con menos pasos y con las que se pueda tomar la pelota.

Instrucciones del programador

Paso 1. Alargar 5Paso 2. Girar-D 20Paso 3. Girar-I 75Paso 4. Encoger 12Paso 5. Girar-I 10Paso 6. Alargar 8Paso 7. Girar-D 15Paso 8. Alargar 5Paso 9. Cerrar

Tus instrucciones

Paso 1.

Paso 2.

Paso 3.

Paso 4.

30 c

m

30 c

m

40 cm

60°

18

Y ALGO MÁS…

¿Sabías que algunos mapas planos de la Tierra no conservan áreas? Por ejemplo, en el siguiente mapa plano, parece que Groenlandia es casi tan grande como Estados Unidos de América, pero en realidad es mucho más pequeño.

La razón por la que el plano no es idéntico en proporciones a la Tierra es por que el planeta es redondo. Por ello, es normal que al dibujar plana la Tierra se deformen un poco los países. La ventaja de este mapa es que sus ángulos sí concuerdan con los ángulos de la Tierra. Por ejemplo, si viajamos en barco de Portugal a Brasil y después queremos ir a Sudáfrica, el ángulo de giro es exac-tamente el mismo que se puede medir en el mapa si se trazan las rectas que unen a estos países.

Este tipo de mapas se usaba mucho en el pasado, pues con ellos los piratas y marineros trazaban sus rutas midiendo los ángulos.

Actualmente se hacen muchos tipos de mapas planos de la Tierra: en algunos las áreas de los países son proporcionales entre sí; en otros, las distancias a cierto punto son proporcionales; en el ejemplo que vimos, los ángulos se conservan.

OC

ÉA

NOO

PACC

ÍÍF ICO

OCÉANOO

PAC

ÍFIC

O

OOCÉANOATLÁÁ

NNTIC

O

OCÉANO ÍNDDICO

0º

0º

30º

30º

60º

60º

0º

30º

30º

60º

60º

30º30º 60º60º 90º90º 120º120º150º 150º

0º 30º30º 60º60º 90º90º 120º120º150º 150º

ARGENTINABuenos Aires

Islas Malvinas (R.U.)

Islas Georgias del Sur (R.U.)

URUGUAY

CHILE

MontevideoSantiago

PARAGUAY

BRASIL

PERÚ

ECUADOR

COLOMBIA

MÉXICO

GUYANA

VENEZUELA

IRLANDA

FEDERACIÓN RUSA

IRÁN

IRAK

KAZAJASTÁN

YEMEN

OMÁN

INDIA

CHINA

MONGOLIA

JAPÓN

ARABIASAUDITA

REINOUNIDO

ESTADOS UNIDOS DE AMÉRICA

CANADÁ

GROENLANDIA

ALASKA

BOLIVIA

Asunción

Brasilia

La Paz

Lima

Quito

Distrito Federal

(Dinamarca)

Ottawa

Washington

Georgetown

COREADEL NORTE

COREADEL SUR

SRI LANKA

MYANMAR

KIRGUISTÁN

BANGLADESHDacca

TAILANDIABangkok

Manila

Hanoi

Vientiane

Phnom Penh

Bandar Seri Begawan

Pyongyang

Seúl

Port MoresbyDili

Yakarta

FILIPINAS

VIETNAM

LAOS

CAMBOYA

BURNEI DARUSSALAY

TIMOR ORIENTAL

I N D O N E S I A

AUSTRALIA

MALASIAKuala Lumpur

SINGAPURSingapur

ISLASSALOMÓN

Honiara

Nueva Caledonia (FR.)

