SEP SEIT DGIT

CENTRO NACIONAL DE INVESTIGACI~N Y DESARROLLO TECNOL~GICO

cenidet "ESTUDIO DE LA TRANSFERENCIA DE CALOR CON

FLUJO TURBULENTO EN UNA CAVIDAD CUADRADA CON PARED SEMITRANSPARENTE"

I

T E S I S QUE PARA OBTENER EL GRADO DE

DOCTOR EN CIENCIAS

EN INGENIEMA ME c Á N I c A P R E S E N T A:

M.C. JESÚS PERFECTO XAMÁN VILLASENOR

Cuemaw, Mor., Matzo 04,2004

Asun&. Se autwiza impresión de tesis y fecha para examen de grado.

DR. JESÚC ARNOLD0 EALmSTA CORRAL DIRECTOR DEL CENIDET P r e s e n t e

A t k - M.C. Ciarrdia Garcia JEFA DEL DEPTO. DE ING. MECANICA

Por este conducto hacernos de su conodrniento que, después de haber sometido a revisión el trabajo de tesis doctoral, titulado:

"ESIIIDIO DE LA TRANCFERENUA DE CALOR CON FLUJO TURBULENM EN UNA CAVIDAD CUADRADA CON PARED SEMITRANSPARENTE"

Desanolbdo por el M.C. JESÚS PERFECTO XAMÁN VILLASEfiOR y habiendo cumpliio con todas las cMTec6ones qw se le indicaron, estamos de acuerdo en que se ie conceda la autorización de impresión de tesis y la fecha de examen de grado.

Sin otro particular, quedamos de u!aed.

A T E N T A M E N T E

/ Dra. Gab- Alvarez Odd

Dr. Gustan, Urquiza Beltrán

Dr. utieirez

c.c.p.- wte. De claustro clcctwal Depto. De Sera. Escolares IllteRS&

IMERIOR INTERNADO PALMIRA S/N:COL, PALMIRA, A.P. 5-164. CP. 62490, CUERNAVACA. MOR. - MÉXICO TEtS. t777)312 23 14.318 77 41. FAX 1777) 312 2434 W A I L abautista@cenidet.edu.mx

cenídet Centru Nacmnal de Invasf1gau6n

y üesamllo Temol6gim ~~~

W & S S C W W b E I E rniBIwbrirrna6pEI<

AUTORKACI~N DE IMPRESI~N DE BIS

Cuemvaca, Mor., a 27 de abril del 2004

c MC. asús PERFECTO XAMAN VILLASEROR Candidato ai Grado de Doctor en Ciencias en ingeniería Mecánica piesente.

Dequés de haber atendido las indicaciones sugeridas por el Comité Revism. del Claustro Doctoral de ingeniería Mecánica, en relación a su trabajo de tesis cuyo titulo es: ‘Estudio de la bansfaencia de calor con flujo turbulento en una cavidad cuadrada con pared semitransparente”, me es grato comunicarle que conforme a los lineapientos establecidos para la obtención del grado de Doctor en Ciencias en este miro, se le concede la autorización para que proceda con la impresión de su tesis.

Y

C. M.C. Claudia C o b García J& del Departamento de ing. Mecánica

S. E. P. CENTRO NACIONAL DE

INVESTlGACiON Y, DESARI‘OLLO

TECNOLCGICO DEPARTAMENTO DE

ING. MECANICA

C.C.P. S U M i h AEademica P& declaustroDodoral Departamento de SeMciosEsColares Eqxdente

PROLONGACdN AV. PALMIRA ESQ. APATIINGAN, COL. PALMIRA , A.P. 5-164, CP. 62490, CUERNAVACA, MOR. - MÉXICO T E N F A X (777)3140637y3127613

DEDICATORIAS

Dedico este trabajo:

A mi esposa: MÓnica Mérida Pedroza por haberme comprendido y aceptado desde el momento de conocemos.

A lo mas valioso que me ha dado la vida, mis hijas: Virginia Nereyda y Ángeles Simei

A mis padres: Nereyda y Perfecto por haberme dado lo mas preciado, la vida, gracias jefes.

A mis hermanos: Lucina, Mireya, Layda y Ernesto por el entusiasmo orientado para la continuación de mis estudios, mi gratitud para ustedes hermanos.

A mis amigos: Leone1 Lira, José Medina, Manuel Sánchez, Rubén Villaseñor, Edgar Santos, Rodrigo Briceño, Jorge Ovidio y Jorge Bedolla por los grandes y pequeños momentos que compartimos.

AGRADECIMIENTOS

Quiero agradecer:

A Dios por ayudarme a realizar este sueño.

A Mónica por su gran amor y paciencia aún en los momentos más difciles de nuestro matrimonio. Bueno, hoy puedo decir que eres el amor de mi vida.

A mis suegros (Oliva y Fernando) por sus sabios consejos y por el apoyo brindado a mi familia en mi ausencia.

De manera muy especial a mi asesor: Dra. Gabrieía del Socorro ÁIvarez Garcia

Por su valiosa ayuda e incondicional apoyo en el desarrollo de este trabajo.

Al jurado revisor de este proyecto por sus acertados comentarios y sugerencias: Dra. Sara Moya, Dr. Gustavo Urquiza, Dr. Alfonso Garcia, Dr. P.K. Nair y al Dr. Claudio Estrada.

A los doctores: A. Oliva, C.D. Pérez-Segarra, K. Claramunt y J. Jaramillo por sus valuables comentarios durante mi estancia en el Centro Tecnológico de Transferencia de Calor de la Universidad Politécnica de Catalunya.

A mis compañeros de Cenidet que de una u otra manera me apoyaron en el desarrollo de este trabajo: Leonel, Jassón, Ivonne, Manuel, Efrain, Cisarin, Obed, Procopio, Poncho, Carlitos, Moy, Mike, Chalo, Felipe, Chucho (tocayo), Gustavo, Sad .

Al Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico (Cenidet) por brindarme la oportunidad de lograr una meta más en mi vida profesional.

Ai Depto. de Posgrado e Investigación del Instituto Tecnológico de Querétaro (IT@ por el apoyo y las facilidades brindadas en la etapa j na l de mi tesis.

Al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (CONACYT) por el apoyo jnanciero recibido.

A la Secretaría de Educación Pública (SEP) por el apoyo económico brindado.

SÓLO PARA REFLEXIONAR

El ayer se ha ido El mañana no ha llegado aún

Sólo tenemos el hoy EMPECEMOS

Madre Teresa

Hay hombres que luchan un día y son buenos Hay otros que luchan un año y son mejores

Hay quienes luchan muchos años y son muy buenos Pero hay los que luchan toda la vida, esos son los imprescindibles

Berto A.

Cuando te veas presionado y sientas todo en contra tuya a tal grado que parece que no puedes resistir más, jno te rindas! por que puede ser el momento justo en que cambiara tu vida

Harriet Stowe

Un hermano puede no ser un amigo pero un amigo será siempre un hermano”

Benjamín Franklin

Intenta no volverte un hombre de éxito sino volverte un hombre de valor

Dime y lo olvido Enséñame y lo recuerdo

Involúcrame y lo aprendo

Albert Einstein

Benjamín Franklin

ÍNDICE Página

Lista de Figuras

Lista de Tablas

Nomenclatura

Resumen

A bstract

CAPITULO 1. INTRODUCCIÓN

I . I .-Ubicación del problema

1.2.-Revisión bibliográfica

1.2.1 .-Estudios de transferencia de calor por convección en cavidades 1.2.1 . I .-Estudios de transferencia de calor por convección en

1.2.1.2.-Estudios de transferencia de calor por convección en

1.2.2.-Estudios de transferencia de calor por convección, conducción

cavidades con flujo laminar

cavidades con flujo turbulento

y radiación en cavidades 1.2.2.1 .-Estudios de transferencia de calor por convección,

1.2.2.2.-Estudios de transferencia de calor por convección,

conducción y radiación en cavidades con flujo laminar

... V l l l

xii

xiv

xviii

xx

I 4

5

5

7

14

14

conducción y radiación en cavidades con flujo turbulento 18 1.3.-Objetivos 21

1.4.-Alcance 21

ii

CAPITULO 2. ECUACIONES DE CONSERVACIÓN Y SU

PROMEDIO TEMPORAL (RANS)

2.1 .-Ecuaciones gobernantes del flujo de fluido y transferencia de calor 23 24 2. I .1 .-Ecuac'ión de conservación de masa

2. I .2.-Ecuación de conservación de cantidad de movimiento

2.1.3.-Ecuación de conservación de energía

2,2.-Ecuaciones de conservación simplificadas

2.2.1 .-Hipótesis

2.2.2.-Ecuaciones simplificadas de Navier-Stokes

2.3.-Modelado de la turbulencia

2.3.1 .-Introducción

2.3.2.-Escalas de turbulencia

2.3.3.-Estrategias para la solución de la turbulencia

2.3.4.-SimulaciÓn de la turbulencia con la técnica del RANS

2.3.4.1 .-Modelos de esfuerzos de Reynolds (RSM)

2.3.4.2.-Modelos de esfuerzos algebraicos (ASM)

2.3.4.3.-Modelos de remolinos de viscosidad (EVM)

2.3.5.-Modelos de remolinos de viscosidad (EVM) 2.3.5.1 .-Modelos de cero ecuación (EVM-O-Ecuación)

2.3.5.2.-Modelos de una ecuación (EVM-I -Ecuación) 2.3.5.3.-Modelos de dos ecuaciones (EVM-2-Ecuaciones)

2.3.6.-El modelo Kappa-Epsilon (IC-&)

2.4.-Concl usiones

24

26

28

28 1

30

31

31

33

34

36

40

41

41 41

43

44 46

47

49

iii

CAP~TULO 3. MODELO FISICO Y MATEMÁTICO

3.1 .-Modelo fisico de la cavidad con pared semitransparente

3.2.-Modelo matemático de la cavidad con pared semitransparente

3.2.1 .-Ecuaciones gobernantes

3.2.2.-Condiciones iniciales y de frontera para las velocidades

3.2.3.-Modelos de turbulencia: valores empíricos y condiciones y temperatura

de frontera

3.3.-Modelo de la convección natural turbulenta en una cavidad calentada diferencialmente

3.4.-Modelo de la transferencia de calor por radiación en una cavidad

3.5.-Modelo de la transferencia de calor por conducción a través de

3.6.-Parámetros para el comportamiento térmico

3.7.-Conclusiones

considerando paredes opacas

una pared semitransparente

50

53

53

55

56

58

60

63

65

67

CAPITULO 4. SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DE CONSERVACIÓN

4.1 .-Métodos de solución de las ecuaciones de conservación 4.2.-Mallas discretas del método numérico de volumen finito

68 71

4.2. I .-Malla de discretización espacial 71

4.2.2.-Malla de discretización temporal 72 4,3.-Ecuación generalizada de convección-difusión 73

4.3.1 .-Ecuación de convección-difusión 73

4.3.2.-Integración de la ecuación generalizada 74 4.3.3.-Esquemas numéricos 79

4.4.-Algoritmo SIMPLE (Semi Implicit Method for Pressure Linked Equations) 80

iv

4.4. I .-La malla desplazada (Staggered Grid)

4.4.1 . I .-Representación del término de gradiente de presión

4.4.2.-Formulación del algoritmo SIMPLE

4.4.3.-Tratamiento de las condiciones de frontera (condiciones de contorno)

4.4.3.1 .-Condiciones de Dirichlet (condiciones de 1 ra. clase)

4.4.3.2.-Condiciones de Neumann (condiciones de 2da

4.4.3.3.-Condiciones de frontera para la ecuación de

y 3ra. clase)

corrección de presión P '

4.4.4.-Evaluación de las propiedades fisicas

4.4.5.-Método de solución del sistema de ecuaciones algebraicas

4.4.6.-Relajación de la solución parcial

4.4.7.-Criterios de terminación global del proceso iterativo (criterio de convergencia)

4.4.8.-Algoritmo global del proceso iterativo

4,5.-Método de solución del intercambio radiativo en la cavidad 4,6.-Método de solución para el modelo conductivo en la pared

4.7.-Conclusiones

semitransparente

CAPITULO 5. VERIFICACIÓN DEL CÓDIGO: PROBLEMAS DE REFERENClA (CASOS BENCHMARK)

5.1 .-Verificación del código 5.2.-Flujo laminar en una cavidad cuadrada con una pared deslizante

5.3.-FluJo laminar en una cavidad cuadrada calentada diferencialmente

5.4.-FluJo laminar en una cavidad rectangular calentada diferencialmente

5.5.-Flujo turbulento en una cavidad rectangular calentada diferencialmente

en las paredes verticales

en las paredes horizontales

en las paredes verticales

81 81

83

88

89

89

90

91

93

96

98 99 101

101

103

104

I o5

107

112

115

V

5.5. I .-Convección natural en una cavidad alargada calentada diferencialmente con flujo turbulento

5.5.1. I.-Comparación del presente estudio con los resultados

5.5. I .2.-Comparación del presente estudio con los resultados

5.5. I .3.-Comparación del presente estudio con los resultados

experimentales de Daffa'alla et al. (1991)

numéricos de Pérez-Segarra et al. (1995)

numéricos del CTTC (2002)

5.5.2.-Convección natural en una cavidad cuadrada calentada diferencialmente con flujo turbulento

5.5.2. I .-Verificación de resultados para Ra=l* I O" 5.5.2.2.-Comparación de resultados para Ra=5* IO" (caso

5.5.2.3.-Comparación cuantitativa de números de Nusselt

Benchmark)

para Ra=l On9-I O'*

cavidad cuadrada con paredes opacas

diferencialmente en las paredes verticales con flujo turbulento

dimensiones

5.6.-Verificación del modelo de intercambio radiativo en el interior de una

5,7.-Transferencia de calor combinada en una cavidad cuadrada calentada

5,8.-Transferencia de calor en una pared semitransparente en dos

5.9.-Estudio de la independencia de malla 5.1 O.-Conclusiones

1 I5

1 I 5

1 I6

1 I7

118

120

I23

I26

128

131

134 I37

140

CAPíTULO 6. RESULTADOS

6. I .-Introducción 141

6.2.-Comparación entre los casos A y B: Efecto del recubrimiento óptico 143

6,3.-Comparación de los casos A y B con los casos A 1 y B 1 : Efecto

6,4.-Comparación de los casos A y B con los casos A2 y 82: Efecto

6,5.-Comparación de los casos A y B con los casos A3 y 83: Efecto

de conducción I54

de radiación y conducción 158

de radiación 163

vi

6.6.-Conclusiones

CAPITULO 7. CONCLUSIONES GENERALES

7.1 .-Conclusiones

7.2.-Sugerencias a trabajos futuros

Bibliografía

I69

171

173

174

vii

LISTA DE FIGURAS

Figura

2.1

3.1

3.2

3.3

3.4

3.5

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

4.6 4.1 4.8

4.9

4.10

5.1 5.2

5.3

Descripción

Representación de la escalas de tiempo de la variable

Esquema representativo de un edificio

Modelo fisico de la cavidad cuadrada con pared semitransparente

Cavidad calentada diferencialmente

Geometría de la cavidad cuadrada

Modelo fisico de la pared semitransparente

Malla estructurada no uniforme

Volumen de control sobre una malla bidimensional

Representación de mallas superpuestas: (a) volumen de control para variables escalares, (b) volumen de control para la velocidad u, y (c) volumen de control para la velocidad v,,

Malla centrada en 1 D

Nodos frontera sobre las mallas superpuestas: (a) malla centrada, (b) malla desplazada en dirección x y (c) malla desplazada en dirección y

Volumen de control frontera para la ecuación de continuidad

Distancias asociadas con la interface e Diagrama de flujo para el algoritmo SIMPLEC

Diagrama de flujo para el intercambio radiativo en la cavidad

Diagrama de flujo para la conducción de calor en la pared sem ¡transparente Problema hidrodinámico Componentes de velocidad en el centro de la cavidad para Re = 100,400 1 O00

Cavidad con paredes isotérmicas calentada diferencialmente

Página

31

52

52

59

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63 12

15

82

83

88 91 92 I O0

102

103

1 o5

106

107

viii

5.4

5.5

5.6

5.7

5.8

5.9

5.10

5.1 1

5.12

5.13

5.14

5.15

5.16

5.17

5.18

5.19

5.20

5.21

Componentes de velocidad (u', v*), campo de velocidad vectorial, líneas de corriente (v') e isotermas (T') para la cavidad calentada diferencialmente para Ra de 1 O3 a I O6 Componentes de velocidad y temperatura adimensional en el centro de la cavidad para Rayleigh: I 03, I 04, I O5 y I O6 Cavidad rectangular inclinada

Resultados para el problema Rayleigh-Benard: (a) lineas de corriente, (b) isotermas y (c) campo de velocidad

Resultados para A = IO, Ra = IO4 y O= 15"-35": (a) líneas de corriente y (b) isotermas

Cavidad alargada para Ra = 2.43* 1 O'" y A = 30: (a) isotermas y (b) campo de velocidad vectorial

Comparación de u, v, Ty p, en el centro de la cavidad 0/=Hy/2) con el CTTC, usando el modelo JL

Resultados de comparación en el centro de la cavidad p H y / 2 ) con el CTTC, usando el modelo IL y HH: u, v, Ty p,

Resultados para una cavidad cuadrada para un Ra = 1 * IO ' " : (a) líneas de corriente, (b) isotermas, (c) isobaras y (d) viscosidad turbulenta

Comparación de u (x=Hx/2), v 0/=Hy/2), TO/=Hy/2) y ,u, @Hy/2) del presente estudio con el CTTC para Ra=l*lO'", usando el modelo HH

Comparación para Ra=l *IO'" , usando el modelo IL: u (x=Hx/2), v 0/=Hy/2) y T 0>=Hy/2)

I I O

1 1 1

i12

113

1 I4

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118

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121

122

122

Números de Nusselt local en la pared caliente (Ra = 5*10'"): (a) solución de referencia (Henkes et al., 1995) y (b) presente estudio

Dependencia del número de Nusselt con la malla (punto de transición): (c) Pérez-Segarra et al., (d) Henkes et al. (sin regulación) y (e) Henkes et al. (con regulación)

Número de Nusselt local en la pared caliente (Ra = S* IO"): (a) Velusamy et al., 2001 y (b) presente estudio

Comparación de u (x=Hx/2), v 0/=Hy/2), T 0>=Hy/2) y p, 0/=Hy/2) del presente estudio con el CTTC para Ra = 5* IO", usando el modelo HH Resultados obtenidos con el modelo HH con un Ra = 5*10'"

Flujo resultante en las paredes de la cavidad para el caso I : (a) pared I y 3, (b) pared 2 y 4

Flujo resultante en las paredes de la cavidad para el caso 2: (a) pared 1 y 3, (b) pared 2 y 4

124

125

125

127 127

130

130

i x

5.22

5.23

5.24

5.25

5.26

5.27

5.28

6.1

6.2

6.3

6.4

6.5

6.6

6.7

6.8

6.9

6.10

Flujo resultante en las paredes de la cavidad para el caso 3: (a) pared 1 y 3, (b) pared 2 y 4

Isotermas para el caso B: (a) presente estudio y (b) Velusamy et al. (2001) I33 Distribución de temperaturas a través de un vidrio de 6 mm para diferentes To I34 Distribución de temperaturas a través del sistema vidrio+controlador óptico para diferentes To 135

Flujo de calor hacia el interior (e,) y exterior (eo) de u n vidrio sólo (VSCO) y de u n vidrio+controlador óptico (VCCO) para diferentes To Efectos de refinamiento de malla en el centro de la cavidad para u (x'=O.5) y v (y*=0.5) 138 Efectos de refinamiento de malla en el centro de la cavidad para T(y'=0.5) y p, (y'=0.5) I39

Líneas de corriente (m2/s), isotermas (K) y viscosidad turbulenta (kg/m.s) (de arriba hacia abajo respectivamente) para el caso A y B (Hx = 6.982 m) I44

Campo de velocidad para el caso A (superior) y B (inferior) con Hx = 6.982 m I45

Comparación de (a) v, (b) T y (c) ,u, a diferentes alturas de la cavidad para el caso A (VCCO) y B (VSCO)

Variación de la temperatura interior y exterior en la pared Semitransparente (y*=y/Hx, Hx = 6.982 m) para el caso A y B

Comparación de los qrad resultantes locales (x'=x/Hx, y*=y/Hx, Hx = 6.982 m) para el caso A (VCCO) y B (VSCO)

lsotermas (K) para Ra = 1 09, 10" y I O" (de la parte superior a la inferior) para los caso A y B Números de Nusselt promedio para Ra de I O9 a 1 O ' 2

Líneas de corriente (m2/s) , isotermas (K) y viscosidad turbulenta (k&/m.s) (de arriba hacia abajo respectivamente) para el caso A 1 y B I Coeficientes de transferencia de calor convectivo y radiativo en la pared caliente y fría (y*=y/Hx, Hx = 6.982 m) para el casoAl y B I I57

Líneas de corriente (m2/s), isotermas (K) y viscosidad turbulenta (kg/m.s) (de arriba hacia abajo respectivamente) para los casos A2 y B2 I60

131

136

148

149

151

152

I54

155

X

6.1 I Perfil en el centro de la cavidad para u (x'=O.S), v ( y = O . S ) , T(y'=0.5) y ,ul @'=OS) para el caso A2 y B2

Coeficientes convectivos de transferencia de calor local en la pared caliente y fría O>'=y/Hx, Hx = 6.982 m) para los casos A2 y B2

Líneas de corriente (m2/s), isotermas (K) y viscosidad turbulenta (kg/m.s) (de arriba hacia abajo respectivamente) para los casos A3 y 83

Perfil en el centro de la cavidad para u (x'=OS), v @'=OS), T@*=0.5) y ,ul @'=OS) para el caso A3 y B3

Comparación de la variación local de temperatura sobre la pared 1 y 3 (x*=x/Hx, Hx = 6.982 m) entre el caso A y A3 (izquierda) y entre el caso B y 83 (derecha) Variación de la temperatura interior y exterior en la pared semitransparente O, S H x , Hx = 6.982 m) para el caso A3 y B3 Coeficientes convectivos de transferencia de calor local en la pared caliente y fría (y*=y/Hx, Hx = 6.982 m) para los casos A3 y 83

161

6.12 162

6.13 164

6.14 166

6.15

167

6.16 I68

6.17 168

xi

! LISTA DE TABLAS

I

!

Tabla

3.1

3.2

3.3

3.4

4.1 4.2

5.1

5.2 5.3a

5.3b

5.4

5.5

5.6a 5.6b 5.1

5.8 5.9

5.10

Descripción

Condiciones de frontera y constantes usadas en los modelos de turbulencia K-E

Funciones de salto usadas en los modelos de turbulencia K-6

Términos adicionales usados en los modelos de turbulencia K-E

Propiedades ópticas y termofísicas de un vidrio de 6mm y de la película de control solar SnS-Cu,S

Equivalencias de la formulación generalizada

Función A((Pe()

Comparación de resultados obtenidos con los reportados en la literatura para: (a) Ra=103, (b) Ra=104, (c) Ra=105 y (d) Ra=106

Comparación de resultados para los números de Nusselt

Constantes utilizadas para el problema de cavidad alargada

Propiedades del aire para el problema de cavidad alargada

Comparación con los resultados experimentales de Daffa’allaet al. (1991)

Comparación con los resultados numéricos de Pérez-Segarra et al. ( I 995) Constantes utilizadas para el problema de cavidad cuadrada

Propiedades del aire para el problema de cavidad cuadrada Comparación con los resultados numéricos de Pérez-Segarra et al. ( 1 995) Comparación con la solución de referencia (Henkes et al., 1995) Comparación del Nusselt promedio con los resultados numéricos de la literatura Comparación del presente estudio con los resultados de Sánchez et al. (1992)

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65 14 80

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I I3 115

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116 120 120

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128

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xi i

5.1 1

5.12

5.13

5.14

5.15

6.la

6.Ib

6.2

6.3

6.4

6.5

6.6

6.7

Comparación del presente estudio con los resultados de Velusamy et al. (2001)

Flujos de calor para el sistema vidrio sólo

Flujos de calor para el sistema vidrio+película de control solar

Porcentaje de reducción de Q, por uso de la película de SnS-Cu,S

Influencia del refinamiento de malla sobre el valor promedio del Nusselt convectivo y radiativo en la pared caliente

Parámetros típicos usados en la simulación

Longitudes características usados en la simulación

Flujos de calor promedios para el sistema vidrio con y sin control solar

Flujos radiativos promedios para las paredes del caso A y B Números de Nusselt promedios para el caso A 1 y B I

Diferencias de los Nutobi entre el caso A y A I y el caso B y B 1

Comparación entre los Nutotal entre los casos A y A2 y los casos B y B2 y sus diferencias porcentuales

Comparación entre los Nutowl entre los casos A y A3 y los casos B y 83 y sus diferencias porcentuales

133

i35

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i37

139

142

142

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151

157

158

162

169

xiii

NOMENCLATURA

Símbolo Descripción

Latinas

g G

Razón de aspecto (HxlHy). Coeficientes de la ecuación discretizada. Calor especifico a presión constante, J/kg K. Constantes del modelo de turbulencia. Término adicional para la ecuación de K Flujos difusivos. Término adicional para la ecuación de c. Energía del fluido, m2/s2 o J/kg. Energía cinética, m2/s2 o J/kg. Energía interna, m2/s2 o J/kg. Funciones de salto en el modelo de turbulencia. Flujos convectivos, kg/(m2.s) Aceleración de la gravedad, m/s2. irra'diación solar, W/m2. Generación de energía cinética turbulenta debido a flotación. Número de Grashof (g/lATHx'ld=Ra/Pr). Coeficiente convectivo de transferencia de calor, W/m2 K. Ancho de la cavidad, m. Altura de la cavidad, m. Coeficiente convectivo interior a la pared semitransparente, W/m2 K. Coeficiente convectivo exterior a la pared semitransparente, W/m2 K. Flujos totales (convectivos+difusivos). Espesor de la pared semitransparente. m. Número de Nusselt, hHxl/Z,. Número de Nusselt convectivo promedio en la pared fría. Número de Nusselt convectivo promedio en la pared semitransparente. Número de Nusselt radiativo promedio en la pared fría. Número de Nusselt convectivo promedio en la pared caliente. Número de Nusselt radiativo promedio en la pared caliente. Número de Nusselt máximo.

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4e.v qc.0

4r.i . qr.0

9.1. 4.33 414

Ra Re Re, s sc SHGC

U

U V

Número de Nusselt promedio. Número de Nusselt mínimo. Número de Nusselt radiativo promedio en la pared sem ¡transparente. Número de Nusselt total (NuconvtNurad). Número de Nusselt total (NUhf-tNuh,). Presión, Pa. Producción de energía cinética turbulenta debido a esfuerzos. Numero dePrandtl (da). Flujo de calor, W/m2. Flujo de calor por conducción a través de la cavidad, W/m2. Flujo de calor por conducción a través de la pared semitransparente, W/m2. Flujo de calor convectivo al interior y exterior de la pared semitransparente respectivamente, Wim'. Flujo de calor radiativo al interior y exterior de la pared semitransparente respectivamente, W/m2. Flujo de calor por conducción desde la pared I , 3 y 4 hacia el fluido interior de la cavidad respectivamente, W/m2. .Flujo de calor radiativo de entrada (irradiancia) en la pared 1,2 ,3 y 4, respectivamente, Wlm'. Flujo de calor radiativo de salida (radiosidad) de la pared 1,2,3 y 4, respectivamente, W/m2. Flujo de calor radiativo resultante de la pared 1, 3 y 4, respectivamente, W/m2. Número de Rayleigh (gflAZHx3/va=GrPr). Número de Reynolds (pHxlp). Número de Reynolds turbulento &"Hx/p). Término fuente. Coeficiente de sombreado. Coeficiente de ganancia de calor solar. Coeficiente de extinción del vidrio, I/m. Térinino fuente independiente de la variable. Término fuente dependiente de la variable. Tiempo, s. Temperatura, K. Temperatura de vidrio, K. Temperatura de la película de control solar, K. Temperatura del fluido exterior a la pared semitransparente, K. Temperatura de referencia ((T+Tc)/2), K. Temperatura de la pared fría, K. Temperatura de la pared caliente, K. Velocidad en dirección horizontal, m/s. Vector de velocidad en tres direcciones, m/s. Velocidad en dirección vertical, m/s.

X

Y

Griegas

a a

Coordenada en dirección horizontal, m. Coordenada en dirección vertical, m.

Difusividad térmica del aire, m2/s. Factor de relajación. Absortancia de la película de control Óptico. Absortancia del vidrio. Absortancia de un sistema vidrio+pelicula de control Óptico. Coeficiente de expansión térmica, I/K. Difusividad turbulenta. Incremento de tiempo, s. Diferencia de temperatura entre la pared caliente y fría, K. Espesor de un volumen de control en dirección x, m. Espesor de un volumen de control en dirección y, m. Delta de Kronecker. Distancia entre nodos computacionales en dirección x, m. Distancia entre nodos computacionales en dirección y, m. Disipación,de energía cinética turbulenta, m2/s3. Emitancia /, 2 y 3 respectivamente. Emitancia de la película de control óptico. Emitancia $el vidrio. Función de~atenuación de energía del vidrio. Ángulo de inclinación de la cavidad, O .

Energía cidética turbulenta, m2/s2. Conductividad térmica del aire, W/m K. Conductivibad térmica del vidrio, Wlm K. Viscosidad'dinámica, kgím s. Viscosidad'turbulenta, kgím s. Viscosidad cinemática, m2/s. Densidad, kg/m3. Reflectancia de la película de control óptico. Reflectancia del vidrio. Reflectancia de un sistema vidrio+pelicula de control óptico.

Número de 'Prandtl turbulento. Número de Prandtl para K.

Número de Prandtl para E.

Tensor de esfuerzos. Tiempo de chipación turbulenta, espesor óptico. Transmitancia de la película de control óptico.

Constante de Stefan-Boltzmann, W/m 2 4 K .

Transmitancia del vidrio. Transmitancia de un sistema vidrio+pelicula de control óptico. Absorción o emisión de calor. Variable general (u, v, P, T, K, E).

Fluctuacip de la variable general (u, v, P, 7). Promedio de la variable general (u, v, P , 7). Líneas de,corriente. Disipación especifica de la energia cinética turbulenta.

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RESUMEN

Una edificación es un sistema complejo en donde sus componentes interactúan con el medio ambiente, estas componentes tienen diferentes propiedades termofisicas, ópticas y térmicas, tales como la conductividad térmica de los materiales de paredes, piso- techo, las reflectancias y absortancias de los materiales opacos o las transmitancias en vidrios. etc. Para conocer a detalle el funcionamiento térmico de una edificación es necesario estudiarla por sus componentes. Las habitaciones son componentes que generalmente están compuestas por paredes, piso, techo, puertas y ventanas; las cuales pueden ser estudiadas individualmente por métodos teóricos o experimentales.

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Los estudios teóricos de habitaciones consisten en modelar matemáticamente una cavidad y tienen la ventaja de reducir el sistema real a un modelo abstracto que permita la manipulación de componentes y propiedades con el fin de predecir lo que ocurrirá en el sistema. Estos modelos tienen una representación formal con base en ecuaciones acopladas. Los modelos se diferencian entre sí por la formulación de los sistemas de ecuaciones empleando balances de energía globales, diferenciales o integrales. Debido a que la solución analítica es en la mayoría de los casos compleja y a veces imposible, por consiguiente se utilizan métodos numéricos de resolución de ecuaciones. AI resolver los sistemas de ecuaciones en detalle, es posible determinar parámetros tales como los coeficientes de transferencia de calor que son empleados por paquetes de cómputo que resuelven los modelos globales. , Esta tesis presenta un estudio teórico de la transferencia de calor conjugada (convección natural, radiación y conducción) en una cavidad cuadrada con flu,jo turbulento. La cavidad, que representa a una habitación, tiene una pared vertical isotérmica, dos paredes horizontales adiabáticas y una pared semitransparente con o sin recubrimiento para el control de la transmisión de radiación solar. Por la pared semitransparente se transmite radiación solar. Se considera intercambio radiativo entre las paredes interiores de la cavidad y la transferencia de calor por conducción a través de la pared semitransparente. Se resolvieron las ecuaciones gobernantes para un fluido newtoniano en régimen turbulento en dos dimensiones bajo la formulación generalizada de volumen finito, usando el modelo de turbulencia K-E. Se consideró la aproximación de Boussinesq para la variación de la densidad con la temperatura. Los modelos matemáticos de problemas individuales de radiación y conducción son modelos necesarios para acoplar la condición de frontera al modelo convectivo. Las ecuaciones de transporte convectivo fueron resueltas numéricamente usando la técnica de volumen finito con el algoritmo SIMPLEC, el intercambio radiativo entre las paredes de la cavidad fue resuelto por el método MRI.

Se presenta la validación del código numérico desarrollado con casos de referencia. LOS resultados obtenidos para los problemas de verificación fueron contrastados con resultados experimentales y numéricos de la literatura, encontrándose concordancia con estos. En general, se concluye que el código desarrollado reproduce resultados satisfactorios.

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LOS resultados Y análisis para transferencia de calor conjugada con flujo turbulento en l a cavidad cuadrada con pared semitransparente fueron presentados para una temperatura inicial del aire en el interior de la cavidad es de 21°C y una temperatura exterior de 3 5 0 ~ : Para un intervalo del número de Rayleigh (basado en la temperatura media alcanzada por la pared semitransparente con recubrimiento para el control óptico) de I O 9 5 Ra s I O ' * e insolación directa a la pared semitransparente de 750 W/m2. El aire confinado en el interior de la cavidad se consideró como un fluido radiativamente no participante.

Los resultados muestran para el caso de la cavidad con pared semitransparente con película de control solar (caso A), que la cantidad de calor que entra al interior de la cavidad es menor (33 I .44 W/m2) comparada con el sistema que no usa el controlador óptico (caso B: 646.24 W/m2). El coeficiente de ganancia de calor solar (SHGC) para el caso A fue de 44.19% y para el caso B fue de 86.17%. Estos resultados indican, que del 100% de energía radiativa, sólo un 44.19% entraría al usar una ventana de vidrio con recubrimiento de controlador solar y u n 86.17% entraría por tener una ventana de vidrio sólo. Se observa que cuando se usa un vidrio con controlador solar, la ganancia de energía al interior de la cavidad se reduce en un 41.98% y por consecuencia se tendría un ahorro de energía eléctrica en el acondicionamiento del espacio.

Se encontró que el número de Nusselt total es sobre-estimado en un 4% y 65% cuando no se considera el efecto conductivo de una pared con y sin control solar respectivamente y para los casos en los cuales, adicionalmente a no tomar en cuenta el efecto conductivo en la pared semitransparente, los efectos radiativos son despreciables, el número de Nusselt total fue bajo-estimado en un 56% y 49% con respecto a una pared con y sin control solar. Cuando sólo se desprecia el intercambio radiativo en el interior de la cavidad, el número de Nusselt es bajo-estimado en un 52% y 45% con respecto a los números de Nusselt del caso A y B respectivamente. Estos resultados muestran la importancia de incluir los efectos de las tres formas de transferencia de calor.

Se obtuvieron las correlaciones para determinar los coeficientes de transferencia de calor en función del número de Rayleigh para las cavidades cuadradas con pared semitransparente con y sin control solar, en las cuales se considera la transferencia de calor conjugada.

El modelo convectivo-radiativo-conductivo desarrollado en el presente proyecto de investigación permite estudiar en detalle la transferencia de calor con flujo turbulento en una cavidad bidimensional con pared semitransparente. Este modelo da información sobre 10s coeficientes de transferencia ,de calor de estos sistemas y adicionalmente permite u n avance en la comprensión de lo que podría suceder en habitaciones con ventanas con y sin recubrimiento para el control del paso de la radiación solar.

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I ABSTRACT

A building is a ~ m p l e x system' where several characteristics ofthe components, such as; thermal conductivity of materials of wails, floor, roof, reflectance and absorptance of OPaW materials or the transmittance in glasses. etc. interact with the environment, T~ have detailed knowledge of the thermal operation of a building it is necessary to carry studies Over all its components. A room, in general, has walls, floor. roof, doors and windows, which can be studied individually, theoretically or experimentally.

Theoretical studies of rooms m a h y deal with the mathematical modeling of cavities. This approach has the advantage of reducing the real system to an abstract model that allows the manipulation of components and 'properties with the purpose of predicting what will happen in the system. These models have a formal representation based on coupled equations. The models differ each other in the ,formulation of the system of equations to deal with the overall, differential and integral energy balance. Due to the fact that analytic solutions are in most of the cases impossible, numerical methods of solution of the energy balance equations are used. By solving the system of equations in detail, it is possible to determine parameters such as the heat transfer coefficients that are used for the computational codes to solve global models. ~

In this thesis is presented a 2-D model study of the integrated turbulent heat transfer combining natural convection, rahiation and conduction in a square cavity. The cavity has isothermal vertical wall, two adiabatic horizontal walls and a semitransparent wall composed of a glass with or without solar control coating. Solar radiation passes through the semitransparent wall. The radiative exchange between the walls of the cavity and the heat conduction through the semitransparent wall were considered. A Newtonian fluid and the Boussinesq approximation for the variation of density of air with temperature were assumed. The mathematical models for the problems of radiative exchange and wall conduction were coupled with the boundary conditions of the convective model. The transport equations were solved numerically for turbulent flow in two dimensions using the finite volume formulation, SIMPLEC algorithm, and turbulent model K-C. The radiative exchange among the walls of the cavity was computed by using the MRI method.

The computer code developed was validated by comparing with the experimental and numerical results of natural convective problems reported in the literature and with the benchmark solutions. In general, the results obtained were in agreement with the ones reported.

The input condition for the conjugate heat transfer computer code with turbulent flow in a square cavity with a semitranspaFent wall were the initial air temperature of 21°C and exterior air temperature of 35°C. The range of Rayleigh numbers of IO9 < Ra 5 10l2 (based on the average temperature reached by the semitransparent wall with solar control coating) and solar radiation of 750 W/m2.! The air inside the cavity was assumed radiatively noii- participant.

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The results show that for the case o f a cavity with a coated glass wall (case A) the amount of heat that i s transmitted throu,gh the cavity was less than 33 I .4 W/m’ compared with the one that does not use coated glass wall (case B: 646.2 Wlm’). The solar heat gain coefficient for case A was of 44.2% and for case B was of 86.2%. These results indicate than when the coated glass wall i s used, the thermal energy gained to the interior o f the cavity reduces by 41.98%. ’

When the conduction heat tradsfer in the semitransparent wall was not considered, the Nusselt numbers were overestimated by a 4% and 65%. In the cases where only natural convection was considered in I a cavity (conduction in the semitransparent wall and consequently low radiative effects were not considered), the Nusselt numbers were underestimated in 56% and 49% compared with the Nusselt numbers of the cases A and B respectively. When only the ridiative exchange was not considered in the conjugated model, the Nusselt numbers were underestimated in 52% and 45% with respect to the cases A and B respectively. These results show the importance o f including the three forms of heat transfer to obtain more realistic heat transfer estimates.

The conjugate heat transfer coefficient correlations were obtained as a function o f the Rayleigh number for square cavities with semitransparent wall.

The convective-radiative-conductive model allows us to study in detail the heat transfer with turbulent flow in a two dimensional cavity with one semitransparent wall. This model gave information about the heat transfer coefficients o f this kind o f systems and additionally permits an advance in the comprehension o f the thermal behavior in a room with a semitransparent glazing with or without solar control coatings.

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INTROOUCCION CAI-

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' CAPÍTULO~ ,INTRODUCCI~N

En éste capítulo se muestra la importancia del presente tema de investigacióii, la revisión bibliográfica, el objetivo y alcance del tema. En la primera parte del capitulo se menciona que los fenómenos de transferencia de calor que se llevan a cabo en una habitación coil una ventana pueden aproximarse al problema de transferencia de energía en una cavidad con pared semitransparente, el cual ]dio origen a este trabajo. Posteriormeiite. se presenta la revisión bibliográfica, la cual fue dividida en estudios de transferencia de calor por convección y transferencia de calor combinada en cavidades, ambas subdivididas en los temas de flujo laminar y turbuleho. AI final del capitulo se presenta el ob.jetivo general y los objetivos específicos, así como también e l alcance del trabajo doctoral.

1.1 U B I C A C I ~ N DEL PROBLEMA

El control del clima interno en habitaciones ha sido un tópico de estudio duranie la' historia de la humanidad en todo el mundo. E l hombre ha trabajado contra la adversidad del clima y ha sabido tomar ventaja de las buenas condiciones naturales en formas muy diversas. La gente primitiva aprendió a sobrevivir por tanteo y error, a pesar de las dificultades que el cambio del clima le ofrecía. Dependiendo del lugar, el hombre ha usado los recursos disponibles para construir sus yiviendas, esforzándose en conseguir el mayor confort posible. A principios del siglo XX, los descubrimientos de yacimientos de petróleo y gas natural han modificado los conceptos arquitectónicos ya que las edificaciones tienden a depender de la climatización e iluminación artificial.

Los indicadores energéticos muestran que en países desarrollados, debido al clima, existe un gran consumo de energia para'el enfriamiento o calentamiento en edificios residenciales y comerciales. En Estados Unidos Americanos, el gasto de energía por usos residenciales representó el 36% del consumo total de energía en 1990, por otro lado, es un error pensar que el consumo de energía en las edificaciones de nuestro país es despreciable; solo basta saber que el sector residencial, coinercial y público registró una participación del 22.6% del consumo final energético del país en 1998. De forma más detallada, del 22.6% del consumo de energéticos total, e l sector residencial consumió el 82.5%, el comercial requirió el 15.3% y el público el 2.2% (Secretaria de Energía, 1999).

Se ha detectado que el mayor consumo de energia residencial en México se debe a que: en las regiones cálidas, se construyen edificios modernos con grandes áreas de ventanas que, atendiendo a modas arquitectónicas, no son los adecuados a las condiciones climáticas del lugar. En estas regiones la incidencia de energía solar es alta, por lo que en las edificaciones es necesario introducir sistemas de aire acondicionado para mantener las condiciones de confort dentro de las habitaciones, los cuales implican un elevado costo de operación y mantenimiento.

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En la ComPofiamiento durante las estaciones del año (Morillón et al,, 2002):

Mexicana el Clima es muy variado y tiene de forma general e l siguiente

Primavera: Se caracteriza por ser en nuestro país la estación más soleada del año, Principalmente en Abril ) Mayo. Durante el mes de Abril en gran parte del territorio Prevalecen las condiciones cálidas y en Mayo las condiciones sol1 las más cálidas de. todo el año en gran parteldel país. Verano: Las condiciones,para el mes de Junio son cálidas en la mayor parte del país, y en los meses Julio y Agosto son cálidas y de confort solamente et1 la parte central y en las montañas (partesialtas) del país, respectivamente. Otoño: En el mes de Septiembre, las condiciones son de confort en el centro del país y partes altas, y con condiciones cálidas en la zona norte y sur, en Octubre aproximadamente el 50% del país presenta condiciones de confort y el otro porcentaje presenta condiciones cálidas. Pero el mes con las mejores condiciones de confort es Noviembre, esto es, hay confort en gran parte del territorio, con excepción de las costas del país y la península de Yucatán y Baja California. Invierno: Enero es el mes,más frío, principalmente en el norte del país y partes altas, muy parecidas son las condiciones de Diciembre, en ambos meses se presenta en la costa del pacifico, desde Colima a Chiapas condiciones cálidas. En Febrero se presentan condiciones similares a Enero y Diciembre.

El potencial de ahorro de energía en los edificios se define a partir del consumo que presentan los diversos usos finales energéticos o cargas; la iluminación artificial, que en el caso de edificios no residenciales ubicados en el centro del país (México), presenta el mayor porcentaje del consumo de energía debido a que la iluminación artificial es utilizada en horas del día en que existe aportación de luz natural; no asi en el norte y costas del país: en donde el mayor consumo se presenta por el uso del aire acondicionado. En las regiones en las cuales la mayor parte del año el clima es caluroso es posible diseñar de manera adecuada las edificaciones para disminuir las ganancias térmicas y asi reducir los consumos de energía por el uso de sistemas de aire acondicionado.

Los edificios son considerados como sistemas abiertos y como tal, interactúan con el medio ambiente. En esta interacción la transferencia de energía térmica se realiza por Ins mecanismos de transferencia de calor por conducción, convección y radiación. La transferencia de calor a l interior de las edificaciones se realiza a través de los materiales opacos y semitransparentes. Los materiales opacos generalmente constituyen los techos y las paredes y los semitransparentes en las ventanas o tragaluces. Los materiales semitransparentes permiten una mayor transmisión de radiación solar al interiori debido a que la incidencia de radiación solar es directa.

N o es sorprendenteo por lo tanto, que numerosas medidas hayan sido tomadas por los gobiernos, grupos e individuos I para reducir el uso de energía por calentamiento o enfriamiento en edificaciones. Debido a que los recursos energéticos usados son no renovables y adicionalmente tienen repercusión en el medio ambiente. las iniciativas tomadas para ello, enfocan los cotiocimientos a mejorar los materiales de construcción para reducir la transferencia de energíakérmica a través de los mismos.

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I CAP~I I i I .0 I

INrRODUCCION

Entre las principales tecnologías desarrolladas para disminuir las ganancias térmicas al interior de una edificación se encuentran los vidrios con recubrimientos en vcntanas que impiden, lo más posible, el paso de la energía solar en el intervalo del infrarrojo, evitando el calentamiento dentro de la edificación, y además, que permitan la luminosidad apropiada en las habitaciones.

En 10s Centros de InVeStigaCiÓn,italeS como el Centro de Investigación en Energía-UNAM en México 0 el Lawrence Berkefey Laboratory en EUA, se realiza investigación para desarrollar nuevos recubrimientqs en vidrios para controlar espectralmente la radiación solar. Entre los vidrios obtenidos se encuentran los denominados vidrios atérmicos, tales como vidrios reflejantes, entintados, optoelectrónicos o con controlador óptico solar. LOS vidrios atérmicos son vidrios, que por su tratamiento cambian sus propiedades ópticas para reducir la cantidad de energía solar que penetra en las habitaciones.

