CARRERA:

INGENIERIA INDUSTRIAL

AULA: E4

NOMBRE DE LA MATERIA:

CALCULO VECTORIAL

NOMBRE DEL ASESOR:

Ing. CARLOS DEL ANGEL BAUTISTA

UNIDAD 4

NOMBRE DEL ALUMNO:

RAFAEL MORENO GARCIA

TRABAJO:

ENTREGA DE LA UNIDAD 4

FECHA DE ENTREGA: 2-DICIEMBRE-2014

INSTITUTO TECNOLOGICO DE CERRO AZUL

Unida 4 Funciones reales de varias variables

4.1 Definición de una función de varias variables

La primera parte de esta asignatura se ha centrado en el estudio de las funciones de una variable,𝑓: ℝ → ℝLo que sigue ahora, es el estudio de las funciones de dos variables.𝑓: ℝ2 → ℝEstas funciones se representan a menudo mediante el símbolo z = f(x,y). Una función de dos variables tiene como dominio parejas de números (así que se le asignará un número nuevo a cada una de estas parejas). En general, el dominio de una función con una variable (n ≥ 1) está formado por puntos con n coordenadas, y la función asocia a cada punto un número real determinado.

Una función con n variables es una regla f que asocia a cada punto (x1, x2,. . ., xn) dentro de un determinado conjunto D un número real f(x1, x2,. . ., xn). El dominio D es un subconjunto de Rn, es decir, está formado por puntos con n coordenadas.

4.2 Grafica de una función de varias variables

Para hallar el dominio de recuerde que el argumento de una raíz cuadrada debe ser positivo o cero. Lo cual corresponde al interior de un círculo de radio 3, como se muestra en la figura.

Dominio de f(x, y)

Para hallar el dominio de recuerde que en un cociente el denominador no puede ser cero, por lo que el argumento del radical debe ser positivo. Lo cual corresponde al exterior de la parábola, sin incluir la parábola misma

4.3 CURVAS Y SUPERFICIES DE NIVEL

En matemáticas, un nivel establecido de un real con valores de la función f de n variables es un conjunto de la forma

(X 1,…, x n)

Donde c es una constante. Es decir, es el conjunto donde la función toma un valor constante dado.

Cuando el número de variables es dos, esto es una curva de nivel (línea de contorno), si es de tres se trata de una superficie plana, y para valores mayores de n el conjunto de nivel es un nivel de hipersuperficie.

Más específicamente, una curva de nivel es el conjunto de todos los valores de las raíces reales de una ecuación con dos variables x 1 y x 2. Una superficie plana es el conjunto de todos los valores de las raíces reales de una ecuación en tres variables x 1, x 2 y x 3. Una hipersuperficie de nivel es el conjunto de todos los valores de las raíces reales de una ecuación en n (n > 3) variables

Un conjunto de forma

(X 1,…, x n)

Se llama un conjunto subnivel de f --- o, alternativamente, un conjunto de nivel inferior o zanja de f. Establece que el subnivel son importantes en la teoría de la minimización. El boundness de algunos que no esté vacía conjunto subnivel y el de menor semicontinuidad de la función implica que una función alcanza su

mínimo, por el teorema de Weierstrass. La convexidad de todos los conjuntos de subnivel caracteriza funciones quasiconvex.

4.4 Derivadas parciales de funciones de varias variables

En matemática, una derivada parcial de una función de varias variables es su derivada con respecto a una de esas variables, con los demás se mantiene constante (a diferencia de la derivada total, en los que todas las variables pueden variar).

Derivadas parciales se utilizan en el cálculo vectorial y geometría diferencial.

Los derivados de símbolo parcial ∂. La notación fue presentada por Adrien-Marie Legendre y obtuvo la aceptación general después de su reintroducción por Carl Gustav Jacob Jacobi. Supongamos que ƒ es una función de más de una variable.

El gráfico de esta función se define una superficie en el espacio euclidiano. Para cada punto de esta superficie, hay un número infinito de rectas tangentes. Diferenciación parcial es el acto de elegir una de estas líneas y encontrar su pendiente.

Por lo general, las líneas de mayor interés son aquellos que son paralelos al XZ -plano, y las que son paralelas a la yz plano. Para encontrar la pendiente de la línea tangente a la función en (1, 1, 3) que es paralela a la xz -avión, él y variable es tratada como constante.