Islas Fiji

Canberra

NUEVAZELANDA

Wellington

NEPALKatmandú BUTÁN

Timbu

Colombo

Beijing

Ulan-Bator

Tokio

Yangón

Bishkek

ISLANDIA

Copenhague

AFGANISTÁN

PAKISTÁN

TURKMENISTÁN

UZBEKISTÁNTashkent

Kabul

Islamabad

Ashgabat

CUBALa Habana

Bogotá

JAMAICAKingston

GAMBIABanjul

BURKINA FASOUagadougou

SIERRA LEONAFreetown

COSTA DE MARFILYamusukro

SAHARA OCCIDENTAL

GUINEA-BISSAUBissau

GUINEAConakry

GUINEAECUATORIALMalabo

GABÓNLibrevilleCONGOBrazzaville

LESOTOMbabane

SWAZILANDIAMaseru

MOZAMBIQUEMaputo

MALAWILilongwe

BURUNDIBujumbura

RUANDAKigali

DJIBOUTIDjibouti

QATARDoha

GHANAAccra

BENÍNPorto Novo

TOGOLoméLIBERIA

Monrovia

GUATEMALAGuatemala

ESLOVENIALjubljana

CROACIAZagreb

ALBANIATirana

MONTENEGROPodgorica

La Valeta

Pristina

MACEDONIA

GRECIA

MALTA

Skoplie

Atenas

CHIPRENicosia LÍBANO

Beirut

ARMENIAErevan

ISRAELJerusalen

BOSNIA-HERZEGOBINASarajevo

EL SALVADORSan Salvador

FED. RUSAKaliningrado

NICARAGUAManagua

COSTA RICASan José

BELIZEBelmopan

HONDURASTegucigalpa

PANAMÁPanamá

LIBIA

ARGELIA

ALEMANIA

POLONIA

NORUEGA

DINAMARCA

SUECIA

FRANCIA

UCRANIA

IRAK

ITALIA

VATICANO

LIECHTENSTEIN

TURQUÍA

RUMANIA

BULGARIA

BIELORRUSIA

TÚNEZ

EGIPTO

ESTONIA

LETONIA

LITUANIA

HUNGRÍA

SERBIA

KOSOVO

MOLDAVIA

JORDANIA

SIRIA

REP. DOMINICANASanto Domingo

HAITÍPto. Príncipe

SURINAMParamaribo

GUYANA FRANCESACayenne

TAYIKISTÁNDushambé

EMIRATOSÁRABESUNIDOSAbu Dhabi

PAPÚANUEVAGUINEA

Caracas

Reikiavik

LondresDublín

RyadNueva Delhi

Sana

Mascate

Teherán

Bagdad

Astana

Moscú

ESPAÑAMadrid

PORTUGALLisboa

I. BAHAMASNassau

El CairoARGELIA

LIBIA EGIPTO

I. Canarias

MARRUECOSRabat

MAURITANIA

ETIOPÍA

SUDÁN

CHADNÍGERNiamey ERITREA

Bamako

MALÍNouakchott

N’DjamenaJartum

Asmara

Addis Abeba

NIGERIA

CAMERÚN

Lusaka

TANZANIA

KENIA

Luanda

ANGOLA ZAMBIA

UGANDA

SENEGAL

SOMALIA

REP. DEM. DEL CONGO

REP.CENTROAFRICANA

BanguiYaoundé

Abuja

Kampala

Dakar

Dakhla

Nairobi

Mogadiscio

Dar es Salaam

Kinshasa

BOTSWANA MADAGASCARNAMIBIA

SUDÁFRICA

ZIMBABWE

Windhoek

Pretoria

Gaborone

Harare Antananarivo

BÉLGICABruselas

SUIZA

MONACOANDORRA

Berna

VaduzRoma

Damasco

Ankara

GEORGIATibilisi

AUSTRIAViena

R. CHECAPraga

Vilna

Riga

VarsoviaBerlín

Copenhagen

París

Estocolmo

Oslo

Tallinn

ESLOVAQUIABratislava

Budapest

Belgrado

Chisinau

Amman

PAÍSES BAJOSAmsterdam

LUXEMBURGOLuxemburgo

Trinidad y Tobago

(EUA)

160º

Antigua y Barbuda

A

A

B

B

FINLANDIA

Helsinki

FINLANDIA

18

Y ALGO MÁS…

¿Sabías que algunos mapas planos de la Tierra no conservan áreas? Por ejemplo, en el siguiente mapa plano, parece que Groenlandia es casi tan grande como Estados Unidos de América, pero en realidad es mucho más pequeño.

La razón por la que el plano no es idéntico en proporciones a la Tierra es por que el planeta es redondo. Por ello, es normal que al dibujar plana la Tierra se deformen un poco los países. La ventaja de este mapa es que sus ángulos sí concuerdan con los ángulos de la Tierra. Por ejemplo, si viajamos en barco de Portugal a Brasil y después queremos ir a Sudáfrica, el ángulo de giro es exac-tamente el mismo que se puede medir en el mapa si se trazan las rectas que unen a estos países.

Este tipo de mapas se usaba mucho en el pasado, pues con ellos los piratas y marineros trazaban sus rutas midiendo los ángulos.

Actualmente se hacen muchos tipos de mapas planos de la Tierra: en algunos las áreas de los países son proporcionales entre sí; en otros, las distancias a cierto punto son proporcionales; en el ejemplo que vimos, los ángulos se conservan.

OC

ÉA

NOO

PACC

ÍÍF ICO

OCÉAN

OOPA

CÍF

ICO

OOCÉANOATLÁÁ

NNTIC

O

OCÉANO ÍNDDICO

0º

0º

30º

30º

60º

60º

0º

30º

30º

60º

60º

30º30º 60º60º 90º90º 120º120º150º 150º

0º 30º30º 60º60º 90º90º 120º120º150º 150º

ARGENTINABuenos Aires

Islas Malvinas (R.U.)

Islas Georgias del Sur (R.U.)

URUGUAY

CHILE

MontevideoSantiago

PARAGUAY

BRASIL

PERÚ

ECUADOR

COLOMBIA

MÉXICO

GUYANA

VENEZUELA

IRLANDA

FEDERACIÓN RUSA

IRÁN

IRAK

KAZAJASTÁN

YEMEN

OMÁN

INDIA

CHINA

MONGOLIA

JAPÓN

ARABIASAUDITA

REINOUNIDO

ESTADOS UNIDOS DE AMÉRICA

CANADÁ

GROENLANDIA

ALASKA

BOLIVIA

Asunción

Brasilia

La Paz

Lima

Quito

Distrito Federal

(Dinamarca)

Ottawa

Washington

Georgetown

COREADEL NORTE

COREADEL SUR

SRI LANKA

MYANMAR

KIRGUISTÁN

BANGLADESHDacca

TAILANDIABangkok

Manila

Hanoi

Vientiane

Phnom Penh

Bandar Seri Begawan

Pyongyang

Seúl

Port MoresbyDili

Yakarta

FILIPINAS

VIETNAM

LAOS

CAMBOYA

BURNEI DARUSSALAY

TIMOR ORIENTAL

I N D O N E S I A

AUSTRALIA

MALASIAKuala Lumpur

SINGAPURSingapur

ISLASSALOMÓN

Honiara

Nueva Caledonia (FR.)