Los vidrios atérmicos que funcionan como controladores ópticos solares tienen filtros selectivos de radiación solar quk están diseñados para ser utilizados en ventanerias de edificios en climas templados o' cálidos. Idealmente, en climas cálidos, un controlador óptico solar deberá tener transmitancias Ópticas controladas en el visible del 10% al 30% para permitir una iluminación adehada dentro de las habitaciones de los edificios; una baja transmitancia en la región del infrarrojo del espectro solar menor del IO% para reducir cI calentamiento del interior de las habitaciones y una baja emitancia de alrededor del 10% en la superficie del controlador óptido hacia el interior de la habitación para poder inhibir la re-radiación de energía térmica así como también para reducir las pérdidas de calor a través del vidrio desde el interior en ,temporada de invierno (Nair et al., 1989). Entre los recubrimientos de control solar desarrollados en el Centro de Investigación en Eiiergia- U N A M se encuentran las siguientes películas: Cu,S @air et al., 1989, Nair et al., i991), PbS-Cu,S @air et al., 1989) y SnS-Cu,S (Nair et al., 1991). Una de las caracteristicas importantes de estos recubrimientos es su bajo costo en la elaboración comparado con los recubrimientos comerciales.

Como se mencionó anteriormente, principalmente la transferencia de energía térmica al interior de una edificación se realiza a través de los vidrios que conforman las áreas de ventanería de las habitaciones que la constituyen, es importante y necesario conocer e l comportamiento térmico de estos, ya que de su comportamiento depende el comportamiento térmico de la edificación. El parámetro que indica la cantidad de energia que deja pasar un vidrio al interior de una habitación es el coeficiente de ganancia de calor solar (SHGC) o el coeficiente de sombreado (SC). La estimación de este paráinetro permitirá determinar las gananciad, térmicas de las ventanas de las habitaciones. Estrada et al. en 1993 presentaron un modelo matemático unidimensional para evaluar térinicainente un sistema de vidrio con una película de control solar. El coeficiente de sombreado fue reportado para coeficientes convektivos de transferencia de calor constantes al interior y exterior del vidrio y a diferentes temperaturas del aire exterior al vidrio.

Para evaluar teóricamente el compbrtamiento térmico de una habitación existen dos grupos de modelos: los detallados y los simplificados. En los modelos detallados se discretiza la habitación en cierto número de elementos y se resuelve un sistema de ecuaciones de

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INTROBUCCI~N CAP1 I1JI.O I

transferencia de calor planteadas para los diferentes elementos, es decir, se l a ecuación de difusión de calor simplificada para representar la conducción en los muros, Otras ecuaciones para efectos dei convección entre el aire y las superficies y ecuaci<)lles de intercambio radiative entre superficies. Los diferentes efectos de transferencia de calor en los elementos se acoplan a traves de ecuaciones conocidas como condiciones de .frontera. LOS numerosos parámetros y la resolución de las ecuaciones le otorga a este modelo cierta complejidad. Por otro lado, 104 modelos simplificados efectúan ciertas consideracioiies sobre los fenómenos fisicos, que hacen que los cálculos se faciliten con cierio grado de aceptación en la exactitud de los resultados. Los modelos simplificados generalmente se basan en la conocida analogía tetmo-eléctrica. Esta utiliza una analogía entre lo que es Li t1

circuito eléctrico y la transferencia de calor a través de los elementos de la habiiación. Para cada uno de los nodos del circuito eléctrico, se plantea una ecuación algebraica de u n balance térmico, formándose así un sistema de ecuaciones de balance energético.

En la búsqueda de tener un modelo físico con cierto grado de realidad a una habitación se han realizado estudios experimentales a pequeña y gran escala de cajas de prueba para modelar el funcionamiento térmico de habitaciones (entre otros, Grimmer et al.' 1979; Shaviv, 1984; Acoltzi, 2000; Straw, 2000). Por otro lado, las investigaciones teóricas para el estudio de habitaciones se han enfocado a modelos de convección en cavidades, algunos trabajos adicionalmente con efectos de conducción en las paredes y otros incluyendo las tres formas de transferencia de, calor (Weathers, 1990; Ramey, 1994; Áivarez. 1994 Mohamed, 1998).

En la actualidad existen paquetes de cómputo comerciales (TRNSYS, DOE2, etc.) para diseñar y evaluar térmicamente dabitaciones o en conjunto una edificación, en los cuales los modelos matemáticos trabajan bajo un modelo simplificado con requerimientos de propiedades físicas de los materiales que constituyen la habitación, así como también de coeficientes de transferencia de cbior, entre otros. Para el caso, en donde una habitación o edificación requiera usar ventanas con películas de control solar será necesario conocer adicionalmente parámetros térmicos que definan el uso de dichas películas.

Por lo anterior, se origina la necesidad de obtener correlaciones de transferencia de calor para habitaciones y parámetros que caracterizan a las ventanas con peliculas de control óptico, estos son útiles para el idiseño bioclimático de habitaciones que usan paredes semitransparentes. Por lo tanto, es interés del presente trabajo, como una aproximación, la comprensión del comportamiento térmico de una habitación, con una ventana con controlador de la radiación solar analizar teóricamente la ganancia de calor por radiación solar en cavidades que tienen paredes semitransparentes con peliculas de control solar.

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1.2 R E V I S I ~ N BIBLIOGRÁFICA

En la realización del estudio bibliográfico, el tema sugiere una revisión en dos áreas o sub- secciones. La primera sub-sección es sobre los estudios de transferencia de calor por convección en cavidades, la cual1 se subdivide en flujo laminar y flujo turbulento. En la segunda sub-sección se revisan los estudios de transferencia de calor por convccción.

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INTRODIJCCIÓN I CAl'iTlII.l> I

conducción y radiación en cakidades, la cual se subdivide en flujo laminar y flujo turbulento.

1 1.2.1 ESTUDIOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONVECCI~N EN CAVIDADES I

I 1.2.1-1 Estudios de Transferencia de Calor por Convección en Cavidades con ~ l ~ j ~ Laminar

El problema más investigado de convección natural en cavidades, es e l de una cavidad rectangular calentada diferenciaknente con paredes verticales isotérmicas. El estudio de convección en estado permanente fue inicialmente estudiado por Batchelor en 1954. Una revisión de la mayoria del trabajq teórico y experimental la realizó Elder en 1965a, 1965b y en 1966, después Ostrach en 1972, Catton en 1978 y últimamente en 1988, otra vez Ostrach.

En cuanto a las soluciones numéricas previas del problema de cavidad están la de Hellums y Churchill que en 1961 aplicaron un método de diferencias finitas explícitas y obtuvieron soluciones en estado transitorid para el problema de convección natural sobre una superficie vertical isotérmica. Wilkes y Churchill en 1966 extendieron el método anterior para resolver el problema de contección natural en 2-D considerando flujo laminar en una cavidad rectangular con una pared vertical calentada y la pared opuesta enfriada. Los autores resolvieron el problema para dos tipos diferentes de condiciones de frontera para las paredes horizontales de la cavibad, el primer tipo de condición de í'rontera fue una variación lineal de temperatura y el segundo tipo fue considerar las paredes horizontales como adiabáticas. Las ecuacionesldel modelo matemático fueron resueltas por el método de diferencias finitas. En los resultados se muestran las distribuciones de tem eratura y líneas de corriente con un intervalo del'número de Grashof (Gr) entre I O 4 y I O , un número de Prandtl de Pr = 0.733 y un intervalo de la razón de aspecto de 1 a 3.

De Vahl Davis en 1968 realizó un estudio numérico en dos dimensiones del flujo laminar en una cavidad con paredes opacas. Las paredes horizontales de la cavidad fueron adiabáticas y las paredes verticales se mantuvieron a temperaturas constantes. Las ecuaciones de conservación en estado permanente fueron resueltas por el método de diferencias finitas, con un númkro de Rayleigh de 2xIO5> un intervalo del número de Prandtl de 10.' hasta I O 3 y un intervalo de la razón de aspecto de 1 a 5. El autor prcseiltó los resultados gráficos de la funciqn de corriente, las componentes de velocidad y las isotermas. El autor también presentó en forma tabular el efecto del número de Prandtl sobre él calculo del número de Nusselt. Los resultados obtenidos fueron comparados con los resultados de Wilkes y Churchill (1966) y de Elder (1965a), de esta coinparaci6n de resultados se concluyó que los resultados numéricos obtenidos eran aceptables.

Newell y Schmidt en 1970 presen/aron los resultados numéricos para una cavidad calentada diferencialmente con paredes dpacas. Las paredes verticales de la cavidad fueron consideradas isotérmicas y las paredes horizontales fueron consideradas adiabáticas, fue considerado aire como fluido. La& ecuaciones de conservación en dos dimensiones fueron

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INl’ROOUCCION CAP¡TIJI.O I

I resueltas en estado transitorio usando una metodología de diferencias finitas, L~~ resultados fueron presentados Para un númkro de Prandtl de Pr = 0.733, con un intervalo del liúmero de Grashofde lo3 a IO4 Y razones de aspecto de’ I , 2.5, 10 y 20. Los autores presentaron la relación del número de Nusselt promedio como función del número de crashof y l a razón de aspecto. LOS resultados nudéricos obtenidos fueron comparados con los resultados analiticos Y experimentales dispdnibles, encontrándose una concordancia con los resultados reportados en la literatura.

Patterson e lmberger (1980) estudiaron en forma teórica, el caso de calentalniellto y enfriamiento instantáneo de ,las paredes opuestas en cavidades. para distiiitas combinaciones de los números de Rayleigh (Ra), Prandtl (Pr) y razones de aspecto (A). Estos autores encontraron que &ando se cumple Ra > Pr4A4 el proceso de convección natural se aproxima al estado permanente en forma oscilatoria. El comportamiento fue confirmado experimentalmente por lvey en 1984. Patterson e lmberger emplearon el método de diferencias finitas propuesto por Chorin (1968). Los resultados indicaron que cuando la transferencia de calor es mínima (en los primeros tiempos del fenómeno), el flujo patrón tiene una tendencia a formar pequeñas celdas en las regiones cercanas a las paredes

Shiralkar y Tien (1981) obtuvierdn los resultados numéricos para una cavidad con paredes horizontales adiabáticas y paredes verticales isotérmicas. Las ecuacioncs fueron discretizadas en diferencias finitas, utilizándose el método de direcciones alteriiantes implícito (ADI) para la solución be las ecuaciones algebraicas. Los autores prescntaron en forma tabular la variación del número de Nusselt para u n Pr = I , un intervalo de la rmón de aspecto de 1 a 40 y un Ra 2 6 ~ 1 0 ~ . Los resultados numéricos fueron validados con los resultados de la literatura, encon/ándose concordancia entre ellos. La relación del número de Nusselt fue presentada como fünción del número de Rayleigh.

Chadwick et al. realizaron en l9bl un estudio numérico y experimental de la convección natural, para flujo laminar en una cavidad rectangular con paredes opacas. La cavidad fue calentada discretamente para una sola y múltiples configuraciones de la fuente de calor. El interferómetro Mach-Zehnder fue utilizado para visualizar los campos de temperatura dentro de la cavidad. Las ecuaciónes diferenciales parciales que gobiernan la conservación de masa, momento y energía para el problema, fueron resueltas usando el método de volumen finito. Los autores presintan los resultados analíticos y experimentales; para una sola fuente de calor en la cavidad, con una razón de aspecto de 5 y con la fuente de calor localizada en s/H = 0.2, 0.5 y 0.8 (s = distancia desde la pared superior de la cavidad hasta la parte media de la fuente de calor, H = altura de la cavidad). Los autores también muestran los resultados para otros dos casos en los cuales se utilizan dos fuentes de calor en la cavidad y razones de aspecto de 4, 5 y 6; una fuente fija localizada en s/H = 0.5 y la otra fuente localizada en: Caso 1: s/ijl = 0.8; Caso 2: s/H = 0.2. Los resultados numéricos y experimentales se presentan en términos del número de Nusselt local y promedio. Los resultados muestran que para la configuración de una sola fuente de calor localizada cerca de la pared inferior de la cavidad1 (s/H = 0.8), la transferencia de calor aumenta cuando se tiene un número de Grashof (Gr) grande. Los resultados obtenidos para la estructura dcl

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de la cavidad. !

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flujo para la configuración de fuentes de calor para el caso 2, con una razón de aspecío

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I INTRODUCCION

CAP1 I1JI.O I

I de 5 Y 6 en la cavidad, fueron cualitativamente similares a los resultados obtenidos, para l a configuración de una soia fuente de calor localizada en s/H = 0.5 en la cavidad.

1.2.1.2 Estudios de Transfereucia de Calor por ConvecciÓn en Cavidades con Flujo Turbulento

Markatos y Pericleous (1984) fueron los primeros en introducir u n modelo de flujo turbulento en 2-D, para obtener1 la solución de la transferencia de calor en una cavidad cuadrada con flujo turbulento, $e considera la cavidad calentada diferencialineiite con paredes opacas. Los parámetros considerados por los autores fueron: números de Rayleigh (Ra) en un intervalo de I O 3 a IOv6 número de Prandtl (Pr) de 0.71 y una razón de aspecto de I . El modelo de turbulencia usado para números de Ra > I O6 es el modelo kapa-épsilon (K-E). Se usó una formulación en volumen finito, para acoplar las ecuacioncs de conservación de masa y moment4 se utilizó el algoritmo SIMPLEST (Spalding, 1980), los términos convectivos fueron aprdximados por un esquema upwind de primer orden y las ecuaciones algebraicas fueron resueltas por el método de línea por línea (LBL). Los resultados principales son presentados en estado permanente en una serie de gráficas y de manera tabular para diferentes vilores de Ra, incluyendo isotermas, líneas de corriente y campos de velocidad; también presentaron 'las correlaciones del número de Nu en función del número de Ra. Se concluye qhe el procedimiento y el programa asociado son generales y pueden ser usados para problemas de convección natural en cavidades de tres dimensiones en función de la razón de aspecto, del ángulo de inclinación y del número de Prandtl. El uso del modelo (K-E)len este trabajo indica que, a pesar de las deficiencias en términos de realismo físico, puede permitir una razonable predicción de la estructura del flujo de los problemas considerad&.

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Abadie et al. publicaron en 1986 los resultados de turbulencia para el problema de una cavidad rectangular llena de aire con la pared superior deslizándose. Los autores resolvieron las ecuaciones promediadas de conservación de masa, momento y energía en estado transitorio y adicionalmen/e utilizaron el modelo de turbulencia K-E con funciones de pared. Los parámetros utilizados fueron razones de aspecto de I ,1.5 y 3 y u n intervalo del número de Reynolds (Re) de 4x104 2 Re 5 5x10". El método utilizado fue una formulación en volumen finito udando el algoritmo SIMPLE (Patankar y Spaldiiig. 1972) para acoplar las ecuaciones de masa y momento, los términos de convección-difusión son aproximados por un esquema híbrido (HDS), el sistema de ecuaciones algebraicas fue resuelto usando el método de línea por línea (LBL) con el fin de resolver ecuaciones tridiagonales. Los resultados obdnidos fueron comparados con resultados experimentales encontrados en la literatura existente, encontrándose concordancia con estos. Entre los resultados gráficos se encuentran las velocidades y temperaturas en el centro de la cavidad. también se encuentra una grafica bel número de Nusselt (Nu) como función del número de Reynolds.

Paolucci y Chenoweth (1988) mostraron los resultados numéricos del estudio realizado para cavidades rectangulares en 2-D con una razón de aspecto pequeña (0.025 <A 5 I ) , las paredes verticales fueron calentadas diferencialmente con un gradiente arbitrario de

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CAI~TIJLO I IN rKOOUCCION

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temperatura. Se obtuvieron resullados numéricos en estado transitorio para las ecua~ioneS de Navier-Stokes. LOS autores clasifican los posibles diferentes regímenes de flujo para razones de aspecto de 0.025 5 4 5 1 y para números de Rayleigh de I O 2 5 Ra s IO9. LOS

resultados con propiedades variables muestran que la capa límite en la pared fria es más gruesa que la capa correspondiente al problema con propiedades coiistaiites. tzstos resultados concuerdan con los resultados obtenidos para la capa limite, en la solucióii analítica de Gi l l ( I 966). Los res$tados del problema con propiedades variables mucstraii que los campos de velocidad y temperatura presentan una dependencia con respecto a la diferencia de temperatura entre las paredes. Los resultados son comparados coil las soluciones existentes del problem? con propiedades constantes, en general se concluye que los resultados son aceptables. Los resultados son presentados de forma gráfica para diferentes números de Ra.

Awbi presentó en 1989 la solucjón’ para problemas en 2-D y 3-D usando el algoritmo SIMPLE para simular los patrones de flujo en habitaciones. El programa numérico resuelve las ecuaciones de conservación de masa, momento y energía en estado permaiiente por medio del método de volumen finito. Para modelar el comportamiento turbulento del fluido fue usado el modelo de turbuienFia’(ic-&). Un esquema híbrido (HDS) fue utilizado para aproximar los términos convectivos-difusivos. Para los problemas en 2-D fue usada una malla de 42x38 y para problemasien 3-D fue utilizada una malla burda de 20x20~1 I. Para tener una convergencia en la so¡ución numérica se implemeiitaron parámetros de baja- relajación en las ecuaciones discreiizadas, el autor utilizó un parámetro de 0.5 para todas las ecuaciones. Desde el punto de v isa de Awbi los resultados se encuentran dentro de los patrones de flujo esperados. En’ 1991 Awbi y Can extendieron el trabajo anterior al considerar efectos de radiación en las habitaciones. Tres problemas fueron estudiados, los cuales correspondieron al estudid de una oficina de 4.9x3.7x2.75 m, una habitación de 4.8~4.8~2.7 m y en el último cam fue un salón de clases de 10.9~1 1 .Ox3.05 in. 1% los tres casos, los resultados numéricos estuvieron de acuerdo con los resultados experimentales; las desviaciones encontradas en (os resultados numéricos con respecto a los resultados medidos fueron debidas a las consideraciones numéricas, las cuales consistieron eii considerar que el suministro de aire en una de las paredes de la cavidad es normal a la pared mientras que en la parte experimental no sucede esto.

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lnce y Launder (1989) reportaron los resultados numéricos para una cavidad rectangular bidimensional llena de aire, con paredes verticales calentadas diferencialmente y razones de aspecto de 30 y 5. Las ecuacionei fueron planteadas en variables primitivas y la solución numérica de estas ecuaciones fue obtenida usando una extensión del código TEAM de Huang y Leschziner (1983). Las “Funciones de Pared’ fueron reemplazadas en el programa original por una condición de ,frontera apropiada en la paredo agregando términos adicionales a las ecuaciones del modelo turbulento con el fin de que el modelo sea válido para zonas en las cuales el fluido tiene un comportamiento laminar. La malla que utilizaroii los autores fue una malla no-unifdrme de 60x60. Los resultados obtenidos por los autores confirman los resultados de Betts Dafa’Alla (l985), en la cual se tiene que la forma usual del modelo turbulento (K-E) de bajo-número-Re sobrestima la transferencia de calor para una cavidad infinita. Las predicciones de los patrones de flujo en una cavidad inlinita apoyan la propuesta de las “Funciones de Pared” dadas por George y Capp (I 979)’ para

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! INTROOUCCiON

C A I ' I ~ W . 0 I

I obtener 10s Perfiles de temperatura cerca de las paredes. LOS principales resultados son reportados de forma gráfica y son comparados experimentalmente.

Paolucci realizó en 1990 un estudio numérico del flujo turbulento en una cavidad calentada diferencialmente con paredes opacas. El estudio fue realizado en estado transitorio y en dos dimensiones considerando el aiie como fluido dentro de la cavidad. El autor utilizó el método de diferencias finitas con simulación numérica directa (DNS) para inodelar la turbulencia. Los propósitos del trabajo de investigación por Paolucci fueroii dos: primero, presentar resultados que puedan ayudar a construir modelos de turbulencia para fltijos por convección natural y como segdndo propósito, mostrar que la teoría de transferencia de calor para la capa limite en convección forzada no es aplicable para la convección iiattiral turbulenta. Los parámetros utilizados fueron, Pr = 0.71, una razóii de aspecto de I y Ra = IO". El autor observó entre los/ resultados que cuando se alcanza el estado permaneiite dentro de la capa limite vertical se encuentra un fluido estratificado con oscilaciones a bajas velocidades; el tiempo requerido para alcanzar el estado permanente fue de 85 horas en una CRAY-IS. Paolucci afirma que los resultados para la transferencia de calor. la estratificación en el centro de la cavidad, la subcapa viscosa y la existencia de la subcapa hidrodinámica y térmica fueron cuantitativamente buenos comparados con datos disponibles de la literatura.

Davidson (i99Oa) derivó una ex!ensión del método CELS (Galpin, Raihtby, 19%) para problemas en los cuales no es valida la aproximación de Boussinesq. El problema resuelto por Davidson fue el de una cavidad con razón de aspecto de 5, número de Rayleigh de 4x1Oio y número de Prandtl de 0.71. El autor utilizó una combinación del método CELS con el método de Newton-Raphson para la linealización de los términos convectivos. Para modelar la turbulencia se usó unalmodificación del modelo de bajo-número de Reynolds de Lam y Bremhorst (1981) en coAbinación con el modelo de Jones y Launder (1972). La combinación de los dos modeloslde turbulencia, fue con el fin de que el modelo aplicado fuera válido para zonas en cuales ;existe re-laminarización debido a los efectos de flotación. Para los términos convectivos-difusivos de las ecuaciones de conservación de iiioincnto y energía se usaron esquemas de alto orden (Leonard, 1979) y para las ecuaciones del modelo de turbulencia se usó un esquema híbrido (HDS), el autor afirma que, si se utilizan esquemas de alto orden para el modelo de turbulencia, estos pueden ocasionar situacioiies no-reales y por consecuencia que la solución iterativa del problema sea divergente. El código obtenido fue comparado en tiempo de cómputo con el algoritmo SIMPLEC (Van Doormaal, Raihtby, 1984), el auior concluyó que su código fue cuatro veces más rápido que el algoritmo SIMPLEC. Los resultados de las velocidades y temperaturas fueron comparados experimentalmente con los de Cheesewright et al., ( I 986), encontrándose concordancia con estos. En el mismo año Davidson estudió el efecto de usar u n nuevo modelo de turbulencia híbrido, el cual es una combinación del modelo (K-C) y u n modelo algebraic0 de esfuerzos de Reynolds. Las principales ventajas del modelo híbrido son: es comparativamente simple y numéhcamente estable. Lars Davidson concluye que el modelo toma en cuenta flu.jos no-isotrópi&s, el tiempo de cómputo es 3% más que cuando se usa el modelo (K-E).

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INTROIJUCCION CAI’I I I J I . 0 I

Henkes et al. presentaron en 199’1 un estudio numérico de la convección natural, para flujo laminar y turbulento, de una cavidad cuadrada en 2-D calentada difereiicialmeiitc. Consideraron un número de Ra l e I O i 4 para el aire (Pr = 0.71) contenido en la cavidad. y un número de Ra = I O l 5 para el agua (Pr = 7.0). Los autores compararon tres iiiodelos turbulentos diferentes: el .modelb estándar (K-E) con funciones de pared logarítmicas, el

Re de Jones y Launder (1972). Los autores usaron una formulación en volumen finito con el algoritmo SIMPLE (Patankad y Spalding, 1972), los términos convectivos-diftisivos fueron aproximados por un esq4ema híbrido (HDS) y las ecuaciones algebraicas liieron resueltas por una combinación dé1 método de líneas con el método de Gauss-Seidel (LGS). Henkes et al. encontraron que la posición en la cual se tenia la transición de laminar a turbulento en la capa limite vertical, dependía del modelo turbulento usado. La comparación de los resultados numéricos con los resultados experimentales muesira, que el modelo estándar (K-E) sobrestima los resultados de la transferencia de calor, mientras que los resultados del modelo (K-c~ de bajo-número de Re son cercanos a los resultados experimentales. Las diferencias1 entre los modelos turbulentos son mayores, para la transferencia de calor determinada en la región cercana de la capa limite veríical. Las diferencias son pequeñas para la velocidad máxima, la viscosidad máxima turbulenta, la velocidad horizontal en la mitad del ancho de la cavidad y la estratificación térmica en e l centro de la cavidad.

modelo (K-E) de bajo-número de, I Re de Chien (1982) y el modelo (K-E) de bajo-número de

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Weathers (1992) desarrolló el edfudio de CFD aplicados al flujo de aire en habitaciones. Weathers analizó un modelo laminar, el modelo (IC-E) con funciones de pared y el inodelo de bajo número de Reynolds de Lam y Bremhorst ( I 98 I) para habitaciones con entradas y salidas de aire. Para tener una apjoximación más exacta a los resultados experimentidles, el autor usó los perfiles de velocidades experimentales a la entrada y salida de las habitaciones como condiciones de frontera en’su código numérico. El método usado para discretizar las ecuaciones de conservación fue el de diferencias finitas con una malla de rnaikzr-and-cd (Harlow-Welch, 1965). La mallalnumérica utilizada por Weathers fue una malla uniforme de 40x24~24. De los resultados de la comparación (flujo turbulento) con resultados experimentales, el autor concluyó que el modelo de Lam y Bremhorst (1981) presentaba resultados más cercanos a los datos medidos. Ramey (1994) realizo una extensión de la investigación de Weathers, en eke estudio se realizaron simulaciones de habitaciones de 4.6x2.75x2.75 m. Ramey usó una malla no uniforme para colocar la mayor cantidad de nodos computacionales en la capa límite. El autor concluye que usar una malla no uniforme, permite determinar los )alores de la transferencia de calor más exactos.

Chen y Jiang revisaron en 1992 aproximadamente 60 articulos presentados en la litcratura sobre el flujo de aire en habitadiones. Los autores presentaron las respuestas a muchas preguntas que involucran la predicción del flujo de aire en las cavidades. Chen y Jiang concluyeron que: a) El modelo de turbulencia (K-E) es todavía el más apropiado para predecir el flujo de aire en habitafiones, aunque los modelos de turbulencia de bajo número de Re presentan mejores resultados, necesitan demasiado tiempo de cómputo. Ida simulación a gran escala (Largk eddy sirnulalion, LES) es todavía cara en tienipo de cómputo para ser usada. b) En muchas situaciones, el flujo de aire en las habitaciones tiene múltiples soluciones o es inestable. Lo anterior, es una dificultad para predecir tales flujos y

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I O

CAl>¡~llJl.O I INTRODUCCION I

I la predicción puede variar con el número de iteraciones (aunque la convergeticia file

alcanzada). Es mejor realizar la predicción del patrón de flujo desde una rorinulación transitoria, sin embargo esto pbdría ser demasiado caro en tiempo de cólnputo, c) L~ transferencia de calor en las paredes sólidas puede no ser calculada correctatnente cuando se utilizan modelos de turbulencia con funciones de pared empíricas.

Papastergiou et al. (1992) resolderon el problema de una cavidad de forma comple.ja. El

cavidad para diferentes condiciones de frontera (calentar la cavidad desde diferentes paredes). Las ecuaciones promediadas de Navier-Stokes en conjunto con el modelo de turbulencia K-E fueron resueltas1 usando la aproximación en volumen finito, usando el algoritmo SIMPLE, los términos advectivos son discretizados por el esquema de ley de potencia (PLDS). Los parámetros utilizados fueron: un número de I'randtl (Pr) de 0.71 .y un número de Grashof (Gr) de 1!.78x10p. Para validar el código obtenido los autores resolvieron el problema de la cavidad calentada diferencialmente, encontrando quc el código reprodujo los resultadod, encontrados en la literatura. Los resultados gráficos muestran las isotermas para las d'iferentes condiciones de frontera de la cavidad, así como también el comportamiento del ndmero de Nusselt para estas condiciones.

Kuyper et al. realizaron en 1993 una extensión del trabajo de Henkes et al. (1991). El estudio de Kuyper et al. consistib en la simulación numérica laminar y turbulenta de la convección natural del flujo de aide en una cavidad cuadrada inclinada en estado transitorio, la cavidad fue calentada diferencialmente. El ángulo de inclinación de la cavidad varía de Os hasta 180' para flujo laminar ylde O* hasta 90' para flujo turbulento. Los cálculos se realizaron para un intervalo del número de Ra de IO4 a IO'", para modelar la turbulencia se utilizó el modelo (K-E) y la metddologia de solución numérica usada por los autores fue igual a la utilizada por Henkes et al. (1991). Se presentan los resultados para el cálculo del número de Nusselt promedio como una función del ángulo de inclinación de la cavidad y del número de Rayleigh. Los r e h a d o s (lineas de corriente e isotermas) para el ilujo laminar muestran una concordankia con los resultados de estudios previos (G. De Vahl Davis, 1983), por lo tanto, los autores mencionan que los resultados para flujo laminar son muy confiables. Para validar el codigo numérico para el caso de turbulencia, Kuyper et al. resolvieron el problema de la cavidad calentada diferencialmente con flujo turbulento y compararon sus resultados con los resultados de Markatos y Pericleous (1984) encontrándose concordancia con pstos, Posteriormente los cálculos para flujo turbulento fueron realizados para un Ra = IO'' con diferentes ángulos de inclinación. Los resultados presentados por los autores son 10s primeros estudios de flujo turbulento en una cavidad inclinada.

Hanjalic y Vasic ( I 993) presentaron los resultados computacionales de la convección natural laminar y turbulenta en cayidades rectangulares en estado transitorio, considerando una razón de aspecto de 1 y de 5, y u n intervalo del número de Ra de IO4 a 1 0 l 2 . Los cálculos numéricos fueron realizados con el algoritmo TEACH basado en la formulación de volumen de control, las ecuaciones algebraicas fueron resueltas por el método de linea por línea (LBL). En la investigación realizada por los autores, se presenta un modelo para el cálculo de flujos turbulentos con condiciones de frontera arbitrarias. El modelo que

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objetivo del estudio fue determinar 1 los patrones de flujo en estado permanente dentro de la

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L 0 4 - 0 4 3 4 I I

CAP-IIJISI I INTROOUCCI~N 1 I !

presentan los autores es llamado, I "Modelo algebraic0 de flujo de calor" (AFM). Este modelo está basado en las modificaciones del modelo (IC-E) de bajo-número de Re. LOS

autores encontraron que los (K-E) de bajo-número de Re enfriado, son aparecen en la capa limite para ¡as mismas condiciones de frontera y cavidades altas, LOS campos de velocidad y campod de temperatura son presentados de forina gráfica. LOS resultados obtenidos por el modklo AFM, fueron validados con resultados experimentales reportados en la literatura y con los resultados numéricos del modelo (IC-E) y dcl modelo (K-E) de bajo-número de Re.

Barakos et al. utilizaron en 19941el método de volumen finito para resolver las ecuaciones de conservación, para flujo laminpr y turbulento en una cavidad cuadrada llena dc aire para una serie de números de Ra de I O 3 a El modelo IC-E se utilizó para predecir los ílujos turbulentos con y sin funciones de pared. El algoritmo usado para acoplar las ecuaciones de conservación de masa y momento fue el algoritmo SIMPLEC (Van Doarmaal. Raihtby, 1984) y el sistema de ecuacioneslalgebraicas fue resuelto por el método de línea-por-línea (LBL) en combinación con el metodo denominado SIP (Stone, 1968). Los resultados se presentan en estado permanente dn forma gráfica y de manera tabular (líneas de corriente e isotermas). Las soluciones obtenidas representan correctamente el patrón de flujo y el fenómeno de transferencia de calor, especialmente cerca de las paredes donde se forina la capa límite y en la cual se usa unA malla no-uniforme. El número de Nusselt promedio a lo largo de la pared caliente mukstra un repentino incremento al alcanzar la solución turbulenta. Los resultados fueron validados con resultados numéricos y datos experimentales reportados en la lideratura.

con los diferentes modelos (modelo ( ~ - 6 ) ' inodelo para una cavidad cuadrada con un lado calentado Y

unos con otros, pero diferencias apreciables

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Heindel et al. realizaron en 1994 un estudio considerando el modelo turbulento K-E dc bajo número de Re, para predecir la transferencia de calor y flujo de fluido en una cavidad bidimensional, donde las paredes berticales son mantenidas isotérmicamente a temperaturas diferentes y las paredes horizonta!es son adiabáticas. Los autores utilizaron dos diferentes modelos de turbulencia IC-E de bajo-número de Re (LRN IC-E): Uno llamado modelo turbulento K-E de bajo-número de/ Re con coeficiente fijo (FC LRN IC-E) y el otro llamado modelo turbulento K-E de bajo-número de Re con coeficiente variable (VC LRN IC-E). Las ecuaciones de conservación para el problema de convección natural con flujo turbulento fueron discretizadas por la técnica de volumen finito, donde el volumen de control de la velocidad es desplazado respecto 'al volumen de control principal (volumen de control dc una variable escalar, por e.jemplo, la temperatura o presión). Las ecuaciones algcbraicas se resuelven de forma iterativa usando el procedimiento de solución de Iínca por línea (LDL) y el algoritmo SIMPLER (Patanka,, 1980). La combinación de los flujos difusivos y convectivos a través de la superficie de control, fueron modelados usando el esquema de ley de potencia (PLDS). Las solukones en estado permanente fueron obtenidas usando la técnica de sobre-relajación. Este tkabajo se realizó con el fin de evaluar las difcrcncias de los resultados obtenidos con los dos modelos de turbulencia utilizados. Los resultados se presentan de forma gráfica y tabdlar en la cual se muestran los coeficientes fijos para el modelo (FC LRN K-E) y las relbciones funcionales para los coeficientes variablcs del modelo (VC LRN IC-E). El cálculo numérico se realizó considerando agua y aire y los

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INlKODUCCI6N I C A I ~ I ~ W I . 0 I I

I r~sultados fueron validados con resultados experimentales encontrados en la literatura, resultados muestran concordancia con estos.

Y Hoogendoorn presentaron en 1995 los resultados de la comparación para e l problema de flujo turbulento para una cavidad cuadrada calentada difereiicialinentc; I 0 grupos internacionales participarbn en este ejercicio de comparación, para la solución del caso de prueba estándar. El caso estándar considera aire con un número de Ra de 5x IO i " en una cavidad cuadrada calentada de forma diferencial con paredes horizontales adiabáticas y estado permanente. La turbulenha es modelada por el modelo estándar K-E. Coi1 este ejercicio de comparación se predndió obtener una solución numérica de reikrencia. Todos los I O participantes aplicaron la formulación de variables primitivas sobre una lnalla desplazada de 60x60, algunos de los participantes que hicieron su propio código numérico utilizaron el esquema híbrido (HDS), el esquema de ley de potencia (I'LDS). el esquema QUICK, usando diferentes alg8ritmos de solución (SIMPLE, SIMPLER, SIMpI.,EC, SIMPLEST); otros participante! utilizaron códigos comerciales (ASTEC, FLUENT, PHOENICS). Los resultados numéricos obtenidos por los participantes fueron comparados con resultados experimentales reportados en la literatura. La solución de referencia obtenida puede ser usada para la validación de algún código en u n estudio fiituro de convección natural con flujo turbulento.

Peng et. al. (1996) investigaron k l uso de tres modelos de turbulencia de dos ecuaciones para la simulación numérica flujos en habitaciones con estradas de aire, los modelos de turbulencia son denominados como: K-E, )c-T, K-W. El modelo K-O fue desarrollado por los autores. Todos los modelos son aplicados con funciones de pared para tomar en cuenta las regiones de bajo número de Re cbca de una frontera sólida. El modelo de turbulencia K-E presenta resultados razonables comparados con los resultados experimentales, el modelo de turbulencia K-T presenta resultados incorrectos y el modelo de turbulencia K-<D presenta buenos resultados, este ultimo mqdelo puede ser una alternativa en lugar de usar el modelo K-E además que tiene una convergencia más rápida que el modelo K-E.

Can presentó en 1998 los resultados numéricos para la convección natural con flujo turbulento en una cavidad rectangular llena de aire. La discretimción de las ccuaciones de conservación fueron realizadas por método de volumen finito, las ecuaciones de inasa y momento fueron acopladas por e/ algoritmo SIMPLE. En este estudio fueron usados dos modelos turbulentos diferentes para las predicciones de la turbulencia: a) El inodelo estandar (K-E) y b) El modelo (KLE) RNG desarrollado en 1986 por Yakhot y Orszag. En 1995 Chen mostró que el modelo (K-E) RNG reproduce mejores resultados para flu.jo turbulento, que el modelo estándar (K-E). El propósito del autor fue evaluar el modelo turbulento (K-E) RNG en la sihlación de flujos contenidos en una cavidad, con la intención de poder usar el modeld para predecir los flujos en tres dimensiones. Can mostró que las funciones de pared para lb convección natural con flujo turbulento para una placa vertical, desarrolladas en 1993 pok Yuan et al., no pueden ser aplicables para la simulación de flujos turbulentos en cavidad& altas (cavidades alargadas); debido a que puede haber interferencia entre la capa limitd de las paredes opuestas. El estudio realizado por los autores muestra que el modelo (&E) RNG tiene un mejor comportamiento que el modelo estándar, las mejoras encontradad por el modelo (K-E) RNG son principalmente debido a

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I 1.2.2 ESTUDIOS DE TRAN~SFERENCIA DE C A L O R POR CONVECCIÓN, CONDUCCIÓN Y RADIACIÓN EN CAVIDADES

1.2.2.1 Estudios de Transferencia de Calor por Convección, Conducción y Radiación I en Cavidades con Flujo Laminar I

Larson y Viskanta realizaron en 1976 un estudio sobre la transferencia de calor por conducción, convección y radiación en una cavidad cuadrada. Ellos estudiaron el modelo de la cavidad con paredes opacas difusas donde se incluyen los efectos de radiación, conducción de calor unidimensional en las paredes y convección natural con flujo laminar. Los autores resolvieron las ecualciones del modelo convectivo, utilizando e l inéiodo de diferencias finitas implicito de dikecciones alternantes. Las ecuaciones de translerencia de calor por radiación fueron resueltbs por aproximaciones sucesivas, en la cual las integrales fueron evaluadas por la regla de Simpson. El fluido estudiado dentro de la cavidad lue aire y el intervalo del número de Grashof fue entre IO5 y IO9. LOS resultados obtenidos iiidicaii que la radiación domina la iransferencia de calor y altera el pairón de f l ~ i j o sign ificativamente.

Lauriat realizó en 1980 un estudio numérico para una cavidad rectangular con una pared vertical con aislante térmico, para analizar la influencia de la transferencia de calor por radiación sobre las paredes. La cavidad contiene dos paredes horizontales adiabáticas, una pared vertical caliente con tempeiatura uniforme y la otra pared de espesor finito. El autor

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I CAI'I1111.0 I

INTKODUCCI~N

I. usa el esquema ntm%iCO de diferencias finitas para la solución de las ecuaciones de verticidad, heas de corriente y energía, concluyendo que el método iiiip~~ci~o de

n h e r o de Ra Y el efecto dd la conductividad térmica sobre las distribucioiies de temperatura. Cuando aumenta la1 conductividad térmica, la resistencia térinica de la pared disminuye, y para valores grandes de conductividad la pared es casi isotérmica. El aumento de la resistencia térmica produce I n incremento de la temperatura media del fluido.

Kurosaki et al. (1982) realizaron /un estudio numérico y experimental sobre la translerencia de calor combinada de conveccih natural-radiación eii una cavidad rectangular, donde e l fluido dentro de la cavidad es pakicipante. Las ecuaciones del modelo fueron resueltas por el método de diferencias finitas Sobre una malla no uniforme para obtener los perfiles de vorticidad y temperatura. Los parámetros usados fueron Pr = 0.72 y Ra = 2x I 04, la razón de aspecto fue de I .5. El propósito he este trabajo fue investigar la influencia de la radiación en la transferencia de calor por convección natural en una cavidad. Los autores presentaron los efectos de radiación sobre Id convección natural, cambiando los valores del espesor óptico r,y del número radiativo NR (relación entre la'transferencia de calor por conducción y radiación). Los resultados numéricos muestran los perfiles de velocidad para 2 espesores ópticos diferentes con el mismo valor de NR. Cuando el espesor óptico es grande, la

decae en la capa cercana a la pared fría, comparadas para el caso de las temperaturas obtenidas solo por convección natural. Entre los resultados se muestran los perfilcs de temperatura para pequeños valbres de NRi una disminución de los gradieiiies de temperatura en la pared dan por resultado una disminución en la translerencia de calor por

direcciones ahmantes (ADI) re d uce el tiempo de cómputo. Lauriat preseiitó e l efecto del

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I temperatura de la capa cercana a i,a I pared caliente aumenta y por el contrario la temperatura

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convección, este resultado se caliente que absorbe y escuda notando que la transferencia

la capa de alta temperatura cercana a la pared emitida por la pared caliente. Kurosaki et al.

pared caliente a la pared fría es afectada por la radiación, definieron 2 números de Nusselt: uno radiativo y otro convectivo y el número de Nusselt total como la suma de éstos. Para el experimento, los autores utiiizaron u11 interferómetro holográfico para obtener los campos de temperatura. En el aparato experimental se utilizó dióxido de carbono como fluido de trabajo. Durante el experiiiiento: el estado permanente se alcanzó en 2 horas.

K im y Viskanta presentaron en 19 4 un estudio numérico del efecto de conducción de calor bidimensional en las cuatro paredes de una cavidad, dos paredes horizontales aisladas y dos paredes verticales isotérmicas jund? con el efecto de intercambio radiativo entre las paredes de la cavidad. El fluido dentro de la cavidad se consideró no participante. Utilizaron el método de diferencias finitas implícito de direcciones alternantes (ADI) para la solución numérica del modelo. La ecuaciód de conducción para el sólido fue resuelta por un método explícito.'Los autores comparan lbs casos de convección natural y conducción con el caso de convección natural, conducción y radiación para e l caso de NR = I (número radiativo = razón entre la transferencia de calor por conducción y radiación); del resultado dc esta comparación se obtuvo que, debido a las perdidas de calor por radiación, las temperaturas en la pared caliente son menored que en el caso de ausencia de radiación' pero, como resultado de la ganancia de cal& por radiación las temperaturas en la pared fr ia son mayores que en el caso de la aus!encia de radiación. Entre los resultados se eiicueiitra e l efecto del parámetro de radiación1 NK; cuando aumenta NR, los gradieiites de lcmperatura

INTROOUCCION

del fluido disminuyen. Los aut( transferencia de calor por radiaci

Webb y Viskanta (1 987) presen permanente que describen la i

convección natural que resulta p de las paredes verticales. El m horizontales aisladas, una pare( semitransparente (una hoja de vi SIMPLER, 1980) para acoplar I agua destilada. Las isotermas 01 isotermas obtenidas experimenti aspecto de I . De la comparac concordancia con los resultados, en la región central de la cavidac del techo de la cavidad, son d condición adiabática. Las predii entrante al sistema (calentam convectivo en la pared transmi mientras que, aproximadamente calentamiento superficial conveci

Yucel et al. publicaron en 198 cuadrada. Dentro de la cavidac ecuaciones de masa y momento 1980) y la solución de las ecuac ordenado discreto (DO). Los resi de inclinación de O' y 60' res radiación es el mecanismo predc altera la distribución de tempera1 paredes. También los patrones d en general el flujo es caracterizac

Behnia et al. (1990) realizaron con radiación en una cavidad I vertical de la cavidad es isotérm intercambio de calor convectivo paredes horizontales son adiab resueltas por el método de di condiciones de frontera radiati uniforme y la pared fría es la par para una cavidad con una razón temperatura ambiente de 20'C; I

directa. Los resultados muestran radiación la aumenta y en combi es un aumento en la circulación de corriente y de las isotermas de

:S muestran una tabla, donde se aprecia el efecto de {a sobre el número de Nusselt promedio.

On 10s resultados experimentales y nuinéricos el1 estado nsferencia de calor y el movimiento del fluido por la absorción de la radiación térmica incidente sobre una elo teórico consistió en una cavidad con dos paredes ertical opaca a temperatura constante y la otra pared io). Los autores usaron la técnica de Paiankar (algoritmo ecuaciones de masa y momento, el fluido utilizado fue nidas por el modelo numérico son comparadas con las lente para u n Ra = 2.3x108, Pr = 6.05 y una.razón de 1 del modelo teórico y experimental se observa una la predicción de la capa límite térmica en la pared fría y Las discrepancias encontradas en las fronteras del piso y idas a la inestabilidad experimental para conseguir la ones del modelo revelaron que el 70% de la energia ito radiativo interno más calentamiento superficial ra) fue debida a la absorción directa de la radiación; I 30% de la energía entrante al sistema fue debida al o en la pared transmisora.

un estudio de la convección natural en una cavidad ;e consideró u n fluido como medio paríicipanie. Las ieron acopladas por el algoritmo SIMPLER (Paiankar, nes de transporte radiativo fue obtenida con el método ados fueron presentados para una cavidad con u n ángulo cto de la horizontal. Las autores concluyeron que la iinante en la transferencia de calor y significativamente a, aumentando los valores en las regiones cercanas a las flujo son alterados, intensificando las velocidades, pero por un flujo unicelular convectivo.

estudio numérico de la convección natural combinada tangular con una ventana semitransparente. Una pared I y la opuesta es semitransparente. Esta pared permite el e la superficie externa y los alrededores. Las OkdS dos cas. Las ecuaciones de movimiento y energia heron encias finitas, acoplado a estas ecuaciones están las s. La pared caliente se mantiene a una temperatura semitransparente. Los autores presentaron los resultados aspecto de I , la pared vertical isotérmica a I5O'C y una

lizando un IO4 C Ra C 3x105 en ausencia de insolación ie la convección externa debilita la circulación interna, la ción de la convección externa y radiación, el efecto total ,tema. Los autores presentan los resultados de las lineas lanera gráfica.

16

la transmitancia.

Álvarez presentó en 1994 y 2000 de la combinación de convección razón de aspecto de 1, la cavidad

,un modelo computacional transitorio en dos dimensiones natural, conducción y radiación en una cavidad con una contiene aire como un fluido no participante. La cavidad

,

CAPITULO i INTRODKCION

insolación directa de 750 W/m2. En este estudio, se realizó la comparación con el modelo de convección natural de cavidad bidimensional con paredes opacas verticales isotérmicas y se observó la influencia del intkrcambio radiativo en los patrones de temperatura y líneas de corriente, encontrándose diferencias significativas, siendo la más relevante la disminución del transporte convective causado por dicho intercambio radiativo, haciendo más conductivo el proceso de trahferencia de calor en la cavidad. AI comparar los patrones de flujo en la cavidad con ventani con y sin controlador óptico, se encontró que fueron muy similares cualitativamente pero no cuantitativamente. Entre los resultados, en la cavidad con y sin controlador Óptico, ÁIvarez presentó el comportamiento del número de Nusselt convectivo con el tiempo para los números de IO4 5 Gr 5 lo6. Finalmente el autor concluye, que el uso del controlador Ópticolen la pared semitransparente reduce la entrada de energía en aproximadamente 59%, este resultado muestra la ventaja del uso del controlador óptico.