El gráfico y el plano esto se muestra a la derecha. En el siguiente gráfico, vemos la forma en que la función se ve en el plano y = 1.

4.5 Derivada direccionalEn matemáticas, la derivada direccional de una multivariado función diferenciable a lo largo de un determinado vector de V en un punto dado P intuitivamente representa la tasa instantánea de cambio de la función, moviéndose a través de P, en la dirección de V. Por lo tanto, se generaliza la idea de una parcial derivados, en los que la dirección se toma siempre en

paralelo a uno de los ejes de coordenadas. La derivada direccional es un caso especial de los derivados Gâteaux.

Definición

La derivada direccional de una función escalar

Si la función f es diferenciable en, entonces existe la derivada direccional en cualquiera de los vectores de la unidad y uno tiene donde a la derecha indica el gradiente y es el producto interior euclidiana. En cualquier momento, la derivada direccional de f intuitivamente representa la tasa de cambio de f a lo largo de en el punto.

A veces se permite que los vectores no-unidad, permitiendo que la derivada direccional que deben tomarse en el sentido es cualquier vector distinto de cero. En este caso, hay que modificar las definiciones para tener en cuenta el hecho de que no puede ser normalizada Esta notación para la unidad de vectores no (no definido por el vector cero), sin embargo, es incompatible con la notación utilizada en otros lugares en el resto de las matemáticas, donde el espacio de las derivaciones en un álgebra de derivación se espera que sea un espacio vectorial

4.6 Derivadas parciales de orden superiorEn matemática, una derivada parcial de una función de diversas variables, es su derivada respecto a una de esas variables manteniendo las otras como constantes. Las derivadas parciales son útiles en cálculo vectorial y geometría diferencial. La derivada parcial de una función f respecto a la variable x se representa con cualquiera de las siguientes notaciones equivalentes. Al realizar esta derivada obtenemos la pendiente de dicha función A paralela al eje de la incógnita respecto a la cual se ha hecho la derivada.

Analíticamente el gradiente de una función es la máxima pendiente de dicha función en la dirección que se elija. Mientras visto desde el álgebra lineal, la dirección del gradiente nos indica hacia donde hay mayor variación en la función. Introducción Supón que es una función de más de una variable, es decir una función real de variable vectorial. Para el caso,

Es difícil describir la derivada de tal función, ya que existe un número infinito de líneas tangentes en cada punto de su superficie. La derivación parcial es el acto de elegir una de esas líneas y encontrar su pendiente. Generalmente, las líneas que mas interesan son aquellas que son paralelas al eje x, y aquellas que son

paralelas al eje y. Una buena manera de encontrar los valores para esas líneas paralelas es la de tratar las otras variables como constantes mientras se deja a variar sólo una. Por ejemplo, para encontrar la línea tangente de la función de arriba en (1, 1, 3) que es paralela el eje x, tratamos a la variable y como constante. El gráfico de la función y el plano y = 1 se muestran a la derecha. A la izquierda, vemos cómo se ve la función, en el plano y = 1. Encontrando la línea tangente en este gráfico, descubrimos que la pendiente de la línea tangente de ƒ en (1, 1, 3) que es paralela al eje x es tres.

4.7 Incrementos diferenciales y regla de la cadenaEn matemática y álgebra computacional, diferenciación automática, o DA, también conocida como diferenciación algorítmica, es un método para la evaluación de derivadas de una función expresada como un programa de computación.

Existen dos métodos clásicos para el cálculo de derivadas:

Derivar simbólicamente la función obteniendo una expresión y evaluarla en un punto dado; o utilizar derivación numérica.

El inconveniente de la derivación simbólica es la lentitud y la dificultad de convertir programas de computación en una única expresión. Además, la complejidad de muchas funciones crece según se calculan derivadas de mayor grado. Dos inconvenientes importantes de las derivadas finitas son los errores de redondeo en cálculos de naturaleza discreta y la cancelación. Los dos métodos clásicos tienen problemas con el cálculo de derivadas de mayor grado, donde la complejidad y los errores se ven incrementados. La diferenciación automática soluciona todos estos problemas.