Islas Fiji

Canberra

NUEVAZELANDA

Wellington

NEPALKatmandú BUTÁN

Timbu

Colombo

Beijing

Ulan-Bator

Tokio

Yangón

Bishkek

ISLANDIA

Copenhague

AFGANISTÁN

PAKISTÁN

TURKMENISTÁN

UZBEKISTÁNTashkent

Kabul

Islamabad

Ashgabat

CUBALa Habana

Bogotá

JAMAICAKingston

GAMBIABanjul

BURKINA FASOUagadougou

SIERRA LEONAFreetown

COSTA DE MARFILYamusukro

SAHARA OCCIDENTAL

GUINEA-BISSAUBissau

GUINEAConakry

GUINEAECUATORIALMalabo

GABÓNLibrevilleCONGOBrazzaville

LESOTOMbabane

SWAZILANDIAMaseru

MOZAMBIQUEMaputo

MALAWILilongwe

BURUNDIBujumbura

RUANDAKigali

DJIBOUTIDjibouti

QATARDoha

GHANAAccra

BENÍNPorto Novo

TOGOLoméLIBERIA

Monrovia

GUATEMALAGuatemala

ESLOVENIALjubljana

CROACIAZagreb

ALBANIATirana

MONTENEGROPodgorica

La Valeta

Pristina

MACEDONIA

GRECIA

MALTA

Skoplie

Atenas

CHIPRENicosia LÍBANO

Beirut

ARMENIAErevan

ISRAELJerusalen

BOSNIA-HERZEGOBINASarajevo

EL SALVADORSan Salvador

FED. RUSAKaliningrado

NICARAGUAManagua

COSTA RICASan José

BELIZEBelmopan

HONDURASTegucigalpa

PANAMÁPanamá

LIBIA

ARGELIA

ALEMANIA

POLONIA

NORUEGA

DINAMARCA

SUECIA

FRANCIA

UCRANIA

IRAK

ITALIA

VATICANO

LIECHTENSTEIN

TURQUÍA

RUMANIA

BULGARIA

BIELORRUSIA

TÚNEZ

EGIPTO

ESTONIA

LETONIA

LITUANIA

HUNGRÍA

SERBIA

KOSOVO

MOLDAVIA

JORDANIA

SIRIA

REP. DOMINICANASanto Domingo

HAITÍPto. Príncipe

SURINAMParamaribo

GUYANA FRANCESACayenne

TAYIKISTÁNDushambé

EMIRATOSÁRABESUNIDOSAbu Dhabi

PAPÚANUEVAGUINEA

Caracas

Reikiavik

LondresDublín

RyadNueva Delhi

Sana

Mascate

Teherán

Bagdad

Astana

Moscú

ESPAÑAMadrid

PORTUGALLisboa

I. BAHAMASNassau

El CairoARGELIA

LIBIA EGIPTO

I. Canarias

MARRUECOSRabat

MAURITANIA

ETIOPÍA

SUDÁN

CHADNÍGERNiamey ERITREA

Bamako

MALÍNouakchott

N’DjamenaJartum

Asmara

Addis Abeba

NIGERIA

CAMERÚN

Lusaka

TANZANIA

KENIA

Luanda

ANGOLA ZAMBIA

UGANDA

SENEGAL

SOMALIA

REP. DEM. DEL CONGO

REP.CENTROAFRICANA

BanguiYaoundé

Abuja

Kampala

Dakar

Dakhla

Nairobi

Mogadiscio

Dar es Salaam

Kinshasa

BOTSWANA MADAGASCARNAMIBIA

SUDÁFRICA

ZIMBABWE

Windhoek

Pretoria

Gaborone

Harare Antananarivo

BÉLGICABruselas

SUIZA

MONACOANDORRA

Berna

VaduzRoma

Damasco

Ankara

GEORGIATibilisi

AUSTRIAViena

R. CHECAPraga

Vilna

Riga

VarsoviaBerlín

Copenhagen

París

Estocolmo

Oslo

Tallinn

ESLOVAQUIABratislava

Budapest

Belgrado

Chisinau

Amman

PAÍSES BAJOSAmsterdam

LUXEMBURGOLuxemburgo

Trinidad y Tobago

(EUA)

160º

Antigua y Barbuda

A

A

B

B

FINLANDIA

Helsinki

FINLANDIA

19

REPASEMOS

1. ¿Cuál de las siguientes opciones muestra un par de rectas paralelas?

a) b) c) d)

2. ¿Cuál es una definición incorrecta de rectas perpendiculares?

a) Rectas que se cortan formando siempre cuatro ángulos iguales.b) Rectas que se cortan formando siempre ángulos rectos.c) Rectas que se cortan formando siempre ángulos de 90°.d) Rectas que se cortan formando siempre una letra “T” volteada.

3. ¿Cuál es una definición correcta de ángulos opuestos por el vértice?

a) Ángulos que miden lo mismo.b) Ángulos que tienen un lado común.c) Ángulos que tienen el mismo vértice y los lados de uno son prolongación de

los lados del otro.d) Ángulos que tienen el mismo vértice y los lados de uno son perpendiculares

a los lados del otro.

4. Señala el ángulo adyacente a M y nómbralo N.

5. Traza una recta paralela a la recta roja y una perpendicular a la recta azul.

POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS

Determinar mediante

construcciones las

posiciones relativas

de dos rectas en el

plano; rectas paralelas,

perpendiculares y

oblicuas. Establecer

relaciones entre los

ángulos que se forman

al cortarse dos rectas.

1.5

M

LECCIÓN 1.5

20

6. Calcula el valor de los ángulos que faltan en cada par de rectas.


7. Se sabe que las rectas PQ y RS son perpendiculares a la recta XY. ¿Cómo son

entre sí las rectas PQ y RS?

8. Se sabe que la recta AB es paralela a la recta CD y la recta CD es perpendicular a la recta MN. ¿Cómo son entre sí las rectas AB y MN?

9. Por el punto P traza una recta perpendicular a la recta roja y por el punto Q traza una recta paralela a la recta roja.

10. Las diagonales de un rombo son perpendiculares. El segmento verde es la diagonal mayor de un rombo. Termina de trazar el rombo.

a) ¿Hay una o varias soluciones?

b) ¿Por qué?

11. El segmento azul es una diagonal de un cuadrado. Termina de trazar el cuadrado.

75º100º

P

Q

20

6. Calcula el valor de los ángulos que faltan en cada par de rectas.


7. Se sabe que las rectas PQ y RS son perpendiculares a la recta XY. ¿Cómo son

entre sí las rectas PQ y RS?

8. Se sabe que la recta AB es paralela a la recta CD y la recta CD es perpendicular a la recta MN. ¿Cómo son entre sí las rectas AB y MN?

9. Por el punto P traza una recta perpendicular a la recta roja y por el punto Q traza una recta paralela a la recta roja.

10. Las diagonales de un rombo son perpendiculares. El segmento verde es la diagonal mayor de un rombo. Termina de trazar el rombo.


b) ¿Por qué?

11. El segmento azul es una diagonal de un cuadrado. Termina de trazar el cuadrado.

75º100º

P

Q

21


b) ¿Por qué?

12. Un paralelogramo es una figura de cuatro lados que tiene dos pares de lados paralelos. En el siguiente espacio traza un paralelogramo que tenga lados perpendiculares y otro que no los tenga.

13. En cada caso determina el valor de x.

x = x =

Y ALGO MÁS…

Traza una recta paralela a la recta negra que pase por P.

Traza otra paralela a la recta que pase por P y que sea diferente a la que ya trazaste. ¿Pudiste hacerlo? Sólo existe una recta, ¿verdad?

En efecto, en la geometría que estudias sólo hay una paralela a una recta que pase por un punto fuera de ella. Pero existen otras geometrías diferentes en las que se puede trazar muchas rectas paralelas por el punto P y otras geometrías en que no se puede trazar ninguna. Estas geometrías sólo se estudian en grados superiores.

P

x

x + 20º 2x + 10º

x + 20º

Dirección de contenidos y servicios educativos Elisa Bonilla Rius

Gerencia editorialHilda Victoria Infante Cosío

EdiciónUriel Jiménez Herrera

Asesor pedagógicoMaría de los Dolores Lozano Suárez

AutoresSilvia Garcia Peña, Armando Solares Rojas y Jesús Rodríguez Viorato

CorrecciónAbdel López Cruz, Esther del Valle Padilla, Ezequiel Ortiz Hernández

Dirección de ArteQuetzatl León Calixto

Diseño Gráfi coFactor 02

Diseño de PortadaClaudia Adriana García, Quetzatl León

DiagramaciónJuan Espinosa Peña, Brenda López Romero

IlustraciónEliud Reyes Reyes

Fotografía© 2010 Thinkstock, Archivo SM, Yina Garza, Elia Pérez, Ricardo Tapia, Carlos Vargas

ProducciónCarlos Olvera, Teresa Amaya

Cuaderno de trabajo. Matemáticas 2SERIE APRENDIZAJES Y REFUERZOPrimera edición, 2010

D. R. © SM de Ediciones, S.A. de C.V., 2010Magdalena 211, Colonia del Valle, 03100, México, D.F.Tel.: (55) 1087 8400www.ediciones-sm.com.mx

ISBN 978-607-471-528-6

Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial MexicanaRegistro número 2830

No está permitida la reproducción total o parcial de este libro, ni su tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo y por escrito de los titulares del copyright.