Akiyama y Chong realizaron en 1997 el estudio de la transferencia de calor por convección natural y radiación en una cavidad con una razón de aspecto de uno. Las paredes fueron consideradas como opacas difusas y se consideró el aire como fluido en el interior de la cavidad. La formulación de las eluaciones fue realizada en variables primarias, en la cual se USO el algoritmo SIMPLE (Ratankar, 1972) para acoplar las ecuaciones de masa y momento y el esquema QUICK QLeonard, 1979) para aproximar los términos convectivos de las ecuaciones. Los resultadoS fueron presentados para una malla de 42x42, con u n intervalo del número de Rayleigh de IO' a IO6 y el intervalo de las emisividades de las superficies fueron de cero a uno.'Los resultados muestran que las superficies de radiación alteran los patrones de flujo y la histribución de temperatura, especialmente en los valores más grandes del número de Rdyleigh. Los autores concluyen que la presencia de la superficie de radiación puede cam'biar el valor promedio del número de Nusselt convectivo, pero únicamente se tienen pequeñas variaciones con el incremento de las emisividades, mientras que el número de Nusselt radiativo se incrementa rápidamente.

I

.

I

1.2.2.2 Estudios de Transferenda de Calor por Convección, Conducción y Radiación en Cavidades con Flujo Turbulento

Fusegi y Farouk presentaron en 1989 los resultados numéricos del estudio realizado para una cavidad con una razón de aspecto de uno. En la cual se considera interacción de convección natural y radiación con flujo turbulento. El estudio se realizó en dos dimensiones y la cavidad fue calentada de manera diferencial, el fluido en el interior de la

modelo turbulento K-E. El intervalo del número de Gr fue entre I O4 y I O". Las ecuaciones gobernantes con sus condicionek de frontera son aproximadas con las ecuaciones en diferencias finitas usando el principio del volumen de control, Los términos de convección- difusión son discretizados por di esquema híbrido. Los autores emplearon una malla desplazada para las componentes de la velocidad, y las soluciones son obtenidas por u n esquema iterativo, el cuál es una modificación del algoritmo SIMPLE (Patankar, 1972). Los resultados se presentan gráficamente en estado permanente para u n número de Prandtl de 0.686 y se encontró concordancia con los resultados reportados en la literatura. La transferencia de calor en las paredes isotérmicas es incrementada en un factor de 5 para el

I

cavidad fue dióxido de carbonoi I Para modelar la turbulencia los autores emplearon el

I

I 18

CAP11 UI.0 I INTROOUCCION

régimen laminar Y en un factor de 7 para el regimen turbulento, comparados con los en donde sokmente se considera convección natural. Estos cambios de la transferencia de calor, son atribuidos a la superficie de radiación de las paredes de la cavidad. Como un resultado de la atenuación del medio participante, el gas radiativo ligeramente reduce la transferencia de calor en las paredes.

Mesyngier y Farouk realizaron en 1996 un estudio numérico de la interacción de radiación y de la convección natural con hujo turbulento en una cavidad cuadrada. El fluido en el interior de la cavidad se considdró como medio participante (agua, dióxido de carbono). Para modelar la turbulencia ids autores emplearon el modelo turbulento K-E. Las superficies radiativas de las pareles de la cavidad y el gas radiativo fueron tratadas por el método ordenado discreto (DO). La simulación numérica fue realizada para un intervalo del número de Ra de I O 8 a IO'', un intervalo del espesor Óptico (t) de 0.147 a 0.959. Las ecuaciones gobernantes con sus condiciones de frontera son aproximadas con el método de volumen finito. Los términos de convección-difusión son discretizados por el esquema híbrido. Los resultados numéricks para la convección natural turbulenta; sin incluir el intercambio radiativo en la cavidad, fueron comparados con los resultados obtenidos por Markatos y Pericleous (1984). El modelo radiativo (DO) utilizado para la interacción radiativa fue validado con los tradajos encontrados en la literatura. Los autores presentaron una nueva correlación para el número de Nusselt como una función del número de Rayleigh y del espesor óptico (7). Los rdsultados muestran que la transferencia de calor en las paredes tiene una alta dependencik sobre el número de Ra y una débil dependencia sobre el espesor Óptico (t). Este resultado, es debido principalmente al pequeño intervalo utilizado para el espesor óptico.

Recientemente Velusamy et al. (2001) publicaron los resultados obtenidos para el estudio de la convección natural en cavidades rectangulares considerando el intercambio radiativo entre las superficies. La cavidah fue calentada diferencialmente y las paredes fueron consideradas opacas difusas. El flbido en el interior de la cavidad fue aire y fue considerado con un medio no-participante, el lintervalo del número de Rayleigh fue de lo9 a lo'* y el intervalo de las razones de aspecto fueron de 1 a 200. El acople de las ecuaciones de masa y momento fue realizado por el algoritmo SIMPLE (Patankar, 1972) con una malla no- uniforme de 62x62. Para modelar la turbulencia los autores emplearon el modelo turbulento K-E usando las condiciones de f!pntera del modelo de Henkes et al. (1991). Se concluye que la interacción entre las superficies radiativas aumenta la magnitud de las velocidades y los niveles de turbulencia en las capas límites vertical y horizontal, provocando con esto un incremento de aproximadamente 125 % en la transferencia de calor por convección. La contribución de la transferencia de calor radiativa es significativa aún a bajas temperaturas como O'C.

I

19

INTKODUCCI~N CAPIrUI.0 I

I EN RESUMEN:

CAPil’iJi.0 I INTRODUCCION

1.3 OBJETIVOS

radiativamente no participante.

Los objetivos particulares del estudio son:

Rayleigh (Ra).

1.4 ALCANCE

INTRODUCCION

22

CAPITUI.0 I

CAP~'I'~JLO 2 ECUACIONBS DE CONSERVACl6N Y S(J PROMEDIO I TEMPORAI.

o no en el momento de utilizarlas.

Las ecuaciones de conservación

1 CAPÍTULO~

PROME~IO TEMPORAL (FUNS) ECUACIONES DE CONSERVACIÓN Y SU

del flujo de fluidos y transferencia de calor que se

Adicionalmente, las ecuaciones transporte:

23

resultantes se relacionan con las expresiones empíricas de

1969; Ark, 1962).

CAI’ITIJLO 2 IXXLWIONBS BE CONSEKVACIÓN Y SU PROMEDIO i .TEMPORAI.

a través de sus fronteras.

2.1.1 Ecuación de Conservacibn de Masa

Esta ecuación se deriva de aplicar el principio de conservación de masa. Este principio se expresa como: el flujo neto másido de salida del volumen de control (VC) debe ser igual al incremento temporal de la masa interior. La ecuación resultante es conocida como la ecuación de conservación de maja o ecuación de continuidad, la ecuación es representada con la siguiente expresión:

I . . .

i

o también: I aP - + v . (pu)= o at

(2.la)

(2.2)

24

O también en forma vectorial: I I

únicamente afecta a los esfuerzos cual se define como:

aC.u)+ v . (/Juu)= -VP + v . (J at

normales con el segundo coeficiente de viscosidad, i: el

(2.2a)

El primer término de la ecuación (2.2) representa la velocidad de cambio de movimiento, ci segundo término es el incremdnto de movimiento por convección, el tercer término representa las fuerzas de presión hue actúan sobre el volumen de control, el cuarto término es la ganancia de movimiento $or transporte viscoso y el último término representa la fuerza de gravedad que actúa sob& el elemento de volumen de control.

A íinales del siglo XVII, Newton demostró que en ciertos fluidos las tensiones viscosas son proporcionales a los gradientes dk velocidad, entre estos fluidos el aire (fluido tomado en cuenta para la presente investibación) son conocidos como fluidos Newtonianos. La relación entre el tensor de los dsfuerzos viscosos (tu) y los gradientes de velocidad es conocida como la ley de viscosiddd de Newton, la cual se expresa en forma tensorial:

2 3

[=k--p (2.4)

donde k es conocida como la vidosidad de expansión, la cual es la responsable de incluir esfuerzos normales en el fluido Jausadas por variaciones de volumen. Sin embargo. se ha demostrado que esta viscosidad es despreciable en la mayoría de las ocasiones. La viscosidad de expansión es cero para los gases monoatómicos a baja densidad y probablemente no es dernasiady importante para los gases densos y los líquidos. Suponiendo k = O, la ecuación (2.3) se reduce a:

.I, . . . El segundo término de la ecuacion anterior (la divergencia de la velocidad), para flujos incompresibles es cero.

Sustituyendo la ecuación (2.5) en la ecuación (2.2) se obtiene la expresión en notación tensorial de cantidad de movimienko para fluidos Newtonianos:

2s

CAI+I(JLO 2 IXUACIONES DE CONSERVACION Y SIJ PROMEDIO I TEMI'ORAL

por lo tanto, para las tres componentes se puede escribir:

at

I Históricamente, las tres ecuaciones anteriores de la cantidad de movimiento para flujos viscosos han sido consideradas cyma las ecuaciones de Navier-Stokes. N o obstante en la literatura moderna de CFD (Dinámica de Fluidos Computacional) se refieren a las ecuaciones de Navier-Stokes cbmo el sistema de ecuaciones para flujos viscosos: continuidad, cantidad de movimieho y energía.

2.1.3 Ecuación de

La ecuación de ley de la termodinámica, la cual establece que la cantidad de cambio de de una partícula fluida es igual a la cantidad de calor adicionado al elemento fluido de trabajo realizado sobre la partícula.

En otras palabras, se expresa de salida de energía interna más cinética (flujo másico multiplicado de masa), mas el incremento temporal

superficiales (el son englobadas en una fuerza por unidad de tiempo calculada como el de la fuerza por la velocidad en la dirección de la fuerza. Las fuerzas que en la ecuación de cantidad de movimiento. son las fuerzas más el flujo neto de calor entrante al VC (transferencia de calor a través dellas caras del VC debido a los gradientes de temperatura) más la energía neta aportada al VC (este término es debido a la absorción o emisión de calor, energía absorbida ondas eldctromagnéticas, este será agrupado como @). La energía del fluido se define como la su+ de la energía interna (e,,,,), energía cinética (e,,, = 1/2(u2+v2+w2) y la energía potencial gravitacional. La energía potencial será incluida en la fuerza gravitacional como una fderza de cuerpo. Entonces la ecuación para la energía específica (E=eint+ecin) del fluido sk puede escribir como:

de energía interna más cinética allinterior del VC (variación en el tiempo de la energía del VC), debe ser igual al trabajo realizado sobre el VC, tanto por fuerzas volumétricas como \

26

o también en forma vectorial:

a + v.(pEu) = -v, (pul+ v. (r . at

(2.7)

u)+ v. (LVT)+u>+FU (2.7a)

o también en forma vectorial: I De acuerdo a la definición de la edergíaespecifica (E=ein,+eCin), restando la ecuación (2.8) de la ecuación (2.7) se obtiene la ecuación de conservación de energía térmica o inierna (ei.3:

I l o también:

(2.9a)

I 27

ECUACIONES DE CONSERVACl6N Y SU

Para el caso especial de un flujo

ein, = C,T

PR0MEI)IO~i'BMPOKAL CAP¡'i'[JID?

incompresible, la energía interna se puede escribir como:

(2. I O)

Las ecuaciones de Navier Stokes mencionan a continuación.

donde C, es el calor específico d&l fluido a presión constante.

Sustituyendo la ecuación (2.10) en la ecuación (2.9) se obtiene la ecuación de conservación de energía térmica en términos dd la temperatura:

I

y de Energía se simplifican aplicando las hipótesis que se

o también:

de masa, pasando a ser determinación indirecta de

(2.1 I )

una ecuación de velocidades que se utiliza para la la presión.

(2.1 la)

28

ECUACIONES DE C O N S E R V A C I ~ N Y su PROMEDIO TEMPORAL CAP¡TIJI.O 2

tener en cuenta automáticamente los efectos de flotación. Si se divide la presión local en tres términos:

(2.12)

donde:

PreJ = presión de refirencia

p,gdz =presión estática

'd = presión dinámica

P W

Are/ = aliura de refirencia

=densidad de referencia a la lemperaiura de rqferericia, T,

Si se sustituye la ecuación (2.12) en el término del gradiente de presión local de la ecuación de cantidad de movimiento (2.6), la ecuación resultante de cantidad de movimiento seria similar a la ecuación (2.6) con la excepción de que el gradiente de presión será para la presión dinámica y tendrá un término adicional, p g , que representa la presión estática. La diferencia entre este término y la fuerza gravitacional, (p,p)g, es la que origina la aparición del flujo. Ahora falta relacionar las densidades con la temperatura y la presión. La hipótesis de Boussinesq considera despreciable la variación de la densidad con la presión, entonces, por una serie de Taylor se puede expresar:

Definiendo el coeficiente de expansión térmica como:

(2.13)

(2.14)

Despreciando los términos de segundo orden en la serie de Taylor y sustituyendo la expresión anterior se tiene:

(pm - P ) = p P ( T - T , ) (2. I S )

Entonces, en este punto la hipótesis de Boussinesq considera que la densidad es constante en la ecuación de cantidad de movimiento, tomando solo en cuenta la variación de la densidad en el término llamado como fuerza de cuerpo, sustituyendo la fuerza gravitacional, pg, por el término pgp(T-T& en la dirección vertical y la presión local por la

29

ECIJACIONES DE CONSBRVACION Y SIJ PROMEDIO TEMPORAL CAI>¡ 1'111.02

presión dinámica (las ecuaciones pueden mirarse como las correspondientes a un flujo incompresible).

La hipótesis de Boussinesq será valida siempre que la variación de la densidad con la presión sea despreciable y que las diferencias de la densidad y temperaturas sean pequeñas. Gray et al realizaron en 1976 un estudio para encontrar hasta que intervalo se puede aplicar la aproximación de Boussinesq. El método desarrollado por los autores fue aplicado para encontrar la temperatura de un fluido Newtonian0 liquido (agua) o gas (aire) en una habitación. Gray et al. concluyeron que la aproximación de Boussinesq es válida cuando se utiliza el agua como fluido de trabajo hasta un Ra = IO l9 y cuando se usa el aire hasta un máximo del número de Rayleigh de IO".

Disipación Viscosa Despreciable: Este término esta representado por r.VU en la ecuación de energía. La variación de la temperatura o energía interna que se produce debido a este término (fuerzas viscosas) solo puede apreciarse en sistemas con altas velocidades de flujo, en los que los gradientes de velocidad son grandes, como por ejemplo, el efecto aerodinámico del aire que ocurre en los vuelos a elevadas velocidades. Por lo tanto, para velocidades bajas del fluido. tema de esta investigación, en la simulación de las ecuaciones gobernantes la disipación viscosa puede ser despreciable.

Fluido No Participante a la Radiación: Se considera que el medio (aire) no emite, no absorbe ni dispersa la radiación térmica, es decir, es un medio transparente a la radiación. Realmente, Únicamente el vacío se comporta de esta manera? pero se puede considerar esta hipótesis como una aproximación en u n fluido a temperaturas bajas o moderadas con bajo contenido de humedad.

2.2.2 Ecuaciones Simplificadas de Navier-Stokes

Aplicando la consideración de flujo incompresible a la ecuación de conservación de masa (2. I), para las ecuaciones de cantidad de movimiento (2.6) considerando propiedades constantes, fuerzas de cuerpo solo en la dirección vertical y con la aproximación de Boussinesq y para la ecuación de energía se desprecia la disipación viscosa para el aire no participante, entonces las ecuaciones reducidas de Navier-Stokes se escriben como:

a u a u a u a u p-+ p-+pv-+pw- a t a r a y a

(2.16)

(2. I7a)

(2. I7b)

30

ECUACIONES DE CONSERVACI~N Y su PROMEDIO TEMPORAL CAP¡~lUI.O 2

(2.17~)

(2. IS)

Las ecuaciones anteriores pueden describir el comportamiento del flujo para flujos laminares a baja velocidades. Sin embargo, en flujos turbulentos las componentes de velocidad varían rápidamente en tiempo y espacio, y por lo tanto es dificil tratar de reproducir todos estos efectos en el dominio físico. La modelación de flujos turbulentos es extremadamente compleja ya que aparecen un numero de mecanismos altamente complejos; tales como la irregularidad, la difusividad, las fluctuaciones en tres dimensiones, la disipación, etc.

A continuación se presentan una introducción al mecanismo de turbulencia, las simplificaciones y las técnicas usadas a la fecha, enfatizando la técnica que se utilizará en este trabajo.

2.3 MODELADO DE LA TURBULENClA

2.3.1 Introducción

A lo largo de la historia, el fenómeno de la turbulencia en los fluidos ha sido uno de los problemas de la fisica más interesante y,más antiguo, y está aún sin resolver en forma completa, debido esencialmente a la falta de modelos matemáticos aplicables en forma universal. Por lo tanto, dar solución a los problemas de flujos turbulentos implica introducir los efectos de turbulencia en la descripción del flujo por medio de modelos que son típicamente una combinación de empirismo y teoría, y debido al desconocimiento fundamental que se tiene sobre la turbulencia en fluidos, resulta sumamente dificil ofrecer una descripción exacta. Frecuentemente se asocia la turbulencia con las ideas de desorden y aleatoriedad. Sin embargo, existen diferentes definiciones de la turbulencia que intentan describir de una forma general el fenómeno. Entre estas definiciones, se encuentra la propuesta de Taylor y Von Karman (i937), quienes definen la turbulencia como un movimiento irregular que aparece en los fluidos (gaseosos o líquidos), cuando éstos encuentran superficies sólidas o inclusive cuando corrientes del mismo fluido se reencuentran (Pope, 2000). Hinze define en 1975 a la turbulencia como una condición de irregularidad del flujo, en la cual varias cantidades (u, v, T, P, etc.) muestran una variación aleatoria con respecto a las coordenadas espaciales y temporales. así que estadísticamente distintos valores promedios pueden ser apreciados. Las características más relevantes de los flujos turbulentos son:

Fluio irregular: el flujo consiste de un espectro de diferentes escalas (tamaño de remolinos), donde los remolinos más grandes son del orden de la geometría del flujo y por el otro lado del espectro se tienen a los remolinos más pequeños que pueden ser de orden molecular. Por este motivo la hipótesis del continuo es valida.

31

IlCUAClONES DE C0NSI:RVACION Y SU PROMEDIO TEMPORAL CAI? 1111.0 2

la cual permite que para números de Reynolds grandes las ecuaciones dc Navier- Stokes sean validas y describan todas las escalas del fenómeno de turbulencia. Fluio altamente difusivo: en flujos turbulentos la difusividad se incrementa. Esto significa que conforme el flujo llega a ser turbulento, este causa rápidamente mezclado e incrementa la razón de transferencia de calor y de materia. Fluio a altos Re: las fuerzas viscosas son superadas por las fuerzas inerciales. provocando que el movimiento laminar sea inestable. Fluio tri-dimensional: las fluctuaciones de los flujos son siempre en tres dimensiones. Fluio altamente disipativo: toda la energía cinética en los pequeños remolinos del flujo turbulento es transformada en energía interna (incrementando su temperatura). En estas escalas, la viscosidad molecular es la encargada de llevar a cabo este proceso. De aquí se extrae una conclusión importante, que para mantener la turbulencia se ha de aportar constantemente energía al sistema o de lo contrario. el flujo terminará por estabilizarse.

Resultados experimentales han mostrado que para bajos números de Reynolds (menor que cierto valor critico) el flujo presenta un movimiento suave y ordenado en capas adyacentes de fluido, entonces se dice que el flujo es laminar y que la viscosidad del fluido domina. Pero por arriba del valor critico del número de Reynolds, el estado del flujo presenta una serie de eventos mostrando más o menos fluctuaciones aleatorias sobre la dirección del flujo medio, el cual eventualmente presentará un cambio radical. Las velocidades y todas las propiedades del flujo varían de forma aleatoria y el flujo efectivamente llega a ser turbulento conforme el momento del fluido se incrementa.

En principio se considera que las ecuaciones de Navier-Stokes describen completamente el fenómeno del flujo turbulento y su uso se ha extendido y aceptado. De ahí que naturalmente se intente resolver las ecuaciones en forma directa (numéricamente) para obtener la solución de un problema dado. Sin embargo, considerando todas las características arriba mencionadas, para poder simular un flujo turbulento se tienen que respetar algunas condiciones como: el tamaño del paso de la malla en el dominio de solución tendrá que estar en el mismo orden de magnitud que la escala más pequeña de longitud del flujo, a su vez, la misma condición tendrá que cumplirse para las escalas del tiempo. Lo anterior conduce a una demanda de recursos computacionales superior a la capacidad de cómputo convencional, aún para geometrías sencillas.

Las escalas de longitud o tamaños de remolinos en un flujo turbulento son acoiadas por las dimensiones del campo de flujo y por la acción difusiva de la viscosidad molecular. Como ya se mencionó previamente, los flujos turbulentos son caracterizados por diferentes escalas de velocidad y longitud. Los remolinos más grandes realizan casi todo el trabajo en el campo de flujo por transferir momento hasta con varios ordenes de magnitud mucho más grandes que por difusión molecular. Estos grandes remolinos de turbulencia interactúan con el flujo medio extrayendo energía de él por u n proceso llamado estrechamiento de vórtices (vortex stretching), este proceso de estrechamiento hace que el flujo mcdio proporcione la energía a los grandes remolinos, la cuál mantiene la turbulencia. Los remolinos más pequeños interactúan fuertemente con los remolinos más grandes y en menor proporción

32

ECVACIONES DE CONSERVACI~N Y su PROMEDIO TEMPORAL ci\i>i~rui..o z

con el flujo medio por el estrechamiento de vórtices. Este proceso continua con los remolinos más pequeños hasta que toda la energía cinética extraída del flujo medio por los remolinos más grandes es pasada de forma progresiva a los remolinos inás y más pequeños. Este proceso, donde la energía de los remolinos más grande es pasada de manera efectiva a los remolinos más pequeños es llamado la energía en cascada (energy cmcade).

2.3.2 Escalas de Turbulencia

Como se mencionó en los párrafos anteriores, existe un amplio intervalo de escalas en un flujo turbulento. Las más grandes escalas son del orden de la geometría del flujo, por

ejemplo, el espesor de la capa limite, con escalas de longitud y velocidad P y I,

respectivamente. Estas escalas extraen energía cinética del flujo medio, la cual tiene una escala de tiempo comparable con las grandes escalas, es decir (Pope, 2000):

n

(2.19)

Las grandes escalas pierden gradualmente su energía cinética al interactuar con las escalas más pequeñas a través del proceso de energía en cascada, de esta manera, la energía cinética es pasada a las pequeñas escalas. En las escalas más pequeñas de turbulencia las fuerzas de fricción (esfuerzos viscosos) llegan a ser demasiado grandes y la energía cinética es transformada (disipada) en energía interna, provocando un aumento en la temperatura. La disipación es simbolizada por E, la cual es energía por unidad de tiempo y unidad de masa ( E = [m2/s3]). La disipación es la responsable de transformar la energía cinética en las escalas pequeñas a energía interna. Las fuerzas de fricción existen en todas las escalas, pero son mucho más grandes en los remolinos más pequeños. Entonces no es del todo cicrto. que toda la energía cinética de los grandes remolinos es gradualmente pasada a los remolinos más pequeños, puesto que también parte de su energía cinética será convertida en energía interna debido a las fuerzas de fricción pequeñas. Sin embargo, se considera que gran parte de la energía cinética (90 %) en las escalas más grandes es finalmente disipada a los remolinos más pequeños.

Las escalas más pequeñas, donde la disipación ocurre son llamadas las cscalas de Kolmogorov (escalas más pequeñas de la turbulencia): escala de velocidad, t ; , escala de longitud, P y escala de tiempo, r , Se considera que estas escalas son determinadas por la viscosidad cinemática, v y por la disipación E. Del hecho, que la energía cinética es destruida por las fuerzas viscosas, es natural pensar que la viscosidad juega una parte en determinar estas escalas. La cantidad de energía que es disipada, es E. Entre mayor sea la energía que es transformada de energía cinética a energía interna. mayor serán los gradientes de velocidad. Tomando en cuenta, la consideración de que las escalas disipativas

son determinadas por la viscosidad y la disipación, se puede expresar j ; , f y r en función de v y E, a través del análisis dimensional. Por lo tanto, se puede escribir:

33

ECUACIONES DE CONSERVACION Y SU PROMEDIO TEMPORAL C A P ~ T I J L O z

n u = Va &b

(2.20)

Las dimensiones del lado izquierdo y lado derecho de la ecuación anterior deben ser las mismas. Entonces se pueden obtener dos ecuaciones algebraicas, una para los metros y otra para los segundos:

Para metros [m]:

1 = 2 a + 2 b

Para segundos [SI: -1 = - a - 3 b

(2.21)

(2.22)

AI resolver las ecuaciones (2.21) y (2.22), da como resultado a = b = 1/4. de la misma manera, se pueden obtener expresiones para t y r . De esta forma se obtiene:

u = ("cy4 114

e=(;)

(2.23a)

(2.23b)

(2.23~)

Las ecuaciones (2.23a-b) son conocidas como las escalas de Kolmogorov, las cuales representan las escalas más pequeñas de la turbulencia (Pope, 2000).

El tratamiento científico del fenómeno de turbulencia es muy variado. Existen diferentes técnicas que utilizan diferentes consideraciones. A continuación se presenta una descripción de las técnicas usadas para la simulación de flujos turbulentos.

2.3.3

La problemática ahora es, que al hacer validas las ecuaciones de Navier-Stokes en régimen turbulento, se tiene la necesidad de usar mallas temporales y espaciales muy refinadas para obtener soluciones fisicamente aceptables. Esta característica es coherente con la naturaleza de la turbulencia, en la cual las escalas espaciales y temporales mis pequeñas de la turbulencia (escalas de Kolmogorov). Entonces para reproducir adecuadamente la complejidad de la turbulencia es necesario utilizar incrementos de tiempo muy pequeños y de muchos volúmenes de control, esto implica u n alto costo computacioiial (tiempo de cálculo) e industrialmente no viable. Entonces se busca modelar la turbulencia de otra manera, en la cual los esfuerzos computacionales sean menores y que los resultados sean suficientemente buenos

Estrategias para la solución de la Turbulencia

34

ECUACIONES DE CONSERVACION Y SU PROMEI>IOTEMPORAI. CAl’hl~O 2

Desde el punto de vista del tiempo de cómputo se han tenido diferentes estrategias matemáticas a partir de las ecuaciones de Navier-Stokes. para obtener un modelo más o menos sencillo que reproduzca la turbulencia. Existen dos grandes bloques para abordar la solución a la turbulencia:

DNS (Simulación Numérica Directa) La técnica del DNS es la aproximación más exacta al estudio de la turbulencia y consiste en resolver las ecuaciones de Navier-Stokes instantáneas (en tres dimensiones) con sus 5 incógnitas (componentes de velocidad, presión y temperatura) en todo el domino espacial y temporal de la turbulencia. Por este motivo, es necesario reproducir mallas espaciales y temporales que abarquen las fluctuaciones que se producen con las escalas más pequeñas (escalas de Kolmogorov). Es útil para el caso de geometrias sencillas y números de Reynolds relativamente bajos, pero para geometrías complejas o números de Reynolds elevados el problema es desbordante al requerir tiempo de computo excesivo. La comunidad científica considera a los resultados obtenidos con DNS, equiparables con gran exactitud a los resultados experimentales.

Modelado de la Turbulencia Las siguientes técnicas que se presentan consisten en una aproximación estadistica al fenómeno de turbulencia. Esto implica la transformación y modelado de las ecuaciones de Navier-Stokes para conseguir u n sistema de ecuaciones más fácilmente tratable que presenten un ahorro computacional con respecto al DNS. Estas técnicas se describen a continuación:

I . LES (Simulación a Gran Escala) La filosofía de esta técnica esta basada en promediar las ecuaciones de Navier- Stokes (NS) volumétricamente, es decir, suponer propiedades medias en una región del espacio y unas fluctuaciones que caracterizan finalmente al fluido. Es un cálculo en general sobre 3D y es permitido usar volúmenes de control relativamente grandes. Para la solución de las escalas temporales el LES demanda de muchos incrementos de tiempo, esto permite, resolver las escalas temporales significativas de la turbulencia pero provoca que el costo computacional sea grande. Una alternativa para reducir el esfuerzo computacional es resolver las escalas más pequeñas de la turbulencia promediadas en el tiempo, con el fin de usar incrcmcntos de tiempo relativamente grandes. La técnica que permite esto. es la técnica del RANS, la cual se describe a continuación.

2. RANS (Simulación de las Ecuaciones de NS con Promedios de Reynolds) Esta técnica es las más utilizada en los casos de aplicación para altos números de Reynolds. Consiste en resolver las ecuaciones de Navier-Stokes promediadas cn el tiempo, es decir, reproducir las variables instantáneas del campo turbulento por una componente media más una componente fluctuante. Permite utilizar mallas temporales burdas, ya que no se solucionan las escalas de tiempo más pequeñas, por otro lado, se necesitan mallas espaciales refinadas sobre todo en la capa limite o

35

ECUACIONES DE CONSERVACION Y SU PROMEDIO TEMPORAL CAI+NJI.O z

zonas en donde existen fuertes gradientes de diversas variables. Ida técnica del RANS es la más usada en el ámbito de la ingeniería y es la utilizada en el presente proyecto de investigación.

Tanto la técnica del LES como del RANS están pensados para simular regiones con grandes números de Reynolds, es decir, zonas en las cuales la turbulencia es importante y presentan problemas en los cambios de régimen laminar a turbulento, como por ejemplo: en la capa limite donde la turbulencia aparece progresivamente a causa del cambio fenomenológico entre las fuerzas viscosas y las inerciales. Afortunadamente, en la mayoría de las aplicaciones el flujo mcdio cs el de mayor interés con respecto a las fluctuaciones turbulentas, especialmente en las aplicaciones ingenierilcs.

2.3.4 Simulación de la Turbulencia con la Técnica del RANS

Como se acaba de comentar, la técnica del RANS parte de la división de todas las variables instantáneas en un témino medio más un término fluctuante como se muestra en la ecuación (2.24). Esta aproximación estadística es conocida como la descomposición de Reynolds.

b = ? + d (2.24)

donde:

(2.25)

En la integración temporal se supone que At va ser grande en comparación con la escala media de las fluctuaciones (At >> 11, 11 = escala temporal de la fluctuación), para no filtrar el comportamiento transitorio de las fluctuaciones de la turbulencia; pero ha de ser pequeño en comparación con la escala temporal del flujo principal (At << /z, /Z = escala temporal del comportamiento medio) para tener en cuenta el posible Comportamiento transitorio de la componente media de la variable (Figura 2.1). De manera, que se puede considerar la evolución de las variables de turbulencia con el tiempo con una tendencia mcdia más una fluctuación sobre esta.

En otras palabras, se puede decir que la turbulencia es en algún sentido un fenómeno permanente cuando At + m, aunque tenga un campo de velocidades fluctuantes, estas fluctuaciones no son muy significativos en comparación con el valor medio y se considera transitoria cuando di >> t l y At << 12 [Pope, 20001.

A partir del concepto de la descomposición de Reynolds, se pueden deducir las ecuaciones de Navier-Stokes promediadas en el tiempo por sustituir las expresiones para cada variable y realizar un promedio temporal sobre toda la ecuación. Este tratamicnto de las ccuaciones dará como resultado cuatro ecuaciones de Navier-Stokes (conservación de masa y tres de momento) más una ecuación de la energía.

ECUACIONES DE CONSERVACION Y su PROMEDIOTEMPORAI. CAP¡'~LJLO 2

En otras palabras, se puede decir que la turbulencia es en algún sentido u n fenómeno permanente cuando At S, m, aunque tenga un campo de velocidades fluctuantes, estas fluctuaciones no son muy significativos en comparación con el valor mcdio y se considera transitoria cuando At >> 11 y At << 12 [Pope, 20001.

1

Figura 2.1 Representación de las escalas de tiempo de la variable 4

I

A partir del concepto de la descomposición de Reynolds, se pueden deducir las ecuaciones de Navier-Stokes promediadas en el tiempo por sustituir las expresiones para cada variable y realizar un promedio temporal sobre toda la ecuación. Este tratamiento de las ecuaciones dará como resultado cuatro ecuaciones de Navier-Stokes (conservación de masa y tres de momento) más una ecuación de la energía.

A continuación se muestran las ecuaciones promediadas en el tiempo en notación tensorial, para flujo incompresible y propiedades ficicas constantes (para más información sobre la deducción de las ecuaciones, ver el libro de Wilcox, 1993):

-= aU, O (2.26) axi

- ap a [ -1 p-+pu a;l, -al$ -=--+- ,u--puu +&(-E)

at Jia, ia, ia, (2.27)

(2.28)

37

ECUACIONES DE CONSERVACION Y su PKOMEDIO TEMPORAL CAl>I'lUI.O 2

Tal como se aprecia en las ecuaciones anteriores, no han tenido gran modificación. exceptuando que las variables principales son las componentes medias (la ecuación de continuidad permanece invariante).

A diferencia de la ecuación (2.17), la ecuación (2.27) tiene un término adicional. producto de las componentes aleatorias que son diferentes de cero. Este término para la ecuación de cantidad de movimiento es un tensor simétrico que introduce 6 nuevas incógnitas y es conocido como el tensor de esfuerzos de Reynolds (puiu; ). El cual, a diferencia de tensor de esfuerzos viscosos, este se origina por la transferencia de momento a partir del campo fluctuante de las velocidades.

A partir del tensor de Reynolds, se define la energia cinética turbulenta como u n mcdio multiplicado por la traza del tensor de esfuerzos turbulentos o tensor de Reynolds, tal como se indica a continuación. La energía cinética turbulenta, como se mostrará más adelante, cs muy utilizada a la hora de simular las ecuaciones de turbulencia debido a su relación con el fenómeno de turbulencia.

-

I(-,) ;- K=- UU f V V +WW =-U,%

2 (2.29)

Paralelamente, al tensor de Reynolds, aparece en la ecuación (2.28) un campo fluctuante de velocidades y temperaturas, el cual introduce 3 nuevas incógnitas ( pT'u; ).

Finalmente, después del promedio temporal de las ecuaciones de conservación de masa. momento y energia, han surgido 9 incógnitas adicionales a las 5 que ya se tcnían (son precisamente estas 9 incógnitas que permiten advertir las diferencias conceptuales entre régimen laminar y turbulento, es decir, las que imponen las diferencias entre las dos regímenes). En total se tienen 14 incógnitas por solo 5 ecuaciones y es inevitable la obtención de nuevas ecuaciones. Este problema es conocido en la literatura como el problema de cerradura.

Para obtener nuevas ecuaciones se introducen hipótesis simplificativas para obtencr los momentos de segundo orden en las ecuaciones de Navier-Stokes. Para ello. se hace uso del operador matemático dado como la ecuación (2.30) (ecuación de momento de Navier- Stokes igualada a cero) y es relacionada con las componentes fluctuantes de las velocidades a través de la expresión (2.3 I ) , de manera que se obtenga una ecuación diferencial para el tensor de esfuerzos.

-

at

au ax, aU ax, ax, a L 3 M(u)=p'+pu A+--- /I- = o (2.30)

(2.3 I )

38

API'IUILOZ

A partir de la ecuación (2.31) se obtiene la ecuación para el tensor de esfuerzos de Reynolds, esta se desglosa a continuación en sus diferentes términos como:

donde: - - , , auiui -au u

I J c.. =- +uk- ai ax k

a,,;. a U ) axk axk

E . . = 2v--

(2.32)

(Acumulación y transporte convectivo)

(Transporte difusivo)

(Producción a causa de los esfuerzos)

(Redistribución)

(Disipación)

El término 4'1 es el esfuerzo de presión, el cual promueve la isotropía de la turbulencia y es la disipación de los esfuerzos turbulentos, la cual es la encargada de la transformación de energía mecánica en calor en las pequeñas escalas de la turbulencia.

Nótese que si se toma la traza de la ecuación (2.32) y se divide por dos, se consigue la ecuación para la energía cinética turbulenta (ecuación 2.29). Cuando se toma la traza del

término de esfuerzo de presión, este se desvanece a cero (#,, = 2 - 2 = O ). debido a

continuidad. Entonces, se puede decir que el término de esfuerzo de presión en la ccuación (2.32) no agrega o destruye alguna energía cinética turbulenta. el solamente redistribuye la energía entre las componentes normales. Siguiendo el razonamiento físico de Hiiize (i975), q5,, actúa para reducir los grandes componentes de esfuerzos normales y distribuyc csta energía hacia otras componentes normales.

De la transformación matemática anterior se han obtenido 6 nuevas ecuaciones para el tensor de esfuerzos de Reynolds, pero también han aparecido 22 nuevas incógnitas debido a los nuevos tensores triples y a otras variables nuevas que han surgido ( I O debido a u,uJuk ,

- P au

P ax,

- , . 1

- , , a PU, 6 debido a E, y 6 debido a --)

&k P

39

ECUACIONES DE CONSERVACIÓN Y SU PROME0lO'~BMI'OKAI. CAI~fIU120 2

De lo anterior, es evidente la posibilidad de cerrar el problema de la turbulencia (mediante la aplicación de momentos de orden superior) debido a los términos no lineales de las ecuaciones de Navier-Stokes, ya que cada transformación incrementaria el número de nuevas incógnitas. Esto es lógico, ya que cada transformación matemática introduce un principio físico adicional (Wilcox, 1993).

Aplicando un procedimiento similar a la ecuación de la energía se llega a la misma conclusión.

Tal como se mostrará a continuación, en la mayoría de los modelos de la familia del RANS es usada la energía cinética turbulenta (K) y la disipación de energía cinéíica turbulenta (c) como base para la simulación de las incógnitas discutidas anteriormente. La diferencia entre cada modelo RANS radica en la manera como se toman las aproximaciones para las correlaciones desconocidas. Existen tres ramas para abordar el problema de turbulencia por la técnica del RANS: modelos de esfuerzos de Reynolds (Reynolds Stress Models), modelos de esfuerzos algebraicos (Algebraic Stress Models) y modelos de remolinos de viscosidad (Eddy Viscosity Models).

2.3.4.1 Modelos de Esfuerzos de Reynolds (RSM)

Este método es el más complejo de los modelos clásicos (también es conocido como el modelo de cerradura de segundo momento), tal como lo indica su nombre, se caracteriza por cerrar el sistema de ecuaciones a partir de la simulación directa de cada una de las incógnitas del tensor de Reynolds (ver la expresión 2.32) y la resolución de las 6 ecuaciones existentes para el tensor, pero como se mencionó anteriormente, la expresión (2.32) permite términos adicionales desconocidos. De las ecuaciones de Navier-Stokes se podría deducir expresiones de transporte para las cantidades desconocidas. pero incrementaría el número de incógnitas al sistema de ecuaciones diferenciales parciales. En vez de derivar nuevas expresiones, se utilizan modelos para los términos desconocidos en el tensor de esfuerzos de Reynolds. Como por ejemplo, la expresión dada por Daly y Harlow (1970) para la triple correlación en el término de difusión de la ecuación (2.32) como:

(2.33)

De acuerdo a la expresión anterior, además de las 6 ecuaciones para el tensor de Reynolds, se necesita un par de ecuaciones adicionales para el cálculo de la energía cinética turbulenta (K) y la disipación (&).Versteeg y Malalasekera (1995) señalan que la principal ventaja de los RSM es la exactitud con que se calculan las propiedades del flujo medio y todos los esfuerzos de Reynolds para simples y complejos flujos, pero los cálculos tienen u n elevado costo computacional (debido al número total de ecuaciones diferenciales parciales que se resuelven) y que además los modelos de RSM no están ampliamente validados como los modelos de remolinos de viscosidad (EVM).

40

ECUACIONES DE CONSERVACION Y SU PROMEOIOTIIMI’ORAL CAI’ITUI.ü 2

2.3.4.2 Modelos de Esfuerzos Algebraicos (ASM)

Los modelos de esfuerzos algebraicos son una manera económica de tomar en cuenta los esfuerzos de Reynolds sin resolver todos los términos de las ecuaciones de transporte de Reynolds. El elevado costo computacional de resolver los RSM es causado por el hecho de que los gradientes de los esfuerzos de Reynolds aparecen en los términos convectivos y difusivos en la ecuación (2.32). Rod¡ (1984) propuso la idea de que si los términos de transporte convectivo y difusivo son removidos o modelados, las ecuaciones de esfuerzos de Reynolds pueden ser reducidas a un grupo de ecuaciones algebraicas. El método más simple es despreciar los términos convectivos y difusivos. Un método más general es considerar que los términos convectivos y difusivos de los esfuerzos de Reynolds son función de la energía cinética turbulenta y su disipación, esto es:

r (2.34)

Los esfuerzos de Reynolds aparecen en ambos lados de la ecuación anterior, de lado derecho de la ecuación se encuentran en los términos de producción P,, así que u n grupo de seis ecuaciones algebraicas simultáneas (con seis esfuerzos de Reynolds desconocidos) se formará y podrá ser resuelto por la inversión de una matriz o alguna técnica iterativa si ~y E son conocidas. Por lo tanto, en los ASM se necesita resolver en con.junto u n sistema de ecuaciones algebraicas no lineales con un par de ecuaciones diferenciales parciales (ecuaciones de K Y E).

2.3.4.3 Modelos de Remolinos de Viscosidad (EVM)

Estos modelos son sin duda, los más populares en el mundo de la ingeniería, La técnica de los EVM consiste en la modelación de los esfuerzos turbulentos considerando una relación de estos con los gradientes de velocidad y la viscosidad turbulenta, la idea surge de la analogía del cálculo de esfuerzos viscosos en los flujos laminares. Esta hipótesis es conocida como la “Consideración de Boussinesq”. Estos son los modelos utilizados en el presente proyecto, los cuales serán comentados extensamente a continuación.

2.3.5

La alternativa que esta técnica utiliza es la de aproximar los términos del tensor de esfuerzos de Reynolds (puiu; ) a través de una viscosidad turbulenta @,), esto por analogía con la viscosidad molecular (Consideración de Boussinesq). Este concepto puede ser expresado como:

Modelos de Remolinos de Viscosidad (EVM)

-

41

IEUACIONES DE CONSERVACION Y su PROMEDIO TEMPORAL CAP¡'IIJI.O 2

(2.35)

En la ecuación anterior, pl, es la viscosidad turbulenta o remolino de viscosidad, la cual, en contraste con la viscosidad molecular (u), no es una propiedad del fluido pero depende fuertemente del estado local de la turbulencia y puede variar significativamente desde un punto a otro en el fluido. La introducción de la ecuación (2.35) por si sola no constituye un modelo de turbulencia, pero si proporciona el marco para construir uno. El principal problema es ahora, como determinar la distribución de la viscosidad turbulenta.

En la ecuación (2.35) la parte de isotropía está representada por (2/3)~6,, (esfuerzos -

normales) y la parte no-isotrópica esta dada por el tensora, =u;.uJ. -(2/3)x6, (esfiierzos tangenciales o cortantes). De acuerdo a la consideración de Boussinesq el tensor no- isotrópico es determinado por los gradientes de velocidad media (Pope, 2000):

(2.35)

En los modelos de remolinos de viscosidad, la viscosidad turbulenta es proporcio'nal a una escala de velocidad y a una longitud característica del movimiento turbulento, esto es:

En directa analogía al transporte de momento turbulento, los flujos de calor turbulentos o transporte de masa son considerados a estar relacionados a los gradientes de la cantidad transportada (analogía de Reynolds: similar a la ley de Fourier para conducción de calor o la ley de Fick para difusión molecular), esto es:

(2.38)

donde: TI es la difusividad turbulenta. AI igual que la viscosidad turbulenta, r I no es una propiedad del fluido pero depende del estado local de la turbulencia. De hecho. la analogía de Reynolds entre el transporte de calor o masa y transporte de momento sugiere que rl este relacionada a la viscosidad turbulenta a través de:

PI 01

r, =- (2.39)

Donde, UT es el número de Prandtl turbulento (transporte de calor) o número de Schmidt (transporte de masa). Resultados experimentales han mostrado que el OT varia ligeramente a

42

ECUACIONES DE CONSERVACI~N Y su PROMEDIO TEMPORAI, CAl'¡.l'[Jl&

través del flujo (Rodi, 1984). Por lo tanto, muchos modelos consideran en la ecuación (2.39) el número de Prandtl turbulento o Schmidt como una constante.

Una de las críticas más importantes es la consideración de isotropia para la viscosidad turbulenta, ya que la consideración de Boussinesq modela todas las componentcs del tensor de esfuerzos de Reynolds (en un mismo punto a un tiempo) con el mismo valor de viscosidad turbulenta, además la consideración permite que los esfuerzos no-isotrópicos dependan linealmente de los gradientes de velocidad (alineando los esfuerzos no- isotrópicos con los esfuerzos medios del tensor de esfuerzos viscosos). Esta consideración de isotropía es adecuada para muchos problemas de ingeniería, en los cuales los esfuerzos normales y cortantes son del mismo orden o muy pequeños en comparación con los términos inerciales y gradientes de presión. Sin embargo, existen problemas (thjos sobre superficies curvas, flujos en fluidos rotando, flujos con separación de capa límite, etc.) en los cuales, los modelos EVM son inexactos debido a la consideración de isotropía, la cual es una hipótesis muy restrictiva y una limitante de estos. Aunque actualmente. existen científicos dedicados al estudio de la turbulencia para corregir los efectos de isotropia en los EVM tales como Speziale y colaboradores (Speziale, 1987; Thangam y Speziale, 1992; Gatski y Speziale, 1993). Speziale es uno de los principales pioneros en proponer relaciones no lineales para el tensor de esfuerzos no-isotropico.

Para el cálculo de la viscosidad turbulenta (u,) se aplica la aproximación de modelo de turbulencia en cuestión en la técnica del RANS-EVM.