Estas derivadas parciales básicas, evaluadas utilizando los argumentos, se combinan de acuerdo a regla de la cadena del cálculo de derivadas para formar información derivada para F (como gradientes, tangentes, la matriz Jacobiana, etc.). Este proceso obtiene derivadas exactas (según la precisión numérica). Debido a que la transformación simbólica ocurre sólo en el nivel más básico, DA evita los problemas computacionales inherentes al cálculo simbólico complejo.

4.8 Derivación parcial implícita

Derivación Parcial Implícita.Funciones explícitas y funciones implícitasEn los cursos de cálculo la mayor parte de las funciones con que trabajamos están expresadas en forma explícita, como en la ecuación:dónde la variable y está escrita explícitamente como función de x. Sin embargo, muchas funciones, por el contrario, están implícitas en una ecuación. La función y = 1 / x, viene definida implícitamente por la ecuación: x y = 1.Si queremos hallar la derivada  para esta última ecuación, lo hacemos despejando y, así, y = 1 / x = x -1, obteniendo su derivada fácilmente: El método sirve siempre y cuando seamos capaces de despejar y en la ecuación. El problema es que si no se logra despejar y, es inútil este método. Por ejemplo, ¿cómo hallar dy/dx para la ecuación x2 - 2y3 + 4y =2, donde resulta muy difícil despejar y como función explícita de x? El método de regla de la cadena para funciones implícitasYa sabemos que cuando se derivan términos que solo contienen a x, la derivación será la habitual. Sin embargo, cuando tengamos que derivar un término donde aparezca la y, será necesario aplicar la regla de la cadena.

4.9 GradienteEn cálculo vectorial, el gradiente de un campo escalar es un campo vectorial que apunta en la dirección de la mayor tasa de aumento del campo escalar, y cuya magnitud es la mayor tasa de cambio.

Una generalización del gradiente de funciones en un espacio euclidiano que tienen valores en otro espacio euclidiano es el jacobiano. Una generalización de una función de un espacio de Banach a otro es la derivada de Fréchet.

Interpretaciones

Considere la posibilidad de una habitación en la que se da la temperatura de un campo escalar, T, por lo que en cada punto (x, y,z) la temperatura es T (x,y,z) (vamos a suponer que la temperatura no cambia en el tiempo). En cada punto de la habitación, el gradiente de T en ese momento se mostrará la dirección que

la temperatura se eleva más rápidamente. La magnitud del gradiente determinará la rapidez con la temperatura se eleva en esa dirección.

Considere la posibilidad de una superficie cuya altura sobre el nivel del mar en un punto (x, y) es H (x, y). El gradiente de H en un punto es un vector que apunta en la dirección de la empinada pendiente o grado en ese punto. La inclinación de la pendiente en ese punto está dado por la magnitud del vector gradiente.

4.10 Campos vectoriales

En matemática un campo vectorial es una construcción del cálculo vectorial que asocia un vector a cada punto en el espacio euclídeo, de la forma Los campos vectoriales se utilizan a menudo en la física para, por ejemplo, modelar la velocidad y la dirección de un líquido móvil a través del espacio, o la intensidad y la dirección de una cierta fuerza, tal como la fuerza electromagnética o la gravitatoria, pues cambian punto a punto.

En el tratamiento matemático riguroso, los campos vectoriales se definen en variedades diferenciables como secciones del fibrado tangente de la variedad. Este es el tipo de tratamiento necesario para modelizar el espacio-tiempo curvo de la teoría general de la relatividad

Define el módulo de los campos vectoriales Ck sobre el anillo de las funciones Ck. Alternativamente el conjunto de todos los campos vectoriales sobre un determinado subconjunto X es en sí mismo un espacio vectorial.

Derivación y potenciales escalares y vectores

Los campos vectoriales se deben comparar a los campos escalares, que asocian un número o escalar a cada punto en el espacio (o a cada punto de alguna variedad).Las derivadas de un campo vectorial, que dan por resultado un campo escalar u otro campo vectorial, se llaman divergencia y rotor respectivamente. Recíprocamente:

Dado un campo vectorial cuyo rotacional se anula en un punto, existe un campo potencial escalar cuyo gradiente coincide con el campo escalar en un entorno de ese punto. Dado un campo vectorial solenoidal cuya divergencia se anula en un

punto, existe un campo vectorial llamado potencial vector cuyo rotacional coincide con el campo escalar en un entorno de ese punto.