Impreso en México/Printed in Mexico

22

ÁNGULOS ENTRE PARALELAS

REPASEMOS

Para las preguntas 1 y 2 considera la siguiente pareja de paralelas cortadas por una transversal.

1. ¿Qué opción señala dos ángulos alternos externos?

a) b y d b) c y e c) b y h d) b y f

2. ¿Cuánto mide el ángulo f?

a) 115° b) 85° c) 75° d) 65°

3. Se tiene un triángulo isósceles con dos ángulos de 45º. ¿Cuánto mide el otro ángulo?

a) 90° b) 80° c) 100° d) 315°

4. ¿Cuánto suman los ángulos interiores de un cuadrilátero?

a) 90º b) 180º c) 270º d) 360º

5. Se tiene un rombo con dos ángulos agudos de 40º. ¿Cuánto mide cada uno de sus ángulos obtusos?

a) 100º b) 110º c) 130º d) 140º


6. Considera que las rectas rojas son paralelas. Anota el valor de los ángulos que se indican.

Establecer las relaciones

entre los ángulos que se

forman entre dos rectas

paralelas cortadas por

una transversal.

1.6

d

115ºb

c

fe

hg

a =

b =

d =

c =

110º55º

LECCIÓN 1.6

22

ÁNGULOS ENTRE PARALELAS

REPASEMOS

Para las preguntas 1 y 2 considera la siguiente pareja de paralelas cortadas por una transversal.

1. ¿Qué opción señala dos ángulos alternos externos?

a) b y d b) c y e c) b y h d) b y f

2. ¿Cuánto mide el ángulo f?

a) 115° b) 85° c) 75° d) 65°

3. Se tiene un triángulo isósceles con dos ángulos de 45º. ¿Cuánto mide el otro ángulo?

a) 90° b) 80° c) 100° d) 315°

4. ¿Cuánto suman los ángulos interiores de un cuadrilátero?

a) 90º b) 180º c) 270º d) 360º

5. Se tiene un rombo con dos ángulos agudos de 40º. ¿Cuánto mide cada uno de sus ángulos obtusos?

a) 100º b) 110º c) 130º d) 140º


6. Considera que las rectas rojas son paralelas. Anota el valor de los ángulos que se indican.

Establecer las relaciones

entre los ángulos que se

forman entre dos rectas

paralelas cortadas por

una transversal.

1.6

d

115ºb

c

fe

hg

a =

b =

d =

c =

110º55º

LECCIÓN 1.6

23

7. En la siguiente figura, el primer triángulo es escaleno, el segundo es isósceles y el tercero es equilátero. Anota el valor de los ángulos que se indican.

8. Anota el valor de los cuatro ángulos interiores del siguiente paralelogramo.

9. Si las rectas verdes son paralelas,

¿cuál es el valor de x?

10. En cada caso, anota el valor de x.

x � x �

11. Si en un paralelogramo se aumenta el valor de uno de sus ángulos de 10° en 10°.

a) ¿Cuál es el valor máximo que puede alcanzar el ángulo?

b) ¿Por qué?

c) Completa la tabla con las medidas de los ángulos del paralelogramo a partir de un ángulo agudo de 10°.

Medida del ángulo agudo

10º

Medida del ángulo obtuso

p �

n �

m �

32º

90º

66º

135º

3x + 10º

x + 10º

2x + 30º

x + 30º

xx

3x

24

d) ¿Los valores de la tabla varían proporcionalmente?

e) ¿Cómo lo sabes?

12. Considera un trapezoide simétrico con un ángulo de 90°, como se muestra abajo. La medida del ángulo x varía.

a) Encuentra una expresión que relacione la medida del ángulo y en función de

la medida del ángulo x.

b) ¿Corresponde esa expresión a una relación de proporcionalidad?

c) ¿Cómo lo sabes?

Y ALGO MÁS…

Si el hexágono es regular, ¿cuánto mide el ángulo obtuso de los rombos que forman

la estrella? Justifica tu respuesta.

x

90º

y

y

24

d) ¿Los valores de la tabla varían proporcionalmente?

e) ¿Cómo lo sabes?

12. Considera un trapezoide simétrico con un ángulo de 90°, como se muestra abajo. La medida del ángulo x varía.

a) Encuentra una expresión que relacione la medida del ángulo y en función de

la medida del ángulo x.

b) ¿Corresponde esa expresión a una relación de proporcionalidad?

c) ¿Cómo lo sabes?

Y ALGO MÁS…

Si el hexágono es regular, ¿cuánto mide el ángulo obtuso de los rombos que forman

la estrella? Justifica tu respuesta.

x

90º

y

y

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REPASEMOS

1. El peso de un objeto depende del planeta en el que esté. Por ejemplo, un objeto pesa más en Júpiter que en la Tierra. El peso de un objeto en Júpiter se puede calcular multiplicando por 2.4 su peso en la Tierra.

a) ¿Cuánto pesará en la Tierra un objeto que pesa 120 kilogramos en

Júpiter?

b) ¿Cuál es el factor que permite encontrar el peso de un objeto en la Tierra a

partir de su peso en Júpiter?

2. El plano de una casa está hecho de manera que 2 cm de las medidas del plano equivalen a 5 m de las medidas reales.

a) ¿Cuál es el factor de escala que permite encontrar las medidas reales a partir

de las medidas del plano?

b) ¿Cuál es el factor de escala que permite encontrar las medidas del plano a

partir de las medidas reales?

3. Las medidas de una figura se aumentaron y después se redujeron de manera proporcional.

a) En el siguiente esquema, anota el factor de escala que se aplicó para obtener la figura final a partir de la figura intermedia.

EL RECÍPROCO DE UN FACTOR DE PROPORCIONALIDAD

Determinar el factor

inverso dada una relación

de proporcionalidad

y el factor de

proporcionalidad

fraccionario.

1.7

x 2 __ 3

x 2 x =

Figurainicial

Figuraintermedia

Figurafinal

LECCIÓN 1.7

b) ¿Cuál es el factor de escala que permite encontrar las medidas de la figura inicial a partir de las medidas de la figura final sin tener que encontrar las de

la figura intermedia?