En la técnica del RANS-EVM existen modelos de cero ecuación, de una ecuación y de dos ecuaciones. Esta nomenclatura se refiere a la cantidad de ecuaciones diferenciales adicionales para cerrar el problema de turbulencia. De cada grupo de modelos, cxisten subgrupos, pero a efecto de realizar una introducción en el mundo de la turbulencia, solo se explicarán brevemente las características básicas de cada uno de ellos para pasar posteriormente a profundizar en los modelos de 2 ecuaciones (modelos usados en esta tesis).

Es interesante comentar que cada uno de los grupos de los modelos del RANS-EVM tienen como objetivo final, calcular o determinar la viscosidad turbulenta (,u,). Esto permitirá obtener el valor de los esfuerzos turbulentos con el fin de tener el número mínimo de expresiones para cerrar el problema de turbulencia.

2.3.5.1 Modelos de Cero Ecuación (EVM-O-Ecuación)

Estos son los modelos más simples de la familia de EVM; ya que no se resuelve ninguna ecuación diferencial, en vez de ello, se utiliza una ecuación algebraica para obtener la viscosidad turbulenta. Entre el desarrollo de estos modelos se encuentra la teoría de longitud de mezcla de Prandtl, la cual es desde 1925, la que dio pie al todavía popular entre ingenieros, el modelo de longitud de mezcla de Prandtl (Wilcox, 1993). Este modelo es el más simple de turbulencia y no requiere solución de ninguna ecuación de transporte de

43

CCVACIONES DE CONSERVACION Y SU PROMEDIO TEMPORAL CAPi’I‘UI.0 2

cantidades de turbulencia. En la hipótesis de longitud de mezcla, Prandtl considera que la es cala de velocidad es:

(2.40)

Entonces, sustituyendo la ecuación anterior en la ecuación (2.37) se obtiene una expresión para la viscosidad turbulenta como:

(2.41)

Donde “Y es la longitud de mezcla que representa la longitud de escala del flujo turbulento. Es conocido que ‘‘P puede tener diferentes formas para diferentes tipos de flujos. Por ejemplo, en el problema de capa limite sobre una pared, la relación de la longitud de mezcla es:

E=Ky (2.42)

Donde K es la constante de von Karman (0.41) y ‘y’ es la distancia desde la pared. Aunque la hipótesis del modelo de longitud de mezcla es fácil de usar y muestra buenos resultados para algunos problemas simples, el modelo tiene las siguientes desventajas:

E l modelo no puede predecir exitosamente problemas complejos en aplicaciones prácticas, tales como flujos recirculatorios que ocurren frecuentemente en ingeniería.

o El modelo implica que la viscosidad y conductividad térmica efectiva se desvanezcan donde los gradientes de velocidad son cero. Esto no es generalmente verdadero y puede producir resultados erróneos.

Finalmente, la hipótesis del modelo de longitud de mezcla no toma en cuenta los efectos de convección y difusión en el modelo.

2.3.5.2 Modelos de Una Ecuación (EVM-1-Ecuación)

Para sobrellevar las limitaciones de la hipótesis de longitud de mezcla, diferentes modelos de turbulencia han sido construidos, los cuales toman en cuenta cantidades de transporte de turbulencia al resolver alguna ecuación diferencial para ello. Un importante paso en el desarrollo de modelos que usan una ecuación diferencial fue relacionar la escala de velocidad con los gradientes de velocidad medios, en la cual se determina esta escala a partir de una ecuación de transporte. La escala de velocidad fisicamente más significativa es d”, donde es la energia cinética del movimiento turbulento definida por la ecuación (2.29). De acuerdo con la ecuación (2.29), K es una medida directa de la intensidad de las

44

CAl>I~I'UI.O 2 IEUACIONES DE CONSERVACI~N Y su PROMEDIO TEMPORAL

fluctuaciones de la turbulencia en las tres direcciones. Cuando la escala de velocidad, IC~"'

es usada, la relación para la viscosidad turbulenta queda expresada como:

P, = &,&e (2.43)

Donde, C, es una constante empírica. La ecuación anterior es conocida como la expresión de Kolmogorov-Prandtl, debido a que ellos la propusieron (Rodi, 1984). Ellos también sugirieron determinar la distribución de Ka través de su ecuación de transporte, con esto se inician los modelos de turbulencia de una ecuación. La ecuación diferencial para la energía cinética turbulenta se obtiene de sumar las componentes normales del tensor de Reynolds y dividir el resultado por dos (ecuación (2.29)), esto se puede obtener al tomar la contracción de la ecuación de transporte de esfuerzos de Reynolds (ecuación 2.32):

C , = d , + P , - € (2.44)

donde:

aK - a K c, =- + u .- at ax,

(Acumulación y transporte convectivo)

(Transporte difusivo)

- - auj P, = - u p . - ax,

aU;. aU) axi axi E = v--

(Producción a causa de esfuerzos tangenciales)

(Disipación)

En la ecuación (2.44), el cambio de la energía cinética turbulenta es balanceada por el transporte convectivo debido al flujo medio, el transporte difusivo debido a las fluctuaciones de velocidad y presión, la producción de K debido a la interacción de los esfuerzos de Reynolds y gradientes de velocidad media y la disipación de IC por la acción viscosa en calor.

La ecuación exacta de K no es usada tal como esta escrita en la ecuación (2.44) debido a que nuevas correlaciones desconocidas aparecen en los términos de difusión y disipación. Para obtener un grupo cerrado de ecuaciones, ciertas aproximaciones deben ser introducidas para estos términos. En analogía a la expresión de difusión (2.38) para una cantidad escalar, el flujo de difusión de K es a menudo considerado proporcional al gradiente de K, esto es:

45

ECUACIONES DE CONSERVACION Y SU PKOMEDIOTEMPOKAI. CAl'l'l'UI.0 2

1 ,ut ak -uj -+ -up , =--- P O , hj

donde, u, es una constante empírica de difusión.

La disipación E es usualmente aproximada por la siguiente expresión:

K 3 / 2 &=CD-- e

(2.45)

(2.46)

donde, CO es una constante empírica.

Entonces con las aproximaciones anteriores, la ecuación para la energía cinética turbulenta se puede escribir como:

- donde, -u;..) viene dado por la expresión (2.35) y la viscosidad turbulenta queda:

(2.47)

(2.48)

La ecuación (2.47), es la ecuación de transporte de la energía cinética turbulenta usada en muchos modelos de una ecuación para altos números de Reynolds. Los valores en la literatura para las constantes empíricas son: C,C,, = 0.08 (algunos autores escriben por simbología C,CD sólo como C, o CD, englobando las constantes como una sola) y q -- I (Launder y Spalding, 1972).

Los modelos de turbulencia de una ecuación con la ecuación diferencial (2.47) son restringidos para flujos con altos números de Reynolds (Re, = ~ 2 ' ~ !/,u) y no son aplicables a la subcapa viscosa cerca de una superficie sólida, es decir, para regiones donde el fluido es de régimen laminar. Actualmente se han propuesto diferentes extensiones de la ecuacibii (2.47) para tomar en cuenta los efectos viscosos, la extensión de la ecuación (2.47) se describirá en las próximas secciones.

2.3.5.3 Modelos de Dos Ecuaciones (EVM-2-Ecuaciones)

El principio fundamental de estos modelos es similar a los modelos de una ecuación, la diferencia es que adicionalmente a la ecuación de transporte de la energía cinética, turbulenta se usara también una ecuación de transporte para modelar la disipación de K a través de variables para la escala de longitud. Esto es debido, a que el proceso que influye

46

EClJAClONES OE CONSERVACidNY SU PROMEDIO TEMPORAL CAPi'l'UI.0 2

en la longitud de escala es la disipación, como el estrechamiento de vórtices y la llamada energía en cascada. El balance de todos estos procesos puede ser expresado eri una ecuación de transporte para e , la cual puede ser usada para calcular su distribución. Ida dificultad es encontrar una ecuación diferencial que sea ampliamente válida para la longiiud de escala e , con ello permitirá obtener un valor de ,u, que no requiera una expresióii algebraica semi- empírica. Esto es trascendental, ya que los modefos del RANS-EVM recae en la determinación de la viscosidad turbulenta. Entonces, en los modelos de dos ecuaciones se usan dos ecuaciones diferenciales, una para la energía cinética turbulenta y otra para la escala de longitud, estas ecuaciones están basadas en el comportamiento físico de variables tangibles al problema, con lo cual se tendrán mejores resultados que los modelos que están basados en relaciones semi-empíricas. La expresión típica para la viscosidad turbulenta es:

(2.49)

La escala de longitud se obtiene a partir de variables como K y E (o una variable conceptualmente equivalente como o o r). Entre las expresiones encontradas en la

literatura para la escala de longitud se tienen: ! K ' l 2 /w o ! a fíi'2~.

Dentro de las formas más comunes para la variable de disipación de K, se encuentran las propuestas como: E (Jones y Launder, 1972), la razón de disipación especifica (o (Wilcox, 1993), el tiempo de disipación turbulenta r(Thangam et al., 1992), entre otras.

El modelo utilizado en el presente trabajo de investigación es el modelo conocido como K-E, el cual se detallará a continuación.

K 3 / * / E ,

2.3.6 El Modelo Kappa-Epsilon (K-E)

Este es el modelo por mucho tiempo, el más popular en el campo de la ingeniería. Los primeros esfuerzos para desarrollar el modelo Kappa-Epsilon están basados en el modelo de Chou (i945), Davidov (1961) y Harlow y Nakayama en 1968, pero el papel central en el desarrollo del modelo K - C ~ S para Jones y Launder (i972), quienes hicieron la popularidad de la aproximación de Boussinesq y Reynolds en la comunidad del modelado de turbulencia. El modelo es conocido como el modelo standard K-c y la referencia al articulo de Jones-Launder es a menudo omitida. Lo que caracteriza este modelo es la variable, c, la cual tiene interpretación física directa y es la razón de disipación de energía cinética turbulenta ~ ( W i l c o x , 1993).

a] a; La disipación de energía cinética turbulenta, E = "-- , tiene dimensiones de

( e / Z ) , depende de la viscosidad del fluido y por lo tanto es una propiedad disipaiiva

aj a,i 2 3

47

CAI~~~I-IJILO 2 IEUACIONES DE CONSERVACi6N Y SU PROMEDIO TEMPORAI.

que expresa la disipación que se lleva a cabo en las escalas más pequeñas de la turbulencia (en el intervalo disipativo de las escalas de Kolmogorov).

Para la formulación del modelo IC-E, la idea es primero presentar la ecuación exacta para c y posteriormente comentar acerca de las aproximaciones de cerradura para los nuevos términos que aparecen en la ecuación de E. La ecuación exacta para E es derivada al tomar el siguiente momento de la ecuación de Navier-Stokes (Gatski et al.- I996), esto cs:

au) a ¿bc,

2v--[M(u,)]= o (2.50)

donde, M ( u , ) es el operador matemático de la ecuación de Navier-stokes. Después de una considerable manipulación algebraica, resulta la siguiente ecuación para E:

A = B + C + D (2.5 I)

donde:

. . . .

Donde, “A” representa la acumulación y transporte convectivo de la disipación. “B” es la producción y disipación de la disipación, ‘‘(7 es la difusión molecular de la disipación y “D” representa el transporte turbulento de la disipación.

Como se puede apreciar, la ecuación (3.51) es más complicada que la ecuación de la energía cinética turbulenta e involucra nuevas correlaciones dobles y triples de fluctuaciones de velocidad, presión y gradientes de velocidad desconocidas. Estas correlaciones son esencialmente imposible de medir con cierto grado de exactitud, así que varios investigadores han tratado de representar las correlaciones con razonamiento fisico y análisis dimensional para hacer la ecuación de E tratable. Por lo tanto, las relaciones empíricas de cerradura para la ecuación de E, normalmente son parametrizadas con base en

48

ECUACIONES DE CONSERVACION Y SU PROMEOIO'I'BMPORAI. CAIBITiII.O 2

las escalas de los remolinos de turbulencia, lo cual se realiza a través del análisis dimensional (Wilcox, 1993).

Finalmente, las ecuaciones del modelo estándar K-Edadas por Jones y Launder (1972) son:

Ecuación de energía cinética turbulenta, K:

d K - a K 8 ,U, d K -8; P- al + Pu. I - ax, = -[ ax, (P +&-I - P W j axJ - P&

Ecuación de disipación de energía cinética turbulenta, E:

(2.52)

(2.53)

Ecuación de viscosidad turbulenta:

2

&

K P, = P C r - (2.54)

Los valores standard de todos los coeficientes de cerradura del modelo son (Rodi, 1984; Pope, 2000):

C,, = 0.09 c,, = 1.44

cTk = I .o C,, = 1.92

0,=1.3

(2.55)

2.4 CONCLUSIONES

Se presentaron las ecuaciones de Navier-Stokes en conjunto con la ecuación de energía y su promedio temporal para tomar en cuenta los efectos de turbulencia. Se mostraron las tres ramas para abordar el problema de turbulencia por la técnica del RANS: modelos de esfuerzos de Reynolds (RSM), de esfuerzos algebraicos (ASM) y de remolinos de viscosidad (EVM). Finalmente se enfatizó en la familia de EVM, en especial, cl modelo standard K-E, el cual es el modelo utilizado en el presente proyecto.

49

MODELO FiSlCO Y MATEMAlICO CAPI'NJLO 3

CAPÍTULO 3 MODELO FÍSICO Y MATEMÁTICO

En este capítulo se presentan los modelos físicos y sus suposiciones correspondientes, así como la formulación matemática de cada uno de los modelos físicos considerados. Se inicia con el modelo físico completo de la cavidad con pared semitransparente para la transferencia de calor conjugada (conducción, convección y radiación), se formulan las ecuaciones gobernantes para el modelo completo, las cuales son las ecuaciones de conservación de masa, momento y energía promediadas en el tiempo, estas tienen acopladas en la frontera los efectos radiativos y conductivos. Después, se divide el modelo en tres modelados, primero sólo para la transferencia de calor por convección natural en una cavidad calentada diferencialmente, segundo el modelo de intercambio radiativo en el interior de la misma cavidad y un tercer modelo para la transferencia de calor por conducción en la pared semitransparente. Finalmente, se describen los parámetros que indican el comportamiento térmico del modelo físico completo.

3.1 MODELO FISICO DE LA CAVIDAD CON PARED SEMITRANSPARENTE

En climas cálidos, el paso de la luz solar a través de las ventanas de vidrio provoca en las habitaciones ganancias de calor al interior, y por lo tanto un aumento de la temperatura del aire, por lo que para mantener una temperatura de confort en el interior de las habitaciones, se utilizan sistemas de aire acondicionado. E l uso de acondicionamiento de aire, en esos climas, implica altos costos en cuanto a consumo energético y mantenimiento. Para reducir este consumo de energía, se han desarrollado y continúan desarrollándose tecnologías avanzadas de vidrios, que consisten en el depósito de películas sobre estos. Las películas fabricadas con materiales semiconductores para controlar espectralmente la entrada de luz solar a las habitaciones.

Cuando la radiación solar incide sobre una película de control solar adherida al vidrio, parte de la energía incidente se refleja, parte se absorbe y parte se transmite, dependiendo de las propiedades ópticas del sistema vidrio-película. Debido a lo anterior, un porcentaje importante de la radiación solar incidente es absorbido y reflejado, disminuyendo la cantidad de radiación solar que atraviesa hacia la habitación.

Un recubrimiento de control solar ideal para climas cálidos, implica una alta transmisión de luz y baja reflectancia en el espectro del visible (0.38-0.78 pm), una alta reflexión solar en el infrarrojo (> 0.78 pm). Por lo que, un controlador solar ideal tendría aproximadamente una transmitancia entre 10-50% y una reflectancia menor al 10% en el intervalo visible, así como una reflectancia aproximada al 90% en el infrarrojo (IS0 9050, 2003). Estas características proporcionan una adecuada iluminación natural en el interior de una edificación, mientras que rechazan gran parte de la radiación incidente, de esia manera se reduce la carga térmica y por consecuencia, los costos de enfriamiento de la misma p a i r et al., 1989).

50

MODELO FiSlCO Y MATEM~TICO CAl~¡lWl.O 3

Aunque la transmisión de energía directa hacia el interior disminuye, la absorción de energía solar en la ventana aumenta produciendo una elevación de la temperatura en el sistema vidrio- película. La cantidad de energía solar absorbida por el vidrio y la película hace que la temperatura de esta pared se incremente, y dependiendo de las temperaturas del aire interior y exterior, se producirá flujo de calor hacia el interior y exterior de la habitación. Debido a la diferencia de temperaturas entre las capas del fluido adyacentes a la película de control solar, hace que la densidad del fluido adyacente a la pared cambie (disminuya) y provoque el desplazamiento del fluido debido a las fuerzas de flotación. En el interior, al calentarse la pared semitransparente emite energía radiante hacia las otras paredes y al fluido. La energía transmitida llega a las paredes interiores de la cavidad adicionalmente a la energía emitida por las otras paredes, y debido a que, las paredes tienen una cierta absortancia, parte de esta energía es absorbida. Todo este proceso crea un calentamiento diferencial en las paredes de la cavidad provocando el movimiento del fluido. Debido al tamaño de las habitaciones y diferencia de temperaturas, el movimiento del aire en las habitaciones es de régimen turbulento. De esta manera hacia el interior de la habitación se tendrá, además de la energía solar transmitida directamente a través del sistema vidrio-película, el flujo de calor por convección natural y radiación y hacia el exterior se tendrá la energía reflejada por la ventana más el flujo de calor del sistema vidrio-película e intercambio de calor por convección y radiación con el medio ambiente. Debido a este efecto térmico, la temperatura y el movimiento del aire en una habitación se modificarán con respecto a una habitación que solamente utilice un vidrio claro sin ningún tipo de recubrimiento.

Para realizar una investigación en detalle, cuantificando los efectos que sobre el fluido tiene este fenómeno térmico, este estudio considerará a una habitación como una cavidad bidimensional compuesta por dos paredes horizontales adiabáticas, una pared vertical isotérmica y una pared semitransparente compuesta por un vidrio con un recubrimiento de película de control solar adherida en la cara del vidrio que mira hacia el interior de la cavidad. Se supone que en el interior de la cavidad se encuentra aire, que inicialmente esta a una temperatura uniforme y en reposo; y que la energía solar incidente llega en forma normal a la pared semitransparente.

La validez de la suposición de las paredes adiabáticas puede ser justificada por el hecho de que en un edificio las temperaturas promedios de la habitación superior y la habitación inferior son aproximadamente a la temperatura media de la habitación intermedia, por lo tanto, el flujo de calor puede considerarse nulo (Figura 3.1). Como la pared vertical izquierda podría no ser adiabática, ya que podría existir un potencial térmico entre las dos habitaciones conjuntas, se asume que esta pared es isotérmica (Álvarez. 1994). Se considera que la radiación solar incidente normal sobre la pared semitransparente vidrio- película (pared vertical derecha), parte de esta radiación se refleja, parte se transmite y parte es absorbida por el sistema.

En la Figura 3.2 se presenta el modelo fisico de la cavidad cuadrada con una pared semitransparente descrita anteriormente.

51

MODELO FISICO Y MATEMÁTICO CAPf'IUI.0 3

Aislado

, I.. -. . . . . . .

Aislado Hx

Figura 3.1 Esquema representativo de un edificio

Figura 3.2 Modelo físico de la cavidad cuadrada con pared semitransparente

El movimiento del fluido y la transferencia de calor en la cavidad se puede modelar a partir de las ecuaciones de conservación de masa, momento y energía. Las consideraciones que se realizan son las siguientes:

I . 2. 3.

4.

5 .

6 .

7.

8.

9.

Los procesos de transferencia de calor en el fluido se suponen bidimensionales. El fluido se supone newtoniano y el flujo es turbulento. La aproximación de Boussinesq es válida, esto es, las propiedades termofísicas del fluido son constantes excepto la densidad, la cual varía con la temperatura en el término de flotación en las ecuaciones de conservación de momento. Los procesos de transferencia de calor en la pared semitransparente se consideran bidimensionales. Las paredes opacas y semitransparentes son consideradas emisores grises, difusos y reflectoras de radiación. El flujo de radiación incidente en la pared semitransparente se considera normal a la superficie. Las propiedades termofisicas del aire y de la pared semitransparente se consideran constantes en el intervalo de temperatura considerado. Las propiedades ópticas (reflectancia, transmitancia y absortancia) se consideran independientes de la longitud de onda y de la temperatura. El fluido se considera radiativamente no-participante.

La primera consideración de bidimensionalidad para modelar una habitación, considera que la habitación es muy alargada de tal manera que es válido que un corte transversal alejada de los extremos proporcione información sobre el fluido y la transferencia de calor del aire y el sistema vidrio-película. Esta consideración simplifica el problema debido a que el considerar una geometría en tres dimensiones agregará considerablemente la complejidad del problema e incrementara el tiempo de cómputo de la solución, mientras que por el otro

52

C A P ~ T ~ J L O 3 MODELO FlSlCO Y MATEMÁTICO

lado podría ser que la aportación al mismo no fuera substancial. También los procesos de turbulencia son por naturaleza un fenómeno muy complejo en tres dimensiones. Por io tanto, la consideración de bidimensionalidad representa una aproximación para lograr u n mejor entendimiento del pioblema. La segunda consideración de flujo newtoniano cuando el fluido es aire es válida considerando aire seco (Álvarez; 1994, Murakami; 1987, Larson; 1972). La aproximación de Boussinesq toma en cuenta la variación en los términos de flotación pero la desprecia en los términos inerciales de las ecuaciones de momento (Gray et al., 1976).

La cuarta suposición es una extensión de la consideración de Álvarez ( 1 994), en cual se justifica la unidimensionalidad de la pared semitransparente, debido a que el espesor de esta pared es muy pequeño (6 mm) comparada con las dimensiones de la cavidad. Sin embargo, en esta ocasión se considera la pared semitransparente en 2-D.

Álvarez (1994) reporta que una ventana con vidrio refleja de forma difusa, esto es, dentro de una cavidad usualmente hay reflexiones múltiples y la direccionalidad de cada reflexión pierde su importancia en la contribución de los flujos de calor sobre sus fronteras, por lo tanto la consideración cinco es justificable.

Como una aproximación se considera al flujo incidente de radiación solar normal. Por lo general, la radiación solar incide oblicuamente sobre las ventanas, por lo que la normal al vidrio será la componente normal de esa radiación incidente, además de que la radiación solar incidente es variable en el tiempo. Para este estudio, por simplicidad, se considera un valor constante.

Las consideraciones siete y ocho son adoptadas en forma frecuente en el intervalo de temperaturas donde operara el sistema. Las propiedades Ópticas se considerarán las reportadas como las promediadas en el intervalo de longitud de onda @air et al., 1991).

La Ultima consideración se justifica ya que se supone que el aire tiene u n bajo contenido de humedad y por lo tanto es considerado que no absorbe energía radiante.

Se considera que la radiación solar que incide en forma normal al vidrio tiene u n valor constante de AM2 (750 W/m2). El espesor del vidrio es considerado de 6mm con un recubrimiento SnS-Cu,S cuyas propiedades son reportadas en la Tabla 3.4. La temperatura de la pared fría T2 se considera a 21°C (294 K) y la temperatura de la pared caliente (pared semitransparente) TH se considera como el valor promedio alcanzado por la pared.

3 . 2 ~ 0 ~ ~ ~ 0 MATEMÁTICO DE LA CAVIDAD CON PARED SEMITRANSPARENTE

3.2.1 Ecuaciones Gobernantes

Las ecuaciones de conservación para el problema de convección natural con flujo turbulento en la cavidad con pared semitransparente, se resumen en las ecuaciones

53

MODELO FISICO Y MATEMATICO CAPhUI..O 3

promediadas de masa, momento y energía. Las ecuaciones en forma tensorial son las siguientes y están reportadas por Pérez-Segarra et al. ( 1 995) como:

aU -=o ax

donde, las expresiones para el tensor de esfuerzos y el flujo de calor son:

(3.3)

Donde: x, es la coordenada cartesiana en la dirección i (x, = x, x2 =y) , I es el tiempo, I,, es la velocidad media en la dirección i (u, = u, u2 = v), P es la presión media, T es la temperatura media, g, es la aceleración gravitacional en la dirección i (g , = O, gz = -g), es la temperatura de referencia, p es la densidad, ,u es la viscosidad dinámica, P es el coeficiente de expansión térmica, A es la conductividad térmica y C,, es el calor específico a presión constante. Las fluctuaciones turbulentas para la velocidad en la dirección x, y la temperatura son indicadas por u , y T .

Del Capítulo 2, sección 2.3.5, considerando los modelos de remolinos de viscosidad (EVM) para evaluar los esfuerzos turbulentos y los flujos de calor turbulentos, por analogía con la ley de viscosidad de Stokes y la ley de conducción de Fourier, los esfuerzos y flu.jos de calor turbulentos son escritos como:

(3.6)

Donde: ,u, es la viscosidad turbulenta, cT es el número de Prandtl turbulento y 4, es la delta de Kronecker. El número de Prandtl turbulento es usualmente tomado como una constante

54

MODELO FISlCO Y MATEMATICO CAP~.IIJI.O 3

(en el presente trabajo de investigación se usó u n valor CT = 0.9). La viscosidad turbulenta esta relacionada con la energía cinética turbulenta ( K ) y la disipación de energía cinética turbulenta (E) por medio de la expresión empírica de Kolmorogov-Prandtl (Pope, 2000). La energía cinética turbulenta y la disipación de energía cinética turbulenta son obtenidas de sus ecuaciones de transporte. Aunque la forma exacta de estas ecuaciones como resultado de las ecuaciones de Navier-Stokes, usa necesariamente expresiones empíricas en algunos términos. Las ecuaciones resultantes IC-E , en conjunto con la expresión de Kolmogorov-Prandtl pueden ser escritas tomando los efectos de bajo número de Reynolds como:

(3.9)

Donde: la variable z?, definida como Z = E - D / P es introducida en algunos modelos de turbulencia por conveniencia cornputacional para tener un valor de cero en la pared para F. La producción cortante y la producción/destrucción _ _ de flotación de la energía cinética turbulenta son respectivamente: P, = -puiu,&, /&, y G, = -ppu;T'g,. En estos términos los esfuerzos y los flujos de calor turbulentos son usualmente evaluados usando las relaciones dadas por las ecuaciones (3.6) y (3.7) (una excepción es el modelo turbulento de lnce y Launder, 1989).

3.2.2 Condiciones Iniciales y de Frontera para las Velocidades y Temperatura

Las condiciones iniciales en la cavidad son de temperatura uniforme (promedio de la temperatura de la pared fria y la pared caliente) y el aire se encuentra en reposo.

(3.1 I )

Las condiciones de frontera para las velocidades son de no-deslizamiento en las paredes. Las condiciones de frontera de temperatura son: las paredes horizontales (superior e inferior) son adiabáticas, la pared vertical izquierda se encuentra a una temperatura dada (pared isotérmica) y en la pared semitransparente (pared vertical derecha) se considera conducción de calor a través de ella, esto es:

55

MODELO FiSlCO Y MATEMATICO C A ~ ~ I T U L O 3

Las condiciones de frontera hidrodinámicas son:

u(0, y, t ) = u(& y , t ) = o u(x,O,t)=u(x,Hy,tt)=0 v(O,y,t)=v(Hx,y,t)=O v(x,O, t ) = v(x,Hy, t ) = o

Las condiciones de frontera de temperatura son:

Para la pared horizontal inferior (pared I):

Para la pared vertical izquierda (pared 2):

Para la pared horizontal superior (pared 3):

(3.12)

(3.13)

(3.14)

(3.15) - -3

Para la pared vertical derecha (pared 4: pared semitransparente):

(3.16)

Los flujos de calor qcd,,, ,qcá,, ,qcd,~, representan la conducción de calor desde la superficie interior de la cavidad hacia el fluido de las paredes 1,3 y 4 respectivamente. Los flu.jos de calor q, ,q,, ,q,4 son los flujos resultantes del intercambio radiativo neto entre las paredes, estos flujos corresponden a las paredes 1, 3 y 4. Por Último, qCds es la energía conducida a través de la pared semitransparente.

3.2.3 Modelos de Turbulencia: Valores Empiricos y Condiciones de Frontera

Los modelos de turbulencia implementados en este estudio pueden ser divididos en dos categorías: i) modelo de turbulencia standard K-E con funciones de pared, ii) modelos de turbulencia K-&de bajo número de Reynolds.

i) Modelo de turbulencia estándar K-E usando funciones de pared (SWF). Los siguientes valores empíricos y condiciones de pared son normalmente usados para problemas de convección (Heyerichs y Pollard, 1996 y Henkes y Hoogendoorn, 1992):

56

CAPI'I'UI. 3 MODELO FISiCO Y MATEMATICO

Modelo fu f, .h HH 1 .o I .o I .o J L exp(-2.5/( 1 +Re/50)) I .o I -0.3exp(-~e:)

I -0.3exp(-Re?) CH 1 -exp(-O.Oi I 5xfn) I .o I -0.222exp(-[ReI16J2) IL exp(-3.4/( 1 +Rel/50)') I .o 1 -0.3exp(-Re:)

- LS exp(-3.4/( I +Re,/5 O)') 1 .o

C,, = 0.09, C/,= 1.44, CzC = I .92, Cj6 = tanh I v/u I

or = 1 .o, o,= 1.3, OT= 0.9

f;,=fi=.h= 1.0, D=E=O.O

K = 0.0 en la pared.

Henkes y Hoogendoorn (1992) sugirieron usar una condición de primera clase en la pared para la disipación de energía cinética turbulenta ( E = m, un valor grande), modelo de turbulencia [HH].

ii) Modelos de turbulencia K-E de bajo número de Reynolds. Los siguientes modelos han sido implementados: Jones y Launder, 1972 [JL], Launder y Sharma, 1974 [LS], Chien, 1982 [CHI, Ince y Launder, 1989 [IL]. Los modelos serán referidos con la simbologia entre corchetes. La diferencia entre ellos son las funciones empíricas (funciones de salto)& , J , f2 , los términos extras D, E y las constantes empíricas. Todos estos modelos especifican a IC = O y En las Tablas 3.1, 3.2 y 3.3 se muestran las condiciones de frontera, las constantes, las funciones de salto y los términos adicionales de los modelos de turbulencia K-E usados en el presente estudio.

= O en la pared.

Tab IC-E.

57

MODELO FiSlCO Y MATEMAIICO CAPIIUI.0 3

Modelo HH JL LS CH

1L

D E 0.0 0.0

2p(aKln/&,)2 (2ppJp)( 8UJ&,2)*

2p( aKl’2/&,)2 (2pp,/p)( duJ¿3;,2)2

1 )( d’2/&C,XJ2(2/K)

2puidx,z -2p((c/x,’)exp(-0~x ’ ,,I (2pp,/p)( 8~,/&;)~+0. 83p( d’z/cc,x,,-

2p( aKJ

El modelo IL usa las mismas constantes empíricas, términos extras y condiciones de frontera como el modelo LS, sin embargo introduce dos nuevas características: i) los flujos de calor turbulentos en el término G, son evaluados por medio de la hipótesis del gradiente de difusión generalizado (GGDH), esto es: p ~ = - C B ( K / E ) P U ] U k a T / a X k y ii) en la ecuación de disipación de energía cinética turbulenta la corrección de YAP es introducida como un término adicional. Para el modelo IL se tiene que c, = 2.5 y cg= (3/2)(CJJoT). El valor x, usado en alguno de los modelos representa la distancia (dirección normal) a la pared más cercana. La distancia adimensional x’, es definida usualmente como xi,, = px,u,Jp, donde ur es la velocidad de fricción. El número de Reynolds turbulento se define como: Re, = p~?/p&.

Para aproximarnos al problema completo de transferencia de calor turbulenta con,jugada (convección-radiación-conducción) en una cavidad con pared semitransparente, lo dividiremos en tres casos y posteriormente acoplarlos. Los casos son: a) convección natural turbulenta en una cavidad calentada diferencialmente, b) intercambio radiativo en una cavidad con paredes opacas y c) conducción de calor a través una pared semitransparente compuesta por un vidrio más una película de control solar.

-

3.3 MODELO DE LA CONVECCI~N NATURAL TURBULENTA EN UNA CAVIDAD CALENTADA DIFERENCIALMENTE

Se considera la transferencia de calor en una cavidad calentada diferencialmente con paredes opacas, con las paredes horizontales aisladas y las paredes verticales isotérmicas. en las fronteras las paredes tienen la condición de no-deslizamiento, como se muestra en la Figura 3.3. Las consideraciones son: Flujo turbulento en 2-D, incompresible, cavidad cuadrada de dimensiones Hx, aproximación de Boussinesq.

Las ecuaciones de conservación para el problema, son las ecuaciones promediadas en el tiempo de masa, momento, energía, energía cinética turbulenta y disipación de energía cinética (Henkes et al., 1991 y Barakos et al., 1994):

(3.17)

58

CAl>lTIJI.O 3 MODELO FISK0 Y MATEMÁIICO

- +u- +v- =--- +- & -' -a; ' " '[( v+- &)'I - +- '[I( v+- ' I ] ' ] - +- '[[ "f- ")'] - +- '[[í "+- - (3.18) ay P a & P a ay P a y a píbc ay

-+u-+v-=---+- a; - a i -ai 1 a7 a [ [ v+- ,+)a;] - +- a [ [ "f- ;);j - +

at a ay P a y & P h a y

-+u-+-=- [ ( -ab -a a vi-)-]+.[! a k a v+-)-]+4 cG, - E

at íbc a y & p q & pa, 9

- " +u-+v-=- -" -" a [( v+- pf )"l.-[[v+-)-]+[Cl~(s - +C,,G,)-C,,E]; E a ay PO, 2% ay Pa, ay

(3.19)

(3.20)

(3.21)

(3.22)

donde:

k2 ' f =CpPE

X i i r / & = O

Figura 3.3 Cavidad calentada diferencialmente

(3.23)

59

(3.24)

( 3 . 2 5 )

Las condiciones en la frontera para la velocidad son similares a las dadas en la sección 3.2.2. Para la temperatura, se consideran las dos paredes horizontales adiabáticas y las dos paredes verticales isotérmicas. La pared vertical izquierda (pared 2) se encuentra a una temperatura más baja, T2, (pared fría) que la temperatura de la pared opuesta, T,, (pared caliente). Las condiciones de frontera para la energía cinética turbulenta (k) y para la disipación de energía cinética turbulenta (E ) se encuentran en la Tabla 3.1 para el modelo HH.

3.4 MODELO DE LA TRANSFERENCIA DE CALOR POR RADIACIÓN EN LA CAVIDAD CONSIDERANDO PAREDES OPACAS

Se considera la transferencia de calor de la misma cavidad cuadrada de ancho Hx de la sección anterior, tal como se muestra en la Figura 3.4. Las superficies de la cavidad se suponen opacas difusas y se consideran que intercambian calor por radiación térmica. En esta figura se señalan un par de áreas diferenciales sobre las paredes I y 2 para referenciar en un análisis posterior.

dA j

2

qr. i Figura 3.4 Geometría de la Cavidad Cuadrada

La transferencia de calor por radiación sobre una superficie se define como la diferencia entre la radiación que sale de la pared (radiosidad) y la que llega a dicha pared (irradiancia).

60

MODELO FISICO Y MATEMATIC0 CAl>iTIII.O 3

Por lo tanto, realizando un balance sobre el elemento diferencial dAk, localizado en rk sobre la pared I (Figura 3.4), se tiene el flujo de calor resultante para la pared I:

Donde la radiosidad (flujo radiativo de salida) se define para una superficie opaca difusa como la suma de la energía emitida y la energía reflejada por la superficie. Por lo cual la radiosidad se escribe:

90, (x i = w~~~ ( x i ) + Piqi, ( x i (3.27)

El flujo radiativo que llega a la superficie (irradiancia) se define como la suma de las fracciones de energía que salen de otras superficies y llegan a la superficie analizada. El flujo radiativo incidente sobre una superficie es:

(3.28)

donde q , , / ( x / ) es la radiación térmica que le llega a la pared que esta compuesta por la fracción de energía que sale de las otras paredes y que pega en la pared 1 . x I representa la posición sobre la pared 1, Des la constante de Stefan-Boltzmann, E/ y pI es la emitancia y reflectancia de la pared 1 y se suponen independientes de la temperatura. q , / ( x / ) es la radiosidad (flujo de salida) que se define como la razón de calor radiativo que sale de la superficie por unidad de área y dFdA,dd, es el factor de forma. Los factores de forma para las cuatro paredes de la cavidad están reportados por Álvarez y Estrada (2000). Entonces sustituyendo la ecuación (3.28) en la ecuación (3.27) y las relaciones de los factores de forma se obtiene la radiosidad de la pared I como:

Análogamente para la pared 2 (pared semitransparente) se tiene:

9 , , ( Y 2 ) = 4 0 , ( Y 2 ) - 4 i , ( Y 2 )

(3.29)

(3.30)

(3.3 I )

61

. . ~ . .. - - . .. ~ . . ... . . ~

CAPh'III.0 3 MODELO FiSlCO Y MATEMÁTICO

m

q i , ( Y 2 ) = jq ,J , (x , )dFc+d, + r,r,G A , ,=I

Entonces la radiosidad de la superficie 2 es:

(3.32)

(3.34)

(3.35)

(3.36)

Entonces la radiosidad de la superficie 3 es:

(3.38)

62

CAPI~I'UI.0 3 MODELO FISlCO Y MATEMÁTICO

(3.40)

Entonces la radiosidad de la superficie 4 es:

3.5MODELO DE LA TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONDUCCIÓN A TRAVÉS DE UNA PARED SEMITRANSPARENTE

Para calcular la distribución de temperatura al interior y al exterior de una pared semitransparente compuesta por un vidrio con una película de control solar, se considera el balance diferencial de energía en la pared semitransparente de 6 mm mostrada en la Figura 3.5, donde la temperatura exterior To es controlada por las condiciones ambientales y la temperatura í", es la temperatura en el interior.

HY

X

qci

\

Ti

qri

t- Lx --I Figura 3.5 Modelo físico de la pared semitransparente

63

C A l h J I . 0 3 MODELO FiSlCO Y MATEMATIC0

La ecuación de transferencia de calor a través del elemento diferencial está dada como:

(3.42)

La condición inicial en la pared semitransparente es:

T, (x, Y a = Tin; (3.43)

Las condiciones de frontera son: las paredes horizontales (superior e inferior) son adiabáticas y las paredes verticales se encuentran intercambiando energía por convección y radiación hacia el interior y exterior de la pared. Por lo tanto las condiciones se pueden escribir como:

Para la pared horizontal inferior:

= O aT, (x,O, 1 )

41

Para la pared vertical izquierda:

Para la pared horizontal superior:

= O dTg b, HY, 1 )

í31

Para la pared vertical derecha:

(3.44)

(3.45)

(3.46)

(3.47)

donde O es la función de atenuación de energía por absorción y dispersión y depende del coeficiente de extinción del vidrio (sp) como (Modest, 1993):

o(.) = Gexd- sg (k- x)j (3.48)

El espesor de la película es despreciable (= 6 pm) comparado con el espesor del vidrio. Para determinar la temperatura de la película T/de control solar se realiza un balance de energía en la película:

64

CAI~~I~JLO 3 MODELO FISICO Y MATEMATIC0

h,=l.4 WImK

Dens, = 2500 kg/m3 Cp, = 750 JIkgK

(3.49)

a~=(l-a,)A'lIOO=0.55

p f= l-rf-af= 0.26 Tf'= TSiS, I TE = o. I9

donde ?= T,(O,y,tj

Para este modelo de conducción de calor a través de la pared semitransparente, se considera la radiación solar incidente en forma normal al vidrio con u n valor constante AM2 (750 W/m2). La radiación solar AM2 es considerada de esta forma debido a que los datos de las propiedades Ópticas de los filtros de control solar fueron medidos bajo esta condición.

Otra consideración es el valor para los coeficientes de transferencia de calor por convección, el cual se supone de 6.8 W/m*K para una velocidad de 3 mls en el exterior a temperatura ambiente y de 6.2 Wím2K en el interior (cuando se presente sólo la simulación de la pared semitransparente), este último valor es razonable si se considera un sistema de aire acondicionado que puede inducir aire a 2.5 m/s (ASHRAE, 1977).

La mayoría de las propiedades ópticas de los recubrimientos de control solar se miden sobre vidrios con espesor de 1 mm. En las aplicaciones reales estas películas generalmente se depositan sobre vidrios con espesor de 6 mm. Cuando se aplican los recubrimientos sobre un vidrio de 6 mm de espesor, la reflectancia del sistema es la misma: pero la absortancia se compone de un porcentaje debido al vidrio y otro debido al recubrimiento. En la Tabla 3.4 se muestran las propiedades Ópticas de la película de control solar considerada SnS-Cu,S p a i r et al., 1991), así como también las propiedades termofisicas usadas en este trabajo para la determinación del campo de temperaturas en la pared semitransparente.

Tabla 3.4 Prouiedades óoticas y termofisicas de u n vidrio de

3.6 Parsmetros para el Comportamiento Térmico

Desde el punto de vista de interés práctico e ingenieril, para determinar el efecto de la transferencia de calor por convección y radiación al interior de la cavidad se define el número de Nusselt convectivo (Nuconv) y Nusselt radiativo NU,^).

65

CAI~I~ I iJ I .0 3 MODELO FiSlCO Y MATEMÁTICO

El número de Nusselt a través de un sistema se define como la razón de la magnitud de transferencia de calor por convección o radiación con respecto a la magnitud de la transferencia de calor que existiría en el mismo sistema por pura conducción, esto es (Oosthuizen y Naylor, 1999):

(3.50)

donde, qcond=/iT4 -T , ) /Hx es la transferencia de calor por conducción a través del sistema,

dada por la ley de Fourier; q , . , = h ( T 4 - T 2 ) = A ~ es la transferencia de calor por

convección desde la superficie 4 hacia el interior del sistema, dada por la ley de enfriamiento de Newton y qrad es el flujo de calor radiativo resultante desde la superficie 4 hacia el interior sistema.

Behnia et al. (1990) introdujeron la definición para el efecto de la transferencia de calor total (convección y radiación) al interior del sistema como el número de Nusselt total, dado por:

4

Como se mencionó en el capítulo I , para el estudio del comportamiento térmico de ventanas que están compuestas por hojas de vidrio, los parámetros que indican la eficiencia de la ganancia térmica de ventanas que están expuestas a la irradiancia solar son el coeficiente de sombreado (SC) y el coeficiente de ganancia de calor solar (SGHC).

El SC se define como la razón de la energía solar transmitida más el flujo de calor transmitido desde la superficie del sistema hacia el interior con respecto a la energía que sería transmitida por un vidrio estándar de 3 mm, esto se expresa como:

(3.52)

El SHGC es la razón de la energía solar transmitida más el flujo de calor transmitido desde la superficie del sistema hacia el interior con respecto a la energía solar incidente en el vidrio, esto es:

(3.53)

donde, $3 es la energía solar transmitida a través de la ventana, G es la energía solar incidente en la superficie exterior de la ventana y q,n, se expresa como:

66

C A I ~ J L O 3 MODELO FiSlCO Y MATEMATIC0

(3.54)

3.7 CONCLUSIONES

Se presentaron los modelos fisicos a considerar y las ecuaciones gobernantes en coordenadas rectangulares para el problema de transferencia de calor conjugada (conducción, convección y radiación) con flujo turbulento. así como también la formulación general para la familia de los modelos de turbulencia K-E. Los modelos matemáticos de problemas individuales de radiación y conducción son modelos necesarios para acoplar la condición de frontera al modelo convectivo y de esta manera, tener el modelo matemático final para las tres formas de transferencia de calor. Se describieron los números de Nusselt convectivo y radiativo, el coeficiente de sombreado y de ganancia de calor solar, estos parámetros, son los indicativos del comportamiento térmico del sistema del completo (cavidad con pared semitransparente).

67

CAPÍTIJI.0 4 SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DE CONSERVACIÓN

CAPÍTULO 4 SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DE CONSERVACIÓN

En éste capitulo se describen en forma general los métodos numéricos de diferencias finitas, volúmenes finitos y elementos finitos, el algoritmo de acoplamiento de las ecuaciones de masa y momento y ecuaciones adicionales, el método para la solución del intercambio radiativo y el método para la solución de conducción de calor en la pared semitransparente. Primero se inicia con la descripción de los métodos numéricos, con énfasis al método de volúmenes finitos, el cual, es el elegido para el presente proyecto. Se aborda la formulación para el acople de las ecuaciones de conservación, mostrando el algoritmo SIMPLE y SIMPLEC para ello. También, se muestra algunas estrategias tomadas en el algoritmo SIMPLEC. Postqriormente, se presenta el método de solución para resolver el intercambio radiativo en el interior de la cavidad, éste es el método de radiosidad I irradiancia (MRI). Finalmente, se presenta el método de solución para la transferencia de calor por conducción en la pared semitransparente (vidrio-película), el cual reduce la discretización de la ecuación de convección-difusión para obtener el modelo numérico. También se muestran los diagramas de flujo para cada uno de los métodos presentados para la solución del problema de interés.

4.1 METODOS DE SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DE CONSERVACI~N

La mecánica de fluidos dispone de un conjunto de leyes de conservación que describen el comportamiento general de los fluidos. La solución teórica de los modelos que son formulados por las leyes de conservación pueden ser analíticas o numéricas. Existen soluciones analiticas para configuraciones sencillas y realizando suposiciones muy restringidas a problemas ideales. Debido a que en este estudio no existen métodos analíticos conocidos por la complejidad del problema, entonces se utilizará el método numérico.

Los métodos numéricos más utilizados para resolver las ecuaciones de conservación de masa, momento y energía son tres: diferencias finitas (MDF), volumen finito (MVF) y elemento finito (MEF). Existen otros métodos, como los métodos espectrales, los métodos de elemento frontera y el autómata celular, pero la aplicación de estos es limitada a ciertos problemas especiales. El procedimiento numérico está basado en forma general en los siguientes pasos:

e Discretización por sustitución de aproximaciones en las ecuaciones gobernantes y subsecuentemente manipulaciones matemáticas para obtener un sistema de ecuaciones algebraicas. Solución de las ecuaciones algebraicas por algún método directo o indirecto.