4. Una máquina tiene un sistema de engranes formado de la siguiente manera. Por cada tres vueltas que da el engrane B, el engrane A da una vuelta. Y por cada vuelta que da el engrane C, el engrane B da 4 vueltas.

a) ¿Cuántas vueltas da el engrane C por cada vuelta que da el engrane A?

b) ¿Cuántas vueltas da el engrane A por cada vuelta que da el engrane C?

26

5. A inicios de 2009, un dólar americano equivalía (aproximadamente) a 14 pesos mexicanos. En las mismas fechas, un dólar canadiense equivalía 0.8 dólares americanos.

a) ¿Cuánto valía un peso mexicano en dólares americanos?

b) ¿Cuántos dólares canadienses se podía comprar con 112 pesos mexicanos?

c) El tipo de cambio es el valor de una moneda expresado en términos de otra. Por ejemplo, el tipo de cambio del dólar respecto al peso era: cada dólar ame-ricano correspondía a 14 pesos mexicanos. Completa el siguiente esquema con los tipos de cambio correspondientes.

d) ¿A cuántos pesos mexicanos equivalía un dólar canadiense (tipo de cambio del

dólar canadiense respecto al peso mexicano)?

e) ¿Cuál era el tipo de cambio del peso mexicano respecto al dólar canadiense?

Y ALGO MÁS…

6. Aleaciones y joyería. En la joyería suelen usarse aleaciones para manejar los metales preciosos. Una aleación es una mezcla de un metal con alguna otra sustancia, metálica o no metálica. De esta manera, las aleaciones de metales preciosos adquieren la resistencia necesaria para ser moldeados.

El oro blanco es una aleación de oro y algún otro metal blanco, como la plata. Esta aleación es muy usada en joyería. Hay que mezclar cuatro partes de oro puro y una parte de plata.

a) ¿Cuántos gramos de plata necesito para obtener 60 gramos de oro blanco?

c) ¿Cuántos gramos de oro blanco se obtienen con 40 gramos de oro puro?

e) ¿Cuál es la regla que permite encontrar la cantidad y de oro blanco que se

obtiene con una cantidad z de oro puro?

x 14 x

x x

Pesomexicano

Dólar americano

Dólar canadiense

26

5. A inicios de 2009, un dólar americano equivalía (aproximadamente) a 14 pesos mexicanos. En las mismas fechas, un dólar canadiense equivalía 0.8 dólares americanos.

a) ¿Cuánto valía un peso mexicano en dólares americanos?

b) ¿Cuántos dólares canadienses se podía comprar con 112 pesos mexicanos?

c) El tipo de cambio es el valor de una moneda expresado en términos de otra. Por ejemplo, el tipo de cambio del dólar respecto al peso era: cada dólar ame-ricano correspondía a 14 pesos mexicanos. Completa el siguiente esquema con los tipos de cambio correspondientes.

d) ¿A cuántos pesos mexicanos equivalía un dólar canadiense (tipo de cambio del

dólar canadiense respecto al peso mexicano)?

e) ¿Cuál era el tipo de cambio del peso mexicano respecto al dólar canadiense?

Y ALGO MÁS…

6. Aleaciones y joyería. En la joyería suelen usarse aleaciones para manejar los metales preciosos. Una aleación es una mezcla de un metal con alguna otra sustancia, metálica o no metálica. De esta manera, las aleaciones de metales preciosos adquieren la resistencia necesaria para ser moldeados.

El oro blanco es una aleación de oro y algún otro metal blanco, como la plata. Esta aleación es muy usada en joyería. Hay que mezclar cuatro partes de oro puro y una parte de plata.

a) ¿Cuántos gramos de plata necesito para obtener 60 gramos de oro blanco?

c) ¿Cuántos gramos de oro blanco se obtienen con 40 gramos de oro puro?

e) ¿Cuál es la regla que permite encontrar la cantidad y de oro blanco que se

obtiene con una cantidad z de oro puro?

x 14 x

x x

Pesomexicano

Dólar americano

Dólar canadiense

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REPASEMOS

1. El siguiente prisma rectangular (prisma A) mide 2 cm de altura y su base mide 4 cm de largo por 3 cm de ancho.

Prisma A

a) El prisma B se construyó triplicando la medida del largo de la base del prisma A

y dejando fijas las medidas de la altura y del ancho.

Prisma B

¿Cuántas veces más grande es el volumen del prisma B que el volumen del

prisma A?

b) El prisma C se construyó disminuyendo a la mitad la altura del prisma A y dejando fijas las medidas del largo y del ancho de la base.

Prisma C

¿Cuántas veces más pequeño es el volumen del prisma C que el volumen del

prisma A?

PROPORCIONALIDAD MÚLTIPLE

Elaborar y utilizar

procedimientos para

resolver problemas

de proporcionalidad

múltiple.

1.8

2 cm

4 cm

3 cm

2 cm

4 cm

3 cm

2 cm

4 cm

3 cm

LECCIÓN 1.8

28

c) Si, al mismo tiempo, se aumentara al triple la medida del largo de la base y se disminuyera a la mitad la altura del prisma A, ¿el volumen aumentaría o

disminuiría? ¿Cuántas veces?

d) Las siguientes son afirmaciones sobre cómo se modifica el volumen de un prisma al cambiar las medidas de sus dimensiones. Escribe V frente a las afir-maciones que sean verdaderas y F frente a las que sean falsas.

Cuando disminuye el volumen del prisma es porque disminuyeron las medidas de todas sus dimensiones.

Para que el volumen del prisma se duplique es necesario duplicar las medidas de sus dimensiones.

Cuando el largo y el ancho del prisma permanecen fijos, la medida de la altura es directamente proporcional al volumen.

2. En una escuela se organizan una excursión. Los organizadores saben que, en

promedio, 12 niños consumen 144 litros de agua en seis días.

a) ¿Cuántos litros de agua habría que llevar a la excursión si fueran 60 niños y

el viaje durara seis días?

b) Si fueran 36 niños y llevaran 144 litros de agua, ¿para cuántos días

alcanzaría?

c) Según los datos de este problema, en promedio, ¿cuántos litros de agua

consume diariamente cada niño?


3. En un criadero de cerdos se comprará alimento para engorda. Sabemos que para alimentar (en promedio) 20 cerdos se necesitan 50 kilogramos de alimento por día.

a) El periodo de engorda recomendado es de 33 días. ¿Cuántos kilogramos de

alimento se necesitan para engordar a 20 cerdos?

b) Y si se quisiera engordar a 50 cerdos, ¿qué cantidad de alimento se necesi-

taría?

c) ¿De cuántos kilogramos es la ración diaria para cada cerdo?

4. Con 6 litros de una pintura para exteriores alcanza para pintar un muro de 2 m de altura por 9 m de largo (en promedio).

a) ¿Cuántos litros de pintura se necesitan para pintar una pared de 2 m de al-

tura por 15 m de largo?

b) Se quiere pintar el exterior de un edificio que mide 720 m2 de superficie.

¿Cuántos litros de esta pintura se necesitan?

28

c) Si, al mismo tiempo, se aumentara al triple la medida del largo de la base y se disminuyera a la mitad la altura del prisma A, ¿el volumen aumentaría o

disminuiría? ¿Cuántas veces?

d) Las siguientes son afirmaciones sobre cómo se modifica el volumen de un prisma al cambiar las medidas de sus dimensiones. Escribe V frente a las afir-maciones que sean verdaderas y F frente a las que sean falsas.

Cuando disminuye el volumen del prisma es porque disminuyeron las medidas de todas sus dimensiones.

Para que el volumen del prisma se duplique es necesario duplicar las medidas de sus dimensiones.

Cuando el largo y el ancho del prisma permanecen fijos, la medida de la altura es directamente proporcional al volumen.

2. En una escuela se organizan una excursión. Los organizadores saben que, en

promedio, 12 niños consumen 144 litros de agua en seis días.

a) ¿Cuántos litros de agua habría que llevar a la excursión si fueran 60 niños y

el viaje durara seis días?

b) Si fueran 36 niños y llevaran 144 litros de agua, ¿para cuántos días

alcanzaría?

c) Según los datos de este problema, en promedio, ¿cuántos litros de agua

consume diariamente cada niño?


3. En un criadero de cerdos se comprará alimento para engorda. Sabemos que para alimentar (en promedio) 20 cerdos se necesitan 50 kilogramos de alimento por día.

a) El periodo de engorda recomendado es de 33 días. ¿Cuántos kilogramos de

alimento se necesitan para engordar a 20 cerdos?

b) Y si se quisiera engordar a 50 cerdos, ¿qué cantidad de alimento se necesi-

taría?

c) ¿De cuántos kilogramos es la ración diaria para cada cerdo?

4. Con 6 litros de una pintura para exteriores alcanza para pintar un muro de 2 m de altura por 9 m de largo (en promedio).

a) ¿Cuántos litros de pintura se necesitan para pintar una pared de 2 m de al-

tura por 15 m de largo?

b) Se quiere pintar el exterior de un edificio que mide 720 m2 de superficie.

¿Cuántos litros de esta pintura se necesitan?

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6. Receta de capirotada. En una revista se publicó la siguiente receta para preparar capirotada.

Capirotada para 12 personas.

Tiempo de preparación: 30 min Tiempo de cocción 30 min

Ingredientes:

Para preparar el pan: Para preparar la miel:

10 rodajas de pan rebanado 1 kg de piloncillo

250 g de queso en cubos 10 clavos de olor

100 g de coco rallado 50 g de canela

200 g de pasas 4 litros de agua

Instrucciones de preparación

Poner a hervir el agua con el piloncillo, clavos y canela. • Colocar en una vasija grande una base de pan. Cubrir el pan con queso, pasas y • coco para formar una capa uniforme.Bañar la capa con miel. Hacer varias capas y cubrir cada una con miel hasta acabar.• Dejar reposar cinco minutos y servir.•

a) Si la cantidad de ingredientes es directamente proporcional al número de personas que comerán, ¿qué cantidad de cada uno se necesita para preparar capirotada para 15 personas? Completa la tabla.

Para preparar el pan Para preparar la miel

rodajas de pan francés o "virote" rebanado kg de piloncillo

g de queso en cubos clavos de olor

g de coco rallado g de canela

g de pasas litros de agua

g de cacahuate natural sin cascarilla

b) ¿Con 25 rodajas de pan, para cuántas personas alcanza? ¿Cuánto

piloncillo se necesitaría?

c) ¿Si se redujera a la mitad la cantidad de comensales, disminuiría a la mitad el

tiempo total de preparación? ¿Por qué?

30

7. Dado un cubo, se duplica la longitud de sus aristas.

a) Subraya en qué porcentaje aumenta el volumen del nuevo cubo respecto al original.

900% • 700% • 600% • 300%•

b) Como habrás notado, el volumen del cubo nuevo es 8 veces mayor que el volumen del cubo original. Explica porqué el porcentaje del aumento del volumen del cubo nuevo respecto al cubo original NO es 800%.

Y ALGO MÁS…

La geometría de Gulliver. Jonathan Swift describió mundos maravillosos por los que viajó el doctor Lemuel Gulliver. Entre estos mundos se encuentran Liliput, un mundo de enanos, y Brobdingnag, un mundo de gigantes. En el mundo de los liliputienses todas las cosas, todas las personas y todas las criaturas de la naturale-za son 12 veces menores que lo normal. Más precisamente: en Liliput, el largo, el ancho y la altura de las cosas son 12 veces menores que lo normal. Por su parte, en Brobdingnag, el mundo de los gigantes, son 12 veces mayores que lo normal. A primera vista, calcular cantidades con estas relaciones parece simple. Sin embargo, algunos cálculos no resultan sencillos. Por ejemplo, Swift explica que para alimen-tar a Gulliver se le entregaba diariamente una ración de comestibles y bebidas suficiente para alimentar a ¡1 728 liliputienses!

a) Explica cómo crees que Swift haya obtenido este número.

Más adelante, Jonathan Swift narra que en Brobdingnag una avellana era del ta-maño de una calabaza normal. Considerando que una avellana tiene 1.5cm de diámetro y pesa 2g (aproximadamente), calcula:

b) ¿Cuánto pesa una avellana del mundo de gigantes?

c) ¿Cuánto mide su diámetro?

Yakov Perelman. Aritmética Recreativa. Moscú: Editorial MIR, 1986. (Adaptación)

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7. Dado un cubo, se duplica la longitud de sus aristas.

a) Subraya en qué porcentaje aumenta el volumen del nuevo cubo respecto al original.

900% • 700% • 600% • 300%•

b) Como habrás notado, el volumen del cubo nuevo es 8 veces mayor que el volumen del cubo original. Explica porqué el porcentaje del aumento del volumen del cubo nuevo respecto al cubo original NO es 800%.