La principal diferencia entre las tres técnicas más usadas está asociada con la manera en la cual las variables de flujo son aproximadas y con el proceso de discretización. A continuación, se describe en forma general en que consisten estos tres métodos; los métodos de diferencias finitas, volumen finito y elemento finito.

68

I! SOi.UCi6N DE LAS ECUACIONES DE CONSERVAClON CAPl.I'IJLO 4

Método de diferencias finitas (MDF): es el metodo más antiguo para l a solución numérica de las ecuaciones diferenciales parciales, al parecer en la literatura fue intrOdUcid0 Por Euler durante el siglo 18. También, es el método más fácil de para la aplicación a problemas con geometrías simples. EI punto de inicio del método es la ecuación C O ~ ~ ~ ~ a t i v a de una variable 4 en forma diferencial. La variable desconocida 4 se describe Por medio de puntos sobre los nodos de una malla (el dominio de solución es cubierto Por una malla). En cada punto de la malla, la ecuación diferencial es aproximada remplazando las derivadas parciales por aproximaciones finitas usando la expansión en series de Taylor o polinomios ajustados, los cuales son usados para obtener las aproximaciones de diferencias finitas para la primera y segunda derivada de 4 con respecto a las coordenadas en términos de los valores nodales. El resultado es una ecuación algebraica para 4 en cada nodo de la malla, en la cual el valor de la variable en este nodo y en ciertos nodos vecinos aparecen como incógnitas.

En principio, el MDF puede ser aplicado para cualquier tipo de malla. Sin embargo, se complica el método cuando es aplicado para mallas no regulares. Las líneas de la malla se utilizan como las líneas coordenadas. La principal desventaja del MDF es que es no- conservativo, esto es, la conservación de masa no se cumple a menos que se tenga especial cuidado para ello. También, otra significante desventaja en flujos complejos es la restricción de geometrías simples (Ferzinger y Peric, 1997).

Método de volúmenes finitos (MVF): este método fue originalmente desarrollado como una forma especial de la formulación en diferencias finitas. El punto de inicio de este método es usar la forma integral de las ecuaciones de conservación. El dominio de estudio es subdividido en un numero finito de volúmenes de control (VC) contiguos y las ecuaciones de conservación son aplicadas para cada VC. En el centroide de cada VC recae un nodo computacional en el cual las variables son calculadas. Alguna interpolación es usada para expresar los valores de la variables en las superficies de los VC en términos de los valores nodales (localizados en el centro del VC). Las integrales de superficie son aproximadas por usar alguna formula de cuadratura disponible. Como resultado se obtiene una ecuación algebraica para cada VC, en la cual aparecen valores de los nodos vecinos.

El MVF puede ser acomodado para cualquier tipo de malla y por lo tanto puede ser aplicado a geometrías complejas. La malla define Únicamente las fronteras de los volúmenes de control. El método es conservativo por construcción (las propiedades relevantes cumplen con conservación para cada volumen), así que las integrales de superficie (las cuales representan flujos convectivos y difusivos) son las mismas para las interfaces (fronteras) de los VC contiguos. La aproximación del MVF es quizás la más simple de entender y de programar. Todos los términos que necesitan ser aproximados tienen significado físico, este es el motivo por el cual es popular entre los ingenieros.

La desventaja del MVF comparado con el MDF, es que cuando se utilizan esquemas de alto orden (mas de segundo), el MVF es más difícil de desarrollar en 3D (el procedimiento se hace mas tedioso). Este es debido a que, la aproximación con el MVF requiere dos niveles de aproximación: interpolación e integración.

69

SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DE CONSEKVACION CAl’IllJLO 4

El MVF representa el corazón de cuatro de los cinco códigos principales, comercialmente disponibles para la simulación de la dinámica de fluidos: PHOENICS, FLUENT, FLOW3D y STAR-CD (Versteeg y Malalkekera, 1995).

El algoritmo numérico usando el MVF consiste de los siguientes pasos:

Integración de las ecuaciones gobernantes de flujo de fluidos sobre todos los VC del dominio de solución. Discretización por sustituir una variedad de aproximaciones finitas para los términos en las ecuaciones integradas, los cuales representan procesos, tales como convección, difusión y fuentes. Esto convierte las ecuaciones integrales en un sistema de ecuaciones algebraicas. Solución de las ecuaciones algebraicas por un método iterativo.

Debido a que los fenómenos físicos que se encuentran en la vida diaria son complejos y no hleaies, es necesario una aproximación iterativa para la solución del problema, El procedimiento más popular para’asegurar una correcta liga entre presión y velocidad es el algoritmo SIMPLE y para la solución del sistema de ecuaciones algebraicas es el método de linea por línea (LBL) (Versteeg y Malalasekera, 1995).

Método de elementos finitos fMEF): este método es una generalización de los métodos de principio variacional (método de Ritz) y de residuos pesados (método de Galerkin, método de mínimos cuadrados, etc ...). Los cuales están basados en la idea que la solución q5 de una ecuación diferencial puede ser representada como una combinación lineal de parámetros desconocidos c, y de apropiadas funciones 4 para el dominio entero del problema. Las funciones 4 son llamadas funciones de aproximación y son seleccionadas de tal manera que satisfagan las condiciones de frontera para acotar el problema. Los parámetros c, tienen que ser determinados de alguna forma para satisfacer la ecuación diferencial, a menudo se realiza una integral de peso para ello. Estos métodos (principio variacional y residuos pesados) tienen la desventaja de la construcción de las funciones de aproximación deben satisfacer las condiciones de frontera del problema, pero como muchos de los problemas reales se definen sobre regiones que son geométricamente complejas, es muy complicado generar funciones de aproximación que satisfagan diferentes tipos de condiciones de frontera (sobre diferentes partes de la frontera) del dominio complejo (Reddy y Gartling, 2001).

La aproximación más sencilla del MEF es la interpolación lineal de cada elemento, de tal manera que se garantiza continüidad de la solución a través de las fronteras de los elementos (la función aproximada debe satisfacer las condiciones de frontera, ya sean homogéneas o no). La función 4 puede ser construidaa partir de los valores en las esquinas del elemento, usando la idea de la teoría de interpolación, entonces se les conoce como funciones de interpolación.

En resumen el MEF inicia con una propuesta de solución para q5 (función de c, y h), esta propuesta es sustituida en las ecuaciones de conservación, pero como la propuesta no

70

CAP~~I'IJI.O 4 SOLUCION DE LAS ECUACIONES BE CONSERVACi6N

satisface el dominio completo de solución, entonces queda como resultado un valor residual (Si la aproximación fuera la adecuada el residuo seria cero). LO que sigue es minimizar los residuales de alguna forma, la manera de reducir los residuales es multiplicarlos por un grupo de funciones de peso e integrarlos (igualando las integrales a cero). Como resultado se obtiene un grupo de ecuaciones algebraicas para coeficientes desconocidos c, de las funciones de aproximación. Este corresponde a seleccionar la mejor solución dentro del grupo de funciones permitidas (una con residual mínimo).

La principal ventaja del MEF recae en la habilidad para ser usado sobre geometrías complejas, pero los avances de este método han sido lentos para aplicaciones de flujos de fluidos y transferencia de calor debido a las dificultades encontradas con los fenómenos para acoplar las ecuaciones de conservación.

En este trabajo se eligió el método de volúmenes finitos para resolver las ecuaciones gobernantes del fluido, debido a que el método de volúmenes finitos por construcción, considera conservación integral ,de masa, de cantidad de movimiento y de energia y que ésta sea satisfecha por un grupo cualquiera de volúmenes de control, en otras palabras, las ecuaciones discretizadas bajo la formulación de volúmenes finitos expresan el principio de conservación de las diferentes cantidades físicas en un volumen de control, exactamente como las ecuaciones diferenciales expresando este principio a través de un volumen de control infinitesimal. Es lógico pensar, que la formulación en volúmenes finitos permitirá tener resultados más aproximados conforme los volúmenes de control tienden a cero, es decir, al continuo (Ferzinger y Peric, 1997).

4.2 MALLAS DISCRETAS DEL MÉTODO NUMÉRICO DE VOLUMEN FINITO

Se presenta una descripción de las mallas discretas espaciales y temporales que se utilizan en este estudio.

4.2.1 Malla de Discretización Espacial

La malla de discretización espacial es representada en la Figura 4.1, esta representa el dominio de integración espacial del sistema de ecuaciones diferenciales parciales. Esto es, las divisiones en xi sobre la cual se encuentran las derivadas (variaciones espaciales, etc.).

En este estudio se considera una malla irregular, la cual es mas fina en los extremos donde se aprecia más el fenómeno de la capa límite y mas gruesa en la parte central.

El tipo de malla es importante debido a que, una malla que se adapta bien a la geometría del caso a estudiar, permite introducir las condiciones de contorno adecuadas para que los resultados sean físicamente aceptables. Por otro lado, si la malla es adecuada a la geometría y además densa, la descripción del fenómeno fisico en esa región es más aproximada, pero el tiempo de proceso aumenta exponencialmente. AI definir la malla se han tomado todos estos aspectos.

71

SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DE CONSERVACION C A P I T I J L O 4

Figura 4.1 Malla estructurada no uniforme

4.2.2 Malla de Discretización Temporal

La discretización temporal también es un parámetro muy importante en los modelos transientes. Cuando el fenómeno físico alcanza unas condiciones de equilibrio y muestra un comportamiento dinámico constante en el tiempo se dice que el fenómeno ha alcanzado el estado permanente (también existen fenómenos que alcanzan un estado permanente oscilatorio). Si el interés del estudio es hacia lo que pasa en el estado permanente, es indispensable saber que sucede en los instantes anteriores, por lo que el tiempo es dividido en intervalos de tiempo para conocer la evolución del modelo en cada instante.

La discretización temporal de igual manera que la discretización espacial puede realizarse en intervalos de tiempo burdos o en forma detallada, también pueden utilizarse intervalos de tiempo variables, para los casos en los cuales la información detallada es importante solo para un periodo de tiempo y después de este instante ya no es necesaria.

Cuando se quiere conocer solamente el estado permanente bajo una formulación de estado transitoria y no se calcula la solución en cada instante de tiempo, se dice que es una solución de falso transiente (Pseudo-Trasienf). Esta técnica de falso transiente fue propuesta por primera vez por De Vahl Davis y Mallinson en 1973. El beneficio de esta técnica es el alcanzar la solución permanente mucho más rápido. En este caso se resuelven las ecuaciones en estado transiente pero el término transitorio se utiliza como un parámetro iterativo de bajo-relajación para obtener una rápida convergencia hacía la solución.

Es importante mencionar, que el tipo de discretización temporal afecta la convergencia durante los cálculos. En general, entre más pequeño sea el paso de tiempo usado, se tendrá una mejor convergencia en el algoritmo. Pero usar pasos de tiempo muy pequeños

72

CAPll-lJL(> 4 SOiJJCi6N DE LAS ECUACIONES DE CONSERVACi6N

I:

incrementa el número de cálculos y como consecuencia el tiempo de cómputo es mayor. Como se puede apreciar, en los métodos numéricos, para obtener la solución de un problema dado se tiene un compromiso entre el tiempo de cómputo y la exactitud de los resultados.

4.3 ECUACIÓN GENERALIZADA DE CONVECCION-DIFUSIÓN

En esta sección se presenta la ecuación de convección-difusión y sus equivalencias con las ecuaciones gobernantes del presente trabajo. Se muestra la discretización de la ecuación convección-difusión de la variable 4, con el fin de presentar una notación de coeficientes agrupados, la cual será de utilidad posteriormente. Finalmente, se describe en forma general sobre los esquemas numéricos empleados.

4.3.1 Ecuación de ConvecciónyDifusión

Las ecuaciones diferenciales que gobiernan los procesos bajo estudio, se pueden compactar en una Única expresión, llamada ecuación generalizada de convección-difusión. Esta forma de la ecuación puede representar a todas las ecuaciones diferenciales que se encuentren bajo un principio de conservación (de masa, de cantidad de movimiento, de energía, de energía cinética turbulenta, de disipación de energía cinética, de especies, etc ...)

La ecuación generalizada que representa las ecuaciones de conservación esta dada por Patankar (1980), como:

La ecuación (4.1) se compone 'de cuatro términos. El primer término representa la acumulación de la variable 4 en el volumen de control (término transitorio), el segundo término representa el flujo neto de 4 en el volumen diferencial a causa del transporte de 4 por los movimientos convectivos (término convectivo), el tercer término representa el flujo neto de 4 en el volumen de control debido a las corrientes difusivac (término difusivo) y el último término es la generación en el interior del volumen de control de la variable 4 (término fuente). En este último término se engloban aquellos términos que no pueden ser agrupados en los términos transitorios, convectivos y difusivos.

Las ecuaciones de conservación de masa, momento, energía y las ecuaciones del modelo de turbulencia IC-E (modelo HH), ecuaciones (3.1-3.3 y 3.9-3.10), se pueden expresar en términos generales de 4, r y S. La Tabla 4.1 muestra las equivalencias de los términos, respecto a la ecuación generalizada.

73

II SOLUC~ON DE LAS ECUACIONES DE CONSERVACI~N

CAPIlUI.0 4

K

Ecuación de conservación

H ,u+ .~ 0 6 -

Momento en x c---- I Momentoeny

Ener ia c-- Energía cinética

Disipación de

4.3.2 Integración de la Ecuación Generalizada

En la Figura 4.2 se muestra un volumen de control sobre una malla cartesiana bidimensional, esta malla se utilizara para la discretización de la ecuación generalizada. Este volumen de control representa un volumen de control genérico de la malla espacial y esta relacionado con sus nodos vecinos; norte (N), sur (3, este ( E ) , oeste (W) por los flujos J, .

La ecuación generalizada puede escribirse para 2D en coordenadas cartesianas como:

(4.2)

Integrando espacialmente la ecuación (4.2) sobre los limites geométricos del volumen de control, se obtiene: I,

(4.3)

74

CAP~TIJI.O 4 SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DE CONSEKVACION

ü

.h A N .. , 1

f

i AY

Figura 4.2 Volumen de control sobre una malla bidimensional

Es importante mencionar, que 10s terminos (3) , (pub),, etc., son términos promedios representativos de todo el volumen de control, así como también de la salida o entrada del volumen de control. Debido a 'hue se consideran distribuciones uniformes en todo el volumen de control o en las fronteras del mismo hay un error en la aproximación espacial, pero este tiende a minimizarse"a medida que los volúmenes de control se hacen más pequeños. Esta es la filosofia del método numérico cuando se usa una aproximación de volumen de control.

La ecuación (4.3) todavía no ha sido integrada en el tiempo, para tomar en cuenta la variación de las @s con el tiempo de t (n) a t+Af (n+l ) , se hace uso de la siguiente expresión:

donde: I

si f = 0.0 se tiene el esquema expl/cito si f = 0.5 se tiene el esquema Crank-Nicolson si .f = I .o se tiene el esquema implícito

(4.5)

75

CAP~IIJLO 4 S O L U C I ~ N DE LAS ECUACIONES DE CONSERVACI~N

La técnica utilizada en la presente tesis considera que el instante del tiempo de evaluación de las propiedades será el n+l (método implícito). Finalmente, siguiendo la consideraciónf = 1, el resultado de la integración temporal de la ecuación (4.3) en el volumen de control es:

(4.6)

Para simplificar la ecuación an'terior, se definen los siguientes términos que ayudan a compactar la ecuación.

Flujos convectivos a través de las caras del volumen de control:

Fe =(@),AY F, = (@)WAY F" = (PV)t& Fs = (P)&

Términos difusivos en las caras del volumen de control:

De =- re Ay (6x1, r

D , =- I " Ay (a"

Números de Peclet:

(4.7)

(4.9)

Finalmente los flujos totales a través de las caras de los volúmenes de control (flujos convectivos mas flujos difusivos):

76

I)

CAPIIIJLO 4 SOLUCl6N DE ILAS ECUACIONES DE CONSERVACldN

(4.10)

Sustituyendo la ecuación (4.10) en la ecuación (4.6) y tomando n = O, se obtiene la siguiente expresión como: .1

W A j b x A y + ( J , - J , ) + ( J , - . I $ ) = S AxAy Al

(4.1 I)

El término fuente S puede depender de la variable 4, entonces para tomar en cuenta esta situación, el término se separa en dos partes. Una parte que dependa de la variable y la otra que no dependa de la variable directamente. Entonces el término fuente se puede escribir como:

s = s, + Splpp (4.12)

En la expresión anterior SC es el término que no depende de la variable directamente. Rajo esta modificación, la ecuación (4.1 I ) se expresa como:

Para el caso particular de la ecuación de conservación de masa (continuidad), la ecuación (4.1 3) se reduce como:

Para asegurar una mejor convergencia en la discretización de la ecuación de convección- difusión se introduce la continuidad. De esta manera se asegura que la solución final obtenida mediante el proceso iterativo cumplirá con el principio de continuidad.

Multiplicando la ecuación (4.14) por qk y restando la ecuación resultante a la ecuación (4.13), se llega a la ecuación que jnalmente se usara como discreta:

77

II

CAPI1UI.O 4 SOLIJCION DE LAS ECUACIONES DE CONSERVACI6N

(4.15)

En el desarrollo anterior se presentó como convertir las ecuaciones diferenciales a ecuaciones discretas. Ahora se mostrará como pasar la ecuación discreta a una notación de coeficientes agrupados (expresa: la variable de un nodo P en función de la variable de los nodos vecinos E, W2 N, S y en función de otros parámetros que engloben el término fuente), para ello se usara la formulación de esquema generalizado para evaluar los siguientes términos (Patankar, 1980): 'I

(4.16)

Finalmente la ecuación de conyección-difusión (ecuación generalizada) en notación de coeficientes agrupados, como resultado de sustituir la ecuación (4.16) en la ecuación (4.15) se puede escribir:

ap4p = aL4E + aw4w +adhi + a d s + b

o también como:

(4.17a)

donde:

(4. I7b)

(4.18)

(4.19)

(4.20)

(4.21)

(4.22)

b = p p O h A Y -@p o +SC&Ay

La función A(IPe1) es una función que depende del esquema de aproximación utilizado. Una breve descripción de los esquemas numéricos se presentará en la siguiente sección.

(4.23) At

78 NI

11

CAP¡TUi.O4 SOLUCIÓN DE LAS ECCJACIONES DE C O N S E R V A C ~ ~ N

Básicamente la diferencia entre los diferentes esquemas consiste en la manera de evaluar determinadas propiedades en lad fronteras de los volúmenes de control.

4.3.3 Esquemas Numéricos

Como se puede apreciar en todas las ecuaciones, es necesario conocer los valores de las variables en las caras de los volúmenes de control. Esto permitirá calcular los flujos y como consecuencia los coeficientes ndesarios para la solución de la variable en el punto P.

Para el caso de 2-D, la información se encuentra en los puntos P, E, W, N y S, y no se tiene información en las caras de los volúmenes de control. El cálculo de las relaciones necesarias para las variables en las caras de los volúmenes de control es una de las principales dificultades cuando" se usa el método de volumen finito, por lo que la convergencia del algoritmo, así cpmo también la exactitud de los resultados, dependen de la forma de calcular la variable en la interfase del volumen de control.

Como se puede observar en la ecuación (4.10) para determinar los flujo totales en las caras del volumen de control, es neceiario conocer los flujos convectivos y los flujos difusivos. La diferencia entre los esquejas de aproximación radica en seleccionar el tipo de aproximación de los términos convectivos; ya que para la aproximación del gradiente difusivo, se recomienda usar siempre una diferencia centrada (utilizando los puntos adecuados para cada cara del volumen de control). Esta demostrado analíticamente que la mejor aproximación para los términos difusivos es una diferencia centrada (Versteeg et al., 1995). En cambio, las aproximacjones para los términos convectivos son más complicadas, dependiendo del tipo de aproximación se pueden llegar a tener problemas de convergencia e incluso soluciones irreales o ilógicas.

Los esquemas de aproximación conocidos como de bajo orden, son los esquemas que para simplificar la formulación relacionan directamente los valores de las variables en las caras de los volúmenes de control con los puntos nodales más cercanos (E, W, N, S). Los esquemas de bajo orden siempre t!tilizan uno o dos puntos nodales para la aproximación en la interface del volumen de control. Los esquemas convencionales de bajo orden son:

I)

a) CORRIENTE ARRIBA (upwind scheme): aproxima el valor de la variable en la frontera del volumen de control con el valor nodal inmediatamente a la frontera, según el sentido de la velocidad. Presenta t;esultados físicamente aceptables pero con baja exactitud. Para mejorar exactitud de los resultados se tiene que usar una malla más densa, pero un buen comportamiento para la conyergencia, ya que no es oscilatorio.

b) CENTRADO (central $erence scheme): usa el promedio de los dos valores nodales mas cercanos a la frontera para aproximar a la variable. Funciona bien para problemas a bajas velocidades ,,pero no es aconsejable para situaciones altamente convectivas, ya que no representa adecuadamente el transporte convectivo de las propiedades.

19

1 soi.uci6~ DE LAS EC~JACIONES DE CONSERVACI~N C A P ~ T I J L O ~

Esquema numérico A( IPel) Corrientes arriba I

Centrado 1) 1-0.51Pel Híbrido , max[O,( 1 -0.51Pel)l -

Exponencial IPel/(exp((Pel)- I ) Ley de potencia max[O,(i-o. I l~e1)~l

1 c) HiBRlDO (hibrid scheme): combina las características del esquema centrado y del esquema de corrientes arriba. Usa el esquema centrado para velocidades bajas y para velocidades elevadas utiliza las ,características del esquema de corrientes arriba.

d) EXPONENCIAL (exponential scheme): esta basado en la solución analítica unidimensional considerando propiedades constantes y estado permanente. Funciona bien para problemas en I-D pero presenta demasiado tiempo de cómputo (el cálculo del exponente puede presentar II problemas). No es recomendable para problemas multidimensionales.

1)

e ) LEY DE POTENCIA, (power law scheme): es una modificación del esquema híbrido en base al esquema exponencial, presenta exactitud similar en los resultados que el esquema exponencial pero con m'ejora de la convergencia.

Toda la formulación presentada en la sección 4.3.2 esta basada en los esquemas numéricos de bajo orden. La ecuación (4.17) utiliza los coeficientes en función del número de Peclet local en cada frontera. La función A(IPe1) para los diferentes esquemas de bajo orden esta dada por Patankar ( I 980), como se muestra en la Tabla 4.2:

.I

4.4 ALGORITMO SIMPLE (Semi Implicit Method for Pressure Linked Equations)

En esta sección se describe la formulación del algoritmo SIMPLE para la solución de las ecuaciones de Navier-Stokes, el tratamiento de las condiciones de frontera, la evaluación de propiedades termofísicas, el método de solución de las ecuaciones algebraicas, criterios de convergencia y finalmente se muestra el diagrama de flujo para el proceso iterativo de la solución de las ecuaciones de conservación.

El algoritmo SIMPLE es una técnica de solución secuencia1 para el acople de las ecuaciones de conservación de m'asa y movimiento, en la cual se usan las variables primarias (velocidades y presión)., Entre los problemas que se tienen en el algoritmo SIMPLE, es la representación del gradiente de presión en las ecuaciones de movimiento. Patankar (1980) ha mostrado que la solución de las ecuaciones de movimiento,

I

I1 80

,

SOLUCION DE LAS ECUACIONES DE CONSERVACION CAPIl I I I .0 4

discretizadas en los mismos nodos computacionales, puede conducir a una distribución de presión oscilatoria que no corresponde a la solución real. Para sobrellevar esto, se tiene como alternativa usar mallas desplazadas. Otros problemas, pueden ser es el tratamiento de las condiciones de frontera de I? ecuación de corrección de presión (P') y la inconsistencia de tener que usar bajo-relajació? para la presión (P), esta inconsistencia se remedia con la modificación del algoritmo SIMPLE (SIMPLEC) propuesta por Van Doormaal y Raithby (1984).

Después de describir algunos de'los problemas involucrados en el algoritmo de solución de las ecuaciones de Navier-Stokes, se presenta a continuación las alternativas en forma detallada para remediarlos y por último el proceso iterativo de la solución secuencia1 de las ecuaciones de conservación. ,

4.4.1

Uno de los pasos usados para el acople de las ecuaciones de masa y momento es el uso de mallas superpuestas en función he la variable que se quiere calcular. Se utilizan tres o cuatro mallas superpuestas para Ids casos de dos y tres dimensiones respectivamente.

La malla principal o centrada es aquella en la cual se representaran las variables escalares, es decir, presión, temperatura, 'energía cinética turbulenta, etc. Las otras mallas se desplazan en las direcciones x, y (para 2-D) de tal forma que, las fronteras.de sus volúmenes de control coinciden con los puntos nodales de la malla principal.

Una de la ventajas de usar mallas desplazadas es el tener el centro o nodo representativo en una posición de frontera del volumen de control de la malla centrada, ya que para la solución de las variables sobre la i a l l a centrada se necesita información de los flujos en las fronteras de los volúmenes de control y el hecho de tener los nodos de velocidades en estas fronteras evita el tener que interpdlar los valores, consiguiendo resultados más correctos. En la Figura 4.3 se muestra el desplazamiento de las mallas para 2-D.

Patankar (1980) discute en detalle por que es aconsejable usar la técnica de malla desplazada. Esta discusión en detalle encierra el problema de la representación del gradiente de presión.

La Malla Desplazada (Staggered Grid)

li

4.4.1.1 Representación del Términlp de Gradiente de Presión

La explicación de este concepto se'presenta para una dimensión, éste también puede ser extendido a tres dimensiones. Para una malla única centrada, con cinco volúmenes de control y puntos nodales WW, W, P, E y EE (Figura 4.4).

La aplicación de la cantidad de movimiento en dirección x sobre el nodo P, presenta el problema de la representación del término de gradicnte de presión -+/a. Integrando sobre los límites del volumen de control, el gradiente de presión queda aproximado por (pii-pe)lAx

1

I

81

API'IIJLO 4

(presión en la frontera oeste menos la presión en la frontera este). Este término representa la fuerza neta por unidad de área ejercida por las presiones sobre el volumen de control. Como ya se mencionó anteriormente, las presiones serán calculadas sobre la malla centrada, y por lo tanto, no se cuenta con la información directamente de la presión en las fronteras de los volúmenes de control. Entonies, se realiza una interpolación lineal a partir de los valores existentes en los nodos vecinos. De tal manera, que si la malla es regular el gradiente de presión se puede aproximar como:

(4.24)

Se puede apreciar de la ecuación anterior que la evaluación del gradiente de presión es la diferencia de presión entre dos puntos alternantes y esto fisicamente no es lógico, ya que si' se considera los valores de la distribución no-uniforme de presión mostrada en al Figura 4.4, el gradiente sería cero. Lo anterior, indicaría que en las ecuaciones de movimiento la distribución de presión sería constante o uniforme, lo cual sería una inconsistencia. Esta inconveniencia es la principal razón de desplazar las mallas para las componentes de velocidad.

El hecho de desplazar las mallas para las velocidades implica que las fronteras de sus volúmenes de control estén sobre los puntos nodales de la malla centrada y sobre estos puntos se tiene información de la presión, por lo tanto los balances de presión son inmediatos.

X Figura 4.3 Representación de mallas superpuestas: (a) volumen de control para variables escalares, (b) volumen de control

para velocidad u, y (c) volumen de control para la velocidad v,,.

82

SOLUCIdN O13 LAS ECUACIONES DE CONSERVACldN CAPITIJLO~

4.4.2 Formulación del Algoritmo SIMPLE

Como se comento en la introducción de este capítulo, el algoritmo usado en el presente proyecto fue el algoritmo SIMPLEC, el cual pertenece a la familia del algoritmo SIMPLE, estos algoritmos usan un forma secuencia1 para la solución del sistema global de las ecuaciones de Navier-Stokes.

La estructura del algoritmo SIMPLE está compuesta de dos partes básicamente; la suposición de una distribución de presiones que facilita la obtención de un campo de velocidades y la corrección de estas distribuciones cumpliendo continuidad de manera iterativa hasta llegar a una solución correcta.

El algoritmo SIMPLE se resume paso a paso como sigue:

PASO1

Descomponer el término fuente de las ecuaciones de cantidad de movimiento, de tal forma que la presión aparezca explícitamente.

bu =-A,(P, -P,)+hy (4.25a)

bY =-A,(P, -Pp)+b," (4.25b)

donde Ai es el área de la cara i del volumen de control.

Bajo la descomposición anterior, las ecuaciones discretizadas de cantidad de movimiento para dos dimensiones (en notación de coeficientes agrupados) se pueden escribir como:

(4.26a)

83

SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONBS DE CONSERVACI~N CAPITULO 4

(4.26b)

PASO2

Las ecuaciones discretizadas de conservación de momento anteriores pueden ser resueltas si el campo de presión es conocido o estimado. Para esto se supone un campo de presión P'. El campo de velocidades obtenida puede no satisfacer continuidad a menos que la distribución P' sea el correcto. Representado el nuevo campo de velocidad como u y v , la ecuación (4.26) se puede rescribir como:

* *

(4.27a)

(4.27b)

PASO3

Proponemos que la distribución de presión correcta P es obtenida a partir de una corrección de presión P ' , como sigue:

P = P' + P' (4.28)

La modificación de la presión implica también una modificación sobre los campos de velocidad a través de velocidades de corrección u y Y , entonces las velocidades correctas se pueden expresar finalmente en analogía a la ecuación (4.28) como:

(4.29a)

(4.29b)

Aquí se encuentra la clave del método, que durante el proceso numérico pueda corregir correctamente la presión y las velocidades.

Si a las ecuaciones de cantidad de movimiento para las velocidades correctas; ecuaciones (4.26a) y (4.26b) se le restan las ecuaciones de velocidades supuestas; ecuaciones (4.27a) y (4.27b), obtenemos una nueva ecuación de cantidad de movimiento para las correcciones de velocidad, según las ecuaciones (4.29a) y (4.29b), en función del campo de presión corregido (el término fuente fue eliminado, ya que es el mismo para las dos ecuaciones) dado como:

* 1

u = u + u

* I v = v + v

(4.30a)

84

(4.30b)

En las ecuaciones anteriores se puede observar, que cualquier punto nodal depende de la corrección de presión y de las corrección de velocidades en los puntos vecinos. En este punto se introduce la aproximación de desvanecer los términos ~a~ec ,n , , su~ec inos y ~ u ~ e c i n o s ~ v l e c , n o s con el fin de simplificar la relación entre las velocidades de corrección y la presión de corrección. La omisión de estos términos es la principal aproximación del algoritmo SIMPLE (la justificación de la omisión de las sumatorias esta dada en detalle por Patankar, 1980). Entonces las ecuaciones (4.30a) y (4.30b) se pueden reducir a:

(4.31a)

Gn=d,'(PA-PL) (4.31 b)

Los coeficientes dr y d,' representan la relación entre las velocidades de corrección y la presión de corrección. Estos coeficientes varían en función de la variante de la familia dela algoritmo SIMPLE.

El algoritmo SIMPLE, asume que las velocidades de corrección de un nodo cualquiera P dependen solo de la variación de la presión de corrección. Este criterio es cierto a medida que el proceso iterativo se va aproximando a las velocidades correctas, ya que las

velocidades de corrección tenderán a cero. Entonces las expresiones de d,U y d i son:

" A, u,"

de =- (4.32a)

(4.32b)

El criterio anterior sobreestima el valor de la presión de corrección y por lo tanto es necesario bajo-relajar su valor para conseguir una convergencia en el cálculo iterativo.

Para el caso del algoritmo SIMPLEC (SIMPLE-consistent), el concepto es exactamente el mismo que en el SIMPLE, la diferencia consiste en como considera la relación para las

velocidades de corrección y la presión de corrección, es decir, los valores de dp y d," son diferentes. En este caso no es necesario bajo-relajar los valores de la presión de corrección P', evitando la dificultad de elegir un valor óptimo para el factor de relajación y por lo tanto se obtiene una mejora en el tiempo de cálculo. El procedimiento se presenta a continuación:

A partir de las ecuaciones de cantidad de movimiento (4.30a) y (430b) para las velocidades de corrección, se le restan de ambos lados de la ecuación la sumatoria de los coeficientes

85

SOLUCION DE LAS ECUACIONES DE CONSEKVACION CAl>I'l'UI.O 4

vecinos multiplicada por la velocidad de corrección. Esto se puede expresar como sigue a partir de las ecuaciones (430a) y (4.30b):

(a: - Ca:ecinos)Ue = 1 a:Lnos(Ulecinos -ui)-A.(PZ -PP)=-Ae(% -pi)

(4 - p : e , ; n , ) V " = 1 ~~ecinos(~"ecI~os - i - A k i - 4= - A h - 4)

, (4.33a) uecinos vecinos

(4.33b) vecinor WCi"0S

Las ecuaciones anteriores son tan válidas como las expresiones de las ecuaciones (4.30a) y (4.30b), aquí la aproximación que hace el algoritmo SlMPLEC es suponer que las sumatorias de los coeficientes multiplicada por las diferencias de velocidades de corrección en cada volumen de control es nulo (a diferencia del algoritmo SIMPLE que supone que las sumatorias de los coeficientes multiplicada por sus respectivas velocidades son nulas). Es decir, si la presión P es modificada por P , la velocidad u, responderá a u n cambio a través de u e , la cual es una respuesta de sus puntos vecinos u wc,,,os, todos estos cambios de velocidad podrían ser del mismo orden. La aproximación del algoritmo SIMPLE es que el término Ca~ec,nosu;ee,nos puede ser ignorado en la ecuación (4.30a), mientras un término de magnitud similar del lado izquierdo de la ecuación puede ser retenido ( ~ a ~ & , s u ~ aparece del lado izquierdo cuando la ecuación (4.22) es sustituida en la ecuación (4.30a)) puede ser visto como una inconsistencia.

Como es evidente, la aproximación del algoritmo SIMPLEC es más correcta ya que la velocidad de corrección u , es el resultado de sus velocidades vecinas y por lo tanto el término Ca~8crnos(u~ec lno3 - u : ) puede ser considerado nulo.

Entonces las expresiones para los coeficientes d: y d,Y del algoritmo SIMPLEC son:

(4.34a,b)

Conociendo las velocidades de corrección se pueden calcular las velocidades a partir de las relaciones (4.29a) y (4.29b) como (aplica tanto al algoritmo SIMPLE como al algoritmo SIMPLEC):

u, = u: + de (Pi - PE) (4.35a)

v,, = V A +d,Y(P; -Pi) (4.35b)

86

SOLUCl6N DE LAS ECUACIONBS DE CONSEKVACl6N C A P I T U L O 4

PASO4

Este es el último paso, y solo falta determinar la información adecuada para la corrección de presión P'. Esta información será obtenida de la ecuación de continuidad integrada en un volumen de control sobre una malla centrada (malla principal).

(4.36)

La ecuación anterior puede ser expresada en función de la presión de corrección a través de las ecuaciones (4.35a) y (4.35b) como:

a P , = a E PE + alY P i + a P i + as Pi + b (4.37)

donde:

a,( = ped:Ay (4.38)

a N = p,d,'Ax (4.40)

a s = p s d , r A x (4.41)

ap = aE +aw +aAr +as (4.42)

(4.43)

Las velocidades en el término b de la ecuación de corrección de presión son las velocidades supuestas, es decir, es la ecuación de continuidad integrada en el volumen de control en términos de las velocidades estimadas con signo cambiado. Si el término b es cero, esto significa que las velocidades estimadas en conjunto con el valor disponible de (p: -p, , ) satisfacen la ecuación de continuidad, y por lo tanto, no se necesita la corrección de presión. El término b representa un término fuente en la ecuación de corrección de presión, el cual debe desvanecerse a cero durante el proceso iterativo.

El valor de la densidad estará disponible solamente en los nodos de la malla principal (malla centrada), entonces las densidades en la interface del volumen de control principal tal como pe debe ser aproximado a través de alguna interpolación.

Hasta aquí, se han planteado las técnicas matemáticas para resolver las ecuaciones de Navier-Stokes. A continuación se presentan las estrategias y el orden de los cálculos para lograr la convergencia de las ecuaciones discretizadas hacia la solución final.

87

.. .

SOISJCION OE LAS EClJAClONES OF: CONSERVACION C A P ~ T U L O ~

4.4.3 Tratamiento de las Condiciones de Frontera (Condiciones de Contorno)

Todas las soluciones numéricas de los problemas de flujos de fluidos son definidos en términos de las condiciones iniciales y de frontera. Es importante especificar correctamente las condiciones y entender su papel en el algoritmo numérico. En problemas transitorios los valores iniciales de todas las variables del flujo necesitan ser especificadas en todos los nodos de solución del dominio del flujo.

La notación de coeficientes agrupados y la estructura básica de las ecuaciones algebraicas permite tratar fácilmente las condiciones de frontera y simplifica la adjudicación de una propiedad en el nodo que marca el final de la zona de estudio.

En los nodos frontera sobre una malla centrada, el volumen de control representa un volumen y una masa nula. Más bien no representa un volumen de control real, si no que esta adyacente al último volumen de control del dominio en estudio (Figura 4.5a).

Para el caso de nodos frontera sobre una malla desplazada (indistintamente de la dirección que se ha desplazado), corresponde un volumen de control con dimensiones, pero sus dimensiones son menores que el volumen de control principal, para el caso de un mallado uniforme el volumen para el nodo frontera es exactamente la mitad de volumen contiguo (Figura 4.5b,c).

Para todos los nodos frontera es necesario indicar cual es el tipo de condición de frontera que prevalece sobre ellos, si no es así, no será posible resolver las ecuaciones que necesitan esta información. Las condiciones de frontera más comunes son las condiciones de Dirichlet y las condiciones de Neumann (Ozisik, 1994).

Frontera

e

a

Frontera Frontcra J (a) (b) (c)

Figura 4.5 Nodos frontera sobre las mallas superpuestas: (a) malla centrada, (b) malla desplazada en dirección x y (c) malla desplazada en dirección y.

88

SOLUCIÓN DE ILAS ECUACIONES I>li CONSERVACIÓN C A I ~ ~ I ' I J I S ~ 4

4.4.3.1 Condiciones de Dirichlet (Condiciones de Ira. Clase)

Este tipo de condición fija un valor de la variable en los nodos frontera (independientemente de los nodos vecinos), es decir, el tratamiento de los coeficientes es tal que el nodo en todo momento mantiene un valor constante de la variable. Esto se traduce a partir de la ecuación algebraica en notación de coeficientes agrupados de la siguiente manera (ecuación (4. I7a)):

aP4P = aE4E + aw4w + aN4N + a s h f b (4.44)

con:

a p = I a E = a,,, = aN = a , = O

b = 4I;o,,,ra

(4.45)

Entonces de la sustitución de los valores anteriores en la ecuación (4.44), se deduce que 4 P = 4f,,,, .

4.4.3.2 Condiciones de Neumann (Condiciones de 2da. y 3ra. Clase)

Esta es una condición muy utilizada para definir las fronteras de muchos fenómenos. Consiste en imponer la variación de una variable en alguna dirección a un valor dado A (si A = O corresponde a tener una condición de 2da. clase y si A f O corresponderá a tener una condición de 3ra. Clase).

Esta condición se puede expresar como:

(4.46)

Aproximando numéricamente la ecuación anterior, por ejemplo para la frontera sur del volumen de control de la Figura 4.5a, se tiene:

(4.47)

Por lo tanto:

4P = 4 N -A(&) , (4.48)

De acuerdo a la ecuación algebraica (ecuación (4.44)), se agrupa:

89

SOI.UCION DE LAS ECUACIONES DE CONSERVACION CAPI'IUUJ 4

(4.49)

Las relaciones de las ecuaciones (4.45) y (4.49) garantizan la condición de frontera en el nodo correspondiente. El procedimiento mostrado anteriormente para las condiciones de frontera es válido para todas las direcciones y para cualquier nodo frontera.

Como se puede observar la notación de coeficientes agrupados simplifica la aplicación de las condiciones de frontera, ya que solo es necesario fijar dos o tres coeficientes para tener la condición deseada.

4.4.3.3 Condiciones de Frontera para la Ecuación de Corrección de Presión P'

Debido a que la ecuación de P' no es una de las ecuaciones básicas, es necesario comentar el tratamiento de su condición de frontera, ya que de esta variable se obtiene el valor correcto de la presión P durante el proceso de iteración.

Normalmente hay dos clases de condiciones de frontera. Ya sea que la presión en la frontera es dada (velocidad desconocida) o la componente de velocidad normal a la frontera es especificada. Entonces se recomienda lo siguiente:

Dada la presión en la frontera: si el campo de presión estimado P' es arreglado de tal forma que en la frontera P'=P'o,,,, entonces el valor de P' en la frontera debe ser cero. Esto es similar al tratamiento para una condición de Dirichlet mostrada previamente.

Dada la velocidad normal a la frontera: si la malla es diseñada de tal forma que la frontera coincide con la cara del volumen de control (Figura 4.6) y la velocidad u, es prescrita; entonces, en la derivación de la ecuación P'para el volumen de control mostrado en la Figura 4.6, no sera necesario que la cantidad de flujo a través de la frontera A." sea expresada en términos de (u: +d,U(P; -PL)), pero sí en términos de ue (la cual es conocida). Entonces, PE no aparecerá o u6 será cero para la ecuación de P'. Por lo tanto se concluye, que de esta manera no se necesita información de Pi en la frontera. En este caso se utiliza u, de forma directa en la ecuación de continuidad.

90

SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DE CONSERVACION CAP~TUI.O 4

Figura 4.6 Volumen de control frontera para la ecuación de continuidad.

4.4.4 Evaluación de las propiedades fisicas

Se puede observar que en toda la formulación del algoritmo SIMPLE es necesario evaluar las propiedades físicas en las fronteras de los volúmenes de control. Como ya se mencionó anteriormente la presión y la temperatura se encuentran en el nodo central del volumen de control y por lo tanto las propiedades fisicas estarán definidas en estos puntos y será necesario el uso de algún tipo de interpolación para transportarlas a la frontera del volumen de control.

El procedimiento mas sencillo para obtener un valor de la propiedad en la interface del volumen de control es a través de una interpolación lineal entre dos puntos. Entonces la propiedad re de la Figura 4.7 puede expresarse en función de los puntos P y E como:

(4.50)

Si la interface e se encuentra a la mitad entre los dos puntos P y E, la relación de dimensiones en la ecuación (4.50) sería igual a 0.5, y por lo tanto, re seria la media aritmética de rp y FE.

Patankar propuso en 1978 una aproximación armónica para determinar el valor de la propiedad en la interface del volumen de control. Esta nueva aproximación permite tener una aproximación más real y evita las implicaciones incorrectas de la aproximación lineal para ciertos casos.

91

SOLUCi6N DE ILAS ECUACIONES DE CONSERVAClbN CAP¡I'iJLO 4

Figura 4.7 Distancias asociadas con la interface e.

Para notar el beneficio de la aproximación armónica, veamos el siguiente ejemplo: ¿Como representar el flujo de calor en la interface e?. La expresión para el flujo estaría dada por:

(4.51)

imaginemos que el volumen de control de punto P es un material de conductividad A,, y que el volumen de control del punto E se encuentra lleno por un material de conductividad ,IE, para este medio compuesto entre los puntos P y E, Patankar (1978) propuso la siguiente expresión del flujo de calor:

(4.52)

De la cual se deduce al comparar la ecuación (4.52) con la ecuación (4.5 I ) , la propiedad efectiva en la interface como:

(4.53)

La ecuación anterior es la aproximación armónica para la interface del volumen de control, Si la interface e se encuentra a la mitad entre los puntos P y E, entonces se tendrá una aproximación armónica media, la cual estará dada por:

(4.54)

92

SOISJCI~N DE LAS ECUACIONES I)B C O N S E R V A C I ~ N CAP¡IUI.O4

Para mostrar las deficiencias de una aproximación lineal, consideremos el caso en cual se tiene un material con una conductividad &+O, entonces de la ecuación (4.53) (aproximación armónica) se obtiene &+O, este resultado implica que el flujo de calor: ecuación (4.51), en la interface, e , de un material aislante tienda a cero (qe-+O), que es lo que se esperaría fisicamente. Por otro lado, si se utiliza la aproximación linealo ecuación (4.50), se tendría un valor para Le y se estaría difundiendo un flujo de calor ficticio.

4.4.5

En la sección 4.3 se mencionó sobre la discretización de las ecuaciones gobernantes para obtener el sistema de ecuaciones algebraicas. La complejidad y el tamaño del sistema de ecuaciones algebraicas dependerán de la dimensionalidad del problema, el número de nodos de la malla y del método de discretización usado.

Existen dos técnicas de solución para las ecuaciones algebraicas: métodos directos y los métodos indirectos o iterativos. Como ejemplos de los métodos directos se encuentra la inversión de la matriz de coeficientes por regla de Cramer y la eliminación Gaussiana (EG). Entre los métodos iterativos se encuentra el método de Gauss-Seidel (GS) , el método de línea por línea (LBL). el método de factorización incompleta (ILU) y el método del gradiente conjugado (GC), entre otros, (Ferziger et al., 1997).

Los métodos iterativos están basados en la repetida aplicación de algoritmos simples, que normalmente después de un número de iteraciones se obtiene convergencia. El número de operaciones para cada ciclo de iteración es del orden de N, a diferencia de los métodos directos, no se puede saber a priori el número de iteraciones que serán necesarias para obtener la convergencia, tampoco es posible garantizar la convergencia a menos que el sistema de ecuaciones satisfaga cierto criterio. La principal ventaja dc los métodos iterativos es que solo se necesita almacenar en memoria los coeficientes diferentes de cero.

AI discretizar las ecuaciones diferenciales parciales producen u n sistema de ecuaciones algebraicas, las cuales fueron resueltas por el método iterativo de línea Gauss-Seidel de direcciones alternantes implícitas (Line Gauss Seidel Alternating-Direction Implicit. LGS- ADI), este método es una combinación del método de línea por línea (LBL) con el método de Gauss-Seidel (GS) usado alternadamente. La matriz de coeficientes del sistema de ecuaciones es penta-diagonal para el caso de 2-D (solamente cinco coeficientes no son ceros) y es hepta-diagonal para un caso de 3-D (solamente siete coeficientes tienen valores). En este tipo de matrices el número de espacios en cero es elevado y se necesita u n espacio considerable de memoria para almacenarlos. Por lo que se concluye que los métodos iterativos son generalmente mas económicos que los métodos directos (Versteeg y Malalasekera, 1995).