Y ALGO MÁS…

La geometría de Gulliver. Jonathan Swift describió mundos maravillosos por los que viajó el doctor Lemuel Gulliver. Entre estos mundos se encuentran Liliput, un mundo de enanos, y Brobdingnag, un mundo de gigantes. En el mundo de los liliputienses todas las cosas, todas las personas y todas las criaturas de la naturale-za son 12 veces menores que lo normal. Más precisamente: en Liliput, el largo, el ancho y la altura de las cosas son 12 veces menores que lo normal. Por su parte, en Brobdingnag, el mundo de los gigantes, son 12 veces mayores que lo normal. A primera vista, calcular cantidades con estas relaciones parece simple. Sin embargo, algunos cálculos no resultan sencillos. Por ejemplo, Swift explica que para alimen-tar a Gulliver se le entregaba diariamente una ración de comestibles y bebidas suficiente para alimentar a ¡1 728 liliputienses!

a) Explica cómo crees que Swift haya obtenido este número.

Más adelante, Jonathan Swift narra que en Brobdingnag una avellana era del ta-maño de una calabaza normal. Considerando que una avellana tiene 1.5cm de diámetro y pesa 2g (aproximadamente), calcula:

b) ¿Cuánto pesa una avellana del mundo de gigantes?

c) ¿Cuánto mide su diámetro?

Yakov Perelman. Aritmética Recreativa. Moscú: Editorial MIR, 1986. (Adaptación)

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REPASEMOS

1. Para cada caso, escribe si se trata de un problema de combinaciones o de permutaciones.

a. De un grupo de estudiantes, se quiere calcular de cuántas maneras se puede elegir

a un presidente, un secretario y un tesorero.

b. De un grupo de estudiantes, se quiere calcular de cuántas maneras se pueden ele-

gir a tres personas para representar al grupo.

c. Hay un estéreo, una lámpara y un televisor para regalar a 10 personas. Se quiere determinar de cuántas maneras es posible repartir los obsequios. Para

darle máximo un obsequio a cada persona.

d. Se regalarán 10 televisores a 100 personas. Y se quiere determinar de cuán-tas maneras se puede repartir los televisores, de tal manera que máximo le

corresponda un televisor a cada persona.

2. Ana irá al cine con su papá, su mamá y su novio. Se sentarán en una fila con cuatro asientos, pero el papá de Ana no quiere que Ana se siente junto a su novio. Completa el siguiente diagrama para determinar de cuántas maneras pueden sentarse sin que Ana quede junto a su novio.

¿De cuántas maneras pueden sentarse?

COMBINACIONES Y PERMUTACIONES

Anticipar resultados en

problemas de conteo, con

base en la identificación

de regularidades.

1.9

Ana

Novio

Novio

Novio

Mamá

Mamá

Mamá

Mamá

Papá

Papá

LECCIÓN 1.9

32


3. En un concurso participaron 10 personas. ¿Cuántas maneras distintas hay de

repartir el primero, segundo y tercer lugar entre ellas?

4. En una rifa participaron 10 personas;se repartirán tres cheques de mil pesos. ¿De cuántas maneras distintas es posible repartir los tres cheques?

5. ¿Cuántas rectas distintas se puede dibujar uniendo dos de los puntos a la

izquierda?

a) Si agregamos un punto que no esté sobre ninguna de las rectas que contas-

te, ¿cuántas rectas se puede trazar ahora?

b) ¿Y cuántos triángulos distintos se puede formar si se usan como vértices tres

de los seis puntos?

6. Un profesor aplicó un examen de ocho preguntas para que los alumnos eligieran cinco para contestar.

a) ¿Cuántas formas de contestar el examen tienen los alumnos?

b) Si les permitieran elegir sólo tres preguntas, ¿tendrían menos, más o igual

número de formas de contestar el examen?

7. ¿Cuántos triángulos equiláteros hay en la siguiente figura? Contesta

con cuidado, hay más de nueve.

8. Se quiere colocar cinco libros distintos en el estante de un librero.

a) ¿De cuántas maneras es posible acomodar? b) Si queremos además que el libro de geometría esté junto al de álgebra, ¿cuán-

tas maneras hay de acomodarlos ahora? c) Y si queremos que los libros de geometría, álgebra y cálculo estén juntos (no

necesariamente en ese orden), ¿de cuántas maneras es posible acomodar los cinco libros ahora?

Y ALGO MÁS…

Hay nueve bolas negras y seis blancas. Se quiere alinearlas de tal manera que no queden dos blancas juntas, ¿de cuántas maneras se puede acomodar las bolas?

A C

D

B E

F

32


3. En un concurso participaron 10 personas. ¿Cuántas maneras distintas hay de

repartir el primero, segundo y tercer lugar entre ellas?

4. En una rifa participaron 10 personas;se repartirán tres cheques de mil pesos. ¿De cuántas maneras distintas es posible repartir los tres cheques?

5. ¿Cuántas rectas distintas se puede dibujar uniendo dos de los puntos a la

izquierda?

a) Si agregamos un punto que no esté sobre ninguna de las rectas que contas-

te, ¿cuántas rectas se puede trazar ahora?

b) ¿Y cuántos triángulos distintos se puede formar si se usan como vértices tres

de los seis puntos?

6. Un profesor aplicó un examen de ocho preguntas para que los alumnos eligieran cinco para contestar.

a) ¿Cuántas formas de contestar el examen tienen los alumnos?

b) Si les permitieran elegir sólo tres preguntas, ¿tendrían menos, más o igual

número de formas de contestar el examen?

7. ¿Cuántos triángulos equiláteros hay en la siguiente figura? Contesta

con cuidado, hay más de nueve.

8. Se quiere colocar cinco libros distintos en el estante de un librero.

a) ¿De cuántas maneras es posible acomodar? b) Si queremos además que el libro de geometría esté junto al de álgebra, ¿cuán-

tas maneras hay de acomodarlos ahora? c) Y si queremos que los libros de geometría, álgebra y cálculo estén juntos (no

necesariamente en ese orden), ¿de cuántas maneras es posible acomodar los cinco libros ahora?

Y ALGO MÁS…

Hay nueve bolas negras y seis blancas. Se quiere alinearlas de tal manera que no queden dos blancas juntas, ¿de cuántas maneras se puede acomodar las bolas?

A C

D

B E

F

2

4

6

8

10

12

10 30 50 70 9020 40 60 80 110100

33

Interpretar y comunicar

información mediante

polígonos de

frecuencia.

1.10

LECCIÓN 1.10

POLÍGONOS DE FRECUENCIAS


1. La tabla muestra la duración en horas de cierto tipo de lámparas eléctricas.

Duración (horas) Frecuencia de lámparas

0-200 1

201-400 3

401-600 2

601-800 11

801-1000 22

1001-1200 15

1201-1400 8

1401-1600 1

1601-1800 0

1801-2000 1

a) Elabora en tu cuaderno el polígono de frecuencias correspondiente.b) Si hicieras la propaganda para las lámparas, ¿cuál de las siguientes afirma-

ciones considerarías más acertada?