A continuación se describe en forma general los métodos de Gauss-Seidel (GS), de línea por línea (LBL) y la combinación de ellos, para comprender el beneficio de usar el método LGS-ADI.

Método de Solución del Sistema de Ecuaciones Algebraicas

93

Método de Gauss-Seidel (GS): este método es el más simple de todos los métodos iterativos, en el cual los valores de las variables son calculados por visitar cada nodo de la malla en cierto orden. El valor de la variable 4 en el nodo P es calculado de la ecuación (4.17b) como:

(4.55)

Donde +p es el nodo visitado y +iecinos son los nodos vecinos con valores iniciales adivinados o valores de la previa iteración. Los valores de los nodos vecinos que ya han sido visitados son utilizados para el cálculo de +p durante la iteración. Cuando todos los nodos de la malla han sido visitados, una iteración del método de Gauss-Seidel ha sido completada. La principal desventaja de este método es que su convergencia es baja, especialmente cuando el números de nodos de la malla es grande. La razón de tener baja convergencia es por que la información de la condición de frontera es transmitida lentamente en cada iteración (Ferziger et al., 1997).

Método de línea Dor línea (LBL): este método elige una línea de la malla (por ejemplo en dirección x) y considera que la variable 4 a lo largo de las líneas vecinas (puntos vecinos colocados en dirección y y/o z) son conocidas con el valor de la previa iteración y finalmente resuelve la variable 4 a lo largo de la línea elegida por tener agrupado matrices tridiagonales. Una iteración del método ha sido concluida cuando todas las líneas elegidas en una dirección han sido resueltas. Las ecuaciones discretizadas para la línea elegida son similares a las que se tienen cuando se resuelve un problema unidimensional, es decir, el sistema formado por las ecuaciones algebraicas es un sistema de tres bandas formando una matriz conocida como tridiagonal. Entonces la matriz tridiagonal puede ser resuelta eficientemente usando el algoritmo de Thomas (TriDiagonal-Matriz Algorithm, TDMA) descrito por Ozisik (1994). El desarrollo del algoritmo de Thomas se presenta a continuación.

Los puntos de la malla pueden ser numerados como l ,2,3, ..., N, con los puntos I y N reservados para los puntos frontera. Las ecuaciones discretizadas pueden ser representadas en forma general como:

ad# = h,4+, +c,4-1 +d, (4.56)

La ecuación anterior es válida para i = 1,2,3, ....., N , los coeficientes u,, h,, c, y d, son conocidos y pueden depender de la geometría, de las propiedades del medio considerado o de la misma variable para el caso de ser un problema no lineal. La variable $t es relacionada con las variables vecinas y 4,./. Para tomar en cuenta la forma especial de las ecuaciones en los puntos frontera se agrupa c / = 0 y bN = O, de esta manera las variables q40 y ~ N + I no tienen ningún significado (cuando la variable es especificada en la frontera, las ecuaciones de los puntos frontera toman una forma trivial, por ejemplo: si +/ es conocida, se tienen a/ = I , 6, = O, c / = O y d/= 41).

94

CAPITUI.0 4 SOLUCION DE LAS ECUACIONES DE CONSERVACION

La ecuación discreta para el punto 1 implica que 41 es conocida en términos de 42. La ecuación para i = 2 relaciona 4,, 42 y 43. Pero si 4, puede ser expresada en términos 42,

entonces, esta relación puede ser útil para reducir la ecuación para i = 2 y obtener una relación solo entre 4 2 y 43. En otras palabras, 42 puede ser expresada en términos solamente de ,$3. Este proceso de sustitución puede ser desarrollado hasta que 4 , ~ quede expresado en términos de pero como dN+, no existe (no tiene ningún significado), entonces en esta etapa del proceso se obtiene el valor de 4,~. Después de esto se inicia un proceso de sustitución inversa en el cual 4~ . / es obtenido de $,v, 4,~.2 de 4,~, , ....., 42 de 43 y finalmente 4, de 42. Esta es la esencia del TDMA.

Se supone una relación para el proceso de sustitución hacia delante, como:

4 = 8h+1 + Q, (4.57)

Evaluando la ecuación anterior para ( i - I ) y sustituyendo en la ecuación (4.56), se obtiene:

a d , = ~ , A + I +Ct(P,-d,+Q,-i)+d, (4.58)

Arreglando la ecuación anterior para tener la forma de la ecuación (4.57), se tiene:

Entonces:

(4.59)

(4.6Oa:b)

Estas últimas expresiones son las relaciones de recurrencia, en las cuales P, y Q, se encuentran expresadas en términos de P,.! y e,.!. Para iniciar el proceso de cálculo de las relaciones de recurrencia, se puede apreciar que la ecuación (4.56) aplicado para i = I ( c , = O ) tiene forma similar a la ecuación (4.57). Entonces, los valores de PI y Ql están dados por:

(4.61a,b)

Por otro lado, durante la secuencia del cálculo de Pi y Q; para i = N ( b ~ = O) se obtiene que PN= O (ecuación (4.60a)) y por lo tanto la ecuación (4.57) se reduce a:

Av =QN (4.62)

95

SOLUCION oli LAS ECUACIONES DE CONSERVACION CAl>i'I'UI.O 4

A partir de este ÚItimo~cálculo, se inicia el proceso de sustitución inversa a través de la ecuación (4.57).

El algoritmo TDMA se puede resumir en los siguientes pasos. I

I . Calcular P , y Q, de la ecuación (4.61a,b). 2. Obtener P, y Q, para i = 2, 3 , ....,A', usando las relaciones de recurrencia (4.60a,b). 3. Agrupar ~ Ñ Q N . 4. Determinar 4N.N-2, & j , ....., 43, 42 y a través de la ecuación (4.57) para i = N -

1, N - 2 , N-3, ....., 3 , 2 y I .

Método de línea Gauss-Seidel (LGS): este método es una combinación de los métodos GS y LBL. Aquí se usa la filosofía del GS, el cual utiliza los valores mas recientes conocidos para realizar el próximo cálculo. La metodologia es similar al método de LBL, con la modificación de incluir los valores de la variable determinados recientemente en una línea previa para el cálculo de la próxima linea sobre la misma iteración. Es decir, por ejemplo, iniciando por aplicar el método de LBL para determinar la variable para toda icon j = 2, el término d, de la ecuación (4.56) tiene incluidos términos en j = 1 (determinados de los datos de frontera) y j=3 (conocido de la previa iteración). Nuevamente haciendo uso del algoritmo TDMA para toda i c o n j = 3, el término d, ahora tiene incluidos términos en j = 2 (conocido de la iteración en curso) y j = 4 (conocido de la previa iteración), para esta linea j = 3 , los términos correspondientes a j = 2 ya fueron determinados previamente y son usados para el cálculo de la variable sobre esta línea, esta es la modificación del método de LBL (no es el caso del método de LBL el cual utiliza los valores de la iteración previa). De esta forma se continúa aplicando el método de LBL modificado hasta realizar el barrido completo de todas las líneas del dominio computacional. Ferziger y Peric (1997) mostraron que usando el método LGS para la solución del transporte escalar, el tiempo de cómputo es aproximadamente el 50% del tiempo requerido por el método GS.

Método de línea Gauss-Seidel de direcciones alternantes implicitas íLGS-ADI): este método es un LGS aplicado alternadamente, es decir, por ejemplo para u n problema de 2D, una iteración del método LCS-AD1 consiste primero aplicar el LGS en dirección x y posteriormente se utilizan los resultados obtenidos para aplicar el LGS en dirección y. Esta demostrado que este método es dos veces más rápido que el método de LGS para la ecuación de Laplace con condiciones de frontera de primera clase (Ferziger y Peric, 1997). La convergencia del método es más rápida debido a que la información de las condiciones de las fronteras son transportadas mas rápidamente hacia los nodos interiores del dominio.

4.4.6

En la solución iterativa de las ecuaciones algebraicas se puede acelerar o alentar los cambios de la variable dependiente de iteración a iteración. Este proceso es llamado sobre- relajación (overreluxution) o bajo-relajación (underveluxution), dependiendo si los cambios de la variable es acelerada o disminuida. La sobre-relajación es comúnmente usado en conjunto con el método de Gauss-Seidel y el esquema resultante es conocido como

Relajación de la Solución Parcial

96

SOLUClON DE LAS ECUACIONES DE CONSERVACl6N CAPITULO 4

Sucesiva sobre-relajación (Successive Over-Relaxation, SOR), con el método de linea por linea (Line-by Line) es menos común. La bajo-relajación es útil para los problemas que son no lineales (como el presente trabajo) y es a menudo usado para evitar la divergencia en el proceso iterativo de la solución de ecuaciones.

Hay varias formas de introducir sobre-relajación o bajo-relajación. A continuación, se presenta el desarrollo para la relajación de una variable q5 utilizada para la solución de las ecuaciones en esta investigación. Partiendo de la ecuación (4.17b) se tiene:

c ~“eclnosq5”eci”os + b mP = (4.63)

Definiendo &Id como el valor de bp“‘ de la previa iteración. Entonces la ecuación (4.63) se pude manipular con el valor de &Id como:

(4.64)

Se puede observar que el término dentro del paréntesis representa el cambio en ,I:,,, producido por la iteración. Este cambio puede ser modificado por la introducción de un factor de relajación a , asi que la ecuación (4.64) se puede expresar como:

(4.65a)

o también:

(4.66)

Cuando el proceso iterativo converge, esto es, qíFm” = # ; I d , implica que en la ecuación (4.65a) los valores convergentes de @,Y’+ satisfacen la ecuación original (4.63). Un esquema de relajación debe poseer esta propiedad, una solución final convergente aunque obtenida de un valor arbitrario de relajación debe satisfacer la ecuación original.

Si se utilizan valores para el factor de relajación a entre O y I , el efecto es de baja- relajación, es decir, el valor de @“‘“ es muy cercano al valor de $;”. Por otro lado, si el valor de a e s mayor que 1 se produce una sobre-relajación.

97

SOLUCl6N DE IAS ECUACIONES DE CONSERVACldN CAV~TIJIX) 4

La ecuación (4.65a) se aplica para recalcular la variable después que se aplicó el método de solución de las ecuaciones algebraicas, por el contrario, la ecuación (4.66) se usa antes de aplicar el método de solución de las ecuaciones.

4.4.7 Criterios de Terminación Global del Proceso lterativo (Criterio de Convergencia) "

En la utilización de los métodos iterativos para la solución de un sistema de ecuaciones, se ha de tener en cuenta que cuando la solución del problema tiende a converger, la solución se aproxima de manera asintótica a la solución real. También se tiene que tener en cuenta que la solución numérica después de cierto números de iteraciones ya no cambia, y no permite obtener una mejora de los resultados hacia la solución real, esto es debido a los errores involucrados en los truncamientos de las aproximaciones, es decir, dependiendo de las aproximaciones utilizadas en el proceso de discretización de las ecuaciones diferenciales, se obtendrán ciertos resultados y no se podrá pedir una mejora en ellos a menos que se utilicen aproximaciones más exactas. Es por esto, que es necesario establecer un criterio de convergencia del proceso iterativo a partir del cual se considera la solución suficientemente convergente.

Los criterios seguidos para comprobar que una solución converge son el residuo másico normalizado y el residuo de las variables (también se puede calcular de forma normalizada).

El residuo másico es muy importante en cualquier problema, especialmente en los casos de convección natural debido al acoplamiento que existe en todas las ecuaciones. Normalmente, este residuo se utiliza para comprobar que se ha cumplido el principio de continuidad en cada volumen de control. Para el caso de 2-D, el residuo másico normalizado es:

(4.67)

v.<:

El residuo anterior significa, que cuando las velocidades obtenidas de una presión supuesta cumplen continuidad con una precisión másica determinada, el proceso iterativo puede acabar.

Los residuos para las variables pueden ser calculados como la desviación cuadrática para todo el dominio de solución.

(4.68a)

I!

98

I! SOLUCION DE LAS ECUACIONES DE CONSERVACION CAPITULO 4

o en forma normalizada:

I r

(4.68b)

En la solución de las ecuaciones de conservación de este estudio, se estableció que el residuo másico normalizado sea R,,,,,i,o S y que el residuo no normalizado para todas las variables (velocidales, temperatura, energía cinética turbulenta y la disipación de energía cinética) fuera menor o igual a I 0.".

4.4.8 Algoritmo Glob'al del Proceso lterativo

Como se mencionó anteriormente, para resolver las ecuaciones de masa y movimiento se implemento el algori!mo SIMPLEC, a continuación se presenta un resumen del procedimiento.

I . Se inicia con un campo de presión estimado: P'. 2. Se resuelven las ecuaciones de conservación de momento, para obtener: u y v . 3. Se resuelve la ecuación de corrección de presión, para obtener: P. 4. Utilizar el campo de corrección de presión P para corregir el campo de presión

dado por: P=P'+P 5. Calcular las componentes de velocidades con los valores de corrección de

velocidades (determinadas con P ) dadas por:

* I

u=u +u v=v +v

6. Resolver otras ecuaciones de conservación discretizadas (Energía, Energía cinética turbulenta, etc.).

7. Se aplica el criterio de convergencia. Si se cumple el criterio se imprimen los resultados, en caso contrario se continua con el siguiente paso.

8. Finalmente en caso de continuar con el proceso de iteración, la presión P pasa a ser la presión estimada P' y se repiten todos los pasos nuevamente hasta que la solución converge.

En la Figura 4.8 se muestra un diagrama de flujo del algoritmo SIMPLEC

Se puede apreciar que la técnica del algoritmo SIMPLEC es secuencial, es decir, la solución de las ecuaciones de conservación de masa y movimiento se obtiene de manera secuencial.

99

SOi.UCl6N DE LAS ECUACIONES DE CONSERVACION CAPiI'UI.0 4 't

t

I PASO I Suponcr un Campo dc Prcsibn, Vclociddd y otras Variables

P'. U.. Y.. y?. I t

PASOZ: Resuelve 18s Em. de Momento Discrclii-adas

u , y

PASO 3: Kesuelvc la Ec. de Conccción de Presiiin

P' PASO 4.5: Corregir Presinn y Vcloeidades

. , P=P'+P U=U'+", - + Y

f, u , v. v' FASO 6: Resuclve Oiras Ecs. dc

Transpone Discrcliiadas y?

Figura 4.8 Diagrama de flujo para el algoritmo SIMPLEC

1 O0

SOLUCION DE LAS ECUACIONBS DE CONSERVACION CAPIIULO4 l:

4.5 CAVIDAD.

El método de radiosidad / irradiancia (MRI) es aplicado en este estudio (Siege1 y Howell, 1981). El método consisk en que la cavidad es dividida en N superficies isotermas. sobre cada una de las superficies se considera la irradiancia, radiosidad y factores de forma uniformes. Los factores de forma pueden ser determinados de alguna aproximación o por el método de cuerdas cruzadas (para el caso de 2D). Entonces para determinar los flujos de

calor radiativos resultantes q , ( x , ) , qr2(y2) , q,<(x3), q , ( y 4 ) en las paredes de la cavidad es necesario resolver las ecuaciones de radiosidad (3.28), (3.32), (3.36) y (3.40). Las ecuaciones fueron resueltas por el método de aproximaciones sucesivas. El proceso iterativo consiste en estimar la distribución de radiosidades de las ecuaciones para obtener una nueva distribución , esta a su vez, se sustituye de nueva cuenta en las ecuaciones integrales y se vuelve a calcular hasta que la diferencia entre las nuevas y las anteriores calculadas sean menores a un valor predeterminado (para este criterio de convergencia se encontró necesario un valor de para cumplir los balances en el interior de la cavidad). Las integrales fueron evaluadas por la regla Simpson. En la Figura 4.9 se muestra un diagrama de flujo del MRI para el cálculo de la transferencia de calor radiativa entre las paredes de la cavidad.

MÉTODO DE SOLUCIÓN DEL INTERCAMBIO RADIATIVO EN LA

11

'

4.6 MÉTODO DEISOLUCIÓN PARA EL MODELO CONDUCTIVO EN LA PARED SEMITRANSPARENTE.

El modelo matemático para la conducción de calor fue presentado en el capítulo anterior (sección 3.5). Se ob&rva en este modelo que no existen términos para los flujos convectivos, debido que se trata de un medio sólido. También, este caso se puede aplicar la discretización general obtenida para la ecuación de convección-difusión mostrada previamente. Ésta se hace válida para el modelo conductivo de la pared semitransparente, si los F s se anulan, con esta consideración la ecuación 4.17 se reduce a:

a p T p = aETE + awTw t aNTN i asT,.; i b

donde:

(4.69)

(4.70)

(4.71)

(4.72)

101

!I SOLUCIÓN DE LAS ECUAClONEdDE CONSERVACl6N CAPiTiJLO 4

Cálculo de los Faclores dc forma e integncicin de Simpson para obtener las irradiancias: q , s

(4.73)

radiosidades: q.s

(4.74)

Cálculo de las nueva radiosidades: q.s

(4.75)

El sistema de ecuaciones algebraicas generados por la ecuación (4.69) fue resuelto por el método LGS-AD], en la cual, se usó un residuo no normalizado menor o igual a para finalizar el proceso de solución iterativo. En la Figura 4.10 se muestra un diagrama de flujo para la conducción de calor en la pared semitransparente.

81

I MR' I t

I Dalos de entrada l ix . c. p. c? ?' I t

Cálculo de las potenciar emiswas c&

I lnicializacidn de las radiosidas q. s I

1 '' NO

I Cdlculo dc 10s flujos radiativos rcs"lw"lcs: q, '.Y I .

I Imp r i m e I

Figura 4.9 Diagrama de flujo para el intercambio radiativo en la cavidad

102

co I

!S 4

m NO133nüN03

1, P Olfl.L!dV3 NO13VAü3SNO3 3a SBN013Vn33 SV13cI NOl3nlOS

VERIFICACIÓN DEL C6DIGO: PROBLEMAS DE REFERENCIA (Casos Benchmark) CAP~TULO 5

CAPÍTULO 5 VERIFICACI~N DEL CÓDIGO: PROBLEMAS DE

REFERENCIA (Casos Benchmark) I:

En este capítulo se presenta la verificación del código numérico, se presentan los casos de referencia para verificar "el código tales como la convección natural en cavidades alargadas, el intercambio radiativo en una cavidad cuadrada, la transferencia de calor conjugada (convección y radiación) en una cavidad con flujo turbulento, la conducción de calor en una pared semitransparente. IILas comparaciones entre los resultados obtenidos con datos de la literatura se realizaron cualitativamente y cuantitativamente en forma gráfica y tabular.

Para el caso de problemas de verificación en régimen laminar, la formulación de flujo turbulento para variables medias es transformada a variables instantáneas para flujo laminar haciendo la energía cinética turbulenta igual a cero (K = 0) y por consecuencia la distribución para la visdksidad turbulenta se desvanece a cero (pt = O).

5.1 VEFUFICACI~N DEL CÓDIGO

Un importante paso en el desarrollo del código de cómputo es su verificación, esto se puede llevar a cabo adecuando el código a casos reportados por el Laboratorio de Termotecnia y Energética del CTTC (Centro Tecnológico de Transferencia de Calor) de la UPC (Universidad Politécnjca de Catalunya), Barcelona España. Casos experimentales reportados en la literatura son escasos y solo se cuentan con algunos datos para problemas de turbulencia.

A continuación se presentan los casos de referencia que se emplean en la verificación del código numérico:

I

Flujo laminar en una cavidad cuadrada con una pared deslizante. Convección natural en una cavidad cuadrada calentada diferencialmente en las paredes verticales considerando que el flujo es laminar. Convección natural en una cavidad rectangular calentada diferencialmente en las paredes horizontales considerando que el flujo es laminar (Problema de Rayleigh-

Convección natural en una cavidad rectangular calentada diferencialmente en las paredes verticaies considerando que el flujo es turbulento. Transferencia de calor por radiación considerando el intercambio radiativo en el interior de una cavidad cuadrada con paredes opacas. Transferencia de calor por convección natural y radiación en una cavidad cuadrada calentada dif&encialmente en las paredes verticales considerando el flujo turbulento. Transferencia de calor por conducción bidimensional en una pared semitransparente en 2D.

Bénard. 11

11 104

vERIFlcACl6N DEL C 6 0 1 G 0 PROBLEMAS DE REFERENCIA í C w s Benchmark) CAPITULO s

Como este estudio es bidimensional, el código numérico desarrollado fue adecuado a todos los problemas mencionados previamente en dos dimensiones. Una vez adecuado el código a los casos de referencia, se compararán sus resultados a los casos reportados en la literatura.

5.2FLUJO LAMINAR EN UNA CAVIDAD CUADRADA CON UNA PARED DESLIZANTE '1

Este es un problema de flujo laminar e incompresible en una cavidad cuadrada de ancho Hx, en la cual la paredisuperior se mueve con una velocidad uniforme U,. Este caso es conocido en inglés como "Driven-Cavily Problem". El problema ha sido usado como un problema de referencia para probar y evaluar técnicas numéricas. Ghia et al. publicaron en 1982 y 1988 los resultlos de referencia usando una técnica de multimallas (componentes de velocidades a través del centro de la cavidad). En la Figura 5.1 se muestra el modelo físico del problema con sus condiciones de frontera y las ecuaciones que gobiernan el fenómeno son las ecudciones de conservación de masa y de momento (ecuaciones de Navier-Stokes). Utilizando Hx y U, como parámetros de adimensionalización se obtienen las ecuaciones adimensionales dependientes del número de Reynolds (Re = pHxU, /p). Por lo tanto, la solución será presentada en función del Re.

u=u,

u=v=o u=v=o

X n u=v=o

Figura 5.1 Problema hidrodinámico

Yt En la Figura 5.2 se muestran las curvas de la comparación de los resultados obtenidos con la soluc@n de referencia (Ghia et al., 1982), los resultados corresponden a las componentes de velocidad en formaladimensional como función de las coordenadas adimensionales del ancho y alto de la cavidad del centro de la cavidad para diferentes números de Reynolds.

En la obtención de estÓs resultados se usó la metodología del algoritmo SIMPLEC con el esquema de ley de potencia sobre una malla uniforme descrita en el Capitulo 4. Las mallas fueron de 61*61, 141*141 y 221*221 para los números de Re de 100, 400 y 1000 respectivamente. En Ila misma figura se puede observar que se tienen resultados cualitativamente similares a los resultados de referencia y encontrándose que la máxima diferencia absoluta porcentual, entre los tres números de Reynolds, fue para Re = 1000 de 5.878 y 5.420% parallu' y Y* respectivamente. Por lo tanto la solución obtenida puede considerarse aceptable.

105

VERIFICACIÓN DEL ~ 6 0 1 ~ 0 : PROBLEMAS DE REFERENCIA (Casos Benehrnork) CAPITULO 5

0.9

0.7

0.5 ,

Una discusión en detalle del problema incluyendo el estado transitorio puede ser encontrada en el trabajo realizado por Hinojosa et al. (2001).

i * GNa(NxY9)

___ PresreBtida W-69

i

>

X*

(a) Re = 100

0.05 -02 Gna(Nx=ns)

P E a R E e 3 t i d l O (Nx=M4

-0.3 __ -0.4

-0.5 -035

Re= 1

i

O0

-0.4. 1 -

0.4

0.8

Y' X.

(c) Re = 1000

Figura 5.2 Componentes de velocidad en el centro de la cavidad para Re = 100,400 y 1000.

106

VENFICACIÓN DEL CÓDICO: PROBLEMAS DE REFERENCIA (Casos Benchmark) CAPITULO 5

5.3 FLUJO LAMINAR EN UNA CAVIDAD CUADRADA CALENTADA DIFERENCIALMENTE EN LAS PAREDES VERTICALES

Se considera para la verificación el problema de referencia de convección natural, con flujo laminar e incompresible' con propiedades constantes (considerando la aproximación de Boussinesq), este caso es conocido como "D~fferential Heated Cavity" y es muy referenciado en la literatura. En 1983, De Vahl Davis logró una solución de referencia para verificar los códigos, sus resultados fueron obtenidos con el método de diferencias finitas con un esquema upwind.

En la Figura 5.3 se muestra el modelo fisico del problema, en el cual las condiciones de velocidad sobre las cuatro paredes son condiciones de no-deslizamiento. Las ecuaciones que gobiernan el fenómeno son las ecuaciones de conservación de masa, momento y energía. 'I

aT/*o

I/ Figura 5.3 Cavidad con paredes isotérmicas calentada diferencialmente

Para este estudio, Hx y (~~ATHx) '" son usados como parámetros de adimensionalización de las escalas de longitud y velocidad respectivamente. Donde g es la aceleración gravitacional, p es el coeficiente de expansión térmica, AT = TH-Tc es la diferencia de temperaturas entre las Paredes isotérmicas. La temperatura adimensional se define como 7" = (T-Tc)/ AT. Finalmente, el problema en forma adimensional queda en función del número de Rayleigh (Ra = gpATHx3/av) y del número de Prandtl (Pr = da), donde v es la viscosidad cinemática 'b a es la difusividad térmica. Así pues, la Tabla 5.1 muestra los resultados de la comparación en función del número de Ra, para un número de Prandtl (Pr) de 0.71 y un intervalo, de Ra de IO3 a IO6 en estado permanente. El código fue resuelto mediante el algoritmo SIMPLEC. Las comparaciones del presente estudio se realizan con los resultados reportados de De Vahl Davis et al., (1983); Markatos et al., (1984); Fusegi et al., (1991) y Barakos et al., (1994).

./

Para la aproximación de los términos advectivos se usó el esquema de Ley de Potencia (Patankar, 1980) sobre4una malla no-uniforme de 61*61 para todos los casos.

107

I!

VERlFlCACl6N DEL C6DlGO: PROBLEMAS DE REFERENCIA í C w s Benchmark) CAP~TULOS

Barakos

Los valores de comparación corresponden al número de Nusselt promedio, máximo y mínimo en la pared caliente de la cavidad así como también para las componentes de velocidad adimensionales máximas en el centro de la cavidad. Entre los resultados de comparación cuantitativamente con los de referencia (De Vahl Davis et al., 1983) se observa que las mayores errores se tienen para el Ra = lo6, con valores del 0.39,2.3 I , 6.27, 1.30 y 0.77% para el Numdlo, NumBx, Numin, urnax* y vm,*, respectivamente. Entre estos, el parámetro que presentalhma mayor desviación es el número de Nusselt mínimo con un 6.27%, pero si se compara este mismo parámetro con una solución más reciente (Barakos et al., 1994), la desviación se reduce aproximadamente a un 5%. Análogamente, el número de Nusselt medio es el pahmetro que presenta un menor error, con un 0.39%, pero si se compara esta con la solución de Fusegi et al. (1991) se alcanza una desviación mayor (2.54%).

Adicionalmente, la Figura 5.4 presenta los resultados adimensionales para las componentes de velocidad (u*,v*), c d p o de velocidad vectorial, líneas de corriente (Y') e isotermas (7').

Presente estudio Markatos De Vahl Davis Fusegi

TABLA 5.la Comparación de resultados obtenidos con los reportados en la literatura para: a) Ra = lo3, b) Ra = 1 04, c) Ra = 1 O', d) Ra = 1 06.

Nu,dLO

Nu, (y')

Nu,,. (y')

urnax* (y*)

vmax;'(x*)

1.118 (0.09%)"

1.114 1.108 1.117 1.105

1.508 (0.093) 1.581 (0.099) 1.496 (0.083) 1.505 (0.092) 1.420 (0.083)

0.670 (0.994) 0.720 (0.993) 0.692 (1.000) 0.764 (1,000) 0.691 ( I ,000)

0.137 (0.805) 0.153 (0.806) 0.133 (0.832) 0.137 (0.813) 0.132 (0.833)

0.139 (0.178) 0.155 (0.181) 0.135(0.168) 0.139(0.178) 0.131 (0.200)

(0.20%)-

(0.1 5%)"

(0.00%)-

(0.00%)-

NUrn&

Nu, (y')

Nu,,. (y')

2.243 (0.22%)"

3.533 (0.151) (0.14%)"

0.588 (1.000) rn ?AV.>*'

2.245 2.201 2.238 2.302

3.539 (0.143) 3.482 (0.143) 3.528 (0.143) 3.652 (0.623)

0.583 (0.994) 0.643 (0.993) 0.586 ( I ,000) 0.61 1 (1.000)

u,,'(y') 0.193 (0.818) 0.192(0.832) 0.192(0.823)

v,=*(x*) 0.234(0.119) 0.231 (0.113) 0.233(0.119)

108

,-..,-,", 0.201 (0.817) 0.191 (0.827)

0.225 (0.117) 0.232 (0.1 17) (0.52%)"

(0.43%)"

I/

VERIFICACIÓN DEL CÓOIGO PROBLEMAS DE REFERENCIA (Casas Benchmark) CAPITULO s

Barakos 1 Markatos De Vahl Davis

TABLA 5.lb Comparación de resultados obtenidos con los reportados en la literatura para: a) Ra 5 1 03, b) Ra = 1 04, c) Ra = 1 Os, d) Ra = 1 06.

Presente estudio Fusegi

Nbdi.

Nu,, (y')

4.514

7.714 (0.087) (o. I I % j*

7.636 (0.085) 7.626 (0.083) 7.717 (0.081) 7.795 (0.083) (n.n4%)"

+ 4.510 4.430 4.509 4.646

Nu,,, (y*)

umX* (y')

vm* (x')

.. 0.747 (1.000)

(2.47%)" 0.131 (0.848)

(0.77%)" 0.257 (0.065)

0.773 (0.999) 0.824 (0.993) 0.729 ( I ,000) 0.787 ( I ,000)

0.132 (0.859) 0.134 (0.857) 0.130 (0.855) 0.147 (0.855)

0.258 (0.066) 0.259 (0.067) 0.257 (0.066) 0.247 (0.065) (0.00%)"

En la Figura 5.4 se muestran las isolíneas de las componentes de velocidad, la velocidad vectorial, las líneas de corriente y las isotermas dentro de la cavidad para los números de Rayleigh de 1 O', I 04, I Os y 1 06. Estas figuras muestran que para Ra = 1 O' las isotermas son casi paralelas a las paredes verticales, indicando que predomina la transferencia de calor por conducción entre las paredes caliente y fría. El efecto convectivo es observado cuando las isotermas son desviadas de la forma vertical (conforme las isotermas se desvían de la posición vertical, el mdcanismo de transferencia de calor que predomina es la convección). Cuando se incrementa el número de Ra (Ra = IO4) los gradientes de temperatura son más severos cerca de las paredes verticales, pero disminuyen en el centro de la cavidad. Este comportamiento continua hasta un Ra = lo', la transferencia de calor por convección en la capa límite viscosa altera la distribución de temperatura hasta cierto punto que los gradientes de temperatura en el centro de la cavidad son cercanos a cero o cambian de signo. Para el valor "de Ra = IO', las isotermas en el centro de la cavidad son aproximadamente horizontales evitando el movimiento vertical ahí. En Ra = IO6 la transferencia de calor es principalmente por convección y la capa límite adyacente en las paredes verticales es dilgada y las isotermas son únicamente verticales dentro de esta capa límite.

i

NUmedlo

Nu,, (y')

Nu,,(y*)

U,-' (y')

v,=* (x')

I09

8.783 (0.39%)"

17.51 I (0.0383) (2.31%)"

8.806 ,i 8.754 8.817 9.012

17.442 (0.0368) 17.872 (0.0375) 17.925 (0.0378) 17.670 (0.0379)

1.001 (0.999) 1.232(0.993) 0.989(1.000) i.257(1.000)

0.078 (0.867) (1.30%)" 0.077 (0.859) 0.082 (0.872) 0.077 (0.850) 0.084 (0.856)

0.262 (0.039) 0.263 (0.0375) 0.260 (0.0379) 0.259 (0.033) 0.262 (0.0383) (0.77%)"

'1 1 .o51 (1.000) (6.27%)"

CAPITULO 5 11 VERIFICACIÓN DEL CÓDIGO: PROBLEMAS DE REFERENCIA (Casos Benchmark)

U I, V Campo de velocidad Y' T' vectorial

(a)Ra= IO3

(b) Ra = IO4

(c)Ra= 10'

(d) Ra = IO6

Figura 5.4 Componentes de velocidad (u*,v*), campo de velocidad vectorial, líneas de corriente (Y*) e isotermas (f) para la cavidad calentada

diferencialmente para Ra de IO3 a IO6. ~

I I O

VERlFlCAClÓN DEL CÓOiGO PROBLEMAS DE REFERENCIA 1Casas Benchmark) CAP~TULOS

En la región central de la cavidad la estratificación térmica vertical impide algún movimiento vertical como se confirma en la Figura 5.5 que se muestra a continuación (componente V'). En gederal, conforme se incrementa el número de Ra la componente de velocidad vertical (v ) tiende a ser más pequeña fuera de la capa límite vertical y es prácticamente igual a cero sobre el 60% de la altura de la cavidad para Ra = IO6. También se observa en la Figura 5.4 que para pequeños valores de Ra aparece un vórtice característico del flujo. Conforme se incrementa el número de Ra el vórtice tiende a ser elíptico; esto es debido á que las velocidades en el centro de la cavidad son muy pequeñas comparadas con las velocidades próximas a las fronteras donde el fluido se mueve más rápido. Los resultados de las Figuras 5.4 fueron cualitativamente similares a las figuras que presentan De Vahl Davi4 et al., (1983); Markatos et al., (1984) y Barakos et al., (1994).

La Figura 5.5 muestra la temperatura 7" y las componentes de velocidad u* y Y* ubicadas en la parte central de la cabidad como función de las coordenadas adimensionales X* y y'. En grafica inferior se puede apreciar que los perfiles de temperaturas presentan un cambio rápido en el mecanism8 de transferencia de calor de conducción a convección, es decir, después de una pendiente de 45" a un Rayleigh bajo (lo3), los perfiles llegan a ser líneas horizontales en el centro de la cavidad y todos los gradientes de temperatura son localizados en el inter¡& de la capa limite, la cual se ha desarrollado cerca de las paredes verticales. Por otro lado, de las dos graficas superiores se puede notar que cuando se aumenta el número de Rayleigh, la velocidad u* disminuye gradualmente cerca del centro de la cavidad y la componente de velocidad Y* incrementa su amplitud haciéndose máxima cerca de la pared de la cavidad. La razón de este comportamiento es debido a la distribución térmica que se explicó previamente. Los cambios de dirección de las componentes de la velocidades corresponden a los cambios en las pendientes de los perfiles de temperatura, esto da prigen al desarrollo del vortice.

0.5

Figura 5.5 Componentes de velocidad y temperatura adimensional en el centro de la cavidad para Rayleigh: I O', 1 04, 1 Os y I 06. I1

CAPiTULO 5 I¡ VERIFICACION DEL C6DlGo: PROBLEMAS DE REFERENCIA (Cawis Benchmark)

De los resultados anteriores se puede concluir que los resultados obtenidos son satisfactorios. I1

I1 5.4 FLUJO LAMINAR EN UNA CAVIDAD RECTANGULAR CALENTADA DIFERENCIALMENTE EN LAS PAREDES HORIZONTALES

Las ecuaciones que gobiernan el fenómeno de convección natural en cavidades rectangulares inclinadas fueron resueltas con el fin de contar con un programa numérico que pudiera ser para otras aplicaciones (colectores solares, enfriamiento de dispositivos electrónicos, etc.). Para ello, se adecuó el código para tomar en cuenta el ángulo de inclinación y la razón delaspecto de la cavidad.

Por lo que en el presente estudio, las ecuaciones de conservación se modificaron para adecuarlas al caso repohdo por Soong et al. (1996), el cual corresponde al problema de Ra leigh-Bérnard con una razón de aspecto de 4 (A = Hx/Hy) y un número de Rayleigh de 10 . Los resultados obtenidos tienen un error máximo del 0.2% para el número de Nusselt promedio.

El modelo físico considera una cavidad rectangular de longitud Hx y altura Hy como se muestra en la Figura 5.6. Las dos paredes verticales se encuentran aisladas, el fluido es calentado y enfriado en las otras dos paredes restantes. Se considera que el fluido tiene propiedades constantes'iy se usa la aproximación de Boussinesq. En este presente estudio, Hx y ~ P A T H X ) ' ~ son usadas como las escalas de longitud y velocidad respectivamente. Las cuatro paredes tienen las condiciones de no-deslizamiento.

It

,I

I/

1

I/

O

Figurn 5.6 Cavidad reciangukr inclinada. I!

Las ecuaciones que r,igen el fenómeno son las ecuaciones de conservación de masa, momento y energía. Para el acople de las ecuaciones de conservación se usó el algoritmo SIMPLEC. El sistema de ecuaciones algebraicas obtenido fue resuelto usando el método de línea por línea (LBL). Para evitar la divergencia en la solución iterativa, se usó bajo- relajación en todas las ecuaciones discretizadas, en la cual se utilizó un factor de relajación

112 'I

VERlFlCAClbN DEL C6DiCO: PROBLEMAS DE REFERENCIA (Casos Benchmark) CAPITULO 5

Nusselt ,, Soong et al. (1 996) Presente estudio promedio

Nuhat 2.52234 2.52759 Nucold 2.52243 2.5.2126

de 0.8. La comparación cuantitativa se muestra en la Tabla 5.2, en la cual se aprecian que los resultados obtenidos para los números de Nusselt promedio en la pared caliente (Nuhot) y en la pared fría (Nuwid) concuerdan con los de Soong et al. (1 996) en 0.2%. La Figura 5.7 presenta adimensionalmente las líneas de corriente, el campo de velocidad y las isotermas correspondientes para el Caso de Rayleigh de IO4 y razón de aspecto de 4.

Dif. ?'o

0.21 0.19

C)

Figura 5.7 Resultados para el problema de Rayleigh-Bénard: (a) Líneas de corriente, (b) Isotermas y (c) Campo de velocidad.

Un estudio preliminar para la extensión de este tema, respecto a cavidades inclinadas, en la cual la orientación de 'la cavidad cambia las componentes de la fuerza de flotación y se encuentra reportada en Xamán et al., 2002.

El estudio proporciona información importante acerca de los patrones de flujo y en base al análisis de los resultados se concluyo que la transición de los patrones de flujo varían debido a cambios en el ángulo de inclinación de la cavidad y cambios en el número de Rayleigh. También se concluye que la cantidad de transferencia de calor puede ser drásticamente alterada por la inclinación de la cavidad.

En la Figuras 5.8 se presentan las líneas de corriente y las isotermas para una cavidad alargada inclinada para un Ra = IO4 y para diferentes ángulos (15" < 0 S 35") con razón de aspecto de 10. En esta ¡figura se puede apreciar el modo de transición del patrón de flujo, el cual conforme se aumenta el ángulo de inclinación de la cavidad las isotermas cambian

'1 113

VERlFlCACIÓN DEL C6DiCO: PROBLEMAS DE REFERENCIA (Casos Benchmark) CAPITULO 5

gradualmente de un estado de estratificación a una distorsión simétrica debido al movimiento celular. También se muestra que cuando disminuye el ángulo de inclinación aumenta el número de celdas, para 8 = 15" aparecen 5 celdas girando en sentido negativo (giro contrario al movimiento de las manecillas del reloj) y 4 celdas girando en sentido positivo (líneas punteadas), el cual demuestra que el movimiento celular es débil, cuando 8 es incrementado el patrón de flujo cambia de 9 a 5 celdas entre 15" y 20". De esta forma la estructura del flujo va cambiando hasta alcanzar un movimiento unicelular en 35'. En la Figura 5.8b se puede observar que la transferencia de calor por convección predomina en 8 = i5O y que este efecto Lonvectivo se va disminuyendo conforme se aumenta el ángulo de inclinación de la cavidad. Este cambio en la transferencia de calor implica una transición del patrón de flujo comolse puede apreciar en las líneas de corriente de la Figura 5.8a.

La transición de los patrones de flujo dependen de la competición entre los términos de flotación y los términos "cortantes (a lo largo de la pared caliente y fría) debido al ángulo de inclinación de la cavidad. La estructura multicelular se mantiene definida para ángulos de inclinación de 15" 2 112 25" para esta razón de aspecto. La tendencia a una estructura unicelular del patrón de flujo prevalece para los ángulos de 30" y 35', esta tendencia a la estructura unicelular se mantiene debido al efecto del flujo longitudinal en dirección x, que desvanece la estructura multicelular.

Una discusión más completa para cavidades inclinadas con razón de aspecto de 8 y I O puede ser encontrada en'los trabajos de Xamán et al. (2002a y 2002b)

11

R = 250 . ..

e = 35" I,

(8 ) (b)

Figut-4 5.8 Resultados para A = 10, Ra = lo4 y 8 = 15"-35O: (a) Líneas de corriente y (b) Isotermas.

114

. .~ . II

CAPITULO 4 VERlFlCACldN DEL C 6 D i W : PROBLEMAS DE R E F E

Ra

2.43*10'"

5.5 FLUJO TURBBULENTO EN UNA CAVIDAD RECTANGULAR CALENTADA DIFERENCIALMENTE EN LAS PAREDES VERTICALES

Se consideran dos casos: cavidades alargadas verticales y cavidades cuadradas. El modelo fisico y matemático se presenta en el capítulo 3, sección 3.3. Los resultados del presente estudio fueron comparados con los resultados experimentales y numéricos encontrados en la literatura y con resultahos proporcionados por el CTTC. En todos los casos se usó el algoritmo SIMPLEC bajo una formulación de falso transiente.

5.5.1 Convección Natural en una Cavidad Alargada Calentada Diferencialmente con Flujo Turbulento

2 ) To TH Tc A HY Hx (K) (K) (K) ( H y W ím) (m) (m/s 303 323 283 30 3 .O o. 1 9.81

Para el problema de convección natural en una cavidad rectangular calentada diferencialmente se implementaron los modelos de turbulencia JL, CH, IL y HH. Los datos utilizados para este prothema fueron: Ra = 2.43*101° (basado en la altura de la cavidad) y Pr = 0.71. En la Tabla 5.3 se muestran valores para las constantes y propiedades de aire necesitadas para este caso.

Ra

2.43*10'"

P Á. CP P (kg/rns) (W/mK) (J/kgK) (IIK)

P I1 (kg/m3)

1.18 1.847*10-5 2.617*10-' 1006 7.958*IO4 I1

5.5.1.1 Comparación del Presente Estudio con los Resultados Experimentales de Daffa'alla et al. (1991)

El código numérico donde se considera el flujo turbulento fue implementado usando una malla no-uniforme de 81*81. Los resultados obtenidos para el número de Nusselt promedio, la velocidad' Y* máxima en el centro de la cavidad y la viscosidad turbulenta máxima 01;) fueron comparados con los resultados experimentales de Daffa'alla et al. (1 991).

En la Tabla 5.4 se puede apreciar que para este estudio el modelo IL presenta la mejor aproximación comparando con los resultados experimentales de Daffa'aila et al. (1991) En general todos los modelos presentan valores mayores para el número de Nusselt respecto ai resultado experimental (el modelo HH hasta en aproximadamente un 90%). Los resultados de la velocidad verticaltmás próximos son los de los modelos IL y CH; y para la viscosidad turbulenta máxima los modelos IL y JL presentan las mejores aproximaciones. En conclusión, el modelo IL proporciona el mínimo porcentaje de diferencia con el presente estudio.

CAPITULO 5 11 VERIFICACIÓN DEL C~DICO: PROBLEMAS DE REFERENCIA (Casos Benchmark)

Pérez-Segarra et al.

5.5.1.2 Comparación del Presente Estudio con los Resultados Numéricos de Pérez- Segarra et al. (1995)

Similarmente al caso anterior, los resultados que proporcionó el código que considera flujo turbulento para una malla no-uniforme de 45*45 fue comparado con los resultados obtenidos del número de Nusselt promedio, el Nusselt máximo en la pared caliente, las velocidades (u', v') máximas en el centro de la cavidad, la líneas de corriente en el centro de la cavidad ('4") y la Viscosidad turbulenta máxima @;) reportados por Pérez-Segarra et al. en 1995.

En la Tabla 5.5 se 'presentan los resultados de comparación para los parámetros anteriormente mencionados. Se observa que los resultados de todos los modelos implementados concuerdan con los resultados numéricos de Pérez-Segarra et al. (1 995). Entre los resultados para el número de Nusselt de los cuatro modelos de turbulencia implementados, la mayor diferencia se tiene con el modelo CH (3.38%). Para la componente de velocidad VI, la diferencia máxima se encuentra con el modelo HH (1.12%) y para la viscosidad turbulenta se difiere en un 2.69%, esta corresponde al modelo CH. En general se puede decii que se reprodujeron satisfactoriamente los resultados numéricos reportados en la literatura.

I1

Presente estudio Tabla 5.5 Comparación cor

Numedio ( F O ) N u m a x ( F O )

+Hy/2) Vlll,

I los resultados numéricos de Pérez-Segarra et al. (1995).

198.8 283.1 (1.38%) ~ ~ ~

166.0 180.5

___ 570.1 ___ 545.4

196,1

575.4 542.4 575'4 (0.93%) 569.8 (0.55%)

0.08375 0.09846 0.09469 0.07755 0.08416 0.09836 0.09421 0.07843 (o,49%) (o.1o%) (0.51%) (1.12%) 0.0386 1 0.0322 I (o,52%) 0.039' rn 7iv.1 _ _ _ 0.0388 ___ 0.0323 0.0353 %ax

(x=Hx/2)

,... , I " I I I \...-, ", 29.7 28.3 38.2 33.6 28.9 37.2 I 33'6 I (0.34%) I (2.08%) 1 (2.69%) I (0.00%) Pt max 29.6

Nota: Los valores entre paréntesis son las diferencias absolutas en %

I16 11

VERlFlCACl6N DEL C ~ O I G O . PROBLEMAS DE REFERENCIA (Casas Benchmark) CAPITULO 5

En la Figura 5.9 se presentan las isotermas y el campo de velocidad vectorial obtenido con el modelo 1L. Como se puede apreciar en la figura, las isotermas a media altura de la cavidad son verticales ihicando el régimen conductivo, por otro lado, el patrón de flujo para la cavidad muestra una estructura de flujo desarrollado en una dimensión en gran parte del dominio con excepción de las zonas inferiores y superiores de la cavidad. Los mayores niveles de turbulencia se’ alcanzan en el centro de la cavidad, esto se podrá observar de la figura para la viscosidad turbulenta que se presentará en la siguiente sección.

Figura 5.9 Cavidad alargada para Ra = 2.43’1 0’’ y A = 30: (a) lsotermas y (b) Campo de velocidad vectorial.

5.5.1.3 Comparación del Presente Estudio con los Resultados Numéricos del CTTC (2002)

Esta comparaciSn fue realizada con los resultados del Laboratorio de Termotecnia y Energética del Centro Tecnológico de Transferencia de Calor (CTTC).

Los resultados de la comparación son presentados para los modelos JL, IL y HH sobre una malla no-uniforme de 81*81. Los parámetros usados fueron los mismos que se definieron en el inciso 5.5.1 para i n Ra = 2.43*10’0.

En las Figuras 5.10 y 5 11 se muestran los resultados de la comparación del código que considera el flujo turbulento para las componentes de velocidad (u, v), la temperatura (7) y la viscosidad turbulenta (u,) en el centro de la cavidad O, = Hy/2) para cualquier valor de n. En estas figuras se puede apreciar que los resultados obtenidos concuerdan con los

1 I7

I/

11 ‘

I

-~

VERIFICACIÓN DEL CÓOIGO: PROBLEMAS DE REFERENCIA (Casos Benchmark) CAPITULO 5

resultados numéricos del CTTC, entonces se puede concluir que los modelos de turbulencia planteados fueron impldnentados satisfactoriamente y el código numérico desarrollado concuerda con un alto grado de aproximación.

50

2 30 c

IO 0.05 0.1

, x i m i

0.1 , -- , 3 E 4 6

- 1 E-06

'5 OE+OO a

-2 E 0 6 -3 E 4 6

- 3

4.E-06 ' I O 0.025 0.05 0.075 0.1

I1 x im)

. CTTC

0.025 o 05 0.075 o

6 . E M

5.E-04

= 4.E-04 E 2 3 . E M .i 5 2.E-04

t E 4 4

O.E+OO O 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

x im)

Figura 5.10 Comparación de u, v, Ty p, en el centro de la cavidad ''(y=Hy/2) con el CTTC, usando el modelo JL.

5.5.2 Conveccion Natural en una Cavidad Cuadrada Calentada Diferencialmente con Flujo Turbulento"

Para el problema de iiflujo turbulento y convección natural en una cavidad cuadrada calentada diferencialmente, se implementaron los modelos de turbulencia IL y HH para un Pr = 0.71 y diferentes números de Rayleigh: Ra = IO" (modelos IL, HH), Ra = IOo9,lO", 10" (modelo HH) y'IRa = 5*10'o (para este caso existe una solución de referencia: Benchmark, modelo HH). En la Tabla 5.6 se muestran valores para las constantes y propiedades de aire utilizadas para este caso.

118

VERlFlCACldN DEL CODIGO: PROBLEMAS DE REFERENCIA (Casos Benchmark) CAP~TULQS

,- -- I

. cm I

(b) Modelo HH

Figura 5.11 Resultados de comparación en el centro de la cavidad @Hy/2) con el CTTC usando el modelo IL y HH: u, v, T y p,.

I I9 II

I ‘ R a I 2

a P (k&) (kgims) (W/mK)

P Ra ** 1.18 1.847* 10.’ 2.61 7* 10.’

5*10” 1.18 I .847* I o-’ 2.61 7* IO-’

300 288 2.07 300 288 3.54

CP P 1006 3.322* IO” 1006 3.322* 1 O ’

(IIK) (Jkv

Hx (m) 2.07 3.54

El código de convección natural con flujo turbulento fue desarrollado seleccionando una malla no-uniforme de 121 * 121, para comparar los resultados con el CTTC (2002) y con los de Henkes y Hoogendoom (1995). Para el caso de la comparación con los resultados de Perez-Segarra et al. (1995) se usaron mallas de 45*45 para el modelo IL y de 81*81 para el modelo HH.

5.5.2.1 Verificación de,Resultados para Ra = l * l O ’ o

Los resultados de la comparación cuantitativa para un Ra = 1 * 10” se muestran en la Tabla 5.7, los datos reportados de comparación corresponden al número de Nusselt medio y máximo NU,,,,^,,,, Nu,,,,,), las componentes de velocidad máximas en el centro de la cavidad (umax*, vmax*) y la viscosidad turbulenta máxima (,umax*). En general los resultados concuerdan en un 2% (modelo IL) y 3% (modelo HH) con los resultados de Pérez-Segarra (1995). El modelo IL predice una solución laminar sin embargo los resultados del Nusselt con este modelo tienen un error del 2.4% comparado con la correlación empírica de Paolucci, 1990 (Nu = 0.046Ra’”); mientras que el modelo HH sobre predice el número de Nusselt en aproximadamente un 25% (refinando la malla: 121*121), además presenta niveles de turbulencia más altos que el modelo IL.

La Figura 5.12 corresponde al patrón de flujo para este caso. En esta figura se puede observar que el movimiento del fluido es concentrado en la vecindad de las paredes verticales formándose una capa límite. En la parte más baja de la pared caliente y en la parte más alta de la piked fría la capa limite es laminar (Figura 5.12d) y en alguna distancia llega a ser turbulenta. Los gradientes de temperatura mas grandes se presentan en la capa limite vertical, mientias que en el centro de la cavidad se mantiene una estratificación térmica (Figura 5.12b). Los resultados numéricos presentan una solución simétrica con respecto al centro de la cavidad. A diferencia de la cavidad alta, la viscosidad turbulenta máxima se encuentra cercana a las paredes verticales y no en el centro de la cavidad.

120

VERIFICACION DEL CODIGO: PROBLEMAS DE REFERENCIA 1Casos Benchmark) CAP~TIJLQ 5 I1

Nota: Los valores entre paréntesis son las diferencias absolutas en %.

r- - Figura 5.12 Resultados para una cavidad cuadrada para un Ra = 1 * 1 O":

(a) Líneas de cArriente, (b) lsotermas (c) Isobaras y (d) Viscosidad turbulenta

En las Figuras 5.13 y 5.14 se presentan los resultados para las componentes de velocidad, temperatura y viscosidad turbulenta en el centro de la cavidad como funciones de las coordenadas horizontal, para Y, T, y p, y vertical, para u. En las figuras se puede apreciar la comparación con el CTTC (2002), respectivamente con los modelos HH y IL. La máxima desviación para el mddelo HH se encuentra para la componente de velocidad u (= 5%), mientras que para las otras variables (v, T, p,) las desviaciones son de aproximadamente 1%. Para el caso de cdmparación con el modelo IL, las errores máximos para u, v, y T son del 1%.

121

II

VERIFICACIÓN DEL C6DlGO PROBLEMAS DE REFERENCIA (Casos Benchmark) CAPITULO 5

. ClTC I 0.16 L

0 . I

Q.15 Q.15

O.' I o 5 IS

Y im)

,.Ea 102 . cnc

2.E- - - !! RBY)"t* 4 e m t o E 2.E- -

=a4 b-. 2 c 5 ,.Et4

5 5 E45

!,

m 0.E- o 0.5 1.5 2 o 0.5 1.5 2

x imi x im)

Figura 5.13 Comparación de u (x=Hx/2), Y kHy/2 ) , T v H y I 2 ) y ,u, Or;Hy/2) del presente estudio con el CTTC para Ra = 1 *IOi0, usando el modelo HH.

Figura 5.14 'I Comparación para Ra = 1*lOio, usando el modelo IL: u (x=Hx/2), Y (y=Hy/2) y TkHyI2 ) .

122

VERlFlCAClbN DEL CÓDIGO: PROBLEMAS DE REFERENCIA (Casos Benchmurkl CAPITULO s

5.5.2.2 Comparación de Resultados para Ra = 5*10" (Caso Benchmark)

Para el caso de un Ra = 5*10" los resultados fueron comparados cuantitativamente con la solución de referencia de convección natural con flujo turbulento en una cavidad calentada diferencialmente publicada por Henkes et al. (1995). Esta solución de referencia es el resultado de la participación de I O grupos en el ejercicio conocido como Benchmark para el problema definido previamente.

La comparación de los resultados obtenidos se muestra en la Tabla 5.8. La primera columna representa la solución de referencia, la segunda columna es un intervalo de solución para el problema y en la tercera columna se encuentran los resultados obtenidos del presente estudio usando el modelo de turbulencia HH. En esta tabla se puede apreciar en general, que los resultados obtenidos caen dentro del intervalo dado para la solución de referencia con excepción del numero de Nusselt promedio, la componente de velocidad u y la energía cinética turbulenta K, los cuales son bajo estimados en un 9, 8 y 5% respectivamente. Este resultado es consistente con la tardía transición (punto de bifurcación) de los resultados, dando como consecuencia niveles de turbulencia más bajos y por lo tanto la transferencia de calor promedio disminuye (Henkes et al., 1991).

Nota: Los valores entre paréntesis son las diferencias absolutas en % con respecto a la solución de referencia (primera columna).

123

VERlFlCACldN DEL CÓDIGO: PROBLEMAS DE REFERENCIA (Casas Benchmark) CAP~TULO 5

Lo anterior, respecto al punto de transición a la turbulencia puede visualizarse en la Figura 5.14, en la cual se aprecia la comparación entre la solución de referencia para el número de Nusselt local en la pared caliente obtenida por Henkes et al. en 1995 (Figura 5.15a) y el resultado obtenido por el presente trabajo para diferentes mallas (Figura 5.15b). De las figuras se observa que el mínimo local indica la transición de laminar a turbulencia (Figura 5.15b: para una malla de 121 *121, se encontró que el punto de bifurcación esta a una altura de la pared de y' = 0.16457). Si se tiene una transición rápida los niveles de turbulencia serán mayores; por el contrario, si se tiene un retardo en la bifurcación se tendrán niveles de turbulencia bajos.

-41.41

__-

Figura 5.15 Número de Nusselt local en la pared caliente (Ra = 5* (a) Solución de Referencia (Henkes et al., 1995) y (b) Presente Estudio.

-La solución de referencia reportada por Henkes et al. (i995), re-escrita en la Tabla 5.8, tiene una transición relativamente temprana, como se aprecia en la Figura 5.15a. Sin embargo, soluciones con una transición tardía son posibles como la solución de Pérez- Segama et al. sobre una malla de 189* 189 y la solución de Henkes y Hoogendoom sobre una malla de 160*160 (Figuras 5.16c, d). Henkes y Hoogendoorn encontraron que la dependencia del punto de bifurcación con la malla puede ser removido cuando el proceso de transición natural es reemplazado por un proceso de transición de salto. Esta transición de salto se realiza por la regulación de la transición en la capa límite con un valor pre- escrito de la energía cinética (Figura 5.16e).

Resultados publicados recientemente de Velusamy et al. en 2001 para el número de Nusselt en la pared caliente usando los mismos parámetros del caso Benchmark, se pueden apreciar en la Figura 5.17. En esta figura, también se muestran los resultados del presente estudio obtenidos sobre una malla de 41*41, aquí se puede apreciar que el valor del número de Nusselt obtenido con el presente trabajo es razonablemente acorde (cualitativamente) con los resultados de Velusamy et al. (2001).

124

Figura 5.16 Dependencia del número de Nusselt con la malla (punto de transición): (c) Pérez-Segarra et al., (d) Henkes et al. (sin regulación) y

(e) Henkes et al. (con regulación).

~e~usamy at. al. (2001 I grid: 4742 - PreSeRe estLXfio

malla: 41.41

0.1 r?

2 > z

0.05

O O (b) 0.5 Y. 1

Figura 5.17 Número de Nusselt local en la pared caliente (Ra = 5*10'o): (a) Velusamy et al., 2001 y (b) Presente Estudio.

I25

VERIFICACION DEL CODICO: PROBLEMAS DE REFERMCIA (Cauis Benchmark) C A P ~ T U L O ~

En la Figura 5.18 se muestran los resultados de la comparación con el CTTC (2002), obtenidos con el modelo HH (Ra = 5*10”). Los resultados corresponden a las componentes de velocidad, temperatura y viscosidad turbulenta en el centro de la cavidad y en la Figura 5.19 se presentan las correspondientes isolíneas para las líneas de corriente, la presión, la temperatura y la viscosidad turbulenta.

Similar al caso anterior (Ra = l*lO’o), sección 5.2.2.1, el movimiento del fluido es concentrado en las cercanías de las paredes verticales, debido a que los perfiles de temperatura en el centro de la cavidad son horizontales (Figura 5.1 8) y todos los gradientes de temperatura son localizados en el interior de la capa límite, la cual se ha formado cerca de las paredes verticales, dando como resultado un flujo estratificado en el centro de la cavidad (Figura 5.19~).

El cambio de la dirección de la componente de velocidad “v” corresponde al cambio de la pendiente del perfil de temperatura (Figura 5.18), permitiendo el desarrollo del vórtice (Figura 5.19). Aproximadamente a la altura de transición de laminar a turbulencia (Figura 5.15), la componente de velocidad “u” (Figura 5.18) repentinamente se incrementa, alcanzando un máximo y llegando a ser cero en el centro de la cavidad, este incremento de la velocidad “u” es relacionado con la zona de transición del flujo, ya que en esta zona se tiene una demanda más grande de entrada del fluido desde el medio ambiente (en este caso desde centro de la cavidad). La turbulencia es concentrada en las capas límites vertical (Figura 5.19d), y es casi ausente, en un 80% en la región del centro de la cavidad (Figura 5.18).

5.5.2.3 Comparación Cuantitativa de Números de Nusselt para Ra = 10°9-10’*

La comparación para el número de Nusselt promedio, entre el presente estudio y resultados encontrados en la literatura (Markatos et al., 1984; Henkes, 1990 y Velusamy et al., 2001), se presentan en la Tabla 5.9. En esta tabla se puede observar que los resultados obtenidos en el presente trabajo caen en el intervalo de los resultados del trabajo doctoral de Henkes y Velusamy et al. La desviación máxima se tiene para un Ra = IO’* con respecto a la solución de Henkes (5.25%), pero ésta se reduce hasta aproximadamente un 4.5% si se compara con los resultados de Velusamy (para el mismo Rayleigh). Los presentes resultados son en general más bajos que los resultados de Henkes, esto es, probablemente al hecho que el valor del uT usado en el presente análisis fue de 1 .O en contra del valor de 0.9 usado por Henkes. Por otro lado, la posible razón de las desviaciones entre los resultados de Markatos et al. con los resultados del presente trabajo, de Henkes y de Velusamy et al., es debido a que Markatos et al. usaron funciones de pared como condiciones de frontera para el modelo de turbulencia mientras que en el presente trabajo y en las otras referencias no fueron usadas las funciones de pared.

126

LZ I

) CAP~TU os

éricos de la literatu

Nota: Los valores entre ( ) son las diferencias absolutas en %con respecto a la solución de Henkes.

A partir de la comparación exhaustiva cualitativa y cuantitativa para la convección natural en cavidades rectangulares con flujo turbulento se puede decir que el código numérico desarrollado presenta resultados satisfactorios al compararlo con los resultados de los problemas de referencia reportados.

5.6 VERIFICACIÓN DEL MODELO DE INTERCAMBIO RADIATlVO EN EL INTERIOR DE UNA CAVIDAD CUADRADA CON PAREDES OPACAS

El modelo fisico y matemático para este problema fue definido en el punto 3.4 del capítulo 3. La metodología para la solución del intercambio radiativo en una cavidad con paredes opacas fue descrita en el capítulo 4. Se verificó que la relación geométrica de los factores de forma para cada área diferencial A, fuera aproximadamente uno. La aproximación se tomó del orden de 10" ( C F ~ , - ~ , -1.0) y que el balance de calor radiativo total en el interior

de la cavidad fuera aproximadamente cero con una aproximación de 1 O" para una malla no- uniforme. La comparación de resultados se realizó con los resultados del trabajo de Sánchez y Smith publicados en 1992, los cuales consideran que todas las paredes de la cavidad cuadrada son negras e isotermas, a temperaturas de T, = 3 1 O K (temperatura de la pared 2 ) y T. = Te = T, = 300 K (T,, = temperatura de la pared 3, Te = temperatura de la pared 4 y T, = temperatura de la pared 1). Los resultados de Sánchez y Smith fueron presentados para una malla de 60*60. En la Tabla 5.10 se presenta la comparación de resultados para los flujos de calor totales sobre las paredes. En esta tabla se aprecia que la mayor diferencia se tiene en la pared Este (pared vertical derecha), la cual corresponde a una desviación máxima absoluta porcentual de aproximadamente 0.2%.

Por otro lado, debido a que la pared 2 (fuente de energía) ve una cavidad isotérmica como un sumidero de energía (pared 1, 3 y 4), el flujo de calor debe ser igual a una constante dada por la diferencia de la potencia emisiva de cuerpo negro, evaluada a temperaturas de 310 K y 310 K. En base a lo anterior, el valor para el flujo de calor de la pared 2 es de 64.332 W/m2 y el valor obtenido por el modelo numérico es de 64.33 1 W/m2, el cual tiene una desviación aproximada del 0.002%.

N

h=l

128

5 CAP~TULO 5

Sánchez et al. (1992) Presente estudio Pared Flujo de calor (Wlm2) Flujo de calor (W/m2) Dif. (‘33) Norte -18.849 -18.861 0.06 Este -26.657 -26.608 0.18 Sur -18.849 -18.861 0.06

Oeste ___ 64.331 -

También se consideraron casos adicionales que fueron realizados sobre una malla uniforme de 41 *41 nodos. Los datos generales para estos casos son la altura de la cavidad (Hy = 1 .O m), el ancho de la cavidad (Hx = 1.0 m) y la constante de Stefan-Boltzmann (a= 5.667*10- * W/m2K4).

Las temperaturas, las emitancias y las reflectancias para cada uno de los casos fueron:

Caso 1 : Pared 1: Temperatura (TI = 323 K), emitancia (E! = 0.8) y reflectancia (p, = I -E/).

Pared 2: Temperatura (T2 = 293 K), emitancia ( ~ 2 = 0.5) y reflectancia (p2 = I - E ~ ) . Pared 3: Temperatura (T3 = 293 K), emitancia ( ~ 3 = 0.5) y reflectancia (p3 = 1-83),

Pared 4: Temperatura (T4 = 293 K), emitancia ( ~ 4 = 0.5) y reflectancia (p4 = I - E ~ ) .

Caso 2: Pared 1: Temperatura (TI = 323 K), emitancia (E/ = 0.8) y reflectancia @I = I-&/). Pared 2: Temperatura (Tr = 293 K), emitancia ( ~ 2 = 0.5) y reflectancia (p2 = I -&r). Pared 3: Temperatura (T3 = 293 K), emitancia (&3 = 0.5) y reflectancia ( p 3 = I - E ~ ) . Pared 4: Temperatura (T4 = 323 K), emitancia (&4 = 0.8) y reflectancia ( p 4 = 1 - 4 .

Caso 3: Pared 1: Temperatura (T, = 293 K), emitancia (&I = 0.5) y reflectancia @, = I-&/). Pared 2: Temperatura (Tz = 323 K), emitancia (EZ = 0.8) y reflectancia ( p 2 = 1 4 . Pared 3: Temperatura (Tj = 293 K), emitancia (&3 = 0.5) y reflectancia @3 = 143). Pared 4: Temperatura (T4 = 323 K), emitancia (&4 = 0.8) y reflectancia (p4 = 1-54),

En la Figura 5.20 se muestran los flujos de calor resultantes para las paredes de la cavidad para el caso I , en la cual la pared I es calentada. Los flujos resultantes sobre las paredes 2 y 4 son iguales debido a la simetría del problema. La pared 1 tiene un flujo de calor resultante positivo, esto nos indica que esta disipando cierta cantidad de calor para mantener la superficie a 50°C. Las pared 3 tiene un flujo de calor resultante negativo, lo cual indica que esta recibiendo más energía que la puede radiar a sus alrededores. AI igual que la pared 3, las paredes 2 y 4 tienen un flujo de calor resultante negativo, estas paredes reciben calor de la superficie 1 y de manera que se asciende sobre la pared el flujo suministrado disminuye hasta aproximadamente un 40%.

129

CAPITULO 5 VERIFICACIÓN DEL C6DIGO: PROBLEMAS DE REFERENCIA (Casas Benchmark)

010 0.5 -30

M1

0.0 0.5 -20

-40

-50 -60 -30mM Y ( m i x gr2

(b)

Figura 5.20 Flujo resultantes en las paredes de la cavidad para el caso 1 : (a) Pared 1 Y 3. íb) Pared 2 v 4.

En la Figura 5.21 se muestran los flujos de calor resultantes para las paredes de la cavidad para el caso 2. En la Figura 5.21a se aprecia el comportamiento del flujo resultante para la pared 1, se puede observar que la cantidad de flujo que se esta disipando se va disminuyendo conforme nos acercamos a la pared 4, debido a que la pared 4 tiene la misma temperatura que la pared I . Similarmente la pared 4 disipa calor y se puede observar que si nos movemos sobre esta pared hacia la pared 1 el flujo de calor disipado disminuye. Las paredes 2 y 3 tienen una ganancia de calor debido a su menor temperatura respecto a las paredes restantes. Se aprecia que estas paredes tienen una mayor ganancia de flujo de calor en alguna posición cercana a las paredes 1 y 4.

100 1 I

Figura 5.21 Flujo resultantes en las paredes de la cavidad para el caso 2: (a) Pared 1 y 3, (b) Pared 2 y 4.

La Figura 5.22 presenta los flujos de calor resultantes en las paredes para el caso 3. Debido a las condiciones de simetría los resultados son simétricos. Las paredes 1 y 3 tienen una ganancia de calor mayor en sus extremos comparado con el valor que se tiene en el centro de dichas paredes. Las paredes 2 y 4 (Figura S.22b) disipan calor hasta aproximadamente

130

VERIFICACIÓN DEL C6DiGO: PROBLEMAS DE REFERENCIA (Casos Benchmark) CAPITULO 5

63

4 4 - 65- E 'E e - ' 8 7

€a 6 9 - -70

&

un 10% más en sus extremos que en el centro de la cavidad, esto es debido a que en los extremos se encuentran las paredes I y 3 que tienen una temperatura menor que ellas.

-I x

69 68 67 66 65 64

-

(a) (b)

Figura 5.22 Flujo resultantes en las paredes de la cavidad para el caso 3: (a) Pared 1 y 3, (b) Pared 2 y 4.

Del análisis de los resultados para los casos anteriores, se aprecia que los resultados obtenidos concuerdan con los que se esperaría fisicarnente.

5.7 TRANSFERENCIA DE CALOR COMBINADA EN UNA CAVIDAD CUADRADA CALENTADA DIFERENCIALMENTE EN LAS PAREDES VERTICALES CON FLUJO TURBULENTO

En el capítulo 3, sección 3.2 se presentó el modelo de la transferencia de calor combinada por convección natural e intercambio radiativo en el interior de una cavidad cuadrada. El modelo físico que se utiliza en esta sección es similar al presentado en la sección 3.2, pero con la modificación de la condición de frontera para la pared 4, en lugar de tener el efecto de conducción de calor en dicha pared, ésta se mantiene a temperatura constante. Las condiciones de frontera de la temperatura para este problema son:

Para la pared horizontal inferior (pared I):

qrg, =?,

Para la pared vertical izquierda (pared 2):

T(O, Y , 1 ) = Tz

Para la pared horizontal superior (pared 3):

131

VERIFICACION DEL COOIGO: PROBLEMAS DE REFERENCIA (Casos Benchmark) CAP~TULOS

Para la pared vertical derecha (pared 4):

T(Hx, Y , 1 ) = (5.4)

LOS flujos de calor qC4, &d., representan la conducción de calor por las paredes 1 y 3 hacia el fluido respectivamente. Los flujos de calor representados por q,,q, son los flujos resultantes del modelo del intercambio radiativo neto entre las paredes, estos flujos corresponden a las paredes 1 y 3.

El procedimiento de solución para el problema combinado es similar al utilizado cuando se toma en cuenta solo la convección natural, pero las condiciones de frontera de las superficies horizontales de la cavidad se modifican. Como los flujos de calorq, ,q,, representan el flujo de calor por radiación hacia el medio, las condiciones de frontera son no lineales. Por lo que, el modelo radiativo debe resolverse y las temperaturas de las paredes se calcularán aplicando la técnica de diferencias finitas. Los flujos de calor resultantes qr, .q , son obtenidos al aplicar el algoritmo MRI (igualmente al problema anterior, sección 5.6). Una vez que las condiciones de frontera de las paredes horizontales han sido calculadas, se aplica el algoritmo SIMPLEC para resolver las ecuaciones de convección natural (sección 5.5), entonces el proceso completo es repetido hasta que la convergencia sea obtenida.

Los resultados obtenidos fueron comparados con los resultados de Velusamy et al. (2001). Para la comparación se corrieron dos casos de Velusamy et al. (2001):

Caso A: Se considera que todas las paredes tienen una emitancia de 0.9, con una T2 = 328 K4 = 318 K para un Ra = 1*101’, las propiedades fueron definidas a una temperatura de Boussinesq de To = 323 K.

Caso B: Se considera que todas las paredes tienen una emitancia de 0.9, con una T2 = 348 s4 = 298 K para un Ra = 1*10”, las propiedades fueron definidas a una temperatura de Boussinesq de To = 323 K.

En la Tabla 5.1 1 se presentan los resultados de la comparación para los números de Nusselt convectivos promedios (NUhfY Nuc‘), los números de Nusselt radiativos promedios (Nuhr y Nu,,) en la pared caliente y fria respectivamente y el número de Nusselt total (NUT) en la pared caliente para los casos A y B entre los resultados reportados por Velusamy et al. y el presente estudio. Para el caso A se observa que la diferencia máxima fue de 3.14% para Nucf y la minima fue de 0.1 1% para Nub,. Para el caso B, la diferencia máxima fue de 3.29% para Nu,f y la mínima fue de 0.10% para Nuhr, aunque para el caso A se tiene una diferencia de aproximadamente 1% en el número de Nusselt total y para el caso B es del 1.5%. Estas diferencias en los números de Nusselt convectivos pueden ser atribuidas al número de nodos usados en la malla computacional. Los resultados de Velusamy et al. (2001) corresponden a una malla no-uniforme de 42*42, mientras que nuestros resultados fueron obtenidos con una malla no-uniforme de 81 *81. Analizando los números de Nusselt

132

VERIFICACIÓN DEL C6DIGO: PROBLEMAS DE REFERENCIA (Casos Bmchmmk) CAP~TULOS

Caso A

convectivos y radiativos por ejemplo para una malla no-uniforme de 61 *61, se encuentra que los números de Nusselt convectivos disminuyen en aproximadamente un 1% y los números de Nusselt radiativos no presentan cambios significativos con respecto a los resultados obtenidos para una malla no-uniforme de 81 *SI.

En la Figura 5.23 se puede apreciar la comparación cualitativa de las isotermas del caso B. De la Figura 5.23b, los resultados de Velusamy et al. (2001) dan resultados que aparentemente no convergen bien o que la malla que utilizaron fue muy burda, debido a la oscilación que presenta la isoterma de 0.5 en el centro de la cavidad (Figura 5.23b). Pero, en general, la concordancia entre los resultados de este estudio y el reportado es aceptable.

Caso B ai. I rresente estudio

345.22 I 334.90 I NUhf I

Velusamy et al. Presente estudio 336.30

(3.15%) 326.03

J4Y.YX 3.14% 872.66 0.1 1 %

339.34

873.58

(0.19%) 1217.88 (0.78%)

Nucr 869.14

NUT 1208.5

Nota: Los valores entre paréntesis son

344.3 I

502.89 504.52

849.09

las diferencias absolutas en %

__ ~ ll̂ .,,......l-l..... . l__l 1.7 0.6 . .

, . . . . . . .

<. .\

. . . .

. . .

<. .\

. . . .

Figura 5.23 Isotermas para el caso B: (a) Presente Estudio y (b) Velusamy et al. (2001).

133

VERiFlCACl6N DEL CÓDIGO: PROBLEMAS DE REFERENCIA (Casos Benchmark) CAP~TULO 5

5.8 TRANSFERENCIA DE CALOR EN UNA PARED SEMITRANPARENTE EN DOS DIMENSIONES

En esta sección se presentan los resultados obtenidos del modelo de transferencia de calor por conducción a través de un sólido semitransparente (sistemas: vidrio solo y vidrio más película) definido en la sección 3.5 del capítulo 3. Esencialmente, el modelo determina la distribución de temperaturas al interior y exterior del sistema, debido a la fracción de la radiación solar absorbida por el vidrio y el controlador óptico.

AI determinar la temperatura de la película y la del vidrio en la parte exterior, se pueden calcular los flujos de energía desde las superficies al interior y al exterior como:

(5.5)

Los valores de las propiedades y parámetros para este modelo están presentados en el capítulo 3, sección 3.5, Tabla 3.4.

En la Figura 5.24 se presenta la variación de la temperatura a través del sistema vidrio sólo para diferentes temperaturas de aire exterior (To = O 4 50°C, en intervalos de 5OC) y una temperatura interior del aire de T, = 2 1 T . El vidrio tiene un espesor de 6 mm. En esta figura se pueden apreciar los gradientes máximos de temperaturas de 0.5 y 0.75'C, para las temperaturas límites del intervalo considerado para el aire exterior de O y 5 0 T respectivamente. Conforme la temperatura del aire exterior, To, se aproxima a la temperatura interior, T,, de 21°C (por ejemplo, para la línea correspondiente a To = 20°C de la Figura 5.24), los gradientes de temperatura a través del vidrio se aproximan a cero, tal como se esperaría fisicamente.

4 5 , 1 --C-Ta=O.C

40

35

t 30 -. I- 25

20

15

-T0=5 *C

- 7 0 1 1 0 OC

- T o = l S * C

- t T o = i O OC

-To=ZS 'C

- - m- . To=30 OC

To=% T

- . Q- . . T o 4 0 OC

. . d- . T 0 4 5 O C

10 4 O 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006

x (m)

Figura 5.24 Distribución de temperaturas a través de un vidrio de 6 mm para diferentes To.

134

VERIFICACIÓN DEL C~DIGO: PROBLEMAS DE REFERENCIA íCws Benchmark) CAP~TUU) 5

En la Tabla 5.12 se presentan los flujos de calor q r = flujo de calor transmitido al interior, qa = flujo de calor absorbido por el sistema, qp = flujo de calor reflejado al exterior, q, = flujo de calor al interior por convección y radiación, qo = flujo de calor al exterior por convección y radiación, q,+qr = flujo de calor total al interior, qo+qp = flujo de calor total ai exterior, qrolayflujo de calor total (balance de energía) para el intervalo de temperaturas exteriores de O-5O0C obtenidos para el vidrio. Se puede observar que al realizar el balance total con respecto a la irradiación solar que incide en el vidrio, se tiene una diferencia porcentual absoluta del O.OOl%, lo cual indica que el balance de energía a través del sistema se ha calculado satisfactoriamente.

Nota: Los valores de las desviaciones son las diferencias absolutas en %.

En la Figura 5.25 se muestra la variación de la temperatura a través del sistema vidrio con recubrimiento para diferentes temperaturas de aire exterior en el intervalo de 0°C a 50"C, considerando una temperatura interior del aire de 21°C. En este sistema se considera al vidrio'wn un espesor de 6 mm y la película de control solar de SnS-Cu,S.

- - C T o = O 4:

-T0=15 O C

-T0=20 'C

---x-- To=25 OC

. . e- . To130 OC

~

- . 9- . T0=40%

. - a-. .T00;45~C

O 0.001 0,002 0.003 0.004 0.005 0.006

x (m)

Figura 5.25 Distribución de temperaturas a través del sistema vidrio + controlador óptico para diferentes To.

135

CAPITULO s VERIFICACI6N DEL C6DiCO: PROBLEMAS DE REFERENCLA íCasas Benchmark)

Similar al caso anterior, en la Tabla 5.13 se presentan resultados de los flujos de calor para el sistema vidrio más película de control solar, en la cual se aprecia que del balance de energía con respecto a la irradiación solar incidente tiene una diferencia porcentual absoluta del 0.001%.

En la Figura 5.26 se muestran las curvas de los flujos de calor total hacia el interior (Q, = q,+qJ y el exterior (eo = qo+qp) para el vidrio sin controlador óptico (VSCO) y para el vidrio con controlador óptico (VCCO). En esta figura se puede apreciar que cuando To es mayor de 4OoC para el vidrio sin controlador, Qo es negativo, esto es debido a que la temperatura del vidrio, Tg % 35OC, es menor que To y la dirección del flujo de calor se invierte (ver Figura 5.24). También se observa que la ganancia de calor total al interior, Q,, en el vidrio con controlador óptico se reduce en comparación con la ganancia de calor del vidrio sin controlador óptico para todas las temperaturas To consideradas. En la Tabla 5.14 se encuentran los porcentajes de reducción del flujo de calor entrante, Q,, debido al uso de la película de control solar SnS-Cu,S.

. -- O 10 20 30 40 50

10 WC)

Figura 5.26 Flujo de calor hacia el interior (Qi) y exterior (QJ de un vidrio sólo (VSCO) y de vidrio+controlador Óptico (VCCO) para diferentes To.

136

VERIFICACIÓN DEL cóoico: PROBLEMAS DE REFERENCIA (Casos Benchmark) CAP~TULO 5

5.9 ESTUDIO DE LA INDEPENDENCIA DE MALLA

La convergencia de un método numérico se da en términos de la estabilidad y la consistencia del esquema de solución. El teorema de equivalencia de Lax menciona que si una solución es estable y consistente la solución converge.

La consistencia de un esquema numérico de solución está relacionado con el refinamiento de malla. Para ello, se estudió la influencia de la densidad de la malla para el caso de la cavidad con una pared semitransparente con recubrimiento de control óptico para un Ra = IO” (basado en la temperatura media alcanzada de la pared semitransparente con control óptico). Se eligió el parámetro correspondiente a un número de Rayleigh de lo’*, debido a que se considera que es el caso de flujo más extremo en el presente tema de investigación (caso A, presentado en el siguiente capítulo).

En la Figura 5.27 se presentan los perfiles de las componentes de velocidad en la parte media de la cavidad (u, v) para diferentes mallas numéricas (51x51, 61x61, 71x71 y 81x81). Se observa que las curvas tienen cambios insignificativos después de usar una malla de 71 x71.

La Figura 5.28 presenta los perfiles de temperatura (n y viscosidad turbulenta (,U,) en el centro de la cavidad cy’ = 0.5) para mallas desde 5 1 x5 1 hasta 8 1 x8 I , en incrementos de 1 O nodos. AI igual que en la Figura 5.27, se aprecia que las distribuciones tienen cambios mínimos después de usar una malla de 71x71.

En la Tabla 5.15 se presentan los valores medios para los números de Nusselt convectivo y radiativo en la pared caliente. En esta tabla se observa que los valores del Nusselt en ambos casos tienen asintóticamente a un valor y las diferencias absolutas porcentuales resultan ser muy pequeñas (convección: 0.12% y radiación: 0.05%) para mallas de 81 x81.

137

VERJFICACIÓN DEL CÓDIGO: PROBLEMAS DE REFERENCIA (Casm Benchmark) CAPITULO 5

En base a los resultados obtenidos y tomando en consideración el tiempo de cómputo y notando que la diferencia entre las mallas de 71x71 y 81x81 es pequeña, se espera que la diferencia entre una malla de 91x91 y una de 81x81 sea despreciable, por lo tanto se seleccionó la malla de 81x81 como la adecuada para predecir resultados razonables e independientes de la malla numérica.

I

0.5

e.,

0.3

0 2

O.!

4 .2

..,; 4.4

4.5 ! , I o* 0.8 0 8 ,.o 0.0 o 1

I

Figura 5.27 Efectos de refinamiento de malla en el centro de la cavidad para u (x' = 0.5) y Y b' = 0.5).

I38

VEfUFlCACi6N DEL CdDiCO: PROBLEMAS DE REFERENCIA í C w s Benchmark) CAPITULO 5

355,

t

f

Figura 5.28 Efectos de refinamiento de malla en el centro de la cavidad para T(y’ = 0.5) y p, @* = 0.5).

Tabla 5.15 Influencia del refinamiento de malla sobre el valor promedio

139

VERIFICACIÓN DEL CÓDIGO: PROBLEMAS DE REFERENCIA (Casos Benchmrkl CAP~TULOS

5.10 CONCLUSIONES

En este capítulo se presentó la verificación del código numérico desarrollado con casos de referencia. Se mostró, como resultado de la comparación para el problema de convección natural con flujo turbulento en una cavidad cuadrada, que los resultados obtenidos se encuentran dentro del intervalo dado para la solución de referencia con excepción del número de Nusselt promedio, la componente de velocidad u y la energía cinética turbulenta K, los cuales son bajo estimados en un 9, 8 y 5% respectivamente. Para el caso del problema de la transferencia de calor conjugada (convección y radiación) se encontró que las mayores desviaciones con respecto a la literatura fueron en los números de Nussselt convectivos para los dos casos analizados (Caso: AT = 10°C y Caso: AT = 50°C) y esta diferencia es de aproximadamente 3.5% (en ambos casos), aunque para el caso A se tiene una diferencia de aproximadamente 1% en el número de Nusselt total y para el caso B es de 1.5%. En la solución del problema de conducción de calor a través de la pared semitransparente, se obtuvo que el balance total con respecto a la irradiación solar que incide en el vidrio, tiene una diferencia porcentual absoluta del 0.001% (tanto para el sistema vidrio sólo como para el sistema compuesto vidrio-película), lo cual indica que el balance de energía a través del sistema se ha calculado satisfactoriamente.

En general se concluye que el código desarrollado produce resultados satisfactorios.

140

RESULTADOS CAPtTULO 6

CAPÍTULO 6 RESULTADOS

En el presente capítulo se muestran los resultados finales del presente trabajo doctoral. LOS resultados son presentados en forma tabular y gráfica para los parámetros que indican el comportamiento térmico de la cavidad cuadrada con pared semitransparente con y sin control solar. Del análisis de resultados se discuten los efectos de las tres formas de transferencia de calor y se proponen las relaciones para determinar los coeficientes de transferencia de calor para los sistemas analizados (cavidad cuadrada con pared semitransparente), en los cuales se considera la transferencia de calor conjugada.

6.1 INTRODUCCI~N

En este capítulo se presentan los resultados obtenidos del modelo bidimensional para la transferencia de calor con flujo turbulento en una cavidad con los modelos convectivo (Conv), convectivo-radiativo (Conv-Rad), convectivo-radiativo-conductivo (Conv-Rad- Cond) y convectivo-conductivo (Conv-Cond). En la sección siguiente se comparan los resultados del modelo Conv-Rad-Cond para el caso de la cavidad con una pared semitransparente con recubrimiento de control óptico y sin control óptico para un Ra = IO”, el cual está basado en la temperatura media alcanzada de la pared semitransparente con control Óptico. Posteriormente, en la siguiente sección se comparan los resultados de la transferencia de calor por convección y radiación pero ahora eliminando la conducción de calor y sólo considerando que la pared es isotérrnica (considera la temperatura de la pared isoterma como la temperatura media alcanzada con el modelo Conv-Rad-Cond), para este caso se usa el modelo Conv-Rad. Después se presentan y se discuten los resultados de la transferencia por convección natural en la cavidad con pared isotérmica que considera la temperatura de la pared isotérmica como la temperatura media alcanzada con el modelo Conv-Rad-Cond. Se comparan con los resultados del modelo Conv-Rad-Cond, con el fin de resaltar la importancia de considerar los otros modos de transferencia de calor (radiación y conducción), para este caso se usa el modelo Conv.

En la última sección se presentará y discutirá el caso de la cavidad con una pared semitransparente con recubrimiento de control óptico y sin control Óptico para un Ra =

Para este caso, se utilizará el modelo Conv-Cond, el cual no considera el intercambio radiativo en el interior de la cavidad pero si incluye el efecto de la conducción de calor a través de la pared semitransparente.

A continuación se presenta la Tabla 6.la que muestra las condiciones típicas introducidas al código de simulación de transferencia de calor con flujo turbulento para una cavidad cuadrada con una pared semitransparente que esta compuesta de una hoja de vidrio de 6mm de espesor con un recubrimiento de control solar SnS-Cu,S. Las propiedades del vidrio y del recubrimiento se encuentran en la Tabla 3.4 del Capítulo 3. En la Tabla 6.1 b se muestra el intervalo del número del Rayleigh seleccionado para la simulación, estos Ra están calculados con base en la temperatura media alcanzada en la pared semitransparente con

141

N, = N, = 81 L, = 0.006 m

G = 750 Wlm2

Considerando convección natural, intercambio radiativo y conducción en la cavidad con pared semitransparente con recubrimiento de control solar de longitud de 6.982 m, la temperatura media calculada en la pared semitransparente fue de 332 K (59°C) y con pared semitransparente sin control solar fue de 31 1.5 K (38.5"C). En el mismo caso anterior, pero sin considerar el intercambio radiativo, la temperatura media calculada cuando se tiene una pared semitransparente con control solar fue de 337 K (64°C) y con pared semitransparente sin control solar fue de 3 13 K (40°C).

Las emitancias de las paredes opacas fueron tomadas como 0.9, debido a que los materiales como la pintura, el papel, la madera, el yeso y otros materiales que cubren las paredes, sus emitancias están en el intervalo de 0.85 a 0.90 [Álvarez, 19941. La emitancia de la ventana con el controlador óptico es de 0.4 de acuerdo a Estrada-Gasca et al., 1993.

Para realizar la presentación de resultados y realizar la comparación entre ellos se nombraron de la siguiente manera:

Caso A: Transferencia de calor por convección natural, radiación y conducción en una cavidad con pared semitransparente con vidrio con recubrimiento de control solar.

Caso B: Transferencia de calor por convección natural, radiación y conducción en una cavidad con pared sernitransparente con vidrio sin recubrimiento de control solar.

Caso AI: Transferencia de calor por convección natural y radiación en una cavidad con pared semitransparente con vidrio con recubrimiento de control solar.

Caso B1: Transferencia de calor por convección natural y radiación en una cavidad con pared semitransparente con vidrio sin recubrimiento de control solar.

T2=294 K (21OC) EI=E~=EJ= 0.9 Tout = 308 K (35°C)

h,,, = 6.8 Wlm2K & 4 = & ~ 0.4

&4=e8= 0.85

142

Ra

1 o9 10'0

10" 1012

Hx (m) Pr

0.698 0.71

1.504 0.71

3.240 0.71 6.982 0.71

RESULTAWS CAPITULO 6

Caso A2: Transferencia de calor por convección natural en una cavidad con pared semitransparente con vidrio con recubrimiento de control solar.

Caso B2: Transferencia de calor por convección natural en una cavidad con pared semitransparente con vidrio sin recubrimiento de control solar.

Caso A3: Transferencia de calor por convección natural y conducción en una cavidad con pared semitransparente con vidrio con recubrimiento de control solar.

Caso B3: Transferencia de calor por convección natural y conducción en una cavidad con pared semitransparente con vidrio sin recubrimiento de control solar.

Todas las corridas del programa correspondiente a los casos definidos previamente fueron realizadas en una PC AMD Athlon (tm) XP 1600+, 1.4 GHz y 512MB de Ram. El tiempo de cómputo de una corrida típica fue de aproximadamente dos días.

6.2 COMPARACI~N ENTRE LOS CASOS A Y B: EFECTO DEL RECUBRIMIENTO DE CONTROL ÓPTICO

Con el fin de cuantificar el efecto por el uso del recubrimiento de control óptico adherido, se presentan los resultados obtenidos al comparar la cavidad con pared semitransparente compuesta (vidrio más película de control solar) contra los resultados de tener en la cavidad una pared semitransparente simple (vidrio sólo) para el caso de Ra = IO'* (Hx = 6.982 m). Para este caso, se consideran las tres formas de transferencia de calor (convección- radiación-conducción); conducción a través del vidrio mas recubrimiento, intercambio radiativo entre las paredes interiores de la cavidad y convección natural de las paredes al aire. La temperatura media calculada en la pared semitransparente con controlador óptico fue de 59°C y sin control solar fue de 38.5"C.

En la Figura 6.1 se presentan las líneas de corriente, las isotermas y la viscosidad turbulenta para los casos A y B, y la Figura 6.2 presenta los campos vectoriales correspondientes a los campos de velocidad para el caso A (VCCO): yidrio Con controlador optico) y B (VSCO): Yidrio Sin ontrolador dptico).

En La Figura 6.1, las líneas de corriente muestran que el fluido se estratifica en ciertas zonas de la región central de la cavidad, para el caso A se puede apreciar que el fluido es confinado a la altura de tres cuartos hacia arriba de la cavidad, mientras, que para el caso B el fluido es confinado en la zona más baja de la cavidad; las isotermas presentan un gradiente horizontal casi nulo en aproximadamente un 60% del ancho de la cavidad, lo cual evita el movimiento vertical del flujo en esta región y la viscosidad turbulenta indica que los mayores niveles de turbulencia se presentan en las zonas cercanas a las paredes verticales.

143

CAPiTUL06 RESULTADOS

6

5

0 1 2 3 4 5 6

6

5

- 4 E I

$ 3

2

1

O 0 1 2 3 4 5 6

Hx lml ,ia=

306 5 3065’

Caso A Caso B

Figura 6.1 Líneas de corriente (m2/s), isotermas (K) y viscosidad turbulenta (kg/m.s) (de arriba hacia abajo respectivamente) para el caso A y B (Hx = 6,982111).

144

5P I

E O

......... ., . .> ..

........ ..,. ~~, ....... .~ ., -. ., .. .>-....... ..-..>.t. *. 2 3

(u) XH

---* _-__ - - - - - - - -c_- ....... <.. .. ,. '. , ~ f

,- ...... - 1 .... '.. .............. ..... ~. .. ~.. .......... -.,/J,"A

*"-..-...\ . ... - .. ~. .. .- c~ __... 3 - 3 -

.. - .. -1 .......... , .. .. ........