Generalmente duran 1 000 horas. •

Duran hasta 1 400 horas. •

Duran hasta 2 000 horas. •

c) ¿Por qué?

2. En tu cuaderno elabora la tabla que corresponde al siguiente polígono de frecuencias. .

a) ¿Es conveniente usar esta anestesia para una intervención que durará

80 minutos? ¿Por qué?

b) ¿Y para una intervención que dure 20 minutos? ¿Por qué?

0

Millones de habitantes

2000

HombresEdad

85 y más80 - 84

70 - 74

55 - 59

45 - 49

35 - 39

25 - 29

15 - 19

5 - 9

75 - 79

65 - 69

50 - 54

40 - 44

30 - 34

20 - 24

10 - 14

60 - 64

0 - 4

1940

Mujeres

123456 1 2 3 4 5 6

34

3. Elabora en tu cuaderno un polígono de frecuencias con los siguientes datos. Usa datos agrupados.

Peso de 30 alumnos (en kilogramos): 42, 43.5, 43.9, 44, 44, 45.5, 47, 47, 49, 49, 49.5, 49.5, 50, 50.3, 50.5 51, 52, 52, 52.5, 52.8, 53, 53, 56, 56, 56, 57.5, 58, 60, 65, 67.

4. Considera la siguiente gráfica que muestra la distribución por edad y sexo de los habitantes de México en 1940 y en 2000.

a) En el grupo de niños de 0 a 4 años de edad...

¿En 1940 había más hombres o mujeres? •


Aproximadamente, ¿cuánto aumentó el número de mujeres de esa edad •

de 1940 a 2000?

b) En 1940 había, aproximadamente, 1.5 millones de hombres de 0 a 4 años de edad. Ellos cumplieron de 60 a 65 años en el año 2000.

Sin ver la gráfica, ¿habrá 1.5 millones de hombres de 60 a 64 años en el •

año 2000?

¿Por qué? •

Consulta la gráfica, ¿cuántos hombres de 60 a 65 años había en el año •

2000?

¿Cuántos de esos hombres, aproximadamente, no alcanzaron esa edad? •

c) Identifica el intervalo de tu edad en el año 2000. ¿Había más hombres

o mujeres?

Fuente: http://cuentame.inegi.org.mx/poblacion/habitantes.aspx?tema=P

0

Millones de habitantes

2000

HombresEdad

85 y más80 - 84

70 - 74

55 - 59

45 - 49

35 - 39

25 - 29

15 - 19

5 - 9

75 - 79

65 - 69

50 - 54

40 - 44

30 - 34

20 - 24

10 - 14

60 - 64

0 - 4

1940

Mujeres

123456 1 2 3 4 5 6

34

3. Elabora en tu cuaderno un polígono de frecuencias con los siguientes datos. Usa datos agrupados.

Peso de 30 alumnos (en kilogramos): 42, 43.5, 43.9, 44, 44, 45.5, 47, 47, 49, 49, 49.5, 49.5, 50, 50.3, 50.5 51, 52, 52, 52.5, 52.8, 53, 53, 56, 56, 56, 57.5, 58, 60, 65, 67.

4. Considera la siguiente gráfica que muestra la distribución por edad y sexo de los habitantes de México en 1940 y en 2000.

a) En el grupo de niños de 0 a 4 años de edad...



Aproximadamente, ¿cuánto aumentó el número de mujeres de esa edad •

de 1940 a 2000?

b) En 1940 había, aproximadamente, 1.5 millones de hombres de 0 a 4 años de edad. Ellos cumplieron de 60 a 65 años en el año 2000.

Sin ver la gráfica, ¿habrá 1.5 millones de hombres de 60 a 64 años en el •

año 2000?

¿Por qué? •

Consulta la gráfica, ¿cuántos hombres de 60 a 65 años había en el año •

2000?

¿Cuántos de esos hombres, aproximadamente, no alcanzaron esa edad? •

c) Identifica el intervalo de tu edad en el año 2000. ¿Había más hombres

o mujeres?

Fuente: http://cuentame.inegi.org.mx/poblacion/habitantes.aspx?tema=P

100%

90%

80%

70%

60%

50%

40%

30%

20%

10%

Total Áreas urbanas Áreas rurales

No fumador

Sin instrucción

Preparatoria

Ex fumador

Primaria

Universidad

Fumador

Secundaria

Posgrado

35

5. Las siguientes tablas y gráficas se refieren a un estudio del INEGI acerca de la adicción al tabaco.

Indicador2002

Total Hombres Mujeres

1. Población de 12 a 65 años de edad 69 767 067 31 393 657 38 373 410

Nunca ha fumado tabaco. 41 240 234 12 674 050 28 566 184

Alguna vez ha fumado tabaco. 28 526 833 18 719 607 9 807 226

2. Población de 12 a 65 años de edad

que alguna vez ha fumado tabaco

por edad de inicio:

28 526 833 18 719 607 9 807 226

De 5 a 9 años 359 240 269 544 89 696

De 10 a 14 años 5 509 716 4 068 247 1 441 469

De 15 a 19 años 16 319 411 11 133 513 5 185 898

De 20 a 24 años 4 192 925 2 405 180 1 787 745

De 25 a 29 años 1 064 055 455 962 608 093

De 30 a 34 años 544 447 144 147 400 300

De 35 años y mas 500 586 208 481 292 105

No especificado 36 453 34 533 1 920

Fuente: http://www.inegi.org.mx/prod_serv/contenidos/espanol/bvinegi/productos/continuas/sociales/salud/2004/Ena02.pdf

5

10

15

20

25

30

35

40

12 a 17 18 a 29 30 a 39

Población de 12 a 65 años de edad que fuma

40 a 49 50 a 65

36

Con base en la información responde lo siguiente.

a) ¿En qué año se llevó a cabo la encuesta?

b) ¿Qué intervalo de edad se consideró para la encuesta?

c) ¿En qué grupo de edad se inicia a fumar con mayor frecuencia?

d) ¿Qué grupo de edad tiene el mayor porcentaje de fumadores?

e) Responde si es falso o verdadero.

A mayor instrucción, mayor índice de fumadores. •

A mayor edad, mayor índice de fumadores. •

En las zonas urbanas fuman más que en las rurales. •

Las mujeres fuman más que los hombres. •

6. Organícense en grupo para hacer una investigación respecto a la adicción al tabaco. Elaboren un periódico mural con estadísticas de su grupo (fumadores, no fumadores, si han fumado alguna vez, etcétera) y acerca de los efectos nocivos de fumar.

Cuaderno trabajo matamaticas_2_aprendizaje_refuerzo

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