9 olnLIdv3 soaviinsm

RESULTAWS CAPITULO6

En la Figura 6.2 se observa el sentido del movimiento del flujo en la cavidad es desde la pared izquierda hacia la pared derecha en sentido contrario de las manecillas de reloj (scmr). El fluido cercano a la pared semitransparente sufre un incremento de temperatura, este cambio de temperatura en el fluido provoca que el aire inicie un movimiento ascendente impulsado por la fuerza de flotación hasta llegar a la parte superior de la cavidad, la cual obliga al fluido a dirigirse hacia la pared fría. En esta zona el fluido cede parte de su energía y durante el recorrido sufre de una gran descompensación de esta provocando que el aire inicia un movimiento descendente hasta llegar a la pared inferior de la cavidad. Una vez más el fluido al encontrar un obstáculo se ve obligado en este caso a dirigirse hacia la pared semitransparente (pared caliente), este fluido que ha sido enfriado llega a la pared caliente y nuevamente incrementa su temperatura dando inicio a un nuevo ciclo del movimiento del fluido hasta alcanzar un estado de equilibrio térmico.

La Figura 6.3 muestra las comparaciones de la componente de velocidad vertical, la temoeratura v la viscosidad turbulenta a lo ancho de la cavidad uara diferentes alturas 0.96. 1.99, 3.49 (ckesponde al centro de la cavidad), 4.98 y 6.02 m Para el caso A (VCCO) y É (VSCO).

La Figura 6.3a muestra la componente vertical, Y, para el caso A (VCCO) comparado con el caso B (VSCO) para varias alturas de la cavidad. Para y = 0.96 m y y = 0.199 m la componente Y en el extremo próximo a la pared fría es menor para el caso A que para el caso B. Para y = 3.49 m es prácticamente la misma en esa posición, sin embargo para y = 4.98 m y y = 6.02 m la magnitud de la componente Y es mayor para VCCO que para VSCO. Cercana a la pared semitransparente la componente Y en todas las posiciones analizadas es mayor para el caso A que para el caso B, debido a que la pared semitransparente para el caso A absorbe mayor cantidad de energía que la pared del caso B. En el centro de la cavidad, el movimiento del aire es laminar en forma de capas (aproximadamente el 60% del ancho de la cavidad).

Las isotermas de la Figura 6.3b indican que las temperaturas de la cavidad con pared con VCCO son mayores en toda la altura de la cavidad y que la diferencia entre las temperaturas con VSCO aumenta conforme aumenta la altura de la cavidad. La parte media de la cavidad indica estratificación del fluido.

Finalmente, la Figura 6 . 3 ~ presenta la variación de la viscosidad turbulenta con la altura de la cavidad, se puede observar que los niveles de turbulencia son mayores en la parte superior de la cavidad para el caso A O, = 6.02 m), provocando que durante el mezclado del fluido en esta zona quede confinado. Por el contrario, para el caso B los niveles de turbulencia mas altos en la cavidad se presentan en la zona cercana a la pared inferior haciendo que el aire quede atrapado O, = 0.96 m). El régimen turbulento se concentra en las zonas cercanas a las paredes verticales, alcanzando su máximo valor y desvaneciéndose a cero hacia la pared.

146

CAPITULO6 RESULTADOS

- " E O

r

I.

u5 310 1

p 116 310 105 ya

-I m O 0 5

ir

y = 1.99m

yI5 ............ 2 a, 295 ño

o o 2 0 4 O B 0 8 I

r

y = 3.49 m

o.wa ,

y = 0.96 m

0.m 0.W7 -"Eo n -]A __. . . __ ::

147

RESULTADOS CAPITULO 6

44J -0 5

0.5

0.4

0.1

0.2

0.1

o 4.1

0 . 2

0.3 0.4

a-

Om,

i'

y=4 .98m

y = 6.02 m

(a) (b) (c)

Figura 6.3 Comparación de (a) Y, (b) T y (c) p, a diferentes alturas de la cavidad para el caso A (VCCO) y B (VSCO).

En la Figura 6.4 se presenta la variación de temperatura interior y exterior en dirección vertical en la pared semitransparente para el caso A (VCCO) y B (VSCO).

La Figura 6.4 presenta la variación de la temperatura interior y exterior en dirección vertical en la pared semitransparente que fue de aproximadamente 6°C para el caso A y 2°C para el caso B. La diferencia de temperatura media a través de la pared semitransparente para el caso A y el caso B fue de 1.07"C y de 0.04"C. También en esta misma figura se puede apreciar que la temperatura de la pared semitransparente con recubrimiento de control solar es mayor en el interior que en la exterior, debido a la alta absortancia de la película de control solar que se encuentra adherida en'la superficie interior de pared semitransparente. Por el contrario, para la pared semitransparente sin el recubrimiento de control solar, la temperatura exterior obtenida es sólo ligeramente mayor que la temperatura interior de la pared. Por lo que de los 6°C de variación que tiene la pared semitransparente con control solar (caso A), 3°C se encuentran en la parte superior de la pared (arriba de y* = 0.9) y los otros 3°C se distribuyen en forma gradual hacia la parte inferior de la pared (desde y* = O hastay* = 0.9). Este 50% de variación de temperatura en la parte superior de la pared semitransparente en la cavidad, contribuye a que el fluido que se encuentra en el

148

RESULTALOS CAPITULO6

interior de la cavidad por debajo de esta altura (y* < 0.9), se encuentre gradualmente sub- enfriado, formando una zona de mezclado en esta parte superior. En el caso de la cavidad con pared semitransparente sin control solar (caso B), se observa de la Figura 6.4, que de los 2°C de variación de temperatura en el interior de la superficie del vidrio, aproximadamente 1°C se encuentra en la parte más baja de la pared (y* < 0.1) y el otro grado restante se distribuye hacia lo alto de la pared (y* > 0.1). Similar al caso A, el fluido se mezcla en la zona inferior de la cavidad.

0.7

0.6 . 0.5 0.4

0.3 . - VCCC-In1 0.2 - VCCO-Ed 0.1 -

7

328 329 330 331 332 333 334 335 338 337

T (K)

Caso A

0.5 - 0.4

0.3 - 0.2 - 0.1 - 0 - 310.5 311 311.5 312 3125

VSCC-l"t VCCOEd

-

T íK)

Caso B

- 313

Figura 6.4 Variación de la temperatura interior y exterior en la pared semitransparente (y'=y/Hx, Hx = 6.982 m) para el caso A y B.

En la Tabla 6.2 se presenta el cálculo de los flujos de calor promedios; qr = flujo de calor transmitido al interior, qa = flujo de calor absorbido por el sistema, qo = flujo de calor reflejado al exterior, q; = flujo de calor al interior por convección y radiación, qo = flujo de calor al exterior por convección y radiación, q,+q, = flujo de calor total al interior, qo+qp = flujo de calor total al exterior y qraial = flujo de calor total para el caso A y B. Se puede observar que la diferencia porcentual absoluta del flujo de calor total fue del 0.026% para el caso A y del 0.036% para el caso B con respecto a la irradiación solar. Lo anterior indica que se cumple satisfactoriamente el balance de energía.

149

RESULTADOS CAPfTULO 6

De la Tabla 6.2, con 10s valores de qÍ+q, Y G se calcula el coeficiente de ganancia de calor solar (SHGC) de acuerdo a la definición dada en la sección 3.6 del capítulo 3, para el Al SHGC es de 44.19% Y para el caso B es de 86.17%. Estos resultados indican, que del 100% de energfa radiativa, Sólo un 44.19% entraría por USO de una ventana de vidrio con conttdador Solar Y un 86.17% entraría por tener una ventana de vidrio sólo. Se observa que cuando se usa un vidrio con controlador solar, la ganancia de energía al interior de la cavidad se reduce en un 41.98%. Este resultado permite mirar la ventaja del uso del controlador óptico.

Como se puede notar en la Tabla 6.2, el flujo de calor total (331.44 W/m2) al interior de la cavidad con pared semitransparente con control solar (Caso A) es menor que en el Caso B cuando no se usa control solar en pared semitransparente, 646.24 W/m2. Sin embargo, a pesar de que el flujo de calor es menor, se alcanza una mayor temperatura en el interior de la cavidad que usa control solar. Lo anterior es debido a que de los 331.44 W/m2 que se van al interior de la cavidad, se consideró que 137.29 W/m2 (qr) llegan directamente sobre la pared fría, y como se tomó en cuenta que esta pared absorbe el 90% (a = 0.9) de la energía que le llega (123.56 W/m2). entonces 207.88 W/m2 sería la energía aportada al interior de la cavidad. Para el caso B, de los 646.24 W/m2 que se van al interior de la cavidad, 585.12W/m2 llegan directamente a la pared fría como flujo transmitido por radiación y fue absorbido por esta pared el 90% (526.61 W/m2), por lo que la energía aportada de la cavidad es de 1 19.63W/m2. Por lo anterior, la aportación de energía al interior de la cavidad con pared con filtro solar es aparentemente mayor, debido a que se consideró una absortancia de 0.9 en la pared fría y que la contribución convectiva en el interior de la cavidad es mayor para el caso A comparada con el caso B.

En la Figura 6.5 se muestran los flujos radiativos locales para las cuatro paredes de la cavidad con Ra = 10I2 para el caso A(VCC0) y B (VSCO).

En la Figura 6.5 se pueden apreciar los flujos radiativos resultantes locales para las cuatro paredes de la cavidad y en la Tabla 6.3 se presentan sus valores promedios obtenidos para el caso A(VCC0) y B (VSCO). En esta figura se puede observar que, en ambos casos, sobre las paredes 1 y 2 se tiene un flujo radiativo resultante negativo, esto quiere decir que estas paredes están absorbiendo cierta cantidad de calor para mantener sus temperaturas. Sin embargo, las paredes 3 y 4 se encuentran disipando energía en forma radiativa. La pared semitransparente disipa por radiación 73.97 W/m2 y la pared fría recibe -222.17 W/m2 para el caso A, y para el caso B la pared semitransparente disipa 30.03 W/mZ y la pared fría recibe un flujo radiativo promedio de 400.38 W/m2.

Basados en la temperatura promedio alcanzada por la cavidad con pared semitransparente con recubrimiento de control ó tico, se elaboró la Figura 6.6 donde se presentan las isotermas para los Ra de IO9, 10 y IO" para los casos A (VCCO) y B (VSCO). Similar al caso de Ra = lo'*, tanto para el caso A como el caso B, las isotermas muestran un gradiente horizontal casi nulo en aproximadamente un 60% del ancho de la cavidad, lo cual provoca la estratificación del fluido en la región central de la cavidad. Nuevamente las temperaturas alcanzadas para el caso A son mayores que las obtenidas para el caso B, como se explicó

150

RESULTADOS CAPiTULOá

qradm,dlo (w/m2) Pared 1 (aislada inferior) Pared 2 (fría izquierda)

Pared 3 (aislada superior) Pared 4 ísemitransDarente)

previamente, esto es debido a que se consideró que la pared fria tiene una absortancia de 0.9.

Caso A (VCCO) Caso B (VSCO) -9.36 -15.53

-222.17 -600.38 27.02 1.10 73.97 30.03

50 40

30 -vcco -

E 20 € i o s o ; -io e, -20

-30

40 -50

II.

!OO,

I BO I -vcco I . vsco

O

- E

a e, -vcco

8 ....... %. ... ....... - Y-

'G---- 70

vcco . vsco -

........ *. . ...... l . d

20

10

O -- o 0.2 0.4 0.6 0.8 3 't , Y-

Figura 6.5 Comparación de los qrad resultantes locales (x'=xMx, y'=y/Nlx, Hx = 6.982 m) para el caso A (VCCO) y B (VSCO).

151

CAPITULO6 RESULTADOS

0 6

0 5

- o 4 E

I 0 3

- A

O O 1 O 2 03 0 4 0 5 0 6

304 - o 0.5 I 1.5 2 2.5 3

Hx (mi H X W

Caso A Caso B

Figura 6.6 Isotermas (K) para Ra = lo9, 10" y 10" (de la parte superior a la inferior) para los casos A y B.

152

CAPhULOó RESULTADOS

La Figura 6.7 muestra los coeficientes de transferencia de calor promedios que fueron calculados como función del número del Rayleigh para los Casos A y B. En esta figura, para cada uno de los casos se presentan tres curvas, la correspondiente para el número de Nusselt radiativo, el número de Nusselt convectivo y el número de Nusselt total. Para el caso A, se observa que la contribución radiativa es de aproximadamente un 39% para todo el intervalo del número de Rayleigh analizado, mientras que para el caso B, el efecto radiativo sobre el número de Nusselt total es de aproximadamente un 50%. Estas contribuciones radiativas muestran la importancia de incluir el efecto radiativo en el estudio de la transferencia de calor en una cavidad con flujo turbulento y que no debería ser despreciado como mencionan algunos autores en la literatura.

Realizando aproximaciones por mínimos cuadrados se pueden obtener las siguientes correlaciones del número de Nusselt para los Casos A y B:

Caso A NCCO)

Nuconv = 0.071 6Ra0'33s

Nurnd = 0.0505Ra 0.3344

0.3366 Nutotal = 0.1219Ra

Caso B CVSCO)

0.3419 Nucanv = 0.0395Ra 0.3307 Nunid = 0.0498Ra

= 0.0884Ra0'336s

(6.1).

(6.2)

(6.3)

153

RESULTADOS APITUI.0 6

L E 4 8 1.E- l.E+10 l .E+ l l l.E+lZ (.E113 Rayleigh

l.E+CS XE’W l.E+lO l.E+11 1.E+12 l.E+13 Rayleigh

Figura 6.7 Número de Nusselt promedio para Ra de IO9 a 10”

6.3 EFECTO DE CONDUCCI~N

COMPARACI~N DE LOS CASOS A Y B CON LOS CASOS AI Y BI:

En esta sección se presentan las comparaciones de los resultados anteriores (Caso A y B) contra los resultados de la transferencia de calor por convección y radiación en el interior de una cavidad, la cual considera la pared caliente como una pared isotema. Es decir, se elimina el efecto conductivo a través de la pared semitransparente del problema original (Caso A y 9) y se considera a esta pared que se encuentra a una temperatura constante. Se consideraron dos casos: caso Al : en el cual la temperatura que se considera en la pared caliente de la cavidad fue la temperatura media alcanzada para la pared semitransparente con control óptico del caso A (59OC) con una emitancia de 0.4 (valor correspondiente a la película de control solar) y el caso B I : la temperatura de la pared caliente fue considerada como la temperatura media alcanzada por la pared semitransparente del caso B (38.5”C) con una emitancia de 0.85 (valor correspondiente al de un vidrio). Para las corridas del caso A l y BI se utilizó el modelo convectivo-radiativo (Conv-Rad). Para fines de discusión en ambos casos se tomo en cuenta la longitud de la cavidad de 6.982 m, la cual corresponde a un Ra’’ (calculado tomando en cuenta la temperatura media alcanzada por la pared semitransparente con control solar), pero también se presenta los resultados para la transferencia de calor para las otras longitudes del presente tema de investigación (0.698, 1.504 y 3.240 m).

154

RESULTADOS CAPiTUL06

6

5

- 4 E - $ 3

2

I

o

Hx (mi

0 1 2 3 4 5 6

Caso A 1

Figura 6.8 Líneas de corriente (m2/s), isotermas (K) y viscosidad turbulenta (kg/m.s) (de arriba hacia abajo respectivamente) para el caso A l y B1.

155

RESULTADOS CAPÍTULOó

En la Figura 6.8 se presentan las líneas de corriente y las isolíneas para la temperatura y la viscosidad turbulenta para el caso A I y BI, estas corresponden para un R~ estos Casos al igual que en 10s casos A y B analizados previamente, el movimiento del fluido es en sentido contrario de las manecillas del reloj, como se espera fisicamente.

para el Cas0 A I el fluido se desplaza más rápidamente en la parte superior de {a cavidad, los gradientes de velocidad aumentan y se forma una capa turbulenta más gruesa comparada con la capa límite formada sobre la pared inferior de la cavidad. La viscosidad turbulenta indica que los mayores niveles de turbulencia se encuentran en las zonas cercanas de las paredes verticales. Las isotermas indican que las temperaturas alcanzadas en la parte superior e inferior de la cavidad para el caso A I son menores y mayores respectivamente al compararlas con las temperaturas del caso A, esto se puede explicar debido a que en el caso A, la pared semitransparente alcanza un valor máximo de temperatura en la parte superior y su valor mínimo en la parte inferior, mientras que en el caso A I la pared caliente fue considerada a tener un valor promedio de la temperatura alcanzada del caso A (Figura 6.8).

Para el caso B1, la cavidad superior de líneas de corriente indica que el patrón de flujo presenta una forma simétrica, esto es debido a que la pared caliente fue considerada con una emitancia de 0.85 y las paredes restantes tienen una emitancia de 0.9 y además no se considera incidencia de radiación solar sobre la pared fría, por lo que prácticamente para la geometría y condiciones de simetría, el patrón de flujo tiende a ser simétrico. Las temperaturas alcanzadas en el interior de la cavidad son ligeramente menores en comparación con el caso B, y por lo tanto, la transferencia de calor por convección y radiación será mayor para el caso B I .

Comparando ambos casos (AI y B1) se presenta la Figura 6.8, en la cual se observa que aproximadamente en el 60% del ancho de la cavidad se presentan gradientes de temperatura horizontales casi nulos, dando como resultado que el fluido se estratifique en esta zona central de la cavidad.

En la Figura 6.9 se presentan los números de Nusselt convectivos y radiativos locales calculados para el caso A I y BI. Se observa que la transferencia de calor por convección es mayor en ambos casos en la parte inferior de la pared caliente, y que será mayor para el caso AI (853.65) que para el caso BI (633.54). Lo anterior, debido a que para el caso A l se consideró una temperatura mayor para la pared caliente. La transferencia de calor por radiación fue máxima en la parte central de las superficies de la cavidad, esto es debido a que sobre esta zona puede intercambiar calor por radiación con la mayor parte de las otras superficies. La transferencia de calor es mayor para el caso BI (960.04) que para el caso AI (552.42), debido a que la pared caliente del caso BI emite aproximadamente 112.5% ( E ~ =

0.85) mas energía radiativa que la pared caliente del caso AI ( ~ 4 = 0.4).

La Tabla 6.4 presenta los coeficientes de transferencia de calor promedio para los casos A I y Blpara los números de Rayleigh de 109-10'2 (Hx = 0.6984.982 m).

10'2,

156

RESULTADOS CAPíTULO 6

m

O

O 02 0 4 O 8 08 1

wialle

O 02 0 4 06 O8 I

Y.

Caso A 1

CBllenle ..... 203

O O 02 0 4 06 O8

Y.

Caso Bi

Figura 6.9 Coeficientes de transferencia de calor local convectivo y radiativo en la pared caliente y fría (y'=y/Hx, Hx = 6.982 m) para el caso AI y BI .

I57

CAPITULO6 RESULTADOS

Finalmente en la Tabla 6.5 se muestran las diferencias entre los coeficientes totales de transferencia de calor para la cavidad para los casos A y A 1 y casos B y B I . Se observa que cuando no se considera el efecto de conducción de calor, los coeficientes de transferencia de calor, Nutomi, se sobre-estiman con respecto a los de la cavidad en la cual se considera los tres modos de transferencia de calor. Para el caso donde se considera la pared caliente con una emitancia de 0.4 (caso AI), se sobre-estiman los coeficientes de transferencia de calor en aproximadamente un 4% con respecto al caso A; y para el caso donde la pared caliente se toma con un valor de 0.85 (caso BI), los coeficientes de transferencia de calor total son aproximadamente 65% mayor que los obtenidos para el caso B.

Nota: La columna de % representa las diferencias absolutas porcentuales con respecto a la solución del caso A y B respectivamente.

6.4 COMPARACIÓN DE LOS CASOS A Y B CON LOS CASOS A2 Y B2: EFECTO DE RADIACI~N Y CONDUCCI~N

En esta sección se presentan las comparaciones del caso A y B contra los resultados obtenidos del modelo Conv que considera sólo convección natural en el interior de una cavidad que considera la pared semitransparente como una pared isotérmica. En otras palabras, se elimina el efecto conductivo a través de la pared semitransparente y el intercambio radiativo entre las paredes del problema original (Caso A y 9) y se considera que la pared semitransparente se encuentra a una temperatura constante. Se consideraron dos casos: en el primero se considera una temperatura de la pared caliente constante de 59°C que corresponde a la temperatura media alcanzada en la pared semitransparente con control óptico del Caso A, y por lo tanto, la diferencia de temperaturas entre la pared caliente y fría sería de 38°C (Caso A2); en el segundo se considera la pared caliente isotérmica a 38.5"C que correspondió a la temperatura media alcanzada por la pared semitransparente del caso B, y por lo tanto, la diferencia de temperatura entre las paredes verticales de la cavidad sería de 17.5"C (Caso B2).

158

Aquí sólo se presenta, para fines de visualización y discusión, el caso para el Ra = 10l2 que implica tomar la longitud de la cavidad de 6.982 m y la temperatura media alcanzada por la pared semitransparente con control solar. También fueron realizadas las corridas computacionales para los otros números de Rayleigh de IO9, 10" y 10" que corresponden a las longitudes de la cavidad de 0.698, 1.504 y 3.240 m, estos resultados se presentan en forma tabular.

En la Figura 6.10 se muestran visualizadas las líneas de corriente, las isotermas y la viscosidad turbulenta para los casos A2 y 82. En las cavidades superiores de la figura se puede apreciar que el movimiento del aire se concentra en las proximidades de las paredes verticales formando las capas límites. En la parte inferior de la pared caliente y en la parte superior de la pared fría el flujo es laminar y después se observa como se transforma en turbulento; para el caso A2, se observa que esto ocurre en y* = 0.1048 y para el caso 8 2 en y* = 0.1202 sobre la pared caliente. El patrón de flujo es completamente simétrico con respecto al centro de la cavidad. En las isotermas de las cavidades ubicadas en la parte media de la Figura 6.10, se observa que las temperaturas alcanzadas en el interior de la cavidad para ambos casos (A2 y B2) son mayores en comparación con las obtenidas para los casos A y B, esto es de esperarse, debido a que no se esta considerando el intercambio radiativo entre las superficies de la cavidad, y por lo tanto, parte de la energía térmica de la pared caliente no será absorbida por las otras paredes y toda la energía será transferida hacía el fluido, provocando que este tenga una mayor temperatura. La viscosidad turbulenta de las cavidades inferiores de la misma Figura 6.10, muestra las regiones de intensidad del flujo turbulento, se aprecia que los niveles de turbulencia son mayores para el caso A2 que el caso B2, debido a que en el caso A2 se usó un gradiente de temperatura mayor que en el caso B2.

La Figura 6.1 1 muestra los perfiles de las componentes de velocidades (u, v), temperaturas (7) y viscosidad turbulenta 01,) para el caso A2 y B2 para el centro de la cavidad. Las cuatro gráficas superiores de esta figura permiten observar el comportamiento simétrico del flujo, en las cuales, la componente de velocidad Y cercana a la pared caliente es positiva y por debajo del centro de la cavidad cercana a la pared fría es negativa, mientras que la componente de velocidad u es negativa y positiva por encima y debajo del centro de la cavidad respectivamente. El comportamiento de las componentes de velocidades permite damos cuenta, que efectivamente el movimiento del fluido es contrario a las manecillas del reloj. Por otro lado, en las dos figuras subsecuentes donde se gráfica la temperatura en la posición central de la cavidad, se observa que los gradientes de temperaturas horizontales son nulos en aproximadamente un 70% a lo ancho de la cavidad, evitando el movimiento vertical del fluido y creando estratificación en el fluido.

La Figura 6.12 presenta los coeficientes convectivos de transferencia de calor locales de la pared caliente y fría para los casos A2 y B2. En estas figuras se observa que los coeficientes convectivos de transferencia de calor son simétricos, por lo que en ambos casos, los coeficientes de la pared caliente son el espejo de la curva para la pared fría.

159

CAPITULO 6 RESULTAWS

I O 1 2 3 4 5 6

O _-,---,- -1 0 1 2 3 4 5 6

. o 1 2 3 4 5

Hx(m)

Caso A2

_I 6

Figura 6.10 Líneas de corriente (m2/s), isotermas (K) y viscosidad turbulenta (kg/m.s) (de arriba hacia abajo respectivamente) para los casos A2 y B2.

160

RESULTADOS CAPITULO 6

3 003 om -001 o 001 002 om Y (rnh) U l n W

0 4 I

I 0.6 ' I

.* x.

335 314 312 310

3x)

308 325 3m 306 315 304 310 ~ 302 305 300

298 296 300

294 285 280 292

o 0 2 5 0 5 075 I

X.

O 025 O 5 075 1

x*

.) - : b r i 2 74 E om i i ! r i 5 o w 1 * ow1

O O 025 0 5 075 1 O O 25 0 5 O 75 1

x. X.

Caso A2 Caso B2

Figura 6.11 Perfil en el centro de la cavidad para u (x*=0.5), Y b*=O.5), Tb*=0.5) y pl @*=OS) para el caso A2 y B2.

161

21w

..... Caliente

z ._ -._ sw

3w

O O 02 0 4 o s O 8 1

Y-

Caso A2

2100

. . . . . . . caliente

12w I; 9w ~ x,.: - - - ~ ....

300

o O 0.2 0.4 0.6 0.6 1

Y*

Caso B2

Figura 6.12 Coeficientes convectivos de transferencia de calor local en la pared caliente y fría (y'=y/Hx, Hx = 6.982 m) para los casos A2 y B2.

En la Tabla 6.6 se muestran los coeficientes de transferencia de calor total para la cavidad, los cuales no consideran el efecto conductivo y radiativo. Los resultados muestran que el no considerar estas formas de transferencia de calor en el modelo bajo-estiman los valores de Nutomi con respecto a los correspondientes de la cavidad en la cual se considera las tres formas de transferencia de calor. Para el caso en la cual se considera un AT = 38°C (caso A2) se bajo-estima el coeficiente de transferencia de calor, Nutomi, en aproximadamente un 56% con respecto al caso A y para el caso donde se considera un AT = 17.5"C (caso B2), el coeficiente de transferencia de calor total, Nutomi, es aproximadamente 49% menor que la obtenida en el caso B.

Tabla 6.6 Comparación entre los Nutotal entre los casos A y A2 y los casos B y B2

Nota: La columna de %representa las diferencias absolutas porcentuales con respecto a la solución de los casos A y B respectivamente.

162

6.5 COMPARACIÓN DE LOS CASOS A Y B CON LOS CASOS A3 Y B3: EFECTO DE RADIACIÓN

En esta sección se presentan los resultados del modelo Conv-Cond y se realiza la comparación con los resultados de los Casos A y B contra los resultados de la transferencia de calor por convección natural en el interior de una cavidad y conducción a través de su pared semitransparente. Es decir, no se considera el intercambio radiativo en el interior de la cavidad pero si se toma en cuenta el efecto conductivo a través de la pared semitransparente. Se consideraron dos casos: en el primero, la pared semitransparente consta de una hoja de vidrio con recubrimiento de control solar (Caso A3) y el segundo, la pared semitransparente consta solo de una hoja de vidrio (Caso B3).

Para fines de visualización y discusión se presenta primeramente el caso para el Ra = 10l2 que implica tomar en cuenta la longitud de la cavidad de 6.982m y la temperatura media alcanzada por la pared semitransparente con control solar. También se anexan los resultados para los otros números de Rayleigh de lo9, 10" y 1 O" que corresponden a las otras longitudes de la cavidad 0.698, 1.504 y 3.240 m, estos resultados se presentan en forma tabular.

En la Figura 6.13 se presentan visualizadas las líneas de corriente, las isotermas y la viscosidad turbulenta para los casos A3 y B3. De igual manera que en los casos anteriores, el movimiento del fluido es en sentido contrario de las manecillas del reloj, como se espera fisicamente. Los patrones de flujo obtenidos para ambos casos A3 y B3, son muy similares a los obtenidos para los casos en los cuales se consideró solamente la convección natural con paredes verticales isotérmicas (caso A2 y B2). El patrón de flujo tiene a ser completamente simétrico con respecto al centro de la cavidad. Las temperaturas alcanzadas en el interior de la cavidad para ambos casos, A3 y B3, son mayores en comparación con los obtenidos para todos otros casos analizados previamente (Casos A, A I , A2 y B, BI, B2). Lo anterior, es debido a que no se consideraron las pérdidas por radiación de la superficie interior de la pared semitransparente. Esta consideración provoca que la pared semitransparente retenga mayor cantidad de energía térmica y posteriormente parte de esta energía sea transferida al fluido.

163

RESULTAWS CAPíTULOó

6

5

- 4 E - 2 3

2

1

6

5

- 4 E -

.e3

2

I

O o i i j i s Hx ím)

6 -

o 1 -

2 3 4 5 6 Hx ím)

Caso A3 Caso B3

Figura 6.13 Líneas de corriente (m2/s), isotermas (K) y viscosidad turbulenta (m2/s) (de arriba hacia abajo respectivamente) para el caso A3 y B3.

164

La Figura 6.14 corresponde a las gráficas de los perfiles de las componentes de velocidades (u, v), la temperatura ( T ) y la viscosidad turbulenta @,) en el centro de la cavidad para el caso A3 y B3. Nuevamente, las componentes de velocidad muestran el sentido del movimiento del fluido. Los perfiles son cualitativamente similares entre sí (Caso A3 y B3) pero las magnitudes son ligeramente diferentes. También se puede apreciar de las figuras intermedias de temperaturas, estratificación térmica en el centro de la cavidad para ambos casos. La variación de la temperatura interior y exterior en dirección vertical en la pared semitransparente fue aproximadamente de 14OC para el caso A3 y 6°C para el caso B3. La diferencia de temperatura media a través de la pared semitransparente fue de 1.37OC y de 0.04°C para el caso A3 y B3 respectivamente. La temperatura media alcanzada en la pared semitransparente con control solar (caso A3) fue de 337 K (64°C) y con pared semitransparente sin control solar (caso B3) fue de 313 K (40°C). El motivo por el cual la temperatura media alcanzada en la pared semitransparente, para ambos casos de análisis en esta sección, fue mayor que la temperatura alcanzada en el caso A y B, es como se esperaba y se mencionó previamente, por no considerar las pérdidas radiativas desde la superficie interior de la pared semitransparente hacia la cavidad.

La Figura 6.15 muestra la comparación del perfil de la temperatura sobre la pared 1 y 3 entre el caso A y A3 y entre el caso B y B3. Para ambos casos de la comparación se puede decir que la temperatura alcanzada en la pared aislada inferior (pared 1) es mayor para los casos en los cuales se considera el intercambio radiativo (caso A y B) que cuando no se considera el efecto radiativo. Sin embargo, la temperatura alcanzada en la pared aislada superior (pared 3) es menor para los casos en los cuales se considera el intercambio radiativo (caso A y B) que cuando se no considera el efecto radiativo. El motivo por el cual la pared superior de la cavidad alcanza una temperatura superior cuando no se considera el intercambio radiativo, es porque la temperatura alcanzada en la pared semitransparente en su parte más alta es aproximadamente 6OC (caso A3) y 3'C (caso B3) mayor que cuando se considera el intercambio radiativo (caso A y B), por lo que se concluye que el efecto convectivo (caso A3 y B3) de la pared semitransparente sobre la pared aislada 3 es mayor, que cuando se considera el efecto convectivo-radiativo (caso A y B).

La razón por la cual, la pared inferior de la cavidad alcanza una temperatura inferior cuando no se considera el intercambio radiativo es porque la temperatura alcanzada en la pared semitransparente en su parte inferior es equiparable con la temperatura alcanzada cuando se considera el efecto radiativo. Entonces, el efecto convectivo (caso A3 y B3) de la pared semitransparente sobre la pared aislada 1 es menor que cuando se considera el efecto convectivo-radiativo (caso A y B).

I65

RESULTADOS CAPITULO6

% %[%;I 0.25 0.25

- -- 0.03 .0.02 0.01 o 0.01 0.02 0.03 n.m n.m -0.01 o o01 om 0.03

u (mis) u (nw

::: I 0.2 n

z X'

340 315

330 310

- 320 - 2Q5 E s I- 310 - 3 w

m 295

290 280 O O 25 0 5 O 15 1 O O 25 0 5 O 75 1

r* .*

- 0.003 5 0.001 z

0 - O 0.25 0.5 0.75 1

c

Caso A3

?

5 5 om1

O O O 25 0 5 O 75

Caso B3

Figura 6.14 Perfil en el centro de la cavidad para u (x*=0.5), Y @*=OS), T(y*=0.5) y p, (y'=0.5) para el caso A3 y B3.

166

335 - 314

312 * CByl BlPared 1) 330 . caylA(Pareu1)

325 CBSOA3 (PBfedl)

~

___

... . . . , . . . . . . . . . . . . .. 320 -

- 315- c !5

310

305

Mn 298

296

295 294

280 282 O O 25 0 5 O 75 1 O O 25 0 5 O 75 1

I.. I

330 ...... * ........ ..*.. = 305 - 320 .... . . . . . . . . * . . .*.*.* 300 310 * Caso B (Pard 3) . CasOA(Pwed31

Cam 83 (Pared31 - 3w 295 -cBIoA3 (Parea)

ñ O 290 O O 25 0 5 O 75 1 O O 25 0 5 O 75 1

X. x.

Caso A-A3 Caso B-B3

Figura 6.15 Comparación de la variación local de la temperatura sobre la pared 1 y 3 (x'=x/Hx, Hx = 6.982 m) entre el caso A y A3 (izquierda) y entre el caso B y B3 (derecha).

En la Figura 6.16 se puede apreciar la variación local de la temperatura en la pared semitransparente con y sin recubrimiento de control solar, Casos A3 y B3. Para el caso A3 se alcanza una mayor temperatura en la superíkie interior que en la exterior, esto es debido a que la película de recubrimiento de control solar se encuentra adherida en la superficie interior de pared semitransparente y absorbe gran cantidad de energía solar debido a su alia absoríancia comparada con la del vidrio solamente. Por el contrario al caso B, para la pared semitransparente sin recubrimiento de control solar, la temperatura exterior obtenida es ligeramente menor que la temperatura interior de la pared, esto es debido a que no se considera el intercambio radiativo entre las superficies del interior de la cavidad.

167

T I K I

0.7

0.8

5. 0.5 ~

0.4

0.3

0.2 , i T l K l

Figura 6.16 Variación de la temperatura interior y exterior en la pared Semitransparente (y*=y/Hx, Hx = 6.982 m) para el caso A3 y B3.

La Figura 6.1 7 muestra los coeficientes convectivos de transferencia de calor local en la pared caliente y fría para el caso A3 y B3, en estas figuras es de notarse la simetría del coeficiente convectivo de transferencia de calor en ambos casos. También se aprecia en las figuras, al comparar los casos, que el número de Nusselt es mayor para el caso A3 que para el caso B3. En general para todos los números de Rayleigh analizados (IOo9 a IO"), el Nutoh, fue mayor en el caso A3 que en el caso B3, en un intervalo del 17 al 22%. Esto es de esperarse, debido a que para el caso A3 se alcanza una mayor temperatura en la pared 4.

-Fria

Callems _....

12w

6W

300

0 02 0 4 O 6 O8 1

z

Caso A3

. . . . . . .

ixa

3M

0 0.2 0.4 0.6 0.8 o 1

Y

Caso B3

Figura 6.17 Coeficientes convectivos de transferencia de calor local en la pared caliente y fría (y'=y/Hx, Hx = 6.982 m) para el caso A3 y B3.

I68

En la Tabla 6.7 se muestran los coeficientes de transferencia de calor total promedio para la cavidad para los números de Ra de IO9 a 10”. Este caso muestra que si sólo se considera el efecto convectivo y conductivo, los valores del Nu,,, son bajo-estimados en aproximadamente un 52% (caso A3) y 45% (caso B3) con respecto a los valores del Nutotal de la cavidad, en la cual se considera las tres formas de transferencia de calor (caso A y B). Pero, se observa, que tomando como referencia los Casos A y B, los resultados de los casos A3 y B3 se mejoran un 4% mas con respecto a los casos A2 y B2. Esto era de esperarse, debido a que los casos A3 y B3 consideran adicionalmente el efecto conductivo de la pared semitransparente y por lo tanto se aproximan un 4% con respecto al caso A2 y B 2 donde se considera solamente la transferencia de calor por convección natural en la cavidad.

I oo9 1 O ‘ O

10”

loi2

Tabla 6.7 Comparación entre los Nut,,,j entre los casos A y A3 y los casos B y 83 y sus diferencias porcentuales.

I CasoA I CasoA3 I I CasoB I cas083 I Ra I Nut,t~ I Nutmi I % I Nutmi I Nut0,i 1 YD

131.75 63.48 5 1.82 94.95 52.12 45.1 1

281.98 141.65 49.77 203.95 1 12.27 44.95

606.51 3 18.27 47.52 439.38 253.3 1 42.35

1352.12 753.40 44.28 972.50 591.27 39.20

6.6 CONCLUSIONES

Se presentó un análisis de los resultados obtenidos con los modelos convectivo-radiativo- conductivo, convectivo-radiativo, convectivo y convectivo-conductivo para el estudio del modelo bidimensional de la cavidad cuadrada en un intervalo del número del Rayleigh de IO9 a IO” (basados en la temperatura media alcanzada en la pared semitransparente con control óptico) y un número de Prandtl de 0.71.

Se encontró que el caso de la cavidad con una pared semitrans arente con control óptico (Caso A) permite pasar menos flujo de calor total (33 1.44 W/m ) al interior de la cavidad que cuando no se usa control solar en pared semitransparente (646.24 W/mZ (Caso B)) para un Ra = 1 O”.

P . .

Se mostró que el número de Nusselt total es sobre-estimado en un 4% y 65% cuando no se considera el efecto conductivo de una pared con y sin control solar respectivamente y para los casos en los cuales, adicionalmente al no tomar en cuenta el efecto conductivo en la

I69

RESULTAWS CAPhULO 6

pared semitransparente, los efectos radiativos son despreciables, el número de Nusselt total fue bajo-estimado en un 56% y 49% con respecto a una pared con y sin control solar. Cuando sólo se desprecia el intercambio radiativo en el interior de la cavidad, el número de Nusselt es bajo-estimado en un 52% y 45% con respecto a los números de Nusselt del caso A y B respectivamente.

Se propusieron las relaciones para determinar los coeficientes de transferencia de calor para las cavidades cuadradas con pared semitransparente con y sin control solar, en las cuales se considera la transferencia de calor conjugada.

170

CAPITULO 7 CONCLUSIONES GENERALES

CAPÍTULO 7 CONCLUSIONES GENERALES

7.1 CONCLUSIONES

En este trabajo se presentaron los modelos fisicos y matemáticos para estudiar el comportamiento térmico de una cavidad cuadrada con pared semitransparente que simulan una habitación con una pared semitransparente (ventana). Los modelos matemáticos planteados son válidos para la transferencia de calor combinada (convección natural, radiación y conducción) con flujo turbulento, así como también se mostró la formulación general para la familia de los modelos de turbulencia K-E. Los modelos matemáticos de problemas individuales de radiación y conducción son modelos necesarios para acoplar la condición de frontera al modelo convectivo y de esta manera, tener el modelo matemático final para las tres formas de transferencia de calor.

Se presentó la verificación del código numérico desarrollado con casos de referencia. Se mostró, como resultado de la comparación para el problema de convección natural con flujo turbulento en una cavidad cuadrada, que los resultados obtenidos se encuentran dentro del intervalo dado para la solución de referencia con excepción del número de Nusselt promedio, la componente de velocidad u y la energía cinética turbulenta K, los cuales son bajo-estimados en un 9, 8 y 5% respectivamente. Para el caso del problema de la transferencia de calor conjugada (convección natural y radiación) en una cavidad cuadrada con flujo turbulento, se encontró que las desviaciones con la literatura para los números de Nussselt totales para los dos casos analizados (AT = 10°C y AT = 50OC) son del 1 y 1.5% respectivamente. En la solución del problema de conducción de calor a través de la pared semitransparente con condiciones ambientales en ambas caras, se obtuvo que el balance total con respecto a la irradiación solar que incide en el vidrio, tiene una diferencia porcentual absoluta del 0.001% (tanto para el sistema vidrio sólo como para el sistema compuesto vidrio-película), lo cual indica que el balance de energía a través del sistema se ha calculado satisfactoriamente. Para este Último problema se calcularon los flujos de calor al interior (QJ de la pared semitransparente en un intervalo de temperatura exterior (To,,,) de 0°C a 50°C. Estos resultados muestran que cuando se usa un vidrio más la película SnS- Cu,S, los Qt determinados se reducen en un intervalo del 52 al 39% para el intervalo de temperatura exterior usado respectivamente.

Los resultados obtenidos para los problemas de verificación fueron contrastados con resultados experimentales y numéricos de la literatura, encontrándose concordancia con éstos. En general, se concluye que el código desarrollado para los problemas de verificación produce resultados satisfactorios.

Los resultados y análisis para la transferencia de calor conjugada en la cavidad cuadrada con pared semitransparente con flujo turbulento fueron presentados para una temperatura inicial en todo el sistema de 21OC y una temperatura exterior a la pared semitransparente de 35°C para un intervalo del número de Rayleigh (basado en la temperatura media alcanzada por la pared semitransparente con control óptico) de IO9 5 Ra 5 I O ' * e insolación directa de

171

CONCLUSIONES GENERALES C A P I T U L O 7

750W/m2. El aire confinado en el interior de la cavidad se consideró como un fluido radiativamente no participante.

Los resultados muestran que aunque la temperatura alcanzada en la pared semitransparente con control solar (caso A) es mayor que la obtenida sin control solar (caso B), la cantidad de calor que entra al interior de la cavidad es menor (331.44 W/m2) comparada con el sistema que no usa el controlador óptico (646.24 W/m2). El coeficiente de ganancia de calor solar (SHGC) para el caso A es de 44.19% y para el caso B es de 86.17%. Estos resultados indican, que del 100% de energía radiativa, sólo un 44.19% entraría por uso de una ventana de vidrio con controlador solar y un 86.17% entraría por tener una ventana de vidrio sólo. Se observa que cuando se usa un vidrio con controlador solar, la ganancia de energía al interior de la cavidad se reduce en un 41.98%. Este resultado permite mirar la ventaja del uso del controlador óptico.

Se encontró que el número de Nusselt total es sobre-estimado en un 4 y 65% cuando no se considera el efecto conductivo de una pared con y sin control solar respectivamente y para los casos en los cuales, adicionalmente a no tomar en cuenta el efecto conductivo en la pared semitransparente, los efectos radiativos son despreciables, el número de Nusselt total fue bajo-estimado en un 56 y 49% con respecto a una pared con y sin control solar. Cuando sólo se desprecia el intercambio radiativo en el interior de la cavidad, el número de Nusselt es bajo-estimado en un 52 y 45% con respecto a los números de Nusselt del caso A y B respectivamente. Estos resultados muestran la importancia de incluir los efectos de las tres formas de transferencia de calor.

Se obtuvieron las correlaciones para determinar los coeficientes de transferencia de calor en función del número de Rayleigh para las cavidades cuadradas con pared semitransparente con y sin control solar, en las cuales se considera la transferencia de calor conjugada.

Los balances de energía en la pared semitransparente de la cavidad cuadrada tuvieron una diferencia porcentual absoluta del 0.026 (con control solar) y 0.036% (sin control solar) con respecto a la irradiación solar, lo cual indica que el error numérico global en el método numérico utilizado podría ser menor al O. I YO.

Finalmente, se concluye que el modelo convectivo-radiativo-conductivo desarrollado en el presente proyecto de investigación permite estudiar en detalle la transferencia de calor con flujo turbulento en una cavidad bidimensional con pared semitransparente, este modelo da información sobre los coeficientes de transferencia de calor de estos sistemas, adicionalmente permite un avance en la comprensión de lo que podría suceder en habitaciones con ventanas con y sin control óptico.

Dadas las características del modelo desarrollado, flujo turbulento en dos dimensiones, las correlaciones propuestas para la transferencia de calor se pueden aplicar para poder conocer de mejor manera los flujos de calor en habitaciones y podrán alimentar códigos comerciales, tales como el TRNSYS y DOE2 para el cálculo de cargas térmicas en edificios.

172

CONCLUSIONES GENERALES CAPITULO 7

Por lo anteriormente expuesto, se considera haber cubierto satisfactoriamente el alcance y los objetivos planteados al iniciar el proyecto. Este trabajo forma parte de la linea de investigación de ahorro y uso eficiente de energía en Cenidet y debido a su trascendencia se considera importante continuar con su desarrollo y profundización.

Como extensión del presente trabajo se pueden sugerir posibles estudios posteriores, estos se describen a continuación.

7.2 SUGERENCIAS A TRABAJOS FUTUROS

I . Como primer sugerencia, con el código desarrollado se pueden realizar corridas adicionales para diferentes temperaturas exteriores a la pared semitransparente, diferentes emitancias de la paredes opacas de la cavidad y diferentes razones de aspecto, esto para tener las correlaciones para los coeficientes de transferencia de calor no sólo en función del número de Rayleigh, sino también en función de las emitancias y de la razón de aspecto para un intervalo de temperatura exterior.

2. Los modelos desarrollados pueden ser usados para hacer comparaciones entre los vidrios con control óptico si se conocen las propiedades de las peliculas de control solar. Las propiedades ópticas deben ser evaluadas de acuerdo a la norma IS0 9050: 2003 (E), la cual es aceptada en el ámbito de industrias constructoras mundiales.

3 . Estudiar los efectos de la variación horaria de la irradiación solar así como también la variación de la temperatura exterior ambiente durante un día típico, para hacer la evaluación durante 24 horas para la transferencia de calor en los sistemas que tienen paredes semitransparentes.

4. Incluir al modelo desarrollado, paredes horizontales conductoras de calor para considerar la influencia del medio ambiente a través de las paredes y su efecto en el flujo dentro de la cavidad.

5. Extender los casos estudiados en dos dimensiones a tres dimensiones, al resolver las ecuaciones gobernantes en 3D, para analizar la contribución tridimensional y hacer más real la modelación.

6 . El modelo permite incluir diferentes tipos de condiciones de las paredes, con esto se sugiere dentro de la linea de investigación, cambiar la pared semitransparente por una pared de vidrio doble que pueda tener o no una película de control óptico.

7. Se deben realizar estudios experimentales en cavidades con dimensiones realistas para validar los diferentes modelos numéricos desarrollados.

8. Por último se deben implementar otros modelos de turbulencia como los algebraicos (ASM) o los de esfuerzos Reynolds (RSM) para cuantificar diferencias con los modelos de turbulencia implementados en la presente tesis (EVM) y con posibles resultados experimentales.

173

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